Eurocode 2 - Aeneas Media

Comments

Transcription

Eurocode 2 - Aeneas Media
n
e
n
e
k
e
r
e
b
n
e
n
Ontwerpe
Rekenvoorbeelden Eurocode 1
Eurocode 2
Cement en Beton 7
Cement en Beton 7
Colofon
Ontwerpen en berekenen Eurocode 2 is een onderdeel van de Cement en Beton-reeks en is een uitgave van
Æneas, uitgeverij van vakinformatie bv in samenwerking met het Cement&BetonCentrum.
Æneas, uitgeverij van vakinformatie bv
Postbus 101
5280 AC Boxtel
0411 65 00 85
[email protected]
www.aeneas.nl
Cement&BetonCentrum
Postbus 3532
5203 DM ’s-Hertogenbosch
073 640 12 31
[email protected]
www.cementenbeton.nl
Omslagontwerp en vormgeving: Twin Media bv
Eerste druk 2008
© Cement&BetonCentrum
ISBN: 978-94-6104-015-2
Woord vooraf
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Het ontwikkelen van de Eurocodes is begonnen in 1975; sindsdien zijn zij aanzienlijk geëvolueerd.
Het gebruik van de Eurocodes geeft constructeurs meer kans om in geheel Europa werkzaam te zijn, omdat alle overheden
moeten toestaan dat deze worden gebruikt.
Volgens de huidige inschattingen zal medio 2010 Eurocode 2 ‘Ontwerp en berekening van betonconstructies’, deel 1-1, de plaats
gaan innemen van de nationale normen zoals NEN 6720 (VBC 1995) en de Belgische norm NBN B15. Om deze overgang soepel
te laten verlopen heeft het Europese Betonplatform, waaraan wordt deelgenomen door de Europese brancheverenigingen CEMBUREAU (cement), BIBM (prefab beton) en ERMCO (betonmortel), enkele jaren geleden het initiatief genomen lesmateriaal voor
de betonconstructeur te ontwikkelen.
Een van de resultaten van dit initiatief is het boekwerkje ‘Concise Eurocode 2’, waarvoor een gelijknamige publicatie van de
British Cement Association (BCA) en The Concrete Centre model heeft gestaan. Dit boekje is inmiddels in opdracht van het
Cement&BetonCentrum naar het Nederlands vertaald en bewerkt en in april 2008 verschenen als Compendium Eurocode 2
(CB6).
Een ander resultaat is een artikelenserie die in de afgelopen anderhalf jaar in Cement is verschenen en waaruit onderhavig boekje
is samengesteld. Deze artikelenserie is gebaseerd op de eveneens door de BCA ontwikkelde, achtdelige brochurereeks ‘How to
design concrete structures using Eurocode 2’. De brochurereeks is naar het Nederlands vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. C.R.
Braam (TU Delft, faculteit CiTG) en afgestemd met Voorschriftencommissie 20. Als aanvulling op de reeks is nog een negende
artikel opgesteld door ir. S.N.M. Wijte (adviesbureau ir. J.G. Hageman/secretaris VC20) en dr.ir.drs. C.R. Braam. De eindredactie
van de reeks was in handen van ir. W.C. Dees.
De reeks toont hoe Eurocode 2 in combinatie met de andere Eurocodes moet worden gebruikt, met name met Eurocode 0:
‘Grondslag van het constructief ontwerp’ en Eurocode 1: ‘Belastingen op constructies’.
Met Eurocode 2 is tot op heden nog weinig praktijkervaring opgedaan. Ook heeft de gewenste terugkoppeling tussen de praktijk
en de opstellers van de voorschriften nog nauwelijks kunnen plaatshebben. Wel is met het bewerken van CB6 en de artikelenserie
in Cement, alsmede bij het herschrijven van het in augustus 2008 door het Cement&BetonCentrum gepubliceerde standaardwerk
‘Constructieleer Gewapend Beton’ (CB2, vierde druk) gebleken, dat Eurocode 2 nog lang niet ‘af’ is. Tegelijk met de beslissing de
artikelenserie als overdruk uit te brengen, is daarom besloten de in de afgelopen anderhalf jaar opgedane ervaringen hierin te verwerken en - om de waarde daarvan te onderstrepen - de bundel als CB7 op te nemen in de Cement en Beton boekenreeks.
Met nadruk zij nog eens vermeld dat de inzichten in deze publicatie de stand van zaken weergeven op moment van verschijnen.
De praktijk kan in elk geval na de publicatie van CB2, CB6 en CB7 met Eurocode 2 aan de slag.
De uitgever, oktober 2008
inhoud
1 Introductie tot de Eurocode
Eurocode 0: Grondslag constructief
ontwerp (NEN-EN 1990)
Representatieve waarden
Belastingscombinaties
Uiterste grenstoestand
Bruikbaarheidsgrenstoestand
Eurocode 1
Eurocode 2
Eurocode 7
Eurocode 8
4
4
5
5
6
7
8
8
8
8
2 Het begin
Ontwerplevensduur
Belastingen op constructies
Belastingsschikking
Combinaties van belastingen
Materiaaleigenschappen
Constructief ontwerp
Minimumbetondekking
Ontwerpen op draagkracht bij brand
Stabiliteit en imperfecties
Scheurwijdtecontrole
10
10
10
10
10
10
12
12
12
13
13
3 Platen
Brandwerendheid
Buiging
Doorbuiging
Dwarskracht
Specifieke opmerkingen voor in twee
­richtingen dragende platen
Specifieke opmerkingen voor ­ribbenvloeren en cassetten­vloeren
Regels voor staafafstanden en voor de
­vereiste hoeveelheid betonstaal
Literatuur
17
17
17
17
21
4 Liggers
Brandwerendheid
Buiging
Dwarskracht
Doorbuiging
Samengestelde liggers
Schuifspanning in
langsrichting
Regels voor staafafstanden en voor de
­vereiste hoeveelheid betonstaal
Literatuur
23
23
23
23
24
27
21
5 Kolommen
Draagkracht bij brand
Kolomontwerp
Constructieve berekening
Rekenwaarden van de
momenten
Effectieve lengte
Slankheid
Sterkte van kolommen
Kruip
Dubbele buiging
Ongeschoorde kolommen
Wanden
Regels voor staafafstanden en voor de
­vereiste hoeveelheid betonstaal
Specifieke eisen bij wanden
Literatuur
30
30
31
31
6 Funderingen
Grenstoestanden
Geotechnische categorieën
Ontwerpmethoden en ­combinaties
Geotechnisch onderzoeksrapport
Funderingen op staal
Gewapend-betonnen ­funderings­voeten Plaatfunderingen
Paalfunderingen
Ongewapende funderingen
Regels voor staafafstand en
-diameter
Literatuur
37
37
37
37
7 Vlakke plaatvloeren
Brandwerendheid
Buiging
Doorbuiging
Pons
Regels voor staafafstanden en voor de
­vereiste hoeveelheid betonstaal
Detaillering van ponswapening
Literatuur
44
44
44
45
47
32
33
33
34
35
35
36
36
36
36
36
38
38
40
41
41
42
42
43
21
22
22
27
27
28
48
49
49
8 Doorbuigingsberekeningen
Overzicht
Factoren van invloed op
doorbuiging
Betontreksterkte
Kruip
Elasticiteitsmodulus
Belastingsvolgorde Scheurvorming
Kromming door krimp
Doorbuigingsberekening uitgebreide methode
Doorbuigingsberekening - ­
vereenvoudigde methode
Zeeg
Vlakke plaatvloeren
Nauwkeurigheid
Toleranties voor gevelbekleding
Literatuur
50
50
9 Stabiliteit
Verwaarloosbaar ?
Bepalen tweede-orde effect
Algemene methode
Methode nominale stijfheid
Benadering van de kniklast
Literatuur
58
58
58
59
59
60
60
Symbolen
61
50
50
51
51
51
52
53
53
53
54
56
56
57
57
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
1 Introductie tot de Eurocode
In totaal tien Eurocodes behandelen de belangrijkste
bouwmaterialen (fig. 1.1). Zij zijn opgesteld door de
Europese Commissie voor Normalisatie (CEN) en
zullen in 28 landen de bestaande nationale voorschriften gaan vervangen. Elk land moet een Eurocode publiceren met een nationale titelpagina en
woord vooraf, maar de originele tekst zoals opgesteld
door CEN moet het hoofdbestanddeel van het document vormen. Een Nationale Bijlage (NB) kan achterin het document worden opgenomen (fig. 1.2).
Daar waar in de tekst van deze uitgave Nationaal
Bepaalde Parameters (NBP’s) voorkomen, zijn aanbevolen waarden uit de Nederlandse NB’s gebruikt.
Tabel 1.1 geeft de aan beton gerelateerde Eurocodes.
1.1 | De Eurocodes
NEN-EN 1990, Eurocode 0:
Constructieve veilig-
Grondslag van het constructief ontwerp
heid, bruikbaarheid
1990 – Eurocode
en veiligheid
NEN- EN 1991, Eurocode 1:
Belastingen op
Belastingen op constructies
constructies
NEN-EN 1992, Eurocode 2: Beton
NEN-EN 1993, Eurocode 3: Staal
NEN-EN 1994, Eurocode 4: Staal-beton
NEN-EN 1995, Eurocode 5: Hout
Ontwerp en berekening
NEN-EN 1996, Eurocode 6: Metselwerk
NEN-EN 1999, Eurocode 9: Aluminium
NEN-EN 1997,
Eurocode 7:
Geotechnisch
ontwerp
4
NEN-EN 1998,
Eurocode 8:
Aardbevings­
bestendige
constructies
Geotechnisch en aardbevingsbestendig ontwerp
Eurocode 0: Grondslag constructief
ontwerp (NEN-EN 1990)
Eurocode 0 legt de basis voor alle constructieve ontwerpen, ongeacht de aard van het bouwmateriaal.
Gegeven worden principes en vereisten met betrekking tot veiligheid, bruikbaarheid en duurzaamheid
van constructies. Eurocode 0 hanteert een statistische
benadering voor het vaststellen van realistische
waarden voor belastingen die in combinatie met
elkaar kunnen optreden.
Geïntroduceerd worden nieuwe definities (zie overzicht aan het eind van dit hoofdstuk) en symbolen
(tabel 1.2), die ook in deze uitgave zullen worden
gebruikt om de onderlinge relaties te benadrukken.
Partiële factoren voor belastingen worden in Eurocode 0 gegeven, terwijl partiële factoren voor mate­
rialen worden voorgeschreven in de betreffende
­relevante Eurocode.
Representatieve waarden
Elke belasting kent vier representatieve waarden; de
voornaamste hiervan is de karakteristieke waarde.
Deze kan statistisch worden bepaald; als onvoldoende
gegevens voorhanden zijn, wordt een nominale
waarde gebruikt. De andere representatieve waarden
zijn: de combinatiewaarde, de frequente waarde en
de quasi-blijvende waarde. Deze worden verkregen
door de karakteristieke waarde te vermenigvuldigen
met, respectievelijk, de factoren ψ
​ 0​ ​, ψ
​ 1​ ​en ψ
​ 2​ ​(fig. 1.3).
Om deze ψ-factoren af te leiden, is een semi-probabilistische methode gebruikt. De grootte van een factor
is mede afhankelijk van het type belasting (tabel 1.3).
Voor meer informatie over de ψ-factoren, zie
Bijlage C van Eurocode 0.
De combinatiewaarde (​ψ​0​​Q k​ ​) van een belasting
beoogt de kans op het gelijktijdig optreden van twee
of meer veranderlijke belastingen in rekening te
brengen. Deze waar­de wordt voornamelijk gebruikt
in de ‘normale’ combinaties in de uiterste grenstoestand (UGT). De frequente waarde (​ψ1​ ​​Q k​ ​) is zodanig
gekozen dat deze slechts gedurende een kortdurend
tijdsbestek wordt overschreden en wordt voornamelijk gebruikt in de bruikbaarheidsgrenstoestand
(BGT) en in een buitengewone UGT. De quasi-blijvende waarde (​ψ2​ ​​Q k​ ​) mag gedurende een aanzienlijk
tijdsbestek worden overschreden. Deze kan in zekere
zin worden gezien als de in de tijd gemiddeld optredende belasting. Deze waarde wordt gebruikt voor
lange-termijneffecten in de BGT en ook bij buitengewone combinaties en seismisch ontwerp in de UGT.
1 Introductie tot de Eurocode
Tabel 1.1 | Aan beton gerelateerde Eurocodes
Tabel 1.2 | In Eurocode 0 gehanteerde symbolen en subscripten
Eurocode
titel
symbool
0
NEN-EN 1990
Grondslag van het constructief ontwerp
​  G​k​
definitie
karakteristieke waarde van een blijvende belasting
1
NEN-EN 1991–1–1
Dichtheden, eigen gewicht en opgelegde belastingen
​  Q​k​
karakteristieke waarde van een enkele variabele belasting
NEN-EN 1991–1–2
Belasting bij brand
 ​ γ​G​
partiële factor voor een blijvende belasting
NEN-EN 1991–1–3
Sneeuwbelasting
 ​ γ​Q​
partiële factor voor een variabele belasting
NEN-EN 1991–1–4
Windbelasting
​  ψ​0​
factor voor de combinatiewaarde van een variabele
NEN-EN 1991–1–5
Thermische belasting
belasting
NEN-EN 1991–1–6
Belastingen tijdens uitvoering
 ​ ψ​1​
factor voor de frequente waarde van een variabele belasting
NEN-EN 1991–1–7
Buitengewone belastingen
 ​ ψ​2​
factor voor de quasi-blijvende waarde van een variabele
NEN-EN 1991–2
Verkeersbelasting op bruggen
belasting
NEN-EN 1991–3
Belastingen veroorzaakt door kranen en machines
ξ
combinatiefactor van blijvende belastingen
NEN-EN 1991–4
Silo’s en opslagtanks
subscript
definitie
NEN-EN 1992–1–1
Algemene regels en regels voor gebouwen
A
buitengewone situatie
NEN-EN 1992–1–2
Ontwerp en berekening van constructies bij brand
c
beton
NEN-EN 1992–2
Bruggen
d
rekenwaarde
NEN-EN 1992–3
Constructies voor keren en opslaan van stoffen
E
effect van een belasting
NEN-EN 1997–1
Geotechnisch ontwerp – Algemene regels
fi
brand
NEN-EN 1997–2
Geotechnisch ontwerp – Ontwerp ondersteund door
k
karakteristiek
laboratoriumonderzoek
R
sterkte
8
Ontwerp en berekening voor de bestandheid van
w
dwarskrachtwapening
constructies tegen aardbevingen (6 delen)
y
vloeigrens
2
7
NEN-EN 1998
Belastingscombinaties
In Eurocode 0 wordt de term ‘belastingscombinaties’
specifiek gebruikt voor het definiëren van de grootte
van te hanteren belastingen in een grenstoestand
waarin sprake is van het simultaan kunnen optreden
van verschillende belastingen.
De volgende stappen kunnen worden doorlopen om
de voor een berekening benodigde waarde van een
belasting vast te stellen:
1. Stel de ontwerpsituatie vast (bijv. blijvend, tijdelijk, buitengewoon).
2. Onderken alle realistische belastingen.
3. Bepaal de partiële factoren (zie onderstaand) voor
elke van toepassing zijnde combinatie van belastingen.
4. Rangschik de belastingen zodanig dat de meest
kritische omstandigheden worden verkregen.
1.2 | K enmerkende inhoud
van een Eurocode
A: Nationale titelpagina
B: Nationaal woord
vooraf
C: CEN-titelpagina
D: Hoofdtekst
E: Voornaamste
bijlage(n)
Uiterste grenstoestand
F: Nationale Bijlage
De uiterste grenstoestanden worden onderverdeeld in
de volgende categorieën (Eurocode 0 – 6.4):
EQU verlies aan statisch evenwicht in de constructie;
STR intern bezwijken of excessieve vervormingen
van de constructie of een constructie-onderdeel;
GEO bezwijken ten gevolge van excessieve deformatie van de ondergrond;
FAT bezwijken ten gevolge van vermoeiing van de
constructie of constructie-onderdelen.
Als sprake is van een combinatie met slechts één
variabele belasting (bijv. een opgelegde belasting),
wordt de grootte van deze belasting verkregen door
vermenigvuldiging met de betreffende partiële
belastingsfactor.
Als in een combinatie sprake is van meer dan één
variabele belasting, moet onderscheid worden
gemaakt tussen de overheersende belasting (​Q k,1
​ ​)
en de andere, mogelijk gelijktijdig (simultaan)
optredende, belastingen (​Q k,i
​ ​). Een gelijktijdig
optredende belasting wordt altijd meegenomen als
combinatiewaarde.
a
1.3 | R epresentatieve waarden van variabele
belastingen
b
a. k arakteristieke
c
waarde of ​Q ​k​
b. c ombinatiewaarde
c. f requente waarde
d. q uasi-blijvende
of ​ψ ​0 ​ ​Q ​k​
Q
d
tijd
of ​ψ ​1 ​ ​Q ​k​
waarde of ​ψ ​2 ​ ​Q ​k​
5
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 1.3 | Aanbevolen waarden voor de ψ -factoren voor gebouwen 1 )
belasting
y0
y1
y2
A: woonfunctie en logiesfunctie
0,4
0,5
0,3
B: kantoorfunctie
0,5
0,5
0,3
C: bijeenkomstfunctie
0,25
0,7
0,6
D: winkelfunctie
0,4
0,7
0,6
E: (lichte) industriefunctie en kantoorfunctie
1,0
0,9
0,8
F: het stallen van voertuigen, voertuiggewicht < 30 kN
0,7
0,7
0,6
G: het stallen van voertuigen, 30 kN < voertuiggewicht < 160 kN
0,7
0,5
0,3
H: daken 2)
0
0
0
sneeuwbelasting op bouwwerken (zie NEN-EN 1991–1–3)
0
0,2
0
windbelasting op bouwwerken (zie NEN-EN 1991–1–4)
0
0,2
0
thermische belasting (geen brand) in bouwwerken (zie NEN-EN 1991–1–5)
0
0,5
0
opgelegde belastingen op bouwwerken (zie NEN-EN 1991–1–1), categorie:
1
)Ontleend aan NEN-EN 1990 en de ontwerp-Nederlandse Nationale Bijlage(NB). Opgemerkt wordt dat NEN-EN 1991–1–1 / NB een
tabel bevat waarin de functies uit NEN-EN 1991–1–1 zijn gekoppeld aan de terminologie gehanteerd in het Bouwbesluit 2003.
De in deze tabel gebruikte terminologie is slechts een verkorte weergave.
2
)Zie ook NEN-EN 1991–1–1, onder 3.3.2.
Eurocode 0 geeft in 6.4.3.2 t.m. 6.4.3.4 verschillende
combinaties voor deze uiterste grenstoestanden,
namelijk ‘blijvend’, ‘tijdelijk’, ‘buitengewoon’ en ‘seismisch’. In deze uitgave worden alleen de combinaties
‘blijvend’ en ‘tijdelijk’, behorende bij de categorie
STR, beschouwd.
Bij ontwerpen en berekenen op deze blijvende en tijdelijke toestanden in de uiterste grenstoestand STR
geeft Eurocode 0 drie mogelijke combinaties.
Tabel 1.4 toont het overzicht als deze vergelijkingen
in tabelvorm worden weergegeven. Gekozen moet
worden voor vergelijking (6.10) of voor de ongunstigste van vergelijkingen (6.10a) en (6.10b). Het hanteren van de twee vergelijkingen vergt een grotere
inspanning maar deze wordt wel beloond, omdat vergelijking (6.10) een resultaat geeft dat altijd gelijk is
aan of conservatiever is dan het ongunstigste resultaat van vergelijkingen (6.10a) en (6.10b).
In tabel 1.4 verwijzen de subscripten ‘ínf’ en ‘sup’
naar de onder-, respectievelijk bovengrens van de
karakteristieke waarde van de betreffende blijvende
belasting. Als sprake is van een geringe variatie in
deze belasting, mag een vaste waarde van ​Gk​ ​worden
gehanteerd. Ook de partiële factor voor de blijvende
belasting heeft de subscripten ‘inf’ en ‘sup’. Deze
worden gebruikt om voor de betreffende blijvende
belasting j de bovengrens-, respectievelijk ondergrensrekenwaarden vast te stellen.
Voor de blijvende en tijdelijke ontwerpsituaties wordt
in Eurocode 0 verwezen naar tabellen A1.2(A) tot en
met (C). Voor de uiterste grens­toestand STR zijn
twee hiervan, A1.2(B) (= tabel 1.4) en A1.2(C), van
toepassing. Tabel A1.2(C) is opgebouwd als tabel 1.4,
doch schrijft het gebruik van alleen vgl. (6.10) voor;
in tabel A1.2(B) (= tabel 1.4) mag nog worden
gekozen uit vgl. (6.10) dan wel de ongunstigste van
vgl. (6.10a-b).
De A1.2(B)-tabel heeft betrekking op constructieonderdelen die niet zijn onderworpen aan geotechnische belastingen en grondweerstand (Eurocode 0,
Annex A1.3 (4)). Voor constructie-onderdelen waar
wel sprake is van geotechnische belastingen en
grondweerstand, moet worden gekozen uit drie voorgestelde benaderingswijzen (Eurocode 0, Annex A1.3
(5)), waarin naast tabel A1.2(B) eventueel ook tabel
A1.2(C) wordt toegepast. Het gaat bij die benaderingswijzen vooral om de vraag hoe geotechnische en
‘overige’ belastingen moeten worden gecombineerd
en welke tabel(len) dan moet(en) worden gebruikt.
De Nationale Bijlage (NB) van Nederland doet al een
keuze en schrijft het gebruik van een bepaalde
Tabel 1.4 | R ekenwaarden voor belastingen in de uiterste grenstoestand – blijvende en tijdelijke ontwerpsituaties (tabel A1.2(B) in
Eurocode 0)
blijvende en tijdelijke
blijvende belastingen
ontwerpsituaties
overheersende vari-
gelijktijdig optredende variabele
abele belasting
ongunstig
gunstig
belastingen
overheersende
andere
(indien aanwezig)
vgl. (6.10)
​γ​G,j,sup​ ​G​k,j,sup​
​γ​G,j,inf​ ​G​k,j,inf​
vgl. (6.10a)
​γ​G,j,sup​ ​G​k,j,sup​
​γ​G,j,inf​ ​G​k,j,inf​
vgl. (6.10b)
ξ​γ​G,j,sup​ ​G​k,j,sup​
​γ​G,j,inf​ ​G​k,j,inf​
​γ​Q,1​ ​Q​k,1​
​γ​Q,i​ ​ψ​0,i​ ​Q​k,i​
​γ​Q,1​ ​ψ​0,1​ ​Q​k,1​ ​​
​γ​Q,1​ ​Q​k,1​
opmerking
Ontwerp volgens vergelijking (6.10) of volgens de ongunstigste van vergelijkingen (6.10a) en (6.10b).
6
​γ​Q,i​ ​ψ​0,i​ ​Q​k,i​
​γ​Q,i​ ​ψ​0,i​ ​Q​k,i​
1 Introductie tot de Eurocode
methode voor. Het resultaat is het toepassen van de
A1.2(C)-tabel voor de geotechnische belastingen en
grondweerstand.
Tabel 1.5 | R ekenwaarden van belastingsfactoren in de uiterste grenstoestand zoals te hanteren
volgens de Nationale Bijlage van Nederland – blijvende en tijdelijke ontwerpsituaties
(samenvoeging van tabellen A1.2(B) en A1.2(C) uit Eurocode 0)
blijvende en
Het uiteindelijke resultaat van dit alles is getoond in
tabel 1.5. Het bovenste gedeelte van deze tabel komt
voort uit tabel A1.2(B), het onderste gedeelte uit tabel
A1.2(C). Dit verklaart waarom in tabel 1.5 een duidelijke scheiding is aangebracht. Met een paar extra
regels is duidelijk de scheiding tussen de factoren
voor de geotechnische belastingen en grondweerstand (onderste gedeelte) en de ‘overige belastingen’
(bovenste gedeelte) aangegeven.
Er wordt ook op gewezen dat de NB van Nederland
voor de ‘overige’ belastingen al een keuze heeft
gemaakt tussen het toepassen van vgl. (6.10) dan wel
de ongunstigste van (6.10a) en (6.10b) uit tabel
A1.2(B) (zie tabel 1.4): In het bovenste gedeelte van
tabel 1.5 zijn namelijk vergelijkingen (6.10a) en
(6.10b) van toepassing. Zoals eerder genoemd had
Eurocode 0 in tabel A1.2(C) al gekozen voor het toepassen van vgl. (6.10).
blijvende belastingen
over-
ontwerpsitu-
gelijktijdig optredende variabele
belastingen
heersen-
tijdelijke
ongunstig
gunstig
de varia-
overheersende
bele
(indien aanwezig)
aties
andere
belasting
constructie-onderdelen zonder geotechnische belastingen;
factoren in combinaties van blijvende en veranderlijke belastingen:
vgl. (6.10a)
1,35
0,9
vgl. (6.10b)
​1,2​1)
0,9
1,5 ​ψ​0,i​
1,5
1,5 ​ψ​0,i​
constructie-onderdelen met geotechnische belastingen en grondweerstand;
factoren te hanteren voor de geotechnische belastingen (in combinatie met andere belastingen
waarvoor bovenstaande factoren gelden):
vgl. (6.10)
1
1,0
1,0
1,3
1,3 ​ψ​0,i​
) Bij het berekenen van deze waarde is conform de Nationale Bijlage (NEN-EN 1990 NB)
ξ = 0,89 gehanteerd.
Tabel 1.6 | R ekenwaarden van belastingen, bruikbaarheidsgrenstoestanden
combinatie
blijvende belasting
ongun-
gunstig
stig
Op het eerste gezicht lijkt het alsof veel meer inspanning benodigd is om vast te stellen wat de maatgevende belastingscombinatie is. Echter, als ervaring is
verkregen, kan de ontwerper deze vaak al snel doorzien. Zo is vergelijking (6.10b) normaal gesproken
maatgevend bij verhoudingsgewijs niet al te grote blijvende belastingen.
variabele belasting
overheer-
voorbeelden van toepassin-
andere
gen in Eurocode 2
sende
karakteristiek
​
​Gk,j,sup
​
​Gk,j,inf
​ ​
​Qk,1
​ ​
ψ
​ ​0,i​ ​Q​k,i​
frequent
​Gk,j,sup
​
​
​Gk,j,inf
​ ​
​ψ​1,1​ ​Q​k,1​
​ψ​2,i​ ​Q​k,i​
scheurvorming bij VMA
quasi-blijvend
​Gk,j,sup
​
​
​Gk,j,inf
​ ​
​ψ​2,1​ ​Q​k,1​
​ψ​2,i​ ​Q​k,i​
scheurvorming bij gewapend
beton en VZA; doorbuiging​​
opmerkingen
​ de
1. Als de variatie in de blijvende belasting gering wordt bevonden, mag voor ​G​k,j,sup​ en ​Gk,j,inf​
waarde ​G​k​ worden ­aangehouden (zie tabel 1.7).
2. Voor de waarden van ​ψ​​, ​ψ​​ en ​ψ​​, zie tabel 1.3.
0
1
2
Bruikbaarheidsgrenstoestand
Voor drie combinaties van belastingen moet de bruikbaarheidsgrenstoestand worden gecontroleerd (tabellen 1.6 en 1.7). Eurocode 2 geeft aan welke combinatie voor welk fenomeen moet worden gebruikt (bijv:
de doorbuiging wordt gecontroleerd gebruikmakend
van de quasi-blijvende combinatie). Er moet voor
worden gewaakt de bruikbaarheidsgrenstoestandcombinaties met de benamingen karakteristiek, frequent
en quasi-blijvend niet te verwarren met de representatieve waarden van belastingen (zie fig. 1.3), die
dezelfde benaming hebben.
Tabel 1.7 | Voorbeeld van combinaties in geval van doorbuiging (quasi-blijvend) zoals
Eurocode 1
Deel 1-2: Ontwerp en berekening van constructies bij
brand, geeft aan hoe te ontwerpen op en te rekenen
aan de brandwerendheid van betonconstructies.
Hoewel een groot deel van deze Eurocode is gewijd
aan het rekenen met brandbelastingen, mag het
dimensioneren op brandwerendheid ook plaatshebben door te verwijzen naar tabellen voor minimumbetondekking en minimum-afmetingen voor constructie-onderdelen. Deze worden gegeven in
onderdeel 5 van Deel 1-2. Meer advies over het
werken met de tabellen wordt gegeven in het tweede
hoofdstuk in deze uitgave.
Eurocode 1 maakt nationale voorschriften overbodig.
Zij bevat in tien delen (tabel 1.8) alle informatie die
de constructeur nodig heeft om de individuele belastingen op een constructie vast te stellen. De dichtheid
van gewapend beton is 2500 kg/​m3​ ​.
Eurocode 2
Eurocode 2 omvat vier delen. Figuur 1. 4 geeft aan
hoe deze passen in het Eurocodesysteem, dat ook
andere Europese voorschriften omvat.
­a fgeleid voor een voor Nederland kenmerkend ontwerp in gewapend beton
combinatie
blijvende belasting
variabele belasting
ongunstig
overheersend
kantoorruimte​​G​k1​​ )​
0,3 ​​Q​k,12​​ )
verkoopruimte van winkel​​G​k1​​ )
0,6 ​​Q​k,12​​ )​
​​Gk​ 1​​ )
0,8 ​​Q​k,12​​ )​
opslagruimte
Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, is het
voornaamste gedeelte, waarnaar door de drie andere
delen wordt verwezen.
7
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
1.4 | R elaties tussen
Eurocode 2 en andere
voorschriften
NEN-EN 1997
EUROCODE 7
Geotechnisch
ontwerp
NEN-EN 206-1
Beton – deel 1
Specificatie,
eigenschappen enz.
en NEN 8005
NEN-EN 13670
Het vervaardigen
van betonconstructies
NEN-EN 1990
EUROCODE 0
Grondslag van
het constructief ontwerp
NEN-EN 1998
EUROCODE 8
Aardbevingsbestendige
constructies
NEN-EN 1991
EUROCODE 1
Belastingen op
constructies
NEN-EN 10080
Staal voor het
wapenen van
beton –
Lasbaar betonstaal
NEN-EN 1992 EUROCODE 2
Ontwerp en berekeningen
van betonconstructies
Deel 1–1: Algemene regels en
regels voor gebouwen
Deel 1–2: Algemene regels Ontwerp en berekening van
constructies bij brand
NEN-EN 1992
EUROCODE 2
Deel 2: Bruggen
NEN-EN 1992
EUROCODE 2
Deel 3 :
Constructies
voor keren en
opslaan van
stoffen
Deel 2: Bruggen, geeft aan hoe de algemene regels uit
Deel 1-1 moeten worden toegepast bij het ontwerpen
en berekenen van bruggen. Hierdoor zijn Deel 1-1 en
Deel 2 beide benodigd om een betonnen brug te ontwerpen en berekenen.
Deel 3: Constructies voor keren en opslaan van stoffen,
geeft de toepassing van de algemene regels uit
Deel 1-1 voor opslagconstructies.
Tabel 1.8 | Eurocode 1, de delen en data van publicatie
referentie
titel
publicatie
NEN-EN 1991–1–1
Dichtheden, eigen gewicht en opgelegde april 2002
NEN-EN 1991–1–2
Belasting bij brand
november 2002
NEN-EN 1991–1–3
Sneeuwbelasting
oktober 2003
NEN-EN 1991–1–4
Windbelasting
april 2005
NEN-EN 1991–1–5
Thermische belasting
december 2003
NEN-EN 1991–1–6
Belastingen tijdens uitvoering
juni 2005
NEN-EN 1991–1–7
Buitengewone belastingen: september 2006
stootbelastingen en ontploffingen
NEN-EN 1991–2
Verkeersbelasting op bruggen
oktober 2003
NEN-EN 1991–3
Belastingen veroorzaakt door kranen september 2006
en machines NEN-EN 1991–4
8
Silo’s en opslagtanks
NEN-EN 13369
Vooraf vervaardigde betonproducten
– Alg. bepalingen
Vooraf vervaardigde betonproducten
– productnormen
Eurocode 7
Eurocode 7: Geotechnisch ontwerp bestaat uit twee
delen en geeft een handleiding voor geotechnisch
ontwerpen, bodemonderzoek en beproevingen. Het
voorschrift bestrijkt een breed veld en omvat het geotechnisch ontwerpen van funderingen op staal, paalfunderingen, keerwanden, diepe kelders en aarden
dammen. Evenals de andere Eurocodes is ook hierin
het ontwerpen gebaseerd op het beschouwen van
grenstoestanden. Nadere toelichting betreffende eenvoudige funderingen zal worden gegeven in het
zesde hoofdstuk in deze uitgave.
Eurocode 8
belastingen
NEN 6008
Betonstaal
augustus 2006
Eurocode 8: Ontwerp en berekening van aardbevingsbestendige constructies is gesplitst in zes delen en behandelt alle aspecten die te maken hebben met het ontwerpen op aardbevingsbestendigheid en omvat
richtlijnen voor de diverse constructiematerialen en
voor alle typen constructies. Zij omvat ook richtlijnen
voor het versterken en repareren van gebouwen. Ten
behoeve van gebieden die weinig aardbevingsgevoelig
zijn, zijn de detailleringsregels uit Eurocode 2
zodanig, dat tevens wordt voldaan aan Eurocode 8. n
1 Introductie tot de Eurocode
Overzicht van de Eurocode-terminologie
benaming
definitie
Principes Artikelen als algemene stellingen, definities, voorwaarden en analytische modellen waarvoor
geen alternatief is toegestaan. Zij worden onderscheiden door (P) na het artikelnummer.
Toepassingsregels Algemeen erkende regels die in overeenstemming zijn met de principes en voldoen aan hun
vereisten.
Nationaal Bepaalde Parameter (NBP) Eurocodes moeten worden gebruikt om te voldoen aan nationale Bouwvoorschriften die op
zichzelf niet worden geharmoniseerd. NBP’s mogen daarom door een land worden gebruikt
om eigen veiligheidsniveaus vast te leggen. NBP’s maken het ook mogelijk zekere andere
parameters (in het algemeen beïnvloed door klimaat, geografie en geologie) open te laten
voor nationale invulling; NBP’s worden geadviseerd in de Nationale Bijlage.
Nationale Bijlage (NB)Een Nationale Bijlage vergezelt elke Eurocode en omvat: a) de waarden van NBP’s; b) de natio-
nale besluiten aangaande het gebruik van Informatieve Bijlagen; c) verwijzingen naar NCCI’s.
Normatief De benaming gebruikt voor de tekst van voorschriften die de basisvereisten omvatten.
Overeenstemming met Eurocodes wordt veelal beoordeeld aan de hand van de normatieve
vereisten.
Informatief Een benaming die alleen wordt gebruikt in relatie met een bijlage die beoogt te informeren,
in plaats van voor te schrijven.
NCCINon-contradictory complementary information. Referentie in een Nationale Bijlage die
nadere informatie of handreikingen bevat en niet in tegenspraak is met de Eurocode.
Karakteristieke waardeEen waarde die statistisch kan worden afgeleid met een bepaalde kans niet te worden
overschreden gedurende een referentieperiode. De waarde komt overeen met een zekere
fractie van een bepaalde eigenschap van een materiaal of product. De karakteristieke waarde
wordt aangegeven met het subscript ‘k’ (bijv. ​Q​ k​ enz.). Het is de basis-representatieve waarde
waarvan andere representatieve waarden kunnen worden afgeleid.
Representatieve waardeWaarde gebruikt voor toetsing van een grenstoestand. Dit kan de karakteristieke waarde of
een met een ψ-factor daarvan afgeleide waarde zijn, zoals de combinatiewaarde, frequente
waarde of quasi-blijvende waarde.
Rekenwaarden Deze verwijzen naar representatieve waarden inclusief partiële factoren. Zij worden voorzien
van het subscript ‘d’ (bijv.​ f​cd ​= ​f​ck​/γ​ ​c​; ​Q​ d​ = ​γ​Q​ ​Q​ k​).
Belasting (F)
Een stel krachten, vervormingen of versnellingen werkend op een bouwconstructie.
Belastingscombinaties Een stel rekenwaarden te gebruiken voor het controleren van de constructieve betrouwbaar
heid in een grenstoestand, waarin sprake is van de gezamenlijke invloed van verschillende en
statistisch onafhankelijke belastingen.
Vaste belastingBelasting met een vaste verdeling en positie over de bouwconstructie of het constructie-
onderdeel.
Vrije belasting Belasting die verscheidene ruimtelijke verdelingen over de bouwconstructie kan hebben.
Blijvende belasting (G)Belasting die geacht wordt gedurende de gehele referentieperiode van een bouwconstructie
aanwezig zijn en waarvan variatie in grootte in de tijd verwaarloosbaar klein is ( bijv. blijvende
krachten).
Variabele belasting (Q)
Belasting waarvan de grootte in de tijd varieert (bijv. windbelasting).
Effect van een belasting (E)
Vervorming of interne kracht veroorzaakt door een belasting.
Buitengewone belasting (A)Een belasting, veelal van korte duur maar van signifcante grootte, waarvan de kans klein is
dat deze gedurende de referentieperiode zal optreden.
Gelijktijdige belastingEen belasting die in een combinatie niet de overheersende variabele belasting is maar die wel
tegelijk met deze leidende belasting kan optreden.
Tijdelijke ontwerpsituatie Een ontwerpsituatie die van toepassing is gedurende een tijdsbestek dat veel korter is dan de
referentieperiode van de bouwconstructie.
Blijvende ontwerpsituatieEen ontwerpsituatie die van toepassing is gedurende een tijdsbestek dat ongeveer even lang
duurt als de referentieperiode van de bouwconstructie.
Buitengewone ontwerpsituatie
Een ontwerpsituatie die uitzonderlijke omstandigheden voor de bouwconstructie bevat.
Irreversibele Bruikbaarheidsgrenstoestand waarin sommige gevolgen van belastingen blijvend zijn nadat
bruikbaarheidsgrenstoestand de belastingen niet meer werkzaam zijn.
Reversibele bruikbaarheids-
Bruikbaarheidsgrenstoestand waarin geen van de gevolgen van belastingen blijvend zijn
grenstoestand nadat de belastingen niet meer werkzaam zijn.
Uitvoeringsfase
Uitvoering van de bouwwerkzaamheden.
9
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
2 Het begin
In dit hoofdstuk van deze uitgave komen de voor de
berekening van constructie-elementen benodigde
gegevens aan de orde: ontwerplevensduur, belastingen
op constructies, schikken van belastingen, belastingscombinaties, analysemethoden, materiaaleigenschappen, stabiliteit en imperfecties, minimumbetondekking en maximale scheurwijdten.
Het proces van ontwerpen en berekenen van constructie-onderdelen wordt met het verschijnen van
Eurocode 2 niet ingrijpend gewijzigd, hetgeen overigens bij de detaillering wel het geval kan zijn. Een en
ander komt in de opeenvolgende hoofdstukken van
deze uitgave aan de orde.
Verwacht wordt dat Eurocode 2 op lange termijn zal
leiden tot (kosten)efficiëntere constructies.
Ontwerplevensduur
De ontwerplevensduur van een constructie wordt
gegeven in NEN-EN 1990 (Eurocode 0): Grondslag van
het constructief ontwerp (tabel 2.1). Hiermee worden
bij het ontwerpen en berekenen van gewapend-betonconstructies de duurzaamheidseisen vastgesteld.
Belastingen op constructies
Eurocode 1: Belastingen op constructies is opgebouwd
uit tien delen, die informatie geven over een grote
verscheidenheid aan belastingen. Voor nadere informatie over deze afzonderlijke voorschriften, zie
hoofdstuk 1.
Eurocode 1, deel 1-1: Algemene belastingen - Dichtheden,
eigen gewicht en opgelegde belastingen voor gebouwen
geeft de dichtheden en eigen gewichten van bouwmaterialen (tabel 2.2).
Belastingsschikking
De term belastingsschikking verwijst naar de manier
waarop veranderlijke belastingen (bijv. opgelegde belastingen en windbelastingen) zodanig worden saTabel 2.1 | Indicatieve ontwerplevensduren (uit Eurocode 0 en Nationale Bijlage (NB))
Combinaties van belastingen
De term combinaties van belastingen verwijst naar de
grootte van belastingen zoals deze moeten worden
gebruikt als in een grenstoestand sprake is van de
invloed van verschillende belastingen.
De getalswaarden van de partiële factoren in de UGTcombinaties worden ontleend aan Eurocode 0: Grondslag van het constructief ontwerp (zie hoofdstuk 1). In de
uiterste grenstoestand worden drie soorten belastingscombinaties onderscheiden: de fundamentele combinaties, de bijzondere combinaties en de combinaties
ten behoeve van aardbevingsbestendig ontwerpen.
Drie BGT-combinaties van belastingen worden onderscheiden: karakteristiek, frequent en quasi-blijvend. De
getalswaarden zijn vermeld in Eurocode 0.
ontwerplevensduur (jaren)
voorbeelden
5
tijdelijke constructies
15
agrarische en vergelijkbare constructies; industriële
Materiaaleigenschappen
gebouwen met één of twee bouwlagen
Beton
In Eurocode 2 is het ontwerpen en berekenen van
gewapend beton gebaseerd op de karakteristieke
cilinderdruksterkte, niet op de karakteristieke kubusdruksterkte, en moet worden gespecificeerd volgens
NEN-EN 206-1 (bijv. voor sterkteklasse C28/35 is de
karakteristieke cilinderdruksterkte 28 N/​mm​2​, de
karakteristieke kubusdruksterkte 35 N/​mm​2​).
­Kenmerkende betoneigenschappen zijn vermeld in
tabel 2.4.
50
gebouwen en andere algemene constructies
100
constructies met een bijzondere
maatschappelijke functie
Tabel 2.2 | Een selectie uit de dichtheden van materialen (uit Eurocode 1, deel 1–1)
materiaal
10
mengesteld, dat de ongunstigste krachten in een
constructie of constructie-onderdeel worden gevonden. De wijze van schikking is in hoofdstuk 6 van
Eurocode 0 beschreven. In afwijking hierop is in
5.1.3 van Eurocode 2, deel 1-1, een vereenvoudiging
gegeven. In de Nederlandse Nationale Bijlage wordt
deze gevolgd.
Voor constructies beveelt Eurocode 2, deel 1-1
(art. 5.1.3 (1)P en NB) aan, de volgende vereenvoudigingen van de belastingsschikkingen in zowel de uiterste grenstoestand als de bruikbaarheidsgrenstoestand
te hanteren. De rekenwaarden moeten worden ontleend aan de meest ongunstige van de volgende situaties, waarbij overal dezelfde waarden voor γ​ ​G​moeten
worden aangehouden:
• Afwisselend dragen de velden de rekenwaarde van
de veranderlijke en blijvende belastingen, met de
andere velden alleen belast door de rekenwaarde
van de blijvende belasting (fig. 2.1).
• Elke twee naast elkaar gelegen velden dragen de
rekenwaarden van veranderlijke en blijvende belastingen, met de andere velden alleen belast door
de rekenwaarde van de blijvende belasting
(fig. 2.2).
Tabel 2.3 toont een selectie van veranderlijke belastingen in gebouwen.
dichtheid (kN/​m​3​)
normaal beton
24,0
normaal beton met wapening of voorspanning
25,0
specie van normaal beton
25,0
2 Het begin
Beton tot en met sterkteklasse C90/105 kan worden
ontworpen en berekend met Eurocode 2. Voor
klassen boven C50/60 gelden echter andere spanning-rekrelaties, reden waarom het ontwerpen en
rekenen met deze sterkteklassen niet in deze uitgave
wordt behandeld. De rekenwaarde van de betondruksterkte ​fcd
​ ​volgt uit:
γ QQ k
γGQGQkk
2.1 | Velden afwisselend belast
γGGk
α
​​
​ ​cc​​fck
 ​
 
