Contributi al dimensionamento delle opere di sostegno in condizioni

Transcription

Università Politecnica delle Marche
Facoltà di Ingegneria
Scuola di Dottorato di Ricerca in “Scienze dell’Ingegneria”
curriculum in “Ingegneria dei Materiali, delle Acque e dei Terreni”
IX ciclo - nuova serie
CONTRIBUTI AL DIMENSIONAMENTO
DELLE OPERE DI SOSTEGNO
IN CONDIZIONI SISMICHE
Tesi di Dottorato di:
Diego D’Alberto
Tutore:
prof. Erio Pasqualini
Responsabile della Scuola:
prof. Graziano Cerri
Direttore del curriculum:
prof. ing. Giacomo Moriconi
Anno Accademico 2009/2010
CONTRIBUTI AL DIMENSIONAMENTO
INDICE
CAPITOLO 1
OGGETTO DELLA TESI.........................................................................................................................1
CAPITOLO 2
STATO DELL’ARTE SUI METODI DI ANALISI
DELLE OPERE DI SOSTEGNO IN CONDIZIONI SISMICHE .........................................................3
2.1. GENERALITÀ SULLE OPERE DI SOSTEGNO .....................................................................3
2.2. COMPORTAMENTO DELLE OPERE DI SOSTEGNO IN CONDIZIONI SISMICHE.........5
2.3. METODI DI ANALISI DELLE OPERE DI SOSTEGNO IN CONDIZIONI SISMICHE........6
2.4. METODI PSEUDO-STATICI....................................................................................................7
2.4.1. TERRAPIENI ASCIUTTI................................................................................................7
2.4.2. TERRAPIENI SOMMERSI ...........................................................................................11
2.4.2.1. Spinta del terreno ..............................................................................................13
2.4.2.2. Spinta dell’acqua...............................................................................................14
2.4.2.3. Valutazione delle sovrappressioni interstiziali..................................................16
2.4.3. TERRAPIENI PARZIALMENTE SOMMERSI............................................................18
2.4.3.1. Spinta del terreno ..............................................................................................18
2.4.3.2. Spinta dell’acqua...............................................................................................21
2.4.3.3. Metodo del cuneo di tentativo...........................................................................21
2.4.4. TERRAPIENI NON OMOGENEI .................................................................................24
2.5. METODI DEGLI SPOSTAMENTI .........................................................................................26
2.5.1. METODO DI NEWMARK............................................................................................26
2.5.2. METODO DI RICHARDS E ELMS..............................................................................28
2.5.3. METODO DI WHITMAN E LIAO ...............................................................................29
2.5.4. CORRELAZIONI PROPOSTE DA MADIAI ...............................................................32
2.6. METODI PSEUDO-DINAMICI ..............................................................................................34
2.6.1. METODI DI STEEDMAN E ZENG - CHOUDHURY E NIMBALKAR.....................34
2.6.1.1. Accelerazione del terreno..................................................................................34
2.6.1.2. Forza d’inerzia del terreno ................................................................................35
Contributi al dimensionamento delle opere di sostegno in condizioni sismiche
2.6.1.3. Spinta sismica attiva del terreno .......................................................................36
2.6.1.4. Distribuzione delle pressioni.............................................................................37
2.6.1.5. Momento ribaltante e punto di applicazione della spinta..................................38
2.6.1.6. Influenza della rigidezza del terreno .................................................................39
2.6.1.7. Influenza dell’amplificazione del moto sismico ...............................................40
2.7. METODI DINAMICI COMPLETI ..........................................................................................42
CAPITOLO 3
DIMENSIONAMENTO DI UNA BANCHINA A CASSONI
CON IL METODO PSEUDO-STATICO SECONDO IL D.M. 14/01/2008 ........................................45
3.1. FORZE AGENTI SU UNA BANCHINA A CASSONI IN CONDIZIONI SISMICHE .........46
3.1.1. SPINTA SISMICA DEL TERRENO ....................................................................................47
3.1.2. SPINTA DELL’ACQUA................................................................................................47
3.1.3. FORZE D’INERZIA DEL CASSONE...........................................................................48
3.2. VERIFICHE DI STABILITÁ DELLA BANCHINA A CASSONI .........................................49
3.3. VERIFICA A SCORRIMENTO DELLA BANCHINA A CASSONI
SECONDO IL D.M. 14/01/2008 ..............................................................................................50
3.3.1. CONDIZIONI STATICHE ............................................................................................50
3.3.2. CONDIZIONI SISMICHE .............................................................................................51
3.4. COEFFICIENTI SISMICI SECONDO IL D.M. 14/01/2008 ...................................................54
3.5. CARATTERISTICHE DEL TERRENO E DEL CASSONE NEL CASO BASE ..................57
3.6. EFFETTO DEL TIPO DI APPROCCIO ..................................................................................57
3.7. EFFETTO DELLE MODALITÀ DI CALCOLO DELLA SPINTA DEL TERRENO............60
3.8. EFFETTO DELLE SOVRAPPRESSIONI INTERSTIZIALI..................................................62
3.9. CONFRONTO CON IL CASO STATICO ..............................................................................65
3.10. CONFRONTO CON L’EUROCODICE 8 .............................................................................70
3.11. VALORE DI SOGLIA DEL COEFFICIENTE SISMICO ORIZZONTALE ........................71
CAPITOLO 4
DIMENSIONAMENTO DI UNA BANCHINA A CASSONI
CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI SECONDO IL D.M. 14/01/2008.................................73
4.1. INFLUENZA DEGLI SPOSTAMENTI SULLA SPINTA DEL TERRENO..........................73
4.2. SPOSTAMENTI AMMISSIBILI PER UNA BANCHINA A CASSONI ...............................75
4.3. PROGETTO DI UN’OPERA DI SOSTEGNO
CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI..........................................................................76
4.4. APPLICAZIONE DEL METODO DEGLI SPOSTAMENTI SECONDO IL D.M. 14/01/2008
E CONFRONTO CON IL METODO PSEUDO-STATICO....................................................78
4.5. EFFETTO DEL RAPPORTO DI SOMMERSIONE................................................................83
4.6. EFFETTO DELL’ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO DEL TERRENO
E DELL’ANGOLO DI ATTRITO TERRENO - STRUTTURA .............................................85
ii
Indice
4.7. EFFETTO DELL’ANGOLO DI ATTRITO ALLA BASE ......................................................87
CAPITOLO 5
ESTENSIONE DEL METODO PSEUDO-DINAMICO AI TERRENI SOMMERSI.......................89
5.1. ACCELERAZIONE DEL TERRENO .....................................................................................90
5.1.1. VELOCITÀ DELLE ONDE P .......................................................................................90
5.2. FORZE D’INERZIA DEL TERRENO ....................................................................................93
5.3. SPINTA SISMICA ATTIVA E COEFFICIENTE DI SPINTA ...............................................96
5.3.1. CONFRONTO CON IL METODO PSEUDO-STATICO .............................................99
5.3.2. CONFRONTO CON IL METODO PSEUDO-DINAMICO
DI CHOUDHURY E AHMAD ...................................................................................101
5.3.3. EFFETTO DEL PARAMETRO DINAMICO H/TVPs .................................................102
5.4. INCLINAZIONE DEL CUNEO DI SPINTA ........................................................................102
5.5. EFFETTO DELL’AMPLIFICAZIONE .................................................................................103
5.6. DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI ...............................................................................108
5.7. MOMENTO RIBALTANTE..................................................................................................109
5.8. PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA SISMICA ATTIVA...................................113
5.9. OSSERVAZIONI ...................................................................................................................118
5.9.1. CONDIZIONE AL CONTORNO IN SUPERFICIE....................................................118
5.9.2. CALCOLO DELLE PRESSIONI SISMICHE .............................................................119
5.9.3. COMPONENTI DELLA DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI SISMICHE.........121
CAPITOLO 6
SPINTA PSEUDO-DINAMICA DI UN TERRENO OMOGENEO VISCO-ELASTICO LINEARE
POGGIANTE SU BASE RIGIDA ........................................................................................................125
6.1. RISPOSTA SISMICA DI UNO STRATO DI TERRENO VISCO-ELASTICO
LINEARE POGGIANTE SU SUBSTRATO RIGIDO IN PRESENZA DI ONDE S............125
6.2. CONDIZIONE IN SUPERFICIE ...........................................................................................127
6.3. SPINTA DEL TERRENO ......................................................................................................129
6.3.1. CONFRONTO CON IL METODO DI STEEDMAN E ZENG...................................131
6.3.2. EFFETTO DELLO SMORZAMENTO VISCOSO .....................................................132
6.3.3. EFFETTO DEL RAPPORTO TRA L’ALTEZZA DEL MURO
E L’ALTEZZA DELLO STRATO..............................................................................133
CAPITOLO 7
CONCLUSIONI .....................................................................................................................................135
APPENDICE A
PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE..................................................................................139
iii
A.1. COMPONENTI DELLA TENSIONE...................................................................................139
A.2. COMPONENTI DELLA DEFORMAZIONE.......................................................................140
A.3. RELAZIONE TRA SFORZI E DEFORMAZIONI...............................................................141
A.4. EQUAZIONI TRIDIMENSIONALI DEL MOTO PER UN MATERIALE
ISOTROPO LINEARMENTE ELASTICO ...........................................................................144
A.4.1. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE TRIDIMENSIONALE DEL MOTO
PER UN MATERIALE ISOTROPO LINEARMENTE ELASTICO..........................145
A.4.2. PROPAGAZIONE MONODIMENSIONALE............................................................149
A.4.3. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE D’ONDA MONODIMENSIONALE................150
A.4.4. ONDE STAZIONARIE E ONDE ARMONICHE ......................................................150
APPENDICE B
RISULTATI NUMERICI ......................................................................................................................155
APPENDICE C
SVILUPPO IN SERIE DELLA DISTRIBUZIONE DELLA PRESSIONE SISMICA....................163
APPENDICE D
PROPAGAZIONE VERTICALE DI UN’ONDA S IN UNO STRATO VISCO-ELASTICO
POGGIANTE SU SUBSTRATO RIGIDO ..........................................................................................167
D.1. MODELLO DI KELVIN-VOIGT .........................................................................................167
D.2. EQUAZIONE DI MOTO 1D PER UN’ONDA S IN UNO STRATO DI TERRENO
OMOGENEO VISCO-ELASTICO LINEARE POGGIANTE SU BASE RIGIDA ..............168
D.3. AMPLIFICAZIONE DELLO STRATO VISCO-ELASTICO ..............................................170
D.4. SPOSTAMENTO ED ACCELERAZIONE DELLO STRATO DI TERRENO
VISCO-ELASTICO ...............................................................................................................174
APPENDICE E
LISTATO DEL PROGRAMMA DI CALCOLO IN FORTRAN PER LA VALUZIONE DELLA
SPINTA SISMICA DEL TERRENO DI UNO STRATO VISCO-ELASTICO LINEARE
POGGIANTE SU BASE RIGIDA ........................................................................................................177
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI ......................................................................................................181
iv
CAPITOLO 1
OGGETTO DELLA TESI
Questo lavoro di tesi si propone di fornire dei contributi al dimensionamento delle opere
di sostegno in condizioni sismiche.
Nel capitolo 2 sono discussi alcuni metodi di analisi delle opere di sostegno in
condizioni sismiche. In particolare sono illustrate le modalità di calcolo delle forze
agenti su un muro nel caso di terrapieno asciutto, completamente sommerso e nel caso
più generale di terrapieno parzialmente sommerso; inoltre sono analizzati e discussi
alcuni metodi degli spostamenti semplificati e metodi pseudo-dinamici presenti in
letteratura.
Nel capitolo 3 viene affrontato il problema del dimensionamento geotecnico di una
particolare tipologia di opere di sostegno portuali, come le banchine a cassoni, il cui
comportamento in condizioni sismiche dipende dall’azione combinata della spinta del
terreno di riempimento a tergo e dalla spinta dell’acqua da ambo i lati della struttura.
Nell’ipotesi che lo scorrimento governi la stabilità, viene quindi applicato il metodo
pseudo-statico, in accordo con le recenti Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC,
D.M. 14/01/2008). Sono poi discussi gli effetti sul dimensionamento dell’opera del tipo
di approccio suggerito dalle NTC, della modalità di calcolo della spinta sismica del
terreno, della presenza di eventuali sovrappressioni interstiziali nella parte sommersa
del riempimento, dell’angolo di resistenza al taglio del terreno e dell’angolo di attrito
terreno-struttura. Viene inoltre presentato il confronto con il dimensionamento
effettuato sulla base delle indicazioni della normativa comunitaria (Eurocodice 8).
Nel capitolo 4, poiché il D.M. 14/01/2008 consente ed incoraggia l’impiego di approcci
progettuali prestazionali, viene affrontato il dimensionamento della banchina con i
metodi degli spostamenti semplificati confrontando i risultati ottenuti con quelli del
metodo pseudo-statico al variare di alcuni parametri progettuali, quali il rapporto di
sommersione, l’angolo di resistenza al taglio del terreno, l’angolo di attrito
riempimento-struttura e l’angolo di attrito alla base.
Il capitolo 5 descrive l’estensione del modello pseudo-dinamico di Steedman e Zeng,
valido per terreni asciutti, al caso di terreni completamente sommersi. Tenendo conto
degli eventuali fenomeni di amplificazione del moto sismico, sono ricavate e discusse le
espressioni che descrivono la spinta sismica del terreno e la relativa distribuzione delle
pressioni da utilizzare per il calcolo del momento ribaltante e del punto di applicazione
della spinta sismica stessa.
Considerando alcune limitazioni del metodo di Steedman e Zeng, nel capitolo 6 viene
presentato un nuovo metodo pseudo-dinamico per il calcolo della spinta del terreno
nell’ipotesi di considerare il riempimento a tergo dell’opera uno strato visco-elastico
lineare poggiante su un substrato rigido.
L’appendice A riporta i concetti di base riguardanti la propagazione delle onde sismiche
in un mezzo elastico.
Le appendici B e C sono relative al capitolo 5 e riportano rispettivamente le tabelle con i
risultati numerici ottenuti ed i passaggi matematici richiamati nel corso del § 5.9.3.
L’appendice D riporta i passaggi matematici svolti per ottenere le equazioni di
spostamento ed accelerazione nel caso di uno strato visco-elastico lineare poggiante su
base rigida.
L’Appendice E contiene il listato del programma in linguaggio Fortran utilizzato nel
capitolo 6 per la valutazione della spinta sismica del terreno.
2
CAPITOLO 2
STATO DELL’ARTE
SUI METODI DI ANALISI
2.1.
GENERALITÀ SULLE OPERE DI SOSTEGNO
Le opere di sostegno sono strutture in grado di grado garantire stabilità ad un fronte di
terreno potenzialmente instabile [Lancellotta, 2004].
In generale si distinguono due grandi categorie[Lancellotta, 1987]:
•
opere di sostegno rigide (figura 2.1a-e), caratterizzate dal fatto che l’unico
movimento che possono manifestare sotto l’azione dei carichi è un movimento rigido; la
loro stabilità è legata al peso dell’opera stessa e/o a quello del terreno che grava sulla
fondazione;
•
opere di sostegno flessibili (figura 2.1f), caratterizzate invece da una certa
deformabilità; l’equilibrio è assicurato dalla mobilitazione della resistenza passiva nella
parte infissa ed eventualmente dalla presenza di altri vincoli, come ad esempio un
sistema di ancoraggio.
In entrambi i casi l’entità e la distribuzione delle azioni che il terreno esercita sono
legate all’entità ed al tipo di movimento che l’opera manifesta, e pertanto la
determinazione di tali azioni richiede a rigore l’analisi dell’interazione terreno-struttura.
Tuttavia la complessità del problema fa sì che soltanto per le opere flessibili (e in
determinate circostanze) si ricorra a metodi sofisticati che risolvano uno schema di
interazione, mentre nella maggior parte dei casi (e per la totalità delle opere rigide) si
ricorre a soluzioni approssimate (quali quelle dell’equilibrio limite globale), la cui
validità è stata confermata dalle osservazioni del comportamento di strutture in scala
reale o di modelli [Lancellotta, 1987].
Figura 2.1 – Tipologie di opere di sostegno [Lancellotta, 2004]
Con riferimento alle opere di sostegno rigide, le tipologie più ricorrenti nella pratica
sono:
•
muri a gravità (figura 2.1a): costituiti da muratura o calcestruzzo, dimensionati in
modo tale che la risultante R delle varie azioni non produca in nessuna sezione tensioni
di trazione;
•
muri a semi-gravità (figura 2.1b): si realizzano quando non è possibile erigere un
muro di dimensioni tali da resistere solo col suo peso; sono costruiti in calcestruzzo o
cemento e le sezioni sottoposte a trazione sono armate;
•
muri a mensola (figura 2.1c): sfruttano per la stabilità il peso del terreno che grava
sulla suola di fondazione;
4
Capitolo 2 – Stato dell’arte sui metodi di analisi delle opere di sostegno in condizioni sismiche
•
muri a contrafforti (figura 2.1d): si differenziano dai muri a mensola per la presenza
di setti irrigidenti;
•
muri cellulari o crib walls (figura 2.1e): consistono in una serie di elementi
prefabbricati (gabbie) posti in modo da formare un reticolo spaziale che viene riempito
di materiale drenante.
2.2.
COMPORTAMENTO DELLE OPERE DI SOSTEGNO IN
CONDIZIONI SISMICHE
Poiché esistono solo pochi casi ben documentati che riportano le misure dirette del
comportamento delle opere di sostegno durante gli eventi sismici, la maggior parte delle
conoscenze proviene da analisi numeriche e prove su modelli, molte delle quali si
riferiscono ad opere a gravità; i risultati indicano quanto segue [Kramer, 1996]:
•
Sotto l’effetto del sisma le opere possono subire traslazione e/o rotazione; in alcuni
casi può dominare l’uno o l’altro tipo di movimento [Nadim e Whitman, 1984], mentre
in altri casi possono avvenire entrambi [Siddhartan et al., 1992].
•
L’entità e la distribuzione delle pressioni dinamiche dipendono dal movimento del
muro [Sherif et al., 1982, Sherif e Fang, 1984a,b].
•
La massima spinta del terreno avviene quando il muro si sposta o ruota verso il
terrapieno (cioè quando la forza d’inerzia del muro è diretta verso il riempimento); la
minima spinta del terreno si verifica quando il muro si sposta o ruota allontanandosi dal
terrapieno.
•
Il punto di applicazione della spinta risultante si sposta lungo la parete ed il punto
più in alto si raggiunge quando il movimento del muro è verso il terrapieno (e
viceversa).
•
Le pressioni sismiche sono influenzate dalla risposta dinamica del sistema muro-
terreno e possono aumentare significativamente in prossimità della frequenza naturale di
vibrazione del sistema muro-terreno. Anche gli spostamenti aumentano in
corrispondenza della frequenza naturale di vibrazione del sistema muro-terreno [Nadim,
1982].
•
Anche quando un forte evento sismico è terminato possono esserci delle pressioni
residue elevate che agiscono sul muro [Whitman, 1990].
Alla
luce
di
quanto
detto,
risulta
evidente
l’impossibilità
di
analizzare
contemporaneamente ed accuratamente tutti gli aspetti del problema. Nella pratica si
5
utilizzano, pertanto, modelli che si basano su ipotesi semplificative del comportamento
del sistema muro-terreno e dell’input sismico: sebbene tali procedure non siano
propriamente rigorose esse forniscono comunque risultati che si sono dimostrati in buon
accordo con le osservazioni reali.
Poiché le sollecitazioni che il terreno trasmette ad un’opera dipendono dagli
spostamenti che questa è in grado di sopportare, bisogna distinguere tra opere che sotto
l'effetto delle pressioni dinamiche sono in grado di spostarsi sufficientemente in maniera
tale da mobilitare la spinta attiva e la resistenza passiva (“yielding walls”) ed opere che
per loro caratteristica o esigenze strutturali non permettono al terreno di sviluppare lo
stato limite attivo e passivo (“nonyielding walls”) [Kramer, 1996].
Nel seguito vengono esposti alcuni metodi di calcolo semplificati per la valutazione
della spinta sismica del terreno agente su opere “yielding”. In letteratura esistono metodi
di analisi anche per opere di sostegno che in condizioni sismiche non ammettono
spostamenti (“nonyielding walls”) [e.g. Wood, 1973]. Considerati i diversi ordini di
grandezza degli spostamenti necessari per mobilitare lo stato limite attivo e quello
passivo ed in virtù del fatto che la resistenza passiva nei muri di sostegno è poco
rilevante ai fini della stabilità, nel seguito si lascerà spazio alla determinazione delle
spinte sismiche del terreno in condizione di stato limite attivo.
2.3.
METODI DI ANALISI DELLE OPERE DI SOSTEGNO
I metodi di analisi delle opere di sostegno in condizioni sismiche possono essere
suddivisi generalmente in tre categorie [PIANC, 2001]:
•
metodi pseudo-statici,
•
metodi pseudo-dinamici o dinamici semplificati,
•
metodi dinamici completi.
Le principali caratteristiche di questi metodi verranno descritte nel seguito di questo
capitolo.
6
2.4.
METODI PSEUDO-STATICI
Le spinte sismiche agenti sui muri cedevoli sono generalmente stimate per mezzo di
metodi pseudo-statici, comunemente adottati nella pratica ingegneristica ed
esplicitamente citati anche dalle normative [e.g. D.M.14/01/2008, EN 1998-5, 2004].
L’approccio pseudo-statico più conosciuto per determinare l’azione sismica sulle opere
di sostegno è il metodo di Mononobe-Okabe [Okabe, 1924, Mononobe e Matsuo, 1929].
2.4.1. TERRAPIENI ASCIUTTI
A seguito dei devastanti terremoti che colpirono il Giappone negli anni ’20, Okabe
[1924] e Mononobe e Matsuo [1929] proposero un metodo per determinare la spinta
sismica su muri di sostegno in grado di sopportare spostamenti laterali. Tale procedura,
nota come metodo di Mononobe-Okabe, è una diretta estensione del metodo
dell’equilibrio globale di Coulomb [1776] in cui si considerano la forza d’inerzia
(orizzontale e verticale) del cuneo di terreno dovuta al sisma.
Le ipotesi di base del metodo di Mononobe-Okabe sono:
•
l’opera può subire movimenti tali da mobilitare nel terreno retrostante le condizioni
di equilibrio limite (§ 3.1);
•
il terrapieno è asciutto e privo di coesione;
•
la superficie di rottura è piana e passante per la base del muro;
•
il cuneo si comporta come un corpo rigido, pertanto le componenti orizzontali e
verticali dell’accelerazione sismica sono costanti in tutti i punti della massa di terreno
all’interno del cuneo stesso;
•
gli effetti inerziali del muro sono trascurabili.
La figura 2.2 mostra un muro di altezza H con paramento interno inclinato di θ rispetto
alla verticale che sostiene un riempimento con angolo di resistenza al taglio pari a φ
inclinato di i rispetto alla direzione orizzontale; l’angolo di attrito tra il muro ed il
terreno è pari a δ. Le forze a cui è soggetto il cuneo di terreno, inclinato di α rispetto
all’orizzontale, sono:
•
il peso proprio W;
•
la spinta sismica attiva del terreno PAE, inclinata di δ rispetto alla direzione
perpendicolare al paramento interno del muro;
7
•
la reazione del terreno R, inclinata di φ rispetto alla normale alla superficie di
rottura;
•
la forza di inerzia orizzontale khW e la forza di inerzia verticale kvW, applicate al
baricentro del cuneo di terreno; il coefficiente sismico orizzontale kh ed il coefficiente
sismico verticale kv sono definiti come:
kh =
ah
g
kv = ±
(2.1)
av
g
(2.2)
essendo g l’accelerazione di gravità, ah l’accelerazione sismica orizzontale e av
l’accelerazione sismica verticale. La forza di inerzia orizzontale agisce in direzione del
muro, mentre la forza di inerzia verticale può essere diretta verso l’alto (kv > 0) o verso
il basso (kv < 0).
Figura 2.2 - Sistema terreno-struttura relativo al metodo di Mononobe - Okabe nel caso
di spinta attiva
Il peso del cuneo W e le forze di inerzia khW e kvW possono essere combinati per
ottenere la risultante, pari a W k h2 + (1 − k v )
2
che è inclinata rispetto alla direzione
verticale di un angolo ψ, definito angolo di inerzia sismico, espresso da:
⎛ kh
⎝ 1 − kv
ψ = tan −1 ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
(2.3)
La soluzione dell’equilibrio a traslazione orizzontale e verticale delle forze agenti sul
cuneo di terreno fornisce la spinta sismica attiva PAE agente sul muro (figura 2.2):
PAE (α ) =
(1 − k v )W (α ) sin( α − φ ) + k hW (α ) cos( α − φ )
cos(φ + δ + θ − α )
8
(2.4)
L’equazione (2.4) contiene la variabile α che definisce la superficie di scorrimento che
viene ipotizzata piana. Va ricercato il valore di α che rende massima la spinta,
imponendo che la derivata prima sia nulla:
∂PAE (α )
=0
∂α
(2.5)
Eseguendo i passaggi matematici, si perviene infine alla seguente espressione della
spinta sismica attiva:
PAE =
1
γH 2 K AE (1 − k v )
2
(2.6)
dove γ è il peso di volume del terreno e KAE è il coefficiente di spinta attiva espresso da:
K AE =
cos 2 (φ − θ − ψ )
⎡
sin(δ + φ ) sin(φ − i − ψ ) ⎤
cosψ cos 2 θ cos(δ + θ + ψ )⎢1 +
⎥
cos(δ + θ + ψ ) cos(i − θ ) ⎦
⎣
2
(2.7)
Nel caso di terrapieno orizzontale (i = 0) e paramento interno del muro verticale (θ = 0)
la (2.7) diventa:
K AE =
cos 2 (φ − ψ )
⎡
sin(δ + φ ) sin(φ − ψ ) ⎤
cosψ cos(δ + ψ )⎢1 +
⎥
cos(δ + ψ )
⎣
⎦
2
(2.8)
Zarrabi-Kashani [1979] ha fornito l’espressione di α che rende massima la spinta PAE:
⎡ − tan(φ − ψ − i ) + C1 AE ⎤
⎥
C 2 AE
⎣
⎦
α = φ − ψ + tan −1 ⎢
(2.9a)
dove:
⎧[tan(φ − ψ − i ) + cot (φ − ψ − θ )] ⋅ ⎫
C1 AE = tan(φ − ψ − i ) ⋅ ⎨
⎬
⎩[1 + tan(δ + ψ + θ ) cot (φ − ψ − θ )]⎭
(2.9b)
⎡tan(φ − ψ − i ) + ⎤
C 2 AE = 1 + tan(δ + ψ + θ ) ⋅ ⎢
⎥
⎣+ cot (φ − ψ − θ )⎦
(2.9c)
Nella pratica va considerato il valore di kv (positivo o negativo) che fornisce il valore
massimo della spinta attiva PAE, ovvero del prodotto KAE·(1-kv) [Prakash, 1981, Fang e
Chen, 1995].
Si può osservare che la (2.7) è valida quando è soddisfatta la relazione:
φ −ψ > i
(2.10)
ovvero:
9
⎛ kh
⎝ 1 − kv
φ − i > tan −1 ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
(2.11)
Infatti se tale condizione non fosse rispettata si avrebbe un radicando negativo al
denominatore delle (2.7). Tale limite trova giustificazione nel fatto che un terrapieno
non coesivo non può essere in equilibrio se l’estradosso risulta inclinato di un angolo
maggiore dell’angolo di resistenza al taglio ridotto dell’angolo sismico [Intagliata,
2009]. Anche se per i > φ - ψ c’è instabilità del terreno, l’Eurocodice 8 [EN 1998-5,
2004], al punto 4 dell’Appendice E, prevede di calcolare il coefficiente KAE della (2.7)
anche in tale condizione senza tener conto del termine sotto radice.
Per determinare il punto di applicazione di PAE bisogna conoscere la distribuzione delle
pressioni alle spalle del muro. La teoria di Mononobe-Okabe non specifica tale aspetto.
Ishii et al. [1960] hanno condotto prove su tavola vibrante con sollecitazioni armoniche
di periodo pari a 0.3 secondi, trovando che la spinta sismica è minore o uguale a quella
prevista dal metodo di Mononobe-Okabe e che la distribuzione delle pressioni è di tipo
parabolico [Prakash, 1981].
Prakash e Basvanna [1969] e Saran e Prakash [1970] hanno dimostrato analiticamente
che la distribuzione delle pressioni (sia statiche che sismiche) in un terrapieno alle
spalle di un muro scabro è di tipo non lineare ed hanno sviluppato un metodo per
calcolare tali distribuzioni; le loro soluzioni devono però essere riportate in forma
grafica per poter essere di utilità pratica [Prakash, 1981].
A seguito di alcuni test condotti su tavola vibrante Matsuzawa et al. [1985] hanno
provato che nel caso di muri di sostegno che ritengono un terrapieno costituito da sabbie
asciutte il punto di applicazione di PAE dipende dall’entità del movimento del muro e
dalle modalità con cui questo avviene: tali risultati indicano che il punto di applicazione
di PAE si trova tra 0.40H e 0.58H dalla base del muro [Intagliata, 2009].
La spinta attiva sismica “totale” PAE può essere vista come la somma di una componente
“statica”, PA, che agisce ad H/3, e di una componente “dinamica”, ΔPAE, che eccede PA:
PAE = PA + ΔPAE
(2.12)
Matsuo [1941] e Jacobsen [1951], avendo effettuato prove con tavole vibranti su sabbia
asciutta, indicano il punto di applicazione di ΔPAE a distanza di 2/3H dalla base del
muro [Prakash,1981].
10
Seed e Whitman [1970] raccomandano invece che la componente dinamica ΔPAE sia
applicata approssimativamente a 0.60H e pertanto il punto di applicazione di PAE si
trova ad una distanza h dalla base pari a [Kramer,1996]:
h=
PA ⋅ H / 3 + 0.60 H ⋅ ΔPAE
PAE
(2.13)
Altri risultati sperimentali [Nandkumaran, 1973, Prakash e Nandkumaran, 1973]
indicano che l’aumento delle pressioni causato dal terremoto è più accentuato in
prossimità della superficie del terreno che non a maggiori profondità: Prakash [1981]
suggerisce che per opere di sostegno rigide l’incremento di spinta ΔPAE vada applicato
ad una quota di 0.45H rispetto alla base.
La vecchia normativa italiana [D.M. 16/01/1996] imponeva di applicare l’incremento di
spinta ΔPAE a 2/3H dalla base del muro. L’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004] e le recenti
Norme Tecniche per le Costruzioni in Zona Sismica italiane prescrivono di applicare,
nei casi dei muri di sostegno liberi di traslare o ruotare intorno al piede, la spinta
sismica PAE alla stessa quota di quella statica PA, cioè ad H/3 [§7.11.6.2.1 - D.M.
14/01/2008].
Si sottolinea che il metodo pseudo-statico non può essere usato nei casi in cui il terreno
è soggetto a liquefazione.
2.4.2. TERRAPIENI SOMMERSI
Il metodo pseudo-statico di Mononobe - Okabe è valido per terreni in condizione
asciutta. Quando ci si riferisce ad opere che sostengono un riempimento sotto falda, il
problema è più complesso rispetto al caso di opere di sostegno in condizioni asciutte.
Tipici esempi di strutture che si trovano in presenza di riempimento sommerso sono le
opere di sostegno portuali (figura 2.3); esse, oltre ad avere un rinfianco di terreno
granulare dal lato terra, sono interessate anche da un battente d’acqua dal lato mare. Tra
le tipologie illustrate in figura 2.3, una particolare categoria di opera di sostegno
portuale è rappresentata dalla banchina a cassoni, che sarà discussa più
approfonditamente nel seguito della trattazione.
11
Figura 2.3 - Tipologie di opere di sostegno portuali [PIANC, 2001]
Durante un terremoto, gli effetti dell’acqua nel terrapieno giocano un ruolo
fondamentale nei riguardi delle sollecitazioni dinamiche che si esercitano su un’opera di
sostegno. In particolare la presenza dell’acqua [Kramer, 1996]: modifica le forze
d’inerzia a cui è sottoposto il terreno, genera pressioni idrodinamiche, provoca
l’insorgenza di sovrappressioni interstiziali.
Tali fenomeni sono influenzati dalla permeabilità del terreno. In particolare si possono
individuare due condizioni limite di calcolo [e.g. D.M. 14/01/2008, EN 1998-5, 2004,
Ebeling e Morrison, 1992, Matsuzawa et al., 1985, etc.]. Per riempimenti altamente
permeabili si considera che durante il sisma l’acqua interstiziale possa muoversi
liberamente rispetto allo scheletro solido: tale situazione viene definita condizione di
“acqua libera”. Se la permeabilità del terreno è bassa, durante il sisma l’acqua
interstiziale si muove insieme allo scheletro solido e si parla allora di “acqua
vincolata”. Bisogna osservare tuttavia che non c’è consenso riguardo al valore di
permeabilità oltre il quale si possa considerare l’acqua interstiziale libera o meno di
muoversi rispetto al terreno: Kramer [1996] propone come valore di soglia 1·10-5 m/s,
mentre l’Eurocodice 8 ed il D.M. 14/01/2008 indicano 5·10-4 m/s. Secondo Matsuzawa
et al. [1985] l’acqua si può considerare libera se k > 10-2m/s e vincolata per k < 10-5m/s;
per valori intermedi è suggerita un’interpolazone.
12
2.4.2.1. Spinta del terreno
Riferendosi allo studio di Matsuzawa et al. [1985], è possibile valutare le forze di
inerzia alle quali è sottoposto, durante il sisma, un elemento di terreno sommerso
(particelle solide più acqua interstiziale) di peso W. La forza di inerzia verticale
dipende, a prescindere dalla permeabilità, dal peso di volume sommerso del terreno γsub
= γsat – γw (essendo γsat il peso di volume saturo del terreno e γw il peso di volume
dell’acqua): sia in condizioni di acqua libera che in condizioni di acqua vincolata la
forza di inerzia verticale è proporzionale al peso sommerso del terreno Wsub e vale
pertanto kvWsub (kv è il coefficiente sismico verticale). Per quanto riguarda la forza di
inerzia orizzontale bisogna distinguere due casi in funzione della permeabilità del
terreno. Se l’acqua è vincolata allo scheletro solido (cioè si muove con il terreno) la
forza di inerzia orizzontale è assunta proporzionale al peso saturo del terreno Wsat
(khWsat). In condizioni di acqua libera si considera che soltanto le particelle di terreno
siano soggette all’accelerazione sismica orizzontale ah (= khg), pertanto la forza di
inerzia orizzontale è legata al peso di volume asciutto γd del terreno ed è pari a khWd (Wd
è il peso asciutto dell’elemento di terreno).
Sulla base di tali considerazioni, l’angolo di inerzia sismico ψ nella (2.7) è differente da
quello relativo ai terreni asciutti definito nella (2.3); a seconda del caso di acqua
vincolata o libera nel terrapieno le espressioni di ψ sono rispettivamente [Matsuzawa et
al., 1895]:
⎛ γ sat
ψ vinc = tan −1 ⎜⎜
⎝ γ sub
⎛ γd
ψ lib = tan −1 ⎜⎜
⎝ γ sub
kh
1 − kv
kh
1 − kv
⎞
⎟⎟
⎠
(2.14)
⎞
⎟⎟
⎠
(2.15)
La spinta sismica del terreno PAE, nel caso di terreno completamente sommerso, si può
calcolare come [Ebeling e Morrison, 1992]:
PAE =
1
γ sub (1 − ru )K AE H 2
2
(2.16)
Il coefficiente di spinta sismica KAE è valutato con la (2.7), utilizzando per l’angolo di
inerzia sismico le formule relative ai casi di acqua vincolata (2.14) o libera (2.15).
Il coefficiente adimensionale ru tiene conto delle sovrappressioni interstiziali ed è
definito come il rapporto tra la sovrappressione interstiziale Δu (positiva) e la tensione
verticale efficace iniziale σ’v0 calcolata in condizioni idrostatiche:
13
ru =
Δu
(2.17)
σ v' 0
Nel paragrafo §2.4.2.3 sarà illustrato un approccio presente in letteratura per la stima di
ru .
2.4.2.2. Spinta dell’acqua
In generale la forza dovuta all’acqua può essere considerata come la somma di tre
contributi: la spinta idrostatica (Ust), la forza dovuta alle eventuali sovrappressioni
interstiziali (Ush) e la spinta idrodinamica (Udyn).
La spinta idrostatica, sempre presente, è la risultante di una distribuzione triangolare di
pressioni (figura 2.4):
U st =
1
γ wH 2
2
(2.18)
Le sollecitazioni cicliche possono generare delle sovrappressioni interstiziali Δu che
causano la variazione delle tensioni efficaci nel terreno. Nel caso di un muro che
sostiene un terrapieno completamente sommerso, Ebeling e Morrison [1992] assumono
la distribuzione delle sovrappressioni di tipo lineare (cioè ru costante con la profondità),
con risultante Ush data da (figura 2.4):
U sh =
1
γ sub ru H 2
2
(2.19)
dove γsub è il peso di volume sommerso del riempimento.
In presenza di sovrappressioni interstiziali la spinta dell’acqua è data quindi dalla
somma di Ust e di Ush (figura 2.4). Nell’ipotesi di ru costante con la profondità, la
somma di Ust ed Ush è equivalente ad una spinta idrostatica calcolata con un peso di
volume incrementato che risulta essere γw,e = γw + ruγsub [Kramer, 1996] mentre per il
terreno il peso di volume è ridotto a γsub,e = γsub(1-ru) [2.16]. Svolgendo i passaggi
matematici si ottiene che la somma di γsub,e e γwe è sempre pari a γsat come in condizioni
statiche.
14
Figura 2.4 - Spinta statica dell’acqua e spinta dovuta alle sovrappressioni interstiziali in
un riempimento completamente sommerso
La spinta idrodinamica è solitamente calcolata utilizzando la teoria di Westergaard
[1933]. Nell’ipotesi di struttura di sostegno rigida a parete verticale, acqua
incomprimibile e frequenza della sollecitazione armonica orizzontale applicata alla base
minore della frequenza fondamentale f0 del serbatoio d’acqua infinitamente esteso, i.e. f0
= VP / 4H (essendo VP la velocità delle onde P nell’acqua ed H l’altezza dell’acqua),
Westergaard [1933] considera che le pressioni idrodinamiche udyn aumentano con la
radice quadrata della profondità dell’acqua zw (figura 2.5):
u dyn = ±
7
k hw γ w Hz w
8
(2.20)
La spinta idrodinamica risultante Udyn è data dall’integrale delle suddette pressioni:
U dyn = ±
7
k hw γ w H 2
12
(2.21)
ed agisce a 0.4H dalla base della struttura; khw è il coefficiente sismico relativo
all’acqua. Ebeling e Morrison [1992] e PIANC [2001] assumono per khw lo stesso valore
del coefficiente sismico orizzontale usato per il terreno (khw = kh).
Figura 2.5 - Spinta idrodinamica secondo la teoria di Westergaard [1933]
15
Con l’ipotesi di acqua vincolata la spinta idrodinamica non va considerata [EN 1998-5,
2004; Matsuzawa et al., 1985]. In condizioni di acqua libera l’Eurocodice 8 [EN 19985, 2004] ed Ebeling e Morrison [1992] suggeriscono di sommare la spinta idrodinamica
alla spinta idrostatica. Nel caso di acqua libera, inoltre, alcuni studi [e.g. Ebeling e
Morrison, 1992; Choudhury e Ahmad 2007, etc.] considerano cautelativamente sia Ush
che Udyn. Ragionevolmente, però, si può tener conto di Ush soltanto nel caso di acqua
vincolata, quando Udyn viene trascurata [Bellezza et al., 2011]. La spinta risultante
dell’acqua sull’opera di sostegno si può scrivere perciò:
U = U st + (1 − ξ )U sh + ξU dyn
(2.22)
dove ξ è un coefficiente pari a 0 per la condizione di acqua vincolata e pari a 1 per la
condizione di acqua libera all’interno del terrapieno.
Va sottolineato infine che la trattazione del caso di acqua libera nel terrapieno non è del
tutto congruente, dal momento che le pressioni idrodinamiche non sono considerate nel
calcolo della spinta del terreno.
2.4.2.3. Valutazione delle sovrappressioni interstiziali
Nella (2.19) si assume un valore costante di ru, definito nella (2.17), in tutta la parte
sommersa del riempimento, anche se tale ipotesi rappresenta una eccessiva
semplificazione della realtà [Dakoulas e Gazetas, 2008]. Le sovrappressioni interstiziali
sono funzione, oltre che della profondità e delle caratteristiche del terreno, anche del
numero e dell’ampiezza dei cicli di carico. L’incremento di pressione interstiziale può
essere valutato in generale mediante prove sperimentali di laboratorio di tipo ciclico. In
assenza di tali prove, in letteratura sono stati proposti diversi modelli che forniscono Δu
al variare di alcuni parametri del terreno (e.g. densità relativa) e delle caratteristiche del
terremoto [e.g. Lee e Albaisa, 1974; De Alba et al.; 1975, Seed e Booker, 1977;
Coumoulos e Bouckovalas, 1996; Egglezos e Bouckovalas, 1998].
In base ai risultati di prove cicliche su terreni sabbiosi, De Alba et al. [1975] hanno
proposto la seguente correlazione che lega la sovrappressione interstiziale al numero di
cicli di carico della sollecitazione sismica:
⎡
⎛ N
Δu 1 1
ru =
= + arcsin ⎢2⎜⎜
⎢ ⎝ NL
σ ' v0 2 π
⎣⎢
1
⎤
⎞a ⎥
⎟⎟ − 1
⎥
⎠
⎦⎥
(2.23)
in cui a è un coefficiente dipendente dalla densità relativa del materiale (DR) e che in
prima approssimazione può essere assunto pari a 0.7.
16
N è il numero di cicli di carico equivalenti: assumendo cicli di ampiezza pari al 65% del
massimo sforzo di taglio τmax, Seed et al. [1975] hanno ricavato una relazione (figura
2.6) tra il numero di cicli equivalenti che producono un incremento di pressione
interstiziale pari a quello della storia temporale irregolare associata a terremoti registrati
e la magnitudo relativa a tali registrazioni [Lai et al., 2009].
NL è il numero di cicli necessari a produrre liquefazione (ru = 1) e può essere
determinato attraverso prove di taglio cicliche effettuate in laboratorio (che forniscono
risultati come quelli di figura 2.7), dalle quali è possibile ricavare delle relazioni
sperimentali che, ad esempio, hanno forma [Lai et al., 2009]:
⎛ τ
N L = 0.0503⎜⎜ c
⎝ σ 'v0
⎞
⎟⎟
⎠
−4.3545
⋅ DR
4.802
(2.24)
Il rapporto tra l’ampiezza della tensione di taglio ciclica τc e la tensione geostatica
efficace verticale iniziale σ’v0 viene definito rapporto di sforzo ciclico CSR e può essere
valutato utilizzando considerazioni relative all’equilibrio di un elemento di terreno
soggetto ad un’accelerazione orizzontale, pervenendo all’espressione semplificata:
τc
a σ
= 0.65 max v 0 rd
σ 'v0
g σ 'v0
(2.25)
essendo amax l’accelerazione di picco al suolo, σv0 la tensione geostatica verticale totale,
rd un coefficiente di riduzione dello sforzo, funzione della profondità, che tiene conto
dei fenomeni di amplificazione sismica indotti dalla deformabilità del terreno.
Si rimanda al capitolo 3 per un esempio di calcolo del coefficiente ru.
Figura 2.6 – Relazione tra numero di cicli equivalenti e magnitudo [Seed et al., 1975]
17
τ c /σ ' v0
Figura 2.7 – Curve di resistenza alla liquefazione da prove di taglio cicliche [Seed et al.,
1975]
2.4.3. TERRAPIENI PARZIALMENTE SOMMERSI
Il metodo di Mononobe – Okabe e l’estensione ai terreni sommersi proposta da
Matsuzawa [Matsuzawa et al., 1985] si riferiscono a terreni omogenei, ossia
completamente sopra falda o completamente sotto falda. Nella realtà può verificarsi il
caso di un terrapieno con un livello d’acqua intermedio (figura 2.8).
Se h è il battente d’acqua nel riempimento, misurato a partire dalla base del muro di
altezza H, si definisce rapporto di sommersione λ il valore (figura 2.8):
λ=
h
H
(2.26)
ed è compreso tra 0 (terrapieno asciutto) ed 1 (terrapieno completamente sommerso).
Figura 2.8 – Terrapieno parzialmente sommerso
2.4.3.1. Spinta del terreno
Per la valutazione della spinta sismica del terreno nel caso di riempimenti parzialmente
sommersi si possono adottare diverse metodologie di calcolo proposte dalla letteratura;
18
d’altro canto la normativa nazionale ed europea [D.M. 14/01/2008, EN 1998-5, 2004]
non indica specificamente quale modalità seguire.
In generale è possibile valutare la spinta sismica attiva agente su un’opera di sostegno
nel caso di terrapieno parzialmente sommerso secondo due diversi metodi [Bellezza e
Fentini, 2009; Bellezza et al., 2011].
La prima procedura (FBA, Force Based Approach) utilizza un metodo globale “tipo
Coulomb” e prevede di calcolare la spinta sismica del terreno con un’espressione
formalmente simile alla (2.16):
PAE =
1 *
γ (1 − ru )K *AE H 2
2
(2.27)
I valori del peso di volume γ* e del coefficiente di spinta sismico K *AE vanno scelti in
base alla posizione della falda.
Il peso di volume γ* può essere calcolato, ad esempio, seguendo le indicazioni di
Ebeling e Morrison [1992] che suggeriscono di assumerlo pari alla media ponderata del
peso di volume del terreno sopra falda (peso di volume umido γwet) e sotto falda (γsub)
all’interno del cuneo di spinta attiva:
γ * = γ sub λ2 (1 − ru ) + γ wet (1 − λ2 )
(2.28)
L’espressione (2.28) tiene conto, attraverso il coefficiente adimensionale ru, anche delle
sovrappressioni interstiziali che si possono sviluppare all’interno della parte sommersa
del riempimento e che riducono la spinta dello scheletro di terreno sotto falda,
aumentando al tempo stesso la spinta complessiva dell’acqua. Le Linee Guida
Internazionali PIANC [2001] propongono la stessa formula (2.28) trascurando le
sovrappressioni interstiziali (ru = 0):
γ * = γ sub λ2 + γ wet (1 − λ2 )
(2.29)
L’angolo di inerzia sismico ψ per il calcolo di K*AE, che va effettuato con la (2.7),
dipende dalla permeabilità del terrapieno a tergo dell’opera.
In condizioni di acqua vincolata Ebeling e Morrison [1992] indicano la seguente
espressione:
γ sat
kh
2
2
⎝ γ sub (1 − ru )λ + γ wet (1 − λ ) 1 − k v
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.30)
PIANC [2001] suggerisce invece una espressione che trascura sia le sovrappressioni
interstiziali sia l’accelerazione sismica verticale (kv = 0):
19
ψ vinc
⎛ γ sat λ 2 + γ wet (1 − λ 2 ) ⎞
k h ⎟⎟
= tan ⎜⎜
2
2
(
)
γ
λ
γ
1
λ
+
−
wet
⎠
⎝ sub
−1
(2.31)
Combinando la (2.32) e la (2.31), Bellezza et al. [2009] hanno proposto una nuova
formula dell’angolo sismico per riempimenti parzialmente sommersi che permette di
ottenere valori della spinta più prossimi a quelli ottenuti con il metodo del cuneo di
tentativo (che sarà trattato nel successivo § 2.4.3.3):
kh
γ sat λ2 + γ wet (1 − λ2 )
2
2
⎝ γ sub λ (1 − ru ) + γ wet (1 − λ ) 1 − k v
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.32)
In condizioni di acqua libera il valore dell’angolo sismico (ψlib) è inferiore a quello
ottenuto nel caso di acqua vincolata (ψvinc) dal momento che, in accordo con lo studio di
Matsusawa et al. [1985], la forza d’inerzia orizzontale del terreno è proporzionale al
peso di volume secco γd del terreno mentre la forza d’inerzia verticale è sempre legata al
peso di volume sommerso γsub. Pertanto le equazioni (2.29) - (2.32) vanno utilizzate
sostituendo al numeratore il peso di volume saturo γsat con il peso di volume secco del
riempimento γd.
