Extra dimensions Extra dimensions

Extra
dimensions
Tadeusz Lesiak
T. Lesiak
Extra dimensions
1
Outline
Extra dimensions as the home of ghosts
Extra dimensions in literature and painting
Non-Euclidean geometry
Specific theory of relativity: time as the 4th dimension
General theory of relativity: gravity = warped space-time
The fifth dimension: Kaluza-Klein theory
String theories in a nutshell
„Large” extra dimensions (ADD): bounds from colliders,
astroparticle physics and table-top experiments
Ekpyrotic and cyclic universes
T. Lesiak
Extra dimensions
2
Ghosts from the fourth dimension
Spiritualists: ghosts inhabit the fourth (spatial) dimension.
• Big fuss over Henry Slade – the famous spiritualist, ‘physical medium’
claimed that can manipulate things by moving them through the fourth dimension.
• try Slade’s ploys: tie a knot on a loop: get out an object from the trap;
replace left-handed shell into right-handed one (two-dimensional analogies).
• Slade was sued in London 1877 for fraud and trickery.
• became so famous that many first-rank physicists engaded in explaining his tricks:
Zollner, Weber, Crookes, Thompson, Rayleigh.
• Zollner: „Transcendental Physics” – Slade’s ploys cannot be explained by physics,
 must be due to the intervention of the ghosts from the fourth dimension OR,
 there are „mediums” who stand in close relation to the 4th dimension.
T. Lesiak
Extra dimensions
3
Hinton and his tesseract
• Charles Howard Hinton (1853-1907) – the man who „saw” the 4th dimension.




