Aufbau des Labormodells Wagen und Pendel

JOHANNES KEPLER
U N I V E R S I T Ä T L I N Z
N e t z w e r k f ü r F o r s c h u n g , L e h r e u n d P r a x i s
Aufbau des Labormodells
Wagen und Pendel
Projektseminar
in der Studienrichtung
Mechatronik
Angefertigt am Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung
Betreuung:
o.Univ.–Prof. Dipl.–Ing. Dr.techn. Kurt Schlacher
Mitbetreuung:
Univ.–Ass. Dipl.–Ing. Karl Rieger
Eingereicht von:
Martin Lederhilger
A-4621 Sipbachzell, Leombach 78
Hannes Mautz
A-4820 Bad Ischl, Leithnerstr. 10
Linz, im Februar 2008.
Johannes Kepler Universität Linz
A-4040 Linz, Altenberger Str. 69, Internet: http://www.uni-linz.ac.at, DVR 0093696
Kurzfassung
In diesem Projektseminar wurde das Labormodel Wagen und Pendel aufgebaut. Um die
nötige Dimensionierung des Aufbaus durchführen zu können, wurde zunächst ein mathematisches Modell aufgestellt. Mit diesem wurde eine Simulation zur Abschätzung der maximalen
Belastung der Mechanik durchgeführt. Der Aufbau des Labormodells umfasste dann alle mechanischen Komponenten, eine Leistungs- bzw. Sensorelektronik sowie die Verbindung mit
dem PC-Regelungssystem dSpace.
Mit Hilfe von verschiedenen Versuchen wurden in weiterer Folge die Streckenparameter identifiziert, um das Simulationsmodell zu parametrisieren. Anhand des Simulationsmodells wurde eine Steuerung für den Aufschwingvorgang sowie eine Regelung zur Stabilisierung der
oberen Ruhelage entworfen, welche dann auf das Labormodell angewendet wurde. Um das
Labormodell einfach bedienen zu können, steht eine Kontrolloberfläche auf dem PC bereit.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Modellbildung
4
2.1
Reduktion der Seil- und Antriebsrollen in den Wagen . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Wagen-Pendel Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Motormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Gesamtes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Antialiasing-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Einzelbetrachtung von Wagen und Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Simulation
11
3.1
Stellgrößenbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Abschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Ermittelung der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4 Aufbau
14
4.1
Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2.1
Adapterplatine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2.2
Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2.3
Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3
Verifikation der Positionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.4
Pendelrückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.5
Nichtidealitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5 Parameterbestimmung
26
5.1
Identifikationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Identifikation der Motorparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3
Identifikation des Pendels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Identifikation des Wagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.3.1
1
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
6 Steuerung und Regelungsentwurf
2
31
6.1
Aufschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6.2
Stabilisierung der oberen Ruhelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6.2.1
Regelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.2.2
Linearisierung im Arbeitspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.2.3
Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
7 Bedienung
36
7.1
Inbetriebnahme und Stilllegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7.2
Kontrolloberfläche
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang
39
.1
Dateibeschreibung des Projektverzeichnises . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1 Einleitung
In diesem Projektseminar wird das Wagen-Pendelmodell aufgebaut. Es handelt sich hierbei
um ein Modell, bei welchem ein drehbahr gelagertes Pendel auf einem linear geführten Wagen
befestigt ist. Der Stelleingriff auf das System ist eine Kraft1 auf den Wagen in Führungsrichtung. Als Messgrößen des Systems sind die Position des Wagens sowie der Winkel des
Pendels festgelegt.
Der Inhalt des Projektseminars umfasst die mathematische Modellbildung (Kapitel 2) und
Simulation (Kapitel 3), den Aufbau der realen Strecke (Kapitel 4), die Identifikation der
Parameter (Kapitel 5) sowie die Implementierung einer Steuerung für das Aufschwingen
bzw. die Stabilisierung der oberen Ruhelage durch eine Regelung (Kapitel 6).
Abbildung 1.1: Modell
1
Das System wurde um das elektrische Teilsystem (Motor, Leistungselektronik) reduziert.
3
2 Modellbildung
In diesem Kapitel werden die Voraussetzungen, also die mathematischen Modelle, für die
nachfolgenden Kapitel geschaffen. Die in den Modellgleichungen verwendeten Zustandstandsgrößen, physikalischen und reduzierten1 Parameter sowie deren Erläuterung sind in Tabelle 2
angeführt.
Parameter
x
ϕ
v
ω
uA
Umax
iA
Imax
ωA
ML
MA
mw
m1
m2
J2
Jg
l
d1
dd
dw
d2
dg
RA
LA
km
ig
ra
rs
Θa
Θs
Θm
F
Fsoll
Fr (v)
g
Einheit
m
rad
m
s
rad
s
V
V
A
A
rad
s
Nm
Nm
kg
kg
kg
kgm2
kgm2
m
Ns
m
N
Ns
m
Nms
Nms
Ω
H
Nm
A
1
m
m
kgm2
kgm2
kgm2
N
N
N
m
s2
Beschreibung
Position des Wagens
Winkel des Pendels
Geschwindigkeit des Wagens
Winkelgeschwindigkeit des Pendels
Ankerspannung der Gleichstrommaschine (GSM)
maximale Ankerspannung der GSM
Ankerstrom der GSM
maximaler Ankerstrom der GSM
Winkelgeschwindigkeit der Antriebsscheibe
Lastmoment am Abtrieb des Getriebes
elektrisches Moment am Abtrieb des Getriebes
Wagenmasse
reduzierte Masse
Masse des Pendels
Massenträgheitsmoment des Pendels, im Schwerpunkt
Massenträgheitsmoment des Pendels, am Stabende
Länge des Pendels
reduzierter viskoser Reibanteil
reduzierter coulomb’scher Reibanteil
rein viskose Reibung des Wagens
viskose Reibung des Pendels
viskose Reibung von Motor und Getriebe (Abtriebsseite)
Ankerwiderstand der GSM
Selbstinduktivität des Ankerkreises der GSM
Motorkonstante der GSM
Übersetzungsverhältnis des Planetengetriebes
Radius der Antriebsrolle (Lauffläche)
Radius der Seilrollen (Lauffläche)
Massenträgheitsmoment der Antriebsrolle
Massenträgheitsmoment der Seilrolle
Massenträgheitsmoment von Motor und Getriebe
reduzierte Antriebskraft
Vorgabe der reduzierten Antriebskraft
reduzierte Reibkraft auf den Wagen
Fallbeschleunigung
Tabelle 2.1: Systemparameter
1
Alle Massenträgheitsmomente und Dämpfungen des Antriebsstranges werden auf die Linearbewegung
des Wagens umgerechnet.
4
2. Modellbildung
2.1
2.1. Reduktion der Seil- und Antriebsrollen in den Wagen
5
Reduktion der Seil- und Antriebsrollen in den Wagen
Wird das Antriebsseil aus Abbildung 2.1 als nicht dehnbar modelliert, so können alle Trägheiten in die Wagenmasse reduziert werden.
Abbildung 2.1: Prinzipskizze des Seilrollenantriebs
Mit Hilfe der Umrechnung einer Drehung in eine Verschiebung
x
ϕ=
r
und des Impulssatzes
mẍ = F
(2.1)
(2.2)
welcher in den Drallsatz
J ϕ̈ = M = −F r
(2.3)
eingesetzt wird erhält man
J
+ m ẍ = 0.
r2
| {z }
(2.4)
red.M asse
Diese Gleichungen sind über das Schnittprinzip, dargestellt in Abbildung 2.2, hergeleitet.
Abbildung 2.2: Reduktion eines Massenträgheitsmomentes in eine Masse
Dämpfungen können analog umgerechnet werden. Setzt man in die Definition des Momentes
Md = Fd r
(2.5)
eine winkelgeschwindigkeitsproportionale Reibung ein
drot ϕ̇ = Fd r
(2.6)
drot
ẋ.
r2
|{z}
(2.7)
so erhält man durch Umformung
Fd =
dlin
2. Modellbildung
2.2
2.2. Wagen-Pendel Modell
6
Wagen-Pendel Modell
Abbildung 2.3: Prinzipskizze des Wagen-Pendel-Modells
In diesem Abschnitt wird die Bewegungsgleichung des Systems aus Abbildung 2.3 hergeleitet.
Es gelten die selben Voraussetzungen, wie sie für die Teilsysteme getroffen wurden. Die
Gleichung
"
#
X ∂vs T ∂ω s T ṗ + ω̃ R p − fe =0
(2.8)
L̇ + ω̃ R L − Me i
∂s
∂s
i
i
wird Projektionsgleichung [2] genannt. Die Impuls- und Drallbilanzen aller Teilkörper i werden in die freien Bewegungsrichtungen s projeziert und aufsummiert. Durch Aufstellung im
Inertialsystem, gekennzeichnet durch den linken Index I, entfällt die Relativdrehung des Referenzkoordinatensystems, ω̃R = 0. Freie Bewegungsrichtungen, auch Minimalkoordinaten
genannt, werden durch den Vektor
x
s=
(2.9)
ϕ
dargestellt. Durch Einsetzen der Ortsvektoren und Geschwindigkeiten der Schwerpunkte
x
x + 2l sin (ϕ)
; I r2 =
I r1 =
0
− 2l cos (ϕ)
(2.10)
dI rs
dI ϕs
; I ωs =
I vs =
dt
dt
sowie Impuls und Drall
p = mv ; L = Jω
(2.11)
als auch der eingeprägte Kräfte und Momente
F − Fr
fe1 =
; Me1 = 0
−m1 g
0
fe2 =
; Me2 = −d2 ω
−m2 g
(2.12)
in die Projektionsgleichung (2.8) erhält man unmittelbar die Bewegungsgleichung
l
l
Fr − F
m1 + m2
2 m2 cos (ϕ) s̈ + 0 −m2 2 sin (ϕ)ϕ̇ ṡ +
= 0.
0
d2
m2 g 2l sin (ϕ)
m2 2l cos (ϕ) m2 ( 2l )2 + J2
{z
}
|
M
(2.13)
2. Modellbildung
2.2.1. Schnittkräfte
7
Durch Invertieren der Massenmatrix M und Umschreiben auf ein System 1. Ordnung folgt
das mathematische Modell im Zustandsraum
ẋ = f(x, u)
(2.14)
y=x
mit
T
x= x v ϕ ω ,

