Ingenieur- Mathematik Moderne Rechenhilfsmittel

Transcription

Timischl
Kaiser
IngenieurMathematik
1
Moderne
Rechenhilfsmittel
Inhaltsverzeichnis
Tabellenkalkulation – Microsoft Excel
1
TI 82 STATS
8
CAS-Rechner Voyage 200
17
TI-Nspire CAS
Grundlagen
Kapitel 4: Elementare Geometrie
Umkreismittelpunkt (interaktiv)
Höhenschnittpunkt (interaktiv)
Schwerpunkt (interaktiv)
Inkreismittelpunkt (interaktiv)
Kapitel 5: Funktionen
Beispiel 5.3: Empirische Funktion (interaktiv)
Geometrische Bedeutung von k und d (interaktiv)
Beispiel 5.22: Lineare Kostenfunktion (interaktiv)
Beispiel 5.24: Stückweise lineare Funktion (interaktiv)
Beispiel 5.25: Sückweise lineare Weg-Zeit-Funktion (interaktiv)
Beispiel 5.26: Zugversuch (interaktiv)
Kapitel 6: Lineare Gleichungen und Ungleichungen
Beispiel 6.3: Äquivalenzumformungen 1 (interaktiv)
Beispiel 6.4: Äquivalenzumformungen 2 (interaktiv)
Beispiel 6.8: Betragsgleichung (interaktiv)
Kapitel 7: Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 7.16: Auflagerkräfte bei einem Stützlager (interaktiv)
Beispiel 7.17: Gleichstromnetz (interaktiv)
Aufgabe 7.29: Schwerpunkt (interaktiv)
Kapitel 8: Vektorrechnung
Beispiel 8.9: Resultierende eines ebenen Kräftesystems (interaktiv)
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MathCad
Kapitel 5: Funktionen
Beispiel 5.3: Empirische Funktion (interaktiv)
Grafische Untersuchung einer linearen Funktion y = k · x + d (interaktiv)
Beispiel 5.22: Lineare Kostenfunktion (interaktiv)
Beispiel 5.24: Stückweise lineare Funktion (interaktiv)
Beispiel 5.25: Stückweise lineare Weg-Zeit-Funktion (interaktiv)
Beispiel 5.26: Zugversuch (interaktiv)
Kapitel 7: Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 7.29 (interaktiv)
Beispiel 7.16: Auflagekräfte bei einem Stützträger (interaktiv)
Beispiel 7.17: Gleichstromnetz (interaktiv)
Kapitel 8: Vektorrechung
Beispiel 8.9: Resultierende eines ebenen Kraftsystems (interaktiv)
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Quellenverzeichnis
Screenshots: Nachdruck der Screenshots mit freundlicher Genehmigung von
Texas Instruments, PTC und der Microsoft Corporation
Hinweise zur Verbesserung erbeten an:
[email protected] oder [email protected]
Tabellenkalkulation / Ingenieur-Mathematik 1, neu / Verlag E. DORNER
Seite 1
Tabellenkalkulation
zu Timischl/Kaiser, Ingenieur - Mathematik 1, neu, Verlag E. DORNER, Wien
Nachfolgend Anwendungen einer Tabellenkalkulation an Hand von Microsoft Excel zu
Beispielen der „Ingenieur-Mathematik 1, neu“.
Beispiel 2.24, Seite 41: Summe und arithmetisches Mittel von Zahlen
Die Funktionen SUMME() und MITTELWERT() können auch durch Anklicken der
Schaltfläche für Funktion einfügen,
SUMME() auch durch Anklicken des
Symbols
in der Symbolleiste,
eingegeben werden.
Beispiel 5.29, Seite 214: Harmonisches Mittel
Aufruf auch über die Schaltfläche Funktion
einfügen
Wurzeln
Berechnung einer dritten Wurzel als Potenz:
Das Zeichen ^ erscheint erst nach Eintippen des
nächsten Zeichens.
Seite 2
Dualzahlen
Für die Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen und umgekehrt ist es nötig, dass die
„Analyse-Funktionen“ installiert sind. Man
erkennt dies, wenn sie im Menü Extras als
Menüpunkt aufscheinen. Ist das nicht der Fall,
so wählt man im Menü Extras die Option Add
Ins... . In der dadurch aktivierten Dialogbox
wird Analyse-Funktionen angehakt und mit
OK bestätigt. Damit wird die Installation
dieser Komponente eingeleitet. Ist sie erfolgreich, scheint die Option Analyse-Funktionen
im Menü Extras auf.
Für die Umwandlung von einem Zahlensystem in ein anderes gibt es in Excel zahlreiche Einschränkungen. Näheres dazu und auch zu den Umwandlungsfunktionen für die Hexadezimalzahlen in der Excel-Hilfe.
Beispiel 2.56 a), Seite 77
Beispiel 2.57, Seite 78
Beispiel 5.4, Seite 177: Erstellen eines Funktionsgraphen
Seite 3
Vorgangsweise:
1. Wir beginnen mit dem Aufstellen einer Wertetabelle für die Funktion. Dazu schreibt man
etwa in die Zelle A4 den Wert –3 und in die Zelle A5 den Wert –2,8 ein (Schrittweite 0,2).
Dann markiert man beide Zellen mit der Maus und stellt den Cursor auf die rechte untere
Ecke der Markierung. Schließlich zieht man die Markierung bei gedrückter linker Maustaste
so lange nach unten, bis man den Wert 5 erhält (Zelle A44).
2. In die Zelle B4 schreibt man den Funktionsterm: = 0,5*A4^2–A4–1,5, danach ¸. Dann
klickt man die Zelle B4 an und kopiert die dort enthaltene Formel nach unten, indem man
wiederum bei gedrückter linker Maustaste die rechte untere Ecke der Zelle B4 nach unten
zieht.
3. Für die graphische Darstellung
markiert man den Zellbereich
A4:B44 mit der Maus. Dann ruft
man den sogenannten DiagrammAssistenten durch Anklicken des
-Symbols in der Symbolleiste
auf.
4. Im ersten Schritt wählen wir den
Diagrammtyp Punkt(XY) und den
Untertyp Punkte mit interpolierten
Linien ohne Datenpunkte.
5. Im zweiten Schritt braucht hier nichts mehr unternommen zu werden. Im dritten Schritt können
gewisse Beschriftungen vorgenommen werden. Im
vierten Schritt könnte sofort Fertigstellen angeklickt
werden, wodurch man eine Rohform des
Funktionsgraphen erhält.
6. Nach Anklicken des Diagramms mit der linken
Maustaste wird ein Rahmen sichtbar. Durch Ziehen
an seinen Marken kann die Diagrammgröße
verändert werden. Weitere Änderungen können mit
der rechten Maustaste vorgenommen werden: Je
nachdem welchen Bereich des Diagramms man
anklickt (die Diagrammfläche, die Zeichenfläche, die
Kurvenlinie, eine Koordinatenachse, eine
Gitternetzlinie), erhält man ein Kontextmenü zur
weiteren Gestaltung des Diagramms nach eigenen
Vorstellungen.
Seite 4
Geometrische Bedeutung von k und d einer linearen Funktion y = k⋅⋅x + d
Seite 181
Die Gerade als Funktionsgraph einer
linearen Funktion wird wie im vorigen
Abschnitt gezeichnet. Hier genügen
jedoch zwei Punkte. Die Werte von k
und d werden in zwei Zellen
geschrieben und können dort auch
verändert werden.
Änderungen für k und d können auch vorteilhaft mithilfe eines Schiebereglers (einer Bildlaufleiste) durchgeführt werden. Je ein Schieberegler soll nun für k und d eingerichtet werden.
Schieberegler ändern die von ihnen gesteuerten Werte sprunghaft. Wir vereinbaren für k Werte
von -2 bis 2 in Sprüngen von 0,5 und für d Werte von -1 bis 2 ebenfalls in Sprüngen von 0,5.
Seite 5
Wir wählen im Menü Ansicht die Option Symbolleiste und dann Formular. Man
erhält die Formular-Symbolleiste, die in unterschiedlicher Form angezeigt
werden kann. Klickt man nun das Symbol Bildlaufleiste an, so verändert sich der
Cursor in die Form eines aus dünnen Linien gebildeten Kreuzes. Dieses
positioniert man an die gewünschte Stelle der Bildlaufleiste und zieht eine
Bildlaufleiste (einen Schieberegler) mit gedrückter Maustaste waagrecht oder
senkrecht auf. Wir tun Ersteres.
Klickt man nun mit der rechten Maustaste auf die Bildlaufleiste,
so öffnet sich ein Kontextmenü. Dort wählt man Steuerelement
formatieren...
Wir belassen 0 als Minimalwert und 1 als
Schrittweite. Als Maximalwert wird 8 gesetzt,
entsprechend den 8 Sprüngen von k von –2
bis 2. Die Stellung des Schiebereglers ist nun
mit einem der Werte 0, 1, 2, …, 8 verbunden.
Um diese Werte des Schiebereglers zu nutzen,
wird der gerade aktuelle Wert – er soll u
genannt werden – in einer „Bezugszelle“