 
​f​cd​= ​ ______
​γ​m​
2.2 | Twee aan elkaar grenzende velden belast
waarin:
​αcc​ ​
is een coëfficiënt waarmee rekening wordt
gehouden met een reductie ten gevolge van
langeduur effecten;
​γm​ ​
is de partiële factor voor de materiaaleigenschappen.
De grootte van beide variabelen is bepaald in de Nationale Bijlage.
Betonstaal
Eurocode 2 kan worden gebruikt voor betonstaal met
een karakteristieke sterkte van 400 tot en met
600 N/mm​2​(NEN-EN 1992-1-1, art. 3.2.2 3(P) / NB).
De eigenschappen van betonstaal zijn samengevat in
tabel 2.5. Drie staalklassen, A, B en C, worden onderscheiden met toenemende ductiliteit; klasse A is niet
geschikt als in de berekening is uitgegaan van 20% of
meer herverdeling. Geen rekening is gehouden met
het toepassen van glad of licht geprofileerd betonstaal.
Tabel 2.5 | Karakteristieke eigenschappen op trek belast betonstaal
klasse
A
B
C
karakteristieke vloeigrens ​fyk
​ ​ of ​f​0,2k​ (N/​mm​2​) 400 – 600
minimumwaarde van k = ​(​ft​​/​fy​ ​)k​ ​
≥ 1,05
≥ 1,08
≥ 1,15 en < 1,35
karakteristieke rek bij maximale kracht ​ε​uk​ (%)
≥ 2,5
≥ 5,0
≥ 7,5
opmerking
De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992–1–1, Bijlage C.
Tabel 2.3 | Belastingen op en in gebouwen (een selectie uit de Nederlandse Nationale Bijlage bij Eurocode 1, deel 1–1)
categorie
voorbeeld​q​k​ (kN/​m2​ ​)​Q​k​ (kN)
A
woonfunctie - vloeren
1,75
3
A
woonfunctie – trappen
2,0
3
A
woonfunctie - balkons
2,5
3
B
kantoorfunctie
2,5
3
C5
bijeenkomstfunctie zonder vaste zitplaatsen 5,0
7
D1
winkelfunctie
4,0
7
E1
opslag van goederen; geen industriële functie
≥ 5,0
≥7
F
garages en zones voor voertuigtransport – lichte voertuigen < 25 kN
2,0
10
G
garages en zones voor voertuigtransport – middelzware voertuigen (25 kN - 120 kN)
5,0
40
Tabel 2.4 | Selectie uit de materiaaleigenschappen van beton zoals vermeld in tabel 3.1 van Eurocode 2, deel 1–1
symbool
omschrijving
eigenschap
​f​ck​
karakteristieke
(N/​mm​2​)
cilinderdruksterkte
​ f​ck,cube​
karakteristieke
(N/​mm​2​)
kubusdruksterkte
f​ ctm
​ ​
gemiddelde
(N/​mm​2​)
treksterkte
​​ E​cm​2​​ )
secans-
(103 N/​mm​2​)
elasticiteitsmodulus
12
16
20
25
281)
30
35
40
45
50
15
20
25
30
35
37
45
50
55
60
1,6
1,9
2,2
2,6
2,8
2,9
3,2
3,5
3,8
4,1
27
29
30
31
31
33
34
35
36
37
1
) Betonsterkteklasse niet opgenomen in tabel 3.1 van Eurocode 2, deel 1–1, maar ontleend aan NEN 8005.
2
)Gemiddelde secans-elasticiteitsmodulus op 28 dagen voor beton met kwartsiet toeslagmateriaal. Voor beton met andere toeslagmaterialen, zie Eurocode 2, deel 1-1, art. 3.1.3, lid (2).
11
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 2.6 | Milieuklassen
klasse-aanduiding beschrijving van het milieu
geen risico op corrosie of aantasting
XO
voor beton zonder wapening of ingesloten metalen: alle milieus,
ongescheurde doorsneden (bijv. met de grootheden
van een betondoorsnede), gebruikmakend van lineaire
spanning-rek-relaties en de gemiddelde waarde voor
de elasticiteitsmodulus.
behalve bij vorst-dooi, afslijting of chemische aantasting
Alleen in de uiterste grenstoestand mogen de
momenten, berekend op basis van een elastische
analyse, worden herverdeeld (tot een maximum van
30%; NEN-EN 1992-1-1 art. 5.5 (4) met NB) mits de
resulterende momentenverdeling in evenwicht blijft
met de aangebrachte belastingen en voldoet aan
zekere limieten en ontwerpcriteria (bijv. limieten aan
de hoogte van de drukzone).
corrosie ingeleid door carbonatatie
XC1
droog of blijvend nat
XC2
nat, zelden droog
XC3/4
matige vochtigheid of wisselend nat en droog
corrosie ingeleid door chloriden anders dan afkomstig uit zeewater
XD1
matige vochtigheid
XD2
nat, zelden droog
XD3
wisselend nat en droog
corrosie ingeleid door chloriden afkomstig uit zeewater
XS1
blootgesteld aan zouten uit de lucht, maar niet in direct contact
met zeewater
XS2
blijvend onder zeewater
XS3
getijde-, spat- en stuifzones
aantasting door vorst/dooi-wisselingen met of zonder dooizouten
XF1
niet volledig verzadigd met water, zonder dooizouten
XF2
niet volledig verzadigd met water, met dooizouten
XF3
verzadigd met water, zonder dooizouten
XF4
verzadigd met water, met dooizouten of zeewater
chemische aantasting
XA1, XA2 of XA3; zie NEN-EN 206-1 en NEN 8005.
2.3 | D oorsneden van constructie-onderdelen met de nominale wapeningsafstand a
h≥b
h≥b
(NEN-EN 1992-1-2, art. 5.2(13))
Onafhankelijk van de gehanteerde analysemethode
zijn de volgende principes van toepassing:
• Als een ligger of plaat monoliet is verbonden met
de opleggingen, mag voor de ontwerpwaarde van
het negatieve moment worden uitgegaan van de
waarde ter plaatse van de dag van de oplegging,
waarbij deze niet kleiner mag zijn dan 0,65 maal
het moment dat optreedt bij een volledige inklemming (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2.2(3)).
• Als een ligger of plaat doorgaand is over een oplegging waarvan mag worden aangenomen dat deze
de rotatie niet belemmert, mag het steunpuntsmoment berekend in het midden van de oplegging
worden gereduceerd met ​FEd,sup
​ ​t / 8 met ​FEd,sup
​ ​als
oplegreactie en t als de breedte van de oplegging
(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2.2(4)).
• Bij het ontwerpen van kolommen moeten de elastische momenten uit een raamwerkberekening
worden gebruikt zonder dat herverdeling wordt toegepast (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.5(6)).
a
a
Minimumbetondekking
asd
b
Constructief ontwerp
Het primaire doel van een constructieve analyse van
constructies is het vaststellen van de grootte en de verdeling van interne krachten en momenten over de
gehele constructie of een deel ervan, en het onderscheiden van de kritische ontwerpcondities in alle
doorsneden. De geometrie wordt daarbij in het algemeen geïdealiseerd door de constructie te beschouwen
als opgebouwd uit lineaire en vlakke twee-dimensionale elementen.
Het type analyse moet geschikt zijn om te worden toegepast bij het betreffende probleem. Daarbij mag
worden uitgegaan van: lineair-elastische analyse, lineair-elastische analyse met beperkte herverdeling, nietlineaire analyse en plastische analyse. De lineair-elastische analyse mag worden uitgevoerd uitgaande van
12
De nominale betondekking kan als volgt worden
berekend (NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.1.1):
​c​nom​= ​cmin
​ ​+ Δ​cdev
​ ​
waarin ​cmin
​ ​een zodanige grootte moet hebben, dat
aan de volgende vereisten wordt voldaan (NEN-EN
1992-1-1, art. 4.4.1.2):
• veilige overdracht van aanhechtspanningen;
• duurzaamheid;
• brandwerendheid.
en waarin Δ​cdev
​ ​een toeslag is die in het ontwerp in
rekening moet worden gebracht in verband met
afwijkingen ten opzichte van de minimumdekking.
Hiervoor moet 5 mm worden aangehouden
(NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.1.3(1) met NB).
Minimumbetondekking voor aanhechting
De minimumdekking vereist om zorg te dragen
voor een adequate aanhechting moet niet kleiner
zijn dan de staafdiameter (bij enkele staven) of de
gelijkwaardige staafdiameter (bij gebundelde
staven). Bij een grootste korrelafmeting > 32 mm
2 Het begin
Tabel 2.7 | Vereiste nominale betondekking voor normaal gewapend beton met 50 jaar ontwerplevensduur, uitgaande van het beschermen van het betonstaal tegen corrosie
milieu-
minimumsterkteklasse, maximale water-cement-/water-bindmiddelfactor en minimumcement-/ bindmiddelgehalte
klasse
nominale betondekking op het betonstaal
10 + Dcdev
X0
20 + Dcdev
25 + Dcdev
30 + Dcdev
35 + Dcdev
40 + Dcdev
45 + Dcdev
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
←
0,701)
2001)
XC1
15 + Dcdev
≥ C28/35
0,65
0,65
260
260
XC2
≥ C35/45
0,60
0,60
280
280
XC3
≥ C35/45
0,55
0,55
280
280
XC4
≥ C40/50
0,50
0,50
300
300
XS1
≥ C40/50
0,50
0,50
300
300
XS2
≥ C45/55
0,45
0,45
320
320
XS3
≥ C45/55
0,45
0,45
340
340
←
←
←
XD1
≥ C40/50
0,55
0,55
300
300
XD2
≥ C40/50
0,50
0,50
300
300
XD3
≥ C45/55
0,45
0,45
320
320
1
) Alleen van toepassing bij onderwaterbeton. Voor ongewapend beton gelden geen grenswaarden (NEN 8005).
moet een toeslag van 5 mm worden toegepast
(NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.1.2(3)).
Minimumbetondekking voor duurzaamheid
De vereisten met betrekking tot duurzaamheid in
Eurocode 2 zijn gebaseerd op NEN-EN 206-1.
De grootte van de minimaal vereiste dekking voor
duurzaamheid wordt bepaald door de combinatie
van milieuklasse en constructieklasse. Tabel 2.6
geeft de omschrijving van de milieuklassen. Door
middel van de constructieklasse kan een verzwaring
of verlichting van de reguliere eis worden bepaald.
Zo moet bijvoorbeeld voor een ontwerplevensduur
van 100 jaar de constructieklasse met 2 worden verhoogd ten opzichte van 50 jaar en kan bij toepassing
van hogere betonsterkteklassen de constructieklasse
met 1 worden verlaagd, en aldus de vereiste betondekking worden gereduceerd (NEN-EN 1992-1-1,
tabel 4.3N).
In tabel 2.7 zijn voor de standaard-constructieklasse
S4 (50 jaar ontwerplevensduur) de vereiste dekkingen op betonstaal gegeven (NEN-EN 1992-1-1,
tabel 4.4N). Eisen aan de betonsamenstelling zijn
overgenomen uit NEN 8005 (tabel E).
Ontwerpen op draagkracht bij brand
Eurocode 2, deel 1-2: Ontwerp en berekening van constructies bij brand geeft diverse methoden om de
brandwerendheid van betonelementen te bepalen.
Nadere informatie kan worden gevonden in gespecialiseerde literatuur. Het ontwerpen en berekenen op
draagkracht bij brand mag nog steeds plaatshebben
door te verwijzen naar tabellen die de minimumbetondekking en -afmetingen van betonelementen vastleggen. De tabellen zijn echter niet gebaseerd op het
voorschrijven van een minimumbetondekking, maar
op een nominale afstand van het hart van een hoofdwapeningsstaaf tot het oppervlak van het element, de
13
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 2.8 | M inimumkolomafmetingen en -wapeningsafstanden voor kolommen met rechthoekige of ronde doorsnede – methode A
(NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.2a)
standaard-brandwerendheid
minimumafmetingen (mm):
kolombreedte (​b​min​) / wapeningsafstand (a) van de hoofdwapening
kolom blootgesteld aan meer dan één zijde
kolom blootgesteld aan één zijde
(​µ​fi​ = 0,7)
(​µ​fi​ = 0,7)
250/46
155/25
R 60
350/40
350/​57​1)​
R 120
175/35
450/​51​1)
R 240
2
)
295/70
1
) Minimaal 8 wapeningsstaven toepassen.
2
) Methode B geeft 600/70 voor R 240 en µ
​ ​ ​ = 0,7, en mag worden gebruikt; zie NEN-EN 1992–1–2, tabel 5.2b.
fi
opmerkingen
1. NEN-EN 1992–1–2 vermeldt de grenzen aan het ontwerp.
2. µ
​ ​fi​ is de verhouding tussen de rekenwaarde van de axiale belasting onder brandcondities en de rekenwaarde van de sterkte onder
normale temperatuurcondities. Conservatief mag µ
​ ​fi​ gelijk worden gesteld aan 0,7.
Tabel 2.9a | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden voor vrij opgelegde of doorgaande massieve gewapend-betonnen platen
(NEN-EN 1992-1-2, tabellen 5.8 en 5.9)
standaard- brandwerendheidminimumafmetingen (mm): plaatdikte ​h​s​ / wapeningsafstand a
in één richting overspannende plaat;
overspannende plaat;
in twee richtingen
vrij opgelegd
vrij opgelegd
​l​y​/​l​x​ ≤ 1,5
vlakke plaat;
doorgaand
1,5 < ​ly​ ​/​l​x​ ≤ 2
REI 60​h​s​ =
80
80
80
180
a =
20
10
15
15
REI 120​h​s​ =
120
120
120
200
a =
40
20
25
35
REI 240​h​s​ =
175
175
175
200
a =
65
40
50
50
opmerkingen
1.Verwezen wordt naar NEN-EN 1992–1–2 voor beperkingen aan het ontwerp.
2.a is de wapeningsafstand (fig. 2.3).
3.​hs​ ​ is de plaatdikte, inclusief niet-ontvlambare vloerafwerking.
Tabel 2.9b | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden voor vrij opgelegde, in twee richtingen dragende ribbenvloeren in gewapend
beton (NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.10)
standaard-brandwerendheid
minimumafmetingen (mm):
spiegeldikte ​h​s​ / ribbreedte ​bmin
​ ​ / wapeningsafstand a
spiegel
REI 60​h​s​ =
a =
REI 120​h​s​ =
a =
REI 240​h​s​ =
a =
80​b​min​ =
100
120
≥ 200
10
35
25
15
120​b​min​ =
160
190
≥ 300
20
60
55
40
175​b​min​ =
280
350
≥ 500
40
90
75
70
a =
a =
a =
opmerkingen
1. Verwezen wordt naar NEN-EN 1992–1–2 voor beperkingen aan het ontwerp.
2. a is de wapeningsafstand (fig. 2.3).
3. ​h​s​ is de spiegeldikte, inclusief niet-ontvlambare vloerafwerking.
14
ribben
2 Het begin
a > ​cnom
​ ​+ ​Øbeugel
​ ​+ –2​1 Ø​staaf
Bij de standaard-brandbelasting moet aan drie criteria
worden voldaan:
R de dragende functie moet gehandhaafd blijven
tijdens de duur van de brandbelasting;
E er moet voldoende weerstand zijn tegen verlies
aan samenhang;
I de isolerende werking moet voldoende zijn.
Tabellen 2.8 en 2.9a-b geven de minimumafmetingen
voor kolommen en platen waarmee aan bovenstaande
voorwaarden wordt voldaan. Nadere informatie wordt
gegeven in Eurocode 2 en in volgende afleveringen in
deze serie, inclusief grenzen aan het ontwerp en
gegevens voor wanden en liggers.
Stabiliteit en imperfecties
De invloeden van geometrische imperfecties moeten
worden beschouwd in combinatie met de invloeden
van windbelastingen (dus niet als een afzonderlijke
belastingscombinatie). Voor een globale analyse
kunnen de imperfecties worden weergegeven als een
scheefstand θ
​ i​​(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.2(5) en NB):
​θ​i​= (1/300) α
​ ​h​​α​m​
waarin:
_
​αh​ ​ = (2/ √ ​ l ​ ), niet kleiner dan 2/3 en niet groter dan
1,0;
​αm​ ​ = √0,5(1+1/m);
l
is de lengte of hoogte in m;
m is het aantal verticale elementen dat bijdraagt
aan de horizontale kracht in het schorende
systeem.
beperkt tot 0,4 mm (NEN-EN 1992-1-1, tabel 7.1N).
Bij afwezigheid van eisen met betrekking tot esthetica, mag deze limietwaarde ruimer worden gekozen
voor milieuklassen X0 en XC1 (NEN-EN 1992-1-1,
tabel 7.1N). Bij constructies met voorspanstaal moet
de scheurwijdte worden getoetst bij de frequente
belastingscombinatie.
De theoretische scheurwijdte kan worden berekend
met de uitdrukkingen uit 7.3.4 van NEN-EN 1992-11. Als er sprake is van verhindering van opgelegde
vervormingen moet worden voldaan aan een minimaal benodigde hoeveelheid wapening volgens
7.3.2. Ook kan gebruik worden gemaakt van voorwaarden waaraan moet worden voldaan. Deze zijn
vermeld in tabel 2.10, gebaseerd op tabellen 7.2N en
7.3N van de Eurocode. De limietwaarden gelden
ofwel voor de staafdiameter van het betonstaal ofwel
voor de staafafstand, niet voor beide.
Opgemerkt wordt dat de Nederlandse Nationale
Bijlage toestaat te werken met een factor:
​kx​​= ​ctoegepast
​
​/ ​cnom
​ ​≤ 2
De maximaal toelaatbare scheurwijdte volgend uit
tabel 7.1N mag met ​kx​​worden vermenigvuldigd. Bij
een controle zonder directe berekening (NEN-EN
1992-1-1, art. 7.3.3) kan de factor ​k​x​in rekening
worden gebracht door de maximale staafdiameters
van het betonstaal uit tabel 7.2N en de maximale
staafafstanden uit tabel 7.3N te vermenigvuldigen
met​​k​x​.
2.4 | Voorbeelden van de
invloed van geometrische imperfecties
a. schorend systeem
Om de spanning in het betonstaal (​σ​s​) vast te stellen,
bereken de verhouding ​Gk​ ​/​Q​k​en lees uit figuur 2.5
bij de van toepassing zijnde curve op de verticale as ​
σsu
​ ​af.
b. vloer met schijfwerking
c. dak met schijfwerking
Na
Hi
De invloed van de scheefstand mag worden weergegeven door in dwarsrichting werkende krachten op
elk niveau en mag in de analyse worden toegevoegd
aan die van andere belastingen (fig. 2.4) (NEN 19921-1, art. 5.2(8)):
• effect op het schorende systeem ​Hi​​= θ
​ i​​(​Nb​ ​– ​Na​​)
• effect op vloerschijf
H​i​= ​θi​​(​Nb​ ​+ ​N​a​)/2
• effect op dakschijf
​Hi​​= θ
​ i​​​Na​​
dak
θ i /2
Na
Hi
θi
Nb
θ i /2
dak
Hi
Na
θi
vloer
Hi
l
wapeningsafstand a (fig. 2.3). Het is een nominale
(niet een minimum)afmeting. De ontwerper moet er
voor zorgdragen dat:
vloer
Nb
Hi
Scheurwijdtecontrole
In Eurocode 2 moet de scheurwijdte behalve op basis
van duurzaamheid ook worden beperkt uit esthetische overwegingen (NEN-EN-1992-1-1, art. 7.3.1(P)).
Als geen specifieke functionele eisen (bijv. waterdichtheid) van toepassing zijn, moet de scheurwijdte
in gewapend beton worden beperkt tot 0,3 mm onder
de quasi-blijvende BGT-belastingscombinatie in alle
milieuklassen, behalve XO en XC1, daar is deze
a.
b.
c.
15
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
​σ​s​volgt uit:
​A​s,req​ 1
 ​· ​ __ ​
​σ​s​= σ
​ ​su______
​​ 
 
 
​As,prov
​  ​ δ
Opmerking
De curves zijn gebaseerd op de aanname dat bij de
belasting in UGT (​γ​G​​G​k​+ 1,5 ​Qk​ ​) de staalspanning
​σ​su​= 435 N/​mm​2​voor een hoeveelheid betonstaal
gelijk aan ​As,req
​ ​. In BGT is de belasting
(​Gk​ ​+ ψ
​ ​2​​Q​k​) en is ten opzichte van UGT de staalspanning evenredig met de belasting afgenomen. n
Tabel 2.10 | M aximale staafdiameter betonstaal of staafafstand om scheurwijdten te beperken (NEN-EN 1992-1-1, tabellen 7.2N en 7.3N)
staalspanning (​σ​s​)​w​max​ = 0,4 mm​w​max​ = 0,3 mm
(N/​mm​2​)
maximum-
of
staafdiameter (mm)
maximum-
staafafstand (mm)
maximum-
of
staafdiameter (mm)
maximumstaafafstand (mm)
160
40
300
32
200
32
300
25
300
250
240
20
250
16
200
280
16
200
12
150
320
12
150
10
100
360
10
100
8
50
opmerking
De staalspanning mag worden geschat met behulp van de volgende uitdrukking:
​f​yk​ m ​A​s,req​
___________
​  σ​s​ = ​ 
 
 
 ​
​γms
​ ​ n ​A​s,prov​ δ
waarin:
​ f​yk​ is de karakteristieke vloeigrens betonstaal;
​  γ​ms​
is de partiële factor voor betonstaal;
m
is de totale belasting in de quasi-blijvende combinatie;
n
is de totale belasting in de UGT combinatie;
​ A​s,req​ is de vereiste (required) hoeveelheid betonstaal in de UGT;
​ A​s,prov​ is de aanwezige (provided) hoeveelheid betonstaal;
δ
is de verhouding tussen het moment na herverdeling en het moment uit een elastische berekening.
320
2.5 | H et bepalen van de
ψ = 0,8, γ = 1,35
2
G
staalspanning vereist
voor scheurwijdtebe-
ψ = 0,6, γ = 1,35
2
G
300
ψ = 0,3, γ = 1,35
2
G
heersing
ψ = 0,2, γ = 1,35
2
G
280
ψ = 0,6, γ = 1,25
2
G
ψ = 0,3, γ = 1,25
2
G
260
ψ = 0,2, γ = 1,25
2
G
σ su (N/mm2)
240
220
200
180
1,0
2,0
Gk / Qk (-)
16
3,0
4,0
3 Platen
3 Platen
Dit hoofdstuk omvat het analyseren, ontwerpen en
berekenen van platen volgens, niet zijnde vlakke
plaatvloeren. Eurocode 2 bevat geen formules of specifieke handleidingen om de momenten en dwarskrachten vast te stellen. Hier is voor gekozen, omdat
het in de praktijk in Europa gebruikelijk is dat de
voorschriften principes geven; gedetailleerde toepassing daarvan wordt beschreven in andere bronnen
zoals lesboeken.
Een procedure om tot in detail het ontwerpen en
berekenen van platen uit te voeren, is weergegeven in
tabel 3.1. Aangenomen wordt, dat de plaatdikte al
tijdens een globaal ontwerp is vastgesteld.
Tabel 3.1 | Ontwerp- en rekenprocedure voor platen
stap
Eurocode 2, Deel 1-2: Ontwerp en berekening van constructies bij brand biedt de keuze uit geavanceerde,
vereenvoudigde en op tabellen gebaseerde methoden
voor het vaststellen van de brandwerendheid. Het
gebruik van tabellen is de snelste methode voor het
vaststellen van de minimumafmetingen en minimumbetondekking van platen. Er zijn echter beperkingen aan verbonden. Nadere uitleg over de geavanceerde en vereenvoudigde methoden kan worden
verkregen uit gespecialiseerde literatuur.
Anders dan het aangeven van een minimumbetondekking is de tabellenmethode gebaseerd op de
nominale wapeningsafstand, a. Dit is de afstand van
het hart van de hoofdwapening tot het oppervlak van
het constructie-element. Het betreft een nominale
(niet een minimum)afstand, zodat de ontwerper
moet verzekeren dat
a > c​ nom
​ ​+ ​Øverdeelwapening
​
​+ –2​1 Ø​hoofdwapening​.
De vereisten zijn voor diverse typen platen gegeven
in de tabellen 3.2a en 3.2b op pagina 19.
verdere informatie
in dit boek
norm
1
hoofdstuk 2
NEN-EN 1990 /
stel ontwerplevensduur vast
2
stel belastingen op de plaat vast
NB-tabel 2.1
hoofdstuk 2
3
NEN-EN 1991
(10 delen) / NB
bepaal welke combinaties van belastingen hoofdstuk 1
NEN-EN 1990 /
van toepassing zijn
NB-tabellen A1.1
en A1.2
4
NEN-EN 1992–1–1 /
bepaal schikking van belastingen
hoofdstuk 2
NB
5
NEN-EN 206-1 en
stel duurzaamheidseisen vast en kies hoofdstuk 2
betonsterkteklasse
6
Brandwerendheid
taak
7
8
9
controleer betondekking benodigd voor NEN 8500
hoofdstuk 2 + tabel NEN-EN 1992–1–2,
vereiste brandwerendheid 3.2 in hoofdstuk 3
hoofdstuk 5
bereken minimumbetondekking voor hoofdstuk 2
NEN-EN 1992–1–1,
duurzaamheid, brand en aanhechting
art. 4.4.1
analyseer constructie voor maatgevende NEN-EN 1992–1–1,
hoofdstuk 2
momenten en dwarskrachten
hoofdstuk 5
bereken buigwapening
NEN-EN 1992–1–1,
figuur 3.1 in
hoofdstuk 3
deel 6.1
10
figuur 3.3 in NEN-EN 1992–1–1,
hoofdstuk 3
deel 7.4
11
tabel 3.6 in NEN-EN 1992–1–1,
hoofdstuk 3
deel 6.2
12
hoofdstuk 2
controleer doorbuiging
controleer dwarskrachtcapaciteit
controleer staafdiameter of staafafstand
NEN-EN 1992–1–1,
deel 7.3
teit, dan ook begrensd volgens NEN-EN 1992-1-1,
art. 5.5 (4) vgl. (5.10a)/NB.
De Eurocode geeft aan hoe te ontwerpen en berekenen
voor een betonsterkteklasse tot en met C90/105. Voor
beton met een sterkteklasse boven C50/60 moet de
spanning-rekrelatie worden aangepast.
Buiging
De ontwerp- en rekenprocedure voor buiging is weergegeven in figuur 3.1. Eurocode 2 geeft diverse mogelijke
spanning-rekrelaties van beton. De hier getoonde
rekenstappen zijn gebaseerd op de bi-lineaire spanningsfiguur volgens figuur 3.2 (NEN-EN 1992-1-1,
art. 3.1.7 (2), fig. 3.4).
Opgemerkt wordt dat de in figuur 3.1 weergegeven
rekenmethodiek niet als zodanig in NEN-EN 1992-1-1
is opgenomen; de methode is ontleend aan British
Standard BS 8110 en wordt daarin ook wel de Kmethode genoemd. De K-waarde op zichzelf is echter
ook in Nederland bekend, bijvoorbeeld uit de GTB.
Uitgegaan is van een lineaire berekening met
beperkte momentenherverdeling. De hoogte van de
drukzone is, in verband met de vereiste rotatiecapaci-
Doorbuiging
Eurocode 2 geeft twee alternatieve methoden voor het
voldoen aan doorbuigingseisen: ofwel door de verhouding overspanning-hoogte te beperken, ofwel door de
theoretische doorbuiging te berekenen met behulp van
uitdrukkingen die in de Eurocode worden gegeven. De
tweede mogelijkheid wordt uitgebreid besproken in
hoofdstuk 8 van deze uitgave. Er wordt op gewezen dat
in de Eurocodes geen doorbuigingseisen worden
gesteld. Volgens NEN-EN 1990 is dit een zaak die
vooraf tussen ontwerper en opdrachtgever moet worden
overeengekomen. Wel zijn in 7.4.1 van NEN-EN 19921-1 enkele beperkte aanwijzingen opgenomen, waarop
de bijbehorende slankheidseisen zijn gebaseerd.
17
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Start
3.1 | P rocedure voor bere-
wapening
Tabel 3.3 | Waarden voor K’
↓
% herverdeling
δ (herverdelingsratio)
K’
Analyseer de plaat om de rekenwaarde van het buigend
0
1,00
0,186
moment te bepalen
5
0,95
0,172
↓
10
0,90
0,158
Valt buiten
15
0,85
0,144
de opzet
20
0,80
0,128
van dit
25
0,75
0,113
kenen benodigde buig-
nee
↓
Betonsterkteklasse
≤ C50/60?
boek
Tabel 3.4 | z /d voor een rechthoekige doorsnede met alleen trek-
ja ↓
wapening
M
Bereken K = ​ _______
  ​  
​bd​2​​fck
​ ​
K
z/d
K
z/d
0,05
0,959
0,13
0,886
↓
0,06
0,951
0,14
0,876
Bereken K’ met tabel 3.3 of hanteer
0,07
0,942
0,15
0,865
K’ = 0,51 δ – 0,1244 δ​  2​ ​– 0,20 met δ ≤ 1,0
0,08
0,933
0,16
0,854
↓
0,09
0,924
0,17
0,843
0,10
0,915
0,18
0,832
0,11
0,906
0,19
0,820
0,12
0,896
0,20
0,807
nee
↓
is K < K’ ?
ja ↓ Geen drukwapening vereist
Drukwapening is
vereist; niet aanbevolen bij platen
↓
Ontleen de inwendige hefboomsarm aan tabel 3.4 of bereken
Tabel 3.5 | M inimum-wapeningsverhouding uit ​A ​s,min1 ​ (betrokken
op de nuttige hoogte d) (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1
↓
(1) en NB)
d
 
z = ​ __ ​ [ 1 + ​  √  1-28K/9]
2
fck
fctm
minimum % (0,26 ​f​ctm​/​​f​yk1​​ ​)
25
2,6
0,13
28
2,8
0,14
30
2,9
0,15
35
3,2
0,17
↓
40
3,5
0,18
Controleer of wordt voldaan aan de vereiste
45
3,8
0,20
minimumwapening:
50
4,1
↓
M
Bereken de vereiste buigtrekwapening uit ​A​s​= ​ ______
  ​  
​f​yd​z
1
0,26 ​fctm
​ ​​b​t​d
​As,min1
​
​= ​  ______________
  
