Det danske boligmarked på lang sigt

DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET
Økonomisk Institut
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Kandidatspeciale
Adam Bjørn Meincke
Det danske boligmarked på lang sigt
En teoretisk og empirisk analyse af boligmarkedet og dets grundlæggende antagelser
Abstract
Denne analyse har til formål at skildre det danske boligmarked på lang sigt. På
baggrund af en ny matematisk analyse og ny dansk empiri konkluderer den teor etiske og empiriske analyse at det danske boligmarked bedst beskrives med den
udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Denne konklusion har
de implikationer at udbuddet af grunde er perfekt elastisk på lang sigt og at b oligprisen svinger omkring den samme reale pris, i fraværet af udbudsstød .
Vejleder: Henrik Christoffersen
Antal ECTS: 30
Afleveret den: 14. juni 2012
Indholdsfortegnelse
1
Summary ..................................................................................................................................... 5
2
Forord.......................................................................................................................................... 8
3
Introduktion ................................................................................................................................ 9
4
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve ........................................... 10
5
4.1
Den teoretiske ramme .......................................................................................................... 11
4.2
Efterspørgselsrelationen ....................................................................................................... 12
4.3
Udbudsrelationen ................................................................................................................. 14
4.4
Ligevægt............................................................................................................................... 14
4.4.1
Hældning .................................................................................................................... 16
4.4.2
Dynamik ..................................................................................................................... 17
4.4.3
Vejen til ny ligevægt................................................................................................... 19
4.5
Grafisk analyse ..................................................................................................................... 21
4.6
Delkonklusion ...................................................................................................................... 23
4.7
Diskussion af den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel ..................................................... 25
Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve ............................................... 26
5.1
Den teoretiske ramme .......................................................................................................... 27
5.2
Optimal adfærd .................................................................................................................... 28
5.3
Ligevægt............................................................................................................................... 33
5.3.1
Hældning .................................................................................................................... 34
5.3.2
Dynamik ..................................................................................................................... 36
5.3.3
Vejen til ligevægt........................................................................................................ 37
5.4
Grafisk analyse ..................................................................................................................... 39
5.5
Skyggeprisens relation til den reale boligpris ...................................................................... 43
5.5.1
Tobin’s q ..................................................................................................................... 43
5.5.2
Boligprisen.................................................................................................................. 44
2
5.6
Delkonklusion ...................................................................................................................... 45
5.7
Diskussion af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel ......................................................... 46
6
Modellerne teoretisk over for hinanden .................................................................................... 47
7
Empiri ....................................................................................................................................... 50
8
7.1
Makroøkonometrisk metodologi .......................................................................................... 53
7.2
Analyse................................................................................................................................. 57
7.2.1
Test for om variable er I(1)......................................................................................... 57
7.2.2
Test for kointegration ................................................................................................. 63
7.2.3
DOLS .......................................................................................................................... 67
7.2.4
Test for 1-til-1 forhold ................................................................................................ 72
7.3
Delkonklusion ...................................................................................................................... 73
7.4
Diskussion af den økonometriske analyse ........................................................................... 74
7.4.1
Kausalitet .................................................................................................................... 74
7.4.2
Efterspørgselsstøds effekt på de forklarende variable ................................................ 75
7.4.3
Data og metode ........................................................................................................... 75
7.4.4
Andre modbeviser resultatet ....................................................................................... 76
Makroøkonomiske implikationer .............................................................................................. 76
8.1
Boligprisernes korrelation internationalt ............................................................................. 77
8.2
Perfekt elastisk udbud .......................................................................................................... 77
8.3
Udbudsbestemt boligpris...................................................................................................... 78
9
Konklusion ................................................................................................................................ 81
10
Litteraturliste ............................................................................................................................. 82
11
Bilag A: Udviklingen på det danske boligmarked .................................................................... 84
11.1 Dansk boligmarked i tal ....................................................................................................... 84
11.2 ADAM vs. DREAM ............................................................................................................ 87
3
12
Bilag B: Baggrund for det teoretiske afsnit .............................................................................. 88
12.1 Cramersk regel for differentialligninger .............................................................................. 88
13
Bilag C: Baggrund for det empiriske afsnit .............................................................................. 90
13.1 Variable i datasættet ............................................................................................................. 90
13.1.1
Boligpriser, lph ........................................................................................................... 90
13.1.2
Grundomkostninger, lpland ........................................................................................ 90
13.1.3
Byggeomkostninger, lbomk........................................................................................ 91
13.1.4
Renten, li ..................................................................................................................... 91
13.1.5
Moms, lt ...................................................................................................................... 91
13.1.6
Stempelafgifter, lu ...................................................................................................... 91
13.1.7
Kilder .......................................................................................................................... 92
13.2 Gauss-Markovs CLM antagelser ......................................................................................... 93
13.2.1
CLM TS.1-TS.6 .......................................................................................................... 93
13.2.2
CLM TS.1’-TS.5’ ....................................................................................................... 94
13.3 Test for om DOLS er korrekt specificeret ........................................................................... 95
13.4 Hypotesetest for langsigtet 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de forklarende
variable .......................................................................................................................................... 97
4
1
Summary
Objective:
The objective of this thesis is to give a thorough theoretical and empirical understanding of
the Danish housing market in the long run.
Problem:
The decision of buying a house is probably the biggest financial investment any of us will
ever make. In addition the aggregated value of the Danish quantity of homes is more than
2000 billion (trillion in US terms) kroner, surpassing the Danish GDP by more than 30%. The
importance of the Danish housing market, for the Danish households and for the Danish
economy as a whole, is thus undeniable. The insight into the market is however not impressing.
Politicians, banks and real estate agents as well as the Danish Economic Councils, the Danish
National bank and economic researchers have all had problems predicting the Danish housing
prices. In 2005-2009 the problems were so severe that the average estimations from the above
mentioned “experts” were about a 100% off target, meaning that the prediction: “no changes”
was just as good an estimation.
This lack of insight together with the major importance of the housing market, both for the
private households and the whole economy, is the foundation for this thesis.
Solution:
To understand the housing market a theoretical model will be proposed and tested empirically
on Danish data. Unfortunately it is not an easy task to define at correct theoretical model, as
the lack of insight into the housing market might suggest. By reviewing the housing market
literature however it is possible to roughly divide the theories into two beliefs: those believing
that the supply of homes is perfectly elastic in the long run, and those believing that the supply of homes is less than perfect elastic in the long run. These different beliefs of how the
economy works are incorporated as fundamental assumptions in different models of the housing market and are consequently leading the models to different results. An example is given
below by the two Danish macroeconomic models ADAM and DREAM that assume a perfect
elastic supply and a less than perfect elastic supply respectively.
5
Figure 1: The impact on housing prices of a permanent increase in the housing tax
The figure shows how important the fundamental assumption of a model is and why economic agents have a hard time predicting the housing prices.
As no assumption has yet been sufficiently rejected, this paper applies both assumptions in
the form of two different models: the consumer driven model with a sloping supply curve and
the supplier driven model with a horizontal supply curve. These models are both analysed
with the use of an advanced mathematical approach that makes them directly comparable. The
comparison shows that while both models initially seem to fit well with Danish empirical evidence, their fundamentally different assumption of the elasticity of the supply lead them to
conclude fundamentally different slopes of the long run supply curve. As a result it is possible
to test which model that has the best fit with Danish empirics by testing the slope of the long
run supply curve. If the supply curve is horizontal the assumption of a perfectly elastic supply
seems to be the correct one and thus the supplier driven model with a horizontal supply curve
should be applied in analysing the Danish housing market. Conversely if the supply curve is
sloping the assumption of a perfectly elastic supply seems to be incorrect and thus the consumer driven model with a sloping supply curve should be applied in analysing the Danish
housing market.
The macro econometric theory of time series data shows that testing the slope of the long run
supply curve is best tested by a cointegration analysis. For this purpose a unique dataset from
1938-2007 is collected and tested with a Dynamic OLS (DOLS) approach. The result is that
the supply curve is proven to be horizontal and thus that the data support the assumption of a
perfectly elastic supply in the long run.
6
Implications:
The support of the assumption of perfect elastic supply has a number of macroeconomic implications. First and foremost the proof of the perfectly elastic supply curve is simultaneously
a rejection of models assuming that the supply is less than perfectly elastic in the long run.
This means that models like DREAM should reassess their fundamental assumption of the
supply being less than perfectly elastic in the long run and analyse what consequences this
assumption has for the results of the model.
Secondly the econometric analysis shows that housing prices are significantly determined by
the prices of land. As land is determined by the international prices of crops per acre, the result is that national house prices are correlated internationally. Thus this result explains why
so many countries have experienced almost identical house price developments in the last
couple of decades.
Finally the result indicates that the real housing prices are solely determined by the supply in
the long run. This means that in the absence of supply shocks the movements in the housing
prices are only temporary and will error correct back to the long run equilibrium level in time.
Additionally a heavy increase in prices succeeded by decreasing house prices, as witnessed
under the subprime crisis, can be explained by the supplier driven model as a positive demand
shock.
All in all, this thesis finds theoretical and empirical justification for the assumption of perfectly elastic supply and thus the Danish long run housing market should be analysed through a
supplier driven housing model with a horizontal supply curve.
7
2
Forord
Min baggrund for at skrive specialet er min ansættelse i Boligøkonomisk Videncenter, uddannelsen til cand.polit. på Københavns Universitet samt faget Boligøkonomi ved Jens Lunde.
Derudover har Jakob Brøchner Madsen hjulpet mig ved at sende en del af datasættet og min
vejleder Henrik Christoffersen har hjulpet mig med vejledning.
Mit individuelle bidrag har været at sætte 2 teorier over for hinanden, analysere dem med
Cramersk metode og teste dem på et uset datasæt. Teorien læner sig op ad pensum fra Advanced Macro economics udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Romer, 2012).
Matematikken i teorien læner sig op ad matematik uden for pensum, men bygger oven på metoder fra Matematik 2 udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Sydsæter, 2002) og
(Hansen & Olesen, 1999).
Økonometrien er uden for pensum, men drager paralleller til Econometrics 3 og Advanced
Macro econometrics udbudt på cand.polit. og med udgangspunkt i (Verbeek, 2008),
(Wooldridge, 2009) og (Juselius, 2006).
Desværre har jeg ikke selv haft mulighed for at tage Advanced Macro economics og Advanced Macro econometrics, som ville være en fordel for forståelsen af dette speciale.
8
3
Introduktion
Dette speciale har til formål at give en omfattende teoretisk og empirisk forståelse af det danske boligmarked på lang sigt. Motivationen er først og fremmest boligmarkedets vigtighed for
dansk privat- og samfundsøkonomi. I skrivende stund har den danske boligmasse en værdi på
ca. 2000 milliarder kroner1, hvilket langt overstiger BNP, og danskerne har verdens højeste
husholdningsgæld2, primært grundet finansieringen af boligmassen. En hver ændring på boligmarkedet har altså enorme effekter på både privatøkonomien og samfundsøkonomien. Alligevel er forståelsen af boligmarkedet og dets dynamik utroligt sparsom og danske markedsagenter kan således hverken forklare eller forudsige markedets udvikling. Dette giver sig bl.a.
til udtryk i en analyse foretaget af PA Consulting Group 3 som viser at både kommercielle institutioner som fx ejendomsmæglere, banker osv., uafhængige institutioner som fx DØRS og
nationalbanken, politiske institutioner og forskere alle sammen har problemer med at forudsige boligpriserne på både kort og lang sigt. Det stod faktisk så galt til i perioden 2005-2009 at
grupperne i gennemsnit skød næsten 100% forbi den faktiske prisudvikling og at prognosen
”ingen ændring” dermed ville have været en lige så god prognose som den de ”professionelle”
kom frem til. Denne manglende forståelse kombineret med markedets enorme betydning er en
dårlig kombination og udgør dermed motivationen for at skrive dette speciale.
For at skildre det danske boligmarked på lang sigt tages der udgangspunkt i at formulere en
passende teoretisk boligmarkedsmodel og derefter teste dens gyldighed på dansk empiri. Modeller er dog ikke regnemaskiner der giver det samme resultat uanset hvilken model der anvendes, men er hver især opbygget på baggrund af forskellige valg af hvordan man mener at
økonomien er indrettet. Valget af den teoretiske model tager derfor afsæt i valget af de grundlæggende antagelser om den økonomiske virkelighed. Her har boligmarkedsteorien, siden
Ricardo’s teori om knaphed på land, primært været opdelt i 2 modstridende overbevisninger:
dem der mente at udbuddet var perfekt elastisk på lang sigt, og dem der mente at udbuddet var
mindre elastisk på lang sigt, hvilket løst kan oversættes til om udbudskurven er flad eller skrå
på lang sigt. Hidtil har det ikke været muligt definitivt at afskrive den ene teori frem for den
anden, hvilket har den konsekvens at de modeller der anvendes i dag tager udgangspunkt i
vidt forskellige verdenssyn. Et eksempel er de 2 mest anvendte makroøkonomiske modeller i
Danmark: ADAM og DREAM, som hver især tager udgangspunkt i henholdsvis antagelsen
om perfekt elastisk udbud af grunde på lang sigt og et mindre end perfekt elastisk udbud af
1
(Økonomi_&_Erhvervsministeriet, 2010, s. 55)
(Muelbauer, 2007, s. 271)
3
(PA_Consulting_Group, 2009)
2
9
grunde på lang sigt. Disse modellers forskellige grundlæggende ideer om den økonomiske
virkelighed medfører at fx en ændring i ejendomsværdiskatten giver vidt forskellige resultater
i de 2 modeller4. Modellernes grundlæggende antagelser har altså enorm effekt på hvordan
modellen skildrer markedet og derfor er det nødvendigt at opstille begge teoriretninger i denne opgaves analyse for at blive klogere på hvilke grundlæggende antagelser der er mest plausible og dermed hvilken model der skal anvendes til skildringen af det danske boligmarked.
Med dette in mente opstilles 2 af de mest anvendte og plausible boligmarkedsmodeller: den
forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve; som har hver deres antagelse om udbuddets elasticitet.
En ikke tidligere anvendt matematisk analyse af modellerne gør det muligt at lave en direkte
sammenligning imellem dem, og konstatere at det primært er hældningen på udbudskurven
der adskiller dem. Den empiriske test af hvilken en af modellerne der er en korrekt beskrivelse af det danske boligmarked tager derfor udgangspunkt i en test af om udbudskurven på lang
sigt er horisontal. En empirisk kointegrationsanalyse på hidtil uset dansk data tilbage til 1938
viser at udbudskurven på lang sigt er horisontal og resultaterne fra den udbudsdrevne model
synes således at være den bedste beskrivelse af det danske boligmarked på lang sigt. Denne
konklusion har primært 3 afgørende implikationer. Den første er at en model som fx DREAM
som antager at udbuddet af grunde er fast på lang sigt, bør overveje konsekvenserne af denne
antagelse og implikationerne af at ændre den. Den anden er at boligpriserne på lang sigt er
bestemt af udbuddet og at udsving i boligpriserne, alt andet lige, derfor skal ses som kortvarige stød der nødvendigvis fejlkorrigerer tilbage mod ligevægt på sigt. Den tredje er at husprisernes afhængighed af landbrugspriserne betyder at landes husprisudvikling til dels vil følge
hinanden internationalt.
Opgaven forløber som følger: i afsnit 4 opstilles den forbrugerdrevene boligmarkedsmodel
med skrå udbudskurve, i afsnit 5 opstilles den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad
udbudskurve, mens afsnit 6 sammenligner de 2 modeller. Modellerne testes derefter empirisk
i afsnit 7, hvorefter afsnit 8-9 diskuterer og konkluderer.
4
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve
Dette afsnit præsenterer den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve,
gennemgået i (Poterba, 1984). Modellen tager udgangspunkt i den optimerende forbruger der
efterspørger bolig indtil hans marginale værdi af en ekstra enhed bolig er lig med hans margi-
4
Se afsnit 11.2 for en nøjere gennemgang af ADAM og DREAM
10
nale omkostning. Samtidigt tilskrives udbyderen en mere mekanisk rolle hvor udbuddet alene
bestemmes af boligprisen og raten for boligens nedslidning. Modellen forudsiger i store træk
et boligmarked der på kort sigt er kendetegnet ved en aftagende efterspørgselskurve og en
lodret udbudskurve. Udbudskurvens form skyldes at udbuddet af boliger på kort sigt ikke kan
ændres fordi det tager tid at købe grund, få byggetilladelser og bygge. På længere sigt antages
denne træghed dog at forsvinde og udbudskurven bliver skrå således at udbuddet stiger når
efterspørgslen stiger.
Notationen følger (Poterba, 1984) med undtagelse af at investeringsfunktionen
nes som
benæv-
for ikke at skabe forvirring når modellen senere sammenlignes med den ud-
budsdrevne model hvor
har en anden betydning. Derudover ændres user cost parametrene
så de passer til danske tilstande samt definitionen af user cost ændres til at indeholde
såle-
des at definitionen stemmer overens med den mere intuitive definition fra (Lunde, 1998).
Målet med dette afsnit er at analysere hvordan en teori med udgangspunkt i antagelsen om et
mindre end perfekt elastisk udbud skildrer boligmarkedet, både i ligevægt, efter stød og under
tilpasning til ny ligevægt.
Analysen forløber som følger: i afsnit 4.1 opstilles den teoretiske ramme for markedet og dets
agenter, afsnit 4.2-4.3 udleder agenternes optimale adfærd og afsnit 4.4 udregner markedets
langsigtede ligevægt. Herunder udregnes kurvernes hældninger, hvad der sker hvis systemet
udsættes for stød og i så fald om markedet kan finde tilbage til en ny ligevægt. Til sidst opsummeres boligmarkedsmodellen grafisk i afsnit 4.5 efterfulgt af konklusion og diskussion i
afsnit 4.6-4.7. Konklusionen er at den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve umiddelbart synes at kunne forklare dansk empiri, men teoretisk set lider af nogle
mangler.
4.1
Den teoretiske ramme
Den samlede efterspørgsel efter boligtjenester udtrykkes som funktion af den reale husleje pr.
boligenhed, , i følgende identitet:
, hvor
, således at højere real husleje
medfører lavere boligefterspørgsel.
Samtidig defineres det samlede udbud af boligtjenester som en funktion af antallet af boligenheder:
.5
På kort sigt er boligudbuddet fast, hvilket betyder at ligevægten,
, kun kan cleares af
. Den marginale reale husleje, , kan således udtrykkes som en funktion af boligudbuddet:
5
For at simplificere markedet er udbud og efterspørgsel antaget som homogent, således at forbrugere har ens
præferencer og boligerne har ens kvalitet, beliggenhed m.v. jf. (Poterba, 1984, s. 731)
11
(
)
,
. Dette udtrykker den inverse efterspørgselsfunktion, hvor
ligevægtslejen er negativt afhængig af mængden af boligenheder. Den kortsigtede ligevægt på
boligmarkedet kan således ses grafisk som skæringen mellem en skrå efterspørgselskurve og
en vertikal udbudskurve, hvor
clearer markedet.
Figur 2: Markedet på kort sigt
Da
er den husleje en boligejer kunne få for at udleje sine boligenheder, følger det at en ejer
der ”lejer” sin egen bolig har en nytte af dette forbrug der er større eller lig med . Med andre
ord betyder det at, på et marked uden imperfektioner vil ejerens marginale nytte,
forbrug af boligtjenesten være lig med ,
4.2
, ved
.
Efterspørgselsrelationen
En rationel agent vil efterspørge boligtjenesten indtil prisen overstiger nytten. Således vil forbrugeren efterspørge boligforbrug op til det punkt hvor den marginale nytte af en ekstra enhed
bolig er lig med den marginale omkostning ved at erhverve sig denne enhed bolig. Dette er
illustreret med følgende ligning:
⏟
Hvor
⏟
(4-1)
står for user cost og er den marginale omkostning pr. boligenhed6.
Ved opstilling af forbrugerens nyttemaksimeringsproblem under betingelse af de gældende
budgetrestriktioner kan forbrugerens omkostning ved at bo i en bolig udregnes7 til:
[
]
(4-2)
6
Igennem opgaven antages risiko og usikkerhed ingen rolle at spille, hvilket udmunder i en mere simpel model
jf. (Poterba, 1984, s. 732)
7
Udledes som funktion af forbrugerens intertemporale nyttemaksimeringsproblem under betingelse af budgetrestriktioner og andre begrænsninger. Se (Nielsen & Pedersen, 2007, s. 13)
12
Hvor
er real boligpris,
så risikabel investering og
tesatsen,
og
er alternativafkastet efter skat, hvor er afkastet på en lige
er skattesatsen på investeringsafkastet,
er grundskylden, hvor
er grundskyldspromillen,
ligeholdelsesudgifter og
er ejendomsværdiskat-
er den offentlige grundværdis andel af markedsværdien
er afskrivningstakten,
er administrations-, drifts- og ved-
er nominel husprisinflation ved fastholdt boligkvalitet8.
angiver således den egentlige omkostning ved at bo defineret som den reale markedsværdi
af boligen ganget med de enkelte omkostningsposter angivet i kr. pr. ejendomsværdi.
For at holde udtrykket simpelt er det antaget at boligen er 100% egenfinansieret og notationen
t for perioden t er fravalgt9.
Den nominelle husprisinflation,
, kan nu omskrives til summen af den generelle inflation,
̇⁄ .
⁄
, og den reale husprisinflation,
̇⁄
(4-3)
Hvilket indsat i (4-2) giver:
̇⁄
[
]
(4-4)
ændrer sig som funktion af land og boligtype fx grundet skatter der findes i et land og
ikke i andre eller skatter der findes på en boligtype, men ikke på andre 10. Ligning (4-4) for
user cost er derfor specificeret til det danske husmarked og optræder således anderledes i
udenlandske boligmarkedsmodeller, her iblandt (Poterba, 1984). Som det vises senere vil den
specifikke udformning af user cost have en afgørende betydning for udledningen af determinanterne for den langsigtede boligpris og boligmængde og det er derfor vigtigt for analysen at
disse er specificeret korrekt for det danske marked.
Ligevægtsbetingelsen for efterspørgslen på boligmarkedet kan nu udtrykkes ved at indsætte
ligning (4-4) i ligning (4-1):
̇⁄
Her indsættes
[
̇⁄
]
[
̇⁄
]
[
(4-5)
]
[
] således at:
8
Det er vigtigt at måle boligprisstigninger ved konstant kvalitet så man kan frasortere prisstigninger som følge af
øget kvalitet.
9
Hvis boligen ikke er 100% egenfinansieret skal ligning (4-2) omskrives til:
[
], hvor
er alternativafkastet
efter skat på egenkapitalen og
er rentefradragsretten og lånerenten på fremmedkapitalen. Se
(Lunde, 1998, s. 7).
10
Se (Lunde, 1998, s. 6)
13
̇⁄
(4-6)
̇
Hvor
.