He coined the word „tesseract” for a four-dimensional hypercube;
The tesseract: commonly used in XIX century for meditation and in necromancy;
Inventor a baseball pitching machine;
The guru of sect propagating polygamy.
• Tesseract (hypercube) – the easiest accessible to our imagination amoung
things from the fourth dimension.
Tesseract construction (applet) http://www.cut-the-knot.org/ctk/Tesseract.shtml
1. Draw a point
2. Copy it and translate
to another place
3. Connect two points
 segment line
4. Copy a square
and translate it
5. Connect square’
ends  a cube
T. Lesiak
4. Copy the segment
line and translate it
5. Connect segment’
ends  a square
4. Copy a cube
and translate it
5. Connect cube’ ends
 a 4D hypercube
Extra dimensions
4
The other ways to ‘see’ a tesseract
• unfolding
• Looking at its shadows
Projective geometry (XIX cent.)
 twistors, quantum information theory.
T. Lesiak
Extra dimensions
5
Shadows of platonic solids
In 3D space
In 4D space
T. Lesiak
Extra dimensions
6
The fourth dimension in literature
„Flatland; A Romance in Many Dimensions”
by Edwin A. Abbott, 1884;
the text available in the web.
 The first, widely known book about life in other than 3D world,
 Full mathematical correctness AND … a satire for social life in Britain,
 Contemporary continuation: „Flatterland, like flatland only more so” by Ian Stewart.
T. Lesiak
Extra dimensions
7
The fourth dimension in literature
4th dimension Big inspiration for literature of XIX century:
M.Proust, O.Wilde, F.Dostojewski, H.G.Wells, J.Conrad, L.Carroll.
Nelson Bond – „Monster from nowhere”
H.G.Wells – „The Time Machine”
„Plattner’s story”
„The Invisible Man”
„The remarkable case of Davidson eyes”
„The Wonderful Visit”
George Mc Donald – „Lilith”
J. Conrad, F.M.Ford– „The inheritors”
Oscar Wilde – „Canterville ghost”
 Modern science-fiction:
Robert Heinlein – „And he built a crooked house” (1940)
Greg Bear – „Tangents” (1989r.)
T. Lesiak
Extra dimensions
8
Monsters from the fourth dimension
Invasion 4D 
3D
Your 3D hand is being
kidnapped into 4D
That’s is how a 4D
creature would
appear in 3D
Otzowist bolschevik fraction vs Towariszcz Lenin
„Mathematics may explore the fourth dimension and the world of what is possible
but the Czar can be overthown only in the third dimension”
T. Lesiak
Extra dimensions
9
Dygresja: garść komentarzy o wymiarach
Wymiar zwykle w naturalny sposób kojarzy się z możliwością ruchu w danym kierunku.
Np. „Jedno-wymiarowy” – „w jednym kierunku”.
Nawet „jednowymiarowy” może być:
„płaski”
lub
„zakrzywiony”:
T. Lesiak
Extra dimensions
10
Garść komentarzy o wymiarach
Wymiar zakrzywiony ale „w co”?
Nasz przykład – zakrzywiony 1D jest zanurzony w 2D.
Trzeba rozróżnić zakrzywienie (obiektu) w przestrzeni
od zakrzywienia samej przestrzeni.
Rozważmy przykład 2D: kwadrat na kartce papieru:
Kwadrat jest „zakrzywiany”
w przestrzeni 2D:
Sama
przestrzeń 2D
jest zakrzywiana:
Płaszczak
(flatlander)
– istota żyjąca
w przestrzeni 2D
T. Lesiak
Extra dimensions
11
Nie jest łatwo być płaszczakiem…
Płaszczak nie może ani jeść ani trawić pokarmów:
Dwa płaszczaki na schodach nie mogą się wyminąć
inaczej jak tylko przechodząc jeden po drugim.
Ich oczy muszą mieć możliwość wspólnego
przesuwania się na lewo (prawo) – inaczej nie
ocenią odległości od przedmiotów.
T. Lesiak
Extra dimensions
12
Nie jest łatwo
być
płaszczakiem…
Zapominalski płaszczak-król
nie może wyjąć korony
ze skarbca 2D.
Istota 3D wyjmie
ją z łatwością…
T. Lesiak
Extra dimensions
13
Nie jest łatwo być płaszczakiem…
Jak płaszczak widzi okrąg?
Jego kształt rozpozna po cieniowaniu (podobnie jak my kulę).
Płaszczak może dostrzec jedynie
przekroje obiektów 3D.
Ironia losu: szczególna teoria względności Einsteina ze swoim nowoczesnym
pojęciem czasoprzestrzeni 4D położyła kres spekulacjom na temat czwartego
wymiaru przestrzennego.
T. Lesiak
Extra dimensions
14
A perspective in painting
Middle ages: flat paintings (God is almighty and can see every piece of the
world exactly in the same manner).
Renaissance: a riot against flat paintings: figures of peoples and animals
become 3-dimensional; the perspective appears; close objects appear
excessively big; remote ones seem to be too small.
Leonardo da Vinci
The last supper
T. Lesiak
Extra dimensions
15
Cubism: painting of the fourth dimension
3D: one can look at any 3D object from one side only;
Different perspective after rotation only
4D: we could observe a 3D object from many sides
at the same time  that’s cubism.
Pablo Picasso
Portrait of Dora Maar (1937)
M.Duchamp
Nude Descending
a Staircase No 2 (1912)
Georges Braque
Woman with a guitar (1913)
Here time
is THE
fourth
dimension
T. Lesiak
Extra dimensions
16
From cubism to surrealism
Salvador Dali
Crucifixion „Corpus Hypercubus” (1954)
T. Lesiak
Extra dimensions
17
M.C.Escher: master of dimensional
intuition and illusions
Relativity (1953)
T. Lesiak
Gravity (1952)
Extra dimensions
18
M.C.Escher: master of dimensional
intuition and illusions
Other world (1947)
T. Lesiak
Ascending and descending (1954)
Extra dimensions
19
M.C.Escher: master of dimensional
intuition and illusions
Knots (1965)
Mobius strip II
(1963)
Circle limit
IV (1960)
Hyperbolic
geometry
T. Lesiak
Extra dimensions
20
Extra dimensions in movies
Star Trek
Hypercube: Cube 2
Hyperspace
warp-drive
wormholes
…
T. Lesiak
Extra dimensions
21
Non-Euclidean geometry
Differs from Euclidean in that it rejects the fifth postulate of Euclid
(parallel lines go on to infinity and never intersect).
Euclid original
statement:
„If a straight line falls on two straight lines in such a manner that
the interior angles on the same side are together less than two
right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet
on that side on which are the angles less than the two right angles."
Playfair’s
axiom:
„Exactly one line can be drawn through any point
not on a given line parallel to the given line.”
L
P
Non-Euclidean geometry developed in the first half of XIX century:
Mikołaj Łobaczewski, Janos Bolyai, Carl Friedrich Gauss, Georg Riemann
T. Lesiak
Extra dimensions
22
Two examples of non-Euclidean geometry
 Spherical geometry
A line has no parallels through a given point.
The sum of the interior angles of a triangle
exceeds 180 degrees.
Canonical example of a space which is: finite,
unlimited and does not possess a boundary.
T. Lesiak
 Hyperbolic (saddle) geometry
At least two lines can be drawn through
any point not on a given line parallel to
the given line.
the sum of the interior angles of a triangle
is less than 180 degrees.
Extra dimensions
23
Riemannn’s geometry; metric tensor
• Georg Bernhardt Riemann: lays foundations on many dimensional,
non-euclidean geometry; famous habilitation lecture 1854
„Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” .
• the notion of metric tensor: a set of numbers describing
the spacetime curvate in a given point
(he did not know the respective field equations).
• Let’s consider an abstract n-dimensional space; X=(x1,x2,… xn),
• The distance between two infinitely close points
P(xi) and Q(xi) is the differential ds along
the curve xi(t) connecting the two points.
• Crucial role of Riemann’s 4D geometry in Einstein’s theory of relativity (TR).
the Specific TR (STR): Minkowski spacetime: space and time become inseparately connected
time appears as the fourth dimension:
There are really four dimensions, three which we call the three planes of Space, and a fourth, Time.
The Time Machine, H.G.Wells
• Leitmotif of Riemann: physics laws become simpler in extra dimensions
Extra
see dimensions
below
T. Lesiak
24
STR and simplification of Maxwell’s equations
• Michael Faraday (XIX century) – general idea of the field  field equations.
• Maxwell’s equations – description of electromagnetic fields (differential form,CGS units):
4-current
Gauss’s law
Ampere’s circuital law
4-potential
e.m. field
strength tensor
Then Maxwell equations (in vaccum):
Absence of magnetic monopoles
Faraday’s law of induction
• STR notation is compact and manifestly covariant
• Gauge symmetry is also much more compact:
8 ‘ugly’ equations
in total !!!
T. Lesiak
Extra dimensions
25
General Theory o Relativity (GTR):
gravity = warps of spacetime
Gravity is a „geometric force” i.e. a property of spacetime.
The spacetime itself is distorted (warped) by a concentration of mass or energy.
All objects follow the shortest path through the warped spacetime;
Path is the same for all objects; it is curved in the presence of matter-energy.
Einstein equations:
G= 8
Matter changes the shape of space.
Space changes the path of matter.
G – Einstein (metric) tensor
T – stress-energy tensor
Matter „tells” space how to curve.
Space „tells” matter how to move.
A mass, center of
‘the force of gravitation’
free motion,
flat space
T. Lesiak
motion under the „force
of gravitation”, flat space
Extra dimensions
free motion,
curved space
26
General Theory o Relativity (GTR):
gravity = warps of spacetime
Resurrection of Riemann’s ideas:
Consider a flatlander on a sheet of paper.
Warps on the sheet are perceived as a „FORCE”.
The bigger curvature (warp) – the stronger „force”.
Riemann & Einstein:
curved space implicates the presence force(s)
The forces are not „real”: they are a consequence of warped geometry.
T. Lesiak
Extra dimensions
27
Fifth dimension: Kaluza-Klein
(KK) theory
3D
1D
• Kaluza (1919): extension of general relativity to five dimensional
space-time; aim: unification of gravity and electromagnetism.
R
• Klein (1926): the fifth dimension could be hidden from our observations
by being very small „compactified” around a circle of a very small radius R
– of the order of the Planck length
• How would the fifth dimension look like?
T. Lesiak
drawbacks:
• lack of testability,
• the size of the circular ED should be fixed
