Kapitel 7

INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
I
Collegium Logicum
1
Die Aussagenlogik
1.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . .
1.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau . . . .
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau . .
1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . .
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . .
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln . . . . . . .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Das Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit . . . . . . .
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . .
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . .
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
2
3
ii
Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . .
Lemma über die Negation . . . . . . . . . . . . . . .
Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . .
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz . . . . . . . . .
Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .
Strukturen und formale Sprachen
2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Symbole für formale Sprachen . . . . . . . . .
2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz über Unterstrukturen . . . . . . . . . . .
2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . .
2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . .
2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . .
2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . .
2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelle und Theorien
3.1 Das Wahrheitsprädikat: Modelle . . . . . . . . . .
3.1.1 Satz über neue Konstanten . . . . . . . . .
3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . .
3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Satz über die Existenz unendlicher Modelle
3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
4
3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . .
3.4.4 Erhaltungssatz für universelle Formeln .
3.4.5 Satz von Łoś-Tarski . . . . . . . . . . .
Einige mathematische Theorien . . . . . . . . .
3.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Gruppen- und Körpertheorie . . . . . . .
3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen
3.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
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Gesetze der Prädikatenlogik
4.1 Ein Axiomensystem für die Prädikatenlogik . . . . . . . . . .
4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz über die Generalisierung . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitsprädikates . . . . . . . .
4.5 Pränexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . .
4.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . .
4.5.4 Das Dualitätsprinzip für die Prädikatenlogik . . . . . .
4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . .
4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Satz über rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . .
4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . .
4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . .
4.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz
4.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II Mengenlehre
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Grundlagen der Mengenlehre
5.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . .
5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . .
5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen
5.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . .
5.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . .
5.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen von Mengen von . . .
6.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . .
6.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . .
6.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen
6.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen .
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6.2
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III
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v
6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . .
6.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . .
Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . .
Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . .
6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . .
6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . .
6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion
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Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . .
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . .
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff .
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . .
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
7.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . .
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
8.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . .
8.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
8.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . .
8.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs .
8.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen
8.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . .
8.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . .
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Grundlagen der Modelltheorie
Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz
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INHALTSVERZEICHNIS
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Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 175
Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Auf und ab: Elementare Substrukturen
10.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . .
10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . .
10.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) .
10.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts)
10.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten
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11.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12 Produkte und Ultraprodukte
12.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem
12.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Modellvollständigkeit
198
13.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV
Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
14 Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
14.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . .
14.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . .
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . .
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
14.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . .
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212
214
INHALTSVERZEICHNIS
vii
15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
15.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
15.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . .
15.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Die Gödelschen Sätze
16.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . .
16.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . .
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz .
16.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . .
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar .
16.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . .
17 Literatur
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151
Kapitel 7
Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom
In seiner einfachsten Form (RUSSELL 1906 bzw. Z ERMELO 1904/1908) besagt
das Auswahlaxiom, daß das Produkt einer Menge nicht-leerer Mengen wiederum
nicht leer ist (multiplicative axiom):
/
Auswahlaxiom:
(AC) ∀x ∈ a x 6= 0/ → ∏x∈a x 6= 0,
d. h. ∀x ∈ a x 6= 0/ → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x),
(ein solches f heißt Auswahlfunktion für die Menge a).
Das AC ist unabhängig von den übrigen ZF-Axiomen:
Ist ZF0 (= ZF ohne Fundierungsaxiom) widerspruchsfrei, so auch
ZF0 + ¬ AC (F RAENKEL 1922),
ZF+ AC
(G ÖDEL 1938),
ZF + ¬ AC (C OHEN 1963)
