Turbofan-Strahltriebwerk Foto: © Rolls

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Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 2 – Physik und Umwelt -
Physik und Umwelt – Lerneinheit 2
Wärmelehre in Theorie und Praxis
Turbofan-Strahltriebwerk Foto: © Rolls-Royce
Dieter Bangert
SS 2016
3
Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 2 – Physik und Umwelt Vorwort
6
1
Kalorische Größen..................................................................................................... 7
1.1
Spezifische und molare Wärmekapazität ......................................................................... 7
1.2
1.2.1
1.2.2
Spezifische Wärmekapazitäten des idealen Gases ......................................................... 9
Erwärmung bei konstantem Gasvolumen V ................................................................... 10
Erwärmung bei konstantem Druck p .............................................................................. 10
1.3
Latente Wärmen und Aggregatzustandsänderungen .................................................... 14
1.4
Spezifische und molare Schmelz- und Verdampfungswärme ....................................... 18
1.5
Enthalpie ......................................................................................................................... 20
1.6
Enthalpiezunahme beim Schmelzen und Verdampfen .................................................. 21
1.7
Spezifische Zustandsgrößen .......................................................................................... 22
2
Adiabatische oder isentrope Zustandsänderung ................................................. 24
3
Eigenschaften der Dämpfe und Flüssigkeiten ...................................................... 30
3.1
Verdampfen, Verdunsten und Kondensieren ................................................................. 30
3.2
Dämpfe und Dampfdruck................................................................................................ 30
3.3
Phasenübergänge im p-V-Diagramm ............................................................................. 36
3.4
Phasenübergänge und Phasengleichgewichte .............................................................. 38
3.5
Gasgemische und Luftfeuchtigkeit ................................................................................. 41
4
Anwendungen .......................................................................................................... 49
4.1
Wetterkunde als Physik der Atmosphäre ....................................................................... 49
4.2
Die Troposphäre ............................................................................................................. 50
4.3
Heiztechnik: Heiz- und Brennwert .................................................................................. 53
4.4
Biomasse als nachwachsender Energieträger..……….… …..….……………56
4.5
Wärmekraftmaschinen … . ………...... .. … ….……...….…. . ..………….......58
4.6
Gefriertrocknung und "Trockeneis"-Kühlung………………………………………………60
4
5
Wiederholungstest .................................................................................................. 63
5.1
Testfragen ...................................................................................................................... 63
5.2
Lösungen der Testfragen............................................................................................... 64
6
Zusammenfassung .................................................................................................. 68
7
Übungen .................................................................................................................. 70
7.1
Übungsaufgaben........................................................................................................... 70
7.2
Lösungen der Übungsaufgaben ................................................................................... 70
Anhang
.................................................................................................................................. 70
A1 Griechisches Alphabet .................................................................................................................. 70
A2 Formelzeichen............................................................................................................................... 71
A3 Literaturauswahl ............................................................................................................................ 72
5
Vorwort
Vorwort
Die vorliegende Lerneinheit „Wärmelehre in Theorie und Praxis“
stellt den zweiten Teil einer elementaren Einführung in die Thermodynamik dar. Die Wärmelehre ist ein klassisches Teilgebiet der Physik, das große Bedeutung für die Ingenieurpraxis besitzt. Die Anwendungsgebiete überdecken einen weiten Temperaturbereich von
der Tieftemperaturtechnik über die Kälte- und Klimatechnik bis zur
Heiz- und Wärmetechnik. Weitere Anwendungen finden sich in der
Energietechnik, die sich mit Verfahren zur Energieumwandlung und
Energieübertragung beschäftigt, sowie im Maschinen- und Anlagenbau, bei dem es beispielsweise um die Optimierung der Wirkungsgrade von Wärmekraftmaschinen und Strömungsmaschinen geht.
Diese Lerneinheit beschäftigt sich in erster Linie mit der Kalorik.
Dazu werden in Kapitel 1 kalorische Größen, latente Wärmen und
Aggregatszustandsänderungen beschrieben. Kapitel 2 befasst sich
mit den adiabatischen Zustandsänderungen, die ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung erfolgen. In Kapitel 3 werden die thermodynamischen Eigenschaften von Dämpfen und Flüssigkeiten dargestellt. Dabei spielen Gasgemische und insbesondere die Luftfeuchtigkeit eine wesentliche Rolle. Kapitel 4 gibt dann einen Überblick
über Anwendungen der Kalorik in Natur und Technik. Zur Selbstkontrolle des Gelernten dienen schließlich Testfragen und einige
Übungsaufgaben mit Lösungen.
Die Wärmelehre wird in dieser Lerneinheit im Rahmen einer Einführung in die Physik behandelt. Für Studenten der Ingenieurwissenschaften werden zur Vertiefung der thermodynamischen Grundlagen
sowie zur detaillierten Beschreibung der vielfältigen wärmetechnischen Anwendungen eigenständige Lehrveranstaltungen über Technische Thermodynamik angeboten.
Verbesserungsvorschläge, Fehlermeldungen und sonstige Kommentare oder Hinweise sind erwünscht. Bitte richten Sie diese an folgende E-Mail-Adresse:
[email protected]
Marburg, März 2016
6
Dieter Bangert
1.1 Spezifische und molare Wärmekapazität
1
Kalorische Größen
Kalorische Größen beschreiben den energetischen Zustand eines
Systems. Die experimentelle Erfahrung zeigt: Falls keine Aggregatzustandsänderungen stattfinden, ist mit einer Wärmezufuhr stets auch
eine Temperaturerhöhung verbunden.
1.1
Spezifische und molare Wärmekapazität
Die Wärmemenge ∆Q , die nötig ist, um eine beliebige Substanz der
Masse m um ∆T = 1 K erwärmen, wird Wärmekapazität C genannt.
C=
∆Q
∆T
Die physikalische Einheit der Wärmekapazität ergibt sich zu
[C] = [∆Q] = J .
[∆T] K
Die Wärmekapazität C einer Substanz ist proportional zu ihrer
Masse m:
C = c⋅m
C
wird als spezifische Wärmekapazität bem
zeichnet, denn spezifische Größen sind massenbezogene Größen.
Der Quotient c =
Die spezifische Wärmekapazität gibt diejenige Wärmemenge an, die erforderlich ist, um von einer gegebenen
Substanz eine Masse von m = 1 kg um ∆T = 1 K zu
erwärmen.
c=
∆Q
m ∆T
Für die Einheit der spezifischen Wärmekapazität erhält man:
[c]=
[Q]
J
=
[ m ] [ ∆T ]
kg K
Insgesamt gilt also für die Wärmemenge ∆Q , die nötig ist, um die
Masse m eines Stoffes mit der spezifischen Wärmekapazität c von
T1 auf T2 zu erwärmen:
7
1 Kalorische Größen
∆Q = cm(T2 − T1 ) = cm∆T = C∆T
Die Größe der zugeführten Wärmemenge ∆Q ist am Ausmaß der
durch sie hervorgerufenen Temperaturerhöhung ∆T erkennbar. Diese
Wärme wird daher auch als sensible oder als fühlbare Wärme bezeichnet. Sie ist von der in Abschnitt 1.3 behandelten latenten Wärme oder Umwandlungswärme zu unterscheiden.
Für die spezifische Wärmekapazität c fester Stoffe bei ϑ = 20 °C
erhält man folgende Messwerte (Tab. 1):
Stoff
c/(kJ/(kg K))
Diamant
0,50
Eisen
0,45
Quarzglas
0,73
Gold
0,13
Kupfer
0,38
Polyethylen
2,5
Polystyrol
1,3
Teflon
1,0
Uran
0,12
Tab. 1: Spezifische Wärmekapazitäten von Festkörpern
Die spezifische Wärmekapazität c besitzt folgende Eigenschaften:
-
-
Die spezifische Wärmekapazität c = c(T) hängt im Allgemeinen
von der Temperatur ab. Bei kleinen Temperaturänderungen
( ∆T < 100 K) kann jedoch c als konstant angesehen werden. c
ist nicht für die Schmelz- und Verdampfungstemperatur eines
Stoffes definiert. Bei diesen Temperaturen tritt nämlich ein Phasenübergang auf. Dort wird deshalb die spezifische Schmelzoder Verdampfungswärme angegeben.
Die spezifische Wärmekapazität aller Substanzen verschwindet am absoluten Nullpunkt
lim c = 0 .
T →0
-
C
eines Gemisches
m
von n verschiedenen Stoffen ist gleich der Summe der einzelnen Wärmekapazitäten C i = m i c i , geteilt durch die GeDie spezifische Wärmekapazität c =
samtmasse m:
8
1.2 Spezifische Wärmekapazitäten des idealen Gases
c=
m1c1 + m 2 c 2 + m 3 c 3 + ... + m n c n
m1 + m 2 + m 3 + ... + m n
Unter den festen und flüssigen Körpern besitzt Wasser die höchste
spezifische Wärmekapazität.
Um 1 kg Wasser um 1 K zu erwärmen, sind 4187 J erforderlich.
c H 2 O = c W = 4187
J
kg K
Die große spezifische Wärmekapazität des Wassers ist für das Klima
von besonderer Bedeutung. Die große Wassermenge der Meere mit
ihrer Wärmekapazität C stellt ein riesiges Wärmereservoir dar und
verhindert große Temperaturschwankungen zwischen Tag und Nacht
sowie zwischen den verschiedenen Jahreszeiten.
Mit der Energie von 4187 J, die erforderlich ist um 1 kg Wasser um
1 °C zu erwärmen, kann einerseits 1 kg Wasser um 427 m hoch gehoben werden ( E pot = mgh ) oder andererseits auf eine Geschwin-
m 2
v ). Daraus
2
folgt: Energiesparen ist vor allem beim Heizen und der Warmwassernutzung möglich.
digkeit von 400 km/h beschleunigt werden ( E kin =
Für die molare Wärmekapazität C m einer Substanz mit der Stoffmenge n gilt:
Cm =
C ∆Q
=
n n∆T
[C m ] =
J
.
mol K
1.2
Spezifische Wärmekapazitäten des idealen
Gases
Der Zusammenhang zwischen zugeführter Wärmemenge ∆Q und
Erwärmung ∆T eines Stoffes der Masse m wird gegeben durch:
∆Q = cm∆T
9
Bei Erwärmung eines Gases der Masse m um die Temperaturdifferenz ∆T sind zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich die Erwärmung
bei konstantem Volumen und die Erwärmung bei konstantem Druck.
1.2.1
Erwärmung bei konstantem Gasvolumen V
V = konst.
p
∆Q
Abb. 1: Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
Bei isochorer Erwärmung (V = konst.) steigt gemäß der Zustandsgleichung idealer Gase der Druck p an. Bei konstantem Volumen ist
nämlich der Druck der Temperatur direkt proportional. Es ist:
∆Q = c V m∆T
Oder in differentieller Schreibweise
dQ = c V mdT .
c V ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen.
1.2.2
Erwärmung bei konstantem Druck p
Bei isobarer Erwärmung (p = konst.) eines Gases mit gegebener
Gasmasse m wächst gemäß der Zustandsgleichung idealer Gase das
Volumen V an. Dabei muss ein beweglicher Kolben gegen den äußeren Druck verschoben werden und somit Volumenänderungsarbeit
verrichtet werden. Bei konstantem Druck ist das Volumen der Temperatur direkt proportional.
10
p
p = konst.
∆Q
Abb. 2: Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
Es ist:
∆Q = c p m∆T
Oder in differentieller Schreibweise
dQ = c p m dT.
c p ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck. Für
die spezifischen Wärmekapazitäten c p und c V von Gasen bei
ϑ = 0 °C erhält man die folgenden Messwerte, die in Tab. 2 aufgelistet sind.
Die experimentelle Erfahrung zeigt: Die spezifische Wärmekapazität
bei konstantem Druck c p ist größer als die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen c V .
cp > c V
Wird dem Gas bei konstantem Druck die Wärmemenge ∆Q zugeführt, so führt dies nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu
einer Ausdehnung ( V ∝ T ). Dabei muss das Gas gegen den äußeren
Druck Volumenänderungsarbeit leisten, die von der zugeführten
Wärmeenergie aufgebracht wird. Um eine Gasmasse m bei konstantem Druck p um ∆T zu erwärmen, ist die Wärmemenge ∆Q erforderlich und es gilt:
∆Q = mc p ∆T = mc V ∆T + p∆V
11
c p /(kJ /(kg K ))
Gas
c V /(kJ /(kg K))
Ar
0,523
0,321
CO2
0,837
0,647
O2
0,915
0,656
N2
1,04
0,74
Luft
1,005
0,715
Ne
1,03
0,628
CH 4
2,22
1,70
He
5,23
3,21
H2
14,3
10,2
Tab. 2: Spezifische Wärmekapazitäten von Gasen
Ausgehend von der Zustandsgleichung idealer Gase kann eine Beziehung zwischen c V und c p abgeleitet werden:
pV =
m
RT
M
Differenzieren der Zustandsgleichung nach der Temperatur T liefert
unter Anwendung der Produktregel der Differentiation:
d
d m
(pV ) =
( RT )
dT
dT M
dp
dV m
V +p
= R
dT
dT M
Vdp + pdV =
m
RdT
M
Für eine isobare Zustandsänderung ist p = konst. und damit dp = 0.
Damit folgt:
pdV =
m
RdT
M
Ferner gilt für isobare Zustandsänderung:
dQ = c p mdT
12
Mithilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik
dU = dQ + dW = dQ − pdV
oder
dQ = dU + pdV
erhält man für isochore Zustandsänderungen, bei denen das Volumen V konstant bleibt:
V = konst.
und
dV = 0
dQ = dU = c V mdT
Aus dem 1. Hauptsatz dQ = dU + pdV folgt durch Einsetzen:
c p mdT = c V mdT +
m
RdT
M
oder
cp − c V =
R
M
Dies ist die Mayersche Gleichung, benannt nach Julius Robert Mayer (1814 – 1878), der das Prinzip der Äquivalenz von Arbeit und
Wärme erkannte und damit die Gültigkeit des Energieerhaltungssatz
auch für das Gebiet der Wärmelehre begründete. Die isobare Wärmekapazität ist größer als die isochore Wärmekapazität. Denn bei
einer isobaren Temperaturerhöhung nimmt nicht nur die innere
Energie zu, sondern es wird dabei gleichzeitig Arbeit an den zurückweichenden Kolben abgegeben. Aus der Mayerschen Gleichung
folgt durch Multiplikation mit der molaren Masse M des Gases:
C m,p − C m,V = R
Die Differenz aus der molaren Wärmekapazität C m ,p bei konstantem
Druck und der molaren Wärmekapazität C m,V bei konstantem Volumen ist für alle Gase gleich der universellen Gaskonstante R.
Hierbei gilt:
Cm =
C C C
=
= ⋅M = c ⋅M
n m m
M
13
Die molare Wärmekapazität ist die Wärmekapazität eines Stoffes mit
der Stoffmenge n = 1 mol. Sie wird in der Fachliteratur gelegentlich
auch als Molwärme bezeichnet. Da die Volumenänderung von festen
und flüssigen Körpern bei Erwärmung im Gegensatz zu den Gasen
äußerst gering ist, kann sie vernachlässigt werden. Für die spezifische Wärmekapazität von festen und flüssigen Körpern gilt daher:
c = cp = cV
Bei adiabatischen Prozessen mit Gasen als Arbeitsmedium wird häufig der Adiabatenkoeffizient oder Isentropenkoeffizient κ gebraucht. Es handelt sich dabei um eine dimensionslose Größe, die als
Quotient der beiden spezifischen Wärmekapazitäten eines Gases
definiert ist.
