Exercices de Physique - Pagesperso

Transcription

Exercices de Physique
???
MPSI
Philippe Ribière
Année Scolaire 2011-2012
Première période
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
2
http://philippe.ribiere.pagesperso-orange.fr/
Table des matières
I
Introduction.
9
1 Notice sur les exercices.
11
2 Mesure, ordre de grandeur, analyse dimensionnelle.
2.1 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Homogénéité en mécanique du solide ♥. . . . . . . . . . . .
2.3 Période du pendule pesant et analyse dimensionnelle ♥. . . .
2.4 Vitesse des ondes dans une corde par analyse dimensionnelle.
2.5 Vitesse des ondes sonores et analyse dimensionnelle. . . . . .
2.6 Champignon atomique lors d’une explosion nucléaire ?. . . .
2.7 La physique adimensionnée ?. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
16
16
17
17
18
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Optique géométrique
19
3 Approximation de l’optique géométrique, Loi de Snell-Descartes
3.1 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 L’interface air-eau ♥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 L’éclat du diamant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Le détecteur de faux diamant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Projecteur au fond d’un bassin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Une interprétation simplifiée du mirage. . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Le prisme à 90˚, modification du trajet de la lumière. . . . . . . . .
3.9 Réflexion et réfraction sur un milieu dispersif. . . . . . . . . . . . .
3.10 Incidence de Brewster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Le mythe du hollandais volant. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Indice d’un liquide. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Déviation par une sphère. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Construction de Huygens. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Optique géométrique dans un milieu inhomogène. ? ? . . . . . . . .
3.16 Chemin (optique) minimal. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
23
24
24
25
25
25
26
26
27
27
28
28
28
29
31
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
4
4 Notion d’objet et d’image. Stigmatisme et aplanétisme dans les conditions de
Gauss.
33
4.1 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Les lentilles minces sphériques dans l’approximation de Gauss.
5.1 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Vrai-Faux de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Construction d’optique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Position de l’objet et de l’image ♥. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Modélisation de l’appareil photo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Appareil photo jetable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Méthode de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Doublet de lentille. ♥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Des lois de Snell Descartes à la lentille simple ?. . . . . . . . . . .
5.10 Etendeur de Faisceau. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
35
36
36
36
39
39
40
41
42
6 Les miroirs sphériques dans l’approximation de Gauss.
6.1 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vrai-Faux de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Construction d’optique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Caractéristiques d’un miroir sphérique. ♥ . . . . . . . . .
6.5 Rétroviseur de voiture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Se voir dans un miroir plan. ? . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Observation expérimentale dans un miroir. . . . . . . . .
6.8 Objet étendu à l’infini et miroir sphérique. ? . . . . . . .
6.9 Cavité optique confocale. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Télescope de Cassegrain. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
45
46
46
49
49
49
49
50
51
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
56
57
57
58
59
8 Le prisme et le goniomètre.
8.1 Questions du TP-cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Déviation dans un milieu dispersif : le prisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
61
62
7 Les
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
instruments d’optique.
Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . .
Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . .
Lunette de Galilée. ♥. . . . . . . . . . . . .
Microscope. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’oeil et ses défauts. ? . . . . . . . . . . . .
Lunette et collimateur, expériences de TP. ?
Lunette de visée à l’infini. ? . . . . . . . . .
Lycée Jean Dautet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ph. Ribière
III
MPSI 2011/2012
5
Electrocinetique 1.
63
9 Rappel sur les équations différentielles, TD Maple.
9.1 Pour s’entraı̂ner, équation différentielle du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Pour s’entraı̂ner, équation différentielle linéaire du second ordre. . . . . . . . . . . . .
67
67
67
10 Etude des circuits dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires
10.1 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
69
11 Les dipôles
71
71
71
12 Etude des circuits électriques dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires
12.3 Charges libres et courant électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Résistance équivalente. ♥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Résistance équivalente et symétrie. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Calcul de générateur équivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Fonctionnement des générateurs. ♥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Générateur de Thévenin et Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Pont de Wheastone. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10La diode. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11Modélisation d’un transistor. ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
73
73
74
74
74
76
77
77
78
78
79
13 Etude du régime transitoire d’un circuit électrique
13.1 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Circuit RC en régime transitoire. ♥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Charge portée par le condensateur dans le circuit RC en régime transitoire.
13.5 Circuit RL en régime transitoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Deux condensateurs chargés, régime transitoire et permanent. ? . . . . . .
13.7 Charge d’un condensateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 Circuit LC réel en signaux carrés. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Décharge d’un condensateur dans un circuit RLC. ? . . . . . . . . . . . . .
13.10Le filtre de Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
81
82
82
83
83
84
85
86
86
IV
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mécanique
89
14 Cinématique du point
Lycée Jean Dautet
93
93
Ph. Ribière
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
MPSI 2011/2012
Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement à accélération constante. . . . . . . . . . .
Accélération subie sur une trajectoire circulaire. . . . .
Le mouvement hélicoı̈dal. Etude dans les deux systèmes
Course de voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement à accélération centrale. ? . . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
de coordonnées.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
15 Dynamique du point dans un référentiel galiléen
15.1 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Vrai-faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 La chute libre et le cinéma. ♥ . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Etude sans frottement. . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Etude avec frottement fluide. . . . . . . . . . . .
15.3.3 Etude avec frottement fluide réaliste. ? . . . . . .
15.4 Le skieur d’Ax les Thermes. . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2 Etude avec une frottement solide. . . . . . . . . .
15.4.3 Etude avec une frottement solide et fluide. ? . . .
15.4.4 Etude des records de descente. ? ? . . . . . . . . .
15.5 La frappe de Noah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.2 Etude avec frottement fluide linéaire. . . . . . . .
15.6 Le Red Bull Diving de La Rochelle. . . . . . . . . . . . .
15.7 Le ressort horizontal avec une masse ♥. . . . . . . . . . .
15.7.2 Etude avec un frottement. . . . . . . . . . . . . .
15.8 Le ressort et la masse vertical : le jouet de Maylis ♥. . .
15.8.2 Etude avec un frottement fluide linéaire. . . . . .
15.9 Ressort sur un plan incliné : le flipper. . . . . . . . . . .
15.10Etude du ressort vertical autour d’une origine quelconque
15.11Le pendule pesant : le balancier de l’horloge. ♥ . . . . .
15.12Une bille dans un bol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.13Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. ? . . . .
15.14Poulies et corde. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.15Deux ressorts. ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.16Voiture au sommet d’une colline. ? ? . . . . . . . . . . .
15.17Corde sur une poutre cylindrique ? ?. . . . . . . . . . . .
Lycée Jean Dautet
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
?.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
94
94
95
95
96
96
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
97
98
98
98
98
99
99
99
100
100
100
101
101
102
102
102
103
103
103
104
105
105
105
106
107
107
108
108
108
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
16 Approche énergétique
16.1 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 La chute libre et le cinéma, approche énergétique. ♥ . . .
16.3.2 Etude avec frottement fluide. . . . . . . . . . . .
16.4 Le skieur d’Ax les Thermes, approche énergétique. . . . .
16.4.2 Etude avec une frottement solide. . . . . . . . . .
16.5 Comparaison des vitesses atteintes en bas d’une descente.
16.6 Le skieur et le remonte-pente. . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Ordre de grandeur dans le sport. . . . . . . . . . . . . .
16.8 Saut à l’élastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9 Etude énergétique du jouet de Maylis. ♥ . . . . . . . . .
16.10Etude énergétique et étude d’une position d’équilibre. . .
16.11Deux ressorts de part et d’autre d’une masse. ? . . . . .
16.12Le pendule pesant : le balancier de l’horloge. ♥ . . . . .
16.13Une bille dans un bol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.14Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. ? . . . .
16.15Jeu dans un parc aquatique. ? . . . . . . . . . . . . . . .
16.16Perle sur un cercle, accrochée à un ressort ? ?. . . . . . .
Lycée Jean Dautet
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
109
109
110
110
110
111
111
111
111
112
112
112
112
113
113
114
115
116
116
117
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
8
Première partie
Introduction.
9
Chapitre 1
Notice sur les exercices.
Les exercices que je signale doivent être cherchés avant le TD. Pour profiter des séances
de TD, il faut avoir vu ses difficultés par rapport à l’exercice et comprendre comment les surmonter.
Le TD peut être une occasion de revenir sur un point de cours, une méthode de résolution ou une
technique de calcul. Mais pour cela, ils doivent être consciencieusement préparés.
Les exercices traités en cours et TD doivent être refaits seuls, sans regarder la correction.
Il faut vous auto évaluer. Les exercices que je sélectionne couvrent l’ensemble des connaissances et
techniques à maı̂triser dans chaque chapitre. Ils constituent un prolongement du cours.
Chaque chapitre a la structure suivante :
1. il débute par un ensemble de questions de cours possibles (mais la liste n’est pas exhaustive et la
formulation peut varier). Ces questions de cours doivent vous permettrent de vérifier que vous
connaissez votre cours. Elles ne seront pas traitées en cours ni en TD sauf si vous en exprimez
le besoin.
2. Le premier véritable exercice est le vrai-faux de cours. Dans cet exercice, il faut corriger l’affirmation si elle est fausse ou justifier l’affirmation si elle est vraie. Cet exercice sera systématiquement
corrigé. Il permet de vérifier que le cours est su et maitrisée malgré une formulation parfois
différente de celle du cours.
3. Viennent enfin les exercices. Comme cela est déjà mentionné plus haut, certains sont des exercices corrigés en cours. Ils sont donc le prolongement essentiel et naturel du cours. Ces exercices
de cours sont suivis d’exercices simples, applications directes du cours. Des exercices proches
de ceux traités en cours vous sont ensuite proposés (et une correction de chaque exercice est
disponible sur simple demande). Enfin si vous souhaitez approfondir vos connaissances, allez
plus loin, vous disposez d’autres exercices, un peu plus difficiles, repérés par le symbole ?.
Ce recueil est donc un outil de travail qui n’est utile que si vous vous l’appropriez (comme toutes
les connaissances.)
Passons à quelques conseils généraux pour les épreuves écrites et orales (souvent issus des rapports
de concours) :
11
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
12
1. Le cours (qui comprends les exercices classiques et les TP) est la base de la connaissance. Le cours
et les exercices doivent être repris sérieusement d’un cours sur l’autre (une simple lecture ne suffit
pas). Les problèmes de concours sont souvent très proches du cours. D’ailleurs un rapport du
concours centrale souligne ”qu’une bonne connaissance du cours permet aux candidats d’obtenir
des notes tout à fait satisfaisantes.”
2. Les commentaires sont valorisés par les correcteurs qui apprécient que les candidats prennent
du recul face à leur résultat. (Homogénéité, ordre de grandeur, pertinence physique, lien avec
les connaissances personnelles,...)
3. Le jury sanctionne ”les figures incomplètes et non soignées, l’absence de numérotation des questions”. Traiter les questions dans l’ordre. (Laisser de la place au besoin.) Encadrer les résultats
et soigner la présentation, sauter des lignes, rayer proprement au besoin et ne raturer pas ”La
clarté du raisonnement est synonyme de clarté de la réaction.”
4. Avant de débuter un exercice, lisez attentivement l’énoncé. Si la formulation peut vous paraı̂tre
déroutante, des mots clefs doivent vous permettre de vous rattacher à une partie de cours.
Les erreurs en exercices viennent souvent d’une mauvaise lecture de l’énoncé. Attention aussi à
l’écueil inverse, à savoir de vouloir reconnaı̂tre un exercice déjà traité et de ne pas s’adapter à
l’énoncé de l’exercice proposé par l’examinateur.
Passons à quelques conseils plus spécifiques pour l’épreuve orale :
1. Pour la question de cours :
Rappeler en deux mots le thème de la question de cours.
Etre précis dans ces réponses (définition, théorème), dire tout ce que l’on sait sans s’étendre au
delà du sujet.
2. Pour l’exercice :
Resituer l’exercice par rapport au cours et préciser les lois physiques utilisées (en justifiant le
choix.)
Faire les calculs jusqu’au bout :” L’ordre de grandeur du résultat est plus important que la
troisième décimale ; l’emploi d’une calculatrice n’est pas toujours indispensable bien qu’il faille
l’avoir sur soi.”
Conclure, faire un retour sur l’exercice et commenter, prendre du recul. Penser au principe de
pertinence : homogénéité et pertinence (par extrapolation au cas limite) du résultat. ”il faut
réagir devant un résultat absurde ; l’analyse dimensionnelle doit être spontanément utilisée pour
tester la validité des relations obtenues”.
3. ”Saluer l’examinateur relève de la règle de politesse, encore en usage nous semble-t-il. Par ailleurs,
on préférera la formule ”Bonjour Monsieur (ou Madame)” au ”Bonjour” trop familier... La tenue
vestimentaire correcte tient de la même règle, surtout pour de futurs cadres supérieurs.” Arriver
à l’heure est aussi une règle élémentaire.
4. Bien tenir le tableau, propre et structuré. Eviter de parler au tableau. ”Que pensez de certains
qui font des calculs au tableau en prenant soin de tourner le dos à l’examinateur, en lui masquant
les calculs et en les commentant à voix basse, de manière rigoureusement incompréhensible.”
Demander toujours à l’examinateur si vous pouvez effacer votre tableau.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
13
5. Ne pas rester blanc et muet. Si vous êtes bloqué, c’est un oral, cherchez à dialoguer avec
l’examinateur et surtout soyez très attentif à ses indications. Néanmoins, rester sobre dans
la présentation : ”Il faut proscrire tout ce qui peut laisser croire à de la désinvolture, celle ci
étant souvent signe d’imprécision et de manque de rigueur.”
Vous pouvez retrouver ce document, ainsi que les devoirs, les TP, et les projections de cours sur :
http ://philippe.ribiere.pagesperso-orange.fr/
http ://www.lyceedautet.fr
Pour toute question, ou complément d’information, vous pouvez prendre contact avec moi :
[email protected]
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
14
Chapitre 2
Mesure, ordre de grandeur, analyse
dimensionnelle.
2.1
Vrai-Faux de cours.
1. La longueur d s’exprime en fonction de deux autres longueurs d1 et d2 : d =
d1 +d2
.
d1 d2
2. L’énergie de la matière est donnée par E = m.c2 , avec c la vitesse de la lumière.
3. L’équation suivante P + µgz = Constante, avec P la pression du liquide, z son altitude et µ sa
masse volumique, est raisonnable du point de vue de l’homogénéité.
r
2(p2 −p1 )
4. La vitesse d’un fluide est v =
S1 2 , où p désigne des pressions, µ sa masse volumique et
µ(1−( S ) )
2
S des surfaces.
5. L’expression − v1 dv
=
dp
1
p0
est homogène. p désigne une pression, v un volume massique
6. L’expression du courant i dans élément de circuit peut être i = i0 exp(− τt2 ) si t et τ désignent
des temps.
7. L’expression de la position d’une masse accrochée à un fil de longueur
p g l dans le champ de
pesanteur g peut être x(t) = x0 cos(ωt) si t désigne un temps et ω = l .
2.2
Homogénéité en mécanique du solide ♥.
Objectifs :
1. Trouver l’unité d’une grandeur dans le système internationnal.
2. Vérifier qu’un résultat est homogène.
L’énergie cinétique d’un solide en rotation est donnée par E = 21 Jω 2 où ω désigne la vitesse de
rotation du solide en rad.s−1 .
1. Quelle est la dimension du moment d’inertie J ?
15
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
16
2. Un élève propose pour formule du moment cinétique de la sphère J, J = 25 m2 R avec m la masse
du solide et R son rayon. Est-ce raisonnable ?
3. Le même élève a trouvé comme résultat du problème de mécanique que l’accélération a du soα−m)g
où M et m désigne des masses et g l’accélération de pesanteur. Est-ce
lide était a = (MMsin
+m+ J
R2
raisonnable du point de vue de l’homogénéité ?
Commentaires :
1. L’étude par analyse dimensionnelle est souvent facilitée par les grandeurs énergétiques puisque
l’énergie est une grandeur ”transversale” de la physique.
2. Vérifier qu’un résultat est homogène permet de détecter bien des erreurs. Pensez à le faire
systématiquement.
2.3
Période du pendule pesant et analyse dimensionnelle ♥.
Objectif :
1. Trouver l’influence des facteurs déterminants par l’analyse dimensionnelle.
On considère un pendule pesant, constitué d’une masse m et d’un fil de longueur l, accroché au
plafond dans le champ de pesanteur g = 9,8 m.s−2 .
Sans faire une étude mécanique du problème, déterminer par un raisonnement sur l’homogénéité,
l’expression de la période T des oscillations du pendule en fonction de g, l et m. Commenter.
Commentaires :
1. Il convient de chercher la grandeur étudiée, ici la période T, comme une produit des facteurs
avec exposant, soit dans le cas présent : T ∝ g a lb mc et de déterminer a, b, c par analyse
dimensionnelle.
2. Le résultat est alors connu à un facteur multiplicatif près.
3. Dans les cas simples, il est possible de déterminer par analyse dimensionnelle comment certains
facteurs influent sur la grandeur étudiée, ce qui évite parfois bien des calculs.