abgelegt. Dafür vereinbaren wir $I$3. Der
aktuelle Wert u des Schiebereglers kann durch
Anklicken der Marken 3 und 4 an seinen
Enden mit der Maus (der Cursor nimmt die
Form einer Hand an) verändert werden. Eine
andere Möglichkeit ist, dass man den "Griff"
der Bildlaufleiste mit dem Handcursor
verschiebt. u wird in der Bezugszelle des
Schiebereglers angezeigt. Für u = 0, 1, 2, …, 8
durchläuft k gerade die Werte –2, –1,5, –1
1
2
usw. bis 2, wenn k = −2 + u ⋅ .
In gleicher Weise richtet man einen Schieberegler für d ein. Wir wählen hier 6 als Maximalwert
(Minimalwert 0, Schrittweite 1). Ist v der aktuelle Wert dieses zweiten Schiebereglers, so
1
2
durchläuft d für v = 0, 1, 2, … , 6 die Werte –1, –0,5, 0 usw. bis 2, wenn d = −1 + v ⋅ .
Bezugszelle sei nun $I$4.
Schließlich schreiben wir die Formeln für k und d in die Zellen E3 und E4.
Man kann übrigens die Werte in den Bezugszellen verstecken, indem man das Diagramm
darüberlegt oder in diesen Zellen als Schriftfarbe weiß wählt.
Seite 6
Beispiel 7.10 a), b), Seite 265: Determinante einer Matrix
Die Eingabe einer Matrix ist sehr
einfach: man gibt einfach ihre Elemente
in einem entsprechenden rechteckigen
Zellbereich ein. Angesprochen wird die
Matrix über die "Adresse" des
Zellbereichs, hier A1:B2.
Die Determinante erhält man mit der
Funktion =MDET(…).
Beispiel 7.13 b), Seite 276: Lösung eines Gleichungssystems mit dem "Solver"
Das Modul „Solver" ist ein leistungsstarkes Instrument, mit dem u. a. lineare Gleichungssysteme
näherungsweise gelöst werden können.
Zuerst ist zu prüfen, ob der „Solver" schon
installiert ist. Ist das nicht der Fall, so wählt
man im Menü Extras die Option Add Ins...
In der dadurch aktivierten Dialogbox wird
Solver angehakt und mit OK bestätigt.
Damit wird die Installation dieser
Komponente eingeleitet. Ist sie erfolgreich,
scheint die Option Solver im Menü Extras
auf.
In den ersten Zeilen wird zur eigenen Information das Problem formuliert.
Die Zellen A7, B7 und C7 sind die Zellen,
in denen später die Lösungen stehen
werden. Sie werden als veränderbare Zellen
bezeichnet und anfänglich 0 gesetzt. Es
empfiehlt sich, diese drei Zellen zu
benennen: Wir verwenden die Namen a, b
und c (die Namen x, y und z sind nicht
möglich, da z in Excel ein ungültiger Name
ist). Dies geht am einfachsten, wenn man
der Reihe nach die betreffenden Zellen
markiert, dann mit der Maus das Namensfeld in der Bearbeitungsleiste (links oben)
anklickt, die Zellbezüge A7, B7 bzw. C7
entsprechend mit a, b bzw. c überschreibt
und schließlich mit OK bestätigt.
Anschließend trägt man die linken Seiten
der Gleichungen in die Zellen C9, C10 und
C11 ein.
Seite 7
Durch Aufruf des Solvers aus dem Menü Extras erscheint die umfangreiche Dialogbox SolverParameter. Wir können ohne Zielzelle und Zielwert arbeiten und machen nur die Eintragungen
für die veränderbaren Zellen und die Nebenbedingungen. Letztere sind dann gerade die
Gleichungen des Systems.
Um die Nebenbedingungen zu schreiben, klickt man auf Hinzufügen, wodurch man eine kleine
Dialogbox erhält. In diese wird die erste Gleichung eingetragen, danach OK. Dieser Vorgang
wird auch für die anderen Gleichungen wiederholt. Sind alle Gleichungen als Nebenbedingungen
eingetragen, wird in der Dialogbox Solver-Parameter die Schaltfläche Lösen betätigt und die
Ergebnisbox mit OK bestätigt.
Die veränderbaren Zellen A7, B7 und C7 enthalten nun die Näherungswerte für die Unbekannten. Klickt man sie an, so erkennt man, wie gut die Gleichungen durch die Lösungen im
Rahmen der Rundungsgenauigkeit erfüllt werden.
TI-82 STATS / Ingenieur-Mathematik 1, neu / Verlag E. DORNER
Seite 8
Grafik-Rechner TI-82 STATS
zu Timischl/Kaiser, Ingenieur-Mathematik 1, neu, Verlag E. DORNER, Wien
Nachfolgend eine Einführung in die Verwendung des Grafik-Rechners TI-82 STATS. Dazu
Anwendungen zu Beispielen in der „Ingenieur-Mathematik 1, neu“.
Der TI-82 STATS ist ein verhältnismäßig preisgünstiger Grafik-Rechner.
Er stimmt in seinen mathematischen Leistungen weitestgehend mit dem
deutlich teureren Graphik-Rechner TI-84 Plus überein.
Das Handbuch zum Rechner kann unter
http://education.ti.com/educationportal/sites/oesterreich/homePage/index.
html usw. als pdf-File heruntergeladen werden. Es empfiehlt sich, auch
das Handbuch zum Rechner TI-84 Plus herunterzuladen und für den TI82 STATS zu Rate zu ziehen, da es wesentlich ausführlicher gestaltet ist.
Einschalten des Rechners: É
Ausschalten des Rechners: y É
Bildschirmkontrast:
y drücken und loslassen, } (Cursortaste nach oben): erhöht den Kontrast;
y drücken und loslassen, † (Cursortaste nach unten): verringert den Kontrast
(eventuell mehrfach durchführen)
Wichtige Bearbeitungstasten:
~ oder |
} oder †
y
ƒ
Í
{
y{
‘
z
Cursor nach rechts oder links innerhalb eines Ausdrucks
Cursor nach oben oder nach unten
Aktiviert beim nächsten Tastendruck die Zweitbelegung der Tasten
Aktiviert beim nächsten Tastendruck die Drittbelegung der Tasten, das sind
Buchstaben und gewisse Sonderzeichen (in rötlicher Schrift)
Abschließen von Eingaben
Löscht das Zeichen an der Cursorposition; um mehrere Zeichen zu löschen,
verschiebt man zuerst den Cursor an die Positionen dieser Zeichen
Übergang in den Einfügemodus; das nächste Zeichen wird links vom nun
strichförmigen Cursor geschrieben; Ausstieg: irgendeine Cursortaste drücken oder
nochmals y {
Löscht die aktuelle Eingabezeile im Eingabebildschirm;
wenn sich der Cursor jedoch in einer noch leeren Eingabezeile befindet, wird der
gesamte Eingabebildschirm gelöscht!
Einleitung verschiedener grundlegender Einstellungen
Seite 9
Einfache Rechnungen
5⋅(2 + 4)
5¯£2Ã4¤Í
Jede Eingabe ist mit Í abzuschließen!
3,2 + 4⋅0,3
3Ë2Ã4¯0Ë3Í
Statt eines Dezimalkommas ist ein Punkt zu setzen!
Die Null vor dem Punkt kann weggelassen werden.
1 ¥ £ 2 Ë8 Ã 1 Ë 4 ¤ Í
Auf Klammerung achten!
1
2,8 +1,4
2,4 − 3,9
1,2
Statt £ 2 Ë 4 ¹ 3 Ë 9 ¤ ¥ 1 Ë 2 Í kann
man auch rechnen:
2 Ë 4 ¹ 3 Ë 9 Í und danach
yÌ¥1Ë2Í
Durch y Ì wird die letzte Antwort (Ans = answer)
aufgerufen. Man kann nun mit ihr weiterrechnen.
Korrektur (Editieren) von Eingaben
Die Berechnung ist noch nicht zu Ende geführt:
Ein Zeichen überschreiben: Statt 12,8 sollte 12,7 stehen.
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der Ziffer 8
steht; danach Eingabe der Ziffer 7.
Man kann nun mit der Eingabe fortfahren, falls diese noch nicht
beendet ist. Dazu wird der Cursor an die Stelle hinter der Ziffer
bewegt.
Anmerkung: Man könnte auch durch ‘ die Zeile löschen (falls
noch mehr Zeilen im Eingabebildschirm, bleiben diese erhalten)
und danach von neuem mit der Eingabe beginnen.
Ein Zeichen einfügen: Statt 127+3,4 sollte 12,7 + 3,4 stehen.
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der Ziffer 7
steht. Da nun ein Zeichen einzufügen ist, ist zuerst auf den
Einfügemodus umzuschalten. Dies geschieht durch y {. Der
Cursor ändert seine Form auf einen blinkenden Strich unter dem
Zeichen. Nun schreibt man den Dezimalpunkt. Zum Beenden des
Einfügemodus eine Cursortaste drücken oder nochmals y {.
Usw.
Ein Zeichen löschen: Statt 123,7 + 3,4 sollte 12,7 + 3,4 stehen.
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der zu
löschenden Ziffer 3 steht. Danach {, usw.
Seite 10
Die Berechnung ist bereits zu Ende geführt:
Statt 12,8 + 3,4 - 1,2 sollte 12,7 + 3,4 - 1,2 stehen.
Natürlich könnte man nun die gesamte Eingabe wieder eintippen.
Man kann aber auch die jeweils letzte Eingabe durch y Í
wieder aufrufen und danach wie oben nach (1), (2) oder (3)
korrigieren.
Weitere Rechnungen:
1 1
+ ⋅3
2 4
1¥2Ã1¥4¯3Í
1
1
+
2 4 ⋅3
1¥2Ã1¥£4¯3¤Í
4⋅(-3) - 2
4¯£Ì3¤¹2Í
Die Klammerung könnte hier auch ausbleiben.
Beachte: Ì Vorzeichenminus
¹ Subtraktionsminus
Die beiden Minuszeichen unterscheiden
sich auch etwas in der Anzeige am
Bildschirm.
Ë4¡Í
0,42
23 − 4 ⋅ 0,5
3⋅ 7 +1
2›3¹4¯0Ë5Í
Die Taste › ermöglicht das Potenzieren mit
beliebigen Hochzahlen (das Quadrieren
eingeschlossen).
Quadratwurzel
3¯y¡7¤Ã1Í
3 ¯ y ¡ 7 Ã 1¤ Í
3⋅ 7 +1
3
7,8
4 7,8
3
7,8 = 7,81 3
Eine dritte oder höhere Wurzel kann auch über das
Math-Menü bestimmt werden.
¶7Ë8¤Í
Bei einer höheren Wurzel als 3 ist zuerst der
Wurzelexponent einzugeben, danach Aufruf des
Math-Menüs, ·, keine Klammern.
Wurzeln können auch als Potenzen eingeben
werden.
7 Ë 8 › £1 ¥ 3 ¤ Í
5,4⋅102
5Ë2y«2¤Í
3⋅10-2
3y«Ì2¤Í
Seite 11
Werte abspeichern
2 ¿ƒAÍ
Werte können unter einem Namen gespeichert werden. Man sagt
auch, dass sie einer Variablen zugewiesen werden. Als
Variablennamen können alle Buchstaben A, B, ... , Z verwendet
werden.
π erhält man durch y ›.
Überschreiben ändert den Wert einer Variablen.
Einstellungen (Modi)
Drücken von z öffnet ein Menü, in dem man verschiedene Rechnereinstellungen vornehmen
kann.
→
Mit den Cursortasten kann in jeder Zeile ein Menüpunkt gewählt werden. Dieser wird dann
blinkend angezeigt. Wir wählen beispielsweise „Degree" statt „Radian", d. h. die Umstellung des
Winkelmaßes vom Bogenmaß auf das Gradmaß. Danach Í; Verlassen des Menüs durch
y z oder ‘.
Die Einstellung „Float" bedeutet, dass eine Zahl mit maximal 11 Zeichen (den Dezimalpunkt
eingeschlossen) gerundet angezeigt wird. Eine Einstellung beispielsweise von „4“ in dieser Zeile
bewirkt eine Ausgabe der Zahlen gerundet mit 4 Nachkommastellen.
Ist nur „Float“ markiert, so werden nachlaufende Nullen einer Zahl nicht angezeigt. D. h. etwa
1.2 statt 1.2000. Intern werden die Zahlen jedoch stets mit bis zu 14 Stellen mit einem
zweistelligen Exponenten gespeichert.
Seite 12
Beispiel 2.80, Seite 103; Beispiel 2.81, Seite 104 (Betrag): Komplexe Zahlen
Aufruf der imaginären Einheit i durch y Ë.
Aufruf des Menüs CPX („Komplex“) durch ~~.
Beispiel 2.82, Seite 104 f.:
Beispiel 5.4, Seite 177: Eine Funktion definieren, ihre Wertetabelle aufstellen, den
Graphen zeichnen und die Nullstellen bestimmen
Eine Funktion definiert man in einfacher Weise, wenn man den sogenannten Y-Editor benützt.
Dieser wird durch o (Taste in der ersten Reihe unter dem Bildschirm) aufgerufen. In diesen
kann man gleichzeitig bis zu 10 Funktionen Y1, Y2, ... Y9, Y0 schreiben.
Als unabhängige Variable darf nur X
gewählt werden. Man tut dies am
einfachsten mit einer eigenen Taste,
nämlich „. Das Eingeben und
Korrigieren erfolgt wie im
Hauptbildschirm.
Danach drückt man y s, um die
Wertetabelle anzuzeigen.
Ändern der Darstellung einer Wertetabelle
im TABLE SETUP-Menü: y p.
TblStart: x-Startwert für die Tabelle,
∆Tbl: Schrittweite der Tabelle für x.
Neuerlicher Aufruf der Tabelle: ys.
Auch durch Auf- oder Abwärtsbewegen des
Cursors in der x-Spalte kann die
Wertetabelle erweitert werden.
Seite 13
Man kann auch gezielt nach dem
Funktionswert zu einzelnen x-Werten fragen.
Dabei wird im TABLE SETUP-Menü bei
Indpnt (independent = unabhängig) ASK
markiert, danach Í. Ruft man nun die
Tabelle durch ys auf, so kann man
einen x-Wert angeben, und dies wiederholt
tun.
Rückkehr in den Hauptbildschirm: y z.
Voraussetzung für das Zeichnen des Graphen ist, dass im MODE-Menü in der vierten Zeile
(Aufruf: z, Seite 11) der Graph-Modus Func eingestellt ist. Zum Festlegen des
Zeichenbereiches (des Ansichtfensters) wird p aufgerufen. Xmin und Xmax sind die
horizontalen, Ymin und Ymax die vertikalen Grenzen des Zeichenbereichs.
Xscl und Yscl gibt die Abstände an, mit
denen die Skalierungsstriche auf den
Achsen gesetzt werden. Xres ist ein Maß
für die Auflösung, bedeutsam u. a. im
Spur-Modus (siehe unten).
Durch y q öffnet sich das
FORMAT-Menü, in dem u. a. die Achsenbeschriftung verlangt werden kann.
Zeichnen des Graphen durch Drücken von
s.
Nach Drücken von r kann der
Zeichencursor entlang des Graphen
bewegt werden (Spur-Modus); dabei
werden die Koordinaten der Punkte
angezeigt.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: y
z.
Ermitteln eines Funktionswertes:
y r, À oder Í, x-Wert
eintippen, Í.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: y
z.
Seite 14
Ermitteln einer Nullstelle:
y r Á Í.
Danach wird eine untere und eine obere
Schranke (Left Bound, Right Bound), etwa
–2 und 0, für die gesuchte negative
Nullstelle angegeben (jedesmal mit Í
abschließen).
Bei Guess? nur Í drücken.
Schließlich nochmals Í eingeben.
Gleichermaßen geht man bei der zweiten
Nullstelle vor.
Matrizen und Determinanten
1. Eingabe einer Matrix
Es empfiehlt sich, zuerst im MODE-Menü
FLOAT zu markieren, um nachlaufende
Nullen der eingegebenen Zahlen zu
vermeiden.
Nach Aufruf des Matrix-Editors durch
~ ~ ist eine der vorgeschlagenen
Matrizen [A], [B], .. zu wählen. Wir
bleiben beim Vorschlag [A] und tippen
daher À ein oder hier auch nur Í.
Wir überschreiben „1 x 1" durch „2 x 2",
um eine Matrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten
einzugeben.
Mit Í gelangt man zur Eingabe der einzelnen Matrixelemente.
Diese erfolgt zeilenweise, wenn man nach jedem Element Í
drückt. Man kann sich jedoch auch mit dem Cursor innerhalb der
Zeilen und Spalten bewegen. Auf diese Weise kann eine fehlerhafte
Eingabe korrigiert werden.
Verlassen der MTRX EDIT Anzeige und Rückkehr in den
Eingabebildschirm durch y z.
Seite 15
Ruft man das Matrix-Menü durch wieder auf, so erkennt
man, dass mit [A] eine Matrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten definiert
wurde.
Aufruf der Matrix A: Drückt man nun bei Markierung von
NAMES À oder hier auch Í, so wird die Matrix [A] im
Eingabebildschirm aufgerufen. Schließt man diese Eingabe mit
Í ab, so wird die Matrix angezeigt.
2. Löschen einer Matrix: Dies erfolgt aus dem Speicher (Memory).
y Ã (Memory-Menü) Á (Delete) · (Matrix...), Cursor vor die zu löschende Matrix
bewegen, ¸
3. Determinante einer quadratischen Matrix
Aufruf des Matrix Editors durch ~ ~, um eine beispielsweise dreireihige quadratische
Matrix zu definieren. Sie erhält etwa den Namen B. Rückkehr in den Eingabebildschirm durch
y z. Danach ~ À, um die Berechnung einer Determinante einzuleiten. Auswahl
der Matrix B durch Á ¸, ¤ (Klammer schließen) und ¸.
Seite 16
Beispiel 7.13, Seite 276: Ein System linearer Gleichungen lösen
Beispiel:
4x + 5y – z = 11
2x + 3y +2z = 14
x – y + 3z = 8
oder etwas ausführlicher
4⋅x + 5⋅y + (–1)⋅z = 11
2⋅x + 3⋅y + 2⋅z = 14
1⋅x + (–1)⋅y + 3⋅z = 8
Durch Äquivalenzumformungen kann dieses Gleichungssystem in die Form
1⋅x + 0⋅y + 0⋅z = 1
0⋅x + 1⋅y + 0⋅z = 2
0⋅x + 0⋅y + 1⋅z = 3 gebracht werden.
Diese Form des linearen Gleichungssystems heißt ihre reduzierte zeilengestaffelte Form (engl.:
reduced row echelon form). Sie lässt sofort die Lösung erkennen: x = 1; y = 2 und z = 3. Gibt
man das Schema der farbig geschriebenen Zahlen der Ausgangsgleichungen an, also die Matrix
5 − 1 11
4


