Fokker-Planck-Gleichung

Transcription

Beschreibung
stochastischer Prozesse
David Kleinhans
[email protected]
WWU Münster
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse
1
Geschichte
Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:
1905
Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung
1908
Langevin-Gleichung
1914/17
1928
Mastergleichung
1940-49
Kramers-Moyal-Entwicklung
2
Geschichte
Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:
1905
Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung
1908
Langevin-Gleichung
1914/17
1928
Mastergleichung
1940-49
Jetzt: Stochastik im Zweitraffer!
2
Wegweiser
Einführung in die Stochastik
Zufallsprozesse
Wahrscheinlichkeitsdichten / bedingte Wahrscheinlichkeiten
Charakteristische Funktion
Momente und Kumulanten
Elementare stochastische Prozesse: Langevin-Gleichung
Modell: Brownsche Bewegung
Nichtlineare Gleichung
Zeitverhalten von Wahrscheinlichkeitsdichten: Fokker-Planck-Gleichung
Berechnung der Entlicklungskoeffizienten für Langevin
Fokker-Planck: Charakterisierung der Gleichung
3
Einführung in die Stochastik
4
Stochastik: Motivation
Stochastik (griechisch): Kunst des (geschickten) Vermutens
Untersuchung makroskopischer, komplexer Systeme:
Klassische, Newton’sche Beschreibung: Sehr (, häufig zu) viele Freiheitsgrade
Mit Methoden der Stochastik:
Deterministischer Anteil
Fluktuierende, stochastischer Anteil
⇒ Stochastische Beschreibung von physikalischen Prozessen
5
Stochastik: Grundlagen 1
Zufallsvariable ξ: nicht vorhersagbar
Schar-Mittel: Viele Experimente oder Ensemble von Experimenten ξn
1 P
hf (ξ)i = lim N
f (ξn )
N →∞
n
Mit der Heavyside’schen-Θ-Funktion Θ(x − ξ) =



