tesis de doctorado en ciencias

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE DOCTORADO EN CIENCIAS
Control Tolerante a Fallas de Sistemas Singulares LPV Politópicos:
Aplicación a una Columna de Destilación
Presentada por:
ADRIANA AGUILERA GONZÁLEZ
M.C. en Ingeniería Electrónica por el CENIDET.
Como requisito para la obtención del grado de:
Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Director de tesis:
Dr. Manuel Adam Medina
Co-Director de tesis:
Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza
Cuernavaca, Morelos, México.
Julio 06 de 2012
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE DOCTORADO EN CIENCIAS
Control Tolerante a Fallas de Sistemas Singulares LPV Politópicos:
Aplicación a una Columna de Destilación
Presentada por:
ADRIANA AGUILERA GONZÁLEZ
M.C. en Ingeniería Electrónica por el CENIDET.
Como requisito para la obtención del grado de:
Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Jurado:
Dr. Luis Gerardo Vela Valdés
Presidente
Dr. Arturo Zavala Río
Dra. Ma. Cristina Verde Rodarte
Dr. Manuel Adam Medina
Vocales
Dra. Ma. Guadalupe López López
Secretario
Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza
Dr. Carlos Daniel García Beltrán
Dr. Didier Theilliol
Vocales Suplentes
Cuernavaca, Morelos, México.
Julio 06 de 2012
Dedicatoria
DÉDIÉ À:
DIEU TOUT PUISSANT, qui m’a donné la vie. Pour toute la protection, la bénédiction et la force pour
bien finaliser ce travail.
MON AMOUR ERIC, pour être toujours là... ton grand amour, ta patience, ton soutien et tes
encouragements sont et seraient toujours les secrets de ma réussite.
L’ÉTERNEL gardera ton départ et ton arrivée, dès maintenant et à jamais.
Ps 121:8
I
Esta es una hoja en blanco.
II
Agradecimientos
A Dios y a la Virgen de Guadalupe, doy gracias por acompañarme y protegerme cada día lejos de casa,
por permitirme conocer su grandeza a través de los ángeles que día a día pone en mi camino.
A mi mamita Ana Leonor y a mi hermana Nohora, gracias por ser mi principal apoyo y a pesar de
la distancia, hacerme sentir siempre el amor de la familia.
A “mon petit” Eric, gracias por haberte cruzado en mi camino aquella noche de otoño y desde entonces, ser mi principal motivo para seguir adelante cada día. Gracias por luchar a mi lado en contra
del tiempo y de la distancia... Gracias por convertirte en el amor de mi vida. A mi muñeco Martxel,
gracias por tu bella sonrisa que cada mañana ilumina mi corazón.
A mi tío Marcos, gracias por la confianza depositada y por su presencia en este momento tan importante para mí.
A toda mi familia que desde Colombia siempre ha estado presente, gracias por todo su apoyo y por
ser mi fuente de fortaleza. En especial a mi tía Caro, que nunca supe cómo hizo pero sus sms llegaban
siempre en el momento preciso.
A Javier “Bicho” por su amistad incondicional, por todo su apoyo y por brindarme una familia en México. Gracias a toda la familia Roblero Hernández.
A mi asesor el Dr. Manuel Adam Medina, gracias por su apoyo moral y académico, por su guía durante el desarrollo de este trabajo y por su enorme paciencia. A mi co-asesor el Dr. Carlos M. Astorga
gracias por confiar en mí y por todo su apoyo en la realización de esta tesis, pero especialmente gracias por su amistad incondicional y por las palabras de aliento en los instantes cuando todo se veía gris.
A mis revisores locales: Dra. Ma. Guadalupe López L., Dr. Carlos Daniel García Beltrán, Dr. Luis Gerardo Vela Valdés, gracias por sus acertadas correcciones y consejos durante el desarrollo de este trabajo.
A mis revisores externos: a la Dra. Cristina Verde (UNAM, México), muchas gracias por todo su apoyo y
por su guía durante estos cuatro años. Al Dr. Didier Theilliol le agradezco su apoyo durante mi estadía
en el CRAN (Francia), etapa muy importante para mí a nivel profesional y personal. Y especialmente
III
le agradezco al Dr. Arturo Zavala Río por la oportunidad de trabajar en el IPICYT (México), gracias por
sus múltiples discusiones académicas y personales que hoy se reflejan en esta tesis, especialmente por
compartir conmigo su amistad.
A todos los docentes del CENIDET que contribuyeron en mi formación académica y personal durante
estos años: Dr. Alejandro Rodríguez, Dr. Hugo Calleja, Dr. Marco Oliver, Dr. Vicente Gerrero, Dr. Víctor
Alvarado, Dr. Enrique Quintero-Mármol. Y a los docentes que hicieron que mi estancia en CENIDET
fuera muy agradable: Dr. Carlos Aguilar, Dr. Mario Ponce, Dr. Abraham Claudio, Dr. José María Lelis, Dr.
Jesús Arce y al Dr. Jaime Arau. En especial al Dr. Juan Reyes Reyes que aunque lejos (desde Zacatepec)
siempre fue un gran apoyo.
A todo el personal administrativo del CENIDET, agradezco especialmente a Marina Rodríguez por su
amistad, compañía y consejos. A mi gran amiga Anita Pérez, Lic. Patricia Armas, Lic. Verònica Sotelo, Lic. Guadalupe Garrido, Lic. Olivia Maquinay, Ing. Héctor Figueroa, Mc. Alfredo González y Lorena
Ruiz, gracias por su apoyo desde los diferentes departamentos y especialmente por su amistad.
A todos mis compañeros de doctorado: Efrén, Tomás, Miguel, Héctor, Raul, Cornelio, Jarquin, Mael,
Cinda, Manuel, Iván, Rodolfo, Aqui, Gloria, Julio, Felipe, Ronay, Aurelio y Blanca, gracias por los momentos compartidos. Muy especialmente a Marlem, Fermín y a Edwing, gracias por su amistad, cariño
y por todo su apoyo en los momentos difíciles.
A mis grandes amigos, ahora “colegas”: Adriana, Marving, Mario y Armando gracias por brindarme
siempre su cariño y apoyo, a pesar del tiempo y la distancia siempre conté con ustedes. A quienes me
brindaron su amistad incondicional (con todo lo que ello implica): Héctor García, Angel Gómez, Lucecita, Miguel Hidalgo, Hiram Morales, Marco Hernández, Francisco Corza y Juventino Rubio.
A mis amigos del CRAN: Abdou, Rim, Sonia, Tushar y Junbo, gracias a ustedes conozco un pedacito
más de este grandioso planeta. Gracias por demostrarme que hablar el mismo idioma no es requisito
para hacer grandes amigos, y aunque la vida nos lleve por caminos diferentes, ustedes siempre están
ahí. Los llevo en mi corazón... Merci, Barak Allahu fiik, Thanks, Dhanyavaad, Mh goi.
A Letty, Lore y Julio Martínez, mis amigos incondicionales del D.F. que Dios cruzó en mi camino. Gracias por hacerme sentir como en casa.
A todos aquellos que en México y Francia me acompañaron en algún momento y a quienes desde
Colombia me han apoyado siempre.
Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por brindarme
las herramientas que permitieron que hoy cumpla con esta meta, al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por el
apoyo económico brindado para poder realizar y culminar mis estudios de doctorado.
IV
Resumen
En esta tesis se desarrolla un esquema de control tolerante a fallas para una clase de sistemas singulares
LPV politópicos usando observadores PI-Adaptables. Este trabajo se divide en cuatro ejes principales:
el desarrollo de un modelo singular LPV politópico para una columna de destilación binaria, el diseño
de un nuevo observador PI-Adaptable para la estimación de estados y entradas desconocidas, un sistema de diagnóstico de fallas en sensores y actuadores y finalmente, un sistema de Control Tolerante
a Fallas que cierra el lazo con el fin de mantener el buen desempeño del sistema.
El modelo singular LPV politópico, toma como parámetros variables las entradas de la planta, que
definen un conjunto de modelos locales y a través de funciones de ponderación, permiten la construcción del modelo global del sistema. El nuevo observador PI-Adaptable singular politópico, aprovecha
las ventajas de los observadores del tipo proporcional-integral para estimar los estados y las entradas
desconocidas simultáneamente, y a través de un algoritmo adaptable se mejora la rapidez de la convergencia. Con base en la teoría de observadores adaptables para sistemas lineales, se establece un
teorema en el que se formulan las condiciones de estabilidad y convergencia del nuevo observador a
través de la combinación de la teoría de estabilidad de Lyapunov y de la teoría de LMI.
Usando un banco de observadores PI-Adaptables dedicados se diseña un esquema de diagnóstico para detectar, aislar e identificar las fallas en la columna de destilación. Esta estructura permite localizar
y estimar fallas simultáneas en los sensores de temperatura, esto se logra al modelar la falla como un
estado auxiliar que se estima como un estado adicional del sistema.
Finalmente, se desarrolla un sistema de control tolerante a fallas que se compone principalmente de
dos módulos: un módulo de detección y aislamiento de fallas en sensores y un módulo de control realimentado que utiliza un controlador de entradas acotadas. En este esquema, una falla del primer
sensor (ubicado en el condensador de la columna) afecta el rendimiento del sistema de control en lazo
cerrado, ya que es la referencia que se utiliza para guiar la entrada de control. Entonces, cuando una
falla en el primer sensor aparece, el FTC conmuta a la señal de un sensor virtual que se modela libre de
fallas y así se mantiene el objetivo de regular el sistema aún en presencia de perturbaciones.
De esta manera, cada una de las partes de este trabajo son integradas en un sistema de control tolerante a fallas, el cual, proporciona información confiable y adecuada para permitir la correcta operación
continua de la columna de destilación.
V
VI
Abstract
This thesis develops a control fault tolerant scheme for a class of singular systems using PI-Adaptive
polytopics LPV observers. This paper is divided into four main areas: i). development of a model singular polytopic LPV for a binary distillation column, ii). design of a new PI-Adaptive observer to estimate
states and unknown inputs, iii). development of a fault diagnosis system for sensor and actuators, and
finally, iv). development of a fault tolerant control system that closes the loop in order to maintain good
system performance.
The polytopic LPV model unique takes as parameters the input variables of the plant; these parameters
define a set of local models through weighting functions. This set allows the global model construction
of the system. The new PI-Adaptive observer polytopic for singular systems, takes advantage of the
proportional-integral observers to estimate states and unknown inputs simultaneously, and the speed
of convergence is improved through an adaptive algorithm.
In this work a new theorem is provided based on the theory of adaptive observer for linear systems.
The conditions of stability and convergence of the new observer were given through the combination
of the Lyapunov stability theory and LMI theory.
Using a bank of dedicated observers PI-Adaptive, a diagnostic scheme is designed to detect, isolate
and identify faults on the binary distillation column. This structure allows to locate and estimate simultaneous failures on temperature sensors. This procedure is achieved by modeling the fault as an
auxiliar state, which is estimated as an additional state of the system.
Finally, it is developed a fault-tolerant control scheme which consists primarily of two modules: a fault
detection and isolation module on sensors and a feedback control module that uses an input bounded.
In this scheme, a failure of the first sensor (located on the column condenser) affects system performance in closed loop control, because this sensor is the reference used to guide the control input. If a
fault occurs in the first sensor, the FTC switches to a virtual sensor signal which is modeled and faults
free. This scheme keeps the regulation of the system even in the presence of disturbances.
Each part of this work is integrated into a control fault tolerant system, which provides reliable and
adequate information and allows a proper continued operation of the binary distillation column.
VII
VIII
Résumé
En cette thèse on développe un schéma de contrôle de tolérance aux défauts, pour une classe de systèmes singuliers linéaires à paramètres variants (LPV) polytopiques par utilisation d’observateur PIAdaptatifs. Pour mener à bien le concept du système FTC, le travail se subdivise en quatre parties: élaboration d’un modèle singulier LPV polytopique pour une colonne de distillation binaire, conception
d’un nouveau observateur Proportionnel-Intégarl Adaptatif (PI-Adaptatif ) singulier polytopique, conception du système de diagnostic des défauts de capteurs et actionneurs, et un système de commande
de tolérance aux défauts, qui ferme la boucle afin de maintenir la bonne performance du système.
L’observateur conçu dans le présent document est basé sur un modèle singulier LPV polytopique, qui
prend comme paramètres variables les entrées de la plante et se compose d’un ensemble de modèles
locaux définis par des fonctions de pondération. Ce nouvel observateur a l’avantage des observateurs
proportionnel-intégrale (amélioration de la vitesse de l’observation), et offre également la possibilité
d’utiliser un algorithme adaptatif capable d’estimer de façon simultanée les états et les entrées inconnues du système. Basée sur la théorie des observateurs adaptatifs pour des systèmes linéaires, cette
thèse fournit un théorème qui donne les conditions de stabilité et de convergence de l’observateur,
grâce à la combinaison de deux théories: théorie de stabilité de Lyapunov et théorie de LMI.
Par utilisation d’une banque d’observateurs PI-Adaptatifs polytopiques dédiés, il est possible d’établir
un système de diagnostic pour détecter, isoler et identifier les défauts dans les capteurs de température, ce qui en fait un outil intéressant pour le diagnostic de la colonne de distillation. Pour compléter le
système FDI, les observateurs peuvent également donner des estimations sur l’ampleur du défaut en
modélisant ce dernier en tant qu’un état auxiliaire au système.
Enfin, nous développons un système FTC, qu’est composé de deux modules: un module FDI de capteurs, et un module de commande de rétroaction qui utilise une entrée bornée. Dans ce schéma, une
faute du premier capteur -situé dans le condenseur de la colonne de distillation- affecte la performance du système en boucle fermée, puisque ce capteur est la référence utilisée pour guider l’entrée de
commande. Par conséquent, le système FTC communique des signaux à un autre capteur virtuel modélisé sans faute, afin de maintenir la régulation du système, même en présence de perturbations.
Les différentes parties de ce travail sont intégrées dans un système FTC, qui fournit des informations
fiables et adéquates pour permettre un fonctionnement correct de la colonne de distillation.
IX
X
Índice general
Índice general
XI
Índice de figuras
XV
Índice de tablas
XIX
Nomenclatura
XXI
Introducción General
1
1. Conceptos y principios generales de los sistemas tolerantes a fallas
5
1.1. Sistemas lineales con parámetros variantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Estrategia de múltiples modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Diagnóstico de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1. Objetivos del diagnóstico de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2. Tipos de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.3. Diagnóstico de fallas basado en modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.4. Técnicas de generación de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.5. Evaluación de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3.6. Toma de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4. Control tolerante a fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.1. Mecanismos de tolerancia a fallas en la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4.2. Mecanismos de tolerancia a fallas en sensores y actuadores . . . . . . . . . . . . .
23
1.5. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.6. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.8. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
XI
ÍNDICE GENERAL
1.8.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2. Sistemas singulares LPV politópicos
29
2.1. Sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2. Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.1. Sistemas LPV Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.2. Sistemas LPV politópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3. Sistemas singulares LPV politópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.1. Formulación de un modelo singular LPV politópico . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.2. Estabilidad de los sistemas singulares LPV politópicos . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4. Modelado de una CDB por medio de sistemas singulares LPV . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.1. Modelo no lineal de la CDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.2. Diseño de un modelo singular LPV politópico de la CDB . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4.3. Prueba del modelo singular LPV politópico de la CDB . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3. Estimación en sistemas singulares LPV politópicos
61
3.1. Observadores para sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.1.1. Filtro de Kalman con entradas desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.2. Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.1.3. Observador tipo Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.4. Observador proporcional-integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.1.5. Observador no lineal de entradas desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2. Observadores para sistemas singulares LPV politópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2.1. Observador para sistemas singulares LPV politópicos en tiempo discreto . . . . .
69
3.2.2. Observador PI de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV politópicos 71
3.3. Diseño de un observador PI-Adaptable para sistemas singulares LPV politópicos . . . .
74
3.3.1. Diseño de un nuevo observador PI-Adaptable para sistemas singulares . . . . . .
78
3.3.2. Ejemplo académico con el observador PI-Adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.3.3. Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para sistemas singulares .
91
3.3.4. Aplicación del observador PI-Adaptable LPV politópico a la CDB . . . . . . . . . .
94
3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
XII
ÍNDICE GENERAL
4. Diagnóstico de fallas en sistemas singulares LPV politópicos
109
4.1. Diagnóstico de fallas en actuadores para sistemas singulares LPV politópicos . . . . . . 110
4.1.1. Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para detección de fallas en
actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2. Diagnóstico de fallas en sensores para sistemas singulares LPV politópicos . . . . . . . . 114
4.2.1. Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para detección de fallas en
sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2. Localización y estimación de las fallas en sensores usando observadores PIAdaptables LPV politópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.3. Prueba del esquema FDI para fallas en sensores en la CDB . . . . . . . . . . . . . 123
4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5. Mecanismo de FTC en sistemas singulares LPV politópicos, mediante reposición del elemento en falla
141
5.1. Esquemas de control tolerante a fallas en sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2. Diseño de un esquema de control tolerante a fallas basado en observadores PI-Adaptables143
5.2.1. Ley de control de entradas acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2.2. Prueba de la ley de control de entradas acotadas: aplicación a la CDB . . . . . . . 145
5.3. Prueba del esquema FTC propuesto: aplicación a la CDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6. Conclusiones generales
153
6.1. Originalidad y aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2. Alcances y limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1. En congreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.2. En revista indezada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.3. Artículos previos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bibliografía
161
A. Instrumentación de la planta piloto de destilación
171
B. Matrices de firmas de fallas
175
XIII
XIV
Índice de figuras
1.1. Modelos de sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Representación esquema multi-modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Representación de los tipos de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Sistema FDD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5. Reconfiguración del controlador (Blanke et al. (2006)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6. Sistema FTC activo (Zhang y Jiang (2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.7. Clasificación de los mecanismos de control tolerante a fallas (Puig et al. (2004)). . . . . .
19
2.1. Mapeo de una caja de parámetros a un politopo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2. Conjunto convexo Ψ con Q = 2 y Q = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3. Esquema de formación de compartimentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.4. Planta piloto de destilación de CENIDET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.5. Puntos de operación en función de las trayectorias de los parámetros θj . . . . . . . . . .
47
2.6. Caja de parámetros y su normalización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.7. Trayectorias de la caja de parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8. Variación del flujo molar líquido L con respecto a la apertura de la válvula de reflujo. . .
51
2.9. Variación del flujo molar de vapor V con respecto al cambio de la potencia de
calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.10. Funciones de ponderación (i (θ(t))). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.11. Entradas de la CDB sin perturbaciones (simulación No. 2.1). . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.12. Respuesta del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.1). . . . .
54
2.13. Error del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.1). . . . . . . .
55
2.14. Entradas de la CDB con perturbación en el flujo de alimentación (simulación No. 2.2). .
57
2.15. Respuesta del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.2). . . . .
58
2.16. Error del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.2). . . . . . . .
59
3.1. Región LMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
XV
ÍNDICE DE FIGURAS
3.2. Estados estimados vía observador PI-Adaptable (simulación No. 3.1). . . . . . . . . . . .
85
3.3. Falla estimada vía observador PI-Adaptable (simulación No. 3.1). . . . . . . . . . . . . .
86
3.4. Error de estimación con falla constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
87
88
3.7. Error de estimación con falla variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
89
90
3.10. Error de estimación con falla variable y ruido de medición. . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.11. Variación del flujo molar líquido L con respecto a la apertura de la válvula de reflujo. . .
97
3.12. Variación del flujo molar de vapor V con respecto al cambio de la potencia de
calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.13. Funciones de ponderación (i (θ(t))). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.14. Entradas de la CDB sin perturbaciones (simulación No. 3.4). . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.15. Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.4). . . 100
3.16. Error de estimación sin perturbación (simulación No. 3.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.17. Entradas de la CDB con perturbación en el flujo de alimentación (simulación No. 3.5). . 103
3.18. Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.5). . . 104
3.19. Error de estimación con perturbación (simulación No. 3.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.20. Estimación de la entrada desconocida vía observador PI-Adaptable LPV politópico
(simulación No. 3.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1. Esquema de diagnóstico de fallas en actuadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Esquema de diagnóstico de fallas en sensores.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3. Banco de observadores bajo el esquema DOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4. Generación de síntomas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5. Síntoma generado por el residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6. Sistema de medición de temperatura de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . 124
4.7. Diagrama líquido vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8. Cambios en la composición molar con respecto a la temperatura. . . . . . . . . . . . . . 125
4.9. Entradas de la CDB sin perturbaciones (simulación No. 4.1). . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10. Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico, en presencia de una falla
en sensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.11. Estimación de la falla en el sensor vía observador PI-Adaptable LPV politópico. . . . . . 129
4.12. Residuos generados por el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 . . . . . . . . . . . 130
XVI
ÍNDICE DE FIGURAS
4.15. Entradas de la CDB con perturbación en el flujo de alimentación (simulación No. 4.3). . 133
4.16. Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico, en presencia de una falla
en sensor y de perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.17. Residuos generados por el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 en presencia de
perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.20. Matriz de firma de fallas usando los observadores O2 y O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1. Esquema de control tolerante a fallas propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2. Entradas de la CDB (simulación No. 5.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3. Dinámica de la entrada y la salida del sistema al esquema de control en lazo abierto. . . 147
5.4. Dinámica de la entrada y la salida del sistema al esquema de control en lazo cerrado. . . 148
5.5. Dinámica de la entrada y la salida del sistema usando la señal de referencia con falla. . . 149
5.6. Dinámica de la entrada y la salida del sistema usando la referencia del sensor virtual. . . 150
A.1. Esquema de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2. Resistencia de calefacción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.3. Válvula de reflujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.4. Cuerpo de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.5. Condensador de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.6. Hervidor de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.7. Plato perforado de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.1. Matriz para fallas simultáneas en los sensores s1 , s4 y s6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.2. Residuos generados por el observador PI-Adaptable O1 para fallas múltiples. . . . . . . . 178
XVII
XVIII
Índice de tablas
2.1. Características de los componentes de la mezcla binaria etanol-agua . . . . . . . . . . .
50
2.2. Condiciones en estado estable de las composiciones molares . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.3. Entradas del proceso (Simulación No. 2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.4. Error del modelo singular LPV politópico (simulación No. 2.1) . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.5. Entradas del proceso (simulación No. 2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.6. Error del modelo singular LPV politópico (simulación No. 2.2) . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.1. Entradas del proceso (Simulación No. 3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.2. Error de estimación para el observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.4) 101
3.3. Entradas del proceso (simulación No. 3.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4. Error de estimación para el observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.5) 105
4.1. Correspondencia observador-sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2. Residuos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3. Matriz de firma de fallas para una sola falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4. Entradas del proceso (Simulación No. 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5. Entradas del proceso (simulación No. 4.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1. Entradas del proceso (Simulación No. 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.1. Combinaciones posibles para el caso de 6 fallas simultáneas . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.2. Matriz de firma de fallas para 6 fallas simultáneas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.3. Matriz de firma de fallas para 6 fallas simultáneas (continuación) . . . . . . . . . . . . . 183
XIX
XX
Nomenclatura
α
Constante positiva.
ū
Límite superior de la entrada para el control.
x̄
Vector de estados extendido del sistema.
B̌
Producto de fondo.
Ď
Producto destilado.
M̌p
Masa molar retenida en el compartimento.
η
Variable de optimización.
Γ
Matriz de aprendizaje del algoritmo adaptable.
γj
Coeficiente de actividad del componente j.
z̄ˆ
Vector de estados extendido del observador.
x̂
Vector de estados estimados.
λ
Umbral.
Λ12
Parámetro de interacción de la ley de Van Laar.
Λ21
Parámetro de interacción de la ley de Van Laar.
R+
Conjunto de los reales positivos.
Φ
Ganancia integral del observador.
θ
Parámetro variable del sistema LPV.
u
Límite inferior de la entrada para el control.
εi (θ)
Funciones de ponderación dependiente de los parámetros.
%
Salidas del sistema.
d
Entradas desconocidas del sistema.
XXI
Nomenclatura
F
Flujo molar de alimentación.
fa
Falla en actuador.
fs
Falla en sensores.
g(·)
Función no lineal (smooth function).
H
Ganancia proporcional del observador.
h(·)
Función no lineal (smooth function).
In
Matriz identidad de dimensión n.
j
Componente de la mezcla binaria.
L
Flujo molar de líquido.
LR
Flujo molar de líquido en la sección de rectificación.
LS
Flujo molar de líquido en la sección de agotamiento.
Mp
Retención molar en el plato p.
N
Número total de platos de la columna de destilación.
P
Matriz simétrica definida positiva.
p
Número del plato en la columna de destilación.
PT
Presión total del proceso.
Pjsat
Presión parcial de vapor del componente j.
Q = 2j Número total de funciones de ponderación.
rO,k
Residuo generado.
si
Número del sensor.
ta/tc
Relación apertura-cierre de la válvula de reflujo.
u
Entradas del sistema.
V
Flujo molar de vapor.
VR
Flujo molar de vapor en la sección de rectificación.
VS
Flujo molar de vapor en la sección de agotamiento.
x
Estados del sistema.
xp
Composición molar de líquido en el plato p.
yp
Composición molar de vapor en el plato p.
XXII
Nomenclatura
z
Vector de estados del observador.
zF
Composición molar en el flujo de alimentación.
SO,ζ
Síntoma generado.
XXIII
XXIV
Introducción general
Los sistemas singulares constituyen una importante herramienta para el análisis de los sistemas no
lineales; en este sentido, han atraído considerable atención en los últimos años y han captado muchas investigaciones dirigidas a la generalización de las teorías existentes, especialmente en el dominio
del tiempo. Dichas teorías incluyen temáticas como controlabilidad y observabilidad (Yip y Sincovec
(1981)), teoría de control retroalimentado (Junchao et al. (2007); Jiang et al. (2009)), diseño de observadores (Dai (1988); Darouach y Boutayeb (1995); Koenig (2006)), control óptimo (Zhong y Zhang (2009))
y control robusto (Xu et al. (2002); Yang et al. (2006)) .
Los sistemas dinámicos singulares pueden surgir de forma natural cuando se forman a partir de subsistemas interconectados. De hecho, un número considerable de sistemas pueden ser considerados
como una interconexión de subsistemas que son descritos a través de ecuaciones diferenciales y algebraicas. Muchos sistemas tales como: circuitos electrónicos, procesos químicos y biológicos, plantas
de energía, circuitos eléctricos y manipuladores robóticos, entre otros, se puede modelar como sistemas singulares ya que conservan la estructura de los sistemas físicos y además, describen las constantes y el comportamiento dinámico finito al mismo tiempo (Debeljkovic (2004)).
De otro lado, muchos procesos físicos y químicos presentan variaciones de los parámetros a causa de
su comportamiento no lineal o a la dependencia de variables externas; para estos procesos, los sistemas con parámetros lineales variantes (LPV, por su sigla en inglés) ofrecen una estrategia de modelado
atractiva para representarlos. Estos pueden ser vistos como sistemas no lineales reducidos a lineales
invariantes en el tiempo (LTI, por su sigla en inglés) con ciertas propiedades locales para valores particulares de los parámetros (θ(t)), que en la representación de espacio de estados, pueden indicarse
a través de una forma politópica o una combinación afín a un conjunto de vértices fijos (Garone et
al. (2007)). Las propiedades de los sistemas LPV son globales, ya que es posible capturar el comportamiento del sistema no lineal a lo largo de las trayectorias posibles de los parámetros, por estas razones
pueden utilizarse para aproximar y derivar las leyes lineales de control para sistemas no lineales.
Se debe tener en cuenta que todo sistema está sujeto a cambios en sus parámetros, bien sea por efectos de envejecimiento, desgaste en las piezas mecánicas, componentes eléctricos y electrónicos, etc. Si
estos cambios superan los límites de tolerancia específicos para una óptima operación, se consideran
como fallas y pueden afectar el buen funcionamiento del sistema. En un sistema detección y diagnóstico de fallas (FDD, por su sigla en inglés), la generación de residuos consiste en la obtención de las
1
señales que contienen información sobre las fallas, es decir, son el resultado de la comparación entre
las señales de referencia (modelo) y las mediciones en tiempo real sobre el sistema; en el caso ideal
estos residuos son cero lo que indicaría que no hay falla.
Algunas técnicas de FDD se desarrollan a partir del análisis de los cambios en los residuos, (Gertler
(1998); Chen y Patton (1999)); otra posibilidad se da mediante la medición de señales de entrada-salida
y sus relaciones inherentes, que se utilizan para detectar y localizar fallas (Basseville (1988); Isserman
(1993); Venkatasubramanian et al. (2003)). La dificultad de la detección automática de fallas se debe al
hecho que el número de las variables medidas por lo general es pequeña en comparación con el número de las variables de estado y además, dichas mediciones pueden estar contaminadas con el ruido
de los sensores. Por esta razón el ruido y la variabilidad de las mediciones en esencia excluye el uso de
sistemas expertos para detección de fallas en tiempo real y por el contrario, los métodos estadísticos
son buenos candidatos para contribuir a la solución del problema (Becraft y Lee (1999)).
Algunos de los principales enfoques de diagnóstico de fallas para sistemas no lineales desarrollan
técnicas para la generación de residuos, como: observadores de entradas desconocidas (Chen et al.
(1996)), observadores desacoplados (Izadi-Zamanabadi (2001)), observadores no lineales adaptables
(Xu et al. (2009)), filtros de Kalman (Theilliol et al. (2003)), estimación de parámetros (Gharieb et al.
(1993)) y espacio de paridad (Chan et al. (2006)).
Existen trabajos que utilizan modelos basados en el algoritmo de estimación de estados para detectar
dichos cambios, estos resultados se han extendido a la representación general de los sistemas singulares no lineales. El diseño de observadores para estos sistemas ha sido estudiado por autores como
Boutayeb y Darouach (1995), quienes diseñan un observador asintótico para sistemas singulares autónomos no lineales; aplicado a este mismo conjunto de sistemas, en el trabajo de Koenig (2006) se
diseña un observador de orden completo con ganancias proporcional e integral, para estimar los estados y las entradas desconocidas del sistema.
En el sistema de diagnóstico, los parámetros y las variables de estado deben ser estimados en línea.
Así mismo, el esquema de diagnóstico debe tener en cuenta los diferentes tipos de fallas y a su vez,
garantizar la fiabilidad de la información para activar el mecanismo de reconfiguración o el control
tolerante en un tiempo mínimo. El diseño de la estimación y el estudio de la estabilidad deben contribuir a desarrollar un plan para aislar las fallas de sensores y actuadores de forma adecuada, por esta
razón, el primer propósito del algoritmo de detección de fallas es generar una alarma para informar a
los operadores que existe un falla en el sistema.
El módulo de diagnóstico de fallas y aislamiento (FDI, por su sigla en inglés) debe detectar y aislar
las fallas, es el primer paso para monitorear el sistema y determinar el tipo y la ubicación de la falla.
A partir de esta información el sistema de control tolerante (FTC, por su sigla en inglés) a través de
la acomodación de la falla puede corregir, con base en el cambio del punto de operación del sistema,
evitando así que una cierta falla desemboque en un efecto final no deseado; o bien este esquema FTC
puede también reconfigurar el sistema, controlando únicamente la parte sana o compensando la falla
a través de un cambio en la estructura del controlador y sus parámetros (Basseville y Nikiforov (1993);
Noura et al. (2009)).
El objetivo principal de esta tesis es desarrollar un sistema de control tolerante con un esquema de
diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV, con aplicación en una columna de destilación binaria. Este sistema deberá permitir una estimación adecuada de las fallas en los sensores y actuadores,
así como las entradas desconocidas (perturbaciones) que puedan surgir en el sistema; esta información será confiable para que el control tenga la capacidad de mantener sus objetivos de regulación a
pesar de la presencia de falla en el sensor.
La presente tesis se encuentra organizada en seis capítulos. A continuación se describe el contenido de cada uno de ellos:
En el Capítulo 1 se presenta una descripción general de los sistemas de diagnóstico y control tolerante a fallas. Además, se plantea el problema de detección de fallas y tolerancia a fallas en columnas
de destilación (caso de estudio particular en este trabajo de tesis). Finalmente se plantean la hipótesis,
la justificación y los objetivos.
En el Capítulo 2 se presenta el estado del arte y una descripción general de los sistemas singulares
y los sistemas LPV, algunas definiciones y consideraciones para establecer el diseño de un modelo singular LPV politópico para la columna de destilación binaria bajo condiciones de operación con y sin
perturbaciones.
En el Capítulo 3 se presenta el diseño de un nuevo observador Proporcional-Integral Adaptable (PIAdaptable) para una clase de sistemas singulares y además, su extensión al caso de los sistemas singulares LPV politópicos. Este observador utiliza el modelo propuesto de la columna de destilación, para
desempeñar tareas de estimación de estados y entradas desconocidas simultáneamente.
En el Capítulo 4 se desarrollan dos sistemas FDD utilizando el observador PI-Adaptable politópico
diseñado en el Capítulo 3: uno para actuadores y otro para sensores, respectivamente. Este observador
se emplea para construir un banco de observadores que es capaz de estimar en línea los estados del
sistema y a su vez, permite la estimación de las entradas desconocidas y de las fallas.
En el Capítulo 5 se presentan el diseño y desarrollo de un esquema FTC capaz de tolerar fallas en
sensores, mediante reposición del elemento en falla (redundancia analítica). Se muestra el diseño de
una ley de control de entradas acotadas y la acomodación del sistema en presencia de fallas.
Finalmente, en el Capítulo 6 se presentan las conclusiones, limitaciones y trabajos futuros de este trabajo de tesis, así como la originalidad y las aportaciones que se derivan de su desarrollo.
Capítulo 1
Conceptos y principios generales de los
sistemas tolerantes a fallas
En los procesos industriales es esencial el control de variables como presión, temperatura, humedad,
viscosidad, flujo, etc. Por ello el control automático es una herramienta fundamental que aporta los
medios para obtener un adecuado desempeño de los procesos; todo esto con el fin de mejorar la productividad, aligerar la carga de operaciones manuales repetitivas y rutinarias, realizar tareas de supervisión, entre otras.
Dichos procesos operados a través de sistemas de control automatizados que pueden presentar fallas; una forma de aumentar la fiabilidad en este tipo de sistemas es dotándolos de herramientas que
los hagan tolerantes a esas señales defectuosas. El diseño de sistemas de control tolerante a fallas es
un área multi-disciplinaria que busca mantener la seguridad y confiabilidad de los procesos.
Los procesos industriales están sometidos a diversas condiciones de trabajo, lo que hace necesario
desarrollar los métodos de diagnóstico y control tolerante a fallas que mejoren su desempeño y mantengan la seguridad de operación. Este proceso no se puede llevar a cabo sin el conocimiento del funcionamiento del proceso en condiciones normales y en caso de falla, pues es necesario poder interpretar las señales obtenidas en línea para poder determinar si se ha provocado algún hecho eventual que
amenace el buen funcionamiento de los instrumentos. Este conocimiento del sistema puede expresarse en forma de modelos, que se convierten en herramientas importantes y útiles para desarrollar
esquemas de diagnóstico y control que garanticen la operación correcta de los procesos.
Los sistemas pueden representarse como un conjunto de partes operativamente interrelacionadas y
de los cuales, se considera como materia fundamental poder estudiar su comportamiento global. Para
ello, los modelos matemáticos que representan los sistemas de la vida real, son de gran importancia y
desde el punto de vista de control, es de gran interés su modelado para poder elegir las herramientas
que el sistema necesita para dar cumplimiento a los objetivos de operación.
5
1.1. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS VARIANTES EN EL TIEMPO
Los modelos no lineales contienen expresiones matemáticas (ecuaciones, desigualdades, expresiones
lógico-matemática, etc.) que describen las relaciones existentes entre las magnitudes características
del sistema. Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales en el
sistema no lineal, que se obtienen a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes
físicas. Recientemente, se ha demostrado que una forma de representar estas no linealidades es a
través de sistema lineal con parámetros variantes (LPV, por su sigla en inglés). Esta aproximación trata
de representar el sistema mediante una interpolación de modelos locales que permiten representar
una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza, con la ventaja de que
las técnicas de control y diagnóstico de fallas para sistemas lineales se pueden extender a este tipo de
representación LPV. A continuación presenta una clasificación de los sistemas LPV.
1.1.
Sistemas lineales con parámetros variantes en el tiempo
Los sistemas LPV dependen explícitamente de un parámetro o de un vector de parámetros θ(t) variante
en el tiempo, los cuales son descritos ∀t ≥ 0 por el siguiente conjunto de ecuaciones:

ẋ(t) = A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t)
%(t) = C(θ(t))x(t) + D(θ(t))u(t)
(1.1)
donde x(t) ∈ Rn , %(t) ∈ Rp y u(t) ∈ Rr representan el vector de estados, de salidas y de entradas
respectivamente y A(θ(t)), B(θ(t)), C(θ(t)) y D(θ(t)) son matrices que dependen de parámetros (θ(t))
variantes en el tiempo.
Desde el punto de vista práctico, los sistemas LPV tienen dos interesantes interpretaciones: en primer lugar, pueden ser vistos como sistemas LTI sujetos a incertidumbres paramétricas variantes en el
tiempo. En segundo lugar, pueden ser modelos resultantes de la linealización de plantas no lineales a
lo largo de las trayectorias de los parámetros. Alternativamente, la descripción LPV se puede obtener
cuando el sistema no lineal se formula como un sistema lineal parametrizado en función de los estados (Hangos et al. (2004)).
Tal modelo permite tomar en cuenta las variaciones paramétricas de un sistema dinámico (masa, temperatura, concentración, velocidad, presión, ángulo de ataque de un avión, entre otros). Estos parámetros corresponden a señales exógenas que no se conocen de antemano, pero que se encuentran dentro
de un conjunto compacto conocido, por lo que pueden medirse en tiempo real. Los sistemas LPV han
sido objeto en los últimos años de una considerable atención tanto en los aspectos de análisis como
de síntesis; dentro de las técnicas de análisis en términos muy generales se presentan dos categorías:
ganancia programada (Leith y Leithead (2000)) y sistemas disipativos (Lim y How (2002)). La técnica
más común es la de ganancia programada, la cual es empleada normalmente en el control de plantas
no lineales cuando se conoce la relación entre la dinámica de la planta y las condiciones de operación
en donde un modelo sencillo lineal invariante en el tiempo no es suficiente para propósitos de control.
6
1.2. ESTRATEGIA DE MÚLTIPLES MODELOS
En la Fig. 1.1 se muestran las relaciones existentes entre los tres tipos de representación de sistemas
lineales. En la base del triángulo tenemos que para llevar un sistema lineal variante en el tiempo (LTV,
por su sigla en inglés) al tipo LTI debe permitirse la fijación del tiempo, para que este último cumpla las
propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo. Para pasar de un sistema LPV a un sistema LTI, en
el primero deben establecerse valores de parámetros únicos haciendo que su comportamiento y sus
características sean fijas al transcurrir el tiempo. De igual manera un sistema LPV puede verse como
una generalización de un sistema LTV, en este último caso, se fija una trayectoria del parámetro que
depende solamente de las señales medibles.
Fig. 1.1 – Modelos de sistemas lineales.
1.2.
Estrategia de múltiples modelos
Con el fin de representar adecuadamente los sistemas no lineales, manteniendo el compromiso entre
la precisión de su descripción y la versatilidad de su implementación, varios autores presentan un enfoque basado en varios modelos lineales (Murray-Smith et al. (1999); Tayebi y Zaremba (2002); Adam
et al. (2003)). Estos esquemas conocidos como multi-modelos lineales se utilizan para resolver los problemas de representación de los sistemas a través de la descomposición de la región de operación del
proceso en un conjunto de puntos de operación, a los cuales es posible aplicarles leyes de control de
manera independiente, como modelos locales .
Este enfoque es una herramienta de modelado y control de sistemas no lineales, que representa una
estructura modular que evalúa el sistema con respecto a un conjunto de modelos; a través del seguimiento de un índice de desempeño es posible determinar el comportamiento del sistema a partir del
modelo individual de cada punto de operación. La caracterización de los diferentes regímenes de ope7
1.2. ESTRATEGIA DE MÚLTIPLES MODELOS
ración consiste precisamente en el hecho de tener acceso, clasificar y explotar la información que se
obtiene del sistema, esto se logra comparando el sistema frente al conjunto de modelos que representan su operación global.
La descripción de un sistema no lineal a partir del enfoque multi-modelos, se logra a través de técnicas
de linealización del sistema en los puntos de operación conocidos, de esta manera se construyen los
modelos lineales (Bhagwat et al. (2003); Deshpande y Patwardhan (2008)). Para representación de este
esquema se considera el siguiente sistema no lineal:
ẋ = f (x, u)
(1.2)
donde con x(t) ∈ Rn y u(t) ∈ Rr son el vector de estados y de entradas respectivamente; f (·) es
una función no lineal continuamente diferenciable. Entonces, el sistema puede ser visto como una
combinación de modelos locales dinámicos de la forma:
ẋ =
N
X
εi (x, u)fi (x, u)
(1.3)
i=1
donde fi (:, :) representa cada uno de los N vectores de funciones dependientes de los estados y de
las entradas y además, son válidos en una región definida por una función escalar válida εi , que a su
vez está en función de las variables anteriores (Murray-Smith et al. (1999)). Usualmente estos modelos
locales son elegidos de tal forma que:
ẋ = fi (x, u) = Ai x + Bi u
(1.4)
donde Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×r son las matrices que se obtienen del proceso de linealización. Un
esquema que representa la obtención de los modelos locales al usar la técnica multi-modelos se
muestra en la Fig. 1.2, donde se aprecia la trayectoria del modelo no lineal (línea continua negra) y
cómo puede aproximarse a través de uno o varios modelos lineales.
Fig. 1.2 – Representación esquema multi-modelos.
8
1.3. DIAGNÓSTICO DE FALLAS
En el caso donde un sólo modelo lineal (representado por la línea punteada roja) se presenta, es posible apreciar que la dinámica original del sistema se pierde y solamente un punto de operación medio
puede describirse con este método. Al utilizar la técnica de múltiples modelos lineales (línea punteada
azul), más puntos de operación pueden representarse y de esta manera, se obtiene una mejor descripción del sistema no lineal original.
Dos razones principales motivan el estudio de sistemas LPV con propósitos de control: en primer lugar,
los sistemas parametrizados y sus propiedades pueden analizarse fácilmente a partir su representación
matricial (como en la Ec. (1.4)), además, las herramientas de análisis disponibles permiten establecer
resultados tanto para el sistema como para el control. En segundo lugar, las aproximaciones de primer
orden son en muchos casos, suficientes para caracterizar el comportamiento local de un sistema no
lineal; esto significa que el análisis basado en linealizaciones revela las propiedades del sistema a nivel local y los diseños basados en dichas linealizaciones, trabajan sobre el sistema original a nivel local.
Para imitar el comportamiento del modelo no lineal, los distintos modelos lineales se programan en
el espacio de operación como cambios cualitativos del comportamiento, esta programación, significa la formación de combinaciones convexas válidas localmente para la construcción de los modelos
lineales. El resultado es entonces un número finito de modelos lineales descritos por Ai , Bi con sus
correspondientes funciones de ponderación εi (x, u). Esta estructura tiene varios atributos que pueden
ser aprovechados: primero, el modelo de la Ec. (1.4) representa una cantidad importante de sistemas
no lineales que pueden ser aproximados por linealización. En segundo lugar, cada modelo puede interpretarse con base en la descomposición del régimen de operación y asimismo, tiene una estructura
fija a priori, que muestra similitudes con sistemas lineales.
La elección de una estructura fija o flexible muestra similitudes con los sistemas LTI y a su vez, amplía
la posibilidad de desarrollar sistemas y teorías de diagnóstico y control, además de la construcción
de modelos y metodologías. Esta hipótesis es la que motiva el estudio de las diferentes estructuras
de modelado LPV para implementar estrategias de diagnóstico y control basado en modelos. La
idoneidad de este tipo de sistemas, incluye la interpretación, la capacidad de representación, el análisis
de estabilidad del sistema y del controlador, entre otros.
1.3.
Diagnóstico de fallas
En general, puede definirse a una falla como cualquier tipo de mal funcionamiento o desviación
no permitida de algún parámetro del sistema, lo que conduce hacia un efecto inaceptable del
sistema. Dichas anomalías pueden ocurrir en diferentes elementos del sistema: sensores, actuadores
o componentes. La detección temprana de fallas puede ayudar a prevenir averías permanentes y/o
accidentes, que puedan involucrar vidas humanas o daños al medio ambiente. Es decir, la ejecución
adecuada de estrategias de diagnóstico permite planear las acciones de mantenimiento que reducen
el número de paros de emergencia de un proceso, los cuales generan altos costos de operación por
pérdida de materia prima y consumo de energía, entre otros factores.
9
1.3.1.
Objetivos del diagnóstico de fallas
La estrategia de detección y diagnóstico de fallas (FDD, por su sigla en inglés) contempla las tareas de:
detección de fallas, que consiste en determinar la presencia de alguna anomalía en el sistema, así como el instante de su aparición; el aislamiento de fallas que permite conocer el tipo y la localización de
una falla (Alcorta y Frank (1997)). Finalmente, para completar el proceso de diagnóstico, algunos otros
autores establecen también la estimación de la falla para determinar el tamaño y el comportamiento
de la falla a lo largo del tiempo. Las tres tareas anteriores pueden englobarse dentro de la actividad
conocida como diagnóstico de fallas.
Los esquemas de diagnóstico de fallas se pueden clasificar de acuerdo al componente que es afectado
por la falla, es decir, se tiene el diagnóstico de falla en sensores (IFD, por su sigla en inglés), el diagnóstico de fallas en actuadores (AFD, por su sigla en inglés) y finalmente, el diagnóstico de fallas en
componentes (CFD, por su sigla en inglés), es decir, en la dinámica de la planta (Frank (1990)). Esta
clasificación nos permite establecer diferentes estrategias FDD para un proceso en particular.
A grandes rasgos el diagnóstico de fallas en los procesos, para garantizar su confiabilidad, puede realizarse empleando redundancia física (o material) o redundancia analítica; estas estrategias permiten
prevenir condiciones anormales disminuyendo el riesgo de daño permanente de la planta. La redundancia física es un enfoque tradicional de diagnóstico de fallas que se basa en métodos de redundancia
material, en el cual se instalan múltiples sensores o actuadores del proceso para obtener información
adicional de una variable en particular y así, poder comparar y discernir sobre las condiciones reales
de operación. Por ejemplo, se pueden instalar dos actuadores o sensores en paralelo para que, en condiciones de un mal funcionamiento de una de ellas, pueda ser sustituida inmediatamente por la otra
de manera automática (Johnson et al. (1988)).
El mayor problema de este método es el costo (de mantenimiento y del equipo adicional) y el aumento
de las dimensiones físicas del sistema, por lo que actualmente se prefiere obtener información
redundante a través de algoritmos que permiten de igual manera, diagnosticar el estado de algunos
componentes del sistema. Esta alternativa se conoce como redundancia analítica y se basa en la
diferencia generada por la comparación de valores disímiles medidos; a esta diferencia se conoce
como señal residual. La mayor ventaja de un enfoque basado en estos algoritmos, es que no requiere
instrumentación adicional para realizar la detección de fallas y puede implementarse a través de
algoritmos desarrollados dentro en un proceso controlado por computadora (Gertler (1998); Chen
y Patton (1999)). Frecuentemente, la redundancia analítica hace uso de un modelo matemático del
sistema y es conocida como un enfoque basado en modelos.
1.3.2.
Tipos de fallas
Las fallas son desviaciones no permitidas de los valores de las entradas y salidas de la planta; dichas
fallas pueden clasificarse como: fallas aditivas que se generan por influencia de la falla f sobre
10
las entradas (actuadores) o las salidas (sensores), las cuales causan una desviación en las salidas
independientes de las entradas medidas; dentro de estas fallas se pueden considerar, por ejemplo,
las descompensaciones en los sensores. También existen las fallas multiplicativas que son cambios de
los parámetros de la planta y están dadas por el producto entre la entrada u del sistema y la señal de
falla f ; estas fallas describen adecuadamente el deterioro de la planta. En la Fig. 1.3, se muestran los
modelos clásicos que representan dos tipos de fallas: aditivas y multiplicativas.
Fig. 1.3 – Representación de los tipos de falla.
Diferentes estudios sobre detección y diagnóstico de fallas basados en modelos lineales o linealizados
alrededor de algún punto de operación se reportan como esquemas FDD sofisticados, que consideran
la presencia o ausencia de ruido en el modelado (Frank y Ding (1997); Chen y Patton (1999); Alcorta
(2002)) y más recientemente en trabajos de Campos et al. (2008); Huang y Tan (2009). La detección de
fallas en los procesos, actuadores y sensores se realiza mediante el uso de las dependencias entre las
distintas señales medibles expresadas por los modelos matemáticos de los procesos.
1.3.3.
Diagnóstico de fallas basado en modelos
La mayoría de trabajos parecen centrarse en técnicas de diagnóstico basadas en el modelo, como en
Frank y Ding (1997), donde realizan una descripción detallada de los diversos tipos de enfoques analíticos y de los problemas de robustez en la detección de fallas en sistemas no lineales. Los métodos FDD
basados en modelos cuantitativos utilizan modelos matemáticos y son conocidos comúnmente como
métodos de redundancia analítica, bastante útiles para llevar a cabo la tarea de diagnóstico de fallas
en tiempo real. Por otro lado, se encuentran los esquemas FDD basados en modelos cualitativos que
contemplan los modelos causales y los modelos por jerarquía de abstracción (Zhang y Jiang (2008)).
Algunos otros trabajos analizan de forma breve, diferentes modelos para sistemas dinámicos, como
aquellos que utilizan modelos en tiempo continuo y deducen algoritmos para encontrar redundancia
entre las variables estimadas o medidas (Theilliol et al. (2002); Boskovic et al. (2008)). La aplicación de
estos algoritmos para detección de fallas es cuestionable, ya que implican las relaciones de redundancia de primer orden y de orden superior, derivadas de la entrada y la salida; pero esta información no
se puede obtener en muchos casos debido al ruido de las estimaciones.
La metodología de diagnóstico de fallas basada en modelos parte de la utilización de un conjunto
de indicadores de existencia de fallas, denominados residuos r(t) ; dichos residuos se obtienen a partir
11
de las mediciones de las entradas u(t) y salidas %(t) del sistema monitoreado y las relaciones analíticas
existentes entre ellas obtenidas a partir del modelo del sistema:
r(t) = Ψ(u(t), %(t))
(1.5)
siendo Ψ(·) la función generadora de residuos que depende del tipo de estrategia de detección utilizada (observadores o ecuaciones de paridad). La etapa de detección en línea consiste en evaluar en
cada instante de tiempo esta expresión de los residuos, utilizando las mediciones de las entradas y
salidas. Idealmente, dichos residuos deberían ser cero en caso de que no exista fallas, mientras que
en presencia de fallas serían diferentes de cero. Estos residuos son señales que contienen información
únicamente de las fallas, por lo que se convierten en una herramienta importante y bastante útil para
detectar y en algunos casos, estimar el tamaño de la falla.
Para generar residuos se utilizan comúnmente dos enfoques: el primero considera residuos que toman
una dirección particular en el espacio de residuos cuando ocurre una falla; el segundo enfoque utiliza
residuos estructurados, los cuales se generan de tal manera que sean sensibles a ciertas fallas e insensibles a otro tipo de fallas de poco interés. La evaluación de residuos, consiste en extraer la información
contenida en los residuos obteniendo síntomas (cambio de una señal de referencia de un valor nominal). Posteriormente, viene el proceso de decisión con base en los síntomas obtenidos (que forman
firmas de coherencia), para determinar si la falla existe o no.
Dentro de los métodos basados en modelos se encuentran aquellos basados en modelos de falla,
donde se modela el comportamiento dinámico del proceso en cada una de las condiciones de falla
que se desean diagnosticar. Monitorizar en línea del proceso genera un conjunto de datos de entradasalida que van a compararse con los datos entrada-salida estimados para cada modelo de falla
generado previamente; con base en esta comparación, se selecciona cuál es el modelo de falla que
mejor representa los datos experimentales obtenidos en línea. Este enfoque demanda algoritmos
de alto desempeño para un procesamiento eficiente de la información y para evaluar los diferentes
comportamientos del proceso en presencia de fallas. Un sistema FDD se muestra en la Fig. 1.4.
Fig. 1.4 – Sistema FDD.
12
1.3.4.
Técnicas de generación de residuos
La generación de residuos consiste precisamente en la obtención de las señales que contienen
información sobre las fallas solamente, es decir, son el resultado de la comparación entre las señales
de referencia (modelo) y las mediciones en tiempo real sobre el sistema. Dentro de las técnicas de
generación de residuos basadas en modelos se encuentran las siguientes como las más representativas:
Estimación de parámetros (Isserman (1993); Markovsky et al. (2002)): En la mayoría de los casos
prácticos, los parámetros del proceso no son conocidos, pero pueden determinarse a través de
métodos como la estimación, que se logra empleando mediciones de las señales de entrada u(t)
y de salida y(t) usando el modelo matemático del sistema. En este enfoque las fallas se reflejan
en las estimaciones de los parámetros del sistema, estas se comparan con los valores de los
parámetros de referencia (que se obtienen bajo la consideración de que el sistema está libre de
fallas). Bajo cualquier diferencia entre estas señales, se puede considerar que ha ocurrido una
falla.
Estimación de estados (Jiang (1994); Alcorta y Frank (1997)): Los estimadores de estados
(observadores) son ampliamente usados en los sistemas de diagnóstico de fallas; un observador
reconstruye (estima) las variables de estado de un sistema con base en las entradas u(t) y de
salidas %(t), usando el error de estimación como un residuo para la detección y aislamiento de
fallas. Las principales ventajas de esta técnica son: sirven para detectar y localizar fallas tanto
en actuadores como en sensores, son fáciles de implementar, tienen una rápida reacción frente
a fallas incipientes y pueden manejar fallas múltiples si se cuenta con un número suficiente de
mediciones.
Estimación de estados y parámetros (Zhang y Jiang (2002)): Se presenta como una combinación
estratégica de la estimación de los estados y de los parámetros del sistema en forma simultánea.
Para llevar a cabo esta técnica, se utilizan los observadores que brindan información útil para
la evaluación estadística y la toma de decisiones dentro del esquema FDI. La información dada
por los estimadores de estado puede no ser detallada o suficiente para un posterior esquema de
control y reconfiguración, por lo que, una combinación de la estimación de ambos, estados y
parámetros, se convertiría en la herramienta con mayores ventajas para diagnóstico.
Ecuaciones de paridad (Omana y Taylor (2005); Chan et al. (2006); Gustafsson (2007)): En este
enfoque la idea es proveer una comprobación apropiada de la paridad (consistencia) de las
mediciones adquiridas empleando la representación entrada-salida del sistema; en algunas
investigaciones recientes sobre el diagnóstico de fallas, el enfoque del vector de paridad se aplica
para esquemas de redundancia estática o paralela, que pueden obtenerse directamente de las
mediciones (redundancia física) o de relaciones analíticas (redundancia analítica).
Si los parámetros del proceso son conocidos, una de las herramientas para detección de fallas con
estimación de parámetros se encuentran los observadores de estado y los observadores de entradas
desconocidas; en el primer caso las fallas son modeladas como un cambio en los estados, en el segundo
caso, no interesa reconstruir los estados y además los residuos r(t) son diseñados de tal manera que
son independientes de las entradas desconocidas.
13
1.3.4.1.
Esquemas de observadores
En los esquemas FDD puede obtenerse una mayor versatilidad en el aislamiento de fallas en
actuadores, sensores o componentes empleando esquemas de observadores. Dichos esquemas
pueden clasificarse de acuerdo al número de observadores como:
Un observador:
Esquema de Observador Simplificado (SOS, por su sigla en inglés): es un esquema directo que
considera solamente un observador que utiliza todas las entradas y una sola salida; este esquema
sólo proporciona redundancia simple y únicamente permite la localización de una falla en un
sólo sensor para el caso IFD. Para detección de fallas en actuadores (AFD, por su sigla en inglés),
un sólo observador utiliza todas las salidas y una sola entrada.
Banco de observadores:
Esquema de Observadores Dedicado (DOS, por su sigla en inglés): consiste en un banco de
observadores donde cada uno utiliza todas las entradas y una sola salida, para el diagnóstico
de fallas en sensores (IFD); en este caso, el número de observadores es igual al número de
salidas y/o de sensores. Para detectar fallas en actuadores (AFD) se considera un banco de
observadores, donde cada observador utiliza una entrada y todas las salidas. Este esquema
permite la localización de fallas múltiples (Clark (1979); Frank (1994)).
Esquema de Observadores Generalizado (GOS, por su sigla en inglés): comparable al esquema
DOS en lo referente al número de observadores que utiliza, en este esquema cada observador
utiliza todas las entradas y m−1 salidas (con m como el número de salidas) para detectar fallas en
sensores (IFD). Para detectar fallas en actuadores (AFD), un banco de observadores donde cada
observador utiliza todas las salidas y n−1 entradas (con n como el número de entradas) (Frank
(1990); Frank y Ding (1997)).
1.3.5.
Evaluación de residuos
Después de la generación de residuos el siguiente paso es la evaluación de los residuos, es una toma
de decisiones que siempre se reduce a la evaluación de umbrales lógicos dentro de una función de
decisión. Si no hay efectos desconocidos en las entradas no compensadas de los residuos debido a un
desacoplamiento, los umbrales disminuyen a cero; de lo contrario, umbrales diferentes de cero deben
ser asignados.
El diseño de la evaluación de los residuos se convierte trivial y sólo se determina si el residuo es igual
a cero o no. Sin embargo, las situaciones con desacoplamiento perfecto es muy difícil, por lo tanto los
residuos deberán ser distintos de cero todo el tiempo, por lo que una evaluación residual más avanzada
puede ser requerida. Al tomar las características de las fallas en consideración, la señal de la evaluación
14
1.4. CONTROL TOLERANTE A FALLAS
φ(t) debe ser elegida de tal manera, que tenga en cuenta la contribución de las fallas f (t) en el residuo.
El umbral Φ(t) debe ser elegido como:

φ(t) ≤ Φ(t) ∀t ≥ 0 cuando f (t) = 0
φ(t) > Φ(t) ∀t ≥ 0 cuando f (t) 6= 0
(1.6)
En general, los efectos de fallas en los residuos deben evaluarse mediante un método apropiado, por
lo que a continuación se presenta una clasificación general de los métodos más utilizados para la
evaluación de residuos:
Pruebas de umbral en valores promedio, instantáneos o móviles, de los residuos.
Métodos estadísticos como pruebas de hipótesis, relación de probabilidad, entre otros.
Métodos basados en lógica difusa para evaluación de síntomas (Uppal et al. (2006)).
Métodos basados en clasificación de patrones de redes neuronales (Ploix y Dreyfus (1997);
Becraft y Lee (1999)).
1.3.6.
Toma de decisión
En esta etapa final del diagnóstico de fallas diferentes métodos basados en modelos o en el conocimiento, constituyen una opción para llevar a cabo la toma de decisiones, algunos de ellos como: la
estimación y predicción, clasificación y agrupamiento, redes neuronales, árboles de decisión y la lógica difusa, son ampliamente utilizados en la industria.
El ámbito de la inteligencia artificial una opción viable para la toma de decisiones es la búsqueda de
residuos específicos para cada falla. Posteriormente, se lleva a cabo su clasificación dentro de un marco de reconocimiento de patrones a través del uso de la teoría de decisiones basada en lógica difusa
(Uppal et al. (2006)) y la teoría de aproximación basada en redes neuronales (Ploix y Dreyfus (1997);
Becraft y Lee (1999)).
En otras situaciones se presentan métodos estadísticos basados en la teoría de decisión de Bayes
y árboles de decisión. La primera estrategia para la toma de decisiones se basa en herramientas
estadísticas que se evalúa utilizando la regla de Bayes (Karný et al. (1999)). Por otro lado, un árbol de
decisión es una representación gráfica de un procedimiento para evaluar o clasificar datos de interés
(Swain y Hauska (1977); Sun et al. (2007)).
1.4.
Control tolerante a fallas
En algunos sistemas complejos, de acuerdo a su naturaleza, se hace necesario implicar en el esquema
de diagnóstico una ley de control tolerante a fallas para hacer una acomodación de las fallas y/o una
15
reconfiguración del controlador. En la Fig. 1.5 se observa un esquema de reconfiguración donde la
ley de control se modifica una vez que la falla se produce, el nuevo controlador se diseña en línea
utilizando señales de entrada y salida de referencia alternas, que se consideran libre de fallas (Blanke
et al. (2006)).
Fig. 1.5 – Reconfiguración del controlador (Blanke et al. (2006)).
Hay dos formas de aumentar la confiabilidad de un sistema: a través de la prevención de fallas, donde se trata de evitar que se presenten fallas en el sistema antes de que entre en funcionamiento o,
por medio de la tolerancia a fallas, donde el objetivo es conseguir que el sistema continúe funcionando aunque se produzcan fallas. En ambos casos el objetivo es desarrollar sistemas con tipos de fallas
bien definidos. El grado de tolerancia a fallas necesario dependerá de la aplicación, existen sistemas
más críticos que exigirán tolerancia completa, algunos otros podrán conformarse con una degradación aceptable.
Uno de los tópicos más importantes que deben ser considerados en los sistemas de control tolerante
a fallas (FTC, por su sigla en inglés), es precisamente conocer si es posible recobrar el desempeño del
sistema original después de que ha ocurrido una falla. Deben ser evaluadas las consecuencias de esta
degradación y el tiempo durante el cual el sistema soportaría funcionar en este régimen, así como las
acciones correctivas que deben ser desarrolladas de forma paralela para poder recuperar la funcionalidad completa del sistema (Steinberg (2005); Guenab (2007)).
En la bibliografía se consideran dos tipos de control tolerante a fallas: el control tolerante pasivo y el
control tolerante activo. El primero de ellos, establece un diseño robusto del controlador ante pequeños eventos de falla, mientras que el segundo se compone de un esquema de detección y diagnóstico
de fallas en línea, un mecanismo de acomodación o de reconfiguración. En el enfoque pasivo se utiliza
16
la propiedad que tienen los sistemas realimentados de hacer frente a las perturbaciones, los cambios
en la dinámica del sistema e incluso las fallas en el mismo controlador. Cuando un cambio inesperado
en el sistema crea un efecto sobre el mismo que se transmite al sistema de control, éste a su vez trata
de compensarlo de forma más o menos rápida; en este sentido, el control tolerante pasivo consiste en
el diseño de un sistema de control robusto realimentado para hacerlo inmune a determinadas fallas.
Sin embargo, la teoría de control robusto muestra que sólo existen controladores robustos para una
clase reducida de cambios en la dinámica del sistema, por lo que continuamente se exploran otras alternativas (Patton (1997)).
Por otro lado, el control tolerante activo consiste en el diagnóstico en línea de la falla, es decir, en
determinar el componente averiado, el tipo, su tamaño e instante de aparición y a partir de dicha información, activar algún mecanismo de acomodación de la misma o de reconfiguración del controlador o
incluso dependiendo de la gravedad, la detención definitiva el sistema. Este enfoque exige disponer de
un sistema de diagnóstico de fallas que, en tiempo real pueda dar información a un sistema supervisor
para que active alguno de los mecanismos de acción tolerante (Blanke et al. (2001)).
Diseñar un sistema de control realimentado convencional, para sistemas no lineales complejos puede
dar resultados de desempeño no satisfactorios o eventualmente ser inestable al presentarse fallas en
alguno de los componentes del sistema. Ante tales desventajas nuevos enfoques de diseño de sistemas
de control se desarrollan con el fin de tolerar el mal funcionamiento de algunos componentes y así
mantener las propiedades de desempeño y estabilidad deseables. Algunos métodos para diseñar sistemas de control que operen con desempeño degradado se desarrollan fundamentados en técnicas con
base en modelos lineales o estrategias de múltiples modelos (Zhang y Jiang (2001); Paul et al. (2005)).
La incorporación de mecanismos de control tolerante en el lazo de control depende principalmente
del tipo de control utilizado. Existen algunas estrategias como el control predictivo que, simplemente
añadiendo nuevas restricciones al problema de optimización, permiten fácilmente incorporar mecanismos de tolerancia a fallas. La estrategia de tolerancia depende del componente del controlador que
se vea afectado por la falla; si el proceso controlado dispone de redundancia física, más de un componente (sensor, actuador o elemento del proceso) para realizar la misma función, entonces la estrategia
de tolerancia consistirá simplemente en sustituir el componente dañado por otro que funcione bien,
esto aumenta la complejidad del sistema y puede introducir fallas adicionales. En este caso, es mejor
separar los componentes tolerantes a fallas del resto del sistema, para reducir la interacción entre los
componentes redundantes y evitar que se presenten más fallas (Blanke et al. (1997)).
En el caso de que no exista redundancia física, deberán ser bien identificadas las fallas en sensores,
actuadores y en la propia planta, para poder tomar acciones de tolerancia a las mismas. Para acomodar
las fallas en los sensores se suelen utilizar sensores virtuales que se basan en la estimación de la
medida del sensor con falla a partir de las mediciones disponibles en el resto de los sensores existentes
en el sistema. Para acomodar las fallas en los actuadores y/o en la propia planta, se diseñan de
nuevo los controladores, utilizándose principalmente dos mecanismos: la acomodación de la falla y
17
la reconfiguración, según se cambie la ley o la estructura del controlador respectivamente (Blanke et
al. (1997)).
Fig. 1.6 – Sistema FTC activo (Zhang y Jiang (2008)).
Los FTCS poseen la habilidad para acomodar un componente dañado, además, mantienen la estabilidad del sistema y un desempeño aceptable en presencia de fallas; dicha tolerancia se logra a través
de la acomodación de la falla o de la reconfiguración del controlador. La Fig. 1.6 presenta un esquema
típico del sistema de control tolerante a fallas (Zhang y Jiang (2008)), con cuatro componentes principales: un bloque de diagnóstico que da la información en tiempo real, un bloque de reconfiguración,
un tercer bloque que es el regulador reconfigurable y por último una referencia aplicada al sistema.
El desempeño ideal de un proceso se obtiene a través del diagnóstico de fallas en línea, la evaluación
automática de la condición y el cálculo de las medidas correctivas adecuadas como en algunos casos
una simple re-sintonización de la ley de control, o en otros casos, la acomodación de la falla podría
lograrse mediante la sustitución de un sensor defectuoso. En otras situaciones, es necesaria la reconfiguración completa o rediseñar en línea el controlador, cambiando sus parámetros o su estructura para
evitar los efectos de la falla; aquí las entradas y/o salidas del controlador continúan siendo las mismas
y aunque los objetivos de control se alcanzan, el desempeño se puede degradar (Blanke et al. (2001);
Jiang (2005)).
En la práctica uno de los desafíos que presenta diseñar este tipo de controladores, es su grado
18
de redundancia ante la presencia de fallas, por ejemplo: cuando ocurre una falla en un sensor el
desempeño del sistema original puede ser recuperado siempre y cuando encuentre la información
completa en otra parte, ya sea de otros sensores (redundancia física) (Malaiya y Su (1981); Johnson et
al. (1988)), o de observadores o filtros de Kalman dedicados a estimar dichas variables en paralelo a
los instrumentos, redundancia analítica, (Theilliol et al. (2002); Boskovic et al. (2008)). Sin embargo,
cuando un actuador falla el grado de redundancia de control del sistema y las capacidades disponibles
del actuador se ven reducidas; si el desempeño del sistema debe mantenerse, los actuadores restantes
están forzados a trabajar por encima de sus tareas habituales para compensar el actuador que falló;
para este caso la solución del problema está limitada a las capacidades físicas del instrumento (Eun et
al. (2001)).
Fig. 1.7 – Clasificación de los mecanismos de control tolerante a fallas (Puig et al. (2004)).
En la Fig. 1.7 se muestra una clasificación de los mecanismos de FTC realizada por los autores en Puig
et al. (2004), aquí es posible observar claramente las diferentes estrategias que se derivan de los métodos de control tolerante a fallas activo y pasivo. En la literatura podemos encontrar ejemplos de estas
técnicas de FTC, en el trabajo de Polycarpou y Vemurij (1998) se presenta una metodología para la detección, identificación y acomodación de fallas en sistemas dinámicos no lineales. La idea principal es
supervisar la ubicación de cualquier comportamiento fuera del nominal que pueda ser causado por
fallas en componentes del sistema, a partir del uso de una red neuronal en línea; en presencia de fallas la red neuronal se utiliza como un estimador de la falla no lineal para propósitos de identificación
y acomodación. Además, durante la fase inicial de monitoreo, la capacidad de aprendizaje de la red
19
neuronal recibe información sobre los errores de modelado, mejorando así la robustez del esquema
de diagnóstico.
En Steinberg (2005) se presenta un panorama histórico de la investigación en control reconfigurable
para sistemas de vuelo. En este artículo se introduce el término de control reconfigurable de vuelo, para
referirse a los algoritmos diseñados específicamente para compensar las fallas o daños de los efectores
de control de vuelo o en el levantamiento de las superficies. Se presenta una investigación y algunos
ensayos en vuelo con enfoques basados en la detección de fallas, el aislamiento y su estimación, aquí
también se discuten enfoques basados en adaptación continua y algoritmos de control inteligente.
1.4.1.
Mecanismos de tolerancia a fallas en la ley de control
Se encuentran en la literatura, técnicas de reconfiguración del controlador que pueden ser implementadas en línea con el proceso o fuera de línea. A continuación se citan algunas de los esquemas de
FTC que usan reconfiguración fuera de línea, en este caso se obtiene un controlador parametrizado en
función de las fallas, llegándose a determinar una ley de control U (f ) donde f corresponde a la falla
detectada. Así, la arquitectura del sistema contiene un bloque en el cual el sistema supervisor determina el modo de operación cuando se presenta la falla para posteriormente determinar la ley de control.
En caso de falla, el modelo del sistema se representa por un modelo con fallas, que en general es de la
forma:

ẋ (t) = g (x (t), u(t), θ(t))
f
f
f
% (t) = h (x (t), u(t), θ(t))
f
f
(1.7)
f
donde xf (t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rr y %f (t) ∈ Ry son los vectores de estado, entrada y salida respectivamente;
gf (·) y hf (·) son funciones no lineales continuamente diferenciables del espacio de estados y de la
salida respectivamente; θ(t) es el vector de parámetros y el subíndice f denota la presencia de la falla.
En el caso particular de que el modelo sea lineal e invariante en el tiempo se considera que:

g (x (t), u(t), θ(t)) = A (θ )x (t) + B (θ )u (t)
f
f
f f
f
f f
f
h (x (t), u(t), θ(t)) = C (θ )x (t)
f
f
f
f
(1.8)
f
Cabe agregar que se supone que no hay variación en la dimensión del espacio de estados entre el
modelo nominal y el modelo con fallas y que además, no existe ninguna relación entre los dos modelos
en los aspectos de controlabilidad y/o observabilidad. A continuación se realiza una breve descripción
de algunas de las técnicas propuestas para realizar acomodación:
1.
Modelo de adaptación (Model matching) (Malabre y Rabah (1993)). Puesto que el modelo nominal
del sistema en lazo cerrado es conocido, dicho modelo se puede utilizar como una especificación
de las propiedades dinámicas que el controlador tolerante debe mantener en presencia de una
falla. Si consideramos que el sistema de control estándar es del tipo realimentación de estado, la
20
dinámica del sistema controlado se puede expresar como:

ẋ(t) = (A − B K )x(t)
n
n n
%(t) = C x(t)
(1.9)
n
Cuando aparece una falla, la dinámica del sistema controlado está descrita por:

ẋ(t) = (A − B K )x(t)
f
f f
%(t) = C x(t)
(1.10)
f
lo que permite obtener la ecuación de diseño del mismo. En el modelo a lazo cerrado debe
cumplirse que An − Bn Kn = Af − Bf Kf para el caso libre de fallas; una solución aproximada a
esta ecuación de diseño se obtiene empleando la matriz pseudoinversa de Bn , B + :
Kf = Bn+ (An − Af + Bn Kn )
2.
(1.11)
Seguimiento del modelo (Model following) (Zhang y Jiang (2008)). Si se dispone del modelo
nominal del sistema y de su modelo con fallas y suponiendo que todos los estados son accesibles,
el diseño del control tolerante consiste en determinar K0 , Ku y Ke . El error entre ambos modelos
viene dado por el error del sistema expresado como e(t) = x0 (t) − xf (t), de donde:
ė(t) = Af e(t) + (A0 − Af )x0 (t) + B0 r(t) − Bf u(t)
(1.12)
Y se define como ley de control:
u(t) = Ke e(t) + [K0 x0 (t) + Ku r(t)]
(1.13)
entonces la ecuación de la dinámica del error se transforma en:
ė(t) = [Af -Bf Ke ]e(t) + (A0 − Af − Bf K0 )x0 (t) + (B0 − Bf Ku )r(t)
(1.14)
K0 y Ku se determinan a partir de los valores que minimizan la siguiente norma:
k(A0 − Af − Bf K0 )x0 + (B0 − Bf Ku )rk2
(1.15)
con K0 = Bf+ (A0 − Af ) y Ku = Bf+ Bf respectivamente. El valor de Ke se determina de forma que
los valores propios de la matriz Af − Bf Ke cumplan la condición de estabilidad.
3.
Asignación de la eigenestructura (Eigenstructure Assignment, EA) (Jiang (1994)). Ya que la
estabilidad y la dinámica del sistema controlado dependen de sus valores y vectores propios,
un mecanismo de acomodación para lograr la tolerancia a fallas consiste en forzar a que la
estructura de vectores y valores propios del sistema con fallas sea la misma que la del sistema
nominal. Si se dispone del modelo nominal del sistema y del modelo con fallas, la ley de
21
acomodación del controlador se obtendrá a partir de:
(Af + Bf Kf )vif = λfi vif
(1.16)
donde λfi y vif representan respectivamente los vectores y valores propios del sistema acomodado, debe cumplir que λfi = λi , para i = 1, 2, ..., n donde λi son los valores propios del sistema sin
fallas, así como que los vectores propios del sistema sin fallas sean lo más próximos a los del sistema acomodado vif , de esta manera, este modelo acomodado se aproxima al modelo nominal.
4.
Compensación de fallas aditivas (Additive fault compensation) (Noura et al. (2000)). En el caso
de fallas aditivas en sensores o actuadores, una forma de acomodar la falla puede conseguirse
mediante la ley de control siguiente:
u(t) = u0 (t) + uf (t)
(1.17)
donde u0 (t) es la componente nominal de la ley de control obtenida a partir de los estimadores
que no están afectados por la falla, mientras que uf (t) es la ley de control obtenida a partir de la
estimación de la falla con el fin de cancelar su efecto según Buf (t) + Bj fâ (t) = 0, siendo fâ la
estimación de la falla.
5.
Multicontroladores (Narendra et al. (1995)): basado en el diseño de un conjunto de controladores
lineales para distintos puntos de operación. En tiempo real mediante la medición del punto de
operación del sistema se realiza una fusión/conmutación entre los mismos. La incorporación
en esta estrategia de control de mecanismos de acomodación frente a la falla, consiste en ver la
falla como un nuevo modo de operación para el cual se habrá diseñado un controlador lineal
previamente, al cual se conmutará en presencia de la falla, garantizando la estabilidad y una
degradación aceptable de la operación del sistema; esto es posible si se conoce previamente
el comportamiento de la falla. El sistema de diagnóstico es el encargado de medir el modo
de operación en presencia de fallas, de forma que el sistema supervisor active o adapte el
controlador correspondiente.
6.
Ganancia programable (Gain-Scheduling) (Leith y Leithead (2000)): se basa en el diseño de
controladores paramétricos en un punto de operación. Mediante la medición del punto de
operación se modifica la ley de control, ya sea mediante una expresión analítica o mediante
una tabla de valores predeterminados. Este enfoque se basa en la linealización de la planta en
diferentes puntos de operación y en el uso de la información sobre la dinámica local del sistema
en equilibrio; además, es uno de los enfoques de control para sistemas no lineales que ha sido
ampliamente aplicado con éxito en diferentes campos, que van desde la industria aeroespacial
hasta el control de procesos.
Para el caso de las técnicas de control en línea, se obtiene una ley de control a partir de una estimación
de las restricciones actuales, en línea después de la aparición de la falla.
22
1.
Control adaptable (Boskovic et al. (2008)). El control adaptable proporciona la forma más natural
de diseñar un control tolerante puesto que el efecto de las fallas se manifiesta como un cambio en
los parámetros estimados en línea, en este caso, la ley de control se acomoda automáticamente
a partir de los nuevos valores de los parámetros. Este enfoque se basa en la representación
de diferentes posibles escenarios de falla usando múltiples observadores, de manera que el
caso del valor nominal (sin falla) cubre la operación junto con la pérdida de eficacia del
sistema, bloqueando así fallas más complejas que se puedan presentar en los actuadores. Esta
técnica dentro de un esquema de control tolerante es muy utilizada para analizar el sistema en
modo de falla y lograr hacer que se adapte de manera adecuada a las nuevas condiciones de
funcionamiento.
2.
Control predictivo (Miksch et al. (2008)). Las leyes de control predictivo permiten incluir de forma
fácil estrategias de control tolerante, puesto que la acción de control se determina a cada instante
resolviendo un problema de optimización en un horizonte temporal utilizando como restricción
el modelo del sistema. Si dicho modelo se actualiza a partir de la información proporcionada
por el sistema de diagnóstico acerca de la falla, las nuevas acciones de control se calculan
teniendo en cuenta el efecto de la falla sobre el sistema. La información acerca de la falla se puede
incluir mediante: la redefinición de las restricciones para representar determinados tipos de falla,
cambiando el modelo de la dinámica para reflejar los cambios en la planta real en presencia de
fallas o, cambiando los objetivos de control para reflejar las limitaciones debido a la operación
bajo condiciones de falla.
1.4.2.
Mecanismos de tolerancia a fallas en sensores y actuadores
En el caso de sensores, el bloque de reconfiguración consiste en utilizar un observador que permita reconstruir las medidas del sistema a partir de otros sensores existentes, por lo que se denomina sensor
virtual. La posibilidad de estimar variables se encuentra estrechamente ligada con las especificaciones particulares del sistema y de acuerdo a la disponibilidad de elementos de medición. Esta técnica
consiste en el diseño de bancos de observadores, uno para cada sensor, que funciona como esquema
redundante. Bajo esta configuración, una señal que indica la presencia de la falla, activa un interruptor
para que el controlador conmute a las mediciones sin falla del sensor virtual (Staroswiecki (2005)).
La tolerancia en actuadores consiste en la capacidad que tiene el lazo de control de soportar la influencia de una falla originada en la etapa de ejecución de las acciones determinadas por el controlador; la
condición fundamental para el empleo de esta técnica es que este modelo del sistema con fallas sea
controlable. Cuando una falla se presenta en un actuador, origina inmediatamente la incapacidad del
sistema para ejecutar cualquier acción, lo que implica en la práctica que exista la necesidad de incorporar al menos otro actuador redundante. Sin embargo, se ha propuesto una estrategia conocida como
actuador virtual (Lunze y Stefen (2003)). Esta estrategia supone, de nuevo, un modelo nominal del proceso y un modelo de la planta cuando se presenta la falla en el actuador y mediante la inclusión de un
observador y un controlador por realimentación de estados, se pretenden cumplir que el controlador
haga que el lazo de control reconfigurado se comporte como el modelo nominal del sistema.
23
1.5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El diseño de sistemas de control tolerante integra un conjunto de técnicas como lo son la detección
y diagnóstico de fallas, el análisis estructural, la reposición de sensores y actuadores, la acomodación
de fallas o la reconfiguración del sistema, que deben aplicarse de forma metodológica para permitir
que los procesos mantengan una operación aceptable dentro de los regímenes de funcionamiento
establecidos.
1.5.
Planteamiento del problema
Los procesos industriales a gran escala requieren sistemas de control confiables y que interactúen entre sí, por lo tanto, las herramientas de control utilizadas para atender estas demandas deben tener en
cuenta las aplicaciones prácticas para el diseño de modelos apropiados de los sistemas físicos. Además, el desarrollar sistemas de control para procesos conlleva a la necesidad de una buena elección de
la estructura de modelado y de una técnica de control para cada problema dado.
En este tipo de procesos una falla debe diagnosticarse a tiempo para prevenir consecuencias serias
al sistema o catástrofes que involucren vidas humanas, esto hace que las técnicas de diagnóstico de
fallas sean cada vez más indispensables. Algunos procesos como las plantas químicas y nucleares son
difíciles de modelar debido a las altas no linealidades del proceso, lo que hace complejo el diseño de
estrategias de diagnóstico y control.
La técnica de múltiples modelos lineales es una herramienta útil para hacer frente a esta problemática, facilitando la tarea del FDD en línea, en los puntos de operación requeridos. Sin embargo, en el
modelado, una suposición generalizada es la linealidad del sistema debido a que existen herramientas
matemáticas que permiten representarlos como sistemas LTI, pero hay que señalar que esta hipótesis de linealidad sólo es válida para una región restringida de funcionamiento en torno a un punto de
operación. Con el fin de representar el comportamiento dinámico del sistema, un enfoque basado en
varios modelos LTI se ha desarrollado por algunos autores como Murray-Smith et al. (1999); Tayebi y
Zaremba (2002); Adam et al. (2003); Rodrigues et al. (2005), entre otros.
Dentro de las principales problemáticas que se presentan al utilizar esta técnica se encuentra la elección de los puntos de operación y el análisis de estabilidad. Este estudio debe asegurar que al incluir
una estrategia de control, el sistema convergerá al punto de operación deseado y a su vez, la conmutación entre los modelos debe ser eficiente y sin pérdida de información para poder llevar a cabo una
correcta tarea de diagnóstico. Por precisión, si existe un gran número de modelos lineales se tiene una
mejor representación del sistema no lineal, sin embargo, la conmutación entre un modelo y otro se
vuelve más compleja. Debido a esto, debe existir un compromiso entre la precisión de la representación del sistema y la carga computacional del esquema multi-modelos generado.
En la literatura, el diagnóstico de fallas aplicado a columnas destilación ha estado enfocado princi24
1.6. HIPÓTESIS
palmente en la utilización de técnicas de control inteligente, por ejemplo el trabajo de Becraft y Lee
(1999), donde se integran sistemas expertos y redes neuronales. Una de las principales desventajas de
este método es que su efectividad depende de qué tan exacto pueda ser el modelo con respecto al
conocimiento de la planta; el modelado de sistemas físicos requiere no sólo de un conocimiento adecuado de los fenómenos involucrados en el sistema, sino también de la capacidad para representarlo
en forma matemática. Entonces, el problema principal radica en la construcción de un modelo simple
y a su vez preciso, que describa lo más acertado posible el comportamiento dinámico del sistema no
lineal.
La dificultad de la detección automática de fallas en columnas de destilación surge del hecho de que
el número de variables medidas es pequeña en comparación con el número de variables de estado
que intervienen en el proceso, además, usualmente tales mediciones están contaminadas con el ruido proveniente de los sensores o de los instrumentos de medición. Este ruido y la variabilidad de las
mediciones se oponen fundamentalmente a la utilización de sistemas expertos en tiempo real para el
diagnóstico de fallas, por lo que se exploran enfoques estadísticos que puedan contribuir en la solución del problema (Ploix y Dreyfus (1997)).
Una columna de destilación industrial es un proceso altamente no lineal, en este ámbito, una
detección de fallas de manera oportuna permite contar con el tiempo necesario para permitir acciones
de reconfiguración del sistema (Benosman y Lum (2008)); éste es un proceso en el que intervienen
cientos de toneladas de material por hora y deben cumplirse ciertas especificaciones sobre la pureza
del destilado, independientemente de la calidad del producto de fondo (en el hervidor). Debido a la
duración del proceso, las constantes que participan en la operación hacen que la detección temprana
de las fallas se convierta en un problema importante: un mal funcionamiento que no se detecta a
tiempo da lugar a desperdiciar tiempo, energía y material durante la operación.
1.6.
Hipótesis
Al desarrollar e implementar un esquema de control tolerante a fallas se mantiene una adecuada
operación del sistema, aún en presencia de perturbaciones y fallas en una columna de destilación
binaria. Dicho esquema está basado en esquemas de diagnóstico que usan modelos singulares LPV
politópicos, ésta es una representación que permite simplificar la implementación de la estrategia
propuesta.
1.7.
Justificación
Las fallas conducen a la pérdida de productividad y finalmente, puede conducir a la pérdida de vidas
humanas, por lo tanto, el diagnóstico de fallas es un procedimiento fundamental para aumentar la fiabilidad y seguridad de los procesos; su detección temprana puede ayudar a evitar averías importantes
25
1.8. OBJETIVOS
y los incidentes. Para asegurar la competitividad, los sistemas modernos de producción deben cumplir con ciertas normas de operación para asegurar una alta productividad con una calidad excelente,
en este ámbito, la detección de fallas en un corto período de tiempo permite efectuar los planes de
mantenimiento preventivo/correctivo sin detener el proceso. Además, si existe la detección de los síntomas, es posible disponer de tiempo suficiente para permitir para la reconfiguración del sistema.
La detección y diagnóstico de fallas han adquirido una importancia central en las industrias de procesos químicos en la última década. Esto se debe a varias razones, una de ellas es que la cantidad copiosa
de datos está disponible en un gran número de sensores en plantas de proceso y por otra parte, ya que
los procesos industriales operan en lazo cerrado con realimentación de salida adecuadas para alcanzar
determinados objetivos de rendimiento, las fallas de los instrumentos tienen un efecto directo sobre el
rendimiento general del sistema automatizado.
Motivados por la necesidad de desarrollar tareas avanzadas de supervisión y sistemas de control en
los procesos, la estimación en línea de los estados se convierte en un problema importante. En la mayoría de las aplicaciones de procesos químicos e industriales el problema principal es la detección
de pequeños cambios; la detección temprana de estos cambios leves en el proceso permite planificar
en un período más adecuado durante el cual el proceso debe ser revisado y reparado, de esta manera es factible una reducción de los costos de operación (Basseville (1988); Basseville y Nikiforov (1993)).
El camino convencional más utilizado en la detección y diagnóstico de fallas es a través de la utilización de modelos de los procesos, que no es fácil de lograr en muchos casos, teniendo en cuenta la
dificultad de representar los sistemas no lineales generando modelos para el diseño de observadores,
algunos autores prefieren representar a estos sistemas utilizando los modelos bajo estrategias LPV.
La idea principal de este trabajo es obtener un modelo singular LPV politópico cuya sencillez hace
más fácil la tarea de estimación, ya que reduce la carga computacional para su aplicación en línea
y al mismo tiempo, representa de manera acertada el comportamiento del proceso real dentro de un
espacio de estados definido en términos de los parámetros variables. Para los sistemas LPV, las técnicas
de interpolación se presentan como un buen método para conseguir una estructura politópica, esta
estrategia de modelado hace posible obtener un buen compromiso entre la complejidad y la precisión
en la representación del sistema. Esta estructura puede ser vista como una estrategia multi-modelos,
que se basa en la interpolación de los modelos locales que representan la dinámica en cada punto de
operación.
1.8.
Objetivos
En sistemas de control tolerante a fallas, los parámetros, las variables de estado y las señales de las fallas
deben ser estimadas en línea por el sistema de diagnóstico de fallas, previamente. Dicho esquema
debe tener en cuenta los diferentes tipos de fallas que participan en el sistema y garantizar la fiabilidad
26
1.9. CONCLUSIONES
de la información de monitoreo en un tiempo mínimo. Por estas razones y por el aumento reciente
de los requisitos de seguridad y de desempeño en los procesos industriales, estamos motivados para
desarrollar un sistema de control tolerante a fallas para aplicaciones prácticas en una columna de
destilación binaria, por lo que planteamos en esta tesis los siguientes objetivos:
1.8.1.
Objetivo general
Desarrollar e implementar esquemas de diagnóstico y control tolerante a fallas basado en modelos
singulares LPV politópicos para detectar, aislar y estimar fallas en sensores de una columna de
destilación binaria.
1.8.2.
Objetivos específicos
Construir un modelo singular LPV politópico, que represente el comportamiento del sistema no
lineal apropiadamente.
Diseñar un observador que utilice la teoría de los sistemas singulares LPV politópicos, para tareas
de estimación de estados y entradas desconocidas.
Diseñar esquemas de diagnóstico de fallas para detectar y estimar fallas en sensores y actuadores.
Diseñar un mecanismo de control tolerante a fallas que permita que el sistema trabaje aún en
presencia de fallas.
Probar la funcionalidad del modelo, del esquema de diagnóstico y del mecanismo de control
tolerante de fallas, por medio de datos reales de una columna de destilación binaria.
1.9.
Conclusiones
En este capítulo se presentaron los principios generales de los sistemas FDD y FTC. Las técnicas y métodos empleados en dichos sistemas generaron un marco teórico de referencia que se toma como base
para el desarrollo del presente trabajo de tesis.
Se realizó un análisis de los diferentes métodos de diagnóstico y generación de residuos aquí presentados, así como los métodos empleados para su evaluación, de manera tal que se pueda generar una
herramienta para la detección de fallas en la columna de destilación. Así mismo se presentó la problemática de la detección y diagnóstico de fallas, así como el control en columnas de destilación, lo que
permitió el planteamiento de la hipótesis, la justificación y los objetivos de este trabajo.
A continuación se presenta el desarrollo un modelo singular LPV politópico para una columna de destilación binaria. Dicho modelo permitirá disminuir la complejidad de los modelos no lineales manteniendo la descripción de la dinámica del proceso.
27
1.9. CONCLUSIONES
28
Capítulo 2
Sistemas singulares LPV politópicos
La descripción de los sistemas dinámicos singulares surgen naturalmente cuando se forman a partir
subsistemas interconectados. De hecho, gran cantidad de sistemas pueden ser vistos como una interconexión de subsistemas cuando existen ecuaciones diferenciales y algebraicas que representen sus
variables internas.
Los sistemas singulares se rigen por ecuaciones diferenciales que le dan a los sistemas características
especiales que no se encuentran en los sistemas clásicos, como por ejemplo: las derivadas de la entrada en la respuesta de los estados, la no causalidad entre la entrada y el estado (o salida), condiciones
iniciales consistentes, etc., son algunas de las características que promueven el estudio de los sistemas
singulares. Los modelos basados en sistemas singulares son una forma más conveniente para describir
la naturaleza física o los problemas prácticos de sistemas clásicos que describen plantas a gran escala
(Junchao et al. (2007)).
El objetivo de este capítulo es diseñar un modelo para la columna de destilación, que permita disminuir la complejidad de los modelos no lineales manteniendo la descripción de la dinámica del proceso;
para llevar a cabo esto, en primer lugar se presenta la teoría de base acerca de los sistemas singulares
y de los sistemas LPV. Posteriormente se define una representación denominada sistemas singulares
LPV politópicos, que reúne las características y ventajas de estas dos clases de sistemas y de acuerdo a
lo descrito se genera un sistema de este tipo para el caso de la columna de destilación.
Esta estrategia de modelado, se utiliza para obtener una nueva representación de la columna de destilación. Bajo dicha representación, dos parámetros variables (las entradas) se eligen para construir
cuatro funciones de ponderación que determinan el politopo. Para probar este nuevo modelo global
propuesto, se compara con un modelo no lineal conocido de la planta piloto de destilación del CENIDET reportado previamente (Aguilera-González et al. (2010)).
29
2.1. SISTEMAS SINGULARES
2.1.
Sistemas singulares
Algunos sistemas lineales no poseen una representación en variables de estado, de tal forma que se
pueden admitir ecuaciones de semi-estado (sistemas singulares).
En el sentido matemático, estos modelos se presentan en forma de una mezcla de ecuaciones diferenciales y algebraicas que surgen naturalmente para poder representar sistemas de control realimentado, problemas de optimización, sistemas a gran escala y generalmente, aproximaciones lineales de
modelos de sistemas no lineales (Debeljkovic (2004)).
Definición 2.1 Los sistemas singulares son sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
y algebraicas, donde las ecuaciones diferenciales surgen de las dinámicas comunes de los
sistemas, mientras que las ecuaciones algebraicas usualmente provienen de relaciones entre
las variables del sistema. Un sistema singular no lineal se puede representar por el siguiente
conjunto de ecuaciones:
E ẋ(t)
%(t)
= g(x(t), u(t), d(t))
= h(x(t))
(2.1)
donde x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , d(t) ∈ Rq y %(t) ∈ Rp son los vectores de estados, entradas,
perturbaciones y salidas del sistema, respectivamente. g(·) y h(·) son funciones no lineales
continuas e infinitamente diferenciables. E ∈ Rn×n es una matriz singular de parámetros
constantes con rango inferior a . El sistema de la Ec. (2.1) puede ser linealizado de tal manera
que da origen al siguiente sistema singular lineal:
E ẋ(t)
= Ax(t) + Bu(t),
%(t)
= Cx(t) + Du(t)
x(t0 ) = x0
(2.2)
con la matriz E singular, donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados generalizado, u(t) ∈ Rm es la
variable de control y %(t) ∈ Rp es el vector de salidas. Las matrices A, B, C y D son conocidas y
de dimensiones apropiadas .
Si el rango de E es inferior a n, siendo n la dimensión del espacio de estados, el sistema de la Ec. (2.2)
no puede ser convertido a una descripción estándar en espacio de estados al multiplicar por E −1 , entonces en ese caso, se dice que la Ec. (2.2) representa un sistema singular.
La solución para los sistemas singulares tiene una forma más compleja que incluye no sólo la parte
de la respuesta exponencial, sino también el impulso y la parte derivativa de la entrada. La regularidad
garantiza la existencia y unicidad de soluciones a los sistemas singulares, la mayoría de los resultados
conocidos sobre el comportamiento de este tipo de sistemas de control, dependen explícitamente de
suponer dicha condición de regularidad. Esta suposición no es necesariamente estricta, por lo que se
30
2.1. SISTEMAS SINGULARES
extienden entonces las siguientes definiciones para la aplicación de teorías de control en los sistemas
algebro-diferenciales.
Definición 2.2: Existencia y unicidad de soluciones. Existe una única solución generalizada,
es decir, una solución que puede contener funciones Delta de Dirac ("impulsos") a la Ec. (2.2),
sí y únicamente si el determinante de la matriz (sE − A) es diferente de cero.
A través de la transformación de Laplace, el sistema de la Ec. (2.2) se puede reescribir como:
(sE − A)X(s) = Ex0 + BU (s)
(2.3)
lo que indica que la solución del sistema está estrechamente relacionada con la matriz P (s) =
sE − A. De hecho, para sistemas singulares LTI, la existencia de una solución única puede
reducir el problema a uno de naturaleza algebraica. En otras palabras, la matriz (sE − A) y su
correspondiente sistema singular se denominan regulares si el det(sE − A) 6= 0 .
La posibilidad de cambiar el comportamiento de un sistema singular requiere de ciertas propiedades
de controlabilidad y observabilidad. Si un sistema de este tipo puede describir un comportamiento
diferente, deben considerarse también diferentes versiones de controlabilidad y observabilidad. Sin
embargo, la descomposición dinámica/algebraica indica precisamente que la controlabilidad y la observabilidad de cada una de estas partes se puede tratar por separado (Rehm (2004)).
Una de las herramientas para comprobar la controlabilidad de los sistemas singulares, se basa en la
teoría de Lyapunov. La estabilidad de los puntos equilibrio en el sentido de la estabilidad de Lyapunov
de sistemas lineales autónomos singulares, es equivalente al estudio de la estabilidad de los sistemas
clásicos. Este análisis fue desarrollado por Dai (1988) para sistemas singulares discretos y se presenta
a continuación.
Por definición se tiene que un sistema singular (E, A, B, C, D) es estabilizable si existe una realimentación singular proporcional para (E, A, B) tal que el sistema en lazo cerrado sea asintóticamente estable
(Dai (1988)). Bajo estas condiciones de regularidad, existen dos matrices no singulares Q, P , tales que
el siguiente sistema singular discreto:
(
Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
%(k) = Cx(k)
(2.4)
se restringe a un sistema equivalente (RSE, por su sigla en inglés):


 x1 (k + 1) = A1 x1 (k) + B1 u(k)
Ň x2 (k + 1) = x2 (k) + B2 u(k)