A =  2 3 2 14  , so ist diese in die Form
 1 − 1 3 8


 1 0 0 1


 0 1 0 2  zu bringen. Die Spalte ganz rechts
0 0 1 3


gibt die Lösung an. Dazu gibt es die Funktion rref(), benannt nach den Anfangsbuchstaben der
englischen Bezeichnung für diese Umformung des Gleichungssystems.
Definition der
Ausgangsmatrix A;
Rückkehr in den
Eingabebildschirm
durch yz.
, Anwählen
von MATH, danach
B: rref( markieren,
Í
Nun durch die Ablesen der Lösung:
Matrix mit dem Namen x = 1; y = 2; z = 3
[A] aufrufen, ¤ und
Í
Voyage-200 / Ingenieur-Mathematik 1, neu / Verlag E. DORNER
Seite 17
CAS-Rechner Voyage 200
zu Timischl/Kaiser, Ingenieur-Mathematik 1, neu, Verlag E. DORNER, Wien
Nachfolgend eine kurze Einführung in die Verwendung des CAS-Rechners Voyage 200. Dazu
Anwendungen zu Beispielen in der „Ingenieur-Mathematik 1, neu“.
Der Voyage 200 (oder auch TI-92 PLUS) ist ein Grafikrechner, der auch symbolische Operationen ausführen kann
(CAS- oder Computeralgebrasystem-Rechner). Darüber
hinaus ist Anwendersoftware (sogenannte Applikationen)
für Finanzmathematik, Statistik, Tabellenkalkulation oder
Analysis bereits vorinstalliert. Dazu besteht eine einfache
Verbindungsmöglichkeit zum PC sowie die Möglichkeit,
aktuelle Software einschließlich der neuesten Version des
Betriebssystems des Rechners vom Internet herunterzuladen.
Das Handbuch zum Voyage 200 / TI–92 PLUS kann unter
http://education.ti.com/educationportal/sites/oesterreich/homePage/index.html als pdf–File
heruntergeladen werden.
Buchstabentasten: Bis auf die Vertauschung von
z und y wie auf einer PC-Tastatur.
Cursortasten: A B C D
Funktionstasten: ƒ, „,..., Š
Einschalten des Rechners: ´
Bildschirmkontrast: ¹ | für heller,
¹ « für dunkler (eventuell mehrfach
betätigen, ¹ kann dabei gedrückt bleiben)
Ausschalten des Rechners: 2 ´
Weitere wichtige Tasten:
¹
Karo-Taste
2
Zweitfunktionstaste
(Second)
Hochstellen-Taste
(Shift)
Escape
¤
N
¸ Dreifach vorhanden
M
3
O
Aktiviert die Anweisungen, die in grüner Schrift über bestimmten
Tasten angezeigt werden
Aktiviert beim nächsten Tastendruck die Anweisungen, die in blauer
Schrift über bestimmten Tasten angezeigt werden
Übergang zu Großbuchstaben; der Rechner kennt keinen Unterschied
zwischen Groß- und Kleinbuchstaben
Verlassen von Menüs, verlässt Einstellungsänderungen ohne diese zu
speichern; beseitigt Fehlermeldungen usw.
Abschließen von Eingaben oder Menüwahlen, speichert
Veränderungen in Dialogfenstern
Löscht Eingaben in der Eingabezeile
Einleitung verschiedener grundlegender Einstellungen
Anzeige der verfügbaren Anwendungen (Applikationen)
Seite 18
APPS-Arbeitsfläche
Leerer Hauptbildschirm
Will man nicht spezielle Anwendungen ausführen, so wechselt man von der APPS-Arbeitsfläche
(ermöglicht unmittelbar das Aufrufen verschiedener Applikationen, d. h. Anwendungen) zum
Hauptbildschirm als Ausgangspunkt für allgemeine Berechnungen. Dazu wählt man, wie abgebildet, mit
dem Cursor das Home-Symbol und drückt ¸.
Stets erfolgt der Aufruf oder die Rückkehr zum Hauptbildschirm durch ¹ Q.
Hauptbildschirm (Home-Bildschirm)
Menüleiste
Protokollbereich
(History-Bereich)
Vorletzte Eingabe
Letzte Eingabe
Eingabezeile
Vorletzte Antwort
Letzte Antwort
Statuszeile
Der Protokollbereich (History-Bereich) zeigt die letzten Eingabe/Antwort-Paare an. In unserem Beispiel
wird in der Statuszeile durch „6/30“ angezeigt, dass 6 von hier insgesamt 30 möglichen Eingabe/Antwort-Paaren gespeichert wurden. Ist der Bildschirm voll, so werden die oberen Paare über den oberen
Bildschirmrand hinausgeschoben; mit wiederholter Betätigung der Cursortaste C können diese aber
wieder angezeigt werden. Mit N gelangt man wieder in die Eingabezeile.
Protokollbereich löschen: ƒ 8 (8: LöscheBSchirm, Clear Home)
Bestimmtes Eingabe-Antwort-Paar löschen: Markieren mit dem Cursor und M.
Löschen der Eingabezeile: M löscht alle Zeichen rechts vom Cursor,
nochmaliges Drücken von M löscht den Rest.
Betriebsarten (Modi)
Dadurch kann beispielsweise festgelegt werden, wie Zahlen (Anzahl der Nachkommastellen und dgl.)
oder Graphen angezeigt werden, ob ein Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß betrachtet wird u. a. m.
Drücken von 3 öffnet das Dialogfeldmenü MODE. Die Liste der Betriebsarten (Modi) umfasst drei
Seiten, die durch Drücken von ƒ, „ oder … angezeigt werden können.
Seite 1
Seite 2
Seite 19
Seite 3
Momentan nicht wählbare Betriebsarten
werden unscharf angezeigt.
Modus-Einstellungen ändern:
(1) 3-Taste drücken
(2) Modus-Einstellung, die geändert werden soll, markieren. Dazu verwendet man die Tasten D oder
C (eventuell zusammen mit ƒ, „ oder …).
(3) Drücken von B öffnet ein Menü mit Auswahlmöglichkeiten. Danach die gewünschte Einstellung
mit dem Cursor markieren und ¸ drücken oder die entsprechende Ziffer eingeben.
(4) Falls gewünscht, weitere Modus-Einstellungen nach (2) bis (3) ändern.
(5) Zuletzt ¸, um alle Änderungen zu speichern und das MODE-Dialogfeld zu verlassen. N statt
¸ bedeutet Abbrechen, durchgeführte Änderungen werden gelöscht.
Beispiel für Modus-Änderungen: APPS-Arbeitsfläche deaktivieren.
Tastenfolge: 3 … D D B 1 (1: OFF) ¸
Übersicht über einige wichtige Betriebsarten (Modi):
Graph
Currrent Folder
(Aktuelles
Verzeichnis)
Display Digits
(Angezeigte
Ziffern)
Zeigt die Art des darzustellenden Graphen an; soll der Graph einer Funktion y = f(x)
gezeichnet werden, so ist FUNCTION zu wählen. Der aktuelle Graph-Modus ist in
der Statuszeile des Hauptbildschirms ersichtlich, z. B. FUNC für FUNCTION.
Verzeichnis zum Abspeichern und Abrufen von Variablen, Listen, Matrizen,
Programmen u. a. MAIN ist der Name des stets vorhandenen Verzeichnisses. Auch
das aktuelle Verzeichnis wird in der Statuszeile des Hauptbildschirms angeführt.
Anzeige einer „Standardzahl“ mit Kommastellen:
FIX n: es werden n Ziffern nach dem Komma angezeigt
FLOAT n: es werden insgesamt höchstens n Stellen angezeigt, also Stellen vor und
nach dem Komma. Nullen am Zahlenende werden nicht angezeigt.
In beiden Fällen wird gerundet. Kann eine Zahl nicht wie ausgewählt dargestellt
werden, so erfolgt die Anzeige in der wissenschaftlichen Anzeige (siehe Menüpunkt
Exponentialformat).
Unabhängig von der Anzeige wird intern stets mit 14 geltenden Ziffern gerechnet;
angezeigt werden bis zu 12 Ziffern.
Angle (Winkel)
Exponential
Format
(Exponentialformat)
Seite 20
RADIAN oder DEGREE: Deutung eines Winkels im Bogen- oder im Gradmaß. Das
aktuelle Winkelmaß wird in der Statuszeile des Hauptbildschirms angezeigt:
DEG = Gradmaß, RAD = Bogenmaß.
Anzeigeformat der intern als Gleitkommazahl dargestellten Zahl.
NORMAL: Übliche Darstellung einer Zahl mit Ziffern vor und nach dem Komma
(wenn bei Einstellung von FIX n und FLOAT n möglich).
SCIENTIFIC: Anzeige in wissenschaftlicher Zehnerpotenzschreibweise, also in
normierter Gleitkommadarstellung. Stellenanzahl der Mantisse gemäß FIX n bzw.
FLOAT n.
ENGINEERING: Anzeige erfolgt in technischer Zehnerpotenzschreibweise; zum
Unterschied von der wissenschaftlichen Schreibweise ist der Exponent der
Zehnerpotenz stets ein Vielfaches von 3; dementsprechend wird die Mantisse mit bis
zu drei Stellen vor dem Komma angezeigt.
Exact/
Approximate
EXACT: Jedes ganzzahlige Ergebnis wird ohne Komma und jedes nichtganzzahlige
Ergebnis als Bruch mit bis zu 614 Stellen sowohl im Nenner als auch im Zähler oder
möglicherweise als Symbol (z. B. π, 3 , ... ) dargestellt.
APPROXIMATE: Numerische Ergebnisse werden gemäß den Einstellungen in den
Menüpunkten „Angezeigte Ziffern" und „Exponentialformat" angezeigt.
AUTO: Verwendet die EXACT-Form, wenn bei der Eingabe kein Komma
vorkommt. AUTO ist die bevorzugte Einstellung.
Der aktuelle Exakt/Näherung-Modus ist in der Statuszeile des Hauptbildschirms
abzulesen.
Erste Eingaben
Eingestellt ist die Rechenbetriebsart AUTO.
5⋅(2 + 4)
5pc2«4d¸
1
2
Nach Drücken der ersten Taste für eine neue
Eingabe Term (hier 1) wird die noch
markierte „alte“ Eingabe gelöscht.
1e2«1e4p3¸
+
1
⋅3
4
1
1
+
2 4 ⋅3
23 − 4 ⋅ 0,5
1e2«1ec4p3d¸
2Z3|4p0¶5¸
Statt eines Dezimalkommas ist ein Punkt
zu setzen! Die Null vor dem Punkt kann
weggelassen werden.
Das Auftreten einer einzigen Dezimalzahl in
der Eingabe genügt, so dass auch das
Ergebnis als (gerundete) Dezimalzahl
dargestellt wird.
3⋅ 7 +1
Seite 21
3p2p7d«1¸
Nach dem Drücken der Tasten 2 p
erscheint nach dem Wurzelzeichen auch eine
sich öffnende Klammer. Diese muss nach
dem Eintippen der Zahl 7 wieder
..
geschlossen werden.
Das Multiplikationszeichen vor der Wurzel
braucht nicht gesetzt zu werden.
Setzt man bei der Wurzeleingabe die
schließende Klammer nicht, so hat dies eine
Fehlermitteilung zur Folge.
Danach zur Korrektur:
NAAd¸
3⋅ 7 +1
8
3 p 2 p7 d « 1 ¹ ¸
Schließt man die Eingabe mit ¹ ¸ ab,
so erhält man das Ergebnis als (gerundete)
Dezimalzahl. Dies erreicht man auch, wenn
man wenigstens einmal eine Dezimalzahl
eingegeben hätte, etwa 3 ¶ statt nur 3.
2p8d¸
Hier wird eine wesentliche Eigenschaft des
Rechners besonders sichtbar: die Rechnung
ist exakt; das Ergebnis wird nicht
näherungsweise als Dezimalzahl angezeigt.
Term in der Eingabezeile bearbeiten
Dies spart oft Zeit, wenn man einen Eingabefehler korrigieren will oder eine Eingabe aus irgendwelchen Gründen
verändern will.
Es soll beispielsweise in der Eingabezeile die Zahl 5
durch 8 ersetzt werden.
Zuerst ist die Markierung aufzuheben. Dazu drückt man
die Cursortaste A oder B: A setzt den Cursor an den
Anfang, B an das Ende des Ausdrucks; wir tun Letzteres.
Der Cursor in Form eines schmalen Strichs blinkt nun
hinter der sich schließenden Klammer. Diese Cursorform
zeigt übrigens an, dass sich der Rechner im
Einfügemodus (nicht im Überschreibmodus) befindet.
Durch dreimaliges Drücken von A bewegt man den
Cursor hinter die Ziffer 5.
Durch Drücken der Taste 0 (unterste Tastenreihe)
löscht man das Zeichen 5 und tippt die Zahl 8 ein.
Abschluss durch ¸.
Tipp: 2 A bewegt den Cursor an den Anfang eines Ausdrucks in der Eingabezeile, 2 B an das Ende.
Seite 22
Aus dem Protokollbereich (History-Bereich) eine frühere Eingabe oder Antwort in die
Eingabezeile übernehmen
2
2
In der Eingabezeile soll der Term   zu 1 addiert
 15
werden.
CCC
Durch dreimaliges Drücken von C markiert man den
Term 2 15 .
¸
Durch Drücken von ¸ wird der markierte Term 2 15
in die Eingabezeile übernommen.
Danach d Z 2 ¸ oder d Z 2 ¹ ¸
Weitere Beispiele für Eingaben von Zahlen
4pc·3d|2¸
Die Klammern um –3 könnten weggelassen werden.
Beachte: · Vorzeichenminus
| Subtraktionsminus.
Die beiden Minuszeichen
unterscheiden sich etwas in
der Anzeige am Bildschirm!
4⋅(–3) – 2
2
Tastenfolge im nebenstehenden
 12,3 + 0,9  Display ersichtlich, Abschluss durch
18,2 − 