Si sottolinea che ponendo λ =1 nelle (2.29) - (2.32) si ottengono le espressioni valide
per il caso di terrapieno completamente sommerso, mentre per λ = 0 si ottiene quella
relativa al terreno asciutto.
La seconda procedura di calcolo per la spinta sismica del terreno di riempimento
(approccio “tipo Rankine”) è basata sulle pressioni (PBA, Pressure Based Approach) e
prevede di separare le pressioni del terreno della parte sopra falda da quelle della parte
sotto falda, ricavando la spinta come integrale delle suddette pressioni. In questo modo
bisogna distinguere il valore del coefficiente di spinta attiva KAE relativo alla parte sopra
falda (KAE1) da quello relativo alla parte sommersa (KAE2):
PAE =
H −h
H
0
H −h
∫ K AE1σ' vo (1 − kv )dz +
∫K
σ ' vo (1 − k v )(1 − ru )dz
AE 2
(2.33)
dove σ’v0 è la tensione verticale efficace iniziale.
Il coefficiente KAE1 è lo stesso fornito dal tradizionale metodo di Mononobe - Okabe per
terrapieni asciutti con ψ espresso dalla (2.3), mentre KAE2 è calcolato assumendo
l’angolo di inerzia sismico ψ relativo alla condizione dell’acqua dei riempimenti
completamente sommersi, utilizzando le formule (2.14) o (2.15) a seconda della
condizione di acqua vincolata o libera nel terrapieno.
20
2.4.3.2. Spinta dell’acqua
Analogamente a quanto discusso nel §2.4.2.2 con riferimento ai terrapieni
completamente sommersi, la spinta dell’acqua può essere considerata, a seconda della
condizione di acqua libera (ξ = 1) o vincolata (ξ = 0) che si ha nel riempimento come la
somma della spinta idrostatica (Ust), della spinta dovuta alle eventuali sovrappressioni
interstiziali (Ush) e della spinta idrodinamica (Udyn):
U = U st + (1 − ξ )U sh + ξU dyn
(2.34)
Per il calcolo di Ust e Udyn (da considerare solo nel caso di acqua libera) basta sostituire
nelle rispettive espressioni (2.18) e (2.21) il livello dell’acqua nel riempimento h al
posto dell’altezza H.
Per quanto riguarda le sovrappressioni interstiziali, Ebeling e Morrison [1992]
considerano una distribuzione trapezoidale con risultane Ush pari a:
U sh = ru h[γ wet (H − h ) + 0.5γ sub h ]
(2.35)
dove γwet e γsub sono rispettivamente il peso di volume umido (al di sopra della falda) ed
il peso di volume sommerso del riempimento (figura 2.9).
h
Figura 2.9 - Spinta dovuta alle sovrappressioni interstiziali secondo Ebeling e Morrison
[1992]
2.4.3.3. Metodo del cuneo di tentativo
In generale la spinta sismica attiva del terreno PAE può essere ottenuta imponendo
l’equilibrio a traslazione orizzontale e verticale delle forze agenti sul cuneo di spinta del
terreno. Tale metodo è indicato soprattutto:
•
in presenza di filtrazione nel riempimento;
•
in presenza di carichi agenti in superficie;
•
nel caso di terrapieni non omogenei;
21
•
in condizioni sismiche ipotizzando distribuzioni qualsiasi delle sovrappressioni
interstiziali.
La figura 2.10 mostra un cuneo di terreno parzialmente sommerso, privo di coesione,
che si trova alle spalle di un muro con paramento interno verticale che sostiene un
terrapieno di altezza H con piano campagna orizzontale; la superficie di scorrimento del
cuneo è piana ed è inclinata di α rispetto all’orizzontale; il livello dell’acqua nel
terreno, contato a partire dalla base del muro, è pari ad h.
Con riferimento alla figura 2.10, il peso del cuneo, W, è pari a:
W = Vsub γ sat + (Vtot − Vsub )γ wet
(2.36)
essendo:
γwet il peso di volume umido del terreno al di sopra del livello di acqua;
γsat il peso di volume saturo del terreno;
Vtot = 0.5H 2 tan α il volume totale del cuneo;
Vsub = 0.5h 2 tan α il volume sommerso del cuneo.
La forza di inerzia orizzontale Fh dipende dalla permeabilità del terreno all’interno del
cuneo [Matsuzawa et al., 1985]: in condizioni di acqua vincolata la forza di inerzia
orizzontale a cui è sottoposta la parte sommersa del cuneo è proporzionale al peso di
volume saturo del terreno, pertanto si può scrivere:
Fh ,vinc = k h [Vsub γ sat + (Vtot − Vsub )γ wet ]
(2.37)
con kh = coefficiente sismico orizzontale.
Sempre secondo Matsuzawa et al. [1985], la forza di inerzia verticale della porzione
sommersa del cuneo dipende, a prescindere dalla permeabilità, dal peso di volume
sommerso del terreno γsub (= γsat - γw, con γw peso di volume dell’acqua); perciò Fv vale:
Fv = k v [Vsub γ sub + (Vtot − Vsub )γ wet ]
(2.38)
dove kv è il coefficiente sismico verticale.
Sulla faccia verticale agiscono la spinta del terreno PAE, inclinata di δ rispetto alla
direzione perpendicolare alla faccia, e la spinta dovuta all’acqua Uh, somma del
contributo idrostatico Ust (= 0.5γwh2) e del contributo Ush (2.35) dovuto alle eventuali
sovrappressioni interstiziali generate nella parte sommersa del cuneo (Uh = Ust + Ush).
Lungo la superficie di scorrimento, supposta piana ed inclinata di α rispetto
all’orizzontale, agiscono la forza normale risultante del terreno N’, la forza tangenziale
risultante del terreno T = N’tanφ (se si ipotizza la condizione limite secondo il criterio di
22
rottura del terreno di Mohr-Coulomb, essendo φ l’angolo di resistenza al taglio del
terreno) e la spinta dell’acqua Uα = (Ust + Ush)/sinα.
Le equazioni di equilibrio a traslazione orizzontale e verticale del cuneo si scrivono
rispettivamente:
PAE cos δ − N' sin α + T cos α + U h − U α sin α − Fh = 0
(2.39)
W − PAE sin δ − N' cos α − T sin α − U α cos α − Fv = 0
(2.40)
Combinando le equazioni (2.39) e (2.40) si ottiene:
⎧[W − Fv − U h cot α ](sin α − tan φ cos α ) + ⎫
⎨
⎬
+ Fh (cos α + tan φ sin α )
⎩
⎭
PAE (α ) =
cos δ (cos α + tan φ sin α ) + sin δ (sin α − tan φ cos α )
(2.41)
La spinta sismica attiva del terreno PAE è il massimo valore di PAE(α) e si ottiene
massimizzando la (2.41) rispetto alla variabile α, imponendo cioè che la derivata prima
di PAE sia nulla:
∂PAE (α )
=0
∂α
(2.42)
Per riempimenti parzialmente sommersi Bellezza et al. [2009] hanno confrontato i
valori della spinta sismica del terreno ottenuta con il metodo di tentativo con quelli
ottenuti con gli approcci “alla Coulomb” descritti in precedenza. Da tale confronto
emerge che:
•
in presenza di sovrappressioni interstiziali, la spinta sismica del terreno calcolata
con la (2.28) e (2.32) [Bellezza et al., 2009] è in buon accordo con quella ottenuta con il
metodo del cuneo di tentativo e con l’approccio di Ebeling e Morrison [1992],
rappresentato dalle (2.28) e (2.31);
•
i risultati ottenuti con le (2.28) e (2.32) coincidono con quelli del metodo del cuneo
di tentativo in assenza di sovrappressioni interstiziali (ru = 0);
•
la procedura suggerita da PIANC [2001], rappresentata dalle (2.29) e (2.31),
sovrastima la spinta sismica del terreno.
23
Figura 2.10 - Cuneo di terreno parzialmente sommerso in presenza di sovrappressioni
interstiziali
2.4.4. TERRAPIENI NON OMOGENEI
La disomogeneità del terrapieno può essere dovuta, oltre che alla posizione della falda,
anche alla presenza di terreni con diverse caratteristiche all’interno del riempimento.
Un esempio di riempimento non omogeneo può essere dato dalla presenza di terreni
stratificati orizzontalmente che si differenziano, ad esempio, per il peso di volume e/o
per l’angolo di resistenza al taglio (figura 2.11). In tal caso per determinare la spinta
sismica attiva del terreno PAE si può usare un approccio “tipo Rankine”, integrando
separatamente le pressioni del terreno lungo l’altezza dei vari strati:
PAE = ∫ K AE1σ ' vo (1 − k v )dz + ∫ K AE 2σ ' vo (1 − k v )dz + ∫ K AE3σ ' vo (1 − k v )dz
1
2
(2.43)
3
In alternativa si può utilizzare il metodo del cuneo di tentativo (illustrato nel precedente
§ 2.4.3.3) scrivendo opportunamente il peso del cuneo di terreno W = γ1V1 + γ2V2 + γ3V3,
la forza normale risultante del terreno agente sulla superficie di scorrimento N’ = N’1 +
N’2+ N’3 e la forza tangenziale T = N’1tanφ1 + N’2tanφ2 + N’3tanφ3 da inserire nelle
equazioni di equilibrio a traslazione orizzontale e verticale del cuneo di spinta (figura
2.11).
24
Figura 2.11 – Terrapieno non omogeneo stratificato orizzontalmente
Un altro esempio di terrapieno non omogeneo si ha nel caso delle opere portuali, in cui
è prassi utilizzare, oltre al riempimento granulare, un rinfianco in pietrame alle spalle
della struttura (figura 2.12). In questo caso PIANC [2001] suggerisce un approccio per
il calcolo di un angolo di resistenza al taglio equivalente φ, ottenuto come la media
pesata sulla base delle aree corrispondenti al riempimento granulare (φ1, A1) e al
rinfianco in pietrame (φ2, A2) a tergo dell’opera (figura 2.12):
φ=
φ1 A1 + φ 2 A2
(2.44)
A1 + A2
Dal momento che φ è legato alla forza risultante R (figura 2.2) esercitata dal terreno sul
cuneo lungo la superficie di rottura, può apparire ragionevole calcolare la media pesata
(2.39) utilizzando al posto delle aree (A1 e A2) la lunghezza del riempimento (l1) e del
rinfianco (l2) interessate dallo scorrimento del cuneo (figura 2.12).
α
Figura 2.12 - Determinazione dell’angolo di resistenza al taglio per un terrapieno non
omogeneo a tergo di un’opera di sostegno
25
2.5.
METODI DEGLI SPOSTAMENTI
I metodi degli spostamenti permettono di stimare, a seguito di un prefissato sisma, lo
spostamento dell’opera (che deve risultare compatibile con la funzionalità dell’opera
stessa e con quella di eventuali strutture o infrastrutture interagenti con essa) o di
progettare l’opera sulla base degli spostamenti ammissibili (§ 3.2).
L’analisi di un’opera di sostegno con i metodi degli spostamenti viene condotta sulla
base delle caratteristiche del terremoto di progetto e del muro e dei parametri fisicomeccanici del terreno alle spalle e al di sotto della struttura.
I metodi degli spostamenti disponibili in letteratura rappresentano un’estensione del
metodo di Newmark [1965] ai muri di sostegno.
2.5.1. METODO DI NEWMARK
L’approccio semplificato di Newmark [1965], proposto per l’analisi di stabilità dei
pendii e delle dighe in terra, assimila la massa potenzialmente instabile ad un blocco
rigido che scivola lungo un piano inclinato dotato di attrito (figura 2.13). Quando le
forze d’inerzia indotte dal terremoto, sommate alle forze statiche, superano la resistenza
disponibile lungo la superficie di rottura, il blocco inizia a spostarsi. L’integrazione
delle equazioni del moto per il blocco rigido porta alla valutazione degli spostamenti
permanenti causati dal sisma. Il metodo trascura l’effetto dell’accelerazione verticale ed
ipotizza che gli spostamenti avvengano nella sola direzione di scivolamento (assumendo
cioè una rigidezza infinita nella direzione opposta).
L’applicazione
del
metodo
di
Newmark
[1965]
richiede
la
valutazione
dell’accelerazione limite (o accelerazione critica) che determina il raggiungimento
delle condizioni di instabilità del blocco, seguita dall’integrazione delle equazioni del
moto per giungere a valutare gli spostamenti.
L’accelerazione limite alim viene determinata utilizzando il metodo pseudo-statico,
ricercando il valore del coefficiente sismico orizzontale kh (= alim/g) associato al fattore
di sicurezza globale FS unitario per il quale si uguagliano le resistenze e le azioni lungo
la superficie di scorrimento, inclinata di β rispetto all’orizzontale (figura 2.13):
FS =
[cos β − k h (t ) sin β ]tan δ b
sin β + k h (t ) cos β
(2.45)
Il calcolo dello spostamento permanente indotto dal sisma viene effettuato mediante
doppia integrazione dell’equazione differenziale del moto relativo, utilizzando
l’accelerogramma di progetto, del blocco rigido rispetto allo strato di base negli
26
intervalli temporali in cui l’accelerazione a(t), assunta costante lungo la superficie di
scorrimento, è maggiore dell’accelerazione limite alim, assunta costante nel tempo, e in
tutti gli istanti in cui la velocità relativa muro - terreno è positiva (figura 2.14). Anche
quando l’accelerazione imposta torna ad essere inferiore al valore critico, il blocco
continua a muoversi fino a quando la velocità relativa non si annulla per effetto delle
forze di attrito tra blocco e piano di scorrimento. Lo spostamento permanente cumulato
si ottiene per sommatoria degli spostamenti parziali calcolati nei singoli intervalli
temporali in cui la velocità relativa è positiva (figura 2.14).
Nell’articolo originario sulla valutazione degli spostamenti per le dighe in terra, la
formula semplificata proposta da Newmark [1965] per la valutazione dello spostamento
permanente d sulla base dell’accelerazione massima amax e della velocità massima vmax
del sisma è:
2
v max
a
d=
⋅ lim
2a max a max
(2.46)
L’espressione (2.46) è valida per valori alim/amax > 0.17.
Figura 2.13 – Scivolamento di un blocco rigido su un piano inclinato secondo il metodo
di Newmark [1965]
a lim
Velocità
assoluta
a
v
Velocità
relativa
del blocco
vr
d
Spostame nto relativo
Accelerazione
del terreno
Accelerazione
del blocco
Figura 2.14 – Calcolo degli spostamenti per doppia integrazione del moto relativo
mediante il metodo di Newmark [1965]
27
2.5.2. METODO DI RICHARDS E ELMS
Richards e Elms [1979] hanno proposto un metodo per valutare lo spostamento dei muri
di sostegno in condizioni sismiche.
Con riferimento al sistema muro-terreno in figura 2.15, le equazioni di equilibrio limite
orizzontale e verticale del sistema muro-terreno sono date da:
T = Fh + PAE cos(δ + θ )
(2.47)
N = W + PAE sin(δ + θ )
(2.48)
essendo:
T la risultante delle forze orizzontali alla base del muro,
Fh = alimW/g la forza di inerzia orizzontale del muro,
N la risultante delle forze verticali alla base del muro,
W il peso del muro.
L’espressione che fornisce l’accelerazione limite alim si ottiene imponendo che la
risultante T delle forze orizzontali (2.47) uguagli la resistenza allo scorrimento Ntanδb
(essendo N definita dalla (2.48) e δb l’angolo di attrito alla base muro-terreno):
P cos(δ + θ ) − PAE sin(δ + θ ) ⎤
⎡
alim = ⎢tan δ b − AE
⎥g
W
⎣
⎦
(2.49)
Il metodo di Richards e Elms [1979] calcola PAE con la teoria di Mononobe-Okabe,
trascurando l’accelerazione verticale e sostituendo al posto del coefficiente sismico
orizzontale kh il coefficiente sismico orizzontale limite kh = alim/g; risulta necessaria
pertanto una procedura iterativa, poiché la spinta del terreno PAE dipende in modo non
lineare da kh.
Basandosi sul modello del blocco di Newmark [1965], Richards e Elms hanno proposto
una correlazione empirica per valutare lo spostamento orizzontale permanente d indotto
dal sisma:
v2
d = 0.087 max
a max
⎛ a max
⎜⎜
⎝ a lim
⎞
⎟⎟
⎠
4
(2.50)
La (2.50) è basata soltanto sull’accelerazione massima (amax) e sulla velocità massima
(vmax) del sisma di progetto ed ha validità per valori di amax/alim compresi nell’intervallo
0.3 - 0.8.
28
Figura 2.15 – Forze agenti su un muro di sostegno in condizioni sismiche secondo il
modello di Richards e Elms [1979]
2.5.3. METODO DI WHITMAN E LIAO
Il metodo di Whitman e Liao [1985] rappresenta un’evoluzione del metodo di Richards
e Elms [1979]. Analizzando gli accelerogrammi relativi a 14 terremoti, 12 dei quali con
una magnitudo compresa tra 6.3 e 6.7, Whitman e Liao [1985] valutano lo spostamento
attraverso la seguente espressione:
d = 37
2
⎛
v max
a
⋅ exp⎜⎜ − 9.4 lim
a max
a max
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
(2.51)
Il contributo innovativo del metodo di Whitman e Liao [1985] consiste
nell’introduzione dei metodi statistici per affrontare le diverse fonti di incertezza
presenti nel metodo di Richard e Elms. Innanzitutto Whitman e Liao [1985] prevedono
la correzione del valore ottenuto con la (2.51) attraverso un coefficiente di modello M
che raggruppa una serie di fattori che possono influire sullo spostamento. Tra questi
fattori sono compresi la deformabilità del terreno, la rotazione del muro e
l’accelerazione verticale, aspetti trascurati dal metodo di Richards e Elms [1979] e che,
se considerati, producono uno spostamento superiore a quello derivante dall’analisi
semplificata [Nadim, 1980; Siddharthan et al., 1992; Whitman e Liao, 1985].
Inoltre Whitman e Liao [1985] tengono conto del fatto che il modello utilizzato da
Richards e Elms [1979] costituito da un unico blocco rigido (muro più cuneo di terreno)
non è corretto dal punto di vista cinematico e che con l’introduzione di un modello più
29
realistico a due blocchi rigidi separati (cuneo e muro) gli spostamenti risultano
sistematicamente inferiori [Zarrabi-Kashani, 1979]. Lo schema a due blocchi separati
considera l’accelerazione limite dipendente dal tempo mentre per lo schema a singolo
blocco essa è costante nel tempo; tuttavia l’accelerazione limite iniziale (quella per cui
il muro comincia a spostarsi) praticamente coincide con quella dello schema a singolo
blocco.
Il modello a due blocchi separati proposto da Zarrabi-Kashani [1979] considera
l’inclinazione della superficie di rottura del cuneo di terreno variabile nel tempo insieme
all’accelerazione [Whitman e Liao, 1985]. Prove su modelli effettuate da Murphy
[1960] e Lai [1979] dimostrano che invece è ragionevole assumere una inclinazione del
cuneo di spinta costante durante il terremoto: infatti la creazione della superficie di
rottura (supposta piana) genera una zona di discontinuità tra il cuneo di spinta ed il
terreno circostante, individuando un piano preferenziale di scorrimento. Per la
valutazione degli spostamenti permanenti indotti dal sisma va usata perciò
l’inclinazione della superficie di rottura che si sviluppa inizialmente nel riempimento
[Whitman e Liao, 1985]. Essa dipende soltanto dal peso del muro W e dalle
caratteristiche del terreno di riempimento e di fondazione. Nadim [1982] ha proposto
delle espressioni per determinare l’angolo α:
1
(α 1 + α 2 )
2
(2.52a)
α 1 = tan −1 (B A)
(2.52b)
α 2 = cos −1 (− C cos α 1 A)
(2.52c)
⎧cos(φ + δ + i ) sin(δ b − φ ) + ⎫
⎪
⎪
A = ⎨− sin(φ + δ − i ) cos(δ b − φ ) + ⎬
⎪− cos(i ) cos(δ + δ )F
⎪
b
WW
⎩
⎭
(2.52d)
B = 2 cos(i ) sin(δ b − φ ) sin(φ + δ )
(2.52e)
⎧sin(φ + δ + i ) − cos(i ) cos(δ + δ b ) + ⎫
C=⎨
⎬
⎩− cos(i ) cos(δ + δ b ) FWW
⎭
(2.52f)
α=
in cui:
FWW è definito fattore peso del muro:
FWW =
W
0.5γH 2
(2.52g)
30
Si può osservare che con la teoria del blocco singolo l’inclinazione α del cuneo è
indipendente dal peso del muro, mentre con il modello a blocchi separati l’angolo di
inclinazione α diminuisce all’aumentare di FWW: questo fatto si spiega considerando che
all’aumentare del peso del muro (FWW crescente) è richiesta una maggiore forza di
inerzia del cuneo per innescare lo scorrimento del muro stesso. Pertanto una maggiore
porzione di terreno deve essere mobilitata e ciò si ripercuote in una diminuzione di α
[Whitman e Liao, 1985].
Tenendo conto delle diverse fonti di incertezza associate al metodo di Richards e Elms
[1979] Whitman e Liao [1985] suggeriscono un valore medio M del coefficiente di
modello pari a 3.5 (tabella 2.1).
Tabella 2.1 - Fonti di incertezza e valori del coefficiente di modello M [Whitman e
Liao, 1985]
Coefficiente di modello M
Fonti di incertezza
valore medio deviazione standard
accelerazione verticale
1.2
0.2
blocco unico
0.65
0.2
3
2
rotazione del muro
1.5
0.57
Valore combinato
3.5
3.6
deformabilità del terreno
Inoltre, nell’ipotesi che la distribuzione dello spostamento sia log-normale, viene
introdotto un ulteriore fattore correttivo, F, che oltre a considerare la variabilità di M,
tiene conto anche di altre fonti di incertezza tra cui l’orientamento del muro rispetto alla
direzione dell’accelerazione massima. Ad esempio, per un sisma di progetto
caratterizzato dai due accelerogrammi orizzontali di figura 2.16a e 2.16b il muro
orientato come in figura 2.16d verosimilmente subirà spostamenti maggiori rispetto a
quello di figura 2.16c. I valori di F consigliati da Whitman e Liao [1985] dipendono
dalla probabilità di non superamento P dello spostamento che si vuole garantire; in
particolare sono raccomandati F = 2.5 e F = 4, rispettivamente per P ≈ 90% e P ≈ 95%.
Pertanto l’espressione completa rappresentativa del metodo di Whitman e Liao [1985] è
la seguente:
31
2
⎛
v max
a
d P = 37
M ⋅ F ⋅ exp ⎜⎜ − 9.4 lim
a max
a max
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
(2.53)
dove dP è lo spostamento legato alla probabilità di non superamento P.
Tra le maggiori limitazioni del metodo di Whitman e Liao si può osservare che esso non
tiene conto della magnitudo del sisma e della distanza dall’epicentro.
N
E
0.21
0.24
(b)
accelerazione (g)
accelerazione (g)
(a)
S
-0.25
O
tempo
-0.30
tempo
(d)
(c)
B
H
E
S
Figura 2.16 - (a) Esempio di accelerogramma in direzione Sud-Nord; (b) esempio di
accelerogramma in direzione Ovest-Est; (c) muro soggetto a spostamenti verso Sud, (d)
muro soggetto a spostamenti verso Est
2.5.4. CORRELAZIONI PROPOSTE DA MADIAI
Recentemente, sulla base di 196 registrazioni relative a 46 terremoti italiani con
magnitudo compresa tra 4 e 6.3, Madiai [2009] ha applicato il metodo di Newmark
ipotizzando diversi valori di alim. Le interpolazioni dei risultati ottenuti hanno portato
alle seguenti espressioni:
2
⎛
vmax
a
d P = A2 a
exp ⎜⎜ − 8.5 lim
amax
amax
⎝
v2
d P = A2 b max
amax
⎛
a
⎜⎜1 − lim
⎝ amax
⎞
⎟⎟
⎠
2.57
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ alim
⎜⎜
⎝ amax
(2.54)
⎞
⎟⎟
⎠
−0.69
(2.55)
dove A2a e A2b sono dei coefficienti numerici che dipendono dal livello di confidenza
(CL); in particolare:
A2a = 49, A2b = 3.89 se CL = 50%;
A2a = 95, A2b = 7.15 se CL = 90%.
32
La figura 2.16 mostra un confronto tra le correlazioni proposte da Richards e Elms
[1979], Whitman e Liao [1985] e Madiai [2009] con un livello di confidenza del 50%
(figura 2.17a) e del 90% (figura 2.17b); in ordinata è riportato lo spostamento
normalizzato dP·amax/v2max in funzione del rapporto alim/amax.
1.E+03
1.E+03
(a)
1.E+01
1.E+00
Richards & Elms (1979)
Whitman & Liao (1985)
Madiai (2009) -eq.
eq.2.21
24
Madiai (2009) -eq.
eq.2.22
25
1.E-01
confidence level
Livello90%
di confidenza
90%
1.E+02
d amax/vmax2
d amax/vmax2
1.E+02
(b)
Livello di
confidenza
50%
confidence 50%
level
1.E+01
1.E+00
Madiai (2009) - eq.
eq.2.21
24
Madiai (2009) - eq.
eq.2.22
25
1.E-01
1.E-02
1.E-02
0.1
a lim /a max
1
0.1
a lim /a max
1
Figura 2.17 - Spostamento normalizzato (damax/v2max) in funzione del rapporto alim/amax,
secondo alcuni metodi di letteratura: (a) livello di confidenza 50%; (b) livello di
confidenza 90%
33
2.6.
METODI PSEUDO-DINAMICI
I metodi pseudo-statici non tengono conto della natura dinamica del sisma; per ovviare
a questo inconveniente sono stati introdotti i metodi pseudo-dinamici che considerano,
seppure in modo approssimato, l’effetto del tempo.
2.6.1. METODI DI STEEDMAN E ZENG - CHOUDHURY E NIMBALKAR
Steedman e Zeng [1990] hanno proposto un’analisi pseudo-dinamica per calcolare la
spinta sismica del terreno. In essa vengono considerati gli effetti, dovuti alla differenza di
fase ed ai fenomeni di amplificazione del moto sismico indotti da una accelerazione
armonica orizzontale (causata dalla propagazione delle onde S), che si verificano in un
riempimento asciutto e privo di coesione che si trova alle spalle di un muro di sostegno.
Choudhury e Nimbalkar [2006] hanno esteso l’approccio di Steedman e Zeng
includendo anche l’accelerazione sismica verticale del riempimento (dovuta alla
propagazione verticale delle onde P).
2.6.1.1. Accelerazione del terreno
La figura 2.18 mostra un muro di altezza H con paramento interno verticale, eccitato
alla base da una accelerazione armonica orizzontale e da una accelerazione armonica
verticale di ampiezza rispettivamente pari ad ah,b av,b; l’accelerazione orizzontale ah e
l’accelerazione verticale av, in funzione del tempo t e della profondità z dal piano
campagna (orizzontale) sono date da:
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎟⎥
⎟⎟⎥ = kh ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t −
ah ( z ,t ) = ah ,b sin ⎢ω ⎜⎜ t −
VSs ⎠⎦
VSs ⎟⎠⎦
⎣ ⎝
⎣ ⎝
(2.56)
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎟⎟⎥ = k v ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t −
⎟⎟⎥
a v ( z ,t ) = a v ,b sin ⎢ω ⎜⎜ t −
V
V
Ps ⎠ ⎦
Ps ⎠ ⎦
⎣ ⎝
⎣ ⎝
(2.57)
dove:
kh,b (= ah,b/g) e kv,b (= av,b/g) sono rispettivamente il coefficiente sismico orizzontale ed il
coefficiente sismico verticale; g = 9.81 m/s2 è l’accelerazione di gravità; ω (= 2π/T) è la
frequenza angolare del moto sismico, essendo T il periodo di oscillazione del moto
armonico; VSs e VPs sono rispettivamente la velocità di propagazione delle onde di taglio
(onde S) e delle onde di compressione (onde P) che incidono verticalmente (Appendice
A) il terrapieno generando il moto orizzontale nel riempimento.
34
Figura 2.18 - Cuneo di spinta attiva secondo il metodo pseudo-dinamico di Choudhury e
Nimbalkar [2006]; il metodo di Steedman e Zeng [1990] non considera la propagazione
delle onde P pertanto non compare la forza di inerzia verticale Qv
2.6.1.2. Forza d’inerzia del terreno
Se la spinta agente sul muro è dovuta al cuneo di terreno inclinato di α rispetto
all’orizzontale, la massa di una striscia orizzontale di terreno alla profondità z è (figura
2.18):
m( z ) =
γ (H − z )
dz
g tan α
(2.58)
essendo γ il peso di volume del terreno.
La forza di inerzia totale orizzontale Qh (funzione, oltre che del tempo t, anche della
dimensione del cuneo e perciò di α) agente sull’opera di sostegno si ottiene integrando
lungo l’altezza H del muro il prodotto tra la massa m(z) dell’elemento di terreno e la sua
accelerazione orizzontale ah(z,t):
Qh (t ,α ) =
z=H
∫ a h (z ,t )m(z ) =
z =0
z=H
∫a
z =0
h ,b
⎡ ⎛
H − z ⎞ ⎤ γ (H − z )
⎟⎥
sin ⎢ω ⎜⎜ t −
dz
V Ss ⎟⎠⎥⎦ g tan α
⎢⎣ ⎝
(2.59)
La soluzione dell’integrale (2.59) fornisce l’espressione:
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟+
−
⎪2π cos⎜⎜
TV Ss ⎟⎠
TV Ss k h ,b γH ⎪
⎝ T
Qh (t ,α ) =
⎨
H 4π 2 tan α ⎪ TV Ss ⎡ ⎛ 2πt 2πH
⎜
⎪+ H ⎢ sin⎜ T − TV
⎢⎣ ⎝
Ss
⎩
2
⎫
⎪
⎪
⎬
⎞
2πt ⎞⎤ ⎪
⎛
⎟⎟ − sin⎜
⎟⎥
⎝ T ⎠⎥⎦ ⎪⎭
⎠
(2.60)
Nel caso di cuneo rigido, i.e. VSs tendente all’infinito, il valore limite della forza di
inerzia è dato da:
35
lim (Qh )max = k h ,b
VSs →∞
γH 2
= k h ,bW
2 tan α
(2.61)
essendo
γH 2
W (α ) =
2 tan α
(2.62)
il peso del cuneo.
L’espressione (2.61) coincide con la forza di inerzia orizzontale considerata dal metodo
pseudo-statico di Mononobe-Okabe.
È possibile ricavare una espressione analoga alla (2.60) per la forza di inerzia totale
verticale Qv, sostituendo nella (2.59) al posto dell’accelerazione orizzontale ah
l’accelerazione av (2.57).
2.6.1.3. Spinta sismica attiva del terreno
La spinta totale PAE (statica più dinamica) si ottiene imponendo l’equilibrio del cuneo in
direzione orizzontale e verticale (figura 2.18):
PAE cos δ − R sin(α − φ ) − Qh = 0
(2.63)
W − PAE sin δ − R cos(α − φ ) − Qv = 0
(2.64)
dove φ è l’angolo di resistenza al taglio del riempimento, δ è l’angolo di attrito tra muro
e terreno, R è la forza risultante agente sulla superficie di rottura (supposta piana).
Combinando le equazioni (2.63) e (2.64) si ricava un’espressione per PAE:
W (α ) sin( α − φ ) + Qh (α ,t ) cos( α − φ ) − Qv (α ,t ) sin( α − φ )
cos(φ + δ − α )
PAE (α ,t ) =
(2.65)
Il valore della spinta pseudo-dinamica si ottiene massimizzando PAE rispetto alle
variabili t e α:
PAE , pd = max PAE (α ,t )
(2.66)
Si può definire il coefficiente di spinta sismica attiva pseudo-dinamica KAE,pd in modo
simile al metodo pseudo-statico:
K AE , pd =
2 PAE , pd
(2.67)
γH 2
La figura 2.19 mostra KAE,pd in funzione del rapporto adimensionale H/TVSs per diversi
valori di kh,b (0.2 e 0.3) nel caso di terrapieno con φ = 33° e δ = 16° per kv = 0. Il
prodotto VSs·T è la lunghezza d’onda λ.
36
0.60
KAE,pd
0.50
0.40
k h,b = 0.30
0.30
k h,b = 0.20
φ = 33°
δ = 16°
0.20
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
H /TV Ss
0.50
0.60
0.70
0.80
Figura 2.19 - Coefficiente di spinta KAE in funzione di H/TVSs per kh,b = 0.2 e kh,b = 0.3,
φ = 33°, δ = 16°
2.6.1.4. Distribuzione delle pressioni
La distribuzione delle pressioni sismiche pae agenti lungo la verticale alle spalle del
muro si ottiene differenziando la spinta sismica PAE (2.65) rispetto alla profondità z:
pae (α ,t , z ) =
∂PAE (α ,t , z )
∂z
(2.68)
La soluzione della (2.68) fornisce l’espressione della distribuzione della pressione
sismica attiva pae nel metodo pseudo-dinamico, che può essere scritta in forma
adimensionale come:
⎧z
sin(α − φ )
+
⎪
⎪ H tan α cos(φ + δ − α )
k h ,b cos(α − φ )
⎛ 2πt 2πH
p ae (α , t , z ) ⎪⎪
z
−
= ⎨+
sin⎜⎜
γH
⎝ T TV Ss
⎪ tan α cos(φ + δ − α ) H
⎪
k v ,b sin(α − φ )
⎛ 2πt 2πH
z
⎪−
sin⎜⎜
−
⎪⎩ tan α cos(φ + δ − α ) H
⎝ T TV Ps
⎫
⎪
⎪
⎪
⎞
z
⎪
⎟⎟ + ⎬ = p z + p h + p v
H⎠ ⎪
⎪
z ⎞ ⎪
⎟⎟
H ⎠ ⎪⎭
(2.69)
Steedman e Zeng [1990], e successivamente Choudhury e Nimbalkar [2006],
interpretano la distribuzione delle pressioni (2.69) come la somma di una parte “statica”
pz dovuta al solo peso del cuneo, linearmente variabile con la profondità ed
indipendente dal tempo, e di una parte “dinamica” (ph + pv) dovuta alla forza di inerzia
orizzontale ed eventualmente alla forza di inerzia verticale del cuneo. Si sottolinea che
per ricavare la (2.69) si è semplicemente sostituito z con H nelle espressioni (2.60) e
(2.62).
La figura 2.20 mostra la distribuzione della pressione sismica normalizzata pae/γH
ottenuta con il metodo di Steedman e Zeng [1990] in funzione della profondità
37
normalizzata z/H, per valori dei parametri φ = 30°, δ = 16°, kh,b = 0.2, H/TVSs = 0.30. Si
può osservare che l’andamento è di tipo non lineare.
Choudhury e Nimbalkar [2006] hanno mostrato l’effetto di alcuni parametri sulla
distribuzione della pressione sismica attiva, tra cui il coefficiente sismico orizzontale
kh,b e verticale kv,b, l’angolo resistenza al taglio del terreno φ e l’angolo di attrito muroterreno δ. I risultati ottenuti indicano che le pressioni aumentano con il crescere
dell’intensità del terremoto (i.e. con l’aumento di kh e kv) e risultano più sensibili alle
variazioni di φ che non alle variazioni di δ.
0
0.2
z /H
0.4
0.6
0.8
k h,b = 0.20
φ = 33°; δ = 16°
H /TV Ss = 0.30
1
0.0
0.1
0.2
p ae /γ H
0.3
0.4
0.5
Figura 2.20 - Distribuzione delle pressioni sismiche pae/γH in funzione della profondità
normalizzata z/H ottenute con il metodo di Steedman e Zeng [1990] per φ = 33°, δ =
16°, kh,b = 0.2, H/TVSs = 0.30
2.6.1.5. Momento ribaltante e punto di applicazione della spinta
Secondo il metodo di Steedman e Zeng [1990], la componente “dinamica” (Ph) della
spinta agisce ad altezza h rispetto alla base del muro pari a:
h=
Mh
Ph cos δ
(2.70)
essendo Mh l’incremento “dinamico” del momento ribaltante calcolato rispetto alla base
del muro:
H
M h (α ,t ) = ∫ ph cos δ (H − z )dz
(2.71)
0
Tenendo conto della definizione di ph e della (2.71), la soluzione della (2.70) fornisce il
valore di h:
38
⎧ 2 2
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎛ 2πt 2πH ⎞ ⎫
⎟⎟ + 2πVSsTH sin⎜⎜
⎟ +⎪
−
−
⎪2π H cos⎜⎜
T
TV
TVSs ⎟⎠ ⎪
Ss ⎠
⎝
⎝ T
⎪
⎬
⎨
⎪
⎪− (V T )2 ⎡cos⎛⎜ 2πt − 2πH ⎞⎟ − cos⎛ 2πt ⎞⎤
⎜
⎟⎥
⎢ ⎜
Ss
⎟
⎪
⎪
T
TV
T
⎝
⎠⎦⎥
Ss ⎠
⎣⎢ ⎝
⎭
h=H− ⎩
⎡
⎛
⎞
⎛
⎞
2πt 2πH
2πt 2πH
2πt ⎞⎤
⎟⎟ + πVSsT ⎢ sin⎜⎜
⎟⎟ − sin⎛⎜
−
−
2π 2 H cos⎜⎜
⎟⎥
TVSs ⎠
TVSs ⎠
⎝ T ⎠⎥⎦
⎢⎣ ⎝ T
⎝ T
(2.72)
Osservando la (2.72) si nota che h è indipendente da kh,b ed aumenta in modo non lineare
all’aumentare di H/TVSs (figura 2.21): per bassi valori di frequenza (i.e. bassi H/TVSs) il
riempimento si muove in fase, perciò h è prossimo ad H/3, mentre ad alte frequenze il
punto di applicazione della componente “dinamica” della spinta si trova più in alto di
H/3.
Si sottolinea che l’incremento dinamico del momento Mh e l’incremento dinamico della
spinta Ph non raggiungono contemporaneamente il valore massimo.
Includendo gli effetti dovuti alla forza di inerzia verticale, Choudhury e Nimbalkar
[2006] hanno ottenuto una espressione per h simile alla (2.72).
0.60
0.55
h /H
0.50
0.45
0.40
φ = 33°
δ = 16°
0.35 0.33
0.30
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
H/TV Ss
Figura 2.21 - Punto di applicazione dell’incremento dinamico della spinta sismica in
funzione del rapporto H/TVSs per φ = 33°, δ = 16°
2.6.1.6. Influenza della rigidezza del terreno
Se si considera una distribuzione non uniforme della resistenza al taglio G del terreno di
riempimento, i.e. velocità di propagazione delle onde S variabile con la profondità
(Appendice A), Steedman e Zeng [1990] hanno mostrato che il coefficiente KAE,pd non
varia significativamente rispetto al caso in cui il modulo di taglio G è costante con la
profondità.
39
2.6.1.7. Influenza dell’amplificazione del moto sismico
Gli effetti di amplificazione del moto sismico all’interno del terrapieno sono considerati
ipotizzando che l’ampiezza dell’accelerazione sia linearmente variabile con la
profondità. Introducendo il fattore di amplificazione fa, definito come il rapporto tra
l’accelerazione alla sommità del muro e quella alla base:
fa =
a h ,v ( z = 0)
(2.73)
a h ,v ( z = H )
le espressioni per l’accelerazione orizzontale (ah) e verticale (av) del terreno in funzione
di t e z sono:
⎡ ⎛
⎞⎤
⎡ H −z
( f a − 1)⎤⎥ kh ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥
ah ( z ,t ) = ⎢1 +
H
VSs ⎠⎦
⎣
⎦
⎣ ⎝
(2.74)
⎡ ⎛
⎞⎤
⎡ H−z
( f a − 1)⎤⎥ k v ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥
a v ( z , t ) = ⎢1 +
H
V Ps ⎠⎥⎦
⎣
⎦
⎢⎣ ⎝
(2.75)
Analogamente a quanto discusso precedentemente, è possibile ricavare una formula per
la forze di inerzia orizzontale e verticale del cuneo, ripetendo quindi i ragionamenti
svolti con riferimento al coefficiente di spinta, alla distribuzione delle pressioni ed al
unto di applicazione della spinta. Si ottiene che:
- l’amplificazione si traduce in un incremento di PAE e dunque del coefficiente di spinta
KAE,pd (figura 2.22);
- la distribuzione delle pressioni con la profondità è ancora non lineare;
- il punto di applicazione della componente “dinamica” della spinta non varia
significativamente rispetto al caso fa = 1. Considerando il fattore di amplificazione
tuttavia non è possibile ottenere una espressione in forma chiusa simile alla (2.72),
pertanto i valori di h vanno ricercati numericamente.
40
0.60
f a = 1.80
KAE,pd
0.50
f a = 1.40
fa = 1
0.40
0.30
φ = 33°
δ = 16°
k h,b = 0.20
0.20
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
H /TV Ss
0.50
0.60
0.70
0.80
Figura 2.22 - Effetto del fattore di amplificazione fa sui valori del coefficiente di spinta
sismica KAE in funzione del rapporto H/TVSs per φ = 33°, δ = 16°, kh,b = 0.2
Svolgendo prove in centrifuga con valori di fa pari a 2, i.e. accelerazione alla sommità
del muro doppia rispetto alla base, Steedman e Zeng hanno ottenuto risultati che sono in
buon accordo con il loro modello (figura 2.23).
Figura 2.23 - Risultati sperimentali ottenuti con prove in centrifuga che mostrano
l’incremento dinamico del momento (φ =47°, δ = 20°, kh = 0.184, fa = 2.0, G = 57 MPa,
T = 1.0 s) [Steedman e Zeng, 1990]
41
2.7.
METODI DINAMICI COMPLETI
Le analisi dinamiche sono basate sull’interazione terreno-struttura ed usano metodi agli
elementi finiti (FEM) o alle differenze finite (FDM), generalmente eseguiti con l’ausilio
di appositi programmi di calcolo.
Esse tengono conto della risposta combinata del sistema terreno-struttura;
contrariamente agli approcci semplificati, in cui il comportamento dell’opera è valutato
utilizzando come input sismico la risposta del deposito di terreno proveniente da analisi
eseguite in condizioni di campo libero, le analisi dinamiche complete incorporano il
comportamento del sistema terreno-struttura in un unico modello. Pertanto gli effetti
locali dovuti alla conformazione stratigrafica e morfologica del sito e la suscettibilità
alla liquefazione sono considerati direttamente nell’analisi di interazione.
Il sisma è rappresentato da un set di accelerogrammi applicati alla base del dominio
scelto per rappresentare il sistema terreno-struttura.
Il comportamento della struttura può essere assunto lineare o non lineare, a seconda
dell’azione sismica attesa riferita al limite elastico della struttura stessa. Analogamente,
il comportamento del terreno può essere ipotizzato lineare o meno a seconda delle
deformazioni attese durante il terremoto di progetto. Nell’analisi delle opere di sostegno
la scelta del modello geotecnico (in termini di tensioni totali o di tensioni efficaci) da
impiegare per schematizzare il comportamento del terreno di fondazione e del
riempimento è di fondamentale importanza. I metodi basati sull’analisi in termini di
tensioni totali, lineari o non lineari, non tengono conto delle variazioni delle pressioni
interstiziali e delle tensioni efficaci durante il sisma, pertanto non vengono considerati i
cambiamenti di rigidezza del terreno. I metodi di analisi in termini di tensioni efficaci
che ipotizzano un comportamento del terreno di tipo non lineare risultano essere i più
appropriati per la valutazione della possibilità di liquefazione, degli spostamenti residui
alla fine del terremoto e della funzionalità delle strutture per livelli deformativi superiori
all’1% [PIANC, 2001].
Le analisi di interazione terreno-struttura hanno fornito buoni risultati soprattutto per
quanto riguarda le modalità di rottura del sistema struttura-terreno e l’entità degli stati
relativi al comportamento tenso-deformativo del terreno. Tuttavia, dal momento che tali
metodi dipendono da una grande quantità di parametri e richiedono una adeguata
conoscenza della geotecnica sismica, ne è consigliato l’utilizzo quando si dispone di una
42
casistica di studio adeguata al problema in esame o di buoni risultati in accordo con
prove sperimentali effettuate su modelli.
43
44
CAPITOLO 3
DIMENSIONAMENTO DI UNA
BANCHINA A CASSONI CON IL
METODO PSEUDO-STATICO
SECONDO IL D.M. 14/01/2008
Le recenti rotture verificatesi in strutture portuali a seguito dei terremoti [e.g. PIANC
2001] hanno costretto la comunità scientifica ed i legislatori a rivedere ed a volte a
modificare i criteri di analisi e verifica di tali opere, che dovrebbero essere progettate in
modo da resistere senza danni significativi anche a sollecitazioni sismiche molto severe.
Negli ultimi anni sono stati profusi molti sforzi per sviluppare metodi razionali per
l’analisi ed il progetto di strutture portuali in condizioni sismiche [Ebeling e Morrison,
1992; PIANC, 2001; Kim et al., 2004 e 2005; Choudhury e Ahmad, 2007; Dakoulas e
Gazetas, 2008].
Tra le strutture marittime, una particolare tipologia di opera di sostegno è rappresentata
dalla banchina a cassoni. In figura 3.1 è mostrata una sezione trasversale di una
banchina a cassoni con battente d’acqua dal lato mare e rinfianco di terreno granulare
dal lato terra; essa è costituita da 4 celle, riempite solitamente con tout-venant,
calcestruzzo o acqua.
lato terra
lato mare
riempimento
ht
terreno in posto
rinfianco con
materiale
granulare
selezionato
hm
B
Figura 3.1 - Sezione trasversale di una tipica banchina a cassoni
H
terreno di
fondazione
In generale è fondamentale una corretta definizione delle forze agenti. Molti studi sono
stati dedicati a valutare la pressione del terreno o dell’acqua in condizioni dinamiche,
ma pochi hanno analizzato la stabilità delle opere marittime sotto l’azione combinata di
entrambe le forze. Inoltre, come osservato da Bellezza e Fentini [2008], alcuni studi
proposti in letteratura contengono risultati fuorvianti.
In questo capitolo viene esaminato il dimensionamento di una tipica banchina a cassoni
alla luce delle recenti Norme Tecniche per le Costruzioni in Zona Sismica D.M.
14/01/2008 utilizzando, ove necessarie, le indicazioni dell’Eurocodice 8 [EN 1998-5,
2004].
3.1.
FORZE AGENTI SU UNA BANCHINA A CASSONI IN
CONDIZIONI SISMICHE
Il comportamento sismico di un’opera di sostegno marittima è più complesso rispetto al
comportamento di un’opera in condizioni asciutte, poiché dipende dagli effetti
combinati delle forze dinamiche del terreno, dell’inerzia del muro e delle sollecitazioni
dinamiche dell’acqua che si sviluppano da ambo le parti del muro. Possono essere
presenti altre forze “variabili” [D.M. 14/01/2008] come ad esempio sovraccarichi
superficiali sul cassone e/o sul terreno di riempimento, moto ondoso, tiro alla bitta.
In questa trattazione sono trascurate le forze “variabili” mentre vengono analizzate più
in dettaglio le altre forze, che possono essere distinte generalmente in:
- spinta sismica del terreno,
- spinta dovuta all’acqua,
- forze d’inerzia della struttura.
La figura 3.2 mostra una banchina a cassoni di sezione trasversale semplificata con il
sistema di forze agenti durante un sisma.
La banchina, con paramento interno verticale, ha altezza H, larghezza B e peso di
volume medio pari a γc e sostiene un terrapieno orizzontale anch’esso di altezza H con
un battente d’acqua pari a ht; il livello d’acqua dal lato mare è hm. Si assume che il
rapporto di sommersione λ (= ht/H) sia lo stesso da ambo i lati (cioè ht = hm),
trascurando eventuali fenomeni di filtrazione.
46
Capitolo 3 – Dimensionamento di una banchina a cassoni con il metodo pseudo-statico
secondo il D.M. 14/01/2008
B
z γ wet
γc
γ sat
H
ht
U sh
δ
PAE
k vW
zw
k hW
U dyn,terra U st,terra
U st,mare U dyn,mare
W
R
Ub
hm
N'
Figura 3.2 - Sistema di forze agenti su un cassone in condizioni sismiche
3.1.1. SPINTA SISMICA DEL TERRENO
Per la valutazione della spinta sismica attiva del terreno PAE nel caso di riempimenti
parzialmente sommersi si possono adottare i metodi di calcolo illustrati nel capitolo
precedente al § 2.4.3.1, al quale si rimanda.