2.4
Vitesse des ondes dans une corde par analyse dimensionnelle.
Dans une corde, une onde peut se propager. L’expérience a été réalisée en terminale. La vitesse de
propagation de l’onde dépend de la tension T de cette corde et de la masse linéique ρ du fil (masse
par unité de longueur).
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
17
1. Donner la dimension dans le système international de la force T et de la masse linéique ρ.
2. Chercher l’expression de la vitesse de propagation c en fonction de T et ρ : c ∝ T α .ρβ
3. Discuter la cohérence du résultat trouvé dans sa dépendance en T et ρ.
2.5
Vitesse des ondes sonores et analyse dimensionnelle.
La vitesse de propagation du son s’exprime en fonction de χ = − v1 dv
, un coefficient de compressidp
bilité du gaz (où v désigne le volume massique et p la pression) et de sa masse volumique µ.
1. Déterminer la dimension de χ.
2. Donner l’expression de la vitesse à une constante près.
2.6
Champignon atomique lors d’une explosion nucléaire ?.
On souhaite connaı̂tre l’énergie libérée lors d’une explosion nucléaire en fonction du rayon r(t) du
champignon atomique.
1. Donner l’expression de l’énergie E en fonction de r(t), t le temps, µ la masse volumique de l’air.
2. Que tracer graphiquement pour estimer E connaissant r(t).
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
2.7
MPSI 2011/2012
18
La physique adimensionnée ?.
Les interactions fondamentales font intervenir certaines constantes, comme la constante G de
gravitation (qui intervient dans la force de gravitation), la constante c célérité de la lumière (qui
intervient en relativité) et } la constante de Planck (qui intervient en mécanique quantique).
1. Donner la dimension de la constante G de gravitation ainsi que de } la constante de Planck
sachant que } est homogène au produit d’une masse, d’une vitesse et d’une distance.
2. Calculer un temps caractéristique t à partir de ces trois constantes et calculer sa valeur
Ce temps caractéristique est appelé temps de Planck, en dessous de ce temps, les physiciens théoriciens
pensent que les quatre interactions fondamentales étaient unifiées dans l’Univers primitif, juste après
le Big Bang donc.
Lycée Jean Dautet
Deuxième partie
Optique géométrique
19
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
21
Figure 2.1 – L’E.E.L.T.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
22
Chapitre 3
Approximation de l’optique géométrique,
Loi de Snell-Descartes
3.1
Question de cours.
1. Nommer les deux types de spectre vues en cours et préciser brièvement dans chaque cas le
principe d’émission de la lumière.
2. Définir l’indice n d’un milieu homogène et isotrope (préciser aussi le sens de ces deux adjectifs).
3. Qu’est ce qu’un dioptre ? Pourquoi adopte-on le modèle du dioptre plan ?
4. Ecrire la relation entre la longueur d’onde λ, la fréquence ν, la période T et la vitesse de l’onde
électromagnétique c dans le milieu.
5. Pour un photon, exprimer l’énergie E successivement en fonction de la longueur d’onde λ, la
fréquence ν, la période T, de la vitesse c de l’onde électromagnétique dans le milieu et la contante
de Planck h. Donner l’ordre de grandeur de E pour des longueurs d’onde visibles.
6. Enoncer les lois de Snell Descartes pour un miroir plan.
7. Enoncer les lois de Snell Descartes relatives au rayon transmis ou réfracté.
8. Enoncer les lois de Snell Descartes.
9. Rappeler le cadre de validité de l’optique géométrique.
10. Calculer l’angle de réflexion totale sur le dioptre air (n=1) / eau (n=1,33)
3.2
Vrai-Faux de cours.
1. La lumière visible correspond à des longueurs d’onde comprises entre 400 et 800nm.
2. λ = 100nm correspond à une lumière infra rouge.
3. Un photon d’énergie 1eV est un photon correspondant à une lumière dans le domaine du visible.
4. Plus la longueur d’onde est faible, plus l’énergie des photons correspondants est faible.
5. La vitesse de la lumière est plus faible dans l’eau que dans l’air.
23
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
24
6. Le verre est un milieu non dispersif.
7. Au passage d’un milieu d’indice n1 à n2 > n1 , l’angle d’incidence est supérieur à l’angle de
réfraction.
8. Un rayon qui passe de l’air à l’eau peut être totalement réfléchi.
3.3
L’interface air-eau ♥.
Objectifs :
1. Appliquer les lois de Snell Descartes.
2. Comprendre la notion de réflexion totale.
3. Utiliser le principe de retour inverse de la lumière.
L’interface air eau est confondue avec le plan Oxy. L’axe Oz est normal à la surface ; l’air d’indice
1 correspond à z > 0 alors que l’eau d’indice n=1,33 occupe l’espace z < 0
1. Le Soleil fait un angle de 60˚ avec la verticale. Déterminer les caractéristiques du rayon réfléchi
et transmis.
2. Préciser les deux conditions pour que la lumière soit totalement réfléchie sur l’interface air-eau.
(Calculer iL ).
3. Pour le Soleil couchant, déterminer sans calcul les caractéristiques du rayon réfléchi et transmis.
Commentaires :
1. Faire un schéma est la meilleure façon de réfléchir mais aussi de présenter les résultats au
correcteur.
2. Ne pas oublier les deux conditions pour la réflexion totale, celle sur les indices et celle sur l’angle
d’incidence.
3. Le principe du retour inverse de la lumière est à manier avec précaution : s’il s’applique sans
difficulté aux rayons transmis, il faut être vigilant quant aux rayons réfléchis.
3.4
L’éclat du diamant.
L’éclat du diamant est lié à sa capacité à piéger la lumière qui pénètre à l’intérieur.
1. Justifier que la lumière pénètre dans le diamant.
2. Calculer iL , l’angle limite d’incidence de la lumière dans le diamant, au-delà duquel la lumière
est totalement réfléchie dans le diamant. Commenter.
Le diamant piège donc une grande partie de la lumière qui s’est introduite, ce qui lui confère son éclat.
La forme du diamant permet aussi de renforcer son éclat.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
3.5
MPSI 2011/2012
25
Le détecteur de faux diamant.
Du verre d’indice nv = 1,7 est taillé à la manière d’un diamant, pour fabriquer des bijoux à bas
coût.
1. Calculer l’angle de réflexion totale en précisant bien le sens de la lumière sur l’interface. Comparer
au cas du diamant où nd = 2,4.
2. Dans l’eau d’indice ne = 1,33, le faux diamant perd son éclat. Justifier.
3.6
Projecteur au fond d’un bassin.
1. Quelle est la (ou quelles sont les) condition(s) pour qu’un rayon passant de l’eau (indice ne =
1,33) à l’air d’indice 1 soit totalement réfléchi ?
2. Un bassin de profondeur d = 1,5 m est totalement rempli d’eau. Un projecteur, considéré comme
ponctuel, se situe au fond de ce bassin et émet de la lumière de manière isotrope. Quel est le
rayon de la tâche lumineuse formée à la surface de l’eau.
Indication : Faire un schéma où figurent plusieurs rayons issus du projecteur au fond du bassin.
Figure 3.1 – Le mirage de la route mouillée.
3.7
Une interprétation simplifiée du mirage.
En été, la couche d’air qui est juste au dessus d’une route bitumée très chaude, possède un indice
très légèrement différent de l’air ordinaire.
On suppose alors que le rayon lumineux dirigé vers la route subit une réflexion totale sur cette couche
d’air surchauffé si son angle d’incidence est supérieur à 89˚.
1. L’indice de l’air surchauffé est-il supérieur ou inférieur à l’air normal ?
2. L’air normal a un indice n = 1,0003, déterminer l’indice de l’air surchauffé.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
26
3. A quelle distance du point d’incidence doit se tenir une personne située à 1,65m au dessus du sol
sachant que la couche d’air surchauffé est d’épaisseur négligeable, pour observer le phénomène ?
Interpréter alors le mirage de la route mouillée et commenter les résultats obtenus.
3.8
Le prisme à 90˚, modification du trajet de la lumière.
Le prisme, dessiné figure 3.2, dont la base est un triangle isocèle, est caractérisé par l’angle adjacent
aux deux côtés de même longueur, appelé angle du prisme ici noté A et de valeur 90˚. Le prisme est
utilisé de telle manière à ce que le plan d’incidence soit parallèle à la base du prisme, comme le montre
le second schéma de la figure.
1. Quel doit être l’indice du verre pour que le prisme à 90˚ dévie la totalité de la lumière. (Commencer par compléter le trajet de la lumière sur le schéma de droite de l’image et penser à
discuter chaque interface).
2. Ce système fonctionne-t-il dans l’eau ?
3. Quelle peut être l’utilisation d’un tel système ?
Figure 3.2 – Le prisme
Ces prismes servent aussi dans les jumelles, comme le montre le schéma 3.3.
3.9
Réflexion et réfraction sur un milieu dispersif.
Un verre d’indice nr = 1,595 pour la lumière rouge et nv = 1,625 pour le violet. Un rayon de
lumière blanche se propage dans ce verre et arrive sous une incidence de 35˚à la surface de séparation
avec l’air.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
27
Figure 3.3 – Modification du trajet de la lumière par un prisme.
1. Sachant que la lumière blanche n’est composée que de quelques raies de lumière (dont une rouge
et une violette étudiée par la suite), expliquer en quelques mots le principe d’émission de la
lumière.
2. Pourquoi dans ce cas précis dit-on que le verre est milieu dispersif ?
3. Calculer l’angle que font dans le verre et dans l’air les rayons rouge et violet. Faire un schéma
où apparaissent les deux rayons rouge et violet.
4. Calculer l’intervalle des angles d’incidence pour avoir réflexion totale pour un rayon (une couleur, préciser laquelle) mais pas pour l’autre.
Cet exercice est à mettre en parallèle de ceux sur le prisme.
3.10
Incidence de Brewster.
Un dioptre plan sépare l’air d’un milieu d’indice n = 1,5. Pour quelle valeur de l’angle d’incidence,
le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté.
En deuxième année, vous découvriez la propriété surprenante de ce cas de figure. Penser à faire un
grand schéma pour bien visualiser la situation.
3.11
Le mythe du hollandais volant. ?
Par temps de brume, dans les mers chaudes, par exemple à proximité du triangle des Bermudes,
lorsque la brume tombe et que l’air devient frais, certains marins ont vu un bateau flottant au dessus
de la brume. Peut on trouver une explication rationnelle ?
Indication : Compte tenu de la nature du mirage, où sont situées les zones d’indice fort ? Qu’est ce
qui peut expliquer que l’indice soit plus fort ?
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
3.12
MPSI 2011/2012
28
Indice d’un liquide. ?
Un faisceau laser placé en S traverse une cuve transparente remplie d’un liquide d’indice n, avant
de frapper un écran en S’. Dans cette cuve, on plonge une petite cuve faite d’un verre d’indice n0 > n,
les faces de cette petite cuve sont parallèles et très rapprochées. Elles délimite un volume d’air dont
l’indice sera pris égale à 1.
Les faces de la petite cuve étant primitivement perpendiculaires à l’axe SS 0 , on fait tourner cette
petite cuve d’un angle θ dans un sens ou dans l’autre, autour d’un axe perpendiculaire au plan de la
figure. On constate que l’image S 0 disparait pour |θ| > θ0 .
1. Expliquer ce phénomène, et montrer que la mesure de θ0 permet de déterminer n.
2. Pour θ0 = 48˚360 , calculer n.
3. Comment effectuer la mesure de θ0 afin de minimiser l’erreur expérimentale.
Indication : Faire un grand schéma en n’oubliant aucune interface.
D’après Oral.
3.13
Déviation par une sphère. ? ?
Un rayon monochromatique se propage dans une sphère homogène transparente d’indice n et après
avoir subi p réflexions, il émerge dans la direction ~u.
1. Faites un schéma pour un rayon émergeant après une réflexion.
2. Calculer la déviation ∆ du rayon émergent par rapport au rayon incident. On exprimera ∆ en
fonction de i, l’angle d’incidence et r l’angle de réfraction.
3. En déduire l’expression pour de ∆ pour p réflexions.
4. Chercher à quelles conditions cette déviation passe par un extremum.
5. Calculer la déviation extrémale pour p = 1 et n = 1,33.
6. Montrer que ∆ passe par un minimum si n > 1.
Ce problème constitue la première partie d’un problème dédié à l’étude de l’arc en ciel. En effet,
la lumière blanche du soleil est décomposée par les gouttes d’eau sphériques (l’eau est un milieu
légèrement dispersif) et l’étude du minimum de déviation, identique à celle réalisée sur le prisme par
la suite, permet de comprendre la formation de cet arc irrisée.
D’après Oral.
3.14
Construction de Huygens. ? ?
Considérons un rayon qui arrivent sur un dioptre en un point M.
Tracer de deux sphères de centre M et de rayon 1/n1 et 1/n2 . Le rayon coupe la sphère de rayon 1/n1
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
29
en A. Tracer du plan (d’onde) tangent à cette sphère, il coupe le dioptre en B. Tracer le plan d’onde
passant par B, tangent à la seconde sphère de rayon 1/n2 en un point C. Le rayon émergeant passe
par C.
Montrer que la construction de Huygens permet de retrouver les lois de Descartes concernant la
réfraction.
Figure 3.4 – Construction de Huygens
Cette construction peut paraı̂tre un peu compliqué mais certains matériaux comme le quartz sont
anisotrope du point de vue de la lumière : l’indice du quartz dépend de la direction de propagation.
Dans ce cas, la construction de Fresnel prend tout son sens.
3.15
Optique géométrique dans un milieu inhomogène. ? ?
Considérons un milieu transparent, stratifié, constitué de couches homogènes d’indices ni , limitées
par des plans parallèles au plan xOy. On considère alors un rayon lumineux traversant ce milieu, en
utilisant les notations de la figure 3.5 ci dessous.
1. Montrer que la trajectoire est globalement plane. Quelles relations lient les indices aux angles
d’incidences correspondants ? Quelle est donc la propriété de la grandeur ni sin θi ?
2. On suppose que les couches sont infinement minces et que l’indice est une fonction continue de z.
Une source lumineuse S, ponctuelle, de coordonnées (0; 0; z0 ) emet un rayon vers les x croissants,
légèrement incliné sur l’horizontale.
Considérons un élement dl de ce rayon, de coordonnées dx et dz. Etablir la relation liant n(z),
dz
.
n0 = n(zO ) et dx
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
30
Figure 3.5 – Milieu stratifié
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
31
3. Pour l’air et pour des altitudes faibles, au voisinage du sol, on suppose que n croı̂t linéairement
avec z quand le solq
est très chaud : n(z) = n0 + α(z − z0 ).
dz
0)
Montrer que dx
.
= 2α(z−z
n0
(On utilisera la fait que (1 + )α ' 1 + α pour << 1).
4. En déduire l’équation de la trajectoire.
5. La source emet en réalité des rayons dans toutes les directions. L’espace, pour simplifier, peut
être séparé en deux zones : une zone proche du sol où les trajectoires sont du type précédent (
l’indice du milieu est variable), une zone supérieure où l’indice est homogène et donc les trajectoires sont linéaires. Qu’observe un observateur ? Comment s’appelle ce phénomène ?
Commentaire : ce problème est un problème de révision, il n’est pas facile de le traiter en début
d’année mais après deux années de CPGE, il devient possible de le faire, et même alors, il demeure
un problème difficile dans le calcul final. Donc ne soyez pas inquiet de ne pas réussir à le faire en ce
début d’année.
D’après Concours.
3.16
Chemin (optique) minimal. ? ?
Les deux questions qui semblent sans lien sont liées. Traiter les séparément avant de vous interroger
sur le lien entre les deux questions.
1. Un maitre nageur situé en A, à une distance a du bord de l’eau (droite Ox) apperçoit un nageur
en détresse en B, à une distance b du bord de l’eau. Il doit intervenir rapidement. Le maitre
nageur se déplace à la vitesse c0 sur le sable et à la vitesse c = cn0 avec n = 1,33 dans l’eau.
Calculer la position du point I, point où le maitre nager doit entrer dans l’eau afin de minimiser
le temps de trajet de A à B.
Le point A est de coordonnée (0,-a), le point B de coordonnée (d,b), et I de coordonnée (xI ,0)
avec xI à déterminer en fonction des données.
Calculer alors le temps τ mis de A à B par le sauveteur.
2. On considère maintenant une source ponctuelle placée en A qui émet de la lumière de manière
isotrope. Déterminer le rayon lumineux qui frappe le point B sachant que le plan (Oxz) est une
interface séparant deux milieux d’indice 1 si y < 0 et d’indice n si y > 0.
3. Calculer le temps τ mis par la lumière pour aller
R Bde A à B.
Le chemin optique est par définition [AB] = A n(P )dl(P ) soit ici [AB] = 1.AI + n.IB. Le
.
temps de parcours τ est minimum si le chemin optique l’est car τ = [AB]
c0
4. Comparer les deux situations.
Commentaire : Cet exercice qui est réapparu récemment aux oraux est d’un type particulier, un peu
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
32
Figure 3.6 – Principe de Fermat.
comme l’exercice sur la construction de Fresnel. Il aborde une notion très fructueuse de la physique :
certains phénomènes physiques sont régis par le principe de moindre action ou principe de Fermat.