κ=
cp
cV
=
C m,p
C m,V
[κ] = 1
Für das ideale Gas gilt: κ = 1 +
2
f
f ist dabei die Zahl der Freiheitsgrade. Damit erhält man:
κ=
5
, für einatomige ideale Gase (He, Ne, Ar) ist f = 3 und
3
κ=
7
, für zweiatomige ideale Gase ( H2 , N2 , O 2 ) ist f = 5.
5
Bei mehratomigen Molekülen, bei denen nicht alle Atome auf einer
Achse liegen, sind Rotationen um drei unabhängige Achsen möglich.
Sie besitzen daher f = 6 Freiheitsgrade und für den Adiabatenkoeffi2 4
zient folgt dann κ = 1 + = .
6 3
1.3
Latente Wärmen und
Aggregatzustandsänderungen
Makroskopische Stoffe treten in den drei Erscheinungsformen fest,
flüssig und gasförmig auf. Diese Zustandsformen werden als Aggregatzustände der Materie oder auch als Phasen bezeichnet. Erfährt ein Stoff durch Zu- oder Abfuhr von Wärmeenergie eine innere
Strukturumwandlung, dann bleibt während des ganzen Umwandlungsprozesses die Temperatur konstant. Die Wärmemengen, die
dabei vom Stoff aufgenommen bzw. freigesetzt werden, heißen la-
14
1.3 Latente Wärmen und Aggregatzustandsänderungen
tent oder verborgen, da sie keine Temperaturänderungen verursachen. Latente Wärmen stellen Umwandlungswärmen dar, die mit
Änderungen des Aggregatzustandes eines Stoffes verbunden sind.
Umwandlungsart
Latente Wärme (Umwandlungswärme)
fest → fest
Umkristallisationswärme
fest → flüssig
Schmelzwärme Lf
flüssig → fest
Erstarrungswärme L f
flüssig → gasförmig
Verdampfungswärme L d
gasförmig → flüssig
Kondensationswärme L d
fest → gasförmig
Sublimationswärme L s
gasförmig → fest
Desublimationswärme L s
Tab. 3: Umwandlungsart und Umwandlungswärme
Je nach Temperatur des zu untersuchenden Stoffes ist eine Zufuhr
oder Abfuhr einer Wärmemenge ∆Q erforderlich, um einen Pha-
senübergang zu bewirken. Dabei wird folgende experimentelle Beobachtung gemacht:
Während eines Phasenübergangs (Schmelzen, Sieden,
Umkristallisieren, Sublimieren) bleibt die Temperatur
konstant.
Wird einem chemisch reinen Festkörper mit T < TS Wärme zugeführt, so beginnt bei TS der Schmelzvorgang. Bis zum vollständigen
Schmelzen muss die Schmelzwärme L f zugeführt werden. Wird die
Schmelze desselben Stoffes mit T > TS durch Wärmeabfuhr wieder
abgekühlt, so beginnt bei der Temperatur TS der Erstarrungsvorgang. Dabei wird die Erstarrungswärme L f freigesetzt. Dabei gilt:
Schmelz- und Erstarrungstemperatur sind gleich groß und Schmelzund Erstarrungswärme sind betragsmäßig identisch.
15
T
KB fd
TV
TS
0
KBsf
d
f
s
L
f
Ld
Q
Abb. 3: Phasenübergänge in schematischer Darstellung
Die einem festen Körper (Symbol s: solid) zugeführte Wärmeenergie führt nach Maßgabe seiner spezifischen Wärmekapazität solange
zu einer Temperatursteigerung, bis die Schmelztemperatur TS erreicht ist. Die bei der Schmelztemperatur TS zugeführte Energie
führt zu keiner weiteren Temperaturerhöhung. Sie stellt eine latente
Wärme dar, nämlich die Schmelzwärme L f , die erforderlich ist, um
gegen die anziehenden Bindungskräfte Arbeit zu verrichten und beim
Schmelzvorgang die Kristallstruktur aufzubrechen. Im Koexistenzbereich KB sf stehen feste und flüssige Phase im thermischen Gleichgewicht. Nach Abschluss des Schmelzvorganges liegt der Stoff im
flüssigen Zustand (Symbol f) vor. Durch Wärmezufuhr wächst seine
Temperatur bis zur Siedetemperatur TV an. Im Koexistenzbereich
KB fd stehen dann flüssige und dampfförmige Phase im Gleichgewicht, die Temperatur bleibt trotz Wärmezufuhr (Verdampfungswärme L d ) konstant ( T = TV ), um die bei der Verdampfung zu
verrichtende Arbeit zur Vergrößerung der Abstände zwischen den
Molekülen aufzubringen. Der vollständig verdampfte Stoff kann im
Dampfzustand (Symbol d) durch Wärmezufuhr weiter erhitzt werden. Die Wärme, die bei einer Phasenumwandlung, d.h. bei einer
Änderung des Aggregatzustandes verbraucht oder freigesetzt wird,
wird Umwandlungswärme oder latente Wärme genannt und mit
dem Formelzeichen L gekennzeichnet. Sind m die Masse und n die
Stoffmenge des Körpers, dann folgt für die spezifische Umwandlungswärme l bzw. für die molare Umwandlungswärme L m :
l=
L
m
und
Lm =
L
.
n
Die Umwandlungswärmen besitzen die Einheiten:
16
1.3 Latente Wärmen und Aggregatzustandsänderungen
[l ] = J / kg ,
[ L m ] = J / mol .
Kondensieren
Sublimieren
gasförmig
Schmelzen
Erstarren
fest
flüssig
Verdampfen
Desublimieren
gasförmig
Abb. 4: Aggregatzustände und Phasenübergänge eines Stoffes
Unter Sublimation versteht man den direkten Übergang eines Stoffes aus dem festen in den dampfförmigen Zustand, ohne dass die
flüssige Zwischenphase durchlaufen wird. Die Umwandlungswärme
beim Phasenübergang fest → gasförmig bzw. gasförmig → fest
wird als Sublimationswärme L s bezeichnet. Sie stellt eine latente
Wärme dar. Analog gilt für die spezifische Sublimationswärme l s
ls =
Ls
m
und
[l s ] = J / kg .
Die Sublimation erfolgt wie das Schmelzen bei konstanter Temperatur unter Wärmeaufnahme aus der Umgebung. Um diese vom sublimierenden Stoff aufgenommene Sublimationswärme kühlt sich die
Umgebung ab. Der Sublimationsvorgang kann daher zu Kühlzwecken eingesetzt werden (siehe auch Kap. 3.5).
17
1.4
Spezifische und molare Schmelz- und
Verdampfungswärme
Wird durch Zufuhr der Wärmemenge Lf bei der Schmelztemperatur
TS die Masse m eines Stoffes zum Schmelzen gebracht, so heißt das
Verhältnis
lf =
Lf
m
spezifische Schmelzwärme des Stoffes. Die Schmelzwärme wird
auch Schmelzenthalpie genannt und mit ∆H f bezeichnet. In der
Technischen Thermodynamik wird die spezifische Schmelzwärme
mit verschiedenen Formelzeichen dargestellt und häufig DIN-gemäß
mit q, s oder ∆h f bezeichnet. Geht durch Zufuhr der Wärmemenge
L d bei der Verdampfungstemperatur (Siedetemperatur) TV die
Masse m eines Stoffes vom festen oder flüssigen Zustand in den
Dampfzustand über, so heißt das Verhältnis
ld =
Ld
m
spezifische Verdampfungswärme. Die Verdampfungswärme wird
auch Verdampfungsenthalpie genannt und mit ∆H d bezeichnet. In
der Technischen Thermodynamik wird die spezifische Verdampfungswärme mit verschiedenen Formelzeichen dargestellt und häufig
DIN-gemäß mit r oder ∆h d bezeichnet. Die Symbole L bzw. l im
Formelzeichen für die Schmelz- bzw. Verdampfungswärme deuten
an, dass es sich um latente Wärmen handelt.
Allgemein gilt für einen Körper mit der Masse m und der Stoffmenge n dem eine Wärmemenge Q zugeführt wird: Spezifische WärQ
men q =
sind massenbezogene Größen und molare Wärmen
m
Q
Qm =
sind stoffmengenbezogene Größen. Tabelle 4 liefert einen
n
Überblick über die bei der jeweiligen Schmelztemperatur ϑS bzw.
Verdampfungstemperatur (Siedetemperatur) ϑ V gemessenen spezifischen Schmelz- und Verdampfungswärmen einiger chemisch reiner
Stoffe bei Normdruck der Atmosphäre von p n = 1013,25 hPa .
18
1.4 Spezifische und molare Schmelz- und Verdampfungswärme
ϑS / °C
ϑ V / °C
lf /(kJ / kg)
ld /(kJ / kg)
Aluminium (Al)
660
2450
400
10800
Blei (Pb)
327
1740
23
860
Eisen (Fe)
1535
2740
270
6300
Gold (Au)
1063
2800
66
1650
Kupfer (Cu)
1083
2570
205
4800
Quecksilber (Hg)
- 39
357
12
290
Titan (Ti)
1660
3290
324
8960
Wasser/Eis
( H2O )
0
100
334
2257
Wolfram (W)
3410
5660
190
4350
Zink (Zn)
420
907
112
1760
Zinn (Sn)
232
2270
60
2490
Stoff
Tab. 4: Spezifische Schmelz- und Verdampfungsenergien
Bei den in Tabelle 4 aufgeführten Größen handelt es sich um gerundete Zahlenwerte. Unterschiedliche Quellen geben für ein und dieselbe Messgröße voneinander abweichende Messergebnisse an. Als
mögliche Fehlerquelle kommt u. a. eine unterschiedliche Reinheit
der untersuchten Stoffe in Frage.
Beziehen sich die Umwandlungswärmen auf die umgewandelten
Stoffmengen n statt auf die umgewandelten Massen m, so erhält man
die molaren Umwandlungswärmen:
L mf =
L md =
Lf
n
Ld
n
Beispiel:
Für die spezifischen Umwandlungswärmen von Wasser/Eis erhält man folgende Messwerte:
l f = 334 kJ / kg
bei ϑS = 0 °C
l d = 2257 kJ / kg
bei ϑ V = 100 °C
l s = 2835 kJ / kg
bei ϑS = 0 °C
19
Für das Verdampfen von 1 kg Wasser wird somit etwa 7 mal mehr
Energie benötigt als für das Schmelzen von 1 kg Eis. Die spezifische
Sublimationswärme l s = l f + l d ergibt sich als Summe aus spezifischer Schmelz- und Verdampfungswärme bei ϑS = 0 °C . Während
die Verdampfungswärme von Wasser mit wachsender Temperatur
kleiner wird (Kap. 3.2), hängen Schmelzwärme und Sublimationswärme des Eises nur unwesentlich von der Temperatur ab.
1.5
Enthalpie
In technischen Prozessen wird oft die Energie eines unter Druck
stehenden Gases hoher Temperatur in einer Wärmekraftmaschine in
Arbeit umgesetzt. Erfahrungsgemäß ist dabei neben der Temperatur
auch der Druck des Gases für die Umwandlung in Arbeit von Bedeutung. Die druckunabhängige innere Energie U ist daher für die Beurteilung der "Arbeitsfähigkeit" eines solchen Gases nicht hinreichend.
Diese Überlegungen führten 1876 Josiah Willard Gibbs (1830 –
1903) zur Definition einer weiteren kalorischen Zustandsgröße, die
seit 1909 nach Heike Kamerlingh Onnes (1853 – 1926), dem Entdecker der Supraleitung als Enthalpie H bezeichnet wird. Die innere
Energie U dient der Beschreibung von Systemen und deren Veränderung bei konstantem Volumen V ( isochore Zustandsänderung). Zur
Beschreibung von Systemen und deren Veränderungen unter konstantem Druck p (isobare Zustandsänderung) wird die abgeleitete
Zustandsgröße Enthalpie H eingeführt.
H = U + pV
[H]=J
Bei einem Gas ist die Enthalpie H = f(T, p) als die Summe aus innerer Energie U und der Energie pV infolge eines von außen aufgeprägten Druckes gegeben.
Differentiation nach der Temperatur T liefert:
dH dU
d
dU
dV
dp
=
+
(p V) =
+p
+V
dT dT dT
dT
dT
dT
oder
dH =dU + pdV + Vdp.
Mit Hilfe des 1. Hauptsatzes dQ = dU + pdV folgt:
dH = dQ + Vdp
20
1.6 Enthalpiezunahme beim Schmelzen und Verdampfen
oder
dQ = dH – Vdp.
Für konstanten Druck p gilt:
dp = 0
dQ = dH
oder
Q=H
Die Enthalpie ist die Wärmemenge, die bei konstantem
Druck zugeführt wird. Oder: Bei isobaren Prozessen ist
die Enthalpiezunahme gleich der zugeführten Wärmemenge.
Die physikalische Größe Enthalpie wird dort verwendet, wo Prozesse
bei konstantem Druck ablaufen. Bei einer Stoffumwandlung oder
Bildung einer chemischen Verbindung ist die Enthalpie der Endprodukte H E , im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Enthalpien
der Ausgangsstoffe H A . Die Differenz ∆H = H E − H A nennt man
Wärmetönung der chemischen Reaktion bzw. der Stoffumwandlung.
Ist ∆H > 0 , so erfolgt der Prozess unter Wärmeaufnahme (endothermer Prozess), wie beispielsweise das Verdampfen von Wasser.
Hierbei muss dem System von außen Energie zugeführt werden. Ist
∆H < 0 , so wird bei dem Prozess Wärme frei (exothermer Prozess),
wie beispielsweise beim Verbrennen von Kohlenstoff.
1.6
Enthalpiezunahme beim Schmelzen und
Verdampfen
Die spezifischen Verdampfungswärmen der Stoffe sind stets wesentlich größer als die spezifischen Schmelzwärmen. Beim Schmelzen
wird wie beim Verdampfen eine Abtrennarbeit verrichtet und beide
Vorgänge laufen im Allgemeinen bei konstantem Druck ab. Während beim Schmelzen durch die zugeführte Schmelzwärme Atome
gegen die Bindungskräfte des festen Körpers verschoben werden,
geschieht dies beim Verdampfen gegen die kleineren Bindungskräfte
der Flüssigkeit durch Zufuhr der Verdampfungswärme. Sowohl beim
Schmelzen als auch beim Verdampfen wird dabei die Bewegungsenergie der Moleküle vergrößert. Diese Zunahme der Bewegungsenergie der Moleküle führt zu einer Zunahme der inneren Energie U.
Da die Verdampfung bei konstanter Siedetemperatur erfolgt, gilt für
identische Massen ( m d = m f ) von dampfförmiger ( m d ) bzw. flüssiger Phase ( m f ) einer gegebenen Substanz:
21
Der Dampf eines Stoffes besitzt eine größere innere
Energie als die Flüssigkeit bei gleicher Temperatur.
Beim Übergang vom flüssigen zum dampfförmigen Zustand vergrößert sich das Dampfraumvolumen gegenüber dem Volumen der Flüssigkeit. Der entstehende Dampf leistet dabei Volumenänderungsarbeit gegen den äußeren Druck. Die zum Verdampfen erforderliche
zugeführte Wärmemenge ∆Q setzt sich aus der Erhöhung der inneren Energie ∆U und der vom Dampf verrichteten Volumenänderungsarbeit ∆W zusammen.
