Riesgo, especulación y cobertura en un mercado de futuros

BANCO DE ESPAÑA
RIESGO, ESPECULACION Y COBERTURA EN UN
MERCADO DE FUTUROS DINAMICO
Angel Serrat Tuber
SERVICIO DE ESTUDIOS
Documento de Trabajo nº 9210
BANCO DE ESPANA
RIESGO, ESPECULACION Y COBERTURA EN UN
MERCADO DE FUTUROS DINAMICO
Angel Serra! Tuber!
(*)
(*)
Quisiera agradecer los comentarios de Emilio Cerda. Joan Anton Ketterer y Fernando Restoy. asf como
a1 Centro de Estudios Monetarios y Financieros por el uso de su infraestructura. Los errores que persis·
tan
son responsabilidad mfa.
SERVICIO DE ESTUDIOS
Documento de Trabajo n29210
El Banco de Espana al publicar esta serie pretende facilitar la
difusi6n de estudios de interes que contribuyan al mejor
conocimiento de la economia espanola.
Los anaJisis, opiniones y conclusiones de estas investigaciones
representan las ideas de los autores, con las que no necesariamente
coincide �l Banco de Espana.
ISBN: 84-7793-149-6
Dep6sito legal: M-8447-1992
Imprenta del Banco de Espana
RIESGO, ESPECULACION Y COBERTURA EN UN MERCADO DE FUTUROS DINAMICO
Angel Serrat Tuhert
Banco de Espana, Madrid.
Resumen
En este
Uquidado
trabajo se presenta un mode l e del
continuamente
caracteri zada
por
Mercado de futuros
procesos
de
difusi6n
y
economia
una
en
(marked-ta-marketl
de
salto-dlfus i on
( jump-diffusion) . agentes aversos al riesgo, informaci6n simetrica y
'
compie ta. Se mues tra que las posi ciones que los agentes tornan en este
a
Mercado raramente son s610 especulativas
solo
de
cohertura y se
investiga la naturaleza de las mismas.
La principal contribuci6n del trabajo radica en mostrar que la
prima de
riesgo se forma no 50"10 para atraer
demandas
netas
tambien
para
precio d e
de
cobertura
compensar
los
activos.
de
activos
variaciones
De
esta
de
d i s cretas
forma
se
contrapartldas a
atros
y
mercados ,
repentinas
propone
una
las
sino
en
el
rep l i ca
la
critica tradicional de los modelos de cobertura (hedging mode l s ) .
O. Introducci6n
Un futuro financiero es un contrato que especifica la entrega de
un
activo
determinada.
(denominado
activo
subyacente)
en
una
estandari zada para todos los contratos.
fecha
D i cho
futura
contrato
tiene tres caracteristicas especiales que Ie distinguen de cua lquier
otro activo financiero y dificul tan su valoraci6n:
dicho
contrato se
mediante
el
En primer lugar,
l iquida continuamente entre las partes del mismo
abono/adeudo
de
la
variaci6n
del
precio
financiero en una cuenta mantenida con un intermediario
camara)
y hasta la finalizaci6n del
contrato.
de
futuro
(denominado
En segundo lugar,
no
existe un 5610 activo subyacente sino varios, y e l vendedor es e l que
tiene la opcion de entregar uno
(market-basket-de l ivery).
plazo determinado,
U
otro. a l a terminaci6n del contrato
En tercer lugar,
normalmente una semana,
el vendedor dispone de un
para entregar e l
activo
subyacente escogido a la terminaci6n del contrato ( opci6n tempora l ) .
-3-
Estas particularidades,
valoraci6n
el
futuro
especialmente
financiero
la
primera,
mediante
imposibi Ii tan
la
condiciones
de
simples
arbitraje (co st-of-carry). como 51 fuera un contrato a plazo.
Una valoraci6n que tenga en cuenta todas estas particular1dades
es dificil y solo se ha obtenldo reso lviendo numericamente un model e
de equi l ib i ro general
presente trabaJo
(ver Serrato
1990a y 1990b).
radica en obtener
La motivacion del
resutados ana l i ticos de
interes
para el estudio de las estrategias de inversion y de la formacion de
primas de riesgo en e l mercado de futuros,
model i zando tan solo la
prlmera de las tres caracteristlcas comentadas anteriormente. Como se
vera.,
el
procedimiento
d l ferencia
mercado.
crucial
De
de
entre
esta forma,
l 1 quidaclon
el
mercado
de
continua
futuros
y
const1tuye
cualquier
la
otro
la estrategia de mode l 1 zacion anterior no
pierde generalidad a pesar de no model i zar explic1 tamente la relaci6n
del precio del futuro flnanclero con la de su activo subyacente en
cada momento ( e l activo denominado cheapest-to-deliver en e l caso de
un futuro financiero) .
En este trabajo se present a un modelo para un mercado de futuros
flnancieros
economia
l 1quidados
caracterizada
salto-difuslon,
continuamente
(marked-to-marke t )
por
estocastlcos
procesos
preferencias dlversas e
informaci6n
de
en
una
d i fusion
simetrlca.
y
Con
d i cho modelo se pretende examlnar los mecani smo s de t ransferenc ia de
riesgo en los mercados de futuros y explicar la formaci6n de primas
de riesgo en dichos mercados,
por
la
contado
exp�rlencia
y
el
empirica
a la luz de las relaciones reveladas
entre
comportamiento
las
posiciones
estocastico
de
en
precios
mercados
de
al
futuros
financleros y no financieros.
En primer lugar se presentan l o s t rabajos mas representativos en
la l i t eratura sobre model i zacion de mercados de futuros y se plantean
algunas de
las
cuest 1 0nes
que motivan
el
presente
t rabajo.
En e l
modelo se muestra como la posicion que cada agente toma e n e l mercado
de futuros resulta de agregar un componente puramente especu1ativo y
otro de cobertura pura.
Ademas,
1a prima de riesgo se re1acl ona no
-4-
con la posicion neta abierta en los mercados al contado (net hedging
pressure) sino con el riesgo total abierto en los mercados al contado
medido por las betas del futuro financiero con respecto a los activos
de
los mercados al
contado.
De esta forma
se pone en relaci6n la
prima de riesgo del futuro financiero con su riesgo s i stematico y su
demanda para fines de cobertura.
Posteriormente
economia
que
se
provocan
introducen
perturbaciones
discontinuidades
precios de los activos,
en
la
(shocks)
trayectoria
en
de
la
los
10 cual permite caracterizar aproximadamente
primas de riesgo no nulas aun cuando las posiciones en los mercados
al contado esten exactamente compensadas.
� Los mode los de mercados de futuros
� la Ilteratura:
La existencia de una prima de riesgo en los mercados de futuros
es
un
tema
t radiclonal
estudios sobre
pensar
que
investigaci6n
instrumentos derivados.
en
preferencias
de
una
economia
y una
con
tecnologia
y
En principio,
agentes
dadas,
te6rica
los
apli cada
no hay porque
racionales,
precios
en
de
dotaciones,
los
futuros
financieros se comporten como martingalas (prima de ries
' go nula ) ,
La
evidencia
empirica
t i ende
a
favorecer
l a hip6tesis
de
la
existencia de una prima de riesgo no nula en los mercados de futuros,
aunque contrastar si
los precios de
los futuros se comportan como
martingalas es complejo dada la dificultad de especificar e l conjunto
de informaci6n relevante. Los trabajos mas representativos pueden ser
Jackson ( 1 986) para e l mercado de oro,
cafe, caucho
y cacao,
avena y ma1z,
Fama
tesoro americanas,
Raynau ld
(1976),
Rajamaran (1986) para los de
y Tessier
(1984) para
los de
trigo,
y Friedman (1979) para los de l e t ras de
y Cornel l ( 1977 ) , Hansen y Hodrick (1980 ) , Hodrick
y Srivastava ( 1 984) y Korajczy (1985) para los mercados de cambios, La
teoria
se
centra en
la
explicaci6n de
riesgo en estos mercado s ,
excluyentes:
los
modelos
la
formaci6n
de primas de
y contempla dos enfoques alternativos,
"de
cobertura"
equilibrio general .
-5-
y
los
basados
en
no
el
Los
mode l e
denominados
de
" modelos
valoraci6n
garantizan,
en
de
general,
de
cobertura"
activos
la
de
y
capital
exis tencia
de
los
con
basados
consumo
una
prima
de
en
el
(CCAPM)
riesgo
positiva/negativa si la mayoria de las operaciones de cobertura ( toma
de posiciones en un mercado para compensar los posibles movimientos
de precios desfavorables en otro mercado) se realizan en forma de
operaciones cortas/largas (vender/comprar futuros para protegerse de
un descenso/aumento en los precios de los activ�s al contado).