3.1.2. SPINTA DELL’ACQUA
Dal momento che la banchina è a contatto con l’acqua da ambo i lati, bisogna
considerare anche le forze dell’acqua presente nel lato mare.
La spinta idrostatica agisce da entrambi i lati della struttura (Ust,t e Ust,m) ed è la
risultante di una distribuzione triangolare di pressioni:
U st ,t = 0.5γ w ht2
(3.1)
U st ,m = 0.5γ w hm2
(3.2)
La spinta idrodinamica Udyn è valutata con la teoria di Westergaard [1933] secondo la
(2.21), sostituendo al posto di h il battente d’acqua dal lato terra ht o dal lato mare hm.
Come indicato dall’Eurocodice 8 [EN 1998 - 5, 2004] e da altri studi di letteratura e
codici internazionali [e.g. Ebeling e Morrison, 1992; PIANC, 2001], dal lato mare tale
forza (Udyn,m) viene sottratta alla spinta idrostatica ed agisce a una distanza pari a 0.4 hm
dalla base del cassone. A rigore la teoria di Westergaard [1933] è valida solo per un
paramento esterno verticale, mentre in realtà l’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004] non
precisa questo aspetto e quindi implicitamente estende l’uso della (2.21) anche quando
il paramento esterno è inclinato. Le recenti Norme Tecniche Italiane [D.M. 14/01/2008]
non indicano invece il metodo di calcolo della spinta idrodinamica.
47
In condizioni di acqua libera l’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004] ed Ebeling e Morrison
[1992] suggeriscono di considerare tale spinta idrodinamica anche nel lato terra (Udyn,t),
in questo caso in aggiunta alla spinta idrostatica, sostituendo ht con h nella (2.21).
Con l’ipotesi di acqua vincolata va trascurata la spinta idrodinamica nel lato terra [EN
1998-5, 2004; Matsuzawa et al., 1985], mentre va considerata la forza Ush dovuta alla
risultante delle sovrappressioni interstiziali (figura 3.2), calcolata con la (2.35)
sostituendo ht al posto di h.
La sottospinta alla base Ub è sempre presente nelle opere di sostegno marittime;
nonostante ciò, come osservato da Bellezza e Fentini [2008], tale forza è stata
erroneamente trascurata in recenti studi [Choudhury e Ahmad, 2007, 2008; Ahmad e
Choudhury, 2009]. La sottospinta agente alla base dell’opera Ub dipende dalla
distribuzione delle pressioni interstiziali sotto la base stessa. Lo schema di calcolo più
semplice adotta l’ipotesi di un andamento lineare delle pressioni interstiziali (figura 3.2)
e permette di ricavare Ub dai valori di pressione (u) agenti alle due estremità della base
di larghezza B [PIANC, 2001]:
[
U b = 0.5B u st ,t + (1 − ξ )u sh + ξu dyn ,t + u st ,m − u dyn ,m
]
(3.3)
ξ è pari a 0 per la condizione di “acqua vincolata” e pari a 1 per la condizione di “acqua
libera” all’interno del terrapieno.
Ebeling e Morrison [1992] e PIANC [2001] trascurano l’effetto delle pressioni
idrodinamiche e la precedente espressione (3.3) diviene:
U b = 0 .5 B [u st ,t + (1 − ξ )u sh + u st ,m ]
(3.4)
Tale assunzione è cautelativa nella condizione di “acqua vincolata” ed è ininfluente
nella condizione di “acqua libera” (nell’ipotesi ht = hm). Sostituendo nella (3.4) i valori
delle pressioni alla base si ottiene:
U b = 0 .5 B{γ w ht + (1 − ξ )ru [γ wet (H − ht ) + γ b ht ] + γ w h m }
(3.5)
3.1.3. FORZE D’INERZIA DEL CASSONE
Le forze d’inerzia del cassone sono proporzionali al peso complessivo del cassone
stesso (W).
La forza di inerzia orizzontale, khW, si considera agente nello stesso verso della spinta
sismica del terreno PAE.
La forza di inerzia verticale kvW va considerata agente verso l’alto o verso il basso a
seconda dell’effetto più sfavorevole per la verifica considerata. La condizione più
48
gravosa per la verifica a scorrimento del cassone (figura 3.2) è quella in cui la forza
d’inerzia verticale agisce verso l’alto, mentre per la verifica a capacità portante del
terreno di fondazione bisogna considerare la forza d’inerzia verticale come additiva al
peso.
I coefficienti sismici kh e kv sono in genere gli stessi utilizzati nel calcolo della spinta del
terreno [e.g. Ebeling e Morrison, 1992; PIANC, 2001].
3.2.
VERIFICHE DI STABILITÁ DELLA BANCHINA A CASSONI
Una banchina a cassoni (figure 3.1 e 3.2), come altre tipologie di opere di sostegno,
deve soddisfare alcune verifiche. In particolare, oltre alla verifica al galleggiamento in
fase di trasporto, sono richieste verifiche strutturali e verifiche geotecniche (stabilità
globale, capacità portante del terreno di fondazione, ribaltamento, scorrimento alla
base); inoltre il terreno di fondazione su cui poggerà l’opera ed il riempimento a tergo di
essa devono essere analizzati nei confronti della suscettibilità a liquefazione.
Il D.M. 14/01/2008 [§7.11.6.1], in fase di analisi e di progetto, assimila una banchina a
cassoni ad un muro a gravità per il quale, in condizioni sismiche, prescrive di
considerare almeno gli stessi stati limite considerati in condizioni statiche.
Analogamente all’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004], secondo il D.M. 14/01/2008 vanno
confrontate la resistenza di progetto Rd e l’azione di progetto Ed, garantendo che per
ogni stato limite sia verificata la relazione:
Rd ≥ E d
(3.6)
Le verifiche vanno eseguite attraverso i fattori di sicurezza parziali, applicati per ridurre
le resistenze e/o incrementare le azioni.
Per quanto riguarda le verifiche geotecniche, lo scorrimento si può ipotizzare come il
meccanismo di collasso che governa il progetto della struttura, poiché la capacità
portante del terreno di fondazione può essere soddisfatta migliorando preventivamente il
terreno di base sul quale poggia l’opera ed il ribaltamento risulta più improbabile grazie
al contributo stabilizzante dell’acqua dal lato mare. Questa trattazione considera che la
stabilità dell’opera sia governata dalla verifica a scorrimento. Tale verifica è stata
eseguita in accordo con le nuove Norme Tecniche Italiane per le costruzioni in zona
sismica [D.M. 14/01/2008] rifacendosi, in caso di mancanze, alle indicazioni
dell’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004].
49
3.3.
VERIFICA A SCORRIMENTO DELLA BANCHINA A
CASSONI SECONDO IL D.M. 14/01/2008
3.3.1. CONDIZIONI STATICHE
Nel calcolo delle azioni e delle resistenze di progetto in campo statico il D.M.
14/01/2008 prevede l’utilizzo di almeno uno dei due approcci indicati al §6.5.3.1.1
[D.M. 14/01/2008].
L’approccio 1 (DA1 - Design Approach 1) comporta due diverse combinazioni: la
prima combinazione (A1+M1+R1) prevede di incrementare le azioni con i coefficienti
parziali del gruppo A1 variabili da 1 a 1.5 a seconda del tipo di azione (tabella 3.1) e di
considerare i parametri di resistenza caratteristici del terreno, applicando cioè i
coefficienti di sicurezza parziali unitari del gruppo M1 (tabella 3.2); la seconda
combinazione (A2+M2+R2) prevede di non incrementare le azioni permanenti
utilizzando i coefficienti parziali del gruppo A2 riportati in tabella 3.1 e di ridurre i
parametri del terreno con i coefficienti parziali del gruppo M2 (tabella 3.2). In entrambe
le combinazioni va considerato un coefficiente di sicurezza parziale γR pari ad 1 (tabella
3.3), ossia la resistenza calcolata non va ridotta.
L’approccio 2 (DA2 - Design Approach 2) considera la combinazione (A1+M1+R3),
che prevede il calcolo dell’azione di progetto con i coefficienti del gruppo A1 (tabella
3.1), mentre la resistenza si ottiene dividendo il valore ottenuto con i parametri
caratteristici (gruppo M1, tabella 3.2) per un coefficiente parziale γR pari a 1.1 nella
verifica a scorrimento (tabella 3.3).
Nell’ipotesi che la verifica a scorrimento governi il progetto dell’opera, la resistenza di
progetto Rd è proporzionale alla risultante di tutte le forze verticali agenti sulla
banchina; in condizioni statiche, riferendosi alla figura 3.2 senza tener conto delle forze
dovute al sisma, Rd è data dalla somma del peso del muro (W), della componente
verticale della spinta statica del terreno (PAsinδ) e della risultante delle pressioni
interstiziali agenti alla base del cassone (Ub):
R d = {tan δ bd [γ G1W + γ G 2 PA sin δ d − γ G 3U b ]} γ R
(3.7)
δbd è l’angolo di attrito di progetto tra cassone e terreno di fondazione, δd è l’angolo di
attrito di progetto tra cassone e terrapieno, i coefficienti γGi sono i coefficienti di
sicurezza parziali sulle azioni permanenti e γR è il coefficiente di sicurezza parziale
sulla resistenza. La spinta attiva del terreno PA può essere calcolata con un approccio
50
“tipo Coulomb” o “tipo Rankine” utilizzando opportunamente le espressioni discusse
nel § 2.4.3.1, considerando che nel caso statico ru = kh = kv = 0.
L’azione di progetto Ed comprende la somma di tutte le forze orizzontali agenti sulla
struttura: nel caso statico esse sono la componente orizzontale della spinta statica del
terreno (PAcosδ) e la spinta statica dell’acqua su entrambi i lati del cassone (Ust,t e Ust,m):
E d = {γ G 2 PA cos δ d + γ G 3U st ,t − γ G 3U st ,m }
(3.8)
Secondo il principio della singola sorgente [EN1998-5, 2004], si applicano gli stessi
coefficienti parziali γGi alle azioni che hanno la medesima origine: il risultato è che la
spinta statica del terreno (PA) e la spinta dell’acqua (Ust,t, Ust,m, Ub) vanno moltiplicati, a
seconda del tipo di approccio usato, per uno stesso coefficiente (rispettivamente γG2 e
γG3) sia che l’azione abbia effetto favorevole sia che abbia effetto sfavorevole alla
verifica. Per quanto riguarda le azioni indotte dall’acqua, l’applicazione del principio
della singola sorgente comporta l’eventuale amplificazione delle spinte idrostatiche
orizzontali (Ust,t, Ust,m) e della sottospinta alla base (Ub) per lo stesso coefficiente
parziale γG3: il risultato che si ottiene è l’annullarsi dei termini γG3Ust,t e γG3Ust,m nella
(3.8) dal momento che per ipotesi hm = ht e l’amplificazione di Ub nella (3.7).
Sostituendo le espressioni di Rd (3.7) e di Ed (3.8) nella relazione (3.6) si ottiene:
tan δ bd [γ G1W + γ G 2 PA sin δ d − γ G 3U b ] γ R ≥ {γ G 2 PA cos δ d + γ G 3U st ,t − γ G 3U st ,m }(3.9)
Dal momento che la sottospinta dell’acqua alla base Ub dipende dalla larghezza del
cassone stesso (B) ed è pari a Bγwht e considerando che W = γcBH (essendo γc il peso di
volume medio del cassone) è possibile ricavare la larghezza minima della banchina B
che soddisfa la verifica a scorrimento in condizioni statiche:
B=
γ G 2 PA (γ R cos δ d − sin δ d tan δ bd ) + γ R (γ G 3U st ,t − γ G 3U st ,m )
tan δ bd [γ G1 (γ c H ) − γ G 3 (γ w ht )]
(3.10)
3.3.2. CONDIZIONI SISMICHE
In condizioni sismiche, nell’ipotesi che la verifica a scorrimento governi il progetto
dell’opera, con riferimento allo schema di figura 3.2, la resistenza di progetto Rd
dipende da: peso proprio del cassone (W), forza d’inerzia verticale del cassone (kvW),
risultante delle pressioni interstiziali agenti alla base del cassone (Ub) e componente
verticale della spinta sismica del terrapieno (PAEsinδ); trascurando sovraccarichi, moto
ondoso ed altre forze non permanenti, si può scrivere:
R d = {tan δ bd [W (γ G1 − γ G 4 k v ) + γ G 2 PAE sin δ d − γ G 3U b ]} γ R
51
(3.11)
L’azione di progetto Ed comprende: la componente orizzontale della spinta sismica del
terreno (PAE cosδ), la forza d’inerzia orizzontale del cassone (khW), la spinta statica
dell’acqua su entrambi i lati del cassone (Ust,t e Ust,m), la spinta dell’acqua dovuta alle
sovrappressioni interstiziali generate durante il sisma nel caso di acqua vincolata
all’interno del terrapieno (Ush), la spinta idrodinamica dal lato mare (Udyn,m) e la spinta
idrodinamica dal lato terra (Udyn,t) nel caso di acqua libera all’interno del terrapieno.
Tenendo conto del verso di tali forze e trascurando la presenza di forze variabili,
l’azione orizzontale di progetto Ed nella situazione più gravosa è data da:
⎧γ G 4Wk h + γ G 2 PAE cos δ d + γ G 3U st ,t − γ G 3U st ,m + ⎫
Ed = ⎨
⎬
⎩ + γ G 5 (1 − ξ )U sh + γ G 6 ξU dyn ,t + γ G 6U dyn ,m
⎭
(3.12)
ξ vale 0 per la condizione di acqua vincolata e 1 per la condizione di acqua libera
all’interno del riempimento.
L’equazione (3.12) assume prudenzialmente che le forze d’inerzia del terreno e del
cassone raggiungano il picco contemporaneamente.
Il D.M. 14/01/2008 precisa [§7.11.1 - D.M. 14/01/2008] che in condizioni sismiche le
verifiche agli stati limite ultimi devono essere effettuate “ponendo pari all’unità i
coefficienti parziali sulle azioni” (i.e. γGi = 1) impiegando i parametri geotecnici e le
resistenze di progetto con gli stessi valori dei coefficienti parziali indicati nel caso
statico. Quindi vanno considerati con opportuni coefficienti di combinazione [tabella
2.5.I - D.M. 14/01/2008] anche le azioni favorevoli che invece sono trascurate in
condizioni statiche (tabella 3.1). Come indicato nella Circolare del 02/02/2009
[Circolare n. 617 02/02/2009], in condizioni sismiche si dovrebbero eseguire le
verifiche con le stesse combinazioni previste per il caso statico. Tuttavia si può notare
che tra le due combinazioni indicate per l’approccio 1, (A1+M1+R1) e (A2+M2+R2), la
seconda è certamente la più gravosa perché, essendo unitari i coefficienti parziali sulle
azioni e riducendo i parametri di resistenza con i coefficienti del gruppo M2 (tabella
3.2) si ottiene al tempo stesso una diminuzione della resistenza ed un aumento
dell’azione, visto che la componente orizzontale della spinta del terreno aumenta al
diminuire dei parametri di resistenza del terreno. Nella Circolare [Circolare n. 617
02/02/2009] si precisa inoltre che con i coefficienti parziali M2 si calcolano le
variazioni di spinta prodotte dal sisma. Se tali variazioni si intendono rispetto alla
spinta statica, calcolata con i coefficienti parziali del gruppo M1 (tabella 3.2), cioè
PA(M1), la spinta in condizioni sismiche si ottiene attraverso l’espressione:
52
PAE = PA (M 1) + ΔPAE (M 2 )
(3.13)
avendo posto:
ΔPAE (M 2) = PAE (M 2) − PA (M 2)
(3.14)
dove PAE(M2) e PA(M2) sono rispettivamente la spinta sismica e la spinta statica
calcolate con i coefficienti del gruppo M2. Si sottolinea che modificando i parametri del
terreno, in particolare l’angolo di attrito terreno - struttura δ, cambia anche
l’inclinazione della spinta per cui la (3.13) è da intendersi come somma vettoriale.
Tabella 3.1 - Coefficienti parziali sulle azioni in condizioni statiche e sismiche secondo
il D.M. 14/01/2008
Analisi statica Analisi
Carichi
Effetto sulla verifica
sismica
A1
A2
favorevole
1.00
1.00
1.00
sfavorevole
1.30
1.00
1.00
permanenti
favorevole
0.00
0.00
1.00
non strutturali
sfavorevole
1.50
1.30
1.00
favorevole
0.00
0.00
1.00
sfavorevole
1.50
1.30
1.00
permanenti
variabili
A1=A2
Tabella 3.2 - Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno secondo il D.M.
14/01/2008
Parametro
M1
M2
angolo di resistenza al taglio del terreno tanφ’k 1.00 1.25
angolo di attrito terreno - struttura (*)
tanδk
1.00 1.25
coesione efficace
c’k
1.00 1.25
resistenza non drenata
cuk
1.00 1.40
peso di volume
γk
1.00 1.00
( )
* non compare nella Tab. 6.2.II del D.M. 14/01/2008, mentre per l’Eurocodice 8 è
soggetto allo stesso coefficiente usato per φ.
53
Tabella 3.3 - Coefficienti di sicurezza parziali γR sulla resistenza del terreno previsti dal
D.M. 14/01/2008 nelle verifiche dei muri di sostegno
Stato limite ultimo
R1 R2
R3
Capacità portante
1.0 1.0 1.4
Scorrimento
1.0 1.0 1.1
Sostituendo nella (3.6) le espressioni di Rd (3.11) e di Ed (3.12), nelle quali si è posto
γG1 = γG6 = 1, si ottiene:
⎧PAE cos δ d + U st ,t + (1 − ξ )U sh − U st ,m
tan δ bd [W (1 − k v ) + PAE sin δ d − U b ] γ R ≥ ⎨
⎩+ ξU dyn ,t + U dyn ,t + Wk h
+⎫
⎬ (3.15)
⎭
Analogamente a quanto fatto per il calcolo in condizioni statiche (§ 3.3.1), considerando
che Ub dipende dalla larghezza del cassone B, sostituendo nella (3.15) la (3.5) e
considerando che W = γcBH si ricavare la larghezza minima della banchina che soddisfa
la verifica a scorrimento in condizioni sismiche:
⎧γ R PAE cos δ d − PAE sin δ d tan δ bd + γ R (U st ,t − U st ,m ) + ⎫
⎨
⎬
+ γ R (1 − ξ )U sh + ξU dyn ,t + U dyn ,m
⎩
⎭
B=
⎧γ c H [tan δ bd (1 − k v ) − γ R k h ] − 0.5 tan δ bd (γ w ht + γ w hm ) + ⎫
⎬
⎨
⎭
⎩− 0.5 tan δ bd ru [γ wet (H − ht ) + γ b ht ](1 − ξ )
[
3.4.
]
(3.16)
COEFFICIENTI SISMICI SECONDO IL D.M. 14/01/2008
Il metodo pseudo-statico ipotizza che il terreno e la struttura subiscono durante il sisma
un’accelerazione (orizzontale e verticale) costante nello spazio e nel tempo.
Il punto cruciale di tale approccio è la scelta del coefficiente sismico orizzontale kh e del
coefficiente sismico verticale kv: dal momento che le accelerazioni da usare non
necessariamente coincidono con quelle massime che si sviluppano nel terrapieno
durante il terremoto, i valori di tali coefficienti vengono solitamente assunti come una
frazione dell’accelerazione massima amax attesa al sito in esame. In particolare, la scelta
del valore da attribuire a kh è l’aspetto più difficoltoso ed importante, mentre il valore di
kv viene considerato come una frazione di kh.
Il D.M. 14/01/2008 [§7.11.6.2.1] definisce il coefficiente sismico orizzontale kh come
un’aliquota βm dell’accelerazione massima amax attesa al sito in esame:
⎛a
k h = β m ⎜⎜ max
⎝ g
⎞
⎟⎟
⎠
(3.17)
54
Il coefficiente sismico verticale è assunto pari alla metà di quello orizzontale:
kv = ±0.5kh
(3.18)
βm è un coefficiente variabile da 0.18 a 0.31 in funzione dell’accelerazione su suolo
rigido ag prevista per il sito in esame e della categoria di sottosuolo (tabella 7.11.II del
D.M. 14/01/2008); l’accelerazione su suolo rigido ag e le categorie di sottosuolo sono
specificate nel seguito del paragrafo. La tabella 3.4 riporta i valori di βm.
Sebbene
l’uso
del
metodo
pseudo-statico
non
comporta
esplicitamente
la
determinazione di uno spostamento permanente, il verificarsi di scorrimenti lungo il
piano di posa è implicito nella procedura utilizzata per ricavare i coefficienti riduttivi βm
[Callisto e Aversa, 2008]. Si ribadisce che un minimo di spostamento è necessario per
poter sviluppare la condizione di equilibrio limite attivo nel terrapieno (§ 4.1). Inoltre,
come precisato dal D.M. 14/01/2008 stesso “per muri che non siano in grado di subire
spostamenti relativi rispetto al terreno, il coefficiente βm assume valore unitario”.
Secondo il D.M. 14/01/2008 [§7.11.6.2.1], in assenza di apposite analisi di risposta
sismica locale, l’accelerazione massima attesa al sito amax è correlata all’accelerazione
su suolo rigido ag secondo l’espressione:
a max = a g S S S T
(3.19)
L’accelerazione su suolo rigido ag dipende dalla posizione del sito nel territorio italiano,
dal periodo di riferimento dell’opera e dalla probabilità di superamento in tale periodo
che a sua volta è funzione dello stato limite considerato [tabella 3.2.I - D.M.
14/01/2008].
Il
sito
internet
del
Consiglio
Superiori
dei
Lavori
Pubblici
[http://www.cslp.it] mette a disposizione un programma di calcolo che, sulla base del
periodo di riferimento, dello stato limite considerato e delle coordinate del sito in cui va
realizzata l’opera, fornisce l’accelerazione su suolo rigido ag ed altri due parametri, F0 e
Tc*. In particolare F0 rappresenta il valore massimo del fattore di amplificazione dello
spettro elastico di risposta in accelerazione orizzontale, mentre Tc* è il periodo di
inizio, in secondi, del tratto a velocità costante dello stesso spettro in accelerazione
orizzontale. I valori di ag, F0 e Tc* per i vari punti del reticolato geografico in cui è stato
suddiviso il territorio italiano sono riportati, in funzione del tempo di ritorno,
nell’Allegato B del suddetto Decreto Ministeriale.
SS è il coefficiente di amplificazione stratigrafica, variabile tra 0.9 e 1.8 in funzione
della categoria di sottosuolo; i valori di SS sono definiti nella tabella 3.2.V del D.M.
55
14/01/2008, mostrati in tabella 3.5 (in tale tabella compare anche il coefficiente
numerico CC, definito nel successivo capitolo 4).
ST è il coefficiente di amplificazione topografica, variabile tra 1.0 e 1.4 [tabella 3.2.VI D.M. 14/01/2008] i cui valori sono riportati in tabella 3.6 a seconda della categoria
topografica e assunto unitario per un’opera marittima.
Le categorie di sottosuolo e le categorie topografiche sono definite al §3.2.2 del D.M.
14/01/2008 e schematizzate nelle tabelle 3.2.II, 3.2.III, 3.2.IV delle stesse Norme
Tecniche [D.M. 14/01/2008]. In particolare, la classificazione per la categoria di
sottosuolo va effettuata in base ai valori della velocità equivalente Vs,30 di propagazione
delle onde di taglio entro i primi 30 metri di profondità [§3.2.2 - D.M. 14/01/2008].
Tabella 3.4 - Coefficienti βm di riduzione dell’accelerazione massima attesa al sito
Categoria di sottosuolo
A
B, C, D, E
0,2 < ag(g) ≤ 0,4
0,31
0,31
0,1 < ag(g) ≤ 0,2
0,29
0,24
ag(g) ≤ 0,1
0,20
0,18
Tabella 3.5 - Espressioni di SS e di CC secondo il D.M. 14/01/2008
Categoria di sottosuolo
SS
CC
A
1.00
1.00
B
1.00 ≤ 1.40 – 0.40·F0·ag/g ≤ 1.20 1.10·(TC*)-0.20
C
1.00 ≤ 1.70 – 0.60·F0·ag/g ≤ 1.50 1.05·(TC*)-0.33
D
0.90 ≤ 2.40 – 1.50·F0·ag/g ≤ 1.80 1.25·(TC*)-0.50
E
1.00 ≤ 2.00 – 1.10·F0·ag/g ≤ 1.60 1.15·(TC*)-0.40
Tabella 3.6 - Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST secondo il
D.M. 14/01/2008
Categoria topografica
Ubicazione dell’opera o dell’intervento
ST
T1
-
1.0
T2
In corrispondenza della sommità del pendio 1.2
T3
In corrispondenza della cresta del rilievo
1.2
T4
In corrispondenza della cresta del rilievo
1.4
56
3.5.
CARATTERISTICHE DEL TERRENO E DEL CASSONE
NEL CASO BASE
Assumendo che il progetto sia governato dalla verifica a scorrimento in condizioni
sismiche viene presentato il dimensionamento di una tipica banchina a cassoni basato
sul tradizionale metodo pseudo-statico alla luce del D.M. 14/01/2008. La larghezza
dell’opera è determinata attraverso la (3.16).
Per svolgere i calcoli sono stati assunti dei parametri di input del riempimento e del
cassone, rappresentativi di condizioni medie:
- peso di volume umido del riempimento γwet/γw = 1.8;
- peso di volume saturo del riempimento γsat/γw = 1.9;
- peso di volume medio del cassone γc/γw = 2;
- valore caratteristico dell’angolo di resistenza al taglio φk = 36°;
- valore caratteristico dell’angolo di attrito tra cassone e riempimento δk = 24°;
- valore caratteristico dell’angolo di attrito alla base terreno-struttura δbk = 31°;
- rapporto di sommersione λ = ht/H = 0.8;
- coefficiente ru = 0 (cioè assenza di sovrappressioni interstiziali).
Nella parte sommersa del riempimento la condizione dell’acqua è vincolata (ξ = 0); la
spinta idrodinamica Udyn,m è calcolata con un coefficiente sismico khw diverso da quello
utilizzato per la spinta del terreno [Annesso E dell’Eurocodice 8], ponendo βm = 1 nella
(3.17).
3.6.
EFFETTO DEL TIPO DI APPROCCIO
Sulla base del D.M. 14/01/2008, come descritto nel §3.3.2, sono possibili tre diverse
procedure di calcolo della spinta del terreno in condizioni sismiche. La prima procedura
segue la combinazione 2 dell’approccio 1 (DA1) del suddetto Decreto e l’intera spinta
PAE (statica più dinamica) è calcolata con i coefficienti parziali M2; la seconda
procedura recepisce le indicazioni contenute nella Circolare [Circolare n. 617
02/02/2009] e calcola la spinta sismica del terreno con la (3.13); la terza procedura
utilizza l’approccio 2 (DA2) del D.M. 14/01/2008 usando i valori caratteristici dei
parametri del terreno (M1). In tutti e tre i casi la spinta PAE è calcolata con un approccio
basato sulle pressioni (PBA) secondo la (2.33).
La figura 3.3 mostra la larghezza normalizzata minima del cassone B/H che soddisfa la
verifica a scorrimento al variare dell’accelerazione su suolo rigido ag/g, assumendo il
57
coefficiente di amplificazione stratigrafica SS pari a 1.2. L’andamento discontinuo delle
curve è dovuto al fatto che il coefficiente βm utilizzato per il calcolo di kh nella (3.17)
assume valori costanti per prefissati intervalli di ag (tabella 3.4).
Come prevedibile, la larghezza minima che soddisfa la verifica a scorrimento aumenta
all’aumentare di ag.
Dal confronto tra le diverse curve appare evidente che l’approccio 2 (DA2) è sempre
meno cautelativo dell’approccio 1 (DA1); questo risultato si può spiegare ragionando in
termini di fattori di sicurezza globale, considerando che l’approccio 2 richiede in pratica
un fattore di sicurezza globale pari ad 1.1 (= γR), mentre l’approccio 1 richiede un
fattore di sicurezza globale sempre superiore a 1.25. Pertanto è giustificata l’indicazione
contenuta nella Circolare [Circolare n. 617 02/02/2009] che ritiene “preferibile”
l’approccio 1, in quanto più cautelativo.
Tra le due interpretazioni dell’approccio 1 quella suggerita dalla Circolare [Circolare n.
617 del 02/02/2009] e rappresentata dalla (3.13) fornisce valori inferiori di PAE e
comporta quindi dimensionamenti leggermente meno onerosi.
Per valori di ag/g superiori a 0.25 - 0.35 la larghezza minima B è superiore all’altezza H
e l’opera diventa poco conveniente dal punto di vista economico.
2.8
2.6
2.4
2.2
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8; γ sat / γ w = 1.9; φ k = 36°
δ k = 24°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
sottosuolo tipo B, C, D, E ; S S = 1.2
2.0
B/H
1.8
1.6
1.4
DA1 - P AE (M2 )
DA1 - Δ P AE (M2 )
DA2
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
β m = 0.31
β m = 0.18
0.6
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.3 - Effetto dell’approccio di verifica sul dimensionamento della banchina
Per esaminare l’effetto dell’angolo di resistenza al taglio del riempimento e dell’angolo
di attrito terreno-struttura sul dimensionamento della banchina sono stati scelti φk e δk in
un intervallo di interesse pratico considerando i range φk = 30 - 40° e δk = 1/2 - 2/3φk.
58
Quindi sono stati ripetuti i calcoli svolti utilizzando i valori estremi delle combinazioni
di φk e δk (φk = 30°, δk = 15° e φk = 40°, δk = 26.7°).
Gli andamenti della larghezza normalizzata B/H ottenuti nei due casi limite sono
qualitativamente simili a quanto mostrato in figura 3.3. Come prevedibile, i valori di
B/H necessari a soddisfare lo scorrimento del cassone risultano traslati verso l’alto o
verso il basso rispetto alla figura 3.3, a seconda che la combinazione dei parametri φk e
δk sia rispettivamente minore (figura 3.4a) o maggiore (figure 3.4b) della coppia
utilizzata per il caso base (φk = 36° e δk = 24°). In ogni caso le conclusioni tratte per il
caso base si possono estendere per altri valori di φk e δk in un intervallo di interesse
pratico.
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
B/H
1.8
1.6
1.4
1.2
δ k = 15°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
DDA1 - P AE (M2 )
DDA1 - Δ P AE (M2 )
β m = 0.24
1.0
0.8
β m = 0.31
DDA2
β m = 0.18
0.6
0.4
0.2
0.0
0.00
(a)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
2.8
2.6
2.4
δ k = 26.7°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
2.2
2.0
DDA1 - P AE (M2 )
DDA1 - Δ P AE (M2 )
B/H
1.8
1.6
DDA2
1.4
β m = 0.31
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
0.6
β m = 0.18
0.4
0.2
(b)
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.4 - Effetto di φk e δk sull’approccio di verifica per il dimensionamento della
banchina: (a) φk = 30°, δk = 15°; (b) φk = 40°, δk = 26.7°
59
3.7.
EFFETTO DELLE MODALITÀ DI CALCOLO DELLA
SPINTA DEL TERRENO
Il D.M. 14/01/2008 non specifica le modalità di calcolo della spinta del terreno in
condizioni sismiche per terreni parzialmente sommersi. In questo caso è possibile far
ricorso ad un approccio “tipo Rankine”, basato sulle pressioni ed espresso dalla (2.33),
oppure ad un approccio globale “tipo Coulomb”, espresso sinteticamente dalla (2.6).
La figura 3.5 mostra la larghezza normalizzata minima B/H in funzione di ag/g per
quattro diverse modalità di calcolo di PAE, una “tipo Rankine” (PBA) e le altre “tipo
Coulomb” (FBA) che si differenziano per il calcolo dell’angolo di inerzia sismico ψ
eseguito con le espressioni (2.30), (2.31) e (2.32). Si nota che, in assenza di
sovrappressioni interstiziali (ru = 0), l’approccio “tipo Rankine” è sempre più
cautelativo degli approcci “tipo Coulomb”; tra i tre metodi FBA, in particolare, le
indicazioni di PIANC [2001] sono le meno cautelative perché trascurano l’accelerazione
verticale mentre l’approccio suggerito da Bellezza et al. [2009] è praticamente
coincidente con quello di Ebeling e Morrison [1992].
Bisogna sottolineare che tali risultati valgono per un terrapieno parzialmente sommerso
(λ = 0.8); se si considera il caso limite di un terrapieno completamente sommerso (λ =
1), i risultati che si ottengono con l’approccio FBA basato sulle espressioni (2.30)
[Ebeling e Morrison, 1992] e (2.32) [Bellezza et al., 2009] coincidono con quelli
ottenuti utilizzando l’approccio PBA, indipendentemente dai valori assunti per i
coefficienti kv ed ru.
La figura 3.6 mostra l’andamento di B/H che si ottiene calcolando la spinta sismica
attiva del terreno, a parità degli altri parametri di input, con le combinazioni φk = 30°, δk
= 15° (figura 3.6a) e φk = 40°, δk = 26.7° (figura 3.6b).
60
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8
γ sat / γ w = 1.9; φ k = 36°
δ k = 24°; δ bk = 31°
λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
FBA - (2.28) e (2.31)
FBA - (2.28) e (2.32)
B/H
1.8
β m = 0.31
1.6
1.4
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
β m = 0.18
0.6
0.4
sottosuolo tipo B, C, D, E; S S = 1.2
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.5 - Effetto della modalità di calcolo della spinta del terreno sul
dimensionamento della banchina
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
FBA - (2.28) e (2.31)
FBA - (2.28) e (2.32)
B/H
1.8
β m = 0.31
1.6
1.4
β m = 0.24
1.2
1.0
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8
γ sat / γ w = 1.9; φ k = 30°
δ k = 15°; δ bk = 31°
λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
β m = 0.18
0.8
0.6
(a)
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
FBA - (2.28) e (2.31)
FBA - (2.28) e (2.32)
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8
γ sat / γ w = 1.9; φ k = 40°
δ k = 26.7°; δ bk = 31°
λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
B/H
1.8
β m = 0.31
1.6
1.4
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
β m = 0.18
0.6
(b)
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.6 - Effetto di φk e δk sulla modalità di calcolo della spinta del terreno per il
dimensionamento della banchina: (a) φk = 30°, δk = 15°; (b) φk = 40°, δk = 26.7°
61
3.8.
EFFETTO DELLE SOVRAPPRESSIONI INTERSTIZIALI
Il D.M. 14/01/2008 al § 7.11.3.5.2 precisa che “si deve tener conto dei possibili
incrementi di pressione interstiziale indotti in condizioni sismiche nei terreni saturi”
con riferimento alle analisi di stabilità dei pendii, ma non dice nulla a riguardo delle
opere di sostegno; l’Eurocodice 8 trascura completamente tale aspetto [Annesso E - EN
1998-5, 2004].
Lo sviluppo di sovrappressioni interstiziali positive nella parte sommersa del terrapieno
riduce la spinta del terreno PAE ed aumenta la spinta complessiva dell’acqua Ush. Nel
D.M. 14/01/2008 non è indicata la modalità di calcolo per quantificare l’entità di tali
sovrappressioni. L’approccio di Ebeling e Morrison [1992] considera, in via
semplificata, le sovrappressioni interstiziali linearmente variabili con la profondità nella
parte sommersa del riempimento assumendo un valore costante di ru nell’espressione
(2.35). La scelta di ru rappresenta un aspetto fondamentale per il progetto dell’opera ed
il suo valore dipende da molti fattori, tra i quali le proprietà del terreno di riempimento,
l’accelerazione massima e la magnitudo del sisma.
Si consideri, ad esempio, un sisma con accelerazione su suolo rigido ag = 0.15g in un
sito con amplificazione stratigrafica SS = 1.2: l’accelerazione massima è amax = 0.18g.
Se la magnitudo del sisma atteso è 6, dalla figura 2.6 si ricava che il numero di cicli di
carico equivalenti N corrispondenti al 65% del massimo sforzo di taglio è pari a 4.
Ipotizzando un riempimento con livello di sommersione λ = 0.8, al centro della parte
sotto falda si avrà un rapporto tra la tensione geostatica verticale totale σv0 e la tensione
geostatica efficace verticale iniziale σ’v0 dato da:
σ v0
γ sat (1 − λ 2 )
= 1.54
=
σ ' v 0 γ sat (1 − λ 2 ) − γ w λ 2
Poiché l’accelerazione nel terrapieno è assunta costante, si può assumere un coefficiente
di riduzione rd unitario [Kim et al, 2005]; dalla (2.25) si ricava CSR = τc/σ’v0 = 0.18.
Se la densità relativa del riempimento è DR = 75%, il numero di cicli necessari a
produrre liquefazione, NL, stimato con la (2.24) è NL ≈ 22.
Utilizzando la relazione (2.23) con i valori dei parametri ottenuti, si possono calcolare le
sovrappressioni interstiziali che sviluppano nella parte sommersa del terrapieno,
espresse tramite il coefficiente adimensionale ru = Δu/σ’v0 ≈ 0.19.
In figura 3.7 sono riportati i valori di B/H ottenuti al variare del coefficiente
adimensionale ru per tre differenti input sismici (dati dalla combinazione di ag/g e SS).
62
La spinta del terreno è calcolata sia con un approccio “tipo Rankine” (PBA) dato dalla
(2.33), sia con un approccio “tipo Coulomb” (FBA), valutato con le espressioni (2.28) e
(2.30). In generale si osserva che l’incremento delle sovrappressioni interstiziali
peggiora le condizioni di stabilità allo scorrimento, comportando in fase di progetto una
maggiore larghezza della banchina. Nel caso dell’esempio, in cui ru ≈ 0.19, ag/g = 0.15
ed SS = 1.2, si ha che con entrambi gli approcci B/H ≈ 0.8.
La figura 3.8 è relativa al calcolo di B/H svolto utilizzando le combinazioni φk = 30°, δk
= 15° (figura 3.8a) e φk = 40°, δk = 26.7° (figura 3.8b).
È interessante notare che, a parità di input sismico, esiste un valore di transizione di ru
(definito ru*) oltre il quale l’approccio “tipo Coulomb” diventa più cautelativo
dell’approccio “tipo Rankine” (che è più cautelativo per bassi valori di ru). Il valore di
transizione ru* aumenta all’aumentare di ag/g, come mostrato nelle figure 3.9 (caso
base), 3.10a (φk = 30°, δk = 15°) e 3.10b (φk = 40°, δk = 26.7°).
5.0
a ag/g=0.15
S s = 1.2
Ss=1.2
g /g= 0.15,
4.5
a ag/g=0.30
g /g = 0.30,
Ss=1.2S s =1 1.2
4.0
aag/g=0.30
g /g = 0.30,
Ss=1.5S s = 1.5
B/H
3.5
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8
γ sat / γ w = 1.9; φ k = 36°
δ k = 24°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
0.5
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ru
Figura 3.7 - Effetto delle sovrappressioni interstiziali sul dimensionamento della
banchina
63
5.0
a g /g= 0.15,
ag/g=0.15
Ss=1.2
S s = 1.2
a g /g = 0.30,
ag/g=0.30
Ss=1.2
S 1s = 1.2
a g /g = Ss=1.5
0.30,
ag/g=0.30
S s = 1.5
4.5
4.0
(a)
B/H
3.5
3.0
2.5
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8; γ sat / γ w = 1.9
φ k = 30°;δ k = 15°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0
2.0
1.5
1.0
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
0.5
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ru
5.0
4.5
4.0
B/H
3.5
a g /g= 0.15,
ag/g=0.15
Ss=1.2
S s = 1.2
a g /g = 0.30,
ag/g=0.30
Ss=1.2
S 1s = 1.2
0.30,
a g /g = Ss=1.5
ag/g=0.30
S s = 1.5
(b)
γ c / γ w = 2; γ wet / γ w = 1.8
γ sat / γ w = 1.9; φ k = 40°
δ k = 26.7°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
PBA
FBA - (2.28) e (2.30)
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ru
Figura 3.8 - Effetto di φk e δk sul dimensionamento della banchina in presenza di
sovrappressioni interstiziali: (a) φk = 30°, δk = 15°; (b) φk = 40°, δk = 26.7°
0.30
δ k = 24°; δ bk = 31°; λ = 0.8; ξ = 0
β m = 0.31
0.25
ru*
0.20
0.15
0.10
β m = 0.24
Ss=1.2
S S = 1.2
β m = 0.18
S S = 1.5
Ss=1.5
0.05
sottosuolo tipo B, C, D , E
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.9 - Valori di transizione di ru al variare dell’accelerazione su suolo rigido ag/g
64
0.30
δ k = 15°; δ bk = 31°; λ = 0.8; ξ = 0
β m = 0.31
0.25
ru*
0.20
0.15
0.10
β m = 0.24
Ss=1.2
S S = 1.2
β m = 0.18
(a)
S S = 1.5
Ss=1.5
0.05
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
0.30
δ k = 26.7°; δ bk = 31°; λ = 0.8; ξ = 0
β m = 0.31
0.25
ru*
0.20
0.15
0.10
β m = 0.24
Ss=1.2
S S = 1.2
β m = 0.18
(b)
S S = 1.5
Ss=1.5
0.05
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.10 - Effetto di φk e δk sui valori di transizione di ru: (a) φk = 30°, δk = 15°; (b) φk
= 40°, δk = 26.7°
3.9.
CONFRONTO CON IL CASO STATICO
Quando si effettua il progetto di un’opera di sostegno bisogna tener conto del fatto che
per bassi valori di ag e/o in presenza di forze variabili il dimensionamento può essere
governato dalla verifica in condizioni statiche, dal momento che i coefficienti parziali
sulle azioni da utilizzare nel caso statico possono essere maggiori di uno.
La tabella 3.7 riporta i coefficienti parziali γGi impiegati, in condizioni statiche e in
condizioni sismiche, per il calcolo della resistenza di progetto Rd e dell’azione di
progetto Ed nella verifica a scorrimento della banchina a cassoni di figura 3.2. Nel caso
statico le espressioni di Rd ed Ed sono rispettivamente la (3.7) e la (3.8) e la larghezza
della banchina B è valutata con la (3.10); nel caso sismico la larghezza B è calcolata
utilizzando la (3.16), ottenuta a partire dalla resistenza di progetto Rd (3.11) e
dall’azione di progetto Ed (3.12) in cui tutti i coefficienti parziali sulle azioni γGi sono
unitari (tabella 3.7).
Con la combinazione dei parametri di input utilizzata nel caso base ed in assenza di
forze variabili, il valore di B/H ottenuto con l’approccio 1 combinazione 2
(A2+M2+R2) in condizioni statiche (B/H = 0.187, rappresentato in figura 3.11a dalla
65
linea orizzontale tratteggiata) risulta inferiore a quello ottenuto in condizioni sismiche
(B/H = 0.257 se ag/g = 0.01): pertanto la verifica a scorrimento della banchina è
governata sempre dal caso sismico (figura 3.11a).
Poiché il D.M. 14/01/2008 non indica espressamente quale approccio utilizzare, se il
dimensionamento della banchina fosse eseguito con l’approccio 2 (A1+M1+R3) si
otterrebbe (figura 3.11b) l’esisenza un valore di ag/g al di sotto del quale, anche in
assenza di forze variabili, la verifica in condizioni statiche è più gravosa della verifica in
condizioni sismiche: infatti per valori di ag/g minori di circa 0.04 il rapporto B/H trovato
nel caso statico (= 0.188) è maggiore di quello che si ha in condizioni sismiche.
Risultati analoghi a quelli di figura 3.11 si ottengono utilizzando le coppie di valori
φk = 30° - δk = 15° (figura 3.12a e 3.12b) e φk = 40° - δk = 27.6° (figura 3.13a e 3.13b).
Tabella 3.7 - Coefficienti parziali sulle azioni da impiegare nella verifica a scorrimento
in condizioni statiche e sismiche secondo il D.M. 14/01/2008
Coefficiente
parziale
Azione
Analisi
statica
A1
A2
Analisi
sismica
Peso del cassone (W)
γG1
1.00 1.00
1.00
Spinta del terreno (PA/PAE)
γG2
1.30 1.00
1.00
Spinta idrostatica (Ust,t, Ust,m, Ub)
γG3
1.30 1.00
1.00
Forze d’inerzia del cassone (kh,vW)
γG4
-
-
1.00
Spinta dovuta alle sovrappressioni (Ush)
γG5
-
-
1.00
Spinta idrodinamica (Udyn,m, Udyn,t)
γG6
-
-
1.00
66
2.2
2.0
1.8
δ k = 24°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
1.6
DA1 - P AE (M2 )
B/H
1.4
1.2
β m = 0.31
1.0
β m = 0.24
0.8
0.6
(a)
β m = 0.18
Condizioni statiche
DA1 - Combinazione 2
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
2.2
2.0
1.8
δ k = 24°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
1.6
B/H
1.4
DA2
1.2
β m = 0.31
1.0
0.8
β m = 0.24
β m = 0.18
(b)
0.6
Condizioni statiche
DA2
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
Figura 3.11 - Larghezza normalizzata della banchina ottenuta in condizioni statiche ed
in condizioni sismiche secondo il D.M. 14/01/2008 (φk = 36°, δk = 24°): (a) approccio 1
combinazione 2; (b) approccio 2
67
2.8
2.6
2.4
2.2
δ k = 15°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
2.0
DA1 - P AE (M2 )
B/H
1.8
1.6
β m = 0.31
1.4
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
(a)
β m = 0.18
Condizioni statiche
0.6
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
δ k = 15°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
B/H
1.8
DA2
1.6
β m = 0.31
1.4
1.2
β m = 0.24
1.0
0.8
(b)
β m = 0.18
0.6
Condizioni statiche
DA2
0.4
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
in condizioni sismiche secondo il D.M. 14/01/2008 (φk = 30°, δk = 15°): (a) approccio 1
combinazione 2; (b) approccio 2
68
2.0
1.8
1.6
δ k = 26.7°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
1.4
B/H
1.2
β m = 0.31
1.0
DA1 - P AE (M2 )
0.8
β m = 0.24
0.6
0.4
(a)
β m = 0.18
Condizioni statiche
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
2.0
1.8
1.6
δ k = 26.7°; δ bk = 31°; λ = 0.8; r u = 0; ξ = 0
1.4
B/H
1.2
DA2
1.0
β m = 0.31
0.8
β m = 0.24
0.6
0.4
(b)
β m = 0.18
Condizioni statiche
DA2
0.2
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
a g /g
in condizioni sismiche secondo il D.M. 14/01/2008 (φk = 40°, δk = 26.7°): (a) approccio
1 combinazione 2; (b) approccio 2
69
3.10. CONFRONTO CON L’EUROCODICE 8
Il D.M. 14/01/2008, come precisato nel capitolo 12, consente di utilizzare “anche altri
codici internazionali, purché sia dimostrato che garantiscano livelli di sicurezza non
inferiori a quelli delle presenti norme tecniche”. L’Eurocodice 8 [EN 1998 -5, 2004],
come il D.M. 14/01/2008, prevede l’impiego di coefficienti di sicurezza parziali, ma si
differenzia dal suddetto Decreto [D.M. 14/01/2008] nella scelta del coefficiente sismico
orizzontale kh. In particolare, per opere di sostegno rigide, l’espressione suggerita
dall’Eurocodice 8 è la seguente:
kh =
(a max g )
(3.20)
r
dove r è un coefficiente numerico variabile da 1 a 2 in funzione dell’entità degli
spostamenti accettabili per la struttura. Tuttavia il criterio di scelta di r può apparire
ambiguo, poiché non è molto chiaro se i valori di soglia indicati dall’Eurocodice 8
debbano essere considerati come limite inferiore o superiore dell’intervallo degli
spostamenti accettabili dalla struttura [Simonelli e Penna, 2009]. L’Eurocodice 8
prescrive comunque di assumere r = 1 in presenza di “terreni granulari saturi soggetti
allo sviluppo di alte pressioni interstiziali”, ossia nella condizione a cui può essere
soggetto il terrapieno a tergo del cassone. In ogni caso è evidente che, fissato il valore di
amax, l’Eurocodice 8 utilizza un coefficiente sismico kh maggiore di quello impiegato dal
D.M. 14/01/2008, conducendo perciò a dimensionamenti dell’opera molto cautelativi,
come riportato in figura 3.12, che mostra in funzione di amax/g il rapporto B/H calcolato
con le due diverse normative. La differenza nel dimensionamento ottenuto applicando le
due normative si riduce quando viene considerato lo sviluppo di sovrappressioni
interstiziali, trascurato dall’Eurocodice 8.