Une épreuce D de TIPE du tétraconcours abordait cela en mécanique et en optique. Pour cet exercice, il
est possible de trouver le chemin du rayon lumineux allant de A à B en cherchant le chemin optique qui
minise le trajet de A à B. La notion de chemin optique est par ailleurs utile pour l’optique ondulatoire
de deuxième année.
Lycée Jean Dautet
Chapitre 4
Notion d’objet et d’image. Stigmatisme et
aplanétisme dans les conditions de Gauss.
4.1
Questions de cours.
1. Définir stigmatisme, aplanétisme et un système optique centré.
2. Comment distinguer une image réelle d’une image virtuelle ? Où se situe les images viruelles
pour un miroir ?
3. Définir les conditions de Gauss et préciser leur intérêt pour les systèmes optiques centrés.
4. Définir le foyer objet d’un système optique. Définir le foyer image d’un système optique.
5. Que dire d’un rayon passant le foyer objet de la lentille ?
4.2
Vrai-Faux de cours.
1. Dans les conditions de Gauss, l’étude se limite aux rayons paraxiaux, i.e. peu inclinés et peu
écartés par rapport à l’axe optique.
2. Un objet réel à l’infini a son image au foyer image F’.
3. Un objet réel et ponctuel à l’infini a son image dans le plan focal image.
4. Si un système centré est stigmatique, alors il est aplanétique.
5. Le système est approximativement stigmatique signifie qu’il donne d’un objet ponctuel une tache
de petite taille par rapport au détecteur utilisé.
33
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
34
Chapitre 5
Les lentilles minces sphériques dans
l’approximation de Gauss.
5.1
Questions de cours
1. Que signifie le terme lentille mince ?
2. Définir les conditions de Gauss pour une lentille mince.
3. Que permettent d’obtenir les conditions de Gauss pour les lentilles ?
4. Enoncer puis démontrer la formule de conjugaison de Newton pour les lentilles minces.
5. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour les lentilles minces. Les démontrer à partir
des formules de Newton.
6. Démonter la formule du grandissement de Descartes à partir d’un schéma (sans passer par les
formules de Newton)
7. Un objet AB de 1cm est placé à une distance de 20cm avant la lentille de focale f 0 = 5cm.
(a) Faire un schéma (sans respecter précisément l’échelle) et construire l’image A0 B 0 .
(b) A l’aide des formules de conjugaison de votre choix, calculer la position ainsi que la taille
de l’image.
8. Un objet AB de 1cm est placé à une distance de 10cm avant la lentille de focale f 0 = −5cm.
de l’image.
5.2
Vrai-Faux de cours
1. Une lentille mince sphérique possèdent un stigmatisme et un aplanétisme rigoureux dans les
conditions de Gauss.
2. ”Lentille mince” signifie ”lentille à bord mince”.
35
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
36
3. L’image par une lentille d’un objet ponctuel à l’infini se situe en F’, foyer image.
4. Un objet ponctuel en F, foyer objet d’une lentille, se situe à l’infini, sur l’axe optique.
5. Une lentille convergente donne d’un objet réel une image réelle.
6. La distance minimale entre objet réel et image réelle pour une lentille convergente est 4f 0 .
5.3
Construction d’optique.
Préciser dans chaque cas si l’objet et l’image sont ”réel(le)” ou ”virtuel(le)”. Donner aussi le signe
du grandissement γ et comparer |γ| à 1.
5.4
Position de l’objet et de l’image ♥.
Objectifs :
1. Raisonner sur un schéma de construction en optique.
2. Appliquer les formules de conjugaison.
1. Où est située l’image d’un objet réel situé à 20cm d’une lentille de focale f 0 = 5cm ?
2. Une lentille de focale f 0 = 5cm donne une image virtuelle, à 10cm de la lentille, où est situé
l’objet ?
3. Un objet virtuel situé à 5cm de la lentille donne une image réelle, à 50cm de la lentille. Quelle
est la focale de cette lentille ?
Commentaires :
1. Il faut pouvoir faire les constructions et manipuler les formules de conjugaison dans tous les
sens, en identifiant bien ce qui est connu de ce qui ne l’est pas.
2. Vérifier toujours les résultats du calcul par un petit schéma de construction, même quand celui
ci n’est pas demandé.
5.5
Modélisation de l’appareil photo.
L’objectif de l’appareil photo est assimilable en première approximation à une lentille de focale
f 0 = 5 cm. La pellicule est une plaque rectangulaire centrée sur l’axe optique, de dimension 24 × 36
mm. La mise au point est initialement faite à l’infini, la pellicule est placée en un point nommé P0 .
1. A quelle distance de l’objectif se trouve la pellicule ?
2. De combien faut-il déplacer la plaque afin de photographier une personne située à 5m de l’objectif ? (Faire un schéma.)
3. Quelle est alors la dimension de la portion de plan photographié ?
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
37
Figure 5.1 – Construction sur les lentilles convergentes
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
38
Figure 5.2 – Construction sur les lentilles divergentes
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
39
4. La mise au point ne permet pas de faire varier la distance entre l’objectif et la plaque de plus
de 5mm. Quelle est la distance minimale d’un objet par rapport à l’objectif.
D’après Oral.
Commentaire : Dans un exercice comme celui ci faisant référence à un objet du quotidien, pensez à
”critiquer” vos résultats à partir de votre expérience personnelle.
5.6
Appareil photo jetable.
Dans les appareils photos jetables, la distance entre la lentille objectif et la pellicule est fixée, et
correspond à une mise au point à l’infini.
1. Où est situé la pellicule par rapport à la lentille.
2. Sur la notice de l’appareil, il est dit que tout objet entre D = 3 m et l’infini peut être photographié. En déduire la taille d’un grain de la pellicule, sachant que le diamètre de la lentille (la
distance bord à bord) est d = 3cm.
Indication : faire un schéma pour un objet sur l’axe optique.
D’après Oral
5.7
Méthode de Bessel.
L’objet AB et l’écran sur lequel est observé l’image A0 B 0 , sont fixés, et distants de D. On cherche
à obtenir une image nette A0 B 0 de l’objet sur l’écran à l’aide d’une lentille L, de focale f 0 .
1. Faut il choisir une lentille convergente ou une lentille divergente ?
2. x désigne la distance OA. Trouver l’équation dont p est solution.
3. Montrer que si D ≥ Dmin que l’on précisera, il existe deux positions possibles de la lentille
repérées par O1 et O2 de L.
4. Déterminer les deux solutions et les représenter graphiquement. Dans chaque cas, déterminer
xi = Oi A, x0i = Oi A0 et finalement le grandissement γi . Comparer et commenter.
5. Calculer la distance d = O1 O2 en fonction de f 0 et D
6. Montrer que f 0 s’exprime en fonction de D et d = O1 O2 par la formule suivante :
f0 =
D 2 − d2
4D
2
2
−d
Cet exercice est un grand classique des concours et des épreuves de TP. La formule f 0 = D 4D
est
appelée formule de Bessel, elle permet la détermination de la focale f’ à l’aide de la mesure de d, la
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
40
distance entre les deux positions de la lentilles donnant d’un objet A fixe une image nette A’ sur un
écran fixe.
D’après concours.
5.8
Doublet de lentille. ♥
Objectifs :
1. Raisonner sur un système optique à plusieurs lentilles non accolées.
2. Notion de foyer d’un système optique.
3. Comprendre la modélisation de plusieurs lentilles par une lentille équivalente.
Un doublet de lentille est un ensemble de deux lentilles non accolées, traversées successivement par
la lumière. La première lentille L1 a une focale f10 = 2cm, la seconde lentille L2 une focale f20 = −3cm.
Les deux lentilles sont placées de telles manière à ce que O1 O2 = 6cm.
1. Préciser si les lentilles sont convergentes ou divergentes.
2. Dessiner à l’échelle le doublet de lentille.
3. Un objet AB est situé à une distance O1 A = −4cm. Par le dessin, préciser la position de l’image
intermédiaire A1 B1 ainsi que de l’image finale A0 B 0 . Pour cela, donner O1 A1 et O2 A0 . Donner le
grandissement global.
4. Retrouver par le calcul la position de l’image intermédiaire, de l’image finale et le grandissement
global.
5. Sur une nouvelle figure à l’échelle, tracer deux rayons parallèles à l’axe optique. Ces deux rayons
à la sortie du doublet coupe l’axe optique en un point appelé ”foyer image F 0 de la lentille
équivalente au doublet.” Justifier cette appellation. Déterminer graphiquement la position de F 0
par rapport à O2 .
6. Par le calcul, retrouver la position de F 0 .
7. Sur une nouvelle figure, déterminer la position du ”foyer objet F de la lentille équivalente au
doublet” par rapport à O1 .
8. Par le calcul, retrouver la position de F .
9. Déterminer la position et la vergence de la lentille équivalente au doublet.
Commentaires :
1. Cet exercice sert d’introduction aux instruments d’optique, il permet aussi de voire que si l’on
L
maitrise la relation de conjugaison pour une lentille, il en va de même pour 2 lentilles. A →1
L
A1 →2 A0 , il faut étudier d’abord la première lentille sans se préocuper de la deuxième, construire
l’image intermédiaire, puis étudier la seconde lentille en oubliant la première.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
41
2. L’oculaire utilisé en TP est constitué de deux lentilles mais il sera par la suite modélisé par une
seule lentille : la lentille équivalente.
3. Pour N lentilles, il existe un formalisme mathématique qui permet une étude plus rapide des
solutions : l’optique matricielle.
5.9
Des lois de Snell Descartes à la lentille simple ?.
On s’intéresse à la lentille L, formée de verre d’indice n = 1,6 entre un dioptre plan et un dioptre
sphérique de rayon R = 50cm, comme indiqué sur la figure.
Figure 5.3 – Des lois de Snell Descartes à la lentille
1. D’après le figure, s’agit-il d’une lentille convergente ou divergente ?
2. Justifier que la première interface, air-verre ne joue pas de rôle majeur pour la déviation de la
lumière.
3. Rappeler les lois de Snell Descartes pour le rayon transmis au point I, pour l’interface verre-air
en fonction de i1 , i2 et n.
4. L’étude va s’effectuer dans le cas des petits angles pour lesquels sin(α) ' α, tan(α) ' α et
cos(α) ' 1 où α désigne un angle en radian. Comment se nomme cette condition ? Justifier son
importance pour l’étude de la lentille.
5. Dans le cas des petits angles, réécrire la relation liant i1 , i2 et n.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
42
6. Calculer la distance O3 I en fonction de i1 et R.
7. Calculer alors la distance O3 F 0 en fonction de i1 , i2 et R.
8. En déduire l’expression de O3 F 0 en fonction de R et n uniquement.
9. Justifier que pour une lentille mince O1 ' O2 ' O3 .
10. En déduire la vergence de la lentille. Faire l’application numérique.
11. Le résultat obtenu dépend-il de la distance O3 I, commenter.
12. Sachant que le verre est légèrement dispersif, et que n(λ) = n0 + λB2 avec B > 0 exprimée en
µm, dire si les rayons rouges ou les rayons bleus convergent plus rapidement vers l’axe optique.
Commenter.
Cet exercice est particulièrement intéressant du point de vu de la formation puisqu’il permet de faire le
lien entre les relations de Snell Descartes et les relations de conjugaison de la lentille, tout en montrant
l’importance des conditions de Gauss.
5.10
Etendeur de Faisceau. ?
Un étendeur de faisceau est constitué de 3 lentilles minces L1 , L2 et L3 , de centre optique respectif
O1 , O2 et O3 , et de focale respective f10 > 0, f20 < 0 et f30 > 0. On pose ∆ = O1 O2 et δ = O2 O3 . Le
système est afocal, ce qui signifie que l’image d’un objet à l’infini est à l’infini.
1. Quelles sont les lentilles convergentes et divergentes ?
2. Le système est il dioptrique ou catadioptrique ?
3. Quelle(s) condition(s) sur la position des lentilles doit (doivent) être vérifiée(s) afin d’obtenir un
système afocal ?
(Indication : Quels points doit conjuguer la lentille L2 ?)
4. Ecrire une relation entre ∆, δ et les focales.
5. Connaissant le rayon re du faisceau de lumière entrant, calculez le rayon rs du faisceau en sortie.
Indication : Faites un dessin soigné.
6. Exprimez ∆ en fonction de rs /re et des focales.
7. A.N. pour f10 = 20 mm, f20 = −20mm, f30 = 200mm et rs /re = 20
8. Calculez l’encombrement du système.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
43
Figure 5.4 – L’étendeur de faisceau à trois lentilles.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
44
Chapitre 6
Les miroirs sphériques dans
l’approximation de Gauss.
6.1
Questions de cours.
1. Dessiner puis schématiser un miroir sphérique concave. Préciser en particulier la position du
centre et du foyer.
2. Dessiner puis schématiser un miroir sphérique convexe. Préciser en particulier la position du
centre et du foyer.
3. Enoncer puis démontrer la formule de conjugaison de Newton pour les miroirs sphériques.
4. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour les miroirs sphériques. Les démontrer à
partir des formules de Newton.
5. Démonter la formule du grandissement de Descartes à partir d’un schéma (sans passer par les
formules de Newton).
6. Un objet AB de 1cm est placé à une distance de 20cm d’un miroir concave de rayon R = 5cm.
de l’image.
7. Un objet AB de 1cm est placé à une distance de 20cm d’un miroir convexe de rayon R = 5cm.
de l’image.
6.2
Vrai-Faux de cours
1. Les miroirs obéissent aux lois de Snell Descartes de la réflection.
2. Pour les miroirs, il n’est pas nécessaire de se placer dans les conditions de Gauss.
45
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
46
3. Un miroir concave est aussi appelé miroir convergent, il fait diverger un faisceau de lumière
incident parallèlement.
4. Le miroir convergent a un rayon de courbure SC = R > 0.
5. Le miroir convexe a un foyer virtuel.
6. Pour un miroir convergent, l’image d’un objet est renversée si l’objet est réel.
7. Un rayon qui passe par S, sommet du miroir, n’est pas dévié.
8. Le foyer objet et image sont confondus pour les miroirs concaves.
9. Une image est visible dans le miroir plan si l’objet est face à ce miroir.
6.3
Construction d’optique.
Préciser dans chaque cas si l’objet et l’image sont ”réel(le)” ou ”virtuel(le)”. Donner aussi le signe
du grandissement γ et comparer |γ| à 1.
6.4
Caractéristiques d’un miroir sphérique. ♥
Objectifs :
1. Raisonner sur un schéma de construction en optique.
2. Appliquer les formules de conjugaison.
1. Définir les notions suivantes : stigmatisme, aplanétisme et condition de Gauss.
2. Calculer le rayon de courbure R d’un miroir sphérique pour qu’il donne d’un objet réel placé à
10 m du sommet, une image droite et réduite d’un rapport 5.
3. Préciser la nature de ce miroir.
4. Un objet est placé dans un plan orthogonal à l’axe optique du miroir, au point C. Où se trouve
son image ?
5. Calculer le grandissement du miroir dans ce dernier cas.
D’après oral.
Commentaires :
1. Pour les miroirs comme pour les lentilles, la logique est la même. Il faut pouvoir faire les
constructions et manipuler les formules de conjugaison, en identifiant bien ce qui est connu
de ce qui ne l’est pas.
2. Vérifier toujours les résultats du calcul par un petit schéma de construction, même quand celui
ci n’est pas demandé.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
47
Figure 6.1 – Construction sur un miroir convergent.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
48
Figure 6.2 – Construction sur un miroir divergent.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
6.5
MPSI 2011/2012
49
Rétroviseur de voiture.
Un rétroviseur de voiture est assimilable à un miroir sphérique convexe de vergence V = 2δ, le
diamètre d de l’objet est 12 cm (à ne pas confondre avec le rayon de courbure du miroir).
1. Calculer la position de l’image d’un objet situé à 20m du miroir et le grandissement.
2. Ce rétroviseur est observé par l’oeil du conducteur (attentif) placé à 1m. Calculer le rayon R du
champ de vision à 20 m du rétroviseur.
D’après oral.
Commentaire : Pensez à comparer les résultats avec votre expérience personnelle.
6.6
Se voir dans un miroir plan. ?
Deux personnes mesurent respectivement 1,60m et 1,80m. Leur visage mesure 25 cm de hauteur,
leurs yeux étant situés au milieu du visage (c’est effectivement le cas !). Elles veulent toutes deux
pouvoir voir leur visage dans le miroir.
1. A quelle distance du sol doit être placé le bas du miroir et quelle doit être sa taille
(Indication : tracer les rayons limites arrivant sur le miroir. L’exercice se résoud à l’aide d’un
schéma clair.)
2. Les personnes se voient-elles mieux si elles s’éloignent du miroir ?
D’après oral.
Commentaire : Un schéma claire est très souvent la clef du problème. Cet exercice est un classique,
qui est peut-être moins simple qu’il n’y parait au premier abord. Tous nous avons l’expérience du
miroir plan mais beaucoup d’idées fausses subsistent malgré tout. Faites donc un point sur vos ”idées”
et votre expérience personnelle du miroir plan. Et n’oubliez pas de faire les expériences dans votre
chambre.