 6,5 − 2,1  ¸.
1
3
18,7 = 18,7 3
18¶7Zc1e3d¸
Wurzeln sind im Allgemeinen als
Potenzen einzugeben. Der
Wurzelexponent (hier 3) ist der
Nenner der Hochzahl.
9,8⋅10-4
9¶821·4 ¸
Eingabe einer Zahl im wissenschaftlichen Format; die Basis 10 darf nicht
geschrieben werden!
Die Anzeige ist mit fünf oder mehr
Nachkommastellen im „NORMAL"Format möglich. Hier wurde auf FIX
5 im Mode-Menü umgestellt.
9,8⋅10-6
9¶821·6 ¸
Anzeige im „SCIENTIFIC"-Format,
da (wegen FIX 5) sechs Nachkommastellen nicht ausreichend sind.
Seite 23
Eine Berechnung fortsetzen
3+4
3«4¸
5 zum Ergebnis
addieren
«5¸
Bei jeder Berechnung eines Terms
wird die Antwort in der Variablen
ans(1) gespeichert.
Jedes andere Zeichen als «, |, p,
e oder § löscht den markierten
Term und beginnt eine neue Eingabe.
Dual- und Hexadezimalzahlen
Eingabe einer natürlichen Zahl als Dualzahl:
Präfix, d. h. Vorsilbe, 0b (null sowie b), danach
folgt die Dualzahl.
Eingabe einer natürlichen Zahl als Hexadezimalzahl: Präfix 0h (Null sowie h), danach
folgt die Hexadezimalzahl.
Die Zeichen b und h im Präfix sowie die HexZiffern A bis F können mit Klein- oder
Großbuchstaben geschrieben werden.
Umwandeln in andere Zahlensysteme:
1) Zeichenweise über die Tastatur:
Umwandlungsoperator ú durch 2 Y ;
danach Bin, Hex bzw. Dez
2) 2 z (Math–Menü), E ( E: Basis)
Seite 24
Einstellung zum Rechnen etwa im Dualsystem
(im binären System):
3 (MODE-Menü), „ (Page 2), „Basis" mit
Cursor anwählen, Í Í
Die Anzeige des Ergebnisses von Operationen mit
natürlichen Zahlen erfolgt stets im eingestellten
Zahlensystem, egal in welchem Zahlensystem die
Eingabe erfolgt.
Wert einer Variablen zuweisen (speichern)
Der Variablen a wurde noch kein Wert zugewiesen, sie
ist „undefiniert". Nach Eingabe ihres Namens a und
anschließendem ¸ wird ihr „Symbol", der
Variablenname, im Protokollbereich (History-Bereich)
ausgegeben.
4§a¸
Mit der §-Taste (in der untersten Tastenreihe) wird
der Variablen a ein Wert zugewiesen. Man spricht nun
von einer „definierten" Variable, eigentlich liegt eine
Konstante mit dem Namen a vor.
Regeln für Variablennamen: Bis zu 8 Buchstaben oder
Ziffern, das erste Zeichen darf jedoch keine Ziffer sein.
Kein Unterschied zwischen Groß- und Kleinbuchstaben.
a«9¸
Bei einem Aufruf einer definierten Variablen wird die
Variable durch ihren Wert ersetzt.
2|
ruft den sogenannten VAR LINK-Bildschirm auf. Dort
sind alle Verzeichnisse („Folder") und in diesen alle dort
definierten Variablen, Funktionen und Programme
alphabetisch aufgelistet. Im Hauptverzeichnis, genannt
MAIN, ist auch die definierte Variable a angeführt. Sie
wird als „EXPR" (= expression, Ausdruck) angezeigt.
Findet man MAIN ú vor, so ist die Ansicht mit B, der
Cursortaste rechts, zu erweitern.
2 Q Rückkehr in den Hauptbildschirm:
Seite 25
Das Löschen des Wertes einer oder mehrerer Variablen
kann durch die Anweisung DelVar erfolgen:
†ya¸
Diese Anweisung kann auch zeichenweise eingetippt
werden, auf Groß- und Kleinbuchstaben braucht dabei
nicht geachtet zu werden. Sind mehrere Variable zu
löschen, so werden sie durch Beistriche getrennt.
Während das Multiplikationszeichen zwischen
einer Zahl und einer Variablen entfallen kann,
ist dies bei der Multiplikation zweier Variablen
nötig! Andernfalls entsteht der Name einer
neuen Variablen.
Tipp: Viel einfacher löscht man alle nur mit einem
Buchstaben benannten Variablen durch
ˆ ¨ ¸.
Es empfiehlt sich, alle nur kurzfristig genutzten Variablen
mit nur einem Buchstaben zu benennen (abzuspeichern).
Diese können dann regelmäßig in der erwähnten Weise
schnell gelöscht werden. Auf diese Weise verhindert man
das Entstehen von Datenmüll.
Ist eine Variable schon definiert?
Um dies zu klären, gibt man den Namen der Variablen
ein, danach ¸. Ist die Variable definiert, so wird ihr
Wert angezeigt, sonst ihr Name.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man durch
2 | den VAR LINK-Bildschirm (siehe oben) aufruft,
wo alle definierten Variablen angezeigt werden.
Seite 26
Einige Sonderzeichen
Die folgende Tabelle zeigt „Shortcuts" für einige Sonderzeichen. Ansonsten erhält man alle
Sonderzeichen über 2 « (Character-Menü) oder 2 © (Catalog).
Kreiszahl π:
Griechische Buchstaben:
Umlaute:
Mathematische Zeichen, etwa ≤
Geschwungene Klammern: { und }
Eckige Klammern: [ und ]
Kommentarzeichen
2Z
2 G (wie griechisch), dann entsprechender lateinischer Kleinoder Großbuchstabe
2 Ã · À A für ä; entsprechend die anderen Umlaute.
2 « (Character-Menü) © Ó
2 c bzw. 2 d
2 b bzw. 2 e
2 X ; alle Zeichen rechts davon gelten als Kommentar
Alle Zeichen rechts bleiben unberücksichtigt und können
zur Kommentierung verwendet werden.
Eine Funktion definieren und Funktionswerte ermitteln
Um beispielsweise die Funktion y = f(x) = x2 – 4⋅x + 5 zu definieren, kann folgendermaßen vorgegangen
werden: Man speichert den Funktionsterm x2 – 4⋅x + 5 als f(x) ab; das Pfeilzeichen erhält man durch
Drücken von § in der untersten Tastenreihe. f ist der Funktionsname (Namensregeln wie bei
Variablen), x die unabhängige Variable. Entsprechend geht man bei der Definition der
Flächeninhaltsfunktion eines Kreises mit dem Radius r vor.
Das Ermitteln eines Funktionswertes kann durch Aufruf mit dem gewünschten Wert für die unabhängige
Variable, danach ¸, geschehen.
Seite 27
Symbolisches Rechnen
Beim symbolischen Rechnen erfolgt eine Verarbeitung
der Buchstaben (Variablen) und Zahlen nach den Regeln
der Algebra durch ein CAS (Computeralgebrasystem).
Das Rechnen mit Zahlen ist exakt, es gibt keine
Rundungsfehler.
Voraussetzung: Einstellung des Rechners auf AUTO
(erkenntlich in der untersten Zeile, der Statuszeile). In
dieser Einstellung versucht der Rechner wenn möglich
symbolisch zu rechnen.
Bei ausschließlicher Verwendung von Zahlen und/oder
definierten Variablen (Konstanten) veranlasst das
Auftreten eines Dezimalpunktes oder der Abschluss der
Eingabe durch ¹ ¸ statt mit ¸ den Rechner,
numerisch zu rechnen, also wie ein gewöhnlicher
Taschenrechner vorzugehen. Numerisches Rechnen ist in
der Regel schneller als symbolisches Rechnen und auch
noch möglich, wo nicht mehr symbolisch gerechnet
werden kann.
Im Folgenden werden weitere Beispiele für symbolisches Rechnen gezeigt. Die zugehörigen
Anweisungen können auch eingetippt werden, wobei auf Groß- oder Kleinschreibung nicht geachtet zu
werden braucht.
Beispiel 2.65 b), Seite 84: Auf gemeinsamen Nenner bringen
„ (Algebra-Menü) {, danach die Brüche eintippen, die Klammer schließen und mit ¸ abschließen.
comDenom = common denominator = gemeinsamer Nenner
Beispiel 2.13 a), Seite 26; Beispiel 2.38 a), b), Seite 51: Faktorisieren eines Terms,
Herausheben
„ ©, danach den Term eintippen, die Klammer
schließen und mit ¸ abschließen.
Seite 28
Beispiel 2.36 c), Seite 49; Beispiel 2.71, Seite 88: Ausmultiplizieren, Polynomdivision
„ ª, danach den Term eintippen, die Klammer
schließen und mit ¸ abschließen.
Beispiel 6.5, Seite 222; Beispiel 6.6 a), b); Seite 223; Beispiel 6.16 a), Seite 241: Eine
Gleichung (Ungleichung) lösen
„ ¨ oder „¸, danach die Gleichung eintippen, diese mit einem Beistrich abschließen, die
Gleichungsvariable angeben, die Klammer schließen und mit ¸ abschließen.
Beispiel 5.4, Seite 177: Den Graphen einer Funktion zeichnen
Graph-Modus: FUNCTION (Voreinstellung im MODE Menü)
Im ersten Schritt wird der y-Editor durch ¹ W
aufgerufen. Bei y1 = wird der Funktionsterm, etwa
1,5⋅x2 – x –1,5 eingegeben und mit ¸ bestätigt.
Zu beachten ist, dass als unabhängige Variable x zu
verwenden ist. Als Funktionsname dient y1; für eine
weitere Funktion y2 usw. Andere Funktionsnamen sind
hier nicht möglich.
Im zweiten Schritt wird zum Festlegen des Zeichenbereiches (des Ansichtfensters) der Window-Editor
durch 2 E aufgerufen.
xmin und xmax sind die horizontalen, ymin und ymax
die vertikalen Grenzen des Zeichenbereichs.
xscl und yscl sind die Abstände der Skalierungsstriche
auf den Achsen.
xres (1 bis 10) gibt die Pixel-Auflösung für das
Zeichnen an: bei xres = 1 wird die Funktion bei jedem
Pixel entlang der x-Achse berechnet, bei xres = 10 nur
bei jedem zehnten Pixel.
Seite 29
Im dritten Schritt wird der Graph im Graphikfenster
gezeichnet. Dies geschieht durch Drücken von 2 R .
Nach Drücken von … kann der Zeichencursor entlang
des Graphen entsprechend der Vorgabe durch xres
bewegt werden (Spur-Modus); dabei werden die
Koordinaten der Punkte angezeigt. Abbruch durch N.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: ¹ Q
Ermitteln eines Funktionswertes:
‡ ¨, x-Wert eintippen, ¸.
Beispiel 5.4, Seite 177: Ermitteln von Nullstellen einer Funktion
Ermittle die größere der beiden Nullstellen der Funktion mit der Gleichung
y = 0,5⋅x2 – x – 1,5
‡ ©. Danach wird man aufgefordert, die Grenzen eines Intervalls einzugeben, das die gesuchte
Nullstelle enthält (Lower bound = untere Grenze, Upper bound = obere Grenze). Das kann durch
Eintippen eines x-Wertes oder durch Bewegung des Cursors (eventuell verstärkt durch 2) erfolgen.
Danach jeweils ¸.
Seite 30
Bedeutung von k und d einer Geradengleichung y = k⋅⋅x + d
Seite 181
Man definiert die Funktion im y-Editor, Aufruf durch ¹ W . Dabei wird für den Ordinatenabstand d
eine Liste von Werten eingegeben (Zahlen zwischen geschwungenen Klammern, durch Beistriche
getrennt). Danach Festlegung des Zeichenbereichs durch ¹ E und Aufruf des Graphikbildschirmes
durch ¹ R.
Mit ‡ ¨ (1: Value) 0 ¸ setzt man den Cursor an die Stelle x = 0. Bewegt man nun den Cursor
nach oben oder unten, so können bei yc die verschiedenen d-Werte abgelesen werden.
Analog die Vorgangsweise zur Illustration der Bedeutung von k. Hier wurde die Funktion y1(x) durch
Drücken von † deaktiviert.
Beispiel 5.25, Seite 204: Abschnittsweise definierte Funktion
Seite 31
Beispiel 5.22, Seite 201: Schnittpunkt zweier Graphen
y1 ... Kostenfunktion; y2 ... Erlösfunktion
Mit ‡ z im Grafikbildschirm leitet man die Ermittlung des Schnittpunktes ein. Mit dem Cursor wählt
