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Algebraische Zerlegung der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate
für den Unterricht an Hochschule und Gymnasium
von
Helmut Maier
März 2011
Werkstatthefte aus Statistik und Ökonometrie
ISSN 1439-3956
Leontief-Institut für Wirtschaftsanalyse Berlin
Maier, Helmut:
Algebraische Zerlegung der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate
für den Unterricht an Hochschule und Gymnasium
Berlin: Leontief-Institut für Wirtschaftsanalyse
(Werkstatthefte aus Statistik und Ökonometrie, Reihe Wissenstransfer)
ISSN 1439-3956
2011 Helmut Maier
Anschrift des Verfassers:
Professor Dr. rer. pol. Helmut Maier
Leontief-Institut für Wirtschaftsanalyse Berlin
Grainauer Straße 19, D-10777 Berlin
Tel.: +49 (0) 211 1765, Email: [email protected]
Algebraische Zerlegung der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate
für den Unterricht an Hochschule und Gymnasium
von Helmut Maier, [email protected]
Vorbemerkungen
Die Lösung des linearen Regressionsproblems mit Hilfe der Differentialrechnung ist klassischer
Bestandteil von statistischen Grundkursen an Universitäten und Fachhochschulen. Sie geht auf Carl
Friedrich Gauß (1777-1855) zurück, der dieses Problem der Linearen Algebra mit Hilfe der Differentialrechnung in heutiger Sprechweise "transdisziplinär" analysiert hat. Offensichtlich hat fast 200 Jahre
kein Bedarf zur Beantwortung der Frage bestanden, ob es auch eine direkte algebraische Lösung und
damit „disziplinäre“ Lösung gibt. Diese Situation hat sich zumindest seit den 1990er Jahren geändert.
Infolge der zu beobachtenden Zurückdrängung mathematischer Ausbildungsinhalte ist die Situation,
dass Hörer statistischer Grundkurse Kenntnisse der Differentialrechnung (partielle Ableitungen) rudimentär oder nicht mitbringen, offensichtlich Realität geworden (Maier 1999a und Anhang). Diese
Situation ist im Zuge der EU-weiten Vereinheitlichung der Studiengänge gemäß der politischen
Vereinbarung von Bologna aus 1998 (URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Bologna-Prozess) und damit
gewollten Verkürzung von Studienzeiten (in Deutschland) im Rahmen von Bachelor- und Masterstudiengängen nicht besser geworden (Maier 2006). Am Fachgebiet Statistik und Ökonometrie der ehemaligen Fachhochschule für Wirtschaft Berlin (und heutigen Hochschule für Wirtschaft und Recht
Berlin) ist schon in den 1980er Jahren eine algebraische Zerlegungsformel für die sogenannte Residualvarianz, die dem Mittelwert der Gaußschen Abweichungsquadrate entspricht, gesucht worden, um
Studierenden das Verstehen der Lösung des linearen Regressionsproblems auch ohne Kenntnis partieller Ableitungen zu ermöglichen. Die Formel ist im November und Dezember 1988 gefunden worden,
zunächst in der einfachen Form zur Regression einer Variablen Y bezüglich nur einer zweiten Variablen X, dann in verallgemeinerter Form zur Regression von Y bezüglich den m Variablen X1, X2, .., Xm.