Ligning (4-6) er efterspørgselsrelationen og udtrykker den forventede reale boligprisstigning
for boligejeren der efterspørger
boligenheder til realprisen .
, ses det11 at de reale
Med ækvivalens mellem husprisinflation og samfundsinflation,
boligpriser ikke stiger over tid, dvs. ̇
4.3
, samt at
.
Udbudsrelationen
I modsætning til efterspørgselssidens udgangspunkt i optimeringen af forbrugerens nyttemaksimeringsproblem så tilskrives udbudssiden en mere mekanisk rolle hvor tilstrømningen af
nye boligenheder, ̇ , udregnes som summen af nybyggeri, , og nedslidning,
̇
:
(4-7)
Med antagelsen om at mængden af investeringer afhænger af den reale pris, man kan få for
outputtet, kan ligning (4-7) omskrives til udbudsligningen:
̇
Hvor
med 1. afledte:
(4-8)
.
Ligning (4-8) er udbudsrelationen og viser sammenhængen mellem den reale pris,
buddet,
. Antagelsen om at
betyder at ændringer i
, og ud-
medfører ændringer i
og
modellen bevæger sig således væk fra kort sigts antagelsen om at udbuddet er perfekt uelastisk og udbudskurven er vertikal12. Udbyderens optimale adfærd dikterer dermed udbyderen
at øge udbuddet når prisen stiger og omvendt sænke udbuddet når prisen falder.
Med den optimale adfærd for forbrugeren og udbyderen defineret er det muligt at finde markedets ligevægt.
4.4
Ligevægt
Definitionen af efterspørgsels- og udbudsrelationen udspænder følgende ligningssystem som
udgør de samlede betingelser for optimal adfærd på boligmarkedet:
̇
(4-9)
̇
11
12
I ligning (4-6) indsættes
Se Figur 2
samt
fra ligning (4-2) i stedet for
(4-10)
og udtrykket reduceres.
14
På lang sigt er boligmarkedet i ligevægt, og pris og mængde ligger således fast, dvs. ̇
̇
. Indsættes dette i det simultane ligningssystem i (4-9) og (4-10) kan systemet omskrives til
det simultane ligevægtssystem:
(4-11)
Den øverste ligning i ligning (4-11) viser, i overensstemmelse med ligning (4-1), at i ligevægt, er den marginale nytte ved at benytte boligtjenesten
lig med den marginale omkost-
ning ved at benytte boligtjenesten, hvilket betyder at forbrugeren ikke vil flytte.
Fra den nederste ligning i ligning (4-11) udledes det at mængden af nybyggeri er lig med
mængden af nedslidning i ligevægt. Dette betyder at, i ligevægt vil der blive bygget nøjagtigt
lige så meget som der nedslides med det resultat at det aggregerede udbud er konstant.
Ligning (4-11) viser således hvordan boligmarkedet i ligevægt fungerer som et simultant ligningssystem hvor de endogene variable:
og
under antagelse af at funktionerne
er konstante. Ligevægten kan således findes som
det
og
bestemmes af de eksogene variable:
og ,
der løser det simultane ligningssystem i ligning (4-11). Ligevægten er dog i sig
selv ikke ret sigende, da det ud fra ligevægten ikke er muligt at sige om
har den
samme værdi over tid, hvordan den påvirkes af stød og om økonomien naturligt bevæger sig
tilbage mod ligevægten hvis markedet har været udsat for stød. Derfor defineres yderligere 3
forhold som gør det muligt at skildre en komplet boligmarkedsmodel:
1) Kurvernes hældning
2) Kurvernes reaktion på stød
3) Vejen tilbage til ligevægt
Kurvernes hældning illustrerer bl.a. hvor elastisk prisen og mængden er på sigt. Som tidligere
diskuteret vil en lodret udbudskurve og en vandret udbudskurve have vidt forskellige implikationer for hvad prisen og mængden er på lang sigt. Er hældningen således lodret vil ligevægtsmængden
aldrig ændre sig, mens en vandret kurve medfører at ligevægtsprisen er
konstant over tid. Ved efterfølgende at analyserer markedets reaktion på stød bliver det muligt
at illustrere hvilke variable der påvirker prisen og mængden og hvordan den nye ligevægt vil
forholde sig til den gamle. Til sidst vil vejen tilbage til ligevægt illustrere under hvilke betingelser at ligevægten kan forventes at være stabil og dermed gøre det relevant at diskutere det
simultane ligevægtssystem. Er ligevægten ustabil betyder det at variablene bevæger sig væk
15
fra ligevægt og dermed at en ligevægtssituation ikke kan opretholdes hvis der først er indtruffet et stød.
4.4.1
Hældning
Hældningen på kurverne har ingen effekt på ligevægten når systemet er i ligevægt, men
kommer der et stød til økonomien vil hældningen på kurverne få afgørende betydning for boligmarkedets nye ligevægt. Derudover er hældningen vigtig at udlede for at teste om nogen af
kurverne er vandrette eller lodrette, hvilket ville implicere en fast pris eller mængde over tid.
Af disse årsager udledes hældningen på udbuds- og efterspørgselsfunktionen ved at total differentiere ligningssystemet (4-11), med et teoretisk udgangspunkt i et boligmarked i ligevægt,
̇
̇
. Resultatet bliver:
(4-12)
(4-13)
Under antagelse af at der ikke kommer yderligere stød til økonomien kan ændringen i de eksogene variable sættes til 0,
, og ligning (4-12) og (4-13) kan således omskrives
til:
(4-14)
Og:
(4-15)
Disse ligninger beskriver hældningen på henholdsvis efterspørgselskurven og udbudskurven
under antagelse af at markedet er i ligevægt og at der ikke er nogen eksogene stød.
Hældningen på den langsigtede efterspørgselskurve, ̇
, i ligning (4-14) er negativ under
antagelse af at den marginale nytte af bolig er faldende for en stigende mængde boliger,
. Denne antagelse svarer til at forbrugeren sætter mindre pris på badeværelse
nummer 3 end på badeværelse nummer 1.
Omvendt er hældningen på den langsigtede udbudskurve, ̇
der antagelse af at
, i ligning (4-15) positiv un-
, dvs. at boligudbuddet på lang sigt reagerer på ændringer i den
16
reale boligpris. En gruppe forfattere13 argumenterer implicit for at
på lang sigt,
hvilket medfører et perfekt elastisk udbud hvor udbudskurven er horisontal og prisen alene er
bestemt af udbuddet. Mens (Poterba, 1984) og andre forfattere14 argumenterer for at aftagende
skalaafkast og begrænsninger i inputfaktorer som fx land medfører at udbuddet, selv på lang
sigt, ikke er perfekt elastisk og at udbudskurven dermed ligger et sted mellem den vandrette
og lodrette udbudskurve. Det er dog værd at bemærke at grundet udbyderens mekaniske adfærd vil udbudskurvens hældning aldrig blive flad i den forbrugerdrevne model. Selv hvis
udbuddet var perfekt elastisk således at en prisstigning førte til en stigning i udbuddet der var
stor nok til at udligne prisstigningen så ville udbudskurven stadig være skrå. Dette skyldes at
udbuddets mekaniske udformning i ligning (4-10) medfører at der ikke tages højde for den
øgede nedslidning, det øgede udbud ville medføre. Da udbyderen ikke er optimerende vil
således kun påvirke investeringsfunktionen uden hensyntagen til nedslidningen. Derfor vil
nedslidningen medføre at udbuddet bliver lavere end ved en optimerende udbyder med perfekt udbudselasticitet og udbudskurven vil således nødvendigvis være skrå15. Dette kan også
ses matematisk i ligning (4-15) ved at udbuddet afhænger af prisen. For en 100% flad udbudskurve skulle funktionen for udbuddets hældning være uafhængig af prisen, hvilket ikke
er tilfældet i denne model.
4.4.2
Dynamik
Den anden del i bestemmelsen af boligmarkedets ligevægt på lang sigt er at analysere dynamikken på markedet når det udsættes for eksogene stød. Dette vil afhænge af kurvernes elasticitet samt tilpasningsprocesserne i økonomien.
Med udgangspunkt i det totaldifferentierede ligningssystem (4-12) og (4-13) kan ligning
(4-16) opstilles på matrixformen i (4-17).
(4-16)
|
⏟
Hvor
̅ er bevægelsen i
bevægelsen i
|
̅
| ̅|
|
| |
|
(4-17)
fra ligevægten før stød til ligevægten efter stød. Ligeledes er
̅
fra ligevægten før et stød til ligevægten efter et stød.
13
Se (Muth, 1960), (Madsen, 2011)
Se (Miles, 1994, s. 24), (Foley & Sidrauski, 1971)
15
Se (Madsen, 2011, s. 8)
14
17
Den Cramerske regel tilbyder en formel til entydigt at bestemme de endogene variable,
̅ og
̅ , ved hjælp af determinanter16.
En vigtig forudsætning for at ligningssystemet kan kaldes et Cramersk ligningssystem og
dermed løses med den Cramerske regel er dog at determinanten er forskellig fra 0, dvs. at
koefficientmatricen
er regulær. Denne udledes på baggrund af koefficientmatricen, , i lig-
ningssystem (4-17) som17:
|
|
⏟
⏟
⏟
(4-18)
Givet tidligere antagelser kan det konkluderes at determinanten er forskellig fra 0 og de 4 ligevægtsrelationer kan udledes18:
̅
̅
̅
̅
|
|
(4-19)
|
|
(4-20)
|
|
(4-21)
|
|
(4-22)
Ligningerne (4-19) til (4-22) skildrer dynamikken i de endogene variable,
og , ved et stød
til de eksogene variable,
er konstante. Det
og , under antagelse af at funktionerne
og
bemærkes at ligningerne ikke siger noget om den kortsigtede effekt af stød, men kun konkluderer på om den nye ligevægtspris og –mængde er højere eller lavere end i den oprindelige
ligevægt.
Således ses det fra ligning (4-19) og (4-20) hvordan et positivt efterspørgselsstød, udtrykt ved
et permanent fald i , fører til en stigning i både priser og boligmasse på lang sigt. Intuitivt
kan dynamikken illustreres ved at et permanent fald i ejendomsværdiskatten øger boligens
pris, fordi den bliver billigere at bo i, hvilket fører til en stigning i udbuddet fordi udbyderen
16
Se (Hansen & Olesen, 1999, s. 214)
Se eksempel på udregning af determinant i (Hansen & Olesen, 1999, s. 215)
18
Se bilag 12.1 for regnereglen og (Pedersen, 2007) for eksempel
17
18
kan sælge boligen til en højere pris, hvilket derefter fører til et løbende fald i prisen i takt med
at udbuddet stiger. Faldet er dog ikke stort nok til at falde helt tilbage til ligevægt, jf. ligning
(4-20) og diskussionen om hældningen på udbudskurven i ligning (4-15). Den samlede effekt
af faldet i ejendomsværdiskatten er altså en højere mængde og pris på lang sigt.
Ligeledes kan dynamikken ved et positivt udbudsstød udledes fra ligningerne (4-21) og
(4-22). Her vil et positivt udbudsstød, udtrykt ved et permanent fald i , sænke priserne og
øge boligmassen på lang sigt. Stigningen i boligmassen kan forklares ved at et permanent fald
i nedslidningen på boligmassen alt andet lige må betyde en øget boligmasse over tid, mens
faldet i boligpriserne kan forklares med at en øget boligmasse bliver tilgængelig for den samme mængde efterspørgsel.
De dynamiske effekter sammen med hældningen på kurverne bestemmer hvor den nye ligevægt ligger i forhold til den gamle hvis markedet bliver udsat for et stød. Lige så vigtigt er det
dog at bestemme om markedet automatisk vil bevæge sig mod denne nye ligevægt eller om
stød fører til et ustabilt marked, hvor ligevægten ikke kan genfindes uden monetær eller finanspolitisk indblanding.
4.4.3
Vejen til ny ligevægt
For at finde ud af hvordan markedet reagerer når det er ude af ligevægt tages der udgangspunkt i efterspørgselsrelationen og udbudsrelationen der var udtryk for hhv. forbrugerens og
udbyderes optimale adfærd som nødvendigvis også må gælde uden for ligevægt. Relationerne
blev defineret som:
̇
(4-23)
̇
I ligevægt blev det derefter konstateret at for ̇
̇
(4-24)
kunne systemet omskrives til det
simultane ligevægtssystem:
(4-25)
19
Dette ligevægtssystem siger at hvis
og
tager ovenstående værdier så vil hverken prisen
eller mængden stige over tid. Spørgsmålet er nu hvorledes prisen og mængden vil reagerer
hvis
og
ikke er i ligevægtsniveauerne.
Det ses fra ligning (4-23) at for et fast
et lavt
så vil et højt
medfører en stigning i priserne, mens
vil medføre et fald i priserne. Årsagen er at et højt
betyder at forbrugeren har stør-
re omkostninger ved boligen end nytte, hvilket i forbindelse med optimal adfærd kun kan forklares med at forbrugeren forventer reale boligprisstigninger.
Ligeledes ses det fra ligning (4-24) at for et fast
så vil et højt
medføre et fald i udbuddet,
mens et lavt H vil medføre en stigning i udbuddet. Intuitionen er at hvis
er lavere end lige-
vægts udbuddet, uden at prisen ændrer sig, så vil udbyderen øge udbuddet indtil det ikke længere kan betale sig.
Dette kan opsummeres i følgende tabel som både matematisk og grafisk viser hhv. forbrugerens og udbyderens adfærd i og uden for ligevægt:
Tabel 1: Vejen til ligevægt
Efterspørgsel:
̇
Udbud:
̇
{
{
Venstre kolonne viser forbrugerens adfærd, mens højre kolonne viser udbyderens adfærd.
Således viser de 2 vertikale pile i venstre kolonne hvorledes prisen bevæger sig hvis et stød
har bragt prisen ud af ligevægt, mens de 2 horisontale pile i højre kolonne viser hvorledes
udbuddet bevæger sig hvis et stød har bragt udbuddet ud af ligevægt.
20
4.5
Grafisk analyse
De matematiske udledninger af hældningen på kurverne, de dynamiske effekter ved stød og
vejen tilbage til ligevægt kan nu opstilles i et samlet fasediagram der skildrer den samlede
teoretiske forbrugerdrevne boligmarkedsmodel:
Figur 3: Fasediagram af boligmarkedet
Kurverne ̇
og ̇
angiver hhv. efterspørgselskurven og udbudskurven i et marked i
ligevægt hvor alle eksogene stød er absorberet, mens de 8 små ortogonale pile skildrer de endogene variables bevægelse når de er ude af ligevægt.
Summeret definerer disse pile saddelpunktet, som består af en stabil arm, hvor de endogene
variable konvergerer mod ligevægten for
konvergerer væk fra ligevægten for
som et lokalt saddelpunkt er at
, og en ustabil arm hvor de endogene variable
. Antagelsen for at ligevægtspunktet opfører sig
, hvilket er ækvivalent med at egenværdierne er af mod-
satte fortegn (koefficient matricen A er dermed en indefinit matrice). Da
er defineret
fra ligning (4-18) er ligevægtspunktet således et lokalt saddelpunkt, hvor den stabile arm er
defineret som de 2 eneste løsningskurver der konvergerer mod ligevægten fra hver sin retning
når
. De vil til sidst tangere den rette linje der går igennem ligevægten med samme ret-
ning som koefficientmatrice, ’s, negative egenværdi.
Saddelpunktet indebærer at hvis de endogene variable starter nær det lokale saddelpunkt vil
systemet være lokalt asymptotisk stabilt og konvergere mod ligevægten, mens værdier langt
21
fra ligevægtspunktet vil være ustabile og konvergerer væk fra den langsigtede ligevægt 19. Her
argumenterer (Poterba, 1984, s. 737) for at den stabile arm er den eneste der opfylder transversalitetsbetingelsen, hvilket betyder at boligmarkedet er et stationært system hvor de endogene variable bevæger sig mod den langsigtede ligevægt.
Figur 3 kan således omskrives til Figur 4, hvor stød til boligmarkedet automatisk fører markedet mod en ny stabil ligevægt.
Figur 4: Fasediagram af stabilt boligmarked
Som tidligere antaget er udbuddet af boliger fast på kort sigt, hvilket vil sige at prisen, , reagerer som en springvariabel når der kommer et stød til økonomien.
Under antagelse af at agenterne er perfekt forudseende20 kan et permanent, uventet efterspørgselsstød således skildres som:
Figur 5: Fasediagram af efterspørgselsstød
19
Se definitionen af saddelpunkter i (Sydsæter, 2002, s. 57, 64) og boligmarkedsmodeller angivet i saddelpunkter i (Miles, 1994, s. 25), (Pedersen, 2007, s. 119) og (Poterba, 1984, s. 737)
20
Ganske normal antagelse der simplificerer den grafiske analyse. Se (Miles, 1994, s. 25) og (Poterba, 1984, s.
731). Se (Pedersen, 2007, s. 123-124) for en analyse af stød under myopiske/adaptive forventninger.
22
Figur 5 viser hvorledes et positivt efterspørgselsstød fra ̇ til ̇ bevæger prisen lodret op fra
ligevægten før stødet,
, til den stabile arm. Herfra falder prisen i takt med at udbuddet stiger
indtil den nye ligevægt nås i
.
Det ses således hvordan prisen ved et positivt efterspørgselsstød, grundet kortsigtede trægheder i udbuddet, vil overskyde den langsigtede ligevægtspris til at starte med og derefter falde,
i takt med at udbuddet øges, indtil markedet er i ligevægt igen. I overensstemmelse med dynamikken i ligning (4-19)-(4-20) vil et positivt efterspørgselsstød altså føre til en ny ligevægt
med højere pris og mængde, mens vejen til den nye ligevægt vil gå gennem et prishop efterfulgt af faldende priser og stigende mængde i overensstemmelse med Figur 5.
En stor stigning i boligpriserne med et efterfølgende fald, som det sås i finanskrisen, behøver
således ikke være udtryk for irrationalitet eller prisbobler, men kan blot være boligmarkedets
reaktion på stød og tilpasning til ligevægt.
4.6
Delkonklusion
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel har overordnet set 4 hovedkonklusioner:
1) Teoretisk ramme: Prisen er en springvariabel og udbuddet fast på kort sigt
2) Hældning: Udbudskurven er skrå på lang sigt grundet udbudselasticitet og afskrivninger
3) Dynamik: Skrå efterspørgselskurve og udbudskurve medfører en langsigtet tilpasning
i både pris og mængde
4) Vejen til ligevægt: Ligevægten er stabil, hvilket betyder at markedet automatisk bevæger sig tilbage mod ligevægt efter stød
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve skildrer altså et boligmarked
hvor fx et positivt efterspørgselsstød vil føre til en øjeblikkelig stigning i prisen, efterfulgt af
et stigende boligudbud og faldende pris, indtil markedet når sin nye ligevægt med et højere
udbud og prisniveau end før stødet.
Modellen forudsiger altså at den danske empiri viser fluktuationer i både de reale priser og
boligudbuddet som konsekvens af tidernes udbuds- og efterspørgselsstød. Derudover vil prisens rolle som springvariabel medføre store spring i prisen efterfulgt af modsatrettet pristilpasning efter efterspørgselsstød, mens udbudsstød vil medføre store spring i prisen efterfulgt
af yderligere tilpasning i samme retning indtil ligevægten findes.
23
Sammenlignes disse forudsigelser med empirien21 kan det konkluderes at boligudbuddet er
steget over tid, mens det ikke ud fra data kan konkluderes om de reale boligpriser er steget
eller er konstante over tid. Både udviklingen i boligudbuddet og i den reale pris, hvad enten
den er stigende eller konstant, kan dog forklares med den forbrugerdrevne model i det tilfælde
at tiderens udbuds- og efterspørgselsstød samlet set har været positive. En samlet stigning i
efterspørgslen er jf. afsnittet om dynamik, ensbetydende med at usercosten samlet set over
perioden fra 1938 til 2007 er faldet. Dette virker ikke som en uretfærdig antagelse da man
umiddelbart godt kunne tro at faktorer som nedslidning og administrations-, drifts- og vedligeholdelsesudgifter kunne være faldet over tid i takt med at nye teknologiske fremskridt har
skabt mere robuste boliger. Ligeledes kan et samlet positivt udbudsstød over perioden 19382007 på samme måde retfærdiggøres med at byggetekniske fremskridt har gjort at nedslidningen/afskrivningsraten af boligen er faldet. Med den rette kombination af udbuds- og efterspørgselsstød stemmer den forbrugerdrevne teori altså umiddelbart godt overens med dansk
boligmarkeds empiri.
Hvad der er passer mindre godt med den danske empiri er dog definitionen af den reale boligpris som en springvariabel. Dansk empiri viser at boligpriser udviser cyklisk adfærd således at
stigninger i prisen ofte efterfølges af stigninger, mens fald ofte efterfølges af fald. Dette står i
kontrast til forudsigelsen af den reale boligpris som springvariabel og forudsigelsen om at
markedet har været ramt af positive efterspørgselsstød.
Der kan være flere årsager til denne uoverensstemmelse mellem teorien og empirien, men
uoverensstemmelsen skyldes højst sandsynligt at markedet ikke er perfekt forudseende, herunder perfekt informeret og uden usikkerhed. Hvis denne antagelser i realiteten ikke gælder,
betyder det at boligpriserne reagerer med trægheder fordi det tager tid for forbrugeren at indse
de nye informationer, stole på de nye informationer, finde bolig, købe/sælge bolig osv. Dette
betyder at et positivt efterspørgselsstød ikke vil sende prisen helt op på saddelpunktet til at
starte med, men bevæge sig derop med tiden, hvorefter prisen falder med det stigende udbud
indtil den nye ligevægt opnås. Denne form for tilpasning synes at stemme godt overens med
den cykliske adfærd empirien viser og underbygges derudover af (Case & Shiller, 1989) som
ved empiriske undersøgelser i USA har fundet trægheder i boligpriserne.
Uoverensstemmelse mellem teorien og empirien betyder således ikke at den teoretiske model
er forkert, blot at den er blevet simplificeret for forståelsens skyld og derfor at dens konklusioner skal fortolkes under hensyntagen til modellens begrænsninger.
21
Empirien ses i afsnit 11
24
Mens den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve overordnet set synes at
kunne forklare den danske boligmarkedsempiri, er der dog nogle teoretiske mangler som kan
diskuteres.
4.7
Diskussion af den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel
Konklusionen tyder på at den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve i
høj grad kan forklare udviklingen på det danske boligmarked.
Modellen synes dog at have primært 3 teoretiske mangler, som ikke stemmer overens med
teoretisk intuition.
