Skriptum - Fachschaft Philosophie

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LU D W I G M A X I M IL I A N S U N IV E R S I TÄT
MÜNCHE N
FACHSCHAFT PHILOSOPHIE
EINFÜHRUNGSWOCHE 2009
3
Vorwort
Liebe Kommilitoninnen und Kommilitonen,
in diesem Skriptum haben wir einige Informationen für euch zusammengestellt, die euch den
Studienanfang und den Einstieg in die Logik-Vorlesung hoffentlich etwas erleichtern.
Die Texte zu den Arbeitsmethoden stammen von Dozentinnen und Dozenten unserer Fakultät und geben eine erste Orientierung darüber, wie man an philosophische Texte und eigene
Arbeiten herangehen sollte. Manche sind allerdings nur als Beispiel zu verstehen; etwa bei
Seminararbeiten solltet ihr immer auch die Empfehlungen und Kriterien eurer eigenen Dozentinnen und Dozenten beachten.
Den Haupteil bildet das Material zum Logik-Vorkurs. Es basiert auf einem Skriptum von Martin Kliebhan, der den Logik-Vorkurs vor zwei Jahren ins Leben rief. Falls ihr etwa Fehler im
Text entdeckt oder bestimmte Teile unverständlich findet, sind wir für eure Hinweise immer
dankbar. Im Anhang findet ihr zum Nachschlagen zusätzlich einige Auszüge aus Prof. Links
Skriptum „Collegium Logicum“, das auch in der Vorlesung verwendet wird.
Weitere Informationen und aktuelle Hinweise findet ihr immer auf unserer Homepage:
www.fachschaft.philosophie.uni-muenchen.de
Wir wünschen euch einen guten Start ins Semester!
Eure Fachschaft Philosophie
4
Inhaltsverzeichnis
1 Arbeitstechniken
7
1.1 Lektüre philosophischer Texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Erstes Lesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Strukturierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Klärung der Verständnisschwierigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Sachliche Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Verfassen einer Seminararbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Techniken zu Inhalt und Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Sich selbst über die Struktur klar werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Die Struktur für den Leser klar machen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Stil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Satzstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Wortebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Grundregel: Spezifisch argumentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Typ von Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Umgang mit anderen Positionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Modalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3 Zitieren und Bibliographieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Korrektes Zitieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Korrektes Bibliographieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4 Protokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Äußere Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Inhaltliche Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Stil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5 Essays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2 Logik-Vorkurs
17
5
6
INHALTSVERZEICHNIS
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Was ist Logik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Logische Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Objekt- und Metasprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Das logische „und“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Das logische „oder“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Die Verneinung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Das Konditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Das Bikonditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Komplexe Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Mitteilungszeichen und Quasi-Anführungszeichen . . . . . . . . . . . . .
22
Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Baumtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Q-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Explizitfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Konditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Kalish-Montague-Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Logische Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Schlussregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Direkte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Bedingte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Indirekte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Vokabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Individuenkonstanten und Prädikatkonstanten . . . . . . . . . . . . . . .
37
Quantoren und Individuenvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Kalish-Montague-Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
A Auszüge aus dem Collegium Logicum
43
B Gebäudepläne
59
Kapitel 1
Arbeitstechniken
1.1
Lektüre philosophischer Texte
Von Johannes Hübner
Erstes Lesen
Durch die erste Lektüre verschafft man sich einen Überblick über das Ganze. Man kann sich
dabei an den folgenden Fragen orientieren:
• Was ist das Thema? Um welches Problem geht es?
• In welchem Zusammenhang steht der Text (knüpft der Autor z.B. an eine Diskussion
an)?
• Worauf möchte der Autor hinaus? Welche These vertritt er? (Man darf unterstellen, daß
eine These aufgestellt wird.)
Unbekannte Begriffe sollen in Wörterbüchern oder, sofern vorhanden, in Kommentaren nachgesehen werden. Wenn, was wahrscheinlich ist, sachliche Verständnisschwierigkeiten auftreten, sollte man an einem Problem nicht zu lange hängen bleiben, sondern es notieren und
dann weiterlesen. Das Problem klärt sich möglicherweise später durch den Kontext.
Strukturierung
In einem zweiten Durchgang sollte man sich den Aufbau des Textes klarer machen und eine
sinnvolle Gliederung finden. Leitfragen sind:
• Welche Aufgabe haben die einzelnen Abschnitte? Was tut der Autor in den einzelnen
Abschnitten?
• Was sind die zentralen Begriffe, wie lassen sie sich paraphrasieren?
• Was ist das Verhältnis der einzelnen Abschnitte zur Hauptthese?
Es ist hilfreich, sich entsprechende Überschriften in den Text einzufügen, z.B. „Fragestellung“,
„These“, „Prämissen“, „Folgerung“, „Terminologie“, „Beispiele“, „Zusammenfassung“. Dabei
orientiert man sich an Wörtern wie „also“, „denn“ und „z.B.“. Bei manchen Autoren, z.B. bei
Platon, ist es wichtig zu fragen, welchen Beitrag die Form der Darstellung (Mythos, Dialog
etc.) für die Aussage des Textes leisten soll.
7
8
KAPITEL 1. ARBEITSTECHNIKEN
Klärung der Verständnisschwierigkeiten
Die übrig gebliebenen Verständnisschwierigkeiten sind möglichst präzise zu formulieren, d.h.
man sollte genau sagen, was man nicht versteht. Dabei ist eine Paraphrase der betreffenden
Aussagen hilfreich. Wenn sich das Problem nicht schon durch klare Formulierung auflöst,
kann man weiter fragen:
• Hat der Autor einen von dem unsrigen abweichenden Sprachgebrauch?
• Ist seine Terminologie einheitlich?
• Liegen Druck- oder Übersetzungsfehler vor?
• Wenn es nicht gelingt, eine metaphorische in eine nicht metaphorische Aussage zu
paraphrasieren: Gibt es Hinweise dafür, dass der Autor die Metapher für unvermeidlich
hält?
Gegebenenfalls sind die Originaltexte und, sofern vorhanden, Kommentare heranzuziehen.
Unverständnis äußert sich oft etwa so: „Das kann er doch nicht meinen!“ Man sollte damit
rechnen, daß es doch so gemeint ist, und fragen:
• Welche (möglicherweise historisch erklärbare) stillschweigende Voraussetzung steckt
hinter einer prima facie befremdenden Aussage?
Sachliche Bewertung
Besonders in älteren Texten stößt man auf Aussagen, auf die man zunächst mit „Das sieht
man heute aber anders“ reagieren möchte. Hier kann man fragen:
• Gibt es wirklich einen zwingenden Grund, die Dinge so zu sehen, wie man sie heute
sieht?
• Und wenn ja, kann man den Text von den fraglichen Aussagen befreien, ohne daß die
Hauptthese untergraben wird?
Man sollte möglichst lange zwischen „Das verstehe ich nicht“ und „Das ist Unsinn“ unterscheiden und erst dann zur Kritik übergehen, wenn man das Gemeinte erfaßt zu haben glaubt. Zu
fragen ist:
• Ist der Aufbau des Textes zweckdienlich?
• Ist die Argumentation schlüssig? Welche stillschweigend zu ergänzenden Prämissen
werden unterstellt?
• Leuchten die Prämissen ein?
• Übergeht der Autor Sachverhalte, die für seine These relevant sein könnten?
• Was kann man von dem Text insgesamt lernen? Welche These ist einer eingehenden
Erwägung wert?
Bei der Kritik längerer Texte ist besondere Geduld erforderlich. Man sammelt während der
Lektüre Fragen in bezug auf die Thesen, um zu prüfen, ob sie sich am Schluß beantworten
lassen. Hier sind die Fragen wichtig:
1.2. VERFASSEN EINER SEMINARARBEIT
9
• Ist der Text insgesamt kohärent?
• Werden die gegebenen Versprechen eingelöst?
• Was erklärt der Text?
• Welche „Kosten“ sind zu zahlen (etwa: ontologische Annahmen, Beanspruchung unserer Intuitionen)?
Grundsätzlich gilt: Man muß Geduld üben, dem Autor „Kredit“ geben und sich auf seine
Be-grifflichkeit einlassen, wenn man etwas von ihm lernen will. Dort, wo man nichts glaubt
lernen zu können, wird man auch nichts lernen.
1.2
Verfassen einer Seminararbeit
Von Michael von Grundherr
Techniken zu Inhalt und Struktur
Inhalt
• „Elevator test“ durchführen: Was würde ich sagen, wenn ich meinen Aufsatz in 30
Sekunden beschreiben müsste?
• Das Thema mit jemandem diskutieren. Dabei merkt man schnell, ob man weiß, was
man eigentlich sagen will.
• Ganz konkret: Den Text in einer neuen Datei speichern und dann kürzen – man kann
immer wieder zurück zur alten längeren Version. So wird man überflüssige Abschnitte
los, die einem besonders gut gefallen.
Sich selbst über die Struktur klar werden
• Abstract schreiben. Wenn der Text gut gegliedert ist, kann man ihn leicht zusammenfassen.
• Versuchen, Überschriften für jeden Abschnitt zu geben. Dabei merkt man, ob die Abschnitte logisch aufeinander aufbauen.
• Mit der Gliederung experimentieren. In einer späten Phase der Arbeit passt die ursprüngliche Gliederung oft nicht mehr zu der Arbeit. Wenn man den Text umstellt und
dann ohne Problem viel kürzen kann, ist die neue Struktur besser.
Die Struktur für den Leser klar machen
• Explizite Thesen einführen, auf die man sich später wieder beziehen kann. Beispiel:
„Einige Utilitaristen vertreten folgende Position:
(U1) Eine Handlung ist in dem Maße moralisch gut, in dem sie die Gesamtsumme des
Nutzens maximiert.“
10
• Meilensteine setzen. Beispiel:
„Im nächsten Abschnitt argumentiere ich dafür, dass P aus Q folgt.“)
• Zwischenzusammenfassungen einfügen. Beispiel:
„Mein Argumentationsziel war, Q in drei Schritten zu zeigen. Die ersten beiden, nämlich
. . . , sind jetzt abgeschlossen.“
Stil
Allgemeines
• Den Text laut vorlesen
Stolpert man über eine Formulierung oder klingt der Text nicht flüssig, dann kann er
noch verbessert werden.
• Beispiele verwenden
An einem Beispiel kann sich der Leser einen komplizierten Gedanken viel leichter klar
machen. Zudem sieht man an einem Beispiel selbst recht schnell, ob das eigene Argument funktioniert.
• Unnötige Betonung vermeiden
Meistens sind Wörter und Phrasen wie „sehr“, „tatsächlich“, „extrem“, „außergewöhnlich“ oder „es ist wichtig, zu erwähnen“ unnötig und können einfach gestrichen werden.
• „Ich“-Phrasen vermeiden
Meistens können Phrasen wie „ich denke“, „meiner Meinung nach“ ersatzlos gestrichen werden. Nicht zu verwechseln mit der veralteten Regel, nach der man „ich“ nicht
schreiben soll und durch „wir“-Sätze oder Passiv-Konstruktionen umgehen soll.
Satzstruktur
• Zwei einfache Sätze sind besser als einen komplizierter Satz
Auch dabei merkt man oft, dass eine komplizierte Formulierung Unklarheiten verdeckt.
Dazu ein etwas längeres Beispiel:
„Auf der Basis der Einsicht in die Unmöglichkeit einer nicht-institutionalisierten Moral,
die man aus der Analyse der Beschränkungen des menschlichen Einfühlungsvermögens
gewinnt, kann man nun dafür argumentieren, dass der Staat notwendigerweise als
Garant der Sittlichkeit auftreten muss.“
⇒ „Analysiert man die Beschränkungen des menschlichen Einfühlungsvermögens, so
gelangt man zu der Einsicht, dass Moral institutionalisiert sein muss. [*] Auf dieser
Basis kann man dafür argumentieren, dass der Staat notwendigerweise als Garant der
Sittlichkeit auftreten muss.“
([*]: Es zeigt sich, dass das kein vollständiges Argument ist! Ist vielleicht folgendes gemeint?)
⇒ „Hat man einmal eingesehen, dass das menschliche Einfühlungsvermögen beschränkt
ist, erkennt man, dass Moral institutionalisiert sein muss. Mit dieser Prämisse kann man
überzeugend dafür argumentieren, dass nur der Staat Sittlichkeit garantieren kann.“
1.2. VERFASSEN EINER SEMINARARBEIT
11
⇒ „Das menschliche Einfühlungsvermögen ist begrenzt. [**] Daher muss es Institutionen geben, die Moral durchsetzen. Nur der Staat kann solche Institutionen bereitstellen.“
(Bei [**] fehlt noch eine Prämisse! Vielleicht soll folgendes gesagt werden!)
„Das menschliche Einfühlungsvermögen ist begrenzt. Es ist daher nicht stark genug, um
Menschen zum moralischen Handeln zu bewegen. Daher muss es Institutionen geben,
die Moral durchsetzen. Nur der Staat kann solche Institutionen bereitstellen.“
• Passiv vermeiden
„Im ersten Kapitel wird von Kant dafür argumentiert, dass P.“
⇒ „Kant argumentiert im ersten Kapitel dafür, dass P.“
• Partizipien vermeiden
„Beim Versuch des Verstehens seiner selbst, droht dem Bewusstsein das Zerbrechen der
Identität.“
⇒ „Wenn das Bewusstsein versucht, sich selbst zu verstehen, droht seine Identität zu
zerbrechen.“
Wortebene
• Kurze Wörter und Ausdrücke bevorzugen
„Ich bin der Meinung, dass Kants Argument schlüssig ist.“
⇒ „Ich meine, dass Kants Argument schlüssig ist.“
• Fremdwörter vermeiden
„Die Existenz epistemologischer Akzente in diesen Paragraphen propädeutischen Charakters legitimiert auch eine Exegese, die der Intention des Autors zuwiderläuft.“
⇒ „Die erkenntnistheoretischen Schwerpunkte in diesen vorbereitenden Abschnitten
rechtfertigen eine Auslegung, die der Absicht des Autors zuwiderläuft.“
• Füllwörter streichen
„Nun muss man aber durchaus zugestehen, dass denken wichtig ist.“
⇒ „Man muss aber zugestehen, dass denken wichtig ist.“
(oder am besten) „Allerdings ist denken wichtig.“
Argumentation
Grundregel: Spezifisch argumentieren
• Nie mehr zeigen, als nötig/gefragt ist. Sonst wird das Argument angreifbar und umständlich.
• Schwammige allgemeine Thesen und Passagen ohne Argument streichen.
12
Typ von Argument
Weiß ich, welchen Typ von Argument ich verwende?
• Logisches Argument (z.B. interne Widersprüche einer Position zeigen)
• Plausibilitätsargument (z.B. einen Fall suchen, in dem eine angegriffene Position unplausibel ist)
• Begriffsanalyse (z.B. fragen, wie wir „Verantwortung“ üblicherweise verwenden)
• Textauslegung (z.B. fragen, was Hobbes mit „reason“ im Ggs. zu „prudence“ meint)
• Textkritik (z.B. argumentieren, dass die Unterscheidung zwischen „reason“ und „prudence“ keinen Sinn macht)
Umgang mit anderen Positionen
• Ist klar, gegen welche These des Gegners ich argumentieren will?
• Ist klar, welches mein Argument ist und welches ein Argument des Gegners ist?
• Ist klar, wann ich die Position eines Autors referiere und wann ich meine eigene Position
darstelle? Indirekte Rede/Konjunktiv verwenden!
Ableitungen
• Habe ich explizit gemacht, welche Prämissen ich verwende?
• Hat mein Argument die richtige Stärke? (Falsch wäre zum Beispiel nur „wenn P dann
Q“ statt „P gdw. Q“ zu zeigen)
• Habe ich notwendige und hinreichende Bedingungen auseinander gehalten?