%(k) = C1 x1 (k) + C2 x2 (k)
31
(2.5)
2.2. SISTEMAS LPV
de donde se definen las siguientes matrices:
"
QEP =
In1
0
0
Ň
#
"
, QAP =
A1
0
0
In2
#
"
, QB =
B1
#
B2
"
, x(k) = P
x1 (k)
x2 (k)
#
, CP =
h
C1 , C2
i
y n1 +n2 = n y Ň es una matriz nilpotente. Por definición se tiene que el sistema de la Ec. (2.4) es llamado R-controlable (R-observable) si el rango de la matriz [zE −A, B] = n, ∀z ∈ C, con z finito (Dai (1988)).
El sistema es llamado controlable (observable) si cumple ser R-controlable y además, el rango de
[E, C] = n. Adicionalmente, el sistema de la Ec. (2.4) es llamado estable si existen dos constantes
α > 0 y 0 < β < 1, tal que su respuesta es libre, (es decir, cuando u(k) = 0, k = 0, 1, 2, ...) satisface
kx(k)k ≤ αβ k ,
∀k ≥ 0. A partir esta definición, se puede concluir que el sistema estable de la Ec. (2.4)
tiene una respuesta libre x(k) que satisface limk→∞ x(k) = 0, a lo que se le conoce como estabilidad
asintótica, su prueba se encuentra en Dai (1988).
2.2.
Sistemas LPV
A continuación se presenta la definición de los sistemas LPV y algunos de los tipos que fueron
considerados de acuerdo a la dependencia de sus parámetros.
Definición 2.3: Un sistema lineal de parámetros variables (LPV) es un sistema en el cual las
matrices contienen funciones que dependen de un vector de parámetros conocidos que varían.
Considere la siguiente representación:
ẋ(t)
=
A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t) + R(θ(t))d(t)
%(t)
=
C(θ(t))x(t) + D(θ(t))u(t) + J(θ(t))d(t)
(2.6)
con x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rp , d(t) ∈ Rq , %(t) ∈ Rm son los vectores de estados, entradas,
perturbaciones y salidas del sistema, respectivamente. A(θ(t)), B(θ(t)), C(θ(t)), D(θ(t)),
J(θ(t)) y R(θ(t)) son matrices que dependen de parámetros θ(t) variantes en el tiempo. Es decir,
los sistemas LPV pueden ser vistos como sistemas LTI sujetos a variaciones de incertidumbres
paramétricas, o pueden ser modelos de sistemas LTV o modelos resultantes de la linealización
de SNL a lo largo de las trayectorias de los parámetros .
Se asume que estos parámetros siempre estarán acotados, es decir:
θ ∈ Uθ ⊂ Rk y Uθ es compacto
(2.7)
El modelo de la Ec. (2.6) permite tomar en cuenta las variaciones paramétricas de un sistema dinámico
(temperatura, masa, concentración, velocidad, presión dinámica, entre otros); dicho modelo evoluciona en función de una trayectoria de los parámetros admisible. Esta última es tal que cada uno de sus
puntos pertenece en todo instante de tiempo al conjunto compacto Uθ . Los sistemas LPV pueden interpretarse como una generalización de los sistemas LTI cuando la trayectoria paramétrica admisible
32
2.2. SISTEMAS LPV
es constante, es decir, θ(t) = θ0 . Igualmente, un sistema LPV puede verse como una generalización de
un sistema LTV para una trayectoria dada σ(t) del parámetro θ(t) en Uθ (Teppa (2008)).
Los sistemas LPV pueden clasificarse de acuerdo a la dependencia de sus parámetros, en cinco grandes
grupos: sistemas afines y multi-afines, sistemas racionales, sistemas polinomiales, sistemas TakagiSugeno (TS) y sistemas politópicos; en este trabajo de tesis se hará referencia a los dos últimos grupos.
Bajo tal denominación (TS y politópicos) se pueden identificar tareas de modelado de sistemas LPV, las
cuales pretenden suministrar herramientas para el desarrollo de nuevas estrategias de representación
de los procesos. A continuación se describen con mayor detalle estos dos tipos de modelado.
2.2.1.
Sistemas LPV Takagi-Sugeno
Con el fin de obtener modelos versátiles para el desarrollo de estrategias de estimación, diagnóstico y
control de sistemas LPV, se presentan primero las herramientas de inteligencia artificial que en las últimas décadas han aportado un grupo de técnicas de modelado simbólico con base en la lógica difusa.
En particular se trabaja con sistemas del tipo Takagi-Sugeno, que presentan grandes ventajas para la
representación de los sistemas dinámicos, debido a su naturaleza híbrida entre lo difuso y lo numérico
lineal (Alvarez y na (2004)).
En esta estrategia, el objetivo de hallar un modelo puede formularse como: encontrar una estructura y
un grupo de parámetros θ(t) que produzcan una salida y(t) tal que para todas las entradas razonables,
el error e(t), sea lo suficientemente pequeño. Adicionalmente, se propone y aplica una etapa de ajuste
fino del sistema TS que utiliza funciones de costo que deben tener en cuenta dos ejes: uno basado en
los datos del proceso y otro basado en un criterio de operación del modelo.
Esta familia de modelos entrada-salida está parametrizada por un vector que contiene toda la información sobre los ajustes posibles del modelo. Por esta razón, este tipo de modelado también se denomina
paramétrico, puesto que todo el peso de la representación recae sobre la variación de los parámetros.
Se tiene el siguiente sistema Takagi-Sugeno:
ẋ(t)
%(t)
=
=
Q
X
i=1
Q
X
εi (θ(t)) [Ai x(t) + Bi u(t)]
(2.8)
εi (θ(t)) [Ci x(t) + Di u(t)]
i=1
donde las funciones de costo εi (θ(t)) pueden ser no lineales y dependen de los parámetros θ(t) los
cuales pueden ser medibles como lo son las entradas y salidas u(t), %(t), o no medibles como lo son los
estados x(t) del sistema.
La salida normalizada del sistema TS %(t), es la salida para la regla i definida por la función εi (θ(t))
y se calcula como un promedio ponderado de la contribución de cada regla, donde Q es el número
33
2.2. SISTEMAS LPV
total de reglas del sistema TS. En este caso, todos los conjuntos difusos individuales en el antecedente
de cada regla se transforman en un conjunto difuso simple. Este procedimiento implica la resolución
de los conectivos lógicos indicados en cada regla o la obtención del conjunto difuso múltiple directamente desde los datos de identificación.
Las funciones de costo deben satisfacer las siguientes propiedades:
Q
X
εi (θ(t)) = 1
(2.9)
0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1
(2.10)
i=1
Esta estructura es también considerada multi-modelos, por lo que se considera una herramienta sencilla de implementar y a su vez, puede verse como un aproximador universal de sistemas no lineales,
ya que puede representar casi cualquier comportamiento no lineal de acuerdo con un número suficiente de modelos locales. Este esquema de representación, proporciona un medio para aplicar las
herramientas desarrolladas para sistemas lineales y sistemas LPV a sistemas no lineales, debido a las
características expresadas por las propiedades de las Ecs. (2.9-2.10) (Ichalal et al. (2009)).
Otro tipo de sistemas LPV, que esquemáticamente se parecen a los sistemas TS, son los sistemas politópicos y se describen a continuación.
2.2.2.
Sistemas LPV politópicos
Este tipo de sistemas han sido utilizados recientemente por algunos investigadores para desarrollar
modelos que permiten implementar estrategias de estimación y diagnóstico de fallas. La formulación
LPV politópica permite representar un sistema no lineal a través del uso de parámetros variables que
definen modelos locales lineales y además, con el uso de funciones de ponderación se indica la participación de cada uno de los modelos lineales en la reconstrucción del modelo global, el cual puede
verse como una representación aproximada al comportamiento del sistema no lineal; para tareas de
modelado y diagnóstico, los parámetros que determinan dichas funciones de ponderación, se consideran libres de falla o perturbación.
Para comprender la dinámica de este tipo de representación, se considera como un sistema politópico LPV, aquel que es gobernado por el siguiente conjunto de ecuaciones:
donde
"
ẋ(t)
=
A(θ)x(t) + B(θ)u(t)
%(t)
=
C(θ)x(t) + D(θ)u(t)
A(θ)
B(θ)
C(θ) D(θ)
#
=
Q
X
i=1
"
εi (θ(t))
(2.11)
Ai
Bi
Ci
Di
#
(2.12)
con x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rp , d(t) ∈ Rq , %(t) ∈ Rm son los vectores de estados, entradas, perturbaciones y
34
2.3. SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS
salidas del sistema, respectivamente. A(θ(t)), B(θ(t)), C(θ(t)), D(θ(t)), J(θ(t)) y R(θ(t)) son matrices
que dependen de parámetros (θ(t)) variantes en el tiempo. Dichos parámetros θ(t) varían en un
politopo convexo de vértices θj , ∀θj ∈ Θ tal que Θ = [θ = θ1 , ..., θj ∈ Θ ⊂ Rj ] (Hamdi et al. (2009)). El
número total de funciones de ponderación εi (θ(t)) está dado por Q = 2j , las cuales deben cumplir la
siguiente propiedad de suma convexa:
Q
X
εi (θ(t)) = 1, 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1
(2.13)
i=1
donde x ∈ X ⊂ Rn×n , u ∈ U ⊂ Rp , % ∈ Y ⊂ Rm×n
Los vértices del politopo convexo mínimo se denominan puntos extremos. Encontrar el mínimo
politopo convexo de un conjunto finito de puntos consiste en determinar el conjunto de puntos
extremos. A continuación se extiende la teoría de este enfoque a los sistemas singulares.
2.3.
Sistemas singulares LPV politópicos
Los sistemas singulares LPV politópicos buscan asegurar que las trayectorias del sistema no lineal original sean también las trayectorias de la representación LPV, y a su vez, son una herramienta de modelado que amplía la posibilidad de desarrollar e implementar metodologías lineales tanto en el diagnóstico como en el control a sistemas no lineales.
Definición 2.4: Los sistemas singulares LPV politópicos son sistemas singulares que se encuentran representados dentro de un dominio politópico. Un politopo es un polígono convexo
que define la región de operación del sistema.
Para desarrollar el modelo singular LPV politópico, se considera primero el siguiente sistema
singular no lineal en tiempo continuo:
E ẋ(t)
%(t)
= g(x(t), u(t), d(t))
= h(x(t))
(2.14)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp es el vector de entradas, d(t) ∈ Rq es el vector
de perturbaciones y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas con (m < n). g(·) y h(·) son funciones
no lineales y continua e infinitamente diferenciables. E ∈ Rn×n es una matriz singular de
parámetros constantes, con rango menor a n. La linealización de las funciones alrededor de
puntos de operación () proporciona un conjunto de modelos singulares lineales (Hamdi et al.
(2010)) .
De igual manera, través de la medición de los parámetros se proporciona mayor información en tiempo real sobre variaciones de las trayectorias de la planta. Este tipo de sistemas son ampliamente usados
en análisis y aplicación de teorías de control robusto con la ventaja de que su carga computacional es
35
menor, lo que facilita la implementación de esquemas de diagnóstico y control tolerante a fallas en
línea (Grenaille et al. (2008); Anstett et al. (2009)).
Muchos sistemas físicos presentan variaciones de parámetros debidos a comportamientos no estacionarios o a su dinámica no lineal, o a la dependencia de variables externas. Para tales procesos la
teoría de los sistemas LPV ofrece un atractivo marco de modelado, ya que pueden ser vistos como sistemas no lineales que se linealizan a lo largo de trayectorias determinadas por el vector de parámetros.
Generalmente se asume que dicho vector de parámetros es medible (Toth et al. (2009)), por lo que una
representación de un sistema LPV es:
ẋ(t)
=
A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t) + R(θ(t))d(t)
%(t)
=
Cx(t)
(2.15)
donde las variables y matrices se consideran como aquellas que fueron descritas anteriormente. Para
representar un sistema singular LPV politópico, el primer paso consiste en linealizar el modelo (2.14)
alrededor de puntos de operación, para definir un espacio de estados acotado del sistema. Entonces, el
nuevo modelo puede verse como un sistema multi-lineal variante en el tiempo y en el cual, las matrices
del sistema están dadas por un conjunto de puntos de operación conocidos (Rodrigues et al. (2008)).
Por lo tanto, el sistema (2.15) puede ser reescrito como un sistema singular LPV politópico en tiempo
continuo de la forma:
E ẋ(t)
=
Q
X
εi (θ(t)) [Ai x(t) + Bi u(t) + Ri d(t)]
i=1
%(t)
(2.16)
= Cx(t)
donde E ∈ Rn×n , es una matriz singular (cuadrada en este caso), Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×p , Ri ∈ Rn×q
y C ∈ Rm×n son matrices constantes conocidas con ∀i ∈ [1, . . . , Q] donde Q es el número total
de funciones de ponderación εi (θ(t)). Dichas funciones deben cumplir con las condiciones que se
establecen en la Suposición 2.1 (en la siguiente subsección), además de la siguiente propiedad de suma
convexa:
Q
X
εi (θ(t)) = 1, 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1
(2.17)
i=1
2.3.1.
Formulación de un modelo singular LPV politópico
La cantidad de modelos que se pueden obtener en este tipo de representación, depende de la evaluación de los parámetros variables en sus valores límite y sus diferentes combinaciones. Suponiendo
que la variación de cada parámetro θj se da en el intervalo [θ̄j ; θj ] ∈ Ω. Entonces, el vector de parámetros está definido por Θ = [θ = θ1 , ..., θj ∈ Θ ⊂ Rj ] donde los vértices del politopo está dado por
Si = [Ai , Bi , C, Ri ], ∀i ∈ [1, .., Q] y la cantidad de vértices de la caja de parámetros está dado por Q = 2j
, como se representa en la Fig. 2.1 donde se aprecia el caso cuando se tiene j = 2.
El comportamiento de un sistema LPV politópico se rige por funciones de ponderación εi (θ(t)), donde
36
cada función pertenece al siguiente conjunto convexo :
Ω = {εi (θ(t)) = ε(θ̄, θ, θ(t), t) : 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1;
Q
X
εi (θ(t)) = 1}
(2.18)
i=1
donde θ̄ = [θ̄1 , ..., θ̄j ] y θ = [θ1 , ..., θj ] son los vectores que contienen los límites superiores e inferiores
de cada parámetro, respectivamente.
Fig. 2.1 – Mapeo de una caja de parámetros a un politopo.
La representación LPV politópica está sujeta a las siguientes suposiciones :
Suposición 2.1: Considere que (Anstett et al. (2009)):
i). Existe una relación entre los parámetros y los estados y/o las entradas del sistema, tal que
θ(x(t), u(t), t), por lo que la descripción LPV es una aproximación adecuada del sistema no lineal.
ii). Los parámetros θ(t) son acotados, es decir, θj (t) ∈ [θ̄j ; θj ].
iii). Los parámetros θ(t) dependen solamente de las señales medibles o accesibles y se consideran
libres de fallas.
iv). La relación θ(x(t), u(t), t) es conocida.
La primera condición asegura que las trayectorias del sistema no lineal también son trayectorias del
modelo cuasi–LPV, por otra parte, las condiciones restantes garantizan la disponibilidad del vector de
parámetros que permiten la síntesis de estrategias de estimación y control.
Se presentan algunos ejemplos en la Fig. 2.2 acerca de la cantidad de funciones de ponderación que
pueden considerarse en la representación LPV politópica. En la Fig. 2.2a), se tiene el caso para un solo
parámetro, es decir, los valores de j = 1, Q = 2, aquí el politopo adopta la forma de un segmento de
una línea y en la Fig. 2.2b), cuando se consideran dos parámetros se tiene que j = 2, Q = 4, el conjunto
es un hipercubo cerrado sobre un plano y así sucesivamente.
37
Fig. 2.2 – Conjunto convexo Ψ con Q = 2 y Q = 4.
Las ecuaciones que generan las funciones de ponderación están dadas de acuerdo al número de
parámetros que las generan. A continuación se dan los casos particulares donde se modelan Q = 2,
Q = 4 funciones de ponderación directamente, así como la fórmula general para j ≥ 3:
Para j = 1, Q = 2, las funciones de ponderación se construyen a partir de las siguientes
ecuaciones (Kajiwara et al. (1999)):
ε1 (θ(t)) =
θ̄−θ
θ̄−θ
;
ε2 (θ(t)) =
θ−θ
θ̄−θ
(2.19)
Para j = 2, Q = 4, el vector de parámetros está dado por Θ = [θ = θ1 , θ2 ∈ Θ ⊂ R2 ] y por lo tanto,
es posible construir las funciones de ponderación a partir de las siguientes ecuaciones (Hamdi et
al. (2011)):
ε1 (θ(t)) =
ε3 (θ(t)) =
θ1 −θ 1
θ2 −θ 2
;
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ2 −θ 2
θ̄1 −θ1
;
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
ε2 (θ(t)) =
ε4 (θ(t)) =
θ1 −θ 1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ¯1 −θ1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
(2.20)
Para j ≥ 3, Q ≥ 8, una ecuación general para modelar las funciones de ponderación está dada
por (Bara et al. (2001)):
εi (θ(t)) = ΠN
i=1
αij θj + βij
θj − θ̄j
(2.21)
donde

1
αij
−1
cuando bij = 0

−θ¯
j
cuando bij = 0
θ
cuando bij = 1
cuando bij = 1
y
βij
j
Teniendo en cuenta que (biN , ..., bi2 bi1 ) es la representación binaria del índice i.
2.3.2.
Estabilidad de los sistemas singulares LPV politópicos
Para los sistemas singulares LPV, la estabilidad se ha estudiado en función del diseño de controladores
de ganancia programada (Masubuchi et al. (2003)) y específicamente para los sistemas LPV politópi38
cos, a través del diseño de controladores realimentados (Chadli et al. (2008)). Con base en esta última
técnica, usando la formulación de desigualdades matriciales lineales (LMI, por su sigla en inglés) y la
estabilidad en el sentido de Lyapunov y teniendo en cuenta que un politopo es un polígono convexo,
la estabilidad del sistema politópico se caracteriza en términos de la estabilidad de los vértices del sistema.
Para el análisis de estabilidad de los sistemas singulares LPV politópicos, considere el siguiente sistema (Chadli et al. (2008)):
E ẋ(t)
%(t)
=
=
Q
X
i=1
Q
X
εi (θ(t)) [Ai x(t) + Bi u(t)]
(2.22)
Ci x(t)
i=1
donde x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rp y %(t) ∈ Rm son los vectores de estados, entradas y salidas del sistema,
respectivamente. Las matrices Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×p y Ci ∈ Rm×n . Donde E ∈ Rn×n es una matriz
singular de parámetros constantes con 0 ≤ rango (E) = nE < n. Las funciones de ponderación deben
Q
X
cumplir que
εi (θ(t)) = 1, y 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1. Se considera entonces la siguiente función de Lyapunov
i=1
que depende de los parámetros:
con
P(θ(t)) =
Q
X
V (x(t), θ(t)) = x(t)T P(θ(t))x(t)
(2.23)
εi (θ(t))(E T Pi E), con (E T Pi E) > 0, ∀i ∈ IQ
(2.24)
i=1
Entonces, el sistema singular LPV politópico (2.22) es estable si existen matrices simétricas no
2
(siendo In la matriz
singulares Pi tales que las siguientes desigualdades se mantengan ∀i, j ∈ IQ
identidad):
E T Pi E ≥ 0
(2.25)
ATi Pj Ai − E T Pi E < 0
(2.26)
Note que cuando E = I, se hace referencia a los sistemas LPV de manera general.
Esta teoría de los sistemas singulares LPV politópicos es útil para representar sistemas no lineales ya
que, a través de la medición de los parámetros, proporcionan mayor información en tiempo real sobre
variaciones de las trayectorias de la planta y a su vez permiten extender teorías de estimación y control
lineal, a sistemas no lineales.
En este trabajo de tesis, esta metodología de modelado se usa para desarrollar un nuevo modelo de
tipo singular LPV politópico para una columna de destilación binaria (CDB), considerada como un
sistema altamente no lineal y que se presenta a continuación.
39
2.4. MODELADO DE UNA CDB POR MEDIO DE SISTEMAS SINGULARES LPV
2.4.
Modelado de una CDB por medio de sistemas singulares LPV
La destilación es una de las técnicas de separación más importantes en la industria química y petrolera, que puede definirse como una técnica para separar sustancias mezcladas en el estado líquido,
considerando la diferencia entre sus puntos de ebullición. Este proceso consiste en tres etapas principalmente: la evaporación, la condensación y la recolección de las fracciones de los compuestos.
En numerosas aplicaciones de control para columnas de destilación, se requiere la información continua de las fracciones molares de los componentes. La medición fuera línea de estas composiciones
puede hacerse a través de analizadores como el cromatógrafo de gases o el detector de índice de refracción. Aunque actualmente hay un gran desarrollo en este tipo de tecnología los costos que se generan
son altos en cuanto a inversión, implementación de la técnica en sí y al mantenimiento de los instrumentos.
El objetivo principal de esta sección es desarrollar un modelo de una columna de destilación, que
pueda ser utilizado como herramienta de diseño de observadores para estimar las composiciones del
componente ligero para un sistema binario etanol-agua. Esta estimación se basa en la medición de las
temperaturas disponibles en el el cuerpo de la planta. Dicho modelo es ajustado a las características
físicas de la planta piloto del CENIDET (cuya descripción completa se encuentra en el Apéndice A de
la presente tesis), y un modelo termodinámico que establece el equilibrio de fases los componentes de
la mezcla. A continuación se describe el modelo no lineal de una columna de destilación binaria.
2.4.1.
Modelo no lineal de la CDB
La predicción del equilibrio líquido-vapor en mezclas binarias es fundamental para el diseño y
operación del proceso de destilación, es necesario disponer de datos para cada mezcla dada o de
correlaciones para poder estimarlos adecuadamente. En la mayoría de los casos estas relaciones son
funciones no lineales de la temperatura, la presión y la composición. Para efectos de las no linealidades
de sistemas químicos a baja presión, la ecuación que representa la composición molar de vapor yp en
función del componente ligero es:
yp PT = Pjsat xp γj
(2.27)
donde xp es la composición molar del líquido, Pjsat es la presión parcial de vapor, PT es la presión total y
γj es el coeficiente de actividad para cada componente (en adelante en este capítulo se tiene que: j = 1
para etanol y j = 2 para el agua). Este coeficiente es un factor de corrección altamente dependiente de
la composición y una manera de calcularlo para cada uno de los componentes de la mezcla, es con el
uso de la ecuación de Van Laar:

2
Λ21 (1 − xp )


 lnγ1 = Λ12
Λ x + Λ21 (1 − xp )
12 p
2

Λ12 (1 − xp )

 lnγ2 = Λ21
Λ12 xp + Λ21 (1 − xp )
40
(2.28)
donde Λ12 y Λ21 son parámetros de interacción constantes establecidos para mezclas binarias y pueden encontrarse en la literatura (Perry (1999)).
El balance de materia del componente j en el plato p se obtiene con el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales (Cingara et al. (1990); Skogestad (1997)):

d(x1 )


= VR y2 − LR x1 − Ďx1
M1


dt







d(xp )



Mp
= VR (yp+1 − yp ) + LR (xp−1 − xp ) para p = 2, ..., f − 1


dt






d(xf )
= VR (yf +1 − yf ) + LR (xf −1 − xf ) + F (zF )
Mf

dt








d(xp )


 Mp dt = VS (yp+1 − yp ) + LS (xp−1 − xp ) para p = f + 1, ..., N − 1









 M d(xN ) = L x
N
S N −1 − VS yN − B̌xN
dt
(2.29)
donde xp , yp son la composición de líquido y de vapor respectivamente, es decir, el número de moles
del componente ligero en el plato p. F y zF son el flujo molar en la alimentación y su composición
molar respectivamente. Ď y B̌ son el producto destilado y el producto de fondo respectivamente. Mp
es la retención molar en cada plato y N es el número total de platos de la columna de destilación.
El producto destilado Ď y el producto de fondo B̌ son definidos como (Skogestad (1997)):
Ď = V − L
B̌ = L + F − V
(2.30)
La sección por encima del plato de alimentación (p = 2, ..., f −1) se conoce como la sección de rectificación, en ella, la composición del componente ligero se hace cada vez más pura a medida que asciende
el vapor, entonces LR y VR son el flujo molar de líquido y de vapor en la sección de rectificación.
La sección de agotamiento es la sección de la columna por debajo del plato de alimentación (p =
f + 1, ..., N − 1) donde la concentración del componente ligero se hace cada vez menos puro a medida
que desciende el líquido, entonces LS y VS son el flujo molar de líquido y de vapor en esta sección.
Estos flujos molares se definen como:
V
= VS = VR
L = LR
LS
(2.31)
= LR + F
El concepto de equilibrio de fases (físico-químico) es importante en la teoría de la destilación; en este
trabajo de tesis se asume que existe el equilibrio líquido-vapor en cada etapa, es decir, que el líquido se
41
envía al plato siguiente (descendiente) y el vapor al plato anterior (ascendente); para algunas columnas de platos esta es una descripción razonable de acuerdo a la construcción de la planta.
Basado en el concepto de equilibrio en cada plato, una sección de columna de destilación se modela
suponiendo perfecta mezcla de las dos fases dentro de un plato, entonces el modelo de la columna se
divide en cuatro modelos básicos que representan: el condensador, un plato general, el plato de alimentación y el hervidor.
Este modelo ha sido utilizado por algunos autores para desarrollar esquemas de control y de estimación de sistemas no lineales en columnas de destilación (Balasubramhanyaa y Doyle (2000); TéllezAnguiano et al. (2009)), sin embargo, debido a la alta no linealidad natural del proceso, estos enfoques
pueden ser complicados y difíciles de utilizar en la práctica.
Por esta razón, los modelos singulares LPV se convierten en una estrategia de modelado que hace posible obtener un buen compromiso entre la precisión y la complejidad de la representación del sistema.
En la siguiente sección, se desarrolla un modelo singular LPV politópico para la columna de destilación
binaria.
2.4.2.
Diseño de un modelo singular LPV politópico de la CDB
Para diseñar un modelo singular LPV politópico para la columna de destilación, el sistema no lineal
(2.29) puede ser reescrito de la forma (2.14) con ẋ = g(x, L, V, F, zF ) y se analiza de acuerdo al siguiente teorema.
Teorema 2.1 (Levine y Rouchon (1991)): g(·) es lineal con respecto a L, V, F y zF , entonces se
asume que L, V, F y zF son continuas en el tiempo, es decir, t ∈ [0, +∞) tal que ∀t, L(t) <
V (t) < (L(t) + F (t)). Por lo tanto, es posible establecer que para cada L, V, F y zF existe un
único estado estable x̄(t) ∈ [0, 1] llamado solución única de g(x̄, L, V, F, zF ) = 0. Además,
si L, V, F y zF son constantes y si x0 ∈ [0, 1], entonces el sistema es estable en el sentido
de Lyapunov y su solución converge a un único estado estable asociado a L, V, F y zF . El
sistema puede describirse como una combinación de sus dinámicas lentas y rápidas, que bajo
consideraciones apropiadas, puede ser descrito usando únicamente las dinámicas lentas .
De acuerdo a esto, el modelo descrito en la Ec. (2.29) puede reescribirse como un sistema de
ecuaciones diferenciales y algebraicas de la forma de la Ec. (2.16). Entonces, una columna de
destilación binaria puede representarse como un sistema singular LPV politópico de la forma:
E ẋ(t)
=
Q
X
i=1
%(t)
= Cx(t)
42
(2.32)
donde x = [x1 , x2 , ..., xN ]T es el vector de estados que representa las composiciones de líquido del
componente ligero con N como el número total de platos de la columna. u = [L
V ]T es el vector de
entradas, siendo L el flujo molar líquido y V el flujo molar de vapor respectivamente. d = [F
zF ]T es
el vector de perturbaciones, donde F y zF son el flujo molar de la alimentación y su composición molar
respectivamente. Con el fin de construir un modelo singular LPV politópico, con parámetros variables
de tiempo acotados, se supone que los parámetros θj están dentro de un rango:
θj ≤ θj (t) ≤ θ̄j
(2.33)
Para el caso de estudio, se consideran como parámetros las entradas del sistema, es decir, θ1 (t) = L y
θ2 (t) = V ; debe tenerse en cuenta que F y zF son por naturaleza positivas, mientras que L y V (también positivas) pueden variar entre límites superiores e inferiores.
Desde la Ec. (2.30), donde se describen las tasas de flujo molar del producto destilado y del producto de fondo respectivamente, se deduce que V − L = Ď > 0 y L + F − V = B̌ > 0. Entonces, los límites
máximos y mínimos de L y V están dados como:
L ∈ Υ = [L, L̄] ⊂ (max{0, V − F }, V )
(2.34)
V ∈ Σ = [V , V̄ ] ⊂ (L, V + F )
(2.35)
Estos parámetros pueden ser normalizados de la siguiente manera (Bara et al. (2001)):
θ1
:=
θ2
:=
2
L̄−L
2
V̄ −V
L − L̄+L
∈ [−1, 1]
2
V̄ +V
V − 2
∈ [−1, 1]
(2.36)
Las funciones de ponderación εi (θ(t)) dependen de θ1 y θ2 que son definidas por:
ε1 (θ(t)) =
ε3 (θ(t)) =
θ2 −θ 2
θ1 −θ 1
;
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ2 −θ 2
θ̄1 −θ1
;
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
ε2 (θ(t)) =
ε4 (θ(t)) =
θ1 −θ 1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ¯1 −θ1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
(2.37)
donde εi (θ(t)) = ε(θ̄j , θj , θj (t), t).
Las matrices Ai , Bi y Ri se calculan a partir de la linealización del sistema no lineal dado en la Ec.
(2.29) en cada punto de operación; dichos puntos de operación están dados por las combinaciones de
los límites de los parámetros y definidos en cada una de las funciones de ponderación. Para obtener
esta linealización el sistema no lineal es reescrito de la forma (Cingara et al. (1990)):
Mp ẋp
= Ai 4x(t) + Bi 4u(t) + Ri 4d(t)
43
(2.38)
donde 4x(t), 4u(t) y 4d(t) representan pequeñas desviaciones del estado estable. Las matrices
linealizadas del sistema están dadas por:



Ai = 


∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
···
..
.
···
..
.
∂fN
∂x1
∂fN
∂x2
···
..
.
∂f1
∂xN
∂f2
∂xN
..
.
∂fN
∂xN









; Bi = 


x=x0
∂f1
∂u1
∂f2
∂u1
∂f1
∂u2
∂f2
∂u2
∂fN
∂u1
∂fN
∂u2
..
.
..
.









; Ri = 


x=x0
∂f1
∂d1
∂f2
∂d1
∂f1
∂d2
∂f2
∂d2
∂fN
∂d1
∂fN
∂d2
..
.
..
.






x=x0
De acuerdo a lo anterior, el modelo propuesto se describe mediante un sistema de ecuaciones algebrodiferenciales (2.32), esta estructura conserva la estructura tridiagonal del sistema no lineal original de
la columna de destilación binaria (2.29).
Por razones físicas, el comportamiento de cada plato es similar al de cualquier otro dentro del cuerpo
de la columna de destilación, así mismo, el tiempo de residencia en un plato intermedio es mucho
más corto que el tiempo de residencia en un conjunto de platos; esto permite que la columna pueda
ser dividida en un determinado número de secciones de platos consecutivos (llamados compartimentos), lo que presenta un modelo alternativo a los modelos por platos conocidos en la literatura (Levine
y Rouchon (1991)).
Sin embargo, este trabajo utiliza un método que relaja las restricciones hechas sobre la masa retenida
y que se presenta en el trabajo de Linhart y Skogestad (2009). Este procedimiento consiste en seleccionar algunos platos como secciones de agregación que se modelan con ecuaciones diferenciales, a los
cuales debe asignárseles los valores de las masas retenidas de aquellos platos que van a ser modelados
por ecuaciones algebraicas.
La dinámica del compartimento está dada por la ecuación diferencial de un único plato (que contiene
las masas retenidas de todos los platos de dicha sección), mientras que las dinámicas no consideradas
brindan la información acerca de su distribución en cada uno de los platos (como se ilustra en la Fig.
2.3).
En esta figura se aprecia como a partir de un conjunto de platos de la columna se establecen las secciones de agregación, de acuerdo a la dinámica de cada una de las etapas de la columna. Posteriormente,
estas secciones se utilizan para construir los compartimentos, los cuales, como se explicó anteriormente van a ser descritos por ecuaciones diferenciales.
En la derivación del método de Levine y Rouchon (1991) el paso de simplificación del modelo, resulta de un tratamiento matemáticamente incorrecto cuando se aplica la suposición del estado cuasiestacionario. Mientras que, en la Observación 3 del trabajo de Linhart y Skogestad (2009), se tiene en
cuenta un procedimiento de reducción mucho más simple, donde sólo se consideran las retenciones
del compartimiento evitando que sus extremos aparezcan en las ecuaciones diferenciales del modelo.
44
Fig. 2.3 – Esquema de formación de compartimentos.
De esta manera, el modelo de orden reducido para la columna de destilación de N = 12 platos que se
obtiene, está dado por el siguiente sistema de ecuaciones algebro-diferenciales:































d(x1 )
= V (y2 − x1 )
dt
0 = V( y3 − y2 ) + L(x1 − x2 )
d(x3 )
M̌2
= V( y4 − y3 ) + L(x2 − x3 )
dt
0 = V( y5 − y4 ) + L(x3 − x4 )
d(x5 )
M̌3
= V( y6 − y5 ) + L(x4 − x5 )
dt
0 = V( y7 − y6 ) + L(x5 − x6 )






























0 = V( y8 − y7 ) + L( x6 − x7 ) + F (zF − x7 )
d(x8 )
= V( y9 − y8 ) + (L + F )(x7 − x8 )
M̌4
dt
0 = V( y10 − y9 ) + (L + F )(x8 − x9 )
M̌1
0 = V( y11 − y10 ) + (L + F )(x9 − x10 )
d(x11 )
M̌5
= V( y12 − y11 ) + (L + F )(x10 − x11 )
dt
0 = (L + F )(x11 − x12 ) − V (y12 )
45
(2.39)
La matriz E que describe la singularidad del sistema, se construye de la siguiente manera:













E=













M̌1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
M̌2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
M̌3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 M̌4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 M̌5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0 

0 


0 

0 


0 

0 


0 

0 


0 

0 

0
0
(2.40)
donde las masas retenidas consideradas están dadas por:
M̌1 = M1 ;
M̌2 = M2 + M3 ;
M̌4 = M7 + M8 + M9
M̌3 = M4 + M5 + M6
M̌5 = M10 + M11 + M12
A continuación se presentan los resultados de las simulaciones del modelo singular LPV politópico
propuesto, en el que las matrices del sistema se establecen de acuerdo a los puntos de operación
conocidos.
2.4.3.
Prueba del modelo singular LPV politópico de la CDB
La planta piloto de destilación1 que se modela en el presente trabajo de tesis se muestra en la Fig. 2.4.
Esta columna de destilación tiene doce platos para la separación de la mezcla y las mediciones de
temperatura, se encuentran disponibles a través de 8 resistencias de temperatura (RTD, por su sigla en
inglés) Pt-100 localizados de la siguiente manera: uno en el condensador (p = 1), otro en el hervidor
(p = 12), otro en el plato de alimentación (p = 7) y los restantes se ubican en los platos 2, 4, 6, 9, 11. Una
descripción completa de la instrumentación de la planta se presenta en el Apéndice A.
Considerando las condiciones establecidas para los límites de los parámetros dadas en (2.34) y (2.35),
el vector de parámetros Θ varía de acuerdo a L = θ1 ∈ [θ̄1 , θ1 ] = [1.4812,
[θ̄2 ,
θ2 ] = [1.4780,
1.7331] y V = θ2 ∈
1.8548], por lo cual cada parámetro presenta una trayectoria dentro de estos
límites, como se muestra en la Fig. 2.5.
1 Localizada en el Laboratorio de Control de Procesos del CENIDET en Cuernavaca, Morelos, México.
46
Fig. 2.4 – Planta piloto de destilación de CENIDET.
Flujo molar líquido (L)
mol/min
2
X: 70
Y: 1.603
X: 30
Y: 1.483
X: 9
Y: 1.481
X: 165
Y: 1.733
X: 130
Y: 1.603
L
1.5
PO1
1
0
PO3
PO2
20
40
60
2
PO4
80
100
Tiempo (min)
Flujo molar de vapor (V)
120
PO5
140
160
180
mol/min
V
X: 30
Y: 1.854
X: 70
Y: 1.85
X: 9
Y: 1.633
1.5
X: 165
Y: 1.48
X: 130
Y: 1.479
1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
Fig. 2.5 – Puntos de operación en función de las trayectorias de los parámetros θj .
47
180
En la Fig. 2.5. es posible distinguir cinco puntos de operación que corresponden a las combinaciones de los valores de los parámetros dentro de la escala de tiempo; sin considerar los estados transitorios, estos puntos de operación están definidos por P Ok = (θ1,k , θ2,k ) con k = 1, ..., 5 y donde
(θ1,k , θ2,k ) representan los valores que toman los parámetros (θ1 = L y θ2 = V ) en cada caso. Estos puntos de operación son: P O1 = (1.4812, 1.6331), P O2 = (1.4812, 1.8548), P O3 = (1.6031, 1.8548),
P O4 = (1.6031, 1.4780) y P O5 = (1.7331, 1.4780).
La caja de parámetros que se define de acuerdo a los límites definidos y su respectiva normalización a
través de la Ec. (2.36) tal como se ilustra en la Fig. 2.6.
Fig. 2.6 – Caja de parámetros y su normalización.
Flujo molar de líquido vs flujo molar de vapor
1.9
L=1.4812
V=1.8548
L=1.7331
V=1.8548
1.85
1.8
L vs V
Caja de parámetros
PO3
PO2
V(mol/min)
1.75
1.7
1.65
PO1
1.6
1.55
PO4
1.5
1.45 L=1.4812
V=1.4780
1.4
1.45
PO5
L=1.7331
V=1.4780
1.5
1.55
1.6
L(mol/min)
1.65
1.7
1.75
Fig. 2.7 – Trayectorias de la caja de parámetros.
En la Fig. 2.7 se muestra la trayectoria que toman los parámetros al interior de la caja y a su vez, se
define la dinámica del proceso. Es claro que esta trayectoria siempre estará dentro de la caja (que re48
presenta un espacio de estados acotado), pero que puede cambiar de acuerdo a las variaciones que
puedan tomar los parámetros dentro de sus límites establecidos. Lo anterior permite la construcción
de cuatro funciones de ponderación que se determinan a través de las combinaciones de los límites de
los parámetros utilizando la Ec. (2.37).
Para obtener las matrices Ai , Bi y Ri , se linealiza el sistema evaluando su jacobiano en cada uno de
los puntos de operación elegidos, obteniendo del sistema (2.39) las siguientes matrices:

M̌1
0
0
···
···
0




















0
0
0
···
···



















0
0
···
0
0
0
0
···
M̌p+1
0
0
0
···
0
0
0
0
···
···
M̌N −1
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0
0
···
0
0
0
0
M̌2
0
···
0
{z
|
−V

 L


 0


 0
0
|

 ẋ2

 ..
 .

 .
 ..

ẋN
| {z





=




}
ẋ
 
4x1
 
4x2
 
−L − (V kp )
V kp+1
0
 
..
 
..
..
.
 
.
.
0
 
..
 
L+F
−L + F − (V kp )
V kp+1
 
 .
...
L+F
−L + F − V kN −1 + V
4x
{z
} | {zN
V kp+1

0
0

 (yp+1 − yp )
(xp−1 − xp )


..
..

.
.


(y
−
y
)
(x
 N
N −1
p−1 − xp )
(xN − yN ) (xN −1 − xN )
|
{z
Bi
2.4.3.1.
ẋ1
}
E


0
0





+




}
4x
Ai



0
0



 "

#
#
(zF − xp )
F  "



4V
4F

 (x

−
x
)
0
p−1
p
+ 




4zF
..
.. 
 | 4L


{z }
.
.  | {z }


(xN −1 − xN ) 0
}
{z
}
|
4u
Ri
4d
Configuración general de las simulaciones para probar el modelo singular LPV politópico
Para llevar a cabo estas simulaciones, se empleó el modelo singular LPV politópico propuesto para la
columna de destilación que se describe en la Ec. (2.32). La mezcla binaria que se considera en este
caso es etanol (EOH) y agua (H2 O), que se considera como una mezcla no ideal. Cada uno de los com49
ponentes de la mezcla presentan características físicas particulares que se relacionan en la Tabla 2.1;
estos datos se encuentran en la literatura (Perry (1999)).
Tabla 2.1 – Características de los componentes de la mezcla binaria etanol-agua
Parámetro
Densidad (ρ)
Peso molecular (M W )
Temperatura de ebullición (Tb )
Calor específico (Cp )
Entalpía de vaporización (Hvap )
EOH
0.789
46.069
78.4
0.1124
38.560
Agua
1
18.01528
100
0.192
40.650
Unidades
g/cm3
g
o
C
kJ/mol o C
kJ/mol
En la configuración de las simulaciones que prueban el modelo propuesto, se consideró una mezcla de
2000 ml de etanol, 2000 ml de agua y una presión total en el proceso de 105.86 kPa; el tiempo total fue
de 180 minutos a partir de que se alcanza el estado estable y el tiempo de muestreo seleccionado fue
de 3 segundos.
Para el desarrollo de la simulación, se consideran datos reales obtenidos de la columna de destilación binaria; para ello se tienen en cuenta la especificaciones de los componentes de la mezcla dadas
en la Tabla 2.1.
Para calcular las composiciones líquidas del componente ligero, el modelo utiliza las correlaciones que
permiten establecer la relación de equilibrio líquido-vapor y que son dadas por las Ecs. (2.27)-(2.28).
Las pruebas realizadas al modelo se efectuaron tomando en cuenta las condiciones en estado estable que se muestran en la Tabla 2.2, como condiciones iniciales de operación.
Tabla 2.2 – Condiciones en estado estable de las composiciones molares
Etapa
Condensador
Plato 2
Plato 3
Plato 4
Plato 5
Plato 6
Plato 7
Plato 8
Plato 9
Plato 10
Plato 11
Hervidor
x ( %mol)
y ( %mol)
0.8652
0.8559
0.8453
0.8329
0.8178
0.7990
0.7746
0.7407
0.6900
0.6031
0.4155
0.1101
0.1348
0.1441
0.1547
0.1671
0.1822
0.2010
0.2254
0.2593
0.3100
0.3969
0.5845
0.8899
Considerando que los parámetros elegidos son dependientes de las entradas del sistema, es decir,
θ1 = L y θ2 = V , éstos varían de acuerdo a la trayectorias generadas por los respectivos actuadores
de la planta.
50
La variación del flujo molar líquido L depende del tiempo de apertura y cierre de la válvula de reflujo y en la otra entrada, la variación del flujo molar de vapor V depende de la manipulación de la
potencia de la resistencia calefactora. Las trayectorias para cada una de las entradas que se definen en
este trabajo se muestran en las Figs. 2.8-2.9.
Entrada u1: Relación tiempo de apertura de la válvula de reflujo(ta/tc)
0.4
tapertura/tcierre
tapertura/tcierre
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
L
mol/min
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 2.8 – Variación del flujo molar líquido L con respecto a la apertura de la válvula de reflujo.
Entrada u2: Potencia de calentamiento
Potencia
1250
Watts
1200
1150
1100
1050
1000
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
2
mol/min
V
1.8
1.6
1.4
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 2.9 – Variación del flujo molar de vapor V con respecto al cambio de la potencia de calentamiento.
51
Funciones de ponderación (εi)
0.3
ε (θ)
0.28
ε1 (θ)
ε2 (θ)
ε3 (θ)
ε4 (θ)
0.26
0.24
0.22
0.2
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Sumatoria de las funciones de ponderación (εi)
1.1
Sumatoria
1.05
1
0.95
0.9
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 2.10 – Funciones de ponderación (i (θ(t))).
Las funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (2.37) se muestran en la Fig.
2.10, en donde se puede apreciar la variación de la participación de cada una de ellas a lo largo de las
trayectorias determinadas por los parámetros, lo que permite afirmar que existe una respuesta de los
modelos locales singulares LPV politópicos ante la variación de los parámetros del sistema. Así mismo,
cada una de las funciones i (θ) cumple que siempre es mayor que 0 e inferior a 1 y además, la suma de
las mismas en cada instante de tiempo es siempre igual a 1.
Simulación No. 2.1: Modelo singular LPV politópico sin perturbaciones:
El objetivo de esta simulación es verificar que el modelo propuesto para la columna de destilación reproduce adecuadamente la dinámica de la planta, al obtener la estimación de las composiciones del
componente ligero para la mezcla binaria (etanol-agua).
Para poder evaluar el desempeño del modelo propuesto (para representar adecuadamente el sistema),
gráfica y cuantitativamente (a través de la evaluación de la norma euclidiana del error), se compara
su respuesta para los estados del sistema contra la respuesta del modelo no lineal desarrollado y validado en trabajos previos (Aguilera-González (2008); Téllez-Anguiano (2010)). Así mismo, se generan
cambios en las entradas para observar la variación de los parámetros, que a su vez, van a generar los
cambios en la participación de las funciones de ponderación, al construir el modelo global del sistema.
La Tabla 2.3 muestra las señales de entrada que se consideraron a lo largo de la simulación; aquí no
fueron consideradas las perturbaciones, es decir, no se aplicó flujo de alimentación al proceso. La
relación de reflujo (ta/tc) corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de reflujo, la cual
52
físicamente en la planta, es una válvula ON-OFF de tres vías. Para poder determinar esta relación, se fija
la frecuencia de la señal en 0.11Hz (que corresponde a 9 seg.) y se varía el ancho del pulso de apertura
y de cierre con el fin de obtener una curva que permite determinar la dinámica del flujo molar líquido
de acuerdo a la variación de esta señal.
Tabla 2.3 – Entradas del proceso (Simulación No. 2.1)
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Reflujo (ta/tc)
Qb
Reflujo (ta/tc)
Señal
Pulso 0 − 1100 Watts
0.285
0 ml/min
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
25 min
30 min
105 min
150 min
A continuación se presentan los resultados de la simulación. En primer lugar tenemos la Fig. 2.11 que
muestra la señal de las entradas correspondiente que fueron aplicadas al sistema. Aquí es posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso: la potencia calefactora y el reflujo,
así como el flujo de alimentación (considerado en este modelo como una perturbación del sistema).
La Fig. 2.12 muestra el comportamiento de las composiciones estimadas a partir del modelo singular
LPV politópico propuesto, en comparación con las composiciones que se obtienen a partir del modelo
no lineal. En esta figura se presentan las dinámicas de los platos 1 (el condensador), 3 (sección de rectificación), 7 (el plato de alimentación) y 12 (el hervidor) ya que son consideradas las dinámicas más
importantes de la planta.
tapertura/tcierre
Entrada u : Relación tiempo de apertura del reflujo (ta/tc)
1
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
Perturbación d1: Flujo alimentación
140
160
180
1
ml/min
Watts
1300
Fv
0
−1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
Fig. 2.11 – Entradas de la CDB sin perturbaciones (simulación No. 2.1).
53
180
Composición molar − Plato 1 "Condensador"
Composición molar − Plato 3
0.9
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
0.9
0.88
0.86
x1 LPV
x1 NoN
0.84
0
50
100
Tiempo (min)
0.88
0.86
0.84
0.8
0
150
Composición molar − Plato 7 "Plato de alimentación"
50
100
Tiempo (min)
150
0.2
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
x3 NoN
Composición molar − Plato 12 "Hervidor"
0.9
0.85
0.8
x7 LPV
0.75
0.7
0
x3 LPV
0.82
x7 NoN
50
100
Tiempo (min)
x12 LPV
0.1
0.05
0
0
150
x12 NoN
0.15
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 2.12 – Respuesta del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.1).
En la Fig. 2.12 se puede apreciar un comportamiento bastante similiar entre el modelo no lineal y
el modelo singular LPV politópico desarrollado en este trabajo para todas las etapas de la columa,
sin embargo, para realizar una evaluación cuantitativa se procede al cálculo del error del modelo
propuesto, el cual se determina mediante la aplicación de la norma euclidiana del error dada por la
siguiente fórmula:
exN ON −xLP V