6.7
Observation expérimentale dans un miroir.
Une source modélisée par un disque lumineux de centre A et de diamètre B1 B2 = 2cm, est placée
devant un miroir sphérique concave de rayon R = 30cm.
1. La source est placée au milieu de FC. Par un schéma puis par le calcul, déterminer la position
et la taille de l’image de la source.
2. Où faut-il placer son oeil pour voir l’image, la décrire.
D’après oral.
6.8
Objet étendu à l’infini et miroir sphérique. ?
Le diamètre du soleil est d = 1,4.109 m et la distance terre soleil D = 1,5.1011 m.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
50
1. Quel est le diamètre angulaire du soleil ?
On fait une image du Soleil à l’aide d’un miroir sphérique convergent de rayon de courbure 1 m.
La taille du miroir est donnée par son diamètre 10 cm.
2. A quelle position doit on placer l’écran pour que l’image du soleil soit nette ?
3. Quelle est la dimension de la tache lumineuse obtenue en plaçant un écran dans un plan à 50
cm en avant du miroir ?
4. Quelle est la dimension de la tache lumineuse obtenue en plaçant un écran dans un plan à 1 m
en avant du miroir. On négligera d’abord l’ouverture angulaire α, avant de faire le calcul exact.
5. Les jours d’été, la puissance surfacique reçue par la terre est de PS = 1400 W.m−2 . Calculer la
puissance Pe reçue par unité de surface par l’écran situé à 50 cm.
6. Sachant que le miroir réémet cette énergie sous forme de rayonnement Pe = 2σ(Te4 − T04 ) avec
Te la température de l’écran, T0 la température ambiante prise ici à 27˚C, et σ la constante de
Stephan, σ = 5, 7.10−8 W.m−2 .K−4 . Estimer la température de l’écran.
Commentaires : Cet exercice modélise la situation rencontrée au four solaire d’Odeillo.
Figure 6.3 – Le four solaire d’Odeillo, à Font Romeu, d’une puissance d’1 MegaWatt, est l’un des
plus grand du monde.
6.9
Cavité optique confocale. ? ?
Pour former une cavité optique, deux miroirs concaves de même rayon R sont mis face à face,
distants de S2 S1 = D. (Attention : M1 désigne le miroir à droite de la cavité puisque c’est ce miroir
qui réfléchit en premier la lumière.) Le point 0 désigne le milieu de la cavité. Une source de lumière
est placée en A, en x = OA et émet un rayon de lumière vers le miroir M1 .
1. En utilisant les relations de conjugaison de Newton, trouver une relation liant x, R et D afin
M
M
que A soit sa propre image après réflexion sur M1 et M2 : A →1 A1 →2 A0 = A.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
51
2. Discuter l’existence des solutions de cette équation si D 6= R.
3. Que dire dans le cas particulier d’une cavité confocale, où les foyers des deux miroirs sont
confondus, F1 = F2 ?
4. Dans le cas de la cavité confocale, tracer le parcourt d’un rayon initialement parallèle à l’axe
des deux miroirs.
5. Toujours dans le cas de la cavité confocale, tracer le parcours d’un rayon quelconque.
Commentaires : Cet exercice est rédiger de manière difficile, sa résolution est calculatoire et il ne
faut pas se décourager mais il fait étudier une cavité confocale qui est un des éléments essentiels du
LASER.
Figure 6.4 – Cavité confocal et laser.
6.10
Télescope de Cassegrain.
Figure 6.5 – Télescope de Cassegrain
1. Définir les conditions pour obtenir le stigmatisme et l’aplanétisme d’un système optique centré.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
52
2. On considère un miroir sphérique concave de centre C et de sommet S.
Un objet AB assimilable à un segment est placé perpendiculairement à l’axe optique, l’extrémité
A étant située sur cet axe.
Construire, dans le cadre de l’approximation de Gauss, l’image A0 B0 de AB sur la première
figure donnée en annexe. La construction s’effectuera à l’aide de deux rayons émis par B, l’un
passant par C, l’autre par S et on justifiera la trajectoire de chacun.
3. Etablir à l’aide de cette construction les formules suivantes de conjugaison avec origine au
sommet :
1
2
1
+
=
SA SA0
SC
4. En déduire l’existence d’un foyer objet F et d’un foyer image F’ et préciser leurs positions relatives par rapport à S et C.
On considère à présent le télescope de Cassegrain constitué de deux miroirs sphériques M1 et
M2 . Le miroir M1 est concave avec une ouverture à son sommet S1 ; M2 est convexe, sa face
réfléchissante tournée vers celle de M1 .
On observe à travers ce télescope un objet AB dont l’extrémité A est située sur l’axe optique.
L’objet étant très éloigné les rayons issus de B qui atteignent le miroir M1 sont quasiment parallèles et forment avec l’axe optique l’angle α. Après réflexion sur M1 , ces rayons se réfléchissent
sur M2 et forment une image finale A0 B0 située au voisinage de S1 .
5. Effectuer les constructions géométriques des images intermédiaires A1 B1 de AB par M1 et finale
A0 B0 sur la deuxième figure donnée en annexe.
6. On désigne par f1 et f2 les distances focales comptées positivement, des deux miroirs M1 et M2
(f1 = F1 S1 , f2 = F2 S2 ) et par D = S2 S1 la distance séparant les deux miroirs.
Exprimer D en fonction de f1 , f2 pour que l’image finale A0 B0 soit située dans le plan de S1 .
Simplifier cette expression lorsque f1 >> f2 .
7. Déterminer dans ces conditions, la taille de l’image intermédiaire A1 B1 en fonction de α et f1 .
En déduire celle de l’image finale A0 B0 en fonction de α, f1 et f2 .
Simplifier cette expression lorsque f1 >> f2 .
(Rappel : pour << 1 on a (1 + )a ' (1 + a))
8. Application numérique :
Calculer A1 B1 et A0 B0 pour α = 10−3 rad, f1 = 40 cm et f1 /f2 = 20.
Extrait ENSTIM 2005.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
53
Figure 6.6 – Feuille réponse Téléscope de Cassegrain.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
54
Figure 6.7 – Divers téléscopes.
Lycée Jean Dautet
Chapitre 7
Les instruments d’optique.
7.1
Questions de cours.
1. Comment modéliser simplement l’oeil normal ou emmétrope ? Définir entre autre le Ponctum
Proximum et le Ponctum Remotum.
2. Sans calcul, préciser l’intéret d’une loupe pour l’oeil de l’utilisateur.
3. Définir un système afocal, présenter la marche d’un faisceau lumineux en prenant soin de préciser
la position de l’image intermédiaire.
4. Qu’est ce qu’une lunette de visée à frontale fixe ? Donner ses caractéristiques en utilisant une
modélisation simple avec deux lentilles : une lentille oculaire et une lentille de champ.
5. Décrire le principe de la méthode d’autocollimation.
7.2
Vrai-Faux de cours.
1. L’oeil normal voit sans accomoder les objets (ou images) situés au Ponctum Proximum.
2. Pour une utilisation sans fatique de l’oeil normal, l’image fournie par l’instrument d’optique doit
être située à l’infini.
3. L’oeil voit mieux les détails lorsque l’objet ou l’image qu’il regarde est située au Ponctum
Proximum.
4. La latitude de mise au point d’un instrument d’optique est la distance de déplacement de l’objet
afin que l’image finale passe pour l’oeil du Ponctum Proximum au Ponctum Remotum.
5. Avec deux lentilles, l’image finale obtenue est toujours renversée.
6. Une lunette afocale peut s’utiliser indifféremment dans les deux sens.
L
M
7. La relation de conjugaison qui traduit la méthode d’autocollimation est A = F → A1 ∞ →
L
A2 ∞ → A0 = F 0 = F
8. Par autocollimation, on règle la position de la lentille objectif de la lunette de visée afocale et
l’objet utilisée est alors le réticule éclairée.
55
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
56
9. Le miroir doit être placé au foyer objet de la lentille étudiée pour pouvoir effectuer la méthode
d’autocollimation.
7.3
Lunette de Galilée. ♥.
Objectifs :
1. Raisonner sur les formules de conjugaison.
2. Construire la marche d’un faisceau lumineux et faire les calculs correspondants.
3. Savoir utiliser une grandeur définie par l’énoncé.
Une lunette de Galilée est formée d’un objectif assimilable à une lentille convergente L1 , de focale
= 50 cm et d’un oculaire assimilable à une lentille divergente L2 , de focale f2 = 5 cm. L’ensemble
de ces deux lentilles doit constituer un système afocal.
f10
1. Quelle est la position relative des deux lentilles ?
2. Dessinez la marche d’un faisceau lumineux issu d’un point situé à l’infini et vu depuis O1 sous
l’angle α.
3. Déterminez le grandissement angulaire de la lunette, défini par le rapport de l’angle sous lequel
l’image de l’objet est vue à travers la lunette et de l’angle sous lequel l’objet est vu à l’oeil nu
depuis O1 .
4. Sous quel angle voit-on à travers la lunette une tour de 10 m située à 2 km. Peut on distinguer
un chat (de taille 20 cm) sur cette tour (αmin oeil = 10−4 Rad) ?
5. L’observateur curieux ou maladroit prend la lunette réglée dans le sens inverse. Il vise la tour.
Sous quel angle apparaı̂t-elle ?
Figure 7.1 – Rayons dans la lunette de galilée.
Commentaires :
1. L’écriture de la relation de conjugaison guide la réflexion et permet de retrouver rapidement la
condition pour qu’un système soit afocal.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
57
2. La notion de grandissement angulaire nécessite de faire un schéma pour comprendre la définition.
Il ne faut pas être ”impressionné” par ce type de question.
7.4
Microscope.
Un microscope est modélisé par deux lentilles minces convergentes de même axe optique. L’une
L1 (objectif) de distance focale f10 = 5 mm, l’autre L2 (oculaire) de distance focale f20 = 25 mm.
F10 F2 = l = 25 cm. L’oeil est placé au foyer image F20 de l’oculaire. On étudie une cellule en culture
(objet AB), dans un plan de front, A étant situé sur l’axe optique.
1. Où doit être situé le point A pour que l’oeil effectue l’observation sans accommoder ?
2. Représenter alors la marche d’un pinceau lumineux étroit issu du point B. (Ne respecter pas les
échelles !)
3. Soit α0 l’angle sous lequel l’oeil voit l’image définitive de AB à travers le microscope et α l’angle
0
sous lequel il apercevrait l’objet sans se déplacer en l’absence de microscope. Calculer G = αα .
4. Déterminer et construire la position des foyers F et F’ du microscope. Calculer la distance focale
f’ du microscope.
Figure 7.2 – Le microscope.
7.5
L’oeil et ses défauts. ?
1. Un oeil au repos, assimilable à une lentille mince convergente de 62,5 dioptries, a son plan focal
image à 1 mm derrière la rétine. Quel est son défaut ? De quel type de correction (convergente
ou divergente) a-t-il besoin ?
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
58
2. On appelle degré d’amétropie R = OP1 où PR désigne le ponctum remotum. Que vaut il pour
R
un oeil normal ? Calculez le degré d’amétropie de l’oeil décrit ci dessus. ? Le PR est il réel ou
virtuel ?
3. Sachant que l’accommodation maximale augmente sa convergence de 8 dioptries, calculez sa
distance minimale de vision distincte. Le PP est il réel ou virtuel ?
4. L’oeil peut il voir un objet à l’infini ? Commentez le résultat.
5. Calculez la vergence de la lentille de contact pour corriger le défaut.
(Indication : Pour que l’oeil voit net à l’infini, quelle lentille faut il accoler à l’oeil ?)
6. Calculez la vergence du verre correcteur (verre de lunette) qu’il faut placer à 2 cm de son centre
optique O pour qu’il puisse voir nettement à l’infini.
(Indication : Faites un schéma en indiquant les rayons passant par le PR.)
7. Comment un observateur voit il l’oeil corrigé ? Plus grand ou plus petit ?
D’après Oral
7.6
Lunette et collimateur, expériences de TP. ?
1. Une lunette de visée est composée d’un oculaire et d’un objectif, de même axe optique (Ox).
L’objectif est assimilable à une lentille convergente L1 , de focale f10 = 8 cm et d’un oculaire
assimilable à une lentille convergente L2 , de focale f20 = 1 cm. Une réglette graduée est placée
dans le plan focal objet de l’oculaire. O1 O2 = 10 cm.
En pratique, comment placer la réglette dans le plan focal objet de l’oculaire.
Pourquoi ce réglage dépend-il de l’oeil ?
Pour un oeil myope, que cela change-t-il ?
2. L’oeil observe à travers ce système un objet AB. Calculer d = AO1 quand cette image est vue
sans accomoder par l’oeil emmétrope.
3. Quelle est la taille AB d’un objet dont la taille lue sur la réglette est de 5 mm.
4. Que vaut l’incertitude ∆xA sur la position de A ?
5. Posons L = xA − xindex , où xindex désigne la position de la lunette quand on pointe l’objet AB.
Comment s’appelle L ?
6. Que devient L quand O1 O2 = 9 cm ? Comment se nomme ce système ?
7. Expliquez le réglage de la lunette autocollimatrice.
8. Quelles sont les deux utilisations de la lunette autocollimatrice.
9. Comment régler un collimateur à l’infini ? Une fois réglée, où se situe la mire ?
10. Construire sur une figure l’image de l’objet AB, la mire du collimateur, par le système optique :
collimateur + lunette réglée à l’infini. On notera A1 B1 , A2 B2 ... les images intermédiaires successives. (La figure ne doit pas être pas à l’échelle mais les positions relatives des divers objets
sont respectées.)
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
59
11. Lors de la mise au point, comme sur la figure ci dessus, A0 B 0 se forme à 25 cm devant l’oeil,
situé au foyer image de l’oculaire. Calculer FC A sachant que fC0 = 20 cm, f10 = 16 cm, f20 = 4
cm, et OC O1 = 4 cm. De combien faut il avancer ou reculer la mire pour obtenir un collimateur
réglé à l’infini ?
7.7
Lunette de visée à l’infini. ?
Une lunette astronomique est formée d’un objectif assimilable à une lentille convergente L1 , de
focale f10 = 10 cm et d’un oculaire assimilable à une lentille convergente L2 , de focale f20 = 5 cm.
L’ensemble de ces deux lentilles doit constituer un système afocal.
1. Quel est l’encombrement de l’appareil ?
2. Quel est l’intérêt de ce réglage pour un oeil normal ?
3. Dessiner la marche d’un faisceau lumineux issu d’un point situé à l’infini, dont la lumière arrive
sous une incidence α par rapport à l’axe optique.
4. Déterminer le grandissement angulaire de la lunette. L’image est-elle droite ou inversée ?
5. Déterminer la position de l’objet le plus proche visible par la lunette pour un oeil dont le
Ponctum Proximum est à d = 10cm et qui est contre la lentille d’observation.
6. Afin de rétablir l’image dans un sens plus naturel, il est proposé de placer une troisième lentille
convergente L3 , de focale f30 = 2 cm. Comment doit être placée cette lentille, sachant que l’on
souhaite que la taille de l’instrument d’optique soit augmentée un minimum. Le grossissement
est il changé ?
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
60
Chapitre 8
Le prisme et le goniomètre.
8.1
Questions du TP-cours
1. Décrire brièvement l’utilisation du prisme pour décomposer la lumière.
2. Rappeler les 4 relations fondamentales du prisme.
3. A partir des relations fondamentales du prisme, retrouver l’expression de n l’indice du prisme
en fonction de l’angle de déviation minimale et l’angle au sommet du prisme.
4. Faire un schéma de la déviation de la lumière dans un cas quelconque d’utilisation.
5. Faire un schéma de la déviation de la lumière au minimum de déviation.
6. Expliquer brièvement le réglage du goniomètre.
7. Comment chercher expérimentalement le minimum de déviation de la lumière dans un prisme.
8.2
Vrai-Faux de cours.
1. Le collimateur permet de simuler un objet à l’infini et donc d’obtenir un faisceau de lumière
parallèle.
2. La lampe est l’objet vu à travers le collimateur.
3. On règle le collimateur puis la lunette de visée à l’infini.
4. La lunette de visée à l’infini se règle par autocollimation.
5. Pour débuter expérimentalement, il faut mettre la lumière incidente issue du collimateur, perpendiculaire à la face d’entrée du prisme.
6. Le prisme est un milieu non dispersif.
7. Au minimum de déviation, i = i0 = im et r = r0 = rm .
8. Au minimum de déviation, r = r0 = rm = A2 , le rayon à l’intérieur du prisme est alors parallèle
à la face grisée.
9. Au minimum de déviation, l’angle de déviation D passe par un minimum Dm et il est mesuré
avec précision par le goniomètre.
61
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
62
10. Il existe une relation simple entre l’indice du verre et l’angle au minimum de déviation.
11. Une seconde d’angle est 1/60 de rad.
8.3
Déviation dans un milieu dispersif : le prisme.