Modalitäten
• Ist mir klar, ob ich dafür argumentiere, dass etwas notwendig, möglich oder tatsächlich
der Fall ist?
• Ziehe ich aus Beispielen den richtigen Schluss? Gegenbeispiele zeigen, dass etwas nicht
notwendig ist, nicht dass es unmöglich ist. Positive Beispiele zeigen eine Möglichkeit,
keinen allgemeingültigen Zusammenhang.
1.3
Zitieren und Bibliographieren
Von Tatjana Schönwälder-Kuntze
Grundsätzlich gilt: Alle Gedanken und Überlegungen, die nicht aus dem eigenen Kopf stammen, müssen als solche gekennzeichnet werden!
1.3. ZITIEREN UND BIBLIOGRAPHIEREN
13
Korrektes Zitieren
• Direkte wörtliche Übernahmen aus Quellen müssen durch Anführungszeichen als Zitate
kenntlich gemacht werden. Direkt nach den schließenden Anführungszeichen ist die
zugehörige Fußnote einzufügen.
• Zitate, die im laufenden Text nicht mehr als drei Zeilen umfassen, werden in den Text
gesetzt. Längere Zitate hingegen werden, der Übersichtlichkeit wegen, durch Einrücken
und reduzierte Schriftgröße vom übrigen Text abgehoben.
• Der Quellentext muss innerhalb eines direkten Zitates eins zu eins wiedergegeben werden, d.h. gegebenenfalls auch nach alter Rechtschreibung oder ohne Korrektur möglicher Rechtschreibfehler. Letztere sind allerdings durch ein in eckige Klammern gesetztes
[sic] als zum Quellentext gehörig auszuweisen.
„Auf diese Weise führt Humes Empirism [sic] in Grundsätzen auch unvermeidlich auf den Skeptizism [sic], selbst in Ansehung der Mathematik, folglich in allem wissenschaftlichen theoretischen Gebrauche der Vernunft [...]“.
1
• Wird das direkte Zitat in einen laufenden Text eingearbeitet, ist das Zitatstück grammatisch und syntaktisch an den Text anzupassen. Allerdings müssen die Veränderungen
durch eckige Klammern eingeschlossen und damit als vom Quellentext abweichend
kenntlich gemacht werden.
• Der für ein Zitat ausgewählte Quellentext muss nicht in voller Länge wiedergegeben
werden, wenn gewisse Textpassagen oder Satzteile als für die Kernaussage abkömmlich eingestuft werden. Diese Textstücke können ausgelassen werden. Die Auslassungen
müssen aber immer durch drei Punkte in eckigen Klammern angezeigt werden. Auslassungen dürfen allerdings nicht dazu führen, die ursprüngliche Aussage zu verfälschen.
In der Hoffnung auf den ewigen Frieden gebot schon Kant 1795, dass sich
„[k]ein Staat [...] in die Verfassung und Regierung eines anderen Staats gewalttätig einmischen“ solle, sonst „[...] würde diese Einmischung äußerer
Mächte [...] die Autonomie aller Staaten unsicher machen“. 2
• Hervorhebungen, z.B. durch Kursivdruck prägnanter Ausdrücke, werden in der Fußnote
dem Verfasser des vorliegenden Textes zugeschrieben.
„Ganz besonders gefielen mir die mathematischen Disziplinen wegen der Sicherheit und Evidenz ihrer Beweisgründe, aber noch sah ich ihren wahren
Nutzen nicht“.3
• Auch sinngemäße, d.h. nicht wörtliche, Wiedergabe fremden Gedankengutes muss durch
eine Fußnote dem jeweiligen Denker eindeutig zugeordnet werden. Dazu wird an den
Anfang des Fußnotentextes ein Vgl. gesetzt. Bei indirekten Zitaten ist darauf zu achten,
dass die ursprüngliche Aussage im Prozess der Paraphrasierung nicht verfälscht wird.
1
Kant, Immanuel (1788/2003): Kritik der praktischen Vernunft. Hamburg : Meiner, S. 71. (AA Bd. 5, S. 52)
Kant, Immanuel (1795/2003): Zum ewigen Frieden. Stuttgart: Reclam, Fünfter Präliminarartikel zum ewigen
Frieden unter Staaten, S. 6f.
3
Descartes, René (1637/19972): Von der Methode des richtigen Vernunftgebrauches und der wissenschaftlichen Forschung. Französisch-Deutsch. Hamburg : Meiner, S. 9 [Hervorhebung : F.Z.]
2
14
Nach der Auffassung von John Rawls zeigt sich die Vernünftigkeit des Menschen bereits in der Fähigkeit, zur Erreichung eines gegebenen Zieles die
wirksamsten Mittel zu finden.4
Korrektes Bibliographieren
Grundsätzlich gilt: Kursiv wird das hervorgehoben, nach dem im ersten Schritt gesucht wird.
Bei Zeitschriften, deren Titel; bei Sammelbänden, deren Titel.
• Selbständig erschienene Quellen (Monographien, Bücher von einem oder mehreren
Autoren; keine Sammelbände):
Name, Vorname (JahreszahlAuflage ): Titel. Untertitel. Verlagsort: Verlag (=Reihe).
Descartes, René (1637/19972 ): Von der Methode des richtigen Vernunftgebrauchs und der
wissenschaftlichen Forschung. Französisch-Deutsch. Hamburg: Meiner.
• Unselbständig erschienene Quellen (Aufsätze, Artikel, Beiträge, Tagungsberichte)
– Quellen in Sammelbänden:
Name, Vorname (Jahreszahl): „Titel. Untertitel“. In: Name, Vorname (Hg.): Titel.
Untertitel. Auflage. Verlagsort: Verlag (=Reihe). Seitenangabe.
Bien, Günther (1995): „Gerechtigkeit bei Aristoteles“. In: Höffe, Otfried (Hg.): Aristoteles. Die Nikomachische Ethik. Berlin: Akademie Verlag (=Klassiker Auslegen,
Bd. 2). 135-164.
– Quellen in Zeitschriften:
Name, Vorname (Jahreszahl): „Titel. Untertitel“. In: Zeitschriftentitel Bandnummer, Seitenzahl.
Schmucker, Reinhold (2004): „Can War Be a Moral Action? Towards a normative
Theory“. In: Ethical Perspectives 11, 162-175.
– Quellen in Zeitungen:
Name, Vorname (Jahreszahl): „Titel. Untertitel“. In: Zeitungsname Nummer der
Ausgabe, Erscheinungsdatum, Seitenzahl.
Habermas, Jürgen (2003): „Was bedeutet der Denkmalsturz? Verschließen wir
nicht die Augen vor der Revolution der Weltordnung: Die normative Autorität
Amerikas liegt in Trümmern“. In: Frankfurter Allgemeine Zeitung 91, 17.4.2003,
33.
• Unveröffentlichte Quellen:
Name, Vorname (Jahreszahl): „Titel. Untertitel“. Typ der Arbeit Ort, Name der Universität.
Zecha, Fabiola (2004): „John Rawls’ Liberalismus. Seine Entwicklung im Lichte der
Kritik“. Magisterarbeit München, Ludwig-Maximilians-Universität.
1.4 Protokolle
4
Vgl. Rawls, John (1971/1979): Eine Theorie der Gerechtigkeit. FaM: Suhrkamp, S. 31
1.5. ESSAYS
15
Äußere Form
Der Kopf sollte Angaben über Folgendes enthalten: Institut, Semester, Titel der Veranstaltung,
Dozent, Datum, Namen des Protokollanten; etwas abgesetzt: Thema der Sitzung.
Das Protokoll soll aus einem fortlaufenden Text bestehen, nicht aus Stichpunkten oder unzusammenhängenden Sätzen. Die sachliche Gliederung soll sich in einer entsprechenden äußeren Gliederung niederschlagen. Zwischenüberschriften sind in der Regel hilfreich. Wenn es
viele Zwischenüberschriften gibt, empfiehlt es sich, diese in einem kleinen Inhaltsverzeichnis
dem Text voranzustellen.
Inhaltliche Gestaltung
Das Protokoll soll kein Verlaufs-, sondern ein Ergebnisprotokoll sein. D.h. insbesondere:
• Der Aufbau des Protokolls soll sich an der Sache orientieren; der sachliche Aufbau kann
von dem Verlauf der Sitzung abweichen; Nebensächlichkeiten müssen nicht protokolliert werden.
• Diskussionen müssen nicht mit der namentlichen Nennung der einzelnen Teilnehmer
wiedergegeben werden; es reicht, die jeweiligen Fragen oder Einwände zu nennen.
• Die einzelnen Ergebnisse sollen nicht nur genannt, sondern auch mit Begründungen
versehen werden.
• Eigene Beiträge (Kommentare oder Ergänzungen) zu dem im Seminar Geleisteten sind
willkommen, sollten aber als solche kenntlich gemacht werden.
Stil
• Verständlichkeit: Man sollte nur das festhalten, was man verstanden zu haben glaubt,
und zwar so, daß es auch jemand verstehen kann, der nicht bei der Sitzung anwesend
war.
• Kürze: Man sollte möglichst knapp und entschieden schreiben. Wiederholungen, wie
sie in einer Seminarsitzung häufig sind, sollen im Protokoll nicht auftauchen. Auch
Reihungen von alternativen Formulierungen sollten vermieden werden.
Umfang
Der Umfang richtet sich nach dem Ertrag der Sitzung; nach meiner Erfahrung reichen aber
zwei normal formatierte Seiten aus, um alles Wichtige darzustellen.
1.5
Essays
Bewertungskriterien am Beispiel eines Sprachphilosophie-Seminars
Umfang: max. 6 normal formatierte Seiten (Abstand 1,5; 12pt; Rand rechts 3 cm)
16
Beispielthema: Diskutieren Sie Freges Argumente für die These, daß Sinn und Bezug zu unterscheiden sind! Textgrundlage:
Frege, „Über Sinn und Bedeutung“
Lycan, Philosophy of Language, Chap. 2
1. Beschäftigt sich der Essay mit dem Essaythema?
• Wird die angegebene Literatur verwendet?
• Ist die Diskussion ausgewogen? Werden pro und contra erörtert, wenn nach pro
und contra gefragt ist?
2. Werden die Fachtermini eingeführt?
3. Verständlichkeit:
• Läßt sich das mit einem Satz Gemeinte spätestens nach dem zweiten Durchlesen
verstehen? (Andeutungen, die das Gemeinte ahnen lassen, reichen nicht.)
4. Präzision im Ausdruck
• Wird zwischen Name („Otto“) und benanntem Objekt (Otto) unterschieden, zwischen Prädikat und Eigenschaft, die durch das Prädikat ausgedrückt wird?
• Ist, wenn es um Sätze gehen soll, auch von Sätzen die Rede (und nicht z.B. von
Prädikaten?) Hinweis: Verständlichkeit hat Vorfahrt vor Vollständigkeit! Lassen Sie
ein Argument weg, wenn Sie das Gefühl haben, es nicht verstanden zu haben.
5. Ist die Gliederung einsichtig?
• Wird nach Problemen gegliedert, oder wird hin und her gewechselt? Hinweis:
Kurze Zwischenüberschriften sind hilfreich. Absätze im Text sollten gedankliche
Zusammenhänge anzeigen. Eine Seite, die keinen einzigen Absatz enthält, enthält
vermutlich zu wenig Absätze; eine Seite, die 10 Absätze enthält, enthält vermutlich zu viele Absätze.
6. Verständnis der Positionen und Probleme
• Wird korrekt dargestellt, was Frege sagt?
7. Argumentation, gedanklicher Zusammenhang
• Sind die Argumente verständlich dargestellt? Sind sie korrekt dargestellt?
• Wird ein eigener Standpunkt vertreten?
• Wird ein gedanklicher Zusammenhang erkennbar?
8. Äußerlichkeiten
• Rechtschreibung, Syntax
• Nachweise der Bezugsstellen
(Schlampigkeit in dieser Hinsicht führt zur Minderung der Note um eine Stufe)
9. Extra, das nicht obligatorisch ist
• Wird eine These eigenständig entwickelt und begründet?
(Vorzüge in dieser Hinsicht führen zur Hebung der Note um eine Stufe)
Kapitel 2
Logik-Vorkurs
2.1
Einführung
Was ist Logik?
Logik kann als die Lehre des formal richtigen Schließens definiert werden. Es geht in der Logik um die Form von Aussagen, die Struktur von Schlüssen und um Methoden, ihre Gültigkeit
zu prüfen.
In der Philosophie dient die Logik dazu, Argumente klar darzustellen und zu analysieren.
Folgende Beispiele zeigen, warum das wichtig ist:
Die Linkspartei ist kleiner als die SPD. Die SPD ist kleiner als die Union. Also ist
die Linkspartei kleiner als die Union.
Das Argument scheint auf den ersten Blick korrekt zu sein. Alle drei Sätze sind derzeit wahr,
und der dritte ergibt sich irgendwie aus den ersten beiden. Wenn wir aber nur „kleiner sein
als“ durch „koalieren mit“ ersetzen, kommt etwas eigenartiges heraus:
Die Linkspartei koaliert mit der SPD. Die SPD koaliert mit der Union. Also koaliert
die Linkspartei mit der Union.
Die ersten beiden Aussagen sind derzeit auf Länderebene richtig, die dritte ist momentan
aber geradezu unvorstellbar. Dabei hat sich an der Form des Arguments nichts geändert. Es
scheint im Begriff „kleiner sein als“ etwas zu stecken, an das wir uns so weit gewöhnt haben,
dass wir es bei Argumenten wie dem ersten mitdenken, ohne das immer zu bemerken. In
der Philosophie finden sich eine Menge Begriffe, die viel unklarer sind „kleiner sein als“, und
Argumente, die viel komplexer sind als die hier gezeigten. Die Logik kann uns dabei helfen,
Argumente zu verstehen oder zu widerlegen und uns präzise auszudrücken.
Was wir hier treiben, wird auch formale Logik genannt, da es nur um die Form der Aussagen und Argumente geht und nicht um ihren Inhalt. So gesehen kann es uns also egal sein,
wieviele Mitglieder welche Partei hat und wer mit wem koaliert, so wie die Existenz oder
Nichtexistenz Gottes auch nichts an der logischen Struktur eines Gottesbeweises ändert. Andererseits soll die formale Logik für uns auch ein praktisches Werkzeug sein, das uns bei der
Anwendung auf konkrete Fragestellungen hilft und nicht zu Aussagen führt, die den Tatsachen oder unserer Intuition widersprechen. Beispiele wie diese helfen dem Verständnis und
sind ein guter Prüfstein für die Logik, schließlich lässt sich eine allgemeine Aussage durch ein
einziges Gegenbeispiel widerlegen.
17
18
KAPITEL 2. LOGIK-VORKURS
Die Logik kann uns auch helfen, Paradoxien aufzulösen. Ein bekanntes Beispiel ist die LügnerParadoxie:
Dieser Satz ist falsch.
Wenn wir annehmen, dass der Satz wahr ist, dann kommt heraus, dass er falsch ist. Wenn
wir aber annehmen, dass er falsch ist, dann muss seine Umkehrung wahr sein – die besagt
aber, dass der Satz wahr ist. Egal wie man es sieht, ergibt sich also ein Widerspruch. Als eine
mögliche Auflösung der Paradoxie werden wir bald eine Begründung dafür kennen lernen,
warum der Satz sinnlos ist.
Logische Sprachen
Natürliche Sprachen haben viele Zweideutigkeiten, Nuancen und Redundanzen. Es liegt beispielsweise nicht auf der Hand, ob die Sätze „Aus A folgt B“, „Immer wenn A, dann B“ und
„Weil A, gilt B“ äquivalent sind oder nicht. Daher verwendet man in der Logik künstliche
Sprachen, die genau definiert sind und deren Sätze sich in möglichst kurzen Formeln ausdrücken lassen. Nehmen wir etwa den Satz „Die SPD regiert oder sie ist in der Opposition“.