X X
xN oN − xLP V
=
xN oN
j=1

/X  ∗ 100
(2.41)
donde X, representa el número total de mediciones consideradas a lo largo de la simulación.
A continuación se presenta en la Tabla 2.4 el valor porcentual del error de cálculo de las composiciones
del modelo singular LPV politópico propuesto con respecto a la estimación de las concentraciones a
partir del modelo no lineal conocido y donde se aprecian valores que van desde 1.26 % hasta 4.29 %,
que se consideran bastante pequeños y permiten determinar que el modelo es adecuado para representar el sistema no lineal.
54
Tabla 2.4 – Error del modelo singular LPV politópico (simulación No. 2.1)
Etapa
Condensador
Plato 3
Plato de alimentación
Hervidor
Error
0.0429
0.0303
0.0311
0.0126
−3
−3
x 10 Norma euclidiana del error − Plato 1 "Condensador"
x 10
Norma euclidiana del error − Plato 3
||ex3||
|| x3−x3est||
|| x1−x1est||
||ex1||
5
0
−5
0
50
100
5
0
−5
0
150
50
Tiempo (min)
100
Norma euclidiana del error − Plato 7 "Plato de alimentación"
x 10 Norma euclidiana del error − Plato 12 "Hervidor"
−3
||ex12||
||ex7||
5
|| x12−x12est||
|| x7−x7est||
x 10
0
−5
0
150
Tiempo (min)
−3
50
100
5
0
−5
0
150
50
100
150
Tiempo (min)
Tiempo (min)
Fig. 2.13 – Error del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.1).
Dicho error fue evaluado con la Ec. (2.41). En la Fig. 2.13 se muestra la convergencia asintótica en el
tiempo del error entre el modelo propuesto y el modelo no lineal.
Las gráficas de la respuesta del modelo propuesto y los resultados de la evaluación del error que se
obtienen, además de otras pruebas no ilustradas por cuestiones de espacio, permiten concluir que el
modelo singular LPV politópico cumple satisfactoriamente con la reproducción de la dinámica de la
planta y responde adecuadamente a las variaciones de los parámetros del sistema.
En todas las etapas de la columna, las respuestas cualitativa y cuantitativa del sistema fueron evaluadas cumpliendo con los balances de materia y de componente, por lo tanto, es posible asumir que
el modelo propuesto es útil para desarrollar observadores que estimen las concentraciones del componente ligero en la mezcla binaria de etanol-agua.
Simulación No. 2.2: Modelo singular LPV politópico con perturbaciones:
Para llevar a cabo esta simulación, se empleó el modelo singular LPV politópico que se describe en
la Ec. (2.32) y la misma configuración descrita anteriormente. Las características particulares de los
55
componentes de la mezcla fueron previamente relacionados en la Tabla 2.1, de igual manera se consideraron las condiciones iniciales descritas en la Tabla 2.2.
El objetivo de la simulación consiste en verificar que el modelo propuesto para la columna de destilación reproduce adecuadamente la dinámica de la planta, al obtener la estimación de las composiciones líquidas del componente ligero para una mezcla binaria (etanol-agua), aún en presencia de
perturbaciones y cambios en las entradas del sistema.
Para poder evaluar el desempeño del modelo propuesto se grafica y de forma cuantitativa (a través de
la evaluación de la norma euclidiana del error), se compara su respuesta contra la respuesta del modelo no lineal desarrollado y validado en trabajos previos (Aguilera-González (2008); Téllez-Anguiano
(2010)).
La Tabla 2.5 muestra las señales de entrada y las perturbaciones que se consideraron a lo largo de esta
simulación. De igual manera que en el caso anterior (simulación No. 2.1), la relación de reflujo (ta/tc)
corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de reflujo, la cual físicamente en la planta
es una válvula de encendido y apagado (ON-OFF).
Para poder determinar esta relación, se fijó la frecuencia de la señal en 0.11Hz (que corresponde a
9 segundos) y se varió el ancho del pulso de la apertura y del cierre; de esta manera se obtiene una curva que permite determinar la dinámica del flujo molar líquido de acuerdo a la variación de esta señal.
Tabla 2.5 – Entradas del proceso (simulación No. 2.2)
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Alimentación F
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Alimentación F
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Señal
0.285
0 ml/min
Pulso 0 − 25 ml/min
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
20 min
25 min
30 min
50 min
105 min
130 min
150 min
160 min
A continuación se presentan los resultados de la simulación No. 2.2. En primer lugar se muestra la
Fig. 2.14 que ilustra la señal de las entradas correspondiente que fueron aplicadas al sistema. Aquí es
posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso: la potencia calefactora y
el reflujo, así como el flujo de alimentación (considerado en este modelo como una perturbación del
sistema).
56
tapertura/tcierre
Entrada u1: Relación tiempo de apertura del reflujo (ta/tc)
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Watts
1300
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
ml/min
40
Fv
20
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 2.14 – Entradas de la CDB con perturbación en el flujo de alimentación (simulación No. 2.2).
De igual manera se supone que los parámetros dependientes de las entradas del sistema θ1 = L y
θ2 = V , varían de acuerdo a la trayectorias generadas por los respectivos actuadores de la planta piloto
de destilación, dichas trayectorias fueron ilustradas en las Figs. 2.8-2.9.
Así mismo, las funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (2.37) se mostraron en la Fig. 2.9; estas funciones no cambian ya que no se ven afectadas por la perturbación, sino que
dependen directamente de las entradas que se consideran las mismas en ambos casos (Simulación 2.1
y 2.2).
La Fig. 2.15 muestra el comportamiento de las composiciones estimadas a partir del modelo singular LPV politópico propuesto, en comparación con las estimadas a partir del modelo no lineal. En esta
figura se presentan las dinámicas de los platos 1 (el condensador), 3 (sección de rectificación), 7 (el
plato de alimentación) y 12 (el hervidor) ya que son consideradas las dinámicas más importantes de la
planta. De igual manera se puede apreciar que existe una respuesta adecuada de los modelos locales
singulares LPV politópicos ante la variación de los parámetros del sistema y ante la perturbación. El
error del modelo propuesto se determina mediante la aplicación de la norma euclidiana del error dada
en la Ec. (2.41).
A continuación se presenta en la Tabla 2.6 el valor porcentual del error de estimación (a lo largo de
toda la simulación) de las composiciones del modelo singular LPV politópico propuesto con respecto
a la estimación de las concentraciones a partir del modelo no lineal conocido y donde se aprecian valores que van desde 1.29 % hasta 4.2 %, que se consideran bastante pequeños y permiten determinar
que el modelo es adecuado para representar el sistema no lineal.
57
Composición molar − Plato 1 "Condensador"
Composición molar − Plato 3
0.95
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
0.9
0.88
0.86
x1 LPV
0.84
x1 NoN
0.82
0
50
100
Tiempo (min)
0.9
0.85
x3 LPV
0.8
x3 NoN
0.75
0
150
Composición molar − Plato 7 "Plato de alimentación"
50
100
Tiempo (min)
150
Composición molar − Plato 12 "Hervidor"
0.8
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
0.2
0.7
x7 LPV
0.6
x7 NoN
0.5
0
50
100
Tiempo (min)
150
x12 LPV
x12 NoN
0.15
0.1
0
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 2.15 – Respuesta del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.2).
Tabla 2.6 – Error del modelo singular LPV politópico (simulación No. 2.2)
Etapa
Condensador
Plato 3
Hervidor
Error
0.0420
0.0363
0.0310
0.0129
En la Fig. 2.16 se muestra la convergencia asintótica en el tiempo del error entre el modelo propuesto
y el modelo no lineal, es decir, la diferencia entre los valores del modelo LPV politópico propuesto y
los valores estimados por el modelo no lineal, tiende asintóticamente a cero conforme el tiempo se
hace infinito. Aquí se puede apreciar que en menos de 10 minutos el error es casi cero, a pesar de la
variación de los parámetros y de la presencia de perturbaciones en el sistema.
Las gráficas de la respuesta del modelo propuesto y los resultados de la evaluación del error obtenidos,
permiten concluir que el modelo singular LPV politópico cumple satisfactoriamente con la reproducción de la dinámica de la planta y responde adecuadamente a las variaciones de los parámetros del
sistema, así como también a las perturbaciones que se presentan, es decir, se obtiene una representación óptima de la columna de destilación binaria a partir de un modelo singular LPV politópico. En
58
2.5. CONCLUSIONES
todas las etapas de la columna, las respuestas cualitativa y cuantitativa del sistema fueron evaluadas
cumpliendo con los balances de materia y de componente, por lo tanto, es posible asumir que el modelo propuesto es útil para desarrollar observadores que estimen las concentraciones del componente
ligero en la mezcla binaria de etanol-agua.
−3
−3
x 10 Norma euclidiana del error − Plato 1 "Condensador"
x 10
Norma euclidiana del error − Plato 3
||ex3||
5
|| x3−x3est||
|| x1−x1est||
||ex1||
0
−5
0
50
100
5
0
−5
0
150
Tiempo (min)
Norma euclidiana del error − Plato 7 "Plato de alimentación"
−3
x 10
−3
|| x12−x12est||
|| x7−x7est||
Norma euclidiana del error − Plato 12 "Hervidor"
||
x12
5
0
100
150
||e
||ex7||
50
100
Tiempo (min)
x 10
−5
0
50
5
0
−5
0
150
50
100
150
Tiempo (min)
Tiempo (min)
Fig. 2.16 – Error del modelo singular LPV politópico vs modelo NL (simulación No. 2.2).
2.5.
Conclusiones
En este capítulo se definieron a los sistemas LPV como los sistemas que dependen de un vector de
parámetros reales variantes en el tiempo, mientras que los sistemas singulares son sistemas algebrodiferenciales que incluyen aparte de las ecuaciones dinámicas, relaciones algebraicas, esto permite
la integración de las relaciones estáticas en el modelo. Así mismo, se presentaron conceptos básicos
sobre la teoría de sistemas LPV y de los sistemas singulares, hasta llegar a establecer la teoría de la
construcción de modelos singulares LPV politópicos y su análisis de estabilidad a partir de la teoría de
Lyapunov.
Esta representación de los sistemas se obtiene a partir de la elección de los parámetros que definen
regiones de operación del sistema; a partir de estos parámetros se construyen las funciones de ponderación que definen los vértices de un politopo. En los sistemas LPV politópicos, la variación de los
parámetros permite construir un conjunto de Q modelos locales y mediante las funciones de ponderación se determina la presencia de cada uno de ellos dentro de la formación del modelo global del
sistema.
59
2.5. CONCLUSIONES
Posteriormente, con base en el análisis de la teoría de modelado de columnas de destilación, se desarrolló un modelo singular LPV politópico que toma como parámetros variables las entradas de la planta. Estos parámetros permiten construir un politopo de 4 vértices que están definidos por 4 funciones
de ponderación que a su vez, brindan información sobre la participación de los modelos locales dentro de la construcción del modelo global del sistema.
Para el caso particular de la columna de destilación, las entradas de flujo molar líquido L y flujo molar
de vapor V varían de acuerdo a la manipulación de la válvula de reflujo ubicada en el condensador
(una válvula de tres vías con acción ON-OFF) y de la resistencia calefactora ubicada en el hervidor, respectivamente. Para la válvula de reflujo fue necesario construir un polinomio que permitiera describir
su dinámica en función del tiempo de apertura y cierre (tren de pulsos), de esta manera fue posible
obtener una dinámica suave en la variación del parámetro correspondiente.
El modelo singular LPV politópico propuesto se validó comparando un modelo no lineal conocido de
la planta con el modelo singular LPV politópico propuesto, donde el sistema se sometió tanto a cambios en las entradas (variaciones de los parámetros) como a presencia de perturbaciones.
En todas las etapas de la columna, las respuestas cualitativa y cuantitativa del sistema se evaluaron
cumpliendo satisfactoriamente con los balances de materia y de componente. Por lo tanto, es posible
concluir que el modelo singular propuesto, a pesar de no incluir todas las dinámicas del sistema en su
planteamiento y combinándolo con el enfoque LPV, representa adecuadamente un sistema no lineal
mediante el uso de parámetros variables. Entonces este modelo se considera como una herramienta
útil para desarrollar esquemas de estimación para una columna de destilación binaria.
A continuación, a partir del modelo singular LPV politópico desarrollado y probado en este capítulo,
se diseñará un observador PI-Adaptable politópico para desempeñar tareas de estimación de estados
y perturbaciones en la columna de destilación binaria.
60
Capítulo 3
Estimación en sistemas singulares LPV
politópicos
Algunos procesos cuentan con variables físicas que no pueden medirse directamente, en ocasiones,
porque el costo de los sensores es muy alto o en otras, los sensores técnicamente no han sido diseñados. Los observadores de estado, también conocidos como sensores virtuales representan una alternativa viable para resolver este tipo de problemas.
Por su parte, los sistemas singulares son muy sensibles a pequeños cambios en las entradas y la presencia de perturbaciones imposibles de medir o entradas desconocidas, características que pueden
ser perjudiciales en la operación de los procesos y a su vez, difíciles de tratar para el diseño de los observadores, este hecho justifica la importancia del diseño de observadores para este tipo de sistemas
en presencia de perturbaciones y/o entradas desconocidas.
Tres enfoques se pueden distinguir para el diseño de observadores no lineales aplicados en procesos
físicos que se describen mediante modelos no lineales (Koenig (2006)). El primero se basa en una transformación no lineal utilizando el álgebra de Lie para adaptar el sistema a una forma canónica y luego
utilizar técnicas de diseño lineal para la construcción del observador. Bajo este enfoque, el sistema no
lineal se convierte entonces en un sistema que toma una forma canónica observable donde estados
auxiliares de esta nueva representación están dados con base en funciones que denotan las derivadas
de Lie del campo vectorial. Aquí, las condiciones necesarias y suficientes para un sistema no lineal son
equivalentes a las condiciones que deben aplicarse en la forma canónica, pero dichas condiciones en
algunos casos son bastante estrictas y conservadoras (Gauthier y Bornard (1981)).
El segundo enfoque se basa en un modelo linealizado, pero a pesar de la convergencia local de este
método es ampliamente utilizado en la práctica y en general, da mejores resultados en condiciones
menos restrictivas que el primer enfoque (Bhattacharyya (1978)). Aquí el modelo se obtiene a partir de
la linealización del modelo dinámico no lineal y permite el diseño de observadores, controladores y
61
3.1. OBSERVADORES PARA SISTEMAS SINGULARES
algoritmos de diagnóstico de fallas basados en modelos. Esta estrategia también se ha extendido a los
sistemas singulares lineales (Darouach et al. (1993); Duan et al. (2007)).
El tercer enfoque trata el problema de diseño de observadores para una clase de sistemas no lineales que se componen de una parte lineal y un vector de funciones no lineales (sistemas singulares), en
este enfoque, las condiciones suficientes para la estabilidad global del observador han sido establecidas por algunos autores como Koenig y Mammar (2001, 2002); Koenig et al. (2008).
El objetivo de este capítulo en primer lugar, es presentar un estado del arte sobre observadores diseñados para sistemas singulares con el fin de explorar estas herramientas para llevar a cabo la tarea
de estimación de estados y entradas desconocidas en este tipo de sistemas. Para ello, se mostrarán algunos métodos que se encuentran en la literatura para diseñar observadores para sistemas singulares y
además, se presenta como caso particular la síntesis de observadores para sistemas singulares LPV; en
este ámbito, se presentarán las condiciones que garantizan la existencia de este tipo de observadores
con base en el análisis de estabilidad de Lyapunov y la solución de desigualdades matriciales lineales.
Posteriormente, teniendo en cuenta algunas cualidades de los observadores encontrados en la literatura, se procede al diseño de un nuevo observador Proporcional-Integral Adaptable (PI-Adaptable)
para sistemas singulares, que mejora el desempeño en la tarea de estimación frente a otros estimadores que se presentan en el siguiente estado del arte. Para establecer las condiciones de convergencia y
estabilidad del observador propuesto, se utilizan funciones de Lyapunov y la solución de LMI’s, brindando así fiabilidad al diseño del observador y a su vez en su desempeño para estimar los estados y las
entradas desconocidas del sistema.
Finalmente, la teoría del observador PI-Adaptable propuesta para sistemas singulares, es extendida
al caso particular de los sistemas singulares LPV politópicos y se prueba para estimar las concentraciones del componente ligero y las perturbaciones en la columna de destilación, utilizando el modelo
propuesto y desarrollado en el Capítulo 2 de la presente tesis.
3.1.
Observadores para sistemas singulares
La aparición de los sistemas singulares (de la forma general E ẋ = Ax + Bu,
% = Cx) como una herra-
mienta de modelado de sistemas interconectados a gran escala, que combina ecuaciones algebraicas
y diferenciales, se presenta por primer vez en Luenberger (1977). En dicha representación, la distribución de las ecuaciones algebraicas dentro del modelo dinámico del sistema estaba dado por la matriz
E (con sus elementos constantes), que podía considerarse no singular pero que debía ser definitivamente no diagonal. Posteriormente, se presentaron los sistemas singulares como un caso particular de
los sistemas descriptor, donde precisamente, esta matriz de distribución E se restringe al caso singular
(Verghese et al. (1981)).
Desde entonces, investigadores en el área han centrado su atención en el diseño e implementación
62
de algoritmos de estimación y de control para este tipo de sistemas. El desarrollo de las técnicas de
estimación de variables de estado depende en gran medida de la estructura del modelo, de la información disponible en el proceso y de las correlaciones que se puedan establecer entre ellas. Teniendo en
cuenta esto, se han propuesto diferentes tipos de observadores para sistemas singulares, a continuación algunos se analizan con el fin de establecer las ventajas y desventajas de la técnica de estimación
que se propondrá en este capítulo.
3.1.1.
Filtro de Kalman con entradas desconocidas
Darouach et al. (1995) presentan una metodología para el diseño de un filtro de Kalman para sistemas
singulares lineales de tiempo discreto con entradas desconocidas. El algoritmo desarrollado se utiliza
para obtener una estimación tanto de los estados del sistema como de las entradas desconocidas. Se
considera entonces el siguiente sistema singular discreto de la forma:
(
E Ẋk+1 = AXk + Buk + wk
(3.1)
% = HXk + vk
donde X = [xk
E = [I
dk−1 ]T representa el conjunto de estados xk y perturbaciones dk−1 del sistema,
− F ] es la matriz singular que contiene la matriz identidad y la matriz de distribución
de las perturbaciones, A = [A
0], B = B y H = [H
0] son las matrices de distribución de los
estados, las entradas y las salidas respectivamente. Entonces, el problema de estimación de estados
y de estimación de la entrada desconocida es reducido a un problema de estimación de semi-estados
de un sistema singular. El sistema dado en la Ec. (3.1) se reescribe como un sistema singular estocástico
de la forma:
(
E ẋk+1 = Axk + Buk + wk
(3.2)
% = Hxk + vk
donde wk y vk representan ruido blanco gaussiano con:
E(wk , vjT ) = W δkj ,
E(vk , vjT ) = V δkj ,
W > 0,
y
V >0
(3.3)
Entonces, un estimador de estados óptimo para el sistema singular dado por la Ec. (3.2) está dado por
la siguiente expresión:
x̂k+1/k+1 = Pk+1/k+1 (E T (W + APk/k AT )−1 (Axk/k + Buk ) + H T V −1 yk+1 )
(3.4)
donde x̂k/k representa el estimado de xk con base en las mediciones anteriores en el instante de tiempo
k y el error de estimación de la matriz de covarianza Pk/k está dado por:
Pk/k = E(x̂k/k − xk )(x̂k/k − xk )T
(3.5)
Para el análisis de la estabilidad del filtro dado por las Ecs. (3.4) y (3.5) se utiliza la descomposición en
63
H]T , por lo que se analiza el filtro de Kalman estándar equi-
valores singulares de la matriz X = [E
valente y su ecuación de diferencia de Ricatti asociada para que la convergencia y las condiciones de
estabilidad queden bien establecidos.
En la extensión a un sistema singular de entradas desconocidas se considera el nuevo vector de estados
X = [xk dk−1 ]T , definiendo su estimado como X̂k/k = [x̂k/k dˆk−1/k ]T y el error de estimación de la
matriz de covarianza:
Pk/k = E(X̂k/k − Xk )(X̂k/k − Xk )T
(3.6)
el cual puede particionarse como:
"
Pk/k =
x
Pk/k
xd
Pk/k
dx
Pk/k
d
Pk/k
#
(3.7)
x
donde Pk/k
= Pk/k está dada en la Ec. (3.5) y es el error de estimación de la matriz de covarianza,
mientras que la expresión:
d
Pk/k
= E(x̂k/k − xk )(dˆk−1/k − dk−1 )T
(3.8)
representa el error de estimación de la matriz de covarianza de la entrada desconocida y,
dx
Pk/k
= E(dˆk−1/k − dk−1 )(dˆk−1/k − dk−1 )T
(3.9)
es el error de estimación de la matriz de covarianza del estado cruzado con el error de estimación de
dx
xd T
la entrada desconocida, considerando que la matriz de covarianza es Pk/k
= (Pk/k
) .
De esta manera los autores desarrollaron un algoritmo bajo el enfoque de filtro de Kalman, para
calcular los estados y las entradas desconocidas en sistemas singulares en tiempo discreto, así mismo,
se establecieron las condiciones para la existencia, la convergencia y la estabilidad del estimador
(Darouach et al. (1995)). En este trabajo, el problema de estimación estocástica para sistemas
singulares se abordó a través de la ecuación algebraica generalizada de Ricatti (GARE, por su sigla en
inglés) pero este procedimiento hace que el diseño óptimo del filtro sea complejo.
3.1.2.
Observador de orden reducido
Darouach et al. (1996) presentan un método para diseñar observadores de orden reducido para sistemas singulares en tiempo continuo, sujetos a entradas desconocidas y a perturbaciones desconocidas
que no pueden medirse. Para llevar a cabo el diseño de este tipo de observadores, se considera el siguiente sistema singular invariante en el tiempo de la forma:
(
E ∗ ẋ
%
∗
= A∗ x + B ∗ u + F ∗ d
= C ∗ x + G∗ d
(3.10)
donde x ∈ Rn es el vector de estados, u ∈ Rp es el vector de entradas, d ∈ Rq es el vector de entradas
64
desconocidas y %∗ ∈ Rm es el vector de salidas. Las matrices A∗ , B ∗ , C ∗ , E ∗ , F ∗ y G∗ son conocidas
E ∗ = r < n, donde n es el orden del siste-
y de dimensiones apropiadas. Se asume que el rango
ma, entonces, se define que existe una matriz no singular P tal que se pueden construir las siguientes
matrices P E ∗ = [E
rango
0]T , P A∗ = [A
A1 ]T , P B ∗ = [B
B1 ]T y P F ∗ = [F
F1 ]T con E ∈ Rr×n y
E = r < n.
Con base en las consideraciones presentadas en Darouach et al. (1996), el sistema dado por la Ec.
(3.10) se restringe a un sistema equivalente (RSE, por su sigla en inglés):
(
E ẋ
%
donde % = [−B1 u
%∗ ]T , C = [−A1
= Ax + Bu + F d
(3.11)
= Cx + Dd
C ∗ ]T y D = [−F1
G∗ ]T . Entonces, existen dos matrices
singulares U y V̄ tales que:
"
U DV̄ =
Iq1
0
0
0
#
(3.12)
y el sistema dado por la Ec. (3.11) puede ser rescrito de la siguiente forma:


 E ẋ
%1


%2
donde [%1
%2 ]T = U %, [C11
=
Φx + Bu + F11 y1 + F12 d2
(3.13)
= C11 x + d1
= C12 x
C12 ]T = U C, d = V̄ [d1
d2 ]T , F V̄ = [F11
F12 ] y Φ = A − F11 C11 , por lo
que el observador de orden reducido tiene la siguiente estructura:
(
ż
=
Πz + L1 %1 + L2 %2 + Hu
x̂
= M z + N %2
(3.14)
El problema de diseño del observador se establece para encontrar las matrices Π, L1 , L2 , H, M y N tales
que el estado estimado x̂ converja asintóticamente a x. A partir de manipulaciones matriciales expuestas en el teorema 3.1 y los lemas 3.1 y 3.2 presentados en Darouach et al. (1996), es posible encontrar
condiciones suficientes para la existencia de un observador de orden reducido (3.14) para el sistema
singular (3.13).
Con base en la ecuación de Sylvester generalizada, las condiciones de existencia del observador se dan
de tal manera que puede utilizarse también para la estimación de las entradas desconocidas de los
sistemas singulares. Sin embargo, esta metodología está condicionada a que la cantidad de entradas
desconocidas debe ser menor al número de mediciones disponibles del sistema.
65
3.1.3.
Observador tipo Luenberger
Los observadores Luenberger han sido recientemente explorados para tareas de estimación en los
sistemas singulares, algunos métodos utilizados para el diseño de este tipo de observadores son: una
función de desacoplo para entradas desconocidas, la descomposición en valores singulares o la técnica
de la matriz inversa generalizada. Sin embargo, las expresiones paramétricas de todas las matrices
de coeficientes de los observadores no se han establecido por completo, es por ello que los autores
en Duan et al. (2007), presentan una metodología que proporciona la parametrización de todas las
matrices de la ganancia del observador. Se considera entonces el siguiente sistema singular lineal de
la forma:
(
E ẋ
%
= Ax + Bu
= Cx
(3.15)
y para este sistema, un observador de Luenberger típico tiene la siguiente estructura:
(
ż
= F̄ z + Su + L̄%
w
= Mz + N%
(3.16)
donde z es el vector de estados del observador. El diseño busca definir las matrices de parámetros
F̄ , S, L̄, M y N , tales que limt→∞ (Kx(t) − w(t)) = 0, para alguna matriz K ∈ Rq×n , condiciones iniciales x(0) y z(0) cualquiera y una entrada u.
Con base en la ecuación matricial generalizada de Sylvester se propone una solución paramétrica para
diseñar un observador de Luenberger tipo función Kx como el descrito por la Ec. (3.16), pero obteniendo una forma generalizada para los parámetros de la ganancia del observador. Para cumplir con
el objetivo, se tienen en cuenta principalmente las siguientes consideraciones: el rango B = r y el
rango C = m y además, la matriz triple (E, A, C) es R-observable.
Para el caso de la matriz F̄ , el único requisito es que los coeficientes de la función del observador de
Luenberger descrito en la Ec. (3.16), tengan valores propios con parte real negativa. Por lo tanto, una
forma general de la matriz F̄ puede darse utilizando la teoría de descomposición de la forma de Jordan,
como:
F̄ = Q−1 ΛQ,
Λ = diag[si , s2 , ..., sp ]
(3.17)
donde si , s2 , ..., sp son los valores propios de la matriz F̄ . Cuando se eligen los valores propios complejos para la matriz F̄ , entonces las matrices T y L̄ son complejas. Esto puede evitarse con una técnica
que puede convertir, al mismo tiempo, las tres matrices Λ, T, F̄ en matrices reales (Duan et al. (2007)).
Los parámetros elegidos pueden no satisfacer las restricciones y en ese caso, el orden del observador
puede incrementarse para proporcionar los grados de libertad suficientes en el diseño para que una
solución pueda existir. Una ventaja importante del algoritmo anterior es que ofrece estos grados
de libertad, lo que convierte esta metodología en una herramienta útil para alcanzar la estimación
66
teniendo en cuenta las especificaciones adicionales del sistema, sin embargo, está restringido a los
sistemas singulares lineales.
3.1.4.
Observador proporcional-integral (PI)
Los autores en Koenig y Mammar (2002) presentan una metodología para el diseño de observadores
del tipo proporcional integral de orden reducido y de orden completo para sistemas singulares con
entradas desconocidas, sujetos a variaciones en los parámetros. En este diseño, se considera un
sistema restringido equivalente (RSE, por su sigla en inglés):
 "

E∗




0





0
#"
I
ẋ
d˙
#
"
=
∗
A∗
0
% =
h
C
∗
N∗
#"
x
#
0 " d#
i x
0
f
"
+
B∗
0
#
u
(3.18)
donde x ∈ Rn es el vector de estados, u ∈ Rp es el vector de entradas, d ∈ Rq es el vector de entradas
desconocidas y %∗ ∈ Rm es el vector de salidas. Las matrices E ∗ , A∗ , B ∗ , N ∗ y C ∗ son conocidas y de
dimensiones apropiadas. Deben cumplirse las siguientes condiciones:
"
%=
−B1 u
#
"
y
%∗
C=
A1
#
C∗
(3.19)
con la matriz singular E ∈ Re×n , rango(E ∗ ) = e, entonces E = E ∗ . Así mismo N = N ∗ , A = A∗ ,
B = B ∗ , C = C ∗ y % = %∗ . De esta manera, es posible diseñar para el sistema dado en la Ec. (3.19) un
observador PI de la forma:


ż =



 ˆ˙
d =

x̂ =




%̂ =
F z + L1 % + L2 % + Ju + T1 N dˆ
L3 (% − %̂)
(3.20)
M1 z − T2 %
C x̂
La segunda ecuación del observador dado en la Ec. (3.20) describe el ciclo integral sumado a la parte
proporcional, en la primera ecuación. Las matrices M, L1 , L2 , L3 , J, M1 , T1 , T2 se determinan de tal
manera, que permitan la convergencia asintótica a cero del error de estimación de los estados y de
los errores de estimación de las entradas desconocidas. Estos se definen respectivamente como:
(
e
ef
= x − x̂
= d − dˆ
(3.21)
En este trabajo se demuestra entonces la existencia de condiciones generalizadas para el diseño de
observadores de tipo proporcional-integral para sistemas singulares. De igual manera y como una
ventaja de esta propuesta de estimadores, se concluye que es posible mantener un estado de robustez
de las estimaciones de las entradas desconocidas frente a las variaciones de los parámetros y a las no
67
linealidades, las cuales pueden ser abordadas al elegir valores propios más grandes de la matriz A∗ ,
esto no puede lograrse con un observador puramente proporcional (Koenig y Mammar (2002)).
3.1.5.
Observador no lineal de entradas desconocidas
En el trabajo de Koenig (2006), se presentan dos algoritmos de estimación que son robustos tanto a
los ruidos que pueden presentarse en el proceso como a los ruidos de los sensores. Para llevar a cabo
este diseño, el primer algoritmo consiste en el diseño de un observador de entradas desconocidas
que proporciona una estimación confiable de la entrada desconocida representada como un estado
desacoplado, mientras que el segundo algoritmo es el diseño de un observador proporcional integral
(PI) que atenúa el impacto de las perturbaciones. Para estos diseños, se considera entonces el sistema
representado por la siguiente ecuación:
(
E ẋ
%
= Ax + F d + Hφ(x, u, t)
= Cx + Gd
(3.22)
donde x ∈ Rn , u ∈ Rp , d ∈ Rq , %(t) ∈ Rm son los vectores de estados, entradas, perturbaciones y salidas
del sistema, respectivamente. φ representa la no linealidad del sistema que depende de los estados, la
entrada y el tiempo. Mientras que A, F, H, C y G son matrices constantes conocidas de dimensiones
adecuadas. Considérese también que la no linealidad φ(x, u, t) es globalmente Lipschitz en x con la
constante Lipschitz γ, es decir:
∀u ∈ Rnu , t ∈ R
Rt
Así mismo, la medición de % se integra en el tiempo como: %I = 0 %dv ∈ Rm , con el fin de atenuar el
kφ(x, u, t) − φ(x̂, u, t)k ≤ γkx − x̂k,
impacto del ruido en el error de estimación. Por lo tanto, el sistema dado por la Ec. (3.22) se restringe a
un sistema equivalente:


Ē x̄˙



 %
I

%



 %̌
donde x̄ = [x
= Āx̄ + F̄ d + H̄φ(x, u, t)
= CI x̄
= C̄ x̄ + Gd
(3.23)
= Č x̄ + Ǧd
%I ]T ∈ Rn+m es el vector de estados extendido, %̌ = [%I
%]T ∈ Rm+m es el vector
de mediciones extendido y Ē, Ā, F̄ , H̄, C̄ son las matrices extendidas de dimensiones apropiadas
del sistema restringido. Si se tiene algún conocimiento sobre el dominio espectral de la entrada
desconocida d, es posible diseñar un observador de la forma:


 ż = πz + Kp1 %I + Kp2 %̌ + T H̄φ(x̂, u, t)
ˆ = z + N %̌
x̄


ˆ
x̂ = [In 0]x̄
(3.24)
donde π, Kp1 , Kp2 , T y N son determinadas de tal forma que x̂ converja asintóticamente a x para
cualquier entrada desconocida d y cualquier condición inicial x0 , (eventualmente en un subconjunto
68
3.2. OBSERVADORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS
determinado si se trata de convergencia local). Mientras que si el dominio espectral de la entrada
desconocida es en el rango de baja frecuencia, el siguiente observador proporcional integral es
propuesto:


ż = πz + Kp1 %I + Kp2 %̌ + T F̄ dˆ + T H̄φ(x̂, u, t)