u=F
v

 (m22 l3 +4J2 m2 l) sin (ϕ)ω2 +(2m2 l2 +8J2 )(F −Fr )+4m2 l cos (ϕ)d2 ω+2m22 l2 cos (ϕ)g sin (ϕ) 


−2(−m1 m2 l2 −4J2 (m1 +m2 )−m22 l2 sin (ϕ)2 )

f(x, u) = 


ω


2
2 2
(2.15)
m2 l cos (ϕ) sin (ϕ)ω +2m2 l cos (ϕ)(F −Fr )+(m1 +m2 )(2m2 gl sin (ϕ)+4d2 ω)
−m1 m2 l2 −4J2 (m1 +m2 )−m22 l2 sin (ϕ)2
2.2.1
Schnittkräfte
Abbildung 2.4: Schnittkräfte
Anhand von der Prinzipskizze 2.4 werden die Schnittkräfte hergeleitet, wobei der Index s die
Schwerpunktskoordinaten kennzeichnet. Zuerst wird der rechte Teil der Skizze betrachtet.
Mit Hilfe des Impulssatzes in x- und z-Richtung, sowie des Drallsatzes erhält man folgende
Gleichungen
m2 ẍs = Fx
m2 z̈s = Fz + Fgp
(2.16)
1
l
m2 l2 ϕ̈ = −Md − Fgp sin (ϕ) .
3
2
Durch Einsetzen der Schwerpunktkoordinaten und deren totalen zeitlichen Ableitungen
l
xs = x + sin (ϕ)
2
l
zs = 0 + cos (ϕ)
2
(2.17)
l
2
ẍs = ẍ +
cos (ϕ)ϕ̈ − sin (ϕ)ϕ̇
2
l
z̈s = ẍ +
sin (ϕ)ϕ̈ − cos (ϕ)ϕ̇2
2
2. Modellbildung
2.3. Motormodell
in (2.16) erhält man die Schnittkräfte Fx , Fz und das Dämpfungsmoment Md
l
2
Fx = m2 ẍ +
cos (ϕ)ϕ̈ − sin (ϕ)ϕ̇
2
l
2
sin (ϕ)ϕ̈ − cos (ϕ)ϕ̇
Fz = m2 ẍ +
− m2 g
2
1
l
Md = −m2 g sin (ϕ) − m2 l2 ϕ̈
2 3
8
(2.18)
in Abhängigkeit der Minimalkoordinaten, beziehungsweise deren zeitlichen Ableitungen, die
während der Simulation bekannt sind.
Nun wird der linke Teil der Skizze betrachtet. Durch Einsetzen der vorhin berechneten Größen (2.18) in Impuls und Drallsatz
Frw = dw ẋ
mw ẍ = −Fx + Fs − Frw
0 = −Fz + Fgw + Fl
0 = Mly + Fx s2 − Fs (s2 − s1 ) + Md
0 = Mlx − Fz s3
0 = Mlz + Fx s3
(2.19)
erhält man das Moment Ml und die Kraft Fl auf die Linearführung sowie die Seilkraft Fs
Fs
Fl
Mly
Mlx
Mlz
= mw ẍ − Fx + dw ẋ
= −mw g + Fz
= −Fx s2 + Fs (s2 − s1 ) − Md
= Fz s3
= −Fx s3
(2.20)
wieder in Abhängigkeit der Minimalkoordinaten.
2.3
Motormodell
Bei dem Motor handelt es sich um eine permanentmagneterregte Gleichstrommaschine. Die
Maschengleichung des Ankerkreises und der Drallsatz, angesetzt auf der Abtriebsseite des
Getriebes, liefern folgende Systemgleichungen


i̇A =
1 

uA − RA iA − km ig ωA 
| {z }
LA
induz.Spg.


ω̇A =
1 
km iA ig −ML  .
Θm | {z }
MA
(2.21)
2. Modellbildung
2.4
2.4. Gesamtes Modell
9
Gesamtes Modell
Die Dynamik des gesamten Modells lässt sich aufgrund einer hardwarebasierten Stromregelung, was einer direkten Kraftvorgabe entspricht, sowie der Reduktion aller Trägheiten
des Antriebsstranges in die Wagenmasse durch das Wagen-Pendel-Modell aus Abschnitt 2.2
beschreiben. Die äquivalente Antriebskraft kann über die Gleichung
F =
MA
ra
(2.22)
angegeben werden. Für die Reibkraft Fr wird ein statisches Reibgesetz, bestehend aus
viskoser- und Coulomb’scher-Reibung angesetzt
Fr (v) = dd sgn(v) + d1 v.
(2.23)
Somit ist die Reduktion auf ein rein mechanisches Modell abgeschlossen und das mathematische Modell im Zustandsraum ist durch
ẋ = f(x, u)
y=x
(2.24)
mit
T
x= x v ϕ ω ,

u=F

v
 (m22 l3 +4J2 m2 l) sin (ϕ)ω2 +(2m2 l2 +8J2 )(F −Fr )+4m2 l cos (ϕ)d2 ω+2m22 l2 cos (ϕ)g sin (ϕ) 


−2(−m1 m2 l2 −4J2 (m1 +m2 )−m22 l2 sin (ϕ)2 )