Wenn wir vereinbaren, dass P für „Die SPD regiert“ und Q für „Die SPD ist in der Opposition“
steht, heißt der Satz in der Logik:
P ∨Q
Wie wir bald sehen werden, ist „∨“ das logische Symbol für „oder“. Die Übersetzung von natürlichsprachlichen Sätzen in logische Aussagen ist aber meistens nicht eindeutig, so wie die
Übersetzung von einer natürlichen Sprache in eine andere auch eine Interpretation darstellt,
die manchmal selbst mit Wissen über den Kontext oder den Urheber eines Satzes unklar sein
kann.
Es gibt allerdings nicht nur eine logische Sprache, sondern mehrere, die unterschiedliche
Ausdrucksstärken haben. Wir werden uns im Folgenden mit der Aussagenlogik und mit der
Prädikatenlogik beschäftigen. In der Sprache der Aussagenlogik lassen sich Sätze wie „Die
SPD regiert oder ist in der Opposition“ ausdrücken. Sie ist aber nicht reichhaltig genug, um
die innere Struktur des Satzes „Alle SPD-Mitglieder sind unglücklich“ auszudrücken, was
aber in der Prädikatenlogik durchaus geht. Die Übersetzung in eine logische Sprache kann
also mit einem Informationsverlust verbunden sein, insbesondere wenn die gewählte logische
Sprache nicht angemessen ist.
Objekt- und Metasprache
Wenn wir uns mit Logik beschäftigen, sprechen wir über Sätze. Es sind dabei im Allgemeinen
zwei Sprachen beteiligt: die, in der die Sätze formuliert sind, und die, mit der wir über
die Sätze sprechen. Die erste wird Objektsprache genannt, die zweite Metasprache. Im
folgenden Beispiel ist die Sprache der Aussagenlogik die Objektsprache und Deutsch ist die
Metasprache:
Der Satz „ P ∨ Q“ ist wahr.
Eine Sprache kann aber auch zugleich als Objekt- und Metasprache dienen, so wie im folgenden Beispiel die deutsche Sprache:
Der Satz „Die SPD ist in der Opposition“ ist wahr.
2.2. AUSSAGENLOGIK
19
Auch in solchen Fällen ist die Unterscheidung wichtig. Nehmen wir etwa den Lügner-Satz:
Dieser Satz ist falsch.
Ist das ein meta- oder ein objektsprachlicher Satz? Er drückt etwas über einen Satz aus, so
gesehen müsste er eine metasprachliche Aussage darstellen. Andererseits wird über diesen
Satz etwas ausgesagt, was dafür spricht, dass es sich um eine objektsprachliche Aussage
handelt. In der Logik ist aber eine solche Vermischung von Objekt- und Metasprache nicht
erlaubt. Mit dieser Begründung lässt sich der Satz als sinnlos zurückweisen und die Paradoxie
entschärfen.
Als Metasprache wird meistens eine natürliche Sprache benutzt, in unserem Fall Deutsch,
allerdings werden später auch metasprachliche Symbole eingeführt. Einige Symbole gibt es
sowohl in einer objekt- als auch in einer metasprachlichen Variante, ganz ähnlich wie es in
der Objektsprache das Zeichen „∨“ und in der Metasprache das Wort „oder“ gibt. Gerade weil
aber die Zeichen und ihre Bedeutung oft ähnlich sind, sollte man sich immer klar machen,
auf welcher sprachlichen Ebene man sich gerade befindet.
2.2
Aussagenlogik
Die Grundbausteine der Aussagenlogik sind atomare Sätze, die durch die Satzkonstanten P ,
Q, R usw. ausgedrückt werden. Ein atomarer Satz hat keine innere Struktur, sondern nur eine
einzige Eigenschaft, seinen Wahrheitswert: er ist entweder wahr oder falsch. Es gibt in der
Aussagenlogik keinen dritten möglichen Wahrheitswert wie „unbekannt“ oder „sinnlos“. Das
ist zwar eine bedeutende Einschränkung, die manchmal zu Aussagen führt, die der Intuition
widersprechen, aber sie macht die Arbeit mit der Aussagenlogik auch deutlich einfacher als
alle denkbaren Alternativen.
Atomare Sätze werden in der Aussagenlogik durch Junktoren verbunden. Diese entsprechen
natürlichsprachlichen Ausdrücken wie „und“, „oder“, „es ist nicht der Fall, dass“ usw. Ein
Junktor bildet aus ein oder zwei Teilsätzen einen neuen Satz, dessen Wahrheitswert von den
Wahrheitswerten der Teilsätze auf eine bestimmte Art abhängt. So ist etwa ein Satz, der durch
„oder“ gebildet wird, genau dann wahr, wenn mindestens einer der beiden Teilsätze wahr ist.
Die Bedeutung einer Satzkonstante kann von Fall zu Fall anders sein; in einem Beispiel kann
P für „Die SPD ist in der Opposition“ stehen und in einem anderen für „Guido Westerwelle ist
Außenminister“. Dementsprechend kann sich auch der Wahrheitswert eines atomaren Satzes
von Anwendung zu Anwendung unterscheiden. Die Satzkonstanten werden als die deskriptiven Konstanten der Aussagenlogik bezeichnet, während die Junktoren, deren Bedeutung
immer gleich bleibt, logische Konstanten genannt werden.
Im Prinzip sind 20 verschiedene Junktoren denkbar, für die praktische Anwendung ist diese Zahl aber zu groß, allein schon weil man für jeden Junktor ein anderes Zeichen braucht.
Andererseits würde auch ein einziger Junktor ausreichen, um alle in der Aussagenlogik denkbaren Formeln auszudrücken, allerdings werden dann die Formeln länger und schwerer zu
lesen, da die natürlichsprachliche Struktur meist nicht mehr ersichtlich ist. Als guter Kompromiss erweisen sich die folgenden fünf Junktoren, die auch Standardjunktoren genannt
werden.
20
Junktoren
Das logische „und“
Das logische „und“, das auch als Konjunktion bezeichnet wird, wird mit dem Symbol „∧“ wiedergegeben. Es ist ein zweistelliger Junktor, das heißt es verbindet zwei Sätze miteinander.
Die Konjunktion ist so definiert, wie man es auch von der Umgangssprache her gewohnt ist:
Ein Satz, der mit einer Konjunktion gebildet wurde, ist wahr, wenn beide Teilsätze wahr sind.
Wenn wir umgekehrt wissen, dass eine Konjunktion (d.h. ein Satz, der mit einer Konjunktion
gebildet wurde) wahr ist, dann müssen auch beide Teilsätze wahr sein.
Nehmen wir als Beispiel den folgenden Satz:
Die Union hat die Wahl gewonnen und Angela Merkel ist Bundeskanzlerin.
Wenn wir festlegen, dass P für den Teilsatz „Die Union hat die Wahl gewonnen“ und Q für
„Angela Merkel ist Bundeskanzlerin“ steht, dann lässt sich der Satz in der Aussagenlogik
folgendermaßen ausdrücken:
P ∧Q
Und wahr ist P ∧ Q genau dann, wenn P und Q wahr sind. Diese Erläuterung klingt vielleicht
trivial, vor allem wenn man sie laut liest und dabei das Symbol „∧“ mit dem Wort „und“
wiedergibt. Man muss aber beachten, dass hier verschiedene sprachliche Ebenen vorkommen:
„∧“ ist ein Symbol der Objektsprache, während „und“ zur Metasprache gehört.
Das logische „oder“
Das logische „oder“, auch Disjunktion genannt, hat das Symbol „∨“. Es hat die Bedeutung
eines nicht-ausschließenden Oders: Der Satz „ P ∨ Q“ ist genau dann wahr, wenn P wahr
ist oder Q wahr ist oder sowohl P als auch Q wahr sind. In der Umgangssprache kommt
manchmal ebenfalls ein nicht-ausschließendes Oder vor, etwa im folgenden Beispiel:
Die Bürger waren mit Steinmeier oder seiner Partei unzufrieden.
Üblicherweise würde man den Satz so verstehen, dass es auch möglich ist, dass die Bürger
sowohl mit Steinmeier als auch mit der SPD unzufrieden waren und könnte ihn problemlos
mit dem logischen „oder“ übersetzen.
Die Verneinung
Für die Verneinung, auch Negation genannt, wird das Symbol „¬“ verwendet, das wie „non“
gelesen wird. Im Gegensatz zur Konjunktion und Disjunktion ist die Negation ein einstelliger
Junktor; sie wird also vor einen einzigen Satz gestellt, etwa so:
¬P
Da ein Satz in der Logik entweder wahr ist oder falsch, ist die Definition der Verneinung recht
simpel, denn der Wahrheitswert wird einfach umgedreht: ¬P ist wahr, wenn P falsch ist, und
¬P ist falsch, wenn P wahr ist.
2.2. AUSSAGENLOGIK
21
Das Konditional
Das Konditional hat das Symbol „→“ und wird verwendet, um „wenn, dann“-Aussagen in
der Logik darzustellen. Ein Beispiel für eine solche Aussage ist der folgende Satz:
Wenn Schwarz-Gelb eine Mehrheit hat, dann ist die SPD in der Opposition.
Wenn P für „Schwarz-Gelb hat eine Mehrheit“ und Q für „Die SPD ist in der Opposition“ steht,
dann lautet die Übersetzung in die Aussagenlogk:
P →Q
Das, was vor dem Konditional steht (hier also P ), wird das Antecedens genannt; der Teil
nach dem Konditional (hier Q), heißt das Consequens.
Der Wahrheitswert dieses Satzes ist folgendermaßen definiert:
• Wenn P und Q wahr sind, dann ist auch P → Q wahr. Im Beispiel würde dieser Fall den
tatsächlichen Gegebenheiten entsprechen.
• Wenn P wahr, aber Q falsch ist, dann ist P → Q falsch. Auch diese Definition ist mit der
Umgangssprache verträglich: Wenn es eine schwarz-gelbe Mehrheit gibt, die SPD aber
nicht in der Opposition ist, dann kann offensichtlich die obige „wenn, dann“-Aussage
nicht richtig sein.
• Wenn P falsch ist, dann ist P → Q wahr, unabhängig vom Wahrheitswert von Q. Diese Definition scheint etwas merkwürdig zu sein: Wenn es keine schwarz-gelbe Mehrheit gibt, woher wollen wir dann wissen, dass die SPD in der Opposition wäre, wenn
Schwarz-Gelb eine Mehrheit hätte? Wir wären geneigt, dem Satz „ P → Q“ einen Wahrheitswert wie „unbekannt“ zu geben. In der klassischen Logik gibt es aber nur „wahr“
oder „falsch“, daher folgt die Definition des Konditionals dem Prinzip „im Zweifel für
den Angeklagten“.
Das Bikonditional
Das Bikonditional mit dem Zeichen „↔“ entspricht einer „genau dann, wenn“-Aussage wie
etwa der folgenden:
Cem Özdemir sitzt genau dann im Bundestag, wenn er direkt gewählt wurde.
Damit ist gemeint: Falls Cem Özdemir direkt gewählt wurde, dann sitzt er im Bundestag;
und wenn er im Bundestag sitzt, dann wurde er auch direkt gewählt (denn Özdemir hatte
keinen aussichtsreichen Platz auf der Landesliste). Das Bikonditional kann man sich also wie
ein zweiseitiges Konditional vorstellen. Die Definition des Wahrheitswertes von P ↔ Q sieht
so aus:
• Wenn P und Q beide wahr sind, dann ist auch P ↔ Q wahr.
• Wenn P und Q beide falsch sind, dann ist P ↔ Q ebenfalls wahr. Das entspricht der
Regel bezüglich des falschen Antecedens beim normalen Konditional.
• Wenn P wahr ist, Q aber falsch, dann ist P ↔ Q falsch. Das entspricht der Regel, nach
der auch das Konditional P → Q in diesem Fall falsch ist.
22
• Wenn P falsch ist und Q wahr, dann ist P ↔ Q ebenfalls falsch. Das entspricht der
Regel, dass das Konditional „nach links“, also Q → P , unter diesen Bedingungen falsch
ist.
Das lässt sich auch so zusammenfassen: P ↔ Q ist genau dann wahr, wenn P und Q den
gleichen Wahrheitswert haben.
Komplexe Sätze
Bislang haben wir immer nur einen oder zwei Sätze betrachtet, die durch Junktoren verknüpft werden. Die dabei entstandenen Formeln lassen sich ebenfalls wieder mit anderen
Junktoren verbinden, so dass auch komplexe Sätze formalisiert werden können. Ähnlich wie
bei mathematischen Formeln benutzt man Klammern, um Zweideutigkeiten zu vermeiden.
Nehmen wir etwa folgenden Satz:
Wenn das Wetter schön ist, dann ist die Wahlbeteiligung hoch und die Wiesn gut
besucht.
Wir können mit P für „Das Wetter ist schön“, Q für „Die Wahlbeteiligung ist hoch“ und R für
„Die Wiesn ist gut besucht“ den Satz so formalisieren:
P → (Q ∧ R)
Mitteilungszeichen und Quasi-Anführungszeichen
In den vorausgegangenen Beispielen haben wir uns mit Formeln beschäftigt, die konkrete
Satzkonstanten wie P und Q enthalten. Da wir aber solche Formeln mit anderen Formeln
durch Junktoren verbinden können, müssen wir auch in der Lage sein, Aussagen über beliebige Formeln zu machen. Dazu verwendet man die Mitteilungszeichen „Φ“ (Phi), „Ψ“ (Psi)
und „χ “ (Chi). Mitteilungszeichen, die auch Metavariablen genannt werden, gehören zur
Metasprache, stehen aber für Ausdrücke in der Objektsprache (in diesem Fall Formeln).
Angenommen, „Φ“ steht für die Formel P und „Ψ“ steht für die Formel (Q ∧ R). Nun könnte
man geneigt sein zu sagen, dass dann „Φ → Ψ“ für die uns oben bereits begegnete Formel
P → (Q ∧ R) steht. Allerdings ist „Φ → Ψ“ nichts anderes als das, was dort steht, nämlich der
griechische Buchstabe „Φ“, das Konditional-Symbol „→“ und der griechische Buchstabe „Ψ“.
Um das auszudrücken, was wir meinen, müssen wir Quasi-Anführungszeichen, auch Quine
Corners genannt, verwenden:
ðΦ → Ψñ
Die Quasi-Anführungszeichen weisen darauf hin, dass mit den Mitteilungszeichen nicht die
Zeichen selbst gemeint sind, sondern das, was sie mitteilen, hier also die jeweiligen Formeln der Objektsprache. Wenn ein Mitteilungszeichen alleine steht, sollte man sich QuasiAnführungszeichen immer dazudenken, denn dort werden sie aus Bequemlichkeit meist weggelassen. Mit Φ ist also die Formel gemeint, für die das Zeichen „Φ“ steht.
Syntax
Bisher haben wir die Sprache der Aussagenlogik ungefähr so betrachtet, wie man auch
Fremdsprachen ganz am Anfang typischerweise lernt: Man schaut sich einfache Beispielsätze
2.2. AUSSAGENLOGIK
23
an, um ein Gefühl für die Sprache zu bekommen. Bei jeder Art von Sprache lohnt es sich
aber, früher oder später auch die genauen Regeln anzuschauen, nach denen Sätze gebildet
werden und wie sie zu verstehen sind. Dabei unterscheidet man zwei Bereiche: Die Syntax
gibt an, wie Sätze aufgebaut werden, während es bei der Semantik um die Bedeutung von
Sätzen geht. Beispielsweise ist der Satz „Wenn Sie in Heathrow in London oder sonstwo meine s Charles de Gaulle in äh Frankreich oder in äh in in Rom.“ syntaktisch nicht korrekt. Das
Beispiel „Sie steigen in den Hauptbahnhof ein.“ hingegen ist syntaktisch völlig in Ordnung,
es liegen aber offensichtliche semantische Schwierigkeiten vor.