 ˆ˙
ˆ)
d = KI (%I − CI x̄
 x̄
ˆ = z + N %̌




ˆ
x̂ = [In 0]x̄
(3.25)
donde π, Kp1 , Kp2 , T y N son matrices desconocidas que deben ser determinadas de tal forma que x̂ y
dˆ converjan asintóticamente a x y d respectivamente. En este caso, para un enfoque general es posible
asumir que la perturbación es por partes constantes.
Los dos observadores dados por las Ecs. (3.24 − 3.25) presentan un desempeño satisfactorio para
estimar la entrada desconocida, teniendo en cuenta una distribución normal del actuador al azar
y además, ruido en el sensor. Esta característica permite que dichos observadores puedan ser
utilizados en tareas de diagnóstico de fallas, ya que puede proporcionar información confiable sobre la
dimensión y la dinámica de la entrada desconocida. También, el diseño de cada observador depende
del conocimiento que se tenga sobre el espacio espectral y la dinámica de la entrada desconocida,
además que proporcionan condiciones necesarias para su adecuado diseño y han sido demostradas
con una estricta formulación de desigualdades matriciales lineales (Koenig (2006)).
3.2.
Observadores para sistemas singulares LPV politópicos
Los procesos son cada vez complejos y los modelos lineales difícilmente describen en forma óptima
la dinámica del sistema real, normalmente sus parámetros son inciertos y variables en el tiempo. Los
observadores que a continuación se presentan surgen como otra alternativa en las tareas de estimación
de una manera efectiva, pero con ciertas restricciones, para sistemas singulares LPV.
3.2.1.
Observador para sistemas singulares LPV politópicos en tiempo discreto
En Astorga et al. (2011), se desarrolla el diseño de un observador que realiza simultáneamente la
estimación de los estados y de la magnitud de las fallas, considerados como entradas desconocidas.
Las condiciones de estabilidad son establecidas en términos de la teoría de Lyapunov en combinación
con LMI’s. Los autores consideran el sistema singular LPV politópico discreto de la forma:
˙ + 1)(t)
Ē x̃(k
=
Q
X
εi (θ(k)) Āi x̃(k) + B̄i u(k) + F̄ v(k)
i=1
%(k)
=
(3.26)
C̄ x̃(t)
donde x̃(k) ∈ Rn representa el vector de estados, u(k) ∈ Rq es el vector de entradas y %(k) ∈ Rp es el
69
vector de salidas. v(k) ∈ Rd es el vector de entradas desconocidas del sistema, las cuales pueden ser
consideradas como vector de fallas. Ē ∈ Rm×n , Āi ∈ Rm×n , B̄i ∈ Rn×q , F̄ ∈ Rn×d y C̄ ∈ Rp×n son
matrices constantes conocidas de dimensiones apropiadas ∀i ∈ {1, . . . , Q}, con Q como el número
total de funciones de ponderación (εi (θ(t))) dependientes de los parámetros del sistema; para tareas
de modelado y diagnóstico, los parámetros que determinan dichas funciones de ponderación, se consideran libres de falla o perturbación.
Se consideran las siguientes suposiciones:
Suposición 3.1: rango Ē = r < n
Suposición 3.2: rango [Ē C]T = n
La suposición 3.2 garantiza que existe una matriz Γ̄ de la forma:
"
Γ̄ =
ᾱ
γ̄
β̄
ξ¯
#
tal que:
ᾱĒ + β̄ C̄ = In
(3.27)
γ̄ Ē + ξ¯C̄ = 0
(3.28)
donde ᾱ, β̄, γ̄ y ξ¯ son matrices de adecuadas dimensiones que se calculan a partir de la descomposición
de los valores singulares de la matriz [Ē C]T . Una tercera suposición se deriva al considerar las fallas
variantes en el tiempo (bias), es decir:
Suposición 3.3: v(k) = v(k − 1)
Esta suposición puede parecer restrictiva, sin embargo, en muchas situaciones prácticas cuando
aparece una falla, ésta se mantiene constante durante un período de tiempo significativo que es lo
suficientemente largo para que sea estimada. De esta manera, el sistema (3.26) puede ser reescrito en
la forma siguiente:
E ẋ(k + 1)
=
Q
X
εi (θ(k)) [Ai x(k) + Bi u(k)]
(3.29)
i=1
%(k)
= Cx(k)
donde:
"
E=
Ē
−F̄
0d×n
Id
#
; C=
h
C̄
0p×d
"
i
"
; Ai =
x̃(t)
Āi
0m×d
0d×n
Id
#
"
; Bi =
B̄i
#
0d×q
#
∈ R(m+d)×(n+d) , lo cual facilita la estimación de
v(k − 1)
los estados y de las fallas simultáneamente. Entonces, para el sistema singular LPV politópico (3.26),
con el vector de estados extendido x(k) =
70
el siguiente observador proporcional-integral de entradas desconocidas se propone (Astorga et al.
(2011)):
ż(k + 1)
=
Q
X
εi (θ(k)) [Ni z(k) + Gi u(k) + L1i %(k) + L2i %(k)]
i=1
x̂(k)
=
(3.30)
z(k) + β%(k) + Kξ%(k)
donde z(k) ∈ Rn+d es el vector de estados extendido del observador y x̂(t) ∈ Rn+d es el vector que
contiene los estados estimados y la falla del sistema. Ni , Gi , L1i , L2i y K son las matrices constantes de
apropiadas dimensiones que se calculan según Astorga et al. (2011).
Así mismo, se establecen las condiciones suficientes para asegurar la existencia y la estabilidad del
observador y además, la síntesis para obtener la ganancia del observador y garantizar el buen desempeño de las tareas de diagnóstico de fallas basado en el modelo.
Se mostró la síntesis del diseño de este observador para sistemas singulares LPV politópicos como
un caso particular de los observadores para sistemas singulares, con el fin de establecer sus características esenciales para llevar a cabo la tarea de estimación de los estados y de las entradas desconocidas
simultáneamente.
3.2.2.
Observador PI de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV
politópicos
Un observador de entradas desconocidas para una clase de sistemas singulares LPV politópicos se
presenta en Hamdi et al. (2011); dicho observador se diseña para la estimación de los estados y de las
entradas desconocidas del sistema, bajo condiciones de estabilidad establecidas en términos de LMI’s.
Entonces, considérese un sistema singular LPV politópico de la forma:
E ẋ(t)
=
Q
X
i=1
%(t)
(3.31)
= Cx(t)
donde x(t) ∈ Rn representa el vector de estados, u(t) ∈ Rp es el vector de entradas, d(t) ∈ Rq son las
entradas desconocidas del sistema y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas.
Considérese también que Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×p , Ri ∈ Rn×q y C ∈ Rm×n son matrices constantes
conocidas de dimensiones apropiadas ∀i ∈ {1, . . . , Q}, con Q como el número total de funciones de
ponderación (εi (θ(t))) dependientes de los parámetros del sistema. Entonces, para el sistema singular LPV politópico (3.31), el siguiente observador proporcional-integral de entradas desconocidas se
71
propone (Hamdi et al. (2011)):
ż(t)
=
x̂(t)
=
ˆ˙
d(t)
=
Q
X
h
i
ˆ
εi (θ(t)) Ni z(t) + Gi u(t) + Li %(t) + Hi d(t)
i=1
(3.32)
z(t) + M̃ %(t)
Q
X
εi (θ(t))Φi (%(t) − %̂(t))
i=1
ˆ
donde z(t) ∈ Rn , x̂(t) ∈ Rn y d(t)
∈ Rp son el vector de estados del observador, los estados
estimados del sistema y la estimación de las entradas desconocidas, respectivamente. Ni , Gi , Li , Hi , M̃
y Φi son las matrices del observador proporcional integral, inicialmente desconocidas y de apropiadas
dimensiones que deben ser calculadas en el procedimiento del diseño. Entonces, a partir de las Ec.
(3.31-3.32) y considerando que %(t) = Cx(t), el error de estimación se define como:
e(t)
= x(t) − x̂(t)
e(t)
= x(t) − (z(t) + M̃ %(t))
e(t)
=
(3.33)
(In − M̃ C)x(t) − z(t)
donde In representa la matriz identidad de orden n. Se establece previamente una matriz compuesta
[E C]T de rango completo, que permite calcular matrices reales U ∈ Rn×n y M̃ ∈ Rn×m tales que:
h
U
M̃
i
"
=
E
#+
C
(3.34)
con el superíndice + que representa la matriz inversa generalizada (matriz pseudoinversa) de [E C]T .
Lo anterior permite definir que:
U E = In − M̃ C
(3.35)
por lo que el error de estimación (3.33) puede ser reescrito como:
e(t) = U Ex(t) − z(t)
(3.36)
Posteriormente, con respecto a las entradas desconocidas es posible suponer que éstas son acotadas,
˙ ' 0. Entonces, si el error
además su dinámica se considera lenta y puede ser despreciable, es decir, d(t)
ˆ
de estimación de la entrada desconocida es δ(t) = d(t) − d(t),
la dinámica de la entrada desconocida
se define como:
ˆ˙
δ̇(t) = −d(t)
(3.37)
Bajo estas consideraciones, la dinámica del error de estimación (3.36) está dada por:
ė(t) =
Q
X
εi (θ(t)) [(U Ai − Li C − Ni U E)x(t) + (U Bi − Gi )u(t) + (U Ri − Hi )d(t) + Hi δ(t) + Ni e(t)]
i=1
(3.38)
de donde se pueden determinar las siguientes condiciones:
72
U Ai − Ni U E − Li C = 0
(3.39)
Gi = U Bi
(3.40)
Hi = U Ri
(3.41)
A partir de (3.31), (3.37) y (3.38), la dinámica del error de estimación y de la entrada desconocida se
reduce a:
ė(t) =
Q
X
(3.42)
εi (θ(t))(Ni e(t) + Hi δ(t))
i=1
δ̇(t) =
Q
X
(3.43)
εi (θ(t))(−Φi C)e(t)
i=1
De esta manera, la siguiente función puede establecerse:
"
ė(t)
#
δ̇(t)
=
Q
X
"
εi (θ(t))
i=1
Ni
Hi
−Φi C
0
#"
e(t)
#
δ(t)
(3.44)
Entonces, el error de estimación
(3.44) #converge asintóticamente a cero si la parte real de los
"
Ni Hi
eigenvalores de las matrices
son negativos. A partir de las condiciones establecidas en
−Φi C 0
(3.35) y (3.39), las matrices Ni del observador pueden ser calculadas como:
Ni = U Ai − (Li − Ni M̃ )C
(3.45)
y definiendo matrices auxiliares Ki = Li − Ni M̃ , las matrices Li están dadas por:
(3.46)
Li = Ki + Ni M̃
Así, la dinámica del error de estimación (3.44) se reescribe como:
"
ė(t)
δ̇(t)
#
=
Q
X
"
εi (θ(t))(Ăi − K̆i C̆)
i=1
donde las matrices Ăi , K̆i y C̆ se determinan como:
"
#
"
#
U Ai Hi
Ki
Ăi =
, K̆i =
0 0
Φi
73
y
e(t)
#
δ(t)
C̆ = [C 0].
(3.47)
3.3. DISEÑO DE UN OBSERVADOR PI-ADAPTABLE PARA SISTEMAS SINGULARES LPV
POLITÓPICOS
Teorema 3.1 (Hamdi et al. (2011)): El observador proporcional integral (3.32) para el sistema
singular LPV politópico con entradas desconocidas (3.31) existe y su error de estimación
converge a cero, si y únicamente si, los pares (Ăi , C̆) son detectables ∀i ∈ {1, ..., Q}. Este
observador es asintóticamente estable si existen: una matriz simétrica definida positiva P =
P T y matrices Wi = P K̆i , tales que las siguientes LMI’s se cumplan:
(ĂTi P + P Ăi − C̆ T WiT − Wi C̆) < 0, ∀i ∈ {1, 2, ..., Q} (3.48)
Ahora, se definen sub-regiones del plano complejo definidas por las LMI, llamadas regiones LMI que
permiten asegurar la estabilidad y convergencia del observador. En la Fig.3.1 se muestra una región
LMI que se define en la parte izquierda del plano complejo como un área acotada S(σ, β) con una
intersección del círculo con centro en (0, 0) y radio β, limitada por una línea paralela al eje de las
abscisas y con una distancia (−σ) desde el origen, con σ ∈ R+ (Akhenak (2004)).
Fig. 3.1 – Región LMI.
Las ganancias del observador se calculan con K̆i = P −1 Wi y haciendo uso de la region LMI definida
previamente, las LMI’s (3.48) pueden ser reemplazadas por las siguientes desigualdades:
(ĂTi P + P Ăi − C̆ T WiT − Wi C̆) + 2σP < 0, ; ∀i ∈ {1, ..., Q}.
(3.49)
ˆ a d(t). La prueba de este
entonces, en consecuencia x̂(t) convergerá asintóticamente a x(t) y d(t)
teorema se da en función de la teoría de estabilidad de Lyapunov y se encuentra en Hamdi et al. (2011).
3.3.
Diseño de un observador PI-Adaptable para sistemas singulares LPV politópicos
En esta sección, se presenta el diseño de un observador Proporcional-Integral Adaptable (PIAdaptable) para estimar los estados, las entradas desconocidas y las fallas en sistemas singulares LPV
74
POLITÓPICOS
politópicos, aún ante posibles cambios en los puntos de operación del sistema.
Esta teoría se desarrolla con base en el observador adaptable para sistemas lineales desarrollado por
Zhang et al. (2008); aquí se presenta el diseño de dicho observador con el fin de destacar las características y ventajas que poseen los observadores adaptables frente a otras estrategias de estimación.
Después, inspirado en las características del observador PI de entradas desconocidas para sistemas
singulares politópicos propuesto por Hamdi et al. (2011) y del observador adaptable para sistemas
lineales propuesto por Zhang et al. (2008), se desarrolla como nueva propuesta de estimación para
sistemas singulares, un Observador Proporcional Integral Adaptable que posteriormente se extiende
a los sistemas singulares LPV politópicos. La principal contribución, es un algoritmo de observación
adaptable que estime rápidamente los estados, las entradas desconocidas y las fallas simultáneamente (utilizando el vector de salida medibles).
La estabilidad y la convergencia del observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto se formulan
en términos de la teoría de Lyapunov y de la teoría LMI, este tipo de formulación proporciona una
manera eficaz para calcular los parámetros de diseño del observador. El algoritmo desarrollado sólo
utiliza las entradas medibles y vector de salidas del sistema y a su vez, propone mejorar la rapidez
en la estimación de las fallas y las entradas desconocidas. El observador PI-Adaptable LPV politópico
está compuesto por un término proporcional y uno integral, garantizando de esta manera la tarea
de estimación para obtener resultados satisfactorios tanto para señales dinámicas como en señales
constantes (o con dinámicas lentas).
Observador PI-Adaptable para sistemas lineales (Zhang et al. (2008))
En esta primera parte, se presenta el observador adaptable para estimación de fallas (FAFE, por su sigla
en inglés) propuesto por los autores en Zhang et al. (2008) para sistemas lineales, con el fin de mejorar
la rapidez de la estimación de las fallas. El diseño de la estrategia propuesta se da con base en la teoría
de LMI que a su vez, es una herramienta para calcular los parámetros de diseño. Considere entonces
el siguiente sistema lineal con fallas en el actuador:
ẋ(t)
= Ax(t) + Bu(t) + Rfa (t)
%(t)
= Cx(t)
(3.50)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp es el vector de entradas, fa (t) ∈ Rq es el vector de
fallas del actuador y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas. A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p , R ∈ Rn×q y C ∈ Rm×n son
matrices lineales constantes conocidas. Se considera que la falla está dada como fa (t) = β(t − tf )f (t)
que es una señal aditiva con la función β(t − tf ) definida por:
(
β(t − tf ) =
75
0,
t ≤ tf
1,
t > tf ,
(3.51)
POLITÓPICOS
donde tf es el tiempo en el que la falla se presenta. Esto es, fa (t) = 0 es cero antes del tiempo de la
falla (t ≤ tf ) y fa (t) = f (t) después de que la falla ocurre (t > tf ). Para el diseño del algoritmo de
diagnóstico de fallas algunas suposiciones son necesarias y se establecen a continuación:
Suposición 3.4: la matriz de distribución de la falla R es de rango completo.
Suposición 3.5: el par (A, C) es observable.
El observador adaptable está dado por:
˙
x̂(t)
= Ax̂(t) + Bu(t) + Rfâ (t) − L̄(%̂(t) − %(t))
%̂(t)
= C x̂(t)
(3.52)
donde L̄ es la ganancia del observador. Se considera entonces el siguiente algoritmo adaptable para
estimación de la falla:
˙
fâ (t)
= −ΓΦ(ė% (t) + σe% (t))
(3.53)
donde x̂(t) ∈ Rn es el vector de estados estimados, %̂(t) ∈ Rm es el vector de salidas del observador y
fâ (t) ∈ Rq es el vector de estimación de las fallas en el actuador fa (t). Γ ∈ Rq×q con Γ = ΓT es la matriz
de aprendizaje del algoritmo adaptable y Φ ∈ Rq×n y σ un escalar positivo.
El error de estimación de los estados, del residuo y de la falla son:
ex (t)
=
e% (t)
=
ef (t)
x̂(t) − x(t)
%̂(t) − %(t) = Cex
= fâ (t) − fa (t)
(3.54)
Entonces, la dinámica del error de estimación de los estados se describe como:
ėx (t) = (A − L̄C)ex (t) + Ref (t)
(3.55)
Para las fallas en tiempo variable, debido a fa (t) 6= 0, la dinámica de ef (t) en el tiempo está
determinada por:
˙
ėf (t) = fâ (t) − f˙a (t)
(3.56)
En este caso, puede declararse que ex (t) y ef (t) son uniformemente acotadas. Entonces, se define el
siguiente teorema:
76
POLITÓPICOS
Teorema 3.2 (Sec. 2 en Zhang et al. (2008)): si existen matrices simétricas definidas positivas
P, Q ∈ Rn×n , la ganancia del observador L̄ ∈ Rn×m y la matriz Φ ∈ Rq×n son tales que las
siguientes condiciones se mantienen:
P (A − L̄C) + (A − L̄C)T P = −Q
(3.57)
RT P = ΦC
(3.58)
Aquí, dos suposiciones adicionales y un lema son necesarios y se presentan a continuación:
- Suposición 3.6: el rango(CR) = q
- Suposición 3.7: Los ceros invariantes de la tripleta (A, R, C) se encuentran en la mitad
izquierda del plano complejo (que corresponde a la condición de estabilidad).
Lema 3.1 (Sec. 3 en Zhang et al. (2008)): Las condiciones ()-() se mantienen, si y sólo si,
las Suposiciones 3.6-3.7 se mantienen (este lema se presenta para verificar la existencia el
observador adaptable para diagnóstico de fallas) .
Entonces, bajo las Suposiciones 3.4-3.7, si existen matrices simétricas definidas positivas P ∈ Rn×n ,
Y ∈ Rn×p , Ω ∈ Rq×q y una matriz Φ ∈ Rq×m tal que la siguiente condición se mantiene (Teorema 3.2,
Zhang et al. (2008)):
"
(AT P + P A − C T Y T − Y C) − σ1 (AT P R − C T Y T R)
1
(− σ1 (AT P R − C T Y T R))T − 2 σ1 RT P R + σµ
Ω
#
<0
(3.59)
Con el fin de llevar a cabo la detección y el diagnóstico de fallas, se genera una señal de alarma cuando
éstas se producen y a su vez, para generar una estimación precisa de fa (t) para definir su comportamiento.
Entonces, el observador (3.52) tiene una matriz de ganancia fija L̄ tal que Y = P L̄ y un vector variable en el tiempo fâ (t), tal que (3.53) se conoce como el algoritmo de diagnóstico adaptable. Esto es
posible, si y sólo si, la siguiente LMI se mantiene:
(AT P + P A − C T Y T − Y C) < 0
(3.60)
RT P = ΦC
(3.61)
con la condición:
La solución simultánea de (3.59) y (3.61) se realiza a través del Teorema 3.2 que se define en Zhang et
al. (2008), de esta manera, la Ec. (3.59) se transforma en el siguiente problema de optimización:
77
POLITÓPICOS
Es posible minimizar η sujeto a:
"
ηI RT P − ΦC
#
≥0
(RT P − ΦC)T ηI
(3.62)
Las pruebas correspondientes a los Teoremas 3.1 y 3.2 se desarrollan en Zhang et al. (2008).
Observación: Es posible ver que si f˙(t) = 0, el algoritmo de observación adaptable propuesto logra
la estimación asintótica de fallas constantes, lo que indica que el rango característico del algoritmo
adaptable para la estimación de la falla se conserva. Además, es fácil demostrar que el algoritmo de
adaptación propuesto, dado en (3.53) combina los términos proporcional e integral:
fâ (t)
= −ΓΦ(e% (t) + σ
Rt
tf
e% (τ )dτ )
(3.63)
La introducción del término proporcional juega un papel importante para mejorar la rapidez de la estimación de la falla, mientras que el término integral es particularmente eficaz para las fallas que se
caracterizan por señales de baja frecuencia (Marx et al. (2004)).
Entonces, la técnica de observación adaptable fue desarrollada por Zhang et al. (2008) para mejorar
el rendimiento de la estimación de las fallas en sistemas lineales, incluyendo fallas constantes y variables en el tiempo.
Aprovechando estas características desarrolladas para estimación en los sistemas lineales, se presenta
a continuación el diseño de un nuevo observador PI-Adaptable para sistemas singulares lineales que
se extiende luego al caso particular de los sistemas singulares LPV politópicos.
3.3.1.
Diseño de un nuevo observador PI-Adaptable para sistemas singulares
Con base en el observador dado por las Ec. (3.52) y (3.53) para sistemas lineales, es posible demostrar
que el uso de las propiedades del algoritmo adaptable es eficaz para mejorar la rapidez de la estimación de las entradas desconocidas (que pueden ser vistos como fallas).
Considere la siguiente representación de un sistema singular con fallas en el actuador:
E ẋ(t)
%(t)
= Ax(t) + Bu(t) + Rfa (t)
= Cx(t)
(3.64)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp es el vector de entradas, fa (t) ∈ Rq representa el vector de fallas (con q ≤ p) y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas. A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p , R ∈ Rn×q y C ∈ Rm×n
son matrices constantes conocidas y además, E ∈ Rn×n es una matriz singular con elementos constantes con el rango menor a n (siendo n el orden del sistema).
78
POLITÓPICOS
Usando las Definiciones 3.1-3.2 y las Suposiciones 3.1-3.4, es posible afirmar que una condición suficiente y necesaria para la detectabilidad de fallas aditivas se da, si y sólo si, el par (A, C) es observable.
Ahora, considerando el sistema singular (3.64), el observador PI-Adaptable propuesto es:
ż(t)
= N z(t) + Gu(t) + L%(t) + H fâ (t) + Ke% (t)
x̂(t)
= z(t) + M̃ %(t)
(3.65)
con el algoritmo adaptable para estimación de fallas:
˙
fâ (t)
=
(3.66)
−ΓΦ(ė% (t) − σe% (t))
donde x̂(t) ∈ Rn , z(t) ∈ Rn y fâ (t) ∈ Rp son el vector de estados estimados, el vector de estados del
observador y el vector de estimación de las fallas respectivamente. N, G, L, H, K y M̃ son matrices desconocidas de adecuadas dimensiones para el observador que deben ser calculadas previamente en el
proceso de diseño del observador.
Φ ∈ Rq×m es una matriz de adecuadas dimensiones que representa la ganancia integral del observador, Γ ∈ Rq×q con Γ = ΓT es la matriz de aprendizaje del algoritmo adaptable y σ es cualquier escalar
positivo.
En este trabajo de tesis se desarrolla el análisis que garantiza la estabilidad del observador PI-Adaptable
para sistemas singulares, a través del teorema que se establece a continuación:
Teorema 3.3: Sea el observador PI-Adaptable:
ż(t)
= N z(t) + Gu(t) + L%(t) + H fâ (t) + Ke% (t)
x̂(t)
= z(t) + M̃ %(t)
(3.67)
con el algoritmo adaptable de estimación de la falla:
˙
fâ (t)
= −ΓΦ(ė% (t) − σe% (t))
(3.68)
para el siguiente sistema singular lineal:
E ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Rfa (t)
%(t) = Cx(t)
(3.69)
Entonces, el observador (3.67-3.68), existe y su error de estimación converge asintóticamente a
cero, si y sólo si, el par (A, C) es detectable. 79
POLITÓPICOS
Corolario 3.1: Así mismo, el observador es asintóticamente estable si existe una matriz
simétrica definida positiva P y matrices W = P K tales que la siguiente LMI se mantenga:
"
1
T
T
T
σ (N P H − C W H)
1
2 σ1 H T P H + σµ
Ω
(N T P + P N − C T W T − W C)
1
T
σ (H P N
− H T W C)
#
<0
(3.70)
con la condición:
H T P = ΦC
(3.71)
P RUEBA DE EXISTENCIA Y CONVERGENCIA : A partir de las Ec. (3.64-3.65) es posible establecer el error de
estimación como:
ex (t)
= x(t) − x̂(t)
ex (t)
= x(t) − (z + M̃ %(t))
ex (t)
=
(3.72)
(In − M̃ C)x(t) − z(t)
n×n
donde In representa la matriz identidad de orden n. Entonces, se calculan matrices reales U ∈ R
y
"
#
E
M̃ ∈ Rn×m tal que la siguiente igualdad se cumpla U E = In − M̃ C, esto es posible haciendo de
C
una matriz de rango completo tal que,
h
donde el superíndice
+
U
M̃
i
"
=
E
#+
C
(3.73)
representa la matriz inversa generalizada (matriz pseudoinversa). De esta
manera, el error de estimación puede ser reescrito como:
ex (t) = U Ex(t) − z(t)
(3.74)
La señal residual se establece como una señal para monitorear el sistema y se da como:
e% (t) = %(t) − %̂(t) = Cex
(3.75)
El error de estimación de la falla se establece como:
ef (t) = fa (t) − fâ (t)
(3.76)
Entonces, usando (3.65) y (3.74), la dinámica del error de estimación se calcula como:
ėx (t) = U E ẋ(t) − ż(t)
h
i
ėx (t) = U (Ax(t) + Bu(t) + Rfa (t)) − (N z(t) + Gu(t) + L%(t) + H fâ (t) + Ke% (t))
ėx (t) = [(U A − LC − N U E)x(t) + (U B − G)u(t) + (U R − H)fa (t)+
Hef (t) + (N − KC)ex (t)]
80
(3.77)
POLITÓPICOS
donde las siguientes condiciones pueden ser definidas:
U A = N U E + LC
(3.78)
G = UB
(3.79)
H = UR
(3.80)
In = U E + M̃ C
(3.81)
Por lo que la dinámica del error de estimación se reduce a:
(3.82)
ėx (t) = (N − KC)ex (t) + Hef (t)
Y la dinámica del error de estimación de la falla se establece como:
ėf (t)
ėf (t)
˙
= f˙a (t) − fâ (t)
= f˙a (t) − [−ΓΦ(ė% (t) − σe% (t))]
(3.83)
= f˙a (t) + ΓΦC(ėx (t) − σex (t))
ėf (t) = f˙a (t) + ΓΦC((N − KC)ex (t) + Hef (t) − σex (t))
ėf (t)
A partir de las condiciones establecidas en (3.78-3.81), la matriz N del observador puede ser calculada
a partir de:
N = U A − (L − N M̃ )C
(3.84)
y definiendo matrices auxiliares K = L − N M̃ , las matrices L son calculadas como:
(3.85)
L = K + N M̃
Esta predicción se reajusta de acuerdo al error de salida establecido en la Ec. (3.75) usando las
ganancias del observador para obtener un estimador asintótico en el tiempo, es decir, que el valor
esperado del error de estimación converja a 0 cuando el tiempo tienda a infinito, para ello, la
ganancia K debe ser elegida de tal manera que la matriz (N − KC) sea estable. Ahora, usando las
ecuaciones(3.82) y (3.83), establecemos la siguiente función:
"
ėx (t)
ėf (t)
#
"
=
(N − KC)
H
ΓΦC((N − KC) − σ)
ΓΦCH
#"
ex (t)
ef (t)
#
"
+
0
1
#
f˙a (t)
(3.86)
De acuerdo con (3.51), recordemos que fa (t) = 0 en (t ≤ tf ) y es fa (t) = f (t) en (t > tf ). De igual
manera, se asume que la derivada de f (t) con respecto al tiempo se acota por la norma euclidiana, es
decir, ||f˙(t)|| ≤ f1 , donde 0 ≤ f1 < ∞. Por lo tanto, los errores
de estimación de los estados
"
# ex (t) y de
(N − KC)
H
estimación de la falla ef (t) convergen a cero si la matriz
es estable.
ΓΦC((N − KC) − σ) ΓΦCH
P RUEBA DE ESTABILIDAD : Considerando la siguiente función de Lyapunov candidata, teniendo en
81
POLITÓPICOS
cuenta las funciones de error de estimación de los estados (3.72) y error de estimación de las fallas
(3.76) (Zhang et al. (2008)Xu et al. (2009)):
V (t) = eTx (t)P ex (t) +
1 T
e (t)Γ−1 ef (t)
σ f
(3.87)
y su derivada con respecto al tiempo está dada por:
V̇ (t) = ėTx (t)P ex (t) + eTx (t)P ėx (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 ėf (t) < 0
(3.88)
Como herramienta de simplificación de las operaciones, se define una matriz auxiliar N̄ = (N − KC)
y se tiene que:
V̇ (t) = (N̄ ex (t) + Hef (t))T P ex (t) + eTx (t)P (N̄ ex (t) + Hef (t)) + ...
2 T
−1 ˙
(fa (t) + ΓΦC(ėx (t) − σex (t)))
σ ef (t)Γ
(3.89)
V̇ (t) =
eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + eTf (t)P Hex (t) + eTx (t)P Hef (t) + ...
2 T
−1 ˙
fa (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 ΓΦC ėx (t) − σ2 eTf (t)Γ−1 ΓΦCσex (t)
σ ef (t)Γ
Sean matrices A, P ∈ Rn×n , donde P es una matriz semidefinida positiva, la siguiente propiedad se
cumple:
AT P + P A = 0
AT P = (P A)T
(3.90)
Teniendo en cuenta esta propiedad, es podemos hacer que eTf (t)P Hex (t) = eTx (t)P Hef (t), por lo que
se tiene:
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + 2eTx (t)P Hef (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + ...
2 T
T
σ ef (t)ΦC ėx (t) − 2ef (t)ΦCex (t)
(3.91)
Usando la condición establecida en (3.71), obtenemos:
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + 2eTx (t)P Hef (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + ...
2 T
T
σ ef (t)H P ėx (t)
− 2eTf (t)H T P ex (t)))
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + σ2 eTf (t)H T P ėx (t)
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + σ2 eTf (t)H T P (N̄ ex (t) + Hef (t))
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + σ2 eTf (t)H T P N̄ ex (t) + σ2 eTf (t)H T P Hef (t))
V̇ (t) = eTx (t)(N̄ T P + P N̄ )ex (t) + σ2 eTf (t)Γ−1 f˙a (t) + σ1 eTf (t)H T P N̄ ex (t) + σ1 eTx (t)N̄ T P Hef (t) + ...
2 T
T
σ ef (t)H P Hef (t))
(3.92)
82
POLITÓPICOS
Ahora, para probar la estabilidad del observador PI-Adaptable es necesario establecer el siguiente lema:
Lema 3.2 (Sec. 2 en Chen y Zhang (2007)): dados los vectores reales ϑ, ψ de apropiadas dimensiones,
un escalar positivo cualquiera µ > 0 y una matriz simétrica definida positiva Q, la siguiente
desigualdad se cumple:
2ϑT ψ ≤
1 T
ϑ Qϑ + µψ T Q−1 ψ.
µ
(3.93)
La prueba de este lema se encuentra en Chen y Zhang (2007).
Al aplicar el Lema 3.2 a la Ec. (3.92), haciendo ϑ =
2 σ1 eTf Γ−1 f˙a (t) ≤
1
σ ef ,
1
T
σ 2 µ ef (t)Ωef (t)
ψ = Γ−1 f˙a y Q = Ω es posible obtener que:
+ µ(Γ−1 f˙a (t))T Ω−1 Γ−1 f˙a (t)
(3.94)
≤
1
T
σ 2 µ ef (t)Ωef (t)
+
µ(f˙aT (t)(Γ−1 Ω−1 Γ−1 )f˙a (t))
Se tiene que f˙aT (t)f˙a (t) = ||f˙a (t)||2 y si ||f˙a (t)|| ≤ f1 (es decir, es una función Lipschitz continua),
entonces ||f˙a (t)||2 ≤ f 2 ; estas propiedades fueron establecidas por los autores en Zhang et al. (2008).
1
Ahora, usando las propiedades de las matrices semidefinidas positivas presentadas en Bernstein
(2009), dada una matriz A ∈ Rn×n es posible establecer que:
Ψ1 (A) , [xT Ax : x ∈ R y xT x = 1]
(3.95)
y el conjunto Ψ(A) , {xT Ax : x ∈ R} y si la matriz A es simétrica, las siguientes declaraciones se
cumplen:
(3.96)
Ψ1 (A) = [λmin (A), λmax (A)]
Extrapolando estas condiciones al sistema en estudio, la Ec. (3.94) se reescribe como:
2 σ1 eTf Γ−1 f˙a (t) ≤
1 T
σµ ef (t)Ωef (t)
+ µ(f12 λmax (Γ−1 Ω−1 Γ−1 ))
(3.97)
Sustituyendo (3.97) en (3.92) y regresando a las variables originales a través de la matriz auxiliar
(N̄ = (N − KC)), se puede obtener:
"
V̇ (t) ≤
ex (t)
ef (t)
#T "
P (N − KC) + (N − KC)T P
1
T
σ H P (N
− KC)
1
T
σ (N − KC) P H
1
2 σ1 H T P H + σµ
Ω
#"
ex (t)
ef (t)
#
+δ
(3.98)
con δ = µf12 (t)λmax (Γ−1 Ω−1 Γ−1 ).
Con base en la teoría de estabilidad de Lyapunov, la dinámica del error de estimación (3.86) es asintóticamente estable si la matriz (3.70) es negativa. Esto completa la prueba del Teorema 3.3. 83
POLITÓPICOS
Resolver (3.70) cuando ha sido establecida previamente la condición (3.71) se convierte en un problema real y más aún si las dos ecuaciones deben resolverse simultáneamente. Afortunadamente algunos autores han podido transformar (3.71) en un problema de optimización como sigue (Corless y Tu
(1998)):
La condición dada en (3.71) se mantiene únicamente si es posible minimizar η sujeto a (3.70) y
considerando las matrices W = P K tal que:
(N T P + P N − C T W T − W C) < 0
"
(3.99)
#
ηI H T P − ΦC
(H T P − ΦC)T ηI
≥0
(3.100)
Por lo que la estimación de la falla se puede obtener como:
Rt
= −ΓΦ( tf e% (τ )dτ − σe% (t))
fâ (t)
(3.101)
El observador PI-Adaptable propuesto es capaz de lograr la estimación asintótica de las fallas
constantes y variables para los sistemas singulares lineales, también, se hace evidente que la
introducción del término proporcional juega un papel importante para mejorar la rapidez de la
estimación de la falla.
3.3.2.
Ejemplo académico con el observador PI-Adaptable
Con el fin de ilustrar el funcionamiento del observador PI-Adaptable para la estimación de fallas
constantes y variables en el tiempo, se presenta a continuación un ejemplo académico. Se tiene el
siguiente sistema singular lineal de la forma (3.64) descrito por el conjunto de matrices:
"
E=
"
A=
−3
0
1
−2
1
0
0
0
#
"
,C =
#
"
,
B=
0.5
0.2
1
1
0
1
#
#
"
,
R=
0.5
#
0.2
La estabilidad del observador fue formulada en términos de LMI’s que se resuelven con utilizando
la caja de herramientas YALMIP (Lofberg (2004)) de M AT LAB r . Esta herramienta fue desarrollada
para el modelado avanzado y la solución de problemas de optimización a través de la programación
de desigualdades lineales matriciales. Entonces, con el observador PI-Adaptable (3.65) diseñado para
sistemas singulares lineales (3.64), con matrices U y M̃ que son calculadas usando (3.73) tales que se
cumpla U E + M̃ C = In , se plantean desigualdades lineales matriciales y usando YALMIP, es posible
84
POLITÓPICOS
determinar la matriz simétrica P y las ganancias del observador K, L y del algoritmo adaptable Φ
siguientes:
"
P=
"
L=
474.5196
105.6603
105.6603
425.5520
#
0.5318
−0.5318
0.0595
−0.0595
#
"
;
;
K=
Φ=
h
0.3205
−0.0839
0.0409
0.8623
140.5632
#
−176.2684
i
Siguiendo el procedimiento de diseño, las matrices G y H son calculadas usando las condiciones
(3.79)-(3.80). La sintonización del observador se logra tomando Γ = 1, σ = 1 y µ = 3.
YALMIP usa funciones sdpvar para establecer el conjunto de propiedades de la variable de optimización, mediante la construcción simbólica de variables de decisión utilizando la siguiente sintaxis:
X = SDP V AR(n, n,0 symmetric0 ) para declarar una matriz simétrica de n×n. Posteriormente, utilizando la función solvesdp permite resolver el problema de optimización con la sintaxis: DIAGN OST IC =
SOLV ESDP (S) donde S es el conjunto que describe las restricciones; tales restricciones son fácilmente declaradas con el uso de corchetes en la forma [expresión], por ejemplo, S = [A ∗ X < b].
Finalmente, la función double se usa para obtener una solución de la variable de optimización a través
de la sintaxis: double(X).
Simulación 3.1: Observador PI-Adaptable para sistemas singulares con falla constante
El objetivo de esta simulación es probar el desempeño del observador PI-Adaptable propuesto para
sistemas singulares lineales de la forma (3.64), para estimar fallas constantes en el actuador.
En la configuración de esta simulación, se toman en cuenta las matrices establecidas previamente y la
falla del actuador fa (t) se modela como una función escalón de magnitud 1.5 aplicada en el tiempo
6 ≤ t ≤ 20.
Estados estimados por el observador PI−Adaptable
1.5
1
x
1
0.5
x
1est
0
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
0
x2
x
−0.5
2est
−1
−1.5
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
Fig. 3.2 – Estados estimados vía observador PI-Adaptable (simulación No. 3.1).
85
20
POLITÓPICOS
En la Fig. 3.2 se muestra la estimación de los estados del sistema, sin considerar ruido en las mediciones; la línea punteada representa la señal estimada por el observador PI-Adaptable y se observa que
los estados estimados por el observador siguen la dinámica descrita por el sistema singular lineal.
La Fig. 3.3 muestra la estimación de la falla modelada como una función escalón, sin considerar ruido en las mediciones. Es posible observar en esta figura que la estimación de la falla por el algoritmo
adaptable es adecuada, sin embargo se aprecia un pequeño desvío de la señal estimada en el instante
en el que se presenta el transitorio, sin embargo en este caso, el observador es capaz de mantener una
correcta estimación de la falla al converger asintóticamente en el tiempo hacia la señal de referencia.
Estimación de la falla por el observador PI−Adaptable
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
fa
−0.2
faest
−0.4
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
Fig. 3.3 – Falla estimada vía observador PI-Adaptable (simulación No. 3.1).
a). Error de estimación (ex1(t))
−4
10
x 10
ex1
5
0
0
2
4
6
−4
20
x 10
8
10
12
Tiempo (s)
b). Error de estimación (ex2(t))
14
16
18
20
ex2
10
0
0
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
c). Error de estimación de la falla (ef(t))
16
18
20
efa
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
Fig. 3.4 – Error de estimación con falla constante.
La Fig. 3.4 muestra los errores en la estimación de los estados y de la falla, sin considerar ruido en las
mediciones. Es posible apreciar que los errores de estimación son pequeños (del orden de 10−4 para
86
POLITÓPICOS
los estados y de 10−2 para la falla), a pesar de un incremento del error de estimación justamente en el
instante en el que la falla se presenta.
Los resultados de esta simulación permiten concluir que el observador PI-Adaptable diseñado para
sistemas singulares, tiene un buen desempeño en la tarea de estimación de los estados y de una falla constante. A pesar que en el instante de aparición de la falla la estimación se ve afectada (en una
proporción muy baja), el observador es capaz de continuar la estimación logrando una convergencia
asintótica, haciendo que los errores de estimación (de los estados y de la falla) tiendan a cero en el
tiempo.
Simulación 3.2: Observador PI-Adaptable para sistemas singulares con falla variable en el tiempo
sistemas singulares lineales de la forma (3.64), para estimar fallas variables en el tiempo, modeladas
como fallas del actuador.
falla del actuador fa (t) es modelada como una señal sinusoidal 0.2sen(5t − 10) aplicada en el tiempo
5 ≤ t ≤ 20. Para este nuevo caso, no es necesario modificar las ganancias del observador.
En la Fig. 3.5 se muestra la estimación de los estados del sistema, sin considerar ruido en las
mediciones; la línea punteada representa la señal estimada por el observador PI-Adaptable y se
observa que los estados estimados por el observador siguen la dinámica descrita por el sistema
singular lineal.
1
0.5
x1
x1est
0
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
0
x2
x2est
−0.5
−1
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
La Fig. 3.6 muestra la estimación de la falla modelada como una señal sinusoidal, sin considerar ruido
87
POLITÓPICOS
en las mediciones. Es posible observar en esta figura la convergencia de la estimación de la falla en
t = 2s; en este caso, el observador es capaz de mantener una correcta estimación de la falla al converger
asintóticamente en el tiempo hacia la señal de referencia y se puede afirmar que la estimación de la
falla a través del algoritmo adaptable es adecuada.
Estimación de la falla (fa(t))
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
f
a
faest
−0.25
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
La Fig. 3.7 muestra los errores en la estimación de los estados y de la falla para el caso en el que una falla
variable en el tiempo se presenta, sin considerar ruido en las mediciones. Es posible apreciar que los
errores de estimación son pequeños (del orden de 10−4 , 10−5 para los estados y de 10−2 para la falla),
de igual manera se puede ver que el error aumenta en el instante de tiempo en el que el transitorio se
presenta, es decir, se genera un incremento del error de estimación justamente en el instante en el que
la falla ocurre.
−4
10
x 10
ex1
5
0
0
2
4
6
−5
x 10
8
10
12
14
Tiempo (s)
16
18
ex2
10
5
0
2
0.04
0.02
0
0
20
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
16
18
20
efa
2
4
6
8
10
12
Tiempo (s)
14
Fig. 3.7 – Error de estimación con falla variable.
88
16
18
20
POLITÓPICOS
sistemas singulares, tiene un buen desempeño en la tarea de estimación de los estados y de una falla
variable. A pesar que en el instante de aparición de la falla la estimación se ve afectada y es permanente por la variación en el tiempo de dicha señal, el observador es capaz de continuar la estimación,
haciendo que los errores de estimación (de los estados y de la falla) permanezcan muy pequeños durante todo el tiempo en el que la falla está presente.
Simulación 3.3: Observador PI-Adaptable para sistemas singulares con falla variable en el tiempo y ruido de medición
sistemas singulares lineales de la forma (3.64), para estimar fallas variables en el tiempo modeladas
como fallas del actuador y considerando además ruido en las mediciones.
falla del actuador fa (t) es modelada como una señal sinusoidal 0.2sin(5t − 10) aplicada en el tiempo
5 ≤ t ≤ 20. Se agrega ahora un ruido blanco gaussiano con varianza 0.01 que afecta la medición de las
salidas del sistema. Para este nuevo caso, tampoco es necesario modificar las ganancias del observador.
En la Fig. 3.8 se muestra la estimación de los estados del sistema afectado por una falla variable en el
tiempo y considerando la presencia de ruido en las mediciones; la línea punteada representa la señal
estimada por el observador PI-Adaptable y se observa que los estados estimados por el observador
siguen la dinámica descrita por el sistema singular lineal, a pesar de una falla dinámica y del ruido.
1
0.5
x1
x1est
0
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
0
x2
x2est
−0.5
−1
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
La Fig. 3.9 muestra la estimación de la falla modelada como una señal sinusoidal al considerar ahora
ruido en las mediciones. Es posible observar en esta figura que el tiempo de convergencia no puede
89
POLITÓPICOS
establecerse con precisión debido al efecto que causa el ruido en la estimación; sin embargo en este
caso, el algoritmo adaptable del observador mantiene una estimación adecuada de la dinámica de la
falla con respecto a la señal de referencia.
Estimación de la falla (fa(t))
fa
0.25
faest
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
18
20
La Fig. 3.10 muestra la norma de los errores en la estimación de los estados y de la falla para el caso
en el que una falla variable en el tiempo se presenta, teniendo en cuenta que se presenta ruido en las
mediciones. Es posible apreciar que los errores de estimación son pequeños (del orden de 10−3 , 10−4
para los estados y de 10−3 para la falla); de igual manera se puede ver que en el caso de la estimación
de la falla, el error aumenta en el instante de tiempo en el que el transitorio se presenta, es decir, se
genera un incremento del error de estimación desde el instante en el que la falla ocurre y durante su
permanencia afectando el sistema.
−3
4
x 10
ex1
2
0
0
2
4
6
−4
x 10
8
10
12
Tiempo (s)
14
16
18
4
ex2
2
0
0
2
4
6
−3
x 10
10
5
0
0
20
8
10
12
14
Tiempo (s)
16
18
20
efa
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
Fig. 3.10 – Error de estimación con falla variable y ruido de medición.
90
18
20
POLITÓPICOS
sistemas singulares, tiene un buen desempeño en la tarea de estimación de los estados y de una falla
variable, aún en presencia de ruido en las mediciones.
A pesar que en el instante de aparición de la falla la estimación se ve afectada y es permanente por
la variación en el tiempo de dicha señal, el algoritmo PI-Adaptable del observador propuesto es capaz de continuar la tarea de estimación, haciendo que los errores (de estimación de los estados y de
la falla) permanezcan muy pequeños durante todo el tiempo en el que la falla variable está presente,
aún sabiendo que el observador PI-Adaptable propuesto no tiene las características de un filtro, sus
resultados en tareas de estimación en presencia del ruido de medición son muy satisfactorios.
3.3.3.
Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para sistemas singulares
A partir del diseño de un nuevo observador y su prueba de estabilidad (Teorema 3.3) desarrollada en
la Secciones previas (3.3.1 y 3.3.2), se realiza la extensión del diseño de un observador PI-Adaptable
LPV politópico para sistemas singulares, a una clase de sistemas singulares LPV politópicos. Considere
entonces, el siguiente sistema singular LPV politópico:
E ẋ(t)
=
Q
X
εi (θ(t)) Ai x(t) + Bi u(t) + B̄i fa (t) + Ri d(t)
i=1
%(t)
(3.102)
= Cx(t)
de entradas desconocidas y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas. B̄i es una matriz que contiene el iesimo
vector de Bi que corresponde al actuador donde la falla se presenta y fa (t) ∈ Rnf es el vector de fallas
del actuador. Las matrices lineales constantes son conocidas Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×p , B̄i ∈ Rn×q y
C ∈ Rm×n ∀i ∈ {1, . . . , Q} con Q como el número total de funciones de ponderación εi (θ(t)). Estas
funciones miden la contribución relativa de cada modelo local en la construcción del modelo global,
dichas funciones deben cumplir la propiedad de suma convexa (2.18). Bajo las Suposiciones 3.1-3.4, el
sistema singular LPV politópico (3.102), puede reescribirse como:
E ẋ(t)
=
Q
X
h
i
εi (θ(t)) Ai x(t) + Bi u(t) + R̄i f˜(t)
i=1
%(t)(t)
(3.103)
= Cx(t)
donde R̄i = [B̄i Ri ] y el vector f˜ contiene el vector de fallas en el actuador y el vector de la entrada
desconocida f˜ = [fa d]T . Entonces, considerando el sistema singular LPV politópico (3.103), las
ecuaciones que describen el observador PI-Adaptable LPV politópico son:
91
POLITÓPICOS
ż(t)
=
Q
X
h
i
ˆ
εi (θ(t)) Ni z(t) + Gi u(t) + Li %(t) + Hi f˜(t) − Ki e% (t)
i=1
x̂(t)
=
(3.104)
z(t) + M̃ %(t)
ˆ
donde x̂(t) ∈ Rn , z(t) ∈ Rn y f˜(t) ∈ Rp son el vector de estados estimados, el vector de estados del
observador y el vector de estimación de la falla, respectivamente. Ni , Gi , Li , Hi , M̃ , Ki son matrices
desconocidas del observador, de adecuadas dimensiones que deben ser calculadas dentro del diseño
del observador y Φ ∈ Rq×m es una matriz de dimensiones adecuadas. Entonces, el algoritmo adaptable
de diagnóstico es:
ˆ˙
f˜(t)
=
Q
X
(3.105)
εi (ρ(t)) − Γ[Φi (ė% (t) − σe% (t))]
i=1
Teorema 3.4: El observador PI-Adaptable (3.104) con el algoritmo de estimación adaptable
(3.105) para sistemas singulares LPV politópicos descritos de la forma (3.103) es asintóticamente estable, si existe una matriz simétrica definida positiva P y matrices Wi = P Ki tales
que las siguientes LMI’s se cumplan:
"
(NiT P + P Ni − C T WiT − Wi C)
1
T
σ (Hi P Ni
− HiT Wi C)
1
T
T
T
σ (Ni P Hi − C Wi Hi )
1
2 σ1 HiT P Hi + σµ
Ξ
#
<0
(3.106)
con la condición:
HiT P = Φi C (3.107)
Para resolver (3.106) simultáneamente con la condición (3.107), esta última se transforma en el siguiente problema de optimización (Corless y Tu (1998)): la condición (3.107) se cumple únicamente si
es posible minimizar η sujeto a (3.106) tal que las siguientes desigualdades se cumplan:
"
ηI HiT P − Φi C
#
(HiT P − Φi C)T ηI
≥0
(3.108)
Una condición necesaria para asegurar la estabilidad del observador PI-Adaptable LPV politópico
(3.104-3.105) se establece a través de las siguientes LMI’s:
(NiT P + P Ni − C T WiT − Wi C) + 2σP < 0
(3.109)
P RUEBA DE EXISTENCIA Y CONVERGENCIA : El error de estimación de los estados, de la señal residual y
de estimación de la falla se calculan como:
ex (t) = x(t) − x̂(t)
92
(3.110)
POLITÓPICOS
e% (t) = %(t) − %̂(t) = Cex
(3.111)
ˆ
ef˜(t) = f˜(t) − f˜(t)
(3.112)
El error de estimación puede ser reescrito como:
ex (t) = U Ex(t) − z(t)
(3.113)
Realizando las operaciones apropiadas, la dinámica del error de estimación se establece como:
ė(t) =
Q
X
h
εi (θ(t)) (U Ai − Ni U E − Li C)x(t) + (U Bi − Gi )u(t) + (U R̄i − Hi )f˜(t) + ...
i=1
i
Hi ef˜(t) + (Ni − Ki C)ex (t)
(3.114)
donde las siguientes condiciones se establecen:
U A = Ni U E − Li C
(3.115)
Gi = U Bi
(3.116)
Hi = U Ri
(3.117)
In = U E + M C
(3.118)
Por lo que la función que contiene la dinámica del error de estimación de los estados queda de la
forma:
ė(t) =
Q
X
εi (θ(t))[(Ni − Ki C)ex (t) + Hi ef˜(t)]
(3.119)
i=1
A partir de (3.112) la dinámica del error de estimación de la falla:
ėf˜(t) =
Q
X
h
i
˙
εi (θ(t)) ΓΦi C((N̄i − Ki C)ex (t) + Hi ef˜(t) − σex (t)) + f˜(t)
(3.120)
i=1
A partir de las condiciones establecidas en (3.115-3.118), las matrices Ni del observador pueden ser
calculadas como:
Ni = U Ai − (Ξi − Ni M̃ )C
(3.121)
y definiendo matrices auxiliares Ki = Ξi − Ni M̃ , las matrices Ξi son calculadas como:
Ξi = Ki + Ni M̃
(3.122)
Con el fin de simplificar las operaciones matemáticas se establece como variable auxiliar N̄i = Ni −
93
POLITÓPICOS
Ki C y utilizando las Ec. (3.119-3.120) se define entonces la siguiente función:
"
ėx (t)
ėf˜(t)
#
=
Q
X
"
εi (θ(t))
N̄i
Hi
−ΓΦi C(N̄i − σ)
i=1
#"
ΓΦi CHi
ex (t)
#
ef˜(t)
"
+
0
1
#
˙
f˜(t)
(3.123)
La prueba de estabilidad de este teorema se desarrolla mediante un procedimiento similar al descrito
previamente en el Teorema 3.3. Este nuevo observador se prueba utilizando el modelo de la columna
de destilación binaria.
3.3.4.
Aplicación del observador PI-Adaptable LPV politópico a la CDB
Una columna de destilación binaria puede representarse como un sistema singular LPV politópico de
la forma:
E ẋ(t)
=
Q
X
(3.124)
i=1
%(t)
= Cx(t)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados que representa las composiciones de líquido del componente
ligero x = [x1 , x2 , ..., xN ]T con N como el número total de platos de la columna. u(t) ∈ Rp es el vector
de entradas de la columna con u = [L
V ]T , siendo L el flujo molar líquido y V el flujo molar de
vapor. d(t) ∈ Rq es el vector de perturbaciones con d = [F
zF ]T , donde F y zF son el flujo molar
de la alimentación y su composición molar respectivamente. Con funciones de ponderación εi (θ(t))
dependientes de los parámetros θ1 = L y θ2 = V que deben cumplir con la propiedad de suma convexa:
Q
X
εi (θ(t)) = 1, 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1
(3.125)
i=1
y están definidas por:
ε1 (θ(t)) =
ε3 (θ(t)) =
θ2 −θ 2
θ1 −θ 1
;
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ2 −θ 2
θ̄1 −θ1
;
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
ε2 (θ(t)) =
ε4 (θ(t)) =
θ1 −θ 1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ1 θ̄2 −θ2 θ¯1 −θ1
θ̄2 −θ2
θ̄1 −θ 1
θ̄2 −θ 2
(3.126)
Las matrices Ai , Bi y Ri se calculan a partir de la linealización del sistema no lineal dado por la Ec.
(2.29) en cada punto de operación; dichos puntos de operación están dados por las combinaciones de
los límites de los parámetros y definidos en cada una de las funciones de ponderación. Este procedimiento se estableció en el Capítulo 2, Sección 2.4.3 del presente trabajo de tesis.
El observador PI-Adaptable LPV politópico para la columna de destilación descrita como un sistema
singular LPV politópico descrito en la Ec. (3.124) se establece como:
ż(t)
=
Q
X
h
i
ˆ − Ki e% (t)
εi (θ(t)) Ni z(t) + Gi u(t) + Li %(t) + Hi d(t)
i=1
x̂(t)
= z(t) + M̃ %(t)
94
(3.127)
POLITÓPICOS
con un algoritmo adaptable de diagnóstico es:
ˆ˙
d(t)
=
Q
X
(3.128)
εi (ρ(t)) − Γ[Φi (ė% (t) − σe% (t))]
i=1
Las matrices Ni , Ξi , Gi y Hi se calculan a partir de las ecuaciones (3.121-3.122) y (3.116-3.117) de igual
manera, las ganancias del observador Ki = Ξ − Ni M̃ pueden ser calculadas. A través de la caja de
herramientas YALMIP (Lofberg (2004)), las ganancias Φi pueden ser determinadas si las desigualdades
(3.106) se cumplen mientras que la condición (3.107) sea satisfecha. Para el caso de la columna de
destilación, estas matrices son:
"
−1
Φ1 = 10
"
−1
Φ2 = 10
"
−1
Φ3 = 10
"
−5
Φ4 = 10
3.3085
5.1525
6.8737
6.1114
4.2218
4.1768
4.2541
4.2223
−2.7373
−2.2630
−2.2553
−2.7453
−2.7135
−2.6908
−2.7456
−2.7249
−0.7931
−1.2583
−0.9961
−1.0586
−1.0035
−0.9580
−1.0454
−1.0147
−0.9954
−1.1571
−0.9460
−0.9671
−1.0507
−1.0440
−1.0570
−1.0532
−0.4329
−0.9425
−0.6949
−0.7578
−0.7049
−0.7250
−0.6813
−0.7016
−1.4094
−1.5598
−1.4048
−1.4248
−1.4878
−1.5084
−1.4674
−1.4847
3.2481
5.1015
6.8147
6.0499
4.1523
4.1159
4.2064
4.1674
−2.7172
−2.2473
−2.2414
−2.7292
−2.6952
−2.6716
−2.7249
−2.7051

0.0079
0.0110
0.0056
0.0062
0.0074
0.0074
0.0074
0.0074












K1 = 103 












0.0049
0.0062
0.0020
0.0023
0.0026
0.0026
0.0026

0.0026 

0.0173 


0.0006 

0.0162 


0.0007 

0.0023 


0.0052 


0.0024 

0.0676 


0.0023 
0.0066
0.0207
0.0256
0.0246
0.0136
0.0173
0.0173
0.0173
0.0003
0.0006
0.0051
0.0006
0.0006
0.0006
0.0006
0.0165
0.0131
0.0225
0.0267
0.0162
0.0162
0.0162
0.0006
0.0004
0.0004
0.0048
0.0007
0.0007
0.0007
0.0023
0.0016
0.0013
0.0017
0.0066
0.0023
0.0023
0.0058
0.0054
0.0051
0.0061
0.0062
0.0060
0.0046
0.0024
0.0017
0.0013
0.0017
0.0024
0.0067
0.0024
0.0636
0.0725
0.0940
0.0881
0.0676
0.0668
0.0680
0.0023
0.0016
0.0012
0.0016
0.0023
0.0023
0.0066
0.0023
0.0016
0.0013
0.0017
0.0023
0.0023
0.0023
95

#
#
#
#
POLITÓPICOS

0.0090
0.0135
0.0073
0.0066
0.0085
0.0085
0.0086












K2 = 103 












0.0063
0.0074
0.0026
0.0027
0.0037
0.0037
0.0037
0.0140
0.0122
0.0262
0.0104
0.0126
0.0126
0.0126
0.0009
0.0009
0.0050
0.0006
0.0010
0.0010
0.0010
0.0117
0.0124
0.0098
0.0266
0.0121
0.0121
0.0120
0.0009
0.0008
0.0006
0.0049
0.0009
0.0009
0.0009
0.0030
0.0029
0.0021
0.0021
0.0074
0.0030
0.0030
0.0005
0.0007
0.0003
0.0000
0.0005
0.0003
−0.0013
0.0030
0.0028
0.0021
0.0021
0.0030
0.0074
0.0030
0.0023
−0.0034
0.0113
0.0125
−0.0004
0.0003
−0.0004
0.0029
0.0027
0.0021
0.0020
0.0030
0.0029
0.0073
0.0030
0.0027
0.0021
0.0021
0.0030
0.0030
0.0030
0.0085

0.0037 

0.0126 


0.0010 

0.0121 


0.0009 

0.0030 


−0.0005 


0.0030 

−0.0003 


0.0030 
0.0074

0.0095
0.0141
0.0077
0.0069
0.0090
0.0090
0.0090
0.0090












3
K3 = 10 











0.0066
0.0077
0.0029
0.0029
0.0040
0.0040
0.0040
0.0136
0.0119
0.0260
0.0100
0.0123
0.0123
0.0123
0.0010
0.0010
0.0051
0.0006
0.0011
0.0011
0.0011
0.0115
0.0122
0.0095
0.0267
0.0119
0.0119
0.0119
0.0009
0.0008
0.0007
0.0050
0.0010
0.0010
0.0010
0.0032
0.0030
0.0023
0.0023
0.0076
0.0032
0.0032

0.0040 

0.0123 


0.0011 

0.0119 


0.0010 

0.0032 


0.0006 


0.0033 

0.0042 


0.0032 
0.0076
0.0015
0.0019
0.0013
0.0014
0.0016
0.0014
−0.0004
0.0033
0.0030
0.0024
0.0023
0.0033
0.0077
0.0033
0.0074
0.0008
0.0169
0.0178
0.0041
0.0041
0.0045
0.0031
0.0029
0.0022
0.0022
0.0032
0.0032
0.0075
0.0032
0.0030
0.0023
0.0022
0.0032
0.0032
0.0032


0.0078
0.0110
0.0056
0.0062
0.0074
0.0074
0.0074
0.0074












3
K4 = 10 











0.0048
0.0062
0.0020
0.0023
0.0026
0.0026
0.0026
0.0206
0.0256
0.0245
0.0136
0.0172
0.0172
0.0172

0.0026 

0.0172 


0.0006 

0.0162 


0.0007 

0.0023 


0.0052 


0.0023 

0.0672 


0.0022 
0.0066
0.0003
0.0006
0.0051
0.0006
0.0006
0.0006
0.0006
0.0165
0.0131
0.0225
0.0267
0.0162
0.0162
0.0162
0.0006
0.0004
0.0004
0.0048
0.0017
0.0007
0.0007
0.0023
0.0016
0.0013
0.0017
0.0063
0.0023
0.0023
0.0058
0.0054
0.0051
0.0061
0.0017
0.0061
0.0046
0.0024
0.0017
0.0013
0.0017
0.0029
0.0066
0.0024
0.0636
0.0725
0.0940
0.0879
0.0676
0.0664
0.0680
0.0022
0.0016
0.0012
0.0016
0.0023
0.0023
0.0066
0.0022
0.0016
0.0013
0.0017
0.0023
0.0023
0.0023
96