    ​ > 0,0013 btd (zie tabel 3.5)
              ​fyk                            
​
​​​​
0,21
2
) Uitgegaan is van ​fyk
​ ​= 500 N/​mm​ ​.
N.B. Eurocode 2 hanteert wapeningsverhouding in plaats
van wapeningspercentage
​A​s,min2​= 1,25 ​A​s​vereist in UGT (zie voorgaande rekenstap)
​A​s,min​is de kleinste waarde van ​As,min1
​
​en ​A​s,min2​
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (1) / NB)
↓
Controleer of wordt voldaan aan de eisen met
betrekking tot de maximum-wapeningsverhouding
​As,max
​ ​= 0,04 ​A​c​voor buigtrek- of buigdrukwapening
in gebieden buiten overlappingslassen
xu
en met sterkteklasse
_1 x
d
2 (NEN-EN 1992-1-1,
h
C50/60 uit Eurocode
Fc
2 u
neutrale lijn
_1 x
2 u
figuur voor beton tot
fcd
_7_ x
εc = εcu3 = 3,5‰
3.2 | B i-lineaire spannings­
18 u
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (3) / NB).
art. 3.1.7 (2),
fyd
As
doorsnede
18
Fsy
εs ≥ ε yd
fig. 3.4)
rekken
spanningen en krachten
3 Platen
Tabel 3.2a | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden voor vrij opgelegde of
Tabel 3.2b | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden voor in twee richtingen
doorgaande massieve gewapend-betonnen platen (NEN-EN 1992-1-2,
dragende ribbenvloeren in gewapend beton, ten minste aan één zijde
tabel 5.8) (niet voor vlakke plaatvloeren)
standaard-
ingeklemd (NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.11)
minimumafmetingen (mm):
standaard- minimumafmetingen (mm): spiegeldikte ​h​s​ / ribbreedte ​bmin
​ ​/
plaatdikte ​hs​ ​ / wapeningsafstand a
brandwe-
brandwe-
rendheid
in één ​richting​1),2)​ 1 ,2 ,3 ,4
overspannende plaat;
overspannende plaat;
vrij opgelegd
vrij opgelegd
in twee ​richtingen​ ) ) ) )​
​l​y​/​l​x​ ≤ 1,55)
1,5 < ​ly​ ​/​l​x​ ≤ 2 )
80
80
a =
20
107)
15 )
​h​s​ =
100
100
100
a =
30
157)
20
REI 120​h​s​ =
120
120
120
REI 90
REI 240
a =
40
20
25
175
175
175
a =
65
40
50
a =
REI 120​h​s​ =
7
​h​s​ =
a =
REI 90​h​s​ =
5
80
a =
REI 240​h​s​ =
a =
ribben6)
80​b​min​ =
100
120
≥ 200
10
25
157)
107)
100​b​min​ =
120
160
> 250
15
35
25
157)
120​b​min​ =
160
190
≥ 300
20
45
40
30
175​b​min​ =
450
700
-
40
70
60
a =
a =
a =
a =
noten
1
)
De plaatdikte ​hs​ ​is de som van de plaatdikte en de dikte van elke niet-brandbare vloerafwerking (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.1).
opmerkingen
1. De tabellen zijn ontleend aan NEN-EN 1992–1–2, tabellen 5.8 en 5.11. Voor
2
)
vlakke plaatvloeren wordt verwezen naar aflevering 7 uit deze serie.
Bij doorgaande massieve platen moet een minimum-steunpuntswapening ​      
A​s​≥ 0,005 ​A​c​worden aangebracht boven een tussensteunpunt als (NEN-EN
2. De tabel is alleen van toepassing als rekening is gehouden met detailleringsei-
1992-1-2, art. 5.7.3 (3)):
sen (zie opmerking 3) en als in een brandberekening de herverdeling van bui-
• koud vervormd betonstaal wordt gebruikt, of
gende momenten de 15% niet overschrijdt (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.3 (2)).
• er geen belemmering van de rotatie is bij de eindopleggingen van een dra-
3. Bij brandwerendheidsklasse R90 of hoger moet over een afstand gelijk aan
gende plaat met twee velden, of
0,3 ​l​eff​vanaf het hart van elk tussensteunpunt de doorsnede van het betonstaal
• als herverdeling van belastingen in de dwarsrichting ten opzichte van de
overspanningsrichting niet mogelijk is of niet in het ontwerp en de bereke-
bovenin de doorsnede niet kleiner zijn dan (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.6.3 (3)):
ning is meegenomen.
​A​s,req​(x) = ​A​s,req​(0) (1 – 2,5(x / ​l​eff​))
wapeningsafstand a
spiegel
REI 60​h​s​ =
REI 60​h​s​ =
rendheid
waarin:
x
3
)
is de afstand van de beschouwde doorsnede tot het hart van het
king op het betonstaal in de meest aan de buitenzijde gelegen laag betonstaal
steunpunt;
(NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.2 (2)).
​As,req
​ ​(0) is de doorsnede van het betonstaal, vereist bij een ontwerp op basis
4
)
van een normale temperatuur volgens NEN-EN 1992-1-1;
ten zij worden beschouwd als in één richting dragende platen (NEN-EN 19921-2, tabel 5.8).
de doorsnede maar niet minder dan de hoeveelheid volgens NEN-EN
1992-1-1 vereist bij een normale temperatuur;
5
)​l​x ​en ​l​y​zijn de overspanningen van een in twee richtingen dragende plaat (twee
is de grootste van de twee aangrenzende theoretische overspannin-
onderling loodrechte richtingen) waarbij ly de grootste overspanning is (NEN-
gen.
EN 1992-1-2, tabel 5.8).
4. Aan drie standaard-brandbelastingscondities moet worden voldaan:
6
)
R: de dragende functie moet gehandhaafd blijven tijdens de duur van de
minimaal gelijk zijn aan (a + 10 mm) (NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.11);
E: de weerstand tegen verlies aan samenhang moet voldoende zijn;
• de waarden zijn van toepassing als voornamelijk sprake is van een gelijkma-
de isolerende werking moet voldoende zijn.
tig verdeelde belasting (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.5 (3));
5. De rib van een in één richting dragende ribbenvloer kan worden beschouwd als
• er moet ten minste één ingeklemde zijde zijn (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.5
een ligger. Daarvoor wordt verwezen naar de vierde aflevering in deze serie:
(7));
Liggers. De spiegel kan worden beschouwd als een in twee richtingen dragen-
• het bovenin gelegen betonstaal moet worden aangebracht in de bovenste
de plaat met 1,5 < ​l​y​/​l​x​≤ 2 (ontleend aan NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.5 (1))
waarin wordt doorverwezen naar 5.6.2 en 5.6.3 voor de ribben en naar 5.7.3
en tabel 5.8 voor de spiegel)
De verhoudingen overspanning-hoogte dienen er
voor te zorgen dat de doorbuiging na de bouw (de bijkomende doorbuiging onder de quasi-blijvende BGTbelastingscombinatie) beperkt is tot 1/500 van de
overspanning (NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.1 (5)). De
procedure is weergegeven in figuur 3.3. Er wordt op
gewezen dat deze verhouding niet geldt voor de in
hoofdstuk 7 te behandelen vlakke plaatvloeren;
Voor de in twee richtingen dragende ribbenvloeren geldt het volgende:
• de wapeningsafstand gemeten ten opzichte van het zijvlak van de rib moet
brandbelasting;
I:
De benaming in twee richtingen dragende platen heeft betrekking op platen
die aan alle vier de randen worden ondersteund. Is dit niet het geval, dan moe-
​As,req
​ ​(x) is de minimumdoorsnede van het betonstaal, vereist in de beschouw-
​leff
​ ​
Bij de in twee richtingen dragende plaat heeft de wapeningsafstand a betrek-
helft van de spiegel (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.7.5 (5)).
7
)
Veelal zullen de eisen uit NEN-EN 1992–1–1 maatgevend zijn voor de betondekking.
daarbij wordt namelijk 1/250 van de overspanning
aangehouden.
Figuur 3.3 toont het algemene rekenschema. In tabel
7.4N van NEN-EN 1992-1-1 is voor enkele karakteristieke punten de l/d-verhouding gegeven. Voor K = 1,0
is l/d = 20 voor ρ = 0,5% en 14 voor ρ = 1,5%, voor ​fck
​​
= 30 N/​mm​2​(C30) en ​σ​s​= 310 N/​mm​2​. Deze waarden
19
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
zijn eenvoudig af te lezen uit figuur 3.4. De factor K
wordt gehanteerd in NEN-EN 1992-1-1. Er wordt op
gewezen dat deze niet overeenstemt met de factor K
uit figuur 3.1.
3.3 | P rocedure om te
­v oldoen aan door­
buigingseis
Start
↓
Bepaal de basiswaarde l/d met behulp van figuur 3.4
↓
Bepaal de hulpvariabele F1
Opmerkingen
1. In geval van in twee richtingen dragende platen
moet de controle worden uitgevoerd op basis van
de kleinste overspanning.
2. De figuur gaat uit van een statisch bepaald opgelegd constructie-element (K = 1,0);
K = 1,5 voor middenvelden;
K = 1,3 voor eindvelden;
K = 0,4 bij uitkragingen.
3. De aanwezigheid van drukwapening ρ′ is niet
beschouwd.
4. De curves zijn gebaseerd op de volgende uitdrukkingen:
Voor ribbenvloeren en cassettenvloeren
(NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.2 (2)):
F1 = 1 - 0,1 ((bf/bw) - 1) ≥ 0,8 1)
(bf is de flensbreedte en bw is de ribbreedte)
In andere gevallen is F1 = 1,0
↓
Bepaal de hulpvariabele F2
Als de overspanning van de plaat groter is dan 7 m en
hierop dragende scheidingswanden beschadigd
kunnen raken door grote doorbuigingen, is F2 = 7/leff
Anders is F2 = 1,0
↓
Bepaal de hulpvariabele F3
F3 = 310/σs
3/2
ρ
​ ​0​
​ ​0​
__ ρ
__
l
​ __  ​  = K 11 + 1,5 √​  ​ f​ck ​ ​__
​   ​  + 3,2 √​   ​f​ck ​ ​​(__
​   ​  - 1)​ ​
ρ
ρ
d
[
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16a))
​ 0​ ​
voor ρ ≤ ρ
waarin σs = staalspanning in bruikbaarheidsgrenstoestand,
te ontlenen aan figuur 3.5.
Ofwel, volgens een conservatieve benadering
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.17)):
 ​
ρ
​ 0​ ​
__
l
1 ___   ρ´
​ __  ​  = K 11 + 1,5 √​   ​f​ck ​ ​​ ____
    ​+ ​ ___   √ ​​   ​f​ck​ ​  ​ ​ ___   ​ 
ρ - ρ´ 12 
ρ0
d
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16b))
voor ρ > ρ
​ 0​ ​
[
F3 = 500 / (fyk As,req / As,prov)
]
nee
l/d (-)
3.4 | B epalen basiswaarde
28
26
)
1
22
/ ribbreedte ≥ 3, de l/d-verhouding met 0,8 vermenigvuldigd moet
20
0,02
0,019
0,018
0,017
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
beschreven in NEN-EN 1992-1-1, maar zijn ontleend aan [1].
0,009
Er wordt op gewezen dat de hulpvariabelen F1 t.m. F3 niet zijn
12
0,008
halen en is gekozen voor lineaire interpolatie voor 1 ≤ ​b​f​/​bw​ ​≤ 3.
14
0,007
worden. In de procedure is ervoor gekozen deze factor naar voren te
16
0,006
18
0,005
3.5 | B epalen staal­s panning
30
24
fck = 20
fck = 25
fck = 28
Controle gereed
fck = 30
fck = 35
fck = 40
De hulpvariabele wordt gehanteerd omdat de Eurocode (NEN-EN
fck = 45
1992-1-1, art. 7.4.2 (2)) aangeeft dat bij de verhouding flensbreedte
fck = 50
ja ↓
0,004
hoogte
32
0,003
Om de spanning in het betonstaal (​σ​s​) vast te stellen,
bereken de verhouding ​G​k​/​Q​k​en lees uit figuur 3.5 bij
de van toepassing zijnde curve (voor bepaalde ψ
​ 2​ ​/γ​ G​ ​-verhoudingen getoond) op de verticale as σ
​ su
​ ​af [1]. Deze
spanning / nuttige
werkelijke l/d?
34
Bij een ander spanningsniveau dan σs = 310 N/mm2
moet de berekende l/d-verhouding worden vermenigvuldigd met 310/σs.
van verhouding over-
Is basiswaarde l/d x F1 x F2 x F3 ≥
36
waarin ρ
​ ​0​is de referentie-wapeningsverhouding.
__
Deze is gelijk aan 10-3 √​  ​ f​ck .
↓
Verhoog
As,prov
↓
√ 
___
↓
]
As,req / bd
320
36
34
fck = 20
fck = 25
fck = 28
fck = 30
fck = 35
fck = 40
fck = 45
fck = 50
30
28
26
24
22
l/d (-)
20
300
staalspanning (N/mm2)
32
18
16
280
260
0,8 / 1,35
0,6 / 1,35
0,3 / 1,35
0,2 / 1,35
0,6 / 1,25
0,3 / 1,25
0,2 / 1,25
240
220
200
14
12
N/mm2)
0,02
0,019
0,018
0,017
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
260
0,011
280
0,01
300
20
0,009
320
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
As,req / bd
180
0,8
1,2
1,6
Gk / Qk (-)
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
3 Platen
Start
methode is niet beschreven in NEN-EN 1992-1-1, maar
is beschreven in [1].
​As,req
​ ​ 1
 ​ ​ __ ​
​σs​​volgt uit de uitdrukking: ​σs​​= σ
​ su
​ ​_____
​ 
 
 
​As,prov
​ ​ δ
het toepas-
Betonsterkteklasse
bied van
Opmerking
De curves zijn gebaseerd op de aanname dat bij de
belasting in UGT (​γG​ ​​G​k​+ 1,5 ​Qk​ ​) de staalspanning ​
σsu
​ ​= 435 N/​mm​2​voor een hoeveelheid betonstaal
gelijk aan ​As,req
​ ​. In BGT is de belasting (​Gk​ ​+ ψ
​ ​2​​Q​k​) en
is ten opzichte van UGT de staalspanning evenredig
met de belasting afgenomen.
kenen buigcapaciteit
van een ligger met
nee
↓
singsge-
3.6 | P rocedure voor bere-
↓
Valt buiten
meewerkende flens-
≤ C 50/60?
breedte
deze handleiding
ja ↓
Bereken ​l​0​(zie figuur 3.7) en ​beff
​ ​uit (NEN-EN 1992-1-1,
art. 5.3.2.1 (3), vgl. (5.7)):
​beff
​ ​= (​bw​ ​+ ​b​eff1​+ ​b​eff2​)
met (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2.1 (3), vgl. (5.7a-b)):
​beff1
​ ​= (0,2​b​1​+ 0,1​l​0​) ≤ 0,2 ​l​0​en ≤ ​b​1​
Dwarskracht
​beff2
​ ​= (0,2​b​2​+ 0,1 ​l​0​) ≤ 0,2​l​0​en ≤ ​b​2​
Het is niet gebruikelijk dat een plaat dwarskrachtwapening bevat. Daarom is het alleen nodig er verzekerd van te zijn dat de grenswaarde van de schuifspanning zonder dwarskrachtwapening (​vRd,c
​ ​– zie
tabel 3.6) groter is dan de rekenwaarde van de optredende schuifspanning (​v​Ed​= ​VEd
​ ​/bd). Voor de situatie
dat dwarskrachtwapening vereist is, zoals in ribben
van een ribbenvloer, wordt verwezen naar hoofd­stuk 4.
Opmerking: De meewerkende flensbreedte bij de oplegging
kan anders zijn dan die in het veld. Voor symbolen wordt
verwezen naar de figuren 3.7 en 3.8.
↓
M
Bereken K = ​ _________
   ​  
2
​beff
​ ​​d​ ​​f​ck​
↓
Bereken K’ met tabel 3.3 of hanteer
2
K’ = 0,51δ – 0,1244 δ​  ​ ​– 0,20 met δ ≤ 1,0
Specifieke opmerkingen voor in twee
↓
richtingen dragende platen
Eurocode 2 geeft geen specifieke uitwerking voor
het berekenen van de buigende momenten in een
in twee richtingen dragende plaat. Voor het vaststellen van die momenten kan gebruik worden
gemaakt van een geschikte theorie uit hoofdstuk 5
van Eurocode 2 en programma’s en tabellen die
van deze theorieën gebruikmaken.
Bereken de inwendige hefboomsarm z uit
d
z = ​ __  ​(1 +
2
√​    
1-28K
______
  
 
 ​ ​)
9
↓
Bereken de drukzonehoogte:
18
x = __ (d - z)
7
De neutrale lijn ligt in
de flens; bereken het
geheel als een recht-
ribbenvloeren en cassettenvloeren
hoekige doorsnede
ja
↓
Specifieke opmerkingen voor
↓
Is x ≤ ​h​f​?
met breedte ​beff
​ ​
nee ↓
De neutrale lijn ligt in het lijf, onder de flens.
Bereken de momentcapaciteit van het
gedeelte van de flens buiten het lijf:
(vanaf hier voor de rechthoekige
spanning-rekrelatie voor beton 1) uitgewerkt).
De flens wordt centrisch op druk belast.
Bereken de buigend-momentcapaciteit van de flens:
​MR,f
​ ​= 0,67 ​fck
​ ​(​b​eff​– ​b​w​) ​h​f​(d – 0,5 ​h​f​)
en bereken:
2
​K​f​= (M – ​MR,f
​ ​) / f​ck​​bw​ ​​d​ ​
Pas de afmetin- nee
gen van de
↓
De huidige praktijk voor het berekenen van krachten
in ribben- en cassettenvloeren mag ook worden
gebruikt voor het ontwerpen en berekenen volgens
Eurocode 2. Als een cassettenvloer wordt beschouwd
als een in twee richtingen dragende plaat, wordt verwezen naar de voorgaande paragraaf. Er wordt echter op
gewezen dat de torsiestijfheid significant kleiner kan
zijn dan die van een in twee richtingen dragende plaat.
Als de plaat wordt beschouwd als een vlakke plaatvloer,
wordt verwezen naar hoofdstuk 7.
De ligging van de neutrale lijn in de rib moet worden
vastgesteld, waarna de vereiste hoeveelheid betonstaal
kan worden berekend afhankelijk van de ligging van de
neutrale lijn in de flens (spiegel) of in de rib (fig. 3.6).
Extra aandacht wordt gevraagd voor de situatie waarin
sprake is van een relatief dunne flens. Dan moet de
schuifspanning op de overgang lijf-flens worden gecontroleerd (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.4 en figuur 6.7).
Hiervan kan bijvoorbeeld sprake zijn als tussen de
ribben holle blokken zijn aangebracht of als de vloer is
voorzien van een druklaag met een dikte kleiner dan
50 mm en kleiner dan 1/10 van de vrije tussenafstand
_____
doorsnede aan.
↓
is ​K​f​≤ K’ ?
ja ↓
Bereken de vereiste hoeveelheid betonstaal:
​M​R,f​
M – ​M​R,f ​
   
  
   ​+ _________
​ 
​ 
​A​s​= ​ _____________
​f​ywd​(d – 0,5 ​h​f​)
​f​ywd​z
)
1
NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.7(3), fig. 3.5.
21
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 3.6 | v Rd,c-capaciteit van elementen zonder dwarskrachtwapening (N/mm 2 )
ρl = As/bd
≤ 200 225
0,25% 0,54
0,52
nuttige hoogte d (mm)
250
275
300
350
400
450
500
600
750
0,50
0,48
0,47
0,45
0,43
0,41
0,40
0,38
0,36
0,50% 0,59
0,57
0,56
0,55
0,54
0,52
0,51
0,49
0,48
0,47
0,45
0,75% 0,68
0,66
0,64
0,63
0,62
0,59
0,58
0,56
0,55
0,53
0,51
1,00% 0,75
0,72
0,71
0,69
0,68
0,65
0,64
0,62
0,61
0,59
0,57
1,25% 0,80
0,78
0,76
0,74
0,73
0,71
0,69
0,67
0,66
0,63
0,61
1,50% 0,85
0,83
0,81
0,79
0,78
0,75
0,73
0,71
0,70
0,67
0,65
1,75% 0,90
0,87
0,85
0,83
0,82
0,79
0,77
0,75
0,73
0,71
0,68
≥2,00% 0,94
0,91
0,89
0,87
0,85
0,82
0,80
0,78
0,77
0,74
0,71
k
2,000 1,943 1,894 1,853 1,816 1,756 1,707 1,667 1,632 1,577 1.516
Tabelwaarden zijn afgeleid met: v Rd,c = 0,12 k (100 ρ I ​f ck )​ ​ ≥ 0,035 k
1/3
1,5
f ck
0,5
(NEN-EN 1992-1-1, vgl.
(6.2a-b) met NB)
_______
waarin k = 1 + √​  (200/d)  
​ ≤ 2 en ρ I = A s /bd ≤ 0,02
Voor een T-ligger met de flens onder druk behoeft
alleen de breedte van het lijf in rekening te worden
gebracht bij het berekenen van de grootte van ​bt​​.
Minimum-wapeningsverhouding - dwarswapening
De minimum-wapeningsverhouding van de dwarswapening is 20% van ​As,min
​ ​. In gebieden nabij opleggingen is geen dwarswapening nodig als geen buigend
moment in dwarsrichting optreedt (NEN-EN 1992-11, art. 9.3.1.1 (2)).
Maximum-wapeningsverhouding
Buiten gebieden met overlappingslassen mogen de
trek- en drukwapeningsverhouding niet groter zijn dan ​
A​s,max​= 0,04 ​Ac​​(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (3)).
opmerkingen
1. De tabel is opgesteld voor f ck = 30 N/mm 2 .
2. Als ρ I > 0,40% mag de volgende vermenigvuldigingsfactor worden gehanteerd om naar de juiste
betonsterkteklasse te corrigeren:
fck (N/mm2)
25
28
35
40
45
50
factor
0,94
0,98
1,05
1,10
1,14
1,19
l0 = 0,85 l1
l0 = 0,7 l2
l0 = 0,15 (l1+l2)
l1
l0 = 0,15 l2+l3
l2
l3
3.7 | D efinitie ​l ​0 ​ voor berekenen meewerkende flensbreedte (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2, fig. 5.2)
beff
beff2
hf
beff1
bw
b1
b1
b2
b2
b
3.8 | P arameters voor meewerkende flensbreedte
(NEN-EN 1992-1-1, art.
5.3.2, fig. 5.3)
tussen de ribben. In dat geval wordt aanbevolen de
afschuifkracht in langsrichting tussen rib (lijf) en flens
te controleren om vast te stellen of extra betonstaal in
dwarsrichting is vereist (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.4)
Regels voor staafafstanden en voor de
vereiste hoeveelheid betonstaal
Minimum-wapeningsverhouding - hoofdwapening
De minimum-hoeveelheid hoofdwapening in de
hoofddraagrichting (​As,min
​ ​) is (NEN-EN 1992-1-1, art.
9.3.1.1 (1)) gelijk aan de kleinste waarde van ​
A​s,min1​= 0,26 ​fctm
​ ​​bt​​d / ​fyk
​ ​(zie tabel 3.5) ≥ 0,0013 ​bt​​d,
waarin ​bt​​= breedte trekzone, en
​As,min2
​ ​(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (1) / NB)
waarin ​A​s,min2​= 1,25 ​As​​vereist in UGT.
22
Minimumstaafafstand
De minimumafstand tussen twee wapeningsstaven
moet ten minste gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1,
art. 8.2 (2) en NB):
• de diameter van de wapeningsstaaf;
• de grootste korrelafmeting van het toeslagmateriaal
plus 5 mm;
• 20 mm.
Maximumstaafafstand
Voor platen met een dikte h < 200 mm gelden de volgende maximumstaafafstanden (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.3.1.1 (3) en NB):
• voor de hoofdwapening: 3 h maar niet meer dan
400 mm;
• voor de dwarswapening: 3,5 h maar niet meer dan
450 mm.
Een uitzondering wordt gemaakt voor gebieden met
geconcentreerde belastingen of gebieden met een
maximaal moment:
• voor de hoofdwapening: 2,5 h maar niet meer dan
250 mm;
• voor de dwarswapening: 3 h, maar niet meer dan
400 mm.
Als aan genoemde maximumstaafafstanden wordt
voldaan, behoeft voor platen met een dikte h < 200
mm toegepast in gebouwen en niet onderworpen aan
een significante axiale trekkracht, geen scheurwijdtecontrole te worden uitgevoerd (NEN-EN 1992-1-1, art.
7.3.3 (1).)
Bij platen met een totale hoogte van de doorsnede
≥ 200 mm kan de scheurwijdtebeheersing maatgevend zijn voor de staafafstand. Daarom wordt verwezen naar NEN-EN 1992-1-1, art. 7.3.3 of naar hoofdstuk 2. n
Literatuur
1. Moss, R.M. en O. Brooker, How to design concrete structures using Eurocode 2: 3. Slabs. BCA /
The Concrete Centre, UK.
4 liggers
4 Liggers
Een procedure om tot in detail het ontwerpen en
berekenen van liggers uit te voeren, is weergegeven
in tabel 4.1. Aangenomen wordt dat de afmetingen
van de ligger al tijdens een globaal ontwerp zijn vastgesteld.
Tabel 4.1 | Ontwerp- en rekenprocedure voor liggers
stap
1
stel ontwerplevensduur vast
hoofdstuk 2
NEN-EN 1990 / NB-tabel 2.1
2
stel belastingen op de ligger vast
hoofdstuk 2
NEN-EN 1991 (10 delen) / NB
3
bepaal welke combinaties van belastin- hoofdstuk 1
gen van toepassing zijn
NEN-EN 1990 / NB-tabellen
A1.1 en A1.2
4
bepaal schikking van belastingen
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992–1–1 / NB
5
stel duurzaamheidseisen vast en kies
hoofdstuk 2
NEN-EN 206-1 en NEN 8500
controleer betondekking benodigd
hoofdstuk 2 +
NEN-EN 1992–1–2,
voor vereiste brandwerendheid
tabel 4.2 in
­hoofdstuk 5
betonsterkteklasse
6
hoofdstuk 4
7
bereken minimumbetondekking voor
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992–1–1, art. 4.4.1
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992–1–1,
duurzaamheid, brand en aanhechting
8
analyseer constructie voor maatge­
vende momenten en dwarskrachten
9
bereken buigwapening
­hoofdstuk 5
figuren 4.2 en
NEN-EN 1992–1–1, deel 6.1
4.11 in hoofdstuk 4
10
controleer dwarskrachtcapaciteit
figuur 4.5 in
NEN-EN 1992-1-1, deel 6.2
hoofdstuk 4
11
controleer doorbuiging
figuur 4.6 in
NEN-EN 1992–1–1, deel 7.4
hoofdstuk 4
12
controleer staafdiameter of staaf­
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992–1–1, deel 7.3
afstand
Dwarskracht
Eurocode 2 introduceert de methode met de hellende
drukdiagonaal voor het controleren van het dwarskrachtdraagvermogen. In deze methode wordt de
dwarskracht opgenomen door op druk belaste betondiagonalen en op trek belaste dwarskrachtwapening.
4.1 |Dwarsdoor­
snede constructie-element
met aangeduid
nominale
h≥b
De ontwerp- en rekenprocedure voor buiging is weergegeven in figuur 4.2. Deze bevat formules die zijn
afgeleid voor de (ook uit NEN 6720 bekende) bi-lineaire spanningsverdeling met ε​ c3
​ ​= 1,75‰ en ε​ cu3
​ ​=
3,5‰ (fig. 4.3, NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.7 (2), fig.
3.4).
Uitgegaan is van een lineaire berekening met
beperkte momentenherverdeling. De hoogte van de
drukzone is, in verband met de vereiste rotatiecapaciteit, begrensd volgens NEN-EN 1992-1-1, art. 5.5.(4),
vgl. (5.10a) / NB.
Opgemerkt wordt dat de in figuur 4.2 weergegeven
rekenmethodiek niet als zodanig in NEN-EN 1992-1-1
is opgenomen; de methode is ontleend aan de British
Standard BS 8110 en wordt daarin ook wel de Kmethode genoemd. De K-waarde op zich is echter
ook in Nederland bekend, bijvoorbeeld uit de GTB.
De Eurocode geeft aan hoe te ontwerpen en te berekenen voor een betonsterkteklasse tot en met
C90/105. Echter, voor beton met een sterkteklasse
boven C50/60 moet de spanning-rekrelatie worden
aangepast.
norm
wapeningsafstanden a en ​a sd
​ ​
a
Buiging
verdere informatie
in dit boek
Brandwerendheid
Eurocode 2, Deel 1-2: Ontwerp en berekening van constructies bij brand, biedt de keuze uit geavanceerde,
vereenvoudigde en op tabellen gebaseerde methoden
voor het vaststellen van de brandwerendheid. Het
gebruik van tabellen is de snelste methode voor het
vaststellen van de minimumafmetingen en de minimumbetondekking van liggers. Er zijn echter beperkingen aan verbonden. Nadere uitleg over de geavanceerde en vereenvoudigde methoden kan worden
verkregen uit gespecialiseerde literatuur.
Anders dan het aangeven van een minimumbetondekking is de tabellenmethode gebaseerd op de
nominale wapeningsafstand, a (fig. 4.1). Dit is de
afstand van het hart van de hoofdwapening tot de
onderzijde of zijvlakken van het constructie-element.
Het betreft een nominale (niet een minimum)
afstand, zodat de ontwerper moet verzekeren dat
a ≥ c​ nom
​ ​+ ​Øbeugel
​ ​+ –2​1 Ø​hoofdwapening en ​asd
​ ​= a + 10 mm.
Tabel 4.2 geeft de minimumafmetingen van liggers
om te voldoen aan de standaard-brandwerendheidsklassen. Voor ​a​sd​zie figuur 4.1 en tabel 4.2 op pagina
25, opmerking 2.
taak
asd
b
23
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
As2
cu3
= 3.5‰
s2
fcd
↓
Analyseer de ligger om de rekenwaarde
van het buigend moment (M) te bepalen
d
neutrale lijn
↓
As
ε ≥ε
S
doorsnede
yd
Fsy
fyd
rekken
spanningen en krachten
Valt buiten de
nee
Betonsterkteklasse
opzet van
↓
h
Start
Fsc
Fc
_7
18xu
c
_1 x _1 x
2 u 2 u
d2
ε =ε
ε
xu
xu
b
≤ C50/60 ?
dit boek
↓ ja
Tabel 4.3 | Waarden voor K’
% herverdeling
figuur voor beton tot
δ (herverdelings-
M
Bereken K =_____
​     
 ​
​bd​2​​f​ck​
K’
verhouding)
en met sterkteklasse
0
0,186
↓
0.95
0,172
Bereken K’ met tabel 4.3 of hanteer
0.90
0,158
K’ = 0,51 δ - 0,1244 δ​ ​2​- 0,20 met δ ≤ 1,0
15
0.85
0,144
↓
20
0.80
0,128
Is K < K’ ?
25
0.75
0,113
C50/60 uit Eurocode 2
(NEN-EN 1992-1-1,
5
art. 3.1.7, fig. 3.4)
10
1,00
Tabel 4.4 | z /d voor een rechthoekige doorsnede met alleen
­t rekwapening
nee
↓
4.3 |Bi‑lineaire spannings­
vereist
↓ ja
Bereken de inwendige
↓
hefboomsarm
K
z/d
K
z/d
0,959
0,13
0,886
Ontleen de inwendige
0,06
0,951
0,14
0,876
­hefboomsarm aan tabel 4.4
0,07
0,942
0,15
0,865
of bereken
0,08
0,933
0,16
0,854
0,09
0,924
0,17
0,843
0,10
0,915
0,18
0,832
0,11
0,906
0,19
0,820
0,12
0,896
0,20
0,807
_____
d
 
z = ​ __ ​ (1 + ​  √   1-28K/9 
 
​)
2
↓
Bereken de vereiste
buigtrekwapening uit
de nuttige hoogte d) (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (1)
en NB)
1
​fck
​ ​
​fctm
​ ​
M
​ 
 ​   
​A​s​=______
​f​yd​z
minimum % (0,26 ​f​ctm​/​​fyk
​ 1​​ ))
↓
25
2,6
0,13
Controleer of wordt voldaan
28
2,8
0,14
aan de vereiste minimumwa-
30
2,9
0,15
pening:
35
3,2
0,17
40
3,5
0,18
45
3,8
0,20
50
4,1
0,21
uitgedrukt als gelijkmatig over de nuttige hoogte d van
de doorsnede verdeelde schuifspanning (uitgegaan is
van ​v ​1 ​ = v = 0,6 (1 – ​f ck
​ ​/ 250))
​fck
​ ​
24
​v​Rd,max cot θ​= 2,5
​v​Rd,max cot θ​= 1,0
↓
Bereken de vereiste
hoeveelheid
drukwapening uit
​ ​2​
(K - K’) ​fck
​ ​b d
​ 
  
  
​A​s2​=______________
  ​
​f​sc​(d - ​d​2​)
waarin:
​
700 (​xu​ ​- ​d2​ ​)
​ 
 
  f​ yd
 ​ <
​ ​
f​sc​= ___________
​xu​ ​
↓
Bereken de vereiste
≥ 0,0013 b
​ t​​d (zie tabel 4.5)
hoeveelheid
​ ​s​vereist in UGT
​A​s,min2​= 1,25 A
trekwapening uit:
(zie voorgaande rekenstap)
Tabel 4.6 | M inimum- en maximumbetondrukdiagonaalcapaciteit
_____
d
 
z = ​ __ ​ (1 + ​  √   1-28K’/9 
 
​)
2
​xu​ ​= 0,8 (δ - 0,44) d
0,26 f​ ctm
​ ​​bt​​d
 
​A​s,min1​= ​ ___________
 
​ 
​f​yk​
) Uitgegaan is van ​fyk
​ ​ = 500 N/​mm​2​.
↓
Geen drukwapening vereist
0,05
Tabel 4.5 | M inimum-wapeningsverhouding uit ​A ​s,min1​ (betrokken op
Drukwapening is
​As,min
​ ​is de kleinste van ​A​s,min1​
en ​A​s,min2​(NEN-EN 1992-1-1,
​ ​2​ ​A​s2​​f​sc​
K’ ​fck
​ ​b d
​ 
 