(zur Geschichte und Problematik des Auswahlaxioms s. das Buch von
G. M OORE : Zermelo´s axiom of choice. Springer 1982).
Das Auswahlaxiom hat zahlreiche Anwendungen in fast allen Gebieten der
Mathematik, besitzt aber auch verschiedene
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen
AC2 ∀x ∈ a F(x) 6= 0/ → ∏x∈a F(x) 6= 0/
AC2´ ∀x ∈ a ∃y ϕ(x, y) → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a ϕ(x, f (x))
152
7.1. Z ERMELOS A XIOM
AC3 ∀x ∈ a x 6= 0/ ∧ ∀x, y ∈ a(x 6= y → x ∩ y = 0)
/ → ∃z∀x ∈ a∃!u u ∈ z ∩ x
(ein solches z heißt Auswahlmenge für die nicht-leeren, disjunkten Mengen
in a; ∃!u . . . = es existiert genau ein u. . . )
AC3´ r Äquivalenzrelation auf a → ∃z ∀x ∈ a∃!u ∈ z (x, u) ∈ r
(jede Äquivalenzrelation besitzt ein Repräsentantensystem)
AC4 Fkt( f ) → ∃g(Fkt(g) ∧ g : W ( f ) D( f ) ∧ g ⊆ f −1 )
(jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion)
AC5 Rel(r) → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = D(r) ∧ f ⊆ r)
Der Beweis dieser Aussagen aus dem Auswahlaxiom beruht darauf, dass man
in allen diesen Fällen eine Auswahl in Abhängigkeit von den Elementen einer
Menge treffen muss (dabei benötigt man für AC2´ das Fundierungsaxiom, um
den Bereich der möglichen y auf eine genügend große Menge Vα einschränken
zu können). Umgekehrt sind die obigen Auswahlprinzipien allgemein genug, um
hieraus das ursprüngliche AC zu folgern.
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz
Das Auswahlaxiom, AC, ist äquivalent zum Wohlordnungssatz:
WO1 ∀x ∃r(r ist Wohlordnung auf x), bzw.
WO2 ∀x ∃ f ∃α( f : α ←→ x) , d. h. jede Menge a läßt sich aufzählen:
a = {aξ | ξ < α} für ein α und eine Folge (aξ | ξ < α)
Beweis: Ist r Wohlordnung auf a, so isomorph zu ∈ auf einer Ordinalzahl α (nach
6.1.6 (i)), somit WO1 ⇒ WO2. Ist umgekehrt f : a ←→ α für eine Ordinalzahl α,
so kann man auf a eine Wohlordnung r definieren durch
xry ⇐⇒ f (x) < f (y).
Also gilt auch WO2 ⇒ WO1.
WO1 ⇒AC: (Ist eine Menge wohlgeordnet, so kann man aus ihren Elementen
eine Auswahl treffen, indem man das kleinste Element (bezüglich der Wohlordnung) auswählt.) Sei ∀x ∈ a x 6= 0.
/ Nach WO1 gibt es eine Wohlordnung < auf
S
a. Damit kann man eine Auswahlfunktion f definieren durch
f (x) = das kleinste (bzgl. <) y ∈ x für x ∈ a.
7.1. Z ERMELOS A XIOM
153
AC ⇒ WO2: Sei a 6= 0.
/ Nach dem Auswahlaxiom existiert eine Funktion
f : P(a) − {0}
/ −→ V mit ∀x ⊆ a(x 6= 0/ → f (x) ∈ x).
Damit können wir rekursiv eine Aufzählung G von a definieren:
(
f (a − {G(ξ ) | ξ < α}), falls a − {G(ξ ) | ξ < α} 6= 0/
G(α) =
a,
sonst.
(i) a 6∈ {G(ξ ) | ξ < α} → G α ist injektiv:
Für γ < α ist G(γ) = f (a−{G(ξ ) | ξ < γ}) ∈ a−{G(ξ ) | ξ < γ}, also G(γ) 6=
G(ξ ) für alle ξ < γ.
(ii) a ∈ W (G), denn anderenfalls wäre G : On −→ a nach (i) eine injektive
Funktion, und damit a keine Menge!
Sei α := µξ (G(ξ ) = a)1 . Dann ist G α : α −→ a injektiv. Es bleibt zu zeigen:
(iii) G α : α −→ a ist surjektiv. Wäre jedoch W (G α) ⊂ a, so G(a) =
f (a − {G(ξ ) | ξ < α}) ∈ a im Widerspruch zur Definition von α!