f(x, u) = 


ω


2 2
2
(2.25)
m2 l cos (ϕ) sin (ϕ)ω +2m2 l cos (ϕ)(F −Fr )+(m1 +m2 )(2m2 gl sin (ϕ)+4d2 ω)
−m1 m2 l2 −4J2 (m1 +m2 )−m22 l2 sin (ϕ)2
gegeben.
2.5
Antialiasing-Filter
Die verwendete Leistungselektronik stellt analoge Sensorsignale zur Spannung- und Strommessung bereit. Diese werden zuvor durch ein analoges Antialiasing-Filter aufbereitet. Das
Filter ist als Tiefpass 1. Ordnung, wie in Abbildung 2.5 dargestellt, realisiert. Sowohl die Eingangsspannung UE , als auch die Ausgangspannung UA werden durch einen Impedanzwandler
getrieben. Dadurch kann die Schaltung als unbelastet berechnet werden.
Je eine Maschengleichung auf Ein- und Ausgangsseite in komplexer Wechselstromschreibeweise
UE = IR + I
UA = I
1
jωC
1
jωC
(2.26)
2. Modellbildung
2.6. Einzelbetrachtung von Wagen und Pendel
10
Abbildung 2.5: Tiefpass 1.Ordnung
liefern die Übertragungsfunktion
1
I jωC
UA
1
=
.
G (jω) =
1 =
UE
jωRC + 1
IR + I jωC
Die Grenzfrequenz fg =
ωg
2π
ist nun diejenige, bei der für die Verstärkung V gilt:
1
1
V (fg ) = √ = jωg RC + 1 2
q
√
2 = (ωg RC)2 + 1
ωg =
2.6
1
RC
;
fg =
(2.27)
(2.28)
1
2πRC
Einzelbetrachtung von Wagen und Pendel
An dieser Stelle werden die Bewegungsgleichungen der Einzelkörper aus Abbildung 2.3 aufgestellt. Diese dienen als Grundlage für die Identifikation.
Für den Wagen ohne Pendel wird über den Impulssatz die Bewegungsgleichung aufgestellt.
Dabei wird für die Reibkraft ein statisches Modell angesetzt.
ẋ = v
m1 ẍ = F − Fr (v)
(2.29)
Die Bewegungsgleichung eines Pendels wird über den Drallsatz
ϕ̇ = ω
(2.30)
l
Jg ϕ̈ = − m2 g sin (ϕ) − d2 ω
2
mit dem Trägheitsmoment Jg am Stabende, hergeleitet mit Hilfe des Satzes von Steiner,
2
l
Jg = J2 + m 2
(2.31)
2
mit dem Trägheitsmoment J2 um den Schwerpunkt des Stabes
J2 =
bestimmt.
m2 l 2
12
(2.32)
3 Simulation
In diesem Kapitel wird das Gesamtmodell, aus Abschnitt 2.4, in MATLAB/Simulink implementiert. Es dient als Grundlage zur Abschätzung der mechanischen Belastungen sowie als
Ausgangspunkt für den Reglerentwurf. Das Simulationsmodell, wie in Abbildung 3.1 dargestellt, enthält eine Stellgrößenbegrenzung, mit der die entsprechende Leistungselektronik simuliert wird, das Wagen und Pendel Modell nach (2.25) sowie ein Subsystem zur Berechnung
der Schnittkräfte nach (2.18) und (2.20). Auf das Subsystem für die Stellgrößenbegrenzung
sowie weitere wichtige Aspekte wird nun näher eingegangen.
Fout
To Workspace1
Scope
F_soll
F_ist
wp
y_k (c mex)
v
v
Step
StellgrBegr: LE+MOT
S-Function
Step2
Analyze
Step1
tout
Clock
To Workspace2
Abbildung 3.1: Simulationsmodell
3.1
Stellgrößenbegrenzung
Das Simulationsmodell für die Stellgrößenbegrenzung hat als Eingang die Vorgabekraft Fsoll
und die Geschwindigkeit v des Wagens. Die Vorgabekraft wird auf einen Sollstrom über
ra
isoll =
Fsoll
(3.1)
k m ig
aus (2.21) umgerechnet. Dieser Strom wird noch durch Imax , sowie der Anstiegszeit 501 Aµs 1
der Leistungselektronik begrenzt. Die für diesen Betriebspunkt notwendige Ankerspannung
uA erhält man aus dem Motormodell (2.21) über
uA = LA i̇soll + RA isoll + km ig ωA
(3.2)
mit der Umrechnung der Geschwindigkeit v des Wagens auf die Winkelgeschwindigkeit ωA
der Antriebsrolle
v
(3.3)
ωA = ,
ra
sowie der Berechnung von i̇soll mittels des Rückwärtsdifferenzenquotienten. Die Ankerspannung wird von der Versorgungsspannung Umax betraglich begrenzt. Somit legt die Integralgleichung
uA,ist = LA i̇ist + RA iist + km ig ωA
Z t
1
iist =
(uA,ist − RA iist − km ig ωA ) dτ
LA t0
1
Dies ist die Anstiegszeit den die verwendete Leistungselektronik erreicht.
11
(3.4)
3. Simulation
3.2. Abschätzung
12
den tatsächlichen Strom fest. Aus dem Ist-Strom, der nun allen Beschränkungen der Leistungselektronik genügt, kann die Ist-Kraft
Fist =
k m ig
iist
ra
(3.5)
berechnet werden.
3.2
Abschätzung
Um nun abzuschätzen, wie die Mechanik ausgelegt sein muss, wird folgender Versuch unternommen: Es wird eine Fahrt mit voller Kraft Fsoll = Fmax über die ganze Länge der
Linearführung durchgeführt. Am Ende der Linearführung bremst eine Kraft, die einem Stoßdämpfer darstellt, den Wagen ab. Da dies den schlechtesten Fall für das Modell darstellt,
erhält man durch Simulation folgende betragliche Maximalwerte der Kräfte und Momente,
ersichtlich in Tabelle 3.2:
Bezeichnung
Wert Einheit
ra
0.0302 m
ig
3.71 1
LA
130e-6 H
RA
0.8659 Ω
km
0.0329 Nm
A
m1
0.773 kg
m2
152 g
Θa + Θm
307.7 µkgm2
Θa +Θm
mw
m1 − r2 = 0.452 kg
a
l
0.2966 m
dd
0 Ns
m
d1
≈4.05 Ns
m
d2
6.18810−5 Nms
dg
363.7 µNms
rad
dg
dw
d1 − r2 = 3.65 Ns
m
a
Umax
22.5 V
Imax
4.477 A
Fmax
18.1 N
s1
0.005 m
s2
0.01 m
s3
0.1 m
Tabelle 3.1: Zur Simulation verwendete Parameterwerte
In Abbildung 3.2 erkennt man, dass die Spannungsbegrenzung nur in einem kurzen Intervall Wirkung (Fsoll 6= Fist ) zeigt. Der Grund ist, dass bei hohen Wagengeschwindigkeiten v
die Versorgungsspannung Umax für den geforderten Strom Imax nicht mehr ausreichend ist.
Da bei normalen Manövern dieser Zustand nicht erreicht wird, (Fsoll = Fist ), wird für alle
weiteren Betrachtungen auf Stellgrößenbegrenzung der Leistungselektronik aus Simulationszeitgründen verzichtet.
3. Simulation
3.3. Ermittelung der Geschwindigkeiten
13
Bezeichnung Wert Einheit
Fx
12.6 N
Fz
13.4 N
Fl
17.8 N
Mlx
1.34 Nm
Mly
0.24 Nm
Mlz
1.26 Nm
Tabelle 3.2: betragliche Maximalwerte der Schnittkräfte
Abbildung 3.2: Kraftbegrenzung
3.3
Ermittelung der Geschwindigkeiten
Am realen Modell stehen nur die Winkelencodersignale für Wagenposition und Pendelwinkel
zur Verfügung. Diese digitalen Encoder liefern ein quantisiertes Signal. Wird dieses Verhalten
nicht beachtet, so liefert die Simulation von der Realität abweichende Ergebnisse. Die Winkelsignale werden aus diesem Grund auch in der Simulation der Quantisierung unterzogen.
Nun müssen noch die Geschwindigkeiten aus den Messgrößen gewonnen werden.
Dies wird durch eine näherungsweise Differentiation der Positionssignale durch die zÜbertragungsfunktion
s
GDif f (s) =
1 + ωsc
(3.6)
z−1
GDif f (z) = ωc
z − e−ωc T
realisiert. Eine Bestimmung der Geschwindigkeiten durch Torzeitmessung wäre der näherungsweisen Differentiation vorzuziehen, ist jedoch aufgrund von Hardwareeinschränkungen
nicht erfolgt.
4 Aufbau
Die Beschreibung des Aufbaus ist in die Unterkapitel Mechanik und Elektronik unterteilt.
Am Ende dieses Kapitels wird noch auf die Nichtidealitäten des Labormodells eingegangen.
4.1
Mechanik
Eine Nebenanforderung ist, dass die Wagenmasse so klein wie möglich gestaltet werden soll,
damit möglichst wenig Antriebsleistung notwendig ist. Deswegen entfallen alle Antriebskonzepte, bei denen der Antrieb auf dem Wagen sitzt. Es wird auf einen Stahlseilantrieb
gesetzt, da dieser Vorteile wie Flexiblität im Aufbau (nachträgliche Änderungen sind leicht
möglich), gleichmäßige Kraftübertragung, geringe Seildehnung und einen günstigeren Preis
im Gegensatz zu anderen Kraftübertragungssystemen bietet. Bei dieser Konfiguration wird
das Seil mehrmals um die Antriebsrolle geführt und verbindet diese mit dem Wagen über
zwei Seilrollen. Dies ist in Abbildung 4.1 veranschaulicht.
Abbildung 4.1: Seilantrieb
Um die vorhin angesprochene Flexibilität zu gewährleisten, wird die ganze Konstruktion
auf Profilplatten aufgebaut. Die kugelgelagerten Seilrollen sind mit Hilfe von zwei Stücken
einer Profilstange, wie in Abbildung 4.2, auf der Profilplatte befestigt. Somit kann man die
Seilrolle in alle vier Richtungen verschieben und das Seil vorspannen.
Abbildung 4.2: Befestigung der Seilrolle
14
4. Aufbau
4.1. Mechanik
15
Die Befestigung der Antriebseinheit ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Auch sie lässt sich
in alle Richtungen bewegen. Dies hilft vor allem dann, wenn das Seil nicht richtig auf der
Antriebsrolle aufläuft. Die Antriebseinheit besteht aus einem Motor, einem Planetengetriebe,
einem Winkelencoder zur Messung der Wagenposition und der Antriebsrolle.