POLITÓPICOS
3.3.4.1.
Configuración general de las simulaciones para probar del observador PI-Adaptable
politópico
Para llevar a cabo esta simulación, se empleó el observador PI-Adaptable LPV politópico (3.127-3.128)
que usa el modelo singular LPV politópico propuesto para la columna de destilación (2.32). La mezcla
binaria que se considera en este caso es etanol (EOH) y agua (H2 O), que se considera como una mezcla
no ideal.
En la configuración de las simulaciones de esta sección, se consideró una mezcla de 2000 ml de etanol,
2000 ml de agua y una presión total en el proceso de 105.86 kPa; el tiempo total de simulación fue de
180 minutos a partir de que se alcanza el estado estable y el tiempo de muestreo seleccionado fue 3s.
Para el desarrollo de la simulación, se consideran datos reales obtenidos de la planta piloto de destilación; para ello se tienen en cuenta la especificaciones de los componentes de la mezcla dados en
la Tabla 2.1, estos datos se encuentran en la literatura (Perry (1999)). Para calcular las composiciones
líquidas del componente ligero, el modelo utiliza las correlaciones que permiten establecer la relación
de equilibrio líquido-vapor y que son dadas por las Ecs. (2.27)-(2.28). Las pruebas realizadas se efectuaron tomando en cuenta las condiciones en estado estable que se presentaron en la Tabla 2.2 del
capítulo anterior, como condiciones iniciales de operación en el modelo no lineal.
De igual manera se observa que los parámetros, los cuales son dependientes de las entradas del sistema θ1 (L) y θ2 (V ), varían de acuerdo a la trayectorias generadas por los respectivos actuadores de la
planta piloto de destilación. Estas trayectorias fueron descritas previamente en el Capítulo 2 Subsección 2.4.3, las cuales se muestran en las siguientes Figs. 3.11-3.12.
Entrada u : Relación tiempo de apertura de la válvula de reflujo(ta/tc)
1
0.4
tapertura/tcierre
tapertura/tcierre
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
L
mol/min
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 3.11 – Variación del flujo molar líquido L con respecto a la apertura de la válvula de reflujo.
97
POLITÓPICOS
Potencia
1250
Watts
1200
1150
1100
1050
1000
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
2
mol/min
V
1.8
1.6
1.4
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Fig. 3.12 – Variación del flujo molar de vapor V con respecto al cambio de la potencia de calentamiento.
Las funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (3.126) se muestran en la Fig.
3.13, se puede apreciar la variación de la participación de cada una de las funciones de ponderación a
lo largo de las trayectorias determinadas por los parámetros y a su vez, cumplen la propiedad de suma
convexa, es decir, la sumatoria de las cuatro funciones es siempre igual a 1, lo que permite afirmar que
existe una respuesta de los modelos locales singulares LPV politópicos que son utilizados en el diseño
del observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto, ante cualquier posible cambio en los valores
de los parámetros dentro de las cotas seleccionadas.
Funciones de ponderación (ε )
i
0.3
ε (θ)
0.28
ε1 (θ)
ε2 (θ)
ε3 (θ)
ε4 (θ)
0.26
0.24
0.22
0.2
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Sumatoria de las funciones de ponderación (εi)
1.1
Sumatoria
1.05
1
0.95
0.9
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
Fig. 3.13 – Funciones de ponderación (i (θ(t))).
98
140
160
180
POLITÓPICOS
Simulación No. 3.4: Estimación de estados utilizando el observador PI-Adaptable LPV politópico sin perturbaciones:
El objetivo de la simulación consiste en implementar un observador PI-Adaptable LPV politópico que
usa el modelo propuesto para la columna de destilación reproduce adecuadamente la dinámica de
la planta, para obtener la estimación de las composiciones líquidas del componente ligero para una
mezcla binaria (etanol-agua); en esta simulación, las perturbaciones no fueron consideradas.
Para poder evaluar el desempeño del observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto, gráfica y
cuantitativamente (a través de la evaluación de la norma euclidiana del error), se compara su respuesta para los estados estimados contra la respuesta del modelo no lineal desarrollado y validado en
trabajos previos (Aguilera-González (2008); Téllez-Anguiano (2010)). Así mismo, se generan cambios
en las entradas para observar la variación de los parámetros, que a su vez, van a generar los cambios
en la participación de las funciones de ponderación al construir el modelo global del sistema.
La Tabla 3.1 muestra las señales de entrada que se consideraron a lo largo de la simulación; aquí no se
consideró perturbación alguna, es decir, no se aplicó flujo de alimentación al proceso. La relación de
reflujo (ta/tc) corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de reflujo, la cual físicamente
en la planta, es una válvula ON-OFF de tres vías.
Para poder determinar esta relación, se fija la frecuencia de la señal en 0.11Hz (que corresponde a
9 segundos) y se varía el ancho del pulso de la apertura y del cierre; de esta manera se obtiene una
curva que permite determinar la dinámica del flujo molar líquido de acuerdo a la variación de esta
señal.
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Reflujo (ta/tc)
Qb
Reflujo (ta/tc)
Señal
0.285
0 ml/min
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
25 min
30 min
105 min
150 min
A continuación se presentan los resultados de la simulación. En primer lugar se tiene la Fig. 3.14
que muestra las señales de las entradas correspondientes que fueron aplicadas al sistema. Aquí es
posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso: el reflujo y la potencia
calefactora, así como el flujo de alimentación que permanece en cero (considérese esta entrada como
una perturbación del sistema).
99
POLITÓPICOS
tapertura/tcierre
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Watts
1300
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
ml/min
1
Fv
0
−1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Estimación − Plato 1 "Condensador"
Estimación − Plato 3
0.9
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
1
0.9
0.8
x1est
0.7
x1 NoN
0.6
0
50
100
Tiempo (min)
0.85
0.8
0.75
0.65
0
150
Estimación − Plato 7 "Plato de alimentación"
50
100
Tiempo (min)
150
0.2
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
x3 NoN
Estimación − Plato 12 "Hervidor"
0.9
0.85
0.8
0.75
x7est
0.7
0.65
0
x3est
0.7
x7 NoN
50
100
Tiempo (min)
x12est
0.1
0.05
0
0
150
x12 NoN
0.15
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 3.15 – Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.4).
La Fig.
3.15 muestra la dinámica de las composiciones estimadas utilizando el observador PI-
Adaptable LPV politópico, en comparación con las composiciones estimadas a partir del modelo no
lineal. En esta figura se presentan las dinámicas de los platos 1 (el condensador), 3 (sección de rectificación), 7 (el plato de alimentación) y 12 (el hervidor) ya que son consideradas las dinámicas más
importantes de la planta.
100
POLITÓPICOS
En la figura se aprecia que los estados estimados (linea roja) por el observador PI-Adaptable LPV politópico siguen el comportamiento de los estados proporcionados por el modelo no lineal (* azul); así
mismo se observa que la convergencia de las estimaciones corresponde a las condiciones iniciales que
fueron interpuestas a los estados del observador z(t) y a la dinámica lenta, propia de la columna de
destilación.
El error del modelo propuesto se determina mediante la aplicación de la norma euclidiana del error
dada por la fórmula (2.41). A continuación se presenta en la Tabla 3.2 el valor porcentual del error de
estimación de las composiciones del observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto con respecto
a la estimación de las concentraciones a partir del modelo no lineal conocido.En la Fig. 3.16 se muestra
Tabla 3.2 – Error de estimación para el observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.4)
Etapa
Condensador
Plato 3
Hervidor
Error
0.0370
0.0452
0.0020
0.0032
la convergencia asintótica en el tiempo del error entre las estimaciones dadas por el observador PIAdaptable LPV politópico y el modelo no lineal; se aprecia que los resultados obtenidos para el error
de estimación empleando el observador PI-Adaptable LPV politópico son satisfactorios, de acuerdo a
la magnitud de los mismos.
−3
x 10 Error de estimación − Plato 1 "Condensador"
−3
x 10
Error de estimación − Plato 3
||e ||
||e ||
5
0
0
est
||
x3
5
|| x3−x3
|| x1−x1est||
x1
−5
0
50
100
Tiempo (min)
−5
0
150
Error de estimación − Plato 7 "Plato de alimentación"
−3
x 10
||
est
5
|| x12−x12
|| x7−x7est||
−3
x 10
0
50
100
Tiempo (min)
100
Tiempo (min)
150
Error de estimación − Plato 12 "Hervidor"
||ex12||
||ex7||
−5
0
50
5
0
−5
0
150
50
100
Tiempo (min)
Fig. 3.16 – Error de estimación sin perturbación (simulación No. 3.4).
101
150
POLITÓPICOS
La convergencia del error de estimación es asintótica en el tiempo y corresponde a lo planteado en el
procedimiento de diseño del observador, sin embargo se observa que al comienzo de la simulación la
magnitud del error de estimación es considerable debido a las condiciones iniciales que fueron declaradas para los estados del observador (z(t)).
Las gráficas de las estimación de los estados y los resultados de la evaluación del error obtenidos, permiten concluir que el observador PI-Adaptable LPV politópico que usa el modelo singular LPV politópico de la columna de destilación binaria, cumple satisfactoriamente con las tareas de estimación de
la dinámica de la planta y a su vez, responde adecuadamente a las variaciones de los parámetros del
sistema. En todas las etapas de la columna, las respuestas cualitativa y cuantativa de las estimaciones
dadas por el observador, fueron evaluadas cumpliendo con los balances de materia y de componente
que brinda el modelo.
De acuerdo con los resultados obtenidos, se muestra que los errores en la estimación empleando el
observador PI-Adaptable LPV politópico no superan el 5 %, por lo tanto es posible asumir que el observador PI-Adaptable LPV politópico es una herramienta útil para estimar las concentraciones del
componente ligero en la mezcla binaria de etanol-agua y cumple satisfactoriamente las especificaciones para su implementación en esquemas de detección y diagnóstico de fallas.
Simulación No. 3.5: Estimación de estados y entradas desconocidas utilizando el observador PIAdaptable LPV politópico con perturbaciones:
Para llevar a cabo esta simulación, se empleó el observador PI-Adaptable LPV politópico (3.127-3.128)
que usa el modelo singular LPV politópico propuesto para la columna de destilación (2.32). Cada uno
de los componentes de la mezcla presentan características físicas particulares que fueron previamente
relacionados en la Tabla 2.1 y de igual manera, las pruebas se efectuaron tomando en cuenta las condiciones en estado estable que se muestran en la Tabla 2.2 como condiciones iniciales de operación
(dichas tablas se presentaron en el Capítulo 2, Subsección 2.4.3).
El objetivo de la simulación consiste en implementar un observador PI-Adaptable LPV politópico que
usa el modelo propuesto para la columna de destilación reproduce adecuadamente la dinámica de la
planta, aún en presencia de perturbaciones y cambios en las entradas del sistema. El observador es
diseñado para obtener la estimación de las composiciones líquidas del componente ligero (xp ) para
una mezcla binaria (etanol-agua) y de la composiciones del flujo de alimentación (zF ).
La Tabla 3.3 muestra las señales de las entradas y las perturbaciones que se consideraron a lo largo
de esta simulación. De igual manera que en el caso anterior (simulación No. 2.1), la relación de reflujo
(ta/tc) corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de reflujo, la cual físicamente en la
planta es una válvula ON-OFF. Para poder determinar esta relación, se fijó la frecuencia de la señal en
0.11Hz (que corresponde a 9s) y se varió el ancho del pulso de la apertura y del cierre; de esta manera
se obtiene una curva que permite determinar la dinámica del flujo molar líquido de acuerdo a la varia102
POLITÓPICOS
ción de esta señal.
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Alimentación F
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Alimentación F
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Señal
0.285
0 ml/min
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
18 min
20 min
30 min
50 min
118 min
130 min
150 min
160 min
A continuación se presentan los resultados de la simulación No. 3.5. En primer lugar tenemos la Fig.
3.17 que muestra las señales de las entradas correspondientes que fueron aplicadas a la columna de
destilación. Aquí es posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso: la
potencia calefactora y el reflujo, así como el flujo de alimentación (considerado en este modelo como
una perturbación del sistema).
tapertura/tcierre
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Watts
1300
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
ml/min
40
Fv
20
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
De igual manera se supone que los parámetros dependientes de las entradas del sistema θ1 = L y
θ2 = V , varían de acuerdo a la trayectorias generadas por los respectivos actuadores de la planta piloto de destilación. Estas trayectorias se muestran en las Figs. 3.11-3.12. Las funciones de ponderación
103
POLITÓPICOS
que fueron calculadas a partir de la Ec. (3.126) se muestran en la Fig. 3.13 y de igual manera, se puede
apreciar que existe una respuesta de los modelos locales singulares LPV politópicos ante la variación
de los parámetros del sistema.
La Fig. 3.18 muestra el comportamiento de las composiciones estimadas a partir del modelo singular LPV politópico propuesto, en comparación con las estimadas a partir del modelo no lineal. En esta
figura se presentan las dinámicas de los platos 1 (el condensador), 3 (sección de rectificación), 7 (el
plato de alimentación) y 12 (el hervidor) ya que son consideradas las dinámicas más importantes de la
planta.
En la Fig. 3.18 se aprecia que los estados estimados (línea roja) por el observador PI-Adaptable LPV
politópico siguen el comportamiento de los estados proporcionados por el modelo no lineal (* azul),
aún en presencia de una perturbación que fue aplicada en intervalos de duración de 30 min en t=20
min y t=130 min. Así mismo se observa que la convergencia de las estimaciones corresponde a las
condiciones iniciales que fueron interpuestas a los estados del observador z(t) y a la dinámica lenta,
propia de la columna de destilación.
Estimación − Plato 1 "Condensador"
Estimación − Plato 3
0.9
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
1
0.9
0.8
x1est
x1 NoN
0.7
0
50
100
Tiempo (min)
0.85
0.8
0.75
0.65
0
150
Estimación − Plato 7 "Plato de alimentación"
50
100
Tiempo (min)
150
0.2
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
x3 NoN
Estimación − Plato 12 "Hervidor"
0.9
0.8
0.7
x7
0.6
est
x7 NoN
0.5
0
x3est
0.7
50
100
Tiempo (min)
150
x12est
x
12
0.15
NoN
0.1
0
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 3.18 – Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.5).
Para poder evaluar el desempeño del observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto, gráfica y
cuantitativamente (a través de la evaluación de la norma euclidiana del error), se compara su respuesta para los estados estimados contra la respuesta del modelo no lineal desarrollado y validado en
trabajos previos (Aguilera-González (2008); Téllez-Anguiano (2010)). Así mismo, se generan cambios
en las entradas para observar la variación de los parámetros, que a su vez, van a generar los cambios
104
POLITÓPICOS
en la participación de las funciones de ponderación al construir el modelo global del sistema.
El error del modelo propuesto se determina mediante la aplicación de la norma euclidiana del error
dada en la Ec. (2.41). A continuación se presenta en la Tabla 3.4 el valor porcentual del error de estimación de las composiciones por el observador PI-Adaptable LPV politópico propuesto con respecto a la
estimación de las concentraciones a partir del modelo no lineal conocido.
Tabla 3.4 – Error de estimación para el observador PI-Adaptable LPV politópico (simulación No. 3.5)
Etapa
Condensador
Plato 3
Hervidor
Error
0.0320
0.0453
0.0065
0.0022
En la Fig. 3.19 se muestra la convergencia asintótica en el tiempo del error entre las estimaciones dadas
por el observador PI-Adaptable LPV politópico y el modelo no lineal; se aprecia que los resultados
obtenidos para el error de estimación empleando el observador PI-Adaptable LPV politópico son
satisfactorios, de acuerdo a la magnitud de los mismos.
−4
x 10
−4
Error de estimación − Plato 1 "Condensador"
x 10
Error de estimación − Plato 3
||ex3||
||
0
|| x3−x3
0
est
||
5
est
5
|| x1−x1
||ex1||
−5
0
−5
0
50
100
150
Tiempo (min)
Error
de estimación − Plato 7 "Plato de alimentación"
−4
x 10
−5
0
−4
x 10
||
est
50
100
Tiempo (min)
150
Error de estimación − Plato 12 "Hervidor"
5
0
−5
0
150
100
Tiempo (min)
||ex12||
|| x12−x12
||
0
est
5
|| x7−x7
||ex7||
50
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 3.19 – Error de estimación con perturbación (simulación No. 3.5).
La convergencia del error de estimación es asintótica en el tiempo y corresponde a lo planteado en el
procedimiento de diseño del observador, aún cuando las perturbaciones afectan la dinámica del sistema, sin embargo, se observa que al comienzo de la simulación la magnitud del error de estimación es
105
POLITÓPICOS
considerable ésto se debe a las condiciones iniciales que fueron declaradas para los estados del observador (z(t)).
La Fig. 3.20 muestra la estimación de la concentración en el flujo de alimentación (zF est , línea punteada negra) que se considera como una entrada desconocida del sistema, en comparación con la
información brindada por el modelo no lineal (línea continua gris) para esta misma variable.
Las gráficas de las estimación de los estados y los resultados de la evaluación del error obtenidos,
permiten concluir que el observador PI-Adaptable LPV politópico cumple satisfactoriamente con las
tareas de estimación de la dinámica de la planta y de las entradas desconocidas y a su vez, responde
adecuadamente a las variaciones de los parámetros del sistema (las entradas). En todas las etapas de
la columna, las respuestas cualitativa y cuantativa de las estimaciones dadas por el observador son
evaluadas cumpliendo así con los balances de materia y de componente que brinda el modelo.
De acuerdo a los resultados obtenidos, se muestra que los errores en la estimación empleando el observador PI-Adaptable LPV politópico son menores al 5 %. De igual manera, el algoritmo adaptable del
observador propuesto permitió obtener una adecuada estimación de la concentración en el flujo de
alimentación, que se considera en este modelo como una perturbación del sistema.
Estimación de la entrada desconocida
zF
zFest
0.5
Fracción molar (%)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo(min)
120
140
160
180
Fig. 3.20 – Estimación de la entrada desconocida vía observador PI-Adaptable LPV politópico
(simulación No. 3.5).
Entonces, es posible asumir que el observador PI-Adaptable LPV politópico es una herramienta útil
para estimar las concentraciones del componente ligero en la mezcla binaria de etanol-agua. Así
mismo, cumple el propósito de producir una salida estimada que alcanza el estado actual del sistema
asintóticamente, mientras rechaza los errores en el modelado. En este diseño, las perturbaciones o
106
3.4. CONCLUSIONES
entradas desconocidas son bien estimadas y por lo tanto, el observador PI-Adaptable LPV politópico
cumple satisfactoriamente las especificaciones para su implementación en esquemas de detección y
diagnóstico de fallas.
3.4.
Conclusiones
En este capítulo se presentó la síntesis de observadores para una clase de sistemas singulares LPV politópicos en particular (Astorga et al. (2011); Hamdi et al. (2011)); bajo este enfoque se establecen las
características que poseen este tipo de observadores para llevar a cabo la tarea de estimación de los
estados y de las entradas desconocidas simultáneamente. Posteriormente, con base en la teoría del
observador adaptable para sistemas lineales presentado en Zhang et al. (2008), se presentó el diseño
de un nuevo observador PI-Adaptable para sistemas singulares lineales.
El observador propuesto aprovecha las ventajas de los observadores del tipo proporcional-integral tales como rapidez en la observación de los estados y la robustez en la estimación de los estados en
presencia de entradas desconocidas y además, cuenta con un algoritmo adaptable que estima las entradas desconocidas del sistema.
Se estableció y se probó los Teoremas 3.3 y 3.4 con el fin de demostrar la estabilidad y la convergencia
del observador PI-adaptable para sistemas singulares, este teorema se formuló en términos de LMI’s
con base en la teoría de Lyapunov.
El nuevo observador PI-adaptable propuesto fue posteriormente extendido al caso particular de los
sistemas singulares LPV politópicos y fue probado a través de simulaciones utilizando el modelo de
la columna de destilación presentado en el Capítulo 2 del presente trabajo de tesis. Para este tipo de
sistemas, el observador propuesto tiene la capacidad para estimar los estados y entradas desconocidas, incluso en presencia de cambios en los puntos de operación del sistema. Podría decirse que el
algoritmo adaptable mejora la rapidez de convergencia, mientras que aprovechando algunas de las
propiedades de los observadores PI, es posible estimar simultáneamente los estados y las entradas
desconocidas .
Esta condición se considera como una ventaja para implementar en línea, esquemas de diagnóstico
de fallas sobre los procesos, porque garantiza la detección y estimación de las fallas en un tiempo prudencial para evitar que causen averías graves a la planta o se conviertan en un riesgo para la integridad
de los operadores. El algoritmo adaptable propuesto puede lograr buenos resultados de la estimación
de fallas, incluyendo fallas constantes y fallas variables en el tiempo.
De acuerdo a los resultados satisfactorios obtenidos, se concluye que los observadores PI-Adaptables
LPV politópicos son una buena herramienta de solución al problema de estimación de estados y perturbaciones, cuando en los procesos reales desarrollar modelos matemáticos no lineales que describan
completamente la dinámica de los procesos puede ser una tarea bastante compleja, pero en cambio
107
3.4. CONCLUSIONES
algunos puntos de operación se conocen.
A continuación se desarrolla un esquema de diagnóstico de fallas en sensores de la columna de destilación binaria, dicho esquema se basa en observadores PI-Adaptables para sistemas singulares LPV
politópicos diseñados en este capítulo.
108
Capítulo 4
Diagnóstico de fallas en sistemas
singulares LPV politópicos
La detección y el aislamiento de fallas (FDI, por su sigla en inglés), es un tema de investigación que ha
cobrado gran importancia en la teoría y práctica de control moderno debido a la demanda existente
que los procesos a nivel industrial sean cada vez más seguros y confiables. Durante el proceso de FDI
se distinguen tres tareas esenciales: La primer tarea es la detección de la falla, que se presenta con una
señal de alerta que indica cuando una falla ha ocurrido en el sistema monitoreado. La segunda tarea
corresponde al aislamiento de la falla donde se determina su localización. La tercera y última tarea
es la identificación de la falla, esta última etapa corresponde a la estimación del tamaño, el tipo y la
naturaleza de la falla ocurrida. La integración de estas tareas es lo que se conoce en la literatura como
diagnóstico de fallas.
El objetivo de este capítulo en primer lugar, es presentar un sistema FDI para sensores en la columna
de destilación. Para llevar al cabo el diseño de este esquema en primer lugar se presenta una metodología para representar las fallas del sensor como fallas de pseudoactuador, esto se hace posible al
extender el orden del sistema con uno o mas estados auxiliares que representen la dinámica de la falla.
De esta manera, a través de un observador PI-Adaptable LPV politópico diseñado para la detección de
las fallas, es posible identificarlas (reconstruirlas).
Para la detección de las fallas, se obtienen residuos al comparar la salida del sistema del modelo no
lineal conocido, contra la salida estimada del observador PI-Adaptable LPV politópico, cuya característica especial es que el vector de error de estimación tiende asintóticamente a cero (como se definió
en el Capítulo 3 de este trabajo de tesis) sin ser afectado por las entradas desconocidas o perturbaciones del sistema.
Posteriormente, con el fin de realizar el aislamiento de las fallas en sensores se presenta la estructura de un banco de observadores PI-Adaptables LPV politópicos dedicados. Esta estructura tiene como
objetivo localizar fallas simultáneas, lo que lo convierte en una herramienta interesante de diagnóstico
109
4.1. DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN ACTUADORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS
para la columna de destilación. El esquema de FDI propuesto en esta tesis es implementado junto con
el modelo singular LPV politópico de la planta de destilación binaria del CENIDET, haciendo posible
el diagnóstico y localización de fallas hasta en seis sensores de manera simultánea, a partir del análisis
de las firmas de fallas generadas.
4.1.
Diagnóstico de fallas en actuadores para sistemas singulares
LPV politópicos
Para detectar, aislar e identificar las fallas, es decir, diagnosticar fallas en los actuadores se han presentado múltiples estrategias que han sido analizadas en las revisiones bibliográficas hechas por los
autores en Frank (1990); Alcorta y Frank (1997).
Algunos métodos para el diagnóstico de falla en actuadores asumen que la señal emitida por los sensores es confiable y adicionalmente, se encuentra libre de fallas (Linder et al. (1998); Gao y Ding (2007)),
esta consideración limita las opciones para presentar nuevas estrategias de diagnóstico y es poco realista; para poder hacer más flexible los autores en Zhang (2008) proponen una estrategia robusta para
diagnóstico de fallas en actuadores, donde la suposición se reduce a considerar que las distorsiones de
los sensores son estrictamente monótonas y aún así, siguen proporcionando información útil para el
diagnóstico.
Para los métodos de diagnóstico de forma simultánea en actuadores y sensores, normalmente se supone que existe la suficiente redundancia (física o analítica) en los sensores, de este manera pueden
proporcionar la información necesaria para el diagnóstico de las fallas. Sin embargo, para algunos de
los enfoques, es difícil considerar simultáneamente los efectos de las perturbaciones, la no linealidad
de la planta, los errores de modelado, las variaciones de los parámetros y otros factores de incertidumbre en el sistema.
En esta subsección, se diseña un observador PI-adaptable LPV politópico para detectar y estimar las
fallas del actuador. El algoritmo PI-Adaptable LPV politópico que se desarrolla logra buenos resultados
de la estimación de fallas, incluyendo tanto fallas constantes como fallas que varían en el tiempo, así
como también proporciona de manera simultánea, la estimación de las perturbaciones del sistema. La
principal contribución que se espera con este enfoque es el desarrollo de un algoritmo adaptable que
utiliza las mediciones del vector de salidas del sistema, para lograr la estimación rápida de la falla del
actuador y de las perturbaciones simultáneamente.
Se propone entonces la arquitectura de un esquema de diagnóstico de fallas de actuador que se muestra en la Fig. 4.1, donde se puede ver un observador PI-Adaptable LPV politópico en paralelo con la
planta real, el cual proporciona la estimación de los estados y cuyo error de estimación permite generar residuos que constituyen el bloque correspondiente a la detección de las fallas que se ubica dentro
del módulo de detección. Posteriormente un bloque de evaluación de residuos permite determinar
110
cuando una falla se ha producido y en donde. Finalmente, el bloque de estimación está compuesto
por un observador dedicado para cada actuador, encargado de la estimación de la dinámica de la falla.
Fig. 4.1 – Esquema de diagnóstico de fallas en actuadores.
Utilizando los resultados que se obtuvieron del diseño del observador PI-Adaptable LPV politópico en
el Capítulo 3, considérese la siguiente representación de un sistema singular LPV politópico:
E ẋ(t) =
Q
X
εi (θ(t)) Ai x(t) + Bi u(t) + B̄i fa (t) + Ri d(t)
i=1
(4.1)
%(t) = Cx(t)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp es el vector de entradas, d(t) ∈ Rq es el vector de
entradas desconocidas y %(t) ∈ Rm es el vector de salida. B̄i es una matriz que contiene el iesimo vector Bi , que corresponde al actuador donde se presenta la falla y fa (t) ∈ Rnf es el vector que contiene
información de la falla en el actuador. Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×p , B̄i ∈ Rn×q y C ∈ Rm×n son matrices
constantes lineales conocidas. i = 1, . . . , Q y Q es el número total de funciones de ponderación εi (θ(t))
que deben cumplir con la propiedad de suma convexa y además, los parámetros que determinan dichas funciones de ponderación, se consideran libres de falla o perturbación. :
Q
X
εi (θ(t)) = 1, 0 ≤ εi (θ(t)) ≤ 1
i=1
Para poder estimar las fallas el sistema (4.1) se reescribe como sigue:
111
(4.2)
E ẋ(t) =
Q
X
h
i
εi (θ(t)) Ai x(t) + Bi u(t) + R̄i f˜(t)
i=1
(4.3)
%(t) = Cx(t)
donde R̄i = [B̄i Ri ] y el vector f˜ contiene la dinámica del vector y de la entrada desconocida como
f˜ = [fa d]T . Entonces, considerando el sistema LPV politópico (4.3), el observador PI-Adaptable LPV
politópico para diagnóstico de fallas en actuadores está dado como:
ż(t)
=
Q
X
h
i
ˆ
εi (θ(t)) Ni z(t) + Gi u(t) + Li %(t) + Hi f˜(t) − Ki e% (t)
i=1
x̂(t)
(4.4)
= z(t) + M̃ %(t)
ˆ
donde x̂(t) ∈ Rn , z(t) ∈ Rn y f˜(t) ∈ Rp son el vector de estados estimados, el vector de estados
del observador y el vector de fallas estimadas, respectivamente. Ni , Gi , Li , Hi , M̃ , Ki son matrices
desconocidas de dimensiones adecuadas para el observador que deben calcularse en el proceso de
diseño. A continuación, el algoritmo de diagnóstico adaptable es:
ˆ˙
f˜(t)
=
Q
X
εi (θ(t))Γ[−Φi (ė% (t) + σe% (t))]
(4.5)
i=1
donde Φ ∈ Rq×m es una matriz adecuada que representa la ganancia integral del observador y
Γ ∈ Rq×q , con Γ = ΓT es la matriz de aprendizaje y σ es algún escalar positivo.
Un desarrollo completo para obtener los parámetros de diseño de este observador PI-Adaptable LPV
politópico se da en en Capítulo 3, Subsección 3.3.5 del presente trabajo de tesis y su prueba de estabilidad, se desarrolla como un procedimiento similar al descrito anteriormente en el Teorema 3.3 en la
Subsección 3.3.3 en el capítulo anterior.
4.1.1.
Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para detección de
fallas en actuadores
Si se considera un sistema singular LPV politópico de la forma (4.3), la falla fa (t) = β(t − tf )f (t) puede
modelarse como una señal aditiva, donde la función β(t − tf ) β(tf ) caracteriza el perfil de la falla que
ocurre en un tiempo desconocido tf , f (t) describe una función lineal que describe la falla y está dado
por:
(
β(t − tf ) =
0,
1−e
ς(t−tf )
,
t < tf
t ≥ tf
(4.6)
donde ς > 0 es un escalar que denota el valor de la tasa de evolución de la falla; entonces, pequeños
valores de ς caracterizan fallas con dinámicas lentas o también conocidas como fallas incipientes, en
112
el caso contrario, para valores grandes de ς, el perfil de la falla se aproxima a una señal escalón, la cual
modela fallas abruptas (Zhang et al. (2002)).
Las técnicas de diagnóstico de fallas basadas en modelos, diseñadas para sistemas singulares LPV politópicos extraen características del comportamiento del sistema a partir de las mediciones de la salida,
para generar señales que indican cuando una falla se presenta, estas señales son conocidas como residuos. Entonces, los residuos r(t) pueden ser utilizados como una señal de referencia para controlar
el sistema, adicionalmente, cuando se produce una falla en el actuador (basado en la estimación de la
falla) un sistema de control tolerante se puede activar para compensar el efecto (Frank y Ding (1997)).
En este trabajo de tesis, un generador de residuos con base en un observador PI-Adaptable LPV politópico, no sólo mantiene la importante característica de la detección temprana de las fallas, sino que
también ofrece sus estimaciones, tanto para fallas con constantes de tiempo lentas o rápidas.
Considerando el observador PI-Adaptable LPB politópico (4.4), los residuos están dados por:
r(t) = %̂(t) − %(t) = Cex
(4.7)
Es posible estimar una falla de actuador usando la Ec. (4.5). El residuo r(t), que representa el error
en la restricción, se forma a partir de la evaluación del sistema utilizando las mediciones disponibles,
de esta manera, la detección de fallas se basa en la generación de residuos nominales comparando
las mediciones de variables físicas %(t) del proceso, con su estimación %̂(t) que es provista por el
observador PI-Adaptable LPV politópico. Ahora, considerando que:
ke% (t)k = kCex (t)k ≤ λ sin f allas
ke% (tf )k = kCex (tf )k > λ cuando una f alla ocurre
(4.8)
donde λ es el umbral que determina una zona de tolerancia, donde la señal de error permanece sin
que se le considere una falla. Los límites de dicha zona están dados por:
λ̄(t) = max{r(t)}
(4.9)
λ(t) = min{r(t)}
(4.10)
Una falla detectable mínima se calcula a partir de la evaluación del valor dinámico del residuo nominal
(4.7) proporcionado por el observador PI-Adaptable LPV politópico y además, usando los límites el
umbral (4.9-4.10). En otras palabras:
r(t) ≤ λ̄(t) y r(t) ≥ λ(t)
(4.11)
Lamentablemente este esquema de FDI propuesto para los actuadores no es apto para implementarlo
en la columna de destilación, puesto que una de las condiciones para poder construir sistemas singulares LPV politópicos es que sus parámetros deben ser considerados libres de fallas.
113
4.2. DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN SENSORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS
En el modelo propuesto para la columna (dado en el Capítulo 2 del presente trabajo de tesis), los parámetros elegidos son las entradas y se supone que, a través de ellas, debe garantizarse la reconstrucción
adecuada de la dinámica de la planta; entonces, es claro que por este hecho, los actuadores no pueden
presentar fallas y a la vez, ser los parámetros que permitan representar bien el sistema. Por esta razón,
solamente la estrategia de FDI en sensores que se desarrolla a continuación, será implementada en la
columna de destilación.
4.2.
Diagnóstico de fallas en sensores para sistemas singulares LPV
politópicos
Las fallas en los sensores pueden verse como lecturas erróneas debidas a mal funcionamiento en los
componentes del sensor, lo que resulta en la pérdida de efectividad como resultado de una mala calibración o incluso cambios inesperados en las características dinámicas de los transductores. Algunos
problemas en la detección y el aislamiento (FDI) de las fallas de sensores que han atraído mayor atención en la última década son la reconstrucción y la compensación, simultaneidad y el efecto de las
perturbaciones en las entradas y el ruido que a la salida se presentan.
Para llevar a cabo la construcción de un esquema para diagnóstico de fallas se considera el siguiente sistema singular LPV politópico sujeto a fallas en sensores fs (t) y perturbaciones d(t):
E ẋ(t) =
Q
X
i=1
(4.12)
%(t) = Cx(t) + Jfs (t)
de perturbaciones y %(t) ∈ Rm es el vector de salidas. fs (t) ∈ Rnf representa el vector de fallas (con
nf ≤ m) y J representa la matriz de distribución de fallas. Considérese que la función fs (t) = β(tf )f (t)
caracteriza el perfil de la falla cuando esta ocurre en un tiempo desconocido tf . Más específicamente,
β(tf ) es una función como se describe en la Ec. (3.51).
En la Fig. 4.2 se muestra la arquitectura del sistema de diagnóstico de fallas propuesto para detectar y aislar los fallas de sensores en la columna de destilación.
En este esquema se aprecia que un observador PI-Adaptable LPV politópico se utiliza para generar
los residuos que junto a un bloque de evaluación residual permite detectar cuándo una falla se presenta y dado el caso, una alarma se activa. De la misma manera, la señal de falla, es decir, la alarma,
funciona como una señal de activación al banco de los observadores dedicados cuya tarea es la de localizar el sensor en el cual se ha producido la falla
114
Fig. 4.2 – Esquema de diagnóstico de fallas en sensores.
Cuando un sistema está afectado por fallas y probables perturbaciones desconocidas, un algoritmo
de detección eficaz debe ser capaz de distinguir entre las perturbaciones y las fallas. Bajo el enfoque
propuesto en el presente trabajo, las fallas en los sensores y las perturbaciones pueden ser estimadas
simultáneamente utilizando modelos singulares LPV politópicos. En el desarrollo de este trabajo de
tesis, para reconstruir la señal de la falla en el sensor se utiliza el enfoque propuesto por los autores
en Park et al. (1994), donde la falla es modelada como una falla de un pseudoactuador a través del
aumento del orden de los estados del sistema, con un nuevo estado auxiliar que representará la
dinámica de la falla. Esta metodología, en efecto, convierte una falla en el sensor en una falla en el
actuador; lo cual será expuesto en la siguiente sección.
4.2.1.
Diseño de un observador PI-Adaptable LPV politópico para detección de
fallas en sensores
Teniendo en cuenta el sistema singular LPV politópico con fallas de sensores descrito por (4.12), es
posible introducir un nuevo sistema de ecuaciones donde se describe ahora un nuevo estado auxiliar
que representa la dinámica de la falla del sensor de la siguiente manera:
˙
Ē x̄(t)
=
Q
X
¯
εi (θ(t)) Āi x̄(t) + B̄i ū(t) + R̄i d(t)
i=1
%(t)
= C̄ x̄(t)
115
(4.13)
"
donde x̄(t) ∈ R
n+nf
x(t)
#
es el nuevo vector de estado que está definido como x̄(t) =
, el vector de
fs (t)
h
i
h
i
entradas es ū = u ϕ , el vector de perturbaciones d¯ = d 0 y el conjunto de matrices queda
de la siguiente manera:
"
Ē =
E
0
0
1
#
; C̄ =
h
C
J
i
"
; Āi =
Ai
0
0
α
#
"
; B̄i =
Bi
0
0
1
#
"
; R̄i =
Ri
#
0
donde 0 en cada caso, representa una matriz cero de dimensiones apropiadas. La entrada para el sensor se define como: ϕ = f˙s − αfs . El término α se considera como un grado de libertad adicional en el
diseño del observador, mientras que la falla puede ser modelada por un sistema lineal de orden arbitrario, pero este hecho depende de las características de la falla (Park et al. (1994)).
Para poder llevar a cabo este procedimiento de modelado, debe cumplirse una condición necesaria
y suficiente para la detectabilidad de la falla. En este caso, la condición está dada por los pares (Āi , C̄)
que deben ser observables, lo cual puede asegurarse sí y solo sí los pares (Ai , C) del sistema original
descrito en la Ec. (4.12) son observables.
De acuerdo a la nueva representación extendida del sistema dada en la Ec. (4.13), las ecuaciones del
observador PI-Adaptable LPV politópico para detectar fallas en sensores, son:
˙
z̄(t)
=
Q
X
h
i
ˆ¯ − K̄ e (t)
εi (θ(t)) N̄i z̄(t) + Ḡi ū(t) + L̄i %(t) + H̄i d(t)
i %
i=1
ˆ(t) =
x̄
%̄ˆ(t) =
(4.14)
z̄(t) + M̃ %(t)
ˆ(t)
C̄ x̄
ˆ
¯ ∈ Rp+nf y %̄ˆ(t) son el vector de estados estimados, el vector de
ˆ(t) ∈ Rn+nf , z̄ˆ(t) ∈ Rn+nf , d(t)
donde x̄
estados del observador, el vector de entradas desconocidas estimadas y el vector de salidas estimadas,
respectivamente. N̄i , Ḡi , L̄i , H̄i , M̃ son matrices conocidas para el observador que deben ser calculadas en el procedimiento de diseño del observador.
En este caso, el algoritmo adaptable que permite estimar las entradas desconocidas del sistema es:
ˆ
¯˙
d(t)
=
Q
X
εi (θ(t))Γ̄[−Φ̄i (ė% (t) − σe% (t))]
(4.15)
i=1
donde Φ̄ ∈ Rp×q es una matriz adecuada que representa la ganancia integral del observador.
El diseño completo del observador PI-adaptable LPV politópico que se lleva a cabo en esta sección, sigue el mismo procedimiento que se estableció en el Capítulo 3 para el nuevo observador PI-Adaptable
116
LPV politópico propuesto. Para el caso cuando se presentan fallas de sensor, éstas son vistas como
fallas de pseudoactuador. El diseño para obtener los parámetros del observador se presenta a continuación:
De acuerdo a las ecuaciones que definen el sistema singular LPV politópico extendido (4.13) y el observador PI-Adaptable LPV politópico (4.14-4.15), el error de estimación se define como:
ˆ(t) − x̄(t)
ex̄ (t) = x̄
(4.16)
e% (t) = %̂(t) − %(t) = C̄ex̄
(4.17)
El residuo está dado por:
El error de estimación de las entradas desconocidas es:
ˆ¯ − d(t)
¯
ed¯(t) = d(t)
(4.18)
Debe considerarse que la nueva matriz compuesta [Ē C̄]T debe ser de rango completo, entonces, será
˜ , de tal manera que:
posible calcular las matrices Ū y M̄
h
Ū
M̃
i
"
=
Ē
#+
C̄
(4.19)
donde el superíndice + representa la matriz inversa generalizada (o matriz pseudoinversa ). Siguiendo
el procedimiento, el error de estimación puede ser reescrito por la siguiente expresión:
ex̄ (t) = z(t) − Ū Ē x̄(t)
(4.20)
de tal manera que:
˙
e˙x̄(t) = ż(t) − Ū Ē x̄(t)
Q
h
X
ˆ¯ − K̄ e (t) − Ū (Ā x(t) + ...
ė(t) =
εi (θ(t)) N̄i z(t) + Ḡi u(t) + L̄i %(t) + H̄i d(t)
i %
i
i=1
¯
B̄i ū(t) + R̄i d(t))
ė(t) =
Q
X
(4.21)
¯ + ...
εi (θ(t)) (L̄i C̄ + N̄i Ū Ē − Ū Āi )x(t) + (Ḡi − Ū B̄i )ū(t) + (H̄i − Ū R̄i )d(t)
i=1
H̄i ed¯(t) + (N̄i − K̄i C̄)ex̄ (t)
117
a partir de la cual, las siguientes condiciones pueden definirse:
Ū Ā − N̄i Ū Ē − L̄i C̄ = 0
(4.22)
Ḡi = Ū B̄i
(4.23)
H̄i = Ū R̄i
(4.24)
In+nf = Ū Ē + M̃ C̄
(4.25)
A partir de la Ec. (4.21) y haciendo uso de las Ecs. (4.22-4.25), la dinámica del error de los estados estimados es:
ė(t) =
Q
X
(4.26)
εi (θ(t))[(N̄i − K̄i C̄)ex̄ (t) + H̄i ed¯(t)]
i=1
Ahora, desde la Ec. (4.18) la dinámica de estimación de la entrada desconocida es:
ˆ˙ − d(t)
˙
ėd (t) = d(t)
Q
X
¯˙
ėd (t) =
εi (θ(t)) −Γ̄Φ̄i C̄((N̄i − K̄ C̄ − σ)ex̄ (t) + H̄i ed¯(t)) − d(t)
(4.27)
i=1
A partir de (4.26) y (4.27), se establece la siguiente función:
"
ėx̄ (t)
ėd¯(t)
#
=
Q
X
i=1
"
εi (θ(t))
N̄i − K̄i C̄
−Γ̄Φ̄i C̄(N̄i − K̄i C̄)
H̄i
#"
− Γ̄Φ̄i C̄ H̄i
ex̄ (t)
ed¯(t)
#
"
+
0
#
1
¯˙
d(t)
(4.28)
Entonces, este observador es asintóticamente estable si existe una matriz simétrica definida positiva
P y matrices Wi = P K̄i tales que las siguientes LMI’s se cumplan:
"
(N̄iT P + P N̄i − C̄ T WiT − Wi C̄)
(− σ1 (N̄iT P H̄i − C̄ T WiT H̄i ))T
− σ1 (N̄iT P H̄i − C̄ T WiT H̄)
− 2 σ1 H̄iT P H̄i +
1
σµ J
#
<0
(4.29)
con la siguiente condición de optimización:
H̄iT P = Φ̄i C̄
(4.30)
De acuerdo a lo planteado en la prueba del Teorema 3.3 en la Sección 3.3.3 de este trabajo, puede
demostrarse que la condición dada por la Ec. (4.30) se mantiene si es posible encontrar una solución
al problema de minimización de η sujeto a las siguientes desigualdades:
(N̄iT P + P N̄i − C̄ T WiT − Wi C̄) + 2σP < 0
118
(4.31)
"
ηI H̄iT P − Φ̄i C̄
(H̄iT P − Φ̄i C̄)T ηI
#
≥0
(4.32)
ˆ¯ convergerá a d(t).
¯
ˆ(t) deberá converger asintóticamente a x̄(t) mientras que d(t)
En consecuencia x̄
La prueba de estabilidad se desarrolla como un procedimiento similar al descrito anteriormente en
el Teorema 3.3 en la Sección 3.3.3. Ahora, el diseño de un banco de observadores basados en el diseño del observador PI-adaptable para un sistema singular LPV politópico extendido, se desarrolla en la
siguiente sección.
4.2.2.
Localización y estimación de las fallas en sensores usando observadores PIAdaptables LPV politópicos
Con el propósito de realizar el aislamiento de las fallas se construye un banco de observadores como
un esquema de observadores PI-Adaptables LPV politópicos dedicados modificado, con base en el
esquema de observadores dedicados (DOS, por su sigla en inglés) como se muestra en la Fig. 4.3. Este
esquema permite aislar fallas simultáneas en los sensores del sistema y determinar su localización
mediante un procedimiento de análisis de firmas de fallas (Clark (1979); Alcorta y Frank (1996)).
Fig. 4.3 – Banco de observadores bajo el esquema DOS.
El esquema original DOS utiliza m observadores (m es el orden del vector de salidas %(t) del sistema
singular LPV politópicos 4.12), uno para cada salida. Cada observador utiliza las entradas del sistema
119
u y una de las salidas del vector %(t) para generar la estimación de todos los n estados del sistema; la
modificación del esquema DOS que se presenta en este trabajo de tesis, consiste en que cada observador utiliza las dos entradas del sistema u1 y u2 junto con dos salidas, la primera corresponde a la salida
del sensor al cual se le va a detectar la falla y la segunda salida es la que corresponde al hervidor %12 (t)
(que debe ser común en todos los observadores del banco).
Es necesario que la temperatura de este sea una entrada común para todos los observadores ya que
en este plato se encuentra la mayor parte de la dinámica del sistema; en el hervidor se ubica la potencia calefactora que brinda el calor necesario para llevar la mezcla a la evaporación y además, contiene
la mayor parte de la mezcla a destilar (mayor cantidad de masa retenida). De esta manera es posible
generar n variables redundantes de los estados, lo que proporciona una manera conveniente para la
detección de fallas potenciales en los sensores (ver Fig. 4.3): la comparación de los estados estimados
por cada observador revela qué sensor puede haber fallado, ya que el estado estimado por el observador que tiene como entrada la señal correspondiente del sensor con falla, será diferente a los demás
(Clark (1979)).
El banco DOS es muy útil en las tareas de diagnóstico de los procesos, ya que cumple con dos criterios importantes para ser una buena herramienta de diagnóstico de fallas: la detección y el aislamiento.
Los resultados reportados en la literatura (Sauter et al. (1994); Zhang et al. (2002); Lunze y Schroder
(2004)) muestran que el banco de los observadores es muy eficaz para localizar fallas bajo diferentes
condiciones de operación del sistema. En este esquema, el vector de residuos debe ser evaluado a través de una prueba de umbral que brinda señales binarias que generan alarmas indicando que uno o
más sensores tienen falla; una de las ventajas de este sistema para localizar las fallas en los sensores, es
que pequeñas perturbaciones en el sistema no dan lugar a diferencias significativas en las estimaciones de los estados.
Es evidente que para comparar dos o más observadores diferentes del banco DOS es suficiente para
identificar que la estimación de un estado es "diferente" de los demás, a fin de determinar qué sensor,
en su caso, presenta la falla. Este esquema de observación dedicado es capaz de indicar qué sensor
está defectuoso, lo que representa una herramienta eficaz en el proceso para la toma de decisiones por
parte del operador.
Para establecer el banco de observadores DOS en el caso particular de la columna de destilación, se
organiza el número asignado a cada observador de acuerdo al sensor de temperatura correspondiente
al plato donde se encuentra ubicado en la planta y en referencia a la etiqueta del sensor (ver el diagrama
de instrumentación de la columna de destilación en el Apéndice A). Esta relación se muestra en la Tabla
4.1.
120
Tabla 4.1 – Correspondencia observador-sensor
Observador
Observador 1 - O1
Observador 2 - O2
Observador 3 - O3
Observador 4 - O4
Observador 5 - O5
Observador 6 - O6
Observador 7 - O7
Observador 8 - O8
4.2.2.1.
Plato
Condensador
Plato 2
Plato 4
Plato 6
Plato de alim.
Plato 9
Plato 11
Hervidor
Sensor
TI9 - s1
TI8 - s2
TI7 - s3
TI6 - s4
TI5 - s5
TI4 - s6
TI3 - s7
TI2 - s8
Generación y evaluación de residuos
La generación residual se basa en la comparación del valor de la composición molar estimada por el
observador que utiliza el sensor si (con i = 1, ..., 8 como el número total de sensores) como entrada del
observador PI-Adaptable LPV politópico Oi , con el valor de la composición molar estimada para ese
mismo plato, (de acuerdo a la Tabla 4.1) que es estimada por el resto de observadores del banco, esto
es (Téllez-Anguiano (2010)):
rO,k = x̂O − x̂k
(4.33)
donde O = 1, 2, ..., 8 es el observador diseñado para un sensor específico (como puede ser visto en la
Fig. 4.3 y en la Tabla 4.1) y k = {1, 2, ..., 8}\{O} es el número del observador con el cual es comparado,
de esta forma es posible determinar:
(
rO,k =
0,
si x̂O = x̂k
1,
en otro caso
(4.34)
El residuo generado rO,k es una diferencia de la magnitud real entre las dos composiciones molares, es
decir, como cada observador tiene una composición molar de entrada (referencia) correspondiente a
cada sensor, si en el sensor de referencia hubiese una falla, los demás observadores harán evidente esta
diferencia a través de los residuos. A continuación, cada una de las 8 composiciones molares estimadas
por los observadores en el plato de referencia, se comparan con las 7 composiciones molares que se
estiman para esta misma etapa por los observadores restantes, esta combinación genera 56 residuos
que deben ser analizados (ver Tabla 4.2).
La Tabla 4.2 muestra la matriz de los residuos generados a partir del banco de observadores y la cantidad de sensores disponibles en la planta; posteriormente, estos residuos deben ser evaluados utilizando las matrices de firmas de fallas. La señal que indica la presencia de una falla, se llama síntoma y se
genera de acuerdo a la comparación de dos residuos evaluados de forma simultánea, esta operación
reduce el número de residuos a 28 únicamente (Téllez-Anguiano (2010)).
121
Tabla 4.2 – Residuos generados
Observer
Sensor s1
Sensor s2
Sensor s3
Sensor s4
Sensor s5
Sensor s6
Sensor s7
Sensor s8
O1
r1,1
r1,2
r1,3
r1,4
r1,5
r1,6
r1,7
r1,8
O2
r2,1
r2,2
r2,3
r2,4
r2,5
r2,6
r2,7
r2,8
O3
r3,1
r3,2
r3,3
r3,4
r3,5
r3,6
r3,7
r3,8
O4
r4,1
r4,2
r4,3
r4,4
r4,5
r4,6
r4,7
r4,8
O5
r5,1
r5,2
r5,3
r5,4
r5,5
r5,6
r5,7
r5,8
O6
r6,1
r6,2
r6,3
r6,4
r6,5
r6,6
r6,7
r6,8
O7
r7,1
r7,2
r7,3
r7,4
r7,5
r7,6
r7,7
r7,8
O8
r8,1
r8,2
r8,3
r8,4
r8,5
r8,6
r8,7
r8,8
Estos síntomas son evaluados a partir de la siguiente relación:
(
SO,ζ =
1,
si |rO,k | > λ k |rk,O | > λ
0,
(4.35)
en otro caso
donde SO,ζ es el síntoma generado, λ es el umbral que se fija para la detección, O = 1, 2, ..., 7 es el
número del observador como señal de medición y ζ = {(O + 1)..., 8} es el número del observador con
el cual es comparado, como se muestra en la Fig. 4.4.
Fig. 4.4 – Generación de síntomas.
Residuo y síntoma generado
r
(1,1)
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
Síntoma
1
0.5
0
0
Fig. 4.5 – Síntoma generado por el residuo.
122
La Fig. 4.5 muestra el comportamiento binario para el síntoma residual cuando una falla ocurre. Se
aprecia claramente, que los síntomas cambian de 0 a 1 cuando el valor del residuo supera el valor del
umbral. La matriz de la firmas de fallas que se genera para detectar una sola falla se muestra en la Tabla
4.3.
Tabla 4.3 – Matriz de firma de fallas para una sola falla
Síntomas →
Sensor 1
Sensor 2
Sensor 3
Sensor 4
Sensor 5
Sensor 6
Sensor 7
Sensor 8
1-2
1
1
0
0
0
0
0
0
1-3
1
0
1
0
0
0
0
0
1-4
1
0
0
1
0
0
0
0
1-5
1
0
0
0
1
0
0
0
1-6
1
0
0
0
0
1
0
0
1-7
1
0
0
0
0
0
1
0
1-8
1
0
0
0
0
0
0
1
2-3
0
1
1
0
0
0
0
0
2-4
0
1
0
1
0
0
0
0
2-5
0
1
0
0
1
0
0
0
2-6
0
1
0
0
0
1
0
0
2-7
0
1
0
0
0
0
1
0
2-8
0
1
0
0
0
0
0
1
3-4
0
0
1
1
0
0
0
0
Síntomas →
Sensor 1
Sensor 2
Sensor 3
Sensor 4
Sensor 5
Sensor 6
Sensor 7
Sensor 8
3-5
0
0
1
0
1
0
0
0
3-6
0
0
1
0
0
1
0
0
3-7
0
0
1
0
0
0
1
0
3-8
0
0
1
0
0
0
0
1
4-5
0
0
0
1
1
0
0
0
4-6
0
0
0
1
0
1
0
0
4-7
0
0
0
1
0
0
1
0
4-8
0
0
0
1
0
0
0
1
5-6
0
0
0
0
1
1
0
0
5-7
0
0
0
0
1
0
1
0
5-8
0
0
0
0
1
0
0
1
6-7
0
0
0
0
0
1
1
0
6-8
0
0
0
0
0
1
0
1
7-8
0
0
0
0
0
0
1
1
4.2.3.
Prueba del esquema FDI para fallas en sensores en la CDB
Los sensores de la columna de destilación binaria están comprendidos dentro de un sistema de lectura de temperatura que se compone de 12 termoresistencias (RTD, por su sigla en inglés) Pt-100 que se
utilizan como sensores de temperatura (ver Fig. 4.6(a)), junto con sus respectivos indicadores digitales
(ver Fig. 4.6(b)).
Las siguientes son las características físicas de las sondas RTD Pt-100:
El color del aislamiento del cable: + es blanco y - es de color rojo.
Material del cable: + es de hierro y - constantan (aleación de cobre-níquel).
Rango de temperatura: 0o C − 750o C.
Las tolerancias que se calculan a partir de las normas establecidas por la Sociedad Americana para
Pruebas y Materiales (ASTM, por su sigla en inglés) y de acuerdo a las especificaciones dadas por
123
el fabricante para un RTD-Pt-100 (ver Fig. 4.6(a)) son: el límite de error máximo es de ±0.4 % con
su equivalente en temperatura de ±2.2o C para lecturas por encima de 0o C y del ±2 % para lecturas
inferiores a 0o C. Las fallas más comunes que se presentan en los RTD’s son: cuando existe una avería
física del sensor, es decir, que no hay ninguna señal de medición que llegue al indicador; difícilmente
un sensor de este tipo podría presentar una pérdida gradual de su capacidad de medición, por lo que
esta condición no se contempla en este trabajo.
Fig. 4.6 – Sistema de medición de temperatura de la columna de destilación.
Las siguientes son las características físicas de los indicadores digitales:
Los indicadores digitales de temperatura (ver Fig. 4.6(b)) reciben las señal de temperatura presente
en el cuerpo de la columna, a través de las sondas RTD Pt-100. Estos indicadores electrónicos tienen
un rango de medición de 0 − 200o C con exactitud de ± 0,5 % para una señal de control de 4-20 mA.
Este tipo de señal tiene dos ventajas importantes: en primer lugar, la transferencia de datos es indefinida y en segundo lugar, el indicador digital, gracias a su valor límite por debajo de los 4 mA, es capaz
de identificar y mostrar cuando está presenta la ruptura de cable que transmite los datos de la sonda.
La falla más común en este componente es la mala calibración, es decir, las mediciones de entrega se
encuentran por encima o por debajo de la medición real dada por la sonda RTD Pt-100. Estas son las
fallas que van a ser consideradas en el esquema de FDI en sensores para la columna de destilación.
Para el caso de la columna de destilación, la temperatura máxima que se puede alcanzar en el proceso de destilación de la mezcla de etanol-agua es 95.1o C, que corresponde a la temperatura de ebullición del agua en la ciudad de Cuernavaca1 ; estos datos se toman de acuerdo al diagrama de equilibrio
líquido-vapor para la mezcla considerada.
En la Fig. 4.7 se muestra el diagrama de equilibrio líquido-vapor, donde en azul se observa la dinámica de la concentración del flujo de vapor de la mezcla etanol con respecto a la temperatura y en
rojo la dinámica de la concentración del flujo de líquido. Es posible apreciar que a mayor temperatura
es menor la concentración del etanol en ambos flujos, así como también es posible apreciar el punto
azeotrópico de la mezcla que se ubica en 0.86.
1 La presión total considerada en este trabajo es la presión atmosférica registrada en la ciudad de Cuernavaca.
124
Temperatura vs composición a presión=637.4 mmHg
96
Líquido (xp)
94
Vapor (yp)
92
Temperatura (°C)
90
88
86
84
82
80
78
76
74
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Composición molar x,y
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 4.7 – Diagrama líquido vapor.
Así que para el proceso de diagnóstico de fallas en los sensores en este caso, se considera un rango de
temperatura de 0−100o C; entonces, de acuerdo a las especificaciones del fabricante para los indicadores digitales, los umbrales se establecen de acuerdo al límite de precisión de ± 0,5 % que corresponde
a 0.5o C en el intervalo definido.
De acuerdo con la Fig. 4.8, es posible determinar la variación mínima de la composición molar que
corresponde a 0.5o C en la región de operación, donde se presentan temperaturas altas (77 − 77.5o C).
Esta diferencia equivale a 0,045 de la fracción molar, mientras que la región de operación donde se
presentan temperaturas bajas (74 − 74.5o C) esta diferencia equivale a 0,123 de la fracción molar.
Temperatura vs composición a presión=637.4 mmHg
78
Líquido (xp)
X: 0.256
Y: 77.5
Vapor (yp)
77.5
X: 0.301
Y: 77
Temperatura (°C)
77
76.5
76
75.5
75
X: 0.648
Y: 74.5
74.5
X: 0.771
Y: 74
74
73.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Composición molar x,y
0.7
0.8
Fig. 4.8 – Cambios en la composición molar con respecto a la temperatura.
125
0.9
Por conveniencia para detectar fallas en todos los sensores (tomando en cuenta un mayor rango de
operación) el valor que marca la diferencia de temperatura superior a 0.5o C, que se utiliza para fijar los
umbrales para detectar las fallas de los sensores de temperatura en la columna de destilación binaria
es el más bajo, que es 0.045 fracción molar.