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff
Diese Prinzipien formulieren wir am besten für reflexive Ordnungen:
Eine (reflexive) teilweise Ordnung auf A ist eine 2-stellige Relation R auf A,
für die gilt:
∀x ∈ a xRx
reflexiv,
∀x, y, z ∈ a (xRy ∧ yRz → xRz)
transitiv,
∀x, y ∈ a (xRy ∧ yRx → x = y)
antisymmetrisch.
K ⊆ A heißt R-Kette: ↔ ∀x, y ∈ K (xRy ∨ yRx),
d.h. je zwei Elemente aus K sind bzgl. R vergleichbar;
(e) a ∈ A heißt R-obere Schranke von B ⊆ A :↔ ∀x ∈ B xRa,
a ∈ A heißt R-maximal: ↔ ∀x ∈ A (aRx → a = x).
(a)
(b)
(c)
(d)
Ein maximales Element besitzt also kein echt größeres, braucht aber nicht das
größte Element zu sein (zumindest nicht in einer teilweisen Ordnung).
Zornsches Lemma (ZL)
r sei teilweise Ordnung auf der Menge a mit der Eigenschaft
(*) jede r-Kette besitzt eine r-obere Schranke.
Dann hat a ein maximales Element (bzgl. r).
1 Mit
µξ ϕ(ξ ) bezeichnet man das kleinste ξ mit der Eigenschaft ϕ(ξ ).
154
7.1. Z ERMELOS A XIOM
Hausdorffsches Maximumsprinzip (H)
r sei teilweise Ordnung auf der Menge a.
Dann gibt es eine (bzgl. ⊆) maximale r-Kette k, d. h. ein k ⊆ a mit:
k ist r-Kette ∧ ∀y ( y r-Kette ∧ k ⊆ y → k = y).
Diese beiden Aussagen sind äquivalent zum Auswahlaxiom:
Beweis von WO ⇒ H:
r sei partielle Ordnung auf a, a = {aξ | ξ < α} sei wohlgeordnet. Wir definieren
eine Teilmenge {bξ | ξ < α} von a durch Rekursion wie folgt:
(
aβ falls {bξ | ξ < β } ∪ {aβ } r-Kette,
bβ =
a0 sonst.
{bξ | ξ < α} ist dann eine maximale r-Kette (mit b0 = a0 ).
H ⇒ ZL:
Sei r partielle Ordnung auf a, die (*) erfüllt. Nach H existiert eine maximale rKette k ⊆ a. Eine obere Schranke von k ist dann ein maximales Element (sonst
könnte man k echt erweitern).
ZL ⇒ AC:
Sei a 6= 0/ und ∀x ∈ a x 6= 0.
/ Setze
B := { f | ∃y ⊆ a( f : y →
[
a ∧ ∀x ∈ y f (x) ∈ x)}.
Jedes Element von B ist eine partielle Auswahlfunktion und Teilmenge von a ×
S
S
a, damit ist auch B als Menge b ⊆ P(a × a) abschätzbar. Als teilweise OrdS
nung auf B = b wählen wir r =⊆ -Beziehung. Für jede r-Kette k ist dann k eine
obere Schranke, und ein nach dem Z ORNschen Lemma maximales Element in B
ist dann eine Auswahlfunktion für a .
Bemerkungen
• Aus obigem Beweis lässt sich ablesen, daß H sogar allgemeiner gilt: jede
partielle Ordnung r auf a besitzt für jedes b ∈ a eine r-Kette k mit b ∈ k.
• Das Z ORNsche Lemma ist offenbar trivial, wenn r eine lineare Ordnung auf
a ist, weil dann a selbst schon eine Kette ist. Daher kann man Anwendungen
von ZL nur für teilweise Ordnungen erwarten. Wie in obigem Beweis ist
häufig diese Ordnung die ⊆ -Beziehung, und häufig kann man in diesem
Fall (*) nachweisen, indem man zeigt, daß
155
7.1. Z ERMELOS A XIOM
für jede ⊆-Kette k ist
(Dann ist
S
S
k ∈ a.
k nämlich eine obere Schranke.)