Beim Verdampfen einer Flüssigkeit, die immer bei der Verdampfungs- oder Siedetemperatur erfolgt, erhöht sich der Wärmeinhalt um
die Verdampfungswärme ∆Q und es gilt:
∆Q = ∆H = ∆U + ∆W
Die Verdampfungswärme wird auch als Verdampfungsenthalpie
bezeichnet. Der deutsche Ingenieur Richard Mollier (1863 – 1935)
erstellte Zustandsdiagramme für Dämpfe, die auch als MollierDiagramme bezeichnet werden.
Für jeden dampfartigen Stoff existiert eine Temperatur, oberhalb der
eine Verflüssigung auch mit größten Drücken nicht mehr möglich ist.
Diese Temperatur wird als kritische Temperatur und der zugehörige Druck als kritischer Druck bezeichnet.
Beispiel: Wasser ( ϑ k = 374,25 °C; p k = 221,2 bar)
1.7
Spezifische Zustandsgrößen
Grundsätzlich unterscheidet man zwischen intensiven und extensiven
Größen. Intensive Zustandsgrößen behalten bei der Teilung eines
thermodynamischen Systems, unabhängig von der Masse, ihren
Wert. Sie sind daher masse-unabhängig. Extensive Zustandsgrößen
ändern ihren Wert bei der Teilung des Systems proportional zur
Masse. Extensive Zustandsgrößen eines Systems lassen sich additiv
aus den entsprechenden Zustandsgrößen der Teilsysteme zusammensetzen. Um die Abhängigkeit der extensiven Zustandsgrößen von der
oft zufälligen Masse eines Systems auszuschließen, können diese
Größen auf die Systemmasse m bezogen werden. Damit erhält man
die so genannten spezifischen Zustandsgrößen. Sie werden mit
Kleinbuchstaben charakterisiert.
Spezifisches Volumen υ =
22
V
mit der Einheit [υ] = m 3 / kg ,
m
1.7 Spezifische Zustandsgrößen
spezifische innere Energie u =
spezifische Enthalpie h =
U
mit der Einheit [u] = J/kg,
m
H
mit der Einheit [h] = J/kg.
m
Die spezifische innere Energie u = u (T, υ) ist als kalorische Zustandsgleichung mathematisch mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung υ = υ(T, p) darstellbar, so dass man die spezifische Enthalpie h = u + pυ auch als Funktion der Zustandsvariablen T und p
auffassen kann. Man erhält dann h = h (T, p) als eine weitere kalorische Zustandsgleichung.
23
2 Adiabatische oder isentrope Zustandsänderung
2
Adiabatische oder isentrope Zustandsänderung
Ein thermodynamischer Prozess heißt adiabatisch oder isentropisch, wenn er ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung verläuft:
∆Q = 0
Dazu muss das System ideal wärmeisoliert sein, oder der Vorgang
muss sehr schnell verlaufen, damit die gesamte Wärmeenergie Q sich
nicht ändern kann und somit konstant bleibt.
Es gilt:
Q = konst. oder ∆Q = 0 .
Nach dem 1. Hauptsatz gilt bei adiabatischer Zustandsänderung:
∆U = ∆W = − p∆V oder pdV = −dU .
Bei isentroper Zustandsänderung eines idealen Gases wird die mechanische Volumenänderungsarbeit ausschließlich auf Kosten der
inneren Energie verrichtet.
∆Q=0
2
1
V1
p1
V2
T1
T2
2
T1 > T2
Abb. 5: Isentrope Zustandsänderung in einem wärmeisolierten Zylinder
Im Folgenden sollen die Adiabatengleichungen abgeleitet werden,
die auch als Poisson-Gleichungen bekannt sind. Sie beschreiben die
wechselseitigen Abhängigkeiten der Zustandsgrößen p, V und T bei
adiabatischen Zustandsänderungen. Aus pdV = −dU folgt mit
p=
m
24
m RT
M V
und
R dV
T
= −c V mdT .
M V
dU = c V mdT :
Mit der Mayerschen Gleichung
R
= cp − cV
M
folgt:
dV
dT
= -cv
.
V
T
(cp - cv)
Nach Integration erhält man:
V2
T
2
dV
dT
= − cV ∫
T
V
V
T
(c p − c V ) ∫
1
1
(c p − c V )(ln V2 − ln V1 ) = −c V (ln T2 − ln T1 )
oder
(c p − c V ) ln
cp − cV
cV
ln
V2
= −c V ln
V1
V2
V1
= ln
T2
T1
= c V ln
T1
T2
T1
T2
und schließlich:
(
V2
V1
cp −cV
)
cV
=
T1
T2
.
Mit Hilfe des Adiabaten- oder Isentropenexponenten κ =
cp
cV
ergibt sich die Volumen-Temperaturbeziehung bei adiabatischer
(isentroper) Zustandsänderung:
T1
T2
=(
V2
V1
) κ −1
Wegen T1V1κ −1 = T2 V2κ −1 folgt
TV κ−1 = konst.
Unter Verwendung der Zustandsgleichung idealer Gase (pV = nRT)
erhält man:
25
p 1 V1 =
m
RT1
M
p 2 V2 =
m
RT2
M
p1V1
p 2 V2
T1
=
T2
.
Wird das Volumenverhältnis
V2
V1
=
V2
V1
durch
p1T2
p 2 T1
ersetzt, dann folgt aus der Volumen-Temperatur-Beziehung bei adiabatischer Zustandsänderung:
T1
T2
=(
p1
p2
) κ −1 (
T2
T1
) κ −1 .
Umformung liefert schließlich:
T1
T2
=(
p1
p2
κ −1
) κ
Allgemein gilt damit:
T κ p1− κ = konst.
Dies ist die Druck-Temperatur-Beziehung bei adiabatischer Zustandsänderung.
Durch Eliminieren der Temperaturen folgt aus
T1
T2
=(
V2
V1
)
κ −1
und
T1
T2
=(
p1
p2
κ −1
) κ
durch Gleichsetzung der rechten Gleichungsseiten und nach Umformung
p1
p2
=(
V2
V1
)κ .
Dies ist die Druck-Volumen-Beziehung bei isentroper Zustandsänderung, für die auch folgende Formulierung üblich ist:
26
p1V1κ = p 2 V2κ
oder
pV κ = konst .
Adiabaten oder Isentropen sind somit Kurven konstanter Wärmeenergie Q, bei denen der Druck p proportional zu 1 / V κ verläuft.
p
Isentrope (dQ=0)
p
1
Isotherme (dT=0)
V1
V2
V
Abb. 6: Adiabatische / isentrope ( κ > 1) und isotherme ( κ = 1) Zustandsänderung
Der Vergleich von isothermer und isentroper Expansion, ausgehend
vom gleichen Druck p1 und gleichem Volumen V1 zeigt: Da κ
immer größer 1 ist, liegt die isentrope Kurve für V > V1 unterhalb
der entsprechenden isothermen Kurve.
Adiabaten verlaufen im p,V-Diagramm steiler als Isothermen.
Für die Ausdehnungsarbeit WV bei isentroper Expansion folgt wegen dQ = 0 und dW V = −pdV :
dW V = dU = c V mdT
T2
W V = ∫ dW V = ∫ c v mdT = c V m(T2 − T1 )
T1
W V = −c V m(T1 − T2 ) .
Bei adiabatischer oder isentroper Expansion ist T1 > T2 ; das Gas
verrichtet bei Expansion Volumenänderungsarbeit und kühlt sich
dabei ab. Innere Energie wird in mechanische Arbeit umgewandelt.
Die verrichtete Arbeit WV ist daher negativ; in Übereinstimmung
27
mit der Konvention, dass die vom System geleistete, d.h. nach außen
abgegebene Arbeit WV , negativ zu zählen ist.
Mit c p − c V =
cV =
cp
R
und
= κ folgt für c V :
M
cv
R
.
M( κ − 1)
Damit folgt für die Volumenausdehnungsarbeit:
WV = −
Ri
R
R
m(T1 − T2 ) =
m(T2 − T1 ) =
m∆T .
M( κ − 1)
M( κ − 1)
( κ − 1)
Bei isentroper (adiabatischer) Expansion wird ein Teil der inneren
Energie des Gases in mechanische Arbeit umgewandelt. Die bei der
Ausdehnung des idealen Gases von V1 auf V2 verrichtete Arbeit
W = W V ist als graue Fläche unterhalb der Adiabaten dargestellt:
p
p
1
V2
W = − ∫ pdV
V1
p
2
V2
V1
V
Abb. 7: Ausdehnungsarbeit bei adiabater oder isentroper Expansion
Bei einem idealen Gas bleibt gemäß dem Poissonschen Gesetz das
Produkt pV κ während einer isentropen Expansion konstant.
pV κ = p1V1κ
oder
p = p1V1κ V − κ
V2
V2
V2
V1
V1
V1
W V = − ∫ pdV = − ∫ p1V1κ V − κ dV = −p1V1κ ∫ V − κ dV
Damit erhält man als weitere Beziehung für die Volumenänderungsarbeit WV bei adiabatischer / isentroper Expansion bzw. Kompression:
WV = −
28
p1V1
V
p V V
[1 − ( 1 ) κ−1 ] oder W V = 1 1 [( 1 ) κ −1 − 1] .
κ −1
V2
κ − 1 V2
Hinweis für Berechnungen:
Die Änderung der inneren Energie dU = c V mdT ist immer proportional zur isochoren Wärmekapazität. Dies gilt auch bei isobaren
und adiabatischen Zustandsänderungen. Denn C V = mc V stellt die
Wärmemenge dar, die vollständig in innere Energie umgewandelt
wird. Wohingegen C p = mc p zusätzlich den Wärmeanteil beinhaltet,
der in mechanische Volumenänderungsarbeit umgewandelt wird und
daher nicht als innere Energie zur Verfügung steht.
Vertiefungshinweis: Polytrope Zustandsänderung
Sowohl die isotherme als auch die adiabate Zustandsänderung stellen
zwei Grenzfälle dar, die streng genommen technisch nicht realisierbar und in der Praxis nur näherungsweise darstellbar sind. So setzt
die isotherme Zustandsänderung ( ∆T = 0 ) einen ungehinderten
Wärmeaustausch mit „unendlich“ großen Wärmereservoirs der Umgebung voraus. Wo hingegen die adiabatische Zustandsänderung
absolut keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung erlaubt
( ∆Q = 0 ). Findet ein teilweiser Wärmeaustausch mit der Umgebung statt, so spricht man von einer polytropen Zustandsänderung.
Die zugehörige Zustandskurve heißt Polytrope und verläuft im p,VDiagramm zwischen der Isothermen und der Adiabaten. An die Stelle des Adiabatenkoeffizienten κ tritt bei polytropen Zustandsänderungen der Polytropenexponent n, mit 1 < n < κ . Für die polytrope
Zustandsänderung gilt dann die Beziehung
pV n = konst.
Der Polytropenexponent n wird dabei durch die technischen Realisierungsbedingungen der Zustandsänderung bestimmt. Für n = 1 ergibt
sich die isotherme und für n = κ die adiabatische Zustandsänderung
jeweils als Spezialfall der polytropen Zustandsänderung..
29
3 Eigenschaften der Dämpfe und Flüssigkeiten
3
Eigenschaften der Dämpfe und Flüssigkeiten
3.1
Verdampfen, Verdunsten und Kondensieren
Der unter isobarer Wärmezufuhr bei der Siedetemperatur TV einsetzende Phasenübergang flüssig → gasförmig wird als Verdampfung bezeichnet. Infolge der Verdampfung bildet sich oberhalb einer
Flüssigkeit ein Dampfraum mit einem Dampfdruck p d aus. Im Falle
von Wasser wird dieser Dampfdruck mit dem Formelzeichen e bezeichnet und es gilt: e = p d .
Die Umkehrung des Verdampfungsvorganges wird Kondensation
genannt. Sie stellt den isotherm bei der Siedetemperatur ablaufenden
Phasenübergang gasförmig → flüssig dar.
Bei der Verdampfung tritt der Phasenübergang in der ganzen Flüssigkeit bei der Siedetemperatur auf, während er bei der Verdunstung
nur an der Flüssigkeitsoberfläche bei Temperaturen unterhalb der
Siedetemperatur TV abläuft.
Unter dem Begriff Dampf versteht man immer die gasförmige Phase eines Stoffes. Dämpfe, die mit ihrer flüssigen Phase, ihrem Kondensat, im Gleichgewicht stehen, heißen gesättigt. Im Gleichgewicht
stehen bedeutet, dass im statistischen Mittel pro Zeiteinheit ebenso
viele Dampfmoleküle auf die Oberfläche des Kondensats auftreffen,
wie sich andere aufgrund ihrer Wärmebewegung daraus befreien und
in den Dampfraum übertreten. Man spricht dann von einem dynamischen Gleichgewicht. Umfangreiche Versuche liefern folgendes
Ergebnis:
Die Verdampfungs- oder Siedetemperatur ist vom äußeren Druck über der Flüssigkeitsoberfläche abhängig.
Dieser Sachverhalt wird durch experimentell ermittelte Dampfdruckkurve p s = f (T ) beschrieben. In diesem Zusammenhang
kommt insbesondere dem Wasserdampf als Arbeitsmedium von
Wärmekraftmaschinen in Form von Strömungsmaschinen herausragende technische Bedeutung zu.
3.2
Dämpfe und Dampfdruck
Der Druck p s des gesättigten Dampfes heißt Dampfdruck oder
auch Siededruck einer Flüssigkeit. Unter dem Sättigungsdampfdruck
p s einer Flüssigkeit versteht man somit den Druck, der sich in ei-
30
3.2 Dämpfe und Dampfdruck
nem abgeschlossenen Volumen über der Flüssigkeit bei gegebener
Temperatur T im Dampfraum einstellt.
Gesättigter Dampf hat den höchsten bei der jeweiligen Temperatur
möglichen Druck.
p
s
5
10 Pa 300
200
p s =f(T)
100
273,16
0,01
400
100
500
200
600
300
T/K
400
ϑ/°C
Abb. 8: Dampfdruckkurve p S = f (T) für Wasser
Der Druck eines gesättigten Dampfes steigt mit wachsender Temperatur. Diese Temperaturabhängigkeit wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben; die auch die Phasengrenzlinie flüssig-gasförmig
definiert und die als Siedepunktskurve gedeutet werden kann. Die
experimentelle Erfahrung zeigt:
Der Druck des gesättigten Dampfes ist im Gegensatz zum idealen
Gas unabhängig vom Volumen des Dampfraumes.
Gesättigter Dampf lässt sich nicht komprimieren.
Beim Versuch, den Druck zu erhöhen, kondensiert ein Teil des
Dampfes. Dämpfe sind somit Gase, die im Kontakt mit ihrer flüssigen Phase stehen und auf die die Zustandsgleichung idealer Gase
nicht angewendet werden kann. So kann z.B. das Volumen des
Dampfraumes verändert werden, ohne dass sich Druck und Temperatur ändern. Je höher die Temperatur einer Flüssigkeit ist, um so
schneller verdampft sie. Dabei kühlt sich die Flüssigkeit ab.