(static) while the remaining spacetime
dynamic,
• The size of the circular ED turned out to
be unstable; small perturbation in
geometry leads either to R = 0 or infinity,
• difficulties in the proper description
of electron’s properties (e/m),
• also non-renormalizable.
Extra dimensions
28
Teoria KK  kompaktyfikacja
Kompaktyfikacja – proces polegający na tym, że jeden lub więcej kierunków
przestrzennych staje się skończony, a pozostałe kierunki nadal są nieskończone.
 Przestrzeń (lub jej fragment) może być zwarta.
Przykłady z 2D:
1
2
Sfera (dokładniej 2-sfera) o mikroskopowych rozmiarach
 bardzo trudno odróżnić ją od punktu – tworu zero-D
Płaszczyzna (np. kartka A4)
- zwijamy ją w walec wzdłuż kierunku y.
y
Ruch wzdłuż kierunku x
jest nieskończony i taki
jest też wymiar x.
Ruch wzdłuż kierunku y
jest ograniczony
– wymiar y jest zwarty.
x
T. Lesiak
Extra dimensions
29
Teoria Kaluzy-Kleina
y
x
• Przypuśćmy, iż rozmiar
w kierunku y jest bardzo mały
np. rzędu długości Plancka.
• Taka przestrzeń 2D będzie
nieuchronnie postrzegana jaka 1D.
• Cząstka-pchła może poruszać się w obu kierunkach naraz np. po spirali tzn. liniowo wzdłuż
osi x oraz po okręgu wzdłuż kierunku y.
• Dla obserwatora, który nie jest w stanie odróżnić kierunku y, ruch cząstki względem tej
osi będzie się jawić jako pewne „nowe”, szczególne, nieoczekiwane własności cząstki.
• Te rozważania stosują się w pełni także do poniższych wyżej wymiarowych przykładów.
T. Lesiak
Extra dimensions
30
Teoria Kaluzy-Kleina
Przykłady z 3D:
• Wielki dywan wydaje się z daleka 2D.
• Trudno dostrzec jego włókna.
T. Lesiak
Extra dimensions
31
Kaluza-Klein theory
Przykłady z 3D:
1
Kierunki wzdłuż osi x i y pozostają nieskończone, kierunek wzdłuż osi z ulega zwinięciu.
 Ruch wzdłuż x i y nieskończony,
ruch wzdłuż osi z ograniczony
 Jeśli rozmiar wymiaru z bardzo mały
 przestrzeń 3D uchodzi za 2D.
2
Kierunek wzdłuż osi x pozostaje nieskończony, kierunki wzdłuż osi y i z ulegają zwinięciu.
 Ruch wzdłuż x nieskończony, ruch wzdłuż osi y i z ograniczony.
 Jeśli rozmiar wymiarów y i z bardzo mały  przestrzeń 3D uchodzi za 1D.
Dwa przykłady: 2-sfera i torus:
x
T. Lesiak
Extra dimensions
x
32
Teoria Kaluzy-Kleina
• Jak dokładnie teoria KK unifikuje elektromagnetyzm i grawitację?
• „Grawitacyjny” tensor metryczny w 5D:
• W ramach teorii KK, elektromagnetyzm staje się siłą „geometryczną”.
• Promieniowanie elektromagnetyczne można uważać za zmarszczki piątego wymiaru.
• Gdy dwie cząstki poruszają się w dodatkowym wymiarze:
 składowa siły grawitacji w dodatkowym (piątym) wymiarze jest tożsama
z oddziaływaniem elektromagnetycznym w 4D.
T. Lesiak
Extra dimensions
33
Teoria Kaluzy-Kleina
 Ładunek elektryczny cząstek w 4D = składowa ich pędu w piątym wymiarze.
 Znak ładunku = kierunek obiegu piątego wymiaru.
• Ładunek elektryczny dodatni np. gdy cząstka obiega piąty wymiar CW.
• Ładunek ujemny gdy kierunek obiegu CCW.
• Cząstka neutralna elektrycznie – spoczywa w piątym wymiarze.
• Jeśli dwie cząstki krążą w zwiniętym piątym wymiarze w tym samym kierunku
 odpychają się wzajemnie elektrycznie.
• Gdy krążą one w przeciwnych kierunkach  przyciągają się elektrycznie.
 Ruch w piątym wymiarze jest cykliczny:
składowa pędu w tym kierunku przyjmuje tylko wartości dyskretne.
 kwantyzacja ładunku elektrycznego.
T. Lesiak
Extra dimensions
34
String theory
 Hope that strings are THE ultimate building blocks.
 A very economical approach: all particles are just different
vibration modes of the same, unique, fundamental string.
 There is essentially a single parameter: the string tension (mass).
Two kinds of strings
closed (gravitons) and
open (standard model fields).
(spin grawitonu 2x większy niż fotonu
 Grawiton = dwie struny fotonu połączone do pętli).
• Closed strings (gravitons) can freely
penetrate all spatial dimensions.
• The other particles are confined (attached)
to the brane which forms our Universe.
• „Reasonable” string theories (allowing for coherent
movement of strings) may be constructed only in (9+1)D 
T. Lesiak
string Extra
theory
PREDICTS the number of dimensions.
dimensions
35
The mathematical formalism
of the string theory
is overwhelmingly complicated…
String theory
All forces can be regarded as geometrical.
The metric tensor in 9D can safely
accomodate all fields in one matrix.
Quarks
and
leptons
Quarks and leptons
Riemann’s and Einstein’s dreams fulfilled !!!
T. Lesiak
Extra dimensions
36
These compactified dimensions:
how do they look like?
S.Yau, S.Nadis „The Shape of Inner Space”
 The most general form: Calabi-Yau manifolds (6-dimensional).
 Examples: the simplest special cases.
M.C. Escher
Gravity (1952)
Particle properties are determined by the size
and shape of the extra dimensions Extra
!!!
T. Lesiak
dimensions
37
Ruch strun w przestrzeniach zwartych
 Struna ma więcej niż cząstka punktowa możliwości ruchu w przestrzeniach zwartych.
• Rozważmy ruch struny po cylindrze 2D.
• Pierwszy ważny parametr: skala kompaktyfikacji – rozmiar cylindra
(określa ona np. wielkość elementarnego ładunku elektrycznego).
• Oprócz „zwykłego ruchu” (takiego jak cząstka), struna może owijać się wokół
walca (tak jak gumka recepturka).
• Strunę na torusie charakteryzuje jeszcze drugi, dodatkowy parametr
- liczba nawinięć (wokół zwartego kierunku).
T. Lesiak
Extra dimensions
38
Ruch strun w przestrzeniach zwartych
• Rozważmy ruch struny po torusie 2D.
• Oprócz skali kompaktyfikacji – rozmiaru torusa, do jego opisu potrzebne są
jeszcze dwa inne parametry:
• Stosunek rozmiaru otworu
do rozmiaru całego torusa.
• Kąt skręcenia torusa.
• Moduł = zbiór parametrów opisujących topologię przestrzeni zwartej
• Cylinder: moduł =1.
• Struna na cylindrze: moduł = 2 (skala kompaktyfikacji oraz liczba nawinięć).
• Torus: moduł = 3
(bo charakteryzują go trzy powyższe parametry).
• Typowa rozmaitość Calabi-Yau: moduł „bardzo duży”.
T. Lesiak
Extra dimensions
39
Krajobraz teorii strun
Każda zmiana w przestrzeni parametrów-modułów rozmaitości
Calabi-Yau = zmiana parametrów fizycznych.
 Krajobraz teorii strun.
 Geometry of the extra dimensions largely
determines the kind of universe we live in,
dictating the properties of all physical forces
and particles, observed in nature.
Joe Polchinski:
„All the numbers we measure in nature – all the
things we consider fundamental, such as the
mass of quarks and leptons – all of these are
derived from the geometry of the Calabi-Yau”.
T. Lesiak
Extra dimensions
40
Strumień pola brany
Wokół elektronu
– pole elektryczne
Wokół magnesu
– pole magnetyczne
Wokół brany
– pole brany
Przykłady strumienia tych pól:
Pełny opis dodatkowych wymiarów w ramach teorii strun wymaga nie tylko
określenia topologii i rozmiarów rozmaitości Calabi-Yau, ale także podania
strumienia pól bran przez nie przechodzącego.
 Pełny krajobraz teorii strun: 10500 różnych form ED.
T. Lesiak
Extra dimensions
41
The landscape of string theory
The energy of empty space (vacuum energy)
can assume 10500 possible values,
that represent stable (or semistable)
solutions to the equations of string theory.
The stable vacua are
represented by dips (valleys).
The elevation corresponds to the energy the vaccum
assumes at the given point of the landscape.
The Calabi-Yau manifolds are an integral part of this picture, because the bulk of
the vacuum energy is used to keep the six extra dimensions of string theory curled
up (compactified) in such spaces, rather than allowing them to expand to infinity.
T.Lesiak
Teoria elektrosłaba
42
Niewiarygodna słabość grawitacji
Wartość siły grawitacji działającej między całą Ziemią a człowiekiem
na jej powierzchni to zaledwie ok. 700 N.
Podzielmy to przez liczbę atomów Ziemi i ciała człowieka…
T.Lesiak
Teoria elektrosłaba
43
Gravity  sensibility to the number
of space dimensions
GTR: Gravity  space warp
and graviton = closed string.
Gravity must „feel” how many space dimensions are present (at a given distance scale).
We are accustomed with the Newton law which is valid in 3D.
Gauss law: in 3D line
forces are going away
from the point source
and pierce spheres
of growing R
(area=4 R2)
A consequence of space
isotropy.
 But beware: gravity is so weak, that Newton law was checked experimentally only
up to distances ≈ 100 m ≈10-2 cm (and for r < 1028cm).
 At the same time, we THINK that gravity becomes strong at LPl » 10-33cm.
 „we THINK” = extrapolation by 31 orders of magnitude !!!
T. Lesiak
Extra dimensions
44
Gravity  sensibility to the number
of space dimensions
Generally
In particular:
(N – number of space dimensions)
 In the world with more than 3D
gravity would grow faster with
the diminuishing distance.
 In such a world gravity would become
strong (much) earlier i.e. at distances
bigger than Planck’s length.
 Consider a single circular extra dimension (like in KK theory) with a radius R < 10-2cm.
• r < R  line forces penetrate (3+1)D
(red curves);
F/ r-3
• r > R  line forces have filled
already the extra dimension(s)
and spread in 3D only (yellow circles)  Newton’s law.
T. Lesiak
Extra dimensions
45
„Large” eXtra Dimensions (LXD) ADD
Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos, Georgi Dvali
1998
 Assume n extra dimensions, each compactified to a circle of radius R.
 Then the gravitational constant in n+3 dimensions:
(G – Newton constant)
Proof:
 Rn = volume of extra dimensions;
G is in fact an effective coupling.
Gn is the „true” gravity coupling.
After redefinition as non-dimensional (absolute couplings), Gn can be „big” and G
„small”, due to volumetric suppression.
PROVIDED that R is „big” w.r.t. the Planck’s length i.e. » m,
T. Lesiak
Extra dimensions
46
„Large” eXtra Dimensions (LXD) ADD
• Planck mass in 3+n is much lower than in 3D.
We can solve the hierarchy problem!!!
Proof:
Numerical example:
T. Lesiak
Extra dimensions
47
How big are „large” extra dimensions ADD ?