Algunos modelos basados en el CAPM de Sharpe
(964) y Lintner
( 1965) apuntan la inexistencia de prima de r iesgo al mostrar que los
precios de
requieren
( 1 973),
los futuros no soportan riesgo s i stematico alguno y no
invers i 6n ,
Grauer
(1977),
al
margen
de
la
garantia
colateral, (Dusak
Bodic and Rosansky ( 1 980»),
No obstante,
en
este sentido Carter, Rousser y Schm i t z ( 1 983) y especialmente Breeden
( 1 979,
1980)
derivan
primas
de
riesgo
no
nulas,
formulando
los
parame tros del CAPM como aleatorios, en e l primer caso, y permit iendo
que
los
precios
de
los
bienes
de
consumo
y
el
conjunto
de
oportunidades de inver s i on varien aleatoriamente , en el segundo.
Los
denominados
mode10s
de
equilibrio
con
multiples
bienes
apuntan la existencia de una prima de ri esgo que es func i 6n de
la
uti 1idad de futuro para efectuar coberturas de 1a u t i1idad marginal
del
consumo
esperada.
De
esta
forma,
los
precios
de
incorporan especu1aci6n sobre los precios futuros de
consumo,
los
futuros
los bienes de
la u t i l idad marginal futura de los mi smos y sobre los tipos
de interes -deb ida a la reinversi6n continua de las variac iones de
precio del futuro hasta su vencimiento- (Richard y Sundaresan ( 1 981),
Grauer
y
Lit zemberger
( 1 979» .
Dichos
modelos
son
dificiles
de
contrastar debido a la amp l i tud del conJunt o de informaci6n que hay
que incorporar en el contraste estadistico.
Los mode10s de cobertura (hedging mode ls) exp l ican la existencia
de primas de riesgo por la asimetria entre los agentes que operan en
e l mercado de futuros. Los especuladores entran en e l m i smo debido a l
-
6
-
riesgo que los agentes que practican cobertura de sean transmitir,
reciben una prima de
riesgo
sera
agentes
riesgo
positiva
que
por
(negat iva)
practican
ello.
si
cobertura
De
la
es
esta
forma
la
posici6n
total
neta
corta/larga
de
los
(predominio
de
posiciones largas/cortas en los mercados al contado) .
invest igaci6n es
la que t iene mas
trabajos seminales de Keynes
formulada en el
1960),
Cootner
Miracle
Treatise),
Gray
y posteriormente Stein
theory
y b),
( 1 958,
1961),
( 1 979),
los
backwardation
( 1 957 a
( 1 960,
Esta l inea de
que se remonta a
l a normal
Houthakker
( 1 960, 1967),
( 1 972 ) ,
tradici6n,
( 1 930,
y
prima de
Telser
( 1 967) y
Rockwe l l
Anderson y Danthine
( 1 98 1 , 1983).
Los estudios empir icos realizados para contrastar los resultados
derivados de los mode los de cobertura, examinan la relaci6n entre los
costes
de
mediante
cobertura
el
y
examen de
las
la
primas
cuenta
de
de
riesgo
resultados
agentes que practican cobertura (Cootner.
Telser
1967).
Aunque
los
resul tados
1960,
de
ex-post
de
1967,
d i chos
observadas
especuladores
y
Miracle 1972 y
estudios
son muy
sensibles a los supuestos reali zados sobre los agentes de los que no
se dispone de informaci6n
(Peck 1982).
dichos resultados
t ienden a
favorecer la idea que la posici6n global neta por motivo de cobertura
no es el Cnico factor que determina las primas de riesgo
se
rechaza
la
net
hedging
pressure
En
hypothesis).
( e s decir.
concreto.
es
frecuente detectar periodos en los que las posiciones cortas y largas
de agentes que practican cobertura,
practi camente
se
compensan
y
si
en ciertos mercados de futuros,
e_mbargo
la
prima
de
r iesgo
es
significativamente no nula.
En este
trabajo
se
desarro l la un modele de
cobertura en una
economia con futuros f inancieros y contrataci6n continua que ofrece,
en
primer
lugar.
una
reinterpretaci6n
estrategias de inversi6n conocidos.
de
ciertos
resultados
E l tratamiento de
un
de
mercado de
futuros cuando la incertidumbre se mode l i za con procesos de difusi6n
no
es
nuevo
principal
introducir
en
la
l i teratura
(ver Duff ie.
1990),
aportaci on metodol6gica del presente
procesos
de
salto-dlfuslon.
-7-
Dicho
sin
trabaJo
embargo
la
consiste en
tratamiento
permite
justificar
la
existencia
de
primas
de
riesgo
en
e1
precio
del
contrato de futuros (desviaciones de 1a hip6tesis de martingala) aun
cuando las posiciones netas a l contado de los activos correlacionados
con el futuros financiero sean nulas.
l i teratura bajo
modelos
de
los
supuestos
cobertura
como
Este resu1tado es nuevo en 1a
especificados,
los
de
tanto
equi librio
la
referente
genera l :
La
a
posible
existencia de prima de riesgo no nula con "net hedging pressure" no
nula se deduce sin imponer que los agentes sean heterogeneos
( como
en el mode l e con producci6n y almacenamiento de Anderson y Danthine
(1983)
0 que la covarianza instantanea con el consumo ( consumption
beta) sea no nula.
En la secci6n 2 se desarrolla el modelo en el
caso de que 1a
incertidumbre esta model i zada' mediante procesos de difusion puros ,
se derivan
las
estrategias
de
inversion
6ptimas
en
el
y
mercado de
futuros y los factores determinantes de la formaci6n de una prima de
rlesgo.
En
secci6n 3
la
se
introducen
se
relaja
la
condicion de
continuldad en los procesos estocasticos y se obtienen de nuevo las
estrateglas de
inversion y las primas de riesgo de e qu i l ibrio.
secci6n 4 compara los resultados y concluye el trabajo.
La
Por ultimo,
en e l apendice se desarrollan las condiciones mediante las cuales e l
anal isis e n equilibrio parcial e s compatible con la existencia d e un
equilibrio general subyacente.
2 . Un modelo del mercado de futuros � � economia caracterizada
PQ£ procesos de d l fusion:
Sea
acotado,
una
econom1a
con
incertidumbre
M activos f lnanc ieros e
dotaciones
de
activos
I
en un periodo
agentes
financieros
aversos
dadas
y
al
de
t iempo
riesgo
con
simetricamente
informados.
La
incertidumbre
probabi l idad
de
Wiener
se
modelizara
(0, F,IP).
E1
sucesos e lementales que pueden ocurrir en
La particion F es lP-comp1eta
mediante
conjunto
un
Q
un
espacio
incluye
todos
de
los
horizonte terminal T>O.
y es e l �-algebra de e lementos medibles
en Q ( sucesos de los cuales los agentes de l a economia pueden inferir
-8-
probab1l 1dades basadas en la medlda de probabil ldad (p).
se
reve laran
a
cada
agente
en
el
tiempo
segun
Los sucesos
la
f i l t racion
r={F , te[O, T]}, donde F es el conjunt o de sucesos que pueden ocurrlr
t
t
en t 0 antes, slendo F c F para s<t (esto es, los agentes no olvidan
t
s
que un suceso ha ocurrido s i se ha reve lado). La filt racion es
n F Vte[O. T) ,
t s >t s
informacion en t es conoclda precisamente en t y no en
cont inua
por
la
derecha,
es
decir,
F
(la
=
un
nueva
instante
inmediatamente posterior).
F es el cr-algebra t rivial (nada se sabe
a
F =F
( t oda
la informacion es
revelada en T).
La
T
Incert ldumbre se revelara mediante las real izaciones de un proceso de
en
t=O)
y
Wiener
en
l
en, F, p, F).
espacio
el
Escribamos
l os
completamente
probabilistico
precios
de
los
M
activos
flltrado
financieros
de
la
economia especificando los procesos de difusion slgulentes. Se supone
la existencla de K!!:M fuentes de incertidumbre .
representada por
un
vector Kxl -dlmensional de procesos independlentes de Wiener, de forma
que:
(1)
e s un vector d e derivas
t
es una matrlz MxK-dimensional de coeficientes de
donde dP e s un vector Mxl-dimensiona l ,
t
Mxl-dimensional, cr
t
dlfusi6n. Tanto e l vector
en
definidos
el
sentido
ex
t
como
de
que
a
la mat riz
cr
se suponen bien
t
procesos
integrables
y
son
predecibles, esto es. medibles con respecto al sigma-algebra generado
por cada
proceso
definitiva,
agent e .
En
a
y cr
en e l
l imHe
por
la
izquierda de
t.
los procesos (1) estan adaptados a l a filt racion de cada '
estas
especlficado en (1 ) es
01
condiciones,
un
proceso
proceso de I to.
mul t idimens iona l
Por otra parte se supone
que existe un minima de K!!:M activos l inealmente independientes,
es,
En
esto
los mercados son completos.