Der Wagen ist Teil einer Linearführung. Der Wagenaufbau besteht aus einer Grundplatte auf
der folgende Teile angebracht sind: eine Adapterplatine zum Ändern der Stecker des Kabels
und einem Doppellagerflansch, in welchem die Lager mit der Pendelwelle befestigt sind. Am
einen Ende der Welle ist der Winkelencoder zur Messung des Pendelwinkels befestigt und
am anderen Ende das Pendel selbst. Die Unterseite des Doppellagerflansches ist über zwei
Schrauben mit der Grundplatte verbunden. Diese selbst ist mit Hilfe von vier Schrauben
am Wagen befestigt, wobei das Antriebsseil zwischen Wagen und Platte geklemmt wird.
Mit Hilfe von Abbildung 4.3 wird der Sachverhalt deutlicher. Das Kabel zum Messen des
Pendelwinkels läuft vom Wagen zur vorderen Unterkante der Profilplatte. Um eine korrekte
Kabelführung zu garantieren ist eine Profilstange mit einer Platte angebracht.
(a) Ansicht von oben
(b) Ansicht von rechts
Abbildung 4.3: Wagen mit Aufbau
In Tabelle 4.1 sind die Daten zu den im Text genannten Bauteilen angeführt.
4. Aufbau
Name
Profilplatte
Profilstange
Seilrollen
Stahlseil
Linearführung
Winkelencoder
Planetengetriebe
Motor
Antriebsrolle
Kugellager
Doppellagerflansch
Stellring
Welle
Flansch
Messingprofil
Stoßdämpfer
Endschalter
Leisuntgselektronik
Steckeradapterplatine
4.1. Mechanik
Type
–
–
120P/050
ACC/1917/000
FDA Serie
HEDM 5500J
Serie 38/1, 38/2
Serie 3863 024C
–
214485-62
216437-62
225436-62
237086-62
216640-62
222299-62
SC190M-0
–
–
–
16
Hersteller
Abmessung Menge
–
Länge 2 m
2 Stk
–
2 Reihen, Länge 2 m
2 Stk
Burkhardt
–
2 Stk
EUROKIT 1 mm nylonummantelt
10 m
Franke
Gr. 15, Länge 1500 mm
1 Stk
Faulhaber
–
2 Stk
Faulhaber
Übersetzung 3.71/1
1 Stk
Faulhaber
–
1 Stk
Eigenbau
60 mm
1 Stk
Conrad
6 mm/13 mm
2 Stk
Conrad
13 mm
1 Stk
Conrad
6 mm
2 Stk
Conrad
6 mm
1 Stk
Conrad
6 mm
1 Stk
Conrad
15x4 mm
1 Stk
ACE
–
2 Stk
–
–
3 Stk
Eigenbau
–
1 Stk
Eigenbau
–
2 Stk
Tabelle 4.1: Daten zu Bauteilen
4. Aufbau
4.2
4.2. Elektronik
17
Elektronik
In diesem Kapitel soll ein Überblick über die eingesetzte Elektronik geschaffen werden. Dazu
wird zunächst auf die Adapterplatine eingegangen, welche ein Verbinden sämtlicher Komponenten erlaubt. Anschließend erfolgt eine Kurzbeschreibung der Leistungselektronik und der
entsprechenden Sensorik anhand einer vereinfachten Schaltung.
4.2.1
Adapterplatine
Die dSpace-Breakoutbox hat BNC- und D-SUB-Steckverbinder. Deswegen wird eine Adapterkarte gefertigt, um das dSpace-System, Leistungselektronik und die Winkelencoder miteinander zu verbinden. Die entsprechende Platine ist in Abbildung 4.4 zu sehen.
Abbildung 4.4: Adapterplatine
Die Verbindung der Winkelencodersteckplätze von der dSpace-Breakoutbox zur Adapterplatine ist über ein Flachbandkabel realisiert, das auf der einen Seite mit einem D-SUBSteckverbinder und auf der anderen Seite mit einem Pfostenstecker ausgeführt ist. Die Pinbelegung auf der Adapterplatine, von der Unterseite aus gesehen, ist in Abbildung 4.5 dargestellt.
Der Nullpositionsschalter, zum Festlegen der Absolutposition, ist direkt über einen Schutzwiderstand mit dem digitalen I/O-Port 1 verbunden.
4.2.2
Leistungselektronik
Da eine bereits vorhandene Leistungselektronik [4] nicht für die elektrischen Leistungsanforderungen ausreichend war, musste eine Neue entworfen werden.
Die Anforderungen an die neue Leistungselektronik sind:
4. Aufbau
4.2.2. Leistungselektronik
18
Abbildung 4.5: Pinbelegung
• Stromregelung in Hardware zur Vorgabe des Motormomentes
• Strom > 4 A unter Dauerlast
• Spannungs und Strommessung
Leistungsteil
Für den Leistungsteil wird eine Schaltung mit Operationsverstärker gemäß Abbildung 4.6
verwendet. Die beiden Dioden D1 und D2 dienen als Schutzschaltung vor motorseitiger Überspannung. Bei einer idealisierten Betrachtung des Operationsverstärkers, also unendlich ho-
Abbildung 4.6: Leistungsteil der Elektronik
her Differenzverstärkung und keinen Biasströmen, entspricht der Spannungsabfall an R2
jenem am Shuntwiderstand Rs
R2
ue
= Rs īA
(4.1)
R1 + R2
durch Umformung erhält man den Ausgangsstrom
īA (ue ) = ue
R2
R (R1 + R2 )
}
| s {z
Viu
(4.2)
4. Aufbau
4.2.2. Leistungselektronik
19
als Funktion der Eingangsspannung ue , mit dem Verstärkungsfaktor Viu . Als Leistungs-OPV
wird ein Audioverstärker des Typs LM3886 verwendet, welcher mit ±Vcc = ±24 V versorgt
wird. Die Spannung ue wird über dSpace vorgegeben und ist somit auf ±10 V beschränkt.
Mit dem Jumper Jin kann der Widerstand R1 verändert werden. Die Widerstandswerte von
R2 = 1 kΩ und Rs = 0.22 Ω liegen fest und man erhält folgende Einstellmöglichkeiten, wie
im Platinenlayout in Abbildung 4.7 angegeben:
• 9.1 kΩ gejumpert: 4.5 A bei einer Eingangsspannung von 10 V
• 6.8 kΩ gejumpert: 5.82 A bei einer Eingangsspannung von 10 V
• beide Widerstände gejumpert: 9.29 A bei einer Eingangsspannung von 10 V
Es empfiehlt sich aber nur die erste Einstellung, da diese garantiert, dass der OPV, der
Shuntwiderstand und die Leiterplatine im zulässigen Bereich auf Dauer betrieben werden
können.
Abbildung 4.7: Layout - Strich bei den Dioden ist auf der verkehrten Seite!
Für die hardwarebasierte Notabschaltung des Antriebes wird eine Möglichkeit benötigt, nicht
nur das Antriebsmoment und somit den Motorstrom iA zu Null zu regeln, sondern auch
elektrisch zu bremsen. Dies wird mittels der Mute“-Funktion des LM3886 realisiert. Wird
”
ein Strom kleiner 5 mA aus dem Mute-Pin gezogen, so wird die Motorklemmenspannung uA
auf 0 V abgesenkt. Erreicht wird dies durch eine Serienschaltung des Widerstandes Rm =
39 kΩ mit den Notausschaltern1 , welche den Mute-Pin mit der negativen Versorgung −Vcc
verbindet.
1
Es handelt sich hierbei um eine Serienschaltung von zwei Öffnern.
4. Aufbau
4.2.2. Leistungselektronik
20
Sensorik
Aufgabe der Sensorelektronik ist es, die Ankerspannung uA und den Ankerstrom iA , zu
messen und für die Abtastung durch das dSpace-System vorzubereiten. Die Schaltung wird
anhand der Abbildung 4.8 erklärt.
Abbildung 4.8: Sensorelektronik
Bei der Messung der Spannung uA ist zu bedenken, dass keine der Motorklemmen auf einem festen Potential liegt. Deshalb wird ein Instrumentierungsverstärker des Typs AD620
(Verstärkung 1) eingesetzt um uA auf Masse beziehen zu können. Um, mit dem Spannungspegel von ±10 V des dSpace-Systems, Spannungen von ±30 V messen zu können, werden
die Klemmenpotentiale über zwei hochohmige Spannungsteiler zuvor auf ein Drittel skaliert.
Anschließend erfolgt die Antialiasingfilterung durch einen Tiefpass erster Ordnung, wie in
Abschnitt 2.5 angegeben. Ein nachgeschalteter Impedanzwandler stellt dann die Spannung
uu bereit.
Die Strommessung erfolgt mittels einer LEM-Sonde des Typs HYP-5, diese bietet den Vorteil, dass höhere Spannungspegel als über den Shuntwiderstand Rs zur Verfügung stehen.
Der Messfehler wird mit kleiner einem Prozent, bei einem Nennstrom von 5 A angegeben
(maximal 15 A). Der Verstärkungsfaktor von Eingangsstrom zur Ausgangsspannung beträgt
VLEM = 0.8 VA , damit hat keine weitere Skalierung der Messspannung zu erfolgen. Die LEMSonde benötigt eine wohldefinierte Last am Ausgang, dazu dient der Widerstand RL = 10 kΩ.
Die Ausgangsspannung des LEM wird über einen Impedanzwandler abgegriffen, der Antialiasingfilterung unterzogen und anschließend von einem weiteren Impedanzwandler als ui
bereitgestellt.
Mit den Jumpern JT a kann man die Grenzfrequnz der Antialiasingfilter auf 103 bzw. 104 Hz
einstellen. Die Operationsverstärker der Sensorelektronik, die LEM-Sonde sowie der AD620
werden mit ±15 V versorgt. Wird der Sensorteil nicht benötigt, kann auf seine Spannungsversorgung verzichtet werden. Dann müssen allerdings die Jumper Jsens entfernt werden.
Die gemessenen Kalibrierungsfaktoren (y = kIndex x + dIndex , k enstpricht der Steigung und
d dem Offset) sind in Tabelle 4.2 zu sehen.