Generally: „large” means substantially bigger than the Planck length (LPl).
 The overall formula:
n=1  R ≈ 3 x 1014 cm (» the distance Earth-Sun)  excluded.
n=2  R ≈ 300 m (slightly above the limits from „table-top” experiments).
n=3  R ≈ 10-3 m (unreachable at table-top).
…
n=8  R ≈ 0.3 x 10-13 cm (dimension of hadrons).
A short summary:
In our 3D world gravity appears to be so weak due to
the presence of large (R >> LPl) extra dimensions.
The bigger R, the more and more the force of gravity is spread across of
extra dimensions and, as a result, gravity in our 3D world appears so weak.
The question: „Why is gravity so weak? (hierarchy problem) ”
is substituted by: „Why are extra dimensions so large”.
T. Lesiak
Extra dimensions
48
LXD ADD: flatlander’s perspective
• The ADD model shares the string theory ideas: gravity is the unique force which
acts in all dimensions, the other three forces are confined to the 3D (brane).
• Analogies: water waves are just 2D, electric-current: 1D.
• The presence of ADD extra dimensions can be infered only using their gravitational effects.
• Our analogy: a flatlander at a billiard table:
Billiard balls collide on the table’s plane.
BUT they emit sound waves in the 3D space.
Balls = standard model particles.
Sound waves = gravitons.
• A careful flatlander can by the thorough study
of collisions in 2D calculates that there is a deficit of energy
(which leakaged in the third dimension by sound waves).
We could look for extra dimensions using three methods.
1. „Direct” table-top experiments testing the law of gravity at small distances.
2. Accelerator collisions of elementary particles & search for missing energy.
3. Study of astrophysical phenomena (mainly supernovae explosions).
T. Lesiak
Extra dimensions
49
Torsion balances: experimental verification of Newton’s law
1750 John Mitchell (inventor) – measurement of the mean density of the Earth.
1798 Henry Cavendish - determination of the gravitational constant G.
1890 Baron Roland von Eotvos – equivalence of gravitational and inertial masses.
Hung a dumbbell from a fine string A mirror + laser = angle of the twist
Introduce the second (bigger) dumbbell;
Repeat it in a symmetric configuration
Equilibrium:
the torque from
the fiber balances
the torque from the
gravitational forces
on the dumbbell.