 
​A​s​= _________
   
​+ ______
​ 
 ​ 
​f​yd​z     
​f​yd​
art. 9.2.1.1 (1) / NB)
↓
↓
20
2,28
2,54
3,31
3,68
Controleer of wordt voldaan aan de eisen met betrekking
25
2,79
3,10
4,05
4,50
tot de maximum-wapeningsverhouding ​A​s,max​= 0,04 ​A​c​
28
3,09
3,43
4,48
4,97
voor buigtrek- of buigdrukwapening in gebieden buiten
30
3,28
3,64
4,75
5,28
overlappingslassen (NEN-EN 1992-1-1,
35
3,74
4,15
5,42
6,02
art. 9.2.1.1 (3) / NB).
40
4,17
4,63
6,05
6,72
45
4,58
5,08
6,64
7,38
50
4,97
5,51
7,20
8,00
4.2 |Procedure voor vaststellen vereiste hoeveelheid buigwapening
4 liggers
betondrukdiagonaal
Tabel 4.2 | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden voor gewapend-betonnen
liggers met betrekking tot brandwerendheid
standaard-brand- minimumafmetingen (mm):
werendheid
θ
breedte van de ligger ​bmin
​ ​ / gemiddelde wapeningsafstand a
niet-doorgaande liggers
R 60
verticale
dwarskrachtwapening
langswapening
onder trek
R 90
R 120
4.4 |Methode met hellende betondrukdiagonaal
Start
R 240
↓
Bereken rekenwaarde van de schuifspanning ​vEd
​ ​met:
Bereken de capaciteit van de
​ ​/250), of ​v​1​= 0,6 (indien de spanning in de
v​1​= v = 0,6 (1 - ​fck
­dwarskrachtwapening kleiner is dan 0,8 ​fyk
​ ​en
indien f​ ​ck​≤ 60 N/​mm​2​), ​α​cw​= 1, ​f​cd​= ​f​ck​/1,5)
↓
↓
v​Ed​< ​v​Rd,max,cotθ​= 1,0
Pas ontwerp aan
200
G
H
a=
40
35
30
25
25
121)
​b​min​ =
150
200
300
400
150
250
a=
55
45
40
35
35
25
​bmin
​ ​=
200
240
300
500
200
a=
65
60
55
50
45
300
450
500
35
35
​bmin
​ ​=
280
350
500
700
30
280
500
650
a=
90
80
75
70
700
75
60
60
50
(zie opmerking 4) en als in een berekening bij normale temperaturen de herver­
deling van buigende momenten de 15% niet overschrijdt (NEN-EN 1992-1-2,
art. 5.6.3 (2)).
4.Bij brandwerendheidsklasse R90 of hoger moet over een afstand gelijk aan 0,3 ​l​eff​
vanaf het hart van elk tussensteunpunt de doorsnede van het betonstaal bovenin
​A​s,req​(x) = ​A​s,req​(0) (1 - 2,5(x/​l​eff​))
waarin:
is de afstand van de beschouwde doorsnede tot het hart van het steunpunt;
​As,req
​ ​(x) is de minimumdoorsnede van het betonstaal vereist in de beschouwde
doorsnede, maar niet minder dan de hoeveelheid volgens NEN-EN 1992-1-1
vereist bij een normale temperatuur;
Bereken de vereiste hoeveelheid dwarskrachtwapening
v​v​​​b​​b​
sw
EdEd w w
____
 ​   
​   ​ = ___________
​ 
als ​v​1​= 0,6 (1-
0,9
f​ywd
cotθ
​0,9
f​c​o
f​ck​
250
​leff
​ ​
is de grootste van de effectieve lengten van de twee aangrenzende overspanningen.
)
​v​ ​​b​ ​
sw
Ed w
____
 
   ​  als ​v​1​= 0,6
​   ​ = ______________
​ 
s
120
gelijk zijn aan a + 10 mm, behalve als ​b​min​ groter is dan de waarden vermeld in
↓
​A​ ​
300
basis van een normale temperatuur volgens NEN-EN 1992-1-1;
θ = 0,5 / sin-1 [ ​vEd
​ ​/ (0,18 f​ ​ck​(1 - ​fck
​ ​/250))]
s
200
​A​s,req​(0) is de doorsnede van het betonstaal vereist (required) bij een ontwerp op
Bereken θ uit:
​A​ ​
160
)Veelal zullen de eisen uit NEN-EN 1992–1–1 maatgevend zijn voor de betondekking.
x
↓ ja
↓
120
de doorsnede niet kleiner zijn dan (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.6.3 (3)):
nee
​
(zie tabel 4.6)
F
​ min
b
​ ​=
3.De tabel is alleen van toepassing als rekening is gehouden met detailleringseisen
(zie NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.3 (3) met (zie NB): ​
↓ ja (cotθ = 2,5)
E
kolommen C en F.
drukdiagonaal ​v​Rd,max,cotθ​= 2,5 met tabel 4.6
D
2.De wapeningsafstand ​a​sd​ van een zijvlak van een ligger tot de hoekstaaf moet
↓
​v​Ed​< ​v​Rd,max,cotθ​= 2,5 ?
C
1. De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992–1–2, tabellen 5.5 en 5.6.
(z = 0,9 d, zie NEN-EN 1992-1-1, fig. 6.5)
nee
B
opmerkingen
​0,9 V​Ed​
​V​Ed​
​ = ______
​   
​ 
  
 
​v​Ed​= ______
​  b​w​d   ​ b​w​z
↓
1
doorgaande liggers
A
0,9. 0,8 ​fywd
​ ​cotθ
(NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.3 (3), vgl. (6.8) )
5.Bij brandwerendheidsklassen R 120 - R 240 moet de breedte van de ligger bij het
eerste tussensteunpunt minimaal gelijk zijn aan de waarde vermeld in kolom F als
de volgende omstandigheden van toepassing zijn (NEN-EN 1992-1-2, art. 5.6.3 (6)):
• er is geen sprake van een zekere mate van buigweerstand bij de eindoplegging;
• de bij normale temperatuur bij het eerste tussensteunpunt optredende dwarskracht ​V​Ed​ > 0,67 ​VRd,max
​
​
↓
Controleer de maximumstaafafstand voor
­dwarskrachtwapening: ​s​l,max​= 0,75 d ≤ 600 mm
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.2 (8), vgl. (9.8N) met NB)
4.5 |Procedure voor bepalen vereiste verticale
­d warskrachtwapening
De hellingshoek van de betondiagonaal is variabel en
kan bijvoorbeeld afhankelijk worden gesteld van de
grootte van de dwarskracht (fig. 4.4). De te volgen
procedure voor het vaststellen van het dwarskrachtdraagvermogen van een doorsnede is weergegeven in
figuur 4.5 en is uitgewerkt voor een schuifspanning
in de verticale doorsnede en niet voor een verticale
kracht zoals vermeld in Eurocode 2. Als dwarskrachtwapening is vereist, moet de helling van de drukdiagonaal worden gekozen. Voor gebruikelijke liggers
zal dit de minimumhelling zijn (cot θ = 2,5 of
θ = 21,8º), hetgeen wil zeggen dat bijvoorbeeld voor
betonsterkteklasse C30/37 de helling van de drukdiagonaal alleen dan groter moet worden gekozen dan
21,8º, als de schuifspanning groter is dan
3,28 N/mm​2​(zie ook tabel 4.6). De toegestane schuifspanning, ​vRd,max
​
​, is gekoppeld aan de hellingshoek
25
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Start
4.6 |Procedure voor voldoen aan
↓
doorbuigingseis
van de diagonaal. De maximum waarde van ​vRd,max
​
​,
treedt op bij θ = 45º.
Bepaal de basiswaarde l/d met behulp van figuur 4.7
Doorbuiging
↓
Eurocode 2 geeft twee alternatieve methoden voor het
voldoen aan doorbuigingseisen: ofwel door de verhouding overspanning-hoogte te beperken ofwel door
de theoretische doorbuiging te berekenen met behulp
van uitdrukkingen die in de Eurocode worden
gegeven. De tweede mogelijkheid wordt uitgebreid
besproken in hoofdstuk 8.
De verhoudingen overspanning-hoogte dienen er
voor te zorgen dat de doorbuiging na de bouw niet
groter is dan 1/500 van de overspanning (NEN-EN
1992-1-1, art. 7.4.1 (5)). De procedure is weergegeven
in figuur 4.6.
Er wordt op gewezen dat in de Eurocodes geen doorbuigingseisen worden gesteld. Volgens NEN-EN 1990
is dit een zaak die vooraf tussen ontwerper en
opdrachtgever moet worden overeengekomen. Wel
zijn in 7.4.1 van NEN-EN 1992-1-1 enkele beperkte
aanwijzingen opgenomen, waarop de bijbehorende
slankheidseisen zijn gebaseerd.
Bepaal de hulpvariabele F1
Voor liggers met flens (NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.2 (2))
F1 = 1 - 0,1 ((​bf​​/​bw​ ​) - 1 ≥ ​0,8​1)
(​bf​​is de flensbreedte en ​bw​ ​is de minimumbreedte van
het lijf in de trekzone)
Bij een rechthoekige doorsnede is F1 = 1,0
↓
Bepaal de hulpvariabele F2
Als de overspanning van de ligger groter is dan 7 m en
hierop dragende scheidingswanden beschadigd kunnen
raken door grote doorbuigingen, is F2 = 7/​l​eff​
Anders is F2 = 1,0
↓
Bepaal de hulpvariabele F3
F3 = 310/​σ​s​
waarin σ
​ ​s​is staalspanning in bruikbaarheidsgrenstoestand,
te ontlenen aan figuur 4.8.
Ofwel, volgens een conservatieve benadering
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.17)):
Verhoog ​A​s,prov​
F3 = 500 / (​f​yk​​A​s,req​/ ​A​s,prov​)
↓
Is basiswaarde l/d x F1 x F2 x F3 ≥
werkelijke l/d?
nee
↓ ja
Controle gereed
1
) De hulpvariabele wordt gehanteerd omdat de Eurocode (NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.2 (2)) aangeeft
dat bij de verhouding flensbreedte / ribbreedte > 3, de l/d-verhouding met 0,8 vermenigvuldigd
moet worden. In de procedure is ervoor gekozen deze factor in de berekening naar voren te halen en
is gekozen voor lineaire interpolatie voor 1 ≤ ​b​f​/​b​w​≤ 3.
Er wordt op gewezen dat de hulpvariabelen F1 t.m. F3 niet zijn beschreven in NEN-EN 1992-1-1, maar
zijn ontleend aan [1].
3/2
​ ​0​
​ ​0​
__ ρ
___ ρ
l
​ __  ​  = K 11 + 1,5 √​  ​f​ck​ ​  ​ __ ​  + 3,2 √​   ​fck
​ ​ ​ ​(​ __ ​  - 1)​ ​
ρ
ρ
d
[
36
34
fck = 20
32
fck = 25
30
fck = 28
28
fck = 30
26
fck = 35
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16a))
voor ρ ≤ ρ
​ ​0​,
[
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16b))
voor ρ > ρ
​ ​0​,
fck = 45
22
]
√ 
___
​ρ​0​
___
l
1 ___ ρ’
   ​ + ​ ___   ​  √​   ​fck
​ ​ ​  ​  __
​    ​  ​
​ __  ​  = K 11 + 1,5 √​   ​f​ck​ ​ ​ _____
​ρ​0​
ρ - ρ’ 12
d
fck = 40
24
fck = 50
]
waarin ρ
​ ​0​is de referentie-wapeningsverhouding.
__
Deze is gelijk aan ​10​-3  √​​  ​f​ck​ ​ .
De factor K wordt gehanteerd in NEN-EN 1992-1-1.
Deze variabele K is een andere dan de variabele K
die eerder bij buiging is gebruikt.
20
l/d (-)
Opmerkingen
1.Figuur 4.7 gaat uit van een niet-doorgaande ligger
(K = 1,0);
K = 1,5 voor tussenoverspanningen van een
­doorgaande ligger;
K = 1,3 voor de eindoverspanningen van een
­doorgaande ligger;
K = 0,4 bij een uitkragende ligger.
2.De aanwezigheid van drukwapening ρ’ is niet
beschouwd.
3.De curves zijn gebaseerd op de volgende
­uitdrukkingen:
18
16
14
12
0,02
0,019
280
0,018
300
26
0,017
320
0,016
4.7 |Bepalen basiswaarde ­v erhouding overspanning / nuttige hoogte
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
As,req / bd
Bij een ander spanningsniveau dan σs = 310 N/mm2
moet de berekende l/d-verhouding worden vermenigvuldigd met 310/σs.
14
12
0,02
0,019
0,018
0,017
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
4 liggers
As,req / bd
Opmerking
De curves zijn gebaseerd op de aanname dat bij de
belasting in UGT (​γ​G​​G​k​+ 1,5 ​Qk​ ​) de staalspanning
​σ​su​= 435 N/​mm​2​voor een hoeveelheid betonstaal
gelijk aan ​As,req
​ ​. In BGT is de belasting (​Gk​ ​+ ψ
​ ​2​​Q​k​) en
is ten opzichte van UGT de staalspanning even­redig
met de belasting afgenomen.
320
300
280
staalspanning (N/mm2)
Om de spanning in het betonstaal (​σ​s​) vast te stellen,
bereken de verhouding ​Gk​ ​/​Qk​ ​en lees uit figuur 4.8
bij de van toepassing zijnde curve, afhankelijk van de
verhouding ψ
​ ​2​/​γ​G​, op de verticale as σ
​ ​su​af. Deze
methode is niet beschreven in NEN-EN 1992-1-1,
maar in [1] en is ook al in hoofdstuk 3 ter sprake
gekomen.
​σ​s​volgt uit:
​As,req
​ ​1
 ​​ __ ​
​σ​s​= σ
​ ​su​_____
​ 
 
 
​As,prov
​ ​δ
260
0,8 / 1,35
240
0,6 / 1,35
0,3 / 1,35
220
0,2 / 1,35
0,6 / 1,25
200
0,3 / 1,25
0,2 / 1,25
180
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
Gk / Qk (-)
4.8 |Bepalen staalspanning als functie van de ­v erhouding ψ
​ ​2 ​/ γ​ ​G​
Samengestelde liggers
De meewerkende flensbreedte wordt berekend met
behulp van figuren 4.9 en 4.10. Eurocode 2 bevat een
rekenmethode om te controleren of de schuifspanning in het aansluitvlak tussen lijf en flens wel kan
worden opgenomen door de afschuifwapening die in
de flens aanwezig is.
De ligging van de neutrale lijn moet worden vastgesteld, waarna de vereiste hoeveelheid betonstaal kan
worden berekend afhankelijk van het antwoord op de
vraag of de neutrale lijn in de flens of in het lijf ligt
(fig. 4.11). Als de neutrale lijn onder de flens ligt,
wordt de uitwerking in figuur 4.11 voortgezet voor de
rechthoekige spanning-rekrelatie uit NEN-EN 1992-11, art. 3.1.7, fig. 3.5, omdat dan de uitdrukkingen nog
eenvoudig zijn uit te schrijven. De bi-lineaire relatie
leidt tot complexere relaties.
Bij steunpunten moet de trekwapening die het steunpuntsmoment opneemt, worden verdeeld over de volledige meewerkende breedte (fig. 4.12).
Bij het controleren van de doorbuiging met behulp
van de verhouding overspanning-hoogte moet bij het
berekenen van de wapeningsverhouding van de trekwapening worden uitgegaan van de oppervlakte van
de betondoorsnede gelegen boven het hart van de
­trekwapening.
l0 = 0,15 (l1+l2)
l0 = 0,85 l1
l0 = 0,15 l2+l3
l0 = 0,7 l2
l1
l2
l3
4.9 |Definitie ​l ​0 ​ voor ­b erekenen meewerkende flensbreedte (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2, fig. 5.2)
beff
beff1
beff2
bw
b1
b2
b1
b2
b
4.10 | P arameters voor meewerkende flensbreedte (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2, fig. 5.3)
Tabel 4.7 | C apaciteit van een betonnen drukdiagonaal met betrekking tot de schuifspanning in langsrichting in liggers
met flens
​
​vRd,max
​
gedrukte flens
getrokken flens
Schuifspanning in langsrichting
​fck
​ ​
(voor cotθ = 2)
(voor cotθ = 1,25)
De schuifspanning in een verticaal aansluitvlak
tussen de flens en het lijf moet worden berekend met
art. 6.2.4 en figuur 6.7 van Eurocode 2 (hier gereproduceerd als figuur 4.13). De verandering van de
kracht in de flens kan worden berekend uit het
moment en de inwendige hefboomsarm in een
bepaalde doorsnede. De Eurocode stelt dat de grootste afstand die kan worden beschouwd voor deze ver-
20
2,94
3,59
25
3,60
4,39
28
3,98
4,85
30
4,22
5,15
35
4,82
5,87
40
5,38
6,55
45
5,90
7,20
50
6,40
7,80
27
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
andering in kracht, gelijk is aan de helft van de
afstand tussen de positie met het maximale moment
en de positie waar het moment gelijk is aan nul
(NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.4 (3)). De grootste schuifspanning in langsrichting treedt op daar waar de verandering in het moment, en daarmee de kracht, het
grootst is (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.4 vgl. (6.20)). In
het geval van een gelijkmatig verdeelde belasting op
een doorgaande ligger, is dit over het gedeelte van de
ligger het dichtst bij een steunpunt gelegen.
Start
↓
Stel de rekenwaarde van het buigend
­moment M vast
↓
Bereken ​l​0​(zie fig. 4.9) en ​b​eff​uit
(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2.1 (3) vgl. (5.7)):
​beff
​ ​= (​b​w​+ ​b​eff1​+ ​b​eff2​)
met (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.3.2.1 (3)
vgl. (5.7a-b)):
​b​eff1​= (0,2 ​b​1​+ 0,1 ​l​0​) ≤ 0,2 ​l​0​en ≤ ​b​1​
Regels voor staafafstanden en voor de
vereiste hoeveelheid betonstaal
Minimum-wapeningsverhouding langswapening
De minimumhoeveelheid langswapening is (NEN-EN
1992-1-1, art. 9.3.1.1 (1)):
​As,min1
​ ​= 0,26 ​fctm
​ ​​bt​​d / ​fyk
​ ​(zie tabel 4.5) > 0,0013 b​ t​​d
met ​bt​​= breedte trekzone.
​As,min2
​ ​= 1,25 ​As​​vereist in UGT.
​A​s,min​is de kleinste van ​As,min1
​ ​en ​As,min2
​ ​(NEN-EN
1992-1-1, art. 9.2.1.1 (1) / NB)
Voor een T-ligger met de gehele flens onder druk
behoeft alleen de breedte van het lijf in rekening te
worden gebracht bij het berekenen van de grootte van​
b​t​.
​beff2
​ ​= (0,2 ​b​2​+ 0,1 ​l​0​) ≤ 0,2 ​l​0​en ≤ ​b​2​
Opmerking: De meewerkende flensbreedte
bij een steunpunt kan anders zijn dan die in
het veld. Voor symbolen, zie fig. 4.9 en 4.10.
↓
M
Bereken K = _______
​ 
 ​   
​bd​2​​f​ck​
waarin:
b = ​bw​ ​bij een steunpuntsdoorsnede;
b = ​beff
​ ​in een velddoorsnede.
↓
Bereken K’ met tabel 4.3 of hanteer
K’ = 0,51 δ - 0,1244 δ​ 2​ ​- 0,20 met δ ≤ 1,0
↓
Bereken de inwendige hefboomsarm z uit
Literatuur
1 Moss, R.M. en O. Brooker, How to design concrete structures using Eurocode 2: 3. Slabs. BCA /
The Concrete Centre, UK.
↓
Bereken de drukzonehoogte:
18
x = ––– (d - z)
7
De neutrale lijn ligt
in de flens. Bereken
het geheel als een
↓
ja
Is x ≤ ​h​f​?
↓
Minimumstaafafstand
De minimumafstand tussen twee wapeningsstaven
moet minimaal gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1,
art.  8.2 (2) en NB):
• de diameter van de wapeningsstaaf;
• de grootste korrelafmeting van het toeslagmateriaal
+ 5 mm;
• 20 mm. n
d
 
