Die physikalischen Grundlagen der Luftfahrt

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JOHANNES GUTENBERG-UNIVERSITÄT MAINZ - INSTITUT FÜR PHYSIK
Die physikalischen Grundlagen
der Luftfahrt
Wissenschaftliche Prüfungsarbeit
gemäß § 12 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das
Lehramt an Gymnasien vom 07. Mai 1982, in der derzeit gültigen
Fassung
vorgelegt am
2. Juli 2010
von:
Lena Michaela Altherr
Goethestraße 22
63512 Hainburg
Erstgutachter:
Zweitgutachter:
PD. Dr. Frank Fiedler
Prof. Dr. Heinz-Georg Sander
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
10
1. Historischer Überblick - der Traum vom Fliegen
11
2. Physikalische Grundlagen aus der Strömungsmechanik
17
2.1. Physikalische Eigenschaften der Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kinematik der Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Eulersche und Langrangesche Betrachtungsweise . . . . . . . .
2.2.2. Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Potentialströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Dynamik der Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Eindimensionale Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.1. Eindimensionale Eulersche Bewegungsgleichung . . .
2.3.1.2. Eindimensionale Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . .
2.3.2. Zwei- und dreidimensionale Strömungen . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.1. Mehrdimensionale Eulersche Bewegungsgleichung . .
2.3.2.2. Potentialfunktion- und Stromfunktion bei zweidimensionalen Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.3. Das Φ-Ψ-Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.4. Berechnung ebener Potentialströmungen mithilfe komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.5. Beispiele komplexer Strömungsfunktionen . . . . . .
2.3.2.6. Die Methode der konformen Abbildungen . . . . . . .
2.4. Wirbelbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Begriff der Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Zusammenhang zwischen Zirkulation und Drehung . . . . . . .
2.4.3. Thomson’scher Wirbelerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Physikalische Grundlagen des Fliegens
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Bauteile des Flugzeuges und ihre Funktion . . . . . . .
Geometrie des Tragflügels . . . . . . . . . . . . . . . .
Kräfte am Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aerodynamik des Tragflügels unendlicher Spannweite
3.4.1. Die Theorie des Auftriebes . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Profiltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Aerodynamik des Tragflügels endlicher Spannweite . .
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4. Versuche
4.1. Strömungskanal nach Ludwig Prandtl . . . . . . . . . . . .
4.2. Seifenfilmkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Physikalischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Exemplarische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Messung von Auftrieb und Widerstand am Tragflächenprofil
4.3.1. Messung der Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Messung der Widerstandskraft . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Ergebnisse der beiden Experimente . . . . . . . . . .
4.4. Windkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Flugphysik in der Schule
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5.1. Verortung in Lehrplan und Fachzusammenhänge . . . . . . . . . . . . . 94
5.2. Flugphysik - ein Beitrag zur Attraktivitätssteigerung des Physikunterrichts 95
5.3. Die Erklärung des Fliegens in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1. Die Druckerklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.1.1. Das zugrundeliegende Konzept . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.1.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Druckerklärung . 100
5.3.2. Die Rückstoßerklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.2.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Rückstoßerklärung104
5.3.3. Die Zirkulationserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.3.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Zirkulationserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.4. Zusammenhang der drei Erklärungsmuster . . . . . . . . . . . . 107
5.3.5. Didaktische Bewertung der drei Erklärungsansätze . . . . . . . . 109
6. Flugphysik als experimenteller, projektorientierter Unterricht
111
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Das Experiment im Physikunterricht . . . . . . . . . . . . .
Das Projekt als Unterrichtsmethode . . . . . . . . . . . . . .
Die Projektidee - ein Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äußere Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Die Martin-Niemöller-Schule Wiesbaden als Lernort .
6.4.2. Die Projektgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Ablauf der Projekttage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Erster Projekttag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2. Zweiter Projekttag . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3. Dritter Projekttag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Reflexion der Projekttage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 132
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7. Literaturangaben
141
8. Eidesstattliche Erklärung
146
Anhang
147
A. Versuchsbeschreibungen
A.1. Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . .
A.2. Verifizierung des Archimedischen Prinzips
A.3. Venturi-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Druckverteilung am Flügelprofil . . . . . .
A.5. Klebeluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6. Schwebender Ball . . . . . . . . . . . . . .
A.7. Bernoullische Bälle . . . . . . . . . . . . .
A.8. Bernoullisches Gesetz beim Spülen . . . .
A.9. Stromlinienerzeugung mit Taschentüchern
A.10.Velourspapierströmungen . . . . . . . . .
A.11.Luftballon-Fön-Versuch . . . . . . . . . . .
A.12.»actio=reactio« auf dem Skateboard . . .
A.13.Sengersches Wasserrad . . . . . . . . . . .
A.14.Zirkulationsströmung am Flügelprofil . . .
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A.15.Tragschraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B. Bastelanleitungen
B.1.
B.2.
B.3.
B.4.
Cartesianischer Taucher . . . . .
Windkanal . . . . . . . . . . . . .
Heißluftballon aus Seidenpapier .
»5 aus einem Brett« . . . . . . . .
166
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C. Herleitungen für den Unterricht in der Oberstufe
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170
C.1. Herleitung des Archimedischen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C.2. Herleitung der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
D. Arbeitsblätter
174
D.1. Arbeitsblatt zum Archimedischen Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
D.2. Arbeitsblatt zum Heißluftballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
E. Evaluationsbogen
176
Abbildungsverzeichnis
2.1. Gedankenexperiment zum Begriff der Drehung bzw. der Drehungsfreiheit [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kräftegleichgewicht am Volumenelement in Richtung der Stromröhrenachse, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] . . . . . . . . . . .
2.3. Zur physikalischen Deutung des Φ-Ψ-Netzes, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ebene Staupunktströmung, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] .
2.5. Strömung in einen Winkelraum oder um eine Ecke, [Oertel, 2008] .
2.6. Kreiszylinderströmung, [Oertel, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Verfahren der konformen Abbildung, [Schlichting und Truckenbrodt,
2001a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Betrachtungsebenen des Tragflügels, [Schlichting und Truckenbrodt,
2001a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Grundriss des Tragflügels, [Schneiderer, 2008] . . . . . . . . . . . . .
3.3. Terminologie des Flügelprofils, [Schneiderer, 2008] . . . . . . . . . .
3.4. Kräfte am Flugzeug, [http://de.wikipedia.org/wiki/Flugzeug] . . . .
3.5. Luftkräfte am Tragflügel, [Böswirth, 2010] . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Polardiagramm nach Lilienthal, [Heepmann, 2006] . . . . . . . . . .
3.7. Gleitzahl und Sinkwinkel, [Schneiderer, 2008] . . . . . . . . . . . . .
3.8. Strömung um Flügelprofil mit Auftrieb, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Zusammensetzung der Strömung um ein Tragflügelprofil, [Oertel,
2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.Herleitung der Kutta-Joukowski-Formel für den Auftrieb, [Schlichting
und Truckenbrodt, 2001a]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.Anfahrvorgang des Tragflügels, [Spurk und Aksel, 2007] . . . . . . .
3.12.Zirkulation und Anfahrwirbel, [Spurk und Aksel, 2007] . . . . . . . .