Für jedes Gas existiert eine kritische Temperatur Tk , oberhalb der
das Gas nicht mehr verflüssigt werden kann, auch nicht unter Anwendung extrem hoher Drücke. Für T > Tk sind die molekularen
Bindungskräfte nicht mehr in der Lage, die Moleküle gegen die
thermische Bewegung aneinander zu binden. Eine Flüssigkeit beginnt immer dann zu sieden, wenn ihr mit steigender Temperatur
31
zunehmender Dampfdruck ebenso groß ist, wie der über der Flüssigkeitsoberfläche herrschende äußere Gasdruck.
a)
b)
c)
10 Pa
5
10 Pa
5
10 Pa
∆Q
∆Q
∆Q
Flüssigkeit
5
d)
5
10 Pa
e)
5
10 Pa
∆Q
∆Q
Dampf
Gas
Abb. 9: Verhalten einer Flüssigkeit unter isobarer Wärmezufuhr
a) Erwärmung; b) Siedebeginn; c) Sieden; d) Siedeende;
e) Überhitzung
Beispiel:
In Abb. 10 übt ein beweglicher Kolben (Kolbenfläche A) über
das Gewicht mit der Masse m einen einstellbaren Druck auf den
Dampfraum aus. Beim Erhitzen von Wasser stellt sich im
Dampfraum oberhalb der Flüssigkeit in Abhängigkeit von der
Temperatur T ein Sättigungsdampfdruck p s (T ) ein, der dem äußeren Kolbendruck p = mg/A entspricht. Dieser Druck wird von
den verdampften Wassermolekülen verursacht. Für die kritischen Werte von Wasser gilt:
Tk = 647,4 K (ϑ k = 374,25 °C )
p k = 22,12 MPa = 221,2 bar
Abb. 10: Gleichgewicht zwischen gasförmiger und flüssiger Phase
32
Ist der äußere Druck durch den Luftdruck p L gegeben und gilt:
p S (T ) = p L ,
dann ist
T = TV .
Die Temperatur TV heißt Siedetemperatur oder Verdampfungs-
temperatur. Wegen der durch die barometrische Höhenformel gegebenen Höhenabhängigkeit des Luftdrucks ist die Siedetemperatur
des Wassers ortsabhängig. Die Siedetemperatur ϑ V nimmt mit steigender Höhe h und dadurch abnehmenden Luftdruck p L ab.
h[m]
ϑ V [ °C ]
p s = p L [hPa]
0
100
1013
Kahler Asten
841
97
912
Brocken
1142
96
878
Feldberg
1493
95
840
Mexico City
2200
92
769
Zugspitze
2962
90
699
Mont Blanc
4807
84
555
Mount Everest
8848
71
335
Meereshöhe (NN)
Tab. 5: Siedetemperatur des Wassers in Abhängigkeit von der Höhe
Für praktische Berechnungen der Zustandsgrößen von Wasser und
Wasserdampf werden Dampftafeln benutzt, die beispielsweise vom
International Formulation Commitee (IFC) der Sechsten Internationalen Dampftafelkonferenz 1967 aufgestellt wurden. Die Abhängigkeit der Siedetemperatur des Wassers vom Druck kann aus der
Dampfdruckkurve entnommen werden. Diese Daten sind auszugsweise in der folgenden Tabelle aufgeführt.
ps / bar
0,01
0,1
0,2
0,5
1,0
1,013
ϑ V / °C
6,98
45,84
60,09
81,35
99,63
100,0
ps / bar
2,0
10,0
50,0
100,0
150,0
200,0
ϑ V / °C
120,2
179,9
263,9
310,9
342,1
365,7
Tab. 6: Dampfdruck p s und Siedetemperatur ϑ V von Wasser
33
An der Oberfläche einer Flüssigkeit steht stets die flüssige Phase mit
der gasförmigen Phase (gesättigter Dampf) im Gleichgewicht (Abb.
10). Der Druck p s des gesättigten Dampfes wird durch die Dampfdruckkurve des betreffenden Stoffes bestimmt. Die Temperaturabhängigkeit des Dampfdruckes p s (T ) wird durch die Clausius-
Clapeyronsche Gleichung beschrieben, die hier ohne theoretische
Begründung angegeben werden soll:
dp s
dT
=
m ld
T (VD − VFl )
ld :
spezifische Verdampfungswärme
VD :
Volumen des Dampfes
VFl :
Volumen der verdampften Flüssigkeit der Masse m im flüssigen Zustand.
Die Clausius-Clapeyronsche Gleichung stellt mathematisch eine
dp s
der
Differentialgleichung 1. Ordnung dar, welche die Steigung
dT
Dampfdruckkurve im p s - T - Diagramm beschreibt. Diese Gleichung wurde aufgrund von Versuchen 1834 durch den französischen
Ingenieur Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) aufgestellt
und 1850 durch den deutschen Physiker Rudolf Clausius (1822 –
1888) theoretisch begründet. Mit Hilfe der stoffmengenbezogenen
Größen molare Verdampfungswärme L md und der molaren Volumina Vm,D und Vm, Fl kann eine äquivalente Formulierung der Clausius-Clapeyronschen Gleichung angegeben werden.
dp s
dT
=
L md
T(Vm,D − Vm,Fl )
Dabei ist:
Vm,D =
Vm,Fl =
L md =
VD
n
VFl
n
Ld
n
Ausgehend von der Clausius-Clapeyronschen Gleichung kann der
Dampfdruck als Funktion der Flüssigkeitstemperatur unter folgenden
Annahmen berechnet werden, die in der Praxis nur näherungsweise
erfüllt sind:
34
- der Dampf über der Flüssigkeit werde als ideales Gas angesehen
- l d sei temperaturunabhängig
- da VFl << VD kann VFl gegenüber VD vernachlässigt werden.
Damit erhält man eine vereinfachte Form der Gleichung von Clausius-Clapeyron:
dp s
dT
=
ml d
VD T
Aus der Zustandsgleichung idealer Gase
p s VD =
m
RT
M
folgt für die Masse m des Dampfes, der das Volumen VD einnimmt:
m=
p s VD M
RT
Damit erhält man:
dp s p s Ml d
=
dT
RT 2
Trennung der Variablen liefert:
dp s M l d
=
dT
dT
RT 2
Integration ergibt:
∫
dp S M l d
=
pS
R
ln p s = −
ld M
dT
∫T
2
+ ln p 0
RT
oder
ps = p0e
−
ld M
RT
.
35
Innerhalb der vorausgesetzten Annahmen ist der Dampfdruck über
einer Flüssigkeit näherungsweise exponentiell von der Flüssigkeitstemperatur abhängig. Der Druck p 0 stellt dabei einen stoffabhängigen Referenzdruck dar, der so gewählt werden muss, dass bei einer
gegebenen Wassertemperatur T der zugehörige Dampfdruck p s wiedergegeben wird. Die spezifische Verdampfungswärme l d von Wasser ist jedoch keine Konstante, denn sie nimmt mit wachsender Temperatur ab. Sie beginnt am Tripelpunkt mit dem Wert 2501 kJ/kg
und hat bei der Verdampfungstemperatur ϑ V = 100 °C bei Normdruck p n = 1013,25 hPa nur noch den Wert 2257 kJ/kg, um am
kritischen Punkt (KP) bei der Celsiustemperatur ϑ k = 374,25 °C auf
den Wert Null abzufallen. Diese Temperaturabhängigkeit der spezifischen Verdampfungswärme von Wasser ist in Abb. 11 dargestellt.
ld
kJ/kg
2500
2000
1500
1000
500
0
0
100
200
300
ϑK
400
ϑ/°C
Abb. 11: Spezifische Verdampfungswärme von Wasser
Eine wichtige technische Anwendung der Dampfdruckkurve stellt
der Pumpeneinsatz in der Vakuumtechnik dar. Dort müssen Rezipienten, z.B. Reaktionsgefäße mit Hilfe von Pumpen evakuiert werden. Beim Einsatz von Wasserstrahlpumpen und Dampfstrahlpumpen wird das erreichbare Endvakuum durch den Dampfdruck des
strömenden Mediums (z.B. Wasser, Öl, Quecksilber) begrenzt.
3.3
Phasenübergänge im p-V-Diagramm
In Abb. 12 sind die Isothermen eines realen Gases dargestellt. Für
Temperaturen T < Tk treten im Vergleich zum Verhalten eines idealen Gases erhebliche Abweichungen auf. Mit Tk ist die kritische
Isotherme gekennzeichnet, die durch den kritischen Punkt (KP) verläuft, der mathematisch einen Sattelpunkt darstellt. Dabei bedeuten
die Abkürzungen:
B - KP: Siedelinie (x = 0)
KP - A: Kondensationslinie oder Taulinie (x = 1)
36
3.3 Phasenübergänge im p-V-Diagramm
p
Gas
k
Flüssigkeit
p
KP
T3 > Tk
Tk
p
s
B
flüssig
gasförmig
Zweiphasengebiet
T2 < Tk
T1 < T2
A
V
Abb. 12: Schematisches p,V-Diagramm mit Isothermen
Das Zweiphasengebiet ist das Verflüssigungsgebiet. Es wird auch
Koexistenzbereich genannt. Der Verlauf der Isothermen im Verflüssigungsgebiet wird durch „Maxwellsche Geraden“ beschrieben.
Unter einer Phase versteht man ein homogenes Zustandsgebiet innerhalb eines inhomogenen Stoffsystems, das durch Grenzflächen
begrenzt wird.
Bei isothermer Kompression eines realen Gases (Abb. 12) nimmt mit
Abnahme des Volumens der Druck zu. Wenn die Kondensationslinie KP - A (x = 1) erreicht ist, setzt Verflüssigung des Gases ein.
Die Kondensationslinie wird auch als Taulinie bezeichnet. Bei weiterer Volumenverminderung bleibt der Druck konstant; es kondensiert
immer mehr Dampf, bis die Siedelinie B - KP (x = 0) erreicht ist
(Maxwell-Gerade). Auf der Siedelinie ist der Dampf vollständig
kondensiert und es liegt nur noch Flüssigkeit vor. Da die Flüssigkeit
nahezu inkompressibel ist, steigt der Druck bei weiterer Volumenverminderung stark an. Der kritische Punkt KP stellt die Stelle im
Zweiphasengebiet dar, an welcher der Koexistenzbereich (flüssig/gasförmig) auf einen Punkt zusammenschrumpft.
Im Zweiphasengebiet flüssig-dampfförmig wird üblicherweise der
Dampfgehalt x als Verhältnis der Dampfmasse m d zur Gesamtmasse aus Flüssigkeit und Dampf eingeführt. Bei Beschränkung auf das
wichtige Wasser-Wasserdampf-System besteht die Gesamtmasse aus
der Summe aus flüssiger Wassermasse m W und Dampfmasse md .
x=
md
m W + md
Für den Flüssigkeitsgehalt (hier: Wassergehalt) folgt dann
37
(1 − x ) =
mW
.
m W + md
Für die Siedelinie folgt wegen m d = 0 für den Dampfgehalt x = 0,
während für die Kondensations- oder Taulinie m W = 0 ist, woraus
sich der Dampfgehalt x = 1 ergibt.
3.4
Phasenübergänge und Phasengleichgewichte
Die Erscheinungsformen der Materie - fest, flüssig und gasförmig werden als Aggregatzustände oder Phasen bezeichnet. Unter Phasenübergängen versteht man die in Kapitel 1.3 beschriebenen Umwandlungsvorgänge zwischen verschiedenen Aggregatzuständen.
In der folgenden Abbildung ist das p-T-Zustandsdiagramm von
Wasser in schematischer Form dargestellt. Da der Zustand eines
homogenen Stoffes durch die Wahl von zwei Zustandsgrößen festgelegt ist, ist es möglich, in einem p-T-Zustandsdiagramm die Bereiche
zu kennzeichnen, die einem bestimmten Aggregatzustand entsprechen.
p
KP
pk
p
(2)
fest
d
flüssig
e
verdampfen
kondensieren
schmelzen
erstarren
(3)
TP
p
T
c
b
a
0
gasförmig
(1)
TT
Tk
T
Abb. 13: p-T- Zustandsdiagramm (Phasendiagramm) von Wasser
(1) Sublimationskurve
(2) Schmelzkurve
(3) Dampfdruckkurve
Für Wasser/Wasserdampf gilt:
TP = Tripelpunkt ( p T = 610,4 Pa; TT = 273,16 K )
KP = kritischer Punkt ( p k = 221,2 ⋅ 10 5 Pa ; Tk = 647,4K )
38
3.4 Phasenübergänge und Phasengleichgewichte
Das Phasendiagramm in Abb. 13 wird durch drei Kurven, die sog.
Phasengrenzen in drei Bereiche eingeteilt, in denen das Wasser in
verschiedenen Aggregatzuständen vorliegt:
- bei niedrigen Temperaturen und/oder hohen Drücken liegt Wasser
ausschließlich als Festkörper (Eis) vor
- bei mittleren Temperaturen und nicht zu kleinem Druck existiert es
in der flüssigen Phase
- bei höheren Temperaturen existiert Wasser nur in der Gasphase.
Im p-T-Zustandsdiagramm sind beim Druck p 0 auf einer Isobaren
verschiedene Zustände (p-T-Wertepaare) durch Buchstaben gekennzeichnet. In den Punkten a, c und e liegt der betrachtete Stoff jeweils
ausschließlich in nur einer Phase vor, nämlich "fest" in a, "flüssig" in
c und "gasförmig" in e. Die thermodynamischen Zustände, bei denen
zwei Phasen im dynamischen Gleichgewicht miteinander stehen
werden durch die Koexistenzkurven oder Phasengrenzen (1), (2) und
(3) gekennzeichnet, die gleichzeitig zwei verschiedene Aggregatzustände voneinander trennen. Die Sublimationskurve (1), zwischen
fester und gasförmiger Phase, die Schmelzkurve (2) zwischen fester
und flüssiger Phase und die Dampfdruckkurve zwischen flüssiger
und gasförmiger Phase kennzeichnen jeweils diejenigen p-TZustände, für die die angrenzenden Phasen koexistieren, das heißt
beide Aggregatzustände sind gleichzeitig vorhanden und liegen nebeneinander im thermodynamischen Gleichgewicht. In Punkt b findet daher ein Phasenübergang fest-flüssig und in Punkt d ein Phasenübergang flüssig-gasförmig statt.
Bei einem bestimmten Wert für Druck und Temperatur existieren
alle drei Aggregatzustände im Gleichgewicht nebeneinander. Dieser
Punkt ist der Schnittpunkt der drei Koexistenzkurven. Er wird Tripelpunkt TP ( p T , TT ) genannt. Unterhalb des Tripelpunktes existiert keine Flüssigkeit. Für T < TT sublimieren Eis und Schnee, sie
gehen dabei von der festen Phase direkt in die gasförmige Phase
über. Der Tripelpunkt wurde als Fixpunkt der absoluten Temperaturskala eingeführt. Oberhalb des kritischen Punktes KP, d.h. für
T > Tk (im Falle von Wasser ist Tk = 647,4 K oder auf der Celsiusskala ϑk = 374,25 °C), existiert ebenfalls keine Flüssigkeit mehr.
Alle Stoffe liegen oberhalb ihrer kritischen Temperatur ausschließlich gasförmig vor.
Ohne gleichzeitige Abkühlung können Gase im Temperaturbereich
T > Tk nicht verflüssigt werden, und zwar unabhängig von der Größe des aufgewendeten Druckes.
39
pk / bar
Tk / K
He
2,3
5,2
Ne
27
44
Ar
49
151
Kr
55
209
H2
13
33
CO 2
73,8
304
CH 4
46
191
Luft
37,7
132
H2 O
221,2
647,4
Substanz
Tab. 7: Kritische Daten
Gemäß Abb. 13 schmilzt Eis unter Druck zu Wasser. Wegen der
Volumenzunahme des Wassers beim Gefrieren sinkt die Schmelztemperatur von Eis mit zunehmenden Druck. Die Schmelztemperatur
erniedrigt sich um 0,0075 °C bei einer Druckerhöhung um 1 bar. Die
Neigung der Phasengrenze zwischen Eis und Wasser beschreibt diese
experimentelle Beobachtung, dass die Schmelztemperatur bei
Druckerhöhung sinkt. Dies ist eine besondere Eigenschaft von Wasser. Seine Schmelzkurve besitzt eine negative Steigung (dp/dT < 0).