Den første mangel er at den forbrugerdrevne model ikke inddrager prisen på land som forklarende variabel22. Lige som mange andre modeller anvender denne model en Tobin’s q tilgang
til udbyderens investeringsfunktion, som siger at udbyderen vil investere i nyt boligbyggeri så
længe boligprisen er højere end omkostningerne ved at udbyde den nye bolig. Teoretisk set
betyder dette at investeringsfunktionen fra ligning (4-8) kan ses som den mængde investering
der lukker hullet mellem boligens markedsværdi og boligens omkostninger i form af byggeomkostninger og grundomkostninger. I stil med andre artikler23 findes grundomkostningerne
dog for svære at finde tilfredsstillende data på og der gøres derfor den grundlæggende antagelse at investeringsfunktionen ikke afhænger af grundomkostningerne. Denne antagelse er
dog fejlagtig og leder derfor til teoretisk og empirisk forkerte konklusioner.
Det andet problem er at modellen ikke tillader tilstedeværelsen af optimerende udbydere24.
Problemet med dette er at det teoretisk set er svært at retfærdiggøre at udbyderen i det danske
boligmarked ikke opfører sig optimerende. Det er således svært at forestille sig at udbyderens
forventninger til fremtidige prisudviklinger ikke har en effekt på valget af det nutidige udbud.
Dette ville betyde at udbuddet i dag var uafhængigt af om udbyderen forventede at kunne få
det dobbelte for boligen i morgen, hvilket er svært at forestille sig.
Til sidst er det svært foreneligt med det danske boligmarked at udbyderen ikke har nogen tilpasningsomkostninger ved at ændre størrelsen på sit udbud. Således tager den forbrugerdrevne model ikke højde for at en fordobling af en producents udbud er forbundet med en række
omkostninger i form af flere ansatte, flere kontorer, mere kapital osv.
Til sammen tyder disse intuitive utilstrækkeligheder i teorien på at der er plads til forbedringer, hvilket leder til udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve.
22
(Poterba, 1984, s. 734) og (Madsen, 2011, s. 3)
Se (Madsen J. B., 2011, s. 2)
24
(Madsen, 2011, s. 2)
23
25
5
Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve
Dette afsnit præsenterer den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve, gennemgået i (Madsen J. B., 2011).
Teoriens vigtigste bidrag er at inkludere tilpasningsomkostninger, grundomkostninger og optimerende udbydere og på den måde forsøge at tage højde for den kritik den forbrugerdrevne
boligmarkedsmodel blev udsat for. Derudover inkluderes skatter og afgifter på en ny måde,
hvilket giver en teoretisk model der adskiller sig fra tidligere modeller.
Den udbudsdrevne model tager således udgangspunkt i den optimerende udbyder der udbyder
boliger så længe boligpriserne overstiger omkostningerne forbundet med investeringen, tilpasningsomkostninger samt skatter og afgifter. Modellen teoretiserer ligesom den forbrugerdrevne model et boligmarked der på kort sigt kendetegnes ved en aftagende efterspørgselskurve og lodret udbudskurve. På længere sigt adskiller modellen sig dog signifikant fra den
forbrugerdrevne model ved at konkludere en flad udbudskurve med den implikation at den
reale boligpris på lang sigt alene er givet af udbudsfunktionen.
Notationen følger (Madsen J. B., 2011) med undtagelse af definitionen af usercost. Her er
ligesom i den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel anvendt usercost definitionen fra (Lunde,
1998) for at skabe sammenlignelighed mellem de 2 modeller samt give en mere intuitiv definition af usercost begrebet. Dette betyder at usercost begrebet der anvendes i dette afsnit vil
inkludere den reale skyggepris
således at usercost afhænger af størrelsen på det beløb udby-
deren har bundet i boligen, samt inkludere den reale boligprisstigning, således at fx en stigning i den reale boligpris kan analyseres som et fald i usercost. Ud over ændringen i definitionen af usercost så er der tilføjet ændringer til den empirisk centrale ligning i (Madsen J. B.,
2011, s. 16). Ændringerne består i at tilføje stempelafgifterne, som også indgår i den teoretiske model, men som (Madsen J. B., 2011) ikke har haft mulighed for at inkludere samt at inkludere den korte rente på en ny mere teoretisk og empirisk korrekt facon. Til slut indføres
nye antagelser omkring den marginale reale husleje,
, og de marginale reale tilpasnings-
omkostninger, ( ̇ ⁄ ), således at det er muligt at opnå en unik optimalitetsbetingelse.
Målet med dette afsnit er at analysere hvordan en teori med udgangspunkt i antagelsen om
perfekt elastisk udbud skildrer boligmarkedet, både i ligevægt, efter stød og under tilpasning
til ny ligevægt.
Analysen forløber som følger: i afsnit 5.1 opstilles den teoretiske ramme for boligmarkedet og
dets agenter, afsnit 5.2 udleder agenternes optimale adfærd og afsnit 5.3 konkluderer marke-
26
dets langsigtede ligevægt. Herunder analyseres kurvernes hældninger, konsekvensen af stød
til markedet og om markedet er et såkaldt stabilt marked, hvor en ny ligevægt kan findes efter
et stød. Derefter opsummerer afsnit 5.4 analysen grafisk, afsnit 5.5 gør modellen testbar og
sammenlignelig, mens afsnit 5.6-5.7 konkluderer og diskuterer resultaterne. Konklusionen er
at den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve umiddelbart synes at stemme
godt overens med dansk empiri.
5.1
Den teoretiske ramme
Antag et marked med N antal identiske virksomheder der producerer homogene boliger. Antag derudover at renten er eksogent bestemt internationalt.
I denne økonomi vil den enkelte virksomheds omsætning afhænge positivt af mængden af
boligtjenester, , den sælger og negativt af den samlede mængde boligtjenester tilgængelig på
markedet,
. Dette giver følgende omsætningsfunktion:
reale husleje og
, hvor
er den marginale
er hældningen på den marginale reale husleje. Denne funktion er
ækvivalent med den marginale reale huslejefunktion:
hvor
fra den forbru-
gerdrevne boligmarkedsmodel i afsnit 4.1.
I modsætning til den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel foretages der dog en yderligere
essentiel antagelse om at virksomhederne har en tilpasningsomkostning ved at omstille sig til
en ændring i mængden af investeringer25. Helt lavpraktisk svarer denne antagelse til at en lille
virksomhed der bygger 3 boliger om året ikke kan omstille sig til at bygge 1000 boliger om
året uden at det koster noget at tilpasse sig, fx flere medarbejdere, større kontorer osv. Den
enkelte virksomheds tilpasningsomkostninger antages at afhænge positivt af mængden af boligtjenester den sælger og af tilpasningens størrelse. Således bliver tilpasningsomkostningerne:
( ̇ ⁄ ) hvor
,
( ̇⁄ )
og
( ̇⁄ )
. Her tillades der for, i modsæt-
ning til (Madsen J. B., 2011, s. 4), at væksten i tilpasningsomkostningerne kan være 0 i det
tilfælde at der ikke er nogen tilpasning.
Den enkelte virksomheds optimeringsproblem kan nu opstilles i følgende tilbagediskonterede
profitmaksimeringsproblem i kontinuert tid:
25
Denne omkostning kaldes her tilpasningsomkostninger, men er ofte refereret som ”adjustment costs” i litteraturen. Der fokuseres her på de traditionelle interne kapital omkostninger fordi de bedst beskriver virkeligheden
ifølge (Eberly, Rebelo, & Vincent, 2009), men der gøres her opmærksom på at andre typer af tilpasningsomkostninger også er foreslået, jf. (Romer, 2012, s. 408).
27
∫
{
[
̇
( )
]
}
(5-1)
Under betingelse af:
̇
(5-2)
Hvor det påkrævede afkast er givet ved
og for simpelhedens skyld antages at
være konstant. Notationen er at er den nominelle rente,
hedens investeringer i nybyggeri,
er stempelafgifter,
er indkomstskatten,
er moms og
er virksom-
er nedslidning af bo-
ligmassen. For simplifikationens skyld antages investeringer og tilpasningsomkostninger at
måles i reale termer, selvom stempelafgift og moms beregnes ud fra de nominelle værdier.
Ovenstående simplificeringer påvirker dog ikke modellens resultater og er udelukkende taget
for at få en mere overskuelig model26.
Denne måde at opstille optimeringsproblemet på introducerer muligheden for tilpasningsomkostninger samt muligheden for en optimerende udbyder der maksimerer sin profit over tid.
Således tager modellen højde for noget af den kritik den forbrugerdrevne model blev udsat
for. Derudover inkluderer modellen moms og stempelafgift som en omkostning der skal tages
højde for, hvilket betyder at modellen teoretisk set bliver mere realistisk.
5.2
Optimal adfærd
Til maksimering af udbyderens profitfunktion anvendes Maximum Princippet fra kontrolteori,
som er en udvidelse af Euler ligningen fra den klassiske variationsregning.
Målet er at maksimere integralet af den tilbagediskonterede profit i en uendelig tidshorisont
og finde den optimale adfærd for udbyderen. Indførslen af tilpasningsomkostninger medfører
dog at den optimerende udbyder må tage højde for fremtiden og dermed kommer hans forventningsdannelse til at spille en fremtrædende rolle. For at undgå tidligere modellers kontraintuitive resultat, hvor perfekt mobilitet medfører at markedet øjeblikkeligt kommer i ligevægt
efter et eksternt stød, så arbejder denne model med at markedet kun skridtvis bevæger sig
mod ligevægt efter et eksternt stød. Denne antagelse synes at stemme bedre overens med empiriske beviser på træghed i investeringsadfærden27.
Udbyderens optimeringsproblem består nu i at finde den kombination af
og
der opfylder
betingelsen i ligning (5-2) og maksimerer ligning (5-1). Til dette formål anvendes maksi-
26
27
(Madsen, 2011, s. 4)
(Groth, 2011)
28
mumprincippet for et tilbagediskonteret kontrolproblem i kontinuert tid med uendelig horisont28:
Maksimumprincippet:
Antag at
𝑡
𝐼𝑡 er et tilladt par for ligning (5-1) og (5-2). I dette tilfælde findes der en
kontinuert funktion 𝑞𝑡 og en konstant 𝑞 således at følgende betingelser gælder for 𝑡
a) Hvis 𝑞𝑡
b) 𝐼
c) 𝑞̇ 𝑡
for 𝑡
𝑡 , er 𝑞
𝐼𝑡 maksimerer Η 𝑡
𝑟𝑞𝑡
𝑡 :
𝜕Η 𝑡
𝑡
𝑡
𝐼 𝑞𝑡 for 𝐼 ∈ 𝑈
;
𝐼𝑡 𝑞𝑡 𝜕
Princippet opstiller de nødvendige betingelser
og
må opfylde for at kunne være optimale.
Derudover opstilles transversalitetsbetingelsen sædvanligvis også dels for at begrænse mængden af løsningskandidater29, dels for at give et stabilt markedssystem30 og dels for at teorien
afspejler virkeligheden bedst muligt31.
Til anvendelse af maksimumprincippet defineres Hamilton funktionen, , som er kontrolteoriens parallel til Lagrange funktionen som begge bruges når modeller under bibetingelser skal
optimeres.
Hamilton funktionen i kontinuert tid med uendelig tidshorisont skrives således32:
⏞
(5-3)
(
̇
( )
)
Funktionen består af 3 typer variable: En kontrol variabel, , som virksomheden frit kan kontrollere; en tilstandsvariabel, , som er bestemt af tidligere investeringsbeslutninger; og en
skyggevariabel, , der repræsenterer skyggeværdien33 af en ændring i tilstandsvariablen.
28
(Sydsæter, 2002, s. 399)
Mængden af løsningskandidater bliver uendelig stor hvis ikke man anvender denne betingelse jf. (Sydsæter,
2002, s. 399)
30
Alternativt ville et stød til økonomien være forbundet med en ustabil tilstand hvor økonomien bevæger sig
væk fra ligevægt jf. (Poterba, 1984, s. 737) og (Pedersen, 2007)
31
Ofte vil denne betingelse give en mere realistisk model i og med at den kan tilpasses rimelig frit til at stemme
overens med virkeligheden jf. (Sydsæter, 2002, s. 399)
32
Vær opmærksom på at funktionen er opstillet i ”current value” som alternativ til at skrive den i ”present value”. Begge opstillinger giver dog samme resultat.
29
29
Hamilton funktionens formål er at udtrykke hvilken effekt en ændring i kontrolvariablen, ,
vil have på udbyderens intertemporale profitmaksimeringsfunktion. Denne effekt kan opdeles
i en direkte effekt og en indirekte effekt, hvor den direkte effekt måler investeringens indflydelse på omsætning og omkostninger (dvs. ændringen i
), mens den indirekte effekt måler
investeringens indflydelse på tilstandsvariablen, . Da
er skyggeværdien af en ændring i
tilstandsvariablen og ændringen er givet i ligning (5-2) som ̇
te effekt således som
, måles den indirek-
. Denne funktion opsummerer altså den totale effekt en æn-
dring i investeringer vil have på udbyderens intertemporale profitmaksimeringsfunktion.
Hamiltonfunktionen er dermed udgangspunktet for at udregne de efterfølgende betingelser fra
maksimumprincippet.
Ad maksimumprincippet punkt b) følger det at udbyderen vil øge investeringer indtil hamiltonfunktionen er maksimeret mht. investeringerne, dvs.
(
̇
( )
)(
(
⏟
.
)(
)
̇
( ))
(5-4)
⏟
̇
(
)
Hvis man ser bort fra stempelafgifter og moms kan ligning (5-4) fortolkes på 2 måder. Fra
den midterste linje ses det at skyggeværdien af en ekstra boligenhed er lig med udbyderens
udgifter til den ekstra investering (normaliseret til 1) plus hans marginale tilpasningsomkostninger. Alternativt er den nederste linje udtryk for den klassiske Tobin’s q tilgang, hvor
medfører en positiv udvikling i boligudbuddet. Begge forklaringer kan fortolkes som at virksomheden øger investeringen i boliger indtil det punkt hvor de marginale indtægter for en
ekstra boligenhed er lig med de marginale omkostninger ved at bygge den ekstra enhed bolig.
Ad maksimumprincippet punkt c) følger det at en anden nødvendig betingelse for optimerende adfærd er at producenten udbyder boligenheder indtil:
̇ .
33
Hvis boligenheder blev målt i kvadratmeter og der fandtes et marked for kvadratmeter så ville udbyderens
værdi af at tilbyde en ekstra kvadratmeter, alt andet lige, være lig med skyggevædien, .
30
̇
(
⏟
( ))
̇
(
(
)
(
⏟
̇
)
(5-5)
( ))
Betingelsen har paralleller til den marginale reale husleje,
, som bruges til udledningen
af efterspørgselsrelationen i ligning (4-1) i den forbrugerdrevne model.
I den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel argumenteres der fra forbrugerens side for at den
marginale reale husleje må være lig med forbrugerens marginale omkostning ved at købe den
ekstra enhed bolig.
Her argumenteres der ud fra udbyderens synsvinkel at han udbyder boliger indtil det punkt
hvor hans marginale omkostninger ved at udbyde boligen er lig med den marginale profit han
kan få for at udbyde boligen.
2. linje i ligning (5-5) udtrykker således på venstre side udbyderens marginale reale profit ved
at ændre i udbuddet af boliger, mens højre side udtrykker udbyderens marginale usercost forbundet med at udbyde boliger.
Her er udbyderens usercost givet ved 1) den rente han forbigår ved at binde penge til boligen,
, 2) afskrivning på boligen grundet nedslidning,
således at usercost af at udleje boligen i stedet for at sælge den bliver34:
(
̇
)
̇,
, og 3) ændringer i den reale pris,
̇
. Denne definition adskiller sig fra definitionen i (Madsen J. B., 2011), men er
mere intuitiv korrekt.
Til sammen siger de 2 første førsteordensbetingelser i ligning (5-4) og (5-5) at:
1) den marginale reale værdi af en ekstra boligenhed er lig de marginale omkostningerne ved
at opføre denne og
2) det marginale reale afkast af en ekstra boligenhed er lig den marginale omkostning.
Disse 2 betingelser er tydeligvis nødvendige betingelser for optimerende adfærd, men som
nævnt under maksimumprincippet tilføjes oftest en ekstra betingelse for at begrænse mæng34
Definitionen er taget fra (Romer, 2012, s. 406-407), som står i kontrast til definitionen af usercost i (Madsen,
2011) som i stedet definerer usercost som
.
31
den af løsningsmuligheder. Derfor opstilles følgende transversalitetsbetingelse i kontinuert
tid:
lim
(5-6)
Betingelsen siger at nutidsværdien af en boligenhed på uendelig sigt er 0, hvilket som tidligere nævnt er nødvendigt for at sikre stabilitet, en endelig mængde løsninger og overensstemmelse med virkeligheden.
Maksimumprincippet giver de nødvendige betingelser for optimerende adfærd i ligningerne
(5-4) - (5-6), men ikke nødvendigvis de tilstrækkelige.
For at sikre at betingelserne også er tilstrækkelige anvendes Mangasarians tilstrækkelighed
betingelser35:
Mangasarians tilstrækkeligheds betingelser:
Antag at et tilladt par
𝑡
𝐼𝑡 for ligning (5-1) og (5-2) med konveks mængde U, tilfreds-
stiller betingelserne b) og c) i maksimumprincippet med 𝑞
a) Η 𝑡
b) lim𝑡
𝐼 𝑞𝑡 er konkav i
𝑒
𝑟𝑡
𝑞𝑡
𝑡
Hvis dette gælder, er parret
𝐼
for alle
𝑡
𝑡
. Antag derudover at
𝑡
𝐼𝑡 optimalt.
Til bestemmelse af Hamilton funktionens konkavitet anvendes første- og andenordens afledte
af ligning (5-3). Her er det især funktionerne
og
̇
( ) der skal analyseres, da de an-
dre led i funktionen er lineære sammenhænge der forsvinder som konstanter ved dobbelt differentiation. I afsnit 5 defineredes
som udbyderens marginale omsætningsfunktion der
var negativt afhængig af størrelsen på det samlede udbud. Den anden afledte optræder ikke
eksplicit i (Madsen J. B., 2011), men er i denne opgave defineret som
ne definition kan det derfor konkluderes at første del af Hamilton funktionen,
. Med den, er
konkav36.
For at hele Hamilton funktionen skal være konkav i
kræver det dog yderligere at tilpas-
ningsfunktionen også lever op til konkavitet. Denne funktion er defineret som strengt konveks
35
(Sydsæter, 2002, s. 400)
Hvis første del af Hamilton funktionen
defineres som omsætningen, lad os her kalde den , så kan
det ses at må være konkav da
, svarende til at
. Her er omsætningen
funktionen,
den marginale husleje
den afledte funktion og væksten i den marginale husleje
den dobbelt afledte funktion. Når funktionens dobbelt afledte er mindre end 0 er funktionen konkav, (Sydsæter, 2002, s. 116-117)
36
32
i afsnit 5, og da denne funktion optræder negativt i Hamilton funktionen betyder det nødvendigvis at Hamilton funktionen samlet set må være strengt konkav37. Dermed er punkt a) fra
Mangasarians tilstrækkeligheds betingelse opfyldt og punkt b) bliver dernæst afgørende for
om ligningerne (5-4)-(5-6) er tilstrækkelige betingelser for at sikre at udbyderen udviser optimal adfærd.
Dette punkt er ofte overset i litteraturen38 eller udledt utilstrækkeligt. I denne boligmodel kan
det dog udledes at 3 betingelser skal være opfyldt:
1) Transversalitetsbetingelsen i ligning (5-6) holder
2) Udbuddet af boligenheder, , er ikke negativt
3) Tilbagediskonteret skyggepris går mod 0 for gående mod uendelig
Da betingelse 1) og 2) stemmer overens med intuitionen og betingelse 3) kan udledes af betingelse 1) 39 kan det antages at betingelserne holder. Dermed er punkt b) i Mangasarians tilstrækkeligheds betingelser også opfyldt og betingelserne i ligningerne (5-4)-(5-6) er tilstrækkelige til at udlede udbyderens optimale adfærd.
5.3
Ligevægt
Med udgangspunkt i betingelserne for optimal adfærd kan markedets ligevægt udledes.
Ligevægten på lang sigt defineres fra ligning (5-4) og (5-5) ud fra antagelsen om at alle stød
til økonomien er inkorporeret i markedet således at priser og mængder har fundet et stabilt
niveau, dvs. ̇
̇
. Dette giver følgende ligninger for den langsigtede ligevægt:
̇
(
)
(5-7)
Og:
̇
(
( ))
(5-8)
37
(Groth, 2011, s. 517)
(Sydsæter, 2002, s. 400). (Madsen, 2011) er et eksempel på et paper hvor der ikke gøres rede for Mangasarians
tilstrækkeligheds betingelser.
39
Bevis findes i (Groth, 2011, s. 535) eller (Romer, 2012, s. 412)
38
33
Ligning (5-8) gælder under yderligere antagelse af at
og
, når ̇
,
hvilket adskiller sig marginalt fra antagelserne i (Madsen J. B., 2011, s. 4). Antagelserne er
dog intuitive da de konkluderer at der ikke er nogen tilpasningsomkostninger når der ingen
tilpasning er.
Ligning (5-7) er det man normalt forbinder med udbudskurven på et marked. Den siger at, i
ligevægt vil værdien af en boligenhed være lig med udbyderens omkostninger for denne boligenhed. Jævnfør midterste linje i ligning (5-4) er denne omkostning lig med prisen for investeringen (normaliseret til 1) ganget med moms og stempelafgifter, hvilket summerer til ligning (5-7).
Omvendt er ligning (5-8) det man normalt forbinder med en efterspørgselskurve. Ligningen
siger at, i ligevægt vil værdien af en boligenhed være lig med ratioen mellem boligenhedens
marginale indtægter og marginale omkostninger. Er det således dyrere at have en bolig, enten
fordi indtægterne er faldet eller omkostningerne er steget, vil udbyderen ikke efterspørge lige
så mange boliger han kan sælge.
Markedets ligevægt kan nu findes i det punkt
som løser det simultane ligningssystem
angivet i (5-7)-(5-8). For at kunne analysere den samlede boligmarkedsmodel og dens implikationer for boligpriserne på lang sigt er det dog nødvendigt yderligere at definere 3 forhold:
1) Kurvernes hældning
2) Kurvernes reaktion på stød
3) Vejen til ny ligevægt
5.3.1
Hældning
Det er åbenlyst vigtigt for analysen af et boligmarked om kurverne for udbud og efterspørgsel
er lodrette, vandrette eller et sted derimellem. Derfor totaldifferentieres ligevægtsbetingelserne i ligning (5-7) og (5-8) for at udlede hældningen på kurverne. Ved totaldifferentiering af
ligning (5-7) fås hældningen på udbudskurven til:
(5-9)
Hvilket, under antagelse af at der i ligevægt ikke kommer stød til moms eller stempelafgifter,
dvs.
, giver:
(5-10)
34
Ligningen siger at ændringen i
kurven er horisontal,
på lang sigt er 0, hvilket betyder at hældningen på udbuds-
.