Aquí es importante observar que a temperaturas bajas, una diferencia pequeña en la medición (±0.1o C)
ocasiona un error considerable en la medición de la composición (±0.05 fracción molar), este hecho
resalta la importancia de detectar fallas con respecto a las estimaciones de la composición y no solamente respecto a la temperatura.
4.2.3.1.
Configuración general de las simulaciones para la detección y estimación de fallas en
sensores
Teniendo en cuenta lo descrito en la sección anterior, es posible utilizar un observador PI-Adaptable
LPV politópico (4.14) para determinar cuándo una falla se presenta en alguno de los sensores de la
columna y a su vez, es capaz de estimar el comportamiento dinámico de la falla un estado adicional,
que se representa con el sistema aumentado (4.13). Para detectar cuándo una falla de sensores en la
columna de destilación se produce, es necesario establecer los umbrales para evaluar los residuos de
acuerdo a las características físicas de los sensores.
En la configuración de las simulaciones para probar el esquema de diagnóstico de fallas en sensores,
se tomó en cuenta la mezcla binaria de etanol (EOH) y agua (H2 O), que se considera como una mezcla
no ideal. Cada uno de los componentes de la mezcla presentan características físicas particulares que
se relacionan en la Tabla 2.1 (que se encuentra en el Capítulo 2, Subsección 2.4.3 del presente trabajo
de tesis) y cuyos datos se encuentran en Perry (1999).
Se consideró así mismo, una mezcla de 2000 ml de etanol, 2000 ml de agua y una presión total en
el proceso de 105.86 kPa; el tiempo total fue de 180 minutos a partir de que se alcanza el estado estable
y el tiempo de muestreo seleccionado fue 3s. Para el desarrollo de la simulación, se tomaron en cuenta
las condiciones en estado estable que se muestran en la Tabla 2.2 (en el Capítulo 2, Subsección 2.4.3)
como condiciones iniciales de operación en el modelo no lineal.
Simulación No. 4.1: Estimación de estados utilizando el observador PI-Adaptable LPV politópico para
detectar fallas (caso sin perturbaciones):
El objetivo de esta simulación es probar el desempeño del observador PI-Adaptable LPVpolitópico
(4.14) propuesto para detectar y estimar fallas en los sensores de la columna de destilación, considerando el modelo aumentado del sistema (4.13).
La Tabla 4.4 muestra las señales de entrada que se consideraron a lo largo de la simulación; en esta
simulación no fueron consideradas las perturbaciones, es decir, no se aplicó flujo de alimentación al
126
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Reflujo (ta/tc)
Qb
Reflujo (ta/tc)
Señal
0.285
0 ml/min
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
25 min
30 min
105 min
150 min
proceso. La relación de reflujo (ta/tc) corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de
reflujo, la cual físicamente en la planta, es una válvula ON-OFF de tres vías.
tapertura/tcierre
Entrada u : Relación tiempo de apertura del reflujo (ta/tc)
1
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Watts
1300
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
ml/min
1
Fv
0
−1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
En primer lugar, en la Fig. 4.9 se muestra las señales de las entradas que fueron aplicadas al sistema.
Aquí es posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso: el reflujo y la potencia calefactora, así como el flujo de alimentación que permanece en cero (considérese esta entrada
como una perturbación del sistema).
En la columna de destilación los 8 sensores de temperatura de interés para el presente trabajo de tesis, se ubican como sigue: uno en el condensador (x1 ), uno en el plato de alimentación (x7 ), uno en el
hervidor (x12 ) y los demás están distribuidos en los platos 2, 4, 6, 9 y 11. Ahora con fines de probar el esquema FDI propuesto, se genera una falla de −0.5o C en el primer sensor de la columna de destilación
que corresponde a la medición de la temperatura en el condensador (x1 ).
127
En la Fig. 4.10 se muestra la estimación de los estados del sistema afectado por una falla que representa la mala calibración del indicador y además, considerando la presencia de ruido en las mediciones
(ruido gaussiano).
La Fig. 4.10 muestra la estimación de todos los estados (composiciones molares) vía un observador
PI-Adaptable LPV politópico; así mismo, cuando una falla se presenta en el primer sensor, en el momento tf = 100 min., es posible ver cómo las estimaciones de los estados se ven afectadas, es decir,
existe una diferencia significativa entre el modelo no lineal de la planta (en azul) y sus estimaciones
(en rojo). Este hecho permite generar los residuos que al ser evaluados servirán para que a través de
las matrices de firmas de fallas, puedan ser localizadas las fallas.
0.9
0.8 x1
0.7
0
0.9
x1est
50
100
Tiempo (min)
0.9
0.8 x
2
0.7
0
150
x2est
50
100
Tiempo (min)
x3est
0.8 x3
150
0
50
100
Tiempo (min)
150
0
50
100
Tiempo (min)
150
0.8
x7est
0.7 x7
0
50
100
Tiempo (min)
150
0.8
x5est
x5
0.7
0
50
100
Tiempo (min)
150
0.8
x
0.6 x8
0
8est
50
100
Tiempo (min)
150
0.5
0.5
x
x10est
10
0
0
50
100
Tiempo (min)
150
x
x11est
11
0
0
50
100
Tiempo (min)
150
Fracción molar (%)
x4est
0.8 x
4
Fracción molar (%)
Fracción molar (%)
0.9
0.8
x
x6
0.7
0
6est
50
100
Tiempo (min)
150
0.8
0.6 x
9
0.4
0
x9est
50
100
Tiempo (min)
0.1
0.05 x
12
0
0
150
x12est
50
100
Tiempo (min)
150
Fig. 4.10 – Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico, en presencia de una falla en
sensor.
En esta figura se puede observar que los estados x1 , x2 , x3 , x10 y x12 , son los más afectados por la falla
del sensor s1 , por lo que la falla puede ser detectada pero no localizada, es decir, en este momento no
es posible identificar cuál sensor está defectuoso por lo que en la subsección siguiente, un banco de
observadores dedicados se utiliza para este fin.
128
Estimación de la falla en el sensor
0.5
Fs
Fs
0.4
est
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo(min)
Fig. 4.11 – Estimación de la falla en el sensor vía observador PI-Adaptable LPV politópico.
Ahora, en la Fig. 4.11 la señal de la falla del sensor y su estimación se muestran; mediante la
representación del sistema singular politópico extendido (4.13) la estimación de la falla del sensor es
posible, ya que la dinámica de la falla es representada como un estado auxiliar que puede ser estimado
por el observador PI-Adaptable LPV politópico extendido (4.14-4.15). Sin embargo, es posible apreciar
un error en la estimación de la falla, esto se debe al hecho que precisamente su dinámica se ajusta al
ser modelada como un estado adicional; este efecto hace que su dinámica, que es desconocida para el
observador, el cual debe aproximarse a ella a través de la dinámica de los estados. Así de esta manera,
la estimación que se obtiene para la falla permite apreciar su comportamiento y conocer su magnitud,
es decir, nos permite conocer la magnitud de la mala calibración del indicador digital.
4.2.3.2.
Caso 1: detección y aislamiento de fallas en sensores sin perturbaciones
A continuación se presentan los resultados correspondientes a la localización de una y más fallas en
los sensores de la columna de destilación. En este proceso se utiliza un banco de observadores PIAdaptables LPV politópicos bajo el esquema DOS modificado.
Simulación No. 4.2 Localización de una falla vía banco de observadores PI-Adaptables politópicos (caso
sin perturbaciones):
El objetivo de esta simulación es localizar una falla que se presenta en alguno de los sensores de la columna de destilación. El proceso de aislamiento de dicha falla se hace a través de un banco de observadores PI-Adaptables LPV politópicos descritos por (4.14), propuestos para detectar y estimar fallas
en los sensores de la columna de destilación.
Las entradas del sistema que se aplicaron para esta simulación se mostraron en la Fig. 4.9; aquí es
129
una perturbación del sistema). Así mismo, el modelo singular LPV politópico que guía a los observadores es descrito a través de las funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (3.126) .
En la Fig. 4.10, se observó que una falla en algún sensor se presentó en en tiempo tf = 100 min, sin
perturbaciones que afectan al sistema, aquí sólo es posible ver que varios estados se ven afectados por
la falla, entonces no es posible determinar qué sensor está defectuoso, como se mencionó en la sección anterior.
Ahora, en la Fig. 4.12 se muestran los residuos generados por el observador O1 , este observador utiliza todas las entradas del sistema u = [L V ] y la salidas %1 = x1 y %12 = x12 correspondientes al
sensor en el condensador (s1 ) y al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos mediciones,
el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 es capaz de estimar todos los estados del sistema.
Los umbrales se establecen de acuerdo a la información acerca de la precisión de los indicadores señalados por el fabricante, que es de ±0,5 % y que corresponde a 0.045 fracción molar. En consecuencia,
se aprecia que para este observador varios de los residuos se ven afectados por esta falla.
Residuos generados por el observador O1
0.1
r(1,2)
r(1,1)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
−0.1
0
150
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
0
−0.1
0
150
0.1
r(1,6)
0.1
r(1,5)
50
0.1
r(1,4)
r(1,3)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
0.1
r(1,8)
0.1
r(1,7)
0
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
Fig. 4.12 – Residuos generados por el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 .
Para llevar a cabo el aislamiento de una sola falla, utilizamos los síntomas obtenidos con el esquema
descrito en la Fig. 4.4 y la Ec. (4.35), para este caso se presenta primero la comparación entre los ob130
servadores O1 y O2 , es decir, el observador O1 nos brinda la señal que debe ser diagnosticada y el otro
observador, ahora llamado k2 brinda la señal utilizada para realizar la comparación (ver los residuos
de O2 en la Fig. 4.13) y posterior aislamiento de la falla. El observador O2 utiliza todas las entradas del
sistema u = [L V ] y la salidas %2 = x2 y %12 = x12 correspondientes al sensor del plato 2 (s2 ) y al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos mediciones, este observador es capaz de estimar
todos los estados del sistema.
Con estos dos observadores se generan los residuos r1,2 y r2,1 (ver Tabla 4.2) y de acuerdo a la matriz de firmas para una sola falla descrita en la Tabla 4.3, para esta señal el síntoma que se activa es
S1,2 = 1 por lo que una falla en el sensor s1 podría ser declarada, sin embargo, como las mediciones
del observador O1 no son confiables ya que varios residuos superan el umbral, es necesario realizar la
comparación con otro de los observadores del banco.
Ahora bien, del mismo modo los observadores O1 y O3 se comparan para confirmar la localización
de la falla que aparentemente se encuentra en el sensor s1 . El observador O3 utiliza todas las entradas
del sistema u = [L V ] y la salidas %3 = x3 y %12 = x12 correspondientes al sensor del plato 4 (s3 ) y
al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos mediciones, este observador es capaz de
estimar todos los estados del sistema.
0.1
r(2,2)
r(2,1)
0.1
0
−0.1
0
50
100
0
−0.1
0
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
Tiempo (min)
0.1
r(2,4)
r(2,3)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
0.1
r(2,6)
r(2,5)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
0.1
r(2,8)
r(2,7)
0.1
0
−0.1
0
0
−0.1
50
100
Tiempo (min)
150
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
131
140
160
180
0.1
r(3,2)
r(3,1)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
−0.1
0
150
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
100
150
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
50
100
Tiempo (min)
150
0.1
r(3,6)
0.1
r(3,5)
50
0.1
r(3,4)
r(3,3)
0.1
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
0.1
r(3,8)
0.1
r(3,7)
0
0
−0.1
0
50
100
Tiempo (min)
0
−0.1
0
150
En este caso, los residuos que se generan son r1,3 y r3,1 (ver Tabla 4.2) y de acuerdo a la matriz de firma
de fallas de la Tabla 4.3, el síntoma que se activa es S1,3 = 1. De acuerdo con la Ec. (4.35), si S1,2 = 1 y
S1,3 = 1 se activan, es posible concluir que la falla se ha producido en el sensor s1 . Los residuos generados por los observadores O2 y O3 se muestran en las Figs. 4.13-4.14 respectivamente.
Aquí es importante resaltar que todos los observadores PI-Adaptables LPV politópicos del banco tienen
como entrada común (además de las entradas naturales del sistema u = [L V ]), la salida correspondiente al sensor ubicado en el hervidor %12 = x12 .
Este hecho se debe a que en el hervidor se mantiene la mezcla a destilar y además, es el plato donde se suministra la potencia calefactora para el sistema; de acuerdo a esta característica de la columna
de destilación, se reduce en un grado de libertad la tarea de localización y por lo tanto, una falla que se
presente en el sensor s8 no puede ser localizada.
4.2.3.3.
Caso 2: aislamiento de fallas en sensores considerando perturbaciones
A continuación se presentan los resultados correspondientes a la localización de una falla en cualquiera de los sensores de la columna de destilación. En este proceso se utiliza un banco de observadores
PI-Adaptables LPV politópicos bajo el esquema DOS.
Simulación No. 4.3 Localización de una falla vía banco de observadores PI-Adaptables LPV politópicos
(caso con perturbaciones):
132
El objetivo de esta simulación es localizar una falla que se ha presentado en alguno de los sensores de
la columna de destilación cuando el sistema se encuentra en presencia de perturbaciones. El proceso
de aislamiento de dicha falla se hace a través de un esquema DOS como el que se muestra en la Fig. 4.3.
La Tabla 4.5 muestra las señales de las entradas y las perturbaciones que se consideraron a lo largo
de esta simulación. De igual manera que en el caso anterior (simulación No. 4.2), la relación (ta/tc)
corresponde a la relación de apertura y cierre de la válvula de reflujo, para ello se fijó la frecuencia de
la señal en 0.11Hz (que corresponde a 9s) y se varió el ancho del pulso de la apertura y del cierre.
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Qb
Alimentación F
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Qb
Alimentación F
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Señal
0.285
0.15
0
Tiempo de inicio
0 min
0 min
18 min
20 min
30 min
50 min
118 min
130 min
150 min
160 min
tapertura/tcierre
0.4
tapertura/tcierre
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
Watts
1300
Potencia
1200
1100
1000
0
20
40
60
80
100
120
Tiempo (min)
140
160
180
ml/min
40
Fv
20
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
120
140
160
180
En la Fig. 4.15 se presentan las entradas utilizadas en la presente simulación, aquí es posible observar
el comportamiento de las entradas controladas del proceso: la potencia calefactora y el reflujo, así co133
mo el flujo de alimentación (considerado en este modelo como una perturbación del sistema).
Así mismo, el modelo singular LPV politópico que guía a los observadores es descrito a través de las
funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (3.126).
Ahora con fines de probar el esquema FDI propuesto, una falla se genera en el primer sensor de la
columna de destilación que corresponde a la medición de la temperatura en el condensador (x1 ). En
la Fig. 4.16 se muestra la estimación de los estados del sistema afectado por una falla que representa
que el indicador no está bien calibrado y además, considerando la presencia de perturbaciones en el
sistema (flujo de alimentación) y ruido en las mediciones (ruido gaussiano).
La Fig. 4.16 muestra la estimación de todos los estados (composiciones molares) vía un observador
PI-Adaptable LPV politópico cuando una falla se presenta en el primer sensor, en el instante tf = 100
min, es posible ver cómo las estimaciones de los estados se ven afectadas, es decir, existe una diferencia significativa entre el modelo no lineal de la planta (en azul) y sus estimaciones (en rojo). Este hecho
permite generar los residuos que al ser evaluados servirán para que a través de las matrices de firmas,
puedan ser localizadas las fallas.
1
1
1
0.8
0.8
0.8
x1est
0.6
0.6
x1NL
0.4
0
50
100
150
x2est
0
50
100
0.4
150
0.8
0
x4NL
50
100
150
Tiempo (min)
0.8
0.6
x7
0.4
0.2
x7
est
0
NL
50
100
0.6
0.4
x5est
0
50
x10est
150
1
0.8
0.6
x8est
0.4
150
0
50
50
100
x6est
0
50
est
150
0
100
150
100
150
0.5
est
150
x6NL
1
0
0
50
x9
NL
100
150
Tiempo (min)
0.2
x11
x3NL
Tiempo (min)
x9
100
1
x10NL
Tiempo (min)
0.4
x8NL
x12est
x11
NL
0.5
0
0.6
Tiempo (min)
0.5
0
100
Tiempo (min)
Tiempo (min)
1
x5NL
Fracción molar (%)
1
0.8
Fracción molar (%)
1
0.8
x4est
50
Tiempo (min)
1
0.6
x3est
0
Tiempo (min)
Tiempo (min)
Fracción molar (%)
0.6
x2NL
x12NL
0.1
0
50
100
Tiempo (min)
150
0
0
50
100
150
Tiempo (min)
Fig. 4.16 – Estados estimados vía observador PI-Adaptable LPV politópico, en presencia de una falla en
sensor y de perturbaciones.
134
0.1
r(1,2)
r(1,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
r(1,6)
r(1,5)
160
180
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(1,8)
0.1
r(1,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
−0.1
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(1,4)
r(1,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
Fig. 4.17 – Residuos generados por el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 en presencia de
perturbaciones.
En esta figura se puede observar que los estados x1 , x2 , x3 , x10 y x12 , son los más afectados por la falla
del sensor s1 , por lo que la falla puede ser detectada pero no localizada, es decir, en este momento no
es posible localizar cuál sensor está defectuoso.
Para ello se muestran en la Fig. 4.17 los residuos generados por el observador O1 , este observador
utiliza todas las entradas del sistema u = [L V ] y la salidas %1 = x1 y %12 = x12 correspondientes al
sensor en el condensador (s1 ) y al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos mediciones,
el observador PI-Adaptable LPV politópico O1 es capaz de estimar todos los estados del sistema.
Los umbrales se establecen de acuerdo a la información acerca de la precisión de los indicadores señalados por el fabricante, que es de ±0,5 % y que corresponde a 0.045 fracción molar. En consecuencia,
se aprecia que para este observador, varios de los residuos se ven afectados por esta falla.
Se puede observar también, que a pesar de la presencia de perturbaciones los residuos no están influenciados por estos efectos. Esto se debe a que el observador PI-Adaptable LPV politópico se encuentra desacoplado de las entradas desconocidas y además, rechaza los efectos del ruido de medición y
de las incertidumbres del modelado.
Para llevar a cabo el aislamiento de una sola falla, se utilizan los síntomas obtenidos con el esquema descrito en la Fig. 4.4 y la Ec. (4.35), para este caso se presenta primero la comparación entre los
observadores O1 y O2 , es decir, el observador O1 brinda la señal que debe ser diagnosticada y el otro
observador, ahora llamado k2 brinda la señal utilizada para realizar la comparación (ver los residuos
de O2 en la Fig. 4.18) y posterior aislamiento de la falla.
135
0.1
r(2,2)
r(2,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(2,6)
r(2,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(2,8)
0.1
r(2,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(2,4)
r(2,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
perturbaciones.
El observador O2 utiliza todas las entradas del sistema u = [L V ] y la salidas %2 = x2 y %12 = x12
correspondientes al sensor del plato 2 (s2 ) y al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos
mediciones, este observador es capaz de estimar todos los estados del sistema.
Con estos dos observadores se generan de los residuos r1,2 y r2,1 (ver Tabla 4.2) y de acuerdo a la matriz de firmas para una sola falla descrita en la Tabla 4.3, para esta señal el síntoma que se activa es
S1,2 = 1 por lo que una falla en el sensor s1 podría ser declarada, sin embargo, como las mediciones
del observador O1 no son confiables ya que varios residuos superan el umbral, es necesario realizar la
comparación con otro de los observadores del banco.
Ahora bien, del mismo modo los observadores O1 y O3 se comparan para confirmar la localización
de la falla que aparentemente se encuentra en el sensor s1 . El observador O3 utiliza todas las entradas
del sistema u = [L V ] y la salidas %3 = x3 y %12 = x12 correspondientes al sensor del plato 4 (s3 ) y
al sensor en el hervidor (s8 ), con la referencia de estas dos mediciones, este observador es capaz de
estimar todos los estados del sistema.
136
0.1
r(3,2)
r(3,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(3,6)
r(3,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(3,8)
0.1
r(3,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(3,4)
r(3,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
Tiempo (min)
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
perturbaciones.
Fig. 4.20 – Matriz de firma de fallas usando los observadores O2 y O3 .
En este caso, los residuos que se generan son r1,3 y r3,1 , como se puede ver en la Fig. 4.20 que muestra
los residuos generados por estos dos observadores según la matriz de firma de fallas de la Tabla 4.3, el
síntoma que se activa es S1,3 = 1. De acuerdo con la Ec. (4.35), si S1,2 = 1 y S1,3 = 1 se activan, es posible concluir que la falla se ha producido en el sensor s1 . Los residuos generados por los observadores
O2 y O3 se muestran en las Figs. 4.18-4.19 respectivamente.
Aquí es importante resaltar que aún en presencia de perturbaciones, el banco de observadores PIAdaptables LPV politópicos es capaz de localizar fallas en sensores para la columna de destilación
binaria. Para este caso, el valor definido para umbral en el caso sin perturbaciones se mantuvo, es decir
no fue necesario modificar el umbral para absorber el efecto de las entradas desconocidas (el valor del
umbral se mantuvo en 0.045 fracción molar).
A través de los resultados de simulación, se demuestra que para el esquema FDI propuesto, que los
137
4.3. CONCLUSIONES
residuos no superan los umbrales por lo que los síntomas obtenidos son iguales a cero para el resto los
sensores que no presentan falla, lo que no genera falsas alarmas en el sistema; hecho que se considera
como otra ventaja adicional del sistema de diagnóstico de fallas propuesto.
4.3.
Conclusiones
En este capítulo se diseñó un esquema de diagnóstico de fallas en sensores para la columna de destilación binaria usando observadores PI-Adaptables LPV politópicos y a través de un banco DOS se logró
la localización de las fallas.
En el proceso de diagnóstico se obtienen los residuos, y su evaluación determina los síntomas (que
son señales binarias: 1 en caso de falla y 0 en caso libre de falla), con los cuales se construyeron matrices de firmas de fallas en las que el residuo generado por cada observador, responde a los efectos de
todos los estados menos uno, el cuál corresponde al estado aislado. Con la incorporación de un umbral adecuado la detección y el aislamiento de las fallas se logra fácilmente, por lo que los resultados
prueban que el esquema FDD propuesto es un método eficiente para realizar la tarea del detección y
localización de fallas a través de la redundancia analítica.
Finalmente, para completar el FDD, el observador PI-Adaptable LPV politópico que se usó para la detección de las fallas produce la estimación de todos los estados hecho que es útil para estimar también
la magnitud de la falla. Para lograrlo, la dinámica de la falla se modeló como un estado auxiliar que
es estimado por el observador como un estado adicional del sistema; por otro lado en este diseño, las
perturbaciones o entradas desconocidas, se desacoplan de los residuos generados. Esto se logró al suponer la matriz de perturbaciones conocida y con base en su información las entradas desconocidas
pueden desacoplarse.
Para el caso específico de la columna de destilación, una desventaja que presenta el esquema FDD
propuesto es el hecho que emplea un esquema DOS modificado para el sistema de detección de fallas.
En éste, es necesario que la temperatura del sensor ubicado en el hervidor sea una entrada común para
todos los observadores ya que en este plato se encuentra la mayor parte de la dinámica del sistema; en
el hervidor se ubica la potencia calefactora que brinda el calor necesario para llevar la mezcla a la evaporación y además, contiene la mayor parte de la mezcla a destilar (mayor cantidad de masa retenida),
hecho que reduce la capacidad de detectar fallas sobre este sensor.
Por otro lado se tiene que el esquema FDD propuesto para los actuadores no es posible implementarlo
en la columna de destilación ya que una de las condiciones para poder construir sistemas singulares
LPV politópicos es que sus parámetros deben ser considerados libres de fallas. En el caso de estudio, los
parámetros elegidos son las entradas y debe, a través de ellas, garantizarse la reconstrucción adecuada
de la dinámica de la planta; por lo que los actuadores no pueden presentar fallas y a la vez representar
bien el sistema.
138
4.3. CONCLUSIONES
El sistema FDD se desarrolló en M AT LAB r empleando datos experimentales obtenidos de la planta.
Los resultados obtenidos fueron satisfactorios ya que el sistema FDD fue capaz de detectar, localizar
y estimar fallas en los sensores de la columna de manera adecuada, lo que lo convierte en una herramienta de ayuda al usuario en la toma de decisiones y también, puede usarse para diseñar esquemas
de control tolerante a fallas, como se verá en el capítulo siguiente.
139
4.3. CONCLUSIONES
140
Capítulo 5
Mecanismo de FTC en sistemas
singulares LPV politópicos, mediante
reposición del elemento en falla
Las investigaciones relacionadas con el control tolerante a fallas (FTC, por su sigla en inglés) engloban un conjunto de áreas, donde cada una cumple con una función específica con el fin de mantener
el funcionamiento adecuado y seguro de los sistemas. Durante la operación normal de un proceso, se
pueden presentar situaciones anormales en los sensores, actuadores y componentes, que el sistema de
control debe manejar, tomando acciones preestablecidas para llevarlo nuevamente a un estado normal o aceptable de operación.
Un sistema de control tolerante a fallas tiene la capacidad de operar de una manera predecible ante la presencia de fallas internas, sin afectar la seguridad del proceso que controla. Al detectarse una
falla interna, el FTC puede llevar a cabo tres tipos de acciones principalmente: la primera consiste en
llevar al proceso a una condición segura mientras que la falla es reparada por el operario del sistema; la
segunda es ubicar y aislar el elemento defectuoso, que puede ser reemplazado por otro que se encuentre diseñado para tal fin (redundancia física o analítica). La última consiste en indicar la presencia de
una falla y continuar operando en una manera degradada, conociendo de antemano los efectos que la
falla causa en el sistema. Este grado de tolerancia a fallas depende en su mayor parte de la aplicación;
los sistemas más críticos exigirán tolerancia completa, mientras que para algunos otros es aceptable
conformarse con una operación en modo degradado.
En este trabajo se utiliza una ley de control por retroalimentación de la salida con entradas acotadas,
para el diseño de un mecanismo de tolerancia a fallas mediante reposición del elemento en falla, el
cual es aplicado a una columna de destilación binaria. El objetivo de control en este proceso es regular
la composición de etanol en el producto destilado mediante la manipulación de la válvula de reflujo,
que está directamente relacionada con la entrada L que representa el flujo de líquido molar.
141
5.1. ESQUEMAS DE CONTROL TOLERANTE A FALLAS EN SISTEMAS SINGULARES
Para llevar a cabo este procedimiento, un esquema de FTC se presenta como un controlador dinámico
que garantiza el objetivo de evitar la saturación de la regulación de entrada, para cualquier condición
inicial específica dentro de un espacio de estados y que sólo requiere la información de la salida elegida como referencia para el controlador.
Para el caso de estudio, una falla se produce en la salida de referencia para el sistema FTC que es el
sensor (s1 ), el cual proporciona información al controlador acerca del estado actual de la composición
molar en el producto destilado. El esquema FTC debe ser capaz de, una vez detectada la falla en el
bloque de diagnóstico, conmutar la señal con falla a una generada por un sensor virtual que estima las
concentraciones en la de la columna de destilación.
Este capítulo se presenta una ley de control con el fin de regular la composición del destilado en el
producto condensado de la columna de destilación, incluso en presencia de perturbaciones. Esta ley
es un controlador dinámico (de fácil implementación) que garantiza el objetivo de evitar la saturación
de la regulación de entrada. Posteriormente un esquema de control tolerante a fallas, que se basa en el
banco observadores PI-Adaptables politópicos descrito en el capítulo anterior, este módulo genera una
alarma que indica la presencia de una falla en el sensor de referencia, lo que permite la conmutación
a la señal del sensor virtual.
5.1.
Esquemas de control tolerante a fallas en sistemas singulares
Son muy pocos los trabajos que se encuentran en la literatura y que contemplen el control tolerante
a fallas para sistemas singulares. Aquí se citan dos trabajos que se destacan en este campo, especialmente porque están enfocados a la tolerancia de fallas en los actuadores.
El primer trabajo está dedicado al control tolerante para los sistemas no lineales singulares con fallas
acotadas en las entradas; los autores en Gao y Ding (2007) proponen un espacio de estados robusto,
donde con base en la solución de una ecuación de Lyapunov se diseña un observador que es capaz de
estimar simultáneamente los estados del sistema, las fallas en los actuadores y las perturbaciones. Entonces, mediante el uso de las estimaciones de los estados y de las fallas con base en la teoría de LMI,
un esquema de control tolerante a fallas se propone usando únicamente las matrices de coeficientes
originales. Finalmente, un ejemplo numérico se utiliza para ilustrar el procedimiento y la eficacia del
diseño propuesto.
En el trabajo de Zhiqiang et al. (2010), se estudia el problema del control tolerante a fallas para una
clase de sistemas singulares que dependen de los estados y de una perturbación no lineal. Una condición suficiente para la existencia de un controlador de ganancia constante se propone para garantizar
la regularidad y la estabilidad del sistema en lazo cerrado, para todas las posibles fallas. Un problema
de optimización con base en la teoría de LMI se formula para diseñar un controlador tolerante a fallas
adaptable, que es capaz de compensar los efectos de la falla en el sistema mediante la estimación del
142
5.2. DISEÑO DE UN ESQUEMA DE CONTROL TOLERANTE A FALLAS BASADO EN OBSERVADORES
PI-ADAPTABLES
error y la actualización de las matrices de los parámetros de diseño en línea; adicionalmente, el controlador está en la forma retroalimentada para evitar la saturación de las entradas.
En este trabajo, la propuesta está enfocada a la tolerancia a fallas en los sensores del sistema. Con
base en un módulo de diagnóstico de fallas en sensores desarrollado (ver Capítulo 4, Sección 4.2), el
sistema FTC es capaz de aislar la falla del sensor y reemplazarla por una señal proveniente de un sensor virtual previamente diseñado, dicha señal es considerada libre de fallas. De la misma manera, la
ley de control retroalimentada evita que el sistema en lazo cerrado presente saturación de la entrada
manipulada.
5.2.
Diseño de un esquema de control tolerante a fallas basado en
observadores PI-Adaptables
En esta sección, se propone un esquema de control tolerante a fallas para sistemas singulares LPV
politópicos con fallas en el sensor de referencia, como se muestra en la Fig. 5.1.
Fig. 5.1 – Esquema de control tolerante a fallas propuesto.
En primer lugar, un módulo de detección y aislamiento de fallas basado en un banco de observadores
PI-Adaptables politópicos es construido (como se explicó en el capítulo anterior), con el fin de generar
residuos que permiten la detección de fallas en uno o más sensores de la columna de destilación.
143
PI-ADAPTABLES
La señal de alarma se genera por el módulo FDI cuando una falla se produce, simultáneamente con el
banco de observadores DOS se localiza una falla en el sensor s1 que proporciona la señal de referencia
para el controlador, dicha señal sirve como activación para que el sistema conmute de la salida real del
sistema (con falla) a la salida de un sensor virtual, que previamente se diseña para describir la dinámica del sistema en condiciones normales de operación.
Esta nueva señal (proveniente del sensor virtual), garantiza que el controlador continúe su tarea de
regulación del sistema en las condiciones que se especificaron para tal fin, es decir, manteniendo el
objetivo de evitar la saturación en la regulación de entrada.
El esquema FTC propuesto en esta tesis, a través de la estrategia de redundancia analítica permite que
el sensor con falla pueda ser reemplazado por otro (sensor virtual) que se encuentra diseñado para
proveer la misma señal de referencia libre de fallas, simulando la dinámica del sistema en condiciones
normales de operación. Para esto, el sensor con falla es aislado y sustituido por un componente virtual,
de esta manera el controlador puede continuar la regulación del sistema en lazo cerrado.
5.2.1.
Ley de control de entradas acotadas
En Zavala-Río et al. (2011) se presenta la generalización de una ley de control para la regulación de
la salida por retroalimentación para un tipo especial de sistemas con entradas acotadas. Esta generalización da lugar a un controlador dinámico sencillo que garantiza el objetivo de evitar la saturación
en la regulación de entrada, para cualquier condición inicial que se mantenga dentro de un conjunto
específico del espacio de estados entero; esta ley de control no requiere de ningún sistema de datos
adicional (aparte de la variable de salida que se toma como referencia).
Para llevar a cabo el diseño de la ley de control, se considera un sistema dinámico no lineal de la forma:
ẋ(t) = g(x(t), u(t), d(t))
%(t) = h(x(t))
(5.1)
donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ [u, ū] con u(t) ∈ Rp es el vector de la entrada de control
donde u y ū son sus cotas inferior y superior, d(t) ∈ Rq es el vector de perturbaciones, %(t) ∈ Rm es el
vector de salidas del sistema, con (m < n). g(·) y h(·) como funciones no lineales continua e infinitamente diferenciables (conocidas como smooth functions).
Para este sistema, la entrada se define como:
u=ρ
donde ρ es una dinámica auxiliar, cuyo estado se define como:
144
(5.2)
PI-ADAPTABLES
ρ̇ = skη(ρ)(%d − %)
(5.3)
para cualquier (constante) %d ∈ R1 como el valor deseado de la salida, donde s = sign(φ(ū) − φ(u)),
k es una constante positiva y η es una función escalar continuamente diferenciable que satisface
η(ū) = η(u) = 0, η 0 (ū) > 0 > η 0 (u) y η(ρ) > 0, ∀ρ ∈ (u, ū). Entonces, teniendo en cuenta que k es
suficiente pequeña, para cualquier condición inicial x0 = x(0) se tiene que %(t) → %d cuando t → ∞.
Este controlador se presenta como una generalización de un esquema de control para la regulación de
salida por retroalimentación en diferentes procesos diferentes; su prueba de estabilidad se presenta
en el artículo de Zavala-Río et al. (2011)
5.2.2.
Prueba de la ley de control de entradas acotadas: aplicación a la CDB
Bajo suposiciones estándar, una columna de destilación binaria se modela como lo describen los
autores en Cingara et al. (1990) y Skogestad (1997). Para el caso que se analiza en este trabajo de tesis,
las perturbaciones consideradas son F y zf y la entrada V (flujo molar de vapor) son consideradas
constantes (además son naturalmente positivas), mientras que la entrada L (flujo molar líquido) puede
variar entre unas cotas máximas y mínimas:
L ∈ Υ = [L, L̄] ⊂ (max{0, V − F }, V )
(5.4)
Simulación No. 5.1 Ley de control de entradas acotadas aplicada a la columna de destilación:
El objetivo de esta simulación es probar el desempeño de ley de control por realimentación de la salida
propuesta por los autores en Zavala-Río et al. (2011), para el caso particular del modelo que representa
la planta de destilación del CENIDET y además, probar también como el controlador hace frente a los
efectos que se producen por las perturbaciones .
En la configuración de esta simulación, se toman en cuenta la mezcla binaria que se considera en
este caso es etanol (EOH) y agua (H2 O), que se considera como una mezcla no ideal. Cada uno de los
componentes de la mezcla presentan características físicas particulares que se relacionan en la Tabla
3.1 (que se encuentra en el Capítulo 3 del presente trabajo de tesis y cuyos datos se encuentran en Perry
(1999)).
Se consideró también una presión total en el proceso de 105.86 kPa; en este caso, el tiempo de muestreo seleccionado fue 3s y el tiempo total de la simulación fue de 350 minutos desde que se alcanza
el estado estable. Para el desarrollo de la simulación, se toman en cuenta las condiciones en estado
estable que se muestran en la Tabla 3.2 (en el Capítulo 3) como condiciones iniciales de operación en
el modelo no lineal.
De acuerdo a las consideraciones citadas en el apartado anterior de este capítulo, la Tabla 5.1 mues145
PI-ADAPTABLES
tra las señales de entrada y las perturbaciones que se consideraron a lo largo de esta simulación, así
mismo en la Fig. 5.2 es posible observar el comportamiento de las entradas controladas del proceso:
la potencia calefactora y la relación de tiempo de apertura de la válvula de reflujo, se mantienen constantes a lo largo de esta simulación.
El flujo de alimentación, considerado en este modelo como una perturbación del sistema, de naturaleza constante se activa en el minuto t = 120 con el fin de probar su efecto en el sistema y a su vez,
cómo el controlador responde para compensar sus efectos.
Entrada
Qb
Reflujo (ta/tc)
Alimentación F
Alimentación F
Señal
0.285
0 ml/min
Tiempo de inicio
0 min
0 min
0 min
120 min
tapertura/tcierre
tapertura/tcierre
0.4
0.2
0
50
100
150
200
Tiempo (min)
250
300
350
Watts
1500
Potencia
1400
1300
1200
0
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
(ml/min)
40
Fv
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
Fig. 5.2 – Entradas de la CDB (simulación No. 5.1).
En este caso, L se considera como la variable de control que a través de la información que se obtiene
del monitoreo de la salida, se busca la regulación de x1 (la composición molar del producto destilado).
Los valores mínimo y máximo del flujo molar líquido son: L = 1.8668mol/min y L̄ = 1.365mol/min. La
dinámica auxiliar del controlador (5.3) se implementa usando la siguiente función:
η(ρ) = sech(s − (L̄ + L)/2) − sech((L̄ − L)/2)
146
(5.5)
PI-ADAPTABLES
que junto con la ganancia de control k = 0.56 (la cual se elige en función de las consideraciones que se
describen en la Sección 3 del artículo de Zavala-Río et al. (2011)).
El rendimiento de sistema en lazo cerrado fue probado en presencia de perturbaciones, para lo cual,
un cambio en el flujo molar de la alimentación de F = 0 mol/min a F = 0.836 mol/min en el minuto
t = 120. El valor de la salida (la composición molar del producto destilado) deseado se estableció en
%d = x1 = 0.879.
La Fig. 5.3a) muestra la señal de la entrada de control de L y la Fig. 5.3b) muestra la respuesta de la
salida de %d = x1 en lazo abierto, en donde se puede apreciar que en el minuto t = 120 el efecto de
la perturbación produce un cambio en la salida del sistema que no se puede regular porque el lazo
de control no está habilitado, es decir, el sistema se encuentra operando en lazo abierto. Este cambio
reduce el valor deseado de la composición molar del producto destilado, de esta manera se determina
que la acción de un controlador es necesaria para ajustar el valor de la salida hasta que se alcance el
punto de funcionamiento deseado.
Dinámica del sistema sin controlador
2
0.89
0.885
1.8
0.88
y1 = x1 salida de referencia sin control
L sin control
1
Fracción molar (x )
Flujo molar liquido (L)
Límite superior de L
1.9
1.7
1.6
1.5
1.4
0.875
0.87
0.865
0.86
Límite inferior de L
1.3
1.2
0.855
0
50
100
150
200
250
300
0.85
350
0
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
Tiempo (min)
Fig. 5.3 – Dinámica de la entrada y la salida del sistema al esquema de control en lazo abierto.
Ahora, en la Fig.5.4 se muestra las respuesta tanto de la entrada como de la salida, al efecto de la ley de
control propuesta en la Ec. (5.3). Esta ley proporciona una señal de regulación que muestra un buen
control del flujo molar líquido L, dicha regulación se alcanza dentro de los límites establecidos para la
entrada (de ahí su definición de controlador de entradas acotadas).
Es posible ver que también el objetivo de control se logra al ajustar la entrada L dentro de un conjunto
establecido por sus límites (L, L̄), lo cual permite recuperar la salida y llevarla hasta el valor deseado
x1 = %d (composición molar del producto destilado).
147
5.3. PRUEBA DEL ESQUEMA FTC PROPUESTO: APLICACIÓN A LA CDB
Nótese que con la metodología propuesta por los autores en Zavala-Río et al. (2011), es posible alcanzar el objetivo de la regulación de la composición molar del producto destilado que es el objetivo
de operación de las columnas de destilación, incluso en presencia de perturbaciones. La ley de control evita la saturación de entrada y además, esto se logra de una manera suave a través de señales de
control.
Dinámica del sistema con controlador
2
0.9
1.9 Límite superior de L
0.89
y1 = x1 salida de referencia con control
L controlada
0.88
1
1.8
1.7
1.6
0.87
0.86
1.5
0.85
1.4
1.3
0
50
100
150
200
250
300
0.84
0
350
Tiempo (min)
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
Fig. 5.4 – Dinámica de la entrada y la salida del sistema al esquema de control en lazo cerrado.
5.3.
Prueba del esquema FTC propuesto: aplicación a la CDB
En la columna de destilación cuando una alarma se produce indicando una falla en alguno de los sensores, el módulo de aislamiento de fallas se activa. Simultáneamente, la ley de control utiliza la salida
%1 = x1 correspondiente al sensor ubicado en el condensador (este hecho se debe a que la salida de
interés en la columna de destilación es la composición del destilado en el condensador), como la señal
de referencia para regular el sistema. Entonces, si la falla es aislable, es decir, si la falla del sensor s1
puede ser localizada, el control tolerante conmuta de la señal con falla a una referencia provista por un
sensor virtual. El objetivo del FTC sigue siendo el mismo que los del controlador para el caso libre de
fallas, esto es: la ley de control continúa su trabajo de regulación por realimentación de la salida, hasta
llevar al sistema al valor deseado a través de la manipulación de la entrada L.
Simulación No. 5.2 Esquema de control tolerante a fallas aplicado a la columna de destilación
El objetivo de esta simulación es probar el desempeño del esquema de control tolerante a fallas en la
planta de destilación del CENIDET. Dicho esquema cuenta con un esquema FDI que debe detectar y
aislar cuando una falla en el sensor s1 se presente, más un módulo de control donde una ley de regulación pese a la presencia de la falla que hace que la señal de referencia sea errónea, debe llevar el valor
de la salida en un valor deseado a través de la realimentación de la salida evitando la saturación de la
148
entrada de control.
En la configuración de esta simulación, se toman en cuenta la mezcla binaria que se considera en
este caso es etanol (EOH) y agua (H2 O), que se considera como una mezcla no ideal. Cada uno de los
componentes de la mezcla presentan características físicas particulares que se relacionan en la Tabla
3.1 (que se encuentra en el Capítulo 3 del presente trabajo de tesis y cuyos datos se encuentran en Perry
(1999)).
Se consideró también una presión total en el proceso de 105.86 kPa; en este caso, el tiempo de muestreo seleccionado fue 3s y el tiempo total de la simulación fue de 350 minutos a partir que se alcanza
el estado estable. Para el desarrollo de la simulación, se toman en cuenta las condiciones en estado
estable que se muestran en la Tabla 3.2 (en el Capítulo 3) como condiciones iniciales de operación en
el modelo no lineal.
De acuerdo a las consideraciones citadas en el apartado anterior de este capítulo, la Tabla 5.1 muestra
las señales de entrada y las perturbaciones que se consideraron a lo largo de esta simulación. En la
Fig. 5.2 de la sección previa, se mostró el comportamiento de las entradas controladas del proceso: la
potencia calefactora y la relación de tiempo de apertura de la válvula de reflujo, se mantienen constantes a lo largo de esta simulación. El flujo de alimentación, considerado en este modelo como una
perturbación del sistema, también de naturaleza constante se activa en el minuto t = 120 con el fin de
probar su efecto en el sistema y a su vez, observar cómo el controlador responde para compensar sus
efectos. Se considera ruido gaussiano en la medición de la salida.
Dinámica del sistema con el control guiado por una señal con falla
0.9
L controlada y señal de referencia con falla
2.4
0.85
1
2.2
2
1.8
0.8
y1 = x1 salida de referencia con control y con falla
0.75
1.6
0.7
1.4
1.2
0
50
100
150
200
250
300
0.65
0
350
Tiempo (min)
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
Fig. 5.5 – Dinámica de la entrada y la salida del sistema usando la señal de referencia con falla.
La Fig. 5.5 muestra la respuesta de la entrada con el control guiado por un sensor defectuoso. En este
caso, la ley de control utiliza la señal de salida como la entrada de referencia para regular el sistema, pe149
ro esta señal del sensor s1 se ve afectada por una mala calibración del indicador digital que se presenta
en el minuto t = 150 lo que genera un error en el control de la entrada, la cual no puede ser regulada
dentro de los límites establecidos, es decir, se produce la saturación de la entrada por la necesidad de
compensar el error de la señal de referencia y alcanzar el objetivo en la salida. Es posible observar que
el valor de la composición molar del producto destilado (%d = x1 ) que es de 0.879 únicamente llega
hasta x1 = 0, 7274, que se encuentra muy por debajo del punto de operación deseado.
Desde las Figs. 4.12-4.14 (en el Capítulo 4 Sección 4.2 de diagnóstico de fallas en sensores) y el uso
de la matriz de la firma de fallas respectiva para evaluar los residuos, podemos juzgar que el sensor s1
está defectuoso.
La señal de alarma que se produce en el módulo FDI, el sistema FTC conmuta de la salida que toma como referencia del sistema %1 = x1 por la salida estimada %̂1 = x̂1 que se proporciona por un
sensor virtual (observador PI-Adaptable politópico) que se considera libre de fallas; esto con el fin que
la ley de control siga regulando de la entrada del sistema L dentro de los límites establecidos, para alcanzar el valor de la salida deseado (la composición molar del producto destilado).
Es evidente que la falla que se produce en el sensor s1 afecta el rendimiento del sistema de control
en lazo cerrado, esto se debe a que las lecturas que se utilizan para regular la entrada de control son
erróneas a causa de la mala calibración del indicador. Cuando esta situación se presenta, el esquema
de control tolerante a fallas conmuta de la señal con falla a una nueva señal que proporciona un sensor virtual, el cual estima todas las salidas de la columna de destilación con base en la medición de un
sensor libre de fallas, en este caso el sensor s5 (que se encuentra ubicado en el plato de alimentación
x7 ) se utiliza como entrada de referencia para el observador.
Dinámica del sistema con el control guiado por el sensor virtual
0.9
2
1.9
0.85
y1 = x1 salida de referencia con control
L controlada
1
1.8
1.7
1.6
0.8
0.75
1.5
0.7
1.4
1.3
0
50
100
150
200
250
300
0.65
0
350
Tiempo (min)
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (min)
Fig. 5.6 – Dinámica de la entrada y la salida del sistema usando la referencia del sensor virtual.
150
5.4. CONCLUSIONES
La dinámica de la entrada L y de la salida %1 = x1 con el FTC se muestra en la Fig. 5.6, es posible observar aquí que se recupera la regulación de la entrada cuando la señal con falla que se presenta en
el minuto t = 150, es conmutada a la señal del sensor virtual, es decir, el esquema FTC propuesto es
capaz de tolerar la falla al aislarla y reemplazarla por un elemento redundante (de un esquema de redundancia analítica); esto permite recuperar el correcto funcionamiento del sistema en lazo cerrado.
Recuérdese también que desde el minuto t = 120 la presencia de la perturbación afecta el sistema y
aún bajo este efecto, cuando la falla en el sensor se presenta, el esquema FTC sigue regulando la entrada L en los límites establecidos.
El esquema FTC propuesto permite detectar una falla en el primer sensor de la columna de destilación y sustituirlo por una señal de referencia que es proporcionada por un sensor virtual, el cual está
diseñado con un observador PI-Adaptable que usa el modelo singular LPV politópico del sistema. Este
estimador proporciona información confiable acerca de la salida del sistema en línea, por esta razón
es una buena herramienta para ser usado por el FTC para cumplir los objetivos de regulación de la
entrada evitando su saturación.
5.4.
Conclusiones
En este capítulo un sistema de control tolerante a fallas fue desarrollado. Este esquema FTC se compone principalmente de dos módulos: el primero es un módulo de detección y aislamiento de fallas en
sensores que se construyó usando un banco de observadores PI-Adaptables politópicos (ver Capítulo
4 del presente trabajo de tesis), con el cual se generan residuos que permiten la detección de fallas en
la columna de destilación.
En este esquema se observó que la falla del sensor afecta el rendimiento del sistema de control en
lazo cerrado, esto se debe a que la referencia que se utiliza para generar la entrada de control se encuentra afectada por la mala calibración del indicador. Entonces, cuando una falla en el sensor aparece
por primera vez, el FTC conmuta a la señal de un sensor virtual que se considera libre de fallas.
De esta manera, el FTC mantiene el objetivo de regular la entrada del sistema aún en presencia de perturbaciones, puesto que el sensor virtual (observador PI-Adaptable politópico) supone que la matriz
de distribución de las perturbaciones es conocida, y con base en su información, las entradas desconocidas pueden desacoplarse evitando que afecten la estimación de los estados.
Cuando se produce y se localiza una falla en el sensor s1 , que es el sensor que proporciona la señal
de referencia para el controlador, en el banco de observadores dentro del módulo FDI se genera una
señal de activación para que el sistema conmute la referencia de la salida real del sistema (el sensor
con falla) a la salida que proporciona un sensor virtual, previamente diseñado para estimar todos los
estados del sistema en condiciones normales de operación. Esta nueva señal garantiza que el controlador siga regulando la entrada evitando su saturación.
151
5.4. CONCLUSIONES
152
Capítulo 6
Conclusiones generales
En este trabajo de tesis se desarrolló un esquema de control tolerante a fallas para una clase de sistemas singulares LPV politópicos usando observadores PI-Adaptables. El diseño del sistema FTC en el
trabajo, se centró de cuatro ejes principales: i). la construcción de un modelo singular LPV politópico,
ii). el diseño de un observador PI-Adaptable politópico, iii). el diseño de un sistema FDI para diagnóstico de fallas en sensores y actuadores y finalmente, iv). un sistema FTC que cierra el lazo con el fin de
mantener el buen desempeño de un sistema. Cada uno de estos ejes fue desarrollado de tal manera
que los resultados que se obtuvieron fueron satisfactorios y a su vez, se cumplieron los objetivos trazados en el Capítulo 1.
Para desarrollar el presente trabajo de tesis, en el primer capítulo se presentaron los principios generales de los sistemas FDI y FTC, así como sus técnicas y métodos empleados, lo que sirvió como marco
teórico. Igualmente, se presentó la problemática de la detección y diagnóstico de fallas, así como el
control en columnas de destilación, lo que permitió el planteamiento de la hipótesis, la justificación y
los objetivos de este trabajo.
A continuación se presentan las conclusiones generales para cada una de estas etapas:
I. E N CUANTO AL MODELO SINGULAR LPV POLITÓPICO
Se desarrolló un modelo singular LPV politópico para la columna de destilación binaria. Dicho modelo toma como parámetros variables las entradas de la planta y su variación y esto permite construir
un conjunto de Q modelos locales, que mediante las funciones de ponderación, determina la presencia de cada uno de ellos dentro de la construcción del modelo global del sistema.
Para poder llevar a cabo este modelo, primero se presentaron conceptos básicos sobre la teoría de
sistemas LPV y de los sistemas singulares politópicos y su análisis de estabilidad a partir de la teoría de
Lyapunov.
153
Para el caso particular de la columna de destilación se eligieron como parámetros, las entradas de
flujo molar líquido L y de vapor V , que varían de acuerdo a la manipulación de la válvula de reflujo
ubicada en el condensador (una válvula de tres vías con acción ON-OFF) y de la resistencia calefactora
ubicada en el hervidor, respectivamente. Con dichos parámetros se construyeron 4 funciones de ponderación que permitieron establecer las trayectorias del sistema para este tipo de representación.
El modelo singular LPV politópico propuesto para la columna de destilación, se comparó contra un
modelo no lineal de la planta (desarrollado y validado experimentalmente en trabajos previos) y fue
sometido tanto a cambios en las entradas (variaciones de los parámetros) como a la presencia de perturbaciones o entradas desconocidas. En todas las etapas de la columna, las respuestas cualitativas y
cuantitativa del sistema se evaluaron con el fin de determinar el cumplimiento satisfactorio a los balances de materia y de componente.
Los resultados correspondientes a la respuesta del modelo propuesto y a la evaluación del error que
se obtuvieron en comparación con el modelo no lineal de la CDB, permiten concluir que el modelo
singular LPV politópico cumple satisfactoriamente con la reproducción de la dinámica de la planta y
además, responde adecuadamente a las variaciones de los parámetros del sistema, así como también
a las perturbaciones que se presentan. Este modelo que se propuso no incluye todas las dinámicas del
sistema (debido a su naturaleza singular), aún así representa adecuadamente a la planta no lineal mediante el uso de parámetros variables que definen la trayectoria de la dinámica del sistema. De acuerdo
a esto, el modelo propuesto se consideró como una herramienta útil para desarrollar esquemas de estimación para la columna de destilación.
II. E N CUANTO AL OBSERVADOR PI-A DAPTABLE PARA SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS
Se diseñó un nuevo observador PI-Adaptable para sistemas singulares lineales. Este nuevo observador aprovecha las ventajas de los observadores del tipo proporcional-integral, capaces de estimar los
estados y las entradas desconocidas del sistema simultáneamente, además de un algoritmo adaptable
que permite mejorar la rapidez de la convergencia.
Para el desarrollo de este observador, en primer lugar se presentó el estado del arte acerca de los observadores propuestos para sistemas singulares, las ventajas de estos estimadores fueron analizadas para
llegar a proponer una nueva estrategia de estimación. Posteriormente se mostró la síntesis de diseño
de observadores para sistemas singulares LPV politópicos como caso particular, bajo este enfoque se
establecieron las características esenciales de estos observadores para llevar a cabo la tarea de estimación de los estados y de las entradas desconocidas simultáneamente.
Este nuevo observador, tiene como base la teoría del observador adaptable para sistemas lineales presentado por Zhang et al. (2008). En este capítulo se estableció el Teorema 3.3 en el que se formulan las
condiciones de estabilidad y convergencia del nuevo observador PI-adaptable; a través de la combinación de la teoría de estabilidad de Lyapunov y de la teoría de LMI se desarrolló toda la prueba del
154
teorema que generó la metodología de diseño para el observador propuesto.
Posteriormente, se extendió el nuevo observador PI-adaptable propuesto al caso particular de los sistemas singulares LPV politópicos y fue probado en una columna de destilación binaria. Para este tipo de