Int roduzcamos
negociab l e ,
cuyo
en l a economia anterior
precio,
en
el
marco
representacion estocastica en (n. F , IP, F) :
un
contrato de
gaussiano
2
anterior,
futuros
t endra
(2)
-9-
rr
es un proceso uni-dimensional
t
dimens ional de coeficientes de difusi6n,
donde
V
y
es
t
un
IxK
vector
z
el vector de
t
procesos Wiener de (1). Al igual que antes, n y v se suponen procesos
3
adapt ados a la fil t racion, comtin a todos los agentes.
siendo
En (2) la deriva del proceso , n ' debe interpretarse como la
t
prima de riesgo del futuro financiero. La rentabil idad instantanea
esperada para e l futuro financiero en
un
momento t ,
R;<tl,
sera:
n /F
t t
E (dF )/F
t
t
t
En la l iteratura se ent iende habitual mente por prima de riesgo
e l exceso de la rentabil idad esperada sobre el
riesgo.
de
Sin e mbargo en e l caso de
rentabil idad
integra
es
la
un
futuro financiero la esperanza
prima
de
riesgo,
financiero no exige inversion inieial alguna
una
pequefia
garantia
colateral
t ipo de interes sin
ya
que
el
futuro
(en la pract ica existe
inicial
en
que
el
modele
consideraremos nula).
El
futuro
( marked-to-market ) .
es
financiero
continuamente
l iquidado
La posicion que se t oma en
un
momento dado en su
negociacion viene expresada por e l escalar "' elR. De esta f orma,
t
represent a el numero de contratos de futuros adquiridos (".>0)
".
0
vendidos (".<0). Los contratos se suponen perf�ctamente divisibles. Se
supone , ademas,
que no hay inversi6n inicial en garantia eolatera l .
En cada moment o la variaci6n d e l precio del futuro s e earga
aeredita
en
la
cuenta
que
contrataci6n
organizadora
instantaneo,
que
se
el
del
supone
adaptado a f cual quiera:
agente
mantiene
mercado
que
sigue
..1
un
con una
t ipo
proceso
de
de
0
camara
se
de
interes
difusi6n
(3)
La variaci6n del saldo en la posici6n a futuros es "' �F '
t t
-10-
Vt>O.
E1 sa1do con 1a
que se invlerte (0 financial a1 tipo instantaneo r .
t
camara es, entonces:
S (<»
l
=
J
Apl 1cando el
l
e
rs(t-S)
"sdFs
(4)
o
lema de Ito mul t i d i mensional a (4)
su repre sentaci6n dinamica,
[tt
[
para obtener
se tiene:
r s (,, ) + "tdF
t
= r S ( '"
t t
+ "
t
+
j
1l
t
"tllt] dt +
dt
+
"tvtdzt
"tv td zt
( 5)
ya que
Cada agente di spone de una cartera
la
cantidad
del
activo i
S
"
p'eR (siendo Pi'
en su posicion en e l
1=1,2,
financieros al contadol y que consideraremos f i ja . Esto es,
que
. . ,M,
mercado de activos
se supone
los mercados son completos antes de l a int roducci6n del futuro
f i nancie ro-ver al apendice para una d i scusi6n de este tema-.
De esta
forma su nivel de ri queza en cada momento variara segtin?
(6)
d6nde
por
comodidad
se
omi te n ,
correspondientes a los agentes.
(4) en (6)-,
momento,
los
subind ices
(1)
-sust ituyendo
y
t
e l nivel de ri queza tendra representaci6n estocast lca:
r 5
t t
Planteemos
lnlcial ,
de
Desarrollando dl
el
(,, ) + "tllt] dt
problema
del
sea t=O, y un hori zonte t=T,
-11 -
]
<> v dZ
l
l l
+
agente
como:
en
un
(7)
momento
sujeto a (7)
(8 )
siendo !l(lt,(/l,), t) e-�tU(lt, ,)) � el parametro de descuento
temporal
se supone
la condici6n de contorno.
continua diferenciable con respecto a !t.
De esta forma la elecci6n de la estrategia 6ptima en futuros
queda planteada como un problema de control dinamico estocastico
univariante. siendo �, la variable de estado � t :::(t) la variable
de control :::(t) el conjunto admisible de controles. Para
simplificar supondremos que el individuo no tiene que aportar saldo
inicial no tiene limite alguno en el volumen de su posici6n. corta
o larga. en el mercado de futuros, es decir, :::(t)=R.
Supondremos que se cumplen las condiciones de regularidad para
que la soluci6n del problema (su func16n valor) sea unica.7
Escribiendo la funci6n de utilidad indirecta: 8
(Il
=
y
y
,
B: 1R2 -?IR
It =R(O)
o
eR
y
•
E
y
E tJ e -�"u(lt )ds
l(P"t,Il max
�
, ,
La ecuaci6n de Hamilton-jacobi-Be llman (HJB) para este caso es:
max { e-�tU(�t(�» + t JR [P'O:t+rtSt(�)+tJt11:t] +
+�l
(1 0)
t
2 RR [p'"t+/ltv]t [p'"t+/ltv]'}
T
s
eR
o =
J
Ileal
(Il)
.•
con condlc16n de contorno tlpo Dirichlet J(�.�.
La soluci6n tJ de (10) debe satisfacer:
JR t + JRR [po t+�t t] t 0
es decir.
11:
(j
(9)
v
v
'
-12-
T)=O.
) R rr
•
� =
t
J
t
tt
V V'
AR
e'q-t�
(11 )
V V·
t
t
El procedimiento usual de resoluc16n de este tipo de problemas
consiste en sustituir
en
y dada una forma para U(. )
resolver la ecuaci6n en derivadas parciales resultante de
para
J(!R,t,Tl, una vez obtenida esta, hallar sus derivadas
sustituirlas en (11) para obtener finalmente "9
No obstante, vamos a imponer que la funci6n de utl11dad sea CRRA
(aversion relativa al riesgo constante) ya que tiene unas
caracterlsttcas que evitan tener que segulr el procedimiento anterior
y resolver la ecuaci6n en derivadas parciales muy no lineal que se
obtiene.
Segun una propiedad de separabil idad de las funciones
se
puede escribir (Merton, 1971):
(11)
(10),
Y
(10)
�.
J ,
R
CRRA
Y
slendo f g funciones deterministicas del tiempo. Para la funci6n
de utilidad tipo
(ltt. t)=exp(-�t ){ltf-l }/7.
t
la ecuaci6n (12) se escrlbe:
(13)
CRRA:
U
1-7
slendo el parametro de aversi6n relativa al riesgo.
Supongamos ahora que la economia esta compuesta par agentes
con funciones de utilidad
carteras P�ERM� y niveles de riqueza
individuales l:, i=l, . Entonces, teniendo en cuenta y (13),
(14)
(11) se escribe:
'
v
Pi
i·=0-7 )v v' - V'"V"'
I
CRRA,
.
"l
i1l
n
I
.
,1.
.�
l
I I
(12)
t.
t. l
l
- 13 -
La posicion en futuros contratada por un individuo se descompone
en un
posicion especulativa y una
componentes del l ade derecho de (14),
poslclon de
cobertura
10
respectivamente)
(los
dos
. La posicion
especulativa se identifica como tal al ser l arga/ corta segun que l a
prima
de
(R )
t
riesgo
direct amente
sea
proporcional
pos i t i va/negativa.
al
nivel
de
Dicha
riqueza
pos i cion
del
es
indiv iduo
e
inversamente proporcional a su grado de aversion re lativa al riesgo y
a l a volat i l idad del futuro financiero.
La posicion de cobertura se caracteri za.
de signo
contrario
mercados al
al de
contado.
la pos i cion de
por su parte.
riesgo del
La demanda individual de futuros
cobertura es igual a la suma de las posiciones,
cad a activo
multipl icadas por la "beta"
del
por ser
agente en
los
con fines de
e
cortas
l argas,
futuro financiero
de
con
respecto a cada activo al contado respectivo.
La
de manda
de
futuros
con
fines
de
cobertura
no
depende,
entonces, del vol umen de las posiciones totales n et as en los mercados
" spot"
sino de la suma de las mismas ponderadas per sus respect ivas
volat i l idades
con
respecto
al
instrumento
de
De esta forma,
pue den existir individuos
muy aversos al
posiciones
contado
demanda
al
abiertas
y
con
nula
futuros.
riesgo
de
con
futuros
f inancieros con fines de cobertura.
I mponiendo l a condicion de vaciado de mercado,
L
y sumando
(11)
"i·
t
o
esto es,
(15)
Vte[O,T];
para todos los agentes e 1 9ual ando a
0
se obt lene l a
deriva d e l proceso d e F compat i b l e con e l vaciado d e mercado:
t
n
c
=
t
S iendo
C
t
la
media
arm6n i ca
-
(16)
L p'cov (dF t , dP t )
IA1 :1
1
ponderada de
14 -
los
coeficientes
de
aversion relativa al riesgo de los agentes de la economia, y siendo
�Ala riqueza agregada en te(O,I).Para la funcion de utilidad
logaritmica (lim 71�O
tiene la forma:
_1_ L P'
(11)
Siendo $:A la riqueza agregada en t. Sustituyendo ahora
en
I
l
VieI),
nt=
l
{}
J'
l =
06}
I
C' v '
iA 1=1 It t t
l
I
C
L
1=1
C ltA
J l
06}
V
V' P'c;
P'c;
J l 'l
I I I
-VV '
l
l
_
V v'
l l
(IS)
__
_
obtenemos la demanda de futuros optima de agente
un
(4)
jeI,
con
P'G"
v'
p'c; v'
J
I t t __
_
l_l
V"V'
v'
V
t t
t t
CARRA CJ.