Denne konklusion betyder at prisen på lang sigt er uafhængig af boligudbuddet, hvilket ofte
fortolkes som den grundlæggende antagelse om at udbuddet er perfekt elastisk. Fortolkningen
er at med et perfekt elastisk udbud hvor hverken grunde, arbejdskraft eller materialer er en
knap ressource på lang sigt vil en øget pris altid modsvares af et øget udbud indtil prisen er
tilbage til udgangspunktet. Her er især antagelsen om at der på lang sigt ikke er knaphed i
grunde ofte blevet udfordret, bl.a. af Ricardo der teoretiserede at mængden af land lå fast og at
ressourcen dermed med tiden bliver knap i takt med befolkningen stiger og mere og mere land
bliver anvendt. En alternativ teori tager udgangspunkt i at land ikke er todimensionelt, men
også kan anvendes i højden, i dybden, udvides på havet osv. i takt med at teknologien udvikles. Derfor er det selv i København centrum muligt på lang sigt at møde efterspørgslen ved at
bygge højere bygninger, lave kælderlejligheder, parkeringskældre, en ny bydel osv. Teoretisk
set er der således delte meninger om hvorledes den flade udbudskurve kan påvises empirisk.
Ligeledes kan hældningen på efterspørgselskurven udledes ved at totaldifferentiere ligning
(5-8):
(5-11)
Under antagelse af at der i ligevægt ikke kommer stød til hverken det krævede afkast eller
afskrivningen på boligen bliver
og ligning (5-11) reduceres til:
(5-12)
Da
og
viser ligningen at hældningen på efterspørgselskurven er
negativ. Dette svarer intuitivt til at forbrugeren sætter mindre pris på kvadratmeter nummer
501 end på kvadratmeter nummer 1.
Afsnittet teoretiserer altså et boligmarked med en aftagende efterspørgselskurve og en flad
udbudskurve, hvilket i det efterfølgende afsnit vil have betydning for effekten af et stød.
35
5.3.2
Dynamik
Formålet med dette afsnit er at udlede hvilken effekt forskellige eksogene stød vil have på
ligevægten. Afsnittet tager derfor udgangspunkt i de to totaldifferentierede ligninger (5-9) og
(5-11), som netop måler ændringerne i systemets variable.
Fra ligningerne ses det hvordan et stød til de eksogene variable:
ne variable:
. Målet er således at udlede
og
påvirker de endoge-
ved stød til de eksogene variable.
Ifølge Cramer40 kan ligningssystemet løses i det tilfælde at determinanten er forskellig fra 0.
For at undersøge denne forudsætning opstilles ligningerne i et Cramersk ligningssystem, hvor
de eksogene variable samles i
og
for overskuelighedens
skyld. Således kan ligning (5-9) og (5-11) opstilles som:
(5-13)
Hvilket tager følgende matrixform:
|
⏟
̅
| |
̅
⏟
|
|
|
|
⏟
|
(5-14)
Determinanten udledes nu på baggrund af koefficientmatricen som er defineret som det første
led i ligning (5-14):
|
|
(5-15)
Da determinanten er forskellig fra 0 betyder det at koefficientmatricen er regulær og at de
ubekendte variable
og
entydigt, ved anvendelse af den Cramerske regel41, kan bestem-
mes som:
|
|
40
41
|
(5-16)
|
(5-17)
(Hansen & Olesen, 1999, s. 213-216)
Se bilag 12.1
36
|
|
|
(5-18)
|
(5-19)
De første 2 ligninger skildrer hhv. mængden og prisens reaktion på et efterspørgselsstød,
mens de sidste 2 skildrer hhv. mængden og prisens reaktion på et udbudsstød. Her er et negativt efterspørgselsstød givet ved en stigning i
. Intuitionen er at en stigning i
afskrivninger eller krævede afkast medfører at udbyderens omkostning ved at eje boligenheder stiger og dermed falder hans efterspørgsel efter boligenheder.
Omvendt er et negativt udbudsstød givet ved en stigning i
. Her er intu-
itionen at en stigning i moms eller stempelafgifter betyder at prisen for at bygge en boligenhed er steget, hvilket i den langsigtede ligevægt vil betyde et fald i udbuddet42.
Fra ligningerne (5-16) og (5-17) udledes det således at et negativt efterspørgselsstød medfører
en ligevægt med et lavere antal boligenheder til samme skyggepris.
Samtidig viser ligningerne (5-18) og (5-19) hvordan et negativt udbudsstød fører til en ny
ligevægt hvor skyggeprisen er steget mens antallet af boligenheder er faldet.
5.3.3
Vejen til ligevægt
Fra ligningerne (5-10) og (5-12) konkluderedes kurvernes hældning, mens ligningerne (5-16)(5-19) definerede hvilken effekt et stød vil have på de endogene variable.
Det sidste der mangler, er at definere hvordan de endogene variable opfører sig når de er ude
af ligevægt.
Derfor reformuleres den oprindelige optimalitetsbetingelse for udbuddet fra ligning (5-4) til:
̇
(
)
(5-20)
Denne ligning er udtryk for udbyderens optimale udbudsadfærd, som er i ligevægt, dvs. ̇
, når
(
), hvilket blev bevist i ligning (5-7). I det tilfælde at der har været
et stød til økonomien så man ikke længere er i ligevægt kan det udledes hvorledes udbuddet
bevæger sig ved at se på ̇ ved forskellige værdier af . For et givet
viser ligning (5-20) sig
42
Faldet i udbuddet vil primært foregå gennem nedslidning af den stående boligmasse, da man sjældent regulerer
boligmassen gennem nedrivning.
37
at være større end 0 for
og mindre end 0 for
.
Hvilket opsummeres til:
̇
{
(5-21)
Opstillet grafisk giver dette følgende udbudskurve:
Figur 6: Udbuddet i og uden for ligevægt
Grafen viser at i tilfælde af at der er kommet et stød således at
ligger over ligevægt så vil
stige. Som forklaret under ligning (5-7) så er dette ganske intuitivt da et højt
er forbun-
det med at værdien af en boligenhed er højere end omkostningerne ved at udbyde den og udbyderen vil derfor øge sin profit ved at øge udbuddet.
Ligeledes reformuleres optimalitetsbetingelsen for efterspørgslen fra ligning (5-5) som:
̇
(
( ))
(5-22)
Denne ligning viser, som defineret i ligning (5-8), at efterspørgselskurven er i ligevægt når
. Hvis man definerer ligevægts- som
og antager at udbuddet er fast på kort sigt,
kan det udledes fra ligning (5-22) at ̇ er stigende for
og faldende for
, hvilket
opsummeres i ligning (5-23) som:
̇
(5-23)
{
38
Dette kan opstilles grafisk i følgende efterspørgselskurve:
Figur 7: Efterspørgslen i og uden for ligevægt
Her viser grafen hvorledes ̇ reagerer på en uligevægt når
tryk for at der har været et eksogent stød der har hævet
til at
stiger, jf. ligning (5-23). Ligeledes vil et
der. Intuitionen er at et højt
er fast. Punktet A er således ud-
over ligevægtsniveauet, hvilket fører
under ligevægtsniveauet medføre at
fal-
betyder at de marginale indtægter for boligen er højere end de
marginale omkostninger for boligen, hvilket hæver efterspørgerens værdi af boligenheder,
dvs.
5.4
stiger.
Grafisk analyse
Den matematiske udledning af kurverne, deres hældning, effekten af stød og vejen tilbage til
ligevægt kan nu opstilles grafisk i følgende fasediagram der summerer hele den teoretiske
boligmarkedsmodel:
39
Figur 8: Fasediagram af boligmarkedet
Figuren viser hvordan
og
bevæger sig over tid for at opfylde udbyderens intertemporale
optimalitetsbetingelser fra ligning (5-4)-(5-5). Systemet er forbundet med en stabil arm, som
vil føre de endogene variable tilbage mod ligevægt i tilfælde af stød, og en ustabil arm, som
vil føre de endogene variable væk fra ligevægt i tilfælde af stød. Denne type ligevægt kaldes
et saddelpunkt og er defineret ved at have en negativ determinant43, hvilket også er tilfældet
for denne model, jf. ligning (5-15).
Da modellen er udregnet på baggrund af et fast initialt
44,
vil det være definitionen af
der
afgør om systemet er stabilt eller ustabilt på lang sigt.
Derfor opstilles Figur 9, hvor udviklingen i
og
skildres under antagelse af et fast initialt
med forskellige initiale værdier af .
Figur 9: Fasediagram af udbud og efterspørgsel i og uden for ligevægt
43
44
(Sydsæter, 2002, s. 57, 64)
Jævnfør udledningen af ligning (5-21) og (5-23)
40
Figuren viser en række forskellige ”veje” markedet kan tage alt efter hvilken værdi det initiale
tager. Alle disse ”veje” opfylder udbyderens intertemporale optimalitetsbetingelser, men det
skal vise sig at kun den initiale -værdi i punktet D er mulig en ”vej” under følgende 2 antagelser45:
1) Fra Figur 9 ses det at et initialt
tive værdier af
og
når
startende i punkt E, F eller G på sigt medfører nega, hvilket ikke giver intuitiv mening. Disse ”veje” er
således ikke mulige.
2) I punkterne A, B og C medfører det initiale
at
og
går mod uendelig for
.
Disse ”veje” er heller ikke mulige da det er antaget i transversalitetsbetingelsen i ligning (5-6) at lim
.
Under antagelse af transversalitetsbetingelsen,
og
er den stabile arm derfor den
eneste mulige ”vej” og modellen beskriver således et stationært system hvor
og
konverge-
rer mod den langsigtede ligevægt.
Dette giver den endelige boligmarkedsmodel, kendt fra (Madsen J. B., 2011, s. 9-10) og præsenteret i Figur 10:
Figur 10: Fasediagram af stabilt boligmarked
Figuren opsummerer alle betingelser og antagelser og viser hvorledes de endogene variable
vil gå mod ligevægt på lang sigt. Udsættes systemet for stød, vil der fremkomme et nyt optimalt
som udbyderen vil sigte efter, og springvariablen
vil for dette givne
tage værdien
der er konsistent med den stabile arm. Dette eksemplificeres i følgende 2 figurer:
45
(Romer, 2012, s. 62, 418), (Hayashi, 1982)
41
Figur 11: Fasediagram af
efterspørgselsstød
Figur 12: Fasediagram af udbudsstød
Figur 11 er udtryk for et negativt efterspørgselsstød. Dette stød medfører at springvariablen
straks falder indtil det ligger på den stabile arm, hvorfra de endogene variable vil bevæge sig
mod den nye langsigtede ligevægt. Intuitionen er at et negativt efterspørgselsstød er ensbetydende med at omkostningerne ved at eje en bolig er steget og efterspørgeren sætter derfor
mindre værdi på at eje boligen, dvs. faldende . Efterspørgerens lavere værdi betyder at det
ikke kan betale sig for udbyderen at lave flere boligenheder og udbuddet falder således i takt
med nedslidningen af boligmassen. Samtidig med at udbuddet falder, vil marginal husleje for
en boligenhed dog stige, da
, hvilket betyder at efterspørgerens værdi af at eje bolig
stiger indtil markedet igen er i ligevægt46.
Figur 12 er udtryk for et negativt udbudsstød. Her ses det hvordan
le arm, hvilket er det eneste mulige
straks stiger til den stabi-
der er i overensstemmelse med den nye udbudskurve og
det givne udbud på kort sigt. Herfra vil de endogene variable bevæge sig ad den stabile arm
mod den nye langsigts ligevægt. Intuitionen er at et negativt udbudsstød medfører at omkostningen ved at bygge er steget, hvilket straks øger værdien af en bolig. I takt med at udbuddet
falder som følge af nedslidning og manglende investeringer vil den marginale husleje,
stige og
,
stiger jf. ligning (5-8), indtil markedet igen er i ligevægt.
Lige som i den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel er det stadig huslejen der clearer markedet og på dette punkt er de to teorier således sammenfaldende.
46
Ligningerne (og teksten til disse) der underbygger denne intuition er følgende: (5-7), (5-8), (5-16) og (5-17).
42
5.5
Skyggeprisens relation til den reale boligpris
Indtil videre er skyggeprisen anvendt som endogen variabel, men for at kunne teste teorien er
det nødvendigt at omformulere denne skyggepris til en testbar real boligpris. Dette gøres gennem 2 skridt: Først defineres skyggeprisens sammenhæng med den reale boligpris samt hvilke
antagelser der skal være gældende for at denne definition er korrekt specificeret. Dernæst indsættes definitionen af skyggeprisen i den teoretiske model således at modellen bliver en funktion af den reale boligpris i stedet for en funktion af skyggeprisen. Dermed bliver modellen
testbar og mere intuitiv.
5.5.1
Tobin’s q
Igennem afsnit 5 arbejdes der med skyggeprisen, , som er udbyderens værdi af at udbyde en
ekstra enhed bolig. Dette kunne fx forstås som hvad udbyderen kan sælge en ekstra kvadratmeter for i forhold til hvad det koster ham at tilføje den. Denne skyggepris, , er essentiel for
udbyderens optimeringsproblem fordi den inkorporerer al fremtidig information relevant for
investeringsbeslutningen samt den samlede efterspørgsel efter produktet47. Dette betyder, at
når først
er kendt, skal udbyderen ikke bruge mange flere informationer før han kan træffe
sin optimale investeringsbeslutning.
Den marginale
som ifølge teoriens skal anvendes er dog ikke direkte observerbar, da fx pri-
sen på en ekstra kvadratmeter ikke kan bestemmes, fordi den ikke bliver handlet på et marked,
men som del af et samlet gode: boligen plus grund plus beliggenhed. Litteraturen har derfor
ofte, som alternativ, anvendt det gennemsnitlige , som er defineret som ratioen mellem det
samlede godes pris og omkostningerne ved at udbyde det. Dette er dog teoretisk set forkert,
med mindre man kan bevise et sammenfald mellem det marginal
og det gennemsnitlige .
Netop dette sammenfald kan bevises at gælde i det tilfælde at udbyderen kan betegnes som
pristager med konstant skalaafkast i både omsætningsfunktionen,
tionen,
, og tilpasningsfunk-
̇
( ), hvilket antages i denne model48. Derfor er det muligt at anvende det gennem-
snitlige , formuleret af (Tobin, 1969) som ratioen mellem aktivets markedsværdi og dets
erstatningsomkostninger, hvilket i tilfældet med boligen giver følgende sammenhæng:
47
(Hayashi, 1982, s. 218)
Bevis for homogenitetsantagelsen i (Hayashi, 1982), mens dens anvendelighed i denne model antages i
(Madsen, 2011, s. 5)
48
43
(5-24)
Hvor
er boligens reale markedspris,
reale pris for byggegrunden og
er boligens reale byggeomkostninger,
er den
er en konstant der vægter omkostningerne over for hinanden
og tager en værdi mellem 0 og 1.
Et
er således udtryk for at markedsværdien af en bolig er større end omkostningerne
ved at bygge en bolig præcis magen til på samme beliggenhed. Virksomheden vil i dette tilfælde øge sine investeringer i nybyggeri hvilket øger udbuddet og sænker prisen indtil
.
Definitionen af et Tobin’s q der inkluderer grundomkostninger er teoretisk set ikke et nyt tiltag, men mange artikler49 antager alligevel ofte at der ikke er nogen grundomkostninger for at
få en empirisk testbar model med den konsekvens at modellen bliver teoretisk og empirisk
unøjagtig. Derfor er inkluderingen af grundomkostninger i denne model et vigtigt tiltag til at
give en teoretisk og empirisk mere korrekt model.
5.5.2
Boligprisen
Indsættes udtrykket
nu i betingelserne for udbyderens optimale adfærd, hvilket betyder at
ligning (5-24) indsættes i ligning (5-4), kan den langsigtede pris udledes som:
(
)
̇
[
(
̇
]
)
(
Hvilket under antagelse af ligevægt på lang sigt, ̇
(5-25)
)
, giver den langsigtede ligevægtspris
for en bolig:
(
)
(5-26)
Denne ligning definerer hvilke determinanter der teoretisk set bestemmer den langsigtede
reale boligpris under antagelsen om en flad udbudskurve. Den viser således at de langsigtede
boligpriser ikke påvirkes af efterspørgslen, men udelukkende bestemmes af de samlede omkostninger ved at udbyde en bolig.
49
(Madsen J. B., 2011, s. 2)
44
5.6
Delkonklusion
Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve har overordnet set 5 hovedkonklusioner:
1) Teoretisk ramme: Prisen er en springvariabel, udbuddet fast på kort sigt og udbyderen er profitmaksimerende
2) Hældning: Udbudskurven er flad på lang sigt grundet antagelsen om perfekt elastisk
udbud
3) Dynamik: Skrå efterspørgselskurve og flad udbudskurve medfører en langsigtet tilpasning i mængden således at den langsigtede pris er en konstant funktion af udbudsrelationen og ikke afhænger af efterspørgselsstød
4) Vejen til ligevægt: Ligevægten er stabil, hvilket betyder at markedet automatisk bevæger sig tilbage mod ligevægt efter stød
5) Nye tiltag: Inkluderingen af optimerende udbydere, tilpasningsomkostninger, grundomkostninger samt moms og stempelafgifter synes at give en velfungerende model
Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve skildrer altså et boligmarked
hvor fx et positivt efterspørgselsstød vil føre til en øjeblikkelig stigning i prisen, efterfulgt af
et stigende udbud og en faldende pris indtil markedet når den nye ligevægt, som sammenlignet med ligevægten før stødet, har et højere udbud til den samme reale boligpris. Modellen
forudsiger altså at den danske empiri kan vise fluktuationer i både de reale priser og boligudbuddet som konsekvens af tidernes udbuds- og efterspørgselsstød. Dog vil den reale boligpris
på lang sigt være konstant i det tilfælde at udbudsstød er udeblevet eller har udlignet hinanden
over tid. Til sidst vil prisens rolle som springvariabel betyde at efterspørgselsstødene medfører at empirien bør vise store spring i prisen efterfulgt af modsatrettet pristilpasning indtil ligevægten findes.
Som diskuteret i delkonklusionen til den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel er der gode
grunde til at prisen i praksis ikke opfører sig som springvariabel. Dette resultat betyder dog
ikke at teorien bør forkastes, men blot at konklusionerne skal tage højde for at der er en hvis
træghed i pristilpasningen grundet imperfekt information, imperfekt forudseenhed og usikkerhed. Dette skaber en cyklisk prisudvikling der stemmer godt overens med dansk empiri50.
Empirien viser desuden et stigende boligudbud samt en stigende eller konstant real boligprisudvikling51, som skal kunne forklares af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel.
50
51
Empirien ses i afsnit 11
Empirien ses i afsnit 11
45
Da den udbudsdrevne boligmarkedsmodel tager udgangspunkt i skyggeprisen defineret som
, vil en real boligprisstigning alt andet lige betyde en stigning i skyggeprisen,
mens en konstant real boligpris alt andet lige vil betyde en konstant skyggepris.
Dansk empiri viser at der har været et samlet set negativt udbudsstød over tid, forbundet med
en stigning i moms og stempelafgifter, hvilket betyder at skyggeprisen er steget over tid. Med
mindre de reale bygge- og grundomkostningerne er faldet over tid, hvilket ikke synes plausibelt, så betyder denne stigning i skyggeprisen at også boligpriserne vil være steget realt over
tid, hvilket stemmer godt overens med data.
Derudover kan det empirisk stigende boligudbud forklares med et samlet set positivt efterspørgselsstød som ligesom i den forbrugerdrevne model er udtryk for et fald i nedslidningen/afskrivningsraten som følge af teknologiske fremskridt der gør boligen mere robust.
Den udbudsdrevne model med flad udbudskurve, hvis mest centrale tiltag er introduktionen af
den optimerende udbyder, tilpasningsomkostninger, grundomkostninger samt moms og stempelafgifter, synes således umiddelbart at stemme godt overens med dansk empirisk data.
5.7
Diskussion af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel
Konklusionen tyder på at også den udbudsdrevne boligmarkedsmodel i første omgang synes
at kunne forklare den empiriske udvikling på det danske boligmarked. Der kan dog være tvivl
om hvor forbrugeren er repræsenteret i denne boligmarkedsmodel. Svaret er, at det er han
gennem efterspørgselsfunktionen.
Boligens dualitet betyder at boligmarkedet består af udbud af og efterspørgsel efter hhv. boligen som forbrugsobjekt og boligen som investeringsobjekt. Den forbrugerdrevne model tager
udgangspunkt i boligen som forbrugsobjekt, hvor forbrugerne efterspørger noget at bo i og
udbyderen tilfredsstiller dette forbrugsbehov. Omvendt tager den udbudsdrevne boligmarkedsmodel udgangspunkt i boligen som investeringsobjekt, hvor en agent efterspørger boligen
til udlejning mens en udbyder bygger boligen. De 2 modeller tager således udgangspunkt i
hhv. markedet for boligforbrug og markedet for boliginvesteringer.
I ligevægt må der dog nødvendigvis være ligevægt imellem de 2 markeder, hvilket betyder at
ligevægtsprisen og -mængden i den udbudsdrevne boligmarkedsmodel for investeringsmarkedet nødvendigvis må være lig med ligevægtsprisen og -mængden i den udbudsdrevne model
for markedet for boligforbrug. Dette beviser (Madsen J. B., 2011, s. 12-16) er sandt, hvilket
betyder at den udbudsdrevne models ligevægtsfunktioner for udbud og efterspørgsel er de
samme for forbrugerne i markedet for boligforbrug som de er for udbyderne i markedet for
46
boliginvesteringer52. Således er den optimerende forbruger lige så repræsenteret i den udbudsdrevne boligmarkedsmodel som den optimerende udbyder er og modellen skildrer derfor
et mere teoretisk korrekt boligmarked.
Modellen synes således at være både teoretisk og empirisk fyldestgørende.
Det er dog værd at bemærke at modellen for overskuelighedens skyld har foretaget en række
simplificeringer, hvor de vigtigste der skal nævnes er manglende usikkerhed, manglende markedsimperfektioner og en forsimplet tilpasningsomkostningsfunktion53. Disse simplificeringer
kan relativt enkelt inkluderes i modellen hvis det findes empirisk relevant, men da de ikke
umiddelbart har konsekvenser for modellens konklusioner så overlades dette til fremtidige
artikler.
6
Modellerne teoretisk over for hinanden
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel er blevet
analyseret og synes begge at stemme udemærket overens med dansk empiri. For at kunne
konkludere hvilken af de 2 modeller der beskriver dansk empiri bedst er det derfor nødvendigt
at lave en dybere økonometrisk test for sammenhængen mellem den individuelle model og
data. Til dette formål er det fordelagtigt at klarlægge præcis hvad der adskiller de 2 modeller
således at 2 forskellige hypoteser kan holdes op mod hinanden. Opgavens analyse har indtil
videre givet nogle ideer om hvad der adskiller modellerne, men den stringente matematiske
analyse af teorierne muliggør følgende en direkte sammenligning af de 2 modeller:
Tabel 2: Overblik over teoriernes hovedkonklusioner
Den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel
Den udbudsdrevne boligmarkedsmodel
Ligevægt: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve)
Ligevægt: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve)
(6-1)
(6-2)
(6-3)
(6-4)
52
Eneste forskel er at tidspræferencer tager det krævede afkasts plads i efterspørgselsfunktionen når der skiftes
fra markedet for investeringer til markedet for boligforbrug.