- torsional constant of the string ,

– maximum angle of deflection of the spot light,
L
– length of the small dumbbell,
r
– distance between sphee centers,
m, M – masses.
T. Lesiak
Extra dimensions
50
Modern torsion balances
Laser light path
The University of Washington Eot-Wash group
Eric Adelbergerger, Blayne Heckel.
•
Determination of the force of gravity between test masses:
21 holes both in aluminium ring and in the attractor.
•
The rotating attractor consists of 2 disks.
•
The upper one has holes identical to those in the aluminium ring.
•
The lower, thicker attractor has a similar hole pattern but these
larger holes lie halfway between the holes in the upper disk.
•
If the inverse-square law is correct, the lower holes are designed
such that they produce a twist on the ring that just cancels the
twist induced by the upper disk…
mirrors
•
If gravity becomes stronger at short distances, the twist induced by the lower disk,
which is farther from the ring, will be too small to cancel the twist from the upper disk
 see a clear twist signal that varies 21 times for every revolution of the attractor.
•
The twist is measured as a function of ring-attractor separation;
Laser measurement allows for the precision of twist better than 1 nanoradian
(angular dimension of the soya bean seen in New York from London).
•
An additional, tightly stretched, 20- m-thick copper foil, placed between the attractor
and the ring, eliminates electrical forces on the pendulum from the rotating attractor.
T. Lesiak
Extra dimensions
Tungsten
suspension
wire (80cm)
Aluminium
ring
Attractor
(two disks)
10cm
51
Experimental verification of Newton’s law
A general parametrization, taking into
account any possible deviations:
•
An extra Yukawa-like term, describing
a contribution from on overall „fifth
force”: exchange of a virtual boson
with a mass of
•
 – dimensionless measure of the
„strength” of a new force to compare with
gravitation.
•
 – measure of the range of „fifth force”.
•
The yellow area is excluded (95% C.L.).
•
Blue, red and green curves: expectations
of different models.
M D ¼ M nP l
C.D.Hoyle et al., PRD70 (2004) 042004
T. Lesiak
D.J.Kapner et al., PRL 98 (2007) 02101
Extra dimensions
52
„Large” extra dimensions ADD:
astrophysical bounds
• Supernova (SN) explosion:
most energy is carried out by neutrinos.
Star collapse
• If there are extra dimensions, then gravitons
can escape into them, distorting energy balance
and neutrino signal.
• SN1987A: best estimates of neutrino flux.
neutrinos
gravitons
Our Universe
IMB
energy
[MeV]
Signal of neutrinos
from SN1987A
Kamiokande
Time [s]
T. Lesiak
Extra dimensions
53
„Large” extra dimensions ADD:
Three potential signatures
astrophysical
bounds
• Neutrino flux: assuming that gravitons do not carry away more
than half of the energy emitted by the supernova SN1987 A:
• Diffuse  ray background: produced by all supernovae in the universe,
generated by the graviton decays into photons (EGRET FERMI satellite):
• Pulsar luminosities: pulsars could be heated by photons from the decays of
gravitons; gravitons may be trapped inside the pulsar after the supernova explosion:
• Astrophysical bounds seem to be more stringent but are more model dependent.
• Other particles e.g. light gauge bosons could mediate detectable modifications of
the Newton law (table-top) without running up against the astrophysical bounds.
T. Lesiak
Extra dimensions
54
„Large” extra dimensions ADD: accelerator bounds
• According to ADD, the strength of gravity
may become comparable with other forces
at the energy scale » TeV.
Micro
black hole
Gravitons
• These are energies of TEVATRON/LHC/ILC.
• Extra dimensions may show up in these machines !!!
• At the same time other effects of quantum gravity
could manifest itself:
e.g. micro black holes (see below)
proton
Other
particles
Our
universe
If gravity is strong at a TeV scale:
• Massive production of gravitons
in collisions.
• A substantial part of them would
escape in extra dimensions.
T. Lesiak
Extra dimensions
55
„Large” extra dimensions ADD: accelerator bounds
Gravitons may appear as:
• REAL PARTICLES; their signature
is missing energy and e.g. lepton
pairs or hadronic jets.
Extra dimension
Graviton
• VIRTUAL PARTICLES 
modification
of angular distributions
of final state particles
if gravitons are mediated
in addition to gauge bosons
of the standard model.
T. Lesiak
Extra
Dimensi
Extra dimension
e+
1
1
Ms Ms
eOur Space-Time
Extra dimensions
γZWf
γZWf
56
Accelerator bounds: real gravitons
• The overall shape of the missing energy distribution could allow
to distinguish the signal from gravitons from other exotic processes.
• Moreover it could allow to deduce how
many extra dimensions do exist.
• LHC example:
Monojet + missing ET signature
ET spectrum
(integrated luminosity 100 fb-1).
E Tm iss [GeV ]
T. Lesiak
Extra dimensions
57
Accelerator bounds: real gravitons
ILC
(International Linear
Collider);
Again gravitons would manifest
itself as a missing energy.
Combining measurements at two
distinct values of s1/2 one can
extract both n and MPln
The cross sections are
normalized to a common value
at s1/2 = 500 GeV.
T. Lesiak
Extra dimensions
58
dσ/d cos(θ) (pb)
Accelerator bounds: virtual gravitons

 – fermion-electron angle.
 =+-1 constructive (destructive)
interference between standard model
and graviton contributions.
e+e-→μ+μ-(γ)
5
√s ~ 189 GeV
4
DATA
ZFITTER
95% C.L. λ=-1
95% C.L. λ= 1
Best Fit
3
2
 Processes studied.
1
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
T. Lesiak
Extra dimensions
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Cos(θμ−)
59
„Large” extra dimensions ADD:
summary of accelerator bounds
LEP:
CDF (monojet + missing energy).
ATLAS & CMS.
T. Lesiak
Extra dimensions
60
Example of monojet + missing energy
topology (CDF)
T. Lesiak
Extra dimensions
61
What about the second time dimension ?
Aboriginal second time = our dreams; „Dreamtime story of the Willy Willy” 1989.
The presence of the second time dimension
would modify the Specific Theory of Relativity:
• We could be unaware of the time t2
(may be not detectable directly) .
• But, if the interval t22 does not vanish:
 ds2 is no longer invariant,
 STR is violated (we would see it).
• With t2 it is very easy to perform time travel in
t1 moving along t2.
• Example: an insect on the rope or sheet of paper.
• Such a world lacks, however, causality, energy can
„vanish” etc.
• Interesting case: anti de Sitter universe with
two time dimensions and hyperbolic geometry.
• t12+t22=1  time is cyclic around the circle
future becomes past and vice versa.
T. Lesiak
Extra dimensions
62
Summary

At first the extra dimensions were the domain of spiritualists.