Wir werden nun die Syntax der aussagenlogischen Sprache definieren.
Das Vokabular besteht aus:
• den Satzkonstanten „ P “, „Q“, „R“ usw.
• den Junktoren „¬“, „∨“, „∧“, „→“ und „↔“
• und den runden Klammern „(“ und „)“.
Ein Ausdruck ist eine beliebige Aneinanderreihung von Zeichen aus diesem Vokabular. Ein
Beispiel dafür ist „ P → Q“, aber auch „∨))¬“.
Der Begriff der Formel wird durch die folgenden vier Regeln definiert:
Regel 1: Jede Satzkonstante ist eine Formel. Wenn also etwa „ P “ alleine steht, handelt es sich
bereits um eine Formel.
Regel 2: Ist Φ eine Formel, so ist auch ð¬Φñ eine Formel. Wir können also vor jede beliebige
Formel das Negationszeichen setzen und erhalten wieder eine Formel.
Regel 3: Wenn Φ und Ψ Formeln sind, dann sind auch ð(Φ ∨ Ψ)ñ, ð(Φ ∧ Ψ)ñ, ð(Φ → Ψ)ñ und
ð(Φ ↔ Ψ)ñ Formeln. Wenn also zwei bestehende Formeln mit einem zweistelligen
Junktor verbunden werden, entsteht eine neue Formel.
Regel 4: Alles, was nicht durch beliebige Wiederholungen der Regeln 1 - 3 entstanden ist, ist
keine Formel.
Baumtest
Mannchmal möchte man prüfen, ob ein aussagenlogischer Ausdruck tatsächlich eine syntaktisch korrekte Formel ist oder nicht. Wenn man von einem gegebenen Ausdruck ausgeht,
muss man ihn auseinandernehmen, also die Regeln zur Formelbildung „rückwärts“ anwenden. Genau das wird im Baumtest gemacht, der nach folgendem Schema abläuft:
24
((P ∧ ¬Q) ↔ (¬Q
P))
SS∧
SSS
kkk
k
SSS
k
kk
SSS
kkk
R3
SSS
k
k
SSS
kk
kkk
(P ∧ ¬Q)
>>
>
R3 >>>
>>
¬Q
P
R1
_
¬Q
R2
Q
P
R1
R2
Q
R1
_
(¬Q ∧;P)
;;
;;
R3
;;
;
_
R1
_
Zunächst schreibt man oben den zu untersuchenden Ausdruck hin. Dann sucht man bei der
obigen Definition von Formeln diejenige Regel heraus, mit der man zu diesem Schritt gelangt
ist, und schreibt das dafür benötigte Ausgangsmaterial in die Zeile darunter. Anschließend
wiederholt man den Vorgang. Bei Regel 2 (Negation) wird eine Formel als Ausgangsmaterial
benötigt; bei Regel 3 (zweistellige Junktoren) aber zwei, daher verzweigt sich der Baum an
dieser Stelle. Bei Regel 1, also wenn eine einzelne Satzkonstante dasteht, ist der jeweilige
Zweig des Baums zu Ende. Wenn am Schluss alle Zweige mit einer Satzkonstante enden, ist
bewiesen, dass der untersuchte Ausdruck eine Formel ist. Wenn er aber keine Formel ist, wird
an irgendeiner Stelle im Baum keine Regel anwendbar sein; diese Stellen markiert man mit
einem Blitz-Symbol.
Semantik
Beim Baumtest ging es nur um den syntaktischen Aufbau von Formeln, jetzt wollen wir aber
auch ihre Semantik, also ihre Bedeutung, analysieren. In der Aussagenlogik lässt sich die
Semantik auf folgende Frage zusammenfassen: Welchen Wahrheitswert hat eine Formel abhängig von den Wahrheitswerten der in ihr vorkommenden Satzkonstanten?
In einem Beispiel weiter oben hatten wir etwa den Satz „Die SPD regiert oder ist in der
Opposition“ mit der Formel P ∨ Q übersetzt. Sobald ein Satz formalisiert ist, tritt die natürlichsprachliche Bedeutung, die man in die Satzkonstanten „hineindenkt“, in den Hintergrund
und es geht zunächst nur darum, was mit der gesamten Formel passiert, wenn die Satzkonstanten wie P und Q diese oder jene Wahrheitswerte haben. Erst nach der logischen Untersuchung sollte man die Ergebnisse wieder in die natürliche Sprache „zurückübersetzen“, um
sie zu interpretieren.
Auch wenn man oft konkrete Fragestellungen hat und bestimmte Bedeutungen für die einzelnen Satzkonstanten im Hinterkopf hat, untersucht man in der Aussagenlogik alle denkbaren
Kombinationen von Wahrheitswerten für die einzelnen Satzkonstanten – selbst wenn die zugehörige Interpretation in der natürlichen Sprache den Tatsachen zu widersprechen scheint.
Eine solche Kombination von Wahrheitswerten nennt man Belegung. Man kann sich also
eine Belegung wie eine denkbare Welt vorstellen.
2.2. AUSSAGENLOGIK
25
Wahrheitstafeln
Der Zusammenhang zwischen verschiedenen Belegungen und dem Wahrheitswert einer Formel lässt sich mit Hilfe von Wahrheitstafeln darstellen. Dabei steht „1“ für „wahr“ und „0“ für
„falsch“. In einer Tabelle legt man für jede Belegung eine Zeile an und trägt links die Wahrheitswerte der Satzkonstanten ein und rechts den sich daraus ergebenden Wahrheitswert der
zu untersuchenden Formel. Die folgenden Wahrheitstafeln sind eine alternative Darstellung
der Definitionen der Junktoren:
Konjunktion
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ∧Q
1
0
0
0
Disjunktion
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ∨Q
1
1
1
0
Negation
P
1
0
¬P
0
1
Konditional
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P →Q
1
0
1
1
Bikonditional
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ↔Q
1
0
0
1
Bei der Untersuchung von größeren Formeln arbeitet man sich von innen (also innerhalb
der Klammern) nach außen vor und notiert auch die Zwischenergbnisse in den jeweiligen
Spalten. Schritt für Schritt geht das folgendermaßen, wobei wir als Beispiel die Formel (P ∨
Q) → (P ∧ Q) nehmen:
26
1. Lege eine Tabelle an, links mit einer Spalte für jede vorkommende Satzkonstante und
rechts mit einer Spalte für jedes Zeichen der Formel (außer Klammern).
2. Lege eine Zeile für jede Belegung an und trage links die Wahrheitswerte für die einzelnen Satzkonstanten ein:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
(P
∨
Q)
→
(P
∧
Q)
3. Kopiere die Wahrheitswerte der Satzkonstanten in die jeweiligen Spalten rechts unter
der Formel:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
(P
1
1
0
0
∨
Q)
1
0
1
0
→
(P
1
1
0
0
∧
Q)
1
0
1
0
4. Wähle den Junktor, der bezüglich der Klammern am weitesten innen liegt, und trage
in jeder Zeile den Wahrheitswert ein, der sich aus der Definition des Junktors und
der anderen Wahrheitswerte in der Tabelle ergibt. Falls zwei Junktoren in der gleichen
„Klammertiefe“ liegen, ist es egal, bei welchem man anfängt:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
(P
1
1
0
0
∨
1
1
1
0
Q)
1
0
1
0
→
(P
1
1
0
0
∧
1
0
0
0
Q)
1
0
1
0
5. Fahre so bis zum äußersten Junktor fort. Der Wahrheitswert dieses Junktors, der auch
Hauptzeichen genannt wird, ist der Wahrheitswert der Formel:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
(P
1
1
0
0
∨
1
1
1
0
Q)
1
0
1
0
→
1
0
0
1
(P
1
1
0
0
∧
1
0
0
0
Q)
1
0
1
0
Die folgenden Begriffe werden oft benutzt, um Formeln zu beschreiben:
Eine Formel heißt wahr, wenn sie bezüglich der aktuellen Belegung wahr ist.
Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es mindestens eine Belegung gibt, die sie wahr
macht.
Eine Formel heißt gültig oder eine Tautologie, wenn sie bezüglich aller Belegungen wahr ist.
Eine Formel heißt kontradiktorisch, wenn es keine Belegung gibt, die sie wahr
macht.
2.2. AUSSAGENLOGIK
27
Q-Analyse
Wahrheitstafeln sind eine einfache und übersichtliche Methode, um kurze Formeln zu analysieren. Mit jeder hinzukommenden Satzkonstante verdoppelt sich allerdings die Zahl der
Zeilen, so dass dieses Verfahren bei größeren Formeln per Hand nur noch schwer durchführbar ist. Die Q-Analyse hingegen, die auf den amerikanischen Philosophen und Logiker
Willard Van Orman Quine zurückgeht, ermöglicht auch bei längeren Formeln einen schnellen
Test, ob sie wahr, erfüllbar, gültig oder kontradiktorisch ist. Die Idee hinter dieser Methode
ist, dass Formeln oft viel einfacher werden, wenn eine der Satzkonstanten einen bestimmten
Wert annimmt. Nehmen wir etwa diese Formel:
P ∧ ((Q → R) ∨ S)
Wenn P falsch ist, dann ist die gesamte Formel falsch: Denn P ist durch eine Konjunktion mit
dem Rest verbunden, und eine Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Teilformeln wahr
sind. Also müssen wir den Rest der Formel für diesen Fall gar nicht erst betrachten.
Während es bei Wahrheitstafeln ausreicht, stur aus den Tabellen für die einzelnen Junktoren den benötigten Wert abzulesen, hängt es bei der Q-Analyse vom Junktor ab, wie man
verfahren kann. Die folgenden Abschnitte zeigen für die einzelnen Junktoren, welche Besonderheiten sie haben und wie man diese ausnutzen kann. Es empfiehlt sich, beim Lesen auch
die Wahrheitstafeln der Junktoren zu betrachten.
Konjunktion Wenn in der Formel P ∧ Q eine der beiden Satzkonstanten den Wahrheitswert
1 hat, also im Fall 1 ∧ Q oder P ∧ 1, dann entspricht der Wahrheitswert der Formel dem der
anderen Satzkonstante:
1∧Q
.
Q
P ∧1
.
P
Wenn aber eine der Satzkonstanten 0 ist, dann bleibt der Konjunktion gar nichts anderes
mehr übrig, als auch 0 null zu sein:
0∧Q
.
0
P ∧0
.
0
Disjunktion Hier verhält es sich genau umgekehrt zur Konjunktion: Wenn bei einer Disjunktion eine 1 vorkommt, dann ist schon klar, dass die Disjunktion ebenfalls 1 ist, egal wie
der andere Teil der Formel aussieht:
1∨Q
.
1
P ∨1
.
1
Und wenn eine 0 vorkommt, dann ist die Formel genau dann wahr, wenn das andere Disjunktionsglied wahr ist:
0∨Q
.
Q
P ∨0
.
P
Negation Da die Negation ein einstelliger Junktor ist, ist dieser Fall einfach:
¬1
.
0
¬0
.
1
28
Konditional Wenn sein Antecedens 1 ist, dann ist ein Konditional genau dann wahr, wenn
auch das Consequens wahr ist:
1→Q
.
Q
Wenn das Consequens 1 ist, dann ist das Konditional unabhängig vom Antecedens wahr:
P →1
.
1
Man kann sich also merken, dass sich ein Konditional mit einer 1 immer auf das Consequens
reduzieren lässt, egal in welchem Glied die 1 vorkommt.
Wenn das Antecedens 0 ist, dann ist das Konditional gemäß der etwas merkwürdig erscheinenden Definition immer 1:
0→Q
.
1
Und wenn das Consequens 0 ist, dann ist das Konditional nur dann wahr, wenn das Antecedens 0 ist, es hat also den umgekehrten Wahrheitswert des Antecedens:
P →0
.
¬P
Als Merkregel gilt hier, dass sich ein Konditional mit einer 0 immer auf die Negation des
Antecedens reduzieren lässt, egal wo die 0 steht.
Bikonditional Wenn ein Glied 1 ist, dann ist das Bikonditional genau dann wahr, wenn das
andere Glied auch wahr ist – ganz ähnlich wie bei der Konjunktion:
1↔Q
.
Q
P ↔1
.
P
Ein Bikonditional mit einer 0 hat als Wahrheitswert den gegenteiligen Wert des anderen
Glieds:
0↔Q
.
¬Q
P ↔0
.
¬P
Diese Regeln sind im Collegium Logicum am Ende von Abschnitt 2.3.2 auf Seite 181 zusammengefasst (siehe Anhang).
Nun wollen wir am Beispiel der hübschen Formel Q ∧ R ↔ Q ∧ R ∧ ((Q ∧ R) ∨ (P ∧ S)) Schritt
für Schritt eine Q-Analyse durchführen und dabei die oben vorgestellten Regeln anwenden.
1. Wähle die Satzkonstante aus, die am häufigsten in der Formel vorkommt und schreibe
sie mit einem vertikalen Strich folgendermaßen unter die Formel:
Q ∧ R ↔ Q ∧ R ∧ ((Q ∧ R) ∨ (P ∧ S))
1
Q
0
2.2. AUSSAGENLOGIK
29
2. Schreibe die Formel auf der linken und rechten Seite des Strichs ab. Ersetze dabei auf
der linken Seite alle Vorkommen der Satzkonstante durch 1, auf der rechten durch 0:
Q ∧ R ↔ Q ∧ R ∧ ((Q ∧ R) ∨ (P ∧ S))
1
Q
0
0 ∧ R ↔ 0 ∧ R ∧ ((0 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
1 ∧ R ↔ 1 ∧ R ∧ ((1 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
3. Wende jeweils die Regeln an, bis keine konkreten Wahrheitswerte mehr dastehen (im
Beispiel links) oder die Formel auf einen einzigen Wahrheitswert reduziert wurde (im
Beispiel rechts):
Q ∧ R ↔ Q ∧ R ∧ ((Q ∧ R) ∨ (P ∧ S))
1
Q
0
1 ∧ R ↔ 1 ∧ R ∧ ((1 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
0 ∧ R ↔ 0 ∧ R ∧ ((0 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
R ↔ R ∧ (R ∨ (P ∧ S))
0↔0
1
4. Wende die Schritte 1 bis 3 auf die verbliebenen Formeln an:
Q ∧ R ↔ Q ∧ R ∧ ((Q ∧ R) ∨ (P ∧ S))
1
Q
0
1 ∧ R ↔ 1 ∧ R ∧ ((1 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
0 ∧ R ↔ 0 ∧ R ∧ ((0 ∧ R) ∨ (P ∧ S))
R ↔ R ∧ (R ∨ (P ∧ S))
0↔0
R
1
1
0
1 ↔ 1 ∧ (1 ∨ (P ∧ S))
0 ↔ 0 ∧ (0 ∨ (P ∧ S))
1↔1∧1
0↔0
1↔1
1
1
In diesem Beispiel sehen wir mit vergleichsweise wenig Aufwand, dass der Wahrheitswert
der Formel überhaupt nicht von P oder S abhängt. Man erkennt auch daran, dass alle Verzweigungen jeweils mit 1 enden, dass die Formel eine Tautologie ist, d.h. bei jeder Belegung
wahr ist. Je nach Fragestellung kann man eine Q-Analyse auch früher abbrechen, sobald das
Ergebnis klar ist. Wenn man beispielsweise nur wissen möchte, ob eine Formel eine Tautologie ist oder nicht, dann kann man aufhören, sobald bei einem Zweig eine 0 alleine dasteht.
Denn dann gibt es mindestens eine Belegung, bei der die Formel falsch ist, daher kann sie
keine Tautologie sein.
Formalisierung
Wir wollen nun noch einige Besonderheiten behandeln, die man beim Formalisieren, also bei
der Übersetzung natürlichsprachlicher Sätze in eine logische Sprache, beachten sollte.
