= ∑∑

Algebraische Lö
Lösungsverfahren
Diskrete RadonRadon-Transformation (Vorwä
(Vorwärtsprojektion)
N −1 N −1
aklmn µkl
pmn =
k =0 l =0
Objektverteilung
p (mn)
»1
Diskrete RadonRadon-Transformation (Vorwä
(Vorwärtsprojektion)
Gleichungsnotation:
N −1 N −1
aklmn µkl
pmn =
k =0 l =0
Matrix-Notation:
p = Aµ
p =
A
µ
Ein einfaches Beispiel: 4 Pixel, 8 Strahlen
p0
p1
p2
p3
=
p4
p5
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0, 7
µ0
0,5 0,5 0, 7
µ1
µ2
0, 7 0,5
0
1
0
1
0
0
1
p6
0,5 0,7 0,5
p7
0,5
0
0
1
µ3
0
0, 7 0,5
»2
Ein einfaches Beispiel: 4 Pixel, 8 Strahlen
Gewichte aller Pixel eines Strahls
p0
p1
p2
p3
=
p4
p5
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0, 7
µ0
0,5 0,5 0, 7
µ1
µ2
0, 7 0,5
0
1
0
1
0
0
1
p6
0,5 0,7 0,5
p7
0,5
0
0
1
µ3
0
0, 7 0,5
Gewichte aller Strahlen durch ein Pixel
Diskrete RadonRadon-Transformation (Vorwä
(Vorwärtsprojektion)
p
=
p
=
A ist im Allgemeinen
groß (dim(A)>10000)
und schwach besetzt
A
µ
A
µ
Objektwerte
Messwerte = Strahlsummen
Eigenschaften der Abbildungsmatrix A
»3
Diskrete RadonRadon-Transformation (Vorwä
(Vorwärtsprojektion)
p =
A
µ
p =
A
µ
p=
A
Gleichungssystem
überbestimmt
Gleichungssystem
bestimmt,
A quadratisch
Gleichungssystem
unterbestimmt
damit i.A. inkonsistent
keine (exakte) Lösung
falls A nicht rangdefizient
(Rang(A)<Dim(A))
ist, existiert genau eine
Lösung
es existieren unendlich
viele Lösung
µ
Tomographieprobleme sollten überbestimmt sein (Datenredundanz) !
Wichtige diskrete Operatoren in Matrixnotation
Vorwärtsprojektion:
p = Aµ
(Ungefilterte) Rückprojektion:
b = A Tp
Gefilterte Rückprojektion:
µˆ = Hb = HA Tp
»4
Die LeastLeast-SquaresSquares-Lösung
Diskrete RadonRadon-Transformation (Vorwä
(Vorwärtsprojektion)
- Residuum -
Gleichungsnotation:
N −1 N −1
aklmn µkl + rmn
pmn =
k =0 l =0
Matrix-Notation:
p = Aµ + r
Der Residuenvektor r steht für Abweichungen realer Messwerte vom erwarteten
Messwert (Modellungenauigkeiten, Messungenauigkeiten, Rauschen)
»5
Ziel der Rekonstruktion: Minimierung des Datenraumresiduums
2
r = p - Aµ
2
Min !
gemessene ModellProjektion projektion
Ziel der Rekonstruktion: Minimierung des Datenraumresiduums
2
N −1 N −1
2
aklmn µkl
r = pmn −
Min !
k =0 l =0
gemessene
Projektion
Modellprojektion
»6
Minimierung des Datenraumresiduums
2
r = p - Aµ
∂ p - Aµ
∂µ
2
= (p - Aµ )(p - Aµ )T
Min !
2
= 0!
∂(p - Aµ )T (p - Aµ )
= 0!
∂µ
2 AT (p - Aµ ) = 0
AT p - AT Aµ = 0
µ = ( AT A) −1 AT p
Minimierung des Datenraumresiduums
T
−1
T
µ = ( A A) A p
Punktantwortfunktionen
der Projektion und
Rückprojektion für jedes Pixel
Rückprojektion
»7
Minimierung des Datenraumresiduums
p
r
Aµ
Lösungsraum des
Gleichungssystems
Der minimale Residuenvektor steht senkrecht auf dem Least-Squares-Lösungsvektor Aµ.