• Für Anwendungen benötigt man gelegentlich nur abgeschwächte Formen
des Auswahlaxioms:
Auswahlaxiom für abzählbare Mengen: (ACω )
a abzählbar ∧ ∀x ∈ a x 6= 0/ → ∃ f (D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x),
Axiom der abhängigen Auswahl: (DC, dependent choice)
Rel(R) ∧ a0 ∈ a ∧ ∀x ∈ a ∃y ∈ a xRy
→ ∃ f [ f : ω −→ a ∧ f (0) = a0 ∧ ∀n < ω f (n)R f (n + 1)]
Es gilt:
AC → DC, DC → ACω (aber die Umkehrungen sind nicht beweisbar).
Das ACω wird vielfach in der Analysis benutzt (s.u.), insbesondere auch für
die Aussage, daß die Vereinigung abzählbar-vieler abzählbarer Mengen wiederum abzählbar ist. DC benötigt man z. B. für die Äquivalenz verschiedener Endlichkeitsdefinitionen sowie zum Beweis, daß die Minimalitätsbedingung der Fundiertheit (s. (F1) von 6.1.1.3)
(F1) ∀z(0/ 6= z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z y 6< x)
äquivalent ist zur Aussage, daß es für < keine unendlich-absteigenden Ketten gibt:
(F11) ¬∃ f ( f : ω −→ V ∧ ∀n < ω f (n + 1) < f (n))
(dabei benötigt man gerade das DC, um (F11) → (F1) zu zeigen, während die
umgekehrte Richtung auch ohne DC beweisbar ist).
7.2. A NWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
156
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
K sei ein Körper, V ein Vektorraum über dem Körper K, V und K seien Mengen (hier also V nicht die Klasse aller Mengen!). Wir wenden zum Beweis das
Z ORNsche Lemma an und wählen
P := {b | b Menge von linear unabhängigen Vektoren ⊆ V }, ≤= ⊆ auf P.
Dann ist ≤ eine partielle Ordnung auf der Menge P, und für jede Kette k ⊆ P
S
ist k eine obere Schranke von k in P. Nach dem Z ORNschen Lemma existiert
also ein maximales Element in P; eine maximale linear unabhängige Menge von
Vektoren ist aber eine Basis.
Bemerkungen
1. A. Blass: Existence of bases implies AC, Contempory Math., Axiomatic Set
Theory, AMS 31 (1983)) hat gezeigt, daß auch die Umkehrung gilt:
Hat jeder Vektorraum eine Basis besitzt, so gilt das Auswahlaxiom.
2. Den Vektorraum R der reellen Zahlen kann man auch als (unendlich-dimensionalen) Vektorraum über den rationalen Zahlen Q auffassen, er besitzt
dann also eine Basis, die man H AMEL-Basis nennt. Aus der Existenz einer
solchen Basis folgt nun aber insbesondere die Existenz einer Funktion
f : R −→ R mit f (x + y) = f (x) + f (y) für alle reellen x, y.
Ein solches f ist zwar Q-linear, aber nicht R-linear. Tatsächlich kann f
unstetig sein, und es ist sogar möglich, daß W ( f ) ⊆ Q!
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach
(Formulierung und Beweis etwa bei Friedrichsdorf-Prestel, Kap. 10, pp.66ff)
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen
Es existiert eine Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. (V ITALI
1905)
157
7.2. A NWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
Die Lebesgue-meßbaren Mengen bilden eine Teilmenge L ⊆ P(R), auf welcher das Lebesgue-Maß definiert ist als Abbildung
m : L −→ {x | x ∈ R ∧ x ≥ 0} ∪ {∞},
so daß gilt:
(L1) L ist ein Mengenring, d. h. A, B ∈ L → A ∪ B, A ∩ B, A − B ∈ L,
und L enthält die offenen und abgeschlossenen Intervalle:
(a, b), [a, b] ∈ L für alle reellen Zahlen a < b.