53
(Romer, 2012, s. 428-447)
47
Hældning: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve)
Hældning: (hhv. efterspørgsels- og udbudskurve)
(6-5)
(6-6)
(6-7)
(6-8)
Dynamik:
Dynamik:
̅
(6-9)
(6-10)
̅
(6-11)
(6-12)
̅
(6-13)
(6-14)
̅
(6-15)
(6-16)
= negativt udbudsstød
= negativt udbudsstød
= negativt efterspørgselsstød
Fasediagram:
= negativt efterspørgselsstød
Fasediagram:
Figur 13: Fasediagram af forbrugerdrevne bo- Figur 14: Fasediagram af udbudsdrevne boligligmarkedsmodel
markedsmodel
Tabellen sammenligner hovedkonklusionerne fra den forbrugerdrevne og den udbudsdrevne
boligmarkedsmodel, hvor resultaterne fra den forbrugerdrevne model er givet i venstre kolonne, mens resultaterne fra den udbudsdrevne model er givet i højre kolonne.
48
Selvom de tager udgangspunkt i vidt forskellige antagelser om hvorvidt det er forbrugernes
eller udbydernes optimeringsproblem der driver boligmarkedet så viser tabellen at de alligevel
når frem til mange af de samme konklusioner omkring efterspørgslen i boligmarkedet.
For eksempel er begge efterspørgselskurver i ligevægt givet ved den reale pris der sætter den
marginale reale husleje lig med usercost, således at MR=MC for hhv. forbrugeren og udbyderen. Ligeledes er hældningen på efterspørgselskurverne begge aftagende som funktion af at
udviklingen i den marginale reale husleje (
og
) er aftagende. Det ses således fra
dynamikken at et udbudsstød vil have nogenlunde samme effekt på prisen og udbuddet i de 2
modeller, som konsekvens af at deres efterspørgselskurver er næsten identiske.
Men lige så identisk modellerne skildrer efterspørgselssiden af boligmarkedet, lige så forskelligt skildrer de udbudssiden. Her ses det fra ligning (6-3) og (6-4) at mens den forbrugerdrevne model siger at den langsigtede pris i ligevægt er en funktion af boligudbuddet så vil den
udbudsdrevne model postulere at den langsigtede pris i ligevægt ikke afhænger af boligudbuddet. Dette medfører at hældningen på udbudskurven i de 2 modeller er hhv. positiv og 0
samt at de dynamiske effekter af et efterspørgselsstød varierer imellem de 2 modeller. Således
vil et negativt efterspørgselsstød sænke både pris og mængde i den forbrugerdrevne model,
mens den kun vil sænke mængden i den udbudsdrevne model.
Dette skyldes at den udbudsdrevne model antager at udbuddet er perfekt elastisk og et negativt efterspørgselsstød vil således blive perfekt absorberet af et fald i udbuddet. Omvendt antager den forbrugerdrevne model at udbuddet ikke er perfekt elastisk og et negativt efterspørgselsstød vil dermed sænke både prisen og mængden på sigt.
Denne antagelsesmæssige forskel på de 2 modeller er en af hovedårsagerne til at deres fasediagrammer viser hhv. en skrå udbudskurve og en flad udbudskurve54.
Gennemgangen af forskellene og lighederne i de 2 modeller tyder på at det primært er udformningen af udbudskurven der adskiller den forbrugerdrevne og udbudsdrevne boligmarkedsmodel. En relevant test af hvilken af teorierne der passer bedst på dansk empiri er derfor
en test for om udbudskurven på lang sigt er horisontal. Denne test gennemgås i næste afsnit.
54
Som gennemgået i teorien til den forbrugerdrevne model vil denne dog altid have en skrå udbudskurve, også
selvom udbuddet er perfekt elastisk, men alt andet lige jo mindre elastisk udbuddet er, jo mere skrå er udbudskurven.
49
7
Empiri
En test for om udbudskurven på lang sigt er skrå eller horisontal tager naturligvis udgangspunkt i de 2 modellers ligevægtsbetingelse for udbudskurven. Her skildrer den forbrugerdrevne model udbudskurven som følgende sammenhæng mellem pris og mængde:
(7-1)
Mens den udbudsdrevne model, med omskrivningen af skyggepris til real pris fra afsnit 5.5.2,
viser at udbudskurven resulterer i følgende sammenhæng mellem pris og mængde:
(
)
(7-2)
Problemet med den forbrugerdrevne model med skrå udbudskurve er at den vil kræve estimation af både udbuddet og efterspørgslen, hvilket betyder et højt antal parametre og dermed en
større sandsynlighed for fejl i form af manglende parametre, fejlagtig dataindsamling, outliers
osv.55
Derfor er en bedre fremgangsmåde at estimere den udbudsdrevne model med flad udbudskurve, da denne model kun kræver estimation af parametrene i ligning (7-2).
Her er det vigtigt at bemærke at uanset om den ene eller den anden model testes vil resultatet
blive det samme: enten forkastes modellen og den anden model testes, eller også accepteres
modellen og den anden model forkastes.
Grundet eventuelle kortsigtede finansielle omkostninger i forbindelse med korte lån til at
dække finansieringen af at bygge en bolig er den korte nominelle rente, , inkluderet i ligningen for boligprisernes langsigtede ligevægtsniveau. Renten forventes teoretisk set at indgå i
profitfunktionen på samme måde som moms og stempelafgifter og ligningen der ønskes testet
bliver således:
(
)
(7-3)
Denne inkludering af renten adskiller sig fra (Madsen J. B., 2011, s. 16) som ikke inkluderer
renten teoretisk, men kun empirisk, hvilket har nogle alvorlige konsekvenser som vil blive
55
Man kunne godt nøjes med at estimere udbudsfunktionen, men så ville man i tilfælde af efterspørgselsstød
ikke kunne sige hvad det var der ændrede prisen. Herunder ville man ikke kunne forudsige prisudviklingen.
50
gennemgået nedenstående. Først omformuleres den teoretiske ligning dog til en lineær regressionsmodel ved at tage den naturlige logaritme til ligning (7-3):
(
)
(7-4)
Denne ligning er omdrejningspunktet for den empiriske analyse af boligudbuddets langsigtede
hældning. Til forskel fra den teoretiske sammenhæng angivet i ligning (7-3) er denne ligning
transformeret til logaritmer for at give en lineær regressionsmodel. Dette gør den teoretiske
model
mulig
at
teste
empirisk
samt
medfører
at
parameterestimaterne,
, kan fortolkes som konstant elasticitets estimatorer56. Betydningen er at den procentuelle stigning i boligpriserne vil være den samme uanset om fx landpriserne stiger 1% fra indeks 100 til 101 eller om de stiger 1% fra indeks 1 til 1,01. Denne transformation er således i tråd med den teoretiske overbevisning om at der er et konstant elasticitetsforhold mellem boligpriserne og erstatningsomkostningerne, dvs. at uanset hvilket niveau
man befinder sig på, så vil en 1% stigning i de forklarende variable føre til en
% stigning i
boligpriserne. Regressionsmodellen adskiller sig fra mange tidligere regressionsmodeller ved
at inkludere både grundomkostninger, stempelafgifter, moms og den korte rente. Derudover
adskiller den sig fra regressionsmodellen fra (Madsen J. B., 2011) ved at inkludere stempelafgifterne samt ved at inkludere renten på en ny måde. I (Madsen J. B., 2011, s. 16) er stempelafgifterne ikke inkluderet som følge af mangel på data, mens renten er inkluderet i ikke logaritmisk form. Denne måde at inkludere renten på har dog umiddelbart 2 problemer: For det
første vil rentens effekter teoretisk set opføre sig signifikant anderledes end de andre forklarende variable, hvilket ses ved at omforme den empiriske ligning i (Madsen J. B., 2011, s. 16)
til en teoretisk ligning. Dette giver en ligning som ligning (7-2), men hvor de forklarende variable bliver ganget med
. En stigning i renten tildeles altså teoretisk set en væsentligt stær-
kere effekt på boligprisen end de andre variable, hvilket ikke giver intuitivt mening. For det
andet vil inkluderingen af renten i ikke logaritmisk form medfører at dens effekter skal fortolkes som en semielasticitet57, hvilket vil sige at rentens regressions estimerede parameter skal
ganges med 100 for at finde rentens effekt på boligprisen. Den effekt (Madsen J. B., 2011, s.
17) estimerer, skal altså ganges med 100 for at finde den sande effekt på boligprisen, hvilket
giver nogle uforklarlige resultater. Af disse årsager anvendes den empiriske regressionsmodel
fra ligning (7-4) som et forsøg på at kvalificere tidligere modellering af boligmarkedet.
56
57
(Wooldridge, 2009, s. 43-46, 704-708)
(Wooldridge, 2009, s. 45-46)
51
Til testen for den flade udbudskurve i ligning (7-4) indsamles et tidsseriedatasæt fra 19382007, hvis variable kort beskrives i følgende tabel:
Tabel 3: Beskrivelse af variable i datasættet
Teoretisk
Empirisk
notation
notation
Forklaring
lph
Reale husprisindeks
lpland
Reale landprisindeks (proxy for grundomkostninger)
lbomk
Reale byggeomkostningsindeks
li
Den korte rente divideret med 100 plus 1
lt
Moms (tidligere OMS) divideret med 100 plus 1
lu
Stempelafgifter divideret med 100 plus 1
(
)
Note: Variablene gennemgås detaljeret i afsnit 13.1.
De vigtigste karakteristika ved datasættet er at moms og stempelafgifter er inkluderet, samt at
grundomkostninger er inkluderet på en ny måde igennem en proxy i form af prisen på landbrugsjord. Markedsprisen for byggegrunde og landbrugsjord er forskellig, men fordi det årlige
antal solgte grunde er lavt vil det være påvirket af outliers i form af geografi, størrelse osv.
Derfor anvendes prisen på landbrugsjord som en proxy for byggegrunde med udgangspunkt i
den antagelse at når priserne på landbrugsjord stiger så vil prisen på byggegrunde også stige.
Dette kræver at prisen på landbrugsjord og prisen på byggegrunde er korreleret, hvilket bevises at være overholdt i (Madsen J. B., 2011, s. 7), som finder korrelationen til at være 0.67.
Testen af den lineære regressionsmodel kan nu udføres for at teste om den teoretiske model
foreslået i ligning (7-3) er en korrekt specificering af den danske udbudsrelation. Her kræver
hypotesen om at udbudskurven er flad at de forklarende variable bestemmer boligprisen.
Dermed vil hypotesen accepteres hvis en 1% stigning i de forklarende variable medfører en
1% stigning i boligprisen, dvs. at der eksisterer et 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de
forklarende variable.
Analysen forløber som følger: i afsnit 7.1 gennemgås rammen for hvordan den økonometriske
test kan udføres, afsnit 7.2 analyserer derefter data, hvilket afsluttes med en konklusion og
diskussion i afsnit 7.3-7.4. Konklusionen er at der findes empirisk belæg for den udbudsdrevne boligmarkedsmodel.
52
7.1
Makroøkonometrisk metodologi58
Sammenlignet med tværsnitsdata har tidsseriedata nogle særlige karakteristika der gør at almindelig OLS estimation ikke længere er BLUE59. Alt efter hvilken form disse tidsseriekarakteristika tager, vil der overordnet set være 3 fremgangsmåder hvorved OLS alligevel kan bruges til inferens om estimatoren:
1) Man antager at CLM TS.1-TS.5 er overholdt i data60
2) Man antager at variable er stationære og weakly dependent, samt at CLM’ TS.1’TS.5’ er opfyldt61
3) Man antager at variablene er I(1)
OLS er stadig BLUE under antagelse af classical linear model assumption (CLM) TS.1-5.
CLM TS.3 om streng eksogenitet må dog ofte afvises i tidsseriedata, hvilket betyder at punkt
1) sjældent kan anvendes til inferens om OLS estimatoren.
Under de lidt svagere betingelser i punkt 2) kan OLS estimatoren dog stadig vises at være
konsistent, asymptotisk normalfordel og asymptotisk efficient62 hvis antagelsen om stationaritet, ”weakly dependent variables” og CLM’ TS.1’-5’ accepteres. Overholdes ”weak dependence” ikke er det højst usandsynligt at der kan udføres inferens om OLS estimatoren fordi
LLN og CLT, der bruges til udledning af hhv. konsistens og asymptotisk normalfordeling,
afvises og højst sandsynligt også CLM.
Et umiddelbart minimum for at kunne bruge OLS til at sige noget om sammenhængen mellem
variable i tidsseriedata er derfor at variablene overholder ”weak dependence”, dvs. ingen unit
root. En variabel der er ”weakly dependent” siges at være integreret af orden 0, I(0), mens en
58
(Wooldridge, 2009, s. kapitel 2, 10, 11, 12, 18 og appendix C), (Verbeek, 2008, s. kapitel 8 og 9)
BLUE betyder best linear unbiased estimator. Best betyder den mest efficiente, dvs. den estimator der minimerer variansen på fejlleddet. Linear betyder at den normale lineære regressionsfremstilling er en korrekt specificering af modellen. Unbiased betyder at estimatorens sandsynlighedsfordeling har den forventede værdi af den
sande parameter. Unbiased estimatorer er kosistente, hvis variansen af sandsynlighedsfordelingen går mod 0 når
antallet af observationer går mod uendelig. Dette er som oftest tilfældet og BLUE medfører således også konsistens i de fleste tilfælde. Når BLUE ikke kan opnås er konsistens den karakteristik man som minimum skal opnå
for at kunne sige noget om estimatoren. Konsistens siger således at når antallet af observationer stiger så vil
sandsynlighedsfordelingens forventede estimator gå mod den sande parameter. For mere om dette læs
(Wooldridge, 2009, s. 747-759)
60
Classical linear model assumptions (CLM) TS.1-6 svarer til Gauss-Markov antagelserne overført til at gælde
for tidsseriedata. Se dem i bilag 13.
61
Stationaritet betyder at variablene er identisk sandsynlighedsfordelt over tid, hvilket er nødvendigt for at kunne sige noget om sammenhængen imellem dem når man kun får et datapunkt fra hver sandsynlighedsfordeling
fra hver tidsperiode. Se (Wooldridge, 2009, s. 379) og se bilag 13 for CLM’ TS.1’-5’
62
Konsistens er forklaret i fodnote 59, mens asymptotisk normalfordelt og asymptotisk efficient betyder at estimatorens sandsynlighedsfordeling går mod normalfordeling og efficiens når antallet af observationer stiger. Især
antagelsen om asymptotisk normalfordeling er vigtig fordi dem medfører at det bliver muligt at teste estimatoren.
59
53
variabel der er ”highly dependent” siges at være datagenereret af en unit root process og være
integreret af orden 1, I(1). I følgende AR(1) model vil
fx være I(1) hvis
:
(7-5)
Hvis
er ligning (7-5) udtryk for en random walk som er en specifik form for I(1).
Hvis punkt 1) eller punkt 2) er opfyldt kan almindelig OLS anvendes til inferens om sammenhænge mellem tidsseriedata, men er de ikke overholdt vil OLS estimatoren give ukorrekte
resultater, hvilket har medført mange forkerte konklusioner igennem tiden.
Et eksempel er en OLS regression på sammenhængen mellem 2 I(1) variable dvs. hvor antagelsen om weak dependence ikke overholdes og fx antagelse TS.3 og TS.1’ fra punkt 1) og 2)
ikke opfyldes. Foretages analysen alligevel vil dette medføre et spurious regression problem63
hvor 2 ikke korrelerede variable viser signifikant korrelation gennem deres korrelation med en
3. variabel. Dette kunne fx være OLS der viste at parfumepriser havde en signifikant effekt på
huspriser fordi de begge var korreleret med inflationen. Konklusionen at parfumepriser har en
signifikant effekt på huspriserne er teoretisk set svær at forklare, men er ikke desto mindre
empirisk ”bevist”, hvilket er et eksempel på hvor galt det kan gå hvis man ikke tester antagelserne før modelleringen gennemføres.
Eksemplet omkring spurious regression problem viser at under antagelse af at datasættet indeholder unit roots, dvs. I(1) variable er konsekvensen at tidsseriedataen må analyseres ud fra
punkt 3). Dette punkt kan primært opdeles i 3 metoder der kan anvendes til at analysere langsigtede relationer mellem tidsserier med I(1) variable:
a) OLS på de differentierede variable64
b) Den kointegrerede vektor autoregressive model (CVAR)65
c) Dynamisk OLS (DOLS)66
Metoderne tager alle udgangspunkt i at modellens datagenererende proces er integreret af
orden 1 eller 0. Dog skal mindst 1 variabel være integreret af orden 1. orden.
a) OLS på differenserne (Granger and Newbold metoden):
63
(Wooldridge, 2009, s. 636)
(Wooldridge, 2009, s. 393)
65
(Juselius, 2006), (Engle & Granger, 1987)
66
(Stock & Watson, 1993)
64
54
Denne metode har til formål at transformere I(1) variable til I(0) variable, hvilket under antagelserne fra punkt 1) og 2) betyder at OLS (som minimum) kan bruges som konsistent estimator.
Transformationen sker ved at differentiere I(1) variablen således at I(1) variablen
fra lig-
ning (7-5) omskrives til:
(7-6)
Her er
, jævnfør TS.1’-5’, i.i.d., hvilket medfører at også
er i.i.d. og dermed I(0). Denne
metode er således god til at fjerne problemer med ”highly dependent variables”, men fravælges alligevel ofte fordi den begrænser typen af spørgsmål der kan besvares. For eksempel kan
den ikke besvare om husprisen er bestemt af erstatningsomkostningerne, men kun om ændringen i husprisen er bestemt af ændringen i erstatningsomkostningerne, givet at disse variable er I(1).
b) CVAR modellen:
Denne model tager udgangspunkt i ikke at transformere I(1) variablene, men at benytte dem
direkte i modellen. Men i stedet for at udregne den ene variabels effekt på den anden, som
jævnfør tidligere fører til spurious regression, udregner man om afstanden mellem de 2 variable følger en I(0) proces. Hvis dette er tilfældet siger man at de 2 variable er kointegreret,
hvilket betyder at de fejlkorregerer således at hvis den ene variabel kommer for langt væk fra
den anden vil der være kræfter der trækker dem mod hinanden igen. Et ofte brugt eksempel er
en fuld mand der går en tur med sin hund. Hver for sig er de random walks, dvs. I(1) processer, men hundesnoren imellem dem sørger for at der alligevel er en stationær weakly dependent sammenhæng imellem dem. I opgavens teoretiske model er det ækvivalent med at huspriserne og de forklarende variable hver for sig godt kan opføre sig som random walks, men
at der på lang sigt er et ligevægtsniveau de begge vil bevæge sig imod, navnlig det langsigtede ligevægtsniveau defineret som saddelpunktet i Figur 10.
c) DOLS modellen:
Denne model kan for overskuelighedens skyld ses som en blanding mellem OLS på differenserne og CVAR modellen. Ligesom CVAR modellen er målet med DOLS at beregne den lagsigtede kointegration mellem en række variable, men for at opnå dette benytter den udover de
oprindelige I(1) variable også første differenserne af disse. Helt specifikt regresseres den forklarede variabel på de forklarende variable samt første differenserne af deres 1-periodes leads
55
og lags. Dette opfanger de dynamiske tilpasningsprocesser der teoretisk set er omkring den
langsigtede ligevægt67, og medfører at man kan udlede en konsistent estimator for sammenhængen mellem de forklarende variable og boligprisen på lang sigt. Ofte udledes modellen
med heteroskedastic and autocorrelation consistent (HAC) standard afvigelser for foruden
konsistens også at opnå asymptotisk normalfordeling og asymptotisk efficiens.
Fordele og ulemper ved de 3 modeller opstillet ud fra 4 kriterier kan summeres i følgende
skema:
Tabel 4: Fordele og ulemper ved OLS, CVAR og DOLS
OLS diff.
CVAR
DOLS
Svare på opgavens spørgsmål
+
+
Estimere langsigtet sammenhæng
+
+
Let at benytte
Foretrukne estimator
I alt
+
+
68
+
+
++
++++
Note: + angiver om modellen lever op til kriteriet
Empiriafsnittets formål er at teste om der er en langsigtet sammenhæng mellem boligpriserne
og de forklarende variable. Her er OLS på differenserne ikke at foretrække fordi den i modsætning til CVAR og DOLS ikke estimerer den langsigtede kointegration imellem I(1) variablene, men i stedet fokuserer på at måle de mere kortsigtede effekter af de forklarende variables effekt på boligpriserne. Til gengæld er OLS på differenserne utroligt let at benytte i modsætning til CVAR som kræver en lang række komplekse beregninger og estimationer. Overordnet set vil OLS på differenserne således typisk kræve ca. 2 tests, DOLS vil kræve ca. 3
tests, mens CVAR vil kræve ca. 6 tests. På baggrund af disse kriterier samt en Monte Carlo
simulationsmodel der viser DOLS som den foretrukne model af de 3, vil den empiriske analyse tage udgangspunkt i DOLS metoden. Stadig under antagelse af at modellens variable er
I(1).
67
Se afsnit 5.3 og 5.4 omkring ligevægten og tilpasningen dertil
Et Monte Carlo simulationsstudie af CVAR, OLS diff. og DOLS viser at DOLS er den foretrukne estimator.
Se (Stock & Watson, 1993, s. 811)
68
56
7.2
Analyse
For at kunne anvende DOLS metoden til (som minimum) at udlede en konsistent estimator for
den langsigtede sammenhæng mellem boligprisen og de forklarende variable skal 3 antagelser
være opfyldt:
A.1.
Modellens variable skal være I(1)
A.2.
I(1) variablene skal kointegrere
A.3.
De forklarende variable skal være strengt eksogene
Den empiriske analyse af det langsigtede forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable vil derfor tage udgangspunkt i følgende 3 afsnit:
7.2.1: Test for om variable er I(1)
7.2.2: Test for kointegration
7.2.3: DOLS
Hvor afsnit 7.2.1 viser at variablene er I(1), afsnit 7.2.2 konkluderer at de kointegrerer og afsnit 7.2.3 estimerer hvilken effekt de enkelte forklarende variable har på boligpriserne.
7.2.1
Test for om variable er I(1)
Tilstedeværelsen af I(1) variable er afgørende for hvilken metode man skal anvende til analysen af modellen69. DOLS analysen er således kun af interesse hvis variablene fra ligning (7-4)
er integreret af første orden. For at forstå denne antagelse nærmere følger definitionen:

Definition 170: En stokastisk proces
(
kaldes integreret af d’te orden,
hvis
)
Det vil sige at en variabel er I(1) hvis den differentieret er I(0). Som nævnt i ligning (7-5) er
kendetegnet ved en I(1) proces at variablen har en unit root.