70
1.5
r=2
EC8
r u =0
r u =0.2
r u =0
1.0
B/H
r=1
DM 14/01/08
DA 1
0.5
δ k = 24°; δ bk = 31°; λ = 0.8; ξ = 0
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a max /g
Figura 3.14 - Confronto tra la normativa italiana D.M. 14/01/2008 e l’Eurocodice 8
3.11. VALORE DI SOGLIA DEL COEFFICIENTE SISMICO
ORIZZONTALE
Si può osservare che esiste un valore di soglia del coefficiente sismico orizzontale kh
(k*h) che annulla il denominatore dell’espressione (3.16), rendendo impossibile il
dimensionamento dell’opera indipendentemente dall’approccio usato. In particolare per
kh = kv/2 si ricava:
k h* =
2 tan δ b ⎧ γ w (ht + hm ) + (1 − ξ )ru [γ wet (H − ht ) + γ b ht ]⎫
⎨1 −
⎬
2γ c H
tan δ b + 2γ R ⎩
⎭
(3.21)
Con riferimento ai dati di input utilizzati per il caso base, si ottiene kh,lim = 0.23. Se si
assume, in accordo con l’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004], r =1 nella (3.20), il
dimensionamento sismico della banchina risulta impossibile per valori di amax superiori
a 0.23g, che rappresenta un valore non infrequente in Italia.
71
72
CAPITOLO 4
DIMENSIONAMENTO DI UNA
BANCHINA A CASSONI CON IL
METODO DEGLI SPOSTAMENTI
SECONDO IL D.M. 14/01/2008
4.1. INFLUENZA DEGLI SPOSTAMENTI SULLA SPINTA DEL
TERRENO
L’approccio pseudo-statico non fornisce indicazioni sugli spostamenti che l’opera
subisce durante un evento sismico, anche se un minimo spostamento è comunque
necessario per sviluppare la condizione di equilibrio limite attivo.
Gli spostamenti della struttura devono essere compatibili con quelli necessari a
sviluppare la condizione limite attiva (o passiva) nel terrapieno a tergo dell’opera.
L’entità e la distribuzione delle spinte dipendono, infatti, dallo spostamento che il
terreno può subire [Lancellotta, 1987]. Prove sperimentali dimostrano che per la
mobilitazione della spinta attiva sono richiesti spostamenti della sommità del muro
dell’ordine dello 0.1 - 0.5 % della sua altezza a seconda del tipo di terreno e del
movimento dell’opera; nel caso della resistenza passiva tali valori aumentano di molto
(tabella 4.1). La figura 4.1 mostra la dipendenza dei coefficienti di spinta attiva KA e
passiva KP dagli spostamenti dell’opera.
Bisogna distinguere perciò tra opere che sotto l'effetto delle pressioni possono spostarsi
sufficientemente in maniera tale da mobilitare la spinta attiva e la resistenza passiva
(yielding walls) ed opere che per loro caratteristica o esigenze strutturali non permettono
al terreno di sviluppare lo stato limite attivo e passivo (nonyielding walls); in
quest’ultimo caso la sollecitazione orizzontale del terreno va calcolata con il
coefficiente di spinta del terreno a riposo K0.
Tabella 4.1 - Ordini di grandezza dello spostamento richiesti per poter raggiungere la
condizione di stato limite attivo o passivo
Tipo di terreno
Valori di ΔH/H (%)
Stato limite attivo
Stato limite passivo
Clough e
Clough
e
EN 1997-1, 2004
EN 1997-1, 2004
Duncan,
Duncan,
rotazione scorrimento
rotazione scorrimento
1991
1991
sabbia densa
0.1
0.1 - 0.2
0.05 - 0.1
1
5-10(*)
3-6(*)
sabbia
mediamente
addensata
0.2
-
-
2
-
-
sabbia sciolta
0.4
0.4 - 0.5
0.2
4
7-25(*)
5-10(*)
ΔH = scorrimento o rotazione alla sommità del muro necessario per raggiungere lo stato limite attivo o
passivo
H = altezza del muro
(*)
per terreni sotto falda i valori vanno moltiplicati per un fattore pari a 1.5 -2
Figura 4.1 - Dipendenza dei coefficienti di spinta attiva e passiva agli spostamenti
dell’opera [NAVFAC, 1982]
I risultati di tabella 4.1 e di figura 4.1 si riferiscono a condizioni statiche. La dipendenza
tra deformazioni dell’opera e forze agenti su di essa è stata estesa anche a condizioni
sismiche. Test dinamici su tavola vibrante [Sherif et al., 1982, Sherif e Fang, 1984 a-b,
Ishibashi e Fang, 1987] hanno mostrato che l’entità del movimento necessario per
sviluppare la spinta attiva in condizioni sismiche è paragonabile a quella in condizioni
statiche, pertanto possono essere impiegati gli stessi valori mostrati in tabella 4.1 ed in
figura 4.1. Per quanto riguarda invece la resistenza passiva ci sono poche prove
74
Capitolo 4 – Dimensionamento di una banchina a cassoni con il metodo degli spostamenti
sperimentali in merito; i risultati disponibili indicano comunque che sono necessari
grandi spostamenti dell’opera per mobilitare tutta la resistenza passiva [Ebeling e
Morrison, 1992].
4.2. SPOSTAMENTI AMMISSIBILI PER UNA BANCHINA A
CASSONI
Nell’analisi di un’opera di sostegno bisogna specificare se il danno subito dall’opera
durante il terremoto è compatibile o meno con il livello di funzionalità che la struttura
deve garantire.
Con riferimento particolare alle banchine a cassoni (figura 4.2), nell’ipotesi in cui il
terreno di fondazione sia adeguatamente rigido (figura 4.2a) le principali modalità di
collasso sono rappresentate dallo scorrimento e dalla rotazione verso il lato
mare[PIANC, 2001]. Se invece il terreno di fondazione è poco addensato o soggetto a
liquefazione, i meccanismi di collasso risultano dovuti soprattutto alle deformazioni del
piano di posa che si traducono in cedimenti, scorrimenti e rotazioni (figura 4.2b).
I parametri utilizzati per quantificare il livello di danno sono gli spostamenti orizzontali,
le rotazioni, i cedimenti assoluti e differenziali subiti dal muro e dal piazzale a tergo
della banchina (figura 4.3). La tabella 4.2 riporta il valore di tali parametri in funzione
del livello di danno subito dal cassone e dal piazzale retrostante dopo il sisma [PIANC,
2001]. Il livello 1 indica che la struttura non ha subito alcun danno o al massimo danni
lievi, pertanto l’opera mantiene la funzionalità per la quale è stata progettata. Il livello 2
è relativo ad un danneggiamento strutturale limitato, che compromette la funzionalità
dell’opera per un piccolo periodo di tempo, durante il quale vanno fatte le adeguate
riparazioni. Il livello 3 indica danni gravi, che causano la perdita della funzionalità
definitiva o per un lungo periodo di tempo. Il livello 4 è connesso al completo collasso
strutturale, che rende l’opera non più fruibile [PIANC, 2001].
Fondaz ione poco adde nsata
Figura 4.2 - Modalità di collasso delle banchina a cassoni: (a) terreno di fondazione
rigido; (b) terreno di fondazione poco addensato [PIANC, 2001]
75
Rotazione
Cedimento differenziale
dietro al cassone
S postamento orizzontale
Cedimento del piazzale
Cedimento
S postamento differenziale
rispetto all'area adiacente
Figura 4.3 - Parametri usati per identificare il livello di danno subito da una banchina a
cassoni [PIANC, 2001]
Tabella 4.2 - Criteri di danno per una banchina a cassoni [PIANC, 2001]
Livello di danno
Banchina
Spostamento residuo
orizzontale normalizzato (d/H)
Livello 1
Livello 2
Livello 3
Livello 4
< 1.5%(*)
1.5 - 5%
5 -10%
>10%
< 3°
3 - 5°
5 - 8°
>8°
< 0.03 - 0.1 m
-
-
-
< 0.3 - 0.7 m
-
-
-
< 2 - 3°
-
-
-
Rotazione residua dal lato mare
Piazzale
tra piazzale ed area adiacente
Rotazione residua dal lato mare
(*)
In alternativa lo spostamento differenziale orizzontale deve essere inferiore a 30 cm
4.3. PROGETTO DI UN’OPERA DI SOSTEGNO CON IL METODO
DEGLI SPOSTAMENTI
Il metodo degli spostamenti richiede la valutazione delle forze agenti sull’opera; tali
forze sono le stesse impiegate per il metodo pseudo-statico (§3.1); con riferimento alla
banchina a cassoni di figura 3.2, esse sono dovute al peso proprio, alla spinta del terreno
e dell’acqua in condizioni sismiche e all’inerzia della struttura.
Il dimensionamento di una struttura con il metodo degli spostamenti presuppone la
scelta dello spostamento ammissibile per l’opera, che “deve essere effettuata e
opportunamente motivata dal progettista” [§7.11.6.2.1 - D.M. 14/01/2008]. Lo
spostamento ammissibile deve comunque essere compatibile con quello necessario a
sviluppare la condizione limite attiva nel terrapieno (tabella 4.1 e figura 4.1) e con la
funzionalità dell’opera dopo l’evento sismico (tabella 4.2).
76
Fissato il valore dello spostamento ammissibile è possibile seguire due procedure di
progetto.
La prima si basa sull’uso degli accelerogrammi (almeno 5 secondo il D.M. 14/01/2008)
e necessita di un calcolo iterativo nel quale si fissa per tentativi la geometria (quindi il
peso del muro) e si esegue poi l’analisi, fino a che lo spostamento calcolato attraverso
una doppia integrazione nel tempo (figura 2.14) è pari a quello ammissibile prefissato.
Gli svantaggi principali di tale approccio sono la valutazione dell’accelerazione limite,
che richiede una procedura iterativa, e il processo di doppia integrazione, che può essere
condotto in pratica solo con l’utilizzo dei calcolatori.
Per analisi preliminari può essere conveniente usare i metodi degli spostamenti
semplificati (§2.5), utilizzando correlazioni empiriche che legano l’accelerazione limite
alim, lo spostamento dell’opera d e parametri del terremoto di progetto, come
l’accelerazione massima amax e la velocità massima vmax. In letteratura esistono diverse
correlazioni di questo tipo, descritte nel § 2.5.
Attraverso tali relazioni si ricava dapprima l’accelerazione limite (alim) che corrisponde
all’inizio dello scorrimento della struttura. Se si utilizza il metodo di Richards e Elms
[1979] l’accelerazione limite si ricava dalla (2.50) ed è pari a:
alim
2
⎛
v max
⎜
= a max ⎜ 0.087
da max
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
0.25
(4.1)
Il metodo di Whitman e Liao [1985] permette di ottenere dalla (2.53):
a lim =
a max
9.4
2
⎡
⎛ v max
⎜
⋅
+
ln
M
F
ln
37
⎢
⎜d a
⎢⎣
⎝ P max
(
)
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠ ⎥⎦
(4.2)
Se invece si considerano le espressioni proposte da Madiai [2009] per il territorio
italiano, dalla (2.54) si ha:
a lim
2
⎛ v max
a max ⎡
⎜
=
⎢ln( A2 a ) + ln⎜
8.5 ⎣⎢
⎝ d P a max
⎞⎤
⎟⎟ ⎥
⎠ ⎦⎥
(4.3)
L’equazione (2.55) invece deve essere risolta numericamente per ottenere alim.
Si può osservare che in tutte le espressioni (4.1) - (4.3) il valore di alim dipende dallo
spostamento adimensionale dPamax/v2max. Si può ottenere lo stesso valore di alim per
diversi valori dello spostamento dP: ad esempio le combinazioni amax = 0.25g, vmax = 0.3
m/s, dP = 2 cm e amax = 0.25g, vmax = 0.474 m/s, dP = 5 cm forniscono lo stesso valore
dello spostamento adimensionale e, poiché amax è la stessa nei due casi, la stessa
accelerazione limite.
77
Noto il valore di alim si considera il coefficiente sismico orizzontale kh,lim = alim/g, che si
utilizza per il calcolo della spinta sismica attiva del terreno PAE. Il coefficiente sismico
verticale viene trascurato (i.e. kv = 0); nell’approccio di Whitman e Liao [1985] il suo
effetto è già considerato attraverso il coefficiente di modello M.
Imponendo la condizione di equilibrio allo scorrimento si ricava il peso e quindi la
larghezza dell’opera. Il metodo originario di Richards e Elms [1979] prevede di
applicare un fattore di sicurezza di 1.5 al valore così ottenuto; Whitman e Liao [1985]
ritengono che tale fattore di sicurezza sia troppo elevato e consigliano un fattore di
sicurezza di 1.1 - 1.2 che garantisce comunque una probabilità di superamento di circa il
5% che lo spostamento reale superi quello ammissibile prefissato. Utilizzando il metodo
di Whitman e Liao [1985] non va invece applicato alcun fattore di sicurezza, già
compreso nel coefficiente di modello M, che ha un valore medio pari a 3.5 (tabella 2.1).
Neanche le espressioni proposte da Madiai [2009] includono esplicitamente dei
coefficienti per tener conto di eventuali fonti di incertezza, pertanto i valori di B ottenuti
utilizzandole correlazioni di Madiai [2009] andrebbero moltiplicati, in base alle
indicazioni di Whitman e Liao [1985], per un coefficiente di sicurezza variabile tra 1.1 e
1.2.
Si ricorda che i metodi degli spostamenti semplificati di Richards e Elms [1979],
Whitman e Liao [1985] e Madiai [2009] sono stati proposti e validati per terrapieni
asciutti, per cui nelle formulazioni originarie la resistenza e l’azione orizzontale non
contengono i termini relativi alle sollecitazioni esercitate dall’acqua; in realtà è invece
ragionevole che lo spostamento dell’opera dipenda anche dall’azione dell’acqua e
bisogna tenerne conto in fase progettuale.
4.4. APPLICAZIONE DEL METODO DEGLI SPOSTAMENTI
SECONDO IL D.M. 14/01/2008 E CONFRONTO CON IL
METODO PSEUDO-STATICO
Il D.M. 14/01/2008 afferma che “a meno di analisi dinamiche avanzate, l’analisi della
sicurezza dei muri di sostegno in condizioni sismiche può essere eseguita mediante i
metodi pseudo-statici e i metodi degli spostamenti” [§7.11.6.2.1 - D.M 14/01/2008],
con riferimento a questi ultimi per quanto riguarda la verifica nei confronti del collasso
per scorrimento. Secondo il D.M. 14/01/2008, come indicato nella Circolare applicativa
[§C7.11.6.2 - Circolare n. 617 02/02/2009], le grandezze coinvolte vanno calcolate con i
78
“valori caratteristici delle azioni statiche e dei parametri di resistenza”, ossia con
fattori di sicurezza parziali unitari (tabelle 3.1 - 3.3).
Con riferimento al sistema di forze agente sulla banchina di figura 3.2 e nell’ipotesi che
la verifica a scorrimento governi il progetto dell’opera, imponendo la condizione Rd =
Ed, essendo Rd ed Ed definite rispettivamente dalle equazioni (3.11) e (3.12), è possibile
ricavare la larghezza minima B del cassone ottenendo una formula simile alla (3.16), in
cui però non compare kv ed il coefficiente γR è pari ad 1:
⎧PAE cos δ d − PAE sin δ d tan δ bd + U st ,t − U st ,m + ⎫
⎨
⎬
+ (1 − ξ )U sh + ξU dyn ,t + U dyn ,m
⎩
⎭
B=
⎧γ c H [tan δ bd − k h ] − 0.5 tan δ bd (γ w ht + γ w hm ) + ⎫
⎨
⎬
⎩− 0.5 tan δ bd ru [γ wet (H − ht ) + γ b ht ](1 − ξ )
⎭
(4.4)
Nell’ipotesi di utilizzare il metodo di Whitman e Liao [1985] con probabilità P di non
superamento pari al 90% (i.e. F = 2.5), è stato effettuato il dimensionamento della
banchina a cassoni, assumendo gli stessi parametri di input riportati nel §3.5 (γc/γw = 2,
γwet/γw = 1.8, γsat/γw = 1.9, φk = 36°, δk = 24°, δbk = 31°, ru = 0, ξ = 0, λ = 0.8). La spinta
sismica attiva del terreno PAE è stata calcolata con un approccio “alla Coulomb”,
valutando il peso di volume γ e l’angolo di inerzia sismico ψ rispettivamente con le
espressioni (2.28) e (2.32). La spinta dinamica dell’acqua Udyn,m è stata calcolata
impiegando il coefficiente sismico khw = amax/g, in accordo con quanto previsto
dall’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004] per il metodo pseudo-statico; Ebeling e Morrison
[1992] utilizzano per la spinta idrodinamica lo stesso coefficiente sismico orizzontale
del terreno (kh,lim = alim/g), ma in mancanza di studi che supportano tale assunzione è
sembrato ragionevole ed a favore di sicurezza seguire le indicazioni dell’Eurocodice 8,
considerando inoltre che i metodi degli spostamenti sono stati validati per terreni
asciutti e non tengono conto dell’effetto dell’acqua.
La figura 4.4 mostra le curve B/H in funzione dello spostamento ammissibile
normalizzato dn = dPamax/v2max. Dal momento che l’accelerazione limite (alim) è funzione
dell’accelerazione massima attesa (amax), gli andamenti di B/H dipendono, a parità di dn,
anche da amax. Si osserva che per un fissato valore di amax, all’aumentare di dn
diminuisce la larghezza adimensionale B/H necessaria per soddisfare lo scorrimento
della banchina; come atteso, a parità di dn il rapporto B/H aumenta se la severità del
terremoto (i.e. amax) è crescente. Se amax < 0.2g le variazioni di B/H risultano contenute
ed i valori sono inferiori all’unità. Se invece amax > 0.2g la pendenza delle curve è molto
accentuata, tanto più quanto maggiore è amax; inoltre il rapporto B/H è
79
significativamente maggiore di uno ed l’opera è poco conveniente dal punto di vista
economico. Gli andamenti B/H diventano pressoché costanti ed inferiori ad uno se
dPamax/vmax > 100.
5.0
a max = 0.3g
a max = 0.4g
φ k = 36°; δ k = 24°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
γ c /γ w = 2; γ wet /γ w = 1.8; γ sat /γ w = 1.9
a max = 0.5g
4.0
B /H
3.0
2.0
1.0
a max = 0.2g
a max = 0.1g
0.0
1.E-02
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
2
1.E+01
1.E+02
max
Figura 4.4 - Influenza dello spostamento ammissibile normalizzato e dell’accelerazione
massima attesa sulla larghezza normalizzata della banchina
Per eseguire il progetto di una struttura secondo le indicazioni del D.M. 14/01/2008,
bisogna precisare innanzitutto i requisiti prestazionali (sicurezza nei confronti degli Stati
Limite Ultimi e di Esercizio) che l’opera stessa deve soddisfare e ricavare, sulla loro
base, i parametri rappresentativi del terremoto di progetto (amax e vmax) che andranno
utilizzati per l’applicazione del metodo degli spostamenti. L’input sismico richiesto si
determina, come descritto nel precedente §3.4, a partire dalle coordinate geografiche
del sito di riferimento e dal tempo di ritorno dell’azione sismica.
Se si ipotizza di collocare l’opera nel porto di Ancona, l’input sismico richiesto dal
D.M. 14/01/2008 per lo Stato Limite Ultimo di salvaguardia della vita [tabella 3.2.I D.M. 14/01/2008] è rappresentato da:
ag = 0.205g = accelerazione attesa su suolo rigido;
F0 = 2.475 = valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro elastico di
risposta in accelerazione orizzontale;
TC* = 0.302 s = periodo di inizio del tratto a velocità costante dello stesso spettro in
accelerazione orizzontale.
Tali parametri, considerando una categoria di sottosuolo C, permettono di determinare
(tabella 3.5):
SS = 1.40 = fattore di amplificazione stratigrafica;
CC = 1.56 coefficiente numerico dipendente dalla categoria di sottosuolo (tabella 3.5).
80
In assenza di analisi di risposta sismica locale, l’accelerazione massima amax si calcola,
come nel metodo pseudo-statico, con l’espressione (3.19).
Per quanto riguarda il calcolo della velocità massima vmax, il D.M. 14/01/2008 fornisce
la seguente formula semplificata [§3.2.3.3 - D.M. 14/01/2008]:
v max = 0.16 a max TC* C C
(4.5)
Pertanto i valori di amax e vmax rappresentativi del sisma di progetto sono: amax = 0.287g
(= 2.81 m/s2) e vmax = 0.212 m/s; con questi valori, avendo fissato lo spostamento
ammissibile dP, è possibile dimensionare la banchina utilizzando il metodo degli
spostamenti.
Dal momento che il D.M. 14/01/2008 ammette come strumenti di verifica sia il metodo
degli spostamenti che il metodo pseudo-statico, è utile paragonare i risultati ottenuti con
entrambi gli approcci. La tabella 4.3 mostra i parametri usati nel metodo pseudo-statico
e nel metodo degli spostamenti.
In figura 4.5(a) è riportata la larghezza normalizzata minima del cassone B/H ottenuta al
variare dello spostamento ammissibile normalizzato (dn = dPamax/v2max) secondo il
metodo degli spostamenti di Whitman e Liao [1985] per un livello di confidenza del
90% (curva nera). Tale approccio è stato confrontato con il metodo di Madiai [2009],
rappresentato dalle curve grigie, per lo stesso livello di confidenza (A2a = 95 e A2b =
7.15). Nell’applicazione del metodo di Madiai [2009] il valore di B ottenuto è stato
moltiplicato per un coefficiente di sicurezza pari ad 1.1. La linea tratteggiata orizzontale
rappresenta il metodo pseudo-statico (calcolato in accordo con il DA1 del D.M.
14/01/2008), che è ovviamente indipendente dallo spostamento ammissibile.
Ai fini progettuali può essere utile confrontare, in funzione dello spostamento
ammissibile normalizzato, i valori della larghezza ottenuta con i metodi degli
spostamenti (Bspost) con quella ottenuta tramite l’approccio pseudo-statico (Bpse),
riportando, in figura 4.5(b), i risultati in termini di rapporto tra queste due grandezze
(Bspost/Bpse). Si nota che all’aumentare di dPamax/ v2max il rapporto Bspost/Bpse diminuisce e
diventa pressoché costante per valori dello spostamento ammissibile normalizzato
maggiori di 100.
Si può definire lo spostamento ammissibile dP per il quale entrambi i metodi forniscono
la stessa larghezza come spostamento ammissibile di transizione (dtrans); per valori di dP
> dtrans il dimensionamento con il metodo pseudo-statico diventa più oneroso di quello
effettuato con il metodo degli spostamenti, e viceversa. Nell’esempio di figura 4.2(b) si
81
trova
che
lo
spostamento
ammissibile
di
transizione
normalizzato
dn,trans
(=dtransamax/v2max) è inferiore, sia con l’approccio di Whitman e Liao sia con l’approccio
di Madiai, a 1.25 (valore corrispondente a dtrans ≈ 2 cm se si considera amax = 0.287g e
vmax = 0.212 m/s).
Tabella 4.3 - Confronto tra i parametri di progetto dell’opera di sostegno con il metodo
pseudo-statico e con il metodo degli spostamenti
PARAMETRO
kh
spinta del terreno
spinta idrodinamica
kv
γR
tanδd
tanδbd
tanφd
METODO
PSEUDO-STATICO
βmamax/g
amax/g
kh/2
1 [DA1]
1.1 [DA2]
tanδk/1.25 [DA1]
tanδk [DA2]
tanδbk/1.25 [DA1]
tan δbk [DA2]
tanφk/1.25 [DA1]
tan φk [DA2]
METODO
DEGLI SPOSTAMENTI
alim/g
amax/g
0
1.5
1
tanδk
tanδbk
tanφk
Whitman e Liao
Madiai eq. (2.54)
Madiai eq. (2.55)
Pseudo-statico
B /H
1.0
0.5
a max = 0.287g
φ k = 36°; δ k = 24°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
(a)
0.0
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
2
1.E+01
1.E+02
max
2.0
Whitman e Liao
Madiai eq. (2.54)
Madiai eq. (2.55)
Bspost /Bpse
1.5
1.0
0.5
a max = 0.287g
φ k = 36°; δ k = 24°; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
0.0
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
(b)
2
1.E+01
1.E+02
max
Figura 4.5 - Influenza dello spostamento ammissibile normalizzato (a) sulla larghezza
normalizzata della banchina; (b) sul rapporto tra la larghezza ottenuta con il metodo
degli spostamenti e quella ottenuta con il metodo pseudo-statico
82
Nel seguito della trattazione, poiché il metodo di Whitman e Liao [1985] è stato
sviluppato appositamente per opere di sostegno, si farà riferimento soltanto ad esso
fissando gli spostamenti ammissibili dP per l’opera pari a 2 cm, 5 cm e 10 cm; tali valori
corrispondono rispettivamente ad uno spostamento normalizzato dn = dPamax/v2max di
1.25, 3.13 e 6.26.
4.5. EFFETTO DEL RAPPORTO DI SOMMERSIONE
In figura 4.6 viene mostrato l’effetto del rapporto di sommersione λ variabile tra 0.6
(curve grigie) ed 1 (curve nere) sulla larghezza normalizzata della banchina B/H in
funzione di dn per valori di amax pari a 0.1g, 0.2g e 0.3g. Le curve tratteggiate
rappresentano il caso base in cui λ = 0.8. A parità di dn ed amax, si osserva che
all’aumentare del livello di sommersione aumenta il rapporto B/H necessario per
soddisfare la verifica allo scorrimento dell’opera: ciò è dovuto all’incremento della
spinta idrodinamica Udyn,m e della sottospinta alla base Ub. In generale perciò la
condizione più gravosa per l’opera si ha in condizioni di riempimento completamente
sommerso (λ = 1). La differenza tra due curve relative a diverso λ e stesso amax (indicata
con barre verticali) è più accentuata per bassi spostamenti normalizzati dPamax/vmax.
La figura 4.7(a) riporta, in funzione di λ, la larghezza normalizzata B/H calcolata nel
caso particolare in cui amax = 0.287g utilizzando il metodo pseudo-statico (curva grigia)
ed il metodo di Whitman e Liao per dn = 1.25, 3.13, 6.26 (curve nere). I risultati di
figura 4.7(a) sono riproposti in figura 4.7(b) in termini di rapporto tra le larghezze
ottenute con i due metodi. Si osserva che Bspost/Bpse aumenta in modo più marcato per
bassi spostamenti ammissibili.
Lo spostamento ammissibile di transizione aumenta con il livello di sommersione
(figura 4.8): nel caso di terrapieno completamente sommerso (λ = 1) si ha che dn,trans =
1.37 (dtrans = 2 cm).
83
5
φ k = 36°; δ k = 24°; δ bk = 31°
ξ = 0; r u = 0; γ c /γ w = 2
γ wet /γ w = 1.8; γ sat /γ w = 1.9
a max = 0.5g
a max = 0.3g
4
λ = 0.6
λ = 0.8
λ =1
B /H
3
2
1
a max = 0.1g
0
1.E-02
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
2
1.E+01
1.E+02
max
Figura 4.6 - Influenza del rapporto di sommersione λ sulla larghezza normalizzata della
banchina B/H al variare dello spostamento adimensionale dPamax/vmax per fissati valori
dell’accelerazione massima amax
1.4
Metodo pseudo-statico
1.2
d n =1.25
d n =3.13
B /H
1.0
0.8
d n =6.26
0.6
0.4
a max = 0.287g; φ k = 36°; δ k = 24°
δ bk = 31°; ξ = 0; r u = 0
0.2
0.0
0.6
0.7
0.8
λ
(a)
0.9
1
1.2
d n =1.25
Bspost /Bpse
1.0
d n =3.13
0.8
d n =6.26
0.6
0.4
0.2
a max = 0.287g; φ k = 36°; δ k = 24°
δ bk = 31°; ξ = 0; r u = 0
(b)
0.0
0.6
0.7
0.8
λ
0.9
1
Figura 4.7 - Effetto del livello d’acqua del riempimento: (a) sulla larghezza
normalizzata della banchina; (b) sul rapporto tra la larghezza ottenuta con il metodo
degli spostamenti e quella ottenuta con il metodo pseudo-statico
84
1.E+03
dn,trans
a max = 0.287g; φ k = 36°
δ k = 24°; δ bk = 31°; ξ = 0; r u = 0
1.E+02
1.E+01
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
λ
Figura 4.8 - Spostamento ammissibile di transizione normalizzato in funzione del livello
di sommersione
4.6. EFFETTO DELL’ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO
DEL TERRENO E DELL’ANGOLO DI ATTRITO TERRENO STRUTTURA
La figura 4.9 mostra gli effetti dell’angolo di resistenza al taglio del terrapieno φk e
dell’angolo di attrito tra riempimento e struttura δk sui valori di B/H in funzione dello
spostamento adimensionale dn per valori di amax pari a 0.1g, 0.2g e 0.3g. Gli intervalli
scelti di φk e δk sono rispettivamente φk = 30° - 40° e δk = 1/2φk - 2/3φk, mentre gli altri
parametri sono mantenuti costanti. Le curve nere continue rappresentano i valori di B/H
ottenuti con la coppia dei valori φk = 30° e δk = 15°, mentre le curve grigie sono relative
alla coppia φk = 40° e δk = 26.7°. All’aumentare di φk e δk diminuisce ovviamente la
larghezza normalizzata necessaria a garantire la stabilità della banchina. La variazione
di B/H con φk e δk è ridotta se paragonata al caso in cui a cambiare è il rapporto di
sommersione del terrapieno a tergo dell’opera (figura 4.3).
Le figure 4.10(a) e 4.10(b) mostrano l’effetto combinato dell’angolo di resistenza al
taglio del terrapieno φk e dell’angolo di attrito tra riempimento e struttura δk in termini
di rapporto δk/φk nel caso particolare della banchina collocata nel porto di Ancona. La
larghezza normalizzata B/H rappresentata in figura 4.10(a) è stata ricavata facendo
variare δk nell’intervallo 1/2 - 2/3φk per i valori φk = 30° e φk = 40°. All’aumentare
dell’angolo φk la larghezza normalizzata B/H diminuisce con entrambi gli approcci a
causa della riduzione della spinta sismica del terreno PAE; a parità di angolo φk l’effetto
di δk è trascurabile, indipendentemente dallo spostamento ammissibile normalizzato. Se
si riportano gli stessi risultati di figura 4.10(a) in termini di rapporto Bspost/Bpse si
85
osserva, in figura 4.10(b), che nell’intervallo indagato tale rapporto è funzione soltanto
di dn ed è praticamente indipendente sia da φk che da δk.
5
4
δ bk = 31°; λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
a max = 0.3g
a max = 0.5g
φ k = 30°; δ k = 1/2φ k
φ k = 36°; δ k = 24°
φ k = 40°; δ k = 2/3φ
B /H
3
2
1
a max = 0.1g
0
1.E-02
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
2
1.E+01
1.E+02
max
Figura 4.9 - Influenza dell’angolo di resistenza al taglio φk del terreno di riempimento e
dell’angolo di attrito δk tra riempimento e muro sulla larghezza normalizzata della
banchina B/H al variare dello spostamento adimensionale dPamax/vmax per fissati valori
dell’accelerazione massima amax
B /H
1.2
pseudo-statico
Whitman & Liao
(a)
1.0
d n =1.25
0.8
d n =3.13
d n =6.26
0.6
d n =1.25
0.4 a
max = 0.287g; δ bk = 31°;
λ
= 0.8; ξ = 0; r u = 0
0.2
0.0
0.45
0.50
0.55
0.60
δ k /φ k
1.2
Bspost /Bpse
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
φ k = 30°
φ k = 40°
d n =3.13
d n =6.26
0.65
0.70
(b)
d n =1.25
d n =3.13
d n =6.26
a max = 0.287g; δ bk = 31°
λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
0.0
0.45
0.50
0.55
δ k /φ k
0.60
φ k = 30°
φ k = 40°
0.65
0.70
Figura 4.10 - Effetto dell’angolo di resistenza al taglio del terreno di riempimento φk e
dell’angolo di attrito tra riempimento e muro δk: (a) sulla larghezza normalizzata della
banchina; (b) sul rapporto tra la larghezza ottenuta con il metodo degli spostamenti e
quella ottenuta con il metodo pseudo-statico
86
4.7. EFFETTO DELL’ANGOLO DI ATTRITO ALLA BASE
La figura 4.11 mostra i valori B/H calcolati con il metodo di Whitman e Liao [1985] al
variare dell’angolo di attrito alla base struttura-terreno δbk tra 26° (curve nere) e 35°
(curve grigie) per valori di amax = 0.1g, 0.2g e 0.3g. A parità del resto, l’aumento di δbk
comporta dimensionamenti del cassone significativamente meno onerosi se paragonati
al caso base (curve tratteggiate), e viceversa.
Come testimoniato dalla figura 4.12(a), il marcato andamento decrescente di B/H
all’aumentare di tanδbk dimostra che tale parametro ha notevole rilevanza sul
dimensionamento della struttura e pertanto deve essere scelto molto attentamente
quando il progetto dell’opera è governato dallo scorrimento. La figura 4.12(b) mostra
che il rapporto tra le larghezze ricavate con i due diversi approcci Bspost/Bpse tende a
ridursi all’aumentare di δbk, specialmente per bassi valori dello spostamento ammissibile
normalizzato.
In figura 4.13 è rappresentata la relazione tra lo spostamento ammissibile di transizione
normalizzato dn,trans e l’angolo di attrito δbk per i valori estremi dell’intervallo indagato
di φk e δk (φk = 30°, δk = 15° e φk = 40°, δk = 26.7°). È evidente che lo spostamento
ammissibile di transizione normalizzato si riduce sensibilmente all’aumentare di δbk ma
è poco influenzato dall’angolo di resistenza al taglio del riempimento φk e dall’angolo di
attrito riempimento-struttura δk.
5.0
a max = 0.5g
a max = 0.3g
4.0
φ k = 36°; δ k = 24°; ξ = 0
r u = 0; γ c /γ w = 2
γ wet /γ w = 1.8; γ sat /γ w = 1.9
δ bk = 26°
δ bk = 31°
3.0
B /H
δ bk = 35°
2.0
1.0
a max = 0.1g
0.0
1.E-02
1.E-01
1.E+00
d P a max /v
2
1.E+01
1.E+02
max
Figura 4.11 - Influenza dell’angolo di attrito alla base δbk sulla larghezza normalizzata
della banchina B/H al variare dello spostamento adimensionale dPamax/vmax per fissati
valori dell’accelerazione massima amax
87
1.2
1.0
Metodo pseudo-statico
B /H
0.8
0.6
0.4
0.2
a max = 0.287g; φ k = 36°; δ k = 24°
λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
0.0
0.45
0.50
0.55
0.60
tanδ bk
0.65
d n =1.25
d n =3.13
d n =6.26
(a)
0.70
0.75
1.2
Bspost /Bpse
1.0
d n =1.25
0.8
d n =3.13
d n =6.26
0.6
0.4
a max = 0.287g; φ k = 36°; δ k = 24°
0.2 λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
0.0
0.45
0.50
0.55
0.60
tanδ bk
0.65
(b)
0.70
0.75
Figura 4.12 - Effetto dell’angolo di attrito alla base della banchina δbk: (a) sulla
larghezza normalizzata della banchina; (b) sul rapporto tra la larghezza ottenuta con il
metodo degli spostamenti e quella ottenuta con il metodo pseudo-statico
dn,trans
1E+03
a max = 0.287g; λ = 0.8; ξ = 0; r u = 0
φ k = 30°, δ k =15°
1E+02
φ k = 40°, δ k = 26.7°
1E+01
0.45
0.50
0.55
0.60
tanδ bk
0.65
0.70
0.75
Figura 4.13 - Effetto dell’angolo di attrito alla base della banchina sul valore dello
spostamento di transizione normalizzato
88
CAPITOLO 5
ESTENSIONE DEL METODO
PSEUDO-DINAMICO
AI TERRENI SOMMERSI
Fin dalla fine degli anni ’20 l’analisi sismica dei muri di sostegno si è basata sul metodo
pseudo-statico di Mononobe-Okabe [Okabe, 1924, Mononobe e Matsuo, 1929] che
rappresenta un’estensione della teoria dell’equilibrio limite di Coulomb [1776].
L’analisi di Mononobe-Okabe è stata sviluppata per terreni asciutti ma successivamente
è stato proposto un approccio per terreni sommersi che tiene conto della permeabilità
del terrapieno a tergo del muro [Matsuzawa et al., 1985, Ebeling e Morrison, 1992,
PIANC, 2001]. Nel metodo pseudo-statico la natura dinamica del sisma è considerata in
modo approssimato trascurando l’effetto del tempo.
Steedman e Zeng [1990] hanno proposto un’analisi pseudo-dinamica per calcolare la
spinta sismica attiva del terreno considerando la differenza di fase e gli effetti di
amplificazione del moto sismico che si verificano in un terrapieno asciutto alle spalle di
un muro soggetto ad una accelerazione orizzontale variabile con la profondità.
Choudhury e Nimbalkar [2006] hanno esteso l’approccio di Steedman e Zeng
includendo anche l’accelerazione verticale, mostrando l’effetto di alcuni parametri sulla
distribuzione della pressione sismica attiva come l’angolo di resistenza al taglio e
l’angolo di attrito muro-terreno. Le espressioni proposte da Choudhury e Nimbalkar
[2006] sono strettamente valide per terreni asciutti ma sono state usate impropriamente
anche per terrapieni parzialmente o completamente sommersi [Choudhury e Ahmad,
2008, Ahmad e Choudhury, 2009].
In questo capitolo viene proposta un’analisi pseudo-dinamica per riempimenti
completamente sommersi basata sul metodo di Steedman e Zeng [1990].
5.1. ACCELERAZIONE DEL TERRENO
Assumendo che la resistenza al taglio del terreno G e l’ampiezza dell’accelerazione
orizzontale ah siano costanti con la profondità z, nell’ipotesi di moto armonico
sinusoidale applicato alla base del muro, Steedman e Zeng [1990] hanno proposto
l’espressione (2.56) che fornisce l’accelerazione orizzontale alla profondità z ed al
tempo t in un terrapieno alle spalle di un muro di altezza H. Choudhury e Nimbalkar
[2006] hanno esteso tale approccio considerando anche l’accelerazione verticale (2.57).
Le equazioni che descrivono il moto armonico che si propaga verticalmente (Appendice
A) attraverso il riempimento sono:
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎟⎟⎥ = kh ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t −
⎟⎥
ah ( z ,t ) = ah ,b sin ⎢ω ⎜⎜ t −
VSs ⎠⎦
VSs ⎟⎠⎦
⎣ ⎝
⎣ ⎝
(5.1)
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
⎟⎟⎥ = kv ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t −
⎟⎥
av ( z ,t ) = av ,b sin ⎢ω ⎜⎜ t −
VPs ⎠⎦
VPs ⎟⎠⎦
⎣ ⎝
⎣ ⎝
(5.2)
in cui:
ah,b e av,b sono rispettivamente l’ampiezza dell’accelerazione orizzontale e verticale alla
base del muro;
kh,b (= ah,b/g) è il coefficiente sismico orizzontale;
kv,b (= av,b/g) è il coefficiente sismico verticale;
g (= 9.81 m/s2) è l’accelerazione di gravità;
ω (= 2π/T) è la frequenza angolare del moto (T è il periodo di vibrazione);
VSs è la velocità di propagazione delle onde di taglio (onde S) nel terreno;
VPs è la velocità di propagazione delle onde di compressione (onde P) nel terreno.
Nell’ipotesi in cui le onde sismiche si propaghino verticalmente nel terrapieno, il moto
orizzontale del terreno è generato dalle onde S, mentre il moto verticale è dovuto alle
onde P (Appendice A).
5.1.1. VELOCITÀ DELLE ONDE P
La velocità delle onde P e delle onde S che si propagano in un mezzo infinitamente
esteso, isotropo e linearmente elastico sono espresse dalle equazioni (A.24) e (A.27), di
seguito riportate:
VP =
G (2 − 2ν )
ρ (1 − 2ν )
(5.3)
90
Capitolo 5 – Estensione del metodo pseudo-dinamico ai terreni sommersi
VS =
G
(5.4)
ρ
essendo ρ e ν rispettivamente la densità ed il coefficiente di Poisson del materiale
attraversato.
Il rapporto tra le due velocità è:
2 − 2ν
VP
=
VS
1 − 2ν
(5.5)
Con riferimento ai terreni, in virtù dei valori di ν, si può osservare dalla (5.5) che la
velocità delle onde P (VPs) è sempre maggiore della velocità delle onde S (VSs); inoltre il
loro rapporto dipende solo dal coefficiente di Poisson ed è sempre maggiore dell’unità
(in particolare varia tra
2 e ∞).
La velocità delle onde S è scarsamente influenzata dal grado di saturazione del terreno
(non potendo l’acqua sostenere sforzi di taglio) e dipende principalmente dalla rigidezza
del terreno (cioè modulo di taglio G). Ad esempio, in sabbie grossolane pulite (dove gli
effetti della capillarità sono trascurabili) il grado di saturazione influenza il valore di VSs
solo nel termine di densità ρ, mentre in terreni con un più elevato contenuto di fine le
tensioni interparticellari dovute alla capillarità contribuiscono ad aumentare la rigidezza
del terreno (attraverso il modulo G) e quindi il valore di VSs [Facciorusso, 2005].
La velocità delle onde P è invece fortemente influenzata dal grado di saturazione del
terreno. In particolare (figura 5.1):
•
per un grado di saturazione pari al 100%, la velocità delle onde P (VPs) è controllata
dal mezzo liquido (che si può considerare incompressibile) e si ha che VPs è circa uguale
a 1500 m/s;
•
per valori del grado di saturazione compresi tra il 99% ed il 100%, VPs varia
sensibilmente col grado di saturazione;
•
per valori del grado di saturazione inferiori al 99%, la velocità delle onde P è
controllata dalla rigidezza dello scheletro solido nello stesso modo delle onde S.
91
VPs m/s
1500
V P nell'acqua
1200
900
range al variare
dell'indice dei vuoti
600
300
99.4
99.6
99.8
grado di saturazione %
Figura 5.1 – Influenza del grado di saturazione sulla velocità di propagazione delle onde
P nel terreno [Facciorusso, 2005]
Alla luce di quanto detto, si possono fare alcune considerazioni.
•
Nel caso di terreno asciutto e coefficiente di Poisson pari a 0.3 si ottiene, dalla (5.5)
che VPs = 1.87VSs, indicazione che è in accordo con quanto assunto da Choudhury e
Nimbalkar [2006].
•
In un terreno sommerso la velocità delle onde P è significativamente maggiore di
quella che si ha nei terreni asciutti e coincide, in pratica, con la velocità delle onde di
compressione nell’acqua, cioè circa 1500 m/s [Kramer, 1996].
•
Dal momento che la velocità delle onde S si può considerare la stessa nei due casi,
in un terreno sommerso il rapporto VPs/VSs può essere anche molto maggiore di 1.87:
questo aspetto è stato erroneamente trascurato in alcuni studi pseudo-dinamici
riguardanti opere di sostegno di terrapieni parzialmente o completamente sommersi
[Choudhury e Ahmad, 2008, Ahmad e Choudhury, 2009]. Ad esempio nel caso di
terreno sommerso con VSs = 100 m/s si ha che VPs/VSs ≈ 15 >> 1.87.
Valori elevati di VPs limitano gli effetti della differenza di fase del moto causata
dall’accelerazione verticale che si propaga nel riempimento alle spalle del muro. La
figura 5.2 mostra un confronto tra l’accelerazione verticale alla base del muro (z = H) e
a metà altezza (z = H/2) calcolata con la (5.2) per valori di VPs pari a 187 m/s e 1500
m/s. Si può osservare che quando VPs = 1500 m/s il picco di accelerazione è
praticamente raggiunto allo stesso istante in tutta la profondità.
92
accelerazione verticale av (g )
0.12
z = H /2
V Ps = 1500 m/s
z = H /2
V Ps = 187 m/s
0.00
z =H
-0.12
H = 10 m
k v,b = 0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t /T
Figura 5.2 – Effetto della velocità delle onde P sulla differenza di fase
dell’accelerazione verticale
5.2. FORZE D’INERZIA DEL TERRENO
Considerando un cuneo completamente sommerso con superficie di rottura piana ed
inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo α (figura 5.3), la massa di una striscia di
terreno alla profondità z è:
m( z ) =
γ * (H − z )
dz
g tan α
(5.6)
L’equazione (5.6) è simile alla (2.58), ma il peso di volume del terreno γ* sarà definito
meglio nel seguito della trattazione.
Figura 5.3 – Schema di un cuneo di terreno completamente sommerso
93
La forza di inerzia orizzontale del cuneo, Qh, assunta positiva se diretta verso il muro,
può essere calcolata integrando lungo l’altezza H il prodotto tra la massa m(z)
dell’elemento di terreno e la sua accelerazione orizzontale ah(z,t), espressa dalla (5.1):
Qh (t ,α ) =
z=H
∫ ah (z ,t )m(z ) =
z =0
⎡ ⎛ H − z ⎞ ⎤ γ * (H − z )
a
sin
∫ h ,b ⎢ω ⎜⎜⎝ t − VSs ⎟⎟⎠⎥ g tan α dz
z =0
⎣
⎦
z=H
(5.7)
La soluzione dell’integrale (5.7) fornisce:
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟⎟ +
−
⎪2π cos⎜⎜
TV Ss k h ,b γ H ⎪
⎝ T TV Ss ⎠
Q h (t ,α ) =
⎨
⎜
⎪+ H ⎢ sin⎜ T − TV
Ss
⎣⎢ ⎝
⎩
*
2
⎫
⎪
⎪
⎬
⎞
2πt ⎞⎤ ⎪
⎛
⎟⎟ − sin⎜
⎟⎥
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪⎭
⎠
(5.8)
che coincide, ad eccezione del termine γ*, con la (2.60) prevista dal metodo di Steedman
e Zeng [1990].
Considerando la formula (5.2) dell’accelerazione verticale av(z,t), è possibile ricavare
analogamente la forza d’inerzia verticale del cuneo, Qv, positiva se diretta verso l’alto:
Qv (t ,α ) =
z=H
∫ av (z ,t )m(z ) =
z =0
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤ γ * (H − z )
a
sin
∫ v ,b ⎢ω⎜⎜⎝ t − VPs ⎟⎟⎠⎥ g tan α dz
z =0
⎣
⎦
z=H
(5.9)
cioè:
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟⎟ +
2π cos⎜⎜
−
⎪
*
2
TV Ps k v ,b γ H ⎪
⎝ T TV Ps ⎠
Qv (t ,α ) =
⎨
H 4π 2 tan α ⎪ TV Ps ⎡ ⎛ 2πt 2πH
⎜
⎪+ H ⎢ sin⎜ T − TV
⎢
Ps
⎝
⎣
⎩
⎫
⎪
⎪
⎬
⎞
2πt ⎞⎤ ⎪
⎛
⎟⎟ − sin⎜
⎟⎥
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪⎭
⎠
(5.10)
Per terreni al di sopra del livello di falda, γ* è il peso di volume asciutto (γd) o umido
(γwet) del riempimento e pertanto le equazioni (5.8) e (5.10) coincidono con quelle
proposte da Choudhury e Nimbalkar [2006].
Come illustrato nel §2.4.2.1, per terreni sommersi il valore di Qh dipende dalla
permeabilità del riempimento e possono essere individuate le due condizioni limite di
acqua libera o acqua vincolata [Matsuzawa et al. 1985].
Per terreni altamente permeabili si assume che durante il sisma soltanto lo scheletro
solido del terreno sia soggetto all’accelerazione orizzontale (condizione di acqua
libera): perciò Qh è proporzionale al peso asciutto del cuneo di terreno, Wd, e γ*
nell’espressione (5.8) è il peso di volume asciutto del terreno, γd:
94
⎧
⎫
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟⎟ +
2π cos⎜⎜
−
⎪
⎪
2
TV Ss ⎠
TV Ss k h ,b γ d H ⎪
⎝ T
⎪
Qh ,lib (t ,α ) =
⎨
⎬
H 4π 2 tan α ⎪ TV Ss ⎡ ⎛ 2πt 2πH ⎞
⎤
⎛ 2πt ⎞ ⎪
⎟
⎜
⎪+ H ⎢ sin⎜ T − TV ⎟ − sin⎜⎝ T ⎟⎠⎥ ⎪
⎢⎣ ⎝
⎥⎦ ⎭
Ss ⎠
⎩
(5.11)
Qh,lib è la forza di inerzia orizzontale del cuneo di terreno in condizioni di acqua libera.