z = __
​   ​ (1 + ​  √  1-28K/9 ​)
2
rechthoekige doorsnede (fig. 4.2) en
controleer vervol-
↓ nee
gens de schuifspan-
De neutrale lijn ligt in het lijf. Bereken
ning in de verticale
de buigend-moment­capaciteit van het
aansluitvlakken tus-
­gedeelte van de flens buiten het lijf (vanaf
sen lijf en meewer-
hier alleen voor de rechthoekige spannings-
kende flens (fig.
rekrelatie voor beton uitgewerkt)
4.13)
Het lijf wordt centrisch op druk belast
​MR,f
​ ​= 0,67 ​fck
​ ​(​b​eff​- ​bw​ ​) ​h​f​(d - 0,5 ​h​f​) en bereken:
M - ​M​R,f​
​Kf​​=__________
​ 
 ​ 
​f​ck​​bw​ ​​d​2​
↓
is ​K​f​< K’ ?
Pas de afmetingen
nee
van de doorsnede
↓
Maximum-wapeningsverhouding langswapening
Buiten gebieden met overlappingslassen mogen de
trek- en drukwapeningsverhouding niet groter zijn
dan ​As,max
​ ​= 0,04 ​Ac​​(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1
(3)).
aan
↓ ja
Bereken de vereiste hoeveelheid betonstaal:
​A​s​= ​M​R,f​/ f​ywd​(d - 0,5 ​h​f​) + (M - ​M​R,f​) / ​fywd
​ ​z
↓
Controleer de schuifspanning in de verticale
aansluitvlakken tussen lijf en meewerkende
flens (fig. 4.14)
4.11 | P rocedure voor vaststellen buigend-momentcapaciteit van
samengestelde liggers met een flens
28
4 liggers
beff
hf
As
beff1
bw
beff2
4.12 | Verdeling trekwapening in doorsnede met meewerkende breedte (flens) (NEN-EN
1992-1-1, art. 9.2.1.2 (2), fig. 9.1)
Bereken de schuifspanning in langsrichting (NEN-EN 1992-1-1, vgl. (6.20)): ​
v​Ed​= ∆​Fd​ ​/​hf​​∆x (zie fig. 4.14)
↓
Bereken de capaciteit van de beton-
ja
drukdiagonaal met tabel 4.7 of uit:
↓
Is de flens onderworpen
aan trek?
​vRd
​ ​= 0,195 ​fck
​ ​(1 - ​fck
​ ​/250)
↓ nee
Bereken de capaciteit van de betondrukdiagonaal met tabel 4.7 of uit:
​v​Rd​= 0,160 f​ ck
​ ​(1 - ​fck
​ ​/250)
nee
Bereken ​θ​f​uit:
↓
↓
​θ​f​= 0,5 sin-1[v​Ed​/0,2 f​ ck
​ ​(1 - ​fck
​ ​/250)]
Ja ↓ (cot ​θ​f​= 2,0)
nee
↑
Is ​v​Rd​> ​v​Ed​?
Is ​v​Rd​> ​v​Ed​?
Ja ↓ (cot ​θ​f​= 1,25)
↓
Bereken de doorsnede van de benodigde dwarswapening:
​Asf​ ​
​vEd
​ ​​h​f​
___
​   ​ = _________
 ​   
​ 
s
​f​yd​cot ​θf​​
4.13 | P rocedure voor berekenen capaciteit verticaal aansluitvlak tussen ligger en flens
A
Fd
drukdiagonaal
Δx
beff
Fd
A
sf
θf
Asf
langswapening
verankeren
voorbij deze
geprojecteerde locatie
Fd + ΔFd
hf
Fd + ΔFd
bw
4.14 | N otaties voor verbinding flens - lijf bij samengestelde ligger
29
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
5 Kolommen
Een procedure voor het tot in detail ontwerpen en
berekenen van geschoorde kolommen (kolommen
die niet bijdragen aan de weerstand tegen horizontale
belastingen) is weergegeven in tabel 5.1. Aangenomen wordt dat de afmetingen van de kolom al tijdens
een globaal ontwerp met een snelle ontwerpmethode
zijn vastgesteld. De kolomafmetingen zullen niet veel
van hetgeen in de huidige praktijk gebruikelijk is
afwijken.
Tabel 5.2 | M inimum-kolomafmetingen en -wapeningsafstand met
betrekking tot brandwerendheid
minimumafmetingen (mm):
standaardbrandwerendheid
hoofdwapening
kolom blootgesteld
kolom bloot­
aan meer dan één­
gesteld aan één
zijvlak
­zijvlak
R 60
Draagkracht bij brand
Eurocode 2, Deel 1-2: Ontwerp en berekening van
constructies bij brand, biedt de keuze uit geavanceerde, vereenvoudigde en op tabellen gebaseerde
methoden voor het vaststellen van de draagkracht van
kolommen bij brand. Het gebruik van tabellen is de
snelste methode voor het vaststellen van de minimumafmetingen en de minimumbetondekking van
kolommen. Er zijn echter beperkingen aan verbonden, die als opmerkingen en voetnoten aan de tabellen zijn toegevoegd. Nadere uitleg over de geavanceerde en vereenvoudigde methoden kan worden
verkregen uit gespecialiseerde literatuur.
kolombreedte ​b​min​ / wapeningsafstand a
R 90
R 120
R 240
​µ​fi​ = 0,5
​µ​fi​ = 0,7
​µ​fi​ = 0,7
200/36
250/46
155/25
300/31
350/40
155/25
300/45
350/53
400/38
450/​40​1)​
350/​451)​
350/​571)
450/​40​1)
450/​511)
450/​751)​
​ ​2)
175/35
295/70
​1)​ Pas minimaal 8 staven betonstaal toe.
2
)​Methode B kan worden toegepast. Deze geeft 600/70 voor
R 240 en ​µ​fi​ = 0,7 en een mechanische wapeningsverhouding r = 0,5 (zie NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.2b).
opmerkingen
De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992–1–2, tabel 5.2a
(methode A) en is van toepassing onder de volgende voorwaarden:
1.De effectieve lengte van een geschoorde kolom onderworpen aan een brandbelasting (​l0,fi
​ ​) ≤ 3 m. De grootte van ​l​0,fi​
Tabel 5.1 | Ontwerp- en rekenprocedure voor kolommen
stap taak
1
stel ontwerplevensduur vast
verdere informatie
in dit boek
norm
hoofdstuk 2
NEN-EN 1990 / NB-tabel 2.1
mag gelijk worden gesteld aan 50% van de werkelijke lengte bij tussenvloeren en tussen 50% en 70% van de werkelijke lengte voor de kolom in de bovenste bouwlaag.
2.De eerste-orde excentriciteit onder brandbelasting is ≤
2
stel belastingen op de ligger vast
hoofdstuk 2
NEN-EN 1991 (10 delen) / NB
3
bepaal welke combinaties van belas-
hoofdstuk 1
NEN-EN 1990 / NB-tabellen
0,15 b (of h). Gebruik als alternatief eventueel methode B
A1.1 en A1.2
(zie Eurocode 2, deel 1-2, tabel 5.2b). De excentriciteit
hoofdstuk 2
NEN-EN 206-1 en NEN 8500
onder brandcondities mag gelijk worden gesteld aan de
controleer betondekking benodigd
hoofdstuk 2 +
NEN-EN 1992-1-2, hoofdstuk
3.De hoeveelheid betonstaal buiten gebieden met overlap-
voor vereiste brandwerendheid
tabel 5.2 in
5
tingen van toepassing zijn
4
stel duurzaamheidseisen vast en kies
excentriciteit bij een ontwerp bij normale temperatuur.
betonsterkteklasse
5
6
bereken minimumbetondekking voor
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.1
analyseer constructie voor
hoofdstuk 2 +
NEN-EN 1992-1-1,
­maatgevende momenten en
‘Constructieve
hoofdstuk 5
­normaalkrachten
berekening’ in
duurzaamheid, brand en aanhechting
7
pingslassen is niet groter dan 4% van de betondoorsnede.
4.​µ​fi​ is de verhouding tussen de normaalkracht onder brand-
hoofdstuk 5
condities en de rekenwaarde van de draagkracht van de
kolom bij normale temperaturen en mag conservatief gelijk
worden gesteld aan 0,7.
hoofdstuk 5
8
controleer slankheid
figuren 5.2 en
5.1 |Dwarsdoorsnede
NEN-EN 1992-1-1, deel 6.1
van constructie-
5.3 in
element met
hoofdstuk 5
bereken vereiste hoeveelheid beton-
figuren 5.2 en
staal
5.3 in
nominale wape-
NEN-EN 1992-1-1, deel 6.2
ningsafstand a
h≥b
9
hoofdstuk 5
10
controleer staafafstand
‘Regels voor
NEN-EN 1992-1-1, deel 7.3
­staafafstanden’
a
in hoofdstuk 5
opmerking
NB = Nationale Bijlage
30
b
5 Kolommen
Anders dan het aangeven van een minimumbetondekking is de tabellenmethode gebaseerd op de
nominale wapeningsafstand, a (fig. 5.1). Dit is de
afstand van het hart van de hoofdwapening tot de zijvlakken van het constructie-element. Het betreft een
nominale (niet een minimum)afstand, zodat de ontwerper moet verzekeren dat
a ≥ ​c​nom​+ ​Ø​beugel​+ –2​1 ​Ø​hoofdwapening.
Voor kolommen geeft Eurocode 2, deel 1-2, twee
methoden, A en B. Beide zijn van toepassing, hoewel
methode A strengere grenzen stelt aan de excentriciteit dan methode B.
Methode A is iets eenvoudiger en wordt toegelicht in
tabel 5.2; de grenzen van het toepassingsgebied staan
bij de opmerkingen vermeld. Vergelijkbare gegevens
over dragende wanden zijn opgenomen in tabel 5.3.
• lineair-elastische berekening met beperkte herverdeling;
• plastische berekening;
• niet-lineaire berekening.
De lineair-elastische berekening moet worden uitgevoerd op basis van ongescheurd veronderstelde doorsneden (d.w.z. op basis van de grootheden van de
betondoorsnede), gebruikmakend van lineaire spanning-rekrelaties en de gemiddelde waarde van de langetermijn-elasticiteitsmodulus.
Start
5.2 |Stroomschema voor
↓
berekening geschoor-
Initiële kolomafmetingen kunnen worden vastgesteld met
de kolom
snelle ontwerpmethoden of door iteratie
↓
Bepaal de krachten op de kolom gebruikmakend van een
Voor kolommen die deel uitmaken van de bovenste
bouwlaag zal de excentriciteit vaak de grenzen overschrijden die beide methoden A en B stellen. In dat
geval mag gebruik worden gemaakt van Bijlage C van
Eurocode 2, deel 1-2. Als alternatief kan worden overwogen de kolom, uit oogpunt van draagkracht bij
brand, te behandelen als ware het een ligger.
­geschikte berekeningsmethode. Resultaten:
• de rekenwaarde van de normaalkracht ​NEd
​ ​
• de grootste eindmomenten ​Mkop
​ ​en ​M​voet​
↓
Stel de effectieve lengte, ​l0​ ​, vast en gebruik:
• figuur 5.5, of
• tabel 5.4, of
• uitdrukking (5.15) uit NEN-EN 1992-1-1
Kolomontwerp
↓
Een stroomschema voor het ontwerpen en berekenen
van een geschoorde kolom is weergegeven in
figuur 5.2. In geval van een slanke kolom geldt ook
figuur 5.3.
In hoofdstuk 9 wordt uitgebreid aandacht besteed
aan stabiliteit.
Bereken de eerste-orde eindmomenten (fig. 5.4)
|  | | 
|  | | 
|
|
​M​01​= min. {​ ​M​kop  ​, ​ ​M​voet​  ​}​
​M02
​ ​= max. {​ ​M​kop​  ​, ​ ​M​voet​  ​}​
​M01
​ ​en ​M​02​moeten hetzelfde teken hebben als zij aan
dezelfde zijde trek veroorzaken
↓
Bereken de slankheid, λ , uit:
Constructieve berekening
λ = ​l​0​/i met i is traagheidsstraal
Het type berekening moet zijn afgestemd op de
beschouwde constructie. De volgende berekeningen
mogen worden gebruikt:
• lineair-elastische berekening;
λ = 3,46 ​l​0​/h voor rechthoekige doorsneden (h is totale hoogte)
λ = 4,0 ​l​0​/d voor ronde doorsneden (d is kolomdiameter)
↓
Bereken de limietwaarde van de slankheid, ​λ​lim​, uit:
__
​λ​lim​= 20 ABC / √  n  
(zie paragraaf ‘Slankheid’ voor een toelichting)
betonwand en wapeningsafstanden bij vereiste
­b randwerendheid
ja
↓
Tabel 5.3 | M inimumafmetingen van een gewapende dragende
standaard-
minimumafmetingen (mm):
Kolom is slank
Is λ ≤ ​λ​lim​?(volg verder figuur
5.3)
wanddikte / wapeningsafstand a
↓ nee
­hoofdwapening
brandwerendheid
↓
wand blootgesteld
wand blootgesteld aan
Kolom is niet slank. ​
aan één zijkant
twee zijkanten
M​Ed​= ​M​02​+eiNEd met ei=lo/6001)
(​µ​fi​ = 0,7)
(​µ​fi​ = 0,7)
130/​10​1)
140/​10​ )
Gebruik een kolomdiagram (fig. 5.9) om de vereiste ​A​s​te vinden
REI 90
140/25
170/25
voor het opnemen van ​NEd
​ ​en ​M​Ed​
REI 120
160/35
220/35
↓
REI 240
270/60
350/60
Controleer vereisten voor staafafstand en hoeveelheid
1
1
↓
REI 60
)Veelal zullen de eisen uit NEN-EN 1992–1–1 maatgevend
­betonstaal
zijn voor de betondekking.
1. De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.4.
2. Zie opmerking 4 bij tabel 5.2.
{
MEd ≥ max. __
h___; 20 mm
Voorwaarde: ______
NEd
30
opmerkingen
1)
}
(NEN-EN 1992-1-1, art. 6.1 (4))
31
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
6720, waarin de quasi-lineaire elasticiteitstheorie
wordt beschreven. De methode gebaseerd op de
nominale kromming mag volgens de Nationale
Bijlage uitsluitend worden gebruikt bij kolommen en
wanden in een geschoorde constructie.
Start
5.3 |Stroomschema voor
↓
berekening slanke
Bereken ​K​r​uit:
kolom; methode geba-
​K​r​= (​n​u​- n)/(​n​u​- ​nbal
​ ​) ≤ 1
seerd op de nominale
kromming (NEN-EN
waarin:
1992-1-1, art. 5.8.8)
​nu​ ​= 1 + ω
ω=A
​ ​s ​f​yd​/ A​c​​f​cd​
Rekenwaarden van de momenten
​A​s​is de totale oppervlakte van de wapeningsdoorsnede
De rekenwaarde van het buigend moment ​MEd
​ ​is
gedefinieerd als (fig. 5.4c):
​A​c​is de totale oppervlakte van de betondoorsnede
n = ​N​Ed​/ ​A​c​​f​cd​, de relatieve normaalkracht
​N​Ed​is de rekenwaarde van de normaalkracht
​M​Ed​= max. {​M02
​ ​; ​M0e
​ ​+ ​M2​ ​; ​M01
​ ​+ 0,5 ​M2​ ​} + eiNEd
​nbal
​ ​= 0,4
waarin:
↓
Bereken ​K​ϕ​uit ​K​ϕ​= 1 + β ​ϕ​ef​≥ 1
​ 01
M
​ ​
​M02
​ ​
​e​i​
waarin:
β = 0,35 + f​ ck
​ ​/ 200 - λ / 150
λ is de slankheid
​ϕ​ef​is de effectieve kruipcoëfficiënt
Zie ook de paragraaf ‘Kruip’
Pas de waarde
↓
Bereken e​ 2​ ​uit
van ​As​ ​aan
​e​2​= 0,1 K
​ ​r​​K​ϕ​​f​yd​​​l​0​2​/ 0,45 d E​ ​s​
waarin:
​E​s​is elasticiteitsmodulus van betonstaal
(200 x 1
​ 0​3​N/​mm​2​)
↓
= min. {|​Mkop
​ ​|; |​Mvoet
​ ​|}
= max. {|​Mkop
​ ​|; |​Mvoet
​ ​|}
= ​l​0​/600 (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.2 (7) (eenheden in overeenstemming met die van de
momenten)
​Mkop
​ ​, ​Mvoet
​ ​zijn de momenten aan de kop en aan de
voet van de kolom volgend uit een raamwerkberekening.
Het eerste-orde, respectievelijk tweede-orde moment
halverwege de kolomhoogte is:
​M0e
​ ​
= 0,6 ​M​02​+ 0,4 ​M01
​ ​> 0,4 ​M02
​ ​;
​M2​ ​
= ​N​Ed​​e2​ ​
​M0e
​ ​= 0,6 M
​ ​02​+ 0,4 M
​ ​01​≥ 0,4 ​M​02​
{
​M2​ ​= N
​ ​Ed​​e​2​
waarin:
}
​M​Ed​= max. ​M​02​; ​M​0e​+ M
​ ​2​; ​M​01​+ 0,5 M
​ ​2​
​N​Ed​
e​ ​2​
+ eiNEd1)
↓
Gebruik een kolomgrafiek om A
​ ​s,req​
is de rekenwaarde van de normaalkracht;
is de uitbuiging ongeveer halverwege de hoogte ten gevolge van tweede-orde effecten.
benodigd voor ​N​Ed​en ​M​Ed​te vinden;
​M01
​ ​en ​M02
​ ​zijn positief als zij beide trek aan dezelfde
kant van de kolom veroorzaken.
zie bv. fig. 5.9
↓
nee
Is ​A​s,req​≈ ​A​s ?
↓ ja
Controleer detailleringseisen
{
h___; 20 mm
) Voorwaarde: __M
__Ed__ ≥ max. __
NEd
30
1
}
Bij het ontwerp van de kolommen moeten de elastische momenten uit een raamwerkberekening zonder
enige herverdeling worden gebruikt. Bij slanke
­kolommen kan een niet-lineaire berekening worden
uitgevoerd om de tweede-orde momenten te berekenen. Een alternatief is het gebruik van de momentvergrotingsfactor-methode (NEN-EN 1992-1-1,
art. 5.8.7.3) of de methode gebaseerd op de nominale
kromming (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8), zoals aangegeven in figuur 5.3.
Bij toepassing van de momenten-vergrotingsfactormethode moet de nominale stijfheid, volgens de Nationale Bijlage, niet worden bepaald met art. 5.8.7.2
van NEN-EN 1992-1-1, maar met art. 7.2.3 van NEN
32
De berekening van de excentriciteit ​e2​ ​is niet eenvoudig en naar verwachting zullen dan ook enige iteratiestappen nodig zijn om de uitbuiging ongeveer halverwege de hoogte, ​e2​ ​, uit te rekenen. Figuur 5.3
bevat de stappen van de berekening.
Een niet-slanke kolom kan worden berekend onder
verwaarlozing van tweede-orde effecten, waardoor de
rekenwaarde van het buigend moment gelijk is aan ​
M​Ed​= ​M02
​ ​+eiNEd. Voor zo’n kolom volgt de wapening
nu uit een doorsnedeberekening met ​MEd
​ ​en ​NEd
​ ​. Het
stroomschema uit figuur 5.3 behoeft dan niet te
worden doorlopen.
Voor een slanke kolom moet het tweede-orde
moment ten gevolge van de uitbuiging worden meegenomen in de berekening. Dit moment heeft een
verloop zoals geschetst in figuur 5.4b. Het moment
waarop de slanke kolom moet worden gedimensioneerd (fig. 5.4c) is de som van het moment in de nietslanke kolom plus het nominale tweede-orde
moment. Het nominale tweede-orde moment halverwege de hoogte (​M2​ ​) is het product van de normaal-
5 Kolommen
kracht en de totale uitbuiging (​e2​ ​), dus de uitbuiging
inclusief de tweede-orde uitbuiging. De totale uitbuiging wordt met benaderingsformules berekend. De
basis is hierbij de optredende kromming (NEN-EN
1992-1-1, art. 5.8.8.3 (1) vgl. (5.34)), waarin een correctiefactor voor de invloed van de normaalkracht
(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8.3 (3) vgl. (5.36)), het
effect van kruip (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8.3 (4) vgl.
(5.37)) en de effectieve lengte van de kolom (NEN-EN
1992-1-1, fig. 5.7) een belangrijke rol spelen.
M02 + eiNEd
0,5M2
eiNEd
M02
5.4 |Rekenwaarden van de
buigende momenten
M0e
a.eerste-orde momenten voor niet-slanke
eiNEd
M0e + M2 + eiNEd
M2=NEde2
kolommen
+
b.a dditionele tweedeorde momenten voor
=
slanke kolommen
eiNEd M01
c.totale momentenverloop voor slanke
M01+ 0,5M2 + eiNEd
0,5M2
kolommen
Effectieve lengte
Figuur 5.5 geeft voorbeelden van de effectieve lengten
van geschoorde kolommen. In de praktijk zal meestal
figuur d van toepassing zijn. Eurocode 2 geeft een
uitdrukking waarmee de effectieve lengte in de
betreffende situatie kan worden berekend (NEN-EN
1992-1-1, art. 5.8.3.2 (3): uitdrukking (5.15) voor het
geschoorde element uit figuur 15f).
In deze uitdrukking moeten de relatieve flexibiliteiten
van de gedeeltelijke inklemmingen aan de uiteinden, ​
k​1​en ​k2​ ​, worden berekend. De uitdrukking voor k zoals
gegeven in de Eurocode bevat onder meer het berekenen van de rotatiestijfheid van de eindaansluitingen en
brengt eventuele scheurvorming in rekening.
Als ​k1​ ​en ​k​2​zijn berekend, kan voor geschoorde
kolommen met behulp van tabel 5.4 een effectieve
lengtefactor F worden berekend. De effectieve lengte
is ​l​0​= Fl.
Voor een middenkolom, 400 mm vierkant, die een
vlakke plaatvloer met een dikte van 250 mm in
velden van 7,5 m ondersteunt, is ​k1​ ​= ​k2​ ​= 0,11 een
realistische waarde. Uit tabel 5.4 volgt dat ​l0​ ​= 0,59 l.
Als sprake is van een randkolom geldt ​k1​ ​= ​k2​ ​= 0,22
en is ​l​0​= 0,66 l; is de middenkolom aan de voet scharnierend verbonden, is ​l0​ ​= 0,77 l.
Uitdrukkingen (5.15) uit Eurocode 2 biedt aanzienlijke voordelen omdat deze zich zeer goed leent voor
opname in rekenprogrammatuur.
5.5 |Voorbeelden van verschillende knikvormen
en corresponderende
effectieve lengten voor
afzonderlijke
θ
l
geschoorde elementen
5.8.3.2, fig. 5.7)
θ
l0 = l
l0 = 0,7l
l0 = l/2
a
b
c
(NEN-EN 1992-1-1, art.
l/2 < l0 < l
d
Slankheid
Eurocode 2 geeft aan dat tweede-orde effecten
kunnen worden verwaarloosd indien ze kleiner zijn
dan 10% van de corresponderende eerste-orde effecten (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.2 (6)). Als alternatief
voor deze bepaling mogen tweede-orde effecten
worden verwaarloosd indien de slankheid λ kleiner is
dan een bepaalde limietwaarde (​λ​lim​) (NEN-EN 19921-1, art. 5.8.3.1 (1)).
De slankheid is λ = ​l0​ ​/ i waarin i de traagheidsstraal
is. De limietwaarde is:
__
​ ​lim​= 20 A B C / √ ​ n ​  (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.1
λ
(1), vgl (5.13) met NB)
Tabel 5.4 | E ffectieve lengtefactor F voor geschoorde kolommen
​k2​ ​
​k1​ ​
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,70
1,00
2,00
5,00
9,00
scharnierend
0,10
0,59
0,62
0,64
0,66
0,67
0,69
0,71
0,73
0,75
0,76
0,77
0,20
0,62
0,65
0,68
0,69
0,71
0,73
0,74
0,77
0,79
0,80
0,81
0,30
0,64
0,68
0,70
0,72
0,73
0,75
0,77
0,80
0,82
0,83
0,84
0,40
0,66
0,69
0,72
0,74
0,75
0,77
0,79
0,82
0,84
0,85
0,86
0,50
0,67
0,71
0,73
0,75
0,76
0,78
0,80
0,83
0,86
0,86
0,87
0,70
0,69
0,73
0,75
0,77
0,78
0,80
0,82
0,85
0,88
0,89
0,90
1,00
0,71
0,74
0,77
0,79
0,80
0,82
0,84
0,88
0,90
0,91
0,92
2,00
0,73
0,77
0,80
0,82
0,83
0,85
0,88
0,91
0,93
0,94
0,95
5,00
0,75
0,79
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,93
0,96
0,97
0,98
9,00
0,76
0,80
0,83
0,85
0,86
0,89
0,91
0,94
0,97
0,98
0,99
scharnierend
0,77
0,81
0,84
0,86
0,87
0,90
0,92
0,95
0,98
0,99
1,00
33
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
105 kNm
105 kNm
105 kNm
0
105 kNm
rm = 1,0
rm = 0
rm = -1,0
b
C = 1,7 - 0 = 1,7
c
fcd
εcu3
5.6 |Voorbeelden van bere-
εs2
kenen factor C
σsc
εc3
h
5.7 |Bi-lineaire rek- en
C = 1,7 + 1,0 = 2,7
εs
σs
d2
spanningsfiguur voor
op druk belast beton
waarin:
A
= 1 / (1 + 0,2 ϕ
​ ​ef​) (als ϕ
​ ​ef​onbekend is,
mag A = 0,7 worden aangehouden);
​ϕ​ef​
is de effectieve kruipcoëfficiënt
(NEN-EN
1992-1-1, art. 5.8.4 (2));
________
B
= √​  (1 + 2 ω) ​ 
(als ω onbekend is,
mag B = 1,1 worden aangehouden);
ω
= ​A​s​​f​yd​/ A​c​​fcd
​ ​, de mechanische wapeningsverhouding;
C
= 1,7 - ​rm
​ ​(als ​rm
​ ​onbekend is,
mag C = 0,7 worden aangehouden);
n
= ​NEd
​ ​/ A​c​​f​cd​, de relatieve normaalkracht;
​r​m​
= ​M01
​ ​/ ​M02
​ ​, de momentenverhouding;
​M01
​ ​, ​M02
​ ​zijn de eerste-orde eindmomenten,
|​M​02​| ≥ |​M01
​ ​|
​ ​aan dezelfde zijde
Als de eindmomenten ​M​01​en ​M02
trek veroorzaken, moet ​rm​
​ positief worden genomen
(zodat C ≤ 1,7 ), anders negatief (zodat C > 1,7).
Van de drie factoren A, B en C heeft C de grootste
invloed op λ
​ ​min​en is het eenvoudigst te berekenen.
Een eerste inschatting van ​λ​min​kan dan ook worden
gemaakt door de standaardwaarden voor A en B aan
te houden, maar C wel te berekenen (fig. 5.6). Er
moet op worden gelet dat bij het berekenen van C de
juiste tekens van de momenten worden gebruikt.
Sterkte van kolommen
Uit praktisch oogpunt wordt de bi-lineaire spanningrekrelatie gebruikt, eerder gebruikt bij het berekenen
van liggers in hoofdstuk 4 (fig. 5.7). Hierbij moet
echter wel worden opgemerkt dat de grenswaarde
van de betonstuik voor betonsterkteklassen tot en
met C50/60 gelijk is aan 0,00175 (​ε​c3​; NEN-EN 19921-1, fig. 3.4) als de gehele doorsnede onder centrische
druk staat (fig. 5.8a). Als de neutrale lijn zich buiten
34
de doorsnede bevindt (fig. 5.8b), ligt de grenswaarde
van de betonstuik tussen ε​ ​c3​= 0,00175 en ε​ ​cu3​=
0,0035 (NEN-EN 1992-1-1, fig. 3.4). De gemiddelde
stuik in de doorsnede moet dan worden beperkt tot ​
ε​c3​(halverwege de hoogte van de doorsnede, aangezien ε​ ​c3​/ ε​ ​cu3​= 0,5). De in de uiterste drukvezel aan te
houden grenswaarde kan worden gevonden door een
lijn te trekken van het (buiten de doorsnede gelegen)
punt met een rek gelijk aan nul en het ‘scharnierpunt’ dat behoort bij de gemiddelde rek van 0,00175
halverwege de hoogte van de doorsnede. Deze algemene relaties zijn weergegeven in figuur 5.8d. Voor
betonsterkteklassen boven C50/60 zijn de principes
hetzelfde, maar moeten andere waarden voor ε​ ​c3​en ​
ε​cu3​(de grenswaarde van de betonstuik) worden
gehanteerd.
x
C = 1,7 - 1 = 0,7
d2
a
105 kNm
Voor de oppervlakte van de doorsnede van het betonstaal dat benodigd is, kunnen twee uitdrukkingen
worden afgeleid. Uitgaande van de bi-lineaire spanning-rekrelatie wordt voor het krachten-, respectievelijk het momentenevenwicht gevonden:
​​A​s​= 2 (​NEd
​ ​- α ​f​cd​b x) / (​σ​sc​- σ
​ ​st​)
​ ​b x (h/2 - β x)] / [(h/2 - ​d2​ ​) (​σ​sc​+ σ
​ ​st​)]
​A​s​= 2 [M - α ​fcd
waarin:
​As​​
is de totale oppervlakte van de doorsnede
van het betonstaal (​As​​/ 2 is per kolomzijde
aangebracht);
​N​Ed​
is de rekenwaarde van de normaalkracht;
M is het bij ​NEd
​ ​behorende moment;
​fcd
​ ​
is de rekenwaarde van de betondruksterkte;
​σ​sc​(​σ​st​) is de spanning in de drukwapening (trekwapening) (druk in drukwapening als positief
getal invoeren);
b
is de breedte van de betondoorsnede;
​d​2​
is de afstand van uiterste trek- en drukvezel
van het beton tot hart trek-, resp. drukwapening;
x
is de drukzonehoogte;
h
is de hoogte van de betondoorsnede.
αis de oppervlaktefactor van het spanning­
rekdiagram van beton onder druk (0,75);
βis de zwaartepuntsfactor van het spanning­
rekdiagram van beton onder druk (7/18).
Er wordt op gewezen dat bij het opstellen van de
­uitdrukkingen is aangenomen dat de neutrale lijn
binnen de doorsnede valt (fig. 5.7). Dit betekent dat
het beton in de uiterste drukvezel de grenswaarde
van de betonstuik ε​ ​cu3​bereikt. Deze is gelijk aan
0,0035 voor beton tot en met sterkteklasse C50/60.
Deze vergelijkingen kunnen alleen iteratief worden
opgelost. Computerprogramma’s of speciale ontwerpgrafieken (zie ter illustratie fig. 5.9) worden vaak
gebruikt.
5 Kolommen
0,00175
0,00175x /(x-h /2)
0,0035 max
0,0035 max
5.8 |Rekfiguren voor
x
x
kolommen
b. voor x > h
d
h
h
h /2
a. centrische druk
c. voor x < h
x
d. algemene relatie
εs
εs
0,00175
a
0,00175 min
b
c
d
Kruip
Buiging en normaalkracht, C16/20 - C50/60, B500, a/h = 0,10, tweezijdige wapening
Tabel 17.3 Buiging en normaalkracht
C16/20 – C50/60
0,10
symmetrisch gewapende doorsnede
r is wapeningsgetal in %
ρ is wapeningsverhouding in % voor totale doorsnede = r β
As,rqd,tot =0,01ρ Ac
B500
a/h = 0,10
NB Gebied boven de lijn e/h = 10 is
gearceerd omdat bij nagenoeg
centrische druk (e/h ≤ 10) een
aangepast σ-ε-diagram van
toepassing is.
e/h =
Afhankelijk van de aannamen in het ontwerp kan het
nodig zijn de effectieve kruipfactor ϕ
​ ​ef​te bepalen
(NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.4 en art. 5.8.4). In Eurocode 2 is een nomogram opgenomen (fig. 3.1)
waarmee kan worden gewerkt als de sterkteklasse van
het cement (R, N of S) bekend is. Deze is echter in
een ontwerpstadium vaak nog niet bekend. In het
algemeen kan dan worden gewerkt met sterkteklasse
R. Als sprake is van het toepassen van meer dan 35%
hoogovencement of als meer dan 20% vliegas wordt
toegepast, mag sterkteklasse N worden gehanteerd.
Als deze percentages groter zijn dan respectievelijk
65% en 35%, mag worden uitgegaan van klasse S.
Volgens 5.8.4 van NEN-EN 1992-1-1 mag een effectieve kruipfactor worden bepaald die gelijk is aan de
totale kruipfactor, vermenigvuldigd met het quotiënt
van het moment ten gevolge van de permanente
belasting én het totale moment, inclusief belastingsfactoren.
2,00
betonsterkteklasse β
C16/20
0,57
C20/25
0,71
C25/30
0,89
C28/35
1,00
C30/37
1,07
C35/45
C40/50
C45/55
C50/60
1,50
1,25
1,43
1,61
1,79
Dubbele buiging
De invloeden van dubbele buiging kunnen worden
gecontroleerd met vergelijking (5.39), voor het eerst
opgesteld door Breslaer (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.9
(4)):
a
a
​(​MEdz
​ ​/ ​MRdz
​ ​)​ ​+ ​(M
​ Edy
​ ​/ ​MRdy
​ ​)​ ​≤ 1,0
1,00
waarin:
​M​Rdz/y​
a
​NEd
​ ​
​ ​Rd​
N
is de rekenwaarde van het moment om de
respectievelijke assen, inclusief een tweedeorde moment;
is de momentweerstand in de respectievelijke richtingen;
is de exponent; voor cirkelvormige en elliptische doorsneden geldt a = 2; voor rechthoekige doorsneden, zie tabel 5.5;
is de rekenwaarde van de normaalkracht;
= ​A​c​​f​cd​+ ​As​​​fyd
​ ​, de rekenwaarde van de
opneembare normaalkracht in de doorsnede.
r=
0,50
0
1
2
3
4
NEd
fcd A b
​ ​Edz/y​
M
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
M
fcd b h2
5.9 |Ontwerpgrafiek voor kolommen, gebaseerd op bi-lineaire spanning-rekrelatie voor op druk
belast beton, ontleend aan tabellenboek bij [2], blz. 41
35
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 5.5 | De grootte van de exponent a voor rechthoekige
­d oorsneden
NEd/NRd
0,1
0,7
1,0
a
1,0
1,5
2,0
opmerking
Voor tussenliggende waarden mag lineair worden geïnterpoleerd.
Ongeschoorde kolommen
Ongeschoorde kolommen moeten worden berekend
met de methode gebaseerd op de nominale stijfheid
(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.7), waarbij de nominale
stijfheid van slanke elementen moet worden berekend volgens NEN 6720 (VBC), art. 7.2.3 (zie NB bij
NEN-EN 1992-1-1).
In hoofdstuk 9 wordt hierop uitgebreid teruggekomen.
Wanden
Als de langste zijde van de doorsnede groter is dan
viermaal de kortste zijde, wordt het element als een
wand beschouwd. Het ontwerpen en berekenen van
wanden verschilt niet significant van dat van kolommen, met uitzondering van:
• eisen met betrekking tot brandwerendheid (zie
tabel 5.3);
• buiging ten opzichte van de zwakke as, deze zal
kritisch zijn;
• afwijkende regels voor staafafstanden en wapeningshoeveelheden (zie hierna).
Voor buiging om de sterke as met betrekking tot stabiliteit worden geen specifieke richtlijnen gegeven;
dan kunnen staafwerkmodellen worden gebruikt
(NEN-EN 1992-1-1, art. 6.5).
Minimumstaafdiameter
De aanbevolen minimumdiameter van een wapeningsstaaf langswapening in een kolom is 8 mm
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2 (1) en NB).
De minimumdiameter van de dwarswapening is
6 mm of, als deze groter is, een kwart van de maximale diameter van de langsstaven (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.5.3 (1)).
Maximumstaafafstand
De maximumstaafafstand van dwarswapening
(beugels, haarspelden of spiraalwapening) mag niet
groter zijn dan de kleinste van (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.5.3 (3) en NB):
• 20 maal de minimumdiameter van de langsstaven;
• de kleinste afmeting van de kolom;
• 400 mm.
In doorsneden binnen een afstand gelijk aan de
grootste afmeting van de kolomdoorsnede boven of
onder een balk of plaat, moet deze maximale hart-ophartafstand worden gereduceerd tot 0,6 maal het
eerder genoemde maximum (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.5.3 (4)).
Elke langsstaaf of staafbundel in een hoek moet op
zijn plaats worden gehouden door dwarswapening.
Geen enkele staaf binnen een drukzone mag verder
dan 150 mm vanaf een opgesloten staaf liggen (NENEN 1992-1-1, art. 9.5.3 (6)).
Minimumstaafafstand
De minimumafstand tussen twee wapeningsstaven
moet gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1, art. 8.2 (2) en
NB):
• de diameter van de wapeningsstaaf;
• de maximumkorrelafmeting van het toeslagmateriaal + 5 mm;
• 20 mm.
Regels voor staafafstanden en voor de
vereiste hoeveelheid betonstaal
Specifieke eisen bij wanden
Maximum-wapeningsverhouding
Buiten gebieden met overlappingslassen mag in
kolommen en wanden de wapeningsverhouding niet
groter zijn dan 0,04 (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2). De
waarde kan worden verhoogd indien kan worden aangetoond dat de samenhang van het beton niet wordt
aangetast. Het goed kunnen storten en verdichten
van de betonspecie is essentieel. Als de wapeningsdichtheid hoog is, kan zelfverdichtende betonspecie
worden toegepast.
De minimumoppervlakte van de verticale wapening
in wanden is ​Asv,min
​ ​= 0 ​Ac​​, de maximumoppervlakte
is ​A​sv,max​= 0,04 ​Ac​​(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.6.2 (1) en
NB).
De afstand tussen twee aangrenzende verticale staven
mag niet groter zijn dan driemaal de wanddikte of,
als dit kleiner is, 400 mm (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.6.2 (3)).
De minimumoppervlakte van de horizontale wapening in wanden is ​A​sh,min​= 0 ​Ac​​(NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.6.3 (1) en NB). n
Minimum-wapeningsverhouding
De minimumoppervlakte van de langswapening in
kolommen is ​As,min
​ ​= 0,10 ​NEd
​ ​/ ​fyd
​ ​≥ 0,002 A
​ c​​
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2 (2), vgl. (9.12N)).
36
Literatuur
1. Moss, R.M. en O. Brooker, How to design concrete structures using Eurocode 2: 5. Columns.
BCA / The Concrete Centre, UK.
2. Braam, C.R. en P. Lagendijk, Constructieleer
Gewapend Beton. Cement&BetonCentrum,
‘s-Hertogenbosch, 2008.
6 fundering
6 Funderingen
Het ontwerpen en berekenen van een fundering omvat
twee stappen: het geotechnisch ontwerp en het
ontwerp van de fundering zelf. Het geotechnisch
ontwerp valt onder Eurocode 7, die uit twee delen
bestaat: Deel 1: Algemene regels en Deel 2: Ontwerp
ondersteund door laboratoriumonderzoek. Dit hoofdstuk behandelt de essentiële onderdelen van Deel 1
voor het ontwerpen en berekenen van de fundering.
Benadrukt wordt dat hierin alleen het berekenen van
relatief eenvoudige funderingen wordt behandeld,
hetgeen slechts een klein deel van het totale toepassingsgebied van Eurocode 7 is. Op deze publicatie moet
dan ook niet worden teruggegrepen voor het verkrijgen
van informatie over alle onderdelen van Eurocode 7.
Grenstoestanden
Aan de volgende uiterste grenstoestanden (UGT), die
alle hun eigen belastingscombinaties hebben, moet in
het geotechnisch ontwerp worden voldaan (NEN-EN
1997-1, art. 2.4.7.1.):
EQU verlies aan statisch evenwicht in de constructie;
STR
intern bezwijken of excessieve vervormingen
van de constructie of een constructie-onderdeel;
GEO bezwijken ten gevolge van excessieve deformatie van de ondergrond;
UPL
verlies aan statisch evenwicht (opdrijven)
door opwaartse beweging door waterdruk
(opwaartse kracht);
HYD hydraulische grondbreuk en inwendige
erosie, bijvoorbeeld veroorzaakt door kwel
van grondwater.
Aanvullend moet worden voldaan aan bruikbaarheidsgrenstoestanden (BGT). Het zal meestal duidelijk zijn dat één van deze grenstoestanden bepalend
is voor het ontwerp, waardoor het niet nodig is dat
controles voor alle grenstoestanden worden uitgevoerd. Het wordt echter in het algemeen gezien als
‘gewenste’ praktijk dat wordt vermeld dat zij alle in
beschouwing zijn genomen.
Geotechnische categorieën
Eurocode 7 beveelt aan gebruik te maken van drie
geotechnische categorieën als hulpmiddel bij het
vaststellen van de geotechnische ontwerpcriteria die
op een constructie van toepassing zijn (tabel 6.1).
De geotechnische categorie wordt, ook thans, met
name gebruikt om de omvang van het uit te voeren
grondonderzoek te bepalen. Er is nagenoeg een eenop-een relatie tussen de geotechnische categorieën en
de thans gebruikte veiligheidsklassen.
Opmerking
Eurocode 0 hanteert drie gevolgklassen (‘consequence
classes’) bij het onderscheiden van de gevolgen van
bezwijken of disfunctioneren van een constructie: CC3
is de ‘zwaarste’ klasse, CC1 de ‘lichtste’. De meeste
gebouwen zullen in klasse CC2 vallen (vergelijkbaar
met veiligheidsklasse 3 uit NEN 6700). De gevolgklassen zijn een-op-een gekoppeld aan betrouwbaarheidsklassen RC1, RC2 en RC3, die de betrouwbaarheidsindex β bepalen waarmee de belastingsfactoren worden
berekend. Eenvoudig gesteld kan de indeling in geotechnische categorieën direct in verband worden
gebracht met de gevolgklassen: categorie 1 is CC1,
categorie 2 is CC2 en categorie 3 is CC3.
Ontwerpmethoden en combinaties
Er is geen consensus bereikt over het toepassen van
een benadering bij het gebruik van de grenstoestanden STR en GEO. Om rekening te houden met de
verschillende inzichten voorziet Eurocode 7 in drie
ontwerpbenaderingen die in de UGT kunnen worden
toegepast (NEN-EN 1997, art. 2.4.7.3). Welke benadering in een bepaald land wordt gevolgd, is vastgelegd
in de Nationale Bijlage (NB). De Nederlandse NB
vermeldt dat is gekozen voor ontwerpbenadering 3
(OB3). Dit betekent dat in blijvende en tijdelijke
ontwerpsituaties met betrekking tot intern bezwijken
of excessieve vervormingen moet worden gerekend
met de combinatie:
(A1 of A2) + M2 + R3
waarin:
A1 en A2 zijn sets partiële factoren voor belastingen/belastingseffecten voor geotechnische
belastingen (set A2) en de ‘overige’
belastingen (set A1) (tabel 6.2);
M2
is een set partiële factoren voor grondparameters;
Tabel 6.1 | G eotechnische categorieën van constructies
categorie omschrijving
kans op geotechnisch bezwijken
voorbeelden uit Eurocode 7
1
kleine en relatief eenvoudige constructies
verwaarloosbaar
geen voorbeelden gegeven
2
conventionele typen van constructies en funderingen zonder
geen exceptioneel ­risico
fundering op staal
abnormaal risico
grote of ongebruikelijke constructies;
moeilijke ondergrond of belastingscondities
3
alle andere constructies
exceptionele condities van de ondergrond
37
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Tabel 6.2 | P artiële belastingsfactoren in de uiterste grenstoestanden STR/GEO zoals te hanteren volgens Nederlandse NB
voor blijvende en tijdelijke ontwerpsituaties (Eurocode
7 en NB-tabel A.3)
veranderlijke belastingen (γQ)
blijvende belastingen
( γ G)
ongunstig
gunstig
ongunstig
gunstig
set A1
1,351)
1,0
1,5
0
set A2
1,0
1,0
1,12)
0
1,0
1,0
1,5
0
­damwanden
overig
1
De te hanteren partiële factoren voor de belastingen
in de uiterste grenstoestand EQU (verlies aan statisch
evenwicht) zijn weergegeven in tabel 6.4. De te
hanteren factoren voor de geotechnische grondparameters zijn vermeld in tabel 6.5.
) Alleen bij kleine Q-lasten is deze waarde maatgevend. In andere
gevallen wordt gerekend met γG ξ = 1,2 (ξ = 0,89 conform de
NB bij NEN-EN 1990).
2
stijfheid van de constructie zelf. Dit is de reden
waarom in set A2 voor damwanden aparte factoren
worden gehanteerd.
De set partiële factoren, M2, voor de geotechnische
grondparameters is gegeven in tabel 6.3.
) Deze waarde geldt voor categorie 2 uit tabel 6.1. Voor categorie 1 geldt γQ = 1,0; voor categorie 3: γQ = 1,25.
R3
is een set partiële weerstandfactoren
specifiek geldend voor de gekozen
funderingswijze (op staal of op palen, met
bij laatstgenoemde weer onderscheid
tussen geheide palen, geboorde palen en
schroefpalen type avegaar).
In de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT) adviseert
Eurocode 7 niet over het gebruik van karakteristieke,
frequente of quasi-blijvende combinaties. De
quasi-blijvende combinatie moet worden gehanteerd
bij het berekenen van zettingen.
De aan te houden partiële factoren voor de materiaalparameters zijn in de BGT-combinaties alle gelijk aan
1,0.
Nadere informatie over deze combinaties kan worden
gevonden in hoofdstuk 1.
Geotechnisch onderzoeksrapport
Opmerking
Het hanteren van ontwerpbenadering 3 betekent dat
in de uiterste grenstoestanden moet worden uitgegaan van belastings- en materiaalfactoren (voor bijv.
hoek van inwendige wrijving en cohesie) groter dan 1
(M2). De weerstandfactoren (R3) zijn dan gelijk aan 1.
Dit geldt niet voor paalfunderingen; dan is juist de set
factoren behorend bij M2 gelijk aan 1 en worden de
weerstandfactoren (R3) (voor bijv. de conusweerstand)
groter dan 1 gesteld.
Er wordt op gewezen dat tabel 6.2 van toepassing is
voor de geotechnische constructie; de aan te houden
belastingsfactoren voor een gebouw zelf zijn opgenomen in hoofdstuk 1, tabel 1.5. De twee tabellen
stemmen niet exact overeen, omdat beide andere
typen constructies betreffen. Grofweg kan een
denkbeeldige grens tussen beide worden getrokken
waar het ‘bouwwerk’ overgaat in de ‘fundering’.
Kenmerk van een geotechnische constructie is dat de
grootte van belastingen mede wordt bepaald door de
Voor elk project moet bij voorkeur een geotechnisch
onderzoeksrapport worden opgesteld, ook al bestaat
het maar uit een enkele bladzijde. Het rapport moet
detailinformatie over de bouwlocatie bevatten, de
interpretatie van het grondonderzoeksrapport, de
geotechnische ontwerpadviezen, de adviezen over de
supervisie en het monitoren tijdens de werkzaamheden en het onderhoud van de constructies. Bij het
opstellen van dit rapport zal veelal, afhankelijk van
het antwoord op de vraag of het behoort tot veiligheidsklasse 1, 2 of 3, informatie van meer dan één
adviseur benodigd zijn.
Het funderingstechnisch advies moet het draagvermogen en de karakteristieke waarden van grondparameters vermelden. Ook moet duidelijk worden aangegeven of deze geldig zijn voor UGT dan wel voor BGT.
Funderingen op staal
Het geotechnisch ontwerp van funderingen op staal
(bijv. strokenfunderingen en funderingsvoeten) wordt
behandeld in hoofdstuk 6 van Eurocode 7, Deel 1.
Tabel 6.3 | P artiële factoren set M2 voor de geotechnische grondparameters te hanteren in de uiterste grenstoestand STR/GEO - blijvende
en tijdelijke ontwerpsituaties (Eurocode 7 en NB-tabellen A.4a-b)
grondparameter
symbool
hoek van inwendige wrijving )
keermuur
staal
keerwand
1,15
1,2
talud
damwand
betrouwbaarheidsklasse RC
1
2
3
1
2
1,2
1,25
1,3
1,15
1,15
3
1,6
1,0
1,05
1,10
2,0
1,5
1,6
1,65
1,20
1
γϕ′
effectieve cohesie
γc′
1,6
1,5
1,3
1,45
ongedraineerde schuifsterkte
γcu
1,35
1,5
1,5
1,75
prismadruksterkte
γqu
1,35
1,5
1,5
1,75
2,0
1,5
1,6
1,65
volumiek gewicht
γγ
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1
38
fundering op
) Deze factor heeft betrekking op tan ϕ′.
6 fundering
Drie ontwerpmethoden worden gegeven (NEN-EN
1997, art. 6.4 (5)P):
• Directe methode:
voor elke mogelijke grenstoestand wordt een
berekening uitgevoerd.
• Indirecte methode:
ervaring in combinatie met experimenten wordt
gebruikt om BGT-parameters zodanig vast te stellen
dat aan eisen uit alle relevante grenstoestanden
wordt voldaan (voornamelijk opgenomen in
Eurocode 7 om aan te sluiten bij Franse ontwerpmethoden).
• Voorschrijvende methode:
een voorgeschreven draagkracht wordt gebruikt.
Voor de meeste funderingen op staal zal de toegestane zetting het maatgevende criterium zijn.
Traditioneel zijn toegestane gronddrukken gebruikt
om de zettingen te beperken. In de ‘voorschrijvende’
methode mag een veiligheidsfactor op de draagkracht,
bedoeld om de zettingen te beperken, nog steeds
worden gebruikt. Een uitzondering wordt gemaakt
voor zachte klei, waar Eurocode 7 eist dat zettingsberekeningen worden uitgevoerd.
Bij gebruik van de directe methode moeten voor elke
grenstoestand berekeningen worden uitgevoerd. In de
UGT moet de draagkracht van de ondergrond worden
gecontroleerd, gebruikmakend van partiële factoren
voor de grondparameters en de belastingen. In de
BGT wordt de zetting van de funderingen berekend en
wordt deze vergeleken met toegestane grenswaarden.
Tabel 6.4 | P artiële belastingsfactoren in de uiterste grenstoestand EQU zoals te hanteren
in blijvende en tijdelijke ontwerpsituaties (NEN-EN 1997, art. 2.4.7.2 en tabel
A.1)
blijvende belastingen (γG)
veranderlijke belastingen (γQ)
ongunstig1)
(γG;dst)
gunstig2)
(γG;stb)
ongunstig1)
(γQ;dst)
gunstig2)
(γQ;stb)
1,1
0,9
1,5
0
1
) destabiliserend
2
) stabiliserend
Tabel 6.5 | P artiële factoren voor de geotechnische grondparameters te hanteren in de
uiterste grenstoestand EQU (NEN-EN 1997, art. 2.4.7.2 en NB-tabel A2)
grondparameter
symbool
waarde
hoek van inwendige wrijving 1)
γϕ′
1,2
effectieve cohesie
γc′
1,5
ongedraineerde schuifsterkte
γcu
1,5
prismadruksterkte
γqu
1,5
volumiek gewicht
γγ
1,0
1
) Deze factor heeft betrekking op tan ϕ′.
Gk is de stabiliserende karakteristieke blijvende
belasting (gebruik een factor 1,1 als sprake is van
een destabiliserende blijvende belasting);
Qk,wis de destabiliserende karakteristieke windbelasting.
De partiële factoren voor de grondparameters om de
weerstand te berekenen, worden ontleend aan
tabel 6.3.
Start
6.1 |Procedure aanlegdiep-
↓
te fundering op staal
Ontleen grondparameters aan het geotechnisch advies
↓
de directe methode?
↓ nee
Dimensioneer de fundering
Gebruik de voorschrijvende
(geotechnisch ontwerp) met
methode. Dimensioneer de
de combinatie (UGT) voor
fundering (geotechnisch
belastingen (tabel 6.2) en met
ontwerp) in BGT voor belas-
de geotechnische materiaal-
tingen en een verondersteld
eigenschappen (tabel 6.3)
gronddraagvermogen
Figuur 6.1 toont een stroomschema van het ontwerpen rekenproces voor ondiepe funderingen. Als op de
fundering een buigend moment wordt uitgeoefend,
moet ook de grenstoestand EQU worden gecontroleerd. Als wordt aangenomen dat het mogelijk
‘kantelen’ van de fundering wordt veroorzaakt door
een veranderlijke belasting voortkomend uit windbelasting, moet de volgende combinatie worden
gebruikt (de veranderlijke opgelegde belasting wordt
hier niet geacht bij te dragen aan de stabiliteit van de
constructie):
0,9 Gk + 1,5 Qk,w
Berekenen volgens
ja ↓
↓
Controleer ‘kantelen’ in de
Is een
kantelend moment
aanwezig?
↓
De voorschrijvende methode mag worden gebruikt
als het niet mogelijk of noodzakelijk is de grondparameters te berekenen en kan worden gebruikt als
conservatieve ontwerpregels worden gehanteerd.
Huidige rekenmethoden, gebaseerd op het vaststellen
van toegestane drukken, mogen nog steeds worden
gebruikt voor constructies in veiligheidsklasse 1,
alsmede in voorlopige ontwerpberekeningen voor
constructies in veiligheidsklasse 2.
grenstoestand EQU voor
ja belastingen (tabel 6.4) en met
de materiaaleigenschappen
1
voor B
​ GT​ )
nee ↓
↓
Ontwerp de fundering (constructief ontwerp) gebruikmakend
van de ongunstigste combinatie (UGT) voor belastingen en
geotechnische materiaaleigenschappen
1
) Partiële factoren voor materiaalparameters in BGT-combinaties
zijn gelijk aan 1,0.
waarin:
39
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
P
M
P
of
2P
1,5L-3e
e
2d
e
P
P
6e
(1+
)
L
L
ponsperimeters
P
P
L-2e
e
P
dwarskrachtsnede
als in ligger
M
P
e = M/P
L = breedte fundering
h
d
BGT-drukverdeling
UGT-drukverdeling
De drukverdeling onder de fundering moet zodanig
zijn dat de maximale spanning de draagkracht
ontleend aan het geotechnisch advies, niet te boven
gaat in zowel de uiterste grenstoestand EQU als GEO
(fig. 6.2). Als de excentriciteit in de BGT groter is dan
L / 6, moet de drukverdeling om de zettingen te
berekenen worden aangepast, omdat geen trek tussen
de constructie en de fundering kan optreden. De
constructeur moet zich er dan van verzekeren dat
geen andere gevolgen (bijv. excessieve rotatie van de
voet) optreden. Er wordt op gewezen dat in de UGT
de drukverdeling rechthoekig en niet trapeziumvormig zal zijn.
6.2 |Drukverdeling onder
­f underingsvoeten
6.3 |Schuifspannings­
controles voor funderingsvoeten
Gewapend-betonnen funderingsvoeten
Als in funderingsvoeten betonstaal nodig is, moeten
de volgende controles worden uitgevoerd:
• voldoende betonstaal aanwezig voor het opnemen
van de buigende momenten;
• ponsweerstand;
• dwarskrachtcapaciteit.
De buigende momenten en dwarskrachten moeten
worden gecombineerd volgens de volgende STR-combinatie in de uiterste grenstoestand voor blijvende en
Tabel 6.6 | A fschuifweerstand v Rd,c van elementen zonder dwarskracht­w apening (N/mm 2 )
nuttige hoogte d (mm)
ρl
≥1000
tijdelijke ontwerpsituaties (zie ook tabel 1.5, vgl.
(6.10a) in hoofdstuk 1):
1,2 Gk + 1,5 Qk,w
Uiteraard moet ook worden gecontroleerd of vgl.
(6.10b) uit dezelfde tabel 1.5 niet tot een ongunstiger
combinatie leidt.
De voor de onderwapening maatgevende buigende
momenten treden op nabij de zijkanten van de
kolom. Zowel de schuifspanning uit dwarskracht als
die uit pons moet worden gecontroleerd op de
posities getoond in figuur 6.3. Bij het vaststellen van
de ponsweerstand mag de gronddruk binnen de
toetsingsperimeter in mindering worden gebracht op
de kolomkracht (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.4.4(2), vgl.
(6.48)). Het is niet gebruikelijk dat een funderingsvoet
dwarskrachtwapening bevat. Daarom is het veelal
alleen nodig er voor te zorgen dat de schuifspanning
uit het betonaandeel in de dwarskrachtweerstand (vRd,c
- zie tabel 6.6) groter is dan de schuifspanning uit de
rekenwaarde van de dwarskracht (vEd = VEd / bd).
Als het betonaandeel onvoldoende groot is, kan de
dikte van de funderingsvoet worden vergroot. Als
alternatief kan de hoeveelheid langswapening worden
verhoogd of, minder gewenst, kan dwarskrachtwapening worden aangebracht.
300
400
500
600
700
800
900
0,25%
0,47
0,43
0,40
0,38
0,36
0,35
0,35
0,34
0,50%
0,54
0,51
0,48
0,47
0,45
0,44
0,44
0,43
Ontwerpen op ponsdraagvermogen
0,75%
0,62
0,58
0,55
0,53
0,52
0,51
0,50
0,49
1,00%
0,68
0,64
0,61
0,59
0,57
0,56
0,55
0,54
Eurocode 2 geeft specifieke richtlijnen voor het
ontwerpen en berekenen van funderingen op pons.
De aanpak wijkt af van die gevolgd bij platen. In
Eurocode 2 heeft de toetsingsperimeter afgeronde
hoeken en mogen de krachten die direct binnen de
perimeter door de grond worden opgenomen, in
mindering worden gebracht (om onnodig conservatief ontwerpen te voorkomen). De kritische perimeter
moet iteratief worden gevonden, maar in het
algemeen is het acceptabel als d en 2 d worden
gecontroleerd. De procedure voor het voldoen aan de
ponsvereisten is weergegeven in figuur 6.4.
1,25%
0,73
0,69
0,66
0,63
0,62
0,60
0,59
0,58
1,50%
0,78
0,73
0,70
0,67
0,65
0,64
0,63
0,62
1,75%
0,82
0,77
0,73
0,71
0,69
0,67
0,66
0,65
≥ 2,00%
0,85
0,80
0,77
0,74
0,72
0,70
0,69
0,68
k
1,816
1,707
1,632
1,577
1,535
1,500
1,471
1,447
opmerkingen
1. De tabelwaarden zijn afgeleid uit: vRd,c = 0,12 k (100 ρI fck)(1/3) ≥ 0,035 k1,5 fck0,5
_______
________
dy + d z
met k = 1 + √​  200/d  ​≤ 2; ρI = ​ ρIy  ρIz  ​  
≤ 0,02; ρIy = Asy / bd; ρIz = Asz / bd en d =
2
2. De tabelwaarden zijn berekend voor fck = 30 N/mm2;
√ 
voor ρl groter dan 0,40% mogen onderstaande factoren worden gebruikt:
fck
factor
40
ombuigingen kunnen
vereist zijn
d
P
6e
(1)
L
L
M
25
28
35
40
45
50
0,94
0,98
1,05
1,10
1,14
1,19
6 fundering
Start
Tabel 6.7 | Waarden voor v Rd,max
↓
fck (N/mm2)
vRd,max (N/mm2)
Bereken de grootte van de factor β (β = 1,0 als het moment nul
20
3,68
is; zie vgl. (6.38) t.m. (6.45) uit NEN-EN 1992-1-1 voor andere
25
4,50
situaties)
28
4,97
↓
30
5,28
Bereken ​v​Ed,max​(rekenwaarde van de schuifspanning bij het
35
6,02
zijvlak van de kolom) uit:
40
6,72
45
7,38
50
8,00
β (​V​Ed​- Δ​VEd
​ ​)
​ 
  