(19)
En (19) se particulariza el resultado para el caso logaritmico,
donde rJt representa la participacion en t del agente en la riqueza
total. El tratamiento del caso logaritmico tiene especial interes ya
que su interpretacion es mas sencllia que la del caso general. La
posicion especulativa dependera, en el caso logaritmico, de forma
directamente proporcional de la participacion del individuo en la
riqueza total agregada en cada periodo (ver, sin embargo, la
discusi6n de la nota 11).
Puede observarse en (18) como la posicion especulativa total se
repartira entre los agentes de forma proporcional al volumen total de
riesgo abierto en los mercados al contado y de forma inversamente
proporcional a la aversion absoluta al riesgo del individuo en
relacion a la aversion absoluta al riesgo "del mercado"
Hay que
notar que este cociente de coeficientes d� aversi6n al riesgo no es
independiente de la distribuci6n de la riqueza entre los agentes. De
nuevo el caso logaritmico es mas ilustrativo al mostrar la
dependencia de la distribuci6n de la riqueza en la demanda
especulativa de futuros: esta sera, en principio, mayor
cuanto mayor
11
sea la participaci6n del agente en la riqueza total
LP
O las demandas de activos
Ahora bien, si
j
(Ie).
I
I =1
I
,
=
-15-
elRK
financier�s distintos al futuro financiero se compensan (todo activo
financiero de un agente es pasivo financiero de otro agente) y dicho
futuro financiero es una martingala =O,Vt): 5i no existen activos
reales en la economia (que no son pasivos de ningun agente), 0 bien
en el supuesto menos restrictivo de que todos los activos
correlacionados con el futuro financiero se encuentran en oferta neta
nUla.entonces necesariamente L OeRM en equilibrio. En este caso,
la rentabilidad esperada instantAnea es cero y puede entonces
interpretarse que el hecho de que todas las posiciones spot
encuentren contrapartida hace inecesario que el futuro financiero
atraiga a especuladores. Este es un resultado bastante cornun en 105
modelos de cobertura (futures hedging models).
5i por el contrario L IP'tO, entonces puede interpretarse que en
equilibrio el precio del futuro financiero ofrece rentabilidad
esperada positiva para atraer contrapartidas que tomen posiciones
largas frente a las posiciones cortas que toman los inversores spot
para cubrir sus inversiones en activos al contado. el sumatorio
anterior es menor que cero, entonces hay que atraer posiciones
especulativas cortas, con 10 cual, para que la rentabi11dad esperada
de tomar una posicion corta descubierta sea positiva. la prima de
riesgo 0 deriva del proceso estocAstico que s1gue el precio del
futuro financiero debe ser negativa.
No obstante, la evidencia empir1ca tiende a rechazar los
modelos de cobertura al detectarse per10dos de tiempo en los cuales
las coberturas largas y cortas pract1camente se compensan ("net
hedging pressure" nulo) y sin embargo no se rechaza que la prima de
riesgo observada sea d1stinta de cero cuando, en este caso, los
modelos de cobertura predecirian una prima de riesgo nula . Este
fen6meno podria justificarse en el modele desarrollado mas arriba, en
el sentido que posiciones abiertas al contado pequefias en volumen
tengan gran influencia en la determinacion de la prima de riesgo al
ser el futuro muy volAtil con respecto a estos activ�s de contado. No
obstante, el apartado siguiente amplia el modelo para permitir la
posibilidad de que la prima de riesgo del futuro sea no nula en una
(n
t
12
I
p
'
=
I
S1
13
-16-
economia con posiciones al contado exactamente compensadas, con
agentes con preferencias identicas creencias homogeneas.
3.Un modele del mercado de futuros � economia caracterizada
procesos de sa1to-difusi6n:
El hecho que 1a realidad pueda ser explicada por una mezc1a de
procesos continuos sa1tos discretos en las variables es ampliamente
reconocida en la literatura. Reescribamos los procesos (1), (2) (3)
para e1 proceso del activo contingente, del futuro financiero del
tipo de interes spot introduciendo en las ecuaciones diferencia1es
estoca�ticas procesos de Poisson, con una probabilidad de que se
produzca un saIto discreto en t determinada, en caso de producirse,
la amplitud del saIto siga una densidad determinada. La realizacion
de la amplitud del saIto influira en el proceso original a traves de
un coeficiente determinado. Dichos procesos permiten captar sucesos
"raros" (asociados por ejemplo a varlaciones discretas repentinas
del conJunto de informacion relevante) que generan discontinuidades
en la senda de los precios de los activ�s, se escriben de la forma
14
y
gn
QQ[
y
y
y
y
y
y
15
SigUiente
dPt atdt +O'tdzt + °tdYt
dFt Jr tdt +lJtdZt + '1 tdYt
drt �(r t,t)dt + w(rt, t)dzt + �tdYt
(20)
(21) .
(22)
y
donde dZt es el proceso de Wiener anterior dYt es un proceso de
Poisson con intensidad A (la probabilidad que ocurra un saIto entre t
. Y t+.6.t es Ah+o(h), slendo h=..6.t). 160t, '1t Y �tson procesos con dominio
de definici6n real, dimensional, el primero, Y unidimensionales
el resto. Ademas se suponen integrab1es. predecibles adaptados a la
filtraci6n de cada agente. Evidentemente estos tres procesos
representan la incidencia de un saIto de la variable Yt de una
magnitud determinada en la variaci6n del precio de cada activo
financiero respectivo.
Mxl
y
-17 -
La variac i on en e l saldo que mantiene el individuo con la camara
de contratacion es,
al igual que antes:
(23)
Apli cando
el
lema
de
Ito
de salto-difusion a (23), obtenemos
multidimensional
17
para
procesos
(24)
Segu.n la formula generalizada de Ito tendremos,
que la deriva del proceso,
esperanza
instantanea
inmediatamente anterior,
del
condicionada
proceso
instante
al
tal como sucede en los procesos de difusion.
En este caso se tendra:
E lbSl (,,)
en este caso,
tal como esta escrita, no coincide con la
r lSl (�) + " lnl +I.
[J [
Sl (c, rl +�l a , Fl +rl a) -
]
aeI
- Sl (c, r l , F l )
j
P(a)da
(25)
termino adicional rep'resenta la esperanza del saIto en S
t
der ivado de la ampl i tud del saIto de Yt ' D i cha amp l i tud se representa
donde el
'
la variable
mediante
"a"
que
densidad p(a;P, t )=p(a) -que
es
una
supondremos
variable
aletoria
0 (1 ) con
estacionaria- y dominio
definicion real I��.
Evaluando (25),
" (dF l I dy =1l +
l
l
l11m
h«l
r
rs(t-h -s)
-osdF
e
o
a
-.0 (dF
t
l
I dy
t
-18-
=0) -
If:
11m
h�
e
o
r s ( t -h -$)
.osdFs
de
(26)
donde a es la amplltud del salto en t y ya que P(dYl>l)=O(dt) es
despreciable en el limite cuando dt
Entonces sustituyendo en
obtenemos:
E (�)
Hallamos ahara el proceso que sigue 1a riqueza financiera del
individuo. de forma analoga a la ecuaci6n anterior,
t
----? O.
(25)
t
(27)
65
t
(5)
+�
] dt + [ p'", + � v ] dZ
n
t t
l
+ [ p' + �
/;
t
r
l l
t t
] dy
t
t
(28)
Vamos a aplicar el principia del maximo para resolver (7) suJeto
a
El metoda de resoluc16n es similar al caso del proceso de
difusi6n puro. La ecuaci6n de para este caso es:
+ J + [po l + r l + � 1 +
(28).
AJB
t
+ .!..
2 J
J
R
a
[p.", + �vll[p'",t + �tvll'+
RR
t
l
-19-
t
5
t
n
t
(29)
suJeta a la condici6n de contorno J(�,T.T)=O. Ahora.
expandiendo el Integrando del ultimo termino obtenemos1:8
JaEIJ[�t+[P·5t+�t·tla.t.Tl-J(�t.t.T)l p(a)da
�
(p' dlZ
que sustituido en la ecuaci6n
AJB
+
'Ot;yt) 2
JRR E(a
2 )
resulta:
(31)
+ J [P'"t + r
o =�E�
max
R
5
t t
+ -.!... [p'" + � v] [p."t +"tv ] .+
2
3;
RR
t
(30)
t t
t
a resolver suJeta a la condici6n de contorno J(R, T, T)=O.