0



1
2




 1
für ξ > x
für ξ = x :
für ξ < x
Verteilungsfunktion
P (ξ < x) + 12 P (ξ = x) = hΘ(x − ξ)i
d
mit: dx
P (ξ ≤ x) > 0 ∀ x, P (ξ ≤ −∞) = 0, P (ξ ≤ +∞) = 1
6
Grundlagen 2
Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte (distribution function):
Wξ (x) :=
Es gilt:
R
d
P (ξ
dx
d
≤ x) = h dt
Θ(x − ξ)i = hδ(x − ξ)i
Wξ (x) dx = 1 und Wξ (x) ≥ 0 ∀ x
Alle Mittelwerte lassen sich mit Hilfe von Wξ (x) berechnen:
R
R
R
hf (ξ)i = h f (x)δ(x − ξ) dxi = f (x)hδ(x − ξ)i dx = f (x)Wξ (x) dx
Momente Mn :
Mn := hξ n i
7
Grundlagen 3
Charakteristische Funktion:
R
Cξ (x) := heiuξ i = eiux Wξ (x) dx
Fouriertransformierte von Wξ (x)
Berechnung der Momente:
Mn :=
hξ n i
=
1 dn
C
(u)
n
n
ξ
i du
u=0
Taylor-Entwicklung von Cξ (u) um u = 0:
∞
P
(iu)n
Mn
Cξ (u) = 1 +
n!
n=1
Kumulanten Kn :
Cξ (u) =:
∞ (iu)n
P
en=1
n!
Kn
Kumulanten und Momente sind verknüpft:
K1 = M1
M1 = K1
K2 = M2 − M12
M2 = K2 + K12
K3 = M3 − 3M1 M2 + 2M13
.
.
.
M3 = K3 + 3K2 K1 + K13
.
.
.
8
’Einfache’ Verteilungen
’Einfache’ Wahrscheinlichkeitsverteilungen für
Kn = 0 ∀ n > N
N = 1:
Cξ (u) = eiuK1
⇒
Wξ (x) = δ(x − K1 )
N = 2:
2K
1
Cξ (u) = eiuK1 − 2 u
⇒ Wξ (x) =
Wξ (x) =
1
2π
∞
R
2
1
2
e−iux+iuK1 − 2 u
K2
du
−∞
√ 1
e
2πK2
−1
2
(x−K1 )2
K2
9
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Verallgemeinerung auf mehrere Zufallsvariable:
ξ −→ ξ1 , . . . , ξr
und Wξ (x) −→ Wr (x1 , . . . , xr )
Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten:
Wr (x1 , . . . , xr ) = P (x1 |x2 , . . . , xr ) · Wr−1 (x2 , . . . , xr )
⇒ P (x1 |x2 , . . . , xr ) =
R
Wr (x1 ,...,xr )
Wr (x1 ,...,xr )dx1
Korrelation zweier Zufallsvariablen:
κ(ξ1 , ξ2 ) := h(ξ1 − hξ1 i)(ξ2 − hξ2 i)i = hξ1 ξ2 i − hξ1 ihξ2 i
Es gilt: κ(ξ, ξ) = h(ξ − hξi)2 i = K2
10
Zeitabhängige Zufallsvariablen
Zeitabhängigkeit der Zufallsvariablen:
ξ −→ ξ(t)
und damit W1 (x) −→ W1 (x1 , t1 ) = hδ(x1 − ξ(t))i
Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten gilt nun:
P (xn , tn |xn−1 , tn−1 , . . . , x1 , t1 ) = hδ(xn − ξ(tn ))i|xn−1 ,tn−1 ,...,x1 ,t1
= R
Wn (xn , tn , . . . , x1 , t1 )
Wn (xn , tn , . . . , x1 , t1 ) dxn
11
Klassifikation von Zufallsprozessen
Reiner Zufallsprozess: P (xn , tn |xn−1 , tn−1 , . . . , x1 , t1 ) = W (xn , tn )
Es folgt: Wn (xn , tn , . . . , x1 , t1 ) = W1 (xn , tn ) · . . . · W1 (x1 , t1 )
Beachte: Für |tn − tn−1 | ≪ 1 muß ein physikalisches System eine Korrelation
haben
⇒ Reiner Zufallsprozess unphysikalisch!
Markov-Prozess: P (xn , tn |xn−1 , tn−1 , . . . , x1 , t1 ) = P (xn , tn |xn−1 , tn−1 )
Es folgt: Wn (xn , tn , . . . , x1 , t1 ) =
P (xn , tn |xn−1 , tn−1 )·P (xn−1 , tn−1 |xn−2 , tn−2 )·. . .·P (x2 , t2 |x1 , t1 )·W1 (x1 , t1 )
es gilt: lim P (x2 , t2 |x1 , t1 ) = δ(x2 − x1 ),
t2 →t2
⇒ Komplette Information steckt in W2 !
Generelle Prozesse (mehr Terme)
lassen sich nach Wang, Uhlenbeck auf Markov-Prozesse zurückführen
12
Elementare stochastische Prozesse:
Langevin-Gleichungen
13
Brown’sche Bewegung
Prominentes Beispiel:
Makroskopisches Teilchen in Flüssigkeit, Newton: mẍ + bẋ = Fs (t)
Langevin-Gleichung: v̇ = −γv + Γ(t)
Γ(t) stochastische Kraft mit folgenden Eigenschaften:
hΓ(t)i = 0
hΓ(t)Γ(t′ )i = qδ(t − t′ )
Spektrale Dichte (nach Wiener-Khintchine-Theorem):
∞
R
S(ω) = 2
exp(−iωτ )hΓ(t + τ )Γ(t)i dτ = 2q
−∞
Man nennt Γ(t) deltakorreliertes, weißes Rauschen
(⇒ Markov-Prozess)
14
Nichtlineare Langevin-Gleichung
Allgemeine, nichtlineare Formulierung:
ξ̇ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t)
mit
hΓ(t)i = 0
hΓ(t)Γ(t′ )i = 2δ(t − t′ )
Falls g



 konstant 



= g(ξ)
nennt man das Rauschen:


 additiv

 multiplikativ


Beachte:
Multiplikatives Rauschen: Im Allgemeinen hg(ξ, t)Γ(t)i 6= 0
→ Rauschinduzierter Drift
Beispiel:
a
h(ξ, t) ≡ 0 und g(ξ, t) = a · ξ
⇒
Rt
ξ(t) = hξ(0)i · e 0
Γ(t′ ) dt′
2
und hξ(t)i = hξ(0)i · ea t
15
Zeitverhalten von
Wahrscheinlichkeitsdichten:
16
Motivation
Bis jetzt:
Beschreibung einzelner Prozesse
Bewegungsgleichung für elementare Prozesse
Ab jetzt:
Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),
das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.
Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte
W (x, t + τ ) =
R
W (x, t + τ, x′ , t) dx′ =
R
P (x, t + τ |x′ , t)W (x′ , t) dx′
⇒ Notwendig: Kenntnis von P (x, t + τ |x′ , t) für τ ≪ 1
17
Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 1
Mit Mn (x′ , t, τ ) = h[ξ(t + τ ) − ξ(t)]n i|ξ(t)=x′ =
C(u, x′ , t, τ )
∞
P
= 1+
(iu)n
n=1
Rücktransformation:
P (x, t +
=
1
2π
τ |x′ , t)
∞
R
−∞
=
1
2π
′
e−iu(x−x
)
R∞
−∞
1+
Mn (x′ ,t,τ )
{=
n!
R
R
(x − x′ )n P (x, t + τ |x′ , t) dx gilt:
′
eiu(x−x ) P (x, t + τ |x′ , t) dx}
′
e−iu(x−x ) C(u, x′ , t, τ ) du
∞
P
(iu)n
n=1
′
Mn (x ,t,τ )
n!
du
Auswertung des Integrals:
n
∞
R
′)
1
∂
n
iu(x−x
(iu) e
= − ∂x
δ(x − x′ )
2π
−∞
Partielle Integration liefert später:
n
n
R
R
∂
∂
′
′
′
f (x ) · − ∂x
δ(x − x ) dx = − ∂x
f (x) δ(x − x′ ) dx′
18
Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 2
Einsetzen von P (x, t + τ |x′ , t) liefert:
W (x, t + τ ) =
=
⇒
R
R
W (x, t) +
P (x, t + τ |x′ , t)W (x′ , t) dx′
∞
P
N =1
W (x,t+τ )−W (x,t)
τ
1
n!
=
∂
− ∂x
∞
P
N =1
n
1
n!
Mn (x, t, τ )W (x, t) δ(x − x′ ) dx′
∂
− ∂x
n
h[ξ(t + τ ) − ξ(t)]n i|ξ(t)=x W (x, t) τ1
Im Grenzübergang τ → 0 gilt:
n
∞ P
∂
∂
− ∂x
W (x, t) =
D(n) (x, t)W (x, t)
∂t
n=1
(Kramers-Moyal-Entwicklung, 1940-49)
Dabei ist D(n) (x, t) =
1
lim 1
n! τ →0 τ
h[ξ(t + τ ) − ξ(t)]n i|ξ(t)=x .
Entwicklungskoeffizienten für Langevin-Gleichung berechnen. . .
19
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 1
Haben: Allgemeine, nichtlineare Langevin-Gleichung:
ξ̇ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t)
mit
hΓ(t)i = 0
hΓ(t)Γ(t′ )i = 2δ(t − t′ )
Müssen berechnen:
D(n) (x, t) =
1
1
lim
n! τ →0 τ
h[ξ(t + τ ) − ξ(t)]n i|ξ(t)=x
20
t+τ
R
ξ(t + τ ) − x =
h(ξ(t′ ), t′ ) + g(ξ(t′ ), t′ )Γ(t′ ) dt′
t
Entwicklung von h und g um x = ξ(t):
h(ξ(t′ ), t′ ) = h(x, t′ ) + h′ (x, t′ )(ξ(t′ ) − x) + . . .
t+τ
R
ξ(t + τ ) − x =
h(x, t′ )
dt′
+
t
+
t+τ
R
, für g entsprechend
h′ (x, t′ )(ξ(t′ ) − x) dt′ + . . .
t
t+τ
R
g(x, t′ )Γ(t′ )
dt′
t
+
t+τ
R
g ′ (x, t′ )(ξ(t′ ) − x)Γ(t′ ) dt′ + . . .
t
Iterieren:
t+τ
t+τ
t+τ
t′
t′
R
R
R
R
R
=
h(x, t′ ) dt′ +
h′ (x, t′ ) h(x, t′′ ) dt′′ dt′ +
h′ (x, t′ ) g(x, t′′ )Γ(t′′ ) dt′′ dt′ . . .