man die beiden Funktionen aus, danach jeweils ¸. Danach ist ein Intervall einzugeben, das die
gewünschte Schnittstelle eingrenzt, zuerst die untere Grenze, dann die obere, Abschluss jeweils ¸.
Seite 32
Beispiel 7.6, Seite 262; Beispiel 7.13 b), Seite 276: Ein System linearer Gleichungen lösen
„ ¨ oder „ ¸, danach die Gleichungen des Systems eintippen, zwischen den Gleichungen ist and
einzutippen, danach in geschwungenen Klammern (2 c bzw. 2 d) die Unbekannten durch
Beistriche getrennt angeben, die runde Klammer schließen und mit ¸ abschließen.
Enthält die Gleichung wenigstens einen Dezimalpunkt oder wird die Eingabe durch ¹ ¸
abgeschlossen, so erfolgt die Berechnung wieder numerisch.
Beispiel 7.13 a), Seite 276: Matrizen und Determinanten
Die Eingabe beginnt zunächst mit einer eckigen
Klammer, 2 b. Danach werden die Elemente
einer Zeile, jeweils durch einen Beistrich getrennt,
eingegeben. Abschluss einer Zeile (bis auf die
letzte) durch einen Strichpunkt, 2 M . Nach der
letzten Zeile wird eine schließende eckige
Klammer, 2 e, gesetzt.
Durch Abspeichern kann der Matrix auch ein
Name gegeben werden.
Anmerkung: Die Eingabe einer Matrix kann auch über den sogenannten Daten/Matrixeditor erfolgen. Dies
ist besonders bei großen Matrizen empfehlenswert. Aufruf durch O {.
Um die Determinante einer quadratischen Matrix zu
bestimmen, kann man zuerst die Matrix eintippen.
Danach entweder
2 z y ©,danach C ¸ (um die Matrix in
die Eingabezeile zu kopieren) d ¸
oder zeichenweises Eintippen von det( usw.
TI-Nspire CAS / Ingenieur-Mathematik 1, neu, Kapitel 4
Seite 33
Grundlagen des TI-Nspire CAS Handheld
zu Timischl/Kaiser, Ingenieur–Mathematik 1, neu, Verlag E. DORNER, Wien
Der TI-Nspire CAS Handheld ist ein Taschenrechner
mit einem integrierten Computeralgebrasystem. Zur
Zeit gibt es diesen Taschenrechner in zwei verschiedenen Ausführungen (links „Touchpad“ und rechts
„Clickpad“), die sich jedoch nur äußerlich und durch
die Tastenanordnungen voneinander unterscheiden.
Das Betriebssystem der beiden Rechner
unterscheidet sich nicht. Das heißt die Menüstruktur
der beiden Rechner ist gleich!
Parallel gibt es dazu eine TI-Nspire CAS Software,
die voll kompatibel zum TI-Nspire CAS Handheld ist.
Programme können vom TI-Nspire Handheld zum PC
und umgekehrt ausgetauscht werden.
Handbücher zur TI-Nspire CAS-Technologie können unter
http://education.ti.com/educationportal/sites/OESTERREICH/homePage/index.html
heruntergeladen werden.
Startseite: Aufruf durch c bzw. c
Durch Drücken der entsprechenden Taste oder durch Auswahl des Menüpunktes mit dem Touchpad
können verschiedene Aktionen gestartet bzw. eine neue Seite aktiviert werden:
Taste
1
2
3
4
5
Ein neues Dokument erstellen
Anzeige des Ordners Eigene Dateien
Aus den zuletzt abgespeicherten Dokumenten ein Dokument auswählen
Zum aktuellen Dokument gehen
Die Einstellungen des Handhelds ändern
Seite 34
Zusätzlich kann das Scratchpad (») geöffnet werden. Dieses bietet die Möglichkeit, eine
vereinfachte Calculatorseite und ein Graphikfenster neben einem geöffneten Dokument zu
verwenden.
A
B
Calculator Scratchpad
Graphikobjekt Scratchpad
Im Menü Einstellungen und Status werden die wesentlichen System- und Dokumenteinstellungen durchgeführt.
Einige wichtige Dokument- bzw. Systemeinstellungen
Feld
Angezeigte Ziffern:
(Display Digits)
Winkel (Angle):
Fix n: Es werden n Ziffern nach dem Komma angezeigt.
Fließ n: Es werden insgesamt höchstens n Stellen angezeigt, also
Stellen vor und nach dem Komma. Nullen am Zahlenende werden
nicht angezeigt. In beiden Fällen wird gerundet. Kann eine Zahl
nicht wie ausgewählt dargestellt werden, so erfolgt die Anzeige in
der wissenschaftlichen Anzeige (siehe Exponentialformat).
Unabhängig von der Anzeige wird intern stets mit 14 geltenden
Ziffern gerechnet; angezeigt werden bis zu 12 Ziffern.
Deutung eines Winkels im Grad-, Bogen- oder Neugradmaß.
Seite 35
Exponentialformat:
Numerisches Anzeigeformat der intern als Gleitkommazahl dargestellten
Zahl.
Normal: Übliche Darstellung einer Zahl mit Ziffern vor und nach dem
Komma (wenn bei Einstellung von Fix n und Fließ n möglich).
Wissenschaftlich: Anzeige in wissenschaftlicher Zehnerpotenzschreibweise, also in normierter Gleitkommadarstellung. Stellenanzahl der
Mantisse gemäß Fix n bzw. Fließ n.
Technisch: in technischer Zehnerpotenzschreibweise; zum Unterschied
von der wissenschaftlichen Schreibweise ist der Exponent der
Zehnerpotenz stets ein Vielfaches von 3; dementsprechend wird die
Mantisse mit bis zu 3 Stellen vor dem Komma angezeigt.
Berechnungsmodus:
Exakt: Jedes ganzzahlige Ergebnis wird ohne Komma und jedes nichtganzzahlige Ergebnis als Bruch mit bis zu 614 Stellen im Nenner und im
Zähler oder möglicherweise als Symbol (z.B. π, 8 ,…) dargestellt.
Approximiert: Anzeige numerischer Ergebnisse gemäß den
Einstellungen in den Menüpunkten „Angezeigte Ziffern“ und
„Exponentialformat“.
Auto: Verwendet die Exakt-Form, wenn bei der Eingabe kein Komma
vorkommt. Auto ist die bevorzugte Einstellung.
Wert einer Variablen zuweisen
Speichern:
Der Variablen a wurde noch kein Wert zugewiesen,
sie ist noch „undefiniert“. Mit / h wird der
Variablen a ein Wert zugewiesen. Man spricht von
einer „definierten“ Variablen. Alternativ kann man
:= eintippen oder Define (b/Aktionen/Define)
verwenden.
Drückt man h, so erscheinen in einem Fenster die
abgespeicherten Variablen.
Vorübergehend einen Wert zuweisen:
d|d = 5 („Senkrecht Operator“: /=)
Seite 36
Löschen des Wertes einer Variablen
Das Löschen des Wertes einer Variablen kann
durch die Anweisung DelVar erfolgen
(b/Aktionen/Variable löschen). Diese Anweisung
kann auch zeichenweise eingetippt werden, auf
Groß- und Kleinbuchstaben braucht dabei nicht
geachtet zu werden.
Mit Lösche a-z (b/Aktionen/Lösche a-z) löscht
man alle nur mit einem Buchstaben benannten
Variablen.
Lösen von Gleichungen
b/Algebra/Löse, danach die Gleichung eintippen
und die Gleichungsvariable angeben.
Gleichungssysteme
Auch Gleichungssysteme können mit solve(): (b/Algebra/Löse) gelöst werden. In der
Palette der mathematischen Ausdrücke t aktiviert man mit dem Touchpad das entsprechende Element (für ein System von zwei Gleichungen gibt es ein eigenes Symbol) und bestätigt
dies mit ·. Im sich öffnenden Menü wird die Anzahl der Gleichungen, etwa 2, eingegeben.
Seite 37
Im oberen Platzhalter wird die erste, im unteren
die zweite Gleichung eingegeben. Zwischen
geschwungenen Klammern werden die
Gleichungsvariablen mitgeteilt, Abschluss durch
·.
Alternativ ist die Eingabe der einzelnen
Gleichungen mit and zwischen den Gleichungen
möglich.
Graph einer Funktion
Beispiel: Es sollen die Graphen der Funktionen
y = 2x und y = –x+3 gezeichnet werden. Auf der
Startseite (siehe Seite 33) wird die Applikation
Graphs & Geometry geöffnet (alternativ: /~
2). Bei f1(x) wird der Funktionsterm 2x
eingegeben und mit · bestätigt. Nach
Drücken von e wird bei f2(x) der Term –x+3
eingegeben und ebenfalls mit · bestätigt. Der
jeweilige Funktionsgraph wird sofort gezeichnet.
Man kann für die Graphen der eingegebenen
Funktionen unterschiedliche Zeichenstile
(Attribute) wählen. Dazu markiert man über das
Touchpad mithilfe des Mauszeigers den zu
ändernden Funktionsgraphen und drückt
b/Aktionen/Attribute, danach ·. Mit dem
Touchpad kann man nun durch Drücken nach
links oder rechts zwischen drei Linienstärken
wählen.
Weiters können durch Drücken des Touchpads
nach oben bzw. unten auch unterschiedliche
Linienarten und weitere Attribute geändert
werden.
Zur Festlegung des Zeichenbereichs geht man
ins Menü (b/Fenster/Fenstereinstellungen).
XMin und XMax sind die horizontalen, YMin
und YMax die vertikalen Grenzen des
Zeichenbereichs.
X-Skala und Y-Skala sind die Abstände der
Skalierungsstriche auf den Achsen.
Seite 38
Wertetabelle
Auf der Startseite (siehe Seite 33) wird die
Applikation List &Spreadsheet geöffnet
(alternativ: /~ 4).
b/Wertetabelle/Zu Wertetabelle wechseln
In einem kleinen Fenster werden die
Funktionen f1(x) und f2(x) angezeigt. Wir
wählen etwa das schon voreingestellte f1(x),
danach ·.
Drückt man b/Wertetabelle/Funktionseinstellungen bearbeiten, können der
Tabellenanfang und die Schrittweite der
Tabellenwerte geändert werden.
Seite 39
Wählt man bei Unabhängig
Frage aus, so kann man für
beliebige x-Werte die
zugehörigen Funktionswerte
bestimmen.
Wählt man bei
Abhängig Frage
aus, so kann man für
die voreingestellten
x-Werte die
zugehörigen
Funktionswerte
einzeln berechnen
lassen.
Wählt man bei
Abhängig und bei
Unabhängig Frage
aus, so kann man für
die beliebige xWerte die
zugehörigen
Funktionswerte
einzeln bestimmen.
Ermitteln von Funktionswerten
Einstieg durch b/Spur/Grafikspur. Durch Drücken des Touchpads nach rechts oder links
bewegt man sich entlang des Graphen. Dabei werden die Koordinaten der Punkte angezeigt.
Man kann auch einen x-Wert (hier 2) eintippen und dies mit · bestätigen. Der Cursor springt
dann auf den entsprechenden Punkt und die Koordinaten des Punktes werden rechts unten
angezeigt.
Durch Drücken des Touchpads nach oben/unten wechselt man den Graphen.
Seite 40
Ermitteln von Nullstellen
Einstieg durch b/Punkte&Geraden/Punkt auf. Man bewegt den Mauszeiger auf den
Funktionsgraphen, von dem man die Nullstelle bestimmen möchte, und bestätigt mit ·.
Mit /x umfasst man den Punkt. Man verschiebt den Punkt entlang des Graphen in Richtung
der Nullstelle bis [Nullstelle] erscheint.
Seite 41
Alternative: b/Graph analysieren/Null. Sind mehrere Graphen dargestellt, so muss zunächst der
Funktionsgraph ausgewählt werden, von dem die Nullstelle ermittelt werden soll. Danach wird man
aufgefordert, die Grenzen eines Intervalls (Untere Schranke, Obere Schranke) einzugeben, das die
gesuchte Nullstelle enthält.
Schnittpunkt zweier Graphen
Einstieg durch b/Punkte&Geraden/Schnittpunkte.
Man steuert zuerst mit dem Mauszeiger den