Se si considera il riempimento infinitamente rigido, cioè VSs tendente all’infinito, il
valore limite della forza di inerzia è:
lim (Qh ,lib )max = k h ,b
VSs →∞
γdH2
= k h ,bWd
2 tan α
(5.12)
Si ricorda che in condizione di acqua libera occorre aggiungere la forza idrodinamica
alla spinta sismica attiva del riempimento ed alla spinta statica dell’acqua [Matsuzawa
et al., 1985; Ebeling e Morrison, 1992; PIANC, 2001].
Per terreni a bassa permeabilità si assume che durante il sisma l’acqua sia vincolata allo
scheletro solido durante il sisma, pertanto Qh è proporzionale al peso totale del cuneo,
Wsat, e γ* nell’espressione (5.6) è il peso di volume saturo del terreno, γsat. La forza di
inerzia orizzontale del cuneo di terreno in condizioni di acqua vincolata è indicata con
Qh,vinc:
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟⎟ +
−
⎪2π cos⎜⎜
TV Ss k h ,b γ sat H ⎪
⎝ T TV Ss ⎠
Qh ,vinc (t ,α ) =
⎨
⎜
⎪+ H ⎢ sin⎜ T − TV
Ss
⎣⎢ ⎝
⎩
2
⎫
⎪
⎪
⎬
⎤
⎞
2πt ⎞ ⎪
⎛
⎟⎟ − sin⎜
⎟⎥
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪⎭
⎠
(5.13)
Anche in questo caso si ha che:
lim (Qh ,vinc )max = k h ,b
VSs →∞
γ sat H 2
= k h ,bWsat
2 tan α
(5.14)
Nel caso di acqua vincolata la spinta idrodinamica non deve essere considerata
[Matsuzawa et al., 1985; Ebeling e Morrison, 1992; PIANC, 2001].
La forza di inerzia verticale (Qv) nel caso di riempimenti completamente sotto falda
dipende soltanto dal peso di volume sommerso del terreno γsub (= γsat - γw),
indipendentemente dalla permeabilità; perciò sia in condizioni di acqua libera che in
condizioni di acqua vincolata vale:
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎟+
−
⎪2π cos⎜⎜
TV Ps ⎟⎠
TV Ps k v ,b γ sub H ⎪
⎝ T
Qv (t ,α ) =
⎨
H 4π 2 tan α ⎪ TV Ps ⎡ ⎛ 2πt 2πH
⎜
⎪+ H ⎢⎢ sin⎜ T − TV
Ps
⎣ ⎝
⎩
2
95
⎫
⎪
⎪
⎬
⎞
2πt ⎞⎤ ⎪
⎛
⎟⎟ − sin⎜
⎟⎥
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪⎭
⎠
(5.15)
Nell’ipotesi di terreno infinitamente rigido:
lim (Qv )max
VPs →∞
γ sub H 2
= kv ,b
= kv ,bWsub
2 tan α
(5.16)
Esaminando le espressioni di Qh,vinc, Qh,lib e Qv si può notare che le forze di inerzia
orizzontale e verticale dipendono dai parametri adimensionali H/TVSs e H/TVPs, oltre
che dalla permeabilità del terreno (espressa da γ*), dalla dimensione del cuneo (α) e dal
coefficiente sismico (kh,b o kv,b). Come mostrato in figura 5.4, esse cambiano il loro
verso durante il ciclo di oscillazione, i.e. per 0 ≤ t/T ≤ 1. È inoltre evidente che Qh e Qv
non raggiungono il valore di picco allo stesso istante.
forza d'inerzia (kN/m)
300
200
Q h,vinc
Q v (k v,b > 0)
100
Q v (k v,b < 0)
Q h,lib
0
-100
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
γ sat / γ w = 1.9; γ d / γ w = 1.6; α = 30°
-200
-300
0.0
0.2
0.4
t /T
0.6
0.8
1.0
Figura 5.4 – Esempio di variazione di Qh e Qv durante un ciclo di oscillazione
5.3. SPINTA SISMICA ATTIVA E COEFFICIENTE DI SPINTA
Nel corso di un evento sismico possono svilupparsi delle sovrappressioni interstiziali. I
metodi pseudo-dinamici tengono conto (seppure in maniera semplificata) della natura
dinamica del sisma, pertanto una analisi appropriata dovrebbe considerare le
sovrappressioni variabili, oltre che con la profondità, anche con il tempo. Considerare
un valore costante di ru è invece un’assunzione molto approssimativa [Choudhury e
Ahmad, 2008, Ahmad e Choudhury, 2009]. In accordo con Matsuzawa et al. [1985],
PIANC [2001] e l’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004], in questa trattazione viene
trascurato lo sviluppo di sovrappressioni interstiziali.
Con riferimento alla figura 5.3, le equazioni di equilibrio limite orizzontale e verticale a
traslazione del cuneo di terreno, completamente sommerso e privo di coesione, si
scrivono:
PAE cos δ − R sin(α − φ ) + U h − U α sin α − Qh = 0
(5.17)
W − PAE sin δ − R cos(α − φ ) − U α cos α − Qv = 0
(5.18)
96
dove:
PAE è la spinta risultante del terreno sul muro;
Uh è la spinta risultante dell’acqua sul muro;
Uα è la spinta risultante dell’acqua sulla superficie di rottura;
R è la forza risultante del terreno sulla superficie di rottura;
φ è l’angolo di resistenza al taglio del riempimento;
δ è l’angolo di attrito tra muro e terreno.
Se Uh e Uα sono calcolate assumendo una distribuzione idrostatica delle pressioni, le
equazioni di equilibrio possono essere scritte senza tener conto di questi due contributi,
considerando come peso W del cuneo il peso sommerso Wsub. Combinando le (5.17) e
(5.18) si ottiene:
PAE (α ,t ) =
Wsub (α ) sin( α − φ ) + Qh (α ,t ) cos( α − φ ) − Qv (α ,t ) sin( α − φ )
(5.19)
Il valore della spinta sismica attiva del terreno nel metodo pseudo-dinamico, PAE,pd, è
ottenuto massimizzando la (5.19) rispetto alle variabili α e t:
PAE , pd = max PAE (t ,α )
(5.20)
In questa trattazione la ricerca dei valori di α e t/T che massimizzano la spinta sismica
attiva è stata effettuata per tentativi utilizzando il programma Microsoft Excel 2003
(Appendice B).
Analogamente al metodo pseudo-statico, si può definire il coefficiente di spinta sismica
attiva nel metodo pseudo-dinamico, KAE,pd:
K AE , pd =
2 PAE , pd
(5.21)
γ sub H 2
La (5.21) è simile alla definizione proposta da Steedman e Zeng [1990] e Choudhury e
Nimbalkar [2006] per terrapieni asciutti; la differenza con i riempimenti completamente
sommersi consiste nel fatto che il denominatore contiene il peso di volume sommerso
γsub anziché il peso di volume del terreno al di sopra della falda (asciutto, γd, o umido,
γwet).
La sostituzione delle (5.19) e (5.20) nella (5.21) conduce a:
K AE , pd =
⎡W sin( α − φ ) + Qh cos( α − φ ) − Qv sin( α − φ ) ⎤
2
max ⎢ sub
⎥
2
γ sub H
⎣
⎦
(5.22)
Inserendo nella (5.22) il peso Wsub (= 0.5γsubH2/tanα) e le equazioni delle forze di
inerzia (5.11), (5.13) e (5.15), si può ricavare una espressione per KAE,pd:
97
K AE , pd
⎧
⎛ ⎡ ⎛t
⎤ ⎞⎫
⎜ sin ⎢2π ⎜ − H ⎞⎟⎥ + ⎟⎪
⎪
⎜
⎟
⎡
⎤
⎜
k h ,b TVSs
⎛
⎞
T TVSs ⎠⎦ ⎟⎪
TV
t
H
⎪
⎟⎟⎥ + Ss ⎜ ⎣ ⎝
sin( α − φ ) + 2
Rγ cos( α − φ )⎨2π cos ⎢2π ⎜⎜ −
⎟⎬ +
H ⎜
2π H
t⎞
⎣ ⎝ T TVSs ⎠⎦
⎪
⎛
⎟⎪
⎜ − sin⎜ 2π T ⎟
⎟⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠⎭
⎩
⎡ ⎛t
k TVPs
H ⎞⎤ TVPs ⎛⎜ ⎡ ⎛ t
H ⎞⎤
t ⎞⎫⎪
⎪⎧
⎟⎟⎥ +
⎟⎟⎥ − sin⎛⎜ 2π ⎞⎟ ⎟⎬
− v ,b2
sin( α − φ )⎨2π cos ⎢2π ⎜⎜ −
sin ⎢2π ⎜⎜ −
⎜
T
TV
H
T
TV
T
2π H
⎝
⎠ ⎟⎠⎪⎭
⎪⎩
Ps ⎠ ⎦
Ps ⎠ ⎦
⎣ ⎝
⎝ ⎣ ⎝
= max
cos(φ + δ − α )tan α
(5.23)
Il coefficiente numerico Rγ è uguale a γsat/γsub per la condizione di acqua vincolata
mentre è pari a γd/γsub per la condizione di acqua libera; nel caso di riempimento
asciutto si ha Rγ = 1 e la (5.23) coincide con la formula proposta da Choudhury e
Nimbalkar [2006]. La tabella 5.1 riassume i valori di Rγ in funzione delle condizioni del
riempimento.
Si può notare che l’espressione di KAE,pd (5.23):
•
è funzione dei parametri adimensionali H/TVSs e H/TVPs;
•
distingue tra le condizioni di acqua libera e vincolata, mentre l’equazione proposta
da Choudhury e Ahmad [2008] e Ahmad e Choudhury [2009] non tiene conto della
condizione dell’acqua all’interno del terrapieno;
•
attraverso il coefficiente Rγ (> 1) amplifica l’effetto della forza di inerzia orizzontale
Qh rispetto al caso di terrapieno asciutto (in cui Rγ = 1).
Analogamente a quanto discusso per il metodo pseudo-statico, è importante sottolineare
che il processo di massimizzazione di KAE,pd ha senso soltanto se:
tan φ > Rγ
kh ,b
1 − kv ,b
(5.24)
Tabella 5.1 – Valori di Rγ in funzione delle condizioni del riempimento
Riempimento
Acqua
Rγ
asciutto
-
1
completamente
libera
γd/γsub
sommerso
completamente vincolata γsat/γsub
sommerso
98
5.3.1. CONFRONTO CON IL METODO PSEUDO-STATICO
Nell’approccio pseudo-statico la spinta sismica attiva PAE,ps di un terrapieno di altezza
H, completamente sommerso, soggetto ad accelerazione orizzontale e verticale è data
da:
PAE , ps =
1
K AE , ps γ sub (1 − k v )H 2
2
(5.25)
Se il muro ha il paramento interno verticale e la superficie del terrapieno è orizzontale,
il coefficiente sismico KAE,ps è:
K AE , ps =
cos 2 (φ − ψ )
⎡
cosψ cos (δ + ψ )⎢1 +
⎣
sin(φ + δ ) sin(φ − ψ ) ⎤
⎥
cos (δ + ψ )
⎦
2
(5.26)
essendo ψ l’angolo di inerzia sismico, che è funzione della condizione dell’acqua nel
riempimento (§ 2.4.2.1).
Il coefficiente sismico verticale kv è assunto positivo se la forza d’inerzia è diretta verso
l’alto e negativo se è diretta verso il basso: va considerato il segno di kv che fornisce il
valore massimo della spinta PAE,ps, cioè quello che rende massimo il prodotto KAE,ps·(1kv) [Prakash, 1981, Fang e Chen, 1995]. Nell’analisi pseudo-dinamica questa procedura
equivale a considerare un valore positivo e un valore negativo di kv,b nelle equazioni
(5.2), (5.10), (5.15), (5.23) e (5.24): cambiare segno a kv,b significa che durante un ciclo
di oscillazione (cioè per t/T compreso tra 0 e 1) la forza di inerzia verticale Qv raggiunge
il picco prima verso l’alto e poi verso il basso se kv,b > 0 e viceversa, prima verso il
basso e poi verso l’alto se kv,b < 0 (figura 5.4).
In figura 5.5 sono riportati, in funzione di H/TVSs, i valori della spinta attiva
normalizzata 2PAE/γsubH2 per il metodo pseudo-dinamico proposto (= KAE,pd) e per il
metodo pseudo-statico (= (1 - kv)·KAE,ps) calcolato in accordo con Matsuzawa et al.
[1985], nel caso di riempimento completamente sommerso assumendo che kh = kh,b e
che kv = kv,b. I valori di α e t/T che massimizzano la spinta sismica attiva sono riportati
nell’Appendice B.
Dall’esame della figura 5.5a (condizioni di acqua vincolata) e 5.5b (condizioni di acqua
libera) si osserva che:
•
la soluzione del metodo pseudo-statico è indipendente da H/TVSs;
99
•
al diminuire di H/TVSs (cioè se il terreno aumenta di rigidezza) l’approccio pseudo-
dinamico converge verso l’approccio pseudo-statico, coincidendo quando H/TVSs tende
a zero;
•
la pendenza delle curve indica che la spinta sismica attiva calcolata con il metodo
pseudo-dinamico proposto è molto sensibile alle variazioni di H/TVSs: la differenza tra
l’approccio pseudo-dinamico e l’approccio pseudo-statico aumenta all’aumentare dei
valori di H/TVSs;
•
non è noto a priori se il massimo della spinta sismica si abbia per valori di kv,b
positivi o negativi;
•
a parità di H/TVSs la spinta del terreno in condizione di acqua vincolata è maggiore
rispetto a quella in condizione di acqua libera.
0.85
0.788
2PAE /γsubH 2
0.75
(a)
kv> 0
kv< 0
0.757
0.65
Pseudo-statico
(Matsuzawa et al., 1985)
0.55
0.45
Pseudo-dinamico
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
H/TV Ps = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
acqua vincolata ; γ sat /γ w = 1.9
k v,b > 0
k v,b < 0
0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.75
0.8
1.0
Pseudo-statico
2PAE /γsubH 2
0.65
0.653
(b)
kv< 0
kv> 0
0.638
0.55
Pseudo-dinamico
0.45
0.35
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H/TV PS = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
acqua libera ; γ sat /γ w = 1.9; γ d /γ w = 1.6
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
k v,b > 0
k v,b < 0
0.8
1.0
Figura 5.5 – Confronto tra il metodo pseudo-dinamico proposto ed il metodo pseudostatico per riempimenti completamente sommersi: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera
100
5.3.2. CONFRONTO CON IL METODO PSEUDO-DINAMICO DI
CHOUDHURY E AHMAD
Choudhury e Ahmad [2008] e Ahmad and Choudhury [2009] hanno proposto un
metodo pseudo-dinamico per terrapieni sommersi che tuttavia contiene delle
imprecisioni:
•
la spinta sismica è valutata con il peso di volume saturo del terreno γsat al posto del
peso di volume sommerso γsub;
•
non si tiene conto della condizione dell’acqua all’interno del riempimento (Rγ è
sempre uguale ad 1).
La figura 5.6 riporta il confronto tra il metodo pseudo-dinamico di Ahmad e Choudhury
[2009], l’approccio pseudo-statico applicato in accordo con Matsuzawa et al. [1985] e
l’analisi pseudo-dinamica proposta.
Si può osservare che il metodo pseudo-dinamico di Ahmad e Choudhury non converge
verso alcuna soluzione pseudo-statica, sovrastimando significativamente la spinta
sismica attiva; inoltre i valori ottenuti nei casi di acqua vincolata (figura 5.6a) e acqua
libera ( figura 5.6b) sono identici.
0.95
2PAE /γsubH
2
0.85
0.75
Ahmad e Choudhury, 2009
(V Ps = 1.87 V Ss )
0.788
0.45
0.35
Pseudo-statico k v > 0 k v < 0
0.757
metodo proposto
k v,b < 0
0.65
0.55
metodo proposto
k v,b > 0
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
H/TV Ps = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.95
2PAE /γsubH 2
0.75
0.55
0.45
0.8
Ahmad & Choudhury, 2009
(V Ps = 1.87 V Ss )
0.85
0.65
(a)
0.653
metodo proposto
k v,b < 0
1.0
(b)
Pseudo-statico
kv< 0 kv > 0
0.638
metodo proposto
k v,b > 0
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
H/TV Ps = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H /TV Ss
Figura 5.6 – Confronto tra il metodo pseudo-dinamico suggerito da Ahmad e
Choudhury [2009], il metodo pseudo-statico applicato in accordo con Matsuzawa et al.
[1985] e il metodo pseudo-dinamico proposto: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera
101
5.3.3. EFFETTO DEL PARAMETRO DINAMICO H/TVPS
La figura 5.7 illustra l’effetto del parametro dinamico H/TVPs sui valori di KAE,pd. A
parità delle altre condizioni, le variazioni del coefficiente di spinta pseudo-dinamico
sono trascurabili se H/TVPs è compreso nell’intervallo 0.01 – 0.1, di interesse pratico per
terreni sommersi. Se si considera, ad esempio, un muro di altezza H = 10 m, assumendo
VPs = 1500 m/s, il campo di frequenza (f = 1/T) della sollecitazione sismica
corrispondente è 1.5 – 15 Hz, che copre ragionevolmente il range di frequenze
predominanti dei terremoti [Lanzo, 2008]. L’Appendice B riporta i valori di α e t/T che
massimizzano KAE,pd nei casi considerati.
0.85
φ = 30°; δ = 15°
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
KAE,pd
0.75
0.65
k v,b > 0
0.55
H /TV Ps = 0.1
H /TV Ps = 0.01
0.45
k v,b < 0
0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1.0
Figura 5.7 - Effetto del parametro dinamico H/TVPs sul coefficiente di spinta attiva
KAE,pd
5.4. INCLINAZIONE DEL CUNEO DI SPINTA
La figura 5.8 mostra l’inclinazione α del cuneo di spinta in funzione di H/TVSs, in
condizioni di acqua vincolata (figura 5.8a) e di acqua libera (figura 5.8b).
I valori di α nel metodo pseudo-dinamico sono quelli che massimizzano KAE,pd
(Appendice B) nel metodo pseudo-statico è α calcolato con le espressioni (2.9a-c)
proposte da Zarrabi-Kashani [1979].
Si può osservare, coerentemente con quanto visto per KAE,pd, che i due approcci
coincidono se H/TVSs tende a zero e che all’aumentare di tale parametro corrisponde un
aumento di α (pertanto la spinta sismica attiva diminuisce poiché diminuiscono le
dimensioni del cuneo).
102
inclinazione del cuneo α °
55
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H/TV PS = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
45
Pseudo-dinamico
k v,b > 0
k v,b < 0
35
kv< 0
30.4°
25
Pseudo-statico
kv> 0
21.3°
(a)
15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
H/TV Ss
inclinazione del cuneo α °
55
Pseudo-dinamico
45
35
25
15
k v,b > 0
k v,b < 0
35.9°
kv> 0
29.3°
kv< 0
Pseudo-statico
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H/TV PS = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
0.0
0.2
0.4
0.6
(b)
0.8
1.0
H/TV Ss
Figura 5.8 – Inclinazione del cuneo di spinta rispetto all’orizzontale (α) in funzione di
H/TVSs: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera
5.5. EFFETTO DELL’AMPLIFICAZIONE
Le espressioni (5.1) e (5.2) non tengono conto dei fenomeni di amplificazione che
possono avvenire a causa di variazioni stratigrafiche del suolo e di conformazioni
morfologiche del sito in cui sorge l’opera. C’è tuttavia da notare che al §7.3.2.2
l’Eurocodice 8 [EN 1998-5, 2004], con riferimento all’analisi pseudo-statica, indica che
“per muri non più alti di 10 m, il coefficiente sismico deve essere preso costante lungo
tutta l’altezza”.
Il metodo pseudo-dinamico di Steedman e Zeng [1990] considera l’amplificazione del
moto sismico ipotizzando l’accelerazione orizzontale linearmente variabile con la
profondità, dalla base alla sommità del muro. Choudhury e Nimbalkar [2006] hanno
esteso tale assunzione anche per l’accelerazione verticale av(z,t).
Il fattore di amplificazione fa è definito come (figura 5.9):
fa =
ah ( z = 0,t )
ah ( z = H ,t )
(5.27)
103
ed è costante con la profondità z.
Figura 5.9 – Fattore di amplificazione del moto sismico
Nell’ipotesi che la resistenza al taglio del terreno sia costante, le espressioni
dell’accelerazione orizzontale e verticale sono date da:
⎡ ⎛
⎞⎤
⎡ H −z
( f a − 1)⎤⎥ kh ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥
ah ( z ,t ) = ⎢1 +
H
VSs ⎠⎦
⎦
⎣
⎣ ⎝
(5.28)
⎡ ⎛
⎞⎤
⎡ H −z
( f a − 1)⎤⎥ kv ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥
av ( z ,t ) = ⎢1 +
H
VPs ⎠⎦
⎦
⎣
⎣ ⎝
(5.29)
Facendo uso delle (5.28) e (5.29) è possibile ripetere i calcoli svolti in precedenza con
riferimento ad un terrapieno completamente sommerso.
La forza di inerzia verticale Qv (indipendente dalla condizione dell’acqua nel
riempimento) è:
Qv (t ,α ) =
z=H
z=H
⎡
∫ a (z ,t )m(z ) = ∫ ⎢⎣1 +
v
z =0
z =0
⎡ ⎛
⎞⎤
H−z
( f a − 1)⎤⎥ kv ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥ γ sub (H − z ) dz =
H
V
⎦
⎥ g tan α
Ps ⎠ ⎦
⎣⎢ ⎝
⎧TV k γ H ⎧⎪
⎛ 2πt 2πH ⎞ TVPs ⎡ ⎛ 2πt 2πH ⎞
2πt ⎞⎤ ⎫⎪ ⎫
⎟⎟ +
⎟⎟ − sin⎛⎜
⎪ Ps v ,b 2 sub
−
−
⎟⎥ ⎬ + ⎪
⎢ sin⎜⎜
⎨2π cos⎜⎜
TVPs ⎠
TVPs ⎠
H ⎢⎣ ⎝ T
⎝ T ⎠⎥⎦ ⎪⎭ ⎪
⎪ H 4π tan α ⎪⎩
⎝ T
⎪
⎪
⎧⎛ TVPs ⎞ 2 ⎡ ⎛ 2πt ⎞
⎫⎪
⎪
⎛ 2πt 2πH ⎞⎤
=⎨
⎟⎥ +
−
⎟ − cos⎜⎜
⎟ ⎢cos⎜
⎪⎜
⎪⎬
TVPs ⎟⎠⎥⎦
⎪ TVPs kv ,bγ sub H 2
⎪⎝ H ⎠ ⎢⎣ ⎝ T ⎠
⎪⎪
⎝ T
( f a − 1)⎨
⎬⎪
⎪+
3
⎛ 2πt 2πH ⎞⎪ ⎪
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎪ 2πTVPs
⎪ H 4π tan α
2
⎪+ H sin⎜⎜ T − TV ⎟⎟ + 2π cos⎜⎜ T − TV ⎟⎟⎪ ⎪
⎪
Ps ⎠
Ps ⎠ ⎭ ⎭
⎝
⎝
⎩
⎩
2
La forza di inerzia orizzontale Qh è espressa da:
104
(5.30)
Qh (t ,α ) =
z=H
z=H
z =0
z =0
∫ ah (z ,t )m(z ) =
⎡
∫ ⎢⎣1 +
⎡ ⎛
⎞ ⎤ γ R (H − z )
H−z
( f a − 1)⎤⎥ kh ,b g sin ⎢ω ⎜⎜ t − H − z ⎟⎟⎥ sub γ
dz =
H
VSs ⎠⎥⎦
g tan α
⎦
⎢⎣ ⎝
⎧TV k h ,bγ sub Rγ H 2 ⎧⎪
⎛ 2πt 2πH ⎞ TVSs ⎡ ⎛ 2πt 2πH ⎞
2πt ⎞⎤ ⎫⎪ ⎫
⎟⎟ +
⎟⎟ − sin⎛⎜
⎪ Ss
−
−
⎟⎥ ⎬ + ⎪
⎢ sin⎜⎜
⎨2π cos⎜⎜
2
TVSs ⎠
H ⎣⎢ ⎝ T
TVSs ⎠
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪⎭ ⎪
⎪ H 4π tan α ⎪⎩
⎝ T
⎪
⎪
⎧⎛ TVSs ⎞ 2 ⎡ ⎛ 2πt ⎞
⎫⎪
⎪
⎛ 2πt 2πH ⎞⎤
=⎨
⎟⎥ +
−
⎟ − cos⎜⎜
⎟ ⎢cos⎜
⎪⎜
⎪⎬
2
TVSs ⎟⎠⎦⎥
⎪ TVSs k h ,bγ sub Rγ H
⎪⎝ H ⎠ ⎣⎢ ⎝ T ⎠
⎪⎪
⎝ T
( f a − 1)⎨
⎬⎪
⎪+
3
H
tan
4
π
α
⎛ 2πt 2πH ⎞
⎛ 2πt 2πH ⎞⎪ ⎪
⎪ 2πTVSs
⎪
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪+ H sin⎜ T − TV ⎟ + 2π cos⎜ T − TV ⎟⎪ ⎪
⎪
Ss ⎠
Ss ⎠ ⎭ ⎭
⎝
⎝
⎩
⎩
(5.31)
ponendo:
•
Rγ = γsat/γsub nel caso di “acqua vincolata” (Qh,vinc);
•
Rγ = γd/γsub nel caso di “acqua libera” (Qh,lib);
in condizioni di terrapieno asciutto (Rγ = 1) la (5.31) coincide con l’approccio di
Choudhury e Nimbalkar [2006].
Le formule (5.30) e (5.31) possono essere usate per ricavare l’espressione del
coefficiente di spinta sismica attiva KAE,pd, tenendo conto dell’amplificazione:
K AE , pd = max
⎧
TVSs k h ,b cos (α − φ )Rγ
TV k sin (α − φ ) ⎫ (5.32a)
1
A1 − Ps v ,b
A2 ⎬
⎨sin (α − φ ) +
tan α cos (δ + φ − α ) ⎩
H
2π 2
H
2π 2
⎭
dove:
⎫
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞ TVSs ⎡ ⎛ 2πt 2πH ⎞
2πt ⎞⎤
⎟⎟ +
⎟⎟ − sin⎛⎜
−
−
⎟⎥ +
⎪
⎪2π cos⎜⎜
⎢ sin⎜⎜
TVSs ⎠
H ⎣ ⎝ T
TVSs ⎠
⎝ T ⎠⎦
⎝ T
⎪ (5.32b)
⎪
A1 = ⎨
⎬
2
⎛ 2πt 2πH ⎞ 2πTVSs
⎛ 2πt 2πH ⎞ ⎛ TVSs ⎞ ⎡ ⎛ 2πt ⎞
⎛ 2πt 2πH ⎞⎤ ⎫⎪⎪
⎪ ( f a − 1) ⎧⎪ 2
⎪ π ⎨2π cos⎜⎜ T − TV ⎟⎟ + H sin⎜⎜ T − TV ⎟⎟ + ⎜ H ⎟ ⎢cos⎜ T ⎟ − cos⎜⎜ T − TV ⎟⎟⎥ ⎬⎪
⎠
⎝
⎠ ⎣ ⎝
⎪⎩
Ss ⎠
Ss ⎠
Ss ⎠ ⎦ ⎪
⎝
⎝
⎝
⎭⎭
⎩
⎧
⎛ 2πt 2πH ⎞ TVPs ⎡ ⎛ 2πt 2πH ⎞
⎛ 2πt ⎞⎤
⎟⎟ +
⎟⎟ − sin⎜
−
−
⎟⎥ +
⎪2π cos⎜⎜
⎢ sin⎜⎜
H
T
TV
T
TV
⎝ T ⎠⎦
Ps ⎠
Ps ⎠
⎝
⎪
⎣ ⎝
A2 = ⎨
2
⎛ 2πt 2πH
⎛ 2πt 2πH ⎞ 2πTVPs
⎛ 2πt 2πH ⎞ ⎛ TVPs ⎞ ⎡ ⎛ 2πt ⎞
⎪ ( f a − 1) ⎧⎪ 2
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
+
−
+
2
π
cos
sin
⎜
⎟
⎟ − cos⎜⎜
⎨
⎢cos⎜
⎪ π
⎜ T
⎟
⎜ T
⎟
TV
H
TV
H
T
TVPs
⎠
⎝
⎝
⎠
⎪
Ps
Ps
⎝ T
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎩
⎩
⎫
⎪
⎪ (5.32c)
⎬
⎞⎤ ⎫⎪⎪
⎟⎟⎥ ⎬⎪
⎠⎦ ⎪⎭⎭
Si noti che la posizione fa = 1 nelle (5.28) – (5.32) riconduce al caso base discusso nei
paragrafi precedenti in cui i fenomeni di amplificazione non sono considerati.
La figura 5.10 riporta un esempio che illustra l’effetto di fa sul coefficiente KAE,pd che
dimostra l’aumento della spinta sismica attiva del terreno causata dal fenomeno
dell’amplificazione.
Si sottolinea che le curve rappresentate sono l’inviluppo dei valori massimi di KAE,pd
ottenuti per kv,b = ±0.5kv,b. Si precisa inoltre che i valori di α e t/T che massimizzano la
spinta cambiano al variare del fattore di amplificazione (Appendice B).
105
1.2
1.0
f a = 1.40
f a = 1.20
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
H/TV Ps = 0.02; φ = 33°; δ = 16°
KAE,pd
0.8
0.6
fa = 1
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1.0
Figura 5.10 – Effetto del fattore di amplificazione fa sul coefficiente di spinta sismica
attiva del terreno KAE,pd
È possibile dimostrare che l’effetto dell’amplificazione sulla spinta sismica è
equivalente a quello generato da una accelerazione di ampiezza costante che si ottiene
facendo la media pesata, lungo l’altezza H, del prodotto tra l’ampiezza
dell’accelerazione alla profondità z e la striscia di terreno alla stessa profondità. Il
coefficiente sismico orizzontale medio pesato kh,avg (il pedice “avg” significa “average”)
si può calcolare pertanto come:
H
kh ,avg =
⎡
∫ ⎢⎣1 +
0
(H − z ) ( f
(H − z ) dz
⎤
− 1)⎥ kh ,b ⋅
H
tan α
⎦
H
(H − z )
∫0 tanα dz
a
(5.33)
La soluzione della (5.33) conduce a:
1
kh ,avg = kh ,b (2 f a + 1)
3
(5.34)
Per il caso verticale si ottiene analogamente:
1
kv ,avg = kv ,b (2 f a + 1)
3
(5.35)
La condizione di stabilità (5.24), introducendo l’effetto del fattore di amplificazione, si
può scrivere:
tan φ > Rγ
kh ,avg
(5.36)
1 − kv ,avg
Sostituendo i coefficienti sismici medi (5.34) e (5.35) nella (5.36) e risolvendo rispetto
ad fa si ottiene il coefficiente di amplificazione limite (fa,lim), valore oltre il quale non è
più possibile applicare il metodo pseudo-dinamico:
106
f a ,lim =
(3 − kv ,b )tanφ − Rγ kh ,b
(5.37)
2(Rγ kh ,b + kv ,b tan φ )
La figura 5.11 mostra l’andamento del coefficiente di spinta KAE,pd in funzione di H/TVSs
in condizione di amplificazione limite per diversi angoli di resistenza al taglio φ e
diversi valori del coefficiente sismico kh,b, nel caso di riempimento completamente
sommerso con acqua vincolata (figura 5.11a) e con acqua libera (figura 5.11b), e nel
caso di riempimento asciutto (figura 5.11c). L’Appendice B riporta i valori di α e t/T
che massimizzano KAE,pd nel caso fa = fa,lim.
2.0
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
1.6
φ = 30°; k h,b = 0.2; f a = 1.30
φ = 40°; k h,b = 0.2; f a = 1.98
φ = 40°; k h,b = 0.3; f a = 1.15
KAE,pd
1.2
0.8
0.4
(a)
0.0
0.0
0.2
2.0
0.4
0.6
H /TV Ss
1.0
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
1.6
φ = 30°; k h,b = 0.2; f a = 1.59
φ = 40°; k h,b = 0.2; f a = 2.36
φ = 40°; k h,b = 0.3; f a = 1.40
1.2
KAE,pd
0.8
0.8
0.4
(b)
0.0
0.0
0.2
2.0
0.4
0.6
H /TV Ss
1.0
k v,b = ± k h,b /2; V Ps = 1.87V Ss ; δ = φ /2
caso asciutto ; γ d /γ w = 1.6
1.6
φ
φ
φ
φ
1.2
KAE,pd
0.8
0.8
= 30°, k h,b
= 30°, k h,b
= 40°, k h,b
= 40°, k h,b
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 2.86
= 1.74
= 3.93
= 2.45
0.4
(c)
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1.0
Figura 5.11 – Coefficiente di spinta in condizioni di amplificazione limite per diversi
valori dell’angolo di resistenza al taglio del riempimento e del coefficiente sismico
orizzontale: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera; (c) riempimento asciutto
107
5.6. DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI
La distribuzione della pressione sismica attiva pae lungo l’altezza H del muro è calcolata
differenziando rispetto alla variabile z la spinta PAE:
pae (α ,t , z ) =
∂PAE (α ,t , z )
∂z
(5.38)
In accordo con Steedman e Zeng [1990], l’operazione di derivata è svolta ponendo z =
H nelle espressioni del peso del cuneo Wsub (= 0.5γH2/tanα) e delle forze di inerzia Qh
(5.30) e Qv (5.31) che compaiono nella (5.19). La (5.38), scritta in forma adimensionale,
diviene:
pae (α ,t , z )
1
z
⎧
⎫
=
⎨sin(α − φ ) + Rγ k h ,b cos(α − φ )B1 − k v ,b sin(α − φ )B2 ⎬ (5.39a)
tan α cos(φ + δ − α ) ⎩
H
γ sub H
⎭
dove i coefficienti B1 e B2 sono:
⎧ z
⎫
⎛ 2πt 2πH z ⎞
⎟⎟ +
−
⎪ f a sin⎜⎜
⎪
TVSs H ⎠
⎝ T
⎪ H
⎪
⎪
⎪
2
2
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛
⎞
1 ⎛ TV ⎞ ⎛ H ⎞
2πt 2πH z
⎪
⎪
⎛ 2πt ⎞
⎟⎟ − cos⎜
−
B1 = ⎨
⎟⎥ + ⎥ ⎬
⎢ 2 ⎜ Ss ⎟ ⎜ ⎟ ⎢cos⎜⎜
π
H
z
T
TV
H
T
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥
(
)
−
f
TV
1
Ss
⎠
⎪+ a
⎣ ⎝
⎦ ⎥⎪
Ss ⎢
⎥⎪
⎪
H ⎢ 1 TV H
2π
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎥⎪
t
H
z
t
H
z
2
π
2
π
2
π
2
π
⎢−
Ss
⎪
⎟⎟ − cos⎜⎜
⎟⎟
−
−
sin⎜⎜
⎢ π H z
⎪
TVSs H ⎠
TVSs H ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭
⎝ T
⎝ T
⎣
⎩
⎧ z
⎫
⎛ 2πt 2πH z ⎞
⎟⎟ +
−
⎪ f a sin⎜⎜
⎪
T
TV
H
H
Ps
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
⎡ 1 ⎛ TVPs ⎞ ⎛ H ⎞ ⎡ ⎛ 2πt 2πH z ⎞
⎪
⎛ 2πt ⎞⎤ ⎤ ⎪
⎜
⎟
−
− cos⎜
B2 = ⎨
⎟⎥ + ⎥ ⎬
⎟ ⎜ ⎟ ⎢cos⎜
⎢ 2⎜
TVPs H ⎟⎠
⎝ T ⎠⎦⎥ ⎥ ⎪
⎪ ( f a − 1) TVPs ⎢ 2π ⎝ H ⎠ ⎝ z ⎠ ⎣⎢ ⎝ T
+
⎥⎪
⎪
H ⎢ 1 TV H
2π
⎛ 2πt 2πH z ⎞
⎛ 2πt 2πH z ⎞ ⎥ ⎪
⎢−
Ps
⎪
⎟⎟ − cos⎜⎜
⎟⎟
−
−
sin⎜⎜
⎢ π H z
⎪
TVPs H ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭
TVPs H ⎠
⎝ T
⎝ T
⎣
⎩
(5.39b)
(5.39c)
Se fa = 1 la distribuzione (5.39) si semplifica e diventa:
⎧
sin(α − φ )
z
+
⎪
(
)
tan
cos
+
−
H
α
φ
δ
α
⎪
⎛ 2πt 2πH z
p ae (α , t , z ) ⎪⎪
z
= ⎨+
Rγ
sin⎜⎜
−
H
TV Ss H
γ sub H
⎝ T
⎪ tan α cos(φ + δ − α )
⎪
⎛ 2πt 2πH z ⎞
z
⎪−
⎟
sin⎜⎜
−
TV Ps H ⎟⎠
⎝ T
⎫
⎪
⎪
⎞ ⎪⎪
⎟⎟ + ⎬
⎠ ⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(5.40)
Ad eccezione del termine contenente kh,b la (5.40) è la stessa ottenuta da Choudhury e
Nimbalkar [2006].
La figura 5.12 mostra la distribuzione della pressione normalizzata pae/γsubH in funzione
della profondità normalizzata z/H, per valori del fattore di amplificazione fa pari ad 1 e
1.20 in condizioni di acqua vincolata (figura 5.12a) ed acqua libera (figura 5.12b). Si
108
può osservare che l’andamento è non lineare e che, nel caso fa = 1, la distribuzione della
pressione (ipotizzata triangolare) relativa al metodo pseudo-statico (calcolato secondo
Matsuzawa et. al [1985]) sono sempre maggiori rispetto a quelle dell’approccio pseudodinamico. Come prevedibile, considerare fa >1 implica un aumento delle pressioni
sismiche attive (figura 5.12a e 5.12b).
0.0
(a)
Pseudo-statico
0.2
z /H
0.4
0.6
0.8
1.0
f a = 1.20
k v,h = 0.2; k h,b = ±0.1
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
φ = 30°; δ = 15°
0.0
0.2
fa = 1
0.4
p ae /γ sub H
0.6
0.0
(b)
Pseudo-statico
0.2
0.8
z /H
0.4
0.6
0.8
fa = 1
f a = 1.20
k v,h = 0.2; k h,b = ±0.1
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
φ = 30°; δ = 15°
1.0
0.0
0.2
0.4
p ae /γ sub H
0.6
0.8
Figura 5.12 - Distribuzione della pressione sismica attiva normalizzata pae/γsubH in
funzione della profondità normalizzata z/H per valori del coefficiente di amplificazione
fa = 1 ed fa = 1.20: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera
5.7. MOMENTO RIBALTANTE
La distribuzione delle pressioni è richiesta nel calcolo del momento ribaltante, utilizzato
nella valutazione dell’equilibrio a rotazione dell’opera di sostegno:
M (α ,t ) = ∫ pae (α ,t , z ) cos δ (H − z )dz
H
(5.41)
0
Se fa > 1, ovvero la distribuzione delle pressioni è descritta dalle (5.39), l’integrale
(5.41) può essere risolto soltanto numericamente; se invece fa = 1 i valori di pae sono
calcolati attraverso la (5.40) e la soluzione normalizzata della (5.41) è:
109
⎧C
⎫
⎪ 0 +
⎪
⎪ 6
⎪
⎪⎪
⎡
M
⎛ 2πt ⎞⎤ ⎪⎪ (5.42a)
⎛ 2πt ⎞
= ⎨+ C1 ⎢(2 sin D1 − D1 − D1 cos D1 ) sin⎜
⎟⎥ + ⎬
⎟ + (D1 sin D1 + 2 cos D1 − 2) cos⎜
γ sub H 3 ⎪
⎝ T ⎠⎦ ⎪
⎝ T ⎠
⎣
⎪
⎡
2πt ⎞
⎛ 2πt ⎞⎤ ⎪⎪
⎪+ C 2 ⎢(D 2 + D 2 cos D 2 − 2 sin D 2 ) sin⎛⎜
⎟⎥
⎟ + (2 − D 2 sin D 2 − 2 cos D 2 ) cos⎜
⎪⎩
⎝ T ⎠⎦ ⎪⎭
⎝ T ⎠
⎣
dove:
C0 =
C2 =
sin(α − φ )cos δ
tan α cos(φ + δ − α )
kv ,b sin (α − φ ) cos δ
tan α cos (φ + δ − α )D23
(5.42b); C1 =
(5.42d); D1 =
2πH
TVSs
k h ,b cos δ cos (α − φ )Rγ
tan α cos(φ + δ − α )D13
(5.42e); D2 =
2πH
TVPs
(5.42c)
(5.42f)
Il massimo momento ribaltante totale, Mmax, si ottiene massimizzando M rispetto alle
variabili α e t/T. Con l’ausilio di un foglio di calcolo di Microsoft Excel 2003 sono stati
ottenuti (per tentativi) i valori di α e t/T riportati nell’Appendice B, relativamente ai casi
esaminati. La figura 5.13 mostra l’andamento del momento normalizzato in funzione
del parametro dinamico H/TVSs per le condizioni di acqua vincolata (figura 5.13a), di
acqua libera (figura 5.13b) e di terrapieno asciutto (figura 5.13c); in quest’ultimo caso
il momento è normalizzato rispetto al peso di volume secco γd del terreno. Nel metodo
pseudo-statico il momento è calcolato applicando PAE,ps (5.25) ad H/3 dalla base.
Il momento ribaltante massimo per fa > 1 è stato ottenuto utilizzando il programma di
calcolo Mathcad 7 Professional, cercando per tentativi i valori di α e t/T che
massimizzano l’espressione (5.41). I risultati ottenuti sono riportati nell’Appendice B.
Gli effetti del fattore di amplificazione fa sul momento ribaltante massimo sono
analoghi a quelli discussi per il coefficiente di spinta, i.e. si ha traslazione verso l’alto
della curva relativa ai valori di Mmax/γsubH3 (figura 5.14).
110
0.14
0.126
3
0.12 0.122
kv< 0
Pseudo-statico
0.10
Mmax /γsubH
(a)
kv> 0
Pseudo-dinamico
0.08
0.06
k v,b > 0
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1; f a = 1
H/TV Ps = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
k v,b < 0
0.04
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
0.12
1.0
(b)
0.105
kv> 0
0.10 0.102
kv< 0
Pseudo-statico
Mmax /γsubH
3
0.08
0.06
0.04
k v,b < 0
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1; f a = 1
H/TV PS = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
0.0
0.2
Pseudo- k > 0
v,b
dinamico
0.4
0.6
H /TV Ss
0.16
0.8
Pseudo-statico
0.14 0.137
1.0
(c)
Mmax /γdH
3
kv> 0
kv< 0
0.12 0.122
0.10
0.08
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1; f a = 1
V PS = 1.87V Ss ; φ = 30°; δ = 15°
terreno asciutto ; γ d /γ w = 1.6
0.0
0.2
k v,b > 0
k v,b < 0
0.4
0.6
H /TV Ss
Pseudo-dinamico
0.8
1.0
Figura 5.13 - Massimo momento totale ribaltante normalizzato in funzione di H/TVSs:
(a) acqua vincolata; (b) acqua libera; (c) riempimento asciutto
0.18
f a = 1.20
0.14
Mmax /γsubH
3
0.16
k h,b = 0.2; k v,b = ± 0.1
H/TV Ps = 0.02; φ = 30°; δ = 15°
0.12
fa = 1
0.10
0.08
0.06
0.0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1.0
Figura 5.14 - Effetto del fattore di amplificazione fa sui valori del momento
normalizzato Mmax/γsubH3
111
La figura 5.15 mostra l’andamento del momento ribaltante massimo normalizzato in
funzione di H/TVSs per i valori limite del fattore di amplificazione, in diverse situazioni
di φ e kh,b, in condizioni di riempimento completamente sommerso con acqua vincolata
(figura 5.15a) e con acqua libera (figura 5.15b) e di riempimento asciutto (figura
5.15c).
È importante sottolineare che i valori di α e t/T che massimizzano M non sono gli stessi
che massimizzano PAE. Quando si raggiunge il massimo momento la spinta sismica
corrispondente, PAE,M, è inferiore a PAE,pd e viceversa, quando si raggiunge la spinta
massima il momento corrispondente, MP, è inferiore ad Mmax. La figura 5.16 mostra un
esempio della distribuzione di pae relativa alla massima spinta (pae,pd) ed al massimo
momento rispetto alla base (pae,M) nel caso in cui fa = 1.
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
0.25
φ = 30°, k h,b = 0.2, f a = 1.30
φ = 40°, k h,b = 0.2, f a = 1.98
φ = 40°, k h,b = 0.3, f a = 1.15
Mmax /γsubH
3
0.35
0.15
(a)
0.05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H /TV Ss
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
0.25
φ = 30°, k h,b = 0.2, f a = 1.59
φ = 40°, k h,b = 0.2, f a = 2.36
φ = 40°, k h,b = 0.3, f a = 1.40
Mmax /γsubH
3
0.35
0.15
0.05
(b)
0.0
0.2
0.8
1.0
k v,b = ± k h,b /2; V Ps = 1.87V Ss ; δ = φ /2
φ
φ
φ
φ
0.25
Mmax /γdH
3
0.35
0.4
0.6
H /TV Ss
0.15
= 30°, k h,b
= 30°, k h,b
= 40°, k h,b
= 40°, k h,b
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 2.86
= 1.74
= 3.93
= 2.45
(c)
0.05
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H /TV Ss
Figura 5.15 - Momento ribaltante massimo in condizioni di amplificazione limite per
diversi valori dell’angolo di resistenza al taglio del riempimento e del coefficiente
sismico orizzontale: (a) acqua vincolata; (b) acqua libera; (c) riempimento asciutto
112
0.0
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1; f a = 1
φ = 30°; δ = 15°
H /TV Ss = 0.3; H/TV Ps = 0.02
acqua vincolata ; γ sat /γ w= 1.9
z /H
0.2
0.4
p ae,pd (k v,b < 0)
t/T= 0.45; α = 31.9°
0.6
0.8
Pseudo-statico
(k v > 0)
p ae,M (k v,b < 0)
t /T =0.40; α =32.4°
1.0
0.0
0.2
0.4
p ae /γ sub H
0.6
0.8
Figura 5.16 – Distribuzione della pressione attiva sismica normalizzata pae/γsubH in
funzione della profondità normalizzata z/H in corrispondenza del momento massimo
(pae,M) e della spinta massima (pae,pd) nel caso fa = 1
5.8. PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA SISMICA
ATTIVA
Steedman and Zeng [1990], per terreni asciutti ed in assenza di accelerazione sismica
verticale hanno dimostrato (§2.6.1.5) che il punto di applicazione della risultante
dell’incremento sismico (Ph) si sposta verso l’alto lungo la parete del muro
all’aumentare di H/TVSs, indipendentemente da α e kh,b.
Bisogna tuttavia osservare che né Steedman and Zeng [1990] né successivamente
Choudhury e Nimbalkar [2006] indicano il punto di applicazione della spinta sismica
attiva totale (statica più dinamica), che dipende dal momento ribaltante totale M (statico
più dinamico) calcolato rispetto alla base del muro:
Il punto di applicazione della spinta sismica totale (statica più dinamica) si può definire
in due diversi modi.
Un primo approccio considera la pressione sismica pae,M agente quando è raggiunto il
momento massimo; in questo caso il punto di applicazione di PAE,M si trova ad altezza
hM dalla base del muro pari a:
H
M max
=
hM =
PAE ,M cos δ
∫p
ae ,M
cos δ (H − z )dz
0
(5.43)
H
∫p
ae ,M
cos δdz
0
La figura 5.17 mostra il rapporto hM/H in funzione di H/TVSs con H/TVPs = 0.02 ed fa =
1 per differenti combinazioni di φ, δ (=φ/2), kh,b e kv,b (= ±0.5kh,b) in situazione di acqua
vincolata (figura 5.17a), acqua libera (figura 5.17b) e terrapieno asciutto (figura
113
5.17c). Nel tracciare delle curve è stato considerato l’inviluppo dei valori di hM/H
relativi al maggiore tra il momento normalizzato fornito dai casi kv,b = 0.5kh,b e
kv,b = -0.5kh,b. L’andamento irregolare è dovuto al fatto che per due consecutivi valori di
H/TVSs può accadere che il momento maggiore si abbia prima per kv,b > 0 e poi per kv,b <
0 (o viceversa). Si può osservare che il trend è crescente all’aumentare di H/TVSs.