t
+
t+τ
R
t
g(x, t′ )Γ(t′ ) dt′ +
t
+
t+τ
R
t
t
t+τ
R
t
′
g ′ (x, t′ )
Rt
t
t
′
g ′ (x, t′ )
Rt
h(x, t′′ )Γ(t′ ) dt′′ dt′
t
g(x, t′′ )Γ(t′′ )Γ(t′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
21
Mittelwert:
hξ(t + τ ) − xi =
t+τ
R
h(x, t′ ) dt′ +
t
+
t+τ
R
t+τ
R
t
′
g ′ (x, t′ )
t
Rt
′
h′ (x, t′ )
Rt
h(x, t′′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
g(x, t′′ )2δ(t′′ − t′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
Auswerten des Integrals:
′
Rt
t
′
g(x, t′′ )2δ(t′′ − t′ ) dt′′ = g(x, t′ )
Rt
2δ(t′′ − t′ ) dt′′ = g(x, t′ )
t
22
Mittelwert:
hξ(t + τ ) − xi =
t+τ
R
h(x, t′ ) dt′ +
t
+
t+τ
R
t+τ
R
t
′
g ′ (x, t′ )
t
Rt
′
h′ (x, t′ )
Rt
h(x, t′′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
g(x, t′′ )2δ(t′′ − t′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
für τ ≪ 1:
hξ(t + τ ) − xi = h(x, t) · τ + 12 h′ (x, t)h(x, t)τ 2 + . . . + g ′ (x, t)g(x, t)τ + . . .
1
hξ(t
τ →0 τ
⇒ D(1) (x, t) = lim
+ τ ) − xi= h(x, t) + g′ (x, t)g(x, t)
22
Ebenso erhält man D(2) (x, t) wieder aus:
ξ(t + τ ) − x
=
t+τ
R
h(x, t′ ) dt′ +
t
+
t+τ
R
+
t
′
h′ (x, t′ )
t
g(x, t′ )Γ(t′ ) dt′ +
t
t+τ
R
t+τ
R
Rt
h(x, t′′ ) dt′′ dt′ +
t
t+τ
R
g ′ (x, t′ )
t
′
g ′ (x, t′ )
Rt
t+τ
R
′
h′ (x, t′ )
t
′
Rt
Rt
g(x, t′′ )Γ(t′′ ) dt′′ dt′ . . .
t
h(x, t′′ )Γ(t′ ) dt′′ dt′
t
g(x, t′′ )Γ(t′′ )Γ(t′ ) dt′′ dt′ + . . .
t
h[ξ(t + τ ) − x]2 i = (h(x, t) · τ )2 +
⇒ D(2) (x, t) =
1
lim 1 h[ξ(t
2 τ →0 τ
1 ′
2 2
h
(x,
t)h(x,
t)τ
2
+ . . . + g(x, t)g(x, t)τ + . . .
+ τ ) − x]2 i= [g(x, t)]2
Höhere Momente: Für deltakorreliertes Rauschen gilt: D(n) (x, t) = 0 ∀n ≥ 3
23
Fokker-Planck-Gleichung 1
Mit diesen Entwicklungskoeffizienten
D(1) (x, t) = h(x, t) +
1 ∂ 2
g (x, t)
2 ∂x
D(2) (x, t) = g 2 (x, t)
D(n) (x, t) = 0
∀n ≥ 3
erhalten wir aus der Kramers-Moyal-Entwicklung:
Ẇ(x, t) =
h
∂
− ∂x
D(1) (x, t)
+
∂2
D(2) (x, t)
∂x2
i
W(x, t) = LFP W(x, t)
(Fokker-Planck-Gleichung, 1914/17)
lineare, partielle Differentialgleichung für W(x,t)
reell, erster Ordnung in der Zeit: nicht invariant unter Zeitumkehr
24
Fokker-Planck-Gleichung 2
Einfaches Beispiel: Lineare Langevin-Gleichung v̇(t) = −γv(t) +
D(1) = −γv und D(2) =
q
2
Stationärer Zustand:
h
!
∂
Ẇ (v, t) = 0 = γ + γv ∂x
+
=
γkT
m
γkT ∂ 2
m ∂v 2
Die Maxwell-Verteilung W (v) =
q
i
q
q
Γ(t)
2
W (v)
m
2πkT
2
e
− mv
2kT
erfüllt obige Gleichung!
Fokker-Planck-Gleichung für mehrere Variable:
"
Ẇ(~
x, t) = −
P
i
(1)
∂
D
x, t)
i (~
∂xi
+
P
i,j
(2)
∂2
D
x, t)
ij (~
∂xi ∂xj
#
W(~
x, t)
25
Zusammenfassung und Ausblick
26
Zusammenfassung
Langevin:
Beschreibung einzelner Prozesse
Bewegungsgleichung für Elementare Prozesse
Fokker-Planck:
Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),