Das Schmelzen von Eis unter Druck ist die Ursache für das Wandern
der Gletscher. Dieses Phänomen wird Regelation des Eises genannt.
Die große Gewichtskraft der Gletscher führt an der Eis-FelsenGrenzschicht zu hohen lokalen Drücken. Dadurch schmilzt das Eis
und der Gletscher kann trotz der niedrigen Temperatur auf einem
Wasserfilm talwärts gleiten.
Bei den meisten Stoffen nimmt jedoch anders als beim Wasser das
Volumen beim Erstarren sprunghaft ab. Dies führt zu einem Dichtesprung bei der Erstarrungstemperatur. So ziehen sich z.B. Metalle im
Allgemeinen beim Erstarren zusammen. Ausnahmen bilden die Elemente Silizium (Si), Gallium (Ga) und Wismut (Bi), die sich beim
Erstarren aus der Schmelze etwas ausdehnen. In der Gießtechnik
müssen daher die Gussformen um das Schwindmaß größer sein als
das fertige Gussstück. Bei den meisten Stoffen ist die Schmelztemperatur praktisch nicht vom Umgebungsdruck abhängig. Die Schmelztemperatur ist dann über einen größeren Druckbereich konstant.
Liegt jedoch eine Druckabhängigkeit vor, so wird die Schmelztemperatur bei den meisten Stoffen durch eine Druckerhöhung vergrößert. Eine Druckerhöhung bewirkt dann eine im Allgemeinen geringe
Zunahme der Erstarrungs- bzw. Schmelztemperatur. Denn unter
hohem Druck werden die Moleküle näher aneinander gedrückt, so
dass die Anziehungskräfte ihren ordnenden Einfluss stärker gegen
die thermische Bewegung zum Einfluss bringen können.
40
3.5 Gasgemische und Luftfeuchtigkeit
3.5
Gasgemische und Luftfeuchtigkeit
Gasgemische bestehen aus zwei oder mehreren reinen Gasen, die
chemisch nicht miteinander reagieren. Die einzelnen Gasbestandteile
werden Komponenten genannt. Bei der Bestimmung des Zustandes
eines Gemisches aus k Komponenten ist zusätzlich zu den Zustandsgrößen eine Angabe über die Zusammensetzung erforderlich.
Hierzu werden Anteilszahlen w i , σ i und x i eingeführt, die das
Verhältnis der Teilmenge i zur Gesamtmenge angegeben. Der Massenanteil
mi
wi =
m
stellt das Verhältnis der Teilmasse m i zur Gesamtmasse m dar. Die
Gesamtmasse des Gemisches ergibt sich als Summe aller Teilmassen
zu
m1 + m 2 + ... + m k = ∑ m i = m .
i
Wegen
m1
m
+
m2
m
+ ... +
mk
m
=∑
i
mi
m
=
1
∑m =1
m i i
folgt
w 1 + w 2 + ... + w k = 1
Der Volumenanteil
σi =
Vi
V
ist das Verhältnis des Teilvolumens Vi zum Gesamtvolumen V.
Dabei ergibt sich das Gesamtvolumen als Summe aller Teilvolumina
zu
V1 + V2 + ... + Vk = ∑ Vi = V .
i
Der Volumenanteil σ i wird auch als Volumenkonzentration bezeichnet und es gilt
∑ σi = 1 .
i
41
Der Stoffmengenanteil x i ist das Verhältnis der Teilstoffmenge
mi
zur Gesamtstoffmenge n. M i ist dabei die molare Masse
Mi
der i-ten Komponente des Gasgemisches mit der Teilmasse m i .
ni =
xi =
ni
n
Auch hier gilt: Die Gesamtstoffmenge n ergibt sich als Summe der k
Teilstoffmengen der Einzelkomponenten und es gilt
n = n 1 + n 2 + n 3 + ... + n k
Analog folgt:
∑ xi
=1
i
Bei der experimentellen Untersuchung des Gesamtdruckes p eines
Gasgemisches aus k Komponenten fand englische Physiker John
Dalton (1766 – 1844) folgendes Ergebnis:
Der Gesamtdruck p eines Gasgemisches(aus Gasen mit idealem
Verhalten) bei vorgegebenem Volumen V und bei vorgegebener
Temperatur T ist die Summe der k Teildrücke oder Partialdrücke p i im Gesamtvolumen V.
p = p1 + p 2 + ... + p k = ∑ p i
i
Diese Aussage wird daher als Dalton-Gesetz bezeichnet. Der Partialdruck p i ist der Druck, den die Einzelkomponente i mit der Stoffmenge n i ausüben würde, wenn sie allein das Gesamtvolumen V
der Gasmischung einnehmen würde.
In einem Gasgemisch verhält sich jede Komponente so, als ob sie
allein vorhanden wäre.
Die Zustandsgleichung eines Gemisches idealer Gase (oder realer
Gase mit idealem Verhalten) lautet dann
p = ∑ pi = n
i
RT
RT
.
= ( n 1 + n 2 + ... + n k )
V
V
Die Anwendung des Gesetzes von Dalton soll an einem Versuchsbeispiel einer Gasmischung aus drei Komponenten I, II und III erläutert werden. Die drei Gase befinden sich zunächst mit identischen
Drücken p1 = p 2 = p 3 = p in separaten Behältern mit verschiede-
42
nen Volumen V1 , V2 bzw. V3 und mit verschiedenen Teilmassen
m1 , m 2 und m 3 . Die Temperatur T werde konstant gehalten. Die
Gase sind durch Ventile von einem vollständig leerem Behälter IV
getrennt, der das Volumen Vs aufweist, welches mit der Summe der
drei Teilvolumina übereinstimmt.
Vs = V1 + V2 + V3
Wird durch Öffnen des Ventils VT1 mithilfe eines beweglichen Kolbens die Gaskomponente I ( m1 , p, V1 , T) in den Behälter IV gedrückt, so folgt aus dem Gesetz von Boyle-Mariotte (pV = konst.):
pV1 = p s,1Vs
p s,1 ist der Partialdruck, den die Masse m1 im Volumen Vs hervorruft. In analoger Weise würde beim Öffnen des Ventils VT2 nur die
Gaskomponente II ( m 2 , p, V2 , T) in den Behälter IV gedrückt.
pV2 = p s, 2 Vs
Schließlich erhält man bei der Durchführung des Versuchs nur mit
der Gaskomponente III (durch Öffnen des Ventils VT3):
pV3 = p s,3 Vs
Für die Partialdrücke p s ,1 , p s , 2 und p s ,3 der Gaskomponentenmassen m1 , m 2 und m 3 im Gesamtvolumen Vs folgt:
pV1
Vs
pV2
=
Vs
p s,1 =
p s,2
p s ,3 =
pV3
Vs
Die Addition dieser Partialdrücke liefert:
p s ,1 + p s, 2 + p s,3 =
pV1 pV2 pV3
p
+
+
=
(V1 + V2 + V3 ) = p
Vs
Vs
Vs
Vs
In einem Gasgemisch ist der Gesamtdruck gleich der Summe aller
Partialdrücke. Im Folgenden soll die spezifische Gaskonstante R i
des Gasgemisches aus drei Komponenten ermittelt werden. Es sei
43
T = konst., Vs = V1 + V2 + V3 und m = m1 + m 2 + m 3 . Dann
gelten für die drei Komponenten die Zustandsgleichungen:
p s ,1Vs = m1R i,1T
p s , 2 Vs = m1R i, 2 T
p s ,3 Vs = m1R i,3 T
Die Addition dieser drei Gleichungen liefert:
(p s,1 + p s , 2 + p s ,3 )Vs = (m1R i ,1 + m 2 R i, 2 + m 3 R i,3 )T
pVs = (m1R i,1 + m 2 R i, 2 + m 3 R i ,3 )T
Andererseits gilt für jedes Gas und damit auch für jede Gasmischung:
pVs = mR i T
mR i T = (m1R i,1 + m 2 R i , 2 + m 3 R i,3 )T
Daraus folgt schließlich für R i :
Ri =
m
m1
m
R i,1 + 2 R i, 2 + 3 R i,3
m
m
m
Durch Verallgemeinerung der letzten Gleichung auf ein Gasgemisch
aus k Komponenten, wobei die k-te Gaskomponente die Masse m k
und die spezifische Gaskonstante R i,k besitzt, folgt für die spezifische Gaskonstante Ri des Gemisches:
mν
R i ,ν
ν =1 m
k
Ri = ∑
Dabei ist m die Gesamtmasse der Gasmischung:
k
m = ∑ mν
ν =1
Eine Anwendung des Daltonschen Gesetzes auf ein Gemisch zweier
Gase A und B zeigt Abbildung 14. Gas A übt den Druck p A und
Gas B den Druck p B auf die Wände ihres Behälters aus, die jeweils
das gleiche Volumen V besitzen.
44
V
nA
p
V
A
+
V
nM=nA+nB
p =p +p
M
A
B
nB
p
B
Abb. 14: Daltonsches Gesetz
Trockene Luft ist immer ein Gemisch aus verschiedenen Gasen ( N 2 ,
O 2 , Ar, CO 2 , ...). Mischungen idealer Gase sind trockene Gasgemische. Dämpfe sind dagegen reale Gase. Mit Dampf beladene Gasgemische heißen feucht. Atmosphärische Luft kann als ein Zweistoffgemisch aus trockener Luft und Wasserdampf aufgefasst werden, sie ist feucht. In jedem Luftvolumen VL ist daher eine ganz
bestimmte Wassermasse m W (dampfförmig und flüssig) enthalten.
Nach dem Daltonschen Gesetz gilt für den Gesamtdruck der feuchten
Luft:
p = pL + pd
p L ist dabei der Partialdruck des Anteils an trockener Luft und p d ist
der Partialdruck des Anteils an Wasserdampf.
fa =
mW
= ρ W = ρd
VL
f a ist die absolute Feuchte der Luft. Die absolute Feuchte ist die
Massenkonzentration des Wasserdampfes in Luft. Sie entspricht der
Dichte ρ W = ρ d des Wasserdampfes. Dem Wasserdampfanteil in
der Luft entspricht ein Wasserdampf-Partialdruck in der Atmosphäre
e = pd :
e = pd ∝ ρW =
mW
VL
ρ W stellt dabei die Dichte des Wasserdampfes dar. In atmosphäri-
scher Luft kann näherungsweise Wasserdampf als ideales Gas
behandelt werden.
Für den Wasserdampf gilt dann die Zustandsgleichung
e = pd =
ρW
R
RT = ρ W
T = ρWRST .
MW
MW
45
M W ist dabei die molare Masse des Wasserdampfes
( M W = 18 kg / kmol ). Sie ist identisch mit der molaren Masse des
Wassers. R S = 461,5 J /(kg ⋅ K ) ist hier die spezielle Gaskonstante
von Wasserdampf. Es gilt:
p d (T ) ≤ p s ( T )
p s ist der Sättigungsdampfdruck oder kurz Sattdampfdruck bei der
Sättigungsdichte oder Sattdampfdichte ρ s und ergibt sich aus der
Dampfdruckkurve des Wassers.
Ist: p d (T ) = p S (T) , so ist die Luft feuchtigkeitsgesättigt. Die absolute Feuchte f a (T ) hat dann ihren maximal möglichen Wert, nämlich
die maximale Feuchte f m (T ) erreicht. Ist p d (T ) < p s (T ) so liegt
ungesättigte feuchte Luft vor.
Als relative Feuchtigkeit oder relative Feuchte ϕ rel wird der Quotient aus absoluter Feuchte f a und maximaler Feuchtigkeit f m bei der
jeweiligen Temperatur T definiert.
ϕ rel =
fa
fm
=
pd
ps
=
ρd
ρs
ϕ rel ist somit eine dimensionslose Größe, die meist in Prozent angegeben wird. Sie beschreibt das Verhältnis des Partialdampfdruckes
p d zum Sättigungsdampfdruck p s des Wasserdampfes bei der jeweiligen Temperatur. Es gilt:
ϕ rel < 100% : ungesättigte feuchte Luft
ϕ rel = 100% : gesättigte feuchte Luft
Bei konstanter absoluter Feuchtigkeit f a wird mit sinkender Temperatur die relative Feuchtigkeit ϕ rel ansteigen, da mit sinkender Temperatur die Dampfdruckkurve p s (T ) abfällt und damit auch f m kleiner wird. Die relative Feuchte der Luft steigt daher beim Abkühlen
des Wasserdampf-Luftgemisches immer an. Die Temperatur, bei der
die relative Feuchte ϕ rel = 100 % erreicht wird, heißt Taupunkt und
wird mit dem Symbol τ bezeichnet. Für T = τ ist ϕ rel = 100 %
oder ϕ rel = 1 und es ist ρ W = ρ s oder p d (τ) = p S (τ) . Bei dieser
Temperatur beginnt die Kondensation, nämlich die Abscheidung
des überschüssigen Wasserdampfes als Tau, die auch als Kondenswasserbildung bezeichnet wird.
46
ρd
g/m 3
30
3
20
2
ρs (ϑ)
ρs (ϑL )
ρ
1 d (ϑL )
10
0
0
10
τ 20
ϑL
30 ϑ/°C
Abb. 15: Sättigungsdichte ρS (ϑ) von Wasserdampf in Luft
In Abb. 15 stellt ϑ L = 25 °C die Lufttemperatur und ρ W die bei
dieser Temperatur in der Luft vorhandene Wasserdampfdichte dar.
ρ s (ϑ L ) ist die Sättigungsdichte, die der maximalen Feuchte f m entspricht. Bei Abkühlung der Luft bleibt die der Wasserdampfdichte
ρ d äquivalente absolute Luftfeuchte f a erhalten, während die relative Feuchte ständig zunimmt, bis beim Taupunkt τ die relative
Feuchtigkeit ihren Maximalwert ϕ rel = 100% ( ρ W = ρ s ) erreicht,
bei der bei weiterer Abkühlung Kondensation stattfindet.
In der Baupraxis stellt der Feuchteschutz eine wichtige bauphysikalische Aufgabe dar. Dabei geht es um die Vermeidung von Tauwasserbildung an Bauteiloberflächen. Immer dann, wenn die Oberflächentemperatur von Bauteilen niedriger als die von der relativen
Luftfeuchtigkeit abhängige Taupunkttemperatur der feuchten Raumluft ist, schlägt sich Tauwasser an den Bauteilen nieder. Tauwasserbildung tritt somit immer dann auf, wenn bei niedriger Außentemperatur der Luft die Außenwand wegen zu geringer Wärmedämmung
zu kalt wird. Zur Vermeidung von Tauwasserniederschlag an Bauteiloberflächen gibt es bauphysikalische Regeln (DIN 4108), durch
die ein Mindestwärmeschutz definiert wird. Die rechtliche Grundlage
bildet die Energieeinsparverordnung (EnEV2014).
Zur experimentellen Bestimmung der Luftfeuchtigkeit dienen folgende Messinstrumente: Haarhygrometer, Taupunkthygrometer und
Aspirationspsychrometer.
