Klausur zur linearen Algebra I

Prof. Dr. Wedhorn
Dr. Blottière
Dr. Schützdeller
WS 2006/07
Universität Paderborn
Klausur zur linearen Algebra I
27.1.2007
Name, Vorname
Übungsgruppe
Studienfach
Matrikelnummer
Semester
Zugelassene Hilfsmittel : Papier und Stift.
Hinweise :
i)
Bitte schreiben Sie mit Kugelschreiber oder Füllfederhalter in blauer
oder schwarzer Farbe.
ii) Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt Papier.
iii) Füllen Sie bitte beide Deckblätter vollständig aus.
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
erreichbare
6
6
10
6
10
8
13
6
5
Punktzahl
erreichte
Punktzahl
Mit 35 Punkten haben Sie in jedem Fall bestanden.
Bonus
Σ
70
Prof. Dr. Wedhorn
Dr. Blottière
Dr. Schützdeller
WS 2006/07
Universität Paderborn
Klausur zur linearen Algebra I
27.1.2007
Name, Vorname
Übungsgruppe
Studienfach
Matrikelnummer
Semester
Zugelassene Hilfsmittel : Papier und Stift.
Hinweise :
i)
Bitte schreiben Sie mit Kugelschreiber oder Füllfederhalter in blauer
oder schwarzer Farbe.
ii) Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt Papier.
iii) Füllen Sie bitte beide Deckblätter vollständig aus.
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
erreichbare
6
6
10
6
10
8
13
6
5
Punktzahl
erreichte
Punktzahl
Mit 35 Punkten haben Sie in jedem Fall bestanden.
Bonus
Σ
70
Aufgabe 1 :
Sei K ein Körper, seien n, m ∈ N, n ≥ 1, m ≥ 1, sei A ∈ Mm×n (K), und sei b ∈ K m .
Wir definieren ein lineares Gleichungssystem (GS) mit einer Unbekannten x ∈ Rn durch
(GS)
Ax = b.
Welche der folgenden Aussagen gilt ?
A1
A2
A3
A4
A5
A6
rk(A) = m =⇒ (GS) hat eine Lösung.
n < m =⇒ (GS) hat keine Lösung.
b = 0 und n = m =⇒ (GS) hat genau eine Lösung.
n ≥ m =⇒ (GS) hat eine Lösung.
n = m und A invertierbar =⇒ (GS) hat genau eine Lösung.
n > m und b = 0 =⇒ (GS) hat mehr als eine Lösung.
Bemerkungen :
1. Kreuzen Sie die wahren Aussagen in der folgenden Tabelle an.
Aussage
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Antwort
Beispiel : Schreiben Sie
Aussage
Antwort
×
×
×
wenn Sie denken, dass nur die Aussagen A2, A4 und A6 wahr sind.
2. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.
3. Richtige Antworten geben Punkte, falsche Antworten geben Punktabzüge.
(6 Punkte)
Aufgabe 2 :
Welche der folgenden Aussagen gilt ?
x
2
2
∈ R : x = y ist ein R-Untervektorraum von R2 .
A1
y
A2
A3
x
y
2
2
∈ (F2 ) : x = y
3
ist ein F2 -Untervektorraum von (F2 )2 .



 



 x
 x+y−z =0 

 y  ∈ R3 :
ist ein R-Untervektorraum von R3 .
−x − y + z = 0





x−y−z = 0 
 z
A4
{f : N → R Abbildung : f (n + 1) ≥ f (n) für alle n ∈ N} ist ein R-Untervektorraum von RN .
A5
Seien v, w ∈ R4 . {ϕ ∈ (R4 )∗ : ϕ(v) = ϕ(w)} ist ein R-Untervektorraum von (R4 )∗ .
Bemerkungen :
1. Kreuzen Sie die wahren Aussagen in der folgenden Tabelle an.
Aussage
A1
A2
A3
A4
A5
Aussage
A1
A2
A3
A4
A5
Antwort
×
×
Antwort
Beispiel : Schreiben Sie
wenn Sie denken, dass nur die Aussagen A1 und A2 wahr sind.
2. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.
3. Richtige Antworten geben Punkte, falsche Antworten geben Punktabzüge.
(6 Punkte)
Aufgabe 3 :
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit drei reellen Unbekannten x, y, z für alle a ∈ R.

 x + 2y + z = 0
2x + ay + az = 2

y + 2z = 1
(10 Punkte)
Aufgabe 4 :
Wir definieren A ∈ M4 (R) durch

1
 2
A := 
 3
1
1
2
3
1
2
4
6
1

1
2 
.
3 
1
1. Zeigen Sie : rk(A) = 2.
2. Bestimmen Sie det(A).
(6 Punkte)
Aufgabe 5 :
Sei K ein Körper, sei n ∈ N, n ≥ 2, sei V ein K-Vektorraum, und seien v1 , . . . , vn linear abhängige
Vektoren in V , so dass je (n − 1) der Vektoren linear unabhängig sind.
1. Zeigen Sie, dass α1 , α2 , . . . , αn ∈ K × mit α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 existieren.
2. Seien α1 , α2 , . . . , αn ∈ K × wie in 1. gewählt. Zeigen Sie :
Für alle β1 , β2 , . . . , βn ∈ K mit β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn = 0
existiert λ ∈ K mit βi = λαi für alle i.
(10 Punkte)
Aufgabe 6 :
Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum, sei f : V → V eine K-lineare Abbildung, so dass
f ◦ f = f,
und sei λ ein Eigenwert von f .
Zeigen Sie : λ ∈ {0, 1}.
(8 Punkte)
Aufgabe 7 :
Wir definieren A ∈ M2×3 (R) durch
A :=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2 8 6
1 4 3
.
Bestimmen Sie eine Basis von Ker(A).
Bestimmen Sie eine Basis von Im(A).
Bestimmen Sie dim(Ker(A)) und rk(A).
Ist A injektiv ?
Ist A surjektiv ?
Ist A bijektiv ?
Begründen Sie Ihre Antworten.
(13 Punkte)
Aufgabe 8 :
Sei n ∈ N, n ≥ 1, und sei A ∈ Mn (Q), so dass
t
AA = In .
1. Zeigen Sie : A ist invertierbar.
2. Zeigen Sie : det(A) ∈ {1, −1}.
(6 Punkte)
Aufgabe 9 :
Wir definieren A ∈ M4 (Q) durch

Berechnen Sie det(A).
0
 2
A := 
 0
0
1
2
0
0
8
7
6
1

9
1 
.
3 
1
(5 Punkte)
Viel Erfolg !