4. Aufbau
4.2.2. Leistungselektronik
21
Parameter
Wert Einheit
kM I
0.779 V/A
y . . . Ausgangsspannung der Sensorelektronik
dM I
17.251 mV
x . . . realer Motorstrom
kM U
0.335 V/V
y . . . Ausgangsspannung der Sensorelektronik
dM U
−13.520 mV
x . . . reale Motorspannung
kE
0.448 A/V
y . . . Vorgabe Motorstrom
dE
1.890 mA
x . . . Eingangsspannung der Leistungselektronik
Tabelle 4.2: Gemessene Kalibrierungsfaktoren
Umsetzung der realen Schaltung
Bei der tatsächlichen Schaltung hat noch eine Stabilisierung der Versorgungsspannungen zu
erfolgen. Dazu werden die ±24 V sowie die ±15 V Versorgung durch je zwei Elektrolytkondensatoren gestützt. Die Versorgungsspannungen sämtlicher ICs werden noch in unmittelbarer
Nähe durch 100 nF Keramikkondensatoren stabilisiert.
Um bei der Notausschaltung über die Mute-Funktionalität des LM3886 zu hohe Motorströme
zu vermeiden wird noch ein Kondensator Cm zwischen Mute-Pin und Masse geschalten, dieser
garantiert ein weicheres“ Absenken der Spannung uA .
”
Dem Widerstand R2 des Eingangsspannungsteilers des Leistungs-OPVs wird eine Kapazität
C2 = 3.3 nF parallel geschalten. Dies bewirkt eine Filterung sehr hochfrequenter eingangsseitiger Störungen. Die Grenzfrequenz des dadurch entstehenden Tiefpasses liegt bei 53.5 kHz
und damit gut eine Dekade überhalb jener, der mit einer Abtastzeit von 0.1 ms maximal
darstellbaren, Frequenz.
Das resultierende Schema des Leistungselektronikentwurfs ist im Anhang zu finden, das
Platinenlayout in 4.7 dargestellt.
Abbildung 4.9: Sprungantwort des Motorstroms: 1 V ≡ 1 A
Der Motor wird über den Jumper Um mit der Leistungselektronik verbunden. Um zu sehen,
ob das Motormodell für die spätere Regelung vernachlässigbar ist, wurde mit Hilfe eines 1 Ω-
4. Aufbau
4.2.3. Gesamtsystem
22
Shunts gemessen, wie schnell die Schaltung den Strom durch den Motor einstellen kann. Wie
man in Abbildung 4.9 sieht, ist der Strom in etwa 50 µs eingeregelt, und die Vernachlässigung
ist gerechtfertigt.
4.2.3
Gesamtsystem
Abbildung 4.10: Verschaltung der einzelnen Komponenten
Die Verschaltung der einzelnen Komponenten zum Gesamtsystem ist in Abbildung 4.10
dargestellt. Als Schutz für die dSpace-Karte ist eine galvanische Trenner- und Spannungsbegrenzerbox zwischen Adapterkarte und dSpace-Breakoutbox zu schalten.
4. Aufbau
4.3
4.3. Verifikation der Positionsmessung
23
Verifikation der Positionsmessung
Die Positionsmessung des Wagens mittels Winkelencoder an der Motorwelle wurde mit Hilfe
eines zusätzlichen Lasersensor verifiziert. Das Ergebnis, welches in Abbildung 4.11 zu sehen
ist, zeigt die Übereinstimmung der Position von Winkelencoder und Lasersensor selbst bei
kleinen Bewegungen.
0.07
x ... Laser
x ... Winkelencoder
0.065
0.06
x/m
0.055
0.05
0.045
0.04
0.035
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
t/s
Abbildung 4.11: Verifikation der Winkelmessung
4.4
Pendelrückwirkung
In Abbildung 4.12 ist die Rückwirkung des Pendels auf die Wagenposition dargestellt, wenn
es in der oberen Ruhellage sich selbst überlassen wird. Man sieht eine messbare Rückwirkung
von ungefähr 3.5 cm auf den Winkelencoder.
0.52
9
phi ... Messung
phi ... Simulation
0.51
8
0.5
7
phi / rad
x/m
x ... Messung
x ... Simulation
0.49
6
0.48
5
0.47
4
0.46
0
5
10
t/s
15
20
3
0
5
10
t/s
15
Abbildung 4.12: Rückwirkung des Pendels auf den Wagen
20
4. Aufbau
4.5
4.5. Nichtidealitäten
24
Nichtidealitäten
Allerdings erkennt man in der Abbildung 4.12 eine Diskrepanz zwischen Simulation und
Wirklichkeit. Es gibt die Vermutung, dass die Reibung oder die Antriebskraft in den verschiedenen Fahrtrichtungen unterschiedlich sind. Aus diesem Grund wird das Simulationsmodell, zur Verifikation, um eine unterschiedliche Reibung, je nach Fahrtrichtung, angepasst.
In Abbildung 4.13 ist der vorige Versuch noch einmal dargestellt. Man erkennt also, dass das
Simulationsmodell nun ein ähnliches Verhalten wie das Labormodell zeigt.
0.51
9
x ... Messung
x ... Simulation
phi ... Messung
phi ... Simulation
8
0.5
7
x/m
phi / rad
0.49
0.48
6
5
0.47
0.46
4
0
1
2
3
t/s
4
5
6
3
0
1
2
3
t/s
4
5
6
Abbildung 4.13: Rückwirkung des Pendels auf den Wagen - mit erweitertem Simulationsmodell
Um die vorangegangene Aussage noch zu untermauern, wird zusätzlich der Kraftverlauf
in beide Fahrtrichtungen aufgenommen. Dabei wird der Wagen ohne Pendel mit konstant
eingestellter Kraft einmal von links nach rechts und einmal umgekehrt bewegt. Durch die
Beziehung
F = m1 ẍ + Fr (v)
(4.3)
erhält man die Antriebskraft F auf das reduzierte Modell. Die Beschleunigung ẍ erhält man
durch zweimalige Bildung des Vorwärzdifferenzenqotienten der Wagenposition, die Reibkraft
Fr (v) entspricht der Gleichung (2.23). Die Antriebskraft ist in Abbildung 4.14 dargestellt.
Man erkennt Kraftschwankungen, die in beide Fahrtrichtungen genau gegengleich, mit einer
Periode, die einer Umdrehung der Antriebscheibe entspricht, auftreten. Dieser Effekt2 ist
auf das unrunde Laufverhalten der Antriebsrolle zurückzuführen. Für das Simulationsmodell
gibt es einen Simulinkblock, der dieses Verhalten nachbildet, da ansonsten beim Aufschwingvorgang Simulation und Messung zu stark abweichen. Außerdem sind die generellen Kraftniveaus zwischen Rechts- und Linkslauf leicht unterschiedlich. Dies ist auf unterschiedliche
Reibungen, je nach Fahrtrichtung zurückzuführen.
2
Es handelt sich hier um eine gegengleiche Radiusänderung beim Seilauf- und Abwickelpunkt.
4. Aufbau
4.5. Nichtidealitäten
3
Fan rechtslauf
Fan linkslauf
2
Fan / N
1
0
−1
−2
−3
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
x/m
0.8
1
1.2
Abbildung 4.14: schwankende Antriebskraft
1.4
25
5 Parameterbestimmung
In diesem Kapitel werden die in der Modellbildung verwendeten Parameter bestimmt. Zur
Identifikation der Motorparameter dient ein eigener Versuchsaufbau. Mit der daraus gefundenen Motorkonstanten kann in der Folge auf eine, dem Motorstrom äquivalente, Eingangskraft übergegangen werden. Das System Wagen-Pendel wird in zwei Schritten identifiziert,
da ansonsten durch die verhältnismäßig geringe Rückwirkung des Pendels auf den Wagen
ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem entsteht.
5.1
Identifikationsverfahren
Da wir uns grundsätzlich für die Parameter interessieren, wird hier auf eine Methode, welche
in Robotik II [3] gelehrt wird, zurückgegriffen. Dabei wird eine Least-Squares-Schätzung von,
in den Zustandsgleichungen linear vorkommenden Parameterkombination, durchgeführt.
Dabei tritt das prinzipielle Problem auf, dass höhere Ableitungen der Messgrößen benötigt
werden, welche nicht als Messung vorliegen. Deshalb werden in der Folge die der Identifkation
zugrunde liegenden Zustandsgleichungen entsprechend umgeformt bis keine Ableitungen der
vorhandenen Messgrößen mehr auftreten.
5.2
Identifikation der Motorparameter
Zunächst müssen die Parameter der eingesetzen Gleichstrommaschine bestimmt bzw. verifiziert werden. Diese Aufgabe erfolgte noch mit jener Leistungselektronik, welche für das
Projektseminar Torsionsschwinger [4]. entwickelt wurde.
Die Anti-Aliasing-Filterung erfolgt wie im Abschnitt 2.5 behandelt. Bei der Spannungsmessung beträgt die Grenzfrequenz 50 Hz, bei der Strommessung 500 Hz.
Für den Strom stellt der Ankerkreis (Widerstands sowie Induktivität in Serie) ebenfalls einen
RA
Tiefpass dar. Mit den Herstellerdaten ergibt sich dessen Grenzfrequenz zu fg = 2πL
≈
A
760 Hz und liegt somit überhalb jener der Filterung. Dementsprechend kann die Motorinduktivität nicht korrekt identifiziert werden. Allerdings spielt dies praktisch keine Rolle, weil
die Dynamik des elektrischen Teilsystems keinen messbaren Einfluss auf das mechanische
hat. Für die weitere Betrachtung ist nur die Motorkonstante km von Interesse.
Als Versuchsaufbau dient der Motor mit Planetengetriebe und einer Schwungmasse (Antriebsrolle). Das Zustandsmodell
   1