In der Technischen Thermodynamik und in der Klimatechnik wird
der Wassergehalt x oder Feuchtegrad der Luft als das Verhältnis
von Wassermasse m W in Form von Wasserdampf zur Masse der
trockenen Luft m L definiert:
x=
mW
ρ
= d
mL
ρL
47
mit
[x ] =
kg
=1
kg
.
Da der Anteil des Wassers in der Luft veränderlich ist, wird die Masse der trockenen Luft m L als Bezugsgröße gewählt. Für trockene
Luft ist x = 0, für luftfreien Wasserdampf oder für flüssiges Wasser
ist x = ∞ . Die Befeuchtung oder Trocknung von Luft in Räumen
stellt ein wichtiges Arbeitsgebiet der Klimatechnik dar.
Die Wetterkunde als Physik der Atmosphäre befasst sich im Detail
mit der mit Feuchtigkeit beladenen Luft.
48
4.1 Wetterkunde als Physik der Atmosphäre
4
Anwendungen
4.1
Wetterkunde als Physik der Atmosphäre
Luft enthält immer unsichtbaren Wasserdampf. Er entsteht durch
Verdunstung von Wasser. Warme Luft kann mehr Wasserdampf
aufnehmen als kalte. Wenn Luft abkühlt, nimmt die relative Luftfeuchtigkeit ϕ rel zu.
Ist ϑ = τ (Taupunkt) so gilt: ϕ rel = 100 % oder f a = f m .
Die Luft ist dann mit Wasserdampf gesättigt.
Für ϑ ≤ τ setzt die Kondensation des Wasserdampfes ein und es
kann Tau niederschlagen. Tau besteht aus winzigen Wassertropfen.
Liegt der Taupunkt unter 0 °C (Gefrierpunkt), so kondensiert (konkreter: desublimiert) Wasserdampf in Form von Eiskristallen. Der
Vorgang stellt eine Desublimierung dar, bei der direkt der Feststoff
Raureif aus der dampfförmigen Phase entsteht.
In der folgenden Tabelle ist die Sättigungsdichte von Wasserdampf in Luft in Abhängigkeit von der Lufttemperatur aufgelistet.
Für die Sättigungsdichte ist ϕ rel = 100 %. Mehr Wasserdampf kann
die Luft pro Kubikmeter nicht aufnehmen.
Lufttemperatur ϑ / °C
Sättigungsdichte ρS / (g / m3 )
+40
51,2
+30
30,3
+20
17,3
+10
9,4
0
4,84
- 10
2,14
- 20
1,07
- 30
0,54
- 40
0,18
Tab. 8: Sättigungsdichte von Wasserdampf in Luft
Beispiel: Wolkenbildung
Aufsteigende Luft kühlt sich ab. In einer Höhe h, in der für die
Celsiustemperatur der Luft ϑ = τ gilt, ist die Luft mit Wasserdampf gesättigt und an kleinen Staubpartikeln (sog. Kondensati-
49
4 Anwendungen
onskernen mit einem ∅ ≈ 0,1 µm) setzt Kondensation und damit
Wolkenbildung ein. Diese Höhe, die durch die Wolkenunterseite
definiert ist, wird auch als Kondensationsniveau bezeichnet.
Aber: Nicht alle Wolken bestehen aus Wassertröpfchen. Wolken in
großen Höhen, in denen die Lufttemperatur ϑ < 0 °C ist, bestehen
aus Eiskristallen.
Abb. 16 : Kondensierter Wasserdampf (Wolkentröpfchen)
4.2
Die Troposphäre
Die Troposphäre ist das unterste Stockwerk der Atmosphäre. In ihr
spielt sich das gesamte Wettergeschehen ab. Die Obergrenze der
Troposphäre bildet in 10 bis 20 km Höhe die Tropopause. Sie liegt in
der Tropenzone im Mittel in einer Höhe von etwa 18 km, in mittleren
Breiten bei etwa 11 km, und in der Polarregion in etwa 8 km Höhe.
Damit umfasst die Troposphäre etwa 80 - 90 % der Gesamtmasse der
irdischen Lufthülle. Sie versorgt den Planeten Erde mit Atemluft und
Wasser und ist zugleich aber auch die Abgasdeponie, welche die
zivilisatorischen Abgase aus Kraftfahrzeugen, Heizungsanlagen,
Kraftwerken und Produktionsstätten aufnimmt.
Das Wettergeschehen in Verbindung mit dem Wasserkreislauf aus
Verdunstung, Wolkenbildung und Niederschlag ist der wichtigste
Reinigungsmechanismus der Atmosphäre. Partikel und wasserlösliche Gase sind direkt bei den Prozessen der Wolkenbildung beteiligt,
sie werden mit dem Niederschlag ausgewaschen und somit aus der
Atmosphäre entfernt. Partikelförmige Luftverunreinigungen mit
Durchmessern unter 10 µm werden als Schwebstoffe oder Aerosole
bezeichnet. Der stockwerkförmige Aufbau der Atmosphäre ist in
Abb. 17 skizziert.
50
4.2 Die Troposphäre
F1 - und F2 -Schicht
Höhe h/km
200
p(h)
Ionosphäre
E-Schicht
100
80
D-Schicht
Stratosphäre
10
0
Troposphäre
-6
-5
-4
-3
-2
-1
10 10 10 10 10 10
1
1
2
3
10 10 10
Druck p/hPa
Abb. 17: Aufbau der Atmosphäre
Die durch die einfallende Sonnenstrahlung erwärmte Erdoberfläche
gibt ihre Wärme wieder an die Atmosphäre ab. Mit wachsendem
Abstand von der Erdoberfläche wird dabei bis zur Tropopause eine
nahezu gleichmäßige Temperaturabnahme beobachtet. Oberhalb der
Tropopause bleibt die Temperatur zunächst konstant. Die Tropopause wirkt aufgrund ihrer durchschnittlichen Temperatur von etwa
− 60 °C für den Wasserdampf wie eine Kühlfalle. Die mittlere Atmosphäre jenseits der Tropopause ist daher extrem trocken. Ein Wettergeschehen mit Wolkenbildung existiert daher in diesem Höhenbereich nicht mehr. Der Luftdruck und damit die Dichte der Luft nehmen mit zunehmender Höhe über dem Erdboden nach Maßgabe der
barometrischen Höhenformel ab. Die über der Erdoberfläche nach
oben aufsteigende warme Luft dehnt sich dabei ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, d.h. adiabatisch, aus, wobei sie sich
gleichzeitig abkühlt. Der Tropopause folgt in einer Höhe von etwa
20 – 50 km die Stratosphäre. Dort nimmt die Temperatur infolge von
Strahlungsabsorption durch Ozonmoleküle ( O 3 ) zu, um in der Stratopause in 50 km Höhe ein lokales Maximum bei etwa 0°C zu erreichen. In größeren Höhen ( ≈ 100 km) wird die harte UV-Strahlung
mit Wellenlängen bis zu 200 nm absorbiert, was zu einer starken
Ionisierung der atmosphärischen Gase führt. Dieser oberste Bereich
der Atmosphäre wird Ionosphäre oder Thermosphäre genannt. In
500 km Höhe steigt dort die Temperatur auf bis zu 1700 °C an. Die
Temperaturabnahme in der Troposphäre kann durch einen Temperaturgradienten dT/dh beschrieben werden. Er hat für trockene Luft
den Wert:
- dT/dh = 0,0098 K/m ≈ 1 K / 100 m
51
4 Anwendungen
Nach dieser Gleichung, die die trockenadiabatische Abkühlung der
trockener Luft beschreibt, nimmt die Lufttemperatur pro km Höhe
um 9,8 K ab.
Ein großer Anteil der von der Erdoberfläche absorbierten Sonnenenergie wird zur Verdunstung von Wasser verbraucht. Die dabei
aufgewandte Verdampfungswärme wird im Wasserdampf als latente
Wärme gespeichert. In feuchter Luft findet in einer Höhe, in der der
Taupunkt des Wasserdampfes erreicht wird, Wolkenbildung statt.
Durch die dabei freiwerdende Kondensationswärme fällt die Temperatur im Vergleich zur trockenadiabatischen Abkühlung langsamer
ab. Im Mittel hat daher der Temperaturgradient dT/dh für feuchte
Luft den Wert
− dT / dh = 1 K/100 m - dTK /100 m ≈ 0,65 K/100 m.
dTK stellt den Temperaturbetrag infolge der freigesetzten Kondensations- bzw. Gefrierwärme dar. Die feuchtadiabatische Abkühlung
aufsteigender bzw. Erwärmung absteigender Luft nimmt bei starker
Kondensation in den Tropen einen Wert von
dTK / 100 m = 0,4 K / 100 m
an. Der Temperaturgradient dT/dh nähert sich dem trockenadiabatischen um so mehr, je weniger Wasserdampf kondensiert.
Eine Gasschichtung, bei der die Temperatur mit der Höhe abnimmt,
ist mechanisch nicht stabil, da die oben liegende Gasschicht schwerer
ist als die darunter liegende. Als Folgewirkung dieser instabilen
Schichtung steigt warme Luft auf, wobei sie sich abkühlt um dann
aufgrund ihrer dabei zunehmenden Dichte wieder abzusinken. In der
Troposphäre findet daher ein ständiger Austausch von Luftmassen
statt, den man vertikale Konvektion nennt. Durch die vertikale
Konvektion werden Gase und damit auch Schadstoffe in der Troposphäre schnell und grenzüberschreitend verteilt.
Ausgehend vom 1. Hauptsatz der Thermodynamik
dU = dQ + dW oder dU = dQ - p dV
lässt sich der adiabatische Temperaturgradient der trockenen Luft in
der Erdatmosphäre berechnen. Da für adiabatische Prozesse dQ = 0
ist, folgt:
dU = -p dV
Wird die Luft als ideales Gas betrachtet, so gilt:
dU = c V m dT = -p dV
52
4.3 Heiztechnik: Heiz- und Brennwert
Ferner ist:
dp = -g ρ dh
V dp = -g m dh
Aus der Zustandsgleichung idealer Gase
pV = n R T
folgt:
d (pV) = p dV + V dp = n R dT
V dp = n R dT - p dV = -g m dh
Mit -p dV = c V m dT erhält man:
n R dT + c V m dT = -g m dh
Die Stoffmenge n ist gegeben durch
n=
m
,
M
wobei M die molare Masse der Luft darstellt.
R dT + c V M dT = -g M dh
(R + c V M )dT = -g Mdh
dT/dh = -g M /(R + c V M)
Mit den Werten g = 9,81 m / s 2 , M = 29 kg/kmol,
R = 8,314 kJ /(kg K ) und c V = 0,715 kJ/(kg K) folgt schließlich für
trockene Luft:
− dT / dh = 9,8 ⋅ 10 −3 K / m ≈ 1 K / 100 m
4.3
Heiztechnik: Heiz- und Brennwert
Die fossilen Brennstoffe Kohle, Öl und Erdgas werden durch direkte
Verbrennung zur Bereitstellung von Heizwärme eingesetzt. Die im
Brennstoff chemisch gebundene Energie wird durch den Brennwert
und den Heizwert gekennzeichnet. Die Wärme wird dabei mit Hilfe
eines Warmwasserkreislaufes einzelnen Heizkörpern zugeführt. Dabei ist bei Absenkung der Wassertemperatur im Heizkessel das Tau-
53
4 Anwendungen
punktproblem zu beachten. Der im Rauchgas enthaltene Wasserdampf kondensiert bei Erreichen des Taupunktes, so dass im Rauchgas enthaltene Feuchtigkeit zur Korrosion des Heizkessels und zur
Versottung des Schornsteines führen kann. Daher muss die Abgastemperatur oberhalb der Taupunkttemperatur liegen. Nur bei Verwendung von korrosionsfesten Abwärmetauschern, z.B. aus Keramik
oder Spezialstahl, können Taupunktunterschreitungen zugelassen
werden, wodurch dann die Nutzung des Brennwertes anstelle des
Heizwertes möglich wird. Der Einsatz dieser "Brennwerttechnik"
führt zu einer Steigerung des Kesselwirkungsgrades. Nach DIN 5499
gilt folgende Definition:
Brennwert und Heizwert sind Reaktionsenergien (bei Verbrennung unter konstantem Volumen) oder Reaktionsenthalpien (bei
Verbrennung unter konstantem Druck), die vom System abgegeben und deshalb mit negativem Vorzeichen versehen werden.
Dabei wird grundsätzlich vorausgesetzt, dass die Temperatur
der Reaktionsprodukte nach der Verbrennung gleich ist der
Temperatur der an der Reaktion teilnehmenden Komponenten
vor der Verbrennung.
Gemäß DIN 5499 werden Brenn- und Heizwert einheitlich bei
p = 1,013 bar = 1013 hPa definiert. Brenn- und Heizwert lassen sich
aus den Reaktionen mit den entsprechenden Reaktionsenthalpien
ermitteln. In Abhängigkeit vom Zustand des Wassers im Rauchgas
unterscheidet man technisch zwischen Brennwert H s (früher: oberer Heizwert H o genannt) und Heizwert H i (früher: unterer Heizwert H u genannt). Der Indes i in H i steht für lat. inferior = unterer
und der Index s in H s steht für lat. superior = oberer Heizwert. Es
handelt sich hierbei um die international gültigen Bezeichnungen, die
in der DIN EN 437 festgelegt wurden. Heizwerte kennzeichnen die
Energiefreisetzung bei der vollständigen Umwandlung der Brennstoffe in ihre Verbrennungsprodukte. Bei den meisten Brennstoffen
enthalten die Verbrennungsprodukte jedoch Wasser. Dies ist eine
Folge der Oxidation des Wasserstoffs der meistens aus Kohlenwasserstoffen bestehenden Brennstoffe. Der Brennwert wird angegeben,
falls die Verdampfungswärme des enthaltenen Wassers mit in die
Energiebilanz einbezogen wird. Für den Fall, dass keine Nutzung der
Kondensationswärme erfolgen kann, wird der Heizwert zur Charakterisierung benutzt.
Der Brennwert ist die je Bezugseinheit des Brennstoffes bei
vollkommener Verbrennung bei p = konstant freiwerdende
Energie. Das Rauchgas wird auf die Bezugstemperatur zurückgekühlt, das Wasser im Rauchgas ist kondensiert und liegt in
flüssiger Phase vor.
Die Bezugseinheit charakterisiert die eingesetzte Brennstoffmenge.
Wird der Brennwert auf die Brennstoffmasse m BS bezogen, so
ergibt sich der spezifische Brennwert aus:
54
4.3 Heiztechnik: Heiz- und Brennwert
Hs =
Q ab
.
m BS
mBS ,ϑ
B
mL ,ϑ
B
vollständige
Verbrennung
bei p= konst.
ϑB
mRG+mA
H2O (flüssig)
Qab
Abb. 18: Definition des Brennwertes
Wird der Brennwert auf die Stoffmenge nBS bezogen, so ergibt sich
der molare Brennwert Hs,m aus:
H s, m =
Q ab
n BS
Bei gasförmigen Brennstoffen werden Brennwert und Heizwert
auch auf das Normvolumen Vn des trockenen Gases bezogen und
mit Hs,n bzw. Hi,n bezeichnet.
Hs, n =
Q ab
Vn
und
H i ,n =
Q′ab
Vn
Unter dem Normvolumen Vn versteht man das Volumen eines Gases unter Normbedingungen ( ϑ n = 0 °C und p n = 1013,25 hPa ). Das
Normvolumen Vn kann aus der Stoffmenge n eines gegebenen Gases und dem molaren Normvolumen Vm,n berechnet werden:
Vn = nVm, n .
Der Heizwert ist die je Bezugseinheit des Brennstoffs bei vollkommener Verbrennung bei p = konstant freiwerdende Energie.