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3.13.Zur Herleitung der ersten Blasiusschen Formel, [Schlichting und
Truckenbrodt, 2001a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.14.Joukowski-Profile durch konforme Abbildung, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.15.Zirkulation und Auftrieb beim Tragflügel unendlicher Spannweite,
[Marchaj, 1982] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.16.Entstehung der freien Wirbel durch Druckausgleich an den Flügelenden, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001b]] . . . . . . . . . . . . 67
3.17.Vereinfachtes Wirbelsystem des Tragflügels endlicher Spannweite,
[Marchaj, 1982] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.18.Wirbelsystem des Tragflügels endlicher Spannweite, [Marchaj, 1982] 69
3.19.Entstehung der Randwirbel am Tragflügel endlicher Spannweite,
[Marchaj, 1982] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.20.Zwei- und dreidimensionale Betrachtung des Auftriebsbeiwertes,
[Marchaj, 1982] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.21.Wirbelschleppe in Fotographie, [Wodzinski, 1999] . . . . . . . . . . . 71
4.1. Ludwig Prandtl 1904 mit seinem Wasserkanal . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Skizze des Prandtlschen Wasserkanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Nachbau des Prandtlschen Wasserkanals . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Detailansicht aus Abbildung 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5. Halterung und Profilkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6. Umströmung eines Halbzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7. Seitliche Umströmung einer scharfen Kante . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.8. Der Anfahrwirbel beim Tragflügelprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.9. Umströmung des Tragflügels bei unterschiedlichem Anstellwinkel . . 78
4.10.Seifenfilmkanal mit Beleuchtungseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.11.Seifenfilm mit Farbspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.12.Zwölfteiliger Farbkreis, nach [http://de.wikipedia.org/wiki/Farbkreis] 82
4.13.Bernoulli-Körper im Seifenfilmkanal, [DLR] . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.14.Flügelprofil im Seifenfilmkanal, [DLR] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.15.Versuchsanordnung zur Auftriebsmessung . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.16.Versuchsanordnung zur Widerstandsmessung I . . . . . . . . . . . . . 86
4.17.Versuchsanordnung zur Widerstandsmessung II . . . . . . . . . . . . 86
4.18.Widerstandskraft in Abhängigkeit des Anstellwinkels . . . . . . . . . 88
4.19.Auftriebskraft in Abhängigkeit des Anstellwinkels . . . . . . . . . . . 88
4.20.Lilienthalsches Polardiagramm für das Tragflügelmodell . . . . . . . 90
4.21.Gesamtansicht des Windkanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.22.Der Gleichrichter aus Strohhalmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.23.Umströmung im Windkanal bei kleinem Anstellwinkel . . . . . . . . 92
4.24.Umströmung im Windkanal bei großem Anstellwinkel . . . . . . . . . 93
5.1. Stromlinienbild des Tragflügelprofils, [Wodzinski, 1999] . . . . . . . 99
5.2. Bernoulli-Gleichung am Tragflügelprofil, nach [http://pluslucis.univie.ac.at/FBA/FBA01/preiss/kap3-Dateien/image029.gif] . . . . . . . 100
5.3. Widerlegung des Weglängen-Argumentes durch Simulation, [Wodzinski, 1999] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4. Ausschnitt aus einem Mittelstufenschulbuch, [Dorn und Bader, 1985]102
5.5. Skizze zur Rückstoßerklärung, [Dorfmüller et al. 1998] . . . . . . . . 103
5.6. Umströmung des Tragflügels ohne Auftrieb, [Oertel, 2008] . . . . . . 106
5.7. Zirkulationsströmung, [Oertel, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8. Umströmung des Tragflügels mit Auftrieb, [Oertel, 2008] . . . . . . . 107
5.9. Skizze zum Impulssatz, [Wodzinski und Ziegler, 2000] . . . . . . . . 108
6.1. Bedeutungsaspekte des Experimentes für den Physikunterricht, nach
[Wilke, 1993] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2. Funktionelle Aspekte des Experiments, [Kircher et al., 2009] . . . . . 114
6.3. Teilnehmende des Projektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4. Entzünden des Brennstoffes, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.5. Aufheizen des Ballons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.6. Entzünden des Brennstoffes, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.7. Der erste Flug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.8. Start des Luftballonrennwagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.9. Luftballonrennwagen in Fahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.10.Start der Luftballon-Hubschraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.11.Flug der Luftballonhubschraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.12.Raketenstart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.13.Zu Beginn der Bauphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.14.Papierflieger falten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.15.Der Start eines Balsal-Gleitmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.16.Schülerantworten auf die Frage nach dem Verhältnis von Theorie
und Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.17.Schülerantworten auf die Frage nach Tops ud Flops . . . . . . . . . . 137
6.18.Schülerantworten auf die Frage nach Erstaunlichem und Faszinierendem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.19.Anmerkungen der Schülerinnen und Schüler zum Gesamtprojekt . . 140
A.1. Auftrieb in Flüssigkeiten - Versuch 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2. Auftrieb in Flüssigkeiten - Versuch 2, nach [Leisen, 2003a] . . . . . . 150
A.3. Schematische Zeichnung des Venturi-Rohres . . . . . . . . . . . . . . 151
A.4. Versuchsanordnung zur Messung der Druckverhältnisse an der Tragflächenunterseite, [CorEx FlugFliegen] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.5. Versuchsanordnung zur Messung der Druckverhältnisse an der Tragflächenoberseite, [CorEx FlugFliegen] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.6. Druckverhältnisse bei Anstellwinkeln von −15◦ , 0◦ und +15◦ , [CorEx
FlugFliegen] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.7. Schrängrohrmanometer aus einfachem Versuchsgerät, [Weltner, 2001]154
A.8. Schematische Zeichnung zur schwebenden Pappe, [Berthold et al.,
2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.9. Versuchsanordnung, [CorEx FlugFliegen] . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.10.Der schwebende Ball im Einsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.11.Stromlinienbild zur Erklärung des Versuches mit dem schwebenden
Ball, [CorEx FlugFliegen] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.12.Schüler beim Experimentieren mit den Bernoullischen Bällen . . . . 158
A.13.Versuchanordnung zur Erzeugung von Stromlinienbilder, [Heepmann,
2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.14.Wasserstromliniengerät, [LD36207] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.15.Mögliche Stellungen des Winderzeugers . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.16.Versuchsanordnung zum Sengerschen Wasserrad . . . . . . . . . . . 162
A.17.Kräftebetrachtung zum Sengerschen Wasserrad, [Berthold et al.,
2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.18.Nachweis der Zirkulation, [Wodzinski, 1999] . . . . . . . . . . . . . . 164
A.19.Versuchsaufbau zum Prinzip der Tragschraube, [CorEx FlugFliegen] 165
C.1. Skizze zur Herleitung des Archimedischen Prinzips in der Schule,
[Kuhn, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C.2. Skizze zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung in der Schule, [Sexl
et al., 1980] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Tabellenverzeichnis
3.1. Größen der Tragflächengeometrie, nach [Schneiderer, 2008] . . . . . 47
4.1. Umrechnung der Messwerte in die Auftriebskraft . . . . . . . . . . . 87
4.2. Auftrieb und Widerstand in Abhängigkeit des Anstellwinkels . . . . . 89
Vorwort
Die Physik des Fliegens fristet in der physikalischen Unterrichtsrealität ein eher kärgliches Dasein, was wohl zum einen auf die oft unzureichende experimentelle Ausstattung
der Schulen, vor allem aber auch auf nicht vorhandene bzw. veraltete didaktische
Konzepte zurückzuführen ist.
Andererseits ist es, nicht zuletzt für die Autorin dieser wissenschaftlichen Prüfungsarbeit,
ein Thema von ungeheurer Faszination und Aktualität, das den uralten Menschheitstraum vom Fliegen in den Mittelpunkt der Betrachtung stellt. Die Querverbindungen
zur Biologie, zur Fahrzeugaerodynamik und zum Luftsport machen dieses Gebiet für
Lehrende und Lernende interessant und reizvoll.
Aus dem vielschichtigen Spektrum der physikalischen Grundlagen der Luftfahrt legt
die Verfasserin das Augenmerk auf den Aspekt des Fliegens an sich. Selbstverständlich bieten sich auch andere Facetten für eine Behandlung im Unterricht an so z.B.
Flugnavigation, Flugsicherung mithilfe von Überwachungsinstrumenten etc..
Anliegen der vorliegenden Arbeit ist sowohl eine wissenschaftliche Auseinandersetzung
mit der Strömungsphysik und der Aerodynamik von Flugobjekten als auch das Aufzeigen
eines Weges, wie man Fragestellungen dieser attraktiven Thematik im schulischen
Kontext nachgehen kann. Dazu wurden eine Reihe von Experimenten entwickelt und für
den Einsatz in der Schule aufbereitet. Der auf dieser Basis konzipierte projektorientierte
Unterricht wurde an einem Oberstufengymnasium erprobt, das gesamte Projekt wird
abschließend reflektiert.
10
1. Historischer Überblick - der Traum vom Fliegen
In zahlreichen Sagen und Mythen wird der uralten menschlichen Sehnsucht Ausdruck
verliehen, sich Vögeln und Insekten gleich mühelos in die Luft erheben zu können.
Vorstellungen vom Fliegen existierten bereits in allen antiken Zivilisationen. So wurden
im alten Ägypten, in Mesopotamien und Kleinasien Gottheiten oft als geflügelte Wesen
dargestellt. Von den Drachen des alten China über die technischen Zeichnungen des
Leonardo da Vinci und die aerodynamischen Studien des Ludwig Prandtl bis hin zu
den modernen Passagierflugzeugen soll die vorliegende Übersicht dokumentieren, wie
der Traum vom Fliegen Wirklichkeit wurde und der Mensch den Himmel eroberte. Es
werden die Erfolge der frühen Flugpioniere vorgestellt, aber auch die Entwicklung der
Fluggeräte zum globalen Transportmittel, eine Folge des unaufhörlichen Strebens der
Menschheit in immer größere Höhen und nach immer höheren Geschwindigkeiten.
Für die Projektgruppe entwickelt, soll der nun folgende illustrierte historische Abriss
über die Meilensteine des Fliegens auch dem Leser der vorliegenden Arbeit einen
Überblick über die Geschichte der Luftfahrt geben und für die Thematik begeistern.
Dabei erhebt die Darstellung keinen Anspruch auf Vollständigkeit, vielmehr beinhaltet
sie eine Auswahl der Aspekte der Entwicklung, die der Verfasserin der Arbeit besonders
interessant und wichtig erscheinen.
11
Meilensteine des Fliegens
Die Geschichte der Luftfahrt im Überblick
1493 entwarf Leonardo da Vinci einen Hubschrauber, der
Erstmalig werden im China des
mithilfe
5. Jahrhundert v.Chr. Drachen
entstand
als
Flugobjekte
bestanden
aus
einer
der
Spiralschraube
heute
noch
abheben
geläufige
sollte.
Begriff
So
des
erwähnt.
Sie
Helikopters, abgeleitet von dem griechischen >>helix<<
Bambus
und
(Schraube) und >>pteron<< (Flügel). Überliefert sind auch
Seide und verbreiteten sich erst,
Zeichnungen von
als
und Schwingenflugzeugen, also
der
Papier
günstigere
entwickelt
Rohstoff
wurde.
Die
von mit Muskelkraft bewegten
Asiaten glaubten, mithilfe der
Flügeln,
Drachen
Stromlinienbildern,
ihre
Wünsche
Fallschirmen
und
ebenso
wie
die
seine
Bitten den Göttern übermitteln zu
Strömungsuntersuchungen
können.
dokumentieren.
seine
Auch
Erfindungen
von
wenn
nicht
ausgereift waren, so war da Vinci
mit seinen flugtechnischen und
500 v.Chr.
0
500 n.Chr.
1000 n.Chr.
1500 n.Chr.
mathematischen
Kenntnissen
seiner Zeit weit voraus. Für die
Entwicklung
konnten
des
seine
Fliegens
Erkenntnisse
jedoch nicht genutzt werden, weil
viele seiner Manuskripte nach
seinem Tod verloren gegangen
waren.
Aus Ovids Metamorphosen
ist die griechische Sage
von Dädalus und Ikarus,
Vater und Sohn, überliefert,
die von König Minos in einem Turm gefangen
gehalten wurden. Der Versuch, zu fliehen mithilfe
von selbstgebauten Flügeln aus Vogelfedern und
Kerzenwachs scheiterte, weil Ikarus ungeachtet
der Warnungen des Vaters zu hoch hinauf flog
und der Sonne zu nahe kam. Das Wachs
schmolz, und er stürzte ins Meer. Schon damals
also galt Fliegen als Inbegriff von Freiheit.