ersten der beiden Graphen an (der Mauszeiger
| wird zur Hand ø) und drückt ·,
anschließend den zweiten Graphen und drückt
wieder ·.
Seite 42
Es werden die Koordinaten des Schnittpunktes angezeigt.
Alternative: b/Graph analysieren/Schnittpunkt
Danach wird man aufgefordert, die Grenzen eines Intervalls (Untere Schranke, Obere Schranke)
einzugeben, das die gesuchte Schnittstelle enthält.
Seite 43
Dokumente
Beim TI-Nspire kann man alle Arbeiten als Dokumente speichern. Jedes Dokument ist unterteilt in ein
oder mehrere Probleme und jedes Problem enthält eine oder mehrere Seiten.
Erstellen eines Dokumentes
1: Neues Dokument
Man wählt die
gewünschte
Anwendung
aus.
Abspeichern eines ungespeicherten Dokumentes
1.
2.
Über die Tastenkombination / S
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Dateiname: Eingabe des Dokumentnamens
Seitensortierer
Der Seitensortierer (Page Sorter) zeigt alle Probleme in einem Dokument und alle Seiten in einem
Problem als Miniaturansichten an. Mit dem Seitensortierer können Seiten neu angeordnet, eingefügt oder
gelöscht werden.
Mit /£ wird der Seitensortier aktiviert.
Im Seitensortierer kann man ein neues
Problem und auch eine neue Seite einfügen.
Seite 44
Kapitel 4 Elementare Geometrie
Mit der Geometry Applikation können unter anderem auch Konstruktionen mit dem
TI-Nspire durchgeführt werden. Die zugehörigen tns-Dateien (TI-Nspire-Dateien) finden Sie im
Downloadbereich zu Ingenieur-Mathematik 1, neu.
Umkreismittelpunkt
Mit Menü/Formen/Dreieck wird ein beliebiges Dreieck, das durch drei Punkte (Eckpunkte)
definiert ist, gezeichnet.
Die einzelnen Streckensymmetralen zeichnet man mit Menü/Konstruktion/Mittelsenkrechte.
Dazu markiert man jeweils zwei Punkte und die einzelnen Streckensymmetralen werden
gezeichnet.
Seite 45
Den Umkreis zeichnet man, indem man zunächst den Mittelpunkt bestätigt und mit einem
zweiten Klick auf einen der drei Eckpunkte den Radius des Umkreises festlegt.
Höhenschnittpunkt
Die einzelnen Höhen werden mithilfe Menü/Konstruktion/Senkrechte gezeichnet.
Dazu wählt man einen Punkt und die entsprechende Seite aus.
Schwerpunkt
Für den Schwerpunkt ermittelt man die Mittelpunkte der einzelnen Seiten
(Menü/Konstruktion/Mittelpunkt).
Seite 46
Seite 47
Das Zeichnen der Schwerlinien erfolgt mit Menü/Punkte&Geraden/Geraden. Man markiert
den ersten und anschließend den zweiten Punkt.
Inkreismittelpunkt
Seite 48
Das Zeichnen einer Winkelsymmetralen erfolgt durch Markieren dreier Punkte, wobei der
erste und dritte Punkt auf den Schenkeln liegen und der zweite Punkt der Scheitel des
Winkels ist.
Ist eine Winkelhalbierende zu kurz, so zeichnet man einen Punkt auf dieser ein und zieht
diesen Punkt auf die gewünschte Stelle.
Seite 49
Für das Zeichnen des Inkreises zeichnet man zunächst eine Senkrechte auf eine Seite durch
den Inkreismittelpunkt.
TI-Nspire CAS / Ingenieur-Mathematik 1, neu / Kapitel 5
Seite 50
Kapitel 5 Funktionen
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügten tns-Dateien (TI-Nspire-Dateien).
Beispiel 5.3, Seite 175: Empirische Funktion
Die Daten (Zeitpunkt und zugehörige Temperatur) werden jeweils in einer Spalte eingegeben
und mit zeit und temp benannt.
Die grafische Darstellung erfolgt mithilfe
eines Streudiagrammes.
Geometrische Bedeutung von k und d, Seite 181
In einem Graphikfenster werden zwei Schieberegler erstellt und die Variablen mit d und k
benannt. In der Eingabezeile werden die Funktion f1(x) = x und f2(x)= k⋅x + d eingegeben.
1) Bedeutung von d:
Der Schieberegler für k wird auf 1 gestellt und d verändert.
Seite 51
2) Bedeutung von k:
Der Schieberegler für d wird auf 0 gesetzt und k verändert.
Beispiel 5.22, Seite 201: Lineare Kostenfunktion
Abspeichern der Kosten-, Erlös- und
Gewinnfunktion.
Eingabe der drei Funktionen
f1(x) = k(x),
f2(x) = e(x),
f3(x) = g(x)
Seite 52
Ab welcher Stückzahl (= Gewinnschwelle) arbeitet der Betrieb kostendeckend?
1. Möglichkeit: Schnitt der Graphen der Kostenund Erlösfunktion
2. Möglichkeit Ermitteln der Nullstelle
der Gewinnfunktion
Gewinn mindestens 40000 € ?
Mit b/Spur/Grafikspur ermittelt man
jene Stückzahl x, bei welcher der Gewinn
40 000 € beträgt. Dies ist der Fall bei
einer Stückzahl von 90 Stück.
Seite 53
Beispiel 5.24, Seite 204: Stückweise lineare Funktion
In einer Calculator Applikation wird die Funktionsgleichung eingegeben und in der GraphsApplikation wird der Funktionsgraph dargestellt.
Mit Grafikspur (Menü/Spur/Grafikspur) kann man die zugehörigen Funktionswerte anzeigen.
Beispiel 5.25, Seite 204: Stückweise lineare Weg-Zeit-Funktion
In einer Calculator Applikation wird die stückweise lineare Funktion definiert. Sie kann als
Funktion von t definiert werden.
Seite 54
Da s = s(t) als Funktion von t definiert
wurde, muss in der Eingabezeile t = x
zusätzlich angegeben werden.
Beispiel 5.26, Seite 205: Zugversuch
In einer List-Spreadsheet-Applikation werden in der Spalte A die Dehnung und in der Spalte
B die entsprechenden Kräfte eingegeben. In der Zelle C2 wird der Differenzenquotient als
Formel gebildet.
Das Kopieren der Formel erfolgt mit dem Befehl Füllen (Menü/Daten/Füllen). Mit dem
Touchpad wird der Bereich markiert, in dem die Berechnung erfolgen soll.
Seite 55
Kapitel 6 Lineare Gleichungen und Ungleichungen
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügten tns-Dateien (TI-Nspire- Dateien).
Beispiel 6.3, Seite 220: Äquivalenzumformungen 1
Die Gleichung wird Schritt für Schritt durch Äquivalenzumformungen gelöst.
Beispiel 6.4, Seite 221: Äquivalenzumformungen 2
Die Gleichung wird Schritt für Schritt durch Äquivalenzumformungen gelöst.
Seite 56
Beispiel 6.8, Seite 225: Betragsgleichung
Die Betragsgleichung wird Schritt für Schritt durch Äquivalenzumformungen gelöst.
Grafische Lösung:
Lösung mithilfe der vordefinierten Funktion solve.
Seite 57
Seite 58
Kapitel 7 Lineare Gleichungssysteme
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügten tns-Dateien (TI-Nspire - Dateien).
Beispiel 7.16, Seite 279: Auflagerkräfte bei einem Stützlager
Die Kräfte F1, F2 bzw. F3 werden in kN gespeichert, daher haben die Auflagerkräfte ebenfalls
die Einheit kN.
Die Auflagerkräfte betragen FA = 6,2 kN
bzw. FB = 2,8 kN
Seite 59
Mit dem TI-Nspire kann auch mit Einheiten gerechnet werden. Dabei wird die Einheit nach
einem Unterstrich (befindet sich bei den Sonderzeichen) an die Maßzahl angefügt.
Beispiel 7.17, Seite 281: Gleichstromnetz
Rechnung ohne Einheiten:
I1 = –0,38 A; I2 = –0,01A und I3 = 0,39 A.
Die Ströme I1 und I2 sind negativ, daher ist die tatsächliche Fließrichtung entgegengesetzt zur
anfänglich angenommenen Richtung.
Seite 60
Rechnung mit Einheiten:
I1 = –0,38 A; I2 =–0,01 A und I3 = 0,39 A.
Die Ströme I1 und I2 sind negativ, daher ist die tatsächliche Fließrichtung entgegengesetzt zur
anfänglich angenommenen Richtung.
Seite 61
Aufgabe 7.29, Seite 272: Schwerpunkt
x- und y- Koordinaten der Eckpunkte.
Mittelpunkte der Seiten.
Es folgt das Aufstellen der Gleichungen der Schwerlinien: Eine Schwerlinie ist die Gerade
durch den Mittelpunkt einer Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt.
Koordinaten des Schwerpunktes durch
Schnitt der Schwerlinien sa und sb.
Seite 62
Zusatzaufgabe:
Auf einer ringförmigen Straße mit Einbahnregelung um ein Einkaufszentrum soll das
Verkehrsaufkommen während eines bestimmten Zeitraums ermittelt werden. Außerhalb dieser
Zeit gibt es dort keinen Verkehr. Dazu werden auf den vier Zubringerstraßen die Anzahlen der
zu- und abfahrenden Autos ermittelt. Sie sind in der nachfolgenden Abbildung angegeben. Man
hofft, daraus Schlüsse auf das Verkehrsaufkommen innerhalb der Ringstraße ziehen zu können.
Ist das möglich?
500
600
a1
a4
1000
200
800
400
a3
a2
800
1200
Die Anzahlen der Fahrzeuge, die während der Beobachtungszeit innerhalb der vier Teilabschnitte der Ringstraße gezählt werden, seien a1, a2 , a3 und a4. Daraus ergeben sich vier
Gleichungen:
I: 500 + a4 = 600 + a1
II: 1000 + a1 = 800 + a2
III: a2 + 800 = a3 + 1200
IV: a3 + 700 = a4 + 400
Das lineare Gleichungssystem wird mit dem TI-Nspire gelöst.
Interpretiere die Lösung des linearen Gleichungssystems. Was bedeutet dies für das
Verkehrsaufkommen innerhalb der Ringstraße?
Kapitel 8 Vektorrechnung
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügte tns-Datei (TI-Nspire - Datei).
Beispiel 8.9, Seite 296: Resultierende eines ebenen Kräftesystems
Definition der Kräfte und Winkel
(Winkelmaß auf Grad einstellen).
α = 64,7° (spitzer Winkel)
Seite 63
MathCad / Ingenieur-Mathematik 1, neu / Kapitel 5, Verlag E. DORNER
Seite 64
Mathcad
zu Timischl/Kaiser, Ingenieur–Mathematik 1, neu, Verlag E. DORNER, Wien
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügten Mathcad-Dateien.
Kapitel 5 Funktionen
Beispiel 5.3, Seite 175: Empirische Funktion
Tageszeit und Temperatur werden als Vektoren definiert.
Seite 65
Grafische Untersuchung einer linearen Funktion y = k⋅⋅x + d, Seite 181
Mithilfe zweier Schieberegler wird die geometrische Bedeutung der Parameter k und d
untersucht. Als Vergleichsfunktion dient die Funktion mit der Gleichung y = x.
(1) Beim Schieberegler für k stellt man 1 ein: Durch Verändern des zweiten Schiebereglers
wird die Bedeutung von d untersucht.
(2) Nun stellt man beim Schieberegler für d den Wert 0 ein: Durch Verändern des
Schiebereglers für k wird die Bedeutung von k untersucht.
Beispiel 5.22, Seite 201: Lineare Kostenfunktion
Seite 66
Seite 67
Beispiel 5.24, Seite 204: Stückweise lineare Funktion
Man könnte auch die vordefinierte Funktion floor verwenden. Der Graph wird nun jedoch als
durchgehender Streckenzug gezeichnet, was an den Sprungstellen nicht mehr einer Funktion
entspricht.
Seite 68
Beispiel 5.25, Seite 204: Stückweise lineare Weg-Zeit-Funktion
Beispiel 5.26, Seite 205: Zugversuch
Die Längenzunahme und die Zugkraft werden als Vektoren gespeichert.
Origin ≡ 1
 0 
 0.05 