​v​Ed,max​= _____________
 ​  
(uit vgl. (6.38))
​u0​ ​​d​eff​  
waarin ​u​0​is de perimeter van de kolom (zie art. 6.4.5 voor ­
rand- en hoekkolommen)
u1
u1
​d​eff​= (​dy​ ​+ ​d​z​)/2 waarin ​d​y​en ​d​z​zijn de nuttige hoogten in
6.5 |Toetsingsperimenters
voor belaste gebieden
orthogonale richtingen
­
↓
2d
bz
2d
Bereken ​v​Rd,max​(tabel 6.7)
↓
nee
↓
Is ​v​Ed,max​< ​v​Rd,max​?
Herontwerp de fundering
by
↓ ja
Bereken ​v​Ed​(rekenwaarde van de schuifspanning) uit:
​ ​
​V​Ed​- Δ ​VEd
​ 
 
​v​Ed​= __________
 ​ 
​u​1​​d​eff​
waarin ​u1​ ​is de lengte van de toetsingsperimeter (zie fig. 6.5).
Voor een excentrisch belaste fundering zie vgl. (6.51).
De kritische toetsingsperimeter moet worden gevonden door
plaatvloeren ontleende technieken worden toegepast
zodra een inschatting van de verschillen in gronddrukken is verkregen van een geotechnisch adviseur.
Welke vereenvoudigingen ook worden doorgevoerd,
de individuele elastische plaatreacties moeten
evenwicht maken met de kolomkrachten.
iteratie; deze ligt meestal tussen d en 2 d
↓
Bereken het ponsdraagvermogen ​vRd
​ ​zonder ponswapening
uit 2 d​v​Rd,c​/ a waarin a is de afstand van zijkant kolom tot de
beschouwde toetsingsperimeter
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (6.50) (zie tabel 6.6 voor ​v​Rd,c​)
↓
in de kritische
perimeter?
Pas ofwel meer langswapenee
↓
Is ​v​Ed​< ​v​Rd​
ning toe of pas ponswape-
In geval van slankere, meer flexibele platen of bij een
meer complexe vormgeving kan de toepassing van de
eindige-elementenmethode of een balkroosterberekening vereist zijn om de interactie tussen de constructie en de ondergrond goed te modelleren en een
realistische voorspelling van het deformatieverloop te
maken. Dit niet alleen voor de constructie zelf, maar
ook voor de omgeving ervan.
ning toe (niet aanbevolen
bij funderingen)
↓ ja
Geen ponswapening vereist; controle is afgerond
6.4 |Procedure voor vaststellen ponsdraagvermogen funderingsvoeten
Plaatfunderingen
Het ontwerp- en rekenproces voor plaatfunderingen
verloopt vergelijkbaar met dat van enkele funderingsvoeten. Het enige verschil in benadering is gelegen in
de keuze van een geschikte methode voor het
analyseren van de interactie tussen plaat en grond
zodanig, dat een goede weergave van het werkelijke
gedrag wordt verkregen. Bij stijve platen (bijv.
verhouding overspanning-hoogte < 10) met een
redelijk regelmatige vormgeving, kunnen eenvoudige
benaderingen als de vloeilijnentheorie of aan vlakke
Paalfunderingen
In deze handleiding wordt verondersteld dat de
paalfundering zelf wordt ontworpen en berekend
door een funderingsspecialist. De paalreacties moeten
worden doorgegeven aan de ontwerper van de palen.
Daarbij moet worden teruggerekend naar waarden
zonder partiële belastingsfactoren (alle factoren zijn
1,0) voor zowel de blijvende belasting als voor elke
van de van toepassing zijnde veranderlijke belastingen (bijv. opgelegde belastingen en windbelastingen).
De ontwerper van de palen kan deze dan zowel
constructief als geotechnisch dimensioneren.
Als sprake is van op de poer uitgeoefende momenten
moet ook de EQU-combinatie worden gebruikt, namelijk om te controleren of de palen de ‘kantelende’
krachten kunnen weerstaan. Ook deze EQU-krachten
moeten aan de ontwerper van de palen worden doorgegeven.
41
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Ø/5
6.6 |Maatgevende schuif-
Ø/5
spanningsperimeters
met betrekking tot
dwarskracht ≤ d
vanaf zijvlakken kolom
dwarskracht en pons
voor palen als de poer
wordt gedimensioneerd volgens de liggertheorie [1]
Ø
pons ≤ 2d
vanaf zijvlakken kolom
vereist zijn. Als de afschuifweerstand in een poer
wordt berekend, wordt geadviseerd alleen het betonstaal mee te nemen dat is gelegen in een strook met
een breedte gelijk aan driemaal de paaldiameter
fig. 6.7).
Als pons moet worden getoetst, moet dit plaatshebben in een doorsnede gelegen binnen 2 d vanaf de
omtrek van de kolom (NEN-EN 1992-1-1 art. 6.4.4 (2)).
Gerekend mag worden met een gereduceerde dwarskracht volgens NEN-EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (6).
Ongewapende funderingen
Strokenfunderingen en funderingsvoeten kunnen
worden uitgevoerd in ongewapend beton, mits aan de
volgende vereisten wordt voldaan:
De minimumhoogte van de funderingsstrook, hF
(fig. 6.8), mag worden berekend uit:
betonstaal bijdragend aan
dwarskrachtweerstand
6.7 |Spanningsgebied
boven de paal (breedte: driemaal de paaldiameter) waarbinnen
spanningsgebied
de buigwapening bijdraagt aan de dwars-
√ 
______
krachtweerstand
​​
9σ
​ gd
​ ​F​> ​ _____
h
   ​  ​  ​ _____ ​ 
 
 
0,85
​f​ctd​
 ​
waarin:
σgd is de rekenwaarde van de gronddruk;
fctd is de rekenwaarde van de betontreksterkte uit
Eurocode 2-1-1, vgl. (3.16).
a
6.8 |Grootheden voor vlak-
a
a
hF
ke funderingsstrook
bF
Voor het dimensioneren van de poer mag de
staafwerk­analogie worden toegepast. Deze wordt besproken in Eurocode 2-1-1, art. 5.6.4 en 6.5. De hellingshoek θ moet minimaal 21,8º ten opzichte van de
horizontaal zijn. Er wordt op gewezen dat θ moet
worden gemeten in het vlak van de kolom en de paal.
Een poer mag ook worden beschouwd als een ligger
belast op dwarskracht en buiging, waarin de buigende
momenten die maatgevend zijn voor de wapening, ter
plaatse van de zijvlakken van de kolom zijn gelegen.
Dwarskracht en mogelijk ook pons (als paalafstand >
3 x paaldiameter) moet worden gecontroleerd. Figuur 6.6 toont een mogelijke benaderingswijze met
de sneden voor dwarskracht- en ponscontrole [1].
Bij dwarskracht mag worden gebruikgemaakt van de
afschuifweerstanden vermeld in tabel 6.6. Als de afschuifweerstand van het beton zelf wordt overschreden, kan de plaatdikte worden vergroot. Ook is het
mogelijk de hoeveelheid langswapening te vergroten
of, minder gewenst, dwarskrachtwapening aan te
brengen. Er moet op worden gelet dat de hoofdwapening volledig wordt verankerd. Minimaal moet worden voorzien in volledige verankering vanaf de binnenzijde van de palen. Grote ombuigstralen kunnen
42
Hoofdstuk 12 van Eurocode 2 heeft specifiek betrekking op ongewapende en lichtgewapende betonconstructies. Eurocode 2 kan eisen dat uit oogpunt van
scheurwijdtebeheersing in ongewapende funderingen toch betonstaal wordt aangebracht. Echter, de
optredende buigtrekspanning is laag, esthetica is bij
funderingen meestal niet van belang en een eventuele scheur behoeft geen invloed te hebben op de
duurzaamheid.
Regels voor staafafstand en -diameter
Scheurbeheersing
Zie hoofdstuk 2.
Minimum-wapeningsverhouding langswapening
De minimumhoeveelheid langswapening is As,min.
As,min1 = 0,26 fctm bt d / fyk (NEN-EN 1992-1-1, art.
9.3.1.1 (1); zie tabel 6.8) > 0,0013 bt d met bt = breedte
trekzone.
As,min2 = 1,25 As vereist in UGT (NEN-EN 1992-1-1, art.
9.2.1.1 (1) / NB).
As,min is de kleinste van As,min1 en As,min2 .
Maximum-wapeningsverhouding langswapening
Buiten gebieden met overlappingslassen mogen de
trek- en drukwapeningsverhouding niet groter zijn
dan As,max = 0,04 Ac (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (3)).
6 fundering
Minimumstaafafstand
De minimumafstand tussen twee wapeningsstaven
moet gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1, art. 8.2 (2) en
NB):
• de diameter van de wapeningsstaaf;
• de grootste korrelafmeting van het toeslagmateriaal
+ 5 mm;
• 20 mm.
Grote constructiehoogte
Bij een grote elementhoogte mag het advies uit
Eurocode 2 worden gevolgd dat geldt voor de lijven
van gedrongen liggers (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.7[2]):
de afstand tussen de wapeningsstaven mag niet
groter zijn dan tweemaal de dikte van de ligger en
niet groter zijn dan 300 mm. Paalkoppen mogen aan
de zijvlakken ongewapend zijn, mits aldaar geen kans
is op het optreden van trekspanningen. n
Tabel 6.8 | M inimum-wapeningsverhouding behorende bij A s,min1
(betrokken op de nuttige hoogte d) (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.2.1.1 (1) en NB)
1
fck
fctm
minimum % (0,26 fctm/fyk1)
25
2,6
0,13%
28
2,8
0,14%
30
2,9
0,15%
35
3,2
0,17%
40
3,5
0,18%
45
3,8
0,20%
50
4,1
0,21%
) Uitgegaan is van fyk = 500 N/mm2.
Literatuur
1. Webster, R. en O. Brooker, How to design
concrete structures using Eurocode 2: 6. Foundations. BCA / The Concrete Centre, UK.
43
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
7 Vlakke plaatvloeren
Voor het berekenen van vlakke plaatvloeren mogen de
volgende methoden worden gebruikt (NEN-EN
1992-1-1, bijlage I):
• equivalente-raamwerkenmethode;
• eindige-elementenmethode;
• vloeilijnentheorie;
• balkroosteranalogie.
De equivalente-raamwerkenmethode wordt nader
toegelicht in bijlage I.
Een procedure voor het in detail ontwerpen en
berekenen van vlakke plaatvloeren is weergegeven in
tabel 7.1. Aangenomen wordt dat de afmetingen van
de plaat al tijdens een globaal ontwerp zijn vastgesteld.
Tabel 7.2 | M inimumafmetingen en -wapeningsafstanden van vlakke plaatvloeren
standaard-brandwerendheid
minimumafmetingen (mm)
plaatdikte hs
wapeningsafstand a
REI 60
180
15 1)
REI 90
200
25
REI 120
200
35
REI 240
200
50
1
) Meestal zullen de eisen uit NEN-EN 1992-1-1 bepalend zijn voor
de betondekking.
opmerkingen
1.De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.9.
2.De wapeningsafstand heeft betrekking op de meest naar buiten
gelegen laag betonstaal.
3.De tabel is alleen van toepassing als wordt voldaan aan detail-
Brandwerendheid
leringsregels (zie opmerking 4) en indien in het ontwerp bij
Eurocode 2, Deel 1-2: Ontwerp en berekening van
constructies bij brand, biedt de keuze uit geavanceerde,
vereenvoudigde en op tabellen gebaseerde methoden
voor het vaststellen van de brandwerendheid. Het
gebruik van tabellen is de snelste methode voor het
vaststellen van de minimumafmetingen en de
minimumbetondekking van vlakke plaatvloeren. Er
zijn echter beperkingen aan verbonden. Nadere uitleg
over de geavanceerde en vereenvoudigde methoden
kan worden verkregen uit gespecialiseerde literatuur.
normale temperaturen de herverdeling van momenten de 15%
niet overschrijdt.
4.Bij brandwerendheidsklasse R90 en hoger moet ten minste 20%
van de totale bovenwapening, in elke richting aanwezig boven
een tussensteunpunt zoals vereist volgens NEN-EN 1992-1-1,
doorgaand aanwezig zijn over de gehele overspanning. Deze
wapening moet worden aangebracht in de kolomstrook.
5.Er zijn drie standaardvereisten waaraan moet worden voldaan
bij brandbelastingen:
R:de dragende functie moet gehandhaafd blijven tijdens de
duur van de brandbelasting;
E: er moet voldoende weerstand zijn tegen verlies aan samenhang;
Tabel 7.1 | O ntwerp- en rekenprocedure voor vlakke plaatvloeren
stap taak
verdere informatie
in dit boek
norm
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.1
Anders dan het aangeven van een minimumbetondekking is de tabellenmethode gebaseerd op de
nominale wapeningsafstand, a. Dit is de afstand van
het hart van de hoofdwapening tot de boven- of onderzijde van het constructie-element. Het betreft een
nominale (niet een minimum)afstand, zodat de
ontwerper moet verzekeren dat
a ≥ ​c​nom​+ Øverdeelwapening + –2​1 ​Ø​hoofdwapening.
Tabel 7.2 geeft de minimumafmetingen van vlakke
plaatvloeren om te voldoen aan de standaard-brandwerendheidsklassen.
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992-1-1,
Buiging
­hoofdstuk 5
De ontwerp- en rekenprocedure voor buiging is
weergegeven in figuur 7.1. NEN-EN 1992-1-1 geeft
diverse mogelijke spanning-rekrelaties van beton. De
hier getoonde rekenstappen zijn gebaseerd op de uit
NEN 6720 bekende bi-lineaire relatie (NEN-EN
1992-1-1, art. 3.1.7 (2), fig. 3.4), met εc3 = 1,75‰ en
εcu3 = 3,5‰. Deze spanningsverdeling is gegeven in
figuur 7.2.
Opgemerkt wordt dat de in figuur 7.1 weergegeven
rekenmethodiek niet als zodanig in NEN-EN 1992-1-1
is opgenomen; de methode is ontleend aan British
1
stel ontwerplevensduur vast
hoofdstuk 2
NEN-EN 1990 / NB-tabel 2.1
2
stel belastingen op de plaat vast
hoofdstuk 2
NEN-EN 1991 (10 delen) / NB
3
bepaal welke combinaties van belas-
hoofdstuk 1
NEN-EN 1990 / NB-tabellen
tingen van toepassing zijn
A1.1 en A1.2
4
bepaal schikking van belastingen
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992-1-1 / NB
5
stel duurzaamheidseisen vast en kies
hoofdstuk 2
NEN-EN 206-1 en NEN 8500
controleer betondekking benodigd
hoofdstuk 2 +
NEN-EN 1992-1-2,
voor vereiste brandwerendheid
tabel 7.2 in
­hoofdstuk 5
betonsterkteklasse
6
hoofdstuk 7
7
bereken minimumbetondekking voor
I: de isolerende werking moet voldoende zijn.
duurzaamheid, brand en aanhechting
8
analyseer constructie voor maatgevende momenten en dwarskrachten
9
bereken buigwapening
10
controleer doorbuiging
figuur 7.1 in
NEN-EN 1992-1-1, deel 6.1
hoofdstuk 7
figuur 7.3 in
NEN-EN 1992-1-1, deel 7.4
hoofdstuk 7
11
controleer ponscapaciteit
figuur 7.6 in
NEN-EN 1992-1-1, deel 6.4
hoofdstuk 7
12
controleer staafafstand
13
controleer overdracht van momenten
NEN-EN 1992-1-1, annex I,
van rand- en hoekkolommen naar
1.2(5)
plaat
44
hoofdstuk 2
NEN-EN 1992-1-1, deel 7.3
7 Vlakke plaatvloeren
Standard BS 8110 en wordt daarin ook wel de
K-methode genoemd. De K-waarde op zichzelf is
echter ook in Nederland bekend, bijvoorbeeld uit de
GTB.
Uitgegaan is van een lineaire berekening met
beperkte momentenherverdeling2). De hoogte van de
drukzone is, in verband met de vereiste rotatiecapaciteit, begrensd volgens NEN-EN 1992-1-1, art. 5.5.(4),
vgl. (5.10a) / NB.
belastingen tijdens de bouwfase te kunnen opnemen.
In het algemeen mag worden aangenomen dat het
vroegtijdig verwijderen van de bekisting geen
significante invloed heeft op de doorbuiging die
optreedt als gevelbekleding en/of scheidingswanden
worden aangebracht [2].
Start
7.1 | P rocedure voor
↓
berekenen benodigde
Analyseer de plaat om de rekenwaarde van het buigend
buigwapening
­moment (M) te bepalen2)
↓
Betonsterkteklasse
≥ C50/60 ?
nee
Valt buiten de opzet
↓
Welke analysemethode ook wordt gebruikt voor het
bepalen van de momenten, art. 9.4.1 schrijft voor dat
de constructeur de wapening moet concentreren
boven de kolommen. Bijlage I van NEN-EN 1992-1-1
geeft aanbevelingen hoe bij de equivalente-raamwerkenmethode het totale buigend moment over de
breedte van de plaat is te verdelen over kolom- en
middenstroken om te voldoen aan art. 9.4.1. Constructeurs die gebruikmaken van de eindige-elementenmethode, de vloeilijnentheorie of de balkroosteranalogie kunnen dit advies ook opvolgen om te
voldoen aan die eis.
van deze handleiding
↓ ja
M
Bereken K = _____
​     ​ 
bd2fck
↓
Bereken K’ met tabel 7.3 of hanteer
K’ = 0,51 δ – 0,1244 δ2 - 0,20 met δ ≤ 1,0
↓
Is K ≤ K’ ?
nee
↓
NEN-EN 1992-1-1 geeft aan hoe te ontwerpen en
berekenen voor een betonsterkteklasse tot en met
C90/105. Echter, voor beton met een sterkteklasse
boven C50/60 moet de spanning-rekrelatie worden
aangepast.
Drukwapening is vereist;
niet aanbevolen bij platen
↓ ja
Geen drukwapening vereist
↓
Ontleen de inwendige hefboomsarm aan tabel 7.4 of bereken
_______
Doorbuiging
NEN-EN 1992-1-1 geeft twee alternatieve methoden
voor het voldoen aan doorbuigingseisen: ofwel door
de verhouding overspanning-hoogte te beperken
ofwel door de theoretische doorbuiging te berekenen
met behulp van uitdrukkingen die in de Eurocode
worden gegeven. De tweede mogelijkheid wordt
uitgebreid besproken in hoofdstuk 8.
Er wordt op gewezen dat in de Eurocodes geen
doorbuigingseisen worden gesteld. Volgens NEN-EN
1990 is dit een zaak die vooraf tussen ontwerper en
opdrachtgever moet worden overeengekomen. Wel
zijn in 7.4.1 van NEN-EN 1992-1-1 enkele beperkte
aanwijzingen opgenomen, waarop de bijbehorende
slankheidseisen zijn gebaseerd.
z = d/2 (1 +√1-28K/9 ​
) 
 ​ 
↓
M
Bereken de vereiste buigtrekwapening uit As = ____
​    ​ 
fyd z
↓
Controleer of wordt voldaan aan de vereiste minimumwapening
0,26 fctm bt d
​ 
 ​ 
 
≥ 0,0013 bt d (zie tabel 7.5)
As,min1 = ___________
fyk
As,min2 = 1,25 As vereist in UGT (zie voorgaande rekenstap)
As,min is de kleinste waarde van As,min1 en As,min2
(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (1) / NB)
↓
Controleer of wordt voldaan aan de eisen met betrekking tot
de maximum-wapeningsverhouding As,max = 0,04 Ac voor
­buigtrek- of buigdrukwapening in gebieden buiten overlap-
De verhoudingen overspanning-hoogte dienen er voor
te zorgen dat de doorbuiging na de bouw (de
bijkomende doorbuiging onder de quasi-blijvende
BGT-belastingscombinatie) niet groter is dan 1/250
van de overspanning (NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.1 (5)
en tabel 7.4N, opmerking 3). De procedure is
weergegeven in figuur 7.3.
De verhoudingen overspanning-hoogte volstaan als
sprake is van een constructie die tijdens de bouwfase
voldoende lang onderstempeld blijft, dan wel totdat
het beton voldoende sterkte heeft bereikt om de
pingslassen (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (3) / NB).
2
) Voor Nederland wordt nog nader onderzocht of, en zo ja
in welke mate, herverdeling bij vlakke plaatvloeren wordt
toegestaan.
Opmerkingen
1. De figuur gaat uit van een doorgaande plaat
(K = 1,2).
2. De aanwezigheid van drukwapening ρ′ is niet
beschouwd.
45
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
fcd
7.2 | B i-lineaire spannings­
↓
Fc
Bepaal de basiswaarde l/d met behulp van
figuur 7.4
z
neutrale lijn
d
uit NEN-EN 1992-1-1,
h
sterkteklasse C50/60
Start
xu
xu
figuur voor beton t.m.
↓
art. 3.1.7 (2), fig. 3.4
Fs
As
Bepaal de hulpvariabele ​F​1​
Voor liggers met flens (NEN-EN 1992-1-1,
7.3 | P rocedure om te voldoen aan doorbui-
doorsnede
gingseis
art. 7.4.2 (2)):
bi-lineair spanningsfiguur
​F​1​= 1 - 0,1 ((​bf​​/​bw​ ​) - 1) ≥ ​0,8​1​)
(​bf​​is de flensbreedte en ​bw​ ​is de minimumbreedte van het lijf in de trekzone)
Tabel 7.3 | Waarden voor K’
Bij een rechthoekige doorsnede is ​F1​ ​= 1,0
% herverdeling
δ (herverdelingsratio)
K′
0
1,00
0,186
↓
Bepaal de hulpvariabele ​F​2​
5
0,95
0,172
10
0,90
0,158
Als de overspanning van de plaat groter is
15
0,85
0,144
dan 8,5 m en hierop dragende scheidings-
20
0,80
0,128
wanden beschadigd kunnen raken door
25
0,75
0,113
grote doorbuigingen, is F​ 2​ ​= 8,5/​l​eff​
Anders is ​F2​ ​= 1,0
↓
Tabel 7.4 | z /d voor een rechthoekige doorsnede met alleen
Bepaal de hulpvariabele ​F​3​
­t rekwapening
K
z/d
K
z/d
​F3​ ​= 310/​σ​s​
0,05
0,959
0,13
0,886
waarin σ
​ ​s​is de staalspanning in bruikbaar-
0,06
0,951
0,14
0,876
heidsgrenstoestand, te ontlenen aan
0,07
0,942
0,15
0,865
figuur 7.5.
0,08
0,933
0,16
0,854
Ofwel, volgens een conservatieve benade-
0,09
0,924
0,17
0,843
ring (NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.17)):
0,10
0,915
0,18
0,832
​F3​ ​= 500 / (​f​yk​​A​s,req​/ ​A​s,prov​)
Verhoog
0,11
0,906
0,19
0,820
↓
​A​s,prov​
0,12
0,896
0,20
0,807
Is basiswaarde
l/d x ​F1​ ​x ​F2​ ​x ​F3​ ​≥ werkelijke l/d ?
nee
Tabel 7.5 | M inimum-wapeningsverhouding uit A s,min1 (betrokken
↓ ja
op de nuttige hoogte d) (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1
Controle gereed
(1) en NB)
1
fck
fctm
minimum % (0,26 fctm/fyk) 1)
25
2,6
0,13%
28
2,8
0,14%
in art. 7.4.2 (2) aangeeft dat bij de verhouding flensbreedte /
30
2,9
0,15%
ribhoogte ≥ 3, de l/d-verhouding met 0,8 vermenigvuldigd moet
35
3,2
0,17%
worden. In de procedure is ervoor gekozen deze factor in de bere-
40
3,5
0,18%
kening naar voren te halen en is gekozen voor lineaire interpolatie
45
3,8
0,20%
50
4,1
0,21%
1
voor 1 ≤ bf/bw ≤ 3.
3. De curves zijn gebaseerd op de volgende uitdrukkingen:
]
3/2
__ ρ
__ ρ
​ ​0​
​ ​0​
l
​ __  ​  = K ​ 11 + 1,5  ​ ​f​ck​ ​  ​ __ ​  + 3,2 ​  ​f​ck​ ​  ​(​ __ ​  - 1)​ ​  ​
ρ
ρ
d
√ 
√ 
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16a)) voor ρ < ρ0
[ 
√  ]
____
___ ​ρ​0​
l
1 ___ ρ’
__
+ ___
​    ​  ​   ​fck
​    ​ = K ​ 11 + 1,5 ​  ​fck
​ ​ ​ _____
​     ​ 
​ ​ ​  ​  ___
​   ​  ​  ​
​ρ​0​
ρ - ρ’ 12
d
√ 
√ 
(NEN-EN 1992-1-1, vgl. (7.16b)) voor ρ > ρ0
46
Er wordt op gewezen dat de hulpvariabelen F1 t.m. F3 niet zijn
beschreven in NEN-EN 1992-1-1, maar zijn ontleend aan [1].
) Uitgegaan is van fyk = 500 N/mm2.
[ 
) De hulpvariabele wordt gehanteerd omdat NEN-EN 1992-1-1
waarin ρ0 is de referentie-wapeningsverhouding.
Deze
__
is gelijk aan ​10​-3​√​ f ck ​. 
De factor K wordt gehanteerd in NEN-EN 1992-1-1. Er
wordt op gewezen dat deze niet overeenstemt met de
factor K uit figuur 7.1.
7 Vlakke plaatvloeren
36
34
32
30
28
26
24
22
l/d (-)
Om de spanning in het betonstaal (σs) vast te stellen,
bereken de verhouding Gk/Qk en lees uit figuur 7.5 bij
de van toepassing zijnde curve, afhankelijk van de
verhouding ψ2/γG, op de verticale as σsu af. Deze
methode is niet beschreven in NEN-EN 1992-1-1,
maar in [1].
σs volgt uit:
As,req 1
σs = σsu _____
​ ​ 
 ​  .​​ __
​ __ ​ ​ ​​    
As,prov d
fck = 20
fck = 25
fck = 28
fck = 30
fck = 35
fck = 40
fck = 45
fck = 50
20
 
18
16
14
12
staalspanning (N/mm2)
300
280
260
0,8 / 1,35
0,6 / 1,35
0,3 / 1,35
0,2 / 1,35
0,6 / 1,25
0,3 / 1,25
0,2 / 1,25
200
180
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
ning / nuttige hoogte
voor vlakke plaatvloeren
0,02
0,019
0,018
0,017
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
320
220
verhouding overspan-
 