Un verre d’indice n = 1,595 pour la lumière rouge (λ = 708nm) et n = 1,625 pour le violet
(λ = 423nm). Ce verre suit la loi de Cauchy n(λ) = A + f racBλ2 .
1. Calculer A et B. Ces mesures sont-elles satisfaisantes du point de vue expérimentale ?
2. Un rayon de lumière blanche se propage dans l’air et arrive sous une incidence de 75˚à la surface
de séparation avec le verre du prisme. Calculer l’angle que font dans l’air les rayons rouge et
violet.
3. Sachant que le prisme possède un angle de 60˚, calculer la déviation de chacun des ces rayons
lumineux à travers le prisme.
4. Calculer le minimum de déviation de chacune de ces couleurs.
D’après Oral
Figure 8.1 – Décomposition de la lumière blanche par le prisme (Visualiser bien le chemin de la
lumière dans le prisme).
Lycée Jean Dautet
Troisième partie
Electrocinetique 1.
63
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
65
Figure 8.2 – Divers téléscopes.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
66
Chapitre 9
Rappel sur les équations différentielles,
TD Maple.
9.1
Pour s’entraı̂ner, équation différentielle du premier ordre.
1. Résoudre l’équation différentielle 4 df
+ f = 0. C.I. f (t = 0) = 3
dt
+ u = 5. C.I. u(t = 0) = 0
2. Résoudre l’équation différentielle 9 du
dt
de
3. Résoudre l’équation différentielle a dx
+ e = 0. C.I. e(x = 0) = 1. Quelle est la dimension de a ?
4. Résoudre l’équation différentielle τ du
+ u = E. C.I. u(t = 0) = 0. Quelle est la dimension de τ ?
dt
5. Résoudre l’équation différentielle
ω0 ?
di
dt
+ ω0 .i = 0. C.I. i(t = 0) = i0 . Quelle est la dimension de
k
dC
dt
+ k.C 2 = 0. C.I. C(t = 0) = C0 . Quelle est la dimension de
Commentaires :
1. Toutes les équations différentielles homogènes du premier s’étudient par séparation des variables.
2. Pour les équations différentielles homogènes linéaires du premier ordre, il est possible de donner
directement la forme de la solution.
9.2
Pour s’entraı̂ner, équation différentielle linéaire du second ordre.
d2 f
+ f = 0. C.I. f (t = 0) = 3 et df
(t = 0) = 0
dt2
dt
2
Résoudre l’équation différentielle ddt2f + 16.f = 32. C.I. f (t = 0) = 0 et df
(t = 0) = 0
dt
2
RRésoudre l’équation différentielle ddt2f − 9.f = 0. C.I. f (t = 0) = 5 et df
(t = 0) = 0.
dt
2
de
d e
Résoudre l’équation différentielle dx
2 + dx + e = 0. C.I. e(x = 0) = 1 et ė(x = 0) = 0.
2.
3.
4.
67
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
d2 e
de
+ 3. dx
+ e = 0. C.I. e(x
dx2
2
de
d e
+ 31 . dx
+ e = 0. C.I. e(x
dx2
2
2. ddt2u + 29 . du
+ 8.u = 2. C.I.
dt
68
= 0) = 1 et ė(x = 0) = 0.
= 0) = 1 et ė(x = 0) = 0.
u(t = 0) = 0 et u̇(t = 0) = 0.
8. Résoudre l’équation différentielle en faisant les approximations qui s’imposent
0. C.I. u(t = 0) = 10 et u̇(t = 0) = 0. Quelle est la dimension de ω0 ?
d2 u ω0 du
+ 10 . dt +ω02 .u
dt2
=
2
9. Résoudre l’équation différentielle ddt2u + ωQ0 . du
+ ω02 .u = 0. en fonction de deux constantes
dt
d’intégration que l’on ne cherchera pas à calculer, en supposant le régime pseudo-périodique.
Quelle est la dimension de ω0 et Q ?
2
+ ω02 .u = 0. en fonction de deux constantes
dt
d’intégration que l’on ne cherchera pas à calculer, en supposant le régime critique. Quelle est
alors la valeur de Q ?
2
+ ω02 .u = E. en fonction de deux constantes
dt
d’intégration que l’on ne cherchera pas à calculer, en supposant le régime sous critique.
Commentaires :
1. Les équations différentielles homogènes linéaires du second ordre s’étudient à l’aide du polynôme
caractéristique.
2. Il faut distinguer trois régimes selon le signe du discriminant du polynôme caractéristique.
3. Les équations différentielles homogènes linéaires du second ordre peuvent se mettre sous forme
canoniques.
Lycée Jean Dautet
Chapitre 10
Etude des circuits dans l’approximation
des régimes quasi-stationnaires
10.1
Questions de cours.
1. Enoncer les lois de Kirchhoff (loi des noeuds et loi des mailles).
2. Définir le courant électrique.
3. Quel lien existe-t-il entre résistance et résistivité ? Conductance et résistance ?
4. Sur un circuit, écrire la loi des noeuds et la loi des mailles.
10.2
Vrai-Faux de cours.
1. La loi des noeuds n’est vraie qu’en régime permanent.
2. Les électrons se déplacent dans un conducteur à la vitesse de la lumière.
3. L’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires consiste à négliger le temps de propagation
de l’onde par rapport au temps caractéristique de variation du signal.
4. Dans l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires, le courant et la tension ne dépendent
pas du temps t, d’où le nom quasi stationnaire.
69
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
70
Chapitre 11
Les dipôles
11.1
Questions de cours.
1. Pour un dipôle, définir la convention générateur et la convention récepteur. Que dire de la
puissance ?
2. Dessiner un générateur de tension non idéal dans la convention générateur.
3. Rappeler le lien entre u et i en convention récepteur pour la résistance. Que dire de la puissance ?
4. Rappeler le lien entre u et i en convention récepteur pour la bobine idéale. Que dire de la
puissance ? Comment se comporte-t-il en régime permanent ? Quelle grandeur est continue dans
la bobine idéale ?
5. Rappeler le lien entre u et i en convention récepteur pour le condensateur idéal. Que dire de la
puissance ? Comment se comporte-t-il en régime permanent ? Quelle grandeur est continue dans
le condensateur idéal ?
11.2
Vrai-Faux de cours.
1. Tous les composants électriques peuvent être modélisés par des associations de dipôles linéaires.
2. La loi d’ohm pour une résistance est u = Ri.
3. La résistance est une caractéristique du matériaux étudié.
4. Un condensateur peut emmagasiner de l’énergie.
5. La puissance du condensateur est 12 Cu2 .
6. Pour un générateur, la puissance est toujours positive en convention générateur.
7. Le courant est continu dans la bobine réelle.
8. La puissance est positive si le dipôle reçoit de l’énergie.
71
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
72
Chapitre 12
Etude des circuits électriques dans
l’approximation des régimes
quasi-stationnaires
12.1
Questions de cours.
1. Donner la résistance équivalente à deux résistances en série. Démontrer cette relation.
2. Donner la résistance équivalente à deux résistances en parallèle. Démontrer cette relation.
3. Dessiner le montage diviseur de tension. Donner la tension dans l’une des résistances en fonction
de la tension totale. Démontrer cette relation.
4. Dessiner le montage diviseur de courant. Donner le courant dans l’une des résistances en fonction
du courant totale. Démontrer cette relation.
5. Dessiner un générateur de Thévenin (générateur de tension non idéal). Dessiner le générateur
de Norton équivalent (générateur de courant non idéal). Démontrer la relation entre les deux
générateurs.
6. Rappeler la loi de sommation des générateurs de Thévenin. La redémontrer.
7. Rappeler la loi de sommation des générateurs de Norton. La redémontrer.
8. Dessiner deux générateurs de Thévenin en parallèle, les sommer.
9. Dessiner deux générateurs de Norton en série, les sommer.
12.2
Vrai-Faux de cours.
1. La représentation de Thévenin ou Norton sont deux représentations d’un seul et même dipôle
actif.
2. La résistance équivalente à deux résistances en parallèle est la somme des résistances.
3. Deux résistances en parallèles ont même tension à leur borne.
73
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
74
4. Si deux résistances en parallèles, R1 et R2 , sont respectivement parcourue par un courant i1 et
1
i2 alors i1 = R1R+R
i0 où i0 désigne le courant qui alimente l’ensemble.
2
5. Le théorème de Millman, qui fait intervenir les tensions, est une réexpression de la loi des mailles.
6. Pour deux générateurs de Thévenin en série, le générateur de Thévenin équivalent correspond à
la somme des forces électromotrices (eeq = e1 +e2 ) et à la somme des résistances(Req = R1 +R2 ).
12.3
Charges libres et courant électrique.
Un fil de cuivre de section s=2,5 mm2 est parcourue par un courant i=10 A.
1. Combien d’électrons vont traverser une section de ce fil pendant une seconde.
2. Sachant que chaque atome de cuivre libère deux électrons, calculer la longueur l du fil dans
laquelle étaient contenus ces électrons. MCu = 63,5 g.mol−1 , ρCu = 9.103 kg.m3 , e = −1,6.10−19
C et NA = 6,023.1023
3. Calculer la résistance de ce morceau de cuivre sachant que la conductivité du fil de cuivre est
σ = 108 S.m−1 . Commenter.
12.4
Résistance équivalente. ♥
Objectifs :
1. Raisonner sur un schéma équivalent en électricité.
2. Maitriser les lois d’association de résistance en série et en parallèle.
3. Maitriser les montages diviseur de tension et diviseur de courant.
Figure 12.1a. UAB = 220V , R1 = 10Ω, R2 = 30Ω, R3 = 60Ω, R4 = 120Ω.
1. Calculer la résistance équivalente Réquivalente au circuit résistif Figure 12.1a.
2. Calculer la tension ui et l’intensité du courant ii pour chaque résistance i ∈ [1, 4].
Commentaires :
1. Il faut savoir raisonner par schéma équivalent, dans le sens ”direct” puis ”indirect”.
2. Reconnaitre les associations séries et parallèles permet de trouver plus rapidement les résultats
sans revenir aux lois fondamentales de l’électrocinétique dans l’ARQS : les lois de Kirchhoff.
12.5
Résistance équivalente et symétrie. ? ?
Sur la figure 12.1b, chaque arrête d’un carré élémentaire à une résistance R.
1. En exploitant la symétrie du schéma, montrer que l’on peut supprimer le noeud C et F.
(Indication : Ecrire la loi des noeuds en C, et exploiter la symétrie sur un dessin.)
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
75
Figure 12.1 – Calcul de résistance équivalente.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
76
2. En exploitant la symétrie du schéma, montrer que l’on peut supprimer le noeud E et D.
3. En déduire alors Réquivalente .
D’après Oral
Commentaires : Cet exercice est difficile dans la mesure où il n’est véritablement faisable qu’en
connaissant ”l’astuce” permettant sa résolution. Néanmoins, il reste intéressant car il suggère l’importance de l’utilisation des symétries (aussi appelée principe de Curie) en physique et leur rôle simplificateur. D’autre part, il se retrouve encore à l’oral.
12.6
Calcul de générateur équivalent.
Déterminer le dipôle actif équivalent à celui présenté sur la figure 12.2a.
Figure 12.2 – Calcul de dipôle équivalent ; Fonctionnement des générateurs.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
12.7
MPSI 2011/2012
77
Fonctionnement des générateurs. ♥.
Objectifs :
1. Appliquer les lois de Kirchhoff.
2. Savoir effectuer les transformations Thevenin Norton et raisonner sur les schémas équivalents.
3. Savoir reconnaı̂tre et utiliser un montage diviseur de courant.
4. Savoir appliquer le théorème de Millman.
Les deux piles de la figure 12.2b (e1 ; r1 ) et (e2 ; r2 ) sont branchées sur la résistance R variable.
L’objectif est de déterminer selon la valeur de R le fonctionnement récepteur ou générateur de chacune
des piles. Pour cela, on cherchera par différentes méthodes à calculer le courant i3 dans la résistance
R variable (appelé si nécessaire R3 pour plus de simplicité). On pourra aussi supposer que e2 > e1 .
1. Etablir la loi des noeuds et la loi des mailles.
En déduire alors i3 , puis de i1 .
Calculer la puissance dans la pile 1.
Conclure quant à la valeur de R à partir de laquelle la pile 1 se met à fonctionner en récepteur.
2. A l’aide des transformations de Thévenin Norton, établir le générateur équivalent aux deux
générateurs.
En déduire alors i3 , puis i1 et enfin la valeur de R à partir de laquelle la pile 1 se met à fonctionner
en récepteur.
3. A l’aide du théorème de Millman, calculer la tension dans les trois branches. En déduire alors
i3 , puis i1 et enfin la valeur de R à partir de laquelle la pile 1 se met à fonctionner en récepteur.
Commentaires :
1. Cet exercice permet d’aborder tous les théorèmes de l’électricité. C’est donc un exercice riche, à
refaire en révision.
2. Faire un schéma claire permet d’appliquer correctement la loi des noeuds et la loi des mailles.
3. Les transformations de Thévenin Norton, montage diviseur de courant et de tension, théorème
de Millman... permettent de gagner du temps par rapport à l’application de la loi des noeuds
et des mailles mais il faut se rappeler qu’ils viennent tous des lois de Kirchhoff qui sont les
fondements de l’électrocinétique.
D’après Oral et Concours.
12.8
Générateur de Thévenin et Norton.
Donner le modèle de Thévenin et Norton du dipôle AB de la figure 12.3.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
78
Figure 12.3 – Générateur de Thévenin et Norton.
12.9
Pont de Wheastone. ?
On considère l’association des quatre résistances de la figure 12.4.
1. Sachant qu’un générateur de tension idéal est branché entre A et B, calculer la tension entre le
point C et D.
2. On place une résistance R entre les points C et D. On dit le pont équilibré si, lorsque l’on branche
cette résistance entre C et D, elle n’est parcourue par aucun courant. Quelle est la condition
d’équilibrage du pont ?
3. Même question si le générateur de tension n’est plus parfait mais réel.
D’après Oral et Concours.
Commentaires : Cet exercice est un grand classique. L’intérêt du pont de Wheastone est de pouvoir
déterminer une variation de résistance faible, disons quelques ohms, sur une résistance qui est grande,
de l’ordre des Mégaohms, ce qui serait autrement impossible. Ainsi une jauge de contrainte est une
résistance variable en fonction de la contrainte. La mesure s’effectue en étudiant le ”déséquilibre” du
pont.
12.10
La diode. ? ?
L’on considèrera le modèle d’une diode idéale, qui se comporte soit comme un interrupteur fermé
soit comme un interrupteur ouvert.
1. Tracer la caractéristique de la diode. La diode est elle un dipôle symétrique ? La diode est elle
un dipôle linéaire ?
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
79
Figure 12.4 – Pont de Wheastone
2. Dans le circuit de la figure 12.5a, la tension est sinusoı̈dale : e(t) = e0 sin(ωt). Dessiner la tension
uR (t).
3. Calculer la résistance équivalente au dipôle de la figure 12.5b. Tracer sa caractéristique et commenter.
Commentaires : La diode n’est pas au programme de MPSI, ni au programme de MP, mais au programme de PSI (et donc de PCSI). Néanmoins, il est possible qu’un énoncé de niveau élevé vous
guide et vous fasse étudier ce dispositif qui n’est nullement difficile. Lisez bien l’énoncé et laissez vous
guider.
12.11
Modélisation d’un transistor. ? ?
Considérons le montage de la figure 12.6. Ce montage comprend un transistor (base B, émetteur E
et collecteur C). Le schéma présente le schéma équivalent au transistor, qui comprend une résistance
RB et un générateur de courant βiB . Le courant délivré par ce générateur est donc fonction du courant
qui traverse la résistance iB (On parle de source liée). Un transistor permet d’amplifier un courant.
Exprimer uC en fonction de e, β, RC , RE et RB .
Commentaires : Le transistor n’est pas au programme, ni même les sources liées mais en lisant bien
l’énoncé, en appliquant simplement les lois de Kirchhoff et en se laissant guider, l’exercice est très
simple.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
80
Figure 12.5 – Montage simple avec une diode.
Figure 12.6 – Transistor.
Lycée Jean Dautet
Chapitre 13
Etude du régime transitoire d’un circuit
électrique
13.1
Questions de cours.
1. Quelle grandeur est toujours continue dans le condensateur idéal ? dans la bobine ?
2. Dessiner un circuit RC série. Etudier la charge du condensateur initialement déchargé sous l’effet
d’un générateur E.
3. Dessiner un circuit RC série. Etudier la décharge du condensateur initialement chargé (charge
Q0 ).
4. Ecrire le bilan énergétique lors de la charge du circuit RC.
5. Dessiner un circuit RLC série. Mettre son équation sous forme caractéristique.
6. Préciser qualitativement les différents régimes observables lorsque le circuit RLC est soumis à
un échelon de tension.
13.2
Vrai-Faux de cours.
1. L’énergie est une grandeur continue.
2. Le courant et la tension sont toujours continus pour des composants idéaux.
3. Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent.
4. L’énergie fournie par le générateur de tension continue dans le circuit RC est intégralement
dissipée par effet Joule lorsque t → ∞.