Viel
früher
als
die
Konstrukteure der Flugzeuge, die schwerer als
Luft waren, hatten die
Leichter-als-Luft-Pioniere
Erfolg. Den französischen
Brüdern Etienne-Jacques
und
Montgolfier
gelang
1783
der
Michel-Joseph
erste
de
bemannte
Heißluftballonaufstieg. Zuvor hatten sie mit aus Leinwand
gefertigten,
mit
Papier
gefütterten
und
Hanfnetz
überzogenen, unbemannten Heißluftballonen experimentiert.
Dabei handelte es sich zunächst um Fesselflüge, später um
Der
freie Aufstiege mit Tieren als Flugpassagieren. Schon ein
Ingenieur und
Unternehmer
Jahr später erreichte man Höhen bis zu 4000 Metern. 1785
Lilienthal
wurde erstmals mit einem Heißluftballon der Ärmelkanal
Otto
erforschte
gemeinsam
überquert. Heißluftballone werden nach ihren Erfindern
mit
seinem Bruder Gustav
Montgolfière genannt.
die
Vorteile
der
gewölbten Fläche für
die Flugzeugtechnik.
1790
1810
1830
1850
Die
Ergebnisse
1870
ihrer
Widerstandsmessungen
Als >>Vater der Aeronautik<< gilt
der Engländer Sir George Cayley,
der bereits 1799 ein Gleitflugzeug
mit allen wesentlichen Merkmalen
moderner Flugzeuge wie Flügel,
Höhenskizzierte
und
an
Auftriebs-
1890
und
Tragflügelprofilen
veröffentlichten sie 1889 in Otto Lilienthals Buch
Der Vogelflug als Grundlage der Fliegekunst ,
dargestellt in Polardiagrammen, die heute noch
Grundlage des Begriffssystems und gängige Praxis
in der Aerodynamik sind.
Seitenleitwerk
und
wissenschaftliche
damit
die
Beschäftigung
mit dem Fluggerät schwerer als
Luft einleitete. Fünf Jahre später
baute er aufbauend auf seinem
Flugzeugkonzept
erfolgreich
unbemannte Flugmodelle.
Dem italienischen Ingenieur Enrico Forlanini
gelang 1877 der erste Flug eines dampfgetriebenen
Modellhubschraubers, der mit zwei koaxialen gegenläufigen Rotoren etwa 20 Sekunden flog und Höhen von
bis zu 13 Metern erreichte. Für weitere flugtechnische Experimente entwickelte er einen Windkanal und baute
sein erstes Luftschiff, das 1909 zum ersten Flug startete. Obwohl er seine militärische Laufbahn beendet
hatte, konstruierte er während des Ersten Weltkrieges auch mehrere Luftschiffe für den Kriegseinsatz.
Nach den jahrelangen theoretischen Vorarbeiten unternahm Otto Lilienthal, seit Kindertagen von der Fliegerei
begeistert, zwischen 1890 und 1896 praktische Flugversuche mit Hängegleitern, die den heutigen Sportdrachen
ähnelten. 1891 gelang ihm der erste Menschenflug mit einem manntragenden Segelapparat; seine Möwe trug
ihn dabei über sieben Meter durch die Luft. In der Folgezeit
baute und erprobte er mehr als 30 Gleitflugzeuge und
erzielte Flugweiten über 300 Meter. Alle Gleitflugzeuge
waren in Anlehnung an den Vogelflug so konstruiert,
dass der Pilot das Fluggerät mit den Händen hielt, die
Beine zum Anlaufen benutzte und den Gleiter durch
Verlagerung der Körperposition steuerte. Nach mehr als
100 Flügen starb Lilienthal 1896 bei einem Absturz aus
20 Meter Höhe. Seine Erfindungen waren bahnbrechend
für die moderne Luftfahrt.
Der französische Ingenieur und Fahrradfabrikant Paul Cornu entwickelte
den weltweit ersten bemannten Hubschrauber, der bei seinem Erstflug
1903 eine Flugzeit von 20 Sekunden nicht überschritt. Er wurde auch
fliegendes Fahrrad genannt. Die beiden gegenläufigen Drehflügel wurden
Als herausragender Luftschiff-Pionier gilt
der Offizier Ferdinand Graf von Zeppelin,
1890
1894
der sich seit
widmete
und
Starrluftschiff
Luftschiffe,
1898
1892 dem Luftschiffbau
das
erste
konstruierte.
ab
»Luftschiffbau
1909
Zeppelin-
in
Zeppelin
lenkbare
der
Firma
GmbH«
dabei durch einen Ottomotor angetrieben. Obwohl kurz
zuvor ein von Louis und Jacques Bréguet gebauter
Hubschrauber bereits abheben konnte, gilt Cornus Flug
1902
1906
1910
als erster freier Flug eines Hubschraubers, weil der
andere aufgrund seiner Instabilität durch Helfer im
Gleichgewicht gehalten werden musste.
in
Friedrichshafen gebaut, dominieren die
Geschichte der Starrluftschifffahrt derart,
dass bis heute der Begriff Zeppelin ein
Synonym
für
Starrluftschiff
ist.
Das
erfolgreichste Luftschiff, die Graf Zeppelin,
absolvierte
Jahrhunderts
bereits
Anfang
des
Erdumrundungen
20.
und
Erst die Erfindung des Verbrennungsmotors verhalf der
Atlantiküberquerungen. Zeppeline wurden
Fliegerei zum Durchbruch als Verkehrsmittel. Mit Hilfe
sowohl in der zivilen Luftfahrt als auch in
eines solchen Benzinmotors gelang den amerikanischen
Kriegszeiten als Bomber und Aufklärer
Brüdern Orville und Wilbur Wright 1903 der erste
eingesetzt.
erfolgreiche gesteuerte Motorflug, ermöglicht
durch ihre
Erfindung der aerodynamischen Flugsteuerung um alle drei
Achsen. Der gelungenste Flug ging über 260 Meter und
dauerte 59 Sekunden. Allerdings gibt es auch historische
Quellen, die dem deutschen Flugpionier Karl Jatho den
ersten geglückten Motorflug zusprechen, der 1903 vier
Flüge absolviert haben und beim weitesten 60 Meter
zurückgelegt haben soll.
Die Geschichte der Flugsicherung verläuft
Schon im Ersten Weltkrieg wurden Tausende von
parallel zur Entwicklung des Flugzeuges zum
Massentransportmittel im Deutschland der
Kampfflugzeugen produziert mit jedoch nur
1950er
Jahre.1936Hervorgegangen
Der Fortschritt in der Hubschraubertechnik verlief zunächst ohne deutsche
Beteiligung;
präsentierte der aus den
geringem Einfluss auf das Kriegsgeschehen. Im
Flugzeugkonstrukteur Heinrich Focke einen einsitzigen Versuchshubschrauber
Fw
61,
den
ersten
wirklich
Flugsicherungsdiensten
der West-Alliierten in
einsetzbaren
weltweit,
Folgejahrender
Weltrekorde in Flugdauer, Streckenlänge, Flughöhe
Laufe Hubschrauber
des Krieges
ging der
diein den
Entwicklung
der Nachkriegszeit wurde mit Gründung der
und Geschwindigkeit aufstellen sollte.
Jagdflugzeuge dann von eher fragilen, wenig
Bundesanstalt für Flugsicherung 1953 die
bewaffneten Maschinen zum Schutz von Aufklärern
Aufgabe der Flugsicherung des zivilen
und Bombern hin zu sehr manövrierfähigen,
Luftverkehrs in deutsche Hände gelegt. Bis
schwer bewaffneten Einsitzern. Ebenfalls 1914
zu ihrer Privatisierung 1992 handelte es sich
wurde die erste Passagierfluglinie eröffnet auf der
um eine Anstalt öffentlichen Rechts.
Strecke St. Petersburg - Tampa Bay.
Zu einem enormen Aufschwung in der
Flugzeugentwicklung kam es im Zweiten
Weltkrieg, wo vor allem Deutschland den
Mangel an Ressourcen durch technischen
Vorsprung
zu
kompensieren
Höhepunkt
1910
1920
1930
dieses
1940
suchte.
Prozesses
1950
1960
war die Produktion von Strahltriebwerken
und
die
Serienproduktion
Strahlflugzeugen,
Der
Fortschritt
in
Hubschraubertechnik
ohne
deutsche
präsentierte
Heinrich
der
Focke
einen
wirklich
Hubschrauber
61,
diese
Zeit fällt
auch die
leistungsfähigen
Hubschrauber, des Schleudersitzes, der
Radartechnologie
einsitzigen
Fw
In
Entwicklung der ersten
1936
Flugzeugkonstrukteur
Versuchshubschrauber
ersten
waren.
zunächst
Beteiligung;
Triebwerke
allerdings nicht von langer Lebensdauer
der
verlief
deren
von
und
verschiedener
Raketen.
den
einsetzbaren
weltweit,
der
in
den
Folgejahren Weltrekorde in Flugdauer,
Streckenlänge,
Flughöhe
Geschwindigkeit aufstellen sollte.
und
Im Jahr 1949 erfolgte der Erstflug der britischen De
Havilland
Comet,
Passagierflugzeugs
des
mit
weltweit
Strahltriebwerken,
ersten
deren
Einbau die Flugreisegeschwindigkeit verdoppelte. Drei
Jahre später wurde mit eben diesem Flugzeugtyp der
erste Liniendienst der Welt mit Düsenflugzeugen
zwischen London und Johannesburg aufgenommen.
Der Inbegriff für moderne Flugtechnik ist der Airbus A380, ein vierstrahliges Großraumflugzeug mit zwei
durchgängigen Passagierdecks, das in der Regelausstattung 555 Passagieren in drei Klassen Platz bietet
und ohne Zwischenstop bis zu 15.000 Kilometer fliegen kann. Dieser Tiefdecker ist das größte
zivile
Verkehrsflugzeug, das bisher in Serienfertigung
produziert wurde. 2005 absolvierte der Airbus A380
seinen
Erstflug,
seit
2007
ist
er
im
Passagierverkehr eingesetzt. Der erste deutsche
Airbus
A380, der
das neue Flaggschiff der
Lufthansa sein wird, hebt am 6.6.2010 zu seinem
Jungfernflug von Frankfurt nach Johannesburg ab
Das erfolgreichste Verkehrsflugzeug
mit der deutschen Fußballnationalmannschaft auf
aller Zeiten ist die Boeing 737 mit in
dem Weg zur WM.
der Anfangsversion 100 Sitzplätzen,
deren erster Abnehmer nach dem
Erstflug 1967 die Lufthansa war. Im
Jahr 2005 waren ständig rund 1.300
Boeing 737 gleichzeitig in der Luft und
alle sechs Sekunden startet eine.