Minimale Norm
Ein über- oder genau bestimmtes Gleichungssystem kann „versteckt“ unterbestimmt sein. Man spricht von
einer Rangdefizienz der Matrix A, d.h. Rang(A)<Dim(A).
Praktisch äußert sich Rangdefizienz in multiplen Lösungen, d.h. es gibt unendlich viele µ
(einen Lösungsraum), die die LS-Norm erfüllen.
Die LSMN-Lösung (least squares minimum norm) ist diejenige Lösung, für die ||µ||->min gilt.
»8
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als
direktdirekt-algebraischer Ansatz
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als Lö
Lösungsverfahren
Ausgangspunkt: Die Abbildungsmatrix ist sehr groß und ist schlecht konditioniert, deshalb lässt sie sich nicht
mit direkten Verfahren invertieren (zum Beispiel Cholesky-Zerlegung)
Eine Alternative ist die Singulärwertezerlegung. Sie ist für Matrizen bis zu einer Dimension von ca.
2000x2000 per Computeralgorithmus realisierbar.
A = USV T
p = USV Tµ
ObjektraumEigenvektoren
(quadratisch)
DatenraumEigenvektoren
(quadratisch)
A
=
U
S
V
»9
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als Lö
Lösungsverfahren
s0
0
s1
Singulärwert (si)
s2
sn
0
Singulärwertnummer i
Die Singulärwertzerlegung ist eine Erweiterung der Eigenwertzerlegung für nichtquadratische Matrizen.
Der Singulärwert bezeichnet die Stärke (das Gewicht), mit dem ein Objektraumeigenvektor in einen
Datenraumeigenvektor überführt wird. Die Singulärwertematrix S ist eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente (Singulärwerte) absteigend angeordnet sind.
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als Lö
Lösungsverfahren
Folgende Eigenschaften der Matrizen machen die Singulärwertzerlegung attraktiv:
U und V sind quadratisch und orthonormal, d.h.
U -1 = U T
V -1 = V T
damit vereinfacht sich die Inversion zu
-1
A = USV
T
−1
= (V T ) −1 S −1U −1
= VS -1U T
effektiv muss nur die Diagonalmatrix S invertiert werden.
»10
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als Lö
Lösungsverfahren
... und das ist prinzipiell einfach
s0
0
s1
1/s0
s2
1/s1
0
1/s2
sn
0
0
1/sn
Die Singulä
Singulärwertzerlegung als Lö
Lösungsverfahren
Singulärwert (si)
inverser Singulärwert (si)
Praktisch wird das Singulärwertespektrum mit Regularisierung invertiert. Es werden große inverse
Singulärwerte gedämpft oder abgeschnitten. Der Effekt ist identisch zur Modifikation des Rampenfilters
in den Rückprojektionsalgorithmen.
Singulärwertnummer i
Singulärwertnummer i
»11
Iterative Lö
Lösungsverfahren
Herleitung der algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Schritt 1: Startvektor
µ = µ0
Iteration: Sukzessive Korrektur des Objektvektors anhand des für einen Projektionswert
berechneten Residuums:
i=0,1,2,3,...,Np-1,0,1,... n=0,1,2,3,...
-
Projektionswert
Iterationsschritt
Ai
pi
ri(τ ) = pi( mess ) − Aiµ (τ )
µ (τ +1) = µ (τ ) + c(τ )
p =
A
µ
»12
Herleitung der algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Wie muss der Korrekturvektor c gewählt werden ?
pi(τ ) = Aiµ (τ )
(τ +1)
i
p
(
= Ai µ
(τ )
+c
(τ )
)
!
p ( mess )
=
p ( mess ) = pi(τ ) + A i c(τ )
p ( mess ) − pi(τ ) = Ai c(τ )
c(τ ) = Ai−1 p ( mess ) − pi(τ ) = A i−1ri (τ )
Herleitung der algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Problem:
Lösung:
Inverse einer einzeiligen Matrix gibt es nicht.
