Grundglieder

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Regelungstechnik 1 - Grundglieder: Analyse im Zeit und Frequenzbereich
1 Vorbetrachtungen:
Das Übertragungsverhalten von linearen Regelkreiselementen wird vorwiegend durch
Sprungantworten bzw. Übergangsfunktionen sowie durch Differentialgleichungen und
Frequenzgänge beschrieben.
Zu den elementaren Übertragungsgliedern gehört das PT1-Glied (Verzögerung erster
Ordnung) und das I-Glied (integrierendes Verhalten).
Elementare Übertragungsglieder können zu komplizierten Übertragungsblöcken
zusammengeschaltet werden.
Das Verhalten im Zeitbereich kann durch Sprungantworten ermittelt werden. Dazu
wird das Übertragungsglied mit einem sprungförmigen Eingangssignal beaufschlagt
und der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals aufgenommen.
Das Verhalten im Frequenzbereich kann experimentell ermittelt werden, indem man
ein sinusförmiges Eingangssignal an den Eingang des Übertragungsgliedes anlegt und
die Amplitude und die Phase des ebenfalls sinusförmigen Ausgangssignals
(punktweise) in Abhängigkeit von der Frequenz aufnimmt. Man erhält den
Amplitudengang
und
den
Phasengang
des
Übertragungsgliedes
als
Beschreibungsmittel.
1.1 Kennfunktionen des dynamischen Übertragungsverhaltens eines Systems
g(t)
u(t)
↔
G(f)
↔ U(f)
x(t)
↔
X(f)
• die Gewichtsfunktion (Stoßantwort) g(t )
• die Übergangsfunktion (Sprungantwort) h( t )
Kennfunktionen im
Zeitbereich
• der Frequenzgang G( f ) bzw. G( jω ), ω = 2πf
• die Übertragungsfunktion G( p)
Kennfunktionen im
Frequenzbereich
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Der Zusammenhang zwischen diesen Kennfunktionen ist wie folgt gegeben:
g(t )
Fourier −
Transformation
}
↔
∫ g(t )dt ↓↑dh(t ) / dt
G ( f ) bzw. G( jω )
p = δ + j 2πf
h(t )
↓↑δ = 0
G( p)
Allgemein gilt:
X ( f ) = U ( f ) ⋅ G( f ) bzw. X ( jω ) = U ( jω ) ⋅ G( jω ) bzw. X ( p) = U ( p) ⋅ G( p)
1.2 Das PT1-Glied:
u(t)
x(t)
G(p)
Die Differentialgleichung des PT1-Gliedes lautet:
x( t ) + T1
dx( t )
= Ku( t )
dt
Mit u( t ) = σ( t ) (Einheitssprung) erhält man
die Sprungantwort (Übergangsfunktion)
h( t ) = K ⋅ 1 − e− t T1
(
)
T1
1
0,63
0
0
t
dh( t ) K − t T1
= e
erhält man die Gewichtsfunktion und daraus durch
dt
T1
K
Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion: G( p) =
1 + pT1
Mit g( t ) =
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Mit der Substitution p = jω bekommt man schließlich den Frequenzgang:
K
G( jω) =
= G( jω ) e jϕ(ω )
1 + jωT1
K
und ϕ(ω ) = − arctan(ωT1)
mit G( jω ) =
1 + ω 2T12
Der Frequenzgang wird gewöhnlich in logarithmischer Abhängigkeit von der
Kreisfrequenz ω nach Betrag 20 log G( jω) in dB (Dezibel) und Phase ϕ(ω)
dargestellt.
Für das PT1-Glied gilt:
20log|G(jω )|
ϕ(ω)
10
1
T1
10
20log(K)
0
1
10
-10
1
T1
100
1000
ω
-20dB/Dek
0
-10 1
100
1000
ω
-20
-30
-40
-20
10
-45°
-50
-60
-30
-70
-80
-40
-90
Verwendet man ein sinusförmiges Meßsignal der Frequenz ω1 , so ist
G( jω1) = X 0 U 0 das Verhältnis der Amplituden des Eingangssignals und des
Ausgangssignals.
ϕ(ω1) ergibt sich aus der zeitlichen Verschiebung ∆t des Ausgangssignals gegenüber
∆t ⋅ 180°⋅ω
dem Eingangssignal zu ϕ(ω ) =
π
1.3 Das I-Glied
Das dynamische Verhalten des I-Gliedes wird im Zeitbereich durch die
Differentialgleichung
t
1
x( t ) = ∫ u( t )dτ + x( 0)
TI 0
beschrieben.