1960
1970
Die Concorde , das
1980
1990
2000
einzige langfristig
eingesetzte
Überschall-
Verkehrsflugzeug,
gilt
als
eine
der
größten Leistungen in der Geschichte
der Luftfahrt.
Ihre Entwicklung, ein
gemeinsames
Projekt
der
Nationen
England und Frankreich, mündete 1969
1953 wurde in den USA mit der North American
in den Erstflug der beiden Prototypen; ab
F-100
1976
Kampfflugzeug,
wurde
sie
im
kommerziellen
Super
Sabre,
einem
der erste Überschalljäger der
Linienverkehr eingesetzt. Sie fasst 128
Welt gebaut. Konzipiert war sie
Fluggäste
als Tiefdecker mit zentralem
und
fliegt
mit
einer
einstrahligen
Geschwindigkeit von über 2100 km/h.
Lufteinlauf, ihre
Aufgrund
Betriebskosten
waren 45° gepfeilt. Aufgrund
konnte sie sich jedoch nicht durchsetzen.
ihrer Langlebigkeit wurde sie
Im
noch bis in die achtziger Jahre aktiv eingesetzt.
Jahr
tragischen
der
2000
hohen
kam
Absturz,
es
zu
einem
der
zu
einer
Stilllegung der Flotten führte.
Tragflächen
2010
Bei der vorliegenden Arbeit handelt es sich um eine didaktische Arbeit zur Flugphysik.
Im Vorgriff auf Kapitel 3 sei angemerkt, dass zu einer vollständigen Behandlung der
physikalischen Grundlagen der Luftfahrt zwei Arten von Flugobjekten gehören, nämlich
solche, die schwerer, und solche, die leichter als Luft sind, und damit auch zwei Arten
von Auftrieb. Daher werden sie im praktischen Teil der vorliegenden Arbeit auch beide
Gegenstand der Betrachtung sein. Im theoretischen Teil hingegen erfolgt eine Beschränkung auf die Grundlagen der Flugobjekte, die schwerer als Luft sind. Für die Theorie
zu den Luftfahrzeugen leichter als Luft wird auf die Wissenschaftliche Prüfungsarbeit
von Martin Schilling mit dem Thema »Auftrieb im Schülerlabor - Schülerexperimente
zum Heißluftballon« verwiesen.
Vor der Überlegung, wie diese Flugphysik in der Schule vermittelt werden kann, muss
eine intensive Auseinandersetzung mit der Aerodynamik des Fliegens stehen, welche wiederum gründliche Kenntnisse in der Strömungsmechanik voraussetzt. Daher
wird hier der Behandlung der Grundlagen des Fliegens eine Behandlung wesentlicher Aspekte der Strömungsmechanik vorangestellt und zwar auf einem universitären
Anspruchsniveau. Dieses Kapitel stellt dem unterrichtenden Lehrer nützliches Hintergrundwissen zur Verfügung, muss aber nicht zwangsläufig gänzlich durchdrungen
werden, um Flugphysik in der Schule zu behandeln.
Die Strömungslehre untersucht die Bewegung von Flüssigkeits- und Gasmassen, also
deren Kinematik und Dynamik. Sie ist damit Teilgebiet der ältesten und grundlegenden Disziplin der Physik, der klassischen Mechanik. Um einen in dieser Arbeit
möglicherweise entstehenden Eindruck von vornherein zu korrigieren, sei vorausgeschickt, dass - im Gegensatz zu den mathematisch vollständig gelösten Ein- und
Zwei-Körperproblemen der Mechanik - in der Aero- und Hydrodynamik bei Weitem
nicht alle Probleme mathematisch lösbar sind bzw. deren Lösung nicht exakt angegeben
werden kann. Insbesondere technische Strömungsprobleme können in der Regel erst
17
aufgrund von Modellversuchen oder Simulationsprogrammen komplett beschrieben
werden; bekannte Beispiele für wichtige Experimentiergrößen bei solchen Versuchen
sind die Reynolds-, die Froude- und die Mach-Zahl. Die Strömungslehre ist also ein
noch weites, offenes Feld für den Experimentalphysiker bzw. den experimentierenden
Techniker. Das liegt nicht etwa daran, dass es sich bei Gasen und Flüssigkeiten letztlich
um sehr große Vielteilchensysteme handelt. Dieser Aspekt ist bei normalen Teilchendichten für die Strömungslehre uninteressant, man behandelt die Flüssigkeiten und
Gase sowieso als Kontinua. Im Gegenteil: von Seiten der Physik sind die Grundgleichungen zur Beschreibung von Flüssigkeits- und Gasbewegungen durchaus bekannt.
Vielmehr scheitert die theoretische Lösung an der im Allgemeinen nicht durchführbaren
Integration der Differentialgleichungen; sie gelingt nur in Sonderfällen. In der vorliegenden Arbeit wird diese Schwierigkeit freilich nicht zum Vorschein kommen, da in
diesem theoretischen Teil der Arbeit die Grundlagen des Fliegens anhand von lösbaren
Strömungsbeispielen mithilfe mathematischen Handwerkszeuges verdeutlicht werden
sollen.
2.1. Physikalische Eigenschaften der Luft
Wichtige Eigenschaften des strömenden Mediums für die Strömungsmechanik sind
Dichte, Temperatur, Kompressibilität und Zähigkeit. Die Dichte ρ ist im Allgemeinen
nicht konstant, sondern hängt von Temperatur und Druck ab. Unter der Kompressibilität,
der Zusammensdrückbarkeit, eines Mediums versteht man die Fähigkeit bei Einwirkung
äußerer Druckkräfte das Volumen zu verringern. Sie ist definiert als
κ=−
1 dV
.
V dp
(2.1)
Ein Maß für die Kompressibilität einer Flüssigkeit oder eines Gases ist der VolumenElastizitätsmodul E. Er ist definiert durch Gleichung 2.2.
dp = E
18
dV
V
(2.2)
Wegen der Erhaltung der Masse gilt, wenn
dρ
ρ
dp = −E
<< 1 ist:
dρ
.
ρ
(2.3)
Bei kleinem Staudruck1 ist ∆ρ
<< 1, so dass bei mäßigen Strömungsgeschwindigkeiρ
ten das strömende Medium - sowohl Flüssigkeiten als auch Gase - als inkompressibel
angesehen werden kann. Die in Zusammenhang mit den inneren Reibungskräften in
einem gasförmigen oder flüssigen Fluid stehende Zähigkeit meint die Erscheinung,
dass zur gegenseitigen Verschiebung benachbarter Volumenenlemente eine gewisse
Kraft aufgebracht werden muss. Sie kann häufig bei technischen Anwendungen vernachlässigt werden. Selbstverständlich gibt es auch Fragen, bei denen die Zähigkeit
berücksichtigt werden muss. Hier ist beispielsweise die Grenzschichttheorie zu nennen.
Zusammenfassend lässt sich an dieser Stelle also festhalten, dass sich viele Aufgaben,
unter anderem auch die Berechnung des Auftriebes an Tragflügeln, unter Zugrundelegung eines inkompressiblen reibungslos strömenden Mediums lösen lassen. Wenn nicht
anders beschrieben, wird in dieser Arbeit daher immer von einer solchen Flüssigkeit
bzw. einem solchen Gas ausgegangen.
2.2. Kinematik der Strömungen
2.2.1. Eulersche und Langrangesche Betrachtungsweise
Die im Allgemeinen zweckmäßigste Form zur Beschreibung von Flüssigkeits- und Gasbewegungen ist die Angabe des Strömungszustandes am jeweils festgehaltenen Ort zu
verschiedenen Zeiten. Man erhält dann das Strömungsfeld ~v = ~v (~r, t) mit seinen Stromlinien, deren Wegelemente d~s im Zeitpunkt t überall die Richtung der Geschwindigkeit
~v haben. Stromlinien sind geometrische Hilfsobjekte, die der Veranschaulichung eines
Strömungsfeldes dienen. Es gilt also:
d~s || ~v
1
oder
d~s × ~v = 0
Staudruck oder auch dynamischer Druck bezeichnet denjenigen Druck, der von einer strömenden
Flüssigkeit oder einem strömenden Gas an einem Hindernis hervorgerufen wird. Er wird beschrieben
durch ρ2 v 2 .
19
Diese sogenannte Eulersche Betrachtungsweise ist vor allem dann einfach und anschaulich, wenn die Strömung von einem bestimmten raumfesten Koordinatensystem aus
gesehen zeitlich gleichbleibend, genannt stationär, ist:
~v = ~v (~r)
(2.4)
Zu unterscheiden ist davon die sogenannte Langrangesche Betrachtungsweise, in der
die Bahnlinien der einzelnen Flüssigkeits- bzw. Gasteilchen betrachtet werden, also jene
Kurven, die von den einzelnen Teilchen durchlaufen werden. Sie fallen nur in stationärer
Strömung mit den Stromlinien zusammen, denn nur dann bewegen sich die Teilchen
auf den zeitlich gleichbleibenden Stromlinien wie auf festen Gleisen weiter. Trotzdem
benötigt man zur Aufstellung der dynamischen Grundgleichung die Beschleunigung
eines einzelnen Teilchens und damit zunächst die Langrangesche Betrachtung, um sie
anschließend in das feste Euler-Koordinatensystem übertragen zu können.