0.6
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ
H /TV Ps = 0.02; acqua vincolata ; γ sat /γ w = 1.9
φ = 30°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.3
hM /H
0.5
0.4
1/3
(a)
0.3
0
0.2
hM /H
0.5
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ ; H /TV Ps = 0.02
acqua libera ;γ sat /γ w = 1.9; γ d /γ w = 1.6
φ = 30°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.3
0.4
1/3
(b)
0.3
0
0.2
0.45
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ
terreno asciutto; V Ps = 1.87V Ss ; γ d /γ w = 1.6
φ
φ
φ
φ
hM /H
0.4
= 30°, k h,b
= 30°, k h,b
= 40°, k h,b
= 40°, k h,b
= 0.2
= 0.3
= 0.2
= 0.3
0.35
1/3
(c)
0.3
0
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1
Figura 5.17 – Punto di applicazione della spinta pseudo-dinamica PAE,M relativa al
momento massimo per fa = 1: (a) riempimento completamente sommerso in condizioni
di acqua vincolata; (b) riempimento completamente sommerso in condizioni di acqua
libera; (c) riempimento asciutto
114
In alternativa è possibile definire un punto virtuale di applicazione della massima spinta
sismica, PAE,pd:
∫ pae ,M cos δ (H − z )dz
M max
= 0 H
hP =
PAE , pd cos δ
cos δdz
∫p
H
0
(5.44)
ae , pd
Poiché PAE,pd > PAE,M, hP è minore di hM.
La figura 5.18 mostra i valori di hP/H in funzione di H/TVSs per differenti combinazioni
di φ, δ (=φ/2), kh,b e kv,b (= ±0.5kh,b) con H/TVPs = 0.02 ed fa = 1. Risulta evidente che,
per i valori di φ e kh,b esaminati, il rapporto hP/H è sostanzialmente indipendente da φ e
raramente supera il valore di 0.35 sia in condizioni di acqua vincolata (figura 5.18a) che
in condizioni di acqua libera (figura 5.18b); anche per terreni asciutti il punto di
applicazione virtuale è prossimo ad H/3 (figura 5.18c). L’andamento irregolare è dovuto
al fatto che per uno stesso valore di H/TVSs il momento massimo è raggiunto per kv,b > 0
mentre la spinta massima è raggiunta per kv,b < 0.
L’utilizzo della (5.44) è più conveniente rispetto alla (5.43) poiché contiene la stessa
spinta sismica PAE,pd usata per la verifica a scorrimento; inoltre per condizioni che
rientrano tra quelle esaminate, PAE,pd può essere applicata, con buona approssimazione e
senza bisogno di ulteriori calcoli, a quota 0.35H dalla base del muro.
I casi esaminati in figura 5.18a-c sono stati calcolati anche per i valori limite del fattore
di amplificazione ed i risultati ottenuti (per via numerica) sono rappresentati
graficamente in figura 5.19a-c. Si nota che in presenza di amplificazione i valori di hP/H
per i riempimenti completamente sommersi non differiscono significativamente da 1/3 e
non superano 0.36. Nel caso di riempimento asciutto si osserva un andamento
decrescente di hP/H per valori H/TVSs > 0.7.
115
0.36
hP/H
φ = 30°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.2
φ = 30°, k h,b = 0.3
0.34
1/3
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ
H /TV Ps = 0.02; acqua vincolata ; γ sat /γ w = 1.9
(a)
0.32
0
0.2
0.4
0.6
H/TV Ss
0.36
0.8
1
hP/H
φ = 30°, k h,b = 0.2
φ = 40°, k h,b = 0.2
φ = 30°, k h,b = 0.3
0.34
1/3
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ ; H /TV Ps = 0.02
0.32
0
0.36
0.2
hP/H
φ
φ
φ
φ
= 30°, k h,b
= 30°, k h,b
= 40°, k h,b
= 40°, k h,b
0.4
0.6
H/TV Ss
(b)
0.8
1
(c)
= 0.2
= 0.3
= 0.2
= 0.3
0.34
1/3
k v,b = ±0.5 k h,b ; f a = 1; δ = 0.5φ
terreno asciutto ; V Ps = 1.87V Ss ; γ d /γ w = 1.6
0.32
0
0.2
0.4
0.6
H/TV Ss
0.8
1
Figura 5.18 – Punto di applicazione della massima spinta pseudo-dinamica PAE,pd per fa
= 1: (a) riempimento completamente sommerso in condizioni di acqua vincolata; (b)
riempimento completamente sommerso in condizioni di acqua libera; (c) riempimento
asciutto
116
0.38
(a)
- faf=a 1.30
φfi == 30°
30°,- kh,b
k h,b==0.20.2,
= 1.30
φfi == 40°
40°,- kh,b
k h,b==0.20.2,
- faf=a 1.98
= 1.98
φfi == 40°
40°,- kh,b
k h,b==0.30.3,
= 1.15
- faf=a 1.15
hP /H
0.36
0.34
1/3
0.32
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
0.30
0
0.38
0.2
0.4
0.6
H/TV Ss
(b)
1
30°,- khmax
k h,b ==0.2,
=1.59
1.59
φfi == 30°
0.2 -ffa
a =
φfi == 40°
40°,- khmax
k h,b ==0.2,
=2.36
2.36
0.2 -ffa
a =
0.3 -ffa
φfi == 40°
40°,- khmax
k h,b ==0.3,
=1.40
1.40
a =
0.36
hP /H
0.8
0.34
1/3
0.32
0.30
k v,b = ± k h,b /2; H /TV Ps = 0.02; δ = φ /2
0
0.36
0.2
0.4
0.6
H /TV Ss
0.8
1
0.8
1
(c)
0.34
1/3
hP/H
φ
φ
φ
φ
0.32
0.30
= 30°, k h,b
= 30°, k h,b
= 40°, k h,b
= 40°, k h,b
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 0.2, f a
= 0.3, f a
= 2.86
= 1.74
= 3.93
= 2.45
k v,b = ± k h,b /2; V Ps = 1.87V Ss ; δ = φ /2
0.28
0
0.2
0.4
0.6
H/TV Ss
Figura 5.19 - Punto di applicazione virtuale hP/H in condizioni di amplificazione limite
per diversi valori dell’angolo di resistenza al taglio del riempimento e del coefficiente
sismico orizzontale: (a) acqua vincolata (b) acqua libera (c) riempimento asciutto
117
5.9. OSSERVAZIONI
5.9.1. CONDIZIONE AL CONTORNO IN SUPERFICIE
La doppia integrazione rispetto al tempo delle accelerazioni (5.1) e (5.2) permette di
ottenere lo spostamento armonico orizzontale (uh) e verticale (uv) del terreno:
uh ( z ,t ) = −
u v ( z ,t ) = −
ah ( z ,t )
(5.45)
av ( z ,t )
(5.46)
ω2
ω2
Supponendo che il terrapieno sia infinitamente esteso in direzione orizzontale (ovvero
che la risposta dinamica del terreno sia monodimensionale) ed applicando la legge di
Hooke per un materiale elastico lineare (A.31), le tensioni nel terreno sono date da:
σ h ( z ,t ) = λ
∂uv (z ,t )
∂z
σ v ( z ,t ) = (λ + 2G )
τ ( z ,t ) = G
(5.47)
∂uv ( z ,t )
∂z
(5.48)
∂uh ( z ,t )
∂z
(5.49)
essendo σh, σv e τ rispettivamente la tensione orizzontale, la tensione verticale e la
tensione tangenziale nel terreno; λ e G rappresentano rispettivamente la prima costante
di Lamé ed il modulo di taglio del terreno (o seconda costante di Lamé, spesso indicata
con μ).
Sostituendo le (5.1) e (5.2) rispettivamente nelle (5.45) e (5.46) e differenziando rispetto
alla profondità z, le tensioni (5.47) - (5.49) diventano:
σ h ( z,t ) = −λ
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
kv ,b g
⎟⎟⎥
cos ⎢ω ⎜⎜ t −
ωVPs
V
Ps
⎝
⎠⎦
⎣
σ v ( z,t ) = −(λ + 2G )
τ (z,t ) = −G
(5.50)
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
kv ,b g
⎟⎥
cos ⎢ω ⎜⎜ t −
ωVPs
VPs ⎟⎠⎦
⎣ ⎝
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤
kh ,b g
⎟⎥
cos ⎢ω ⎜⎜ t −
VSs ⎟⎠⎦
ωVSs
⎣ ⎝
(5.51)
(5.52)
La soluzione dell’equazione d’onda monodimensionale che si propaga verticalmente in
un mezzo isotropo linearmente elastico (Appendice A) richiede che le tensioni siano
nulle in corrispondenza della superficie libera (supposta scarica). Si può osservare
facilmente che le (5.50) - (5.52) assumono un valore finito per z = 0, pertanto le
118
espressioni (5.1) e (5.2) non soddisfano la condizione al contorno in superficie ma
rappresentano soltanto le onde S e P incidenti che si propagano verticalmente nel
terrapieno (e non le onde stazionarie).
Nonostante questo difetto, in letteratura sono stati proposti numerosi studi basati sulle
espressioni (5.1) e (5.2), sia per quanto riguarda la spinta attiva [Nimbalkar et al., 2006,
Ahmad e Choudhury, 2008a, Azad et al., 2008, Choudhury e Ahmad, 2008, Choudhury
e Nimbalkar, 2008, Ahmad e Choudhury, 2009, Narasimha Reddy et al., 2009, Ghosh,
2010] sia per quanto riguarda la resistenza passiva [Choudhury e Nimbalkar, 2005,
Choudhury e Nimbalkar, 2007, Nimbalkar e Choudhury, 2007, Ahmad e Choudhury,
2008b].
C’è comunque da osservare che Steedman e Zeng [1990] hanno svolto delle prove in
centrifuga che si sono dimostrate in buon accordo con il loro modello (§2.6.1.7).
5.9.2. CALCOLO DELLE PRESSIONI SISMICHE
Come illustrato in §5.2, le forze di inerzia orizzontale e verticale Qh,v si ottengono
integrando lungo l’altezza H del muro il prodotto tra la massa m(z) dell’elemento di
terreno e la corrispondente accelerazione ah,v(z,t). Nell’ipotesi fa = 1, le formule (5.8) e
(5.10) così ottenute vengono impiegate per calcolare la spinta sismica pseudo-dinamica
PAE,pd, differenziando la quale (rispetto a z) è possibile ricavare la distribuzione delle
pressioni sismiche attive pae (5.40), che assume - in funzione di Rγ - forme diverse a
seconda della condizione di acqua vincolata o libera all’interno del terrapieno. Nel
derivare PAE,pd si sostituisce semplicemente z con H nelle espressioni del peso del cuneo
Wsub e delle forze di inerzia Qh e Qv che compaiono nella (5.19).
Si può anche pensare di ricavare il valore della pressione sismica attiva in funzione della
profondità imponendo l’equilibrio orizzontale e verticale di un cuneo di terreno di
altezza z (figura 5.20). Introducendo una variabile ausiliaria z , di valore compreso tra 0
e z, si può esprimere la massa di una striscia di terreno di spessore d z appartenente al
cuneo elementare di altezza z come (figura 5.20):
m( z ) =
γ * (z − z )
dz
g tan α
(5.53)
Se si considera il cuneo elementare di terreno di peso sommerso:
Wsub ( z ,α ) =
γ sub z 2
2 tan α
(5.54)
119
le forze di inerzia Qh,v agenti si possono ottenere moltiplicando le accelerazioni (5.1) e
(5.2) - nelle quali compare la differenza di fase (H-z)/TVS,Ps che dipende dall’altezza H
del muro - per la massa della striscia ed integrare il prodotto m( z )·ah,v(t, z ) facendo
variare z tra 0 e z:
Qh (t ,α , z ) =
z=z
∫ ah (z , t )m(z ) =
z =0
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤ γ * ( z − z )
a
sin
∫ h ,b ⎢⎢ω⎜⎜⎝ t − VSs ⎟⎟⎠⎥⎥ g tan α dz =
z =0
⎣
⎦
z=z
⎧ 2πH z
⎛ 2πt
⎜⎜
cos
⎪
*
2
⎝ T
⎛ TVSs ⎞ kh ,bγ H ⎪ TVSs H
=⎜
⎟
⎨
2
⎝ H ⎠ 4π tan α ⎪
⎡ 2πt 2πH
⎪− sin ⎢ T − TV
Ss
⎣
⎩
2
Qv (t ,α , z ) =
z=z
∫ av (z , t )m(z ) =
z =0
*
2
2πH ⎞
⎟+
TVSs ⎟⎠
(5.55)
⎡ ⎛ H − z ⎞⎤ γ * (z − z )
⎟⎥
a
sin
dz =
⎢ω ⎜⎜ t −
v
,
b
∫
VPs ⎟⎠⎥⎦ g tan α
⎢⎣ ⎝
z =0
z=z
⎧ 2πH z
⎛ 2πt
cos⎜⎜
⎪
⎝ T
⎛ TV ⎞ k γ H ⎪ TVPs H
= ⎜ Ps ⎟ v ,b2
⎨
⎝ H ⎠ 4π tan α ⎪
⎡ 2πt 2πH
⎪− sin ⎢ T − TV
Ps
⎣
⎩
2
⎫
⎪
⎪
⎬
⎛ 2πt 2πH ⎞⎪
z ⎞⎤
⎛
⎟
−
⎜1 − ⎟⎥ + sin⎜⎜
TVSs ⎟⎠⎪⎭
⎝ H ⎠⎦
⎝ T
−
⎫
⎪
⎪
⎬
⎛ 2πt 2πH ⎞⎪
z ⎞⎤
⎛
⎟
−
⎜1 − ⎟⎥ + sin⎜⎜
TVPs ⎟⎠⎪⎭
⎝ H ⎠⎦
⎝ T
−
2πH ⎞
⎟+
TVPs ⎟⎠
(5.56)
Figura 5.20 – Schema geometrico di riferimento per il calcolo della distribuzione delle
pressioni considerando il cuneo elementare di terreno di altezza z
La distribuzione della pressione sismica attiva si ottiene dalla (5.38) che, in virtù
dell’equazione di equilibrio del cuneo (5.19), si scrive come:
∂Wsub (α , z )
∂Qh (α ,t , z )
∂Q (α ,t , z )
sin( α − φ ) +
cos( α − φ ) − v
sin( α − φ )
∂z
∂z
∂z
(5.57)
p AE (α ,t , z ) =
Inserendo nella (5.57) le (5.54) - (5.56) e svolgendo i calcoli, si ottiene una nuova
espressione della pressione sismica normalizzata pae/γsubH, diversa dalla (5.40):
120
⎧
⎫
sen(α − φ )
z
⎪
⎪
+
⎪
⎪
⎪ (5.58)
⎧
⎫
k h ,max cos(α − φ )
⎡ 2πt 2πH ⎛ z
p ae (α ,t , z ) ⎪
⎛ TVSs ⎞ ⎪ ⎛ 2πt 2πH ⎞
⎞⎤ ⎪ ⎪
⎟⎟ − cos ⎢
1
= ⎨+
−
+
−
+
⎜
⎟ Rγ ⎨cos⎜⎜
⎜
⎟⎥ ⎬ ⎬
γ sub H
TVSs ⎠
TVSs ⎝ H
⎠⎦ ⎪⎭ ⎪
⎣T
⎪ 2π tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ H ⎠ ⎪⎩ ⎝ T
⎪
⎪
k v ,max sen(α − φ )
⎡ 2πt 2πH ⎛ z
⎛ TV Ps ⎞⎧⎪ ⎛ 2πt 2πH ⎞
⎞⎤ ⎫⎪
⎪+
⎪
⎜
⎟
−
⎜
⎟ cos
⎟ − cos ⎢ T + TV ⎜ H − 1⎟⎥ ⎬⎪
⎪ 2π tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ H ⎠⎨⎪ ⎜⎝ T
⎪
TV
⎝
⎠
Ps
Ps
⎠
⎣
⎦
⎩
⎭
⎩
⎭
Si sottolinea che gli integrali lungo H delle distribuzioni (5.40) e (5.58) forniscono
come risultato la stessa spinta PAE,pd agente sul muro.
La figura 5.21 confronta con un esempio le distribuzioni delle pressioni (5.40) e (5.58).
Si nota che le pae valutate con la (5.58) sono maggiori in prossimità della superficie
rispetto alle pae (5.40) che invece presentano un andamento marcatamente più lineare
con valori più elevati spostati verso il basso: ciò comporta lo spostamento verso l’alto
del punto di applicazione della spinta sismica PAE,pd se il momento ribaltante (5.41) è
calcolato con la distribuzione (5.58) al posto della (5.40).
0.0
p ae
eq. (5.57)
0.2
z/H
0.4
0.6
0.8
p ae
eq. (5.39)
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
φ = 30°; δ = 15°
1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
p ae / γ sub H
0.5
0.6
0.7
Figura 5.21 - Confronto tra le pressioni sismiche attive ottenute con le distribuzioni
(5.40) e (5.58)
5.9.3. COMPONENTI DELLA DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI
SISMICHE
La pressione sismica attiva (5.40) può essere interpretata, secondo quanto suggerito da
Steedman e Zeng [1990] e Choudhury e Nimbalkar [2006], come la somma di tre
componenti che dipendono rispettivamente dal peso (pz), dalla forza di inerzia
orizzontale (ph) e dalla forza di inerzia verticale (pv) del cuneo:
121
⎧
sin(α − φ )
z
+
⎪
⎛ 2πt 2πH z
p ae (α , t , z ) ⎪⎪
z
= ⎨+
−
Rγ
sin⎜⎜
γ sub H
H
TV Ss H
⎝ T
⎪ tan α cos(φ + δ − α )
⎪
⎛ 2πt 2πH z ⎞
z
⎪−
⎟
−
sin⎜⎜
TV Ps H ⎟⎠
⎝ T
⎫
⎪
⎪
⎞ ⎪⎪
⎟⎟ + ⎬ = p z + p h + p v (5.59)
⎠ ⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Osservando più attentamente la componente pz, definita:
pz =
sin(α − φ )
z
tan α cos (φ + δ − α ) H
(5.60)
si può notare che essa non rappresenta la pressione del terreno in assenza di terremoto,
dal momento che la dimensione del cuneo (cioè l’angolo α) in condizioni dinamiche
cambia rispetto al caso statico; inoltre quando α è minore di φ, pz assume valori
negativi.
La figura 5.22 illustra un esempio che riporta le componenti pz, ph e pv dell’espressione
(5.59): nel caso in esame il termine pz è negativo e pertanto non può essere considerato
rappresentativo delle condizioni in assenza di sisma: infatti α = 29.06° (< φ = 30°) e
perciò risulta sin(α-φ) < 0.
0
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
φ = 30°; δ = 15°
0.2
pz
z /H
0.4
ph
0.6
pv
0.8
1
-0.1
p ae
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
p /γ sub H
0.5
0.6
0.7
Figura 5.22 - Componenti della pressione sismica attiva normalizzata pae/γsubH secondo
l’interpretazione di Steedman e Zeng [1990] e Choudhury e Nimbalkar [2006]
Come illustrato nell’Appendice C, se si esegue lo sviluppo in serie della (5.40),
mettendo in evidenza i termini z/H, si ottiene:
pae (α ,t , z )
z
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
= F1 + F2 ⎜ ⎟ + F3 ⎜ ⎟ + F4 ⎜ ⎟ + F5 ⎜ ⎟ + F6 ⎜ ⎟ + ...
H
γ sub H
⎝H⎠
⎝H⎠
⎝H⎠
⎝H⎠
⎝H⎠
2
3
4
essendo i coefficienti Fi (i = 1…6):
122
5
6
(5.61a)
F1 =
⎡
⎛ 2πt ⎞
⎛ 2πt ⎞⎤ (5.61b)
sen(α − φ ) + kh ,b Rγ cos(α − φ )sen⎜
⎟ − kv ,b sen(α − φ )sen⎜
⎟⎥
⎢
tanα cos(φ + δ − α ) ⎣
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠⎦
F2 =
⎛ H ⎞⎤ (5.61c)
2π
⎛ 2πt ⎞ ⎡ kv ,b sen(α − φ ) ⎛⎜ H ⎞⎟
⎟⎟⎥
− kh ,b Rγ cos (α − φ )⎜⎜
cos⎜
⎟⎢
⎜
⎟
tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎣ tan α cos (φ + δ − α ) ⎝ TVPs ⎠
⎝ TVSs ⎠⎦
F3 =
2
2
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤ (5.61d)
(2π )2
1
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎟⎟ − kh ,max Rγ cos(α − φ )⎜⎜
⎟⎟ ⎥
sen⎜
⎟ ⎢kv ,max sen(α − φ )⎜⎜
2 tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
⎝ TVPs ⎠
⎝ TVSs ⎠ ⎥⎦
⎣
1
F4 =
3
3
⎛ H ⎞ ⎤ (5.61e)
⎛ H ⎞
(2π )3
1
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
(
α
φ
)
(
α
φ
)
cos⎜
k
R
cos
k
sen
−
−
−
⎟ h ,b γ
v ,b
⎜ TV ⎟ ⎥
⎜ TV ⎟
6 tanα cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
Ss
⎝ Ps ⎠ ⎥⎦
⎠
⎝
⎣
4
4
4
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤ (5.61f)
1
(
2π )
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎜
⎜
⎟
⎟
⎢
⎥
− kv ,b sen(α − φ )⎜
F5 =
sen⎜
⎟ kh ,b Rγ cos(α − φ )⎜
24 tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
TVPs ⎟⎠ ⎥
TVSs ⎟⎠
⎝
⎝
⎣
⎦
5
5
5
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤ (5.61g)
(
1
2π )
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎟⎟ − k h ,b Rγ cos(α − φ )⎜⎜
⎟⎟ ⎥
F6 =
cos⎜
⎟ ⎢kv ,b sen(α − φ )⎜⎜
120 tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
⎝ TVPs ⎠
⎝ TVSs ⎠ ⎥⎦
⎣
Se si pone:
pz = F1
z
H
(5.62)
si può notare che, sebbene sia lineare con la profondità, la pz (5. 62) dipende anche dalle
caratteristiche della sollecitazione sismica.
L’esempio riportato in figura 5.23 mostra che lo sviluppo in serie (5.61), arrestato al
sesto grado, approssima bene la pressione normalizzata pae/γsubH (5.59) e confronta le
differenti definizioni (5.60) e (5.62) della componente pz.
0.0
k h,b = 0.2; k v,b = ±0.1
H /TV Ss = 0.3; H /TV Ps = 0.02
φ = 30°; δ = 15°
z/H
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
p ae
eq. (5.61)
pz
eq. (5.62)
pz
eq. (5.60)
0.0
0.1
p ae
eq. (5.59)
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
p /γ sub H
Figura 5.23 – Sviluppo in serie (5.61) della distribuzione delle pressioni (5.59) e
confronto tra le componenti pz linearmente variabili con la profondità, in accordo con
l’interpretazione (5.60) di Steedman e Zeng [1990] e secondo la definizione (5.62)
123
124
CAPITOLO 6
SPINTA PSEUDO-DINAMICA
DI UN TERRENO OMOGENEO
VISCO-ELASTICO LINEARE
POGGIANTE SU BASE RIGIDA
I metodi di Steedman e Zeng [1990] e di Choudhury e Nimbalkar [2006] assumono un
comportamento del terreno di tipo elastico-lineare; inoltre le accelerazioni che
descrivono la propagazione verticale delle onde P ed S nel terrapieno rappresentano un
campo d’onda incidente che non soddisfa la condizione al contorno in superficie (i.e.
tensioni nulle in corrispondenza della superficie libera, supposta scarica).
Partendo da un modello di comportamento del terreno di tipo visco-elastico lineare, in
questo capitolo sarà presentato un approccio pseudo-dinamico per il calcolo della spinta
sismica attiva agente su un’opera di sostegno in presenza di un campo d’onda
stazionario (dato dalla somma di onde incidenti e riflesse) all’interno del terrapieno.
6.1. RISPOSTA SISMICA DI UNO STRATO DI TERRENO VISCOELASTICO LINEARE POGGIANTE SU SUBSTRATO RIGIDO
IN PRESENZA DI ONDE S
In una situazione reale, quando un’onda si propaga nel terreno, si verificano
attenuazioni connesse a fenomeni di smorzamento interni, legati alla non linearità del
comportamento del terreno, e fenomeni di smorzamento per scattering, legati ai
fenomeni di riflessione e rifrazione che si verificano in corrispondenza dell’interfaccia
tra substrato e terreno per effetto della non rigidità del bedrock. Introducendo l’ipotesi
di non linearità del comportamento del terreno e conservando l’ipotesi di rigidità del
bedrock, per modellare l’attenuazione dell’ampiezza delle onde sismiche e quindi la
riduzione dell’energia elastica da esse trasportata (convertita in calore) dovuto allo
smorzamento interno del materiale, si può adottare il modello visco-elastico lineare di
Kelvin-Voigt, in cui la resistenza a taglio τ è esprimibile come somma di una
componente elastica e di una componente viscosa (figura 6.1):
τ = γG + η
∂γ
∂t
(6.1)
La componente elastica è proporzionale alla deformazione angolare di taglio
corrispondente γ = ∂u ∂z (essendo u lo spostamento del terreno) secondo una costante,
rappresentata dal modulo di taglio G e fisicamente rappresentata nel modello da una
molla; la componente viscosa è rappresentata da uno smorzatore, proporzionale alla
velocità di deformazione, secondo un coefficiente η, che rappresenta la viscosità del
materiale.
Figura 6.1 - Elemento soggetto a taglio orizzontale; la resistenza totale a taglio
dell’elemento è data dalla somma di una componente elastica (molla) e di una
componente viscosa (smorzatore) [Kramer, 1996]
Introducendo la relazione (6.1) nell’equazione di moto monodimensionale di un’onda S
(con velocità di propagazione VSs), è possibile ottenere lo spostamento orizzontale
uh(z,t) e l’accelerazione orizzontale ah(z,t) di uno strato di terreno visco-elastico di
spessore Hs poggiante su un substrato rigido, che sono rispettivamente (si veda
l’Appendice D per lo svolgimento dei passaggi matematici):
u h ( z ,t ) =
a h ( z ,t ) =
u h0
[cos(ωt )( AAH + BBH ) + sin(ωt )( ABH − BAH )]
A + B H2
2
H
a h ,0
A + BH2
2
H
(6.2)
(6.3)
essendo uh0 e ah0 (= −ω2uh0) rispettivamente lo spostamento orizzontale e
l’accelerazione orizzontale alla base dello strato viscoso, ω la frequenza angolare del
moto armonico ed i coefficienti (A, B) e (AH,BH) definiti dalle:
⎧ A = cos(kz ) cosh(kDz )
⎨
⎩ B = sin(kz ) sinh(kDz )
(6.4a)
⎧ AH = cos(kH s ) cosh(kDH s )
⎨
⎩ B H = sin(kH s ) sinh(kDH s )
(6.4b)
126
Capitolo 6 – Spinta pseudo-dinamica di un terreno omogeneo visco-elastico lineare
poggiante su base rigida
in cui:
k = ω/VSs è il numero d’onda;
D=
ηω
2G
è il fattore di smorzamento viscoso
La figura 6.2 mostra l’accelerazione del terreno alla base (z/Hs = 1, in cui ah0 = 0.2g), al
centro (z/Hs = 0.5) e alla sommità (z/Hs = 0) dello strato viscoso in corrispondenza della
frequenza fondamentale di vibrazione, caso in cui si ha la massima amplificazione
(Appendice D). Se D = 5% il rapporto tra l’accelerazione alla superficie e alla base
dello strato (per kHs = π/2) è pari a:
a h ( z = 0 ,t )
=
a h ( z = H s ,t )
1
cos (kH s ) + sinh 2 (kDH s )
2
≅ 12.7
Si sottolinea che la (6.3) contiene già gli effetti di amplificazione del moto prodotti
dalla risposta dinamica dello strato, mentre nell’espressione (5.28) per tener conto
dell’amplificazione sismica è stato introdotto il fattore fa (5.27), ipotizzando che
l’ampiezza dell’accelerazione sia linearmente variabile con la profondità.
3.0
z/Hs = 0
z/Hs = 0.5
z/Hs = 1
2.0
ah (g )
1.0
0.0
-1.0
-2.0
kH s = π /2
D = 5%
a h,0 = 0.2g
-3.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t /T
Figura 6.2 - Accelerazione dello strato di terreno visco-elastico lineare su substrato
rigido in corrispondenza della frequenza fondamentale di vibrazione
6.2. CONDIZIONE IN SUPERFICIE
Nel § 5.9.1 è stato dimostrato che l’accelerazione (5.1) proposta da Steedman e Zeng
[1990] non soddisfa la condizione al contorno in superficie: infatti in corrispondenza del
piano campagna (supposto scarico e orizzontale) le tensioni del terreno assumono un
valore finito e non si annullano.
Nell’ipotesi di uno strato di terreno omogeneo visco-elastico poggiante su un substrato
rigido, si può dimostrare che la tensione di taglio τ si annulla in corrispondenza della
127
superficie (z = 0), pertanto è soddisfatta la condizione che richiede l’annullarsi delle
tensioni al piano campagna (orizzontale e scarico). Peraltro, tale condizione è stata
imposta quando è stata ricavata l’espressione di uh (Appendice D). Volendo comunque
fornire una dimostrazione di quanto affermato, per il calcolo della derivata prima dello
spostamento orizzontale rispetto alla profondità è più conveniente, dal punto di vista
matematico, considerare l’espressione di uh scritta in termini complessi:
u h ( z ,t ) =
( )
( )
u h 0 cos k * z
exp(iωt )
cos k * H s
(6.5)
Il termine k* è il numero d’onda complesso, definito nella (D.30). La (6.5) è
equivalente, dal momento che soltanto la parte reale ha significato fisico (Appendice D),
alla (6.2).
La tensione di taglio τ è pari a:
( )
( )
⎞
u exp(iωt ) ∂
∂ ⎛ u h 0 cos k * z
⎟=μ 0 *
(
)
τ = μ ⎜⎜
ω
exp
i
t
cos k * z
*
⎟
∂z ⎝ cos k H s
cos k H s ∂z
⎠
(
u exp(iωt ) *
⇒ τ = −μ 0 *
k sin k * z
cos k H s
(
)
( )
)
( )
(6.6)
In superficie (z = 0) si ha che:
τ (z = 0) = − μ
u0 exp(iωt ) *
k sin k * 0 = 0
cos k * H s
(
)
( )
(6.7)
Perciò è soddisfatta la condizione al contorno in superficie. Dunque lo spostamento
orizzontale uh (6.2) e l’accelerazione orizzontale ah (6.3) possono essere considerati
rappresentativi di un’onda S stazionaria che si propaga in direzione verticale, verso
l’alto e verso il basso, all’interno di uno strato di terreno visco-elastico lineare
poggiante su un substrato rigido (figura 6.2).
u h (z ,t )
a h (z ,t )
Figura 6.2 - Onda S verticale stazionaria che si propaga in uno strato di terreno viscoelastico lineare poggiante su un substrato rigido
128
6.3. SPINTA DEL TERRENO
Il metodo di Steedman e Zeng [1990] calcola la spinta sismica attiva prodotta dal
passaggio di un’onda S incidente nel terrapieno, ipotizzando che l’opera di sostegno (di
altezza H) poggi direttamente su un substrato rigido (figura 6.3a).
È possibile estendere il discorso ad un muro che sostiene un terrapieno orizzontale
omogeneo visco-elastico lineare poggiante su base rigida, in cui non necessariamente
l’altezza H dell’opera coincide con l’altezza dello strato Hs (figura 6.3b). Si definisce
pertanto il rapporto r tra l’altezza del muro e l’altezza dello strato:
r=
H
Hs
(6.8)
compreso tra 0 ( in assenza dell’opera) ed 1 (caso in cui l’altezza dell’opera è pari
all’altezza dello strato).
(a)
(b)
Figura 6.3 - Schema di calcolo utilizzato (a) dal metodo pseudo-dinamico di Steedman e
Zeng [1990] e (b) dal modello pseudo-dinamico proposto
Con riferimento allo schema di un cuneo di terreno asciutto in figura 6.4 è possibile
ripetere i ragionamenti discussi nei § 2.6.1.2 e 2.6.1.3 e calcolare la spinta attiva
pseudo-dinamica PAE,pd agente sul muro utilizzando l’accelerazione (6.3) al posto della
(2.56). A partire dalla spinta PAE,pd si definisce poi analogamente il coefficiente di spinta
pseudo-dinamico KAE,pd come nella (2.67).
Dal momento che non è possibile ottenere una espressione in forma chiusa per la forza
di inerzia Qh simile alla (2.60), i calcoli sono stati svolti utilizzando un programma di
129
calcolo appositamente scritto in linguaggio Fortran utilizzando il software Microsoft
Developer Studio (Appendice E).
La figura 6.5 mostra l’andamento di KAE,pd in funzione di kHs per valori di ah,0 = 0.2g, D
= 5%, r = 1, φ = 33°, δ = 16°. Nell’intorno della frequenza fondamentale di vibrazione
(kHs = π/2) si nota un significativo incremento del coefficiente di spinta, che assume
valori molto maggiori di uno ma comunque finiti (ciò è testimoniato dal fatto che il
fattore di amplificazione, in figura D.2, ha valore finito per kHs = π/2). In
corrispondenza delle successive frequenze naturali di vibrazione (kHs = 3π/2 e 5π/2)
KAE,pd raggiunge dei massimi relativi, che diminuiscono all’aumentare di kHs, e diventa
pressoché costante per kHs > 6.
Figura 6.4 - Schema di riferimento utilizzato per il calcolo della spinta pseudo-dinamica
del terreno
1.0
a h,0 = 0.2g
φ = 33°; δ = 16°
D = 5%
r =1
0.9
0.8
KAE,pd
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
1
π /2
2
3
4
3/2π
5
6
7
5/2π
8
9
10
kH s
Figura 6.5 - Coefficiente di spinta sismica pseudo-dinamico KAE,pd in funzione del
parametro adimensionale kHs
130
6.3.1.
CONFRONTO CON IL METODO DI STEEDMAN E ZENG
Il grafico di figura 6.6 confronta, in funzione di kHs, il coefficiente di spinta pseudodinamico KAE,pd calcolato con il metodo di Steedman e Zeng (curva grigia tratteggiata) e
il coefficiente di spinta calcolato assumendo il modello visco-elatico lineare (curva nera
continua) nell’ipotesi r = 1.
Si osserva che l’andamento di KAE,pd relativo al metodo di Steedman e Zeng [1990] ha
un andamento monotono decrescente, contrariamente alla curva che rappresenta il
modello proposto. Per valori di kHs minori di circa 2.5 l’approccio di Steedman e Zeng
non è affatto cautelativo, mentre lo diventa per valori superiori del parametro kHs.
1.0
a h,0 = 0.2g
φ = 33°; δ = 16°
D = 5%
r =1
0.9
0.8
KAE,pd
0.7
Strato visco-elastico lineare
su base rigida
0.6
0.5
Steedman e Zeng
0.4
0.3
0.2
0
1
π /2
2
3
4
3/2π
5
6
7
5/2π
8
9
10
kH s
Figura 6.6 - Confronto tra la spinta pseudo-dinamica del terreno calcolata secondo il
metodo di Steedman e Zeng [1990] e secondo il modello proposto
131
6.3.2.
EFFETTO DELLO SMORZAMENTO VISCOSO
La figura 6.6 mostra l’effetto del fattore di smorzamento D sull’andamento di KAEpd in
funzione di kHs.
Prevedibilmente, incrementando D (assunto pari al 5, 10 e 20%) si ha un aumento dei
fenomeni di attenuazione e dunque una diminuzione del coefficiente di spinta, la cui
riduzione è più accentuata per kHs < 5, mentre per valori superiori diventa praticamente
indipendente da D. Si può notare che nel caso D = 20% il coefficiente KAE,pd è inferiore
ad uno in corrispondenza della frequenza fondamentale di vibrazione dello strato.
1.0
D = 10%
0.8
D = 20%
0.7
KAE,pd
a h,0 = 0.2g
φ = 33°; δ = 16°
r =1
D = 5%
0.9
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
1
π /2
2
3
4
3/2π
5
6
7
5/2π
8
9
10
kH s
Figura 6.6 - Effetto dello smorzamento viscoso sul coefficiente di spinta pseudodinamico
132
6.3.3.
EFFETTO DEL RAPPORTO TRA L’ALTEZZA DEL MURO E
L’ALTEZZA DELLO STRATO
Il grafico di figura 6.7 mostra l’effetto del rapporto r (= H/Hs, figura 6.4) sul
coefficiente di spinta in funzione di kHs. Si osserva che al diminuire di r aumenta KAEpd
ed il fenomeno è molto accentuato per la prima (n = 1) e la seconda (n = 2) frequenza
naturale di vibrazione dello strato. Ciò si può spiegare considerando che in
corrispondenza della frequenza fondamentale (n = 0) tutto lo strato si muove tutto in
verso mentre per n = 1 e 2 lo strato subisce spostamenti (e dunque accelerazioni) sia in
un verso che nell’altro: dal grafico di figura 6.8 si nota che per valori di n = 1 e 2
(corrispondenti rispettivamente a kHs = 3π/2 e 5π/2) al diminuire della profondità
normalizzata z/Hs (perciò di r) aumenta la porzione dello strato viscoso interessata da
spostamenti (normalizzati, uh/uh,max) del terreno dello stesso segno.
1.0
a h,0 = 0.2g
φ = 33°; δ = 16°
D = 5%
0.9
0.8
r=1
r = 0.75
r = 0.5
r = 0.25
KAE,pd
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
π /2
0
1
2
3
4
3/2π
5
6
7
5/2π
8
9
10
kH s
Figura 6.7 - Effetto dello smorzamento viscoso sul coefficiente di spinta pseudodinamico
u h /u h,max
-1.0
0.00
-0.5
0.0
0.5
1.0
H = rH s
z /Hs
0.25
n=0
n=1
n=2
0.50
0.75
1.00
Figura 6.8 - Modi di vibrazione di uno strato omogeneo visco-elastico poggiante su
substrato rigido in funzione della profondità adimensionale
133
134
CAPITOLO 7
CONCLUSIONI
La presente tesi di dottorato ha affrontato lo studio delle opere di sostegno in condizioni
sismiche.
Nella prima parte della tesi, dopo una descrizione dei metodi disponibili in letteratura
per l’analisi delle opere di sostegno in condizioni sismiche, sono state esaminate e
discusse le forze agenti su una particolare tipologia di opere di sostegno rigide come le
banchine a cassoni. In particolare è stato analizzato il caso di un terrapieno parzialmente
sommerso, per il quale esistono diverse procedure di calcolo della spinta del terreno in
condizioni sismiche.
Nell’ipotesi verosimile che lo scorrimento alla base della struttura rappresenti la verifica
geotecnica più gravosa, è stato effettuato il dimensionamento dell’opera alla luce della
recente normativa italiana (D.M. 14/01/2008), considerando, ove necessario, anche le
indicazioni della normativa comunitaria (Eurocodice 8).
Per una tipica banchina a cassoni, assumendo l’angolo di resistenza al taglio del terreno
e l’angolo di attrito terreno-struttura variabili in intervalli di interesse pratico, i risultati
ottenuti con il tradizionale metodo pseudo-statico hanno mostrato che:
•
in condizioni sismiche, l’applicazione del metodo pseudo-statico secondo
l’approccio 1 è sempre più cautelativa dell’approccio 2; esiste tuttavia un valore di
soglia del coefficiente sismico orizzontale che rende impossibile il dimensionamento
dell’opera indipendentemente dall’approccio usato;
•
per bassi valori dell’accelerazione attesa su suolo rigido e soprattutto in presenza di
forze variabili il dimensionamento in condizioni statiche può risultare più gravoso di
quello in condizioni sismiche;
•
la presenza di sovrappressioni interstiziali nella parte sommersa del terrapieno,
considerata attraverso il coefficiente ru (assunto positivo e costante con la profondità),
comporta un aumento della larghezza del cassone necessaria per soddisfare la verifica a
scorrimento;
•
per bassi valori delle sovrappressioni interstiziali l’approccio “tipo Coulomb” per il
calcolo della spinta sismica del terreno risulta meno cautelativo dell’approccio “tipo
Rankine”; l’approccio “tipo Coulomb” diventa più conservativo per valori di ru superiori
ad un valore di transizione;
•
l’applicazione del metodo pseudo-statico utilizzando i valori del coefficiente
sismico orizzontale suggeriti dall’Eurocodice 8 comporta dei dimensionamenti più
onerosi rispetto a quelli ottenuti con il D.M. 14/01/2008.
Tenendo conto che il D.M. 14/01/2008, oltre a suggerire l’uso del metodo pseudostatico, consente ed incoraggia l’impiego di approcci progettuali prestazionali, è stato
condotto il dimensionamento della banchina a cassoni applicando un metodo degli
spostamenti semplificato. Con riferimento all’input sismico relativo al porto di Ancona,
i risultati ottenuti con il metodo degli spostamenti sono stati confrontati con quelli
ottenuti con il metodo pseudo-statico al variare di alcune grandezze e scelte progettuali.
I risultati dimostrano che:
•
la condizione più gravosa per l’opera si ha in condizioni di riempimento
completamente sommerso, pertanto la larghezza del cassone necessaria a soddisfare la
verifica a scorrimento, o a non superare lo spostamento ammissibile per la struttura,
aumenta all’aumentare del rapporto di sommersione;
•
all’aumentare del rapporto di sommersione aumenta il rapporto tra la larghezza
minima della banchina ottenuta con il metodo degli spostamenti e quella ottenuta con il
metodo pseudo-statico;
•
è possibile individuare uno spostamento ammissibile di transizione, dell’ordine di
pochi centimetri, oltre il quale il metodo degli spostamenti comporta dimensionamenti
meno onerosi rispetto al metodo pseudo-statico;
•
lo spostamento ammissibile di transizione aumenta sensibilmente al diminuire
dell’angolo di attrito alla base mentre resta praticamente costante per i diversi valori
dell’angolo di resistenza al taglio del riempimento e dell’angolo di attrito alle spalle del
muro;
•
il rapporto tra le larghezze minime ottenute con i due metodi, a parità di battente
idraulico, dipende dall’angolo di attrito alla base mentre è praticamente indipendente
dall’angolo di resistenza al taglio del terreno di riempimento e dall’angolo di attrito tra
riempimento e struttura.
136
Capitolo 7 - Conclusioni
Nella seconda parte della tesi è stato sviluppato un approccio pseudo-dinamico per il
calcolo della spinta sismica nel caso di riempimenti completamente sommersi, sulla
base del metodo di letteratura proposto da Steedman e Zeng per terreni asciutti ma che
viene impropriamente usato anche in presenza di acqua. Includendo i fenomeni di
amplificazione del moto sismico e trascurando la presenza delle sovrappressioni
interstiziali, sono stati valutati gli effetti prodotti dalla propagazione verticale delle onde
S e delle onde P all’interno di un terrapieno alle spalle di un’opera di sostegno. I
risultati ottenuti sono sintetizzati qui di seguito.
•
In terreni sommersi l’elevata velocità delle onde P limita gli effetti prodotti dalla
differenza di fase dell’accelerazione verticale del terreno.
•
La soluzione proposta consente di definire un coefficiente di spinta attiva pseudo-
dinamica che distingue tra le condizioni di acqua libera e vincolata.
•
Se il terreno è infinitamente rigido, il metodo pseudo-dinamico proposto è
perfettamente coincidente con il metodo pseudo-statico, che altrimenti comporta una
sovrastima della spinta sismica attiva.
•
La distribuzione della pressione sismica attiva con la profondità è di tipo non
lineare.
•
Il punto di applicazione della spinta sismica totale (statica più dinamica) ottenuto
con il metodo proposto può essere considerato ad una altezza 0.35H dalla base del
muro, sia in condizioni di acqua vincolata che di acqua libera; tale risultato si può
estendere anche ai terreni asciutti.
•
L’amplificazione sismica causa un aumento del coefficiente di spinta, delle
pressioni sismiche e del momento ribaltante, ma non cambia significativamente il punto
di applicazione della spinta pseudo-dinamica; esiste inoltre un valore di soglia
dell’amplificazione che non rende possibile l’applicazione del metodo.
Partendo dall’osservazione che l’accelerazione orizzontale del terreno originariamente
proposta da Steedman e Zeng è rappresentativa solo di un’onda incidente che non
soddisfa le condizioni al contorno in superficie, si è cercato di migliorare il metodo
partendo da un modello di comportamento del terreno più rigoroso. Studiando la
risposta dinamica di uno strato di terreno omogeneo visco-elastico lineare
(rappresentato dal modello di Kelvin-Voigt) poggiante su un substrato rigido, si è giunti
ad una nuova espressione dell’accelerazione che descrive un campo d’onda stazionario
137
e che tiene conto degli effetti dell’amplificazione sismica dello strato. Dai primi risultati
ottenuti nell’ipotesi di terrapieno asciutto si può osservare che:
•
il coefficiente di spinta pseudo-dinamico raggiunge dei massimi relativi in
corrispondenza delle frequenze naturali di vibrazione dello strato e può risultare
sensibilmente più elevato di quello ottenuto con la teoria di Steedman e Zeng;
•
il coefficiente di spinta diminuisce all’aumentare dei fenomeni di smorzamento
viscoso (che tengono conto delle attenuazioni legate al comportamento non lineare del
terreno) e del rapporto tra l’altezza del muro e l’altezza dello strato.
Il lavoro sviluppato in questa tesi di dottorato fornisce alcuni spunti per futuri
approfondimenti delle tematiche trattate, che riguardano:
•
l’estensione del metodo pseudo-dinamico basato sul metodo di Steedman e Zeng ai
riempimenti parzialmente sommersi, considerando anche la presenza di sovrappressioni
interstiziali;
•
il perfezionamento del metodo pseudo-dinamico basato sul modello di strato visco-
elastico poggiante su base rigida ai casi dei riempimenti completamente e parzialmente
sommersi, tenendo conto anche della propagazione delle onde P nel terreno e
dell’eventuale sviluppo delle sovrappressioni interstiziali;
•
il confronto dei risultati ottenuti con quelli degli approcci dinamici completi, che
rappresentano certamente lo strumento di calcolo più particolareggiato ma che
richiedono una buona padronanza dei concetti della dinamica dei terreni ed una serie di
parametri di input di non semplice determinazione.
138
APPENDICE A
PROPAGAZIONE
DELLE ONDE SISMICHE
A.1. COMPONENTI DELLA TENSIONE
Considerando un elemento di dimensione (dx·dy·dz) all’angolo di un sistema di
coordinate cartesiane x, y, z, lo stato tensionale sull’elemento stesso è descritto da un
totale di nove componenti σij che agiscono sulle sue facce (figura A.1). La prima e la
seconda lettera del pedice indicano rispettivamente la direzione parallela all’asse di
riferimento e l’asse perpendicolare al piano su cui la tensione agisce. Di conseguenza
σxx, σyy, σzz sono tensioni normali mentre le altre sei componenti sono tensioni
tangenziali. L’equilibrio alla rotazione intorno agli assi dell’elemento comporta che σij
= σji, pertanto soltanto sei componenti sono necessarie per descrivere completamente lo
stato tensionale dell’elemento.
Secondo la notazione ingegneristica è di uso più comune indicare le tensioni normali
con il simbolo σ utilizzando un solo pedice (σx, σy, σz) ed indicare le tensioni
tangenziali con il simbolo τ seguito da due pedici.
Figura A.1 – Notazione usata per le tensioni agenti su un elemento di dimensione
dx·dy·dz [Kramer, 1996]
A.2. COMPONENTI DELLA DEFORMAZIONE
Le componenti della deformazione possono essere visualizzate considerando la
proiezione sul piano x-y dell’elemento solido di figura A.1 e rappresentato dal
quadrilatero OACB mostrato in figura A.2. Dopo la deformazione l’elemento
infinitesimo è individuato da O’A”C’B” i cui spostamenti in direzione x e y sono
rispettivamente indicati con u e v.