das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.
Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte
Ẇ(x, t) =
h
∂
− ∂x
D(1) (x, t)
+
∂2
(2) (x, t)
D
2
∂x
i
W(x, t) = LFP W(x, t)
Kramers-Moyal-Entwicklung bis zur 2. Ordnung
Für Markov-Prozesse verschwinden Ordnungen ≥ 3
27
Vorschau
Hier noch ein nettes Bild von Andreas :-)
28
Ende
Fragen zum Vortrag?
Verwendete Quellen:
The Fokker-Planck Equation, H. Risken, 1984
Dynamik stochastischer Systeme (Vorlesungsskript), M. Janßen, 2001
29
Übersprungene Folien
30
Lineare Langevin-Gleichung 1
Langevin-Gleichung v̇ = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v0 :
Rt −γ(t−t′ )
−γt
+ e
Γ(t′ ) dt′
v(t) = v0 e
0
Korrelation:
hv(t1 )v(t2 )i =
= v02 e−γ(t1 +t2 ) +
q
2γ
Rt1 Rt2
′
′
e−γ(t1 +t2 −t1 −t2 ) hΓ(t′1 )Γ(t′2 )i dt′1 dt′2
0 0
e−γ|t1 −t2 | − e−γ(t1 +t2 )
v02 e−γ(t1 +t2 )
+
Auswertung des Integrals:
tR1 tR2
0 0
=q·
=
′
′
eγ(t1 +t2 ) hΓ(t′1 )Γ(t′2 )i dt′1 dt′2 = q ·
q
2γ
min(t
R 1 ,t2 )
0
e
′
e2γt1 dt1 = q ·
γ(t1 +t2 )
·e
−γ|t1 −t2|
tR1 tR2
′
′
eγ(t1 +t2 ) δ(t′2 − t′t )dt′1 dt′2
0 0
t1 +t2 −|t1 −t2 |
1 e2γx x=
2
2γ
x=0
−1
31
Langevin-Gleichung v̇ = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v0 :
Rt −γ(t−t′ )
−γt
+ e
Γ(t′ ) dt′
v(t) = v0 e
0
Korrelation:
hv(t1 )v(t2 )i =
= v02 e−γ(t1 +t2 ) +
q
2γ
Rt1 Rt2
′
′
e−γ(t1 +t2 −t1 −t2 ) hΓ(t′1 )Γ(t′2 )i dt′1 dt′2
0 0
e−γ|t1 −t2 | − e−γ(t1 +t2 )
v02 e−γ(t1 +t2 )
+
Für γt1 , γt2 ≫ 1 ergibt sich: hv(t1 )v(t2 )i =
q −γ|t1 −t2 |
e
2γ
Nach dem Gleichverteilungssatz:
hEi =
⇒q=
m
h[v(t)]2 i
2
2 γkT
m
=
m q
2 2γ
! 1
kT
2
=
31
Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.
Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat h(x(t) − x0 )2 i
h(x(t) − x0 )2 i =
=
Rt Rt
*"
Rt
v(t1 ) dt1
0
#2 +
=
*
Rt Rt
v(t1 )v(t2 ) dt1 dt2
0 0
+
hv(t1 )v(t2 )i dt1 dt2
0 0
Wissen von eben: hv(t1 )v(t2 )i = v02 e−γ(t1 +t2 ) +
q
2γ
e−γ|t1 −t2 | − e−γ(t1 +t2 )
Integration:
Rt Rt −γ(t +t )
−γt 2
1−e
1
2 dt1 dt2 =
e
γ
0 0
Rt Rt −γ|t −t |
Rt tR1 −γ(t −t )
1
2
1
2 dt2 dt1 = 2 t − 2 (1 − e−γt )
e
dt1 dt2 = 2 ·
e
γ
γ2
0 0
0 0
32
Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.
Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat h(x(t) − x0 )2 i
h(x(t) − x0 )2 i =
=
Rt Rt
*"
Rt
v(t1 ) dt1
0
#2 +
=
*
Rt Rt
v(t1 )v(t2 ) dt1 dt2
0 0
+
hv(t1 )v(t2 )i dt1 dt2
0 0
q
e−γ|t1 −t2 | − e−γ(t1 +t2 )
Wissen von eben: hv(t1 )v(t2 )i = v02 e−γ(t1 +t2 ) + 2γ
(1−eγt )2
q
2
2
⇒ h(x(t) − x0 ) i = v0 − 2γ
+ γq2 t − γq3 (1 − e−γt )
γ2
Für γt ≫ 1:
h(x(t) − x0 )2 i = 2Dt
mit
D=
q
2γ 2
=
kT
mγ
(Einsteins Resultat für die Diffusionskonstante, 1905)
32

Fokker-Planck-Gleichung

Transcription

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