2.2.2. Kontinuitätsgleichung
Die Erhaltung der Masse wird für ein strömendes Medium durch die sogenannte
Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Diese ist für eine eindimensionale Bewegung der
Geschwindigkeit v längs einer Stromröhre besonders leicht zu formulieren. Unter
einer Stromröhre versteht man in diesem Zusammenhang sämtliche Stromlinien, die
durch eine geschlossene Fläche, den Stromröhrenquerschnitt, verlaufen und somit
ein röhrenförmiges Volumen bilden. Nimmt man die Strömungsgeschwindigkeit v
als über den Strömungsquerschnitt A konstant an, so bezeichnet A · v das an einer
Stelle der Stromröhre pro Zeiteinheit durchfließende Volumen. Die pro Zeiteinheit
durchfließende Masse ist also durch ρ · A · v gegeben. Aufgrund der Erhaltung der Masse
und der Tatsache, dass durch die Ummantelung der Stromröhre nichts hindurchfließt,
muss der Massenstrom längs der Stromröhre konstant sein. Für eine eindimensionale
Bewegung längs einer Stromröhre ergibt sich also die Kontinuitätsgleichung eines
kompressiblen Mediums:
ρ · A · v = const.
20
(2.5)
Im Falle einer inkompressiblen Flüssigkeit ergibt sich wegen der Konstanz der Dichte
die einfacherere Form:
A · v = const.
(2.6)
Diese wird häufig auch wie in Gleichung 2.7 formuliert.
A1 · v1 = A2 · v2
(2.7)
Nun lässt sich anhand des Stromlinienbildes direkt eine Aussage über die Strömungsgeschwindigkeit machen. Nach der Konvention wird ein Stromlinienbild derart gezeichnet,
dass jede Stromröhre den gleichen Volumenstrom besitzt, so dass mithilfe der Gleichung 2.7 die folgende Aussage getroffen werden kann: Für inkompressible Medien
korrespondieren enge Stellen der Stromröhre mit hohen Strömungsgeschwindigkeiten
und umgekehrt. Orte sich verengender Stromlinien sind also Orte der Zunahme der
Strömungsgeschwindigkeit in Strömungsrichtung und umgekehrt. Für kompressible
Strömungen gilt dieser Zusammenhang nur für Geschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit 2 , oberhalb ist der Zusammenhang ein gleichsinniger. Die Ursache
hierfür liegt in der mit der Geschwindigkeitszunahme verbundenen Erniedrigung des
Drucks bzw. Vergrößerung des Volumens.
Etwas komplizierter gestaltet sich die dreidimensionale Kontinuitätsgleichung. Diese
kinematisch allgemeinste Beziehung für das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung ist
in Gleichung ?? dargestellt und ist überall gültig mit Ausnahme eventuell vorliegender
Quellen oder Senken (Singularitäten des Feldes).
∂ρ
+ div (ρ · ~v ) = 0.
∂t
(2.8)
Dies folgt aus der Tatsache, dass die zeitliche Änderung der Masse innerhalb eines
Volumenelementes gleich der Differenz aus aus- und eintretender Massenströme ist.
Die ausführliche Herleitung ist für das weitere Verständnis nicht unbedingt erforderlich;
2
Mit Schallgeschwindigkeit wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer fortschreitenden Schallwelle in
einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium bezeichnet. Sie ist sowohl von dern elastischen
Eigenschaften des Mediums, als auch von Druck und Temperatur abhänig. Für Luft beträgt die
Schallgeschwindigkeit vei 20 ◦ C und Normaldruck (1013 hPa) c = 343 m
s .
21
Abbildung 2.1: Gedankenexperiment zum Begriff der Drehung bzw. der Drehungsfreiheit [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
sie würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, kann aber bei Bedarf in [Oertel, 2008]
nachgelesen werden.
Für ein inkompressibles strömendes Medium vereinfacht sich Gleichung 2.8 wegen
ρ = const. zu Gleichung 2.9.
div ~v =
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(2.9)
2.2.3. Potentialströmung
In der Strömungslehre werden zwei Gruppen von Strömungen unterschieden, nämlich
diejenigen mit Drehung und diejenigen ohne Drehung. Es lässt sich feststellen, dass im
Allgemeinen Bewegungen mit Drehung nur bei reibungsbehafteter Strömung vorliegen
können. Im weiteren Verlauf sind gerade diejenigen ohne Drehung von besonderer
Bedeutung. Sie werden auch Potentialströmung genannt.
Zunächst soll jedoch ein tieferes Verständnis des Begriffes der Drehung herbeigeführt
werden. Dazu wird sich eines Gedankenexperimentes bedient, dass die Drehung anschaulich erklärt. Dazu stelle man sich eine strömende Flüssigkeit vor. Lässt man auf
der Oberfläche dieser Flüssigkeit einen kleinen festen Körper mitschwimmen, der eine bestimmte Richtung markiert, kann man an diesem ablesen, ob die vorliegende
Strömung drehungsfrei ist oder nicht. Denn bleibt die markierte Richtung andauernd
parallel zu ihrer Ausgangslage, so liegt keine Drehung vor. Abbildung 2.1 zeigt dies
im linken Teil beispielhaft, da a parallel a′ parallel a′′ . Dagegen zeigt Abbildung 2.1
im rechten Teil das Ergebnis des Gedankenexperimentes für eine mit Drehung behaftete Strömung, hier am Beispiel einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Gefäß, das
22
in Rotation versetzt wird. Mathematisch wird eine Drehung beschrieben durch den
sogenannten Drehvektor θ~ bzw. den Drehwinkelgeschwindigkeitsvektor ω
~ = dθ
. Für die
dt
Drehwinkelgeschwindigkeit kann gezeigt werden, dass
1
ω
~ = rot ~v
2
(2.10)
gilt. Man bezeichnet eine Strömung als drehungsfrei, falls alle Komponenten der
Drehwinkelgeschwindigkeit verschwinden, wenn also
rot ~v = 0
(2.11)
gilt.
2.2.4. Beschleunigung
Obwohl in Abschnitt 2.2.1 die Langrangesche Betrachtungsweise für ungünstiger erklärt
wurde, wird sie dennoch benötigt für die Einführung des Begriffes des Beschleunigung.
Diese kinematische Größe ist nach dem zweiten Newotnschen Axiom zentral bei der
Aufstellung der dynamischen Grundgleichungen. Unter der Beschleunigung versteht
man in der Mechanik die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit. Daher gilt
~a =
d~v
dt
(2.12)
Zunächst soll die Beschleunigung für eine eindimensionale Strömung eingeführt und
erläutert werden. Die Beschleunigung als zeitliche Geschwindigkeitsänderung eines
bestimmten Masseteilchens setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, dem lokalen und
dem konvektiven. Der lokale Anteil beschreibt denjenigen, der durch eine sich mit
der Zeit ändernde Geschwindigkeit in einem festen Raumpunkt entsteht. Der zweite
Anteil, der konvektive, kommt durch die Ortsänderung des Geschwindigkeitsteilchens
zustande, falls sich die Geschwindigkeit längs der Stromröhre ändert.
Die Gesamtbeschleunigung lässt sich also berechnen als
a=
∂v dv
∂v ∂v ds
dv
=
+
=
+
·
dt
∂t
dt
∂t
∂s dt
23
(2.13)
und somit umformen zu
a=
∂v
∂v
dv
=
+v·
dt
∂t
∂s
(2.14)
Übertragen auf eine dreidimensionale Strömung mit dem Geschwindigkeitsvektor ~v
ergibt sich für die Gesamtbeschleunigung Gleichung 2.15.
~a =
d~v
∂~v
=
+ (~v · grad)~v
dt
∂t
(2.15)
2.3. Dynamik der Strömungen
2.3.1. Eindimensionale Strömungen
Unter einer eindimensionalen Strömung versteht man eine solche, bei der nur eine
Geschwindigkeitskomponente von Null verschieden ist. Diese wiederum ist dann auch
nur von einer Ortskoordinate abhängig. Bezeichnet man die Koordinate längs der
Stromlinie mit s und die Geschwindigkeit mit v, so kann die Bewegung durch
v = v(s, t)
(2.16)
als eindimensional aufgefasst werden. Rohrströmungen mit variablem Rohrquerschnitt
können näherungsweise als eindimensionale Strömungen behandelt werden. Dabei wird
eine bei genauerer Betrachtung festzustellende Querkomponente der Geschwindigkeit
vernachlässigt. Diese Betrachtungsweise wird auch als Stromfadentheorie bezeichnet.
2.3.1.1. Eindimensionale Eulersche Bewegungsgleichung
Im folgenden soll die eindimensionale Euler-Gleichung hergeleitet werden, die Bewegungsgleichung, die die Grundlage für die Strömungsdynamik ohne Reibung darstellt.
[Weltner, 2002] Ihre Grundlage ist das Newtonsche Bewegungsgesetz. Dafür müssen
die Schwerkraft sowie die Krfäte, die in Folge der wirkenden Drück entstehen, summiert werden. Berücksichtigt man zusätzlich noch die Reibung, so ergeben sich die
Navier-Stokes-Gleichungen, die hier allerdings nicht weiter betrachtet werden sollen.
24
Abbildung 2.2: Kräftegleichgewicht am Volumenelement in Richtung der Stromröhrenachse, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
Für die Aufstellung der Bewegungsgleichung in Richtung der Koordinate s längs der
Stromröhre betrachte man zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Volumenelement dV
der Länge ds und dem mittleren Querschnitt dA. Es gilt
dV = dAds
(2.17)
dm = ρ · dAds
(2.18)
und somit
Die Druckkraft am unteren Ende des Volumenelements lässt sich ausdrücken als p · dA,
die am oberen Ende als −(p+ ∂p
ds)·dA. Als resultierende Druckkraft ergibt sich daher
∂s
Fres,Druck = −
∂p
ds · dA
∂s
(2.19)
Die Schwerkraft in Stromröhrenrichtung lässt sich beschreiben durch
Fg = −gdm cos(α)
25
(2.20)
wobei α den Winkel zwischen der Vertikalen und der Stromröhrenachse angibt. Folglich
lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung
dm ·
d~v
∂p
= Fres,Druck + Fg = − ds · dA − gdm cos(α) .
dt
∂s
(2.21)
v
Dabei ist d~
die Gesamtbeschleunigung, wie sie in Abschnitt 2.2.4 eingeführt wurde.
dt
Einsetzen und Division durch dm ergibt
∂v
∂v 1 ∂p
∂z
+v
+
+g
=0 ,
∂t
∂s ρ ∂s
∂s
(2.22)
wenn man zusätzlich cos(α) durch ∂z
ersetzt. Dabei gibt z(s) die Lage der Stromröhre
∂s
im Raum an. Gleichung 2.22 ist die instationäre eindimensionale Eulersche Bewegungsgleichung, die sowohl für inkompressible also auch kompressible Strömungen gültig
ist.