Gradually it became clear that in extra dimension physics law simplify.

Quite long evolution: theory of relativity  Kaluza Klein  string theory
(prediction: 9(10) spatial dimensions; it can safely stuff all physics laws).

Recent models like ADD would suggest that may by we live in a new type of
„Flatland” – a 3-brane immersed in the Universe-brane.

Then the quantum gravity (Planck scale) would be just round the corner.

This is, in fact, the next step in Copernicus revolution.

An intense field of experimental research: table-top, astrophysical and
accelerator bounds on the mass scale and size of extra dimensions.
A good reading:
Michio Kaku: „Hyperspace”
Clifford A. Pickover: „Surfing through Hyperspace”
You all are flatlanders
T. Lesiak
Extra dimensions
63
Do not forget
It is in the presence of extra dimensions that we can:
• Unify gravitation and gauge interactions of particle physics.
• Quantize gravitational interaction.
• Explain the mass enigma.
• Observe microscopic black holes.
T. Lesiak
Extra dimensions
64
Modele cykliczne – kolizje światów
alternatywą dla Standardowego Modelu
Kosmologicznego, uwzględniającego inflację
 Standardowy model kosmologiczny obejmuje obecnie wiele dodatków:
inflacja, ciemna materia, ciemna energia, wszystkie one dodawano jeden po
drugim, aby zapewnić zgodność z danymi obserwacyjnymi.
 Brak mu też jasnej koncepcji jak wyglądał początek Wszechświata oraz jaki
będzie jego kres.
 Alternatywą modele oparte na zderzeniach bran „braneworld scenario”
(inspirowane teorią strun).
Uwaga: p-brany mogą być makroskopowe a nawet ogromne; mogą osiągnąć takie rozmiary
startując od długości Plancka np. przez nawinięcie się na ekspandujący obszar przestrzeni.
1. Model ekpyrotyczny
(J.Khoury, B.Ovrut, P.J. Steinhardt, N.Turok) (hep-th/0103239).
2. Model cykliczny (P.J.Steinhardt, N.Turok).
„Nieskończony Wszechświat”
P.J. Steinhardt, N.Turok Prószyński 2009r
„W poszukiwaniu Wieloświata”
T. Lesiak
J.Gribbin 2010r.
Extra dimensions
65
Wszechświat ekpyrotyczny
 Nasz Wszechświat powstał w wyniku zderzenia dwóch trójwymiarowych światów
(3-bran), poruszających się w ukrytym dla nas, czwartym wymiarze.
 „Nasz wszechświat” = jedna z bran.
 Druga brana ma własne rodzaje materii i sił,
które nie mogą się propagować w dodatkowym
wymiarze.
 Obie brany są całkowicie od siebie oddzielone
z wyjątkiem jednego szczegółu: mogą one
oddziaływać ze sobą grawitacyjnie.
 Wielki Wybuch = zderzenie dwóch bran
 To raczej „Big splat” – wielki prysk.
 Doprowadzenie do zetknięcia się ze sobą dwóch bran wymaga energii
(np. bariera kulombowska przy zderzeniu dwóch dodatnio naładowanych jąder atomowych).
 Jeśli jednak zderzenie bran następuje „czołowo” i ze znaczną szybkością
 część energii kinetycznej zamienia się na inne formy  „nasz Big Bang”.
T. Lesiak
Extra dimensions
66
Wszechświat ekpyrotyczny
 Nazwa od greckiego ekpyrosis (pożar świata, conflagration):
„model kosmologiczny” stoików: Wszechświat wyłonił się z nagłego,
wybuchowego pożaru, potem stygł i znów w kolejnym pożarze się odradzał.
 Nasz Wszechświat to w rzeczywistości pozostałość po „pożarze świata”,
wywołanym zderzeniem dwóch 3-bran, która dla nas, istot żyjących w branie
wygląda jak Wielki Wybuch.
 Prawdziwy Wszechświat jest 4+1 wymiarowy (bulk).
 W nim istnieją co najmniej dwie „boundary branes”
(trójwymiarowe światy, leżące na granicy czwartego wymiaru przestrzennego).
 naturalny stan początkowy, wyznaczony przez warunek maksymalnej symetrii:



płaskie i równoległe od siebie,
puste tj. bez materii (poza próżnią wirtualnych cząstek),
 symetryczne warunki brzegowe.
 Jeśli brany są co najmniej dwie, to dlaczego nie miałyby się one spotkać (zderzyć) ?
T. Lesiak
Extra dimensions
67
Wszechświat ekpyrotyczny
„Nasza” brana
„Druga” brana
Obie brany zbliżają
się i zderzają
Energia zderzenia daje
początek naszemu
Wszechświatowi
Dalsza ewolucja jak
w SMK
 Energia kinetyczna zderzenia  materia naszego Wszechświata: cząstek uwięzionych w 3D.
 Ta energia (temperatura) jest skończona  brak pierwotnej osobliwości.
 Po zderzeniu brany odskakują od siebie.
 Wszechświat jest jednorodny bo zderzenie i faza ‘Big Bang’ zachodzą niemal jednocześnie
w całej branie.
T. Lesiak
Extra dimensions
68
Wszechświat ekpyrotyczny
 Płaskość: wynika z faktu, że energetycznie preferowane
stany bran po zderzeniu to tzw. Stany BPS; te zaś mają
płaską geometrię  krytyczna gęstość Wszechświata.
 Problem horyzontu: obszar zderzenia bran >> promienia
Hubble’a.
 Monopole: zderzenie bran podgrzało Wszechświat do zbyt
niskiej temperatury by mogły one powstać.
 Pierwotne niejednorodności: ich żródłem niewielkie pomarszczenia bran,
(patrz dygresja2); odtwarza rozmiar fluktuacji (~ 10-5).
oraz ich cechy (niezależność od skali, adiabatyczność, potęgowość).
Model ekpyrotyczny jest równie dobry jak idea inflacji:
rozwiązuje te same problemy SMK.
 Potencjalne rozróżnienie inflacja vs ekpyrotyczny: oba modele przewidują nieco inną
postać polaryzacji promieniowania reliktowego (fluktuacje tensorowe=pierwotne fale
grawitacyjne); inflacja daje tu silniejszy efekt ale poza zasięgiem obecnych detektorów
CMB (PLANCK, teleskopy naziemne) oraz anten fal grawitacyjnych (LIGO, LISA) .
 Dodatkowo: gdyby w przeszłości nasza brana tylko lekko „musnęła” inną
 powstałyby fale uderzeniowe, które musiałyby zostawić ślad w rozkładzie temperatury CMB.
T. Lesiak
Extra dimensions
69
Wszechświat ekpyrotyczny vs inflacyjny
Model ekpyrotyczny