 0.10 
d :=  0.15 


 0.20 
 0.25 


 0.30 
 0 
 4.2 


 8.5 
F :=  12.8 


 16.2 
 17.4 


 18.0 
Elastischer Bereich: 0 mm ≤ d ≤ 0,15 mm
MathCad / Ingenieur-Mathematik 1 / Kapitel 7
Kapitel 7 Lineare Gleichungssysteme
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügten MathCad-Dateien.
Aufgabe 7.29, Seite 272
Die drei Geraden g1, g2 und g3 bilden ein Dreieck: g1: x + 8y = 12; g2 : y = –2x + 9;
g3: 7y – x=18.
a) Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte!
b) Stelle die Gleichungen der drei Schwerlinien auf!
c) Welche Koordinaten besitzt der Schwerpunkt?
Seite 69
Seite 70
Erweiterung (mithilfe der Vektorrechnung): Die Eckpunkte des Dreiecks werden über
Ortsvektoren definiert (siehe Skizze).
Beispiel 7.16, Seite 279: Auflagerkräfte bei einem Stützträger
Seite 71
Seite 72
Beispiel 7.17, Seite 281: Gleichstromnetz
Das 1. Kirchhoff'sche Gesetz (Knotenregel) und das 2. Kirchhoff'sche Gesetz
(Maschenregel) ergeben die 3 Gleichungen (lineares Gleichungssystem).
Vorgabe
Knoten I:
I1 + I2 + I3
Masche I
I1 ⋅R1 − I2 ⋅R2 + I1 ⋅R4 + U02
Masche II
0
U01 − I3 ⋅R3 + I2 ⋅R2
 −.38 ⋅ V

1.

Ω

-2 V

suchen( I1 , I2 , I3) gleit, 2 → −1.1 ⋅10 ⋅ 1.

Ω

 .39 ⋅ V
1.

Ω

I1 := −0.38A
I2 := −0.01A
0
0



  −0.38 
 =  −0.011  A
 

  0.39 



I3 := 0.39A
Kapitel 8 Vektorrechnung
Nachfolgend eine Übersicht über die beigefügte Mathcad-Datei.
Beispiel 8.9, Seite 296: Resultierende eines ebenen Kraftsystems
Definition der Kräfte als Vektoren
( )
( )
 F1 ⋅cos α 1 

F1 := 
 F ⋅sin α 
1 
 1
 −F3 ⋅cos ( α 3) 

 −F ⋅sin( α ) 
3 
 3
F3 := 
( ) 
( ) 
 −F2 ⋅cos α 2
F2 := 
 F ⋅sin α
2
 2
Seite 73

Ingenieur- Mathematik Moderne Rechenhilfsmittel

Transcription

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