Opmerking
De curves zijn gebaseerd op de aanname dat bij de
belasting in UGT (γGGk + 1,5 Qk) de staalspanning
σsu = 435 N/mm2 voor een hoeveelheid betonstaal
gelijk aan As,req. In BGT is de belasting (Gk + ψ2Qk) en
is ten opzichte van UGT de staalspanning evenredig
met de belasting afgenomen.
As,req / bd
240
7.4 | B epalen basiswaarde
7.5 | B epalen staalspanning
als functie van verhouding ​ψ ​2 ​/ γ​ ​G​
Pons
4
Gk / Qk (-)
Bij een ander spanningsniveau dan ss = 310 N/mm2
moet de berekende l/d-verhouding worden vermenigvuldigd met 310/ss (F3 uit figuur 7.3)
De rekenwaarde van de ponskracht, VEd, is meestal
gelijk aan de oplegreactie in de uiterste grenstoestand
(UGT) en is afhankelijk van de betonsterkteklasse.
Standaardfactoren voor rand- en hoekkolommen met
een over te dragen moment (β ) zijn gegeven in
NEN-EN 1992-1-1, art. 6.4.3 (6), fig. 6.21N / NB. Dit
zijn echter conservatieve waarden. Het gebruik van
vergelijkingen (6.38) tot en met (6.46) zal veelal leiden
tot een efficiënter ontwerp.
De toetsingsperimeters van kolommen met een
rechthoekige doorsnede hebben ronde hoeken.
Tabel 7.6 | Waarden voor v Rd,max
fck
vRd,max
fck
vRd,max
20
3,68
35
6,02
25
4,50
40
6,72
28
4,97
45
7,38
30
5,28
50
8,00
Voor de situatie dat ponswapening is vereist, geeft
NEN-EN 1992-1-1 een eenvoudige rekenprocedure:
het punt waar geen ponswapening meer is vereist,
kan direct worden berekend en vervolgens worden
Tabel 7.7 | C apaciteit v Rd,c van elementen zonder ponswapening (N/mm 2 )
nuttige hoogte d (mm)
ρl
≤ 200
225
250
275
300
350
400
450
500
600
750
0,25%
0,54
0,52
0,50
0,48
0,47
0,45
0,43
0,41
0,40
0,38
0,36
0,50%
0,59
0,57
0,56
0,55
0,54
0,52
0,51
0,49
0,48
0,47
0,45
0,75%
0,68
0,66
0,64
0,63
0,62
0,59
0,58
0,56
0,55
0,53
0,51
1,00%
0,75
0,72
0,71
0,69
0,68
0,65
0,64
0,62
0,61
0,59
0,57
1,25%
0,80
0,78
0,76
0,74
0,73
0,71
0,69
0,67
0,66
0,63
0,61
1,50%
0,85
0,83
0,81
0,79
0,78
0,75
0,73
0,71
0,70
0,67
0,65
1,75%
0,90
0,87
0,85
0,83
0,82
0,79
0,77
0,75
0,73
0,71
0,68
≥2,00%
0,94
0,91
0,89
0,87
0,85
0,82
0,80
0,78
0,77
0,74
0,71
k
2,000
1,943
1,894
1,853
1,816
1,756
1,707
1,667
1,632
1,577
1,516
Tabelwaarden zijn afgeleid met: v Rd,c = 0,12 k (100ρI fck)1/3 ≥ 0,035 k1,5 fck0,5 (NEN-EN 1992-1-1, vgl. (6.47) met NB)
waarin k = 1 + √(200/d) ≤ 2 en ρI = √(ρly ρlz) ≤ 0,02
opmerkingen
1. De tabel is opgesteld voor fck = 30 N/mm2.
2. Als ρI > 0,40% mag de volgende vermenigvuldigingsfactor worden gehanteerd om naar de juiste betonsterkteklasse te corrigeren:
fck (N/mm2)
factor
25
28
35
40
45
50
0,94
0,98
1,05
1,10
1,14
1,19
47
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
Start
7.6 | P rocedure voor
Tabel 7.8 | Waarden voor f ywd,ef Tabel 7.9 | Factor F voor het bepalen
↓
d
fywd,ef
Bepaal de factor β (zie figuur 7.7 of vgl. (6.38) - (6.46))
(mm)
(N/mm2)
fck (N/mm2)
F
↓
150
288
25
1875
Bepaal ​v​Ed,max​(rekenwaarde van de schuifspanning aan de rand
175
294
28
1772
van de kolom) uit:
200
300
30
1712
​vEd,max
​
​= β ​V​Ed​/ ​u​0​​d​eff​
225
306
35
1585
waarin: u
​ ​0​is de perimeter direct langs de kolom
250
313
40
1482
​deff
​ ​= (​d​y​+ d
​ ​z​) / 2
275
319
45
1398
(​d​y​en ​d​z​zijn de nuttige hoogten in orthogonale richtingen)
300
325
50
1326
Bepaal v​ ​Rd,max​met tabel 7.6
325
331
opmerking
350
338
fyk is gelijkgesteld aan 500 N/mm2
bepalen ponsweerstand
↓
↓
Is ​v​Ed,max​< v​ ​Rd,max​?
nee
van A sw,min
Herontwerp de
plaat
↓ ja
Bepaal v​ Ed
​ ​(rekenwaarde van de schuifspanning) uit:
​v​Ed,max​= β ​V​Ed​/ (​u1​ ​​d​eff​)
gebruikt, mits het draagvermogen is bepaald door
beproeving in overeenstemming met de relevante
Europese Technische Goedkeuring (NEN-EN
1992-1-1, art. 6.4.5 (5)).
waarin u
​ 1​ ​is de lengte van de toetsingsperimeter (zie figuur 7.8)
↓
Bepaal de ponsweerstand van het beton (zonder ponswape-
De rekenprocedure voor het vaststellen van de
pons-vereisten is weergegeven in figuur 7. 6.
ning), ​v​Rd,c​, met tabel 7.7
Regels voor staafafstanden en voor de
waarin ρ
​ ​l​= √
​ ​ρ​ly​​ρ​lz​
(​ρ​ly​, ​ρ​lz​zijn de wapeningsverhoudingen in twee orthogonale
vereiste hoeveelheid betonstaal
richtingen voor hechtende getrokken wapening, rekening
Minimum-wapeningsverhouding
houdend met een plaatbreedte gelijk aan de kolombreedte
De minimum-hoeveelheid langswapening in de
hoofdrichting (As,min ) is (NEN-EN 1992-1-1, art.
9.3.1.1 (1)):
0,26 fctm bd / fyk (zie tabel 7.5) > 0,0013 bd,
maar behoeft niet groter te zijn dan 1,25 maal As
vereist in UGT.
plus 3 d aan elke zijde (art. 6.4.4 (1))
↓
nee
↓
Is v​ ​Ed​> v​ ​Rd,c​?
Geen ponswapening vereist
↓ ja
Bereken de vereiste hoeveelheid ponswapening voor een
perimeter met:
​Asw
​ ​= (​v​Ed​- 0,75 v​ ​Rd,c​) s​ ​r​​u​1​/ (1,5 ​f​ywd,ef​) (art. 6.4.5 (1), vgl. (6.52))
waarin s​ ​r​is de radiale staafafstand van ponswapening
(zie figuur 7.9)
​fywd,ef
​
​= 250 + 0,25 d ≤ f​ ywd
​ ​(zie tabel 7.8)
↓
Bereken de lengte van de buitenste perimeter waar
geen ponswapening meer vereist is uit:
​uout
​ = β ​V​Ed​/ ​v​Rd,c​d
↓
Detailleer de ponswapening
(zie onder ‘Detaillering van ponswapening’ en figuur 7.9)
7.7 | A anbevolen waarden
voor β (NEN-EN 19921-1, fig. 6.21N / NB)
48
gebruikt om vast te stellen over welk gebied ponswapening moet worden toegepast.
Aangenomen wordt dat de wapening in radiale
richtingen is geplaatst. De wapening mag echter als
netten worden aangebracht, mits wordt voldaan aan
detailleringseisen.
Als alternatief voor het gebruik van bijvoorbeeld
ponsbeugels, mogen ook deuvelstrippen en andere in
de handel zijnde ponsvoorzieningen worden toegepast (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.4.5 (5)). Deze mogen in
kruisvormig of radiaal gericht patroon worden
aangebracht (NEN-EN 1992-1-1, fig. 6.22). Gepatenteerde producten mogen als ponswapening worden
Als ponswapening is vereist, volgt de oppervlakte van
de doorsnede van een beugelstaaf uit (NEN-EN 19921-1, art. 9.4.3 (2)):
1,5 Asw,min / sr st > 0,08 fck0,5/ fyk
Deze kan worden geschreven als:
Asw,min > sr st / F
waarin:
sr is de hart-op-hartafstand van de ponsbeugels in de
radiale richting;
st is de hart-op-hartafstand van de ponsbeugels in de
tangentiële richting;
F kan worden ontleend aan tabel 7.9.
β = 1,5
hoekkolom
randkolom
β = 1,4
middenkolom
β = 1,15
7 Vlakke plaatvloeren
u1
bz
2d
2d
u1
by
Maximum-wapeningsverhouding langswapening
Buiten gebieden met overlappingslassen mogen de
trek- en drukwapeningsverhouding niet groter zijn
dan (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.2.1.1 (3)):
As,max = 0,04 Ac
Minimumstaafafstand
De minimumafstand tussen twee wapeningsstaven
moet ten minste gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1,
art. 8.2 (2) en NB):
• de diameter van de wapeningsstaaf;
• de grootste korrelafmeting van het toeslagmateriaal
+ 5 mm;
• 20 mm.
• de afstand tussen deze reeksen mag niet groter zijn
dan 0,75 d (fig. 7.9);
• de hart-op-hartafstand van de beugelstaven langs
een perimeter mag niet groter zijn dan 1,5 d
binnen de eerste toetsingsperimeter (2 d vanaf de
kolom);
• bij de overige perimeters mag de hart-op-hartafstand niet groter zijn dan 2 d, waarbij wordt
aangenomen dat dat deel van de perimeter
bijdraagt aan de ponsweerstand;
• de afstand tussen de zijkant van de kolom en de
dichtstbij gelegen ponswapening moet groter zijn
dan 0,3 d als beugelstaven worden toegepast. n
7.8 | K enmerkende toetsingsperimeters rond
belaste gebieden
(NEN-EN 1992-1-1, fig.
6.13)
Literatuur
1. Moss, R.M. en O. Brooker, How to design concrete structures using Eurocode 2: 7. Flat slabs.
BCA / The Concrete Centre, UK.
2. Pallett, P., Guide to flat slab formwork and falsework. Construct, 2003.
7.9 | P laatsing van
­p onswapening
Bij platen met een totale hoogte van de doorsnede
≥ 200 mm kan de scheurwijdtebeheersing maatgevend zijn voor de staafafstand. Daarvoor wordt verwezen naar NEN-EN 1992-1-1, art. 7.3.3 of naar hoofdstuk 2.
eerste toetsingsperimeter waarin geen
ponswapening nodig is; uout
≤0,75d
buitenste perimeter voor
ponswapening
A
A
≤0,5d
Maximumstaafafstand
Voor platen met een dikte h < 200 mm gelden de volgende maximumstaafafstanden (NEN-EN 1992-1-1,
art. 9.3.1.1 (3) en NB):
• voor de hoofdwapening: 3 h maar niet meer dan
400 mm;
• voor de dwarswapening: 3,5 h maar niet meer dan
450 mm.
Een uitzondering wordt gemaakt voor gebieden met
geconcentreerde belastingen of gebieden met een
maximaal moment:
• voor de hoofdwapening: 2,5 h maar niet meer dan
250 mm;
• voor de dwarswapening: 3 h, maar niet meer dan
400 mm.
≤1,5d
≤2d
(≤1,5d indien binnen
2d vanaf kolom)
st
eerste toetsingsperimeter
waarin geen ponswapening nodig is
Detaillering van ponswapening
Als ponswapening is vereist, moeten de volgende
regels in acht worden genomen (NEN-EN 9.4.3 en
fig. 7.9):
• de wapening moet worden aangebracht tussen de
zijkant van de kolom en de afstand 1,5 d binnen de
perimeter waar geen ponswapening meer nodig is;
• de ponswapening moet bestaan uit ten minste twee
reeksen benen van beugels;
sr
≤0,5d
sr≤0,75d
≤1,5d
A-A
49
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
8 Doorbuigingsberekeningen
Dit hoofdstuk behandelt het gebruik van Eurocode 2
voor doorbuigingscontroles door middel van berekening. De alternatieve methode om te voldoen aan vereisten uit de voorschriften is het gebruik van verhoudingen overspanning - nuttige hoogte. Deze zijn voor
het merendeel van de ontwerpen geschikt en economisch. Een nadere toelichting op deze methode is
gegeven in de hoofdstukken 3, 4 en 7. Er zijn echter
situaties waarin het berekenen van de doorbuiging
nodig is en waarvoor twee methoden worden besproken: de uitgebreide en de vereenvoudigde, ontleend
aan [1].
Het direct berekenen van de doorbuiging is noodzakelijk indien:
• een inschatting van de grootte van de doorbuiging
is vereist;
• de grenswaarden aan de zakking (overspanning/250 onder quasi-blijvende belastingen,
bepaald ten opzichte van de opleggingen) en de
doorbuiging na de bouw (‘bijkomende doorbuiging’; overspanning/500 onder quasi-blijvende
belastingen) niet voldoende streng zijn vanwege de
gevoeligheid van gekozen aansluitende delen;
• het ontwerp een bijzonder slank element vereist,
waarbij een directe berekening van de doorbuiging
tot een meer economische oplossing kan leiden;
• de invloed op de doorbuiging van het vroegtijdig
verwijderen van de bekisting of van het tijdelijk
belasten gedurende de bouwfase moet worden
vastgesteld.
Overzicht
In het verleden waren constructies bij relatief kleine
overspanningen, relatief stijf. Door vooruitgang in
technologie en praktijk is de buigstijfheid afgenomen.
Hiervoor is een aantal oorzaken aan te geven zoals:
• de toename van de sterkte van betonstaal, waardoor
in de uiterste grenstoestand (UGT) minder
betonstaal nodig is, hetgeen resulteert in hogere
staalspanningen in de bruikbaarheidsgrenstoestand
(BGT);
• toename van de betonsterkte voortkomend uit de
wens de duurzaamheid te verhogen en de bouwtijd
te bekorten, resulterend in beton met een grotere
stijfheid en onderworpen aan hogere spanningen
in het gebruiksstadium.
Tevens hebben de volgende ontwikkelingen plaatsgehad:
• Een toename van het inzicht in het constructieve
gedrag en het vermogen dat gedrag snel met
behulp van de computer te analyseren.
• De vraag om economische ontwerpen voor platen
waarvan de hoogte (dikte) wordt bepaald door de
50
BGT en die een aandeel van 80 à 90% in de kosten
van de bovenbouw hebben.
• De wens van de opdrachtgever grotere overspanningen te realiseren en de operationele flexibiliteit van
constructies te vergroten.
Factoren van invloed op doorbuiging
Veel factoren hebben invloed op de doorbuiging.
Deze zijn veelal tijdsafhankelijk en van elkaar afhankelijk, hetgeen het voorspellen van de doorbuiging
complex maakt. Een nauwkeurige beoordeling van de
doorbuiging is alleen mogelijk als alle invloedsfactoren in de beschouwing worden meegenomen. De
belangrijkste factoren worden hierna in detail besproken, dit zijn:
• betontreksterkte;
• kruip;
• elasticiteitsmodulus.
Andere factoren zijn onder meer:
• mate van belemmering;
• grootte van de belasting;
• duur van de belasting;
• scheurvorming in het beton;
• krimp;
• omgevingscondities;
• alternatieve richtingen voor belastingsafdracht;
• verstijvende werking van andere constructie-elementen.
Betontreksterkte
De treksterkte van beton is een belangrijke materiaaleigenschap, omdat de plaat zal scheuren als de
treksterkte in de uiterste vezel wordt overschreden. In
NEN-EN 1992-1-1 wordt een gemiddelde waarde, fctm,
gegeven, die geschikt is voor doorbuigingsberekeningen. De treksterkte neemt toe als de druksterkte
toeneemt.
De mate waarin krimpvervormingen worden
belemmerd heeft invloed op de effectieve treksterkte
van beton. Plaatsing van verstijvingswanden zodanig
dat de mate van belemmering hoog is, doet de
effectieve treksterkte afnemen. Kenmerkende
voorbeelden van de positionering van verstijvingswanden zijn weergegeven in figuur 8.1. Als sprake is
van een positionering die leidt tot een geringe mate
van belemmering, mag de volgende uitdrukking voor
de betontreksterkte worden gebruikt (NEN-EN
1992-1-1, art. 3.1.8):
fctm,fl = (1,6 - h /1000) fctm ≥ fctm
8 Doorbuigingsberekeningen
waarin:
fctm,fl is de gemiddelde buigtreksterkte van gewapend-betonelementen (flexure);
fctm
is de gemiddelde axiale treksterkte
(NEN-EN 1992-1-1, tabel 3.1);
h
is de totale elementhoogte in mm.
Als geen normaaltrekspanningen (ten gevolge van
bijv. krimp of thermische effecten) optreden, mag de
buigtreksterkte fctm,fl worden aangehouden. Bij een
hoge mate van belemmering moet fctm worden
gebruikt (NEN-EN 1992-1-1, art. 7.4.3 (4)).
In geval van een lage belemmeringsgraad is het aan
te bevelen voor de betontreksterkte uit te gaan van het
gemiddelde van fctm,fl en fctm om aldus enige mate van
niet-voorziene belemmering in de berekening mee te
nemen.
a
b
aanpassing van deze waarden bij toepassing van
andere typen granulaten dan kwarts. De langeduurelasticiteitsmodulus bedraagt (LT = longterm):
8.1 |Kenmerkende plattegronden van vloeren
met kolommen en verstijvingswanden
Kruip
Kruip is de tijdsafhankelijke toename van de verkorting van een betonelement dat is onderworpen aan
een constante drukspanning. Kruip wordt in het
ontwerp meestal in rekening gebracht door in de
elasticiteitsmodulus een kruipcoëfficiënt, ϕ, op te
nemen. Deze coëfficiënt is afhankelijk van de ouderdom op het moment van belasten, de afmetingen van
het betonelement en de omgevingscondities, in het
bijzonder de relatieve vochtigheid. NEN-EN 1992-1-1
geeft in bijlage B in detail aan hoe de kruipcoëfficiënt
kan worden berekend. Met figuur 3.1 van NEN-EN
1992-1-1, zie figuur 8.4 in dit hoofdstuk, kan bij
normale milieuomstandigheden binnen en buiten,
de kruipcoëfficiënt worden bepaald.
Om de kruip te kunnen berekenen, moet de cementsoort bekend zijn, hetgeen in het ontwerpstadium
vaak nog niet het geval zal zijn. Veelal kan klasse R
(‘rapid’; sterkteklassen 42,5 R, 52,5 N en 52,5 R)
worden gebruikt (NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.2 (6)). Als
het slakgehalte 35% van de totale cementmassa
overschrijdt of als meer dan 20% vliegas is gebruikt,
is klasse N (‘normal’) van toepassing. Voor een
slakgehalte boven 65% of een gehalte vliegas boven
35% is klasse S (‘slow’) van toepassing (NEN-EN
197-1).
Elasticiteitsmodulus
De grootte van de elasticiteitsmodulus van beton
hangt af van het soort granulaat, de kwaliteit van de
uitvoering en de nabehandelingscondities. De
effectieve (schijnbare) elasticiteitsmodulus wordt
onder een constant gehouden belasting in de loop van
de tijd kleiner ten gevolge van de kruip. Deze factoren
maken dat een zekere kennis vereist is om de van
toepassing zijnde elasticiteitsmodulus te kunnen
vaststellen. NEN-EN 1992-1-1, tabel 3.1 geeft indicatieve waarden voor de 28-daagse secanswaarde, Ecm.
In 3.1.3 (2) worden aanbevelingen gedaan voor
Ec,LT = Ec28 / (1 + ϕ )
a. gunstige plaatsing
van verstijvings-
waarin:
Ec28 is de 28-daagse tangentmodulus = 1,05 Ecm
(NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.4 (2) ;
ϕ
is de kruipcoëfficiënt. Merk op dat in NEN-EN
1992-1-1, ϕ betrekking heeft op de 28-daagse
korteduur-elasticiteitsmodulus, terwijl de
‘werkelijke’ kruipcoëfficiënt moet worden
gekoppeld aan de elasticiteitsmodulus op het
moment van belasten.
wanden (geringe
mate van belemmering)
b. ongunstige plaatsing van verstijvingswanden (grote
mate van belemmering)
Het vaststellen van de langeduur-elasticiteitsmodulus
kan nauwkeuriger worden uitgevoerd als bekend is
welke betonmortel zal worden gebruikt (en aldus
onder meer het type granulaat bekend is) en als de
bouwvolgorde is vastgesteld (en bijvoorbeeld de
ouderdom bij belasten bekend is.)
Belastingsvolgorde
De belastingsvolgorde en het tijdschema kunnen
kritisch zijn bij het vaststellen van de doorbuiging van
een vloer, omdat die van invloed zijn op het moment
waarop de vloer zal scheuren (als deze al scheurt) en
op de berekening van de kruipcoëfficiënten van de
vloer. Figuur 8.2 geeft een voorbeeld van een belastingsvolgorde. Deze laat zien dat in vroege fasen
relatief hoge belastingen optreden als bovengelegen
vloeren worden gestort. De belastingsvolgorde kan
hiervan afwijken, afhankelijk van de gekozen
uitvoeringswijze.
Naarmate hoger gelegen vloeren worden gestort,
treden kleinere belastingstoenames op. Nadat de
onderstempelingen zijn verwijderd, neemt de
belasting blijvend toe door het aanbrengen van
vloerafwerking en scheidingswanden. Ten slotte
worden de veranderlijke belastingen aangebracht.
51
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
14
8.2 |Voorbeeld van de
12
een vloer
10
a. onderstempeling
vloer verwijderd
b. eerste bovengelegen vloer gestort
c. tweede bovengele-
belasting (kN/m2)
belastingshistorie van
8
b
g
c
a
d
e
f
6
4
gen vloer gestort
2
d. derde bovengele-
0
gen vloer gestort
Scheurvorming
h
50
0
100
150
200
250
300
tijd (dagen)
e. vloerafwerking
aangebracht
f. scheidingswanden
geplaatst
g. quasi-blijvende
veranderlijke
belastingen
h. frequente variabele
belastingen
De doorbuiging van betonelementen is nauw
gekoppeld aan de mate van scheurvorming en het
niveau waarmee de scheurcapaciteit is overschreden.
Het optreden van scheurvorming wordt bepaald door
de in de plaat optredende momenten en de betontreksterkte, die op zich weer ouderdomsafhankelijk is.
Vaak treedt de maatgevende toestand op als de plaat
wordt ontkist of als belastingen uit bovengelegen
platen worden aangebracht. Als de plaat eenmaal is
gescheurd, is de stijfheid blijvend afgenomen.
Voor het berekenen van de doorbuiging moet worden
uitgegaan van de quasi-blijvende combinatie. Het is
mogelijk dat gedurende de gebruiksperiode van de
constructie de quasi-blijvende belasting wordt
overschreden en de frequente combinatie maatgevend
is om vast te stellen of de plaat al dan niet is gescheurd.
Uit kostenoogpunt is het vaak gewenst zo snel als
mogelijk te ontkisten, door te gaan met de volgende
vloeren en zo weinig mogelijk onderstempeling toe te
passen. Proeven met vlakke plaatvloeren hebben
uitgewezen dat tot 70% van de belasting veroorzaakt
door een pas gestorte vloer (bekisting, gestort beton,
uitvoeringsbelastingen) aan de ondergelegen vloer
wordt afgedragen [2]. In het algemeen kan ervan
worden uitgegaan dat het vroegtijdig verwijderen van
de bekisting geen grote invloed heeft op de doorbuiging die optreedt nadat de gevelbekleding en/of
scheidingswanden zijn aangebracht. Dit omdat de
doorbuiging die invloed heeft op scheidingswanden,
kleiner is als de plaat ‘voordien’ al is gescheurd en
niet pas scheurt nadat de gevelbekleding en/of
scheidingswanden zijn aangebracht.
Het is noodzakelijk de maatgevende belastingssituatie
te vinden waarbij de eerste scheurvorming optreedt.
Dit is de situatie die een minimumwaarde geeft voor
de verhouding:
fctm (t) / σct (t)
waarin:
fctm (t) is de betontreksterkte op het betreffende
moment;
σct (t) is de betontrekspanning ten gevolge van de
gebruiksbelastingen aangebracht tot het
betreffende stadium.
Als de frequente combinatie overeenkomt met de
maatgevende belastingssituatie, moet de mate van
scheurvorming (ζ) zoals berekend voor de frequente
combinatie, ook worden gebruikt voor de quasi-blijvende combinatie, echter niet voor voorgaande
belastingsstadia. Als echter blijkt dat eerdere stadia
maatgevend waren, moet de ζ-waarde behorend bij
het betreffende stadium in alle opvolgende stadia
worden gehanteerd.
Tabel 8.1 | Sterkte- en vervormingseigenschappen voor beton (NEN-EN 1992-1-1, tabel 3.1 en bijlage B)
fck
(N/mm2)
20
25
28
30
35
40
fcm = fck + 8
(N/mm2)
28
33
36
38
43
48
58
2,21
2,56
2,77
2,90
3,21
3,51
4,07
2,77
3,09
3,27
3,39
3,68
3,96
4,50
fctm = 0,3 fck2/3 ≤ C50/60 of
= 2,12 ln (1 + fcm/10) > C50/60
(N/mm2)
fctm* = 0,3 fcm2/3 ≤ C50/60 of
= 1,08 ln fcm + 0,1 > C50/60 1)
(N/mm2)
Ecm = 22 (fcm /10)0,3
(x 103 N/mm2)
30,0
31,5
32,3
32,8
34,1
35,2
37,3
Ec28 = 1,05 Ecm
(x 103 N/mm2)
31,5
33,0
33,9
34,5
35,8
37,0
39,1
εcd,0 klasse R, RV = 50%
(x 10-6)
746
706
683
668
632
598
536
εcd,0 klasse R, RV = 80%
(x 10-6)
416
394
381
372
353
334
299
εcd,0 klasse N, RV = 50%
(x 10-6)
544
512
494
482
454
428
379
εcd,0 klasse N, RV = 80%
(x 10-6)
303
286
275
269
253
239
212
εcd,0 klasse S, RV = 50%
(x 10-6)
441
413
397
387
363
340
298
εcd,0 klasse S, RV = 80%
(x 10-6)
246
230
221
216
202
189
166
εca(∞)
(x 10-6)
25
38
45
50
63
75
100
1
52
50
) fctm* mag worden gebruikt bij ontkisten binnen 7 dagen of als overbelasten tijdens uitvoering wordt meegenomen.
8 Doorbuigingsberekeningen
Doorbuigingsberekening - uitgebreide
methode
De doorbuiging kan ook worden berekend met de
eindige-elementenmethode, waarbij de richtlijnen
vermeld in figuur 8.3 moeten worden opgevolgd om
betrouwbare resultaten te verkrijgen.
1 B
erekenen van de langeduure l a s t i c i t e i t s m o d u l u s E LT
[ 
]
​W3​ ​
​W5​ ​
​W4​ ​
​W2​ ​
​W​1​
 ​+ ​ ____  
 ​+ ​ _____  
 ​+ ​ ____  
 ​  ​
​ELT
​ ​= Σ W /​ ​ ____   ​+ ​ _____  
​Eeff,1
​ ​ ​E​eff,2​ ​Eeff,3
​ ​ ​Eeff,4
​ ​ ​Eeff,5
​ ​
waarin:
Eeff = Ec28 / (1 + ϕ );
Wn is de belasting in BGT in stap n;
ϕ
is de kruipcoëfficiënt op het tijdstip van belasten en voor de betreffende belastingsduur.
Doorbuigingsberekening vereenvoudigde methode
Een vereenvoudigde methode voor het berekenen van
de doorbuiging is getoond in figuur 8.5. Het is
mogelijk deze berekeningen met de hand uit te
voeren en zij kunnen worden gebruikt om de
resultaten van berekeningen gemaakt met een
computerprogramma, op hoofdlijnen te controleren.
De belangrijkste vereenvoudiging is het niet expliciet
meenemen van de invloeden van het belasten op
relatief jonge leeftijd. Hiervoor wordt bij de hier
beschreven methoden als benadering het scheurmo-
​M​ ​
​M​ ​
​ELT
​ ​​Icr​ ​
​E​LT​​Iun
​ ​
8.3 |Schema uitgebreide
methode voor berekenen doorbuiging
↓
De uitgebreide methode is de meest geschikte
methode als de doorbuiging zo realistisch mogelijk
moet worden berekend. De methode vereist echter
het gebruik van computerprogramma’s. Door het
Concrete Centre zijn deze, toegespitst op de Engelse
bouwpraktijk en rekenmethodieken, voor platen en
liggers in de vorm van spreadsheets opgesteld,
waarmee een kosten-effectieve werkwijze is verkregen
voor gedetailleerde doorbuigingsberekeningen.
Inbegrepen is de optie de invloed van belasten op
jonge leeftijd in de berekeningen mee te nemen.
Figuur 8.3 toont de achtergronden van de rekenmethoden en geeft aan welke invloedsfactoren zijn
meegenomen.
Verzamel invoergegevens
• Elementafmetingen en wapeningsdetaillering en -ligging uit
UGT-ontwerp
• Belastingsvolgorde, bijv.:
– verwijderen van de bekisting
– storten van de bovengelegen vloer
– aanbrengen van scheidingswanden en/of gevelbekleding
– aanbrengen van vloerafwerking
De volgorde kan per project anders zijn.
• Eigenschappen beton (zie tabel 8.1)
– gemiddelde betondruksterkte ​fcm
​ ​
– gemiddelde treksterkte ​fctm
​ ​of ​f​ctm,fl​
​ ​
– elasticiteitsmodulus ​Ec28
​ ​= 1,05 ​Ecm
• Maatgevende schikking van belastingen (of herhaal de berekeningen voor elke mogelijke schikking om de maatgevende te
vinden)
↓
Stel vast of het element door buiging scheurt
• Bepaal het maatgevende belastingsstadium waarin scheurvorming voor het eerst optreedt (zie paragraaf ‘Scheurvorming’)
• Bereken de volgende eigenschappen
– kruipcoëfficiënten ϕ (bijlage B van NEN-EN 1992-1-1 of
figuur 8.4)
– langeduur-elasticiteitsmodulus ​ELT
​ ​ (kadertekst 1)
​​
– effectieve modulusverhouding α
​ ​e​uit: ​α​e​= ​E​s​/​ELT
– hoogte drukzone in ongescheurd stadium ​xun
​ ​ (kadertekst 2)
– kwadratisch oppervlaktemoment doorsnede in ongescheurd stadium ​lun
​ ​ (kadertekst 2)
​ ​), gebruikmakend
– scheurmoment ​Mcr​ ​uit: ​M​cr​= ​f​ctm​​l​un​ / (h - ​xun
van de van toepassing zijnde waarde voor f​ ctm
​ ​
• Is het moment in het maatgevende belastingsstadium groter
dan het scheurmoment?
– Zo ja, dan is het element gescheurd in alle volgende stadia.
ζ = 1 - 0,5 ​(​M​cr​/M)​2​ (ζ = 0 voor een ongescheurde toestand)
Gebruik deze kritieke waarden van ​fctm
​ ​en ζ voor alle volgende stadia
– Zo nee, dan is het element ongescheurd in alle stadia
↓
Bereken de kromming van de plaat
• Als de plaat gescheurd is, bereken dan de volgende eigenschappen voor het beschouwde stadium, gebruikmakend van
de van toepassing zijnde waarden van f​ ​ctm​, ζ en ​E​LT​:
– drukzonehoogte bij gescheurde doorsnede ​xcr​ ​ (kadertekst 2)
– kwadratisch oppervlaktemoment doorsnede in gescheurd
stadium ​lcr​ ​ (kadertekst 2)
• Bereken de kromming door buiging:
QP
QP
1
__
_____ ​ 
​   ​   = ζ ____
​   ​ +
   (1 - ζ ) ​ 
​r​fl​
• Bereken de kromming door de rek door krimp 1/​r​cs​ (kadertekst 2)
• Bereken de totale kromming, 1/​rt​​= 1/​r​fl​+ 1/​r​cs​
↓
Herhaal de berekeningen voor diverse doorsneden (bijv. steeds op
1/20 van de overspanning) en integreer tweemaal om de totale
doorbuiging te vinden
↓
Als de scheidingswanden en/of gevelbekleding worden beïnvloed
door de doorbuiging, herhaal dan de berekeningen voor de
frequente combinatie en voor belasten op het moment waarop de
scheidingswanden en/of gevelbekleding worden aangebracht
↓
Stel de doorbuigingen vast:
• Totale doorbuiging (quasi-blijvende combinatie)
• Doorbuiging met invloed op scheidingswanden/gevelbekleding (frequente combinatie doorbuiging minus de doorbuiging op het moment van aanbrengen)
↓
De krimp is afhankelijk van de water-cementfactor, de
relatieve vochtigheid en de afmetingen en vorm van het
constructie-element. Krimp optredend in een asymmetrisch gewapende betondoorsnede veroorzaakt een
kromming die kan leiden tot een significante toename
van de doorbuiging van slanke elementen. Dit effect
kan in doorbuigingsberekeningen worden beschouwd.
↓
Kromming door krimp
53
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
1
8.4 |Methode voor het bepa-
t0
1992-1-1, fig. 3.1)
RV = 50%
b. condities ‘buiten’
op tijdstip van belasten in dagen
5
5
10
10
20
30
20
30
50
50
100
100
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
100
300
500
700
900 1100 1300
7,0
h (mm)
8
ϕ ( , t0)
a
S
N
R
2
3
7,0
RV = 80%
- t 0 is ouderdom beton
1
R
C20/25
C25/30
C30/37
C35/45
C40/50
C45/55
C50/60
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
100
300
500
700
900 1100 1300
h (mm)
ϕ ( , t0)
8
ciënt
ϕ (∞, t 0 )(NEN-EN
opmerkingen
N
t0
len van de kruipcoëffi-
a. condities ‘binnen’
S
2
3
b
1
4
- h 0 = 2 A c / u
5
- snijpunt van lijnen 4
2
3
en 5 kan ook boven
punt 1 liggen
2 Uitdrukkingen van toepassing bij een rechthoekige doorsnede
- als t 0 > 100 is het voldoende nauwkeurig
ongescheurd (un = uncracked):
uit te gaan van t 0 =
100
​bh​2​
​ ​​d​2​)
​ ___ ​ + (​a​e​– 1) (​As​​d + ​As2
2
 ​
​xun
​ ​= ​  _______________________
   
  
bh + (​a​e​– 1) (​As​​+ ​As2
​ ​)
( 
)
2
​bh​3​
h
​I​un​= ​ ___ ​ + bh ​​ ​ __  ​– ​xun
​ ​  ​​ ​+ (​a​e​– 1) [​As​​​(d – ​xun
​ ​)2​ ​+ ​As2
​ ​​(​xun
​ ​– ​d2​ ​)2​ ​]
2
12
gescheurd (cr = cracked):
0,5
​ ​(a
​ ​e​– 1) )​2​+ 2b (​As​​d​a​e​+ A​​s2​​d​2​(a
​ ​e​– 1) ) ]​ ​– [​As​​​a​e​+ A
​ s2
​ ​(a
​ ​e​– 1) ] } / b
​xcr​ ​= {​ [ ​(​As​​​a​e​+ ​As2
b​​x​cr3​​ ​
2
2
​I​cr​= ​  ____ ​
  + ​a​e​​A​s​​(d – ​xcr​ ​)​ ​+ ​(a​e​– 1) ​As2
​ ​​(​d2​ ​– ​xcr​ ​)​ ​
3
​Sun
​ ​
​Scr​ ​
1
​ __   ​  = z​ e​cs​​a​e​​  __  ​+ (1 – z) e​ ​cs​​a​e​​ __  ​
​rcs​ ​
​Iun
​ ​
​Icr​ ​
waarin:
As
is de oppervlakte van de doorsnede van betonstaal;
As2
is de oppervlakte van de doorsnede van betonstaal in de drukzone;
b
is de breedte van de doorsnede;
d
is de nuttige hoogte ten opzichte van het betonstaal aan de trekzijde van de doorsnede;
d2
is de nuttige hoogte ten opzichte van het betonstaal in de drukzone;
h
is de hoogte van de doorsnede;
αe
is de verhouding van de elasticiteitsmoduli van betonstaal en beton;
Sun
= As (d - xun) - As2 (xun - d2)
Scr
= As (d - xcr) - As2 (xcr - d2)
ment met een factor 0,9 gereduceerd. De kruipcoëfficiënten zijn vereenvoudigd en de doorbuiging wordt
direct berekend uit de kromming door een enkele
vermenigvuldigingsfactor toe te passen.
Er wordt uitgegaan van het moment ten gevolge van
de quasi-blijvende belastingen, MQP (QP staat voor
54
quasi-permanent). Voor quasi-blijvende belastingen,
ψ2 zie Qk, hoofdstuk 1.
Zeeg
Om de doorbuiging onder de horizontaal te reduceren, kan een plaat of ligger worden voorzien van een
zeeg (fig. 8.8). Als een te grote zeeg wordt toegepast,
8 Doorbuigingsberekeningen
Start
8.5 |Vereenvoudigde
↓
↓
Bereken het moment ten gevolge van de quasi-blijvende
 ​Bereken de totale krimpverkorting ​ε​cs​uit ​ε​cs​= ​ε​cd​+ ​ε​ca​waarin:
­belastingen, M
​ QP
​ ​ in de maatgevende doorsnede (bijv. in het veldmidden of in het steunpunt bij een uitkraging)
​k​h
​is de coëfficiënt gebaseerd op de fictieve dikte (tabel 8.2)
​ε​cd,0 ​is de nominale onbelemmerde uitdrogingskrimp­verkorting
↓
aan tabel 8.1
(tabel 8.1)
​ε​ca​= ​β​as​ (t) ​ε​ca​ (∞) is ε​ca​ (∞) voor de langeduur-doorbuiging (tabel 8.1)
↓
↓
Bereken de kruipcoëfficiënt, ϕ (∞, ​t0​ ​), gebruikmakend
Bereken de kromming ten gevolge van de krimpverkorting
van figuur 8.4 of bijlage B (​fcm
​ ​ uit tabel 8.1)
1/​r​cs​ (kadertekst 2)
↓
↓
1. Bereken de langeduur-elasticiteitsmodulus
1
1
1
​    ​ + ___
​    ​  
Bereken de totale kromming ____
​    ​ = __
​r​t,QP​ rfl ​r​cs​
E​ ​eff​uit: ​E​eff​= E​ ​c28​/[1 + ϕ (∞, ​t0​ ​)]
2. Bereken de effectieve elasticiteitsmodulusverhouding α
​ ​e​uit: ​
α​e​= ​E​s​/ E​ ​eff​, waarin ​Es​ ​is de elasticiteitsmodulus van het beton-
↓
staal (200 x ​10​3​N/​mm​2​)
Bereken de doorbuiging onder quasi-blijvende belastingen uit
1
δ​ ​QP​= ​Kl​2​____
​    ​ 
​r​t,QP​
3. Bereken de drukzonehoogte in het ongescheurde stadium x​ ​un
(un = uncracked)
waarin K kan worden ontleend aan figuur 8.6 en waarin l de
4. Bereken het kwadratisch oppervlaktemoment in het onge-
overspanning is
scheurde stadium, I​ un
​ ​
↓
↓
Is het
0,9 ​fctm
​ ​​l​un​
​ ​cr​= ​ ________
 