30
Explizitfassung
Oft sind natürlichsprachliche Sätze zweideutig, sehr komplex oder verwenden Wörter wie
„oder“, aber nicht in der Bedeutung des logischen „oder“. In solchen Fällen ist es hilfreich,
als Zwischenschritt zunächst eine Explizitfassung zu notieren. Eine Explizitfassung ist auch
in einer natürlichen Sprache formuliert, aber so, dass die logische Struktur klar ist. In einer
Explizitfassung sollten die Wörter „und“, „oder“, „wenn, dann“ und „genau dann, wenn“ nur
in der Bedeutung der entsprechenden Junktoren vorkommen; Negationen sollten mit „es ist
nicht der Fall, dass“ formuliert werden; und Ausdrücke wie „weder, noch“ oder „jedoch“ sollten umformuliert oder, wenn sie nichts zur logischen Struktur beitragen, weggelassen werden. Falls nötig, kann man auch Klammern verwenden, um den Zusammenhang zwischen
Teilsätzen klar zu machen. Zur Verdeutlichung kann man die logischen Ausdrücke typographisch etwas absetzen, in der Handschrift beispielsweise durch andere Farben oder durch
Unterstreichen. Hier ist ein Beispiel für eine Formalisierung mit einer Explizitfassung:
Natürlichsprachlicher Satz: Entweder es regnet, schneit oder hagelt, aber die Sonne scheint
nicht.
Explizitfassung: (Es regnet oder es schneit oder es hagelt) und es ist nicht der Fall, dass die
Sonne scheint.
Logische Form: (P ∨ Q ∨ R) ∧ ¬S
Legende:
P : Es regnet
Q: Es schneit
R: Es hagelt
S : Die Sonne scheint
Disjunktion
Die Disjunktion hat die Bedeutung eines nicht-ausschließenden Oders. Oft kommt in der Umgangssprache aber auch ein ausschließendes Oder vor, für das es im Deutschen kein eigenes
Wort gibt:
Seehofer ist in München oder in Berlin.
Man darf annehmen, dass mit diesem Satz auch gemeint ist, dass Seehofer nicht zugleich
in München und in Berlin ist. In der Logik muss man solche Zusammenhänge aber explizit
machen, etwa indem man die folgende Explizitfassung wählt:
(Seehofer ist in München oder Seehofer ist in Berlin) und es ist nicht der Fall, dass
(Seehofer ist in München und Seehofer ist in Berlin.)
˙ “ für ein ausschließendes Oder verwenAlternativ könnte man auch das eigene Symbol „∨
den, aber das ist kein Standardjunktor und sollte daher vermieden werden. Die Disjunktion
ist ein gutes Beispiel dafür, wie die genaue Definition von logischen Sprachen helfen kann,
Missverständnisse zu vermeiden.
Konditional
Betrachten wir folgendes Beispiel:
2.2. AUSSAGENLOGIK
31
Wenn die Sonne scheint, ist der Englische Garten voll.
In der Aussagenlogik gibt es nur die folgende Möglichkeit, diesen Satz zu formalisieren:
P →Q
Dabei steht P für „Die Sonne scheint“ und Q für „Der Englische Garten ist voll“. In der Umgangssprache würde man den Satz wahrscheinlich folgendermaßen verstehen:
Immer wenn die Sonne scheint, ist der Englische Garten voll.
Das Gegenteil dazu wäre „Es ist nicht der Fall, dass immer wenn die Sonne scheint, der
Englische Garten voll ist“, was beispielsweise bedeuten könnte, dass die Aussage im Sommer
zutrifft, im Winter der Englische Garten aber trotz Sonnenschein nicht immer voll ist. Wie
können wir aber in der Aussagenlogik die Negation von P → Q, also ¬(P → Q) interpretieren?
Mit Hilfe von Wahrheitstafeln kann man erkennen, dass das äquivalent ist zu P ∧ ¬Q:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
¬
0
1
0
0
(P
1
1
0
0
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P
1
1
0
0
∧
0
1
0
0
→
1
0
1
1
¬
0
1
0
1
Q)
1
0
1
0
Q
1
0
1
0
Wenn wir jetzt aber P ∧ ¬Q in die natürliche Sprache zurückübersetzen, kommt folgender
Satz heraus:
Die Sonne scheint und es ist nicht der Fall, dass der Englische Garten voll ist.
Dieser Satz bezieht sich offenbar auf eine einzelne Situation, etwa den momentanen Zeitpunkt, aber nicht auf einen generellen Zusammenhang. Hier zeigen sich die Grenzen der
Aussagenlogik, denn erst in der Prädikatenlogik ist es möglich, Sätze wie „In jeder Situation,
in der die Sonne scheint, ist der Englische Garten voll“ auszudrücken. Der Grund für das
hier gezeigte Problem liegt also nicht im Konditional an sich, aber es zeigt sich besonders bei
„wenn, dann“-Aussagen.
Kalish-Montague-Kalkül
Argumente
Ein Argument besteht meistens aus einigen Voraussetzungen (auch Prämissen genannt) und
der Behauptung, die begründet werden soll (auch Konklusion genannt). Ein Argument soll
davon überzeugen, dass wenn die Prämissen wahr sind, dann auch die Konklusion zumindest
mit hoher Wahrscheinlichkeit wahr ist.
Es gibt verschiedene Arten von Argumenten, die unterschiedlichen Anforderungen genügen.
In den Naturwissenschaften etwa werden oft induktive Argumente verwendet. Dabei geht
32
man von einer Reihe von Einzelbeobachtungen aus und schließt auf eine allgemeine Gesetzmäßigkeit. Wenn man also beispielsweise bei 20 verschiedenen Körpern beobachtet hat, dass
sie sich beim Erwärmen ausdehnen, dann scheint die Annahme, dass sich daher alle Körper
beim Erwärmen ausdehnen, durchaus plausibel zu sein. Allerdings hat man nicht das Gefühl,
dass diese Konklusion wirklich zwingend gelten muss. Woher könnte man auch wissen, dass
nicht doch einmal ein Fall auftritt, bei dem diese Gesetzmäßigkeit nicht gilt? Tatsächlich gibt
es bei der Wärmeausdehnung auch ein Gegenbeispiel: Wasser etwa dehnt sich beim Gefrieren
aus.
In der Philosophie begegnet man oft deduktiven Argumenten. Bei so einem Argument soll
gezeigt werden, dass die Konklusion logisch zwingend aus den Prämissen folgt. Im Fall eines
korrekten deduktiven Arguments ist es also nicht nur unwahrscheinlich, sondern unmöglich,
dass die Prämissen wahr, aber die Konklusion falsch ist. Ein Beispiel für ein deduktives Argument ist das Beispiel ganz am Anfang des Skriptums:
Die Linkspartei ist kleiner als die SPD. Die SPD ist kleiner als die Union. Also ist
die Linkspartei kleiner als die Union.
Durch einen Vergleich haben wir aber schon festgestellt, dass diese Prämissen alleine wohl
nicht ausreichen, sondern wir noch zusätzliche Voraussetzungen brauchen, um auf die Konklusion schließen zu können.
Logische Folgerung
Die Logik bietet Hilfsmittel, mit denen sich zeigen lässt, dass ein logische Folgerung korrekt oder nicht korrekt ist. Dazu wollen wir zunächst den Begriff der logischen Folgerung in
der Aussagenlogik folgendermaßen präzisieren: Wenn jede Belegung, die alle Formeln der
Prämissen wahr macht, auch die Konklusion wahr macht, dann folgt diese logisch aus den
Prämissen. Wir können z.B. von P und Q auf P ∧Q schließen. Eine einfache Möglichkeit, diese
Folgerung zu prüfen, ist mit Hilfe der Wahrheitstafel der Formel P ∧ Q:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ∧Q
1
0
0
0
P = 1, Q = 1 ist die einzige Belegung, bei der die Prämissen P und Q beide wahr sind,
und tatsächlich ist laut der Wahrheitstafel bei dieser Belegung auch P ∧ Q wahr, also ist die
Folgerung gültig.
Die Methode mit Wahrheitstafeln ist aber nur bei sehr kurzen Formeln in der Aussagenlogik
praktikabel und dient hier lediglich zur Veranschaulichung des Begriffs der logischen Folgerung. Ein besserer Weg, einen logischen Schluss zu beweisen, ist die Verwendung eines
Kalküls, bei dem man Formeln aus anderen Formeln mit Hilfe bestimmter Schlussregeln herleitet. Der Kalish-Montague-Kalkül (KM-Kalkül) eignet sich gut für Anwendungen in der
Philosophie, da er der Denkweise bei informellen Beweisen entspricht.
2.2. AUSSAGENLOGIK
33
Schlussregeln
Die Schlussregeln des KM-Kalküls bilden die erlaubten Schritte, mit denen man von einer
Formel zur nächsten gelangen kann. Eine solche Regel ist die der Konjunktions-Einführung:
Φ, Ψ
∴ Φ∧Ψ
Die Voraussetzungen stehen überhalb und die Folgerung unterhalb des Strichs. Wenn man
diese Regeln anwenden möchte, ersetzt man die Mitteilungszeichen durch Formeln: Wenn
wir beispielsweise Φ durch P durch ersetzen und Ψ durch Q, dann bestätigt diese Regel
unseren oben auf andere Art bewiesenen Schluss auf P ∧ Q.
Die Schlussregeln werden in zwei Gruppen eingeteilt: Die Grundregeln reichen aus, um jede
korrekte Formel herzuleiten und bilden eine Art minimalen Werkzeugkasten. Die zulässigen Regeln sind so etwas wie Spezialwerkzeuge, mit denen einige Beweisschritte abgekürzt
werden könenn. Sie werden nicht zwingend gebraucht, erleichtern einem die Arbeit aber
manchmal erheblich. Alle Regeln finden sich im Collegium Logicum im Abschnitt 7.2.1 auf
Seite 314 (siehe Anhang).
Direkte Ableitung
Am gleichen Beispiel (Schluss von P und Q auf P ∧ Q) wollen wir nun anschauen, wie ein
Beweis im KM-Kalkül notiert wird. Man schreibt dabei alle Formeln untereinander und nummeriert jede Zeile. In die ersten beiden Zeilen kommen zunächst die beiden Prämissen P und
Q:
1.
2.
P
Q
In die nächste Zeile schreiben wir die Formel, die wir herleiten möchten. Davor schreiben wir
noch „Zeige“ dazu, damit klar ist, dass diese Formel erst bewiesen werden muss und noch
nicht irgendwo als Prämisse verwendet werden kann:
1.
2.
3.
P
Q
Zeige P ∧ Q
Nun sind wir so weit, dass wir die Schlussregel der Konjunktions-Einführung anwenden können. Dazu schreiben wir die Konklusion in die vierte Zeile und kommentieren rechts, wie wir
darauf gekommen sind, nämlich indem wir mit den Zeilen 1 und 2 als Prämissen die Regel
der Konjunktions-Einführung angewandt haben:
1.
2.
3.
4.
P
Q
Zeige P ∧ Q
P ∧Q
1,2,∧-Einführung
34
Bei diesem sehr einfachen Beispiel steht die zu zeigende Formel jetzt schon da, so dass wir
den Beweis abschließen können. Dazu rahmen wir alles unterhalb der „Zeige“-Zeile ein und
streichen das „Zeige“ durch:
1.
2.
3.
4.
P
Q
Zeige
P ∧Q
P ∧Q
1,2,∧-Einführung
Diese Art von Beweis wird als direkte Ableitung bezeichnet, da wir mit Hilfe einer oder
mehrerer Schlussregeln ohne Umwege von den Prämisssen zur Konklusion gelangt sind.
Bedingte Ableitung
Das Konditional „→“ ist laut seiner Definition eigentlich nur ein objektsprachlicher Junktor
wie jeder andere auch. Er hängt allerdings eng mit der logischen Folgerung zusammen, die
zur Metasprache gehört: Man kann nämlich zeigen, dass ein Konditional ðΦ → Ψñ genau
dann eine Tautologie ist, wenn aus der Formel Φ die Formel Ψ logisch folgt. Da eine Tautologie
in jeder Belegung wahr ist, beweist man sie wie eine Folgerung, die keine Prämissen hat. Als
Beispiel dafür nehmen wir die Tautologie P ∧ Q → Q ∧ P , die in etwa besagt, dass bei einer
Konjunktion die beiden Konjunktionsglieder vertauscht werden können. Als erstes kommt
hier die „Zeige“-Zeile, da es ja keine Prämissen gibt:
1.
Zeige P ∧ Q → Q ∧ P
Diese Formel können wir im KM-Kalkül so beweisen, wie wir eine „wenn, dann“-Aussage
informell beweisen würden: Wir tun so, als wäre das Antecedens wahr und versuchen dann,
das Consequens daraus herzuleiten. Dazu eröffnen wir mit einer weiteren „Zeige“-Zeile einen
Unterbeweis mit dem Antecedens als Prämisse:
1.
2.
3.
P ∧Q
Zeige Q ∧ P
Annahme
Es gibt keine Schlussregel, mit der wir direkt von P ∧ Q auf Q ∧ P kommen können, daher
müssen wir in mehreren Schritten vorgehen. Als Prämissen können wir die Arbeitszeilen
verwenden: Das sind alle Zeilen, bei denen kein „Zeige“ steht und die momentan nicht eingerahmt sind, in diesem Fall also nur die 2. Zeile.
Um auf das Consequens zu kommen, nehmen wir die Konjunktion P∧Q mit Hilfe der KonjunktionsBeseitigung erst auseinander und bauen sie anschließend in umgekehrter Reihenfolge wieder
zusammen:
2.2. AUSSAGENLOGIK
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P ∧Q
Zeige Q ∧ P
P
Q
Q∧P
35
Annahme
2,∧-Beseitigung
2,∧-Beseitigung
5,4,∧-Einführung
Damit ist der Unterbeweis abgeschlossen, so dass wir das zweite „Zeige“ durchstreichen und
den Unterbeweis einrahmen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P ∧Q
Zeige
Q∧P
P
Q
Q∧P
Annahme
2,∧-Beseitigung
2,∧-Beseitigung
5,4,∧-Einführung
Arbeitszeilen sind jetzt die Zeilen 2 und 3, da die 3. nun bewiesen ist. Die eingerahmten
Formeln stehen jetzt aber nicht mehr zur Verfügung, da sie zum abgeschlossenen Unterbeweis
gehören; bei Bedarf müssten wir sie erneut herleiten. Da in der 3. Zeile das Consequens steht
und diese Zeile eine Arbeitszeile ist, können wir nun auch den gesamten Beweis abschließen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Zeige
P ∧Q →Q ∧ P
P ∧Q
Zeige
Q∧P
P
Q
Q∧P
Annahme
2,∧-Beseitigung
2,∧-Beseitigung
5,4,∧-Einführung
Wir haben hier das Consequens unter der Bedingung abgeleitet, dass das Antecedens wahr
ist, daher nennt man diese Art von Beweis eine bedingte Ableitung; die Annahme in der 2.
Zeile heißt auch Annahme zur bedingten Ableitung, kurz A-BA.
Indirekte Ableitung
In manchen Fällen ist ein Beweis nach dem obigen Muster nicht möglich. Nehmen wir etwa
diese Formel:
(P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q)
Wenn wir zur Veranschaulichung wie in einem früheren Beispiel P als „Schwarz-Gelb hat
eine Mehrheit“ und Q als „Die SPD ist in der Opposition“ interpretieren, besagt die Formel
Folgendes:
36
Wenn es so ist, dass wenn Schwarz-Gelb eine Mehrheit hat, die SPD dann in der
Opposition ist, dann kann es nicht sein, dass Schwarz-Gelb eine Mehrheit hat,
aber die SPD nicht in der Opposition ist.