Wynika wprost z teorii superstrun.
Jeśli zderzacz LHC nie potwierdzi idei supersymetrii runą same jego podstawy.
Ma ścisłe założenia dotyczące stanu początkowego W. tj. momentu przed zderzeniem.
Nie trzeba inflacji: światem rządzi jedna siła sprawcza – zderzenie bran.
Własności Wszechświata ukształtowane zostały przez warunki początkowe zderzenia bran.
Fluktuacje gęstości tworzą się bardzo powoli w procesie zbliżania się do siebie bran.
Inflacja




Oparta na 4D czasoprzestrzeni i punktowych cząstkach.
Zamazanie informacji o początku; bardzo wiele pokrewnych sobie modeli.
Fluktuacje gęstości tworzą się w bardzo krótkim czasie pod koniec inflacji.
Nasz Wszechświat to tylko jeden z wielu Wszechświatów oddalonych olbrzymimi połaciami
ekspandującej przestrzeni.
Model Wszechświata ekpyrotycznego  Wszechświat cykliczny; coś je łączy.
Model cykliczny idzie nawet dalej 
T. Lesiak
Extra dimensions
70
Dygresja1: o zderzeniach bran
 Teoria strun: brana to 3 makroskopowe wymiary oraz 6 które uległy kompaktyfikacji.
 Takie obiekty 9D mogą się jeszcze poruszać względem siebie w dziesiątym wymiarze
przestrzennym (prostopadle do pozostałych dziewięciu wymiarów).
 Oprócz zderzeń brana-brana (B-B) może także dochodzić do kolizji brana-antybrana (B-A).
 Zderzenie B-A  anihilacja.
 Anihilacja nie polega na natychmiastowej i całkowitej konwersji materii bran do energii.
 Raczej, w procesie anihilacji znaczna część energii uwalnia się z postaci materialnych
fragmentów tj. bran i antybran o niższej wymiarowości, które dalej anihilują.
 Prowadzi to do kaskadowego tworzenia wszechświatów o coraz niższej ilości wymiarów.
 Prawdopodobieństwo anihilacji B-A jest proporcjonalne do ilości wymiarów bran:
• te o większej ilości wymiarów wypełniają wyżej wymiarową „objętość” i mogą się łatwiej
„spotkać”,
• „małe brany” takie jak nasz Wszechświat są na tyle rzadko rozrzucone w
wielowymiarowej przestrzeni, że mija stosunkowo długi czas aż dojdzie do anihilacji B-A.
T. Lesiak
Extra dimensions
71
Dygresja2:
o pierwotnych zaburzeniach gęstości materii
 Kwantowe fluktuacje (zasada nieoznaczoności) powodują iż:
 czasoprzestrzeń nie może być zupełnie płaska i pusta,
 muszą w niej występować losowo rozmieszczone zmarszczki,
 dwie brany, nawet przy idealnie „równoległym” zetknięciu, nigdy nie spotkają się
na całej powierzchni jednocześnie,
 te ich fragmenty, które nieco „wystają”, zderzą się jako pierwsze i te regiony
jako pierwsze staną się gorące,
 obszary te pozostaną cieplejsze także i po zderzeniu, gdy brany oddalą się wzajemnie,
 Proces zderzenia i odbicia bran może trwać miliardy lat
i dać obraz Wielkiego Wybuchu,
 Zagęszczenia materii w jednym Wszechświecie pasują do zagęszczeń w drugim.
T. Lesiak
Extra dimensions
72
Dygresja3:
o ciemnej materii i ciemnej energii

Brany po kolizji odskakują od siebie (siła oddziaływania bran ~ siła sprężystości).

Odległość między branami pozostaje mikroskopowa – na tyle mała by wywierały
one na siebie wzajemny wpływ grawitacyjny (wymiana grawitonów w przestrzeni
oddzielającej brany).

 ciemna materia jest w tym modelu materią z sąsiedniego Wszechświata,
która leży bliżej naszego niż średnica atomu.

 ciemna energia jest bezpośrednio związana ze sprężynopodobnymi siłami,
utrzymującymi brany blisko siebie.
T. Lesiak
Extra dimensions
73
Dygresja4:
o entropii

Kolejne cykle nie występują z powodu periodycznych zmian
ekspansja-kontrakcja zachodzących dla całego wszechświata.

Pojedyncze brany ekspandują nieustannie.

Cykliczne są jedynie zmiany odległości między branami.

 Entropia rośnie w każdym kolejnym cyklu zgodnie z drugą zasadą
termodynamiki.

Jednocześnie ekspansja bran powoduje zmniejszanie się gęstości entropii.