In der einfachen Form ist sie ab da auch im Statistikunterricht dieses Fachgebietes benutzt worden,
ebenfalls von Kollegen. Parallel hierzu ist die Fachliteratur nach dieser Formel durchsucht worden,
allerdings ohne Erfolg. Unter dem Titel „A direct solution of the problem of linear regression by analysis of variance” ist diese algebraische Zerlegungsformel im August 1997 auf der “Third International
Conference on Statistical Data based on the L1 - Norm and related methods” in Neuchatel/Schweiz
einer wissenschaftlichen Öffentlichkeit vorgestellt worden (Maier 1997a, 1997b). Einwendungen eines
Vertreters aus den USA, die Formel sei bereits bekannt, konnten bei einer Überprüfung nicht erhärtet
werden. Unter dem Titel „How to teach the solution of the problem of linear regression, a direct
approach in a closed form“ ist sie im Juni 1998 bei der „Fifth International Conference of Teaching
Statistics ICOTS-5“ des Internationalen Statistischen Institutes an der Nanyang Technology University
in Singapur Fachvertretern für die Ausbildung in Statistik vorgestellt worden (Maier 1998a), schließlich unter dem Titel „Die algebraische Lösung des linearen Regressionsproblems“ auch bei der
Statistischen Woche der Deutschen Statistischen Gesellschaft in Hannover im Oktober 1999 (Maier
1999b). Publikationen erfolgten im Februar 1997 und Juli 1997 (in erweiterter Fassung) in der Reihe
Werkstatthefte aus Statistik und Ökonometrie (Maier 1997a, 1997b), ebenfalls in der Zeitschrift Student in der Schweiz (Maier 1997c), in 1998 in den Proceedings of the Fifth International Conference
of Teaching Statistics ICOTS-5 des Internationalen Statistischen Instituts (Maier 1998b) und in 2000 in
der Zeitschrift Ekonometria in Polen (Maier 2000). In 2000 ist sie (in ihrer einfachsten Form) in das
Taschenbuch für Statistik (Voß et al. 2000, S. 189) aufgenommen worden. Hierbei ist auf ihre Bedeutung als Alternative zur Gaußschen Lösung des linearen Regressionsproblems, die ohne Hilfe der
Differentialrechnung auskommt, hingewiesen worden (Voß et al. 2000, S.178). Im Semesterjournal
der Fachhochschule für Wirtschaft ist in Heft 1/1999 darüber berichtet worden (Maier 1999c). In
Lehrbüchern und anderen Formelsammlungen für die Statistikausbildung, auch für die Oberstufe an
Schulen, wird sie nach Kenntnis des Autors bislang nicht genannt. Neben schlichter Unkenntnis hängt
dieser Umstand auch damit zusammen, dass der Einsatz von Software im Statistikunterricht die Ablei-
tung und damit das Verstehen elementarer begrifflicher Zusammenhänge aus Lehre und Unterricht
mehr und mehr verdrängt. Irrtümlich wird dadurch Lernenden suggeriert, dass das Verstehen dieser
Begriffe und Zusammenhänge nachrangig oder sogar unnötig ist. Für eine nachhaltige Bildung und
Ausbildung, egal ob auf Schule oder Hochschule, ist dieses Verständnis jedoch unverzichtbar, ohne
dieses ist lebenslange und effektive Fortbildung nicht denkbar. Die gefundene Zerlegungsformel
besticht durch ihre Einfachheit, weil sie eine Summe von beliebig vielen Quadraten durch Umordnung
auf nur zwei Quadrate und eine dritte nicht negative Größe zurückführt. Es ist erstaunlich, dass Carl
Gauß, dessen Funde in der CRC Concise Encyclopedia of Mathematics über 20 von insgesamt 1969
Seiten einnehmen (Weisstein 1999, S.700-721), sie nicht gesucht und notiert hat, allerdings hatte er
keine Veranlassung, nach einer weiteren Lösung zu suchen. Und vielleicht hat der gleiche Umstand ja
andere Fachwissenschaftler davon abgehalten sie zu suchen.