Ferner ist m([a, b]) = b − a.
(L2) m(A ∪ B) = m(A) + m(B), falls A ∩ B = 0/
Additivität
(L3) A ⊆ B → m(A) ≤ m(B)
Monotonie
(L4) Ist (Ai |i < ω) eine abzählbare Folge von Mengen ∈ L, so ist auch
S
/ für i 6= j, so ist
i<ω Ai ∈ L, und falls Ai ∩ A j = 0
S
m(
i<ω Ai ) = ∑i<ω m(Ai ).
σ -Additivität
(L5) A ∈ L ∧ r ∈ R → A + r = {a + r | a ∈ A} ∈ L
und m(A) = m(A + r)
Translationsinvarianz
Auf den reellen Zahlen definieren wir eine Äquivalenzrelation durch
x ∼ y :↔ x, y ∈ [0, 1] ∧ x − y ∈ Q.
Nach dem Auswahlaxiom in der Form AC3´ existiert hierzu ein Repräsentantensystem S, d. h.
S ⊆ [0, 1] ∧ ∀x ∈ [0, 1] ∃!y ∈ S (x ∼ y).
Setzen wir Sr := {x + r | x ∈ S} = S + r, so ist R =
Sr ∩ St = 0/
S
s∈Q Sr ,
und es ist
für r,t ∈ Q, r 6= t.
Wäre S Lebesgue-meßbar, also S ∈ L, so erhielte man im Falle m(S) = 0 :
m(R) = 0, und im Falle m(S) > 0 : 2 = m([0, 2]) = ∞, Widerspruch! Somit ist die
Menge S nicht Lebesgue-meßbar.
158
7.2. A NWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
Auf den reellen Zahlen definiert man die übliche Topologie mit Hilfe der εUmgebungen von x:
U(ε, x) := (x − ε, x + ε) = {y ∈ R | x − ε < y < x + ε},
sowie
(1) für A ⊆ R die abgeschlossene Hülle von A durch
x ∈ A : ↔ ∀ε > 0 U(ε, x) ∩ A 6= 0/
↔ x = limn<∞ xn
bzw.
für eine Folge(xn )n<ω mit ∀n < ω xn ∈ A.
(2) Es sei f : R −→ R, x ∈ R. Dann definiert man
f stetig in x:
↔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ R (|x − y| < δ → | f (x) − f (y)| < ε) bzw.
↔ f (x) = limn<∞ f (xn ) für alle Folgen (xn )n<ω mit x = limn<∞ xn .
Um die Äquivalenz der jeweiligen Definitionen zu zeigen, benötigt man (in
jeweils einer Richtung) das Auswahlaxiom - tatsächlich genügt hier das ACω .
7.2.5 Satz von Tychonoff
Das Produkt quasi-kompakter Räume ist quasi-kompakt. (Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.)
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem
Eine Boolesche Algebra ist ein Modell (B, ∧, ∨, −, 0, 1) der B OOLEschen Gesetze, die wir für die Aussagenlogik in 1.2.6 formuliert haben. Um den trivialen Fall
auszuschließen, fügen wir noch 0/ 6= V als Axiom hinzu, so daß stets 0 6= 1 gilt und
die kleinste B OOLEschen Algebra aus zwei Elementen besteht.
Beispiele und Bemerkungen
1. Für eine nicht-leere Menge M ist (P(M), ∩, ∪, −, 0,
/ M) eine B OOLEsche Algebra, die Potenzmengenalgebra von M. Eine Unteralgebra davon, definiert
also auf einer Teilmenge B ⊆ P(M), die 0/ und M enthält und abgeschlossen
ist unter den Mengenoperationen ∩, ∪, −, heißt Mengenalgebra.