5. Pour un circuit RLC quelconque, le courant en régime libre tend toujours vers 0.
6. Le régime libre du RLC série présente toujours des oscillations.
7. La période des pseudo oscillations du régime libre du RLC série ne dépend que L et C, pas de
R.
8. Plus le facteur de qualité est faible, plus vite le système tend vers le régime permanent.
81
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
82
9. Dans le cas du régime pseudo périodique, le facteur de qualité représente qualitativement le
nombre d’oscillations visibles à l’oscilloscope.
10. Dans le cas du régime pseudo périodique, l’amplitude des oscillations décroı̂t linéairement.
13.3
Circuit RC en régime transitoire. ♥
Objectifs :
1. Savoir obtenir méthodiquement l’équation différentielle de la grandeur souhaitée.
2. Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre, sa solution générale et la recherche
de la solution en tenant compte des conditions initiales (et en les justifiant).
3. Commenter graphiquement la solution et savoir interpréter le temps τ de plusieurs manière.
4. Savoir raisonner énergétiquement.
Un générateur de Thévenin (e0 = 5V , R = 1kΩ) est, à l’instant pris comme origine des temps, mis
en série d’un condensateur idéal C = 100nF initialement déchargé.
1. Trouver l’équation différentielle dont uC (t), la tension aux bornes du condensateur, est solution.
2. Résoudre l’équation différentielle. Représenter graphiquement la solution en faisant clairement
apparaı̂tre un temps caractéristique.
3. Calculer i(t) dans le circuit. Commenter.
4. Faire un bilan énergétique. Calculer l’énergie fournie par le générateur, l’énergie emmagasinée
dans le condensateur et finalement l’énergie dissipée par effet joule en t = 0 et t = ∞
Commentaires :
1. Il faut penser à vérifier l’homogénéité de l’équation différentielle.
2. Il faut penser à vérifier la pertinence de la solution que vous proposée pour l’équation différentielle.
3. Il faut toujours justifier la condition initiale avec soin pour l’étude des régimes transitoires en
électrocinétique.
13.4
Charge portée par le condensateur dans le circuit RC
en régime transitoire.
Un générateur de Thévenin (e0 = 5V , R = 1kΩ) est mis en série d’un condensateur idéal C =
100nF.
1. Trouver l’équation différentielle dont q(t) est solution.
2. Sachant qu’à t=0, le condensateur est partiellement chargé de charge q0 = 100nC, résoudre
l’équation différentielle. Représenter graphiquement la solution en faisant clairement apparaı̂tre
un temps caractéristique.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
83
3. Calculer i(t) dans le circuit. Commenter.
dans le condensateur et finalement l’énergie dissipée par effet joule en t = 0 et t = ∞
Commentaires :
Cet exercice est semblable au premier. Seule la grandeur étudiée n’est pas la même. Il faut donc,
comme toujours bien lire l’énoncé.
13.5
Circuit RL en régime transitoire.
Un générateur de Norton (i0 = 1A, R = 1kΩ) est mis en parallèle d’une bobine idéale d’inductance
L = 100mH.
1. Montrer que ce circuit est équivalent un générateur parfait (de f.e.m. e0 à préciser) mis en série
avec une bobine parfaite et une résistance.
2. Calculer les courants en régime permanent dans chacune des branches.
3. En raisonnant avec le circuit de départ (générateur de Norton), trouver l’équation différentielle
dont iL (t) est solution.
4. Sachant qu’à t=0, la bobine était déchargée et un interrupteur jusqu’alors ouvert a été fermé
sur le générateur de Norton, résoudre l’équation différentielle. Représenter graphiquement la
solution en faisant clairement apparaı̂tre un temps caractéristique.
5. Calculer u(t) aux bornes de L. Commenter.
dans la bobine et finalement l’énergie dissipée par effet joule en t = 0 et t = ∞
Commentaires :
1. L’exercice est très similaire aux deux précédents. La méthode est la même et l’équation trouvée
est aussi une équation différentielle du premier ordre dont la résolution doit être maitrisée.
2. La recherche du régime permanent se fait sur les équivalents en régime permanent des différents
éléments.
3. Il faut la encore justifier avec soin la condition initiale pour l’étude des régimes transitoires en
électrocinétique.
13.6
Deux condensateurs chargés, régime transitoire et permanent. ?
On étudie le montage de la figure 13.1a. A t=0, les condensateurs C et C’ portent respectivement
une charge Q0 et Q00 .
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t). Faire apparaı̂tre un temps caractéristique τ .
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
84
2. Donner l’expression de i(t).
3. Déduire la valeur du courant et des tensions dans le régime permanent atteint. Retrouver ce
résultat par une analyse a priori du système.
4. Donner l’expression de uC (t) et u0C (t). Donnez leur allure graphique.
5. Calculer l’énergie dissipé par effet joule lors du régime transitoire.
D’après oral.
Commentaires :
1. Les équations différentielles étudiées sont stables, il ne faut donc pas de signe négatif dans
l’équation diférentielle, ce qui ne se produit que si l’on n’est pas attentif au convention qu’oblige
l’énoncé.
2. Cet exercice oblige à dériver une équation pour obtenir l’équation différentielle sur la valeur
souhaitée .
3. En dérivant l’équation différentielle, on ”perd une information”. Il faut donc dans la recherche
des conditions initiales revenir à l’équation avant dérivation et la traduire à t=0. Cette méthode
est générale et est donc à retenir.
Figure 13.1 – Charge et décharge de condensateur.
13.7
Charge d’un condensateur.
On étudie le montage de la figure 13.1b. A t=0, le condensateur C est déchargé et on ferme
l’interrupteur K sur le générateur de tension continu E.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
85
1. Sans calcul, en raisonnant sur un schéma, établir la valeur de la tension e régime permanent
u(∞).
2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t). Faire apparaı̂tre un temps caractéristique τ .
3. Donner l’expression de u(t) et des différents courants.
4. En effectuant des transformations Thévenin-Norton sur le schéma du circuit, retrouver les
résultats précédent
5. ? (Question subsidiaire) Retrouver le cas limite vu en cours.
Commentaires :
1. Cet exercice est fort riche, du point de vue de la mise en équation par deux méthodes différentes.
Par ailleurs, ce montage est un grand classique des concours. .
2. Pour établir l’équation différentielle dans un circuit, il faut être méthodique : appliquer les lois de
Kirchhoff, écrire le lien entre u et i dans chaque branche et finalement remplacer en ne perdant
jamais de vu l’objectif : l’obtention d’une équation différentielle sur la grandeur demandée par
l’énoncée.
13.8
Circuit LC réel en signaux carrés. ?
On étudie le montage de la figure 13.2a. Le générateur de tension délivre un signal créneau
symétrique entre E et -E de période T .
1. ? Pourquoi parle-t-on ici de LC réel ?
2. En supposant e(t) = −E, qu’elle est le régime permanent atteint ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t).
1
pour la résolution, ce qui pourra amener à certaines approximations.
On supposera Q0 = 0,1 = 10
4. Quel est le régime observé ?
5. Donner l’expression de u(t) sur une demi période [0 ; T2 ] où e(t) = +E, en fonction de ω0 et des
conditions initiales.
Commentaires :
1. Comme pour l’exercice précédent, la mise en équation dans ce circuit comportant plusieurs
mailles est intéressante et suppose de la méthode.
2. La résolution est assez classique, rédigée comme un exercice d’oral pour la partie approximation
dont il faut prendre l’initiative.
3. Pour les conditions initiales, il faut supposer que le régime permanent est atteint à t = 0− .
4. N’oubliez pas le petit schéma de l’allure du signal.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
86
Figure 13.2 – Circuit RLC ; Décharge de C dans RLC
13.9
Décharge d’un condensateur dans un circuit RLC. ?
On étudie le montage de la figure 13.2b. A t=0, le condensateur C porte une charge Q0 et on ferme
l’interrupteur K.
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t).
2. A quelle condition sur C’ se trouve-t-on dans le régime critique.
3. A l’aide de Maple, trouver la forme des solutions ? ?.
Commentaire : Ici la mise en équation est très simple puisque le circuit ne comporte qu’une seule maille
mais la recherche des conditions initiales est plus difficile : pour trouver l’équation différentielle, il
faut dériver une équation, ce qui oblige pour retrouver les conditions initiales à revenir à l’équation
avant dérivation, comme dans l’exercice 13.6. Cette méthode est générale et doit être maitrisée.
13.10
Le filtre de Wien.
Considérons le schéma 13.3 composé de deux résistances R identiques et deux capacités identiques.
Le générateur e(t) impose une tension e0 si t ≥ 0, nulle sinon.
1. Etablir les équations issues des lois de Kirchhoff. (Numéroter les.)
2. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la tension s(t) comme indiqué sur le schéma en
fonction de e(t).
3. Commenter l’homogénéité de l’équation à partir de vos connaissances.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
87
Figure 13.3 – Le filtre de Wien
4. Mettre l’équation sous forme canonique. Définir alors la pulsation caractéristique ω0 et montrer
que le facteur de qualité est Q = 31 . Quelle est la dimension des deux paramètres introduits ?
5. Dans quel type de régime se trouve le circuit ? Pseudo-périodique, critique ou sous-critique ?
6. Préciser la valeur du second membre de l’équation différentielle dépendant de e(t) compte tenu
des données sur le générateur.
7. Donner la forme de la solution en fonction de deux constantes A et B.
8. Détailler avec soin les deux conditions initiales sur s(t) permettant de calculer les deux constantes.
9. Donner l’expression de s(t)
10. Etudier le comportement lorsque t → ∞. Proposer une interprétation précise de ce résultat.
D’après Concours
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
88
Quatrième partie
Mécanique
89
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
91
Ph. Ribière
Lycée Jean Dautet
MPSI 2011/2012
92
Chapitre 14
Cinématique du point
14.1
Questions de cours.
1. Expliquer brièvement la notion de référentiel.
~ , le vecteur déplacement infinitésimale, le vecteur vitesse et le
2. Définir le vecteur position OM
vecteur accélération en coordonnées cartésiennes.
3. Donner puis démontrer la dérivée des deux vecteurs de la base polaire.
~ , le vecteur déplacement infinitésimale, le vecteur vitesse et le
4. Définir le vecteur position OM
vecteur accélération en coordonnées cylindriques.
5. Définir la base locale polaire et donner l’expression des vecteurs position, vitesse et accélération.
14.2
Vrai-Faux de cours.
1. En mécanique classique, non relativiste, toutes les horloges fonctionnent de la même manière
dans tous les référentiels.
2. L’accélération est la dérivé seconde de la position par rapport au temps dans un référentiel R
galiléen.
3. Pour un mouvement unidimensionnel, la vitesse peut s’écrire ~v = ẋ~ux .
4. Si l’accélération est portée par le vecteur ~uz uniquement, alors le mouvement est unidimensionnel.
5. Dans les coordonnées polaires, le vecteur position est porté par le vecteur ~ur .
6. La dérivée de ~ur par rapport au temps est portée par le vecteur ~uθ .
7. Dans les coordonnées polaires, la vitesse est portée par le vecteur ~uθ .
8. L’accélération est nulle implique que la vitesse est une constante.
9. Réciproquement, la vitesse est constante implique que l’accélération est nulle.
93
Ph. Ribière
14.3
MPSI 2011/2012
94
Mouvement à accélération constante.
On s’intéresse à une chute libre d’une personne pour lequel l’accélération ~a = ~g = −g~uz où g
désigne le champ de pesanteur et ~uz la verticale ascendante. (Ce résultat sera démontré dans le cours
sur la dynamique). La personne qui tombe part à t = 0 d’une altitude h soit un point de coordonnées
(0, 0, h) et avec une vitesse initiale horizontale ~v0 = v0~ux .
1. Calculer l’expression du vecteur vitesse.
2. Calculer l’expression du vecteur position et tracer l’allure de la trajectoire.
3. Calculer le temps de chute ainsi que la vitesse de la personne lors de l’impact au sol (sans
parachute, ce qui est très dangeureux).
Figure 14.1 – Point Break, la chute libre.
14.4
Accélération subie sur une trajectoire circulaire.
Un homme ne peut pas supporter des accélérations de plus de 10g=89,1 m.s−2 .
1. Un avion de chasse est lancé à 2500 km/h. Calculer la place qu’il lui faut dans le ciel pour
effectuer un demi tour (trajectoire semi-circulaire) en conservant la même altitude.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
95
Figure 14.2 – Quelle est la taille de ces traı̂nées d’avion de chasse ?
14.5
Le mouvement hélicoı̈dal. Etude dans les deux systèmes
de coordonnées.
On considère le mouvement dont les équations horaires sont dans le système de coordonnées
cartésiennes :
x(t) = r0 cos(ωt)
y(t) = r0 sin(ωt)
z(t) = hωt
1. Quelle est la dimension de r0 , h et ω (qui sont toutes trois des constantes) ?
2. Montrer que le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy décrit un cercle.
3. Calculer la vitesse et l’accélération dans le système de coordonnées cartésiennes.
4. Déterminer les équations horaires du mouvement en coordonnées cylindriques.
5. Calculer la vitesse et l’accélération dans le système de coordonnées cylindriques.
6. Calculer la norme de la vitesse et de l’accélération dans les deux systèmes. Que remarquez vous ?
7. Tracer l’allure de la trajectoire.
14.6
Course de voiture
Deux voitures, celle de M. Lièvre et celle de M. Tortue, sont sur la ligne de départ, d’une piste
rectiligne. La voiture de M. Tortue démarre dès le coup de pistolet parti et elle accélère avec une
accélération a0 = 2m.s−2 . M. Lièvre , trop sûr de lui et donc distrait, lui ne démarre qu’après un
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
96
Figure 14.3 – Trajectoire hélicoı̈dale.
temps τ = 3s mais avec une accélération 2.a0 . Déterminer, selon la longueur de la piste, le vainqueur.
Donner en fonction de la distance L parcourue par le lièvre, son temps de parcours depuis le coup de
pistolet.
14.7
Trajectoire plane
1. Dessiner la trajectoire de la particule dont le mouvement est décrit par les équations horaires
suivantes x(t) = a. cos(ωt) y(t) = b. sin(ωt)
2. Calculer la vitesse et l’accélération. Commenter.
3. ? Calculer l’accélération tangentielle et l’accélération normale à la trajectoire.
14.8
Mouvement à accélération centrale. ?
−→
Un mouvement est dit à accélération central si ∀M , OM ∧~aM = ~0, ce qui signifie que l’accélération
−→
est toujours dirigée vers un point fixe O. (OM et ~aM sont donc colinéaires.)
−→
On définit alors ~c =OM ∧~vM .
1. Montrer que ~c est une constante. Que pouvez vous en conclure ?
−→
2. Donner l’expression de ~c en fonction des coordonnées cylindriques. Déduire de ~c =cste une
seconde conséquence.
3. On pose u = 1r . Calculer ~v et ~a en fonction de c, u et
Lycée Jean Dautet
du
.
dθ
?
Chapitre 15
Dynamique du point dans un référentiel
galiléen
15.1
Question de cours.
1. Définir un référentiel galiléen (ou une formulation équivalent : comment caractériser un référentiel
galiléen ?)
2. Enoncer les trois lois de Newton.
3. Définir la force de gravitation et la force d’interaction électrostatique.
4. Définir la force qu’exerce le ressort sur une masse ponctuelle.
5. Définir les frottements solides (dans le cas du glissement en première année uniquement).
6. Rappeler l’équation différentielle d’un oscillateur autour d’une position d’équilibre stable. Résoudre
cette équation.
7. Etudier le mouvement d’un oscillateur sur un plan horizontal.
8. Etudier le mouvement du pendule pesant dans l’approximation des petits angles.
15.2
Vrai-faux de cours.
1. La masse caractérise l’inertie du système, c’est à dire sa ”résistance” à une variation de vitesse.
2. La masse est invariante par changement de référentiel galiléen.
3. Le premier principe de Newton affirme que dans un référentiel galiléen, le mouvement d’un point
isolé est uniforme.
4. Le poids est une force de contact.
5. Le poids est essentiellement lié à la force d’interaction gravitationnel sur la terre.
6. L’intensité de la force d’un ressort est proportionnelle à l’allongement du ressort.
7. En l’absence de frottement solide, la réaction du support est perpendiculaire au support et
s’oppose au poids.
97
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
98
8. En présence de frottement solide, dans le cas du glissement uniquement, la force tangentielle
résultante est opposée au mouvement.
9. Pour soulever une masse m du sol à l’aide d’une corde et d’une poulie fixée au plafond, il faut
exercée une force f~ dont le module est égale à m.g
15.3
La chute libre et le cinéma. ♥
Objectifs :
1. Poser clairement un exercice : définir le système et le référentiel, faire le bilan des forces et le
bilan des inconnues cinématiques.
2. Trouver l’équation différentielle de la chute libre et la résoudre avec les conditions initiales.
3. Interpréter les résultats pour répondre à une problématique.
4. Interpréter qualitativement les frottements fluides.
Dans le film Point Break, le héro Johnny Utah (incarné par Keanu Reeves) saute sans parachute
d’un avion pour rattraper Bodhi (incarné par Patrick Swayze) qui lui s’est équipé d’un parachute. Le
héro pourtant parti quelques instants après parvient à rattraper son adversaire.