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Die Übertragungsfunktion lautet
G( p) =
1
pTI
und der Frequenzgang dementsprechend
1
1
G( jω) =
= G( jω) e jϕ(ω ) mit G( jω) =
und ϕ(ω ) = −90°
jωTI
ωTI
Die Sprungantwort ergibt sich zu:
u(t)=U 0 σ (t)
x(t)
G(p)
u(t)
x(t)
k t
I
U0
t
t
mit
u( t ) = U 0 ⋅ σ( t ) ⇔
X ( p) = U ( p) ⋅ G( p) =
U0
= U ( p)
p
U0 1
U 1
U
⋅
= 0 ⋅ 2 ⇔ 0 ⋅ t = x( t )
p pTI
TI p
TI
{
kI
1.4 Das D-Glied
Als Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße im Zeitbereich erhält
man für das differenzierende Glied die Differentialgleichung:
x( t ) = TD
Die Übertragungsfunktion lautet
und der Frequenzgang
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du( t )
dt
G( p) = TD p
G( jω) = TD jω
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Die Rampenantwort ergibt sich zu
u(t)
x(t)
G(p)
u(t)
x(t)
kI t
X0
t
t
mit
u( t ) = kI ⋅ t ⇔
X ( p) = U ( p) ⋅ G( p) =
kI
= U ( p)
p2
kI
k ⋅T
⋅ TD ⋅ p = I D ⋅ ⇔ k1
⋅T
I2
D ⋅ σ( t ) = x( t )
2
3
p
p
U0
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2 Versuchsdurchführung
Die Versuchsdurchführung erfolgt auf Basis einer PC-Simulation mit dem
blockorientierten Simulationssystem BORIS.
2.1 Analyse im Zeitbereich
Aufgabe 1:
Nehmen Sie mit Hilfe eines Signalgenerators und eines Oszillographen die
Sprungantworten des PT1-Gliedes (Superblock pt1glied.sbl) und des I-Gliedes
(Superblock i_glied.sbl) auf und ermitteln sie die Systemparameter T1 bzw. TI
graphisch.
Versuchsanordnung:
Parameter des Meßsignals:
Typ: Puls
Simulationsparameter:
Simulationsdauer: 10 sec
Amplitude: 1
Schrittweite: 0.1 sec
Simulationsverfahren: Euler
Einstellungen am Oszillographen:
a) Analyse des PT1-Gliedes
Zeitablenkung: 2 sec pro Rastereinheit
1. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
2. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
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1 V pro Rastereinheit
+1 Rastereinheit
1 V pro Rastereinheit
-1 Rastereinheit
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b) Analyse des I-Gliedes
Zeitablenkung: 2 sec pro Rastereinheit
1. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
2. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
1 V pro Rastereinheit
+1 Rastereinheit
2.5 V pro Rastereinheit
-1 Rastereinheit
Aufgabe 2:
Nehmen Sie die Rampenantwort (Anstiegsantwort) des D-Gliedes (Superblock
d_glied.sbl) auf und ermitteln Sie TD graphisch. Zum Erzeugen der Rampenfunktion
(Anstiegsfunktion) nutzen Sie bitte das I-Glied.
Versuchsanordnung:
Parameter des Meßsignals:
Typ: Puls
Simulationsparameter:
Simulationsdauer: 10 sec
Amplitude: 1
Schrittweite: 0.1 sec
Simulationsverfahren: Euler
Einstellungen am Oszillographen:
Zeitablenkung: 2 sec pro Rastereinheit
1. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
2. Kanal:
Empfindlichkeit:
Nullpunktverschiebung:
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5 V pro Rastereinheit
+1 Rastereinheit
1 V pro Rastereinheit
-1 Rastereinheit
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2.2 Analyse im Frequenzbereich
Aufgabe 3:
Ermitteln Sie für alle drei Grundglieder (Superblöcke pt1glied.sbl; i_glied.sbl;
d_glied.sbl) punktweise die Amplituden und Phasengänge.
Nutzen Sie als Signalquelle einen Sinusgenerator und als Meßgerät zur Aufnahme der
Amplituden des Eingangssignals und des Ausgangssignals und der
Phasenverschiebung die Baugruppe ”Zeitverlauf”.
Meßanordnung:
Parameter des Meßsignals:
Typ: Sinus
Amplitude: 1 V
Simulationsparameter:
Simulationsdauer:
! frequenzabhängig
Schrittweite: 0.01 sec !!!
Einstellungen am Meßgerät:
Skalierung: automatisch
Frequenz: s. Tabellen
Simulationsverfahren: Euler
Alle Kurven in einem Diagramm
Tragen Sie die Meßergebnisse in die angefügten Tabellen ein und erstellen Sie daraus
die Graphiken der Amplituden und Phasengänge der Grundglieder.
Ermitteln Sie aus den Graphiken die Zeitkonstanten der Grundglieder.
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Frequenzanalyse des PT1-Gliedes:
Kreisfrequenz
Amplitude des
Meßsignals
Amplitude des
Ausgangssignals
ω
U0
X0
Dämpfung [dB]
Zeitverzögerung
X 
20 log G( jω) = 20 log 0 
 U0 
∆t
Phasenverschiebung
ϕ(ω) =
∆t ⋅ 180°⋅ω
π
0.05
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
20.0
50.0
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Frequenzanalyse des I-Gliedes:
Kreisfrequenz
Amplitude des
Meßsignals
ω
U0
Amplitude des
Ausgangssignals
X0
Dämpfung [dB]
Zeitverzögerung
X 
20 log G( jω) = 20 log 0 
 U0 
∆t
Dämpfung [dB]
Zeitverzögerung
X 
20 log G( jω) = 20 log 0 
 U0 
∆t
Phasenverschiebung
ϕ(ω) =
∆t ⋅ 180°⋅ω
π
0.1
0.5
1.0
5.0
10.0
Frequenzanalyse des D-Gliedes:
Kreisfrequenz
Amplitude des
Meßsignals
ω
U0
Amplitude des
Ausgangssignals
X0
Phasenverschiebung
ϕ(ω) =
∆t ⋅ 180°⋅ω
π
0.1
0.5
1.0
5.0
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