Der Anfang der Herleitung sieht so aus:
1.
2.
3.
Zeige (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q)
P →Q
Zeige ¬(P ∧ ¬Q)
Annahme zur bedingten Ableitung
Hier kommen wir aber mit Grundregeln alleine zunächst nicht weiter, daher führen wir einen
indirekten Beweis durch: Wir nehmen das Gegenteil der zu beweisenden Zeile an und zeigen,
dass sich daraus ein Widerspruch ergibt. Diese Annahme heißt Annahme zur indirekten
Ableitung, kurz A-IA, und ist die Negation der „Zeige“-Zeile:
1.
2.
3.
4.
Zeige (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q)
P →Q
Zeige ¬(P ∧ ¬Q)
¬¬(P ∧ ¬Q)
Annahme zur indirekten Ableitung
Es ist sehr wichtig, dass bei einem indirekten Beweis nur die „Zeige“-Zeile negiert werden
darf und nicht etwa eine Arbeitszeile.
Mit zwei neuen Schlussregeln, nämlich der Beseitigung der doppelten Negation und dem
Modus Ponens, können wir nun Q und ¬Q zugleich herleiten:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Zeige (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q)
P →Q
Zeige ¬(P ∧ ¬Q)
¬¬(P ∧ ¬Q)
P ∧ ¬Q
P
¬Q
Q
4,Doppelte Negation
5,∧-Beseitigung
5,∧-Beseitigung
2,6,Modus Ponens
Mit diesem Widerspruch ist der Unterbeweis abgeschlossen. Und weil damit das Consequens
der ursprünglichen Formel bewiesen ist, können wir auch den gesamten Beweis abschließen:
2.3. PRÄDIKATENLOGIK
1.
2.
3.
37
Zeige
(P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q)
P →Q
Zeige
¬(P ∧ ¬Q)
4.
5.
6.
7.
8.
¬¬(P ∧ ¬Q)
P ∧ ¬Q
P
¬Q
Q
4,Doppelte Negation
5,∧-Beseitigung
5,∧-Beseitigung
2,6,Modus Ponens
Ein korrekte Folgerung lässt sich immer indirekt beweisen, selbst wenn auch ein direkter
Beweis möglich ist. Allerdings sollte man nach Möglichkeit lieber einen direkten Beweis verwenden, da diese meistens klarer und kürzer sind. Im Abschnitt 7.2.3 des Collegium Logicum
auf Seite 321 finden sich einige Hinweise zur Beweistechnik (siehe Anhang), manches davon
bezieht sich allerdings auf die Prädikatenlogik, die hier erst im nächsten Abschnitt eingeführt
wird.
2.3
Prädikatenlogik
Wie schon mehrmals angedeutet, lassen sich in der Prädikatenlogik auch Sätze wie „Alle
Menschen sind sterblich“ ausdrücken. Sie ist eine Erweiterung der Aussagenlogik und verwendet alle Junktoren, die wir schon kennengelernt haben. Hinzu kommen aber einige neue
Ausdrücke, die wir hier informell einführen werden.
Vokabular
Individuenkonstanten und Prädikatkonstanten
Damit sich in der Prädikatenlogik die Subjekt-Prädikat-Struktur von Sätzen darstellen lässt,
braucht man zunächst Ausdrücke, die einzelne Objekte wie etwa einen Menschen, einen Gegenstand oder eine Zahl repräsentieren. Dazu dienen die Individuenkonstanten, die durch
die Kleinbuchstaben a, b, c usw. ausgedrückt werden. Darüber hinaus braucht man Prädikatkonstanten, die Eigenschaften von Individuen ausdrücken; diese haben meist die Buchstaben
P , Q, R usw. Wir können jetzt als Beispiel folgenden Satz formalisieren:
Emily schläft.
Wenn a für Emily und P für schlafen steht, dann heißt der Satz in der Prädikatenlogik:
P1a
Die hochgestellte Eins bedeutet, dass P eine einstellige Prädikatkonstante ist, sich also auf ein
Individuum bezieht. Andere Prädikate können sich auf zwei Objekte beziehen, wie in diesem
Beispiel:
Emily schläft mit Michel.
Die Formalisierung sieht dann so aus:
P2a b
38
Legende:
a: Emily
b: Michel
P 2 x y : x schläft mit y
Dabei kann die Reihenfolge der Argumente von Bedeutung sein: Schon zwischen „Emily
schläft mit Michel“ und „Michel schläft mit Emily“ können subtile Unterschiede bestehen;
bei Prädikaten wie „ x kennt y “ ist die Reihenfolge aber in jedem Fall wesentlich.
Diese formalisierten Sätze stellen prädikatenlogische Formeln dar, die wir mit den aus der
Aussagenlogik bekannten Junktoren verbinden können. Eine Formel in der Prädikatenlogik
kann also etwa so aussehen:

P 1 a ∧ Q3 a bc → R2 ac
Damit die Formeln etwas übersichtlicher werden, lassen wir ab jetzt bei einstelligen Prädikatkonstanten die hochgestellte Eins weg.
Quantoren und Individuenvariablen
Damit man nicht mur über einzelne Objekte sprechen kann, sondern auch allgemeine Aussagen möglich sind, gibt es in der Prädikatenlogik zwei Quantoren: Der Allquantor hat das
Symbol „∀“ und steht für Ausdrücke wie „für alle“ oder „jeder“. Gelesen wird das Symbol
meist wie „für alle“. Der Existenzquantor mit dem Symbol „∃“ drückt Aussagen wie „es gibt“
aus und wird meist auch so gelesen.
Um Sätze wie „Ich seh was, was du nicht siehst und das ist rot“ zu formalisieren, brauchen
wir noch Ausdrücke, die die Rolle von Pronomen wie dem Relativpronomen „das“ einnehmen.
Dazu dienen die Individuenvariablen mit den Buchstaben x , y , z , u, v und w . Sie können
auch als Argument von Prädikaten stehen und werden mit den Individuenkonstanten zu den
Individuentermen zusammengefasst.
Damit sind wir in der Lage, folgendes einfache Beispiel zu formalisieren:
Alles fließt.
Wenn P x für „ x fließt“ steht, lautet die prädikatenlogische Fassung:
∀x P x
Auch wenn in der deutschen Variante kein Pronomen steht, brauchen wir in der logischen
Form dennoch die Variable x . So ist es auch in diesem Beispiel zum Existenzquantor:
Es gibt Einhörner.
Mit P x für „ x ist ein Einhorn“ lautet die Formalisierung:
∃x P x
Dieses Beispiel macht auch deutlich, dass der Existenzquantor alleine nichts über die Zahl
von Objekten aussagt, auf die er zutrifft. Man könnte ihn also auch übersetzen mit „Es gibt
mindestens ein Ding, für das gilt“.
39
Formalisierung
Bei der Formalisierung von Sätzen in der Prädikatenlogik ist der Zwischenschritt der Explizitfassung besonders wichtig, denn anders als in der Aussagenlogik lässt sich kaum ein Satz
einfach Wort für Wort in die Prädikatenlogik übertragen. Außerdem ist die Angabe einer
genauen Legende wichtig, die bei Prädikatkonstanten auch die Reihenfolge der Argumente
deutlich macht. Gerade wenn viele Prädikatkonstanten oder Individuenkonstanten vorkommen, ist es hilfreich, nicht P , Q usw. sondern suggestive Buchstaben zu wählen, etwa Rx für
„ x ist rot“. Nehmen wir als Beispiel den Satz aus dem bereits angesprochenen Kinderspiel:
Natürlichsprachlicher Satz: Ich seh was, was du nicht siehst und das ist rot.
Explizitfassung: Es gibt ein Ding x , für das gilt: Ich sehe x und es ist nicht der Fall, dass du
siehst x und x ist rot.

Logische Form: ∃x S 2 i x ∧ ¬S 2 d x ∧ Rx
Legende:
S 2 x y : x sieht y
Rx : x ist rot
i : ich
d : du
In der Legende benutzt man für die Erläuterung von Prädikatsymbolen auch die Variablen x ,
y , z usw., diese haben aber nichts mit den in der Formel gewählten Variablen zu tun.
Beim Allquantor muss man beachten, dass er sich auf alles in einem gedachten Universum
bezieht. Es ist oft hilfreich, dieses Universum auf einen bestimmten Bereich einzuschränken:
Wenn man etwa nur Aussagen über natürliche Zahlen machen möchte, sollte man als Universum die Menge der natürlichen Zahlen wählen. In Beispielen aus dem Alltag besteht das
Universum oft aus Menschen und Sachen. Auch mit einer solchen Einschränkung ist das Universum aber ziemlich groß, während man meistens nur Aussagen über bestimmte Elemente
dieses Universums machen möchte. Wenn also unser Universum aus Menschen und Sachen
besteht, wie drücken wir dann den Satz „Alle Menschen sind sterblich“ aus? Hier hilft die
merkwürdige Definition des Konditionals:
Natürlichsprachlicher Satz: Alle Menschen sind sterblich.
Explizitfassung: Für alle Dinge x gilt: Wenn x ist ein Mensch dann x ist sterblich.
Logische Form: ∀x(M x → S x)
Legende:
M x : x ist ein Mensch
S x : x ist sterblich
Dieser Satz ist nämlich genau dann wahr, wenn für alle Dinge x im Universum das Konditional M x → S x wahr ist. In den Fällen, wo x kein Mensch ist, ist das Antecedens M x falsch,
aber das Konditional damit definitonsgemäß wahr. Daher stören bei Aussagen über Menschen
die Dinge nicht, die keine Menschen sind.
So wie auf einen Allquantor praktisch immer ein Konditional folgt, verwendet man beim
Existenzquantor praktisch immer eine Konjunktion, wie auch im obigen Beispiel „Ich seh
was, was du nicht siehst . . . “.
40
Kalish-Montague-Kalkül
Auch in der Prädikatenlogik lässt sich der KM-Kalkül gut einsetzen. Dabei kommen einige
Schlussregeln hinzu, die die Bedeutung der Quantoren berücksichtigen; alle Regeln finden
sich im Collegium Logicum im Abschnitt 7.2.1 ab Seite 317 (siehe Anhang). Eine wichtige
Regel ist die der All-Beseitigung, deren Schema so aussieht:
∀xΦ
∴ Φ tx
Sie besagt, dass man eine Formel Φ, die nach einem Allquantor steht, auf ein Individuum t
spezialisieren kann, indem man die Variable x durch t ersetzt und den Qauntor streicht. Zur
Veranschaulichung wollen wir zunächst die Explizitfassung des Satzes „Alle Menschen sind
sterblich“ auf Sokrates spezialisieren:
Für alle Dinge x gilt: Wenn x ist ein Mensch dann x ist sterblich.
⇒ Wenn Sokrates ist ein Mensch dann Sokrates ist sterblich.
Man ahnt schon, worauf dies hinauslaufen wird. Die Konklusion dieses berühmten Schlusses
wollen wir im KM-Kalkül zeigen, wobei wir folgende Legende benutzen:
M x : x ist ein Mensch
S x : x ist sterblich
s: Sokrates
1.
2.
3.
4.
5.
∀x(M x → S x)
Ms
Zeige
Ss
M s → Ss
Ss
Prämisse
Prämisse
1,All-Beseitigung
2,4,Modus Ponens
Zum Abschluss wenden wir uns noch einmal der Linkspartei zu. Wir sind jetzt in der Lage, die
für die Schlussfolgerung benötigte Eigenschaft des Begriffs „kleiner sein als“ zu formalisieren,
nämlich die Transitivität. In der natürlichen Sprache lautet sie:
Für alle Dinge x , y und z gilt: Wenn x kleiner ist als y und y kleiner ist als z ,
dann ist x kleiner als z .
Die prädikatenlogische Form sieht so aus, wobei K 2 x y für „ x ist kleiner als y “ steht:
∀x∀ y∀z

K 2 x y ∧ K 2 yz → K 2 xz
Mit den Individuenkonstanten l für die Linkspartei, s für die SPD und u für die Union können
wir nun die Schlussfolgerung im KM-Kalkül beweisen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
∀x∀ y∀z

K 2 x y ∧ K 2 yz → K 2 xz
2
K ls
K 2 su
Zeige
K 2 lu

K 2 ls ∧ K 2 su → K 2 lu
2
2
K ls ∧ K su
K 2 lu
41
Prämisse
Prämisse
Prämisse
1,All-Beseitigung
2,3,Konjunktions-Einführung
5,6,Modus Ponens
42
Anhang A
Auszüge aus dem Collegium Logicum
43
181
Semantik
Vorfahrtsregel: Beginne mit derjenigen Satzkonstanten, die am häufigsten auftritt.
• Reduziere soweit wie möglich gemäß der folgenden Regeln und beginne
mit der nächsten Satzkonstanten.
(Kj 1)
Tilge ‘1’ als Konjunktionsglied
(Kj 0)
Reduziere eine Konjunktion mit ‘0’ zu 0
(Dj 1)
Reduziere eine Disjunktion mit ‘1’ zu 1
(Dj 0)
Tilge ‘0’ als Disjunktionsglied
(Kd 1)
Reduziere ein Konditional mit ‘1’ zum Consequens
(Kd 0)
Reduziere ein Konditional mit ‘0’ zur Negation des Antecedens
(Bk 1)
Tilge ‘1’ als Glied eines Bikonditionals
(Bk 0)
Reduziere ein Bikonditional mit ‘0’ auf die Negation der anderen
Seite
Reduziere eine (erkennbare bzw. bereits bewiesene) Tautologie
zu 1 und eine (erkennbare bzw. bereits bewiesene) Kontradiktion
zu 0
Im folgenden Kasten sind die verschiedenen Reduktionsschritte (abgekürzt
durch das Symbol B) schematisch zusammengefaßt.
(>⊥)
(B) Reduktionsregeln:
(¬)
Neg[w] B 1 − w
(∧)
TILGE 1
(w = 1, 0)
(∨)
Kj[0] B 0
(→)
Kd[1] B Cons
Dj[1] B 1
(↔)
Kd[0] B NEG(Ante)
(>)
Tautologie B 1
TILGE 0
TILGE 1
Bk[0] B NEG(andere Seite)
(⊥)
Kontradiktion B 0
Bemerkung. Die letzten Regeln (>) und (⊥) sind als “pragmatische” Regeln aufzufassen, die natürlich nicht den ganzen Test obsolet machen sollen, sondern
184
Aussagenlogik
mit dem Zusatz ‘T’ für ‘Theorem’; ‘MP-T ’ steht also für das Modus-PonensTheorem, ‘∧B-T ’ für das Theorem der ∧-Beseitigung, usw. Die Schlußregeln
selbst treten erst im Rahmen der Kalkülisierung der Aussagenlogik auf; siehe
dazu Kapitel 7.
Abkürzungen.