On supposera que tous deux partent sans vitesse initiale (en se plaçant dans le référentiel de l’avion
qui est galiléen puisque l’avion avance rectilignement, à vitesse constante, comme nous les verrons
ultérieurement.)
15.3.1
Etude sans frottement.
1. Etablir l’équation vérifiée par z̈(t).
2. Calculer ż(t) et z(t).
3. Conclusion : Johnny peut-il rattraper Bodhi ?
15.3.2
Etude avec frottement fluide.
On suppose maintenant que tous sont soumis, en plus, à la résistance de l’air. f~ = −h~v .
1. Etablir l’équation vérifiée par z̈(t).
2. Poser vz = ż(t). Donner l’équation vérifiée par vz . La résoudre.
3. Calculer x(t) et z(t).
15.3.3
Etude avec frottement fluide réaliste. ?
On suppose maintenant que tous sont soumis à la résistance de l’air plus réaliste |f~| = − 21 Cv 2 . La
force de frottement fluide pour des vitesses élevées est quadratique et augmente donc considérablement
avec la vitesse.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
99
1. Etablir l’équation vérifiée par vz (t).
2. Calculer la vitesse limite vlimite
3. Réexprimer l’équation vérifiée par vz (t) en fonction de vlimite . La résoudre. ?
Commentaires :
1. Bien identifier le nombre total d’inconnues, soit cinématique, soit dynamique .
2. Pour la chute libre sans frottement, deux masses tombent à la même vitesse sans distinction de
leur forme.
3. Pour la chute libre avec frottement, deux masses tombent à des vitesses différentes selon leur
masse et leur aérodynamisme.
4. Négliger une force se fait en la comparant à une autre force.
15.4
Le skieur d’Ax les Thermes.
Un skieur se trouve au sommet d’une piste d’Ax les Thermes faisant un angle α avec l’horizontale
et de dénivelée h. A t=0, il part sans vitesse initiale.
15.4.1
Dans cette partie, l’étude s’effectue sans frottement d’aucune sorte.
1. Que dire de la réaction du support.
2. Etudier le mouvement lors de la décente.
3. Calculer la vitesse en bas de la pente.
15.4.2
Etude avec une frottement solide.
Dans cette partie, l’étude s’effectue en tenant compte de la force de frottement solide de coefficient
f.
1. Rappeler ce qu’est un frottement solide et dans quelle situation précise se trouve-t-on. Rappeler
le lien entre la composante tangentielle T (module de T~ ) et la composante normale N de la
réaction du support. Représenter avec soin ces deux composantes sur un schéma.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
100
Figure 15.1 – Quelle est la vitesse atteinte par le skieur ?
15.4.3
Etude avec une frottement solide et fluide. ?
Dans cette troisième partie, l’étude tient compte du frottement solide de coefficient f et d’un
frottement fluide linéaire (ce qui est peu réaliste mais intéressant et surtout plus simple en première
approximation) f~ = −h~v .
15.4.4
Etude des records de descente. ? ?
Dans cette quatrième et dernière partie, l’étude ne tient plus compte du frottement solide mais d’un
frottement fluide quadratique (ce qui est plus réaliste) f~ = − 12 Cv~v . Par contre la force de frottement
solide est ici négligée.
1. Calculer la vitesse limite atteinte après le régime transitoire. Estimer le coefficient C de manière
à obtenir un résultat cohérent avec le record du monde de vitesse de descente à ski.
2. Trouver l’équation différentielle vérifée par la vitesse.
3. ? ? Résoudre cette équation différentielle.
(Equation différentielle non linéaire du premier ordre, donc à variable séparable)
Commentaire : Cette dernière partie sera reprise et prolongée par un TD d’informatique sur la méthode
d’Euler, méthode qui permet de résoudre de manière approximative (ou numérique) les équations
différetielles, même les non solubles. Comme cette équation différentielle est soluble, il est possible de
quantifier la qualité des résultats de la résolution numérique en fonctio, du pas de résolution choisi.
15.5
La frappe de Noah.
Noah, qui fut le joueur de tennis, tape à instant t = 0 dans une balle (de tennis) de masse m, situé
à une distance d = 1m du sol, et lui communique une vitesse ~v0 horizontale.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
15.5.1
MPSI 2011/2012
101
L’étude est en première approximation supposée sans frottement.
1. En supposant la balle comme ponctuelle et confondue avec son centre de gravité, quelle mouvement de l’objet n’est pas décrit.
2. Etablir l’équation vérifiée par ẍ(t) et z̈(t).
4. Sachant que le joueur est situé au moment de sa frappe à une distance d=20m de la ligne de
fond adverse, calculer la vitesse maximum qu’il doit communiquer à la balle
5. Calculer le module de la vitesse et la direction de la vitesse lors de l’impact au sol.
6. On admet que la balle repart après rebond comme la lumière est réfléchie sur un miroir. Décrire
la vitesse juste après le rebond. Cette description vous semble-t-elle correcte.
7. Sans calcul, décrire le mouvement de la balle après rebond. Est ce réaliste ?
Figure 15.2 – Noah en joueur de tennis
15.5.2
Etude avec frottement fluide linéaire.
On suppose maintenant que le balle est soumise, en plus, à la résistance de l’air. f~ = −h~v .
1. Quelle est la dimension de h ?
2. Etablir l’équation vérifiée par ẍ(t) et z̈(t).
4. Calculer le module de la vitesse et la direction de la vitesse lors de l’impact au sol. Commenter.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
15.6
MPSI 2011/2012
102
Le Red Bull Diving de La Rochelle.
Un homme supposé ponctuel de masse M=80kg saute d’une falaise de hauteur h=5m. Pendant cette
chute de courte durée, les frottements de l’air sont négligés mais une fois dans l’eau, les frottements de
l’eau se mettent sous la forme f~ = −α~v . On tient aussi compte de la poussée d’Archimède dans l’eau,
qui est supposée compenser exactement le poids de la personne. Donner la profondeur p atteinte par
le plongeur en fonction de h.
Figure 15.3 – Le vainqueur du Red Bull Diving à La Rochelle.
15.7
Le ressort horizontal avec une masse ♥.
Objectifs :
2. Trouver l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique autour de sa position d’équilibre
stable et la résoudre avec les conditions initiales.
On considère un objet de masse m attaché à l’extrémité d’un ressort horizontal de raideur k et de
longueur à vide l0 .
15.7.1
L’étude s’effectue dans cette partie sans frottement (ni solide, ni fluide).
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
103
1. Etablir l’équation vérifiée par ẍ(t).
2. Calculer x(t) sachant que le ressort est, à t=0, allongée d’une longueur a et lâchée sans vitesse
initiale.
3. Que dire de la nature du mouvement ?
15.7.2
Etude avec un frottement.
L’étude s’effectue dans cette partie avec un frottement fluide de type linéaire, de coefficient α. Le
coefficient de frottement solide f est lui nul.
1. Rappeler l’expression de la force de frottement fluide décrite ci-dessus. Donner la dimension de
α et f . Quel conséquence implique f = 0 ?
2. Etablir l’équation vérifiée par ẍ(t).
3. Calculer x(t) sachant que le ressort est, à t=0, allongée d’une longueur a et lâchée sans vitesse
initiale et que le coefficient de qualité du système est 100.
4. Quelle difficulté voyez vous à effectuer l’étude en présence de frottement solide (i.e. avec f non
nul) ?
Commentaires :
1. L’oscillateur harmonique sans frottement autour d’une position d’équilibre stable est une équation
différentielle homogène du second ordre sans premier ordre du type ẍ + ω02 x = 0.
2. L’oscillateur harmonique avec frottement autour d’une position d’équilibre stable est une équation
différentielle homogène du second ordre avec un premier ordre du type ẍ + ωQ0 .ẋ + ω02 x = 0.
15.8
Le ressort et la masse vertical : le jouet de Maylis ♥.
Objectifs :
2. Trouver la position d’équilibre puis l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique autour
de sa position d’équilibre stable et la résoudre avec les conditions initiales.
On considère une masse m de forme amusante attachée à l’extrémité basse d’un ressort vertical
suspendu au plafond, de raideur k et de longueur à vide l0 .
15.8.1
L’étude s’effectue sans frottement et se ramène donc à celle de l’oscillateur harmonique parfait.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
104
1. Déterminer la longueur à l’équilibre leq du ressort.
La masse à l’équilibre est, à t=0, percutée ce qui lui communique alors une vitesse ~v0 selon la
verticale ascendante.
2. On étudie le mouvement autour de la position d’équilibre. Etablir l’équation vérifiée
par z̈(t).
3. Calculer z(t).
Figure 15.4 – Les oscillations du jouet pour enfant.
15.8.2
Etude avec un frottement fluide linéaire.
Cette seconde partie permet une étude comparative avec les résultats précédents.
1. La position d’équilibre est elle changée ?
2. On étudie toujours le mouvement autour de la position d’équilibre. Etablir l’équation vérifiée
par z̈(t).
3. Donner la forme de la solution z(t) en vous inspirant de votre expérience personnel de l’expérience
pour déterminer le régime observé. On exprimera la forme de la solution en fonction de ω0 et Q.
Commentaires :
1. L’étude des oscillations s’effectue généralement autour d’une position d’équilibre. Il convient
donc d’abord de déterminer la position d’équilibre puis d’étudier le mouvment autour de l’équilibre
.
différentielle homogène du second ordre sans premier ordre du type z̈ + ω02 z = 0. Cette équation
est universelle et décrit tous les oscillateurs de ce type.
3. L’oscillateur harmonique avec frottement autour d’une position d’équilibre stable est une équation
différentielle homogène du second ordre avec un premier ordre du type z̈ + ωQ0 .ż + ω02 z = 0.
4. L’exercice, rédigé comme un exercice de colle donc un exercice d’oral, vous invite à prendre
l’initiative.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
15.9
MPSI 2011/2012
105
Ressort sur un plan incliné : le flipper.
Un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 est accroché à la partie inférieure d’un plan incliné
faisant un angle α avec l’horizontale. La masse m, accrochée à l’extrémité supérieure du ressort (ce
qui est peu pratique pour un flipper), est soumise à une force de frottement fluide f~ = −h~v . Le ressort
est, à t=0, allongée d’une longueur a et lâchée sans vitesse initiale.
1. Calculer la longueur à l’équilibre du ressort.
2. Obtenir l’équation différentielle du mouvement de la masse autour de la position d’équilibre.
3. En négligeant les frottements, résoudre cette équation. Commenter
4. Les frottements avec l’air sont faibles de tel sorte de que le facteur de qualité est très grand
Q ' 100. Donner alors la solution. (Vous ferez les approximations qui s’imposent).
15.10
Etude du ressort vertical autour d’une origine quelconque ?.
Un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 est posé verticalement. L’altitude z=0 est prise
quand le ressort est à vide (ce qui diffère de l’étude usuelle faite autour de la position d’équilibre).
Une masse M est posée sur le ressort.
1. Calculer la longueur à l’équilibre du ressort.
2. En négligeant les frottements, obtenir l’équation différentielle du mouvement de la masse.
3. Résoudre cette équation sachant qu’à t=0, le ressort est .
Commentaire : Comme l’étude ne s’effectue pas autour de la position d’équilibre, il ne faut s’étonner
de trouver une équation différentielle avec un second membre. Il ne faut donc pas oublier une partie
de la solution lors de la résolution de l’équation différentielle. Néanmoins, le mouvement décrit est le
même : des oscillations autour de la position d’équilibre stable.
15.11
Le pendule pesant : le balancier de l’horloge. ♥
Objectifs :
bilan des inconnues cinématiques en utilisant les coordonnées polaires.
2. Trouver l’équation différentielle, par projection dans la base mobile, de l’oscillateur harmonique
autour de sa position d’équilibre stable et la résoudre avec les conditions initiales.
On s’intéresse au balancier d’une horloge (ancienne) de salon, formé d’une masse m = 10kg,
supposé ponctuel, accroché à l’extrémité d’une tige de longueur l (et de masse négligeable) dans le
champ de pesanteur g = 9,81m.s−2 . A l’instant t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale d’un
angle θ0 .
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
106
1. Quel paramètre cinématique permet de décrire le mouvement du balancier ? Quelle est la base
de projection adaptée à l’étude ?
2. Trouver l’équation différentielle dont θ(t) est solution pour un mouvement sans frottement.
3. On fait alors l’approximation des petits angles en supposant l’angle θ0 reste faible (< 10˚ typiquement) de telle sorte que sin(θ) ' θ et cos(θ) ' 1. Déterminer alors θ(t).
4. Calculer la force subie par la tige.
5. Proposer des caractéristiques pour le balancier pour que la période du balancier soit la seconde.
6. Le balancier est légèrement décalé et sa période est 1% trop grande, calculer le décalage sur une
semaine.
7. Pourquoi est il raisonnable de négliger les frottements ?
Figure 15.5 – Horloge à balancier.
Commentaires :
différentielle homogène du second ordre sans premier ordre du type θ̈ + ω02 θ = 0. Cette équation
est universelle et décrit tous les oscillateurs de ce type pour les petits mouvements.
2. L’oscillateur n’est ici qu’approximativement harmonique : son équation est non linéaire dans le
cas général. Pour poursuivre l’étude, il est intéressant de passer par une méthode énergétique.
3. Les horloges sont essentielles pour définir le temps.
15.12
Une bille dans un bol.
Une bille supposée ponctuelle de masse m=100g est placée dans un bol sphérique de rayon a. La
bille initialement au repos au fond du bol est percutée par un cuillère qui lui communique la vitesse
v0 . Tous les frottements sont négligés.
~ soit normale au support.
1. Justifier que la réaction du support N
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
107
3. On fait alors l’approximation des petits angles en supposant l’angle θm ax reste faible de telle
sorte que sin(θ) ' θ et cos(θ) ' 1. Déterminer alors θ(t).
~.
4. Calculer la réaction du support N
15.13
Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. ?
Un cerceau circulaire est placé verticalement. Sur ce cerceau de rayon est placée une perle ponctuelle
de masse m=10g. figure 15.6
1. Etablir l’équation différentielle du mouvement de la perle.
2. Chercher les positions d’équilibres.
3. Etude de l’équilibre en θ = 0. Linéariser l’équation différentielle autour de θ = 0. Discuter la
stabilité de cette position d’équilibre.
(Rappel au voisinage de θ = 0 (soit θ = 0 + ), à l’ordre 1, sin(θ) ' θ et cos(θ) ' 1)
4. Etude de l’équilibre en θ = π. Linéariser l’équation différentielle autour de θ = π. Discuter la
stabilité de cette position d’équilibre.
(Rappel au voisinage de θ = π soit θ = π + , à l’ordre 1, sin(θ) = sin(π + ) ' − et cos(θ) ' 1)
Figure 15.6 – perle sur un cercle.
Commentaire : Il faut bien distinguer l’oscillateur harmonique sans frottement autour d’une position d’équilibre stable dont l’équation différentielle est : ẍ + ω02 x = 0 (et dont les solutions cos et
sin sont bornées) et l’oscillateur harmonique sans frottement autour d’une position d’équilibre instable
dont l’équation différentielle est : ẍ − ω02 x = 0 (et dont les solutions ch et sh sont non bornées).
15.14
Poulies et corde. ?
1. Deux personnes d’une même équipe (les bleus) tirent chacun avec une force de 100N sur la corde,
la force étant dirigé le long de la corde. Calculer la force que doit exercer l’équipe adverse (les
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
2.
3.
4.
5.
MPSI 2011/2012
108
rouges) pour maintenir l’équilibre. Calculer la tension de la corde
La corde étant maintenant fixée à un mur, les deux personnes de l’équipe bleu tire sur la même
corde de la même façon. Quelle est la tension de la corde.
Les laveurs de carreaux des buildings New-Yorkais sont installés dans des nacelles et tiennent
une corde, liée à la nacelle qui passe par une poulie au sommet de l’immeuble. Quelle force doit
exercer le laveur de carreau pour rester en équilibre ?
Deux singes de même masse s’amusent sur une corde passée sur une poulie parfaite et souhaite
atteindre les bananes sur la poulie. Un singe reste immobile par rapport à la corde alors que le
second singe lui grimpe d’une longueur L par rapport à la corde. Qui arrivera en premier au
sommet de la corde.
Un dispositif a trois poulies est réalisé comme suit : deux poulies (n˚1 et 3) sont fixés au plafond
de la pièce. Alors que la poulie 2 est attachée au sommet d’une charge M, initialement posée
au sol. Une corde, fixée au sol, passe par la poulie 1 du plafond puis par la poulie 2 proche du
sol avant de repasser par la poulie 3 au plafond et de tomber dans la main d’un culturiste. Le
sportif souhaite soulever la masse M du sol. Quelle force doit il exercer ? Commenter.
15.15
Deux ressorts. ?
Deux ressorts horizontaux (k1 , l0 ) et (k2 , l0 ) sont accrochés de part et d’autre d’une masse m. Le
ressort 1 est fixé à un mur (à gauche) et le ressort 2 est fixé au mur distant de d > 2.l0 .