Gegenstand und Ziel
Dieses Werkstattheft ist an akademische Lehrer und Studierende in Bachelor-Studiengängen in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, aber auch an Mathematiklehrer in der Oberstufe von Gymnasien
und Schüler mit Leistungsfach Mathematik adressiert. Es befasst sich mit der Gaußschen Summe der
Abweichungsquadrate lediglich im einfachsten Fall der linearen Regression, wo zwei zufällige Variable X und Y gegeben sind, für die n Datenpaare (xi , yi) , i = 1,2,…,n als Beobachtungen vorliegen und
die Regression von Y bezüglich X vorgenommen wird. Dieser Fall ist Gegenstand sowohl im Statistikunterricht in Bachelor-Studiengängen an Hochschulen als auch im Leistungsfach Mathematik an der
Oberstufe von Gymnasien. Grafisch sind die n Datenpaare vorstellbar als n Punkte in einem Koordinatensystem mit der Abszisse x und der Ordinate y. Das lineare Regressionsproblem besteht darin, eine
Gerade zu finden, die diese n Punkte „möglichst gut erfasst“, sie heißt „Regressionsgerade“. Die
Lösung kann man grafisch angenähert ermitteln, indem man das Augenmaß zugrundelegt und mit
Hilfe eines Lineals diese Gerade aufsucht und durchzieht. Und sie wird nach Gauß mit Hilfe der
Differentialrechnung analytisch als diejenige Gerade ermittelt, bei der die sogenannte „Summe der
Abweichungsquadrate“ der n Punkte von allen denkbaren Geraden minimal ist. Die Summe der
Abweichungsquadrate ist hierbei durch den Ausdruck ∑ (yi – y(xi) ) 2 definiert, wo y(x) = m x + b
eine beliebige Gerade mit Steigung m = y'(x) = dy/dx und Ordinatenabschnitt b = y(0) ist; für jede
Wahl von m und b erhält man eine andere Gerade. Für diese Gaußsche Summe von n Quadraten, die
ein quantitatives Kriterium für den qualitativen Ausdruck „möglichst gut erfassen“ darstellt, wird in
diesem Werkstattheft die algebraische Zerlegung in nur zwei Quadrate und einen weiteren nicht negativen Anteil explizit nachgewiesen. Und zwar so, dass er für Leser mit Schulkenntnissen über das
Summenzeichen ∑ und die Quadratbildung einschließlich quadratischer Ergänzung nachvollziehbar
ist. Die elf Rechenschritte (Zeilen) dieses Nachweises sowie einige Nebenrechnungen sind notiert.
Natürlich ist dieser Nachweis – in wesentlich allgemeinerer und damit komplizierterer Form – bereits
in der Literatur enthalten, jedoch benötigt ein Leser dort vertiefte Kenntnisse über Vektoren und
Matrizen, die hier ausgeblendet sind. Anschließend wird erläutert, wie man mit Hilfe dieser Zerlegungsformel das Minimum der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate verblüffend einfach
bestimmt und hierbei die Regressionsgerade gewinnt.
Definitionen und Bezeichnungen
= (1/n) ∑ xi
Mittelwert der Variablen X = (xi), i = 1,2,..,n;
= (1/n) ∑ yi
Mittelwert der Variablen Y = (yi), i = 1,2,…,n;
sx2 = (1/n) ∑ ( xi – ) 2 Varianz von X, positive Wurzel daraus die Standardabweichung sx von X;
sy2 = (1/n) ∑ ( yi – ) 2 Varianz von Y, positive Wurzel daraus die Standardabweichung sy von Y;
r
= (1/n) ∑ ( xi – ) ( yi – ) / ( sx sx ) Korrelationskoeffizient zwischen den Variablen X und Y;
y(x) = m x + b
Beliebige Gerade mit Steigung m = dy/dx und Ordinatenabschnitt b = y(0);
∑( yi – y(xi) )2
Gaußsche Summe der Abweichungsquadrate = Summe der quadrierten
Abweichungen der Punkte (xi , yi) von den senkrecht darunter bzw. darüber
liegenden Punkten der Gerade y(x);
s 2res = (1/n) ∑( yi – y(xi) )2 Residualvarianz gleich Varianz von Y in Bezug auf die Gerade y(x) und
gleich dem Mittelwert der Gaußschen Abweichungsquadrate.
Der Laufbereich von Index i beim Summenzeichen ∑ lautet jeweils i = 1,2,…,n, und er ist nicht extra
ausgewiesen. Die Standardabweichungen sx und sy sind jeweils größer als Null, da zufällige Variable
vorliegen.
Algebraische Zerlegung
Die Zerlegung der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate lautet:
∑( yi – y(xi) )2 = n [ ( m sx – r sy ) 2 + ( m
+ b – ) 2 + (1 – r2 ) sy2 ]
Durch Division mit n entsteht daraus eine Zerlegung für die Residualvarianz s 2res :
s 2res = (1/n) ∑( yi – y(xi) )2 = ( m sx – r sy ) 2 + ( m
+ b – ) 2 + (1 – r2 ) sy2
Sind die Punkte (xi, yi) für i = 1,2,…,n fest vorgegeben, so liegen die Datenparameter
sx , sy und r
ebenfalls fest und sind konstant. Variabel sind jedoch die Geradenparameter m und b, sie sind so zu
bestimmen, dass die Gaußsche Summe der Abweichungsquadrate oder die bis den Faktor (1/n) gleiche
Residualvarianz minimal ist. Für das Aufsuchen des Minimums spielt dieser feste Faktor keine Rolle.