Bereken het scheurmoment, ​M​cr​uit: M
 ​ 
h - ​xun
​ ​
noodzakelijk de doorbuiging
ten gevolge van scheidingswanden en
(Merk op dat de factor 0,9 hier wordt toegepast omdat de
gevelbekleding te
­belastingsvolgorde niet wordt beschouwd)
↓
berekenen?
​ ​QP​?
Is ​Mcr​ ​> M
Doorsnede ie ongescheurd
↓ nee
ζ = 1 - 0,5 ​(​M​cr​/ M
​ ​QP​)​2​
einde
Bereken de doorbuiging die optreedt op het tijdstip waarop de belasting door scheidingswanden
Doorsnede is gescheurd
ζ = 0
nee
→
↓ ja
↓
↓
ja ↓
nen doorbuiging
​ε​cd​= ​k​h​​ε​cd,0​is de uitdrogingskrimpverkorting
Ontleen de materiaaleigenschappen van beton f​ ctm
​ ​en E​ ​c28​
methode voor bereke-
en/of gevelbekleding wordt aangebracht.
1. Bereken de kruipcoëfficiënt ϕ (t,​t0​ ​), waarin t is de ouderdom op het tijdstip waarop belastingen
door scheidingswanden/gevelbekleding optreden en t​ 0​ ​is de ouderdom bij ontkisten,
↓
Bereken de drukzonehoogte in het gescheurde stadium ​xc​ r
ϕ (t,​t0​ ​) ≈ ϕ (∞,​t0​ ​) ​β​c​(t,​t0​ ​). Voor ​β​c​(t,​t0​ ​) zie figuur 8.7, als alternatief zie bijlage B van
NEN-EN 1992-1-1
​(cr = cracked) en bereken het kwadratisch oppervlakte­
moment van de gescheurde doorsnede, ​I​ ​
cr
2. Bereken het moment ten gevolge van eigen gewicht, scheidingswanden/gevelbekleding en elke
andere belasting die is aangebracht voor hun montage, ​M​par​, en gebruik deze in plaats van ​MQP
​ ​
↓
​M​QP​
​MQP
​ ​
1
_____  
​ 
   (1 - ζ) ​ 
Bereken de kromming door buiging: __
​   ​   = ζ _____
 ​ +
​r​fl​
​Eeff
​ ​​Icr​ ​
​Eeff
​ ​​Iun
​ ​
3. Herbereken de doorsnedegrootheden, kromming en doorbuiging, δ​ ​par​, gebruikmakend van
ϕ (t,​t0​ ​) of een equivalente waarde in plaats van ϕ (∞,​t0​ ​)
4. De geschatte doorbuiging die van invloed is op scheidingswanden en gevelbekleding is
δ = ​δ​QP​- ​δ​par​
is de plaat blijvend voorzien van een zeeg, meestal
doordat de doorbuiging moeilijk nauwkeurig is te
berekenen. Een zeeg ter grootte van circa de helft van
de doorbuiging onder quasi-blijvende belasting kan
worden toegepast, maar een kleinere waarde wordt
aanbevolen. Er wordt op gewezen dat een zeeg niet
leidt tot een reductie van de doorbuiging die invloed
heeft op scheidingswanden en gevelbekleding.
Toelichting
NEN-EN 1992-1-1 gaat voor vlakke plaatvloeren in
opmerking 3 bij tabel 7.4N uit van een doorbuiging
ten opzichte van de opleggingen van iets meer dan
1/250 van de langste overspanning tussen de
kolommen. Ervaring heeft uitgewezen dat dit
voldoende is. Een zeeg kan vereist zijn om aan deze
eis te voldoen.
Tabel 8.2 | Waarden voor k h
h0
kh
100
1,0
200
0,85
300
0,75
≥ 500
0,70
h0 is de fictieve dikte (mm) van de doorsnede = 2 Ac/u
waarin:
Ac is de oppervlakte van de doorsnede van beton;
u
is de perimeter of de omtrek voorzover blootgesteld aan
uitdroging.
55
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
momentenlijn
M
M
M
al
3 - 4a2
48 (1 - a)
als a = 1/2, K = 1/12
M = Fa (1-a)l
0,0625
M
al
F/2 F/2
0,55
0,125
F
l
0,60
K
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
al
Fal
M= 2
0,125 - a /6
ql2
8
0,104
2
0,25
100
300
500
700
900
h0 (mm)
t = 90, t0 = 3
t = 60, t0 = 3
t = 28, t0 = 3
q
t = 90, t0 = 7
t = 60, t0 = 7
t = 28, t0 = 7
8.7 |Coëfficiënt β c (t, t 0 ) voor de ontwikkeling van de kruip als
q
ql
15,6
2
MA
q
al
F
MB
MC
Fal
al
q
functie van h 0 , t en t 0 voor f ck = 30 N/mm 2 (f cm = 38 N/mm 2 )
0,102
t is de ouderdom van het beton in dagen bij aanbrengen
β )
K = 0,104 (110
M + MB
β= A
MC
einddoorbuiging
a (3 - a/l)
=
6
belasting bij eind K = 0,333
a (4 - a)
(qa2l2 )/2
12
als a = 1, K = 0,25
MA
al
al
q
8.6 |Factor K voor diverse
momentenlijnen
MB
K = 0,083 (1 β=
MC
ql2
(3-4a2)
24
MA + MB
MC
β
)
4
1 (5 - 4a2)2
3 - 4a
80
In de opeenvolgende vervormingsstadia vraagt de
‘bijkomende doorbuiging’ aandacht; de toename van
de vervorming die na een bepaalde constructiefase
optreedt en kan leiden tot schade aan aansluitende
constructiedelen. Deze verandering van de doorbuiging moet beperkt blijven tot 1/500 van de overspanning. In figuur 8.8 is ter illustratie gekozen voor de
toename van de vervorming (doorbuiging) die
optreedt vanaf het moment dat de bekisting is
verwijderd tot de vervormingstoestand ten gevolge
van de frequente belastingscombinatie.
Vlakke plaatvloeren
Vlakke plaatvloeren zijn veel gebruikte en efficiënte
vloersystemen. Door het overspannen in twee
richtingen kan het moeilijk zijn de doorbuiging te
berekenen. Verschillende geschikte methoden voor
het berekenen van de doorbuiging zijn beschreven in
[1]. Hiervan is een populaire methode het berekenen
van het gemiddelde van de doorbuigingen van twee
parallelle kolomstroken en daar de doorbuiging van
een er loodrecht op overspannende middenstrook bij
56
coëfficiënt ’β c (t,t0)’
belasting
scheidingswanden/gevelbekleding
t 0 is de ouderdom van het beton in dagen bij ontkisten
NB: De coëfficiënt is relatief ongevoelig voor de sterkteklasse
op te tellen. Het resultaat is een benadering van de
grootste doorbuiging in het midden van de plaat.
Figuur 8.9 toont het acceptatiecriterium voor een
vlakke plaatvloer [3]. Als de toegestane maximale
doorbuiging gelijk is aan δ = L /n en X is de positie
waar de maximale δ optreedt, waarin:
L is de overspanning;
nis de grenswaarde van de verhouding tussen
overspanning en doorbuiging,
dan mag de doorbuiging op positie X niet groter zijn
dan 2 a/n = L√2 / 250.
Nauwkeurigheid
Het berekenen van de doorbuiging met NEN-EN
1992-1-1 volgens de uitgebreide methode is geavanceerd. Deze kan worden gebruikt om op jonge leeftijd
tijdens de bouwfase optredende belastingen in
rekening te brengen door gebruik te maken van een
gereduceerde treksterkte voor het jonge beton.
Het is echter niet mogelijk de invloed op de doorbuiging nauwkeurig in rekening te brengen van:
• de betontreksterkte, die het scheurmoment bepaalt;
• de belastingen tijdens de uitvoeringsfase;
• de elasticiteitsmodulus van het beton.
Daarom moet elke doorbuigingsberekening worden
beschouwd als een schatting, waarbij wordt opgemerkt dat zelfs bij de meest geavanceerde analyses
nog steeds een afwijking van +15% tot -30% kan
optreden. Het wordt aanbevolen een voorbehoud te
maken bij elke berekende doorbuiging die voor
andere partijen van belang is.
8 Doorbuigingsberekeningen
Toleranties voor gevelbekleding
De doorbuiging kan op de volgende manieren invloed
hebben op de gevelbekleding en beglazing:
Als een plaat doorbuigt neemt de belasting op de
centrale bevestigingsmiddelen af en worden de
buitenste bevestigingsmiddelen zwaarder belast.
Producenten kunnen aangeven dat hun beglazingssystemen toepasbaar zijn tot een vastgestelde
maximale doorbuiging (of doorbuigingsverschil of
-verandering). Deze kan bijvoorbeeld beperkt zijn tot
5 mm.
Een open discussie wordt aanbevolen tussen ontwerpers en constructeurs van de diverse toegepaste
elementen en onderdelen, om de interactie tussen
constructie en gevelbekleding op de meest kostenefficiënte wijze op te lossen. n
situatie direct voor
aanbrengen
scheidingswanden
zeeg
doorbuiging door
quasi-blijvende
belastingscombinatie
doorbuiging met invloed op
scheidingswanden
doorbuiging door
frequente
belastingscombinatie
8.8 |Zeeg in een plaat en
opeenvolgende doorbuigingsoorzaken
Literatuur
a
1. The Concrete Society: Technical report no. 58,
Deflections of concrete slabs and beams. The
Concrete society, 2005.
2. Pallett, P., Guide to flat slab formwork and
falsework. Construct, 2003.
3. Webster, R. en O. Brooker, How to design
concrete structures using Eurocode 2: 8. Deflection calculations. BCA / The Concrete Centre, UK.
8.9 |Aanbevolen acceptatiecriterium voor vlakke plaatvloeren
57
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
9 Stabiliteit
Bij het beoordelen van de stabiliteit van een constructie of van constructie-onderdelen is het beschouwen
van tweede-orde effecten volgens Eurocode 2
(NEN-EN 1992-1-1) met bijbehorende Nationale
Bijlage [1] noodzakelijk. Voor constructies in gebouwen mogen deze effecten niet worden verwaarloosd
als het bijkomende effect meer is dan 10% van de
gevolgen van de eerste-orde krachtsverdeling.
Bij het toetsen van de stabiliteit moet worden uitgegaan van de fundamentele belastingscombinaties
volgens NEN-EN 1990 [2, 3] waarbij de windbelasting
de overheersende veranderlijke belasting is. In het
algemeen dienen twee combinaties te worden
beschouwd: de combinatie met een minimale normaalkracht en de combinatie met de maximale normaalkracht, beide gebaseerd op vergelijking 6.10b
van NEN-EN 1990 (zie tabel 1.5):
minimale normaalkracht:
0,9 Gk + 1,5 Qk,wind
maximale normaalkracht:
1,2 Gk + 1,5 Qk,wind + 1,5 Σ ψ0,I Qk,i
Bij constructies in gevolgklasse 1 (zie Eurocode 0
tabel B1 voor omschrijvingen) mag de belastingsfactor 1,5 worden vermenigvuldigd met een factor KFI
gelijk aan 0,9; bij constructies in gevolgklasse 3 is KFI
gelijk aan 1,1. Zie hiervoor artikel B.3.3 van NEN-EN
1990. Aanvullend op deze belastingen moet volgens
art. 5.2 van Eurocode 2 ook rekening worden gehouden met een initiële scheefstand van de constructie.
De grootte van deze scheefstand volgt uit:
θi = θ0 αh αm
waarin:
θ0 is de basiswaarde van de scheefstand, volgens de
Nationale Bijlage gelijk aan 1/300;
αh is een reductiefactor voor de lengte of de hoogte
van de beschouwde constructie;
αm is een reductiefactor voor het aantal dragende verticale elementen dat wordt beschouwd.
De scheefstand kan worden vertaald naar horizontale
krachten die werken op de stabiliserende constructie.
De horizontale krachten ten gevolge van de blijvende
belasting en de veranderlijke vloerbelasting kunnen
worden beschouwd als deel van de variabelen Gk en
Qk,i in de hiervoor beschreven belastingscombinaties.
Verwaarloosbaar ?
Zoals gesteld mag het tweede-orde effect bij het
beschouwen van de stabiliteit van een gebouwconstructie worden verwaarloosd als dit effect kleiner is dan
58
10% van de overeenkomstige eerste-orde effecten, zie
art. 5.8.2(6) in NEN-EN 1992-1-1. Dit uitgangspunt is in
NEN-EN 1992-1-1 verder uitgewerkt tot de regel dat
tweede-orde effecten in gebouwen mogen worden verwaarloosd indien voldaan wordt aan vergelijking 5.18:
Σ ​Ecd
​ ​​Ic​​
​ns​​
 ​ ​ _______
​FV,Ed
​ ​≤ ​k1​ ​​ _______
   
 
 
 ​
​L2​ ​
​n​s​+ 1,6
waarin:
FV,Ed is de totale verticale belasting waarvoor de stabiliteit wordt verzekerd;
k1
is een factor die in de Nationale Bijlage wordt
bepaald;
ns
is het aantal verdiepingen;
Ecd Ic is de buigstijfheid van de schorende elementen;
L
is de hoogte van het gebouw boven het niveau
van de inklemming.
In de Nederlandse Nationale Bijlage is de factor k1
gelijkgesteld aan 0. De vergelijking is daardoor niet
meer bruikbaar. Dit is gedaan omdat uit studies is
gebleken dat de uitdrukking niet altijd tot een veilige
situatie leidt. Door het optellen van de buigstijfheden
van de schorende elementen kan namelijk een verkeerde inschatting worden gemaakt van het daadwerkelijke tweede-orde effect op één van de schorende
elementen. Bij constructies waarbij de stabiliteit
wordt gewaarborgd door een statisch bepaald systeem
van kernen, is de grootte van de windbelasting op het
element en de grootte van FV,Ed namelijk afhankelijk
van de randvoorwaarden voor de vloerschijf en niet
van de buigstijfheid van het element. De verhouding
tussen FV,Ed en de Ecd Ic voor het betreffende element
kan dan significant afwijken van het gemiddelde
waarvan in de vergelijking wordt uitgegaan. Een voorbeeld van een systeem van schorende elementen
waarbij dit het geval kan zijn is geschetst in
figuur 9.1.
De vergelijking kan natuurlijk wel worden gehanteerd voor de afzonderlijke schorende elementen.
Voor een element i gaat de uitdrukking over in:
​Ecd,i
​ ​​Ic,i
​​
​ns​​
​FV,Ed,i
​ ​≤ ​k1​ ​​ _______
 ​ ________
​ 
   
 
 
 ​
​L2​ ​
​n​s​+ 1,6
Hierbij kan voor k1 de in NEN-EN 1992-1-1 aanbevolen waarde van 0,31 worden aangehouden.
Bepalen tweede-orde effect
In NEN-EN 1992-1-1 art. 5.8.5 zijn drie methoden
be­schreven voor het bepalen van tweede-orde effecten:
1.algemene methode, gebaseerd op niet-lineaire
tweede-orde berekeningen;
2.methode gebaseerd op een nominale stijfheid;
9 stabiliteit
3.methode gebaseerd op een nominale kromming.
Volgens de Nederlandse Nationale Bijlage mag de
methode gebaseerd op een nominale stijfheid worden
gebruikt voor zowel geschoorde als schorende constructies. De methode gebaseerd op een nominale
kromming mag volgens de Nationale Bijlage uitsluitend gebruikt worden voor geschoorde op zichzelf
staande elementen. Dit zijn bijvoorbeeld kolommen in
een geschoord raamwerk. Een nadere uitwerking van
deze methode is te vinden in [4, 5]. Voor het toetsen
van de stabiliteit van een gehele constructie is de
methode van de nominale kromming dus niet toepasbaar.
Algemene methode
De uitgangspunten voor de algemene methode die
gebruik maakt van een niet-lineaire tweede-orde berekening zijn beschreven in NEN-EN 1992-1-1
art. 5.8.6. Hierin is onder meer gesteld dat rekening
mag worden gehouden met het gunstige effect van
tension-stiffening. Hoe dit moet worden gedaan is in
NEN-EN 1992-1-1 echter niet uitgewerkt.
Ook is beschreven dat de invloed van kruip van het
beton in rekening moet worden gebracht. Het is bij
gebrek aan verfijnde modellen toegestaan de waarden
van de rekken in het aan te houden σ-ε-diagram te
vermenigvuldigen met (1 + ϕef ). De grootte van de
effectieve kruipcoëfficiënt, ϕef is beschreven in
NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.4. Hieruit blijkt dat de
grootte van ϕef volgt uit:
​M0,Eqp
​ ​
ϕef = ϕ (∞,t0) ​ _____ ​ 
 
​M0Ed
​ ​
waarin:
ϕ (∞,t0)is de coëfficiënt voor de eindwaarde van de
kruip;
M0,Eqp is het eerste-orde buigend moment in de
quasi-blijvende belastingscombinatie in de
bruikbaarheidsgrenstoestand;
M0Ed is het eerste-orde buigend moment bij de
beschouwde fundamentele belastingscombinatie (UGT).
Opgemerkt wordt dat het toegestaan is het effect van
kruip te verwaarlozen. Dan moet echter wel aan drie
voorwaarden worden voldaan (NEN-EN 1992-1-1 art.
5.8.4(4)). Het blijkt dat de door de windbelasting veroorzaakte vervormingen mogen worden bepaald bij
een stijfheid die geldt voor kortdurende belastingen.
De bepaling van de nominale stijfheid van een slank
gedrukt element met willekeurige dwarsdoorsnede is
beschreven in NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.7.2. Deze is
gelijk aan:
EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is
waarin:
Ecdis de rekenwaarde van de elasticiteitsmodulus
van het beton;
Icis het kwadratisch oppervlaktemoment van de
betondoorsnede;
Esis de rekenwaarde van de elasticiteitsmodulus
van het wapeningsstaal;
Isis het kwadratisch oppervlaktemoment van de
wapening ten opzichte van het zwaartepunt van
de betondoorsnede;
Kcis een factor voor effecten van scheurvorming,
kruip etc.;
Ksis een factor voor de bijdrage van de wapening.
Bij wapeningspercentages van 0,2% of hoger (wapeningsverhouding ρ ≥ 0,002) mag voor Ks een waarde
gelijk aan 1,0 worden aangehouden.
Bij deze wapeningspercentages geldt voor Kc:
​k1​ ​​k​2​
 ​
K​c​= ​ _____  
1+ϕ
​ ​ef​
De effectieve kruipfactor ϕef is eerder beschreven. De
factoren k1 en k2 zijn afhankelijk van de betonsterkteklasse, de benuttingsgraad van de doorsnede en de
slankheid van de kern. Dat de slankheid van de kern
invloed krijgt op de grootte van de buigstijfheid is
afwijkend ten opzichte van de werkwijze die in NEN
6720 (VBC 1995) [6] is gehanteerd. De slankheid
heeft invloed via de term k2:
l
    ​
k​2​= n ​  ___
170
waarin:
n is de benuttingsgraad (de relatieve normaalkracht), NEd /Ac fcd;
λ is de slankheid.
9.1 |Schorende elementen
q w L/2
q w L/2
met een groot stijfheidsverschil en een
gelijke horizontale
belasting
Methode nominale stijfheid
Het principe van deze methode is dat met behulp van
een benadering van de buigstijfheid een kniklast
wordt bepaald. Daarna kan met de vergrotingsfactor
n/(n-1) de grootte van de belasting inclusief het
tweede-orde-effect worden bepaald.
qw
L
59
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
2 | Red Apple, Rotterdam
Diverse vergelijkende berekeningen die binnen
Normsubcommissie ‘TGB Betonconstructies’ zijn
gemaakt leerden dat de waarde van de nominale stijfheid, bepaald met art. 5.8.7.2 van NEN-EN 1992-1-1,
regelmatig zeer laag was, zodat een groot tweede-orde
effect werd berekend. De methode kan dus erg conservatief zijn en daardoor oneconomisch uitvallen.
Daarom is via de Nationale Bijlage besloten
art. 5.8.7.2 niet van toepassing te verklaren en te vervangen door art. 7.2.3 van NEN 6720 (VBC 1995).
Als de nominale stijfheid van het stabiliteitselement
en de rotatiestijfheid van de inklemming bekend zijn,
kan de knikbelasting van het element worden bepaald.
Hiervoor kan bijvoorbeeld gebruik worden gemaakt
van [7] of van bijlage H van NEN-EN 1992-1-1. De
totale rekenwaarde van het moment, inclusief
tweede-orde-moment, MEd, volgt dan uit:
​M0Ed
​ ​
  
MEd = ​ _______
​NEd
​​
 ​
1 – ​ ___  ​
​NB​ ​
waarin:
M0Ed is het eerste-orde moment;
NEd
is de rekenwaarde van de te stabiliseren normaalkracht;
NB
is de knikbelasting gebaseerd op de nominale
stijfheid.
Uitgaande van n = NB / NEd is dit te herleiden tot:
n
    ​M
MEd = ​ _____
n – 1 0Ed.
Als alternatief voor het bepalen van het totale
moment kan ook gebruik worden gemaakt van een
geometrisch niet-lineaire berekening waarbij wordt
uitgegaan van de nominale stijfheid van de stabiliserende elementen.
EI ≈ 0,4 Ecd Ic, waarbij Ecd en Ic zijn gedefinieerd
zoals eerder beschreven;
L is de totale hoogte van het gebouw boven het
niveau van de inklemming;
ns is het aantal verdiepingen;
k is de rotatiestijfheid van de gedeeltelijke inklemming. n
Literatuur
Benadering van de kniklast
In bijlage H van NEN-EN 1992-1-1 is een benaderingsmethode voor de knikbelasting beschreven. Voor
situaties waarbij de dwarskrachtvervorming mag
worden verwaarloosd, mag voor de knikbelasting
worden aangenomen:
EI
FV,BB = ξ ​ ___ ​ 
​L2​ ​
waarin:
ξ is een coëfficiënt die afhangt van het aantal verdiepingen; in de situatie dat de kern een constante stijfheid heeft en de verticale belasting
gelijkmatig over het aantal bouwlagen aangrijpt,
mag worden aangenomen:
1
​ns​​
 ​​  ________
ξ = 7,8 ​ _____
  
   
 ​;
​ns​​+ 1 1 + 0,7 k
60
1. NEN-EN 1992-1-1, 2007, Eurocode 2: Ontwerp en
berekening van betoncontructies – Deel 1-1:
Algemene regels en regels voor gebouwen.
2. NEN-EN 1990, 2007, Eurocode 0 – Grondslag van
het constructief ontwerp.
3. PAO cursus Eurocode 0 + 1: Grondslagen en
belastingen, 2006.
4. Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies
met Eurocode 2 (5): Kolommen, Cement 2008 nr 1.
5. Compendium Eurocode 2. Cement en Beton 6,
2008.
6. NEN 6720, 1995, TGB 1990 – Voorschriften beton –
Constructieve eisen en rekenmethoden (VBC 1995).
7. Dicke, D., Stabiliteit voor ontwerpers, Delftse Uitgeversmaatschappij, 1991.
Symbolen
Symbolen
symbool
omschrijving
1/r0
referentiekromming
grootte
εyd / 0,45 d
1/r
kromming
Kr Kϕ (1/r0)
a
nominale wapeningsafstand bij brandwerendheid;
afstand van rand kolom tot beschouwde toetsingsperimeter (kolomvoeten)
A
factor voor bepalen limietwaarde slankheid
1 / (1 + 0,2 ϕef)
Ac
oppervlakte van de betondoorsnede
bh
As
oppervlakte van de doorsnede van betonstaal
As2
oppervlakte van de doorsnede van betonstaal in de drukzone
As,prov
oppervlakte van de doorsnede van het aanwezige (‘provided’) betonstaal
As,req
oppervlakte van de doorsnede van het vereiste (‘required’) betonstaal
b
plaat- of liggerbreedte
beff
meewerkende flensbreedte
bt
gemiddelde breedte van de trekzone
bmin
minimumbreedte van een ligger of rib/lijf
bw
breedte van het lijf van een rib;
kleinste breedte van de doorsnede in de getrokken zone
B
cmin
factor voor bepalen limietwaarde slankheid
minimumbetondekking (voor vereisten met betrekking tot aanhechting, cmin,b of duurzaamheid,
cmin,dur )
cnom
nominale betondekking
Δcdev
toeslag op de betondekking voor uitvoeringstolerantie
C
factor afhankelijk van het krommingsverloop;
10 (bij constante doorsnede)
factor voor bepalen limietwaarde slankheid
1,7 - rm
d
nuttige hoogte
deff
gemiddelde nuttige hoogte
d2
nuttige hoogte ten opzichte van het betonstaal in de drukzone (afstand van hart drukwapening tot
(dy + dz) / 2
de meest gedrukte rand van de doorsnede)
D
nuttige hoogte
e2
tweede-orde uitbuiging
ei
excentricitieit ten gevolge van geometrische imperfecties
Ec
tangent-elasticiteitsmodulus van beton
Ecm
secans-elasticiteitsmodulus van beton (tussen σc = 0 en σc = 0,4 fcm)
Ec28
28-daagse tangent-elasticiteitsmodulus van beton
Ec,LT
langeduur-elasticiteitsmodulus van beton (LongTerm, incl. invloed kruip)
Eeff
langeduur-elasticiteitsmodulus van beton
Es
elasticiteitsmodulus van betonstaal
200 x 103 N/mm2
fcd
rekenwaarde van de betondruksterkte
αcc fck / γc
fck
karakteristieke cilinderdruksterkte van beton
fck,cube
karakteristieke kubusdruksterkte van beton
fctm
gemiddelde axiale betontreksterkte
0,30 fck2/3 voor fck ≤ C50/60
fctm,fl
gemiddelde buigtreksterkte beton
(1,6 - h/100) fctm
ft
treksterkte van betonstaal
ftk
karakteristieke treksterkte van betonstaal
fyd
rekenwaarde van de treksterkte van betonstaal
fyk
karakteristieke vloeigrens van betonstaal
fywd
rekenwaarde van de vloeigrens van dwarskrachtwapening
fywd,ef
effectieve rekenwaarde van de vloeigrens van dwarskrachtwapening
FV,Ed
rekenwaarde van de totale belasting op een raamwerk
F1
factor om doorsneden met flens in rekening te brengen (doorbuiging)
F2
factor om, bij grote overspanningen, rekening te houden met scheidingswanden gevoelig voor
(1/r) l02 / c
1,05 Ecm
(NEN-EN 1992-1-1, tabel 3.1)
(NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.8)
toename van de doorbuiging (doorbuiging)
­
61
Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2
symbool
omschrijving
F3
factor om de spanning in de trekwapening in het gebruiksstadium in rekening te brengen
grootte
­(doorbuiging)
Gk
karakteristieke waarde van een blijvende belasting
h
totale hoogte van een doorsnede
hf
flensdikte
hs
(vloer)plaatdikte plus de dikte van elke niet-brandbare vloerafwerking
h0
fictieve dikte betondoorsnede
kh
coëfficiënt die afhangt van de fictieve dikte van de betondoorsnede (h0)
K
factor om verschillende constructieve systemen in rekening te brengen
Kr
correctiefactor afhankelijk van de normaalkracht
Kϕ
factor voor het in rekening brengen van kruip
l
vrije lengte van het gedrukte element tussen de eindaansluitingen
leff
theoretische overspanning van een constructie-element
l0
afstand tussen twee momentennulpunten effectieve lengte (van kolom)
l/d
verhouding overspanning-hoogte
zie NEN-EN 1992-1-1,
tabel 7.4N en NB
zie NEN-EN 1992-1-1,
art. 5.3.2.2 (1)
l x, l y
overspanning van een in twee richtingen dragende plaat (ly > lx)
M
buigend moment;
moment uit een eerste-orde berekening
M01,M02
eerste-orde eindmomenten in UGT (exclusief de invloed van geometrische imperfecties)
M2
nominaal tweede-orde buigend moment in slanke kolom
NEd e2
M0e
equivalent eerste-orde buigend moment (ongeveer halverwege de kolomhoogte)
0,6 M02 + 0,4 M01≥ 0,4 M02
Mcr
scheurmoment doorsnede
MEd
rekenwaarde van het optredende buigend moment
M0Ed
eerste-orde buigend moment in UGT bij fundamentele belastingscombinatie (excl. imperfecties)
M0Eqp
eerste-orde buigend moment in BGT bij quasi-blijvende belastingscombinatie
n
relatieve normaalkracht
nbal
grootte van n voor de maximum momentweerstand
0,4
nu
factor voor het in rekening brengen van de invloed van kolomwapening
1+ω
NEd
rekenwaarde van de normaalkracht
Qk
karakteristieke waarde van een veranderlijke belasting
Qk,w
karakteristieke waarde van de veranderlijke windbelasting
rm
momentverhouding
1/rcs
kromming door krimp beton
1/rfl
kromming door buiging
1/rt
totale kromming
sr
radiale afstand tussen perimeters van dwarskrachtwapening
st
tangentiële afstand tussen dwarskrachtwapening over een perimeter van dwarskrachtwapening
u
omtrek van het deel van de betondoorsnede blootgesteld aan uitdroging;
|M02| ≥ |M01|
NEd / Acfcd
M01 / M02
lengte van toetsingsperimeter (pons)
62
uout
lengte van toetsingsperimeter waar geen ponswapening meer vereist is
u0
perimeter direct naast een kolom (pons)
u1
eerste toetsingsperimeter (gelegen op een afstand 2 d van het belaste gebied) (pons)
vEd
rekenwaarde van dwarskrachtschuifspanning
vRd
rekenwaarde van ponsweerstandschuifspanning
vRd,c
rekenwaarde van ponsweerstandschuifspanning bij afwezigheid ponswapening
vRd,max
rekenwaarde van de maximum ponsweerstandschuifspanning over de beschouwde snede
VEd
rekenwaarde van dwarskracht of ponskracht
VRd,c
rekenwaarde van ponsweerstand bij afwezigheid van ponswapening
VRd,max
dwarskrachtweerstand van een element begrensd door het verbrijzelen van de drukdiagonalen
x
drukzonehoogte
xmax
limietwaarde voor de drukzonehoogte
xu
hoogte van de betondrukzone in UGT
0,8 (δ – 0.44) d met δ ≤ 1,0
Symbolen
symbool
omschrijving
z
inwendige hefboomsarm
α
effectieve modulusverhouding staal/beton
αcc
coëfficiënt voor het in rekening brengen van langetermijninvloeden op de druksterkte en van
1,0 (NEN-EN 1992-1-1,
­ongunstige effecten veroorzaakt door de manier waarop de belasting is aangebracht
art. 3.1.6 (1)P en NB)
αh
reductiefactor imperfectie
αm
reductiefactor imperfectie
β
factor met betrekking tot invloed kruip bij tweede-orde berekening kolom volgens methode
grootte
0,35 + fck / 200 - λ / 150
­nominale kromming;
factor ter bepaling schuifspanning bij pons
δ
verhouding tussen het buigend moment na herverdeling en het buigend moment uit een elastische
berekening;
doorbuiging
εca
autogene krimpverkorting beton
εcd
uitdrogingskrimpverkorting beton
εc3
grenswaarde van de betonstuik bij centrisch belast beton of de betonstuik bij het bereiken van de
piekspanning bij gebruik van de bi-lineaire spanning-rekrelatie
εct
scheurrek beton;
rek van op trek belast beton
εcu
grenswaarde van de betonstuik
εcu3
grenswaarde van de betonstuik bij niet geheel centrisch belast beton bij gebruik van de bi-lineaire
spanning-rekrelatie
εuk
karakteristieke betonstaalrek bij maximale kracht
εyd
rekenwaarde van de vloeigrens van betonstaal
fyd / Es
γm
partiële factor voor materiaaleigenschappen
1,15 voor betonstaal (γs)
1,5 voor beton (γc)
(NEN-EN 1992-1-1,
art. 2.4.2.4 (1) en NB)
γG
partiële factor voor blijvende belasting
γQ
partiële factor voor veranderlijke belasting
λ
slankheid
λlim
limietwaarde slankheid
µfi
belastingsniveau tijdens brandbelasting
NEd,fi / NRd
ϕef
effectieve kruipcoëfficiënt
ϕ (∞, t0) MEqp / MEd
φ(t, t0)
kruipcoëfficiënt, weergevend de kruip tussen twee tijdstippen t en t0, gerelateerd aan de elastische
l0 / i
vervorming na 28 dagen
ϕ (∞, t0)
eindwaarde van de kruipcoëfficiënt uit art. 3.1.4
ω
mechanische wapeningsverhouding
θ0
scheefstand door geometrische imperfectie
θi
hellingshoek gebruikt voor het weergeven van imperfecties
ρ0
referentie-wapeningsverhouding
10-3 √fck
ρ
in de trekzone in het veldmidden (of: bovenin een steunpunt bij een overstek) vereiste wapenings-
As / bd
As fyd / Ac fcd
verhouding voor het opnemen van de rekenwaarde van het buigend moment uit de belastingen (en
betrokken op de nuttige hoogte van de doorsnede)
ρ′
in de drukzone in het veldmidden (of: steunpunt bij een overstek) vereiste wapeningsverhouding
As2 / bd
voor het opnemen van de rekenwaarde van het buigend moment uit de belastingen
ρ1
in de trekzone in het veldmidden (of: steunpunt bij een overstek) vereiste wapeningsfractie voor het
As / bd
opnemen van de rekenwaarde van het buigend moment uit de belastingen
σsc (σst)
spanning in druk- (trek)wapening
ψ0
factor voor de combinatiewaarde van een veranderlijke belasting
ψ1
factor voor de frequente waarde van een veranderlijke belasting
ψ2
factor voor de quasi-blijvende waarde van een veranderlijke belasting
|x|
absolute waarde van x
max.
het maximum van de waarden van x en y + z
{x, y + z}
63