1. Calculer la longueur à l’équilibre de chaque ressort.
2. Obtenir l’équation différentielle du mouvement de la masse.
3. Résoudre cette équation en supposant qu’une vitesse v0 est été communiquée à la masse m à
t = 0.
15.16
Voiture au sommet d’une colline. ? ?
Une voiture qui roule à vitesse constante arrive au sommet d’une colline modélisée par un arc de
cercle de rayon R et d’ouverture angulaire 2α . Quelle est la condition sur la vitesse pour éviter que
la voiture ne décolle.
15.17
Corde sur une poutre cylindrique ? ?.
L’exercice cherche à comprendre pourquoi Indiana Jones peut se suspendre à son fouet quand celui
ci est enroulé sur une poutre. Le fil est considéré de masse négligeable et frotte (frottement solide de
coefficient f ) sur la poutre.
1. Considérons un élément de fil élémentaire compris entre θ et θ + dθ.
où T désigne la tension de la corde.
Calculer dT
dθ
2. Intégrer cette expression.
Lycée Jean Dautet
Chapitre 16
Approche énergétique
16.1
Question de cours.
1. Enoncer, puis démontrer le théorème de l’énergie cinétique après avoir rappeler la définition de
la puissance d’une force et la définition de l’énergie cinétique.
2. Rappeler la définition d’une force conservative. Conséquence.
3. Montrer que la force qui s’écrit F~ = kx~ux est conservative et dérive d’une énergie potentielle.
4. Montrer que le poids est une force conservative.
5. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur, de l’énergie potentielle du ressort et
de l’énergie potentielle électrostatique. Citer une force non conservative.
6. Enoncer puis démonter le théorème de l’énergie mécanique.
7. Rappeler les avantages et inconvénient d’une approche énergétique.
8. Exposer le lien sur un exemple entre portrait de phase et étude énergétique.
9. Parler des symétries du portrait de phase.
10. Exposer l’analogie entre oscillateur électrique et oscillateur mécanique.
16.2
Vrai-Faux de cours.
1. Le travail est une grandeur indépendante du chemin suivi.
2. L’énergie est une grandeur indépendante du chemin suivi.
3. Si une force est conservative, elle dérive d’une énergie potentielle.
4. L’énergie potentielle est définie par la relation suivante dEp = δW
5. L’énergie mécanique est une grandeur conservative.
6. Le poids et la force du ressort sont des forces conservatives.
109
Ph. Ribière
16.3
MPSI 2011/2012
110
La chute libre et le cinéma, approche énergétique. ♥
Objectifs :
1. Poser clairement un exercice : définir le système et le référentiel, faire le bilan des forces et
le bilan des inconnues cinématiques en utilisant les coordonnées cartésiennes et identifier les
conditions favorables à l’étude énergétique.
2. Retrouver l’équation différentielle à partir de l’équation énergétique.
3. Faire un bilan énergétique entre deux instants (ou deux positions) pour calculer directement une
grandeur comme la vitesse à un instant t.
Dans le film Point Break, le héro Johnny Utah (incarné par Keanu Reeves) saute sans parachute
d’un avion pour rattraper Bodhi (incarné par Patrick Swayze) qui lui s’est équipé d’un parachute. Le
héro pourtant parti quelques instants après parvient à rattraper son adversaire.
On supposera que tous deux partent sans vitesse initiale (en se plaçant dans le référentiel de l’avion
qui est galiléen puisque l’avion avance rectilignement, à vitesse constante, comme nous les verrons
ultérieurement.)
16.3.1
1. Etablir l’équation vérifiée par z̈(t) par une méthode énergétique.
2. Calculer la vitesse après une hauteur de chute de h.
16.3.2
Etude avec frottement fluide.
On suppose maintenant que tous sont soumis, en plus, à la résistance de l’air. f~ = −h~v .
1. Etablir l’équation vérifiée par z̈(t) par une méthode énergétique.
2. Poser vz = ż(t). Donner l’équation vérifiée par vz . La résoudre.
Commentaires :
1. Dans la première partie, l’étude énergétique est facilitée d’une part par le fait qu’il n’y ait
qu’une inconnue cinématique et par l’absence de force non conservative. Tels sont les conditions
favorables à l’étude énergétique, mais en présence de frottement fluide, seconde partie, l’étude
énergétique reste possible mais elle est moins fructueuse puisqu’elle ramène exactement au même
point que la deuxième loi de Newton.
2. L’étude énergétique a deux aspects complémentaires : elle permet par dérivation par rapport au
temps de retrouver l’équation différentielle ou de faire directement un bilan énergétique entre
deux instants (ou deux positions) pour calculer directement une grandeur comme la vitesse à un
instant t.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
16.4
MPSI 2011/2012
111
Le skieur d’Ax les Thermes, approche énergétique.
Un skieur se trouve au sommet d’une piste faisant un angle α avec l’horizontale et de dénivelée h.
A t=0, il part sans vitesse initiale.
Un skieur se trouve au sommet d’une piste d’Ax les Thermes faisant un angle α avec l’horizontale
et de dénivelée h. A t=0, il part sans vitesse initiale.
16.4.1
Dans cette partie, l’étude s’effectue sans frottement d’aucune sorte.
1. Que dire, du point de vue énergétique, du mouvement lors de la décente.
2. Calculer la vitesse en bas de la pente. Commenter l’expression trouvée.
3. Retrouver l’équation différentielle du mouvement à partir de l’équation énergétique.
16.4.2
Etude avec une frottement solide.
Dans cette partie, l’étude s’effectue en tenant compte de la force de frottement solide de coefficient
f.
1. Rappeler ce qu’est un frottement solide et dans quelle situation précise se trouve-t-on. Rappeler
le lien entre la composante tangentielle T (module de T~ ) et la composante normale N de la
réaction du support dans le cas du glissement. Représenter avec soin ces deux composantes sur
un schéma.
2. Par le principe fondamental de la dynamique, trouver l’équation différentielle du mouvement et
calculer la norme de la composante tangentielle de la réaction du support.
4. Calculer le travail de la force de frottement solide lors du déplacement.
16.5
Comparaison des vitesses atteintes en bas d’une descente.
On considère un système ponctuel M de masse m qui part de M0 , sans vitesse.
1. Dans le cas du déplacement sur la demi sphère de rayon R, calculer v1 la vitesse au point M1 ,
en supposant qu’il n’y ait aucun frottement.
2. Dans le cas du déplacement sur le plan incliné, calculer v1 la vitesse au point M1 , en supposant
qu’il n’y ait aucun frottement, sachant que M0 est à l’altitude R.
3. Comparer et commenter les résultats obtenus.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
16.6
MPSI 2011/2012
112
Le skieur et le remonte-pente.
Un skieur de masse M = 80 kg souhaite remonter une pente de 1km de long faisant un angle
avec l’horizontale de 30˚. Il s’accroche donc un fil, parallèle à la pente, qui exerce sur lui une force
de module F . Le skieur est soumis à des frottements solides T~ . Cette force est dirigée de manière à
~ | où N
~ désigne la réaction
s’opposer au glissement du skieur et son module est tel que T = |T~ | = f.|N
normale au support et f un nombre sans dimension, ici f = 0,05. L’axe ~ux est dirigée selon la pente
ascendante. (g = 9,81 m.s−2 ).
1. Faire un schéma faisant apparaı̂tre les forces s’exerçant sur le skieur (supposé ponctuel).
2. Sachant que le skieur remonte la pente à vitesse constante v = 1 m.s−1 , calculer la force F.
3. Calculer le travail de la force F sur la piste.
16.7
Ordre de grandeur dans le sport.
1. A quelle vitesse (en ordre de grandeur) un homme peut-il courir sur 100m ?
2. En supposant que le coureur convertisse toute son EC en EP , quelle hauteur peut-il sauter ?
(g ' 10 m.s−2 ) Commenter votre résultat.
3. Que dire du saut à la perche ?
16.8
Saut à l’élastique.
Un courageux de masse m=80kg saute à l’élastique d’un pont de 112m de hauteur. Il est retenu
par un élastique de caractéristique suivante (k = 1000S.I., l0 = 80m). On suppose le mouvement sans
frottement.
1. Déterminer la vitesse du courageux juste avant que l’élastique ne se tende.
2. Déterminer l’allongement maximum de l’élastique.
3. Est-ce sans risque pour le sauteur ?
16.9
Etude énergétique du jouet de Maylis. ♥
Objectifs :
bilan des inconnues cinématiques, pour justifier l’approche énergétique.
2. Trouver la position d’équilibre et sa stabilité en raisonnant sur l’énergie potentielle.
3. Retrouver par l’équation énergétique l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique autour
de sa position d’équilibre stable et la résoudre avec les conditions initiales.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
113
On considère une masse m de forme amusante attachée à l’extrémité basse d’un ressort vertical
suspendu au plafond, de raideur k et de longueur à vide l0 . La masse à l’équilibre est, à t=0, percutée
ce qui lui communique alors une vitesse ~v0 selon la verticale ascendante.
On considère une masse m, de forme amusante, supposée ponctuelle suspendue à ressort de caractéristique (k, l0 ) vertical. A t
1. Justifier avec soin l’intérêt de l’approche énergétique.
2. On choisit alors d’étudier le mouvement par rapport à la position d’équilibre. Montrer que
l’énergie potentielle totale EP (z) du système à une constante près en fonction de leq , l0 , k, m et
du paramètre z.
3. Déterminer alors la position d’équilibre du ressort, calculer leq . Commenter.
4. Etudier alors la stabilité de l’équilibre.
5. Recalculer EP (z) en imposant la référence des énergies potentielles à la position d’équilibre.
Montrer que EP (z) = 21 kz 2
6. Retrouver l’équation différentielle du mouvement. La résoudre.
Commentaires :
1. L’étude énergétique est facilitée d’une part par le fait qu’il n’y ait qu’une inconnue cinématique
et par l’absence de force non conservative. Il ne faut oublier aucune force conservative dans
l’énergie potentielle.
2. L’étude énergétique a deux aspects complémentaires : elle permet par dérivation par rapport au
temps de retrouver l’équation différentielle ou de faire directement un bilan énergétique entre
deux instants (ou deux positions) pour calculer directement une grandeur comme la vitesse à un
instant t. L’énergie potentielle permet par ailleurs une étude des équilibres et de leur stabilité.
16.10
Etude énergétique et étude d’une position d’équilibre.
Une particule ponctuelle M de masse m est astreinte à se déplacer suivant l’axe ~ux , et elle est
soumise à la force F~ = F (x)~ux avec F (x) = (−kx + xa2 ).
1. Que vous évoque la force F~ ?
2.
3.
4.
5.
Quelle est la position d’équilibre du point M ?
Montrer que F (x) dérive d’une énergie potentielle EP (x).
Dessiner EP (x) et discuter graphiquement les solutions.
(Question plus difficile mais essentielle.) Déterminer la période des petites oscillations autour de
la position d’équilibre.
16.11
Deux ressorts de part et d’autre d’une masse. ?
Deux ressorts horizontaux (k1 , l0 ) et (k2 , l0 ) sont accrochés de part et d’autre d’une masse m. Le
ressort 1 est fixé à un mur (à gauche) et le ressort 2 est fixé au mur distant de d > 2.l0 .
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
114
1. Exprimer l’énergie potentielle totale du système à une constante près en fonction des constantes
et de la distance z repérée par rapport à la position d’équilibre.
2. Calculer la longueur à l’équilibre de chaque ressort.
3. Commenter la stabilité de cette position d’équilibre.
4. Obtenir l’équation différentielle du mouvement de la masse.
5. Résoudre cette équation en supposant qu’une vitesse v0 ait été communiquée à la masse m à
t = 0.
Commentaire : Cet exercice un peu calculatoire par le Principe Fondamental de la Dynamique est
grandement simplifié par l’approche énergétique. La complexité de l’exercice accentue toujours les
différences entre les méthodes.
16.12
Le pendule pesant : le balancier de l’horloge. ♥
Objectifs :
1. Poser clairement un exercice : définir le système et le référentiel, faire le bilan des forces et
le bilan des inconnues cinématiques en utilisant les coordonnées cartésiennes et reconnaı̂tre les
conditions favorables à l’étude énergétique.
2. Faire un bilan d’énergie entre deux instants.
On s’intéresse au balancier d’une horloge (ancienne) de salon, formé d’une masse m = 10kg,
supposé ponctuel, accroché à l’extrémité d’une tige de longueur l (et de masse négligeable) dans le
champ de pesanteur g = 9,81m.s−2 . A l’instant t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale d’un
angle θ0 .
1. Etudier les positions d’équilibre et leur stabilité
2. Déterminer la vitesse de la masse m pour un angle θ quelconque.
4. Calculer la force subie par la tige F~ en fonction de θ, θ0 , m et g.
5. On fait alors l’approximation des petits angles en supposant l’angle θ0 reste faible (< 10˚ ty2
piquement) de telle sorte que sin(θ) ' θ et cos(θ) ' 1 − θ2 . Déterminer alors θ(t) ainsi que
l’énergie potentielle Ep(θ).
6. Commenter le portait de phase 16.4 de l’oscillateur en indiquant au dessus le diagramme
énergétique.
Commentaires : L’oscillateur harmonique sans frottement autour d’une position d’équilibre stable
est caractérisée par trois points :
1. une équation différentielle homogène du second ordre sans premier ordre du type ẍ + ω02 x = 0.
Cette équation est universelle et décrit tous les oscillateurs de ce type.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
115
2. Son énergie est harmonique, c’est à dire de la forme Ep (x) = 12 .k.x2 + cste.
3. Son portrait de phase dans l’espace des phases est une ellipse de centre la position d’équilibre
stable.
Figure 16.1 – Portrait de phase du pendule pesant
16.13
Une bille dans un bol.
Une bille, assimilée à un point matériel est déposée dans un bol sphérique, de rayon R, à t = 0 en
un point M0 (repéré par un angle θ0 ). Cette bille se déplace sans frottement aucun.
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, trouver l’équation dont est solution
θ(t).
2. Dans l’hypothèse des petits mouvements, simplifier et résoudre cette équation.
3. Quel est l’allure du portrait de phase correspondant au mouvement décrit dans la question
précédente. (Préciser le sens de parcours de la trajectoire) ?
4. Retrouver l’équation établie au 2 par une étude énergétique.
5. Commenter alors l’allure du portrait de phase de la figure 16.4.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
116
Figure 16.2 – Portrait de phase : bille dans un bol
16.14
Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. ?
Un cerceau circulaire est placé verticalement. Sur ce cerceau de rayon est placée une perle ponctuelle
de masse m=10g. Figure 16.3
1. Etablir l’équation différentielle du mouvement de la perle par la méthode énergétique.
2. Chercher les positions d’équilibres.
3. Etude de l’équilibre en θ = 0. Discuter la stabilité de cette position d’équilibre. Retrouver
l’équation différentielle du mouvement autour de cette position d’équilibre et donner l’allure de
la solution.
4. Etude de l’équilibre en θ = π. Discuter la stabilité de cette position d’équilibre. Retrouver
l’équation différentielle du mouvement autour de cette position d’équilibre et donner l’allure de
la solution.
D’après Oral
16.15
Jeu dans un parc aquatique. ?
Dans un parc aquatique, un enfant de masse m, initialement au sommet du ballon quasiment
immobile, glisse sur le ballon de rayon a.
1. Pourquoi peut on considérer ce mouvement comme sans frottement ?
2. Etudier le mouvement de l’enfant sur le ballon. Donner l’expression de θ̇2 en fonction de θ.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
117
Figure 16.3 – Perle sur un cercle
3. Quel est l’angle pour lequel l’enfant perd le contact avec le ballon ?
4. Etudier le mouvement ultérieur.
5. Calculer la vitesse à laquelle l’enfant touche l’eau. Commenter.
16.16
Perle sur un cercle, accrochée à un ressort ? ?.
Une perle m supposée ponctuelle est glissée sur une tige circulaire de rayon R et suspendue à
ressort de caractéristique (k, l0 ) attaché en A, le sommet de cette piste circulaire.
1. Déterminer l’énergie potentielle totale EP (θ) du système à une constante près.
2. Déterminer la ou les positions d’équilibre.
3. Etudier alors la stabilité de l’équilibre selon la valeur de p = kl0 /mg. Définir pcritique .
4. Dessiner l’allure de l’énergie potentielle selon la valeur de p = kl0 /mg pour p > pC et p < pC .
5. Commenter alors le portrait de phase donné figure 16.4 pour p > pC (figure a) et p < pC (figure
b).
(la variable u des graphiques désigne θ)
D’après Oral.
Lycée Jean Dautet
Ph. Ribière
MPSI 2011/2012
118
Figure 16.4 – Portrait de phase : perle sur un cercle, accrochée à un ressort.
Lycée Jean Dautet

Exercices de Physique - Pagesperso

Transcription

Similar documents

Une Nouvelle Technique de Recalage d`Images avec

Confinement isotrope d`un cylindre élastique

Schémas numériques pour la résolution de l`équation des ondes

Le mouvement brownien, “divers et ondoyant”

Chapitre 9 La mesure de niveau

Géométrie algébrique et géométrie complexe