7.2. A NWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
159
2. Jede endliche B OOLEschen Algebra ist isomorph zu einer Potenzmengenalgebra und hat damit 2n Elemente für eine natürliche Zahl n. Die Menge
{x ⊆ N | x endlich oder N − x endlich} mit den üblichen mengentheoretischen Operationen ist eine abzählbare B OOLEsche Algebra, die aber nicht
zu einer Potenzmengenalgebra isomorph sein kann.
3. Es gibt zahlreiche Beispiele B OOLEscher Algebren, die keine Mengenalgebren sind. Diese lassen sich am besten mit topologischen Hilfsmitteln
beschreiben; aber es gibt auch natürliche Beispiele aus der Logik:
Die Lindenbaum-Algebra einer Theorie T
Für eine Theorie T der Sprache L definieren wir auf der Menge der Sätze von L
eine Äqivalenzrelation durch
ϕ ∼T ψ : ⇐⇒ T ` ϕ ↔ ψ,
L(T) := {[σ ]T | σ L-Satz}
sei die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen. Den aussagenlogischen Operationen entsprechen dann Operationen auf L(T):
[ϕ]T ∧ [ψ]T := [ϕ ∧ ψ]T
und ähnlich für die übrigen Operationen. Damit wird L(T) zu einer B OOLEschen
Algebra mit
0 = {ϕ | T ` ¬ϕ} und 1 = {ϕ | T ` ϕ}.
Eine Theorie T ist somit vollständig und konsistent gdw L(T) isomorph zur 2elementigen B OOLEschen Algebra ist.
Ein Filter einer B OOLEsche Algebra (B, ∧, ∨, −, 0, 1) ist eine nichtleere Teilmenge F ⊆ B mit folgenden Eigenschaften:
(U1) x, y ∈ F ⇒ x ∧ y ∈ F,
(U2) x ∈ F, y ∈ B ⇒ x ∨ y ∈ F.
Ein Filter F heißt echt gdw F 6= B. Ein Primfilter ( Ultrafilter) ist ein echter
Filter F mit der zusätzlichen Eigenschaft
(U) x ∈ F oder B − x ∈ F.
160
7.2. A NWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
Ultrafilter kann man auch als maximale echte Filter charakterisieren; sie haben
außerdem folgende Eigenschaften:
x 6∈ U
⇐⇒
B−x ∈U
x ∈ U und y ∈ U
⇐⇒
x∧y ∈U
x ∈ U oder y ∈ U
⇐⇒
x∨y ∈ F
und stehen damit in enger Verbindung mit dem Wahrheitsprädikat:
Das Boolesche Primidealtheorem (BPI) besagt:
Jeder echte Filter in einer B OOLEschen Algebra läßt sich zu einem Ultrafilter
erweitern, (bzw.: Jedes echte Ideal läßt sich zu einem Primideal erweitern.)
(Die Begriffe Ideal und Primideal sind die zu Filter und Ultrafilter dualen
Begriffe: vertausche ∨ mit ∧.)
Das BPI folgt offensichtlich aus dem Auswahlaxiom (mittels des Z ORNschen
Lemmas), ist aber echt schwächer.
Satz
Das BPI ist äquivalent mit folgenden Aussagen:
(i) Jede B OOLEsche Algebra besitzt einen Ultrafilter.
(ii) S TONEscher Repräsentationssatz:
Jede B OOLEsche Algebra ist isomorph zu einer Mengenalgebra.
(iii) Satz von T YCHONOFF für T2 -Räume
(iv) Vollständigkeitssatz für formale Sprachen erster Stufe
(v) Kompaktheitssatz für formale Sprachen erster Stufe
Weitere Abschwächungen des Auswahlaxioms sind:
Ordnungserweiterungsprinzip (OE): Jede partielle Ordnung läßt sich zu einer
linearen Ordnung erweitern.
Ordnungsprinzip (OP): Jede Menge besitzt eine lineare Ordnung.
Es gilt: AC ⇒ BPI ⇒ OE ⇒OP (ohne Umkehrungen).
Weitere Ergebnisse und eine Übersicht findet man in dem Buch
G.H. M OORE : Zermelo´s Axiom of Choice. Springer 1982.