Nachweis der Zerlegung
s 2res = Mittelwert der Gaußschen Abweichungsquadrate
= (1/n) ∑ (yi – y(xi) ) 2
= (1/n) ∑ (yi – (m xi + b) ) 2
= (1/n) ∑ (yi2 + (m xi + b ) 2 – 2 ( m xi + b ) yi )
= (1/n) ∑ (yi2 + (m xi)2 + b2 + 2 m xi b – 2 m xi yi – 2 b yi )
= (1/n) ∑ yi2 + (1/n)∑ (m xi)2 + (1/n)∑ b2 + (1/n)∑ (2 m xi b) – (1/n)∑ (2 m xi yi) – (1/n)∑ (2 b yi)
= (1/n) ∑ yi2 + m2 (1/n) ∑ xi2 + b2 (1/n) ∑1 + 2 m b (1/n) ∑ xi – 2 m (1/n) ∑xi yi
– 2 b (1/n)∑ yi
= ( sy2 +
2
) –2b
sy2 +
2
=
) + m2 (sx2 +
2
+ m2 sx2 + m2
) + b2
2
+ b2
= (m2 sx2 – 2 m r sx sy + r2 sy2) – r2 sy2 +
=
( m sx – r sy ) 2
=
( m sx – r sy ) 2
+
+2mb
– 2 m ( r sx s y +
+2mb
– 2 m r sx sy – 2 m
2
+ (b2 + m2
2
+ (m
2
+2mb ) –2m
+ b ) 2 – 2 (m
+(m
+b – )2
+ b)
–2b
–2b
+ sy2
+ sy2 – r2 sy2
+ (1 – r2 ) sy2
Durch Multiplikation mit n folgt die Zerlegung der Gaußschen Summe der Abweichungsquadrate.
Benutzte Relationen beim Nachweis
(1/n) ∑ 1
= 1
(1/n) ∑ xi2
= sx2 +
(1/n)∑ yi2
= sy2 +
(1/n) ∑xi yi
= r sx sy +
2
2
Nachweis dieser Relationen
(1/n) ∑ 1
= (1/n) ( 1 + 1 + 1 + … + 1) = (1/n) n = 1
sx2 +
= (1/n) ∑ ( xi –
2
)2 +
= (1/n) ∑ ( xi2 – 2 xi
2
2
+
2
) +
= (1/n) ∑ xi2 – (1/n) ∑ 2 xi
+ (1/n) ∑
2
+
2
= (1/n) ∑ xi2 – 2
(1/n) ∑ xi +
2
(1/n) ∑ 1 +
2
= (1/n) ∑ xi2 – 2
2
2
+
2
+
= (1/n) ∑ xi2
Durch Ersetzen von x durch y erhält man sy2 +
r sx sy +
= (1/n) ∑ ( xi –
) ( yi –
= (1/n) ∑ ( xi yi – xi
2
= (1/n)∑ yi2 .
) +
–
= (1/n) ∑ xi yi – (1/n) ∑ xi
yi +
) +
– (1/n) ∑
yi
+
+
= (1/n) ∑ xi yi –
(1/n) ∑ xi –
(1/n) ∑ yi +
+
= (1/n) ∑ xi yi –
–
+
+
= (1/n) ∑ xi yi
Benutzte Rechenregeln für das Summenzeichen: ∑ (ai + bi) = ∑ ai + ∑ bi und c ∑ ai = ∑ (c ai) .