Moore-Penrose-Inverse
−1
i
−1
i
Ai A = 1
A =
ATi
Ai
2
c(τ ) = A i−1 p ( mess ) − pi(τ )
=
ATi
Ai
2
p ( mess ) − pi(τ )
»13
Herleitung der algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Daraus folgt die Korrekturvorschrift:
µ (τ +1) = µ (τ ) + c(τ )
=µ
(τ )
+
ATi
Ai
2
p ( mess ) − pi(τ )
Die algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Die Korrekturvorschrift in Gleichungsnotation:
N −1 N −1
aklmn pmn −
µkl(τ +1) = µkl(τ ) + λ
aklmn µkl(τ )
k =0 l =0
N −1 N −1
2
aklmn
k =0 l =0
µkl(τ )
µkl(0)
Objektpixel
Startwert
λ ∈ [ 0, 2]
τ∈
Relaxationsfaktor
Iterationsschritt
R. Gordon, R. Bender, G.T. Herman, “Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography”,
J. Theor. Biol., 29, 471, 1970.
»14
Die algebraische Rekonstruktionstechnik ART
Residuum
Messwert
Modellprojektion
N −1 N −1
aklmn pmn −
µkl(τ +1) = µkl(τ ) + λ
aklmn µkl(τ )
k =0 l =0
N −1 N −1
2
aklmn
k =0 l =0
µkl(τ )
µkl(0)
λ ∈ [ 0, 2]
τ∈
Objektpixel
Startwert
Relaxationsfaktor
Iterationsschritt
R. Gordon, R. Bender, G.T. Herman, “Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography”,
J. Theor. Biol., 29, 471, 1970.
Beispiel: Berechnung Geradenschnittpunkt(e)
Geradenschnittpunkt(e) mit ART
10
(3)
Gerade 1: 5x+5y=4
8
Gerade 2 : 1x+2y=8
6
4
Gerade 3 : 1x-2y=-18
(2)
2
0
-2
(1)
-4
5
5
1
2
-6
1 −2
-8
-10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
4
=
8
-18
10
»15
ART
Aus ART abgeleitete Verfahren: (1) BlockBlock-ART
Prinzip: Mehr als ein Messwert für Korrektur verwenden, zum Beispiel eine komplette Projektion!
µ
(τ +1)
=µ
(τ )
+λ
ATi
Ai
2
p ( mess ) − pi(τ )
pi
Ai
Ai umfasst nunmehr mehr
als eine Zeile!
p =
A
µ
»16
Aus ART abgeleitete Verfahren: (2) SIRT
(Simultane iterative Rekonstruktionstechnik)
Prinzip: Alle Messwerte für Korrektur verwenden!
µ
(τ +1)
=µ
(τ )
+λ
AT
A
2
p ( mess ) − p(τ )
p =
A
µ
Aus ART abgeleitete Verfahren: (3) MART
(Multiplikative algebraische Rekonstruktionstechnik)
Prinzip: Wie ART, nur mit multiplikativer Korrektur!
µ
(τ +1)
=µ
(τ )
AiT
pi
⋅ 1− λ
1−
Ai ⋅ µ (τ )
max( Ai )
»17
Zusammenfassung
Bildrekonstruktionsalgorithmender
der CT
CT
Bildrekonstruktionsalgorithmen
Analytische
Verfahren
Gefilterte Rü
Rückprojektion
Faltung im Ortsraum
Filterung im
Ortsfrequenzraum
Algebraisch
iterative
Verfahren
Algebraisch
direkte
Verfahren
LSMN, additive Korrektur
ART, BlockBlock-ART,
ART, SIRT
Singulä
Singulärwertzerlegung
LSMN, multiplikative Korrektur
MART, BlockBlock-MART,
MART, MSIRT
Rückprojektion gefilterter
Projektionen
Faltung im Ortsraum
andere
ILS, ISS, ISR, EMT,
CG, POCS
Filterung im
Ortsfrequenzraum
»18