(uA − RA iA − km ωig )
i˙a
LA
 ϕ̇  = 

ω
1
(km iA ig − dg ω)
ω̇
(Θa +Θm )
folgt mit ϕ̇ = ω aus dem Gleichungssatz (2.21).
26
(5.1)
5. Parameterbestimmung
5.2. Identifikation der Motorparameter
27
Nach zweifachem Integrieren und geeigneter Umformung auf die Datenmatrix H und den
Parametervektor p erhält man das lineare Gleichungssystem


1/LA
"R t
#
Rt
 RA /LA


u
dτ
−
i
dτ
−ϕ
0
0
A
A
t0
t0

 = iA
Rt Rτ
Rt
k
i
/L
(5.2)
m
g
A

ϕ
0
0
0
i dτ dτ − t0 ϕdτ k i /(Θ + Θ )

t0 t0 A 1
a
m
|
{z
} mg
dg /(Θa + Θm )
H
|
{z
}
p
wobei für die Startwerte
uA (t0 ) = 0, iA (t0 ) = 0, ϕ(t0 ) = 0
(5.3)
angenommen wird.
Als Anregung dient ein Sprung der Ankerspannung uA von 0 V auf 18 V. Zur Verifikation
wird zusätzlich ein 321-Sprung1 , mit k = 6V durchgeführt, welcher anschließend mit der
Simulation verglichen wird, siehe Abbildung (5.1).
Paramter
Identifikation
La
Ra
866 mΩ
km
32.9 mNm/A
(Θa + Θm ) 307.7 µkgm2
363.7 µNms/rad
dg
Datenblatt
130 µH
620 mΩ
33.3 mNm/A
-
80
6
70
4
60
2
50
0
Ia / A
phi / rad
Tabelle 5.1: Identifizierte Motorparameter und Trägheiten
40
−2
30
−4
20
−6
phi ... Messung
phi ... Simulation
10
0
0
0.5
1
t/s
1.5
Ia ... Messung
I ... Simulation
−8
a
2
−10
0
0.5
1
t/s
Abbildung 5.1: Motor mit Schwungmasse, Vergleich
1
Sprungfolge, mit dem Faktor k: (0k) → (3k) → (−2k) → (1k)
1.5
2
5. Parameterbestimmung
5.3
5.3. Identifikation des Pendels
28
Identifikation des Pendels
Hier wird lediglich das Teilsystem Pendel identifiziert. Dazu wird der Wagen fixiert und das
Pendel von der oberen Ruhelage heraus fallen gelassen. Es liegt das mathematische Modell
nach Gleichung (2.30) zu Grunde. Um die Anfangsbedingungen zu vereinfachen wird eine
Nullpunktverschiebung des Pendelwinkels durchgeführt
ϕ = ϕ − π.
(5.4)
3g
3d2
ω+
sin(ϕ)
2
m2 l
2l
(5.5)
Damit lässt sich die Gleichung
ϕ̈ = −
mit der neuen Zustandsgröße ϕ anschreiben. Durch zweifaches Integrieren erhält man
Z t
Z Z
3d2
3g t τ
sin(ϕ)dτ1 dτ
ϕ=−
ϕdτ +
(5.6)
m2 l2 t0
2l t0 t0
wobei durch Umformung auf die Darstellung mit Datenmatrix und Parametervektor das
Gleichungssystem für die Parameterkombinationen
hR R
i 3g/(2l) Rt
t
τ
ϕ = t0 t0 sin(ϕ)dτ1 dτ t0 ϕdτ
(5.7)
−3d2 /(m2 l2 )
mit der Anfangsbedingung
ϕ(t0 ) = 0
(5.8)
folgt.
Aus den Elementen des Parametervektors sind nicht alle physikalischen Parameter berechenbar. Die Masse des Pendels muss auf anderem Weg bestimmt werden um die Dämpfung berechnen zu können. Da die Geometrie des Pendels, (300x15x4) mm, und die Dichte,
8.45 g/cm2 , der Messinglegierung als sehr gut bekannt angenommen werden, lässt sich die
Pendelmasse berechnen. Die identifizierten Werte können der Tabelle 5.2 entnommen werden,
ein grafischer Vergleich ist in Abbildung 5.2 einzusehen.
Paramter Wert Einheit
d2
62 µNms/rad
l
0.297 m
m2
152.1 g
Tabelle 5.2: Identifizierte und berechnete Werte des Pendels
5. Parameterbestimmung
5.3.1. Identifikation des Wagens
29
4
phi ... Simulation
phi ... Messung
3
2
phi / rad
1
0
−1
−2
−3
0
1
2
3
4
5
t/s
6
7
8
9
10
Abbildung 5.2: Identifikation des Pendels, Vergleich zwischen Simulation und Messung
5.3.1
Identifikation des Wagens
Als Grundlage für die Identifikation dient das Modell nach Abschnitt 2.4. Das Reibgesetz
nach Gleichung (2.23) wird in die Bewegungsgleichung (2.13) eingesetzt und man erhält das
Differentialgleichungssystem
(m1 + m2 )ẍ + 21 m2 l cos(ϕ)ϕ̈ − 21 m2 l sin(ϕ)ϕ̇2 + d1 ẋ + dd sgn(ẋ) − F
= 0.
(5.9)
1
m l cos(ϕ)ẍ + (Jg )ϕ̈ + d2 ϕ̇ + 12 m2 gl sin(ϕ)
2 2
Davon ist für die verbleibenden Parameter lediglich die erste Zeile, also jene der Minimalkoordinate x, von Interesse. Die Stellkraft sowie die Rückwirkung des Pendels auf den Wagen
wird auf die rechte Seite gebracht und man erhält
 
m1
1
1
ẍ ẋ sgn(ẋ)  d1  = −ẍm2 − m2 l cos(ϕ)ϕ̈ + m2 l sin(ϕ)ϕ̇2 + F
(5.10)
2
2
dd
wobei noch das Aufintegrieren der Differentialgleichung verbleibt. Die rechte Seite kann gemäß dem Zusammenhang
d2
sin(ϕ) = cos(ϕ)ϕ̈ − sin(ϕ)ϕ̇2
dt2
(5.11)
bei zweifacher Integration unter der Anfangsbedingung
x(t0 ) = 0
vereinfacht werden. Damit folgt das lineare Gleichungssystem
 