Das Rauchgas wird auf die Bezugstemperatur zurückgekühlt,
das Wasser im Rauchgas bleibt dampfförmig.
Der spezifische Heizwert Hi ergibt sich mit:
Hi =
Q'ab
m BS
55
4 Anwendungen
mBS ,ϑ
B
mL ,ϑ
B
ϑB
vollständige
Verbrennung mRG+mA
bei p= konst. H2O (dampfförmig)
Q’ab
Abb. 19: Definition des Heizwertes
Der molare Heizwert H i ,m ist dann gegeben durch:
H i ,m =
Q′ab
n BS
Als Bezugstemperatur kommt die chemische Standardtemperatur von
25 °C (DIN 5499) in Betracht. In einigen europäischen Normen (z.
B. DIN EN 437 und DIN 51857) wird als Bezugstemperatur 15 °C
gewählt. Der Bezugsdruck p beträgt dagegen immer p = 1013 hPa.
Brenn- und Heizwert sind geringfügig von der Bezugstemperatur
abhängig, und zwar fallen sie mit zunehmender Bezugstemperatur.
Eine Ausnahme bildet Wasserstoff, bei dem der Heizwert mit der
Bezugstemperatur ansteigt.
Brennwert und Heizwert unterscheiden sich durch die Energie, die
bei der Kondensation des bei der Verbrennung des wasserstoffhaltigen Brennstoffs gebildeten Wasserdampfes bei der Bezugstemperatur frei wird. Der spezifische Brennwert H s ist somit die auf
die Brennstoffmenge bezogene Energie, die bei vollständiger Verbrennung bei konstantem Druck frei wird, wenn die Verbrennungsprodukte auf die Bezugstemperatur zurückgekühlt werden. Bei der
Bestimmung des Brennwertes kondensiert jedoch der vom Brennstoff verursachte Wasserdampf und gibt seine Kondensationsenthalpie ab. In konventionellen technischen Feuerungen wird diese Kondensationsenthalpie aber nicht genutzt. In den sog. Brennwertkesseln, wird die Kondensation zur Erhöhung der Energienutzung und
zur Wirkungsgradsteigerung bewusst herbeigeführt. Da bei den meisten Brennstoffen die Verbrennungsprodukte Wasser enthalten, wird
der Brennwert H s angegeben, wenn die Kondensationswärme des
enthaltenen Wassers mit in die Energiebilanz einbezogen wird.
Durch die Wasserdampfkondensation im Abgas erhält man bei Verbrennung von Erdgas eine um 11% höhere Energieausbeute. Da der
Wirkungsgrad eines Heizkessels aus historischen Gründen auf den
Heizwert bezogen wird ergibt sich bei Anwendung der Brennwerttechnik rechnerisch ein „Wirkungsgrad“ oder besser Nutzungsgrad
von über 100%. Für den Fall, dass keine Nutzung der Kondensationswärme erfolgen kann, wird der spezifische Heizwert H i zur
Charakterisierung benutzt. Der spezifische Heizwert ist dabei die auf
die Brennstoffmenge bezogene Energie, die bei vollständiger Verbrennung bei konstantem Druck frei wird, wenn die Verbrennungsprodukte auf die Bezugstemperatur zurückgekühlt werden, der
56
4.4 Biomasse als nachwachsender Energieträger
Wasserdampf jedoch dampfförmig gedacht bleibt. Für die spezifischen Werte Hs und H i fester und flüssiger Brennstoffe gilt die
Relation:
H i = H s − l d w H 2O
l d = 2442 kJ/kg ist spezifische Verdampfungswärme (Kondensationsenthalpie) des Wassers bei 25 °C. w H
2
O
bezeichnet das Massen-
verhältnis der durch den Brennstoff während seiner Verbrennung
produzierten Wassermasse im Abgas bezogen auf die trockene
Brennstoffmasse. Die experimentelle Bestimmung des Brennwertes
erfolgt mithilfe von Kalorimetern. Bei gleichzeitiger Messung der
bei der Verbrennung produzierten Wassermenge kann der Heizwert
aus dem Brennwert berechnet werden. In Tab. 9 sind diese Kennwerte für Wasserstoff, Methan, Ethan, Propan und Butan aufgelistet.
Gas
Hi /(MJ / m3 )
Hs,m /(MJ / kmol)
Hi,m /(MJ / kmol)
H2
10,8
286
242
CH 4
36
891
803
C 2H 6
64
1561
1429
C 3H8
93
2219
2043
C 4 H10
124
2877
2657
Tab. 9: Heiz- und Brennwerte einiger Gase
4.4
Biomasse als nachwachsender Energieträger
Unter Biomasse versteht man organische Materie, die in Pflanzen
unter Ausnutzung des Sonnenlichtes mittels Photosynthese
gebildet wird. Im Folgenden sollen hier nur die Holzbrennstoffe
etwas näher betrachtet werden. Holz ist als biogener
Festbrennstoff ein kapillarporöser Stoff, der in seinen
Hohlräumen Wasser aufnehmen kann. Der Wasseranteil kann
durch Messung des Feuchtegehaltes bestimmt werden.
Bezugsnullpunkt ist dabei das sog. darrtrockene Holz, bei dem
keinerlei Wasser im Holz enthalten ist. Die Holzmasse des absolut
trockenen Holzes wird mit m atro bezeichnet. Seine Holzfeuchte
beträgt dann 0%. Als Holzfeuchte oder Holzfeuchtigkeit u
bezeichnet man den Anteil an Wasser im Holz in Bezug auf die
Trockenmasse des Holzes. Die Holzfeuchte wird in % angegeben.
Der prozentuale Holzfeuchtegehalt (kurz: Holzfeuchte) u wird
definiert als das Verhältnis der in der Holzprobe enthaltenen Wassermasse m w = m u − m atro zur Holzmasse m atro im darrtrockenen
Zustand:
57
4 Anwendungen
u=
mw
m − m atro
100% = u
100%
m atro
m atro
m u ist die Masse des feuchten Holzes. Die prozentuale Holzfeuchte
u kann Werte über 100% annehmen.
Der prozentuale Wassergehalt w ist das Verhältnis aus der Masse
des im Holz befindlichen Wassers m w zum Nassgewicht des Holzes
mu :
w=
mw
100%
mu
Der prozentuale Wassergehalt ist im Gegensatz zum prozentualen
Holzfeuchtegehalt immer kleiner als 100 %. Der Wassergehalt reduziert den Heizwert H i des Holzes und ist dann von Bedeutung, wenn
eine bestimmte Holzart nach Gewicht angeboten wird. Für Vergleichszwecke von biogenen Festbrennstoffen wird der Heizwert
Hi,atro des darrtrockenen (wasserfreien) Holzes angegeben. Für Nadelhözer (z. B. Fichte) ist H i , atro = 18,8 MJ / kg . Für Laubhölzer (z. B.
Buche) ist dieser Wert mit H i , atro = 18,4 MJ / kg etwa 2% kleiner. Für
den Zusammenhang zwischen H i von feuchtem Holz und Hi,atro des
darrtrockenen Holzes gilt:
H i = H i , atro (1 − w ) − ld w
Hierbei ist die spezifische Verdampfungswärme des Wassers bei
ϑ = 25 °C mit ld = 2,44 MJ / kg gegeben.
Abschließend sei ergänzt, dass auch der Aschegehalt den Heizwert
negativ beeinflusst. Mit wachsendem Aschegehalt sinkt der Heizwert. Während Buchenholz einen Aschegehalt von 0,5% aufweist,
besitzen Halmgutbrennstoffe Aschegehalte zwischen 4,8% (Roggenstroh) bis 12,2% (Sonnenblumenstroh).
58
4.5 Wärmekraftmaschinen
4.5
Wärmekraftmaschinen
Allgemein versteht man unter Kraftmaschinen Energieumwandlungsanlagen, d.h. Maschinen zur Umsetzung einer bestimmten
Energieform in mechanische Energie. Dabei werden treibende Kräfte
hervorgerufen. Zu den Kraftmaschinen gehören Wärmekraftmaschinen, Wasserkraftmaschinen, Windkraftmaschinen und Elektromotoren. Die Wärmekraftmaschinen sind dabei für die Thermodynamik
von besonderer Bedeutung. Alle Wärmekraftmaschinen wandeln
thermische Reaktionswärmen teilweise in mechanische Arbeit um.
Die Wärmekraftmaschinen werden entsprechend ihrer Arbeitsweise in zwei verschiedene Arten unterteilt:
- Kolbenmaschinen
- Strömungsmaschinen.
Zu den Kolbenmaschinen gehören die Verbrennungsmotoren (Ottound Dieselmotor) oder exakter die Kolbenbrennkraftmaschinen sowie der Heißluftmotor (Stirling-Maschine). Kolbendampfmaschinen
finden wegen ihrer geringen Wirkungsgrade heute kaum noch Verwendung.
Zu den Strömungsmaschinen gehören die Turbinen (Gas- und
Dampfturbinen) sowie die Strahltriebwerke. In Turbinen wird die
Energie von strömenden Flüssigkeiten oder Gasen in mechanische
Rotationsenergie umgewandelt. Die einfachsten Turbinen werden als
Wasserrad und Windrad seit langem technisch genutzt. Die kinetische Energie von Wasser wird z.B. in Pumpspeicherwerken mit Hilfe
der Peltonturbine in Rotationsenergie umgewandelt. In Flusskraftwerken mit geringer Strömungsgeschwindigkeit wird dagegen die
Kaplanturbine eingesetzt. Im Bereich der Wärmekraftmaschinen
unterscheidet man dabei zwischen Dampfturbinen und Gasturbinen, die in den Bauarten Axialturbinen und Radialturbinen ausgeführt werden. Dampfturbinen finden in Wärmekraftwerken, in denen
durch Verbrennung fossiler Brennstoffe oder durch Kernspaltung
heißer Wasserdampf erzeugt wird, zum Antrieb von Generatoren
Verwendung. Gasturbinen, die ähnlich wie Dampfturbinen aufgebaut
sind, arbeiten jedoch mit heißen Verbrennungsgasen.
Strahltriebwerke oder Düsentriebwerke arbeiten wie
der Raketenantrieb nach dem Rückstoßprinzip.
Dampfturbinen arbeiten mit Wasserdampf. Gesättigter Wasserdampf
wird auch als Sattdampf bezeichnet. Nassdampf ist dagegen ein
Gemisch aus Sattdampf und kleinen Wassertröpfchen. Überhitzter
Dampf oder Heißdampf entsteht, wenn gesättigter Dampf von der
Flüssigkeit abgetrennt und seine Temperatur erhöht wird. In Abb. 20
ist die isobare Verdampfung von Wasser unter Normluftdruck
( p = p n ) als Funktion des spezifischen Volumens v dargestellt.
59
4 Anwendungen
ϑ/°C
p=konst.
100
überhitzter
Dampf
Flüssigkeit Nassdampf
Sattdampf
0
v/(m3/kg)
Abb. 20: Isobare Verdampfung von Wasser (schematisch)
Überhitzter Dampf lässt sich komprimieren und ist daher kein eigentlicher Dampf, sondern ein reales Gas. In Abb. 21 ist eine Dampfturbine schematisch dargestellt. Der strömende Wasserdampf wird
durch feststehende Leitschaufeln auf die Schaufeln des Turbinenlaufrades gelenkt. Die Leitschaufeln sind zu einem Leitrad angeordnet,
das starr mit dem Turbinengehäuse verbunden ist. Ein Laufrad bildet
zusammen mit einem Leitrad eine Turbinenstufe. Die Turbine verfügt über mehrere Turbinenstufen, deren Durchmesser um so größer
ist, je geringer der Dampfdruck ist, der sie antreibt. Wärmekraftmaschinen (z.B. Strömungsmaschinen wie die Dampfturbine) arbeiten
umso effektiver, je höher die Dampftemperatur T1 ist. T1 = To ist
dabei die obere (höhere) und T2 = Tu die untere (niedrigere) Prozesstemperatur.
Gehäuse
Achse
Dampfeintritt
Leitschaufeln
Turbinenschaufeln
Dampfaustritt
Abb. 21: Dampfturbine mit vier Turbinenstufen
Der Wirkungsgrad η einer Wärmekraftmaschine kann den thermodynamischen Wirkungsgrad
η th =
60
T1 − T2
T1
=1−
T2
T1
=1−
Tu
To
4.6 Gefriertrocknung und „Trockeneis-Kühlung
nicht überschreiten. Der thermodynamische Wirkungsgrad stellt
somit einen nicht überschreitbaren Grenzwert dar. Bei ϑ = 342 °C
(T = 615 K) beträgt der Dampfdruck des Wassers p d = 150 bar oder
1,5 ⋅ 10 7 Pa . Eine weitere Temperatursteigerung und damit Wirkungsgraderhöhung wird durch die mechanische Festigkeit der
Dampfkessel begrenzt. Der Dampfkraftwerksprozess zur Erzeugung elektrischer Energie ist in schematischer Darstellung in Abb. 22
skizziert.
Frischdampf
Asche,
Rauchgase
Dampferzeuger
Brennstoff,
Verbrennungsluft
Chemische
Bindungsenergie
Wasser-Dampf-Kreislauf
Kondensat
Speisewasser- Kondensator
pumpe
Thermische
Energie
Turbine
Generator
Eigenbedarf
Mechanische
Energie
Elektrische
Energie
Abb. 22: Schematische Darstellung des Dampfkraftwerksprozesses
4.6
Gefriertrocknung und „Trockeneis-Kühlung
Eine technische Anwendung des Sublimationsvorganges findet bei
der Gefriertrocknung statt. Über einem festen Körper wird durch
Sublimation ein Dampfdruck erzeugt, der Sublimationsdruck genannt wird. Der Sättigungs-Sublimationsdruck nimmt mit wachsender Temperatur zu. Der an der Phasengrenze fest-gasförmig entstehende Sublimationsdruck ist jedoch wesentlich geringer als der
Dampfdruck über einer Flüssigkeitsoberfläche.
Bei der Gefriertrocknung wird eine wasserhaltige Substanz (z.B.
Kaffee, Milch, ...) durch Abkühlung unter den Gefrierpunkt gefroren
(z. B. –30 °C). Durch Sublimation verlassen Wassermoleküle den
gefrorenen Festkörper und treten in den Dampfraum ein. Durch Vakuumpumpen wird das sublimierte Wasser aus dem Dampfraum
abgesaugt bis schließlich die wasserfreie Trockensubstanz übrig
bleibt. Die Gefriertrocknung kann im Gegensatz zum Verdampfen
(Einkochen) bei tiefen Temperaturen ablaufen wobei temperaturempfindliche Bestandteile der Substanz (z. B. Proteine, Vitamine,...)
unverändert erhalten bleiben.
Durch Sublimation, die bei allen Stoffen in bestimmten Druck- und
Temperaturbereichen auftritt, erhöht sich der Wärmeinhalt des in
den Dampfzustand übergegangenen sublimierten Stoffes. Die zum
Sublimieren notwendige Sublimationswärme wird aus der Umgebung aufgenommen, die sich dabei abkühlt. Dieser Vorgang kann
zum Kühlen technisch genutzt werden. Dazu wird in der Praxis so
genanntes Trockeneis verwendet. Es handelt sich dabei um Kohlen-
61
4 Anwendungen
dioxid ( CO 2 ) im festen Zustand. Bei Drücken unterhalb des Tripelpunktes von p T = 0,52 MPa = 5,2 bar kann CO 2 nicht mehr im flüssigen Zustand existieren. In diesem Druckbereich existiert entlang
der Sublimationskurve ein Phasengleichgewicht zwischen dem festen
und dem dampfförmigen Zustand.