-20-
Las condiciones de primer orden en (31) junto a1 resu1tado
conocido JR/JRR=-�tJ/Cl-7J ) permiten resolver para �t;
•
•
JR
" =--­
JRR
t
(32)
es decir,
[p'
-J
tECa2)7 ]
+i\
p
'
cS
v2t 7 a2 )
O"tVt
+ i\
t
�
tE (
(33)
imponiendo 1al �:ndic16n de vaciado del mercado de futuros
financieros, L�t =0 obtenemos 1a derlva del proceso dFt en
equilibrio,
1=1
n =
t
C
It
(34)
•
t
sustltuyendo en
(33),
1
(33)
resulta:
-
[_C_. E P; - p.] ( v· tE(a2)rt]
v---�2
v·
+i\7E(a
)
t t
Jt
Particu1arizando para 1a func16n de ut11idad logaritmica,
1
2)rt)
1
(cr
v·
+;<0
E(a
t
t
z
vtv'+i\
7E(at) [
t
S1 E(a)=E(a2}=0, 6 bien i\=0, entonces
y
se reducen a
(18) y
respectivamente. contrario. aunque todas las posiciones
a1 contado se compensen, e1 futuro financiero no es, necesariamente,
una martinga1a y su prima de riesgo es no nu1a.
La prima de rlesgo descuenta 1a magn1 tud del "salto" esperado
para compensar 1a ganancia esperada de un especu1ador (si e1 futuro
aumenta su precio bruscamente en respuesta a un suceso
extraordinario, 1a prima de riesgo descuenta negativamente 1a
C I
J
1=1
'
- p
J
cr
l
l
l
(33)
(19),
-
21
- .
+M
(34)
(34)
ganancia
esperada
y
v i ceversa}.
Aunque
(L Pi=
1
contado se compensen exactamente
no
sera una martingala
siempre
todas las POS1Clone s al
"
OEIR ) , el precio del futuro
que A, 7, E (a ) ;t O . Por ejemp 10,
en una
economia sin activ�s reales 0 en 1a cual los activos correlac ionados
con
el
futuro
financiero
estan
en
oferta
f i nancieros
se
comportaran como una
shocks
la
economia
en
que
neta
nula,
los
futuros
martinga1a
salvo
que
exl stan
introduzcan
d i scont inuidades
en
la
t rayectoria del precio del futuro.
De forma similar al caso de difusi6n pura,
en futuros equivale,
diferencia
entre
para cada agente y en e1 caso logaritmico,
el
producto
agregada del agente y
mercados al contado,
la posi c i 6n mantenida
de
la
partlcipac i 6n
en
la
a la
r i queza
el volUmen total de r i e sgo abierto en los
con el volUmen de riesgo a l contado del agente ,
todo e l lo descontado por un factor decreciente e n l a volat i l ldad del
2
2
(en difusi6n-7 -y salto-E ( a )-). Dicha posi c i 6n tambien puede
futuro
dividirse,
como
especulativo
en
el
caso
de
d i fusi6n
(pr imer termino del
lado
pura,
derecho
en
componente
(33»
de
cobertura ( segundo termino) .
4.
un
y otro
de
Conclusiones:
En una economia dinamica con un numero finito de agentes con
preferencias CRRA,
formac1 6n
futuros
de
1nformaci6n y mercados comp letos ever apendice) y
expectativas homogeneas,
individual
sera
en
parte
la
demanda
especulativa
de
pura
contratos
y
en
de
parte
derivada de la voluntad de cubrir las carteras de activ�s al contado.
51
el
las carteras de activos al contado se mantienen constantes,
componente
especul ativo
puro
sera,
en
el
caso
logaritmico,
d i rectamente proporcional a la participac16n del agente en la r 1 quez a
agregada,
y
tambien
a
la
volat1 1idad
del
precio
futuros con respecto a su cartera de activos al
d i cho
componente
sera mayor cuanto mayor
carteras a l contado de los agentes.
-22-
sea
el
del
contrato
contado.
de
ASimi smo ,
desajuste de
las
El
componente de cobertura pura sera
igual
en volumen pero de
signo contrario al riesgo global de su cartera de activos al contado,
este
medido
ult imo
por
la
covarianza
futuros con su cartera de activos al
terminos netos,
prime,
del
precio
contado.
del
contrato
de
Si un agente es,
en
especulador 0 " hedger" dependera del componente que
es decir,
de su grado de aversion re lativa a l riesgo y de la
compo sicion de su cartera de activos a l contado.
La
prima
de
rie sgo
del
contrato
de
futuros
dependera
pesit ivamente del grado en que las carteras al contado se compensen
entre
51
( e s decir,
del
rie sgo
contado ) ,
pero
provoquen
d i scontinuidades
total
agregado de
los mercados al
l a exi stencia de perturbac iones en
en
los
precios
de
la economia
los
activos
que
de
la
econom1a afiadi ran un componente a la prima de rie sgo aun cuando los
mercados a l
nulol.
contado esten exactamente
En este
magni tud del
ofreceran
caso,
la prima de
salto esperado,
y demandaran
nula,
compensara
requieran
una
a
los
posicion
agregado
riesgo descontara exactamente
la
se
con
fines de
cobertura.
a traves de una prima de
agentes
a
(riesgo
no habra especulacion pura y solo
contratos
forma el contrato de futuros,
compensados
futuros
cuyas
necesidades
potencialmente
de
De
esta
riesgo no
cobertura
desfavorable
con
respecto al sentido del sa Ito en el futuro f inanc iero (corta/larga s1
se espera un saIto d i screto al a l za/baja) .
El
puede
resultado del parrafo anterior enr1quece la informaci6n que
proceso
que
sigue e l precio del futuro financiero respecto a una mart inga la.
extraerse
Por
ejemplo,
en el
de
la
magnitud de
la
divergencia del
caso del contrato de futuros sobre tipos de cambi o ,
p o r la gran profundidad d e l mercado puede pensarse que las posi c 1 0nes
largas y cortas al contado de los agentes que contratan en el mercado
de futuros estan practi camente compensadas.
arb1 traJistas de
paridad
cubierta de
Esto e s as1 per que los
tipos de
1nteres
cubren
sus
pos1c10nes en el mercado a plazo y no en e l de futuros, y los agentes
que especulan sobre la par1dad descubierta no cubren sus posiciones
n1 a plazo n1 en el mercado de futuros. Supongamos ademas que el t1po
de cambio b i lateral entre dos monedas se inserta en unas bandas de
fluctuaci6n.
Entonces,
s1 el precl0 del futuro sobl-e tipo de cambio
t lende a compor tarse como una submartingala puede inferlrse
que el
mercado espera un realineam1ento con probab111dad no nula.
En este trabajo se han derlvado resultados de interes econ6mlco
sobre la naturaleza del equi librio en el mercado de futuros en una
economia con mercados completos y contrataCi6n continua,
prlmas de r i e sgo de los precios en d i cho equilibrio,
investigado
l a naturaleza de
coeficientes de
futuro
subyacentes.
EI
en
sal to-difusi6n
relaci6n
supue sto
pero no se ha
ciertos aspectos cruciales,
difusi6n y de
financiero
y sobre las
de
al
los
( lump-diffusion) del
conjunto
mercados
como
ex6geno
completos
de
ha
activos
evitado
la
necesidad de tratar temas tales como la asignac i 6n inter temporal del
consumo
6 la valoraci6n del conjunto de activos "primi tivos" ,
para
estudiar el mercado de futuros en equilibrio parcial.
Probablemente
el reto te6rico mas importante consista en model1zar
la economia y
derivar metodos de valoraci6n cuando los productos de la innovacion
f inanciera no sean activos redundantes.
d i spone
de
una
teoria
general. clara
No obstante,
y establecida
todavia no
sobre
se
mercados
financieros incompletos.
APENDICE. Exlstencia de Yn equilibrio gene ral subyacente.
El
modelo del mercado de
equilibria
parcial
en
una
futuros presentado se desar rollo ·en
econemia
caracterizada
per
financieros cuyos precios siguen procesos de d i fusion,
actives
agentes con
preferencias CRRA e informaci6n completa. En dicha economia se supuso
que los mercados eran completos antes de la introducci 6n del contrato
a
futuros,
parcial.
10
En
cual perm i t i 6
este
apendice
vector de precios de
se
desarrollar
desarrollan
los activos a1
el
modelo
las
en
equilibrio
cond i ciones
contado y el
tipo de
que
el
interes
instantaneo deben sat i sfacer para que la asignac i 6n de equilibria sea
la mi sma antes y despues de la introducci 6n del contrato de futuros.
Es declr,
cabe preguntarse si las nuevas cond iciones que exist iran
en la economia despues de la introducc16n de d i cho mercado afectaran
-
24
-
el propio equilibrio general , del que se partfa
como
premisa.
Para desarrollar estas condic iones, se mod i f i cara l i geramente la
especificaci6n de los procesos estocasticos y se introduc iran activos
reales,
para fac i l i tar
la comparacion de
los
resultados con otros
trabaJos de la l i teratura (especlalmente el renovador trabajo de Cox,
Ingersoll y Ross,
1985a y 1985b.
Se recordara que en el modelo existfan M act i vos contingentes
caracter izados por un proceso de difusi6n M-dimens iona l :
(l)
s iendo dZt un
fuentes
de
vector Kxl
incer t i dumbre
de
de
procesos
la
equi librio de M activos contingentes,
rentabil idades
instantaneos,
MxK
de
instanta.neas, .
<\
de Wiener
economfa,
un
que
representan
las
P el vector de precios de
t
una matriz diagonal MxM de
fl
t
vector
Mxl
de
flujos
de
caja
1M una matriz identidad de dimension M y Ht una matriz
coeficientes
de
d i fusion.
l l e gan
CIR
a
una
expresion
de
flt y H , a la vez que determinan la composic16n optima
equilibrio para
t
de la cartera de los indi viduos.