Nachweis dieser Rechenregeln für Zahlen ai , bi , i = 1,2,…,n und c:
∑ (ai + bi) = (a1+b1) + (a2+b2) +…+ (an + bn) = (a1+ a2+…+ an) + (b1+b2+…+ bn) = ∑ ai + ∑ bi
c ∑ ai = c (a1 + a2 +…+ an) = (c a1) + (c a2) +…+ (c an) = ∑ (c ai)
Lösung des linearen Regressionsproblems
Wie erwähnt, besteht diese darin, eine Gerade zu finden, die vorgegebene n Datenpaare (xi, yi) optimal
erfasst in dem Sinne, dass die Residualvarianz s2res bzw. die bis auf den Faktor (1/n) identische
Gaußsche Summe der Abweichungsquadrate ∑( yi – y(xi) )2 minimal ist:
s 2res = (1/n) ∑( yi – y(xi) )2 = ( m sx – r sy )2 + ( m
+ b – )2 + (1 – r2 ) sy2
soll minimal sein
Bei der geometrischen Bestimmung mit Hilfe des Augenmaßes zeichnen wir die n Datenpaare (x i, yi)
als n Punkte in ein rechtwinkligen x/y-Diagramm ein. Wir drehen und verschieben dann ein Lineal so
lange im zentralen Daten- bzw. Punktefeld, bis wir optisch den Eindruck haben, diese optimale Gerade
gefunden zu haben, und wir ziehen entlang dieses Lineals einen Strich durch dieses Diagramm. Die
analytische Lösung mit Hilfe dieser Formel entspricht dieser Vorgehensweise: Wenn wir das Lineal
auf dem Diagramm drehen, verändern wir die Richtung dieser Geraden und damit den Parameter m in
dieser Zerlegungsformel, der ihre Steigung misst. Wenn wir das Lineal parallel nach oben bzw. unten
verschieben, ändern wir den Ordinatenabschnitt dieser Geraden und damit den Parameter b in dieser
Formel, der diesen Ordinatenabschnitt am Koordinatenursprung misst. Die Parameter m und b in
dieser Formel stehen uns also zur Ansteuerung der gesuchten minimalen Lösung zur Verfügung. Wir
versuchen, m und b analytisch so zu steuern, dass die Residualvarianz minimal wird: In einem ersten
Schritt steuern wir m so, dass das erste Quadrat (m sx – r sy )2 = 0 wird (einen kleineren Wert als 0
gibt es für ein Quadrat nicht), und wir erhalten die Steigung m = r sy / sx . Nun können wir noch über b
verfügen. Dieses steuern wir in einem zweiten Schritt so, dass das zweite Quadrat (m + b – )2 = 0
wird (einen kleineren Wert als 0 gibt es nicht). Wegen y (
m + b = besagt diese Nullsetzung,
dass die gesuchte Gerade – unbeschadet der Festlegung von m und b – durch den Punkt ( , ) gehen
muss. Aus beiden Nullsetzungen erhalten wir somit die Punkt/Steigungsform einer Geraden:
( y(x) –
) / (x –
) = r s y / sx
Diese ist die Regressionsgerade, weil der dritte Ausdruck (1 – r2) sy2 in dieser Zerlegung durch
Steuerung von m und b nicht verändert werden kann, letzterer stellt also die Residualvarianz der
Regressionsgeraden dar. Anmerkung: Man kann auch aus der Nullsetzung des zweiten Quadrates b =
– m = – (r sy / sx) bestimmen und daraus die Geradengleichung gewinnen
y(x) = m x + b = (r sy / sx) x +
– (r sy / sx)
= (r sy / sx) (x –
)+
und erhält dasselbe Ergebnis. Die Regressionsgerade hat also die Steigung r sy / sx und geht durch den
Punkt ( , ), dessen Koordinaten die Mittelwerte von X und Y sind. Das Vorzeichen der Steigung
wird durch das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten r bestimmt; sie steigt also für wachsende xWerte nach rechts an, wenn r positiv ist, umgekehrt fällt sie für wachsende x-Werte nach rechts, wenn
r negativ ist. Darüber hinaus beziffert diese Formel die Größe dieser Restvarianz mit (1 – r2 ) sy2,
letztere ist genau dann gleich Null, wenn der Korrelationskoeffizient +1 oder –1 ist, dann liegen alle
Punkte auf der Regressionsgeraden. Bei dieser Kenntnis lässt sich die Zerlegung auch so formulieren:
s 2res = (1/n) ∑( yi – y(xi) )2 = sx2 ( y'(x) – r sy / sx )2 + ( y(
)–
)2 + (1 – r2 ) sy2
Nachtrag
In dieser Darstellung sind für die Datenparameter
sx , sy und r durchweg lateinische Buchstaben
gewählt worden. Dieser liegt die Vorstellung zugrunde, dass die vorgegebenen n Datenpaare (x i , yi) ,
i = 1,2,…,n lediglich einen Teil der Grundgesamtheit umfassen, oder eine Stichprobe daraus ist. Zu
beachten ist dann, dass die zugrundegelegte Formeln für diese Parameter Schätzungen (bei sx und sy
die sogenannten Maximum-Likelihood-Schätzungen) für die entsprechenden Parameter µx, µy, σx , σy
und ρ der Grundgesamtheit sind, für die griechische Buchstaben üblich sind.