Z tZ τ
h R
i m1
R
R
l
t
t
τ


d1 =
F dτ1 dτ − m2 x − sin(ϕ)m2
x t0 xdτ t0 t0 sgn(ẋ)dτ1 dτ
2
t0 t0
dd
(5.12)
(5.13)
5. Parameterbestimmung
5.3.1. Identifikation des Wagens
30
für die gesuchten Parameter. Darin wird die Größe sgn(ẋ) benötigt, wobei in der numerischen
Berechnung ẋ über den Vorwärtsdifferenzenquotienten aus x gewonnen wird.
Als Anregung dient die im Folgekapitel 6.1 beschriebene Aufschwingsteuerung, dort kann
auch ein Vergleich zwischen Simulation und Messung in Abbildung 6.1 eingesehen werden.
Die identifizierten Parameter sind in der Tabelle 5.3 angegeben.
Paramter Wert Einheit
m1
0.773 kg
d1
2.954 N/(m/s)
dd
0.847 N
Tabelle 5.3: Identifizierte Werte des Wagens
6 Steuerung und Regelungsentwurf
An dieser Stelle gilt es nachzuweisen, dass das aufgebaute Modell den Anforderungen entspricht. Dies betrifft den Aufschwingvorgang, sowie die Stabilisierung des Pendels an der oberen Ruhelage. Der Aufschwingvorgang wird durch eine Steuerung, die Stabilisierung durch
statische Zustandsrückführung realisiert.
6.1
Aufschwingvorgang
Die Aufschwingstrategie besteht aus einer Kraftfolge von


0 ≤ t ≤ t1
Fmax
F (t) = 0
t1 < t ≤ t2


−Fmax t > t2 .
(6.1)
Für den linearen Regler ist ein Bereich von ±36◦ um die obere Ruhelage festgelegt. Erreicht
das Pendel diesen, so wird auf den Regler umgeschalten. Die Ergebnisse aus Simulation und
Messung am Modell sind in Abbildung 6.1 gegeben.
1
3.5
1
3.5
x ... Messung
x ... Simulation
x ... Messung
x ... Simulation
3
0.9
3
0.9
2.5
2.5
phi ... Messung
phi ... Simulation
I/Imax ... Messung
F/Fmax ... Simulation
2
0.6
1.5
x/m
1.5
phi / rad
x/m
0.7
1
0.7
0.5
0.5
phi ... Messung
phi ... Simulation
I/Imax ... Messung
F/Fmax ... Simulation
2
0.8
phi / rad
0.8
1
0.5
0.6
0
0
0.4
−0.5
−0.5
0.5
0.3
0.2
−1
0
1
2
3
−1.5
t/s
−1
0
1
2
3
t/s
0.4
0
1
2
3
−1.5
t/s
(a) 0.5 m
0
1
2
3
t/s
(b) 0.6 m
Abbildung 6.1: Aufschwingvorgang an zwei verschiedenen Startpositionen
6.2
Stabilisierung der oberen Ruhelage
In diesem Kapitel wird das verwendete Regelgesetz kurz vorgestellt, die Linearisierung des
Systems durchgeführt sowie der Regler anschließend entworfen.
31
6. Steuerung und Regelungsentwurf
6.2.1
6.2.1. Regelgesetz
32
Regelgesetz
Für die Stabilisierung der oberen Ruhelage wird das LQR-Verfahren[1], mit unendlichem
Optimierungsintervall, angewandt. Bei diesem Verfahren wird ein Regelgesetz so gesucht,
dass für erreichbare Systeme der Form
xk+1 = Axk + Buk
das Gütefunktional
Jx0 =
∞
X
(6.2)
xTi Qxi + uTi Rui
(6.3)
i=0
mit der positiv semidefiniten Matrix Q und der positiv definiten Matrix R minimiert wird.
Das Paar [A D] mit DT D = Q muss beobachtbar sein. Als Lösung erhält man ein zeitinvariantes Zustandsregelgesetz der Form
uk = Ks xk
(6.4)
mit der konstanten Rückführungsmatrix Ks .
6.2.2
Linearisierung im Arbeitspunkt
Da das mathematische Modell aus Gleichung (2.25) nichtlinear ist, muss das System in der
oberen Ruhelage
xs = [xs , 0, π, 0]T ; us = 0
(6.5)
linearisiert werden. Mit der Annahme rein viskoser Reibung
Fr = d1 v
(6.6)
folgt das linearisierte System der Form
∆ẋ = A∆x + b∆u
(6.7)
∆y = cT ∆x
mit
∂
A=
f(x, u)
∂x
x=xs ,u=us

0
0

=
0
0


∂
b=
f(x, u)
=

∂u
x=xs ,u=us
T
c= 1 0 0 0 .
1
0
0
4d1
−4m1 −m2
3m2 (gm2 +4gm1 )
8m1 m2 +16m21 +m22
6d2
l(−4m1 −m2 )
0
0
1
6d1
l(−4m1 −m2 )
−6(−4gm21 −gm22 −5gm1 m2 )
l(8m1 m2 +16m21 +m22 )
12(m1 +m2 )d2
m2 l2 (−4m1 −m2 )
0
−4
−4m1 −m2
0
−6
l(−4m1 −m2 )