Derfor vil en test for om modellens variable er I(1) udføres ved først at teste om variablen har
unit root og derefter for om den differentierede variabel har unit root. Findes der unit root i
variablen, men ikke i dens afledte er konklusionen at variablen er I(1).
Dette testes efterfølgende grafisk og økonometrisk.
69
70
Se afsnit 7.1
(Wagner, 2004, s. 39)
57
7.2.1.1
Grafisk
Grafisk kendetegnes en I(1) variabel ved at have en eller anden form for stokastisk trend,
mens den differentierede variabel vil skifte omkring en konstant. Årsagen til dette kan udledes
fra ligning (7-5) som viser at en variabel med unit root vil være summen af nuværende og
tidligere tiders stød, en såkaldt random walk, mens stød til en variabel uden unit root vil dø ud
med tiden og bevæge variablen tilbage mod en konstant (mod 0 hvis modellen inkluderer en
konstant). Dette ses bedst i det ekstreme tilfælde hvor
, hvor variablen kun afhænger af
nuværende stød. Givet at en konstant er inkluderet vil denne I(0) variabel være lig med fejlledet som er tilfældige stød med middelværdi 0. Grafisk kan testen for om variablen er I(1) derfor opstilles i en graf for variablen og en graf for den differentierede variabel. Her vil en variabel der ikke skifter omkring en fast værdi med en differentieret variabel der skifter omkring
en fast værdi være udtryk for at variablen er I(1).
Figur 15: Grafisk præsentation af variable og deres differenser
58
I venstre kolonne ses modellens variable, mens højre kolonne viser variablene differentieret.
Da variablene i venstre kolonne ikke synes at svinge omkring en konstant, mens det synes at
være tilfældet for de differentierede variable i højre kolonne, tyder den grafiske analyse på at
variablene alle sammen er I(1) processer. Dette skal dog også testes økonometrisk.
7.2.1.2
Augmented Dickey-Fuller test for unit root
For at teste om en variabel er I(1) økonometrisk skal man kunne finde unit root i variablen,
men ikke i den differentierede variabel. Til dette formål er det gavnligt at omdefinere ligning
(7-5) til følgende ligning:
(7-7)
Her er antallet af lags forhøjet for at tage højde for autokorrelation i variablen, samt første lag
af variablen er fratrukket på begge sider således at
ver således:
. Nulhypotesen for unit root bli-
. Da variablen vil være I(1) under accept af nulhypotesen kan alminde-
lig t-test dog ikke anvendes til hypotesetesten. Dette skyldes at en variabel der er I(1) ikke
opfylder CLT, hvilket medfører at t fordelingen ikke er asymptotisk normalfordelt. Dickey og
Fuller løste dette problem ved at definere en ny asymptotisk fordeling for t under accept af
nulhypotesen, kaldet Dickey-Fuller fordelingen. Denne fordeling giver nye kritiske værdier
for t-værdien som kan benyttes til at teste hypotesen for unit roots.
Før testen kan udføres er det dog nødvendigt at vurdere antallet af lags der skal inkluderes i
ligning (7-7). Grunden til at det er vigtigt at bestemme antallet af lags er at for mange gør
estimaterne inefficiente og underestimerer t-værdien. Mens for få lags giver autokorrelation så
OLS bliver biased og inkonsistent med overestimerede t-værdien71. Monte Carlo eksperimenter har vist at for få lags er klart det største problem og derfor testes her for op til 4 lags, selvom kutymen for årsdata er at starte med 2 lags.
Der er 3 måder at teste antallet af differentierede lags der skal inkluderes:
71

t-test med 15% signifikansniveau så man ikke dropper for mange.

F-test for om man kan droppe et antal variable.

Informationskriterierne AIC og BIC
(Moody, 2009, s. 176)
59
F-testen og t-testen tester for om variablen er signifikant og vurderer derudfra om den skal
inkluderes eller ej. En anden tilgang er dog informationskriteriet der vurderer modellens forklaringsgrad over for hvor mange variable den inkluderer. Metoden går således et skridt videre end R (som kan maksimeres ved at inkludere flere lags) og siger at der er et trade-off mellem forklaringsgrad og antallet af inkluderede lags.
Her er de mest anvendte informationskriterier Akaike’s Information Criteria (AIC) og
Schwarz’s Bayesian Information Criteria (BIC) givet ved henholdsvis:
( ∑
( ∑
Hvor N er antallet af observationer,
)
)
(7-8)
(7-9)
er residualen og K er antallet af forklarende variable.
Ved at minimere AIC og BIC opnås den bedst mulige forklaringsgrad ved brug af færrest mulige forklarende variable. Det ses derudover at BIC straffer brugen af forklarende variable
hårdere72, hvilket medfører at denne model vil have en bias imod at foreslå færre forklarende
variable. Dermed kan AIC og BIC løst fortolkes som hhv. en øvre og nedre grænse for antallet af lags der skal inkluderes i ligning (7-7).
De 4 tests for hvor mange differentierede lags ligning (7-7) skal indeholde gennemgøres nu
for variablene efterfulgt af ADF-testen for om den velspecificerede ligning indeholder unit
root,
. I tvivlstilfælde om laglængde vælges den højeste laglængde jf. tidligere dis-
kussion, men testresultater for omkringliggende laglængder vises også for at teste om resultatet er robust over for ændringer i laglængden.
72
l
(
)
60
Tabel 5: Test for lag længde og unit root i I(1) variable
Test for lag længde og unit root, lph
Lags
t
DF kritisk værdi
Prob>F
AIC
BIC
ADF
10%
0.0038
-2.615
-468.113
-0.591
-2.592
0.4447
*-2.805
*-471.027
-0.815
-2.593
2
*0.5459
-2.788
-459.699
-0.88
-2.593
3
0.2773
-2.742
-446.514
-0.876
-2.594
-2.715
-434.79
-0.794
0
1
*
4
Test for lag længde og unit root, lpland
Lags
t
DF kritisk værdi
Prob>F
AIC
BIC
ADF
10%
0.0121
-2.165
*-437.075
-0.432
-2.592
*0.3997
*-2.293
-436.213
-0.697
-2.593
2
0.2780
-2.254
-423.894
-0.625
-2.593
3
0.1304
-2.211
-411.516
-0.646
-2.594
-2.202
-401.443
0
1
*
4
Test for lag længde og unit root, lbomk
Lags
t
AIC
BIC
ADF
10%
*0.6409
-3.699
-531.795
-1.769
-2.592
2
0.5439
-4.081
*-546.301
-0.695
-2.593
3
0.2790
*-4.096
-535.877
-1.017
-2.593
-4.072
-522.974
-1.027
-2.594
0
1
Prob>F
DF kritisk værdi
0.0000
*
4
Test for lag længde og unit root, li
Lags
t
DF kritisk værdi
Prob>F
AIC
BIC
ADF
10%
0.0524
3.987
*-12.552
-2.022
-2.592
*0.2380
*3.946
-11.922
-1.372
-2.593
2
0.1276
3.991
-5.513
3
0.0530
4.028
0.267
0
1
*
Test for lag længde og unit root, lt
DF kritisk værdi
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
10%
0
*
*0.9992
*0.309
*-266.352
-1.123
-2.592
61
1
0.9956
0.352
-256.338
2
0.9741
0.396
-246.391
-1.141
-2.593
3
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, lu
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
10%
0
*
*0.9596
*-2.759
*-478.080
-1.001
-2.592
0.8501
-2.715
-464.903
-1.009
-2.670
-451.773
1
2
Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde
ADF-testen viser at hypotesen om unit roots i de foreslåede I(1) variable ikke tilnærmelsesvist
kan afvises på 10% signifikansniveau. Noget tyder altså på at variablene rent faktisk er I(1).
For at udelukke muligheden for I(2) generede processer og opfylde definition 1, skal variablenes førstedifferenser dog også testes. Kan unit root i første differenserne afvises kan det
konkluderes at de oprindelige variable må være I(1) genererede processer.
Igen findes den velspecificerede model inden ADF testen for unit root foretages.
Tabel 6: Test for laglængde og unit root i I(0) variable
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.lph
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
0
*
0.5461
*-2.825
*-474.555
-5.062
-3.555
-2.916
1
*0.6408
-2.806
-463.085
-4.983
-3.556
-2.916
2
0.4417
-2.759
-449.878
3
-2.736
-438.274
4
-2.695
-425.717
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.lpland
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
0
*
*0.4902
*-2.315
*-439.926
-5.383
-3.555
-2.916
0.3888
-2.277
-427.685
-4.752
-3.556
-2.916
2
-2.235
-415.257
3
-2.227
-405.249
4
-2.199
-393.942
1
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.lbomk
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
62
0
*
*0.4857
-3.681
-532.815
-5.010
-3.555
-2.916
0.349
-4.103
*-549.993
-4.656
-3.556
-2.916
2
*-4.109
-538.958
-3.500
-3.558
-2.917
3
-4.085
-525.997
4
-4.098
-515.488
1
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.li
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
0
*
*0.4764
*3.945
*-14.199
-11.359
-3.555
-2.916
0.3648
3.985
-8.073
-6.933
-3.556
-2.916
2
4.028
-1.915
3
4.034
1.734
4
4.072
7.381
1
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.lt
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
0
*
*0.9975
*0.342
*-259.209
-8.306
-3.555
-2.916
0.9905
0.387
-249.176
-5.849
-3.556
-2.916
2
0.432
-239.217
3
0.479
-229.345
4
0.527
-219.471
1
DF kritisk værdi
Test for lag længde og unit root, d.lu
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
1%
5%
0
*
*0.9999
*-2.729
*-468.066
-8.148
-3.555
-2.916
0.9915
-2.684
-454.901
-5.583
-3.556
-2.916
-2.637
-441.797
1
2
Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde
ADF testen afviser tilstedeværelsen af unit roots på 1% signifikansniveau i alle variablene,
hvilket jævnfør definition 1 må betyde at de forklarende variable er I(1).
7.2.2
Test for kointegration
Når variablene er I(1) er det muligt at teste deres langsigtede sammenhæng ved at teste om de
kointegrerer.
Hvis teoriafsnittet er korrekt kan man forvente at finde følgende relation for fejlledet:
63
(
Hvis ligning (7-4) er korrekt specificeret således at
)
(7-10)
rent faktisk er en lineær kombination
af de forklarende variable, så vil fejlleddet ikke længere være I(1), fordi der er en signifikant
sammenhæng mellem den forklarede og de forklarende variable. I dette tilfælde vil et højt
medføre en fejlkorregerende proces mod at mindske
og man siger at variablene kointegre-
rer. Sagt med andre ord vil et fejlled uden unit roots betyde at der findes en langsigtet ligevægt som variablene korregerer imod.
For at teste denne sammenhæng anvendes Engle-Granger’s 2-trins metode hvor man estimerer residualerne fra ligning (7-10) og derefter tester dem for unit roots.
Dette giver følgende resultater for den lineære regression, (7-4):
Tabel 7: OLS regression af ligning (7-4)
Hvorfra residualerne udledes og testes for den korrekte laglængde inden ADF testen for unit
root foretages på den velspecificerede model:
64
Tabel 8: Test for laglængde og unit root i fejlled
Test for lag længde og unit root, fejlled
Lags
t
Prob>F
AIC
BIC
ADF
-2.946
-470.286
0.6066
*-3.113
*-471.002
-5.204
4
*0.8363
-3.099
-459.695
-5.108
5
0.7796
-3.066
-447.251
0
1
2
3
*
Note: * og markering viser testens foreslåede laglængde
Igen er nulhypotesen at der er unit roots. Desværre kan de Monte Carlo estimerede kritiske
værdier for ADF testen ikke anvendes til at teste denne hypotese. Årsagen er at de er beregnet
på baggrund af en standard random walk for tidsserier, hvorimod residualerne der ønskes testet er beregnet på baggrund af OLS. Da OLS giver estimatorer der minimerer residualerne vil
residualerne automatisk komme til at ligne I(0) processer og konsekvensen bliver at man afviser nulhypotesen om unit roots for ofte. Beregnede ADF kritiske værdier for residualerne anvendes således, hvor den kritiske værdi på et 1% signifikansniveau med 6 variable (inklusiv
) er -4.9673.
Nulhypotesen om unit roots kan således afvises på et 1% signifikansniveau og resultaterne fra
Tabel 7 er dermed udtryk for den langsigtede kointegrerende sammenhæng mellem boligpriserne og de forklarende variable. Resultaterne tyder på at boligpriserne i høj grad er bestemt
af grund- og byggeomkostningerne, samt i mindre grad af momsen. Derudover har renten og
stempelafgiften en svag påvirkning på boligpriserne, men med et uventet fortegn. Til sidst ses
det at modellens forklaringsgrad, udtrykt ved Adjusted R-squared, er utroligt tæt på 100%,
hvilket tyder på at de forklarende variable i høj grad forklarer boligprisen. Inden resultaterne
analyseres yderligere skal man dog være opmærksom på at regressionen fra Tabel 7 ofte lider
af autokorrelation da dens statiske form, hvor tidligere perioders forklarede variabel ikke indgår som forklarende variabel, medfører at der ikke er dynamiske effekter der sørger for at
fejlledet er ukorreleret over tid. Således kan man forvente at fejlleddet
lation. Med henvisning til CLM’ TS.1’-TS.3’ vil OLS estimatoren,
være konsistent, men fordi
lider af serial corre, i dette tilfælde stadig
er autokorreleret vil TS.5’, omhandlende asymptotisk normal-
fordelte OLS estimatorer, ikke være opfyldt og inferens med udgangspunkt i standard afvigel73
(Verbeek, 2008, s. 330). Denne værdi højere end den Dickey-Fuller genererede kritiske værdier på -3.558.
Anvendelse af DF kritisk værdi til test af fejlled ville således føre til afvisning af nulhypotesen oftere end signifikansniveauet giver udtryk for. Det er derfor vigtigt at anvende de korrekte kritiske værdier.
65
serne som fx t-test og F-test vil give biased resultater. Derfor testes fejlleddet for autokorrelation inden resultaterne analyseres videre. Breusch-Godfrey testen for autokorrelation giver
følgende resultat:
Tabel 9: Test for autokorrelation i fejlled
Højre kolonne viser sandsynligheden for ingen autokorrelation i første orden op til 10. orden.
Nulhypotesen om ingen autokorrelation afvises klart på 1% signifikansniveau, hvilket betyder
at fejlleddet er autokorreleret. Dermed kan resultaterne fra Tabel 7 ikke testes for signifikans
og det er således ikke muligt at sige om den langsigtede sammenhæng mellem boligpriserne
og de forklarende variable er signifikant.
For at kunne sige noget om signifikansen af resultaterne er der generelt 2 metoder der kan
anvendes:
1) Cochrane-Orcutt metoden
2) Kointegrations metoden
Da Cochrane-Orcutt metoden har en meget mekanisk tilgang til autokorrelation uden tanke
for økonomisk rationale fravælger forskere ofte denne metode74. Til gengæld viser kointegrationsmetoden sig at have nogle store fordele i ikke at sætte restriktioner på
. Dvs. at metoden fx ikke a priori stiller krav om ingen autokorrelation i
andet end
.
Som tidligere nævnt er Dynamic OLS (DOLS) en fordelagtig metode at anvende når man skal
analysere kointegrerende sammenhænge og derfor anvendes denne til videre inferens.
74
(Moody, 2009, s. 168)
66
7.2.3
DOLS
For overskuelighedens skyld defineres følgende datavektorer:
[
Når
og
l
(
)
l
] (7-11)
er I(1) og kointegreret kan de opstilles på følgende form:
(7-12)
Hvor
er en I(0) proces med en gennemsnitlig værdi på 0.
Ligning (7-12) svarer altså til den regression der blev udført i Tabel 7 og bevist i Tabel 8.
Med forudsætningerne I(1) variable og kointegration opfyldt mangler kun streng eksogenitet
af
for at DOLS kan anvendes til inferens.
Heldigvis er problemet med streng eksogenitet i
model. Da det er bevist at variablen
fejlleddet,
let at gøre noget ved i en kointegrations-
er I(1) betyder streng eksogenitet i dette tilfælde at
, skal være ukorreleret med første differensen af de forklarende variable,
, for
alle t og s, både fortidige og fremtidige. Dette kan testes med følgende ligning:
(7-13)
Ligningen er opstillet med s gående mod t under den antagelse at fejlleddet
er mere korre-
leret med variable tættere på samme tidsperiode. Ved at inkludere leads og lags af
den fulde korrelation mellem
og
indtil
er redegjort for konstruerer man et nyt fejlled,
,
som, per konstruktion, er ukorreleret med ligningens forklarende variable75. Derudover er
håbet at det nye fejlled samtidig også er ukorreleret med yderligere leads og lags af
håb underbygges af det faktum at både
|
| bliver stor vil korrelationen mellem
og
. Dette
er I(0) processer, hvilket betyder at når
og
gå mod 0. Dette sker typisk efter en
enkelt tidsperiode eller 2 når der anvendes årsdata. Ligningen konstruerer altså et nyt fejlled
der opfylder antagelsen om streng eksogenitet.
Ved at indsætte en korrekt specificeret ligning (7-13) i ligning (7-12) fås følgende ligning:
75
(Wooldridge, 2009, s. 642)
67
(7-14)
Hvor
og de forklarende variable er strengt eksogene.
Denne ligning, døbt Dynamic OLS eller leads and lags estimator, er atypisk fordi den indeholder både nuværende værdier, differentialer samt leads og lags af
betydning da det er parameteren
og
. Dette har dog mindre
der er interessant for at udlede kointegrationen mellem
. Modellens andre parametre har kun til formål at fjerne endogeniteten mellem
således at
og
,
kan betegnes som strengt eksogen, hvilket er den nødvendige betingelse for at t
fordelingen for
er approksimativt normalfordelt og dermed at inferens af
kan udledes.
På baggrund af at betingelserne: I(1) variable, kointegration og streng eksogenitet af
opfyldt, vil DOLS estimatoren
er
fra ligning (7-14) være konsistent og asymptotisk normal-
fordelt. Ved derudover at benytte heteroskedasticity and autocorrelation consistent (HAC)
standard fejl vil evt. autokorrelation i fejlledet
blive håndteret og DOLS estimatoren
vil
også blive efficient.
Er modellen således korrekt specificeret vil DOLS estimatoren producere en konsistent,
asymptotisk efficient og asymptotisk normalfordelt estimator
og
for kointegrationen mellem
. Med udgangspunkt i data betyder dette at en signifikant
på de forklarende variable
betyder at variablen har en signifikant langsigtet effekt på boligprisen.
DOLS testen forløber altså i 2 trin:
1) Ligning (7-13) specificeres og indsættes i ligning (7-12)
2) Velspecificeret ligning (7-14) regresseres og inferens udføres
Ad 1) er første skridt dermed at finde ud af hvor mange leads og lags der skal inkluderes i
modellen for at opnå et nyt fejlled der opfylder kravene om streng eksogenitet.
Dette gøres ved at udføre regressionen i ligning (7-13) og finde den velspecificerede form:
Tabel 10: Test for laglængde af DOLS ligning
Test for lag længde, ligning (7-13)
Lags
AIC
BIC
0L0L
*-2.106
*-426.313
1F1L
-2.005
-387.364
2F2L
-1.941
-351.832
Note: *viser testens foreslåede laglængde
68
Minimering af informationskriterierne AIC og BIC fører til konklusionen at 0 lags og leads
skal inkluderes i ligning (7-13). Dette betyder at den rette specifikation af
er ved eksklude-
ring af både leads og lags af differenserne og ligning (7-13) omskrives således til:
(7-15)
Konklusionen er at
er ukorreleret med fremtidige og fortidige værdier af
rer med samtidige værdier af
og kun korrele-
. En stigning i fx landpriser vil derfor være korreleret med
samtidige stød til økonomien, men ikke med fremtidige eller fortidige stød. Samtidig medfører ligningens opbygning af fejlleddet
er ukorreleret med
For at teste at ovenstående ligning er korrekt specificeret og dermed fører til den korrekte specificering af DOLS regressionen dobbelttjekkes korrektheden af ligning (7-15) ved at teste at:

er ukorreleret med fortidige og fremtidige værdier af

er en I(0) proces
Testene ses i bilag 13.3 og viser tydeligt at fejlleddet
differentieret
er ukorreleret med fortidige og frem-
tidige differenser af
, mens en ADF test på 1% signifikansniveau afviser at
hvilket bekræfter at
er en I(0) proces.
har unit root,
Specifikationstesten viser således at DOLS ligningen for dette datasæt kan opskrives ved at
indsætte ligning (7-15) i ligning (7-12):
(7-16)
Hvor
og
er givet ved ligning (7-11).
Transformationen fra ligning (7-12) til ligning (7-16) betyder at de forklarende variable er
strengt eksogene, hvilket sammen med forudsætningen om kointegrerende I(1) variable medfører at DOLS ligningen giver en konsistent og normalfordelt estimator for . Dette sammen
med ADF testen af
fra Tabel 18 som fastslår at
udtryk for det langsigtede kointegrerende forhold mellem
og
er I(0) medfører at
er
.
Resultatet af regressionen i ligning (7-16) bliver følgende DOLS estimation:
69
Tabel 11: DOLS estimation
Igen synes konklusionen at være at boligpriserne i høj grad bestemmes af grund- og byggeomkostningerne. Derudover har parameteren på stempelafgiften nu fået det rigtige fortegn.
Desværre vil heteroskedasticitet og autokorrelation i fejlleddet påvirke henholdsvis efficiensen og den asymptotiske normalfordeling og derfor bør disse testes inden endelig inferens
foretages.
Dette gøres med Breusch-Pagan testen for heteroskedasticitet og Breusch-Godfrey testen for
autokorrelation:
Tabel 12: Test for heteroskedasticitet
Tabel 13: Test for autokorrelation
Tabel 12 som er Breusch-Pagan testen for heteroskedasticitet afviser nulhypotesen om homoskedasticitet på 1% signifikansniveau. Ligeledes afvises Breusch-Godfrey nulhypotesen for
ingen autokorrelation på 1% signifikansniveau, hvilket ses i Tabel 13.
Fejlleddet lider således af både heteroskedasticitet og autokorrelation.
70
Derfor gentages regression af (7-16), men med heteroskedasticity and autocorrelation consistent (HAC) standard fejl76.
Resultatet for DOLS estimationen med HAC standard fejl er følgende:
Tabel 14: DOLS estimation med HAC standard fejl77
R-squared
=
0.9976
0.9932
Som det ses får estimatorerne nu en højere standardafvigelse, hvilket er resultatet af positivt
autokorrelerede fejlled.
F-testen finder modellen meget signifikant, mens t-testen finder alle forklarende variable, på
nær stempelafgifterne, signifikant på 1% signifikansniveau. Dermed kan det konkluderes at
der er en signifikant langsigtet sammenhæng mellem boligpriserne og minimum 4 af de forklarende variable.