Figura A.2 - Interpretazione geometrica delle piccole deformazioni [Lancellotta, 2004]
Con riferimento alla figura A.2, la componente secondo l’asse x dello spostamento
subito dal punto O è u, mentre quella subita dal punto B è u + du = u +
quantità
∂u
dx ; la
∂x
∂u
dx è lo spostamento relativo del punto B rispetto ad O ed indica la
∂x
variazione della distanza originaria OB prodotta dalla deformazione. Indicando con B’
la proiezione di B” lungo la direzione x, si può scrivere la deformazione longitudinale
εxx riferita alla distanza originaria come:
ε xx =
O' B' −OB [dx + (∂u ∂x )dx ] − dx ∂u
=
=
OB
dx
∂x
(A.1)
Analogamente per le altre direzioni si ricava:
ε yy =
∂v
∂y
(A.2)
ε zz =
∂w
∂z
(A.3)
140
Appendice A –Propagazione delle onde sismiche
Nelle espressioni (A.2) e (A.3) si sono indicati con v e w le componenti dello
spostamento in direzione z. Le deformazioni longitudinali εxx, εyy, εzz, sono solitamente
indicate anche come εx, εy, εz.
La deformazione angolare (detta anche di taglio o tangenziale) nel piano x-y
rappresenta il cambio di direzione relativa tra OB ed OA ed è uguale alla quantità α + β
(essendo tanα = du/dy e tanβ = dv/dx); per deformazioni infinitesime è lecito assumere
tanα ≈ α e tanβ ≈ β pertanto la relazione tra deformazione tangenziale e spostamenti è
espressa da:
ε xy =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
(A.4)
Analogamente si possono sviluppare le stesse relazioni per i piani y-z ed x-z, ottenendo:
ε yz =
∂w ∂v
+
∂y ∂z
(A.5)
ε zx =
∂u ∂w
+
∂z ∂x
(A.6)
Riassumendo, per il caso tridimensionale le 6 componenti di deformazione sono date
da:
ε xx =
ε xy =
∂u
(A.7a);
∂x
∂v ∂u
+
(A.7d);
∂x ∂y
ε yy =
ε yz =
∂v
(A.7b);
∂y
ε zz =
∂w ∂v
+
(A.7e);
∂y ∂z
∂w
(A.7c)
∂z
ε zx =
∂u ∂w
+
(A.7f)
∂z ∂x
Le rotazioni rigide attorno agli assi x, y, z sono rispettivamente:
1 ⎛ ∂w ∂v ⎞
1 ⎛ ∂u ∂w ⎞
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞
− ⎟⎟ (A.8a); Ω y = ⎜ −
Ω x = ⎜⎜
⎟ (A.8b); Ω z = ⎜⎜ − ⎟⎟ (A.8c)
2 ⎝ ∂y ∂z ⎠
2 ⎝ ∂x ∂y ⎠
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
A.3. RELAZIONE TRA SFORZI E DEFORMAZIONI
Il comportamento di un corpo si definisce elastico se le deformazioni prodotte da un
sistema di forze ad esso applicato scompaiono una volta rimosse tali forze. Se la
relazione sforzi-deformazione è di tipo lineare il comportamento è indicato come
elastico-lineare, mentre è definito elastico-non lineare se la stessa relazione non è
costante ma dipende dal livello di sforzo o di deformazione [Lancellotta, 1987].
In generale il legame tensioni-deformazioni si può scrivere, così come introdotto da
Cauchy nel 1822:
{σ } = [C ] ⋅ {ε }
(A.9)
141
dove:
{σ } e {ε } sono i vettori contenenti rispettivamente le 6 componenti di tensione e le 6
componenti di deformazione;
[C ] è la matrice di elasticità, composta da 36 coefficienti, definiti costanti elastiche se il
mezzo è omogeneo o caratteristiche elastiche se il mezzo è eterogeneo [Lancellotta,
1987].
Sviluppando la (A.9) si ha:
⎧σ xx = c11ε xx + c12ε yy + c13ε zz + c14ε xy + c15ε yz + c16ε zx
⎪
⎪σ yy = c21ε xx + c22ε yy + c23ε zz + c24ε xy + c25ε yz + c26ε zx
⎪σ = c ε + c ε + c ε + c ε + c ε + c ε
31 xx
32 yy
33 zz
34 xy
35 yz
36 zx
⎪ zz
⎨
⎪σ xy = c41ε xx + c42ε yy + c43ε zz + c44ε xy + c45ε yz + c46ε zx
⎪σ = c ε + c ε + c ε + c ε + c ε + c ε
51 xx
52 yy
53 zz
54 xy
55 yz
56 zx
⎪ yz
⎪⎩σ zx = c61ε xx + c62ε yy + c63ε zz + c64ε xy + c65ε yz + c66ε zx
(A.10)
La condizione che l’energia di deformazione elastica sia funzione solo del livello di
deformazione (i.e. cij = cji) riduce il numero di coefficienti indipendenti di [C ] da 36 a
21 [Kramer, 1996].
Se si assume che il materiale sia, oltre che elastico, anche isotropo (cioè il suo
comportamento è indipendente dalla direzione considerata), le costanti indipendenti si
riducono a 2, indicate solitamente λ e μ e note rispettivamente come 1° e 2° costante di
Lamé.
La relazione di proporzionalità tra tensione e deformazione per un materiale elasticolineare è nota come legge di Hooke (1676) e nel caso di un mezzo isotropo si può
dimostrare che:
⎧c11 = c22 = c33 = λ + 2 μ
⎪c = c = c = c = c = c = λ
⎪ 12
21
13
31
23
32
⎨
⎪c44 = c55 = c66 = μ
⎪⎩c14 = c24 = c34 = ... = 0
(A.11)
Utilizzando le espressioni (A.11), la legge di Hooke per un materiale isotropo
linearmente elastico diventa:
142
⎧σ xx = λε v + 2με xx
⎪σ = λε + 2με
v
yy
⎪ yy
⎪⎪σ zz = λε v + 2 με zz
⎨
⎪σ xy = με xy
⎪σ = με
yz
⎪ yz
⎪⎩σ zx = με zx
(A.12)
Con εv:
ε v = ε xx + ε yy + ε zz 
(A.13)
si indica la deformazione cubica (volumetrica).
Per comodità si è soliti introdurre, in funzione di λ e μ, anche altri parametri:
i) il modulo di Young E:
E=
μ (3λ + 2μ )
λ+μ
(A.14)
ii) il modulo di deformazione cubica K:
K =λ+
2μ
3
(A.15)
iii) il coefficiente di Poisson ν:
ν=
λ
(A.16)
2(λ + μ )
iv) la seconda costante di Lamé (μ) è anche nota come modulo di taglio (modulo di
elasticità tangenziale) e si indica spesso con G:
G≡μ
(A.17)
La legge di Hooke può essere espressa usando qualsiasi combinazione di due dei
parametri (A.14) - (A.17) e/o delle costanti di Lamé λ e μ (tabella A.1).
143
Tabella A.1 – Espressioni delle costanti elastiche
Costanti
λ,μ
λ
K,μ
μ,ν
ν,E
μ,E
2
K− μ
3
2μν
1 − 2ν
νE
μ (E − 2 μ )
3μ − E
μ
K
(1 + ν )(1 − 2ν )
E
2(1 + ν )
λ+
2μ (1 + ν )
3(1 − 2ν )
2μ
3
E
μ (3λ + 2μ )
λ+μ
9 Kμ
3K + μ
ν
λ
3K − 2 μ
2(3K + μ )
2(λ + μ )
νE
3(1 − 2ν )
μE
3(3μ − E )
2 μ (1 + ν )
E − 2μ
2μ
A.4. EQUAZIONI TRIDIMENSIONALI DEL MOTO PER UN
MATERIALE ISOTROPO LINEARMENTE ELASTICO
Applicando l’equazione dell’equilibrio dinamico (i.e. le forze esterne lungo una
direzione devono essere bilanciate dalla forza di inerzia nella stessa direzione)
all’elemento di figura A.3 si ottiene, per la direzione x:
∂σ xy ⎞
⎛
∂σ xz ⎞
∂σ xx ⎞
⎛
⎛
dx ⎟dydz − σ xx dydz + ⎜⎜ σ xy +
dy ⎟⎟dxdz − σ xy dxdz + ⎜ σ xz +
dz ⎟dxdy − σ xy dxdy =
⎜ σ xx +
(A.18)
∂z
∂x
∂y
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
2
∂ u
= ρ 2 dxdydz
∂t
dz
Figura A.3 – Tensioni agenti su un elemento infinitesimo in direzione x [Kramer, 1996]
Ripetendo il ragionamento anche per le direzioni y e z si ottiene:
144
⎧ ∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
∂ 2u
+
+
=
ρ
⎪ ∂x
∂y
∂z
∂t 2
⎪
⎪⎪ ∂σ yx ∂σ yy ∂σ yz
∂ 2v
+
+
=ρ 2
⎨
∂y
∂z
∂t
⎪ ∂x
⎪ ∂σ
∂σ zy ∂σ zz
∂2w
+
=ρ 2
⎪ zx +
⎪⎩ ∂x
∂y
∂z
∂t
(A.19)
Se si introduce l’ipotesi di materiale isotropo linearmente elastico, sostituendo le
(A.12) nelle (A.19) si ricava:
⎧∂
∂
∂
∂ 2u
(
)
(
)
(
)
+
+
+
=
λε
2
με
με
με
ρ
v
xx
xy
xz
⎪ ∂x
∂y
∂z
∂t 2
⎪
⎪⎪ ∂
∂
∂
∂ 2v
(
)
(
)
(
)
+
+
+
=
με
λε
2
με
με
ρ
⎨
yx
v
yy
yz
∂y
∂z
∂t 2
⎪ ∂x
⎪∂
∂
∂
∂2w
⎪ (με zx ) + (με zy ) + (λε v + 2 με zz ) = ρ 2
⎪⎩ ∂x
∂y
∂z
∂t
(A.20)
Scrivendo le componenti della deformazione in termini di spostamento così come
indicato dalle equazioni (A.7a) - (A.7f), le equazioni di moto (A.20) divengono:
⎧
∂ε v
∂ 2u
2
⎪(λ + μ ) ∂x + μ∇ u = ρ ∂t 2
⎪
∂ε v
∂ 2v
⎪
2
(
)
+
+
∇
=
v
λ
μ
μ
ρ
⎨
∂y
∂t 2
⎪
⎪
∂ε
∂2w
⎪(λ + μ ) v + μ∇ 2 w = ρ 2
∂z
∂t
⎩
dove ∇ 2 =
(A.21)
∂2
∂2
∂2
è l’operatore di Laplace.
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
A.4.1. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE TRIDIMENSIONALE DEL
MOTO PER UN MATERIALE ISOTROPO LINEARMENTE
ELASTICO
Le equazioni di equilibrio dinamico (A.20) possono essere scritte in modo da ottenere
due equazioni d’onda. Perciò soltanto due tipi di onde possono viaggiare in un mezzo
infinito [Kramer,1996]. Una soluzione descrive la propagazione di un’onda
irrotazionale mentre l’altra descrive la propagazione di un’onda di rotazione pura
[Prakash, 1981].
Differenziando la prima equazione delle (A.20) rispetto a x, la seconda rispetto a y e la
terza rispetto a z e sommando membro a membro i risultati ottenuti si ha:
145
(λ + 2μ ) ∇ 2ε
ρ
v
=
∂ 2ε v
∂t 2
(A.22)
che rappresenta l’equazione di un’onda che si propaga nel mezzo con velocità VP pari a
VP =
(λ + 2μ )
(A.23)
ρ
Ricordando che εv è la deformazione volumetrica (A.13), che pertanto non coinvolge
distorsioni angolari o rotazioni, l’equazione (A.22) descrive un’onda irrotazionale (i.e.
non implica cambiamenti di forma) [Kramer, 1996]. Questo tipo di onda è nota come
onda P (onda prima, onda di compressione, onda longitudinale); la velocità VP è la
velocità dell’onda P del materiale.
Introducendo le espressioni (A.16) e (A.17) nella (A.23) si può scrivere:
VP =
G (2 − 2ν )
ρ (1 − 2ν )
(A.24)
Se ν si avvicina al valore 0.5 (i.e. il mezzo diventa incompressibile) VP tende a valori
infinitamente grandi [Kramer, 1996].
Per ottenere la seconda soluzione del problema si differenzia la seconda delle (A.21)
rispetto a z e la terza rispetto a y e si elimina εv sottraendo l’una rispetto all’altra:
⎛ ∂w ∂v ⎞
∂ 2 ⎛ ∂w ∂v ⎞
− ⎟
− ⎟⎟ = ρ 2 ⎜⎜
∂t ⎝ ∂y ∂z ⎟⎠
⎝ ∂y ∂z ⎠
μ∇ 2 ⎜⎜
(A.25)
Ricordando l’espressione (A.8b) che si riferisce alla rotazione rigida attorno ad x, la
(A.25) può scriversi:
μ 2
∂2
∇ Ωx = 2 Ωx
ρ
∂t
(A.26)
Similmente si possono ricavare le espressioni che includono le rotazioni rigide attorno
agli assi y e z.
La (A.26) descrive un’onda distorsionale o isovolumica (i.e. non implica cambiamenti
di volume ma soltanto di forma). Una perturbazione di questo tipo è definita onda S
(onda seconda, onda di taglio, onda trasversale) e si sposta con velocità VS pari a:
VS =
G
(A.27)
ρ
Le figure A.4a e A.4b mostrano le deformazioni causate dal passaggio dei due tipi di
onde elastiche che si propagano nella stessa direzione:
146
•
il passaggio di un’onda P causa movimenti delle particelle paralleli alla direzione di
propagazione (figura A.4a);
•
il passaggio di un’onda S genera movimenti delle particelle perpendicolari alla
direzione di propagazione (figura A.4b).
Comparando le espressioni (A.24) e (A.27) si ottiene che:
VP
=
VS
(2 − 2ν ) > 1
(1 − 2ν )
(A.28)
Dal momento che un materiale è solitamente più resistente a compressione che non a
taglio la (A.28) dimostra che le onde P viaggiano più velocemente delle onde S (figura
A.4c). Se ad esempio si assume ν = 0.3 si ha VP = 1.87VS.
La velocità di propagazione dell’onda non deve essere confusa con la velocità del moto
(ad esempio ∂u ∂t ) che è invece, in generale, funzione del punto e dell’istante di tempo
considerato [Faccioli, 2005].
Si ribadisce che le (A.24) e (A.27) sono valide nel caso di un mezzo isotropo
linearmente elastico. Sebbene nel caso dei terreni lo studio della propagazione delle
onde sia molto più complesso, in questa trattazione si ritiene sufficiente far notare che:
•
l’acqua può essere considerata incompressibile se comparata allo scheletro solido
pertanto la velocità delle onde P in terreni saturi non è rappresentativa del terreno ma
dell’acqua;
•
poiché l’acqua ha una resistenza a taglio trascurabile (i.e. G ≈ 0) la velocità delle
onde S in terreni saturi è rappresentativa delle proprietà del terreno [Prakash, 1981].
Le onde P ed S si propagano in un mezzo infinitamente esteso e sono dette onde di
volume. L’interazione tra le onde di volume inclinate e la superficie libera della terra
produce onde di superficie. I movimenti generati dalle onde superficiali sono
concentrati in una zona poco profonda vicino la superficie e la loro ampiezza decresce
all’incirca in modo esponenziale con la profondità. Le onde di superficie più importanti
da un punto di vista ingegneristico sono le onde di Rayleigh e le onde di Love: le onde
di Rayleigh producono movimenti delle particelle verticali e orizzontali, le onde di Love
non generano invece movimenti verticali (figura A.5b e A.5a) [Kramer, 1996].
In virtù delle caratteristiche dei terreni attraversati (ovvero i moduli elastici, e.g. E e G,
aumentano con la profondità e pertanto le velocità di propagazione aumentano) e dei
fenomeni di rifrazione che avvengono nel passaggio tra uno strato e l’altro, la traiettoria
di propagazione delle onde P ed S viene incurvata progressivamente verso la verticale
147
man mano che ci si avvicina alla superficie terrestre. Per tale ragione, a meno di
geometrie particolari, si assume di solito che le onde sismiche incidano verticalmente
alla superficie terrestre.
Figura A.4 – Rappresentazione grafica delle deformazioni generate dal passaggio dei
diversi tipi di onde elastiche propagantisi nella stessa direzione: (a) onda longitudinale;
(b) onda trasversale [Solbiati e Marcellini 1983]. (c) Dipendenza del rapporto fra
velocità di propagazione dal coefficiente di Poisson ν [Faccioli, 2005]
a)
a)
b)
Figura A.5 - Rappresentazione grafica delle deformazioni generate dal passaggio dei
diversi tipi di onde elastiche propagantisi nella stessa direzione: (a) onda di superficie
tipo Love; (b) onda di superficie tipo Rayleigh [Solbiati e Marcellini 1983]
148
A.4.2. PROPAGAZIONE MONODIMENSIONALE
Considerando soltanto il piano x-z di figura A.1 (e.g. terreno che si estende
indefinitamente in direzione orizzontale), tenendo conto delle (A.7) e della definizione
di deformazione cubica εv (A.13), la legge di Hooke rappresentata dalle (A.12) si scrive:
⎧
∂u
∂w
⎪σ xx = (λ + 2 μ ) + λ
∂x
∂z
⎪
∂u
∂w
⎪
+ (λ + 2 μ )
⎨σ zz = λ
∂z
∂x
⎪
⎪
⎛ ∂u ∂w ⎞
⎟
⎪σ zx = μ ⎜ +
⎝ ∂z ∂x ⎠
⎩
(A.29)
Le equazioni dell’equilibrio dinamico (A.21) diventano:
⎧
⎡ ∂ 2u ∂ 2 w ⎤
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂ 2u
⎜
⎟
⎪(λ + μ )⎢ 2 +
⎥ + μ ⎜ ∂x 2 + ∂z 2 ⎟ = ρ ∂t 2
⎣ ∂ x ∂x∂z ⎦
⎝
⎠
⎪
⎨
2
2
2
2
2
⎪(λ + μ )⎡ ∂ u + ∂ w ⎤ + μ ⎛⎜ ∂ w + ∂ w ⎞⎟ = ρ ∂ w
⎢ ∂z∂x ∂z 2 ⎥
⎜ ∂x 2 ∂z 2 ⎟
⎪
∂t 2
⎣
⎦
⎝
⎠
⎩
(A.30)
Se ci si riferisce soltanto a variazioni lungo la profondità z, le derivate rispetto ad x si
annullano e si ricava:
- legge di Hooke 1D:
∂w
⎧
⎪σ xx = λ ∂z
⎪
∂w
⎪
⎨σ zz = (λ + 2 μ )
∂z
⎪
∂u
⎪
⎪σ zx = μ ∂z
⎩
(A.31)
- equazioni del moto 1D:
⎧ ∂ 2u
∂ 2u
μ
ρ
=
⎪⎪ ∂z 2
∂t 2
⎨
2
2
⎪(λ + 2 μ ) ∂ w = ρ ∂ w
⎪⎩
∂z 2
∂t 2
(A.32)
Se si indica rispettivamente con:
σh = σxx la tensione orizzontale,
σv = σzz la tensione verticale,
τ = σzx la tensione tangenziale
agenti su un generico elemento di terreno, e con:
uh = u la componente dello spostamento in direzione orizzontale,
149
uv = w la componente dello spostamento in direzione verticale, introducendo le (A.31)
nelle (A.32) si ha:
⎧ ∂τ
∂ 2u
ρ
=
⎪⎪ ∂z
∂t 2
⎨
2
⎪ ∂σ v = ρ ∂ w
⎪⎩ ∂z
∂t 2
(A.33)
A.4.3. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE D’ONDA
MONODIMENSIONALE
Se si scrivono le equazioni (A.32) tenendo conto della velocità di propagazione delle
onde P (A.22) e della velocità di propagazione delle onde S (A.27) si ottiene:
⎧ ∂ 2u
1 ∂ 2u
=
⎪ 2
VS2 ∂t 2
⎪ ∂z
⎨ 2
2
⎪∂ w = 1 ∂ w
⎪⎩ ∂z 2 VP2 ∂t 2
(A.34)
Se, ad esempio, si considera la prima delle (A.34) si può dimostrare che la soluzione
generale dell’equazione è del tipo:
u ( z ,t ) = f1 (VS t − z ) + f 2 (VS t + z )
(A.35a)
oppure, analogamente:
⎛
z
u ( z ,t ) = f1 ⎜⎜ t −
⎝ VS
⎛
⎞
z
⎟⎟ + f 2 ⎜⎜ t +
⎝ VS
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
(A.35b)
essendo f1 ed f2 funzioni differenziabili, determinate dalle condizioni iniziali del
problema, che rappresentano rispettivamente una perturbazione che si propaga in avanti
(i.e. nel verso positivo dell’asse z) con velocità VS ed una perturbazione che si propaga
all’indietro (i.e. nel verso negativo dell’asse z) con velocità VS.
A.4.4. ONDE STAZIONARIE E ONDE ARMONICHE
Il mezzo elastico precedentemente considerato è sede di una oscillazione stazionaria
che si propaga al suo interno con generica velocità V se il moto di ogni sua particella è
proporzionale ad una funzione temporale identica per tutte le particelle, e dunque
indipendente dalla posizione [Faccioli, 2005].
Una soluzione di tipo stazionario delle equazioni d’onda (A.34) si può determinare per
separazione delle variabili; se si prende ad esempio la prima delle (A.34) la soluzione è
data da:
150
u ( z ,t ) = A cos(ωt − kz ) + B cos(ωt + kz )
(A.36)
I due termini rappresentano onde armoniche di lunghezza infinita, per cui si deduce che
la più generale oscillazione di tipo stazionario può essere costruita sovrapponendo due
onde aventi verso di propagazione opposto, che generano alternativamente interferenza
costruttiva e distruttiva [Faccioli, 2005].
In generale un’onda armonica può essere espressa, se per esempio si considera soltanto
la prima parte della (A.36), nella forma:
u ( z ,t ) = A cos(ωt − kz )
(A.37)
in cui:
- A è l’ampiezza dell’onda;
- ω è la frequenza angolare (frequenza circolare, pulsazione):
ω=
2π
T
(A.38)
essendo T il periodo del moto
- k è il numero d’onda:
k=
ω
(A.39)
VS
Il numero d’onda k è legato alla lunghezza d’onda λ (cioè la lunghezza di un ciclo
sinusoidale completo nello spazio) attraverso la relazione:
λ = VS T = VS
2π
ω
=
2π
k
(A.40)
cioè:
k=
2π
(A.41)
λ
La (A.41) è analoga alla (A.38) sostituendo k con ω e λ con T. Infatti k rappresenta il
numero di onde presenti in un intervallo spaziale lungo 2π, mentre ω indica il
medesimo numero in un intervallo temporale della stessa lunghezza (2π) [Faccioli,
2005]. L’equazione (A.37) indica pertanto che lo spostamento u ha una variazione
armonica sia rispetto al tempo t che alla lunghezza z (figura A.6).
Se si differenzia due volte rispetto a z e due volte rispetto a t l’espressione (A.37),
sostituendo i
risultati
nella
prima
delle equazioni (A.34) si ottiene che
ω 2 A cos(ωt − kz ) = VS 2 k 2 A cos(ωt − kz ) cioè ω = VS k , che verifica la relazione (A.40).
151
u
T = 2π / ω
t
(a)
λ = 2π / k
u
z
(b)
Figura A.6 – Profili in funzione del tempo (a) e dello spazio (b) associati alla
propagazione dell’oscillazione armonica (A.37)
Al reciproco del periodo T si dà il nome di frequenza (f):
f =
1 ω
=
T 2π
(A.42)
La frequenza f rappresenta il numero di cicli completi di variazione di u nell’unità di
tempo. Dalla (A.40) si può notare che ad una data frequenza la lunghezza d’onda
aumenta se aumenta la velocità di propagazione VS.
Date due onde u1 (z ,t ) = A cos(ωt − kz ) e u 2 ( z ,t ) = A cos(ωt − kz + ζ ) della stessa
frequenza che si propagano con la stessa velocità nello stesso mezzo, alla quantità ζ si
dà il nome di differenza di fase (sfasamento) e rappresenta la distanza tra due minimi (o
due massimi) adiacenti delle due onde (figura A.7). Se ζ = mπ, con m numero pari, lo
sfasamento è pari ad un multiplo della lunghezza d’onda, le due onde coincidono e si
dicono in fase; se invece i valori di m sono dispari i massimi di un’onda coincidono con
i minimi dell’altra e le due onde sono in opposizione di fase [Faccioli, 2005].
152
u
ζ
z
Figura A.7 – Influenza della differenza di fase sul profilo di spostamento associato alla
propagazione dell’onda armonica (A.37)
153
154
APPENDICE B
RISULTATI NUMERICI
Tabella B.1 - Valori di α e t/T che massimizzano la spinta attiva ed il momento ribaltante (φ = 30°;
δ = 15°; kh,b = 0.2; H/TVPs = 0.02; acqua vincolata; γsat/γw = 1.9; fa = 1) – figure 4.5a, 4.6b, 4.8a,
4.13a
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γsubH α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γsubH3
50.1
48.5
46.4
44.0
41.1
37.7
33.4
29.1
25.0
22.3
21.5
21.3
0.96
0.88
0.81
0.74
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.4006
0.4391
0.4782
0.5169
0.5554
0.5949
0.6381
0.6856
0.7342
0.7726
0.7841
0.7876
50.6
48.4
45.8
42.8
39.4
35.4
31.4
27.6
24.3
22.0
21.4
21.3
0.75
0.71
0.66
0.61
0.56
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0674
0.0723
0.0775
0.0832
0.0894
0.0962
0.1038
0.1118
0.1192
0.1248
0.1262
0.1264
49.9
47.2
43.9
40.5
37.5
35.0
33.1
31.9
31.2
30.6
30.5
30.4
0.04
0.93
0.83
0.74
0.66
0.59
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3959
0.4045
0.4292
0.4705
0.5232
0.5809
0.6373
0.6868
0.7249
0.7488
0.7550
0.7572
49.0
46.4
43.6
40.8
38.2
36.0
33.9
32.4
31.3
30.7
30.5
30.4
0.75
0.69
0.64
0.59
0.54
0.49
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0581
0.0640
0.0712
0.0792
0.0879
0.0965
0.1047
0.1118
0.1173
0.1207
0.1215
0.1219
δ = 15°; kh,b = 0.2; H/TVPs = 0.02; acqua libera; γsat/γw = 1.9; γd/γw = 1.6; fa = 1) – figure 4.5b, 4.6b,
4.8b, 4.13b
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
51.4
50.0
48.3
46.4
44.1
41.4
38.4
35.1
32.0
30.0
29.5
29.3
0.95
0.88
0.81
0.74
0.67
0.60
0.53
0.46
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3850
0.4181
0.4503
0.4805
0.5084
0.5347
0.5605
0.5865
0.6114
0.6305
0.6358
0.6377
51.7
49.9
47.9
45.6
42.7
39.9
36.9
33.8
31.4
29.8
29.4
29.3
0.75
0.71
0.67
0.62
0.56
0.51
0.46
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0649
0.0688
0.0728
0.0769
0.0811
0.0855
0.0901
0.0947
0.0988
0.1016
0.1024
0.1023
51.3
49.1
46.3
43.6
41.4
39.5
38.2
37.0
36.5
36.1
36.0
35.9
0.05
0.94
0.83
0.73
0.65
0.58
0.51
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3803
0.3828
0.3987
0.4293
0.4698
0.5148
0.5589
0.5977
0.6280
0.6466
0.6515
0.6529
50.4
48.4
46.2
44.0
41.9
40.1
38.7
37.4
36.6
36.1
36.0
35.9
0.74
0.68
0.63
0.58
0.54
0.49
0.44
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0555
0.0603
0.0660
0.0725
0.0792
0.0860
0.0922
0.0976
0.1017
0.1043
0.1049
0.1054
Tabella B.3 - Valori di α e t/T che massimizzano la spinta attiva (φ = 30°; δ = 15°; kh,b = 0.2; acqua
vincolata; γsat/γw = 1.9; fa = 1) – figura 4.7
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
H/TVPs = 0.01
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T KAE,pd
H/TVPs = 0.1
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
α(°) t/T KAE,pd α (°) t/T KAE,pd
50.0
48.5
46.4
44.0
41.2
37.7
33.5
29.2
25.2
22.3
21.5
21.3
50.1
48.5
46.5
43.9
40.7
36.9
32.3
27.9
24.1
22.0
21.7
21.3
0.96
0.88
0.81
0.74
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.3994
0.4383
0.4779
0.5170
0.5559
0.5956
0.6385
0.6855
0.7336
0.7721
0.7839
0.7877
50.0
47.3
43.9
40.5
37.4
34.9
33.0
31.8
31.1
30.6
30.5
30.4
0.04
0.93
0.83
0.74
0.66
0.59
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3971
0.4055
0.4297
0.4703
0.5228
0.5804
0.6370
0.6866
0.7248
0.7488
0.7550
0.7572
0.97
0.89
0.82
0.75
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.4089
0.4442
0.4793
0.5141
0.5502
0.5897
0.6355
0.6870
0.7379
0.7745
0.7828
0.7878
49.7
46.8
43.7
40.8
38.1
35.9
34.2
32.8
31.7
30.8
30.4
30.1
0.04
0.92
0.82
0.73
0.66
0.59
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3864
0.3978
0.4279
0.4732
0.5276
0.5852
0.6405
0.6887
0.7256
0.7490
0.7549
0.7571
Tabella B.4 - Valori di α e t/T che massimizzano la spinta attiva (φ = 33°; δ = 16°; kh,b = 0.2;
H/TVPs = 0.02; acqua vincolata; γsat/γw = 1.9) – figura 4.10
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
fa = 1
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
fa = 1.20
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
α(°) t/T KAE,pd α (°) t/T KAE,pd
52.3
50.8
49.0
46.7
44.1
41.0
37.3
33.5
30.1
27.9
27.2
27.1
50.8
49.2
47.2
44.7
41.6
37.9
33.3
28.5
24.0
20.9
20.0
19.8
0.96
0.88
0.81
0.74
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3594
0.3945
0.4304
0.4657
0.5006
0.5359
0.5731
0.6123
0.6502
0.6788
0.6870
0.6897
52.2
49.7
46.6
43.6
40.9
38.7
37.1
36.0
35.3
34.9
34.8
34.7
0.04
0.93
0.83
0.74
0.66
0.59
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3553
0.3638
0.3867
0.4241
0.4713
0.5224
0.5723
0.6159
0.6494
0.6703
0.6757
0.6776
fa = 1.40
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
49.2
47.5
45.3
42.6
39.1
34.6
29.0
22.8
16.7
11.9
10.6
10.2
0.98
0.90
0.83
0.75
0.68
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.4002
0.4472
0.4963
0.5465
0.5990
0.6579
0.7294
0.8220
0.9367
1.0515
1.0904
1.1025
49.0
45.5
41.0
36.5
32.8
29.9
28.2
27.3
26.9
26.7
26.7
26.5
0.04
0.94
0.84
0.75
0.67
0.60
0.53
0.46
0.39
0.32
0.28
0.25
0.4004
0.4162
0.4526
0.5105
0.5829
0.6604
0.7329
0.7935
0.8386
0.8666
0.8735
0.8767
156
0.97
0.89
0.82
0.75
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.3789
0.4199
0.4621
0.5044
0.5474
0.5931
0.6443
0.7035
0.7663
0.8179
0.8333
0.8381
50.6
47.6
43.9
40.3
37.0
34.7
33.0
31.7
31.2
30.9
30.8
30.7
0.04
0.93
0.83
0.74
0.67
0.59
0.52
0.46
0.39
0.32
0.28
0.25
0.3771
0.3887
0.4173
0.4633
0.5214
0.5841
0.6442
0.6959
0.7355
0.7603
0.7664
0.7689
Appendice B - Risultati numerici
Tabella B.5 - Valori di α e t/T che massimizzano il momento ribaltante (φ = 30°; δ = 15°; kh,b = 0.2;
H/TVPs = 0.02; terreno asciutto; γsat/γw = 1.9; γd/γw = 1.6; fa = 1) – figura 4.13c
H/TVSs α(°)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
54.2
53.2
51.9
50.5
49.2
47.7
46.5
45.4
44.5
44.0
43.8
43.8
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
t/T Mmax/γsubH3 α(°) t/T Mmax/γsubH3
0.83
0.77
0.7
0.64
0.58
0.52
0.47
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0983
0.1008
0.1035
0.1064
0.1095
0.1126
0.1155
0.1182
0.1203
0.1216
0.1219
0.1221
54.3
53.2
52.1
51.0
50.0
49.0
48.1
47.5
47.0
46.6
46.6
46.5
0.67
0.64
0.61
0.57
0.52
0.48
0.44
0.39
0.34
0.30
0.27
0.25
0.0995
0.1039
0.1087
0.1137
0.1188
0.1236
0.1280
0.1318
0.1346
0.1364
0.1368
0.1370
δ = 15°; kh,b = 0.2; H/TVPs = 0.02; acqua vincolata; γsat/γw = 1.9; fa = 1.30) – figure 4.11a, 4.15a
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
47.5
45.7
43.5
40.6
36.9
32.2
26.3
19.6
12.5
5.9
3.2
2.1
0.98
0.90
0.82
0.75
0.67
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.4330
0.4813
0.5314
0.5825
0.6357
0.6962
0.7710
0.8719
1.0104
1.1924
1.2914
1.3401
49.2
46.5
43.2
39.4
34.7
29.3
23.3
17.0
10.8
5.3
3.0
2.1
0.76
0.72
0.67
0.62
0.56
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0720
0.0783
0.0853
0.0932
0.1024
0.1136
0.1276
0.1455
0.1680
0.1953
0.2091
0.2157
157
47.6
43.9
39.4
34.7
30.7
27.5
25.5
24.3
23.7
23.4
23.4
23.2
0.05
0.94
0.84
0.75
0.67
0.60
0.53
0.46
0.39
0.32
0.28
0.25
0.4321
0.4463
0.4818
0.5403
0.6151
0.6964
0.7739
0.8397
0.8891
0.9199
0.9275
0.9310
46.8
43.2
39.5
35.9
32.5
29.6
27.3
25.5
24.3
23.5
23.3
23.2
0.77
0.70
0.65
0.60
0.55
0.51
0.46
0.41
0.35
0.30
0.28
0.25
0.0612
0.0688
0.0783
0.0893
0.1013
0.1136
0.1252
0.1353
0.1431
0.1481
0.1494
0.1499
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γsubH3 α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γsubH3
49.4
48.2
46.1
43.3
39.4
34.2
27.5
19.9
12.2
5.4
2.8
1.8
0.01
0.92
0.84
0.76
0.68
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.3737
0.4269
0.4849
0.5474
0.6177
0.7043
0.8230
0.9988
1.2626
1.6425
1.8574
1.9579
53.5
50.4
46.8
42.4
37.0
30.7
23.7
16.7
10.2
4.7
2.7
1.8
0.78
0.73
0.68
0.62
0.56
0.51
0.45
0.39
0.34
0.30
0.27
0.25
0.0572
0.0649
0.0738
0.0842
0.0971
0.1139
0.1366
0.1676
0.2099
0.2647
0.2933
0.3065
49.7
45.0
39.0
33.3
28.9
26.3
25.7
25.8
26.3
26.8
26.8
26.7
0.04
0.94
0.84
0.76
0.69
0.62
0.54
0.47
0.4
0.32
0.29
0.25
0.3770
0.4086
0.4688
0.5579
0.6628
0.7637
0.8451
0.9044
0.9440
0.9680
0.9748
0.9784
49.3
44.7
40.2
36.2
32.9
30.5
28.8
27.8
27.3
26.9
26.8
26.7
0.79
0.73
0.67
0.62
0.57
0.52
0.47
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0490
0.0586
0.0707
0.0847
0.0996
0.1142
0.1273
0.1382
0.1463
0.1513
0.1527
0.1532
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = -0.5 kh,b
kv,b = 0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
52.0
50.2
47.8
44.6
40.5
34.9
27.8
20.0
12.2
5.7
3.3
2.5
0.98
0.90
0.82
0.74
0.67
0.59
0.51
0.44
0.37
0.31
0.28
0.25
0.3463
0.3993
0.4573
0.5203
0.5926
0.6826
0.8053
0.9851
1.2493
1.6173
1.8110
1.8921
54.0
50.9
47.1
42.6
37.1
30.7
23.7
16.7
10.3
5.0
3.2
2.5
0.76
0.71
0.66
0.61
0.55
0.5
0.44
0.39
0.34
0.29
0.27
0.25
0.0560
0.0635
0.0723
0.0827
0.0958
0.1129
0.1358
0.1669
0.2085
0.2605
0.2858
0.2962
158
51.7
46.9
41.2
35.6
31.2
28.4
27.1
26.7
26.8
26.9
26.9
26.8
0.03
0.92
0.83
0.74
0.67
0.60
0.53
0.46
0.39
0.32
0.28
0.25
0.3440
0.3728
0.4308
0.5174
0.6213
0.7254
0.8153
0.8846
0.9335
0.9635
0.9711
0.9753
50.0
45.6
41.3
37.3
33.9
31.3
29.5
28.2
27.5
27.0
26.9
26.8
0.76
0.70
0.65
0.61
0.56
0.51
0.46
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0474
0.0570
0.0689
0.0827
0.0975
0.1122
0.1256
0.1369
0.1454
0.1508
0.1522
0.1527
δ = 15°; kh,b = 0.2; H/TVPs = 0.02; acqua libera; γsat/γw = 1.9; γd/γw = 1.6; fa = 1.59) – figure 4.11b,
4.15b
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
47.3
45.7
43.6
41.0
37.6
33.0
27.4
20.3
13.0
6.1
3.3
2.2
0.98
0.90
0.83
0.76
0.68
0.60
0.53
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.4378
0.4875
0.5376
0.5865
0.6357
0.6889
0.7558
0.8484
0.9808
1.1604
1.2592
1.3065
49.4
46.8
43.8
40.1
39.1
30.2
24.1
17.6
11.2
5.4
3.3
2.1
0.77
0.73
0.68
0.62
0.57
0.51
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0728
0.0789
0.0855
0.0928
0.1005
0.1113
0.1243
0.1413
0.1632
0.1902
0.2038
0.2102
47.4
43.6
38.7
34.1
30.1
27.6
26.1
25.5
25.4
25.3
25.3
25.2
0.06
0.95
0.84
0.75
0.68
0.60
0.53
0.46
0.39
0.32
0.29
0.25
0.4400
0.4500
0.4818
0.5377
0.6101
0.6873
0.7591
0.8186
0.8627
0.8899
0.8965
0.8997
46.6
43.0
39.4
35.9
32.8
30.3
28.3
26.9
26.0
25.4
25.3
25.2
0.78
0.71
0.66
0.61
0.56
0.51
0.46
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0603
0.0677
0.0770
0.0879
0.0996
0.1113
0.1223
0.1316
0.1388
0.1433
0.1444
0.1448
4.15b
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
t/T
t/T
t/T
t/T Mmax/γsubH3
K
K
α(°)
Mmax/γsubH α(°)
AE,pd α(°)
AE,pd α(°)
49.3
48.4
46.6
44.1
40.6
35.7
29.0
20.9
12.7
5.4
2.5
1.3
0.01
0.92
0.84
0.77
0.69
0.61
0.53
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.3751
0.4283
0.4847
0.5432
0.6068
0.6836
0.7899
0.9534
1.2085
1.5954
1.8301
1.9547
53.8
51.0
47.6
43.4
38.2
31.9
24.7
17.3
10.5
4.6
2.3
1.3
0.79
0.74
0.68
0.63
0.57
0.51
0.45
0.39
0.34
0.30
0.27
0.25
0.0575
0.0649
0.0732
0.0827
0.0943
0.1096
0.1307
0.1604
0.2020
0.2580
0.2895
0.3059
159
49.9
44.7
38.6
32.7
28.5
26.5
26.3
27.4
28.3
29.0
29.1
29.0
0.05
0.94
0.85
0.77
0.69
0.62
0.55
0.47
0.40
0.32
0.29
0.25
0.3801
0.4082
0.4663
0.5538
0.6552
0.7471
0.8157
0.8623
0.8943
0.9137
0.9195
0.9224
49.1
44.4
40.0
36.2
33.3
31.4
30.2
29.6
29.3
29.2
29.1
29.0
0.80
0.73
0.68
0.63
0.58
0.52
0.47
0.42
0.36
0.31
0.28
0.25
0.0481
0.0574
0.0692
0.0827
0.0967
0.1102
0.1220
0.1315
0.1385
0.1428
0.1440
0.1445
4.15b
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
51.5
50.1
48.1
45.3
41.4
36.3
29.3
21.0
12.8
5.9
3.4
2.6
0.99
0.91
0.83
0.75
0.67
0.60
0.52
0.44
0.37
0.31
0.28
0.25
0.3507
0.4037
0.4600
0.5190
0.5838
0.6630
0.7728
0.9383
1.1911
1.5539
1.7478
1.8270
54.3
51.4
47.9
43.6
38.3
31.9
24.7
17.5
10.7
5.2
3.3
2.6
0.77
0.72
0.67
0.61
0.56
0.5
0.44
0.36
0.34
0.29
0.27
0.25
0.0563
0.0635
0.0716
0.0811
0.0929
0.1084
0.1296
0.1591
0.1994
0.2508
0.2759
0.2860
51.6
46.6
40.4
34.8
30.5
28.3
27.7
28.0
28.9
29.2
29.2
29.2
0.04
0.93
0.83
0.75
0.68
0.61
0.54
0.47
0.39
0.32
0.29
0.25
0.3510
0.3758
0.4309
0.5153
0.6147
0.7097
0.7869
0.8436
0.8832
0.9080
0.9143
0.9178
49.8
45.4
41.1
37.4
34.4
32.2
30.9
30.1
29.6
29.3
29.2
29.2
0.77
0.71
0.66
0.61
0.56
0.51
0.46
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0465
0.0558
0.0674
0.0806
0.0946
0.1081
0.1202
0.1301
0.1375
0.1421
0.1433
0.1437
δ = 15°; kh,b = 0.2; VPs = 1.87VSs; terreno asciutto; γd/γw = 1.6; fa = 2.86) – figure 4.11c, 4.15c
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH α(°) t/T KAE,pd α (°) t/T Mmax/γdH3
48.0
46.1
43.5
39.9
35.1
29.3
23.2
16.7
10.6
5.1
2.5
0.3
0.06
0.97
0.88
0.79
0.70
0.61
0.53
0.45
0.38
0.32
0.28
0.25
0.4775
0.4953
0.5167
0.5446
0.5828
0.6357
0.7080
0.8030
0.9262
1.0766
1.1673
1.2551
49.9
46.8
43.0
38.4
33.1
27.4
21.4
15.5
9.8
4.6
2.2
0.2
0.86
0.78
0.71
0.64
0.58
0.52
0.46
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0674
0.0714
0.0765
0.0830
0.0913
0.1019
0.1152
0.1317
0.1517
0.1756
0.1892
0.2012
160
45.0
43.5
41.6
39.9
37.8
36.4
34.9
33.7
32.8
32.3
32.1
32.1
1.00
0.91
0.83
0.75
0.68
0.60
0.53
0.46
0.39
0.32
0.29
0.25
0.4064
0.4459
0.4927
0.5445
0.5985
0.6519
0.7017
0.7446
0.7776
0.7984
0.8034
0.8055
49.80
47.20
49.60
42.10
39.70
37.50
35.60
34.10
33.00
32.30
32.10
32.10
0.73
0.70
0.65
0.61
0.56
0.51
0.46
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0665
0.0732
0.0808
0.0889
0.0973
0.1056
0.1134
0.1201
0.1253
0.1286
0.1294
0.1297
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH3 α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH3
49.0
47.1
44.5
40.8
35.9
29.9
23.6
17.2
10.9
5.1
2.5
0.3
0.05
0.96
0.87
0.78
0.69
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.4612
0.4785
0.5000
0.5284
0.5677
0.6220
0.6961
0.7944
0.9200
1.0749
1.1664
1.2539
50.3
47.2
43.3
38.7
33.4
27.6
21.5
15.6
9.9
4.6
2.3
0.4
0.84
0.77
0.70
0.63
0.57
0.51
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0662
0.0702
0.0753
0.0819
0.0904
0.1011
0.1146
0.1312
0.1514
0.1755
0.1891
0.2016
46.7
45.1
43.2
40.9
39.1
37.1
35.1
33.8
32.9
32.3
32.2
32.1
0.98
0.89
0.81
0.74
0.66
0.59
0.53
0.46
0.39
0.32
0.28
0.25
0.3907
0.4305
0.4780
0.5309
0.5867
0.6424
0.6947
0.7402
0.7755
0.7979
0.8033
0.8055
50.3
47.7
45.1
42.5
40.0
37.8
35.8
34.2
33.0
32.3
32.2
32.1
0.71
0.68
0.64
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.25
0.0661
0.0727
0.0802
0.0883
0.0968
0.1052
0.1130
0.1198
0.1252
0.1285
0.1294
0.1297
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = -0.5 kh,b
kv,b = 0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
3
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH3
52.3
50.0
46.9
42.6
36.9
30.1
23.0
16.3
9.9
4.6
2.4
1.0
0.05
0.96
0.87
0.78
0.69
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.3930
0.4164
0.4467
0.4882
0.5471
0.6315
0.7515
0.9187
1.1443
1.4361
1.6086
1.7322
54.1
50.5
46.0
40.5
34.3
27.7
21.0
14.7
9.0
4.2
2.3
1.2
0.85
0.77
0.70
0.63
0.57
0.51
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0515
0.0567
0.0635
0.0725
0.0845
0.1006
0.1217
0.1493
0.1848
0.2293
0.2541
0.2709
161
46.8
45.6
43.9
42.4
41.2
39.8
39.1
38.2
37.7
37.5
37.4
37.4
0.03
0.93
0.85
0.77
0.69
0.62
0.54
0.47
0.40
0.32
0.29
0.25
0.3406
0.3830
0.4331
0.4878
0.5442
0.5994
0.6498
0.6928
0.7251
0.7456
0.7508
0.7527
53.8
51.1
48.5
46.1
43.8
41.8
40.2
39.0
38.1
37.5
37.4
37.4
0.76
0.72
0.67
0.62
0.57
0.52
0.47
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0504
0.0577
0.0660
0.0748
0.0839
0.0928
0.1010
0.1080
0.1133
0.1167
0.1176
0.1179
H/TVSs
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
Spinta attiva
Momento ribaltante
Spinta attiva
Momento ribaltante
α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH3 α(°) t/T KAE,pd α(°) t/T Mmax/γdH3
53.2
51.1
48.0
43.3
37.5
31.0
23.8
16.8
10.3
4.9
2.7
1.7
0.05
0.96
0.87
0.77
0.68
0.60
0.52
0.45
0.38
0.31
0.28
0.25
0.3781
0.4008
0.4305
0.4719
0.5310
0.6162
0.7370
0.9033
1.1285
1.4176
1.5765
1.6719
54.5
50.9
46.3
40.8
34.6
27.9
21.2
14.9
9.2
4.5
2.6
1.7
0.84
0.76
0.69
0.63
0.56
0.5
0.45
0.39
0.34
0.30
0.27
0.25
0.0504
0.0555
0.0623
0.0714
0.0835
0.0995
0.1206
0.1481
0.1833
0.2264
0.2489
0.2627
48.6
47.0
45.2
43.5
42.1
40.5
39.3
38.4
38.0
37.5
37.4
37.4
0.01
0.92
0.84
0.76
0.68
0.61
0.54
0.47
0.39
0.32
0.29
0.25
0.3236
0.3657
0.4161
0.4722
0.5306
0.5885
0.6418
0.6871
0.7222
0.7443
0.7496
0.7518
54.3
51.6
49.0
46.5
44.2
42.1
40.4
39.1
38.2
37.6
37.4
37.4
0.75
0.71
0.66
0.61
0.56
0.51
0.46
0.41
0.36
0.30
0.28
0.25
0.0498
0.0570
0.0652
0.0740
0.0831
0.0921
0.1004
0.1076
0.1131
0.1166
0.1174
0.1177
Tabella B.16 - Valori di α e t/T che massimizzano il momento ribaltante (φ = 30°; δ = 15°; kh,b =
0.2; H/TVPs = 0.02; acqua vincolata; γsat/γw = 1.9) – figura 4.14
fa = 1
H/TVSs α(°)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
50.6
48.4
45.8
42.8
39.4
35.4
31.4
27.6
24.3
22.0
21.4
21.3
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
3
t/T Mmax/γsubH α(°) t/T Mmax/γsubH3
0.75
0.71
0.66
0.61
0.56
0.50
0.45
0.4
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0674
0.0723
0.0775
0.0832
0.0894
0.0962
0.1038
0.1118
0.1192
0.1248
0.1262
0.1268
49.0
46.4
43.6
40.8
38.2
36.0
33.9
32.4
31.3
30.7
30.5
30.4
0.75
0.69
0.64
0.59
0.54
0.49
0.45
0.4
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0581
0.0640
0.0712
0.0792
0.0879
0.0965
0.1047
0.1118
0.1173
0.1207
0.1215
0.1219
fa = 1.20
H/TVSs α(°)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
1·10-3
49.7
47.1
44.1
40.5
36.3
31.5
26.2
20.9
16.1
12.6
11.6
11.4
kv,b = 0.5 kh,b
kv,b = -0.5 kh,b
t/T Mmax/γsubH3 α(°) t/T Mmax/γsubH3
0.76
0.72
0.67
0.62
0.56
0.51
0.45
0.40
0.35
0.30
0.27
0.25
0.0704
0.0763
0.0826
0.0897
0.0978
0.1073
0.1186
0.1318
0.1462
0.1586
0.1628
0.1636
162
47.6
44.3
41.0
37.6
34.5
31.8
29.6
27.9
26.7
26.0
25.8
25.7
0.76
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.28
0.25
0.0601
0.0671
0.0758
0.0857
0.0964
0.1073
0.1177
0.1266
0.1336
0.1380
0.1391
0.1395
APPENDICE C
SVILUPPO IN SERIE
DELLA DISTRIBUZIONE
DELLA PRESSIONE SISMICA
L’espressione (5.40) che descrive la distribuzione della pressione sismica attiva
normalizzata pae/γsubH di un terrapieno completamente sommerso in assenza di
fenomeni di amplificazione è:
⎧
sin(α − φ )
z
+
⎪
⎛ 2πt 2πH z
p ae (α , t , z ) ⎪⎪
z
= ⎨+
Rγ
sin⎜⎜
−
(
)
tan
cos
+
−
H
T
TV Ss H
γ sub H
α
φ
δ
α
⎝
⎪
⎪
⎛ 2πt 2πH z ⎞
z
⎪−
⎟
sin⎜⎜
−
TV Ps H ⎟⎠
⎝ T
⎫
⎪
⎪
⎞ ⎪⎪
⎟⎟ + ⎬
⎠ ⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(C.1)
Se si pone:
E1 =
sin(α − φ )
(C.2a)
E2 =
Rγ kh ,b cos(α − φ )
(C.2b)
E3 =
kv ,b sin(α − φ )
(C.2c)
e si usa la formula trigonometrica di addizione relativa alla funzione seno:
sin(α − β ) = sin(α )cos(β ) − sin(β )cos(α )
(C.3)
la (C.1) diventa:
⎧
⎛ 2πH z ⎞ ⎛ 2πt ⎞⎤ ⎫
z
z ⎡ ⎛ 2πt ⎞ ⎛ 2πH z ⎞
⎟⎟ − sin⎜⎜
⎟⎟ cos⎜
+ E2
⎟ cos⎜⎜
⎟⎥ + ⎪
⎪ E1
⎢ sin⎜
H ⎣⎢ ⎝ T ⎠ ⎝ TV Ss H ⎠
p ae (α , t , z ) ⎪ H
⎝ TV Ss H ⎠ ⎝ T ⎠⎦⎥ ⎪ (C.4)
=⎨
⎬
γ sub H
⎛ 2πH z ⎞ ⎛ 2πt ⎞⎤
z ⎡ ⎛ 2πt ⎞ ⎛ 2πH z ⎞
⎪
⎪
⎪− E 3 H ⎢ sin⎜ T ⎟ cos⎜⎜ TV H ⎟⎟ − sin⎜⎜ TV H ⎟⎟ cos⎜ T ⎟⎥
⎪
⎠ ⎝ Ps
⎠⎥⎦
⎢⎣ ⎝
⎠
⎝ Ps
⎠ ⎝
⎩
⎭
Ponendo ancora:
⎛ 2πt ⎞
E2 A = E2 sin⎜
⎟
⎝ T ⎠
(C.5a)
⎛ 2πt ⎞
E2 B = E2 cos⎜
⎟
⎝ T ⎠
(C.5b)
⎛ 2πt ⎞
E3 A = E3 sin⎜
⎟
⎝ T ⎠
(C.5c)
⎛ 2πt ⎞
E3 B = E3 cos⎜
⎟
⎝ T ⎠
(C.5d)
la (C.4) si scrive:
⎧ z
⎛ 2πH z ⎞ ⎫
⎛ 2πH z ⎞
z
z
⎟ +⎪
⎟⎟ − E2 B sin⎜⎜
⎪E1 + E2 A cos⎜⎜
H
H ⎝ VSsT H ⎟⎠ ⎪
pae (α ,t , z ) ⎪ H
⎝ TVSs H ⎠
=⎨
⎬
γ sub H
⎛ 2πH z ⎞
⎛ 2πH z ⎞
z
z
⎪
⎪
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪− E3 A H cos⎜ TV H ⎟ + E3 B H sin⎜ TV H ⎟
⎪
⎝ Ps ⎠
⎝ Ps ⎠
⎩
⎭
(C.6)
Lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni sinx e cosx è:
∞
sin x = ∑ (− 1)
k
k =0
∞
cos x = ∑ (− 1)
k =0
Ponendo x =
k
x 2 k +1
x3 x5
= x − + + ...