Literatur
Maier, H. (2006) Impact of Bologna Regulations on Education in Statistics, New Bachelor and Master
Studies in Berlin and Germany. Poster and additional materials presented on occasion of the 7th
International Conference on Teaching Statistics of the International Statistical Institute held from July
2-7, 2006 at the Othon Hotel in Bahia, Salvador, Brasil, June 2006, Werkstatthefte aus Statistik und
Ökonometrie, Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, June 2006.
Voß, Werner et al. (Hrsg.) (2000): Taschenbuch der Statistik, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser
Verlag München Wien, ISBN 3-446-211543 (Zerlegungsformel S.189 nebst Gewinnung der Regressionsgeraden aufgeführt, Hinweis darauf bei der Darstellung der Gaußschen Lösung S.178).
Maier, H. (2000) A direct solution of the problem of linear regression by analysis of variance,
Ekonometria 5, 2000, PL ISSN 0324-8445, PL ISSN 1507-3866, Wroclaw/Polen, S. 9-21.
Maier, H.(1999c) Algebraische Lösung des linearen Regressionsproblems vorgestellt,Semesterjournal,
Heft 2/1999, ISSN 0945-7933, Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, Dezember 1999, S.9 (Anhang).
Maier, H. (1999b) Die algebraische Lösung des linearen Regressionsproblems, Vortrag anlässlich der
Statistischen Woche 1999 der Deutschen Statistischen Gesellschaft et al. am 5. Oktober 1999 in
Hannover, Tagungsführer, S. 49.
Maier, H. (1999a) Mathe-Kenntnisse – Studienanfänger an der FHW im bundesweiten Vergleich, Semesterjournal, Heft 1/1999, FHW, ISSN 0945-7933, Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, Juli 1999,
S. 32 (siehe Anhang).
Weisstein, Eric W. (1999) CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 0-84939640-9, Boca Raton London New York Washington, D.C.
Maier, H. (1998b) How to teach the solution of the problem of linear regression, a direct approach in a
closed form, In: Pereira-Mendoza, L. et al.(Ed.), Proceedings of the Fifth Conference on Teaching Statistics, Volume 3, ISBN 9073592-14-3, ISI Permanent Office, AZ Voorburg/Netherlands,p.1243-1249.
Maier, H. (1998a) How to teach the solution of the problem of linear regression, a direct approach in a
closed form, Paper presented to The Fifth International Conference on Teaching Statistics ICOTS-5 at
Nanyang Technology University in Singapore, June 21-26, 1998, Werkstatthefte aus Statistik und
Ökonometrie, Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, Februar 1998.
Maier, H. (1997c) A Direct Solution of the Problem of Linear Regression by Analysis of Variance, In:
Student, A Statistical Journal for Graduate Students,Volume 2, Number 2, Neuchatel, September
1997, S. 201-208.
Maier, H. (1997b) A direct solution of the problem of linear regression by analysis of variance, Paper
presented to the Third International Conference on Statistical Data based on the L1 - Norm and related
methods, August 11-15, 1997, Neuchatel/Switzerland, Werkstatthefte aus Statistik und Ökonometrie,
Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, Erweiterte Fassung, Juli 1997.
Maier, H. (1997a) A direct solution of the problem of linear regression by analysis of variance, Paper
presented to the Third International Conference on Statistical Data based on the L1 - Norm and related
methods, August 11-15, 1997, Neuchatel/Switzerland, Werkstatthefte aus Statistik und Ökonometrie,
Fachhochschule für Wirtschaft Berlin, Februar 1997.
Anhang
Quelle: Semesterjournal, Heft 1/1999, ISSN 0945-7933, FHW Berlin, Juli 1999, S. 32
Quelle: Semesterjournal, Heft 2/1999, ISSN 0945-7933, FHW Berlin, Dezember 1999, S.9