Liegt eine stationäre Strömung vor, so vereinfacht sich Gleichung 2.22 zu
v
dv 1 dp
dz
+
+g
=0 ,
ds ρ ds
ds
(2.23)
da der lokale Anteil der Gesamtbeschleunigung verschwindet. In Gleichung 2.23 können
die Ableitungen als gewöhnliche geschrieben werden, da Druck und Geschwindigkeit
keinerlei Abhängigkeit von der Zeit aufweisen, sondern nur noch von der Stromröhrenrichtung s abhängen.
2.3.1.2. Eindimensionale Bernoulli-Gleichung
Für eine stationäre Strömung eines inkompressiblen Mediums kann die Euler-Gleichung
leicht integriert werden. Integration nach s liefert direkt:
v2 p
+ + gz = const.
2
ρ
26
(2.24)
In dieser Gleichung, die für die Bewegung eines reibungslosen, inkompressiblen Fluids
fundamental ist, steckt der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Druck und
Lage der Stromröhre. Sie ist die sogenannte Bernoulli-Gleichung für eindimensionale
Strömungen. Multiplikation der Gleichung 2.24 mit ρ ergibt die bekannte Form der
Bernoulli-Gleichung, die sogenannte Energieform.
ρ
v2
+ p + ρgz = const.
2
(2.25)
Gleichung 2.25 kann als Energieerhaltungssatz pro Volumeneinheit gedeutet werden,
wobei der erste Term die kinetische Energie, der zweite die Druck- und der letzte die
potentielle Energie beschreibt. [Schlichting und Truckenbrodt, 2001] Eine Herleitung
dieses Sachverhaltes für den Unterricht findet sich im Anhang C.2..
2.3.2. Zwei- und dreidimensionale Strömungen
2.3.2.1. Mehrdimensionale Eulersche Bewegungsgleichung
Analog zur Vorgehensweise bei eindimensionalen Strömungen kann die Eulersche
Bewegungsgleichung auch für zwei- und dreidimensionale reibungslose Strömungen
aus der Newtonschen Grundgleichung F~ = m · ~a hergeleitet werden. Die Gesamtkraft
setzt sich zusammen aus dem aus der Schwerkraft resultierenden Teil und demjenigen,
der sich aus den wirkenden Drücken ergibt.
Im mehrdimensionalen Fall gibt man häufig die Eulersche Bewegungsgleichung pro
Volumeneinheit an. Sie lautet
ρ
d~v
~ − grad p
=K
dt
(2.26)
~ die Massenkraft pro Volumenelement, −grad p ist gerade die
Dabei bezeichnet K
v 3
Druckkraft pro Volumenelement. Mit der Gesamtbeschleunigung d~
ergibt sich daraus
dt
3
vgl. Abschnitt 2.2.4
27
die dreidimensionale Eulersche Bewegungsgleichung für reibungsfreie Strömungen in
Vektorform.
ρ·(
∂~v
~ − grad p
+ (~v · grad)~v ) = K
∂t
(2.27)
Sie hat sowohl für inkompressible als auch für kompressible Fluide Gültigkeit. Die Lösung dieser Bewegungsgleichung, ein Integrationsproblem, ist im Allgemeinen äußerst
schwierig.
2.3.2.2. Potentialfunktion- und Stromfunktion bei zweidimensionalen Strömungen
Bei der Lösung der Bewegungsgleichung beschränkt sich die vorliegende Arbeit auf
reibungslose, inkompressible, drehungsfreie Strömungen und zwar zweidimensionale.
Im Folgenden sollen daher die in der Strömungslehre so wichtigen Potentialströmungen
in den Mittelpunkt der Betrachtung gestellt werden. In den vorangegangen Abschnitten
wurde der Begriff der Potentialströmung bereits eingeführt und zwei wichtige Zusammenhänge gefunden. Kontinuität und Drehungsfreiheit spiegeln sich demnach in den
Gleichungen 2.9 und 2.11 wieder.
div ~v = 0
(2.28)
rot ~v = 0
(2.29)
Nach einem Satz der Vektoranalysis gilt, dass die Rotation des Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion gleich null ist, d.h. rot grad Φ = 0 für jede skalare Funktion
Φ. Verschwindet also die Rotation eines Geschwindigkeitsfeldes an jedem Ort, so kann
dieses als Gradient einer skalaren Funktion, der sogenannten Potentialfunktion, geschrieben werden.
~v = grad Φ
28
(2.30)
Einsetzen von Gleichung 2.30 in die Kontinuitätagleichung liefert die sogenannte
Potentialgleichung für Φ, die häufig auch Laplace-Gleichung genannt wird.
∆Φ = 0
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
+ 2 =0
∂x2
∂y 2
∂z
oder
(2.31)
Die Potentialfunktion Φ wird häufig auch kurz als das Potential des Geschwindigkeitsfeldes bezeichnet.
2.9 und 2.11 vereinfachen sich für eine ebene Strömung, die parallel zur x-y-Ebene
verläuft, und können daher in Komponentendarstellung wie in Gleichung 2.32 und
2.33 geschrieben werden.
∂vx ∂vy
+
=0
∂x
dy
(2.32)
∂vy ∂vx
−
=0
∂x
∂y
(2.33)
Für eine ebene Strömung können die beiden Zusammenhänge aus Gleichung 2.30 und
2.31 vereinfacht werden zu:
vx =
∂Φ
∂x
und
vy =
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
=0
∂x2
∂y 2
∂Φ
∂y
(2.34)
(2.35)
Ebenfalls für die ebene Strömung soll an dieser Stelle auch die Stromfunktion eingeführt
werden. Dies erfolgt durch Erfüllung der Kontinuitätsgleichung, aus der Drehungsfreiheit folgt dann ein Kriterium zum Aufstellen der Stromfunktion Ψ.
~ = 0 kann man das Geschwindigkeitsfeld
Wegen der vektoriellen Identität div(rot A)
~ r, t) ableiten, d.h.
stets aus einem Vektorpotential A(~
~
~v = rot A
29
(2.36)
Abbildung 2.3: Zur physikalischen Deutung des Φ-Ψ-Netzes, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
sofern man die stetige Differenzierbarkeit des Geschwindigkeitsfeldes voraussetzt.
Praktischen Nutzen bringt diese Erkenntnis bei zweidimensionalen ebenen Strömungen. Denn hier vereinfacht sich das Vektorpotential zu einer skalaren Funktion, der
sogenannten Stromfunktion Ψ. Verknüpft man die Stromfunktion nämlich mit dem Geschwindigkeitsfeld durch den Zusammenhang aus 2.37, so ist die Kontinuitätsgleichung
erfüllt.
vx =
∂Ψ
∂y
und
vy = −
∂Ψ
∂x
(2.37)
Setzt man Gleichung 2.37 in die Bedingung der Drehungsfreiheit nach Gleichung 2.33
ein, so ergibt sich die Laplace-Gleichung der ebenen Strömung.
∆Ψ = 0
(2.38)
2.3.2.3. Das Φ-Ψ-Netz
Anschaulich lassen sich Stromfunktion und Potentialfunktion und ihre Beziehung zum
Geschwindigkeitsfeld in der folgenden Weise interpretieren.
30
Dazu betrachte man zunächst die Gradienten der beiden Funktionen.
grad Φ = ~v =
grad Ψ =
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey = vx~ex + vy~ey
∂x
∂y
∂Ψ
∂Ψ
~ex +
~ey = −vy~ex + vx~ey
∂x
∂y
(2.39)
(2.40)
Da grad Φ·grad Ψ = −vx vy +vx vy = 0 gilt, stehen die Gradienten der Strom- und der Potentialfunktion orthogonal aufeinander. Demnach bilden die Kurvenscharen Ψ = const.
und Φ = const. zu allen Zeiten ein orthogonales Netz. Da der Vektor grad Φ mit dem
Geschwindigkeitsvektor übereinstimmt, liegt dieser tangential zu den Stromlinien. Folglich müssen die Äquipotentiallinien Φ = const. senkrecht zu den Stromlinien verlaufen,
die Kurven Ψ = const. beschreiben eben gerade die Stromlinien. Abbildung 2.3 verdeutlicht die gegenseitige Lage der Vektoren grad Φ und grad Ψ und demonstriert die
Tatsache, dass Äquipotential- und Stromlinien orthogonale Kurvenscharen darstellen.
Als physikalische Bedeutung geben die Äquipotentiallinien die Richtung des stärksten
Geschwindigkeitsgefälles an. [Wieghardt, 2005]
2.3.2.4. Berechnung ebener Potentialströmungen mithilfe komplexer Funktionen
Als Ausgangspunkt der weiteren Beschreibung sollen die Gleichungen 2.34 und 2.37
dienen. Zusammengefasst lassen sie sich darstellen als:
vx =
∂Φ
∂Ψ
=
∂x
∂y
vy =
∂Φ
∂Ψ
=−
∂y
∂x
(2.41)
In der mathematischen Beschreibung von Strömungen bedient man sich einiger Hilfsmittel aus der Funktionentheorie, denn zu dem einfachen Zusammenhang von Potentialund Stromfunktion, also dem Φ-Ψ-Netz in Gleichung 2.41 gibt es dort ein geeignetes
Analogon.
Für eine komplexe analytische Funktion F mit
F (z) = Re(x, y) + i · Im(x, y)
mit
31
z =x+i·y
(2.42)
gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Diese lauten für F
∂Im(x, y)
∂Re(x, y)
=
∂x
∂y
∂Re(x, y)
∂Im(x, y)
=−
. (2.43)
∂y
∂x
sowie
Für die Herleitung dieses Systems von gekoppelten Differentialgleichungen sei an dieser
Stelle auf Literatur der Funktionentheorie verwiesen 4 .