Da alle variablene er givet i den naturlige logaritme kan estimatorerne fortolkes som et konstant elasticitetsforhold hvor en 1% stigning i forklarende variable fører til
% stigning i bo-
ligpriserne. Her er boligpriserne, landpriserne og byggeomkostningerne opstillet i indeks med
1995=100, mens den korte rente, momsen og stempelafgifterne er angivet som procentsatsen
divideret med 100 plus 1.
Det ses fra Tabel 14 at hvis landprisindekset og byggeomkostningsindekset begge stiger med
1% så vil boligprisindekset på lang sigt stige med 0.94%. Dertil kommer langsigts effekterne
fra den korte rente og momsen. Her vil en 1% stigning i momsen, hvilket grundet momsens
specificering i modellen svarer til ca. 1 pct.point stigning i momsen, medfører en stigning i de
langsigtede boligpriser på ca. 0.12%. Omvendt vil en 1 pct.point stigning i den korte rente
medføre et fald i de langsigtede boligpriser på ca. 0.02%. Til sidst ses effekten fra en 1
pct.point stigning i stempelafgifterne at være lille og insignifikant. Ved at sammenligne para-
76
Antallet af lags med mulig autokorrelation er valgt på baggrund af den optimale lag længde af beregnet i
Tabel 18 i bilag 13.3. Dog skal det påpeges at resultaterne er robuste over for ændringer i denne betingelse.
77
R-squared ændres ikke med HAC fejl da R udregnes på baggrund af koefficienterne, ikke standard fejlene.
71
metrene på landpriser, byggeomkostninger, renten og momsen fra DOLS ligningen med de
super konsistente estimater fra Tabel 7 tyder resultaterne på at det i høj grad er de korrekte
konsistente estimatorer som DOLS ligningen udleder. Den eneste parameter der adskiller sig
er stempelafgifterne der er insignifikante, hvilket kan skyldes at de som procentdel af de samlede omkostninger ikke udgør ret meget og derfor ikke har den store effekt på boligpriserne.
Derudover viser renten det forkerte fortegn, hvilket af (Madsen J. B., 2011) fortolkes som
konsekvens af at efterspørgselsstød alligevel har en lille effekt på boligpriserne på lang sigt.
Da effekten er så tæt på 0 kan det dog med et økonomisk udgangspunkt fortolkes som at renten på lang sigt ingen effekt har på boligpriserne.
Den empiriske test viser således at boligpriserne i høj grad synes forklaret af de forklarende
variable, hvor det især synes at være udviklingen i land- og byggeomkostningerne der driver
boligens pris på lang sigt. Selvom de forklarende variables koefficienter og signifikans tyder
på at boligprisen på lang sigt er bestemt af udbuddet, kan det dog ikke udelukkes at efterspørgslen også ville have haft en signifikant langsigtet effekt på boligpriserne hvis den var
blevet inkluderet i modellen. Derfor er det nødvendigt at teste om sammenhængen mellem de
forklarende variable og boligprisen er en 1-til-1 sammenhæng. Hvis det accepteres at der er et
1-til-1 sammenhæng mellem de forklarende variable og boligprisen kan det konstateres at
andre variable, herunder efterspørgselsstød, ikke kan have en signifikant langsigtet effekt på
boligpriserne. 1-til-1 forholdet testes derfor nedenstående for at kunne udelukke at efterspørgselsstød kan have en langsigtet effekt på boligpriserne.
7.2.4
Test for 1-til-1 forhold
Både kointegrationsrelationerne og en forklaringsgrad på tæt på 100% tyder på at der er et tæt
langsigtet forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable. Den sidste hypotesetest er
dog at teste om dette langsigtede forhold er udtryk for et 1-til-1 forhold. Testen for om den
samlede langsigtede effekt af de forklarende variable er lig med 1 kan ikke afvises da t=0.51,
hvilket er langt under den kritiske værdi på 1.6778.
Både testen for 1-til-1 forholdet, en forklaringsgrad på næsten 100% samt koefficienterne og
signifikansen af parametrene i kointegrations analysen underbygger altså i høj grad at prisen
på lang sigt udelukkende er givet af udbuddet. Dermed accepterer den økonometriske analyse
teorien bag den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve og forkaster således
den forbrugerdrevne model med skrå udbudskurve.
78
Se udregninger i 13.4
72
7.3
Delkonklusion
Det empiriske afsnit har overordnet set 3 hovedkonklusioner:

DOLS analysen viser at de reale huspriser er bestemt af udbuddet.

Forklaringsgraden på næsten 100%, F-testen og 1-til-1 forholdet der ikke kan afvises
tyder på at modellen ikke har udeladt afgørende variable.

At den reale pris på lang sigt er udelukkende bestemt af erstatningsomkostningerne
betyder at udbuddet må være perfekt elastisk.
Den empiriske test for teorien om at udbudskurven på lang sigt er flad tager udgangspunktet i
en dynamic OLS kointegrationsanalyse. Denne analyse metode viste sig særligt anvendelig på
baggrund af dens gode skildring af langsigtede sammenhænge og dens konsistente estimatorer. Som konsekvens af den udbudsdrevne boligmarkedsmodel blev både moms, stempelafgifter, landpriser og byggeomkostninger inkluderet i den empiriske regressionsligning, mens den
korte nominelle rente blev indført på en ny form. Resultatet viser at land- og byggeomkostningerne er meget signifikante og har en elasticitet på hhv. 0.53 og 0.41, hvilket betyder at
hvis disse variable stiger 1% så vil boligmarkedets ligevægtspris stige 0.94 %. Derudover har
moms en signifikant korrekt elasticitet på 0.12, stempelafgifterne har en insignifikant korrekt
elasticitet på 0.05, mens renten empirisk set har en signifikant elasticitet på -0.02. Rentens
negative effekt kan tolkes som at efterspørgselsstød har en minimal effekt på den langsigtede
boligpris, men vurderes økonomisk set så tæt på 0 at den kan forklares med tidsseriedataens
begrænsede længde. Således teoretiseres det, at med et længere datasæt, ville rentens effekt
forsvinde. Kointegrationsanalysen viser således at de forklarende variable har en forventet
signifikant effekt på de reale boligpriser. At der ikke er udeladt nogen variable understøttes af
en forklaringsgrad på tæt på 100%, F-testen, samt testen af 1-til-1 forholdet som ikke kunne
afvises. Empirien viser således at den reale boligpris på lang sigt er bestemt næsten udelukkende af moms, land- og byggeomkostninger, hvilket betyder at udbuddet på lang sigt er perfekt elastisk og udbudskurven er flad. Hvis udbuddet ikke havde været perfekt elastisk ville
den langsigtede boligpris i højere grad have været bestemt af efterspørgselsstød og både kointegrationsanalysen, forklaringsgraden og 1-til-1 testen ville have set anderledes ud.
Den teoretiske model synes således i høj grad underbygget af empirien, hvilket betyder at den
udbudsdrevne boligmarkedsmodel accepteres og den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel
forkastes.
73
7.4
Diskussion af den økonometriske analyse
Det empiriske afsnit konkluderede at der var en god overensstemmelse mellem dansk empiri
og den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Konklusionen har dog primært 4 faldgruber der kan så tvivl om resultatets gyldighed. For det første viser den økonometriske test blot at der er et 1-til-1 sammenhæng, men ikke om kausaliteten går den ene eller
den anden vej. For det andet kan efterspørgselsstød implicit have en langsigtet effekt på boligpriserne hvis de påvirker udbuddet. For det tredje kan data være fejlagtigt indsamlet eller
den økonometriske test være forkert udført. Mens den sidste faldgrube er de mange tidligere
artikler der har fundet modstridende resultater.
7.4.1
Kausalitet
Hvis det nu i stedet er boligprisen der bestemmer fx land- og byggeomkostningerne vil den
teoretiske model være forkert og opgavens konklusioner om det danske boligmarked vil ikke
være korrekte. Derfor er det nødvendigt at teste hvilken vej kausaliteten går inden den endelige konklusion foretages.
Modellen har 5 forklarende variable: landomkostninger, byggeomkostninger, stempelafgifter,
moms og den korte rente. Både moms og stempelafgifter er politisk bestemt under mange
andre overvejelser end boligpriserne og bevæger sig diskontinuert i modsætning til boligpriserne. Disse antages derfor at være uafhængige af boligprisen. Ligeledes antages den korte
nominelle rente at være uafhængig af boligprisen, da den bestemmes af nationalbanken bl.a.
ud fra hensyn til inflationsudviklingen. Tilbage er land- og byggeomkostningerne. Da udbuddet af land teoretisk set er perfekt elastisk burde boligpriserne på lang sigt ikke have betydning for priserne på land. Dette testes i (Hardie, Narayan, & Gardner, 2001) som finder at
boligprisernes langsigtede elasticitet på landpriserne er 0.03. Sammenlignes dette med DOLS
analysens resultat om at landprisernes langsigtede elasticitet på boligprisen var 0.53 tyder
dette på at det er landomkostningerne der påvirker boligpriserne og ikke omvendt. Ligeledes
antages det at udbuddet af arbejdere og materialer på lang sigt er perfekt elastisk, hvilket ofte
ses som en mindre streng antagelse end at udbuddet af land er perfekt elastisk. Da udbuddet af
land blev bevist perfekt elastisk antages det derfor at også byggeomkostningerne kan ses som
perfekt elastiske og dermed at boligprisen ikke påvirker byggeomkostningerne på lang sigt.
Teoretisk set underbygges det altså i høj grad at det er de forklarende variable der påvirker
boligpriserne og ikke den anden vej rundt.
74
7.4.2
Efterspørgselsstøds effekt på de forklarende variable
Det empiriske afsnit konkluderer at prisen på lang sigt er uafhængig af efterspørgselsstød,
hvilket var resultatet af at de økonometriske tests viste at udbuddet bestemte boligprisen. Men
hvis efterspørgselsstød påvirker stempelafgifter, moms, land- eller byggeomkostninger betyder det at efterspørgselsstød har en implicit effekt på boligpriserne og at konklusionen om at
prisen er udbudsbestemt er ukorrekt. Er byggeomkostninger fx permanent højere som følge at
et permanent fald i nedslidningen så forskydes den vandrette udbudskurve opad og efterspørgselsstødet får således en implicit langsigtet effekt på boligpriserne.
Derfor er det nødvendigt at teste om efterspørgselsstød har en effekt på de forklarende variable og dermed en implicit effekt på de langsigtede boligpriser. Ligesom i analysen af kausaliteten antages det at stempelafgifter og moms er politisk bestemt og derfor uafhængige af boligmarkedets efterspørgselsstød. Derudover er landpriserne givet af udbytte pr. hektar, hvilket
bestemmes af internationale landbrugspriser, og er derfor ikke påvirket af nationale efterspørgselsstød på boligmarkedet79. Til sidst er byggeomkostningerne hverken påvirket af udbuds- eller efterspørgselsstød, givet at de følger hypotesen om naturlig arbejdsløshed som
betyder at lønomkostninger på lang sigt følger den naturlige arbejdsløshed og ikke boligmarkedets udvikling80.
Teoretisk set kan det derfor afvises at efterspørgselsstød, selv implicit, har en effekt på de
langsigtede boligpriser.
7.4.3
Data og metode
Data er samlet fra forskellige kilder tilbage til 1938 og er derudover specificeret det danske
husmarked. Derfor kan konklusionerne dels være påvirket af eventuelle fejl i datasættet, eller
det danske husmarked være en outlier som ikke er udtryk for den gennerelle sammenhæng på
boligmarkedet. Begge disse problemer synes dog afvist, da den samme teoretiske sammenhæng accepteres på boligmarkedet i USA, Norge, Holland og Irland81.
Et andet problem kan dog være at DOLS metoden er anvendt til analysen af alle disse markeder, hvilket betyder at resultaterne ikke nødvendigvis er robuste over for ændringer i den økonometriske modellering. Selvom der er et stabilt teoretisk grundlag for valget af DOLS metoden og ingen grund til at tro at den skulle give de forkerte resultater så kan en fremtidig robusthedstest prøve at teste empirien med en CVAR analyse og sammenligne dens resultater
79
(Madsen, 2011, s. 11)
(Madsen, 2011, s. 11)
81
(Madsen, 2011, s. 17)
80
75
med resultaterne fra DOLS. Umiddelbart viste gennemgangen i Makroøkonometrisk metodologi dog at DOLS teoretisk set burde være den bedste metode til estimationen og CVAR analysen blev derfor ikke valgt i denne opgave.
7.4.4
Andre modbeviser resultatet
Det empiriske afsnit konkluderer at boligpriserne på lang sigt udelukkende er bestemt af udbuddet og at udbudskurven dermed er flad på lang sigt. Dette resultat modstrides dog af mange tidligere resultater, der bl.a. beviser at udbudskurven er skrå.
For at tage udgangspunkt i et specifikt studie så afviser (Pedersen, 2007) fx at udbudskurven
skulle være flad og accepterer den forbrugerdrevne boligmarkedsmodel med skrå udbudskurve. Ligesom mange andre tidligere artikler82 har modellen dog ikke inkluderet grundomkostningerne i Tobin’s q tilgangen, grundet mangel på data, selvom omkostningerne teoretisk set
burde indgå. Derudover konkluderer den udbudsdrevne boligmarkedsmodel, som noget nyt, at
også moms og stempelafgifter bør indgå, hvilket der heller ikke er taget højde for i tidligere
studier. Tidligere modeller har altså ikke haft det rigtige datasæt til at teste om udbudskurven
var flad og derfor konkluderes det at tidligere analysers modstridende resultater primært skyldes datamangel. Det empiriske bevis for denne antagelse vil overlades til fremtidige studier.
En del understøttelse kan dog findes i at både landpriserne og momsen blev fundet meget signifikante i DOLS analysen, hvilket tyder på at de ikke kan undværes i en analyse af boligmarkedet.
Overordnet set synes de største faldgruber i det økonometriske afsnit således redegjort for og
det kan derfor konkluderes at de empiriske resultater er korrekte. Denne konklusion har en
række implikationer for den danske økonomi, som gennemgås i næste afsnit.
8
Makroøkonomiske implikationer
På baggrund af den teoretiske og empiriske analyse kan det konkluderes at den udbudsdrevne
boligmarkedsmodel med flad udbudskurve er den korrekte skildring af det danske boligmarked. Dette medfører primært 3 afgørende makroøkonomiske implikationer:

Forskellige landes husprisudvikling vil til dels følge hinanden over tid, grundet husprisernes afhængighed af internationale landbrugspriser.
82
Se (Poterba, 1984), eller (Madsen, 2011, s. 2) for henvisning til andre artikler.
76

Udbuddet er perfekt elastisk på lang sigt, hvilket betyder at modeller som fx DREAM
og (Poterba, 1984) bør genoverveje deres grundlæggende antagelser.

Boligpriserne svinger omkring den samme reale pris i fraværet af udbudsstød, hvor
den reale pris er givet af de reale land- og byggeomkostninger samt moms og stempelafgifter.
8.1
Boligprisernes korrelation internationalt
Opgavens empiriafsnit argumenterer for at grundomkostninger er svære at finde data på og
anvender derfor priserne på landbrugsjord som proxy. Denne variabel viste sig både at være
god som proxy, grundet dens høje korrelation med grundomkostningerne, og den viste sig at
være yderst signifikant som forklarende variabel for boligpriserne. Da priserne på landbrugsjord er bestemt af den internationale pris på landbrugsprodukter pr. hektar83 betyder det derfor
at den internationale prisfastsættelse af landbrugsprodukter har en implicit effekt på nationale
boligpriser igennem priserne på landbrugsjorden. Dermed vil forskelige landes boligprisudvikling til dels følge hinanden på lang sigt, grundet husprisernes afhængighed af de internationale landbrugspriser. Denne konklusion, som er relativt uklarlagt i tidligere litteratur, kan
forklare hvorfor risikoen forbundet med internationalt diversificerede investeringer i boliger
generelt blev undervurderet inden subprise krisen i 2007. Mens den idiosynkratiske risiko for
boligprisfald på de lokale markeder blev indregnet er der noget der tyder på at sandsynligheden for et samlet prisfald på alle boligmarkeder blev undervurderet fordi der ikke blev taget
hensyn til at boligpriserne er korreleret på tværs af grænser. Dette underbygges af (Madsen,
2001), som viser at landbrugspriserne var en af de afgørende faktorer bag den internationale
udspredelse af ”The Great Depression”.
8.2
Perfekt elastisk udbud
Den anden implikation er at udbuddet er perfekt elastisk på lang sigt, hvilket tyder på at regler
omkring bygningers højde, hvilke områder der må bebygges og andre byplanlægningslove
ikke på længere sigt er bindende, da den flade udbudskurve viser at enhver efterspørgsel på
lang sigt bliver mødt af udbuddet. Dette betyder også at Ricardo’s antagelse om at land er en
knap faktor på lang sigt enten er forkert eller alternativt ikke er blevet bindende endnu og måske aldrig bliver det. Uanset hvad, medfører det at modeller som DREAM og (Poterba, 1984)
bør genovervej deres grundlæggende antagelse om et mindre end perfekt elastisk udbud og
83
(Madsen J. B., 2011, s. 20)
77
undersøge konsekvenserne af denne antagelse. Nedenfor vises en konsekvensberegning af
effekten af en permanent stigning i ejendomsværdiskatten på 0.5 pct.point foretaget i hhv.
DREAM og ADAM.
Figur 16: Konsekvensberegning i ADAM og DREAM
Kilde: (Jacobsen & Fosse, 2012, s. 18)
Figuren viser konsekvensen af stød i en model der antager perfekt elastisk udbud på lang sigt
(ADAM) og en model der ikke antager perfekt elastisk udbud på lang sigt (DREAM). Som
det ses er konsekvensen af forskellige grundlæggende antagelser at modellerne forudsiger vidt
forskellige boligprisforløb, især på lang sigt. Med antagelsen om at udbuddet ikke er perfekt
elastisk vil resultatet, som også er tilfældet i figuren, ofte være at modellen undervurderer de
langsigtede tilpasningsprocesser i både prisen og mængden og dermed når frem til forkerte
resultater både i konsekvensberegninger og prognoser.
8.3
Udbudsbestemt boligpris
Den sidste implikation er at boligpriserne, i fravær af udbudsstød, svinger omkring det samme
reale prisniveau over tid. Dette betyder at konklusioner om at boligpriserne stiger realt over
tid ikke er gyldige med mindre man samtidig forudsætter en lind strøm af negative udbudsstød over tid. Dette kan godt vise sig at være sandt i takt med at både moms og stempelafgifter er steget over tid som følge af politiske tiltag. Derudover er land- og byggeomkostninger
steget realt over tid, hvilket for landprisernes vedkommende kan skyldes at et stigende krav til
78
landbrugsprodukternes kvalitet har medført at de er blevet dyrere at producere. Dette medfører at deres pris er steget, hvilket øger afkastet for en hektar landbrugsjord og dermed øger
prisen på landbrugsjord. Ligeledes kan et stigende krav til boligens kvalitet have medført at
der anvendes dyrere arbejdskraft og dyrere materialer, hvilket alt andet lige øger de reale boligomkostninger. Alle variable i udbudsrelationen viser altså tegn på et negativt stød, hvilket
kan have medført at de reale boligpriser er steget realt over tid. Den generelle konklusion vil
dog stadig være at i fraværet af flere udbudsstød så vil de reale boligprisers langsigtede niveau være konstant. Dette betyder at man kan sammenligne boligpriserne med nuværende
moms, stempelafgifter, land- og byggeomkostninger for at vurdere om boligpriserne er på,
over eller under ligevægtsniveauet. Til dette formål opstilles nedenstående figur som viser
sammenhængen mellem den udbudsdrevne boligmarkedsmodel og de reale boligprisstigninger:
Figur 17: Model og virkelighed
Kilde: Egne beregninger
Her er den reale pris udtryk for den årlige ændring i det reale husprisindeks, mens residualen
er udtryk for modellens estimat på baggrund af de forklarende variabel minus den sande reale
huspris. En høj residual betyder således at den reale boligpris er for lav i forhold til den langsigtede reale ligevægtspris.
Figuren tyder på at der er en omvendt korrelation således at høje reale boligprisstigninger
typisk findes overvurderet af modellen. Dette skyldes at modellen forudsiger den langsigtede
ligevægtspris og ikke prøver at ramme de kortsigtede udsving i priserne. Derfor vil et positivt
79
efterspørgselsstød føre til en real prisstigning, men da de langsigtede priser ikke påvirkes af
efterspørgselsstød vil denne reale prisstigning ifølge modellen være over det langsigtede ligevægtsniveau. Omvendt vil der i tilfælde af udbudsstød være en positiv korrelation imellem
den reale ændring i boligpriserne og modellens residual, da et positivt udbudsstød fører til et
fald i boligpriserne efterfulgt af yderligere fald, hvilket betyder at det initiale fald i priserne
stadig er for lavt i forhold til ligevægtsniveauet. Figurens udvikling sammen med den relativt
lave varians i residualen tyder altså på at modellen stemmer godt overens med den langsigtede
virkelighed og figuren kan således anvendes til at vurdere nuværende boligpriser i forhold til
det langsigtede ligevægtsniveau. Her ses det fx at seneste opsvings reale boligpriser stort set
var i overensstemmelse med at man indtil år 2004 lå under det langsigtede ligevægtsniveau.
Stigningen i de reale boligpriser fra 2005-2007 synes derimod at være udtryk for at efterspørgselsstød havde bragt de reale priser over ligevægtsprisen, hvilket nødvendigvis måtte
efterfølges af de enorme boligprisfald som Danmark oplevede fra 2008. Modellen synes altså
at være et godt værktøj til en vurdering af om de nuværende boligpriser er på, over eller under
det langsigtede ligevægtsniveau, og kan dermed anvendes til at forudsige fremtidige boligprisfald.
80
9
Konklusion
Denne opgave har givet teoretisk og empirisk belæg for at det danske boligmarked bør analyseres ud fra den udbudsdrevne boligmarkedsmodel med flad udbudskurve. Modellen viser at
efterspørgselsstød til boligmarkedet kun vil have en midlertidig effekt på de reale boligpriser,
mens boligmassen tilpasser sig. Politiske efterspørgselsstød til boligmarkedet skal derfor analyseres ud fra deres kortsigtede effekt på boligpriserne og deres langsigtede effekt på boligmassen. Ønskes der derimod en permanent ændring i den reale boligpris viser modellen at
stød til udbuddet kan anvendes til dette formål, hvor det især er land- og byggeomkostningerne der har en effekt, men også i mindre grad moms og stempelafgifter. Her viser modellen at
et positivt efterspørgselsstød fører til en straks-stigning i priserne efterfulgt af et fald i priserne tilbage til det oprindelige niveau i takt med at udbuddet stiger, mens et positivt udbudsstød
fører til et straks-fald i priserne efterfulgt af et fald i priserne i takt med at boligudbuddet stiger. Modellen skildrer således det danske boligmarkeds udformning, reaktion på stød og vej
tilbage til ligevægt, for at give den fulde forståelse af det danske boligmarked og dermed opfylde denne opgaves formål.