(6.8)
6. Steuerung und Regelungsentwurf
6.2.3
6.2.3. Reglerentwurf
33
Reglerentwurf
Mit dem linearisierten System aus dem Gleichungssatz (6.8), selbstverständlich in ein zeitdiskretes System umgewandelt, und der Matlab-Routine dlqr folgt bei einer Gewichtung
von
Q = diag([600, 1, 2000, 1])
R=1
(6.9)
der Zustandsrückführungsvektor zu
kT = [24.17, 21.27, −75.28, −8.51] .
(6.10)
Damit die Wagenposition in der Ruhelage dem Sollwert entspricht, muss die Vorverstärkung
über
−1
κ = cT (E − A − bkT )−1 b
= −24.17.
(6.11)
berechnet werden. Um große Bewegungen um die Sollposition zu vermeiden muss noch der
Coulomb’sche Reibkraftanteil aufgeschalten werden. Die gesamte Eingangskraft F setzt sich
somit wie folgt zusammen:
F = κxsoll + kT x + sgn(v)dd .
(6.12)
Die hier besprochene Reglerstruktur kann in Abbildung 6.2 betrachtet werden
Abbildung 6.2: Reglerstruktur
Ein Vergleich bei Positionsvorgabe, mit bzw. ohne Kompensation des Coulomb’schen Reibkraftanteils, kann in den Abbildungen 6.3, 6.4 und 6.5 betrachtet werden.
6. Steuerung und Regelungsentwurf
6.2.3. Reglerentwurf
0.56
34
3.165
x ... ohne Kompensation
x ... mit Kompensation
phi ... ohne Kompensation
phi ... mit Kompensation
3.16
0.54
3.155
3.15
phi / rad
x/m
0.52
0.5
0.48
3.145
3.14
3.135
3.13
0.46
3.125
0.44
0
1
2
3
4
3.12
5
0
1
2
t/s
3
4
5
t/s
Abbildung 6.3: Messdaten: konstante Position, mit bzw. ohne Kompensation
1
3.4
phi ... Messung
phi ... Simulation
3.35
0.9
3.3
0.8
phi / rad
x/m
3.25
x ... Messung
x ... Simulation
0.7
0.6
3.2
3.15
3.1
0.5
3.05
0.4
3
0.3
0.2
2.95
0
5
10
t/s
15
2.9
0
5
10
15
t/s
Abbildung 6.4: Wechselnde Position, Vergleich von Simulation und Messung ohne Kompensation
6. Steuerung und Regelungsentwurf
6.2.3. Reglerentwurf
1
3.4
phi ... Messung
phi ... Simulation
0.9
3.3
0.8
phi / rad
x ... Messung
x ... Simulation
0.7
x/m
35
0.6
0.5
0.4
3.2
3.1
3
0.3
0.2
0
5
10
t/s
15
2.9
0
5
10
15
t/s
Abbildung 6.5: Wechselnde Position, Vergleich von Simulation und Messung mit Kompensation
7 Bedienung
7.1
Inbetriebnahme und Stilllegung
Zur Inbetiebnahme des Modells müssen folgende Schritte in der angegebenen Reihenfolge
durchgeführt werden:
1. Den Pendelbereich von Hindernissen räumen.
2. Den Wagen und das Pendel aus der Parkposition bringen.
3. Einschalten der Spannungsversorgung für den Sensorteil (sofern vorhanden) der Leistungselektronik.
4. Einschalten der Spannungsversorgung für den Leistungsteil der Leistungselektronik.
5. Einschalten der galvanischen Trennerbox.
6. Einschalten des Computers mit dem dSpace-System.
7. Starten von MATLAB und Wechsel ins Projektverzeichnis.
8. Wechsel in das Unterverzeichnis “Berechnungen/Steuerung/”.
9. Ausführen von “init steuerung.m”.
10. Öffnen des Simulinkmodells “WagenPendel.mdl” und Herunterladen auf die dSpaceKarte. Das Pendel muss dabei in Ruhe nach unten hängen.
11. Öffnen des ControlDesk-Projekts im selben Unterverzeichnis.
Zum Stilllegen des Modells sind nachfolgende Schritte auszuführen:
1. Ausschalten der galvanischen Trennerbox.
2. Ausschalten der Spannungsversorgung für den Leistungsteil der Leistungselektronik.
3. Ausschalten der Spannungsversorgung für den Sensorteil (sofern vorhanden) der Leistungselektronik.
4. Mit dem Computer ist nach Belieben zu verfahren.
5. Den Wagen und das Pendel in Parkposition bringen, um eine Zerstörung des Modells
durch Unachtsamkeit zu vermeiden.
36
7. Bedienung
7.2. Kontrolloberfläche
37
Abbildung 7.1: Kontrolloberfläche - nach der Fahrt zur Nullposition
7.2
Kontrolloberfläche
In diesem Abschnitt geht es um die grundlegende Bedienung der Kontrolloberfläche, dargestellt in Abbildung 7.1. Das Programm kennt folgende drei Grundzustände welche durch das
LED-Kontrollelement signalisiert werden:
• gelb: Die Nullposition wurde noch nicht angefahren. Es muss “Motor ein” gewählt
werden. Der Wagen bewegt sich nach links bis die Nullposition erreicht wird.
• grün: Dies ist der Zustand nachdem die Nullposition angefahren wurde. Es können alle,
weiter unten im Text beschriebene, Aktionen ausgeführt werden.
• rot: Dies ist der Zustand, wenn der Wagen zu Nahe an das Ende der Linearführung
herangefahren ist(der erlaubte Bereich ist zwischen -0.022 und 1.2 m). Das Programm
muss wieder neu auf die dSpace-Karte heruntergeladen werden um diesen Zustand zu
verlassen.
Wichtig beim Herunterladen des Programms auf die dSpace-Karte ist, dass sich das Pendel
in der unteren Ruhelage befindet, da beim Programmstart der aktuelle Pendelwinkel als Null
festgelegt wird.
Im Rahmen links oben kann der Programmmodus eingestellt werden. Zur Auswahl stehen
“Regler”, “Kraftvorgabe” und “Stromvorgabe”. Bei Stromvorgabe kann nur ein konstanter
Wert, der im entsprechenden Kontrollelement eingetragen ist, eingestellt werden. Bei Kraftvorgabe gibt es “konstant”, “pulse” und “321-Sprung” zur Auswahl. Änderbar ist auch hier
nur der konstante Wert im entsprechenden Kontrollelement. Die Vorgaben für Pulse und
321-Sprung sind fix kodiert. Beim Programmmodus Regler stehen die selben Auswahlmöglichkeiten wie für die Kraftvorgabe zur Verfügung. Um die Vorgabe zu aktivieren muss “Soll
7. Bedienung
7.2. Kontrolloberfläche
38
ein” ausgewählt werden. Im Eingabefeld an der rechten Seite kann angegeben werden, mit
welchem Faktor die konstante Reibung bei der Regelung der oberen Ruhelage kompensiert
wird.
Das Schaltelement für “Motor ein bzw. aus” hat immer Vorrang vor allen anderen Einstellungen. Ist “Motor aus” angewählt, so wird der Motor niemals eine Kraft ausüben.
Um den Aufschwingvorgang einzuleiten muss als Programmmodus “Regler, Soll ein, Motor
ein” festgelegt werden. Dabei muss das Pendel ruhig nach unten hängen, und der Wagen muss
sich auf einer Position zwischen 0.1 und 1.1 m befinden. Zu beachten ist, dass ungefähr 0.5 m
Platz benötigt werden. Der Vorgang wird mit “auslösen” gestartet und das Pendel schwingt
auf. Will man, dass das Pendel nicht mehr in der oberen Ruhelage stabilisiert wird, so drückt
man einfach auf “Motor aus”. Soll ein neuer Aufschwingvorgang eingeleitet werden, so muss
zuerst auf “zurücksetzen” gedrückt werden ehe “auslösen” erneut Wirkung zeigt.
Anhang
.1
Dateibeschreibung des Projektverzeichnises
Im Folgenden sind die wichtigsten Dateien aus dem Projektverzeichnis angeführt:
Name
Berechnungen/Daten/
Berechnungen/einfaches
Modell/
init sim.m
sim wp.mdl
WP-
sim wp easy.mdl
wp.c
wagenpendel.m
Berechnungen/Identifikation/
Berechnungen/Regeler/
pos reg wagenPendel.m
Berechnungen/Steuerung/
init steuerung.m
WagenPendel.mdl
Wagen*
Berechnungen/
auslegung.mw
init wp.m
leistungselektronik.mw
motormodell.mw
WagenPendel.mw
WagenPendel Projektionsgleichung.mw
Dokumentation/
Elektronik/Leistungsverstärker/
Beschreibung
Aufgenommene Daten für Grafiken
Simulation des Wagen-Pendelmodells
Initialisierungsdatei für die Simulation
Modell zur Simulation von Schnittkräften und Begrenzungen
Modell zur Simulation inklusive Regelung
C-Mex-Funktion in der das Wagen-Pendelmodell
enthalten ist
Simuliert den Aufschwingvorgang und Stabilisierung der oberen Ruhelage und stellt das Pendel
dabei graphisch dar
Aufgenommene Daten und zugehörige M-Files
zum Identifizieren der Parameter
Reglerauslegung
Legt einen LQR-Regler für die obere Ruhelage aus
Simulinkmodell für DSPACE, und ControldeskOberfläche
Initialisierungsdatei für das Simulinkmodell
Simulinkmodell für DSPACE
Controldesk-Dateien
Diverse Aulegungsberechnungen für das Modell
Initialisierungsdatei, auf die alle m-Files und
Simulink-Modelle zurückgreifen
Herleitungen zur Leistungselektronik
Herleitungen zum Motormodell
Herleitungen zum Wagen-Pendelmodell über Lagrange II
Herleitungen zum Wagen-Pendelmodell über die
Projektionsgleichung
Enthält die Quelldateien zu diesem Dokument
Enthält das Schema und das Layout der Leistungselektronik im Format des Programms MicroSim
Tabelle 1: wichtige Projektdateien
39
Literaturverzeichnis
[1] Schlacher K.: Prozessautomatisierung II-Skriptum, Universität Linz – Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung, SS 2007
[2] Bremer H.: Robotik I Skriptum, Universität Linz – Institut für Robotik, 6. Auflage,
Juli 2005
[3] Bremer H.: Robotik II Skriptum, Universität Linz – Institut für Robotik, SS 2007
[4] Scharf P., Sergl R.: Design der Leistungs- und Singalelektronik für den Torsionsschwinger, Projektseminar, Universität Linz – Institut für Regelungstechnik und elektrische
Antriebe, Dezember 2000
40