(2k + 1)!
3! 5!
(C.7a)
x 2k
x2 x2
=1− +
+ ...
(2k )!
2! 4!
(C.7b)
2πH z
ed utilizzando gli sviluppi (C.7a) e (C.7b) per le funzioni seno e
TVP ,Ss H
coseno presenti nella (C.6), si ottiene:
2
4
⎧ z
⎫
1 ⎛ 2πH z ⎞ ⎤
z ⎡ 1 ⎛ 2πH z ⎞
⎪ E1 + E2 A ⎢1 − ⎜
⎪
⎟
⎜
⎟
⎥
+
+
24 ⎜⎝ VSsT H ⎟⎠ ⎥
H ⎢ 2 ⎜⎝ VSsT H ⎟⎠
⎪ H
⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
3
5
⎪
z ⎡⎛ 2πH z ⎞ 1 ⎛ 2πH z ⎞
1 ⎛ 2πH z ⎞ ⎤ ⎪
⎪− E2 B ⎢⎜
⎪
⎜ V T H ⎟⎟ − 6 ⎜⎜ V T H ⎟⎟ + 120 ⎜⎜ V T H ⎟⎟ ⎥⎥ + ⎪
H
⎪
⎢
Ss
Ss
Ss
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
pae (α ,t , z ) ⎪
⎣
⎦ ⎪
=⎨
⎬
2
4
γ sub H
⎪
⎪
z ⎡ 1 ⎛ 2πH z ⎞
1 ⎛ 2πH z ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥ +
⎜⎜
⎟⎟ +
⎪− E3 A ⎢1 − ⎜⎜
⎪
H ⎢ 2 ⎝ VPsT H ⎠
24 ⎝ VPsT H ⎠ ⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
3
5
⎪
z ⎡⎛ 2πH z ⎞ 1 ⎛ 2πH z ⎞
1 ⎛ 2πH z ⎞ ⎤ ⎪
⎟ ⎥ ⎪
⎜
⎟ +
⎟− ⎜
⎪+ E3 B ⎢⎜⎜
H ⎢⎝ VPsT H ⎟⎠ 6 ⎜⎝ VPsT H ⎟⎠ 120 ⎜⎝ VPsT H ⎟⎠ ⎥ ⎪
⎪⎩
⎣
⎦ ⎭
(C.8)
Raggruppando in funzione della profondità normalizzata z/H, la (C.8) diventa:
⎧
⎫
2
⎪(E + E − E ) z + ⎡⎢ E ⎛⎜ 2πH ⎞⎟ − E ⎛⎜ 2πH ⎞⎟⎤⎥⎛⎜ z ⎞⎟ +
⎪
1
2A
3A
3B ⎜
2B ⎜
⎟
⎟
⎪
⎪
H ⎣⎢ ⎝ VPsT ⎠
⎝ VSsT ⎠⎦⎥⎝ H ⎠
⎪
⎪
2
3
3
3
4
⎪
⎡
pae (α , t , z ) ⎪⎪ ⎡
1 ⎛ 2πH ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞⎤⎛ z ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞ ⎤⎛ z ⎞
⎪
⎟ − E2 A ⎜
⎟⎥ ⎜ ⎟ + ⎢ E2 B ⎜
⎟ − E3 B ⎜
⎟ ⎥⎜ ⎟ +
= ⎨+ ⎢ E3 A ⎜⎜
⎬
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
6
6
V
T
H
γ sub H
V
T
V
T
H
V
T
⎢
⎥
⎢
⎥
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝ Ps ⎠
⎝ Ss ⎠⎦
⎝ Ss ⎠
⎝ Ps ⎠ ⎦
⎪ ⎣
⎪
⎣
⎪
⎪
4
4
5
5
5
6
⎡
⎤
⎡
⎤
⎪
1 ⎛ 2πH ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞ ⎛ z ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞ ⎛ z ⎞ ⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎢
⎥
+
−
+
−
E
E
E
E
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎪
⎪
2A
3A
3B
2B
24 ⎜⎝ VSsT ⎟⎠
24 ⎜⎝ VPsT ⎟⎠ ⎥⎝ H ⎠
120 ⎜⎝ VPsT ⎟⎠
120 ⎜⎝ VSsT ⎟⎠ ⎥⎝ H ⎠ ⎪
⎢
⎢⎣
⎦
⎦
⎩⎪ ⎣
⎭
164
(C.9)
Appendice C –Sviluppo in serie della distribuzione della pressione sismica
Se si definiscono i coefficienti Fi (i = 1,…, 6):
F1 = E1 + E 2 A − E 3 A =
=
⎡
⎛ 2πt ⎞
⎛ 2πt ⎞⎤ (C.10)
(
)
(
)
(
)
−
+
−
−
−
α
φ
α
φ
α
φ
k
sen
sen
sen
k
R
cos
sen
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
h ,b γ
v ,b
tan α cos(φ + δ − α ) ⎢⎣
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠⎦
1
⎛ 2πH
F2 = E3 B ⎜⎜
⎝ VPsT
=
⎞
⎛ 2πH
⎟⎟ − E2 B ⎜⎜
⎠
⎝ VSsT
⎞
⎟⎟ =
⎠
⎛ H ⎞⎤
2π
⎛ 2πt ⎞ ⎡ kv ,b sen(α − φ ) ⎛⎜ H ⎞⎟
⎟⎟⎥
− kh ,b Rγ cos (α − φ )⎜⎜
cos⎜
⎟⎢
⎜
⎟
tan α cos (φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎣ tan α cos (φ + δ − α ) ⎝ TVPs ⎠
⎝ TVSs ⎠⎦
(C.11)
2
1 ⎛ 2πH ⎞
1 ⎛ 2πH ⎞
⎟⎟ − E2 A ⎜⎜
⎟=
F3 = E3 A ⎜⎜
2 ⎝ VPsT ⎠
2 ⎝ VSsT ⎟⎠
2
2
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤
(2π )
1
⎛ 2πt ⎞⎡
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
(
)
(
)
=
−
−
−
α
φ
α
φ
sen⎜
k
sen
k
R
cos
⎟ v ,max
h ,max γ
⎜ TV ⎟
⎜ TV ⎟ ⎥
2 tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠⎢
Ps ⎠
⎝
⎝ Ss ⎠ ⎥⎦
⎣
(C.12)
2
F4 = E2 B
1 ⎛ 2πH
⎜
6 ⎜⎝ VSsT
3
⎞
⎟⎟ − E3 B
⎠
1 ⎛ 2πH
⎜
6 ⎜⎝ VPsT
3
⎞
⎟⎟ =
⎠
3
3
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤
(2π )
1
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
(
)
(
)
cos⎜
k
R
cos
k
sen
α
φ
α
φ
=
−
−
−
⎟ h ,b γ
v ,b
⎜ TV ⎟
⎜ TV ⎟ ⎥
6 tan α cos (φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
Ss ⎠
⎝
⎝ Ps ⎠ ⎥⎦
⎣
(C.13)
3
1 ⎛ 2πH
F5 = E2 A ⎜⎜
24 ⎝ VSsT
4
⎞
1 ⎛ 2πH
⎟⎟ − E3 A ⎜⎜
24 ⎝ VPsT
⎠
4
⎞
⎟⎟ =
⎠
4
4
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤
(2π )
1
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
(
)
(
)
=
−
−
−
sen⎜
k
R
cos
k
sen
α
φ
α
φ
⎟ h ,b γ
v ,b
⎜ TV ⎟
⎜ TV ⎟ ⎥
24 tan α cos(φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
Ss ⎠
⎝
⎝ Ps ⎠ ⎥⎦
⎣
(C.14)
4
1 ⎛ 2πH
⎜
F6 = E3 B
120 ⎜⎝ VPsT
5
5
⎞
1 ⎛ 2πH ⎞
⎟⎟ − E2 B
⎜
⎟ =
120 ⎜⎝ VSsT ⎟⎠
⎠
(C.15)
5
5
5
⎛ H ⎞
⎛ H ⎞ ⎤
(2π )
1
⎛ 2πt ⎞ ⎡
⎟⎟ − k h ,b Rγ cos (α − φ )⎜⎜
⎟ ⎥
=
cos ⎜
⎟ ⎢ kv ,b sen (α − φ )⎜⎜
120 tan α cos (φ + δ − α ) ⎝ T ⎠ ⎢
TVPs ⎠
TVSs ⎟⎠ ⎥
⎝
⎝
⎣
⎦
la pressione sismica attiva normalizzata (C.1) si può scrivere sinteticamente:
2
3
4
5
6
⎤
pae (α ,t , z ) ⎡ z
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
= ⎢ F1 + F2 ⎜ ⎟ + F3 ⎜ ⎟ + F4 ⎜ ⎟ + F5 ⎜ ⎟ + F6 ⎜ ⎟ + ...⎥
γ sub H
⎝H⎠
⎝H⎠
⎝H⎠
⎝H ⎠
⎝H⎠
⎢⎣ H
⎥⎦
165
(C.16)
166
APPENDICE D
PROPAGAZIONE VERTICALE DI
UN’ONDA S IN UNO STRATO
VISCO-ELASTICO POGGIANTE SU
SUBSTRATO RIGIDO
D.1. MODELLO DI KELVIN-VOIGT
Il modello visco-elastico lineare di Kelvin-Voigt esprime la resistenza a taglio τ come
somma di una componente elastica e di una componente viscosa (figura D.1):
τ = γG + η
∂γ
∂t
(D.1)
La componente elastica è proporzionale alla deformazione angolare di taglio
corrispondente γ = ∂u h ∂z (essendo uh lo spostamento orizzontale del terreno) secondo
una costante, rappresentata dal modulo di taglio G; la componente viscosa è
proporzionale alla velocità di deformazione secondo un coefficiente η che rappresenta la
viscosità del materiale.
Figura D.1 - Elemento soggetto a taglio orizzontale; la resistenza totale a taglio
dell’elemento è data dalla somma di una componente elastica (molla) e di una
componente viscosa (smorzatore) [Kramer, 1996]
D.2. EQUAZIONE DI MOTO 1D PER UN’ONDA S IN UNO
STRATO DI TERRENO OMOGENEO VISCO-ELASTICO
LINEARE POGGIANTE SU BASE RIGIDA
Come discusso nell’Appendice A, l’equazione di moto monodimensionale per un’onda
S che si propaga verticalmente si scrive:
∂ 2 u h ∂τ
ρ 2 =
∂z
∂t
(D.2)
Introducendo il modello di Kelvin-Voigt (D.1) nell’equazione d’onda (D.2) si ha:
∂ 2uh
∂ 2uh
∂ 3u h
ρ 2 = G 2 +η 2
∂t
∂z
∂z ∂t
(D.3)
La soluzione generale uh(z,t) della (D.3) si può scrivere, in forma complessa:
u h (z ,t ) = U ( z ) exp(iωt )
(D.4)
essendo ω la frequenza angolare del moto. Derivando due volte la (D.4) rispetto al
tempo si ha:
∂ 2 u h ( z ,t ) 2 2
= i ω U ( z ) exp(iωt ) = −ω 2U ( z ) exp(iωt )
∂t 2
(D.5)
La derivata di secondo grado rispetto a z della (D.4) è:
∂ 2 u h ( z ,t ) ∂ 2U ( z )
=
exp(iωt )
∂z 2
∂z 2
(D.6)
che derivata ulteriormente rispetto a t fornisce:
∂ 3 u h ( z ,t )
∂ 2U (z )
=
i
ω
exp(iωt )
∂z 2 ∂t
∂z 2
(D.7)
L’equazione (D.3), tenendo conto delle (D.5) – (D.7) diviene:
− ρω 2U (z ) = (G + ηiω )
∂ 2U ( z )
∂z 2
(D.8)
Se si definisce il modulo di taglio complesso G*:
G * = (G + ηiω )
(D.9)
la (D.8) si scrive:
∂ 2U ( z ) ρω 2
+ * U (z ) = 0
∂z 2
G
(D.10)
Definito il numero d’onda complesso k*:
k* = ω
ρ
(D.11)
G*
168
Appendice D – Propagazione verticale di un’onda S in uno strato visco-elastico
poggiante su substrato rigido
si ottiene l’equazione di moto monodimensionale per un’onda S che si propaga
verticalmente in uno strato visco-elastico:
∂ 2U ( z ) *
+ k U (z ) = 0
∂z 2
(D.12)
La soluzione dell’equazione differenziale (D.12) si può scrivere:
[(
)]
[(
u h = A exp i ωt + k * z + B exp i ωt − k * z
)]
(D.13)
La prima condizione al contorno impone che gli sforzi si annullino in superficie:
∂u h
(z = 0) = Aik * exp(iωt ) − Bik * exp(iωt ) = 0
∂z
(D.14)
cioè:
A= B
(D.15)
La (D.13) diventa pertanto:
[(
[(
)]
)]
= A exp (iωt ) exp (ik z ) + A exp (iωt ) exp (− ik z )
u h = A exp i ωt + k * z + A exp i ωt − k * z
⇒ uh
*
*
(D.16)
La formula di Eulero permette di scrivere:
exp(ik * z ) = cos(k * z ) + i sin(k * z )
(D.17)
Dunque la (D.16) diventa:
( )
u h = 2 A exp(iωt ) cos k * z
(D.18)
Per la ricerca della costante A, la seconda condizione al contorno richiede che lo
spostamento alla base dello strato viscoso (z = Hs) coincida con lo spostamento dello
strato rigido (uG). Nell’ipotesi di moto armonico applicato alla base uG si può esprimere:
u hG = u h 0 exp(iωt )
(D.19)
si ha perciò:
(
)
2 A exp(iωt )cos k * H s = u0 exp(iωt )
(D.20)
che risolta fornisce:
A=
u h0
2 cos k * H s
(
(D.21)
)
Sostituendo la (D.21) nella (D.18), si ottiene la soluzione dell’equazione di moto
monodimensionale per un’onda S che si propaga verticalmente in uno strato viscoso
poggiante su un substrato rigido:
u h 0 cos(k * z )
u h ( z ,t ) =
exp(iωt )
cos(k * H s )
(D.22)
169
D.3. AMPLIFICAZIONE DELLO STRATO VISCO-ELASTICO
La funzione di trasferimento F è definita come il rapporto tra lo spostamento massimo
in superficie e lo spostamento massimo alla base dello strato:
u h max (0 ,t )
u h max (H s ,t )
F=
(D.23)
La (D.23) si scrive, tenendo conto della (D.22):
1
cos k * H s
F=
(
(D.24)
)
Si può dimostrare che [Kolsky, 1963]:
k * = k1 + ik 2
(D.25)
dove k1 e k2 valgono rispettivamente:
k12 =
2G (1 + 4 D 2 )
( 1 + 4D + 1)
(D.26a)
k 22 =
( 1 + 4D − 1)
2G (1 + 4 D )
(D.26b)
ρω 2
2
ρω 2
2
2
Il coefficiente D:
D=
ηω
(D.27)
2G
si definisce fattore di smorzamento viscoso.
Soltanto la radice positiva di k1 (D.26a) e quella negativa di k2 (D.26a) hanno significato
fisico:
k1 =
k2 = −
( 1 + 4D + 1)
2G (1 + 4 D )
ρω 2
2
(D.28a)
2
( 1 + 4D − 1)
2G (1 + 4 D )
ρω 2
2
(D.28b)
2
Se D è piccolo k1 e k2 diventano:
k1 =
( 1 + 4D + 1) ≅ ω
2G (1 + 4 D )
ρω 2
⇒ k1 = ω
2
2
ρ
G
ρ
2G (1)
=k
(1 + 1)
(D.29a)
170
( 1 + 4D − 1) = −
2G (1 + 4 D )
ρω 2
k2 = −
2
2
⇒ k2 = −
ρω 2
(
2G 1 + 4 D 2
⇒ k 2 =≅ −ωD
)
4D 2
1 + 4D 2 + 1
( 1 + 4D − 1)
2G (1 + 4 D )
= −ω
ρω 2
2
2
(
ρ
G 1 + 4D 2
)
1 + 4D 2 + 1
1 + 4D 2 + 1
2D 2
1 + 4D 2 + 1
ρ
2
G (1) 1 + 1
⇒ k 2 = − kD
(D.29b)
In definitiva il modulo di taglio complesso (D.25) diventa:
k * = k − ikD
(D.30)
Utilizzando la (D.30), la funzione di trasferimento (D.24) diventa:
F=
1
cos(kH s − ikH s D )
(D.31)
Se si pone:
( )
cos k * z = cos( x + iy )
(D.32)
dove x ed y sono definiti:
⎧ x = kz
⎨
⎩ y = −kDz
(D.33)
si può scrivere, utilizzando i numeri complessi:
cos( x + iy ) =
exp[i ( x + iy )] + exp[− i (x + iy )]
2
(D.34a)
Eseguendo i passaggi matematici si ottiene:
exp(ix − y ) + exp(− ix + y ) exp(ix )exp(− y ) + exp(− ix )exp( y )
=
2
2
(cos x + i sin x )exp(− y ) + (cos x − i sin x )exp( y )
⇒ cos ( x + iy ) =
2
cos x[exp(− y ) + exp( y )] + i sin x[exp(− y ) − exp( y )]
⇒ cos ( x + iy ) =
2
[
[exp( y ) − exp(− y )]
exp( y ) + exp(− y )]
⇒ cos ( x + iy ) = cos x
− i sin x
2
2
⇒ cos ( x + iy ) = cos ( x )cosh( y ) − i sin( x ) sinh( y )
cos ( x + iy ) =
(D.34b)
cioè, tenendo conto delle (D.32) e (D.33) la (D.34b) è:
( )
cos k * z = cos(kz ) cosh(− kDz ) − i sin(kz ) sinh(− kDz )
(D.35)
Definendo i coefficienti A e B:
⎧ A = cos(kz )cosh(− kDz ) = cos(kz )cosh(kDz )
⎨
⎩ B = − sin(kz ) sinh(− kDz ) = sin(kz ) sinh(kDz )
la (D.35) diventa, scritta in modo sintetico:
171
(D.36)
( )
cos k * z = A + iB
(D.37)
Analogamente, sostituendo Hs al posto di z, si ha:
⎧ AH = cos(kH s )cosh(− kDH s ) = cos(kH s )cosh(kDH s )
⎨
⎩ BH = − sin(kH s ) sinh(− kDH s ) = sin(kH s ) sinh(kDH s )
(
(D.38)
)
cos k * H s = AH + iBH
(D.39)
La funzione di trasferimento (D.31) si può scrivere, sviluppando il termine a
denominatore:
F=
AH − iB H
A − iBH
1
1
= H2
=
cos(kH s − ikH s D ) AH + iB H AH − iB H
AH + BH2
(D.40)
B
A
⇒ F = 2 H 2 −i 2 H 2
AH + BH
AH + B H
Il modulo della funzione di trasferimento è la funzione di amplificazione:
2
⎛ A
⎞ ⎛ B
F = ⎜⎜ 2 H 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 H 2
⎝ AH + BH ⎠ ⎝ AH + BH
1
⇒ F =
2
2
AH + B H
2
⎞
1
⎟⎟ = 2
AH + BH2
⎠
2
AH + B H
2
(D.41)
Cioè:
1
F =
(D.42)
cos (kH s ) cosh (kDH s ) + sin 2 (kH s ) sinh 2 (kDH s )
2
2
Considerando le relazioni seguenti:
⎧⎪sinh 2 (kDH s ) = cosh 2 (kDH s ) − 1
⎨ 2
⎪⎩sin (kH s ) = 1 − cos 2 (kH s )
(D.43)
la (D.42) assume la forma:
F =
1
A +B
2
H
2
H
=
[
1
][
]
cos (kH s ) cosh (kDH s ) + 1 − cos 2 (kH s ) cosh 2 (kDH s ) − 1
2
2
(D.44a)
1
⇒ F =
cos 2 (kH s ) cosh 2 (kDH s ) + cosh 2 (kDH s ) − 1 − cos 2 (kH s ) cosh 2 (kDH s ) + cos 2 (kH s )
⇒ F =
1
cosh 2 (kDH s ) − 1 + cos 2 (kH s )
(D.44b)
La funzione di amplificazione (D.44b) si può scrivere infine:
F =
1
(D.45)
cos 2 (kH s ) + sinh 2 (kDH s )
172
L’n-esima frequenza naturale di vibrazione di uno strato di terreno di spessore Hs è data
da:
ωn =
VSs ⎛ π
⎞
⎜ + nπ ⎟
Hs ⎝ 2
⎠
(D.46)
con n = 0, 1, 2, …, ∞
Per n = 0 si ha la frequenza fondamentale di vibrazione ω0:
ω0 =
πVSs
(D.47)
2H s
Il periodo di vibrazione T0 corrispondente ad ω0 è il periodo caratteristico del sito:
T0 =
2π
ω0
=
4H s
VSs
(D.48)
La figura D.2 mostra la funzione di amplificazione di uno strato di terreno omogeneo
visco-elastico su substrato infinitamente rigido in funzione del parametro kHs per
diversi valori del fattore di smorzamento D. I picchi di amplificazione si hanno in
corrispondenza delle frequenze naturali di vibrazione dello strato.
La figura D.3 mostra, in funzione della profondità adimensionale z/Hs, gli spostamenti
u(n) in corrispondenza delle prime tre frequenze naturali di vibrazione (n = 0, 1, 2)
normalizzati rispetto allo spostamento massimo relativo alla frequenza fondamentale
umax(n=0) per D = 5%. Si può osservare che per n = 0 tutto lo strato si muove in fase,
mentre non accade per i modi di vibrazione superiori.
Fattore di amplificazione
14
D = 5%
D = 10%
D = 20%
12
10
8
6
4
2
1
0
0
1
π /2
2
3
4
3/2π
5
kH s
6
7
5/2π
8
9
10
Figura D.2 - Funzione di amplificazione nel caso di strato di terreno omogeneo viscoelastico su substrato infinitamente rigido
173
u h (n )/u hmax (n =0)
z/Hs
-1.0
0.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
n=0
n=1
n=2
0.5
D = 5%
1.0
Figura D.3 – Primo, secondo e terzo modo di vibrazione di uno strato omogeneo viscoelastico con D = 5% poggiante su substrato rigido
D.4. SPOSTAMENTO ED ACCELERAZIONE DELLO STRATO
DI TERRENO VISCO-ELASTICO
Lo spostamento del terreno (D.22) si può scrivere, tenendo conto delle espressioni
(D.36) - (D.39), come:
u h ( z ,t ) = u h 0 exp(iωt )
A + iB
AH + iB H
(D.49)
Svolgendo i passaggi matematici la (D.49) diventa:
u h ( z , t ) = u h 0 exp(iωt )
A + iB
A + iB AH − iB H
= u h 0 exp(iωt )
AH + iB H
AH + iB H AH − iB H
⇒ u h ( z , t ) = u h 0 exp(iωt )
AAH − iAB H + iBAH + BB H
⇒ u h ( z , t ) = u h 0 [cos (ωt ) + i sin(ωt )]
⇒ u h (z , t ) =
u h0
A + B H2
2
H
(D.50a)
AH2 + B H2
AAH − iAB H + iBAH + BB H
AH2 + B H2
[cos(ωt ) + i sin(ωt )][( AAH + BB H ) − i( AB H − BAH )]
Cioè, separando la parte reale dalla parte immaginaria:
u h ( z ,t ) =
u0
2
AH + B H2
⎧[cos(ωt )( AAH + BB H ) + sin(ωt )( AB H − BAH )] + ⎫
⎨
⎬
⎩+ i[sin(ωt )( AAH + BB H ) − cos(ωt )( AB H − BAH )]⎭
(D.50b)
Nella (D.50b) soltanto la parte reale ha significato fisico [Shearer, 2009], pertanto lo
spostamento orizzontale del terreno provocato dal passaggio di un’onda S è:
u h ( z ,t ) =
u h0
A + B H2
2
H
(D.51)
Nell’ipotesi di moto armonico l’accelerazione orizzontale del terreno si ricava
direttamente dalla (D.51) ed è:
174
a h ( z ,t ) = −ω 2 u h ( z ,t ) = −
⇒ a h ( z ,t ) =
a h ,0
A + B H2
2
H
u h 0ω 2
AH2 + BH2
[cos(ωt )( AAH
+ BB H ) + sin(ωt )( AB H − BAH )]
(D.52)
dove i coefficienti A,B ed AH, BH sono definiti rispettivamente dalle (D.36) e (D.38) e
l’accelerazione alla base dello strato è ah,0 = −uh0ω2.
175
176
APPENDICE E
LISTATO DEL PROGRAMMA DI CALCOLO IN FORTRAN
PER LA VALUZIONE DELLA SPINTA SISMICA DEL TERRENO
DI UNO STRATO VISCO-ELASTICO LINEARE
POGGIANTE SU BASE RIGIDA
c
SPINTA PSEUDO-DINAMICA STRATO VISCOSO
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
DEFINIZIONI
kS = numero d'onda onde S = w/VS
w = frequenza angolare
Hs = altezza strato visco-elastico
D = smorzamento viscoso
H = altezza muro
z = coordinata (z=0 in superficie)
r = rapporto altezza muro/altezza strato = H/Hs
kh0 = ah0/g
W = peso del cuneo adimensionale = peso/(gamma*H^2)
fi = angolo di resistenza al taglio del terreno
del = angolo di attrito terreno-struttura
real kSHs,kh0
c
DATI DI INPUT
write(*,157)
format(3x,'Programma SPINTA PSEUDO-DINAMICA STRATO VISCOSO',/)
write(*,1)
format(3x,'PROGRAMMA per calcolo spinte su muri rigidi ')
write(*,2)
format(3x,'in strato visco-elastico su substrato rigido')
write(*,*)' inserisci kSHs - kS=numero ondaS; Hs=spessore strato'
read(*,*)kSHs
write(*,*)'inserisci smorzamento viscoso a taglio D'
read(*,*)D
write(*,*)'inserisci rapporto altezza muro/altezza strato'
read(*,*)r
write(*,*)'inserisci accelerazione orizz su suolo rigido/g'
read(*,*)kh0
write(*,*)'inserisci fi e delta terreno in gradi'
read(*,*)fi,del
write(*,*)'intervallo di variazione di alpha (gradi) e incremento'
read(*,*)alpha1,alpha2,delta
nit1=(alpha2-alpha1)/delta + 1
write(*,*)'incremento t/T'
read(*,*)deltat
nit2=1.00000001/deltat+1
write(*,*)nit1,nit2
157
1
2
pause
c
5
10
11
CALCOLO SPINTA ATTIVA PSEUDO-DINAMICA
Pmax=0
do 10 i=1,nit1
alpha = alpha1 + delta*(i-1)
W=0.5/tand(alpha)
do 10 j=1,nit2
tn=deltat*(j-1)
call simpson(kSHs,D,r,kh0,tn,alpha,QH)
PAE=W*sind(alpha-fi) + QH*cosd(alpha-fi)
PAE=PAE/cosd(fi+del-alpha)
if(PAE.gt.Pmax)go to 5
go to 10
Pmax=PAE
alphamax=alpha
tmax=tn
continue
write(*,*)'soluzione strato visco-elastico'
write(*,11)2*Pmax,alphamax,tmax
format(3X,'2Pae/(gamma*H^2)=', F7.4, 'alpha=', F5.2, 't/T=', F6.3)
stop
end
c
c
c
SUBROUTINE PER CALCOLO FORZA DI INERZIA ORIZZONTALE
subroutine simpson(kSHs,D,r,kh0,tn,alpha,QH)
real kSHs,kh0
z = profondità normalizzata rispetto all'altezza del muro
tn = tempo normalizzato rispetto al periodo T
AH=cos(kSHs)*cosh(D*kSHs)
BH=-sin(kSHs)*sinh(D*kSHs)
X=AH**2+BH**2
QH=0
do 10 i=1,100
z1=0.01*(i-1)
z2=z1+0.01
A1=cos(kSHs*z1*r)*cosh(D*kSHs*z1*r)
B1=-sin(kSHs*z1*r)*sinh(D*kSHs*z1*r)
Appendice-E.for1
10
A2=cos(kSHs*z2*r)*cosh(D*kSHs*z2*r)
B2=-sin(kSHs*z2*r)*sinh(D*kSHs*z2*r)
p=acos(-1.)
a1=(cos(2*p*tn)*(A1*AH+B1*BH)-sin(2*p*tn)*(A1*BH-B1*AH))
a1=a1/X
a2=(cos(2*p*tn)*(A2*AH+B2*BH)-sin(2*p*tn)*(A2*BH-B2*AH))
a2=a2/X
f1=a1*(1-z1)
f2=a2*(1-z2)
QH=QH+(f1+f2)/2*0.01
continue
QH=QH*kh0/tand(alpha)
return
end
Appendice-E.for2
180
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Ahmad, S. M., Choudhury, D. (2008a). Pseudo-dynamic approach of seismic design
for waterfront reinforced soil wall. Geotextiles and Geomembranes 26, n. 4, 291301
Ahmad, S. M., Choudhury, D. (2008b). Stability of waterfront retaining wall
subjected to pseudo-dynamic earthquake forces and tsunami. Journal of Earthquake
and Tsunami 2, n. 2, 107-131
Ahmad, S. M., Choudhury, D. (2009). Seismic design factor for sliding of waterfront
retaining wall. Proceedings of the Institution of Civil Engineers - Geotechnical
Engineering, vol. 162, n. GE 5, 269-276
Azad, A., Shahab Yasrobi, S., Pak, A. (2008). Seismic active pressure distribution
history behind rigid retaining walls. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 28,
n. 5, 365–375
Bellezza, I., D’Alberto, D., Fentini, R. (2011). Design of rigid waterfront retaining
walls in seismic conditions. Italian Geotechnical Journal, Special Issue - Seismic
Design and Retrofitting (in stampa)
Bellezza, I., Fentini, R. (2008). Stability of waterfront retaining wall subjected to
pseudo-static earthquake forces. Discussion. Ocean Engineering 35, 1565-1566
Bellezza, I., Fentini, R. (2009). Criteri di progetto di banchine a cassoni in condizioni
sismiche. XIII Convegno ANIDIS L’ingegneria sismica in Italia. Bologna
Bellezza, I., Fentini, R., Fratalocchi, E., Pasqualini, E. (2009). Stability of waterfront
retaining walls in seismic conditions. Proceedings of 17th International Conference on
Soil Mechanics and Gotechnical Engineering, Alessandria d’Egitto
Callisto, L., Aversa S. (2008). Dimensionamento di opere di sostegno soggette ad
azioni sisiche. Opere Geotecniche in condizioni sismiche, XII Ciclo di Conferenze di
Meccanica ed Ingegneria delle Rocce, Torino
Choudhury D., Ahmad S. M. (2007). Stability of waterfront retaining wall subjected
to pseudo-static earthquake forces. Ocean Engineering 34, 1947-1957
Choudhury, D., Ahmad, S. M. (2008). Stability of waterfront retaining wall subjected
to pseudo-dynamic earthquake forces. Journal of Waterway, Port, Coastal, Ocean
Engineering ASCE 134, n. 4, 252-262
Choudhury, D., Nimbalkar, S. S. (2005). Seismic passive resistance by pseudodynamic method. Géotechnique 55, n. 9, 699–702
Choudhury, D., Nimbalkar, S. S. (2006). Pseudo-dynamic approach of seismic active
earth pressure behind retaining wall. Geotechnical and Geological Engineering 24,
n. 5, 1103-1113
Choudhury, D., Nimbalkar, S. S. (2007). Seismic rotational displacement of gravity
walls by pseudo-dynamic method: passive case. Soil Dynamics and Earthquake
Engineering 27, n. 3, 242–249
Contributi al dimensionamento delle opere di sostegno
Choudhury, D., Nimbalkar, S. S. (2008). Seismic rotational displacement of gravity
walls by pseudo-dynamic method. International Journal of Geomechanics ASCE 8,
n. 3, 169-175
Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti.
Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme tecniche per le costruzioni” di cui
al D.M. 14 gennaio 2008. G. U. del 26 febbraio 2009 n. 47 Supplemento ordinario
n. 27
Clough, G. W., Duncan, J. M. (1991). Earth Pressures. In: Foundation Engineering
Handbook 2nd Edition. Fang, H. Y., Chapman and Hall, New York
Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. Sito internet: <http://www.cslp.it>
Coulomb, C. A. (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a
quelques problemes de statiques relatifs a l’architecture. Memoires de l’Academie
Royale pres Divers Savants, vol. 7
Coumoulos, H., Bouckovalas, G. D. (1996). Analytical relationship for earthquake
induced pore pressure in sand. Research Report, National Technical University of
Athens
D.M. 14/01/2008. Nuove norme tecniche per le costruzioni. G.U. del 4 febbraio 2008
n. 29
D.M. 16/01/1996. Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche. G.U. del 5
febbraio 1996 n. 29
Dakoulas, P., Gazetas, G. (2008). Insight into seismic earth and water pressures
against caisson quay walls. Geotechnique 53, n. 2, 95-111
De Alba, P., Chan, C. K., Seed, H. B. (1975). Determination of soil liquefaction
characteristics by large-scale laboratory tests. Report N. EERC 75-14, Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, California
Ebeling, R. M., Morrison, E. E. (1992). The seismic design of waterfront retaining
structures. DC. US Army Corps of Engineers, Washington, ITL-92-11
Egglezos, D. N., Bouckovalas, G. D. (1998). Analytical relationship for earthquake
induced pore pressure in sand, clay and silt. Proceedings of the 11th European
Conference on Earthquake Engineering, Paris
EN 1997-1 (2004). Eurocode 7: Geotechnical design. General rules – Part 1 CEN
European Committee for Standardization, Bruxelles, Belgium
EN 1998-5 (2004). Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 5:
Foundations, retaining structures and geotechnical aspects. CEN European
Committee for Standardization, Bruxelles, Belgium
Faccioli, E., Paolucci, R. (2005). Elementi di Sismologia applicati all’Ingegneria.
Pitagora Editrice, Bologna
Facciorusso, J. (2005). Misure in sito per la caratterizzazione del terreno in campo
dinamico. Appunti del corso di geotecnica II, A.A. 2004/05, Università degli Studi di
Firenze, dipartimento di Ingegneria Civile – sezione Geotecnica
Fang, Y. S., Chen, T. J. (1995). Modification of Mononobe-Okabe theory.
Géotechnique 45, n. 1, 165-167
182
Riferimenti bibliografici
Ghosh, S. (2010). Pseudo-dynamic active force and pressure behind battered retaining
wall supporting inclined backfill. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 30, n.
11, 1226-1232
Intagliata, F., Trigili, G. (2009). Muri di sostegno, progettazione e calcolo. Dario
Flaccovio
Ishibashi, I., Fang, Y. S. (1987). Dynamic earth pressures with different wall
movement modes. Soils and Foundations, JSSMFE, vol. 27, n. 4, 11-22
Ishii, Y., Arai, H., Tsuchida, H. (1960). Lateral earth pressure in earthquake.
Proceedings of the Second World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo,
vol. 1, 211
Jacobsen, L. S. (1951). Kentuky Project Report N. 13 Tennessee Valley Authority, ser.
1951, appendix D
Kim S. R., Jang I. S., Chung C. K., Kim M. M. (2005). Evaluation of seismic
displacements of quay walls. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 25, 451459
Kim S. R., Kwon O. S., Kim M. M. (2004). Evaluation of force components acting on
gravity type quay walls during earthquakes. Soil Dynamics and Earthquake
Engineering 24, 853-866
Kolsky, H. (1963). Stress waves in solids. Dover Publications, New York
Kramer, S. L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering. Pearson Education, New
Jersey
Lai, C. G., Foti, S., Rota, M. (2009). Input sismico e stabilità geotecnica dei siti di
costruzione. Fondazione EUCENTRE, IUSS Press, Pavia
Lai, C., S. (1979). Behaviour of retaining walls under seismic loading. M.E. Report
79/9. Department of Civil Engineering University of Canterbury Christchurch, New
Zeland
Lancellotta, R. (1987). Geotecnica. Zanichelli, Bologna
Lancellotta, R. (2004). Geotecnica. Terza edizione. Zanichelli, Bologna
Lanzo, G. (2008). Risposta sismica locale, fondamenti teorici. Progettazione
geotecnica in zona sismica alla luce delle nuove Norme Tecniche per le Costruzioni,
corso Associazione Geotecnica Italiana per l’Ordine degli ingegneri di Teramo
Lee, K., Albaisa, A. (1974). Earthquake induced settlements in saturated sands. Journal
of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, vol. 100, n. GT4, 387-405
Madiai C. (2009). Correlazioni tra parametri del moto sismico e spostamenti attesi del
blocco di Newmark. Rivista Italiana di Geotecnica, 43 (1), 23-43.
Matsuo, H. (1941). Experimental study on the distribution of earth pressure acting on a
vertical wall during earthquakes. Journal of Japanese Society of Civil Engineers,
vol. 27, n. 2
Matsuzawa, H., Ishibashi, I., Kawamura, M. (1985). Dynamic soil and water
pressures on submerged soils. Journal of Geotechnical Engineering Division ASCE
111, n. 10, 1161-1176
183
Mononobe, N., Matsuo, H. (1929). On the determination of earth pressures during
earthquakes. Proceedings, World Engineering Congress, 9, 177-185
Murphy, V. A. (1960). The effect of the ground characteristics on the aseismic design
of structures. Proceedings of the Second World Conference on Earthquake
Engineering, Tokyo, vol. 1, 231-248
Nadim, F, Whitman, R. V. (1984). Coupled sliding and tilting of gravity retaining
walls during earthquakes. Proceedings of the 8th World Conference on Earthquake
Engineering, San Francisco, vol. 3, 477-484
Nadim, F. (1980). Tilting and sliding of gravity retaining walls. S.M. Thesis.
Department Civil Engineering, MIT Cambridge. Massachusetts
Nadim, F. (1982). A numerical model for evaluation of seismic behaviour of gravity
retaining walls. Sc.D. thesis, Research Report R82-33, Department of Civil
Engineering, Massachussetts Institute of Technology, Cambridge, Massachussetts
Nandkumaran, P. (1973). Behaviour of retaining walls under dynamic loads. Ph.D
thesis, Roorkee University, Roorkee, India
Narasimha Reddy, G. V., Choudhury, D., Madhav, M. R., Saibaba Reddy, E.
(2009). Pseudo-dynamic analysis of reinforced soil wall subjected to oblique
displacement. Geosynthetics International 16, n. 2, 61-70
NAVFAC (1982). Foundations and earth structures, Design Manual 7.2. Naval
Facilities Engineering Command, Department of the Navy Alexandria, Virginiα
Newmark, N. M. (1965). Effects of earthquakes on dams and embankments,
Géotechnique 15, n. 2, 139–160
Nimbalkar, S. S. and Choudhury, D. (2007). Sliding stability and seismic design of
retaining wall by pseudo-dynamic method for passive case. Soil Dynamics and
Earthquake Engineering 27, n. 6, 497–505
Nimbalkar, S. S., Choudhury, D., Mandal, J. N. (2006). Seismic stability of
reinforced-soil wall by pseudo-dynamic method. Geosynthetics International 13, n.
3, 111–119
Okabe, S. (1924). General theory of earth pressure and seismic stability of retaining
wall and dam. Journal of the Japanese Society of Civil Engineers 10, n. 6, 12771323
PIANC (2001). Seismic design guidelines for port structures. A.A. Balkema Publishers
Prakash, S. (1981). Soil Dynamics. McGraw-Hill
Prakash, S., Basvanna, B. M. (1969). Earth pressure distribution behind retaining
walls during earthquakes, Proceedings of the Fourth World Conference on
Earthquake Engineering, Chile, vol. 3, 133-148
Prakash, S., Nandkumaran, P. (1973). Dynamic earth pressure distribution on rigid
walls. Proceedings of Symposium on Earth and Earth Structures Subjected to
Earthquakes and Other Dynamic Loads, Roorkee, vol. 1, 11-16
Richards, R., Elms, D. (1979). Seismic behaviour of gravity retaining walls. Journal of
Geotechnical Engineering Division ASCE. vol. 105, n.4, 449-464
Saran, S., Prakash, A. (1970). Seismic pressure distribution in earth retaining walls.
Proceeding of the Fourth European Symposium on Earthquake Engineering, Sofia
184
Riferimenti bibliografici
Seed, H. B. e Withman, R. V. (1970). Design of earth retaining structures for dynamic
loads. Proceedings, ASCE Specialty Conference on Lateral Stresses in the Ground
and Design of Earth Retaining Structures, 103-107
Seed, H. B., Booker J. R. (1977). Stabilization of potentially liquefiable sand deposits
using gravel drains . Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, vol.103, n.7, 757768
Seed, H. B., Idriss, I. M., Makdisi, F., Banerjee, M. (1975). Representation of
irregular stress time histories by equivalent uniform stress series in liquefaction
analyses. Report EERC 75-29, Earthquake Engineering Research Center, University
of California, Berkeley
Shearer, P. M. (2009). Introduction to Seismology. 2nd Edition, University of
California, San Diego
Sherif, M. A., Fang, Y. S. (1984a). Dynamic earth pressure on walls rotating about the
top. Soils and Foundations, vol. 24, n. 4, 109-117
Sherif, M. A., Fang, Y. S. (1984b). Dynamic earth pressure on walls rotating about the
base. Proceedings of the 8th World Conference on Earthquake Engineering, San
Francisco, vol. 6, 993-1000
Sherif, M. A., Ishibashi, I., Lee, C. D. (1982). Earth pressure against rigid retaining
walls. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, vol. 108, n. GT5,
679-695
Siddhartan, R., Ara, S., Norris, G. M. (1992). Simple rigid plastic model for seismic
tilting of rigid walls. Journal of Structural Engineering, ASCE, vol. 118, n. 2, 469 487
Simonelli A. L., Penna A. (2009). Performance-based design of gravity retaining walls
under seismic actions. Proceedings of the Workshop on ‘Eurocode 8: Perspectives
from the Italian Standpoint’. 277-279. E. Cosenza (ed.) Doppiavoce, Napoli, Italy
Solbiati, R., Marcellini, A. (1983). Terremoto e società. Garzanti, Milano
Steedman, R. S., Zeng, X. (1990). The influence of phase on the calculation of pseudostatic earth pressure on retaining wall. Géotechnique 40, n. 1, 103-112
Westergaard, H.M. (1933). Water pressures on dams during earthquakes. Transaction
of ASCE, 98, n. 1853, 418-433
Whitman, R. V. (1990). Seismic design behaviour of gravity retaining walls.
Proceedings, ASCE, Specialty Conference on Design and Performance of Earth
Retaining Structures, Geotechnical Specialty Publication 25, ASCE, New York,
817-842
Whitman, R.V., Liao, S. (1985). Seismic design of retaining walls. Miscellaneous
paper GL-85-1, US Army Engineers Waterways Experiment Station, Vicksburg,
Mississipi
Wood, J. (1973). Earthquake-Induced Soil Pressures on Structures. Report EERL 7305, California Institute of Technology, Pasadena, California
Zarrabi-Kashani, K. (1979). Sliding of gravity retaining wall during earthquakes
considering vertical acceleration and changing inclination of failure surface. S.M.
Thesis. Department Civil Engineering
185
186

Contributi al dimensionamento delle opere di sostegno in condizioni

Transcription

Similar documents

Strategie di mitigazione del rischio sismico e

Zonazione sismogenetica ZS9 – App.2 al Rapporto

guida per i passeggeri con disabilità

Lo studio dei vulcani attivi e delle strutture crostali con - Earth

MMETSE KA SEPEDI

Scarica il Booklet 2010

scarica - Itineraria

Il futuro dei porti e del lavoro portuale - TRAIL