Derudover bidrager opgavens konklusioner med 3 makroøkonomiske implikationer som kan
anvendes i fremtidens analyser af boligmarkedet. Den første implikation er at forskellige landes boligprisudvikling til dels vil følge hinanden på lang sigt, grundet husprisernes afhængighed af de internationale landbrugspriser. Den anden er at udbuddet er perfekt elastisk på lang
sigt, hvilket betyder at modeller som DREAM og (Poterba, 1984) bør genoverveje deres
grundlæggende antagelse om et mindre end perfekt elastisk udbud og undersøge konsekvenserne af denne antagelse. Den sidste implikation er at boligpriserne, i fravær af udbudsstød,
svinger omkring det samme reale prisniveau over tid. Dette betyder at konklusioner om at
boligpriserne stiger realt over tid ikke er gyldige med mindre man samtidig forudsætter en
lind strøm af negative udbudsstød over tid. Derudover betyder konklusionen at man kan anvende nuværende moms, stempelafgifter, land- og byggeomkostninger til at vurdere om boligmarkedet er i, over eller under ligevægtsniveauet.
81
10
Litteraturliste
Lovtidende for Kongeriget Danmark for Aaret 1922 Afdeling A I. (1922). J.H. Schultz A/S.
Tinglysningsafgiftsloven. (2006).
https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=17127.
Case, & Shiller. (1989). The efficiency of the market for single-family homes . The American
Economic Review.
Eberly, Rebelo, & Vincent. (2009). Investment and value: A neoclassical benchmark.
Unpublished paper, Se Romer(2012) s.663.
Engle, & Granger. (1987). Cointegration and error correction: representation, estimation, and
testing. Econometrica, s. 251-276.
Foley, & Sidrauski. (1971). Monetary and fiscal policy in a growing economy.
Groth, C. (2011). Fixed capital investment and Tobins q. Lecture notes in advanced
macroeconomics 2.
Hansen, F., & Olesen, M. N. (1999). Lineær algebra.
Hardie, Narayan, & Gardner. (2001). The Joint Influence of Agricultural and Nonfarm
Factors on Real Estate Values: An Application to the Mid-Atlantic Region . American
Journal of Agricultural Economics 83 (1).
Hayashi, F. (1982). Tobin's marginal q and average q: A neoclassical interpretation.
Econometrica.
Jacobsen, & Fosse. (2012). Effekt på boligmarkedet af politiske, strukturelle reformer af
dansk økonomi. Uddrag af hovedkonklusioner.
Juselius, K. (2006). The Cointegrated VAR Model- methodology and applications. Advanced
texts in econometrics.
Klitgaard, T. (1999). Exchange Rates and Profit Margins: The Case of Japanese Exporters.
Economic Policy Review.
Laursen, Madsen, & Lunde. (2010). De længste boligprisindeks internationalt. Økonomi &
Politik.
Lernø, F., Stokholm, J., & Kessler, J. (1988). Stempel Loven med kommentarer. Tillæg.
G.E.C Gad.
Lunde. (1998). Boligudgifter og user costs. Boligøkonomi og finansiering- pensum bog i
boligøkonomi ved Jens Lunde på CBS.
Madsen. (2001). Agrucultural Crises and the international transmission of the Great
Depression. Journal of Economic History, s. 327-365.
Madsen, J. B. (2011). A q model of house prices.
82
Miles. (1994). Housing, financial markets and the wider economy.
Moody, C. (2009). Basic Econometrics with Stata.
Muelbauer. (2007). Housing, credit and consumer expenditure. Federal Reserve Bank of
Kansas City.
Muth. (1960). The demand for non-farm housing. The demand for durable goods.
Nielsen, & Pedersen. (2007). Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbudsog priselasticitet på det københavnske boligmarked- Ved estimering af user-cost,
autoregressive efficiensmodeller samt dynamiske elasticitetsmodeller. Speciale på
Cand. Merc studiet, Handelshøjskolen på Aarhus Universitet.
OECD. (2006). OECD Economic Surveys Denmark. OECD Publishing.
Økonomi_&_Erhvervsministeriet. (2010). Boligmarkedet og boligejernes økonomi.
Økonomisk Tema.
PA_Consulting_Group. (2009). Analyse af prognoser over boligprisernes udvikling.
www.bvc.dk.
Pedersen, H. R. (2007). Teoretisk og empirisk prisdannelse på boligmarkedet for ejerboliger.
Kandidatspeciale ved Økonomisk Institut på Københavns Universitet.
Poterba. (1984). Tax subsidies to owner occupied housing: An asset-market approach. The
Quarterly Journal of Economics.
Romer, D. (2012). Advanced macroeconomics. McGraw-Hill.
Stock, J., & Watson, M. (1993). A Simple Estimator of Cointegrating Vectors in Higher
Order Integrated Systems. Econometrica, s. 783-820.
Sydsæter, K. (2002). Matematisk analyse. Bind 2.
Tobin, J. (1969). A general equilibrium approach to monetary theory. Journal of Money,
Credit and Banking.
Topsøe-Jensen. (1961). Lovtidende for Kongeriget Danmark afdeling A. J.H. Schultz A/S.
Topsøe-Jensen. (1964). Dansk Lovregister. G.E.C. Gads Forlag.
Verbeek, M. (2008). A guide to Modern Econometrics. Third edition.
Wagner. (2004). En kointegrationsanalyse af det danske boligmarked. Speciale ved
Økonomisk Institut, Københavns Universitet.
Wooldridge. (2009). Introductory Econometrics- A modern approach. Fourth Edition.
83
11
Bilag A: Udviklingen på det danske boligmarked
11.1
Dansk boligmarked i tal
Teorierne om det danske boligmarked resulterer i en række fourdsigelser om forholdet
mellem de reale boligpriser og boligudbuddet.
Derfor illustreres det her hvordan de reale boligpriser og udbuddet har udviklet sig over tid i
Danmark. På den måde kan teorierne om boligmarkedet holdes op imod hvordan
boligmarkedet rent faktisk har udviklet sig.
Den første graf illustrerer udviklingen i den reale boligpris defineret som den nominelle
boligpris deflateret med forbrugerprisindekset.
Figur 18: Huspriser deflateret med forbrugerprisindekset
Kilde: Egne beregninger
Figuren viser en tydelig stigning i de reale priser over tid. Boligpriserne synes desuden at være cyklisk, hvilket følgende figur illustrerer:
Figur 19: Årlig ændrig i det reale boligprisindeks
Kilde: Egne beregninger
84
Denne tilsyneladende cykliske sammenhæng tyder på at boligpriserne autokorrelerer over tid.
De reale prisstigninger kan dog have 2 alternative forklaringer: enten kan boligpriserne være
deflateret med det forkerte prisindeks eller også kan stigning være udtryk for at boligmassen
er af øget kvalitet.
Følgende vises den reale boligprisudvikling hvis kvaliteten holdes konstant og den reale boligprisstigning deflateret med ”replacement costs” estimeret som
og normaliseret
til at have et gennemsnit på 1. Data vises for både USA og Danmark.
Tabel 15: Real boligprisudvikling ved hhv. konstant kvalitet og med ”replacement costs”
som deflator
Konstant kvalitets, realt boligprisindeks
Kilde: (Laursen, Madsen, & Lunde, 2010, s. 10)
Deflateret med ”replacement costs”
Kilde: Egne beregninger
Kilde: (Madsen J. B., 2011, s. 22)
Kilde: (Laursen, Madsen, & Lunde, 2010, s. 11)
Graferne viser at både hvis man udfærdiger et realt boligprisindeks med konstant kvalitet eller
hvis man deflaterer med ”replacement costs” i stedet for forbrugerprisindekset, så vil resulta85
tet i både USA og Danmark være at man ikke kan forkaste hypotesen om at de reale boligpriser er faste over tid.
Denne konklusion står dermed i kontrast til konklusionen fra Figur 18.
Det er dermed svært at vurdere om de reale boligpriser er steget over tid eller om de er faste.
Lettere er det at konkludere på det aggregerede boligudbud som vises i følgende figur:
Figur 20: Udviklingen i den danske boligmasse
Kilde: (OECD, 2006, s. 130)
Figuren viser at boligudbuddet pr. capita er stigende over tid, hvilket stemmer godt overens
med intuitionen.
Dansk empiri konkluderer altså at udbuddet er steget over tid, mens det er svært at konkludere
om den reale pris er steget eller er konstant.
86
11.2
ADAM vs. DREAM
Følgende gives resultater fra Centre for Economic and Business Research (CEBR) om hvordan de mest anvendte makroøkonomiske modeller ADAM og DREAM giver vidt forskellige
bud på boligprisudviklingen pga. deres antagelse om boligudbuddet84. Dette er altså et nutidigt eksempel på den store rolle den grundlæggende antagelse om boligudbuddet spiller:
Figur 21: Adam vs. DREAM konsekvensberegning
Kilde: (Jacobsen & Fosse, 2012, s. 18)
Figuren viser boligprisens udvikling efter et stød til ejendomsværdiskatten. En stigning i
ejendomsværdiskatten vil i både den forbrugerdrevne og den udbudsdrevne model fungere
som et negativt efterspørgselsstød som ifølge dynamikken i de 2 teorier medfører et fald i
prisen da udbuddet ligger fast. På længere sigt teoretiserer den forbrugerdrevne model at udbuddet falder og prisen stiger, dog ikke helt op til prisniveauet før stødet. Den nye ligevægt er
altså med en lavere pris og et lavere udbud. I modsætning hertil teoretiserer den udbudsdrevne
model at på længere sigt så vil udbuddet falde indtil prisen er tilbage på sit oprindelige niveau
og efterspørgselsstødet har således kun midlertidig effekt på prisen. Som diskuteret bunder
disse forskelle primært i antagelsen om udbuddets elasticitet.
I Figur 21 tydeliggøres det at der ikke kun er tale om teoretiske forskelle, men at denne antagelse har store konsekvenser for konsekvensberegninger af dansk økonomi, hvilket har konsekvenser for dansk politik og samfundsøkonomien.
84
(Jacobsen & Fosse, 2012, s. 17-18)
87
12
Bilag B: Baggrund for det teoretiske afsnit
12.1
Cramersk regel for differentialligninger
Antag at et boligmarkedets ligevægt kan opskrives som følgende 2 ligninger:
(12-1)
(12-2)
Hvor
dogene
og
er de endogene variable og
og
af de eksogene
og
og
er de eksogene variable. Her afhænger de en-
således at:
(12-3)
(12-4)
Først udregnes de differentierede:
(12-5)
(12-6)
(12-7)
(12-8)
Ved at indsætte værdien for
og
i
og
kan ligningerne (12-5) og (12-6) omskrives
til følgende:
(
)
(
)
(12-9)
(
)
(
)
(12-10)
88
Siden
og
begge er eksogent givet må koefficienterne på deres differentierede,
og
,
være 0 og ligning (12-9)-(12-10) kan omskrives til følgende 4 betingelser:
(12-11)
(12-12)
(12-13)
(12-14)
Dette svarer til et lineært ligningssystem med 4 ligninger. Givet at determinanten er forskellig
fra 0 kan Cramers formel anvendes til at løse ligningssystemet.
Løsningen til fx
er givet ved Cramers formel85:
|
|
(12-15)
|
Ligeledes kan løsningerne til
85
,
og
|
udregnes.
(Hansen & Olesen, 1999, s. 215), http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer's_rule
89
13
Bilag C: Baggrund for det empiriske afsnit
13.1
Variable i datasættet
Variable er tidsseriedata fra 1938-2007. Alle variable er taget i den naturlige logaritme for at
omforme den teoretiske model til en testbar empirisk model.
13.1.1
Boligpriser, lph
Boligpriser henviser til markedsprisen der betales for et en-families hus, dvs. prisen for boligen samt tilhørende grund. Data fra 1938-2007 er opgjort i et boligprisindeks med år
1995=100. Priserne er deflateret med forbrugerprisindekset for at få den reale boligprisudvikling. Derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere den testbare variabel, lph.
Priserne er ikke kvalitetskorrigeret.
13.1.2
Grundomkostninger, lpland
Data for markedsprisen på byggegrunde er som regel misvisende som prisindeks fordi det
årlige antal byggegrunde solgt er så lavt at det vil være meget påvirket af outliers i form af
geografi, størrelse osv. For at opnå et korrekt prisindeks for grundomkostningerne er det derfor nødvendigt at introducere en proxy variabel i form af priserne på landbrugsjord. Prisen på
landbrugsjord bestemmes som funktion af det afkast afgrøderne giver og da afgrøderne prisfastsættes på det internationale marked betyder det at prisen på landbrugsjord bestemmes internationalt.
Det er let at se hvorfor priserne på landbrugsjord og byggegrunde er tæt korreleret i udkanten
af byen hvor grundene ligger lige op ad hinanden. Hvis byggegrunde var meget dyrere end
landbrugsjord og omkostningen til at omforme landbrugsjord til en byggegrund så ville efterspørgslen efter landbrugsjord stige indtil prisen for landbrugsjord og udvikling svarede til
prisen på en byggegrund. Inde i centrum er det dog sværere at se hvorfor priserne på landbrugsjord skulle have en effekt på prisen på byggegrunde, da det ikke på samme måde er muligt at substituere over til en landbrugsgrund hvis man synes at prisen på byggegrunden er for
høj. Grunden til at priserne på landbrugsjord alligevel er korreleret med byggegrunden i centrum er at hvis prisen på landbrugsjord falder, så falder prisen på byggegrunde i udkanten af
byen, hvilket betyder at priserne på byggegrunde lidt længere ind mod centrum falder, hvilket
til sidst betyder at også priserne på byggegrunde i centrum falder. På den måde vil priserne på
landbrugsjord teoretisk set være korreleret med priserne på byggegrunde og dermed fungere
som proxy variabel. Empirisk er den danske korrelation mellem den naturlige logaritme til
90
priserne på landbrugsjord og den naturlige logaritme til priserne på byggegrunde beregnet til
at være 0.6786, hvilket betyder at når priserne på landbrugsjord stiger 1% så stiger priserne på
byggegrunde 0.67%. Både teoretisk og empirisk synes priserne på landbrugsjord således at
være en god proxy for priserne på byggegrunde og prisen på landbrugsjord anvendes derfor
som forklarende variabel. Priserne er samlet fra 1938-2007 og er indekseret med år
1995=100. De deflateres med forbrugerprisindekset for at få de reale landomkostninger og
derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere den testbare variabel,
lpland.
13.1.3
Byggeomkostninger, lbomk
Byggeomkostningsindekset, som er et vægtet indeks af løn og materialer, anvendes som forklarende variabel for hvad det koster at bygge et hus. Indekset er samlet fra 1938-2007 og er
sat med år 1995=100. De deflateres med forbrugerprisindekset for at få den reale byggeomkostningsudvikling og derefter tages den naturlige logaritme til dette indeks for at definere
den testbare variabel, lbomk.
13.1.4
Renten, li
Den korte rente taget med nominelt for at tage højde for finansieringsomkostningerne udbyderen har mens han bygger huset. Den nominelle rente anvendes frem for den reale rente fordi
den nominelle rente er den reelle udgift udbyderen har til at bygge huset. Renten er opgjort fra
1938-2007 og er defineret som l
, hvor er kort nominel rente i procent divideret med
100. Variablen kaldes li.
13.1.5
Moms, lt
Moms (tidligere oms) betales som en fast procentdel af prisen på grunde og byggeomkostningerne, såvel løn som materialer. Den er defineret som l
, hvor
er moms i procent
divideret med 100. Data er samlet fra 1938-2007 og variablen kaldes lt.
13.1.6
Stempelafgifter, lu
Stempelafgifter er en afgift på det dokument der skal udfærdiges når fast ejendom overdrages
til eje og beregnes som en fast procentdel af ejendommens pris. Denne tidsserie er aldrig før
blevet anvendt i en empirisk analyse grundet dens begrænsede tilgængelighed og det er derfor
86
(Madsen, 2011, s. 7)
91
spændende om denne variabel vil ændre tidligere analysers konklusioner. Data er indsamlet
fra 1938-2007 og er defineret som l
, hvor
er stempelafgift i procent divideret med
100. Variablen kaldes lu.
13.1.7
Kilder
Huspriser, landpriser, byggeomkostninger, den korte rente, moms og inflation er fra (Madsen
J. B., 2011, s. 24).
Stempelafgifter er fra (Lovtidende for Kongeriget Danmark for Aaret 1922 Afdeling A I.,
1922, s. 251), (Topsøe-Jensen, Lovtidende for Kongeriget Danmark afdeling A, 1961, s. 799),
(Topsøe-Jensen, Dansk Lovregister, 1964, s. 125), (Lernø, Stokholm, & Kessler, 1988, s. 11),
(Tinglysningsafgiftsloven, 2006).
92
13.2
Gauss-Markovs CLM antagelser
CLM antagelserne er ikke gennemgået uddybende, men opstillet som opslagsværk. For den
detaljeret gennemgang henvises der til (Wooldridge, 2009).
13.2.1
CLM TS.1-TS.687
TS.1
Lineære parametre
TS.2
Ingen perfekt ko-linearitet mellem de forklarende variable
TS.3
Streng eksogenitet: Forventet værdi af fejlled givet forklarende variable i alle periode er 0
|
TS.4
Homoskedasticitet i fejlled
|
TS.5
Ingen autokorrelation i fejlled
|
TS.6
Normalitet i fejlled
Under TS.1-3 er OLS unbiased, under TS.1-5 er OLS BLUE og under TS.1-6 kan fejlled, tog F-tests anvendes.
87
Fra (Wooldridge, 2009, s. 345-351)
93
13.2.2
CLM TS.1’-TS.5’88
TS.1’
Lineære parametre og weak dependence
TS.2’
Ingen perfekt ko-linearitet mellem de forklarende variable
TS.3’
Svag eksogenitet: Forventet værdi af fejlled i periode t givet forklarende variable i
periode t er 0
|
TS.4’
Homoskedasticitet i fejlled
|
TS.5’
Ingen autokorrelation i fejlled
|
Under TS.1’-3’ er OLS konsistent og under TS.1’-5’ kan fejlled, t- og F-tests anvendes.
88
Fra (Wooldridge, 2009, s. 382-385)
94
13.3
Test for om DOLS er korrekt specificeret
Tabel 16: Test for korrekt specifikation
Hvor re er fejlleddet
. t-testen viser umiddelbart at fejlleddet ikke er korreleret med de for-
klarende variable. Dette underbygges af en F test, hvor nulhypotesen om at estimatorene på
fremtidige og fortidige differenser af de forklarende variable er lig med 0, ret tydeligt ikke
kan afvises.
95
Tabel 17: F-test for om leads og lags kan undværes
Det kan dermed konkluderes at fejlleddet
er ukorreleret med fortidige og fremtidige værdi-
er af de forklarende variable.
Næste punkt er om
er I(0).
Ved en AIC test for lag længde efterfulgt af en ADF test for unit root, afvises nulhypotesen
om unit root i fejlleddet
på 1% signigikansniveau, hvilket betyder at
er I(0).
Tabel 18: Test for laglængde og unit root i fejlled
Test for lag længde og unit root,
Lags
AIC
ADF
2
-3.119
3
*-3.293
-5.507
4
-3.269
-4.590
Note: *viser testens foreslåede laglængde
Da det igen er et fejlled der skal testes virker de DF beregnede kritiske værdier ikke og testen
udføres med et 1% signifikansniveau med 6 variable (inklusiv
) på -4.96 og et 5% signi-
fikansniveau på -4,4289.
Det kan således konkluderes på 1% signifikansniveau at fejlledet er drevet af en I(0) proces.
89
(Verbeek, 2008, s. 330)
96
13.4
Hypotesetest for langsigtet 1-til-1 forhold mellem boligpriserne og de forklarende variable90
En t-test for
udformes som:
̂
(13-1)
̂
Ligeledes kan
testes ved at udforme:
̂
̂
̂
̂
Det er fristenden at tro at
̂
(̂
korrekte udregning er i stedet:
(13-2)
̂
̂
=
̂ )
̂ , men dette er ikke korrekt. Den
(̂ )
(̂ )
̂
̂ .
Testen der her ønskes udregnet er:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
(13-3)
̂
Hvilket svarer til nulhypotesen:
(13-4)
I virkeligheden er det følgende nulhypotese der ønskes testet,
(13-5)
men det viser sig at udgangspunktet i ligning (13-4) er fordelagtigt.
Tælleren fra ligning (13-3) kan let findes ved at se på DOLS resultatet fra Tabel 14, mens
̂
90
̂
̂
̂
̂
er sværere at udregne, da
(̂
̂ )
(̂ )
̂ .
Se testen i (Wooldridge, 2009, s. 140, 642)
97
Tricket er derfor at definere en ny variabel:
(13-6)
Hvis fejlled i en regressionsanalyse er lig med
̂
̂
̂
̂
̂
Hypotesetesten bliver således:
(13-7)
For at teste denne omskrives ligning (13-6) til:
(13-8)
Hvilket indsættes i den korrekt specificerede DOLS ligning:
(13-9)
Hvor:
[
l
(
)
l
] (13-10)
Dette giver følgende empiriske DOLS ligning:
(13-11)
Hvor
ikke er skrevet ud med de navngivne variable.
Dette omskrives til:
(13-12)
Ved oprettelsen af nye variable:
a=lbomk-lpland, b=li-lpland, c=lt-lpland og d=lu-lpland
omskrives ligning (13-12) til:
(13-13)
Ved at køre denne DOLS regression fås følgende resultater:
98
Tabel 19: Udregning af samlet standard afvigelse
Den vigtige parameter er HAC standardfejlen på lpland, som er ensbetydende med HAC standardfejlen på .
Det vil sige at
(̂
̂
̂
̂
̂ )
Dette indsættes så i ligning (13-3) sammen med DOLS resultatet fra Tabel 14, således at t
værdien kan beregnes til:
(13-14)
t-testens kritiske værdi udregnes ud fra antal frihedsgrader som er lig med antal observationer-antal parametre-1=67-11-1=55. Nulhypotesen om at parametrene er lig med 0 kan altså
afvises på to-sidet 1% signifikansniveau der har en kritisk værdi på: t=2.66. Dette betyder at
det kan afvises at de forklarende variables effekt på boligpriserne er 0.
For at teste om det langsigtede forhold er 1-til-1 kan testen for
omformes til testen for
ved at trække 1 fra i tælleren i t-testen. Således fås testen for 1-til-1 forholdet som:
(13-15)
Den tosidede kritiske værdi på 10 % signifikansniveau er 1.672.
99
Det ses således at det langt fra kan afvises at der eksisterer et langsigtet 1-til-1 forhold mellem
boligpriserne og de forklarende variable.
100