Dies stellt eine offensichtliche Analogie zu den oben begründeten Beziehungen dar
(vgl. Gleichung 2.41). In dieser Analogie liegt das weitere Vorgehen begründet. Es lässt
sich nämlich folglich bei jeder analytischen Funktion der Realteil als Potential- und der
Imaginärteil als Stromfunktion einer zweidimensionalen ebenen Strömung in einem
idealen Fluid deuten, also
F (z) = Φ(x, y) + i · Ψ(x, y) .
(2.44)
Die komplexe Ableitung von F ist demnach
F ′ (z) =
dF
= vx (x, y) − i · vy (x, y)
dz
(2.45)
und gibt also nicht direkt die Geschwindigkeit in der z-Ebene an, sondern stellt den
konjugiert komplexen Wert zu dieser dar. Betragsmäßig entspricht also die komplexe
Differentiation dem Betrag der Geschwindigkeit.
An dieser Stelle lässt sich vorerst festhalten, dass das Umströmungsproblem eines Körpers mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln lösbar ist. Hier sollen allerdings zunächst
lediglich ausgewählte komplexe Strömungsfunktionen vorgegeben und analysiert werden, d.h. es geht um die Feststellung, welcher Strömung eine komplexe Funktion
entspricht. Die erstgenannte Aufgabe, nämlich die Umströmung für einen vorgegeben
Körper vorherzusagen, wird im Abschnitt 2.3.2.6 Thema sein.
4
Jänich, K. 2008. Funktionentheorie. Springer.
32
2.3.2.5. Beispiele komplexer Strömungsfunktionen
Bei der Berechnung von Beispielen in diesem Abschnitt ist das Vorgehen wie folgt:
Es werden einfache Funktionen angegeben, die die Laplace-Gleichung erfüllen, und
daraufhin überprüft, welche Strömungen durch die Lösungen beschrieben werden.
Obwohl für die Flugphysik nur das dritte der folgenden Beispiele von Nöten ist, sollen
vorher zwei weitere behandelt werden, die einfacher sind und daher die Methode
besser verdeutlichen.
Ebene Staupunktströmung
Betrachtet werden soll die komplexe Funktion
F (z) = az 2
a∈R .
(2.46)
Die komplexe Ableitung ist demnach
F ′ (z) = 2az = 2ax + i · 2ay
a∈R .
(2.47)
Mit z = x + i · y ergibt sich
F (z) = F (x, y) = a · (x2 − y 2 ) + i · 2axy
a∈R .
(2.48)
Der Realteil von F , als Potentialfunktion aufgefasst, ist
Φ(x, y) = a · (x2 − y 2 )
a∈R ,
(2.49)
der Imaginärteil, als Stromfunktion intepretiert, dagegen
Ψ(x, y) = 2axy
a∈R .
33
(2.50)
Die Geschwindigkeiten sind folglich
vx = 2ax
und
vy = −2ay
a∈R .
(2.51)
Um nun die Strömung genauer zu analysieren, können die Kurvenscharen Ψ = const.
und Φ = const. betrachtet und ihre Bedeutung, die in Abschnitt 2.3.2.3 erläutert wurde,
angewendet werden.
Ist nämlich Φ = const. so ist x2 − y 2 = ac mit c, a ∈ R. Das heißt, die Potentiallinen
verlaufen hyperbelförmig, wie in Abbildung 2.4 zu sehen. Ist dagegen Ψ = const., so
c
gilt y = 2ax
mit c, a ∈ R. Als Stromlinien ergeben sich also ebenfalls eine Schar von
Hyperbeln, deren Asymptoten die x- und die y-Achse darstellen.
Fasst man die x-Achse, so wie in Abbildung 2.4 eingezeichnet, als eine feste Wand
auf und betrachtet nur die positive Halbebene, so beschreibt die Funktion F also eine
Strömung, die auf eine Wand trifft, sich an dieser teilt und zu beiden Richtungen
hin abfließt. [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]. Der Koordinatenursprung kann
hier als Staupunkt gedeutet werden, da an ihm nach Gleichung 2.51 die Geschwindigkeitskomponenten beide verschwinden. Er ist ebenso der Verzweigungspunkt der
Strömung.
Zusätzlich können hier noch weitere physikalische Eigenschaften untersucht werden.
So ergeben sich nämlich für die Isotachen, also die Linien gleichen Geschwindigkeitsbetrages, nach Gleichung 2.52 Kreise um den Nullpunkt.
|~v | =
q
p
const.
vx2 + vy2 = 2a x2 + y 2 → x2 + y 2 =
4a2
(2.52)
Die Isobaren, die Linien gleichen Druckes, können mithilfe der Bernoulli-Gleichung
aus dem Geschwindigkeitsfeld bestimmt werden. Sie stellen ebenfalls konzentrische
Kreise dar um den Koordinatenursprung, also den Staupunkt der Strömung. Zur besseren Verständlichkeit sind die Isobaren zusätzlich zum Φ-Ψ-Netz in Abbildung 2.4
eingetragen.
Strömung um eine Ecke oder in einen Winkelraum
Als ein weiteres Beispiel soll hier die Strömung an zwei Wänden behandelt werden, die
34
Abbildung 2.4: Ebene Staupunktströmung,
2001a]
[Schlichting
und
Truckenbrodt,
den Winkel α miteinander einschließen. Abbildung 2.5 zeigt solche Strömungen für
verschiedene Winkel α. Dazu wird die komplexe Funktion
F (z) =
a n
z
n
a, n ∈ R
(2.53)
betrachtet, wobei gilt n = απ . Um die Potential- und die Stromfunktion möglichst einfach
zu erhalten, bietet sich hier der Übergang zur Darstellung mittels Polarkoordinaten an.
Für die Funktion F ergibt sich dann mit z = r · eiφ unter Beachtung der Regeln zum
Potenzieren komplexer Zahlen
F (r, φ) =
a n
r (cos(nφ) + I · sin(nφ)) .
n
(2.54)
Strom- und Potentialfunktion sind also
Φ(r, φ) =
a n
r (cos(nφ)
n
und
Ψ(r, φ) =
a n
r sin(nφ) .
n
(2.55)
Auch hier sollen wieder die Strom- und die Potentiallinien bestimmt werden. Erstere
sind gegeben durch die Kurven
rn sin(nφ) = const. .
(2.56)
Die einzelnen Stromlinien erhält man, indem man r in Abhängigkeit des Winkels φ für
verschiedene Werte der Konstanten gemäß Gleichung 2.56 ermittelt.
35
Abbildung 2.5: Strömung in einen Winkelraum oder um eine Ecke, [Oertel, 2008]
Zur genaueren Beschreibung der Stromlinien sollen zunächst die Kurven Ψ = 0 betrachtet werden.
Ψ(r, φ) = 0
π 2π
φ = 0, , , ...
n n
⇒
(2.57)
In dem in diesem Abschnitt betrachteten Fall einer Strömung an zwei Wänden, die
den Winkel α, wie hier definiert, miteinander einschließen, kann φ lediglich die Werte
zwischen 0 und πn annehmen. Folglich sind die Wände gerade die zu Ψ = 0 gehörigen
Stromlinien.
Allgemein folgt aus Gleichung 2.56, dass
r(φ) =
s
n
const.
.
sin(nφ)
(2.58)
Betrachtet man auf der einen Seite die beiden Grenzfälle φ → 0 und φ → πn , so lässt
sich festhalten, dass jeweils r → ∞ gilt. Auf der anderen Seite soll das Minimum der
Funktion r(φ) bestimmt werden.
dr
= −const.n2 ·
dφ
1
p
n+1
sin(nφ)
cos(nφ)
(2.59)
dr
Die Ableitung dφ
ist in Gleichung 2.59 angegeben. Sie verschwindet in dem betrachteten
π
Intervall φ ∈ [0, πn ] genau bei φ = 2n
. Das bedeutet, dass die Funktion r(φ) ihr Minimum
genau auf der Winkelhalbierenden des Winkels α annimmt. Aus diesen Überlegungen
ergeben sich die Stromlinien wie in Abbildung 2.5.
36
Die Potentiallinien, also die Kurven Φ = 0, sollen hier nicht rechnerisch hergeleitet
werden. Sie können konstruiert werden aus den Stromlinien durch die Tatsache, dass
sie an jedem Punkt orthogonal auf eben diesen stehen.
Strömung um einen Kreiszylinder
Im Folgenden soll die Strömung um einen Kreiszylinder mit Radius R betrachtet
werden. Als komplexe Funktion wird dazu
F (z) = uz + u
R2
z
(2.60)
untersucht, wobei u die Strömungsgeschwindigkeit in großer Entfernung vom Zylinder
angeben soll. Erneut bietet es sich an, mit z = r · eiφ eine Transformation in Polarkoordinaten vorzunehmen. Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann für die
Potential- und Stromfunktion:
R2
Φ(r, φ) = u r +
r
cos(φ)
und
R2
Ψ(r, φ) = u r −
r
sin(φ)
(2.61)
Auch hier soll nun erneut die Lage der zu Ψ = 0 gehörigen Stromlinie untersucht
werden. Sie wird durch die relle Achse φ = 0 und φ = π sowie den Kreis r = R gebildet.
Diese zum Staupunkt führende Stromlinie verzweigt sich und bildet also die Kreiskontur.
Das Stromlinienbild ist in Abbildung 2.6 gezeigt.
Die Geschwindigkeitskomponenten in r-Richtung sowie in φ-Richtung können dann
bestimmt werden (vgl. Gleichung 2.62).
vr = u(1 −
R2
)cos(φ)
r2
und
vφ = −u(1 +
R2
)sin(φ)
r2
(2.62)
Für die Kreiskontur, wenn also gilt r = R, verschwindet die radiale Geschwindigkeit. Folglich ist der Geschwindigkeitsbetrag auf dem Kreis vKreis identisch mit der
Geschwindigkeit vφ .
vKreis = 2u · sin(φ)
r = R, 0 ≤ φ ≤ π
37
(2.63)
Abbildung 2.6: Kreiszylinderströmung, [Oertel, 2008]
Somit erhält man die maximale Geschwindigkeit des Strömungsfeldes auf der Kreiskontur gerade bei φ = π2 , nämlich vmax = 2u.