sistemas, el observador diseñado tiene la capacidad para estimar todos los estados (por lo que se considera un observador de orden completo) y entradas desconocidas simultáneamente, incluso cuando
se presentan cambios en los puntos de operación del sistema. Además, cuando no se conoce el modelo matemático de los sistemas no lineales pero en cambio, se pueden definir puntos de operación los
observadores PI-Adaptables se convierten en un método para representar la dinámica de los procesos.
El algoritmo adaptable permite una estimación rápida de las entradas desconocidas, ya que se aprovechan las propiedades de la ganancias proporcional e integral de los observadores PI. De acuerdo a
los resultados de simulación que se obtuvieron, se afirma que los observadores PI-Adaptables politópicos son una buena herramienta de solución al problema de estimación de estados y perturbaciones.
Este algoritmo adaptable respondió adecuadamente en las tareas de estimación de las perturbaciones
en la columna de destilación, condición que lo hace útil para su implementación en el desarrollo de
sistemas de diagnóstico de fallas.
III. E N CUANTO AL ESQUEMA FDI QUE USA OBSERVADORES PI-A DAPTABLES PARA SISTEMAS SINGULA RES
LPV POLITÓPICOS :
Se diseñó un esquema de diagnóstico para detectar, aislar (localizar) e identificar las fallas en sensores en la columna de destilación, usando observadores PI-Adaptables politópicos.
En el proceso de detección se obtuvieron los residuos, que deben ser idealmente cero en caso libre
de falla y diferentes de cero en caso contrario; para ello se determinaron umbrales adecuados y se
realizó la evaluación de los residuos para determinar los síntomas (que son señales binarias: 1 en caso
de falla y 0 en caso libre de falla), con las cuales se construyeron matrices de firmas de fallas en las que
el residuo generado por cada observador responde a los efectos de todos los estados menos uno, el
cuál corresponde al estado aislado.
Posteriormente, con el fin de realizar el aislamiento de las fallas en sensores se presentó la estructura de un banco de observadores PI-Adaptables dedicados. Esta estructura permitió localizar fallas
simultáneas, lo que lo convierte en una herramienta interesante de diagnóstico para la columna de
destilación. El esquema de FDI propuesto en esta tesis se implementó con el modelo singular LPV politópico de la planta de destilación binaria del CENIDET, haciendo posible la detección y localización
de fallas hasta en seis sensores de manera simultánea a partir del análisis de las matrices de firmas de
fallas generadas.
Finalmente, para completar el sistema FDI, el observador PI-Adaptable politópico que se usó para la
detección de las fallas produce la estimación de todos los estados, hecho que es útil para estimar tam-
155
bién la magnitud de la falla. Esto se logró porque la dinámica de la falla fue modelada como un estado
auxiliar; por otro lado en este diseño se supone que la matriz de distribución de las perturbaciones es
conocida, y con base en su información las entradas desconocidas pueden desacoplarse.
El sistema FDI para fallas en los sensores de la columna de destilación, fue probado a través de simulaciones en Matlabr en comparación con un modelo no lineal conocido del sistema. Los resultados
que se obtuvieron permiten concluir que el esquema FDI es capaz de llevar a cabo todas las tareas de
diagnóstico de fallas de manera adecuada, lo que lo convierte en una herramienta para el desarrollo
de esquemas de control tolerante a fallas.
Para el caso específico de la columna de destilación, una desventaja que presenta el esquema FDI
desarrollado es el hecho de que emplea un esquema DOS modificado para el sistema de detección de
fallas. Dicha modificación corresponde al hecho que es necesario que la temperatura del sensor ubicado en el hervidor sea una entrada común para todos los observadores, lo que reduce la capacidad
del esquema para detectar fallas en este sensor.
Se desarrolló también un esquema de FDI para actuadores, el cual no fue posible implementarlo en
la columna de destilación, ya que una de las condiciones para poder construir sistemas singulares LPV
politópicos es que los parámetros deben ser considerados libres de fallas. En el caso de estudio, los
parámetros elegidos son las entradas y debe, a través de ellas, garantizarse la reconstrucción adecuada
de la dinámica de la planta; por lo que los actuadores como entradas del sistema, no pueden presentar
fallas y a la vez, representar los parámetros que se utilizan para modelar el sistema.
IV. E N CUANTO AL CONTROL TOLERANTE A FALLAS PARA SISTEMAS SINGULARES LPV POLITÓPICOS :
Se desarrolló un sistema de control tolerante a fallas en sensores para la columna de destilación binaria.
Dicho esquema se compone principalmente de dos módulos: un módulo de detección y aislamiento
de la falla, y un módulo de control que regula continuamente la entrada del sistema.
En este esquema se observó que la falla del primer sensor ubicado en el condensador de la columna, afecta el rendimiento del sistema de control en lazo cerrado, esto se debe a que la referencia que se
utiliza para guiar la entrada de control se encuentra afectada por la mala calibración del indicador. Entonces, cuando una falla en el sensor aparece por primera vez el FTC conmuta a la señal de un sensor
virtual que se considera libre de fallas, de esta manera, se mantiene el objetivo de regular la entrada
del sistema aún en presencia de perturbaciones. Esto se logró porque que el sensor virtual (observador PI-Adaptable politópico) supone que la matriz de distribución de las perturbaciones es conocida
y con base en su información, las entradas desconocidas pueden desacoplarse evitando que afecten la
estimación de los estados y garantizando la confiabilidad en la señal virtual.
Cuando se produce y se localiza una falla en el sensor s1 , el cual proporciona la señal de referencia
para el controlador, en el módulo FDI se genera una alarma que activa la conmutación de la salida real
156
6.1. ORIGINALIDAD Y APORTACIONES
del sistema (el sensor con falla) a la salida que proporciona el sensor virtual que se diseño previamente
para estimar todos los estados del sistema en condiciones normales de operación. Esta nueva señal
garantiza que el controlador siga regulando la entrada del sistema.
6.1.
Originalidad y aportaciones
Con el fin de mejorar la representación de los procesos termodinámicos, el modelo singular LPV politópico que se desarrolló para la columna de destilación binaria es considerado como una aportación
importante del presente trabajo de tesis, ya que es una alternativa de solución para la aproximación
lineal del comportamiento de los sistemas, alrededor de uno o más puntos de operación conocidos. A
través de esta nueva representación de la planta piloto de destilación, si existen puntos de operación
conocidos (escenario mucho más real a nivel industrial), es posible reconstruir la dinámica del proceso dentro de un espacio de estados limitado por las cotas conocidas de los parámetros.
Para desarrollar un sistema de monitoreo en línea en los procesos, se diseñó un nuevo observador
llamado PI-Adaptable politópico. Dentro del proceso de diseño de este observador se estableció y probó el Teorema 3.3 en el que se formularon las condiciones de estabilidad y convergencia a través de
la combinación de la teoría de estabilidad de Lyapunov y de LMI’s. Dentro de las características que
se destacan en este nuevo observador es su capacidad para estimar los estados y de las entradas desconocidas del sistema simultáneamente, así como la estimación rápida de posibles fallas en sensores.
Hecho que permite, al ser implementado al modelo de la columna de destilación, considerarlo como
una buena herramienta de monitoreo y desarrollo de esquemas de diagnóstico de fallas.
El sistema FDI que se desarrolló con base en el observador PI-Adaptable politópico, se usó para la detección y localización de fallas en sensores de la columna de destilación. En el diseño del observador se
supone que la matriz de distribución de las perturbaciones es conocida, y con base en su información
las entradas desconocidas pueden desacoplarse eliminando su efecto en las estimaciones. Otra de las
características importantes de este esquema, es que es posible estimar todos los estados y también la
magnitud de la falla en el sensor, ya que la dinámica de la falla es modelada como un estado auxiliar del
sistema. En conjunto, el esquema FDI se convierte en una herramienta de monitoreo de la columna de
destilación ya que provee información confiable del estado de la planta en tiempo real.
A partir del diseño del esquema FDI fue posible implementar un sistema de control tolerante a fallas. Para ello, se usó un controlador que fue presentado como la generalización de una ley de control
para la regulación de la salida por retroalimentación para un tipo especial de sistemas con entradas
acotadas. Estas características que se dan de manera natural en algunos procesos incluyendo la columna de destilación, fueron aprovechadas para implementar el controlador dentro de un esquema
FTC que mantiene regulación de la entrada aún en presencia de perturbaciones y fallas en el sistema.
Este trabajo es original en su conjunto: el modelo singular LPV politópico de la columna de destilación considerando las no linealidades de una mezcla no ideal, el observador PI-Adaptable politópico
157
6.2. ALCANCES Y LIMITACIONES
para estimar estados y entradas desconocidas simultáneamente, un sistema FDI para monitorear fallas
en sensores de la columna de destilación y finalmente, el esquema FTC que logra controlar la entrada
aún en presencia de perturbaciones y fallas en el sistema.
6.2.
Alcances y limitaciones
Se logró el desarrollo e implementación de un esquema de control tolerante a fallas basado en un módulo de diagnóstico que usa observadores PI-Adaptables y en modelos singulares LPV politópicos, lo
que permite mantener una adecuada operación del sistema, aún en presencia de perturbaciones y fallas en una planta piloto de destilación.
Una de las limitaciones que se destacan en este trabajo, fue la imposibilidad de implementar el esquema FDI en actuadores de la columna de destilación. Esto se debe a que una de las condiciones
para poder construir modelos singulares LPV politópicos es que sus parámetros deben ser medibles y
considerados libres de fallas. En la columna de destilación, los parámetros que se eligieron fueron las
entradas y debe, a través de ellas, garantizarse la reconstrucción adecuada de la dinámica de la planta;
por lo que los actuadores no pueden presentar fallas y a la vez representar bien el sistema.
También por la naturaleza del sistema, en la columna de destilación una desventaja que se presenta en el esquema FDI desarrollado, es el hecho de que al emplear un esquema DOS tradicional para el
sistema de detección de fallas, es necesario que la temperatura del sensor ubicado el hervidor sea una
entrada común para todos los observadores del banco, ya que en esta etapa se mantiene la mezcla a
destilar y además, es el plato donde se suministra la potencia calefactora para el sistema; de acuerdo a
esta característica de la columna de destilación, se reduce en un grado de libertad la tarea de localización y por lo tanto, una falla que se presente en el sensor s8 no puede ser localizada.
6.3.
Trabajos futuros
Como trabajos futuros enfocados al diagnóstico y control de sistemas singulares LPV con aplicaciones,
se proponen las siguientes temáticas:
Implementar en tiempo real el esquema FDI y FTC propuestos en este trabajo de tesis, en la
planta piloto de destilación del CENIDET.
Desarrollar una estación de monitoreo de la planta piloto de destilación, a partir del esquema
FDI propuesto en el presente trabajo de tesis.
Desarrollar un sistema FDI enfocado a la detección de fallas en los actuadores de la columna de
destilación. Esto podría lograrse explorando una nueva representación LPV del sistema a través
de la definición de parámetros que no dependan directa o indirectamente, de los estados o de las
entradas del sistema.
158
6.4. PUBLICACIONES
Desarrollar un sistema de control tolerante a fallas que permita la compensación de la falla, a
partir de la información que se obtiene en la identificación de la misma en el módulo FDI.
Desarrollar un nuevo sistema de control tolerante a fallas que reconfigure o modifique la ley de
control con el fin de mantener la operación adecuada del sistema, para un punto de operación
deseable en la columna de destilación.
6.4.
6.4.1.
Publicaciones
En congreso
A. Aguilera-González, D. Theilliol, M. Adam-Medina, C.M. Astorga-Zaragoza and M. Rodrigues. Sensor
Fault and Unknown Input Estimation Based on Proportional Integral Observer Applied to LPV Descriptor Systems. Artículo aceptado en el Congreso Internacional SAFEPROCESS 2012, México D.F., México,
2012.
A. Aguilera-González, M. Flores-Montiel, M. Adam-Medina, C.M. Astorga-Zaragoza, E. QuinteroMármol and C.D. García-Beltrán. Unknown Input Estimation for Linear Parameter Varying (LPV) Singular Systems: Application to a Binary Distillation Column. Congreso Nacional AMCA 2011, Saltillo,
México, 2011.
A. Aguilera-González, M. Adam-Medina, C.M. Astorga-Zaragoza, G.V. Guerrero-Ramírez and J. ReyesReyes. State and Sensor Fault Estimation using Proportional-Integral Observers. Congreso Nacional
AMCA 2011, Saltillo, México, 2011.
A. Aguilera, M. Adam, C. Astorga, D. Theilliol and J.C. Ponsart. Observer for LPV Singular Systems Applied to a Binary Distillation Column. SYSTOL 2010, Nice, France, 2010.
A. Aguilera-González, M. Adam-Medina, C.M. Astorga-Zaragoza, C.D. García-Beltrán, M.G. LópezLópez y C. Morales-Morales. Formulación de un Modelo Singular para Columnas de Destilación - Estrategia para Simplificación de Modelos No Lineales. Congreso Nacional AMCA 2010, Puerto Vallarta,
México, 2009.
A. Aguilera-González, C. Morales-Morales, M. Adam-Medina, L.G. Vela-Valdés, C.M. Astorga-Zaragoza.
Situación actual de los sistemas de diagnóstico y control tolerante a fallas basado en múltiples modelos.
Congreso Nacional AMCA 2009, Zacatecas, México, 2009.
6.4.2.
En revista indezada:
A. Zavala-Río, A. Aguilera-González, A. Martínez-Sibaja, C.M. Astorga-Zaragoza and M. Adam-Medina.
A generalized design methodology for the output feedback regulation of a special type of systems with
159
6.4. PUBLICACIONES
bounded inputs. International Journal of Robust and Nonlinear Control. Article first published online:
18 November 2011, DOI: 10.1002/rnc.1830.
A. Aguilera-González, C.M. Astorga-Zaragoza, M. Adam-Medina, D. Theilliol, J. Reyes-Reyes and C.D. García-Beltrán. Composition Estimation in a Binary Distillation Column using Singular Polytopic PI
Observers. IET Control Theory & Applications. Decision letter (24-Jan-2012).
6.4.3.
Artículos previos:
Aguilera-González A., A. Téllez-Anguiano, C. M. Astorga-Zaragoza, D. Juárez-Romero y E. QuinteroMármol. Observador de alta ganancia constante para una clase de sistema no lineal de forma triangular. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial., Vol. 7, N o . 2, 2010, págs. 31-38.
A. C. Téllez-Anguiano, C. M. Astorga-Zaragoza, B. Targui, A. Aguilera-González, J. Reyes-Reyes and
M. Adam-Medina. Experimental validation of a high-gain observer for composition estimation in an
Ethanol-Water distillation column. Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering. Vol. 4, N o . 6, 2009,
pags. 942-952.
A. Aguilera-González, A. Téllez-Anguiano, C. M. Astorga-Zaragoza and M. Adam-Medina. Comparison
of discrete and continuous-discrete observers for composition estimation in distillation columns. International Symposium on Advanced Control of Chemical Processes, ADCHEM 2009, Instambul, Turkey.
July, 2009.
160
Bibliografía
Adam, M., M. Rodrigues, D. Theilliol y H. Jamouli (2003). Fault diagnosis in nonlinear systems through
an adaptive filter under a convex set representation. The 7th European Control Conference ECC’03.
Aguilera-González, A. (2008). Observador continuo-discreto para la estimación de concentraciones
en una columna de destilación, para la mezcla etanol-agua. Tesis de maestría. Centro Nacional de
Investigación y Desarrollo Tecnológico, CENIDET. México.
Aguilera-González, A., A. Téllez-Anguiano, C.M. Astorga-Zaragoza, D. Juárez-Romero y E. QuinteroMármol (2010). Validación experimental de un observador de alta ganancia constante continuodiscreto para una columna de destilación binaria. Revista Iberoamericana de Automática y Informática Industrial 7(2), 31–38.
Akhenak, A. (2004). Conception dóbservateurs non linéaires par approche multimodéle: application
au diagnostic. Tesis doctoral. Institut National Polytechnique de Lorraine. Nancy, France.
Alcorta, E. (2002). Diagnóstico de fallas usando observadores no lineales: un caso de estudio.
Ingenierías 5(16), 38–43.
Alcorta, E. y P. Frank (1996). Analysis of a class of dedicated observer schemes to sensor fault isolation.
In: Proceedings on International Conference on Control ’96 UKACC. Vol. 1. Manchester, UK. pp. 60–65.
Alcorta, E. y P. Frank (1997). Deterministic nonlinear observer-based approaches to fault diagnosis: A
survey. Control Engineering Practice 5(5), 663–670.
Alvarez, H. y M. Pe na (2004). Modelamiento de sistemas de inferencia borrosa tipo takagi sugeno.
Avances en Sistemas e Informática 1(1), 1–11.
Anstett, F., G. Millérioux y G. Bloch (2009). Polytopic observer design for lpv systems based on minimal
convex polytope finding. Journal of Algorithms and Computational Technology 3(1), 23–43.
Astorga, C., D. Theilliol, J. Ponsart y M. Rodrigues (2011). Fault diagnosis for a class of descriptor linear
parameter-varying systems. Int. J. Adapt. Control Signal Processing p. DOI: 10.1002/acs.1259.
Balasubramhanyaa, S. y J. Doyle (2000). Nonlinear model-based control of a batch reactive distillation
column. Journal of Process Control 10(2-3), 209–218.
Bara, G., J. Daafouz, F. Kratz y J. Ragot (2001). Parameter-dependent state observer design for affine lpv
systems. International Journal of Control 74(16), 1601–1611.
161
BIBLIOGRAFÍA
Basseville, M. (1988). Detecting changes in signals and systems - a survey. Automatica 24(2), 309–326.
Basseville, M. y V. Nikiforov (1993). Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prentice-Hall,
Inc.. Englewood Cliffs, N.J.
Becraft, W. y P. Lee (1999). An integrated neural network/expert system approach for fault diagnosis.
Computers and Chemical Engineering 17(10), 1001–1014.
Benosman, M. y Y. Lum (2008). On-line references reshaping and control reconfiguration for nonminimum phase nonlinear fault tolerant control. In: Proceedings of the 17th World Congress The
International Federation of Automatic Control (IFAC, Ed.). Seoul, Korea. pp. 2563–2569.
Bernstein, D. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. 2nd ed.. NY, USA.
Bhagwat, A., R. Srinivasan y P. Krishnaswamy (2003). Multi-linear model-based fault detection during
process transitions. Chemical Engineering Science 58(9), 1649–1670.
Bhattacharyya, S. (1978). Observer design for linear systems with unknown inputs. IEEE Transactions
on Automatic Control 23(3), 483–484.
Blanke, M., M. Kinnaert, J. Lunze y M. Staroswiecki (2006). Diagnosis and fault tolerant control. 2nd
ed.. Germany.
Blanke, M., M. Staroswiecki y N. Wu (2001). Concepts and methods in fault-tolerant control. In:
Proceedings of the American Control Conference (IEEE, Ed.). Arlington, VA, USA.
Blanke, M., R. Izadi-Zamanabadi, S. Bogh y C. Lunau (1997). Fault-tolerant control systems - a holistic
view. Control Engineering Practice 5(5), 693–702.
Boskovic, J., J. Jackson y R. Mehra (2008). Multiple model-based adaptive fault-tolerant control of delta
clipper experimental (dc-x) planetary lander. In: American Institute of Aeronautics and Astronautics
Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit (AIAA, Ed.). Honolulu, Hawaii. pp. 1–22.
Boutayeb, M. y M. Darouach (1995). Observers design for non linear descriptor systems. In: Proceedings
of the 34th Conference on Decision and Control. New Orleans, USA. pp. 2369–2374.
Campos, D., E. Palacios y D. Espinoza (2008). Fault detection, isolation, and accommodation for lti
systems based on gimc structure. Journal of Control Science and Engineering.
Chadli, M., J. Daafouz y M. Darouach (2008). Stabilisation of singular lpv systems. In: Proceedings of the
of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul, Korea.
Chan, C., S. Hua y A. Hong (2006). Application of fully decoupled parity equations in fault detection
and identification of dc motors. IEEE Transactions on Industrial Electronics 53(4), 1277–1284.
Chen, F. y W. Zhang (2007). LMI criteria for robust chaos synchronization of a class of chaotic systems.
Nonlinear Analysis 67(12), 3384–3393.
Chen, J., R. Patton y H. Zhang (1996). Design of unknown input observers and robust fault detection
filters. International Journal of Control 63(1), 85–105.
162
BIBLIOGRAFÍA
Chen, J. y R. Patton (1999). Robust model-based fault diagnosis for dynamic systems. Boston, MA, U.S.A.
Cingara, A., M. Jovanovic y M. Mitrovic (1990). Analytical first-order dynamic model of binary
distillation column. Chemical Engineering Science 45(12), 3585–3592.
Clark, N. (1979). The dedicated observer approach to instrument failure detection. In: Proceedings of
the 18th IEEE Conference on Decision & Control. Lauderdale, FL, USA. pp. 237–241.
Corless, M. y J. Tu (1998). State and input estimation for a class of uncertain systems. Automatica
34(6), 757–764.
Dai, L. (1988). Observers for discrete singular systems. IEEE Transactions on Automatic Control
33(2), 187–191.
Darouach, M., M. Zasadzinski, A. Bassong Onana y S. Nowakowski (1995). Kalman filtering with
unknown inputs via optimal state estimation of singular systems. International Journal of Systems
Science 26(10), 2015–2028.
Darouach, M., M. Zasadzinski y D. Mehdi (1993). State estimation of stochastic singular linear systems.
International Journal of Systems Science 24(2), 345–354.
Darouach, M., M. Zasadzinski y M. Hayar (1996). Reduced-order observer design for descriptor systems
with unknown inputs. IEEE Transactions on Automatic Control 41(7), 1068–1072.
Darouach, M. y M. Boutayeb (1995). Design of observers for descriptor systems. IEEE Transactions on
Automatic Control 40(7), 1323–1327.
Debeljkovic, D. (2004). Singular control systems. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive
Systems, Series A: Mathematical Analysis 11, 691–705.
Deshpande, P. y C. Patwardhan (2008). Online fault diagnosis in nonlinear systems using the multiple
operating regime approach. Industrial and Engineering Chemistry Research 47(17), 6711–6726.
Duan, G., A. Wu y W. Hou (2007). Parametric approach for luenberger observers for descriptor linear
systems. Bulletin of the Polish Academy of Technical Sciences 55(1), 15–18.
Eun, Y., C. Gokcek, P. Kabamba y S. Meerkov (2001). Selecting the level of actuator saturation for small
performance degradation of linear designs. In: Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision
and Control (IEEE, Ed.). Vol. 2. Orlando, Florida, USA. pp. 1769–1774.
Frank, P. (1990). Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy
a survey and some new results. Automatica 26(3), 459–474.
Frank, P. (1994). Enhancement of robustness in observer-based fault detection. International Journal
of Control 59(4), 955–981.
Frank, P. y X. Ding (1997). Survey of robust residual generation and evaluation methods in observerbased fault detection systems.. Journal of Process Control 7(6), 403–424.
163
BIBLIOGRAFÍA
Gao, Z. y S. Ding (2007). Actuator fault robust estimation and fault-tolerant control for a class of
nonlinear descriptor systems. Automatica 43(5), 912–920.
Garone, E., A. Casavola, G. Franzè y D. Famularo (2007). New stabilizability conditions for discretetime linear parameter varying systems. In: Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and
Control (IEEE, Ed.). New Orleans, LA, USA. pp. 2755–2760.
Gauthier, J.P. y G. Bornard (1981). Observability for any u(t) of a class of nonlinear systems. IEEE
Transactions on Automatic Control 26(4), 922–926.
Gertler, J. (1998). Fault detection and diagnosis in engineering systems.. 1 ed.. New York.
Gharieb, W., G. Nagib y Z. Binder (1993). Fault diagnosis in dynamic systems using qualitative
parameter identification. In: TOOLDIAG’93 International Conference on Fault Diagnosis. Toulouse,
France. pp. 850–854.
Grenaille, S., D. Henry y A. Zolghadri (2008). A method for designing fault diagnosis filters for lpv
polytopic systems. Journal of Control Science and Engineering 2008(1), 1–11.
Guenab, Fateh (2007). Contribution aux systèmes tolérants aux défauts : Synthèse d’une méthode
de reconfiguration et/ou de restructuration intégrant la fiabilité des composants.. PhD thesis.
Université Henri Poincaré, Centre de Recherche en Automatique de Nancy, Nancy 1. VandoeuvreLes-Nancy, France.
Gustafsson, F. (2007). Statistical signal processing approaches to a fault detection. Annual Reviews in
Control 31(1), 41–54.
Hamdi, H., M. Rodrigues, C. Mechmeche, D. Theilliol y N. Benhadj-Braiek (2009). State estimation for
polytopic lpv descriptor systems: Application to fault diagnosis.. In: 7th IFAC Symposium on Fault
Detection, Supervision and Safety of Technical Processes, Safeprocesses 2009. Barcelona, Spain.
Hamdi, H., M. Rodrigues, C. Mechmeche, D. Theilliol y N. Benhadj-Braiek (2011). Fault detection
and isolation for linear parameter varying descriptor systems via proportional integral observer.
International Journal of Adaptive Control and Signal Processing 00, 2–16.
Hamdi, H., M. Rodrigues, C. Mechmeche y N. Benhadj-Braiek (2010). Robust h∞ fault diagnosis for
multi-model descriptor systems: a multi-objective approach.. In: 18th Mediterranean Conference on
Control and Automation. Marrakech, Morocco.
Hangos, K., J. Bokor y G. Szederkényi (2004). Analysis and control of nonlinear process systems. New
York, USA.
Huang, S. y K. Tan (2009). Fault detection and diagnosis based on modeling and estimation methods.
IEEE Transactions on Neural Networks 20(5), 872–881.
Ichalal, D., B. Marx, J. Ragot y D. Maquin (2009). Fault diagnosis for takagi-sugeno nonlinear
systems. In: 7th IFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety of Technical Processes,
SAFEPROCESS’2009. Barcelona, Spain.
164
BIBLIOGRAFÍA
Isserman, R. (1993). Fault diagnosis of machines via parameter estimation and knowledge processing
: tutorial paper : Fault detection, supervision and safety for technical processes. Automatica
29(4), 815–835.
Izadi-Zamanabadi, R. (2001). Structural analysis approach for fault diagnosis and disturbance decoupling. Elsevier Science 5(5), 709–719.
Jiang, J. (1994). Design of reconfigurable control systems using eigenstructure assignments. International Journal of Control 59(2), 395–410.
Jiang, J. (2005). Fault tolerant control systems - an introductory overview. Automatica SINCA 31(1), 161–
174.
Jiang, Z., W. Gui, Y. Xie y C. Yang (2009). Memory state feedback control for singular systems with
multiple internal incommensurate constant point delays. Acta Automatica Sinica 35(2), 174–179.
Johnson, B., J. Aylor y H. Hana (1988). Efficient use of time and hardware redundancy for concurrent
error detection in a 32-bit vlsi adder. Journal of Solid-State Circuits, IEEE 23(1), 208–215.
Junchao, R., Z. Qingling y Z. Xuefeng (2007). Derivative feedback control for singular systems. In:
Proceedings of the 26th Chinese Control Conference (IEEE, Ed.). Zhangjiajie, Hunan, China. pp. 592–
595.
Kajiwara, H., P. Apkarian y P. Gahinet (1999). Lpv techniques for control of an inverted pendulum. IEEE
Control Systems 19(1), 44–54.
Karný, M., I. Nagy y J. Nonovicová (1999). Quasi-bayes approach to multi-model fault detection and
isolation. Journal of Adaptive Control and Signal Processing.
Koenig, D. (2006). Observer design for unknown input nonlinear descriptor systems via convex
optimization. IEEE Transactions on Automatic Control 51(6), 1047–1052.
Koenig, D., B. Marx y D. Jacquet (2008). Unknown input observers for switched nonlinear discrete time
descriptor systems. IEEE Transactions on Automatic Control 53(1), 373–379.
Koenig, D. y S. Mammar (2001). Design of a class of reduced order unknown inputs nonlinear observer
for fault diagnosis. In: Proceedings of the American Control Conference (IEEE, Ed.). Arlington, VA.
pp. 2143–2147.
Koenig, D. y S. Mammar (2002). Design of proportional-integral observer for unknown input descriptor
systems. IEEE Transactions on Automatic Control 47(12), 2057–2062.
Leith, D. y W. Leithead (2000). Survey of gain-scheduling analysis and design. International Journal of
Control 73(11), 1001–1025.
Levine, J. y P. Rouchon (1991). Quality control of binary distillation columns via nonlinear aggregated
models. Automatica 27(3), 463–480.
165
BIBLIOGRAFÍA
Lim, S. y J. How (2002). Analysis of linear parameter-varying systems using a non-smooth dissipative
systems framework. International Journal of Robust and Nonlinear Control 12(12), 1067–1092.
Linder, P., B. Shafai y M. Saif (1998). Estimating and accommodating unknown actuator faults with pi
observers. In: Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications. Trieste, Italy.
pp. 461–465.
Linhart, A. y S. Skogestad (2009). Computational performance of aggregated distillation models.
Computers and Chemical Engineering 33(10), 296–308.
Lofberg, J. (2004). Yalmip: A toolbox for modeling and optimization in matlab. In: IEEE International
Symposium on Computer Aided Control Systems Design. Taipei, Taiwan. pp. 284–289.
Luenberger, D. (1977). Dynamic equations in descriptor form. IEEE Transactions on Automatic Control
22(3), 312–321.
Lunze, J. y J. Schroder (2004). Sensor and actuator fault diagnosis of systems with discrete inputs and
outputs. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics 34(2), 1096–1107.
Lunze, J. y M. Stefen (2003). Control reconfiguration by means of a virtual actuator. In: Proceedings on
Fault Detection, Supervision and Safety of Technical Processes. Washington D.C., USA. pp. 131–136.
Luyben, W. L. (1992). Practical Distillation Control. Van Nostrand Reinhold. New York, USA.
Malabre, M. y R. Rabah (1993). Structure at infinity, model matching and disturbance rejection for
linear systems with delays. Kibertenika 23(5), 485–498.
Malaiya, Y. y S. Su (1981). Reliability measure of hardware redundancy fault-tolerant digital systems
with intermittent faults. Transactions on Computers, IEEE 30(8), 600–604.
Markovsky, I., S. V. Hukel y B. De Moor (2002). Multi-model system parameter estimation. European
Community TMR Programme.
Marx, B., D. Koenig y D. Georges (2004). Robust fault-tolerant control for descriptor systems. IEEE
Masubuchi, I., T. Akiyama y M. Saeki (2003). Synthesis of output feedback gain-scheduling controllers
based on descriptor lpv system representation. In: Proceedings of the Conference On Decision and
Control. Hawaii, USA. pp. 6115–6120.
Miksch, T., A. Gambier y E. Badreddin (2008). Real-time implementation of fault-tolerant control using
model predictive control. In: Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of
Automatic Control (IFAC, Ed.). Seoul, Korea. pp. 11136–11141.
Murray-Smith, R., T.A. Johansen y R. Shorten (1999). On transient dynamics, off-equilibrium behaviour
and identification in blended multiple model structures. In: 5th European Control Conference (P. M.
Frank, Ed.). Karlsruhe, Germany.
166
BIBLIOGRAFÍA
Narendra, K., J. Balakrishnan y Kermal (1995). Adaptation and learning using multiple models,
switching and tuning. IEEE Control Systems Magazine 15(3), 37–51.
Noura, H., D. Sauter, F. Hamelin y D. Theilliol (2000). Fault-tolerant control in dynamic systems:
application to a winding machine. IEEE Control Systems 20(1), 33–49.
Noura, H., D. Theilliol, J.C. Ponsart y A. Chamseddine (2009). Fault-Tolerant Control Systems. Vol. 1.
Springer.
Omana, M. y J. Taylor (2005). Robust fault detection and isolation using a parity equation implementation of directional residuals. In: Proc. IEEE Advanced Process Control Applications for Industry Workshop (APC2005). Vancouver, Canada.
Park, J., G. Rizzoni y W. Ribbens (1994). On the representation of sensor faults in fault detection filters.
Automatica 30(11), 1793–1795.
Patton, R. (1997). Fault tolerant control: The 1997 situation. International Federation of Automatic
Control IFAC Safeprocess 5(5), 1033–1055.
Paul, B., K. Kang, H. Kufluoglu y M. Alamand K. Roy (2005). Impact of nbti on the temporal performance
degradation of digital circuits. IEEE Electron Device Letters 26(8), 560–562.
Perry, R.H. (1999). Perry‘s Chemical Engineer‘s Handbook.. 7 ed.. McGraw-Hill.
Ploix, J.L. y G. Dreyfus (1997). Early fault detection in a distillation column: An industrial application of
knowledge-based neural modelling. Neural Networks: Best Practice in Europe pp. 21–31.
Polycarpou, M. y A. Vemurij (1998). Learning approach to fault tolerant control: An overview.
Proceedings of the 1998 IEEE ISIC, CIRA, ISAS Joint Conference pp. 157–162.
Puig, V., J. Quevedo, T. Escobet, B. Morcego y C. Ocampo (2004). Control tolerante a fallos (parte ii):
mecanismos de tolerancia y sistema supervisor. Revista Iberoamericana de Automática y Informática
Industrial 1(2), 5–21.
Rehm, Ansgar (2004). Control of linear descriptor systems: a matrix inequality approach. PhD thesis.
Institut für Systemdynamik und Regelungstechnik, University of Stuttgart. Stuttgart, Germany.
Rodrigues, M., D. Theilliol, M. Adam y D. Sauter (2008). A fault detection and isolation scheme for
industrial systems based on multiple operating models. Control Engineering Practice 16(2), 225–239.
Rodrigues, M., D. Theilliol y D. Sauter (2005). Design of an active fault tolerant control and polytopic
unknown input observer for systems described by a multi-model representation. Conference on
Decision and Control and European Control Conference, 2005. CDC-ECC ’05. 44th IEEE pp. 3815–
3820.
Sauter, D., N. Mary, F. Sirou y A. Thieltgen (1994). Diesel engine speed regulation using linear parameter
varying control. In: Proceedings of the Third IEEE Conference on Control Applications. Glasgow, UK.
pp. 883–888.
167
BIBLIOGRAFÍA
Skogestad, S. (1997). Dynamics and control of distillation columns, a tutorial introduction. Transaction
Institution of Chemical Engineers 75(Part A), 539–562.
Staroswiecki, M. (2005). Fault tolerant control : the pseudo-inverse method revisited. In: 16th IFAC
World Congress, International Federation of Automatic Control (IFAC, Ed.). Prague, Czech Republic.
Steinberg, M. (2005). Historial overview of research in reconfigurable flight control. Proc. 16th IFAC
World Congress 219(4), 263–275.
Sun, W., J. Chen y J. Li (2007). Decision tree and pca-based faultdiagnosis of rotating machinery.
Swain, P. y H. Hauska (1977). The decision tree classifier desing and potential.
Tayebi, A. y M. Zaremba (2002). Iterative learning control for non-linear systems described by a blended
multiple model representation. International Journal of Control 75(16/17), 1376–1384.
Téllez-Anguiano, A.C. (2010). Supervisión Electrónica de Columnas de Destilación Basada en Modelos.
Tesis doctoral. Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico. Cuernavaca, Mor.,
México.
Téllez-Anguiano, A.C., C.M. Astorga-Zaragoza, B. Targui, A. Aguilera-González, J. Reyes-Reyes y
M. Adam-Medina (2009). Experimental validation of a high-gain observer for composition estimation in an ethanol-water distillation column. Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering 4(6), 942–
952.
Teppa, P.A. (2008). Control robusto de un sistema lineal de parámetros variantes (lpv): Un enfoque de
las desigualdades matriciales lineales (lmi). Revista de la Facultad de Ingeniería Universidad Central
de Venezuela 23(1), 5–17.
Theilliol, D., H. Noura y J. Ponsart (2002). Fault diagnosis and accommodation of a three-tank system
based on analytical redundancy. ISA Transactions 41(3), 365–382.
Theilliol, D., M. Rodrigues, M. Adam y D. Sauter (2003). Adaptive filter design for fdi in nonlinear
systems based on multiple model approach. In: 5th Symposium on Fault Detection Supervision and
Safety for Technical Processes (IFAC, Ed.). Washington D.C., USA. pp. 693–698.
Toth, R., J. Willems, P. Heuberger y P. Van den Hof (2009). A behavioral approach to lpv systems.. In:
Proceedings of the European Control Conference. Budapest, Hungray. pp. 2015–2020.
Uppal, F., R. Patton y M. Witczak (2006). A neuro-fuzzy multiple-model observer approach to robust
fault diagnosis based on the damadics benchmark problem. Control Engineering Practice 14(6), 699–
717.
Venkatasubramanian, V., R. Rengaswamy, K. Yin y S. Kavuri (2003). A review of process fault detection
and diagnosis: Part i: Quantitative model-based methods. Computers and Chemical Engineering
27(3), 293–311.
Verghese, G., B. Levy y T. Kailath (1981). A generalized state-space for singular systems. IEEE
168
BIBLIOGRAFÍA
Xu, S., P. Dooren, R. Stefan y J. Lam (2002). Robust stability and stabilization for singular systems with
state delay and parameter uncertainty. IEEE Transactions on Automatic Control 47(7), 1122–1228.
Xu, Y., B. Jiang, Z. Gao y R. Qi (2009). Modeling analysis and adaptive observer based fault diagnosis for
near space vehicle. In: Proceedings of the 7th Asian Control Conference. Hong Kong, China. pp. 1114–
1119.
Yang, L., Q. Zhang, X. Duan, D. Zhai y G. Liu (2006). Robust passive control of singular systems with
uncertainties. In: Proceedings of the 2006 American Control Conference (IEEE, Ed.). Minneapolis,
Minnesota, USA. pp. 3643–3647.
Yip, E. y R. Sincovec (1981). Solvability, controllability, and observability of continuous descriptor
systems. IEEE Transactions on Automatic Control 26(3), 702–707.
Zavala-Río, A., A. Aguilera-González, A. Martínez-Sibaja, C.M. Astorga-Zaragoza y M. Adam-Medina
(2011). A generalized design methodology for the output feedback regulation of a special type of
systems with bounded inputs. Int. J. Robust. Nonlinear Control DOI: 10.1002/rnc.1830, Published
online in Wiley Online Library 18 Nov. 2011.
Zhang, K., B. Jiang y V. Cocquempot (2008). Adaptive observer-based fast fault estimation. International
Journal of Control, Automation, and Systems 6(3), 320–326.
Zhang, Q. (2008). Actuator fault diagnosis with robustness to sensor distortion. Journal of Control
Science and Engineering.
Zhang, X., M. Polycarpou y T. Parisini (2002). A robust detection and isolation scheme for abrupt and
incipient faults in nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control 47(4), 576–593.
Zhang, Y. y J. Jiang (2001). Fault tolerant control systems design with consideration of performance
degradation. In: Proceedings of the American Control Conference (IEEE, Ed.). Arlington, VA.
Zhang, Y. y J. Jiang (2002). An active fault tolerant control system against partial actuators failures. IEEE
Proceedings on Control Theory and Applications 149(1), 95–104.
Zhang, Y. y J. Jiang (2008). Bibliographical review on reconfigurable fault-tolerant control systems.
Annual Reviews in Control 32(2), 229–252.
Zhiqiang, Z., D. Hob y Y. Wanga (2010). Fault tolerant control for singular systems with actuator
saturation and nonlinear perturbation. Automatica 46(2), 569–576.
Zhong, G. y X. Zhang (2009). Reliable linear-quadratic optimal control for continuous-time linear
singular systems. In: Control and Decision Conference, 2009. CCDC ’09. (IEEE, Ed.). Daqing, China.
pp. 735–740.
169
170
Apéndice A
Instrumentación de la planta piloto de
destilación
Una columna de destilación consiste de N − 2 platos, un condensador y un hervidor (ver Fig. A.1). Se
etiqueta al condensador con el número 1, al hervidor con el número N , y los platos intermedios son
numerados ascendentemente del condensador al hervidor. La alimentación es depositada en el plato
número f , conocido como plato de alimentación (Luyben (1992)).
Fig. A.1 – Esquema de la columna de destilación.
La energía para que la columna funcione es proporcionada por el calor que aplica la resistencia
171
de calefacción en el hervidor (ver Fig. A.2), lo que causa la evaporación de parte del líquido que
se encuentra en ella. La corriente de vapor, conforme asciende por la torre, se enriquece en el
componente más volátil, lo que causa una corriente de vapor se condensa en el condensador, una
parte de ese líquido condensado se regresa hacia la columna por acción del reflujo (ver válvula de
reflujo en la Fig. A.3) y otra parte se extrae del acumulador como producto destilado.
Fig. A.2 – Resistencia de calefacción.
Fig. A.3 – Válvula de reflujo.
La corriente del líquido que ingresa por el reflujo desciende por gravedad y se va enriqueciendo con el
componente más pesado, que asciende en forma de vapor por el cuerpo de la columna (ver Fig. A.4).
Este proceso de enriquecimiento y empobrecimiento se lleva a cabo en etapas sucesivas de la torre. A la
zona superior al plato de alimentación se le conoce como zona de enriquecimiento o rectificación (ver
la Fig. A.1). En dicha zona, la pureza de la fracción molar líquida del componente ligero se incrementa.
La zona de empobrecimiento o agotamiento se encuentra debajo del plato de alimentación y es, en
donde se realiza la transferencia a un gas (componente ligero) de los componentes volátiles de una
mezcla líquida (etanol-agua).
172
Fig. A.4 – Cuerpo de la columna de destilación.
A cada etapa de la columna le corresponde un grado de pureza de los elementos y la variable que mide
esta propiedad física se le conoce como fracción molar. Las expresiones matemáticas que describen
los procesos de destilación son derivados del balance de materia y de energía alrededor del plato p del
modelo.
El condensador (ver Fig. A.5) está localizado en la parte superior de la columna de destilación, su
función es enfriar el vapor que le llega del cuerpo de la columna, condensándolo hasta llegar a fase
líquida. En esta parte de la columna se establece el reflujo, donde todo o parte del líquido condensado
se regresa a la columna para permitir el equilibrio de fases.
Fig. A.5 – Condensador de la columna de destilación.
173
El hervidor (ver Fig. A.6), está localizada en la parte inferior de la columna, y para la planta piloto de
destilación se puede ver como dos tanques separados interconectados entre sí. En el tanque pequeño
se calienta la mezcla mediante una resistencia calefactora. En el tanque grande se almacena la mezcla
a destilar. Al finalizar la destilación el producto de fondo puede extraerse manipulando una válvula
manual ubicada en la parte inferior del tanque grande.
Fig. A.6 – Hervidor de la columna de destilación.
El cuerpo principal de la planta piloto de destilación está compuesto por diez (10) platos perforados
(ver Fig. A.7), donde es posible el paso de los flujos de líquido y vapor en cada uno de ellos. Para
alimentar mezcla a la columna se puede elegir entre los platos 7 y 9 que cuentan con un arreglo de
válvulas de entrada.
Fig. A.7 – Plato perforado de la columna de destilación.
Durante el proceso de destilación se ponen en contacto el vapor con el líquido. El vapor es generado al
calentar el residuo o fondo (B̌) que se encuentra en el tanque del hervidor y el líquido se genera con el
retorno a la columna de parte del producto destilado (Ď), éstas son las mezclas más pobres y más ricas
respectivamente, del componente mas volátil.
174
Apéndice B
Matrices de firmas de fallas
Con el fin de realizar el aislamiento de las fallas en sensores se presenta la estructura de un banco de
observadores PI-Adaptables dedicados, esta configuración DOS es factible detectar y localizar los fallas simultáneas en los sensores del sistema, de acuerdo al esquema FDI diseñado en el Capítulo 4 del
presente trabajo de tesis.
Este sistema se basa en un banco de observadores PI-Adaptables politópicos, donde cada observador Oi (con i = 1, ..., 8 como el número del sensor) utiliza todas las entradas del sistema u = [L V ] y la
salidas %i = xi y %12 = x12 correspondientes al sensor (si ) y al sensor en el hervidor (s8 ).
Este hecho se debe a que en el hervidor se mantiene la mezcla a destilar y además, es el plato donde se suministra la potencia calefactora para el sistema; de acuerdo a esta característica de la columna
de destilación, se reduce en un grado de libertad la tarea de localización y por lo tanto, una falla que se
presente en el sensor s8 no puede ser localizada. Por lo tanto solamente fallas simultáneas hasta en 6
sensores puedan ser aisladas.
Simulación No. B.1 Localización de fallas simultáneas vía banco de observadores PI-Adaptables politópicos (caso sin perturbaciones):
El objetivo de esta simulación es localizar fallas simultáneas que se han presentado en dos o más sensores de la columna de destilación. El proceso de aislamiento de dichas fallas se hace a través de un
banco de observadores PI-Adaptables politópicos descritos por (4.14), propuestos para detectar y estimar fallas en los sensores de la columna de destilación.
En la configuración de esta simulación, se consideró una mezcla de 2000 ml de etanol, 2000 ml de
agua y una presión total en el proceso de 105.86 kPa; el tiempo total de simulación fue de 180 minutos
a partir que se alcanza el estado estable y el tiempo de muestreo seleccionado fue 3s. Para el desarrollo
de la simulación, se consideran datos reales obtenidos de la plata piloto de destilación; para ello se tienen en cuenta la especificaciones de los componentes de la mezcla dados en la Tabla 2.1, estos datos
175
se encuentran en la literatura (Perry (1999)). Para calcular las composiciones líquidas del componente ligero, además, el modelo utiliza las correlaciones que permiten establecer la relación de equilibrio
líquido-vapor y que son dadas por las Ecs. (2.27)-(2.28). Las pruebas realizadas se efectuaron tomando
en cuenta las condiciones en estado estable que se presentaron en la Tabla 2.2 (ver Capítulo 2, Subsección 2.4.3), como condiciones iniciales de operación en el modelo no lineal.
De igual manera se observa que los parámetros, los cuales son dependientes de las entradas del sistema θ1 (L) y θ2 (V ), varían de acuerdo a la trayectorias generadas por los respectivos actuadores de la
planta piloto de destilación. Estas trayectorias fueron descritas previamente en el Capítulo 2 Subsección 2.4.3, las cuales se mostraron en las Figs. 3.11-3.12.
En este caso, se presentan fallas simultáneas en tres sensores por lo que una nueva matriz de fallas
debe construirse; usando la teoría de permutaciones de combinatoria, es posible calcular el número
de escenarios de falla que pueden presentarse cuando hay fallas simultáneas en tres sensores. Estos
escenarios son también conocidos como secuencias sin repetición y se calculan a partir de la siguiente
ecuación:
κ=
ñ!
m̃!(ñ − m̃)!
(B.1)
donde κ es el número posible de permutaciones sin repetición de elementos, considerando la secuencia la longitud de m̃ describe el número de elementos que se toman dentro de un conjunto de tamaño
ñ. En este caso, ñ = 8 es el número total de sensores del sistema y m̃ = 3 es el número de sensores
con falla simultáneas que desea analizarse, se tiene aquí que existen κ = 56 combinaciones en esta
relación que se describen dentro de la matriz de firmas de fallas. Este método permite detectar fallas
simultáneas hasta en 6 sensores.
Las entradas del sistema que se aplicaron para esta simulación se mostraron en la Fig. 4.9; aquí es
una perturbación del sistema). Así mismo, el modelo singular LPV politópico que guía a los observadores es descrito a través de las funciones de ponderación que fueron calculadas a partir de la Ec. (3.126)
y que se muestran en la Fig. ??.
En las Figs. B.2-B.9, se muestran los residuos generados por los 8 observadores cuando múltiples fallas
simultáneas se presentan en el sistema. Para fines de verificar la versatilidad del banco de observadores
para localizar múltiples fallas, en esta simulación todas las fallas se modelaron con la misma magnitud.
Para llevar a cabo el aislamiento de las fallas que se presentan a partir de los síntomas generados de la
evaluación de los residuos, se procede a verificar en la matriz de firma de fallas que los síntomas que
se activan: S1,4 = 1 y S1,6 = 1, junto con las demás combinaciones que relacionan los sensores s1 , s4 y
s6 ; lo que indica que estos son los sensores que presentan una falla, esto es válido cuando las fallas se
176
presentan de manera simultánea como se muestra en la Fig. B.1, donde se observa en rojo los síntomas
que se activan cuando se producen fallas en estos tres sensores y por comparación con otros sensores
seleccionados, se puede determinar en qué sensores se encuentra la falla.
Fig. B.1 – Matriz para fallas simultáneas en los sensores s1 , s4 y s6 .
Los resultados obtenidos demuestran que el sistema FDI propuesto para la columna de destilación,
con base en observadores PI-Adaptables politópicos, detecta y localiza adecuadamente fallas múltiples y simultáneas en la columna de destilación.
Los resultados de la simulación muestran que el esquema FDI propuesto presenta un buen desempeño para detectar, localizar y estimar fallas en los sensores se la columna de destilación binaria; este
método detectar fallas (errores en la lectura) de hasta de ±0.1o C en los indicadores digitales. Los observadores PI-Adaptables politópicos son altamente confiables para detectar y diagnosticar fallas múltiples y simultáneas en sensores, lo que permite obtener resultados óptimos a partir de la estimación
177
de los estados para la generación de residuos, lo que es una característica deseable en problemas de
detección y diagnóstico de fallas.
0.1
r(1,2)
r(1,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(1,6)
r(1,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(1,8)
0.1
r(1,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(1,4)
r(1,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
Fig. B.2 – Residuos generados por el observador PI-Adaptable O1 para fallas múltiples.
0.1
r(2,2)
r(2,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(2,6)
r(2,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(2,8)
0.1
r(2,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(2,4)
r(2,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (min)
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
178
0.1
r(3,2)
r(3,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(3,6)
r(3,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(3,8)
0.1
r(3,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(3,4)
r(3,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
Residuos generados por el observador O
4
0.1
r(4,2)
r(4,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(4,6)
r(4,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(4,8)
0.1
r(4,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(4,4)
r(4,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (min)
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
179
5
0.1
r(5,2)
r(5,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(5,6)
r(5,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(5,8)
0.1
r(5,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(5,4)
r(5,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(6,2)
r(6,1)
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(6,6)
r(6,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(6,8)
0.1
r(6,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(6,4)
r(6,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (min)
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
180
0
−0.1
7
0.1
r(7,2)
r(7,1)
0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(7,6)
r(7,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(7,8)
0.1
r(7,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(7,4)
r(7,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0
−0.1
8
0.1
r(8,2)
r(8,1)
0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
−0.1
180
0
20
40
60
r(8,6)
r(8,5)
160
180
80
100
120
140
160
180
120
140
160
180
120
140
160
180
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
−0.1
180
0
20
40
60
Tiempo (min)
80
100
Tiempo (min)
0.1
r(8,8)
0.1
r(8,7)
140
Tiempo (min)
0.1
0
−0.1
120
0
Tiempo (min)
−0.1
100
0.1
r(8,4)
r(8,3)
0.1
−0.1
80
Tiempo (min)
Tiempo (min)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (min)
0
−0.1
0
20
40
60
80
100
Tiempo (min)
Para el caso en que existen fallas simultáneas en 6 sensores, se construye una matriz de firmas de fallas
con 28 combinaciones y que se presenta a continuación. Usando la teoría de permutaciones de combi181
natoria, es posible calcular el número de escenarios de falla que pueden presentarse cuando hay fallas
simultáneas en seis sensores usando la Ec (B.1).
En este caso, ñ = 8 es el número total de sensores del sistema y m̃ = 6 es el número de sensores
con falla simultáneas que desea analizarse, se tiene aquí que existen κ = 28 combinaciones en esta
relación que se describen dentro de la matriz de firmas de fallas. Estas relaciones se citan en la Tabla
B1 como sigue:
Tabla B.1 – Combinaciones posibles para el caso de 6 fallas simultáneas
C1 = s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6
C2 = s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s7
C3 = s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s8
C4 = s1 , s2 , s3 , s4 , s6 , s7
C5 = s1 , s2 , s3 , s4 , s6 , s8
C6 = s1 , s2 , s3 , s4 , s7 , s8
C7 = s1 , s2 , s3 , s5 , s6 , s7
C8 = s1 , s2 , s3 , s5 , s6 , s8
C9 = s1 , s2 , s3 , s5 , s7 , s8
C10 = s1 , s2 , s3 , s6 , s7 , s8
C11 = s1 , s2 , s4 , s5 , s6 , s7
C12 = s1 , s2 , s4 , s5 , s6 , s8
C13 = s1 , s2 , s4 , s5 , s7 , s8
C14 = s1 , s2 , s4 , s6 , s7 , s8
C15
C16
C17
C18
C19
C20
C21
C22
C23
C24
C25
C26
C27
C28
= s1 , s2 , s5 , s6 , s7 , s8
= s1 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7
= s1 , s3 , s4 , s5 , s6 , s8
= s1 , s3 , s4 , s5 , s7 , s8
= s1 , s3 , s4 , s6 , s7 , s8
= s1 , s3 , s5 , s6 , s7 , s8
= s1 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8
= s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7
= s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s8
= s2 , s3 , s4 , s5 , s7 , s8
= s2 , s3 , s4 , s6 , s7 , s8
= s2 , s3 , s5 , s6 , s7 , s8
= s2 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8
= s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8
Tabla B.2 – Matriz de firma de fallas para 6 fallas simultáneas
Sítomas →
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
2-8
3-4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C14
C15
C16
C17
C18
C19
C20
C21
C22
C23
C24
C25
C26
C27
C28
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
1
1
1
1
1
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1
1
1
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1
0
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1
1
1
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0
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0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
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1
1
1
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1
1
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1
1
1
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1
1
0
1
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1
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1
1
1
0
1
1
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1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
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0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
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1
1
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1
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1
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0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
182
Tabla B.3 – Matriz de firma de fallas para 6 fallas simultáneas (continuación)
Síntomas →
3-5
3-6
3-7
3-8
4-5
4-6
4-7
4-8
5-6
5-7
5-8
6-7
6-8
7-8
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C14
C15
C16
C17
C18
C19
C20
C21
C22
C23
C24
C25
C26
C27
C28
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
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0
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1
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1
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1
1
1
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1
1
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1
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0
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1
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1
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1
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1
0
1
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1
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1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
183

tesis de doctorado en ciencias

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