Pod koniec każdego cyklu gęstość entropii maleje niemal do zera  pełny reset.

 cykle rozumiane jako zmiana odległości między branami mogą być takie same
i powtarzać się w nieskończoność.
T. Lesiak
Extra dimensions
74
Wszechświat cykliczny
 Nie pojedyncze zderzenie bran ale powtarzające się cyklicznie kolizje.
  „nasz Wszechświat” jest wieczny i cyklicznie się odradza
 nie było początku.
 Pojedynczy cykl składa się z sześciu etapów:
T. Lesiak
Extra dimensions
75
Wszechświat cykliczny
Zacznijmy cykl
w tym miejscu
JESTEŚ TUTAJ
T. Lesiak
Extra dimensions
76
Wszechświat cykliczny
1. Wielki Wybuch
 Dochodzi do zderzenia dwóch bran.
 Część energii zderzenia zostaje przekształcona w materię
o bardzo regularnym rozkładzie oraz promieniowanie
o bardzo wysokiej temperaturze (wystarczającej
do restoracji stanu cząstek i sił sprzed GUT).
 Przed wybuchem przestrzeń jest spłaszczona i wypełniona
energią o regularnym rozkładzie, pochodzącą z rozpadu
ciemnej energii.
 Wielki Wybuch jest zdarzeniem w zasadzie w pełni
opisywanym przez prawa fizyki.
Wielki plask
 Od „przed” do „po” Wielkim Wybuchu, struktura
czasoprzestrzeni pozostaje nienaruszona, gęstość energii
jest zawsze skończona, a czas płynie równomiernie.
T. Lesiak
Extra dimensions
77
Wszechświat cykliczny
2. Epoka dominacji promieniowania
 Wszechświat powstały w epoce pierwszej jest już płaski, regularny i zdominowany
przez promieniowanie  nie ma potrzeby wystąpienia inflacji.
 Zachodzą kolejno wszystkie zjawiska znane ze standardowej kosmologii:
bariogeneza, nukleosynteza etc.
3. Epoka dominacji materii
 Dokładnie tak samo jak w SMK, ten etap zaczyna się dla t = 75 000 lat.
 Dochodzi do rekombinacji dla t = 380 000 lat i Wszechświat staje się przejrzysty.
 Materia skupia się pod wpływem grawitacji i formują się galaktyki.
 Koniec tej epoki: t = 5 mld lat.
T. Lesiak
Extra dimensions
78
Wszechświat cykliczny
4. Epoka dominacji ciemnej energii
 Z czasem materia i promieniowanie ulegają, wraz z postępem ekspansji, na tyle dużemu
rozrzedzeniu, że zaczyna dominować ciemna energia (patrz „krzywa energii”).
  ekspansja Wszechświata przyspiesza – zmierza on do niemal pustego,
jednorodnego stanu.
5. Epoka kurczenia się (kontrakcji)
 Przyspieszająca ekspansja (faza 4) nie trwa wiecznie gdyż ciemna energia może
ulegać rozpadowi (zamianie w energię kinetyczną).
 Rozpad ciemnej energii powoduje zwolnienie ekspansji, a w końcu jej
zatrzymanie, prowadząc do fazy o bardzo łagodnej kontrakcji.
T. Lesiak
Extra dimensions
79
Wszechświat cykliczny
 Zachowanie ciemnej energii w pojedynczym cyklu można porównać do sprężyny
rozciąganej w kolejnych fazach  rośnie jej energia potencjalna.
 Rozpad ciemnej energii odpowiada uwolnieniu napiętej sprężyny i przemianie jej
energii potencjalnej w kinetyczną.
 Jednocześnie wpływ grawitacyjny na przestrzeń ze strony ciemnej energii zmienia znak.
 Na początku fazy kontrakcji gęstość DE jest bardzo mała – bliska wartości
obserwowanej dzisiaj.
 Wraz z procesem kontrakcji gęstość energii wzrasta gwałtownie
 energia zawarta w polu grawitacyjnym jest przekształcana w nową,
wysokociśnieniową formę ciemnej energii;
 jej gęstość rośnie znacznie szybciej niż gęstość jakiejkolwiek innej formy materiienergii.
6. Wielki krach
 Część wysokociśnieniowej formy ciemnej energii zostaje nagle przekształcona
w gorącą materię i promieniowanie, a Wszechświat zaczyna się rozszerzać.
 Wielki Krach zamienia się w Wielki Wybuch .
T. Lesiak
Extra dimensions
80
„Krzywa energii” wszechświata cyklicznego
Zależność energii potencjalnej od odległości między branami
(podobna do wykresu dla inflacji, tylko przesunięta ku ujemnym wartościom dla osi rzędnych).
Zależność ta opisuje potencjał siły kwazi-sprężystej, działającej między branami.
Grawitacyjne
pchnięcie:
Część energii
Wszechświata.
przekształca się
w Ek bran
Obecny
Wszechświat
Wszechświat będzie dążyć do minimum
potencjału  od „dziś” odległość między
branami będzie maleć; tempo tego procesu
będzie rosnąć a potem maleć aż Wielkiego
Krachu.
Wielki Krach
Wielki Wybuch
Faza kontrakcji: energia potencjalna
przekształca się w energię kinetyczną
Same brany nadal bardzo powoli
ekspandują (kurczą się tylko
dodatkowe wymiary).
T. Lesiak
Odstęp między branami prawie stały, ale
same brany się gwałtownie rozszerzają
to likwiduje ich „zmarszczki”
i doprowadza do płaskiego stanu sprzed
poprzedniego Wielkiego Krachu.
Energia
potencjalna
dodatnia 
ekspansja
przyspiesza.
Wielki Krach = Wielki Wybuch  brany
odskakują od siebie i Wszechświat powraca
do stanu „obecnego”.
Extra dimensions
Energia potencjalna zmagazynowana
w kwazi-sprężystej sile działa
efektywnie jak ciemna energia.
81
Wszechświaty: standardowy i cykliczny
Zarówno czas
jak i przestrzeń
są nieskończone
T. Lesiak
Extra dimensions
82
Wszechświaty: inflacyjny i cykliczny
T. Lesiak
Extra dimensions
83
Propozycje tematów referatu:
1. Geometrie nieeuklidesowe.
2. „Geometria” Eschera.
3. „Piąta” siła.
4. Teoria Kaluzy-Kleina.
5. Testy astrofizyczne ekstra wymiarów przestrzennych.
6. Ekstra wymiary w podejściu RS (Randall, Sundrum).
7. Ekstra wymiary w kulturze (science-fiction, film, malarstwo).
8. Fizyka a science fiction:
Lawrence Krauss: „Fizyka Star Trek”
Michio Kaku: „Fizyka rzeczy niemożliwych”
9. Wszechświat cykliczny.
T. Lesiak
Extra dimensions
84
Backup
T. Lesiak
Extra dimensions
85