Al considerar el problema de asignac i 6n de r i queza del Ind i vlduo .
el
problema
(mica,
de
debido
obstante.
selecclon de
a
cartera
la existencla de
no
t i ene,
en
infinltos activos
genera l ,
solucion
contingentes.
No
el problema puede resolverse escoglendo un conjunto "base" de
oportunidades de
inversion
( incluyendo
tanto
la
inversion directa en
procesos produc t i vos como en activos contingentes) . Esta base se define
como
el
conjunto
caracteri zados
por
de
procesos
procesos
de
activos contingentes de la base.
.
rentabi lidades s i guen e l proceso:
produc t i vos
difusioll
y
activos
multi variante
contingentes
(1 )
para
K
y para p procesos produc tivos cuyas
s iendo p:sn -mlmero de procesos fisicos existentes-.
-25-
«(Y, t) un vector
pxl
de
derivas,
func i 6n
de
las
fuentes
de
G(Y. t) una matriz nx(n+k) de funCiones de
incertidumbre
y,
siendo
(Y, t ) con dominio real
(GG'
es la matriz de covarianzas del proceso de difus i 6n multivariante (2»).
dZ
es un proceso de Wiener
(n+k)-dimensiona l .
Para simplificar
t
supondremos que todos los procesos fisicos pertenecen a la base (p=n).
Segun Cox,
Ingerso l l
y
Ross,
(1985a,
pag. 368), � is sufficient
for both individual choice and equil ibr ium valuation to determine the
uni que a l location resulting when the opportunity set is restricted to
the
basis.
AnY
involving
a l location
nonbasis
claims
could
replicated Qy � controlled portfo l i o o f claims in the basis.
� of
these cho ices would 8ive
behav ior
�
time
and
consumption
Since
the � portfo l io
�
he
would
be
nonbasis contingent claims to exist. but there !...§. no � for
them not to exist e i ther.
will
�
individual
In this scheme of things there is no �
indifferent among them.
for
the
the
be
be
.en
inifinite
and � .!!lAY � that
number
of
them.
each
of
in general
which
there
must
be
conSi stently priced in equilibrium" .
Esto
se u t l l i zara para resolver
el
equilibrio parcia l , cuando
se
introduce un mercado de futuros ,de forma consistente con e l equilibrio
genera l . Para e l l o cabe establecer e l siguiente teorema:
Teorema:
Una
cond i c i 6n
necesaria
y
suficiente
para
la
existencia de la base es que l a matriz de d imensi6n (n+k+1 ):
r
t
(F�-a)
A(Y, t )
=
[
,, (Y , t)
Q(n.k']
H ( Y, t)
G(Y, t)
no sea singular.
Prueba:
Supongamos
cualquier
activo
financiero
de
la
perteneciente a l a base, cuyo precio t iene diferenc i a l :
-
26
-
economia
no
dP
t
� ( Y , t )dt + �(Y, t ) dz ( t )
(3)
s iendo u(Y, t ) un vector de (n+k) funclones con dominic rea l .
una
funcien
con
real
dominic
dz e l
t
y
proceso
de
� ( y. t )
Wiener
multid imensional (n+k)xl.
S1
un
agente
puede
rep l i ca r
cartera f a rmada con los activos de
( que
es
este
activo
financiero
la base y al
con
una
activo s i n riesgo
un
activo financiero con coefi ciente de difusi6n cera y
(n+k+1l
sr sr
tal que :
d i ferencial dp =p r ) debera existir pry. t)elR
l t '
t
1.
con probabl 11dad
dPR
t
Vt.
(3)
sr
p'B(Y, t ) , B(Y , t)' = [p F T/J. es la cartera que repl ica P .
t
t
l
Apl i camos e l lema de I to mult idimensional a PR obtenlendo:
d6nde PR
t
dPR
+
t
Mk
L
J:n+l
n+k+l
L p ( Y , t ) A (Y, t )dt +
IJ
J
J:1
=
p ( Y , t ) h (Y, t )
J
J
1
[�
P (Y, t ) G (Y, t ) +
j
J
J=1
dz
t
n+k+l
sl endo {A }
1a primera columna de A(Y, t), G ( V, t ) los n vee t a res
1) J=l
J
f i la (n+k) de G ( Y, t) Y h (Y, t)IOS k vectores f i l a (n+k) de H ( Y , t).
J
51 (4) se cumpl e , entonces debera cump11rse:
[ ]
", ( Y , t l
�(Y, t )
]
�' (Y, t )
p(Y, t )
A' (Y, t ) p(Y, t )
G
Q. E . D .
pero esto e s c1erto 51 y 5610 51 rangACY , t ) =n+k+l
Una
vez
establecldo
este
teorema.
rea11cemos
las
•
s1guientes
hip6tesis:
Hl.
La matriz basica t i ene rango igual
fuentes
de
incert idumbre
de
la
0
superior al numero de
economia mas
uno
(los
mercados son completos).
H2.
1a
En
economia
un
existe
financiero.
futuro
marked-to-market. que no pertenece a l a base Vt.
El futuro financiero puede entonces replicarse dinamicamente con
los
activos
existencia
reales
no
v i ene
y
financieros
a
amp l i ar
el
de
la
conjunto
inversi6n de un agente con acceso a todos
Consiguientemente
la
base,
introducci6n
de
de
los
un
con
cual
su
oportunidades
de
10
act! vos de
mercado
de
l a base.
futuros
f inancieros no varia l a compos ici6n de l a cartera de (n+k+l) activos
basicos, bajo Hl y H2.
E l precio del futuro f inanc iero debera ser cons istente con el
equi librio general de la economia. y consecuentemente debera resolver
las ecuaciones diferenciales parciales de equi librio del model o .
introducci6n de caracterist icas adicionales
imposibilitan al
esta
via.
No
resoluci6n anal itica del precio de equ i l i b r i a por
obstante,
estocastico del
La
(marke t-basket-del ivery)
precio
Hl
del
y
H2
permiten
caracterizar
futuro financiero y
las
el
proceso
estrategias de
actuaci6n de los agentes en d i cho mercado resolviendo el problema en
equ i l ibrio
parcial
de
forma consistente
can
el
equi librio
(tomando como f i j a l a compos i c i on de l a cartera basica).
- 28,,_
general
NOTAS
l
para mas detalles
sabre
l a topologia de
los procesos de
Ito.
ver
W i l l i ams (1979).
2
En
ade l ante
se
supondra
que
todos
los
procesos
estocasticos
espec ificados son medibles en (n. f . � ) Vte [ O , T ] e Integrables respecto
l a medida de Lebesgue.
a
3
A1
ser
los
al terani
activo
la
mercados
completes,
asignacion
financerio
real
el
nuevo
escogida por
siempre podra
ser
los
activo
f inanciero
inversores:
replicado por
un
las oportunidades de
inversion de
l a economia.
de
que expande
No obstante,
aunque no hay ninguna razen por la que el nuevo activo
deba existir.
no
nuevo
conJunto
activos l inealmente independientes que forman l a " base"
todas
El
( redundante)
tampoco hay razon alguna para que no exista.
Ver el
apendice.
4
= (} dF
t
S
La posicion
al
cont ado
t
+ 1 1m
h""
en el
J
t-h
0
activo
rs ( t - s )
"sdFs
e
m
sera
corta
0
l arga segun
p <Oo p >O, P=(P ,
P
P ) , respectivamente. De forma simi l ar l a
1
H
m
lD
lD
posici6n d e un individuo e n e l mercado de futuros sera corta 0 larga
•
segun "<0
6
0
">0,
de
'
•
•
respectivamente.
Cabe observar que
tipos
.
Interes
las
sin
operaclones de
inversi6n/endeudamiento
riesgo
recogidas
quedan
en
la
a
cartera
p' EIR" medi ante la compra 6 emision de bonos " cupon cero" .
7
La deriva y el
coeficlente de difus16ndel proceso
continuas en todos sus
argumentos,
ademas de
( 19)
deben ser
la prop i a funci6n de
u t i l idad. Ademas l a deriva y el coeficiente de difusi6n deben cumpl ir
la cond icion de crecimiento y deben ser funciones Llpschlanas.
ultimo,
Por
la condicion de contorno es cont inua y sati sface la cond ici6n
de crecimiento (ver D . Duff i e , 1988, p. 22S ).
-
29 -
es
la
funcl6n
valor
(el
valor
de
maximo
la
funclan
objetivo para un problema de control optima que empieza en
t en e l
Baja l a s condiciones de regularidad supuestas
(ver mas
estado 3tt ) .
es unica y J E C2 .
arriba). d i cha funclan existe,
9
para
una
parciales
sobre
el
tipo
aparecen
en
los
discus i on
que
se
de
ecuaciones
problemas
de
diferenciales
control
optima
estocastlco, ver Bensoussan (1982).