Ant: Antecedens
As: Abschwächung
Ass: assoziativ
B : Beseitigung
Bk : Bikonditional
bKd : bedingtes Kd
Cons: Consequens
Dj : Disjunktion
dj : disjunktiv
Dt: Distributivität
DM : DeMorgan
DNF : disjunktive Normalform
E : Einführung
EFQ: Ex falso quodlibet
Exp: Exportation
Idemp: idempotent
Imp: Importation
IrBw : Indirekter Beweis
Kd : Konditional
kd : konditional
Kj : Konjunktion
kj : konjunktiv
KlD: Klassisches Dilemma
KsD: Konstruktives Dilemma
KNF : konjunktive Normalform
Komm: kommutativ
Kp: Kontraposition
Kpn : Kp mit negativem Ant
Kp p : Kp mit positivem Ant
Ktrd : Kontradiktion
LdA: Lindenbaum-Algebra
MP : Modus ponens
MTP : Modus tollendo ponens
ng: negiert
RdA: Reductio ad absurdum
Sym: symmetrisch
Taut: Tautologie
TND: Tertium non datur
Trans: transitiv
Vtlg: Verteilung
Vtsg: Vertauschung
Wdl : Widerlegung
0-El : Null-Element in LdA
1-El : Eins-Element in LdA
∧E.Ant: Kj-Einführung im Ant
∧E.Cons: Kj-Einführung im Cons
∨E.Ant: Dj-Einführung im Ant
→E.Ant: Kd-Einführung im Ant
↔E.Ant: Bk-Einführung im Ant
(A.1)
P → P
(Selbstimplikation)
(A.2)
P → (Q → P )
(A.3)
P → ((P → Q) → Q)
(A.4)
(P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)) (AntVtlg im bKd )
(A.5)
(P → Q) → ((Q → R) → (P → R))
(Schnitt-T )
(A.6)
(P → (Q → R)) → (Q → (P → R))
(AntVtsg im bKd )
(A.7)
((P → Q) → P ) → P
(A.8)
¬¬P → P
(As-T )
(MP-T )
(Peirce’sches Gesetz )
(¬B-T )
185
Liste der Tautologien
(A.9)
(¬E-T )
P → ¬¬P
(A.10)
¬P → (P → Q)
(EFQ-T )
(A.11)
(¬P → P ) → P
(consequentia mirabilis)
(A.12)
(P → Q) → (¬Q → ¬P )
(Kp p -T )
(A.13)
(¬Q → ¬P ) → (P → Q)
(Kpn -T )
(A.14)
P → (¬Q → ¬(P → Q))
(A.15)
(P → Q) → ((¬P → Q) → Q)
(KlD-T )
(A.16)
(P → Q) → ((P → ¬Q) → ¬P )
(RdA-T )
(A.17)
(¬P → Q) → ((¬P → ¬Q) → P )
(IrBw-T )
(A.18)
(¬P → R) → ((Q → R) → ((P → Q) → R))
(A.19)
P ∧Q → P
(∧B-T )
(A.20)
P ∧Q → Q
(∧B-T )
(A.21)
P → (Q → P ∧ Q)
(∧E-T )
(A.22)
P ↔ P ∧P
(∧Idemp-T )
(A.23)
P ∧Q ↔ Q∧P
(∧Komm-T )
(A.24)
P ∧ (Q ∧ R) ↔ (P ∧ Q) ∧ R
(A.25)
(P ∧ Q → R) → (P → (Q → R))
(Exp-T )
(A.26)
(P → (Q → R)) → (P ∧ Q → R)
(Imp-T )
(A.27)
(P → Q) ∧ (P → R) → (P → Q ∧ R)
(A.28)
¬(P ∧ ¬P )
(A.29)
P ∧ Q ↔ ¬(P → ¬Q)
(Kj durch ¬ und →)
(A.30)
(P → Q) ↔ ¬(P ∧ ¬Q)
(Kd durch ¬ und ∧)
(A.31)
¬(P → Q) ↔ P ∧ ¬Q
(A.32)
P → P ∨Q
(∨E-T )
(A.33)
Q → P ∨Q
(∨E-T )
(A.34)
(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → R) → R
(∨B-T )
(A.35)
P ↔ P ∨P
(∨Idemp-T )
(A.36)
P ∨Q ↔ Q∨P
(∨Komm-T )
(WdlKd-T )
(→E.Ant-T )
(∧Ass-T )
(∧E.Cons-T )
(Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch)
(DM→-T )
186
Aussagenlogik
(A.37)
P ∨ (Q ∨ R) ↔ (P ∨ Q) ∨ R
(∨Ass-T )
(A.38)
(P → Q) → ( (¬P → R) → Q ∨ R )
(djKlD-T )
(A.39)
(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → S) → R ∨ S
(djKsD-T )
(A.40)
(P → R) ∧ (Q → R) ↔ (P ∨ Q → R)
(∨E.Ant-T )
(A.41)
(P → R) ∨ (Q → R) ↔ (P ∧ Q → R)
(∧E.Ant-T )
(A.42)
P ∨ ¬P
(A.43)
P ∨ Q → (¬P → Q)
(MTP-T )
(A.44)
P ∨ Q → (¬Q → P )
(MTP-T )
(A.45)
P ∨ Q ↔ (¬P → Q)
(Dj durch ¬ und →)
(A.46)
(P → Q) ↔ ¬P ∨ Q
(Kd durch ¬ und ∨)
(A.47)
¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q
(DM∧-T )
(A.48)
¬(P ∨ Q) ↔ ¬P ∧ ¬Q
(DM∨-T )
(A.49)
(P → Q) ↔ (P ∧ Q ↔ P )
(P unter Q: P inf )
(A.50)
(P → Q) ↔ (P ∨ Q ↔ Q)
(P unter Q: Q sup)
(A.51)
P ↔ P ∨ (P ∧ Q)
(∧-∨-Absorption)
(A.52)
P ↔ P ∧ (P ∨ Q)
(∨-∧-Absorption)
(A.53)
P ↔ (Q ∨ ¬Q) ∧ P
(Taut als 1-El )
(A.54)
P ↔ (Q ∧ ¬Q) ∨ P
(Ktrd als 0-El )
(A.55)
P ↔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)
(P in DNF über P,Q)
(A.56)
P ↔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)
(P in KNF über P,Q)
(A.57)
P ∧ (Q ∨ R) ↔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
(∧Dt-T )
(A.58)
P ∨ (Q ∧ R) ↔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
(∨Dt-T )
(A.59)
(P ∧ Q) ∨ (R ∧ S) ↔ (P ∨ R) ∧ (P ∨ S) ∧ (Q ∨ R) ∧ (Q ∨ S)
(allgemeine ∧-∨-Distributivität)
(A.60)
(P ∨ Q) ∧ (R ∨ S) ↔ (P ∧ R) ∨ (P ∧ S) ∨ (Q ∧ R) ∨ (Q ∧ S)
(allgemeine ∨-∧-Distributivität)
(A.61)
(P → Q) ∧ (R → S) ↔ (¬P ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ S) ∨ (Q ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ S)
(Kj zweier Kd’e in DNF )
(A.62)
(P ↔ Q) ↔ (Q ↔ P )
(TND)
(↔Sym-T )
187
Liste der Tautologien
(A.63)
(P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R) → (P ↔ R)
(↔Trans-T )
(A.64)
(P ↔ (Q ↔ R)) ↔ ((P ↔ Q) ↔ R)
(A.65)
P ∧ Q → (P ↔ Q)
(↔E-T )
(A.66)
¬P ∧ ¬Q → (P ↔ Q)
(↔E-T )
(A.67)
(P ↔ Q) ↔ (P → Q) ∧ (Q → P )
(↔B-T )
(A.68)
(P ↔ Q) ↔ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
(A.69)
(P ↔ Q) ↔ ¬((P → Q) → ¬(Q → P ))
(A.70)
((P ↔ Q) → R) ↔ (P ∧ Q → R) ∧ (¬P ∧ ¬Q → R)
(↔E.Ant-T )
(A.71)
(P ↔ Q) ∨ (P ↔ ¬Q)
(A.72)
(P → (Q ↔ R)) ↔ (P ∧ Q ↔ P ∧ R)
(kjAntVtlg ↔)
(A.73)
(P → (Q ↔ R)) ↔ ((P → Q) ↔ (P → R))
(kdAntVtlg ↔)
(A.74)
¬(P ↔ Q) ↔ (P ↔ ¬Q)
(A.75)
P ∧ ¬Q → ¬(P ↔ Q)
(↔∗ E-T )
(A.76)
¬P ∧ Q → ¬(P ↔ Q)
(↔∗ E-T )
(A.77)
¬(P ↔ Q) ↔ (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)
(↔Ass-T )
(Bk in DNF )
(Bk durch ¬ und →)
(TND ↔)
(DM↔-T )
(ngBk in DNF )
In den AL-Theoremen der obigen Liste können zwar beliebige Satzkonstanten gewählt werden, aber keine komplexeren Formeln. So ist etwa das Schema
pφ ∧ ψ → ψ ∧ φq
zwar eine erkennbare Tautologie, aber keine Instanz eines der aufgeführten
Theoreme. Wir wollen daher in systematischer Weise zu jedem dieser ALTheoreme ein allgemeineres Schema angeben, so daß auch solche Fälle erfaßt
werden. Die verwendeten Mitteilungszeichen ‘φ’, ‘ψ’, ‘χ’, ‘θ’ können nunmehr
für beliebige Formeln und nicht nur für Satzkonstanten stehen. Gleichgültig wie
komplex also eine Formel ist, sofern sie nur “auf der obersten Ebene” die Form
einer Tautologie hat, ist sie stets gültig (natürlich müssen verschiedene Vorkommen eines und desselben Mitteilungszeichens für dieselbe Formel stehen).
Der semantische Grund dafür ist leicht einzusehen: bei der Berechnung des
Wahrheitswerts einer Formel kommt es bei jeder Teilformel nur auf das soweit
gewonnene Resultat an, unabhängig von der “Vorgeschichte” der Berechnung.
Wenn also auf der obersten Ebene eine tautologische Gestalt vorliegt, wird sich
stets der Wahrheitswert 1 ergeben.
314
7.2
Natürliches Schließen
Der Kalish-Montague-Kalkül: Beschreibung
7.2.1
Schlußregeln
I. Regeln für die Aussagenlogik AL
Es seien φ, ψ, χ, θ Formeln einer Sprache, welche die Aussagenlogik umfaßt.
Abkürzungen: ‘Kj’: Konjunktion; ‘Dj’: Disjunktion; ‘Kd’: Konditional; ‘Bk’: Bikonditional.
A. Grundregeln
φ
(Wh)
(Wiederholung)
∴ φ
φ
¬ψ
∴ ψ→φ
∴ ψ→φ
(As)
(MP)
φ, φ → ψ
(Abschwächung)
(Modus Ponens)
∴ ψ
(MT)
φ → ψ, ¬ψ
(Modus Tollens)
∴ ¬φ
(MTP)
(DN)
φ ∨ ψ, ¬φ
φ ∨ ψ, ¬ψ
∴ ψ
∴ φ
¬¬φ
φ
∴ φ
∴ ¬¬φ
(Modus Tollendo Ponens)
(Doppelte Negation)
φ, ψ
(∧E)
(Kj-Einführung)
∴ φ∧ψ
(∧B)
φ∧ψ
φ∧ψ
∴ φ
∴ ψ
(Kj-Beseitigung)
315
Beschreibung des KM-Kalküls
φ
ψ
∴ φ∨ψ
∴ φ∨ψ
(∨E)
(∨B)
(Dj-Einführung)
φ∨ψ, φ → χ, ψ → χ
(Dj-Beseitigung)
∴ χ
φ↔ψ
φ↔ψ
∴ φ→ψ
∴ ψ→φ
(BK)
(KB)
(Bk-Kd )
φ → ψ, ψ → φ
(Kd-Bk )
∴ φ↔ψ
B. Zulässige Regeln für AL
1. Jedes AL-Theorem in der Strich-Version, das eine konditionale Form pφ →
ψq besitzt, kann in die zulässige Schlußregel pφ / ∴ ψq verwandelt werden;
trägt das Theorem die Bezeichnung p (B-T) q, so sei die Regel mit (B) bezeichnet. Auf diese Weise erhält man z.B. die Schemata der Konjunktionsbeseitigung
(∧B) aus dem AL-Theoremen (∧B-T) = (A.190 ), (A.200 ).
2. Hat ein AL-Theorem mit der Bezeichnung p (B-T) q die Gestalt eines Bikonditionals pφ ↔ ψq, so ergeben sich zwei Regeln mit demselben Namen (B) für
die beiden Richtungen, d.h. pφ / ∴ ψq und pψ / ∴ φq.
3. Ist ein AL-Theorem p (B-T) q ein Konditional (oder enthält als Bikonditional eine Richtung) mit einer Konjunktion im Antecedens, so werden die Konjunktionsglieder in der zugehörigen Regel zur Prämissenmenge; nicht aufgelöst
werden die Konjunktionen in den Theoremen (∧B-T), (∧Komm-T), (∧Ass-T),
(∧Dt-T), (∨Dt-T), (↔E-T) und (↔∗ E-T). Ebenfalls zur Menge der Prämissen
zusammengefaßt werden die Antecedentien φ, ψ eines iterierten Konditionals
der Form p φ → (ψ → χ) q.
Die folgenden zulässigen Regeln werden, in Gruppen unterteilt, wegen ihrer
Wichtigkeit explizit angegeben.
1. Kettenschluß; Ex falso quodlibet; Reductio ad absurdum
(KS)
φ→ψ
ψ→χ
∴ φ→χ
(EFQ)
φ , ¬φ
∴ ψ
(RdA)
φ→ψ
φ → ¬ψ
∴ ¬φ
316
2. Fallunterscheidungen (FU)
(KlD)
φ → ψ , ¬φ → ψ
φ → ψ , ¬φ → χ
(djKlD)
∴ ψ
(djKsD)
∴ ψ∨χ
φ∨ψ ,
φ → χ, ψ → θ
(∨E.Ant)
∴ φ∨ψ →χ
∴ χ∨θ
(→E.Ant)
¬φ → χ , ψ → χ
φ → χ, ψ → χ
(↔E.Ant)
∴ (φ → ψ) → χ
φ∧ψ →χ ,
¬φ ∧ ¬ψ → χ
∴ (φ ↔ ψ) → χ
3. Umwandlungen von Konditionalen
¬φ ∨ ψ
(DK)
(KD)
∴ φ→ψ
∴ ¬φ ∨ ψ
φ→ψ
(Kpp )
(Kpn )
∴ ¬ψ → ¬φ
(Imp)
φ→ψ
¬ψ → ¬φ
∴ φ→ψ
φ → (ψ → χ)
∴ φ∧ψ → χ
(Exp)
φ∧ψ → χ
∴ φ → (ψ → χ)
4. de Morgan – Regeln
(DM∧)
(DM∨)
¬ (φ ∧ ψ)
¬φ ∨ ¬ψ
∴ ¬φ ∨ ¬ψ
∴ ¬ (φ ∧ ψ)
¬ (φ ∨ ψ)
¬φ ∧ ¬ψ
∴ ¬φ ∧ ¬ψ
∴ ¬ (φ ∨ ψ)
317
(DM→)
(DM↔)
¬ (φ → ψ)
φ ∧ ¬ψ
∴ φ ∧ ¬ψ
∴ ¬ (φ → ψ)
¬ (φ ↔ ψ)
φ ↔ ¬ψ
∴ φ ↔ ¬ψ
∴ ¬ (φ ↔ ψ)
¬ (φ ↔ ψ)
¬φ ↔ ψ
∴ ¬φ ↔ ψ
∴ ¬ (φ ↔ ψ)
5. Distributionsregeln
φ ∧ (ψ ∨ χ)
(φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)
∴ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)
∴ φ ∧ (ψ ∨ χ)
(∧Dt)
φ ∨ (ψ ∧ χ)
(φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)
∴ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)
∴ φ ∨ (ψ ∧ χ)
(∨Dt)
6. Substitutionsregel
(↔Sub)
φ ↔ ψ , χ[φ]
∴ χ[ψ]
II. PL1: Quantorenregeln
Es seien φ eine PL1I-Formel, x, y Variablen, s, t Terme und a eine Konstante,
.
sowie Q = ∀, ∃. Var (φ) sei die Menge der in φ auftretenden Variablen.
A. Grundregeln
Vorbemerkung. Der KM-Kalkül weist im folgenden Quantorenteil eine gewisse
Asymmetrie auf; sie liegt darin, daß es zwar eine Regel gibt, welche einen Allquantor beseitigt, aber keine, die einen Allquantor einführt. Die Einführungsregel für den Allquantor heißt im axiomatischen Kalkül Generalisierungsregel und
ist dort neben dem aussagenlogischen Modus Ponens sogar die einzige Schlußregel. Im KM-Kalkül dagegen wird ein Allsatz abgeleitet, indem vorher eine
‘zeige’-Zeile eingeführt wird und die Matrix des Allsatzes in einem Unterbeweis
hergeleitet wird; siehe unten.