Bei Norm-Umgebungsdruck der Atmosphäre von p n = 1013,25 hPa
sublimiert ( p n < p T ) Trockeneis bei einer Temperatur von
ϑS = −78,5 °C . Seine spezifische Sublimationswärme beträgt bei
dieser Temperatur l S = 574 kJ / kg . Sie wird beim Sublimieren der
Umgebung entzogen, die sich dadurch abkühlt. Der Vorteil besteht u.
a. darin, dass der zu kühlende Stoff nicht von der flüssigen Schmelze
des Trockeneises durchweicht werden kann.
p
MPa
10
Schmelzen
2
Erstarren
10
PK
1
PT
-1
10
-2
flüssig KP
fest
(3) Kondensieren
Verdampfen
(2)
TP
Pn Sublimieren
10
170
Desublimieren
(1) Ts
200 TT 230
gasförmig
260
290 TK 320 T/K
Abb. 23: p,T-Diagramm von CO 2
Für Kohlendioxid ( CO 2 ) gilt:
TP = Tripelpunkt ( p T = 0,52 MPa; TT = 216,6 K )
KP = kritischer Punkt ( p k = 7,38 MPa ; Tk = 304,2 K ).
62
5.1 Testfragen
5
Wiederholungstest
5.1
Testfragen
Aufgabe 1
Warum steigt der Druck, wenn ein Gas bei konstantem Volumen
erwärmt wird? Der Druck steigt bei isochorer Erwärmung,
(A) weil c V > c P ist,
(B) weil der Adiabatenexponent κ zunimmt,
(C) weil der Druck dem Gasvolumen proportional ist,
(D) weil die Temperatur ansteigt.
Aufgabe 2
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Kondensationswärme
Q K und Verdampfungswärme Q V ?
(A) Q K > Q V
(B) Q V > Q K
(D) Q K = Q V
(E) Q V < Q K
(C) Q K < Q V
Aufgabe 3
Zwei verschiedene Zustände ein und derselben Gasmasse m sind im
p,V-Diagramm durch die Punkte A ( p A , VA , TA ) und B
( p B , VB , TB ) dargestellt. Vergleichen Sie (>, =, <) die Zustandsgrößen Druck und Temperatur der beiden Zustände des idealen Gases!
p
B
A
0
V
TA = TB
TA > TB
TA < TB
pA = pB



pA > pB



pA < pB



63
5 Wiederholungstest
Aufgabe 4
In untenstehender Abbildung ist die relative Volumenänderung
∆V / V von Blei sowie von Eis und Wasser beim Erwärmen unter
Normaldruck graphisch dargestellt. Ordnen Sie die Diagramme den
Stoffen zu und geben Sie die Schmelztemperaturen TS dieser Stoffe
an.
(A) Diagramm (A) ist Wasser und TS = 327 K
(B) Diagramm (A) ist Blei und TS = 600 K
(C) Diagramm (B) ist Wasser und TS = 273 K
(D) Diagramm (B) ist Blei und TS = 277 K
V (ϑ )
V (ϑ )
(A)
250 300 350
ϑ/°C
0 4
(B)
10 15 20
ϑ/°C
Aufgabe 5
Ein Körper besitzt eine Temperatur von ϑ1 = 35 °C . Nach Erwärmung um ∆ϑ beträgt seine Temperatur ϑ2 = 70 °C . Auf der Kelvinskala beträgt die Temperaturdifferenz
(A) 272 K
(B) 70 K
(C) 35 °C
(D) 35 K
(E) 307 K
(F) 237 K
Aufgabe 6
Definieren Sie die physikalische Größe spezifische Wärmekapazität.
Die spezifische Wärmekapazität ist die Wärmemenge, die erforderlich ist,
(A) um die innere Energie um 1 kJ anzuheben.
(B) damit das thermodynamische System eine Leistung von 1 kW
erbringen kann.
(C) um 1 kg eines Stoffes um die Temperaturdifferenz von 1 K zu
erwärmen.
64
5.1 Testfragen
Aufgabe 7
Einem wärmeisoliertem Zylinder wird durch adiabate Zustandsänderung Volumenänderungsarbeit zugeführt. Dann werden
(A) die Temperatur und der Druck steigen.
(B) die innere Energie zunehmen.
(C) die Enthalpie zunehmen.
Aufgabe 8
Wann siedet eine Flüssigkeit?
(A) Nur dann, wenn die stoffspezifische Siedetemperatur bei
Normdruck p n erreicht ist.
(B) Wenn die Siedetemperatur erreicht ist und der Systemdruck
oberhalb des Dampfdruckes liegt.
(C) Immer dann, wenn der im System vorliegende Druck dem
Dampfdruck der Flüssigkeit entspricht.
Aufgabe 9
Ein Dampf stehe mit einer Flüssigkeit in dynamischen Gleichgewicht
(z.B. Wasserdampf - Wasser). Das Dampfvolumen werde isotherm
durch Kompression halbiert.
Der Dampfdruck
(A) verdoppelt sich
(B) halbiert sich
(C) bleibt konstant
(D) erhöht sich, aber nicht genau auf das Doppelte
(E) vermindert sich, aber nicht genau auf die Hälfte
Aufgabe 10
Kann ein Gas bei gleich bleibender Temperatur (isotherm) allein
durch Druckerhöhung verflüssigt werden?
(A) Dies ist immer möglich.
(B) Dies ist unter keinen Umständen möglich.
(C) Dies ist nur für Temperaturen T > Tk möglich.
(D) Dies ist nur für Temperaturen T < Tk möglich.
(E) Gasverflüssigung ist immer nur bei gleichzeitiger Abkühlung
möglich.
65
5 Wiederholungstest
Aufgabe 11
Warum liegt die Temperatur von Wasser in einer flachen offenen
Schale merklich unter der Raumtemperatur (relative Luftfeuchte
ϕ = 35% )?
(A) Weil die zur Verdunstung (Verdampfung bei ϑ < ϑ V ) notwendige Energie der Flüssigkeit entzogen wird.
(B) Weil die Wärmeabgabe durch Konvektion überwiegt.
(C) Weil die Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten größer ist als die
von Luft.
(D) Weil die Wärmeübergangszahl von der Oberfläche und der
Strömung im angrenzenden Medium abhängig ist.
(E) Weil der Sättigungsdampfdruck über Flüssigkeiten temperaturabhängig ist.
Aufgabe 12
Was sagt die relative Feuchte aus?
Die relative Feuchte
(A) ist die Masse des Wassers bezogen auf das Luftvolumen.
(B) ist das prozentuale Verhältnis von Wasserdampfpartialdruck
zum Wasserdampfsättigungsdruck der Luft.
(C) ist der Wassergehalt der Luft.
(D) ist das Verhältnis von maximaler Feuchte zu absoluter Feuchte.
Aufgabe 13
Welche Aussage macht der erste Hauptsatz der Thermodynamik?
(A) Wärme fließt nur vom heißeren Stoff zum kälteren.
(B) Die innere Energie ist der Temperatur direkt proportional..
(C) Wärme ist eine Energieform.
66
5.2 Lösungen der Testfragen
5.2
Lösungen der Testfragen
Aufgabe 1:
D
Aufgabe 2:
D
Aufgabe 3:
I ( p A < p B , TA < TB )
Aufgabe 4:
B, C
Aufgabe 5:
Aufgabe 6:
D
C
Aufgabe 7:
A, B, C
Aufgabe 8:
C
Aufgabe 9:
C
Aufgabe 10:
D
Aufgabe 11:
A
Aufgabe 12:
B
Aufgabe 13:
C
67
6 Zusammenfassung
6
Zusammenfassung
Die Wärmekapazität C beschreibt das Verhältnis zwischen zugeführter Wärmeenergie ∆Q und der resultierenden Temperaturerhöhung
∆T .
C=
∆Q
∆T
Die molare Wärmekapazität C m ist die Wärmekapazität pro Mol.
Cm =
C
n
Die spezifische Wärmekapazität c ist die Wärmekapazität pro Masseneinheit.
c=
C
m
Wenn sich der Aggregatzustand nicht ändert, gilt für die Wärmezufuhr oder –abfuhr:
∆Q = C(T2 − T1 ) = mc(T2 − T1 ) = nC m (T2 − T1 )
Die Volumenänderungsarbeit WV ist das Volumenintegral des Druckes:
V2
WV = − ∫ p(V )dV
V1
Wärme ist eine Energieform, die durch Temperaturunterschiede
übertragen wird. Dabei bleibt in einem energetisch abgeschlossenen
System, dem von außen weder Energie zugeführt noch entzogen
wird, die Summe aller Energien konstant. Energieaustausch mit der
Umgebung kann durch Arbeitsverrichtung oder durch Wärmeübertragung erfolgen. Die Änderung der inneren Energie ist dann gleich
der Summe aus übertragender Wärme ∆Q und geleisteter Arbeit
∆W :
∆U = ∆Q + ∆W
Adiabatische Prozesse sind Zustandsänderungen, die ohne Wärmeaustausch ( ∆Q = 0 ) mit der Umgebung stattfinden. Für adiabatische Zustandsänderungen gelten die Gleichungen:
pV κ = konst.
68
5.2 Lösungen der Testfragen
TV κ−1 = konst.
Zwischen den drei Aggregatzuständen fest, flüssig und gasförmig
sind Phasenumwandlungen möglich, bei denen latente Wärmen ohne
Temperaturänderung zu- oder abgeführt werden.
69
7 Übungen
7
Übungen
7.1
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
−
ld M
Die Gleichung p s (T) = p 0 e RT beschreibt die Dampfdruckkurve.
Leiten Sie aus der Dampfdruckkurve die vereinfachte Form der Gleidp s ml d
chung von Clausius-Clapeyron
=
ab. Der Dampf soll als
dT VD T
ideales Gas aufgefasst werden. m stellt die Masse und VD das Volumen des Dampfes mit der spezifischen Verdampfungswärme l d
dar.
Aufgabe 2
Zwei Gasbehälter enthalten identische Gase mit folgenden Eigenschaften: V1 = 4 m 3 ; p1 = 3 bar ; T1 = 473 K und V2 = 6 m 3 ;
p 2 = 2,5 bar ; T2 = 423 K . Berechnen Sie den Druck p m und die
Temperatur Tm die sich einstellen, wenn beide Behälter miteinander
verbunden werden und sich die Gase ohne Wärmeaustausch mit der
Umgebung mischen.
Aufgabe 3
Durch ein Rohr mit einer Querschnittsfläche A = 500 mm 2 tritt
Wasser ( c W = 4,187 kJ /( kg K ) ) mit einer Temperatur ϑ E = 60 °C
und einer Strömungsgeschwindigkeit von v = 1 m/s in den Heizkörper einer Warmwasserheizung ein und verlässt ihn mit der Temperatur ϑ A = 30 °C . Welche Wärmemenge wird von dem Heizkörper im
Verlauf eines Tages abgegeben?
7.2
Lösungen der Übungsaufgaben
Lösung der Aufgabe 1:
l M
l M
− d
− d
dp s
l M
l M
1
= − d (−1) 2 p 0 e RT = d 2 p 0 e RT
dT
R
T
RT
Wegen p s (T) = p 0 e
dp s l d M
=
p s (T ) .
dT RT 2
70
-
ld M
RT
folgt:
(Gl. 1)
7.2 Lösungen der Übungsaufgaben
Die Zustandsgleichung des idealen Gases liefert:
p s VD = nRT
Mit n =
m
mRT
folgt p s (T) =
.
M
MVD
Einsetzen in Gl. 1 liefert:
dp s l d M mRT
=
dT RT 2 MVD
dp s
dT
=
ml d
VD T
Lösung der Aufgabe 2:
Es handelt sich hierbei um die adiabate Mischung von zwei Gasen.
Da die Mischung ohne die Verrichtung von Arbeit erfolgt, bleibt die
Summe der inneren Energien der beiden Gase konstant. Aufgrund
der Energieerhaltung ist daher die vom ersten Gas abgegebene Energie gleich der vom zweiten Gas aufgenommenen Energie.
∆Q1 = ∆Q 2
n 1C m (T1 − Tm ) = n 2 C m (Tm − T2 )
Auflösen nach der Mischtemperatur Tm liefert:
Tm =
n 1T1 + n 2 T2
n1 + n 2
Mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = nRT folgt:
Tm =
p1 V1 + p 2 V2
p1V1 p 2 V2
+
T1
T2
Tm = 444 K
pm =
(n 1 + n 2 )RTm
V1 + V2
71
7 Übungen
(
pm =
p1V1
T1
+
p 2 V2
T2
)Tm
V1 + V2
= 2,7 bar
Lösung Aufgabe 3:
Für den Volumenstrom des Wassers durch den Heizkörper gilt:
I V = Av = 5 ⋅ 10 −4 m 3 / s
Für die Massenstromstärke folgt:
I m = ρI V = 0,5 kg / s
Im Verlauf eine Tages ( ∆t = 24 h = 86400 s ) fließt die Wassermasse
∆m = I m ∆t = 432 kg durch den Heizkörper. Sie transportiert dabei
die Wärmemenge ∆Q = c W ∆m(ϑ E − ϑ A ) , die an die Umgebung
abgegeben wird.
∆Q = 5,42 GJ
72
Anhang
Anhang
A1
Griechisches Alphabet
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
73
Anhang
A2
74
Formelzeichen
Symbol
Benennung
Einheit
η
Wirkungsgrad
1
ϑ
Celsiustemperatur
°C
κ
Adiabatenkoeffizient
1
ϕrel
relative Feuchte
1
ρ
Dichte
kg / m 3
σ
Volumenanteil
1
υ
spezifisches Volumen
m 3 / kg
∆T
Temperaturänderung
K
∆V
Volumenänderung
m3
C
Wärmekapazität
J/K
Cm
molare Wärmekapazität
J/(mol K)
c, cp , c V
spezifische Wärmekapazität
J/(kg K)
E, E kin , E pot
Energie
J
f
Freiheitsgrade
1
fa
absolute Feuchte
kg / m3
g
Erdbeschleunigung
m / s2
H
Enthalpie
J
h
Höhe
m
m
Masse
kg
M
molare Masse
kg/mol
n
Stoffmenge
mol
p
Druck
Pa
Q
Wärme
J
T
Temperatur
K
TS
Schmelztemperatur
K
TV
Verdampfungstemperatur
K
U
innere Energie
J
u
spezifische innere Energie
J
V
Volumen
m3
Vm
molares Volumen
m3 / mol
W
Arbeit
J
w
Massenanteil
1
x
Stoffmengenanteil
1
Anhang
A3
Literaturauswahl
Cerbe, G. et al.:
Einführung in die Thermodynamik
Carl Hanser Verlag, München
Hering, E. et al.:
Taschenbuch der Mathematik und Physik
Springer-Verlag, Berlin
Herr, H.:
Technische Physik, Band 3,
Wärmelehre
Europa-Lehrmittel, Haan
Kuchling, H.:
Taschenbuch der Physik,
Fachbuchverlag Leipzig
Lindner, H.:
Physik für Ingenieure,
Lindner, H.:
Physikalische Aufgaben
Aufgrund fortlaufender Aktualisierung seitens der Verlage, wurde
auf die Nennung der jeweils gültigen Auflage sowie auf das Erscheinungsjahr verzichtet.
75

Turbofan-Strahltriebwerk Foto: © Rolls

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