10
Anderson
y
Danthine
(1981)
obtienen una
descompos i c i on
similar
en un modele puro de cobertura.
ll
Este
pequeno
cautela,
dada,
anal i s i s
ya que
de
esta.tica
comparativa
la cartera de activos al contado,
debe
Pi'
tomarse
con
se considera
y esta en real idad podria depender de forma no
l ineal de
la
partic ipaci6n del agente en la riqueza agregada.
12
Por ejemp lo, una economia de intercambio pur�.
13
Ver Raynauld and Tessier (1984), Peck (1980 y 1982).
14
Anderson y Danthine (1981) Justifican primas de riesgo no nulas con
demanda neta de cobertura nula por la d i sparidad de preferencias y/o
expectativas de los agentes.
15
Puede demostrarse que
(18),
(19) y
(20) es
la distr ibuci6n asint6tica de
idemtica a
la de un
P, F Y
proceso
r
en
estocastico
que sea suma directa de un proceso de difusi6n y otro de saIto puro.
Para
el
anal i s i s
de
estos
procesos
mixtos
ver
Cox
(1968), pags. 237-246.
16
dy(t)=O
con
probab i l idad
Adt+o(dt) y dy(t)=N,
1-Adt+o(dt),
dy(t)=1
N>1 con probab i l idad o (dt).
-
30
-
con
y
M i l ler
probabi l idad
17Sea dx=c(x, t1dt (x t1dZ B(x, t1dY un sistema de ecuaciones
diferenciales estocastlcas con dZ vector de procesos de Wiener
dY un vector de procesos de Poisson independientes. Sea F(x,t) una
func16n dos veces diferenclable en (x,t1. Entonces:
]
dF [
Fx(x. tlc(x.tl ; /
[Fx(x. tlA(X. tl]dZ [ x x t t x.t ] d
para el caso bidimensional de
obtenemos el resultado del texto.
1 80icha expansi6n es una aproximaci6n no supone que momentos de
at de orden superior a sean asint6ticamente despreciables.
+ A
=
+
+
,
F ( x . tl +
,
+
+
y
un
n +B ( .
tdF
x
l.
l -n
X . tlA(X. tlA· (X. t l l dt
l
Y
(21 1
y
2
-
31
-
1 05
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Anderson.
R.W.
y Danthine.
J . P. : "Cross Hedging " ,
Journal of
Po l i t ical
Economy. 89, 1 98 1 , pags. 1 182-1196.
-------
Dlversity
, " Hedger
Futures
in
Markets " . Economi c Journa l . 93, 1983. pags. 370-389.
Bensoussan.
A. : "Stochastic
Control
by Functional
Analysis
Methods" ,
Commodity
Futures" ,
North-Ho l l and, Amsterdam, 1982.
Bodie.
Z.
y
Rosansky.
J . : "Risk
and
Return
in
Financ ial Ana lysts Journa l , 36 , 1980, pags. 21-39.
Breeden.
D. T.
Consumption
:
Economics, 35,
Carter,
and
the
35.
C . A"
Cootner,
: " Consumption
Rausser,
in
Futures
of
Normal
y Schmitz,
Stochastic
of
Financial
Marke t s " .
Journal
A. : "Efficent Asset
Backwardation" " ,
P. H. : " Returns to Speculators:
7,
Journal
of
Journal
Portfolios
Poli tical
of
1983, pags . 319-331.
------- : "Speculat ion
Corne l l ,
Risk
G.C. ,
of Po l i t i cal Economy , 68,
Studies ,
Opportunities" ,
1980. pags. SOS-S2S.
Theory
Economy, 9 1 ,
Investment
1979, pags 503-520.
-------
Finance,
" An lnter temporal Asset Pricing Model with
and
Telser versus Keynes"
Journal
1960, pags. 396-404.
and
Hedging" ,
Food
Research
Pricing
Mode l :
lnsti tute
1967, Suplemento pags . 65-106.
B . : " The
Consumption
Based
Potential Tests and Appl ications" ,
Asset
Journal of Financial
1977, pags . 1 03-108.
- 32 -
A
Note
on
Economics, 9 ,
Cox,
J . C. ,
Ingersol l ,
J. E. Jr.
y Ross ,
S . A. : " An Inter temporal
Equ i l ibrium Model of Asset Prices" , Econometrica, 53,
------
Structure of Interest Rates " : Econometrica,
Cox,
D. A.
Ed
NY.
.
•
Y M i l ler.
53,
General
1985a, pags.
: ,. A theory of the
Term
1985b, pags.
M. D. : " The Theory of Stochast i c Processes" ,
Wiley
1968.
Duffie.
D . : "Security
Markets.
Stochas t i c
Mode l s "
•
Prentice
Hall. NY. 1988.
-----
: " Futures Markets" , Prentice H a l l , NY,
1989.
Duffi e , D. y Jackson, M . : "Optimal Hedging and Equ i l ibrium in a
Futures Market " , Journal of Economic Dynamics and
Dynamic
Control, 14. 1990.
K. : " Futures Trading and Investors Returns: An Investigation
Dusak,
Commodity Market Risk Premium" , Journal of Political
Economy . S I ,
of
1973.
pags. 1387-1406.
Fama,
E. : " Forward Rates as Predictors of Futures Spot Rates " ,
of Financ ial Economics, 3.
1976, pags.
Friedman. B . : " I nterest Rate Expectations versus Forward
from
an
Expectations
Survey" ,
Journal
361-377.
Journal
of
Rates: Evidence
Finance, 34.
1979,
pags. 965-973.
Grauer,
F. L. A . : "Equil ibrium
tests" ,
PhD.
Grauer,
F.
Contracts.
L.
in Commodity Futures Markets: Theory
Dissertation. Stanford Univers ity.
A.
Y L i tzemberger, R. H . ; " The Pricing of Commod! ty
Nominal Bonds and Other Risky Assets Under
Uncertanty" , Journal of Finance, 34,
1979, pags.
- 33 -
and
1977.
69-83.
Futures
Commodity Price
Gray.
R. W. : " The
Characteristic
BIas
Food Research Insti tute Studies,
-----
: " The
Economy, 69,
Search
for
a
1,
in
some
Thin
Futures
Marke t s " ,
1960, pags 296-312.
Risk
Premium" ,
Journal
of
Poll tical
1961. pags. 250-260.
Hansen, L. Y Hodrick. R . : "Forward Exchange Rates as Optimal
of Future Spot Rates:
Economy, 88.
An Econome tric Analysis" ,
Predictors
JOurna l of Poll tical
1980, pags 829-853.
Hodrick,
R.
y Srivastava,
Forward
Foreign
in
S. : "An Investigation of Risk and Return
Exchange " ,
Journal
of
International
Money
and
Finance, 3 , 1984, pags. 5-Z9.
Houthakker, H . S. : "Restatement
of
the
theory of Normal
Cowles Fundation D i scussion Paper. 44.
-------
1957b, pags.
Economics
143-151.
M. : " Market Effi cency and the Return on Gold Futures"
Graduate School of Business,
Keynes ,
1957a.
: " Can Speculators Forecast Prices?" : Review of
and Statistics,39.
Jackson,
Backwardation"
J . M. : " A
Treatise
Mimeo,
1986, Stanford University.
on
Money"
vol. II
Money" , Macm i l lan and Company. London,
" The
App l i ed
Theory
of
1930.
Korajczyk. R. : " The Pricing of Forward Contracts for Foreign
Exchange" ,
Journal of Political Economy, 93, 1985, pags. 346-368.
Lintner,
J . : " Security
Prices.
Risk
and
Diversification" , Journal of Finance, 20,
Merton,
R. : " Opt imum
Continious-Time
Mode l "
Consumption
•
Journal
-
34 -
Gains
from
1965, pags. 587-615.
and
of
Maximal
Portfo l i o
Economic
Rules
Theory.
3,
in
a
1971,
pags . 373-413.
Miracle.
D . S . : " The
Institute Studies.
Peck,
Egg
11.
A. : "Reflect ions
Futures
of
Hedging
Research Institute Studies,
----
Market: 1940
to
1966"
Food
Research
1972. pags. 269-292.
17.
on
Futures
Markets
Activity"
: " E s t imation of Hedging and Speculative Posit ions on
Markets
Rev i s i ted" .
Food
Food
1980. pags . 327-349.
Research
Insti tute
Futures
Studies,
18,
1982, pags. 181-195.
RaJamaran, I . : "Test ing the Rationa l i ty of Futures Markets for
LOC
Agricultural
Exports" ,
Journal
of
Futures
Selected
Markets,
6,
1986,
pags. 523-540.
Raynauld.
J.
Y
Tessier.
Empirical Investigation" .
J . : " R i sk
Premium
in
Futures
Journal of Futures Markets,
4.
Markets : An
1984.
pags.
189-2 1 1 .
Richard, S. F. Y Sundaresan, M . : " A Continious Time Equilibrium
Commodi t y
Prices
Economics,
9,
in
a
1 98 1 , pags.
Rockwel l , C . S . : " Normal
Multigood
Economy" .
Journal
of
Model of
Financial
347-37 1 .