318
∀xφ
(∀B)
(All-Beseitigung)
∴ φxt
φxt
(∃E)
∃xφ
(∃B)
(Existenz-Beseitigung)
∴ φxa
∴ ∃xφ
“a neu”
gemäß Def. sK:6.5.2
B. Zulässige Regeln
Qxφ
(AV)
∴ Qyφxy
(QN)
y 6∈ Var (φ)
¬∀xφ
∃x¬φ
∴ ∃x¬φ
∴ ¬∀xφ
¬∃xφ
∀x¬φ
∴ ∀x¬φ
∴ ¬∃xφ
(Alphabetische Varianz )
(Quantoren-Negation)
III. PL1I: Identitätsregeln
A. Grundregeln
(SI)
(Selbstidentität)
∴ t=t
s = t , φ[s]
(Lb)
∴ φ[t]
Fr (s, t; ∗; φ)
(Substitution,
Leibniz-Prinzip)
B. Zulässige Regeln
s=t
(=Sym)
r = s,s = t
(=Tr)
∴ t=s
(Symmetrie;
∴ r=t
Transitivität)
321
7.2.3
Hinweise zur Beweistechnik
I. Übersicht zur Definition der sinnvollen Konfiguration
1. Eröffnungsregeln
• Einführung von p zeige φ q ; φ kann beliebig sein:
Eröffnung eines Unterbeweises
• Einführung von Prämissen
6.1
6.2
• Eröffnung einer BA oder einer BAA
6.3
• Eröffnung einer IA
6.4
2. Schlußregeln
• Anwendung von Kalkülregeln
6.5
Bei (∃B) ist die Bedingung “a neu” zu beachten!
3. Bereits bewiesene Theoreme
• Anstelle eines Unterbeweises kann als Abkürzung die Instanz eines
bereits bewiesenen Theorems als Zeile eingefügt werden.
4. SCHLIESSUNGSREGELN
.
• Schließen der Ableitung bei γ = p α
q
zeige φ
β
6.6.2
(1)
φ verfügbar in β
DA
(2)
.
φ = ψ1 → ψ2
BA
(3)
ψ2 verfügbar in β
χ und ¬χ verfügbar in β für ein χ
(4)
.
φ = ∀x1 . . . ∀xk ψ
(5)
.
φ = ∀x1 . . . ∀xk (ψ1 → ψ2 )
ψ verfügbar in β
ψ2 verfügbar in β
(VB)!
(VB)!
IA
AA
BAA
322
(vfgb)
(i) nicht eingerahmt und
(ii) nicht hinter einem nicht gestrichenen ‘zeige’
(VB)
Kein xi tritt frei in der Hauptformel
einer Antecedenszeile von p zeige φ q in γ auf
Verwendete Abkürzungen:
Hw(n):
Hinweis Nr. (n) in den Beweisplänen
AA
All-Ableitung
DA
Direkte Ableitung
BA
Bedingte Ableitung
A-BA
Annahme zur BA
BAA
Bedingte All-Ableitung
A-BAA
Annahme zur BAA
IA
Indirekte Ableitung
A-IA
Annahme zur IA
Bemerkungen.
• Alle Hinweise in den Beweisplänen sind lediglich Vorschläge, denen man
folgen sollte, falls sich kein kürzerer Weg unmittelbar anbietet.
• Direkte Beweise sind indirekten vorzuziehen, wenn beide möglich sind.
• Vor der Eröffnung eines Unterbeweises ist genau zu prüfen, ob ein solcher
unvermeidlich ist. Zu viele ‘zeige’-Zeilen erschweren die Übersicht über
die Beweisstruktur. Wirklich notwendig ist eine ‘zeige’-Zeile nur für den
Beweis eines Allsatzes.
• Wird mit einem Hinweis ‘Hw.(n)’ zur Beweistechnik ein Unterbeweis mit
‘zeige’ eröffnet, so stellt das keinen Ableitungsschritt dar! Der Verweis auf
eine frühere Zeile oder die bloße Angabe einer Regel im Kommentar einer
solchen Zeile erweckt aber den Eindruck dieses gedanklichen Fehlers und
ist daher zu vermeiden. Was hinter dem ungestrichenen ‘zeige’ steht, gilt
es ja gerade als Teilbehauptung des Gesamtbeweises noch nachzuweisen.
Allerdings kann es hilfreich sein anzumerken, warum man einen Unterbeweis ansetzt, etwa um sich eine Prämisse für die spätere Anwendung einer
Regel R zu verschaffen; in diesem Fall kann der Kommentar (anstelle von
oder zusätzlich zu ‘Hw.(n)’) kurz lauten: “für R !”.
• Hat man eine ‘zeige’-Zeile eingeführt, so muß der zugehörige Unterbeweis
zuende geführt und das ‘zeige’ gestrichen werden.
• Die in runden Klammern stehende Ziffer an den Rahmen der abgeschlossenen Beweise gibt die Nummer der Schließungsregel in der Klausel 6.6.2
der Definition einer sinnvollen Konfiguration an.
• Zu 6.6.2(3): Die Widerspruchsformel χ nimmt auf das zu beweisende φ
gar keinen Bezug. Der Beweis ist also auch dann zuende, wenn er gar nicht
mit einer indirekten Annahme (A-IA) angesetzt wurde. Aus der Struktur
des Diamanten wissen wir, daß aus dem zu χ ∧ ¬χ äquivalenten Falsum
⊥ alles logisch folgt. Die Abschlußbedingung (3) ist daher in jedem Fall
semantisch korrekt.
323
II. Beweispläne A: Aussagenlogik AL
(1)
(2)
Typ der Behauptung
Beweisplan
p zeige φ → ψ q
BA:
wobei φ weder eine Disjunktion,
ein Konditional noch ein
Bikonditional ist
1. nimm φ an (A-BA)
2. leite ψ her, entweder:
a. direkt oder
b. mit p zeige ψ q
p zeige φ ↔ ψ q
p zeige φ → ψ q
p zeige ψ → φ q
dann: (KB)
(3)
p zeige φ ∧ ψ q
p zeige φ q
p zeige ψ q
dann: (∧E)
(4)
(5)
p zeige φ ∨ ψ q
p zeige ¬φ → ψ q
p zeige φ ∨ ψ → χ q
p zeige φ → χ q
dann: (KD)
p zeige ψ → χ q
dann: (∨E.Ant)
(6)
p zeige (φ → ψ) → χ q
p zeige ¬φ → χ q
p zeige ψ → χ q
dann: (→E.Ant)
(7)
p zeige (φ ↔ ψ) → χ q
p zeige φ ∧ ψ → χ q
p zeige ¬φ ∧¬ψ → χ q
dann: (↔E.Ant)
324
Beweispläne B: Prädikatenlogik PL1
(8)
(9)
Typ der Behauptung
Beweisplan
p zeige ∀x1 . . . ∀xk φ q
AA:
wobei φ kein Konditional ist
leite φ her, entweder:
a. direkt oder
b. mit p zeige φ q
p zeige ∀x1 . . . ∀xk (ψ1 → ψ2 ) q
BAA:
1. nimm ψ1 an (A-BAA)
2. leite ψ2 her, entweder:
a. direkt oder
b. mit p zeige ψ2 q
(10)
p zeige ∃xφ q
1. p zeige φxt q
dann: (∃E); oder:
2. IA
(11)
p zeige φ q
wobei φ nicht vom
Typ (1) bis (10) ist
IA oder FU
58
ANHANG A. AUSZÜGE AUS DEM COLLEGIUM LOGICUM
Anhang B
Gebäudepläne
59
60
ANHANG B. GEBÄUDEPLÄNE
M U120A
M U122A
M U118A
M U122
M U12 2B
M U116
M U114
M U112
M U120
M U118
M U110
M U121
M U12 1A
M U 182
M U12 1B
M U 171
M U 172
M U118B
M U180
M U119
M U108
M U181
M U104
M U117
M U113
M U119A
M U109
M U102
A U143
A U141
A U140
M U184
M U193
M U111
M U185
M U174
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M U105
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M U194
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N U184
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A U144
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A U1 40A
A
N U115B
A U187
N U115
A U127
N U115A
N U183B
A U195
A U185A
N U1 15C
N U1 15D
A U125
N U118
N U183
N U183A
A U131A
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A U131
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A U132
A U13 2A
A U194
AU
A U121
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A U170
N U113
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A U117
A U186
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N U111
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N U110
N U107
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N U103
N U104
A U116
A U135
A U189
N U141
A U136
N U170
A U120
A U174
A U118
A U189B
N U102
A U113
A U13 7A
A U18 4E
N U180
A U139
N U182
N U101 N U101A
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A U137
N U1 82A
A U114
E U191A
A U13 9A
A U11 1A
A U111
A U137B
A U184
A U13 9B
A U18 1A
A U139C
A U18 1B
A U139D
A U17 6A
A U181C
A U112
A U 176
A U184C
A U11 2A
A U181
E U187
E U119
E U118
A U183A
E U182
A U182A
E U117
E U184
E U182A
E U114
D U103 D U
D U101
E U115
A U183
E U183
A U182
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E U113
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E U180
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F U180
F U175
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F U106
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114
F U108
F U112
F U112A
F U183
F U183A
F U182A
F U110
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F U182
F U171
F U190
F U109
F U105
D U186
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B U109A
B U115
B U10 9B
A U143
A U141
A U140
A U147
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A U146
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A U142
B U105
B U107
A U188
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A U1 40A
A U150
B U1 81A
B U104
B U18 2A
B U102
B U106
B U180
B U110
B U108
B U18 0A
B U192
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B U116
A U187
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A U170
A U186
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A U196
121
3
B U101
A U151
U127
5
A U152
A U18 8A
C U126
C U121
A U17 0A
C U123
A U128
C U124
C U122
C U117
A U126
C U120
C U118
A U18 4A
A U124
C U181
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A U185
A U133
A U189A
A U122
A U19 3B
A U13 6A
A U161A
C U116
A U134
A U12 0A
A U116
A U135
A U136
A U120
A U174
A U118
A U13 7A
A U18 4E
A U139
A U138
A U137
C U110
A U114
A U13 9A
A U137B
A U184
A U13 9B
A U18 1A
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C U170A
C U180A
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C U190
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D U101
A U183
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D U113
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D U185
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-
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-
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D U132
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D U 172
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62
63
64
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D
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C Z006
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C Z070B
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C Z090
Z004
0
B Z013
B Z080A
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D Z003
D Z005
D Z007
A Z091
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A Z080A
D Z080
D Z081
C Z070A
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66
67
68
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M 214
M 212
M 282
M 218
M 210
-
-
M 280
M 281
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-
-
M 207
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-
-
M 201
M 203
M 209
A 288
A 295
-
A 240
M 290
N 291
N 222A
N 215
LUFTRAUM
-
N 222
A 287
N 215A
A 271B
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A 285A
A 228
A 271A
N 218
N 215B
-
A 227
N 213
N 214
A 225
A 2 85C
A 225A
N 209
N 210
N 207
N 208
A2
-
A 230
A 223
A 284A
A 221
A 285
-
A 284C
N 281
A 219
A 222A
A 285B
N 204
N 203
A 213
A 220
A 293B
A 284B
N 270A
N 270
N 202
N 282
N 290
N 2 82A
E 291
A 211
A 214
A 284
E 224
LUFTRAUM
A 283
E 290
E 212
E 216
E 271B
E 270B
E 271A
E 270A
E 206
-
E 210
-
-
A 282
A 281A
E 271
E 206A
E 270
A 209
A 281B
A 290
D 201
D 203
A 291
A 280B
A 280A
A 280
D 203A
E 280A
E 280B
F 201
-
F 214
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E 280
A 222
A 293A
D 280
69
B 213
A 289
-
A 288
B 280A
B 2 63C
B 281
A 295
B 280B
B 2 64C
A 240
B 282
-
A 294
B 206
B 280C
B 263E
B 263F
B 292
B 263G
B 264F
B 264G
B 202
B 280
A 287
B 290A
A 271
271B
B 290B
A 285A
A 228
A 271A
-
C 291
7
5
C 223
A 226
-
C 226
C 224
A 2 85C
A 225A
A 230
C 221
A 284A
C 222
C 219
A 285
C 217
A 284C
A 222A
C 218
A 222
C 281
C 215
A 293A
A 285B
C 220
-
C 216
A 220
A 293B
C 213
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C 214
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C 280
C 209
C 210
C 207
C 208
A 214
C 205
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C 206
C 203
C 204
C 271
C 201
C 270
C 270A
C 280A
A 283
A 282
C 290
B
E 270B
A
E 270A
A 281A
E 270
A 209
A 281B
A 290
D 201
D 203
D 205
D 207
D 290
D 209
A 291
A 280B
D 283
A 280A
A 280
D 203A
D 280
D 220
D 232
D 221
D 270
D 292
D 271
D 234
D 285
D 291
B 264E
70
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M 3 13A
M 313
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M 390
N 391
A 340
N 387
A 329
-
A 328
N 385
N 3 85A
N 395
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N 313
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A 328A
N 311
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N 384
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N 306G
N 307
N 306D
A 385B
N 304
N 303
N 381
A 384
N 360
N 370A
N 370
N 390
N 382
N 3 82A
E 341
E 342
E 372
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A 390
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E 370
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A 380
E 380
E 381
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F Z382
F 381
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E 315
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71
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B 317C
B 301
B 303
B 311A
B 382
B 383
A 340
B 317B
B 311
B 317A
B 317
B 380
B 314
329
02
B 318A
B 314A
B 318
A 328
C 326
C 324
C 391
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C 321
A 328A
C 320
C 318
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A 384
C 313
A 384B
C 312
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C 310
C 309
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C 305
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C 3 70
C 371A
C 370A
C 380A
C 390
E 370A
A 391
A 324
A 390
A 322
A 390A
D 393
D 383
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D 381
D 390
E 370
A 382
A 380B
D 309A
A 380
A 327
A 325
A 323
D 380
A 321
D 320
D 321
D 334
D 370
D 392
D 371
D 385
D 391
B 318B
Index
All-Beseitigung, 40
Antecedens, 21
Arbeitszeile, 34
Argument, 31
atomarer Satz, 19
Ausdruck, 23
Aussagenlogik, 18, 19
Baumtest, 23
bedingte Ableitung, 34
Belegung, 24
Bikonditional, 21, 25
kontradiktorisch, 26
Lügner-Paradoxie, 18, 19
logische Konstante, 19
Metasprache, 18
Mitteilungszeichen, 22
Negation, 20, 25
Objektsprache, 18
Prädikatenlogik, 18
Prädikatkonstante, 37
Consequens, 21
deduktives Argument, 32
deskriptive Konstante, 19
direkte Ableitung, 33
Disjunktion, 20, 25
einstelliger Junktor, 20
erfüllbar, 26
Explizitfassung, 30
Formalisierung, 29
Formel, 23
gültig, 26
Grundregeln, 33
Q-Analyse, 27
Qauntor, 38
Quasi-Anführungszeichen, 22
Quine Corners, 22
Satzkonstante, 19
Schlussregel, 33
Semantik, 23, 24
Standardjunktoren, 19
Syntax, 23
Tautologie, 26
Transitivität, 40
Universum, 39
Unterbeweis, 34
Hauptzeichen, 26
Individuenkonstante, 37
Individuenterm, 38
Individuenvariable, 38
induktives Argument, 31
wahr, 26
Wahrheitstafel, 25
Wahrheitswert, 19
zulässige Regeln, 33
Junktor, 19
Kalish-Montague-Kalkül, 32
Kalkül, 32
KM-Kalkül, 32
Konditional, 21, 25
Konjunktion, 20, 25
72