Backwardation,
Commodi t y Futures Traders" ,
Forecasting and
the Returns
Food Research
Insti tute
l a estructura
intertemporal
to
Studies, 7, 1967,
pags. 107-130.
Serrato
A. : "Modelizaci6n de
interes en equllibrio genera l " , OOC. 9006.
Serrato
A. : " Valoraci6n de
equi librio general :
9007, CEMF!,
activos
futuros,
CEMFI,
derivados
de
de
tipos de
1990a.
tipos
de
interes
opciones y opciones sobre futuros" ,
1990b.
-
35
-
en
DOC
Sharpe, W. : "Capital Asset Prices: A theory of Market Equ i l ibr ium
Cond i t ions
Stein,
of
J. L . :
Risk" ,
Journal
of
Finance,
19,
1964,
under
pags. 425-442.
"Spot, forward and futures" . Research in Finance, vol. I ,
1979, pags. 225-310.
Telser . L . : " Futures
Trading
and
the
Storage
of
Cotton
and
Wheat "
Journal o f Pol i t i cal Economy. 6 6 , 1958, pags. 233-255.
----
: " Returns
to
Speculators: Telser
Journal of Political Economy, 68,
versus
Keynes.
A
---- : "Margins and Futures Contracts" Journal of Futures
1,
Reply" .
1960, pags . 404-4 1 5 .
Marke ts.
1 981 , pags. 225-253.
W i l l iams, D. : " D i ffussions,
Wiley, NY.
Markov
Processes
1979.
- 36 -
and
Martingales"
vol. I ,
DOCUMENTOS DE TRABAJO ( I )
8801
8802
8803
8804
8805
8806
8807
8808
8901
Agustin MaravaH: Two papers on ARIMA signal extraction.
Juan Jose Carnio y Jose Rodriguez de Pablo: E1 consumo de Alimentos no elaborados en Espa­
fia: AnaIisis de la informaci6n de MERCASA.
Agustin Maravall and Daniel Pena: Missing Observations in Time Series and the «DUAL»
Autocorrelation Function.
Jose Viiials: El Sistema Manetario Europeo. Espana y la politica macroecon6mica. (Publicada
una versi6n en ingies con el mismo Dt1rnero.)
Antoni Espasa: Metodos cuamitativQs y anBlisis de la coyuntura econ6mica.
Antoni Espasa: El perfil de crecimiento de un fen6meno econ6mico.
Pablo Martin Aeeiia: Una estimaci6n de los principales agregados monetarios en Espana: 19401962.
Rafael Repullo: Los efectos econ6micos de los coeficientes bancarios: un analisis te6rico.
MI de los Llanos Matea Rosa: Funciones de transferencia simuitaneas del indice de precios al
consumo de bienes elaborados no energeticos.
8902
Juan J. Dolado: Cointegraci6n: una panor3.mica.
8904
E. Morales, A. Espasa y M. L. Rojo: Metodos cuamitativos para el amilisis de la actividad indus­
8903
9001
9002
9003
9004
Agustin Maravall: La extracci6n de senales y el anaJisis de coyuntura.
trial espanola. (Publicada una edici6n en ingles con el mismo numero.)
Jesus Albarracin y Concha Artola: EI crecimiento de los salarios y el deslizamiento salarial en
el periodo 1 981 a 1988.
Antoni Espasa, Rosa GOmez-Churruca y Javier Jareno: Un anaIisis econometrico de los ingre50S
por turismo en la economia espanola.
Antoni Espasa: Metodoiogia para realizar el anaHsis de 1a coyuntura de un fen6meno econ6mico.
(Publicada una edici6n en ingles con el mismo numero.)
Paloma G6mez Pastor y Jose Luis Pellicer Miret: Infonnaci6n y documentaci6n de las Comu­
nidades Europeas.
9005
Juan J. Dolado, Tim Jenkinson and Simon Sosvilla-Rivero: Cointegration and unit roots: A
9007
Juan J. Dolado, John W. Galbraith and Anindya Banerjee: Estimating euler equations with
9009
Juan J. Dolado and Jose Vinals: Macroeconomic policy. external targets and constraints: the
9006
9008
9010
9011
9101
survey.
Samuel Bentolila and Juan J. Dolado: Mismatch and Internal Migration in Spain, 1962-1986.
integrated series.
Antoni Espasa y Daniel Pena: Los modelos ARlMA, el estado de equilibrio en variables econ6micas y su estimaci6n. (Publicada una edici6n en ingles can el mismo nu.mero.)
case of Spain.
Anindya Banerjee, Juan J. Dolado and John W. Galbraith: Recursive and sequemial tests for
unit roots and structural breaks in long annual GNP series.
Pedro Martinez Mendez: Nuevas datos sabre la evoluci6n de la peseta entre 1900 y 1936. Infor­
maci6n complementaria.
Javier Valles: Estimation of a growth model with adjustment costs in presence of unobservable
shocks.
9102
Javier Valles: Aggregate investment in a growth model with adjustment costs.
9104
Jose Luis Escriva y Jose Luis Malo de Molina: La instrumentaci6n de la polftica monetaria
9103
Juan J. Dolado: Asymptotic distribution theory for econometric estimation with integrated pro­
cesses: a guide.
espanola en el marco de la integraci6n europea. (Publicada una edici6n en ingles con el mismo
numero.)
9105
Isabel Argim6n y JesUs Briones: Un modele de simulaci6n de la carga de la deuda del Estado.
9106
Juan Ayuso: Los efectos de la entrada de la peseta en el SME sobre la volatilidad de las variables
financieras espaiiolas. (Publicada una edici6n en ingics con el mismo mlmero.)
9107
Juan J. Dolado y Jose Luis Escriva: La demanda de dinero en Espana: definiciones amplias de
9109
Soledad Nunez: Los mercados derivados de la deuda publica en Espana: marco institucional y
liquidez. (Publicada una edici6n en ingles con el mismo numero.)
9108
Fernando C. 8aUabriga: Instrumentaci6n de la metodologia VAR.
funcionamiento.
9110
Isabel Argimon y Jose MI Roldan: Ahorro, inversi6n y movilidad internacional del capital en los
pafses de la CEo (Publicada una edlci6n en ingles con el mismo numero.)
9111
Jose Luis Escriva y Roman Santos: Un estudio del cambia de regimen en la variable instrumen­
tal del control monetario en Espana. (Publicada una edici6n en ingles con el mismo numero.)
9112
Carlos Chulia: El credito interempresariai. Una manifestaci6n de la desintennediaci6n financiera.
9114
Miguel Sebastian: Un an8.lisis esttuctural de las exportaciones e importaciones espaiiolas: evalua­
9113
Ignacio Hernando y Javier Valles: lnversi6n y restricciones financieras: evidencia en las empre­
sas manufactureras espanolas.
ci6n del perfodo 1989-91 y perspectivas a medio plazo.
9115
Pedro Martinez Mendez: Intereses y resultados en pesetas constantes.
9117
Juan Luis Vega: Tests de rafces unitarias: aplicaci6n a series de la economia espanola y al an8.lisis
9116
Ana R. de Lamo y Juan J. Dolado: Un modelo del mercado de trabajo y la restricci6n de oferta
en la economfa espanola.
de la velocidad de circulaci6n del dinero (1964-1990).
Javier Jarefio y Juan Carlos Delrieu: La circulaci6n fiduciaria en Espana: distorsiones en su
9118
evoluci6n.
9119
9120
9121
Juan Ayuso, Juan J. Dolado y Simon Sosvilla·Rivero: Eficiencia en el mercado a plazo de la
peseta.
Jose M. Gonza.lez·paramo, Jose M. Roldan y Miguel Sebastian: Issues on Fiscal Policy in
Spain.
9201
Pedro Martinez Mendez: Tipos de interes, impuestos e inflaci6n.
9202
Victor Garcia-Vaquero: Los fondos de inversi6n en Espana.
9203
Cesar Alonso y Samuel Bentolila: La reiaci6n entre la inversi6n y la «Q de Tobin» en las empre·
sas industriales espanolas.
9204
Cristina Maz6n: Mar-genes de beneficio, eficiencia y poder de mercado en las empresas espanolas.
9205
Cristina Maron: El margen precio-coste marginal en la encuesta industrial: 1978-1988.
9206
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(I)
Juan Ayuso Huertas: Intervenciones esterilizadas en el mercado de la peseta: 1978·1991.
Fernando Restoy: Intertemporal substitution, risk aversion and short tenn interest rates.
Fernando Restoy: Optimal portfolio policies under time-dependent returns.
Fernando Restoy and Georg Michael Rockinger: Investment incentives in endogenously gro­
wing economies.
Jose M. Gonzalez-Paramo, Jose M. Roldan y Miguel Sebastian: Cuestiones sobre palitica fis­
cal en Espana.
Angel Serrat Tubert: Riesgo, especulaci6n y cobertura en un mercado de futuros dinamico.
Los Documenlos de Trabajo anteriores a 1988 figuran en el catilogo de publicaciones del Banco de Espana.
Informacion: Banco de Espana
Secci6n de Publicaciones. Negociado de Distribuci6n y Gesti6n
Telefono: 338 51 80
Alcala. 50. 28014 Madrid