2.3.2.6. Die Methode der konformen Abbildungen
Während im vorangegangen Kapitel für einfache analytische Funktionen einer komplexen Variablen analysiert wurde, welchen Strömungen sie entsprechen, soll an dieser
Stelle ein Ausblick auf Methoden gegeben werden, die der Lösung der umgekehrten
Aufgabenstellung dienen. Das heißt, es soll ein Weg aufgezeigt werden, wie man bei
vorgegebenem Körper die komplexe Strömungsfunktion erhalten und so die Strömung
an sich beschreiben kann. Diese Richtung der Aufgabenstellung ist die für die Praxis erheblich wichtigere. Konnte man bislang lediglich hoffen, dass die untersuchte komplexe
Funktion die Umströmung praxisrelevanter Formen beschreibt, so kann man diese jetzt
gezielt analysieren.
Unter einer konformen Abbildung versteht man eine winkeltreue Abbildung. Das heißt,
durch die konforme Abbildung einer Ebene in eine andere werden die Winkel der einen
in gleiche Winkel der anderen überführt. Ebenso ist das Verhältnis zweier Strecken der
einen Ebene gleich dem Verhältnis der entsprechenden Strecken in der anderen Ebene,
falls die Größe der Strecken nach Null konvergiert. Insofern kann man das Bild einer
Ebene unter einer konformen Abbildung als in den kleinsten Teilen ähnlich bezeichnen.
[Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
38
Abbildung 2.7: Verfahren der konformen Abbildung, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
Für die anfangs genannte Problemstellung kann der geometrische Prozess der konformen Abbildung dahingehend genutzt werden, dass ein bestimmtes System von
Potential- und Stromlinien einer Ebene in eines der anderen Ebene überführt wird. Geht
man also von einer bekannten Strömung um einen Körper des Umrisses A aus, für die
die komplexe Strömungsfunktion bekannt ist, und sucht dasjenige Strömungsbild der
Umströmung eines Körpers mit Kontur B, so kann die Aufgabe wie folgt gestellt werden:
man suche eine konforme Abbildungsfunktion, die Kontur A in Kontur B überführt.
Dabei wird dann auch gleichzeitig das bekannte Netz der Potential- und Stromlinien
überführt in das gesuchte Φ-Ψ-Netz.
Als besonders geeignet für den Ausgangspunkt stellt sich die Umströmung eines Kreiszylinders heraus. Denn nach dem Riemannschen Abbildungssatz findet man, abgesehen
von wenigen Ausnahmefällen, immer eine konforme Abbildung, die den Kreis in eine
einfache zusammenhängende Kontur überführt.
Bezeichnet F (z) die Strömungsfunktion des bekanntes Strömungsfeldes und ξ = f (z)
die Abbildungsfunktion, die die z-Ebene auf die ξ-Ebene abbildet, so erhält man die
Geschwindigkeitsverteilung des gesuchten Strömungsfeldes nach der Kettenregel wie
in Gleichung 2.64.
v(ξ) =
dF dz
dF
dz
=
= vz
dξ
dz dξ
dξ
39
(2.64)
2.4. Wirbelbewegung
2.4.1. Begriff der Zirkulation
In den vorangegangenen Abschnitten wurden ausschließlich drehungsfreie Strömungen,
das heißt diejenigen behandelt, bei denen an jeder Stelle die Bedingung rot v = 0 erfüllt
ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass gerade die Strömungen, die die Bedingung der
Drehungsfreiheit an einzelnen Stellen des Geschwindigkeitsfeldes verletzen, für die
Umströmung von auftriebserzeugenden Körpern von großer Bedeutung sind. Daher
soll es im Folgenden um eben diese Strömungen gehen, also um solche, bei denen an
einzelnen Stellen rot v 6= 0 gilt. Diese werden auch Wirbelbewegungen genannt.
Eine in diesem Zusammenhang besonders wichtige physikalische Größe ist die sogenannte Zirkulation Γ. Unter ihr versteht man das Linienintegral der Geschwindigkeit
längs einer geschlossenen Kurve K. Sie ist also definiert wie in Gleichung 2.65.
Γ=
I
~v d~s ≡
(K)
I
|~v | cos(α)d~s .
(2.65)
(K)
Dabei bezeichnet α den Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Kurventangente. Ausgedrückt in rechtwinkligen Koordinaten ergibt sich
Γ=
I
vx dx + vy dy + vz dz .
(2.66)
(K)
Für Potentialströmungen ergibt sich demnach die Zirkulation nach Gleichung 2.67.
Γ=
I
dΦ
(2.67)
(K)
2.4.2. Zusammenhang zwischen Zirkulation und Drehung
Die beiden rein kinematischen Größen Drehung und Rotation stehen in einem wichtigen Zusammenhang, der hier erläutert werden soll. Nach dem Integralsatz von Stokes
lässt sich nämlich das geschlossene Linienintegral längs einer einfachen zusammenhängenden Kurve K umwandeln in ein Flächenintegral über eine beliebige einfach
40
zusammenhängende Fläche A, deren Randkurve eben gerade K ist. Demnach gilt für
die Zirkulation Γ
Γ=
I
~v · d~s =
(K)
Z
~ .
rot ~v · dA
(2.68)
A
~ die Flächennormale. Mit dem Zusammenhang von DrehwinkelDabei bezeichnet A
geschwindigkeits- und Geschwindigkeitsvektor aus Gleichung 2.10 gilt damit
Γ=2
Z
~ .
ω
~ · dA
(2.69)
A
Insofern ist also »die Zirkulation über die Randkurve einer beliebigen Fläche [...] gleich
dem doppelten Flächenintegral über die Drehung (Wirbelstärke) einer Strömung in
dieser Fläche« [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
2.4.3. Thomson’scher Wirbelerhaltungssatz
Im vorliegenden Abschnitt soll ein für die spätere Behandlung der Flugphysik entscheidender Wirbelsatz bearbeitet werden, der zeitliche Wirbelerhaltungssatz. Die Herleitung
erfolgt in Anlehnung an [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a].
Ausgehend vom Linienintegral der Geschwindigkeit
Z
B
~v d~s
(2.70)
A
soll die zeitliche Differentiation der Zirkulation DΓ
hergeleitet werden. Differentiation
Dt
von Gleichung 2.70 liefert nach der Produktregel
D
Dt
Z
~v d~s =
Z
D~v
d~s +
Dt
Z
~v
D(d~s)
.
Dt
(2.71)
Zur weiteren Betrachtung werden die beiden Integrale der rechten Seite zunächst getrennt voneinander behandelt und umgeformt, um sie später erneut zusammenzufügen.
41
Dabei kann das erste Integral aus der Eulerschen Bewegungsgleichung 2.27 durch
Integration erhalten werden:
Z
D~v
d~s =
Dt
Z ~
Z
K
grad p
d~s +
d~s .
ρ
ρ
(2.72)
~ dargestellt werden als
Aufgrund des konservativen Kraftfeldes kann die Massenkraft K
~ = −ρgrad U . Damit folgt für das erste Integral in Gleichung 2.72:
K
Z ~
Z
Z
K
d~s = − grad U d~s = − dU = −U .
ρ
(2.73)
Dagegen kann das zweite Integral aus Gleichung 2.72 geschrieben werden als
Z
grad p
d~s =
ρ
Z
dp
.
ρ
(2.74)
Angenommen, die Dichte sei nur eine Funktion des Druckes, so gilt demnach
Z
grad p
d~s =
ρ
Z
dp
= P (p)
ρ
(2.75)
mit P (p) als Druckfunktion. Zurück zum ersten Integral aus Gleichung 2.71 ergibt sich
also
Z
D~v
d~s = −U − P
Dt
(2.76)
Betrachtet man nun das zweite Integral der rechten Seite der Gleichung 2.71 so gilt
D~s
D(d~s)
=d
= d~v
Dt
Dt
(2.77)
und somit für das Integral
Z
D(d~s)
=
~v
Dt
Z
42
1
~v d~v = ~v 2 .
2
(2.78)
Fasst man nun wie angekündigt die beiden Integrale wieder zusammen, so ergibt sich
D
Dt
1
~v d~s = −U − P + ~v 2 .
2
Z
(2.79)
Der Übergang vom unbestimmten zum bestimmten Integral zwischen den Punkten A
und B liefert
D
Dt
Z
B
A
1
~v d~s = −U − P + ~v 2
2
B
(2.80)
A
Die Betrachtung des Grenzüberganges B → A ergibt daraus das Integral der Geschwindigkeit längs einer geschlossenen Linie. Falls das Geschwindigkeitsfeld im gesamten
Integrationsgebiet stetig ist, gilt demnach
D
Dt
I
DΓ
=0
Dt
(2.81)
~v d~s = Γ = const. .
(2.82)
~v d~s =
K
und somit
I
K
In Worten ausgedrückt bedeutet der Thomsonsche Wirbelsatz also, dass in einem
reibungsfreien, homogenen Fluid, die sich in einem konservativen Kraftfeld befindet,
die Zirkulation längs einer mitbewegten Linie zeitlich konstant ist. Dieser Erkenntnis
wird im späteren Verlauf der vorliegenden Arbeit eine große Bedeutung zukommen
und zwar bei der Erklärung der Entstehung der Zirkulation bei auftriebserzeugenden
Tragflügeln.
43
Grundsätzlich lassen sich Luftfahrzeuge einteilen in solche, die schwerer und solche,
die leichter als Luft sind. [Apel, 2001] Zu den Flugobjekten leichter als Luft zählen
Ballone und Luftschiffe, zu denen, die schwerer sind, Flugzeuge und Hubschrauber.
Unter physikalischen Gesichtspunkten ist diese Einteilung auch deshalb sinnvoll, weil
das jeweils zugrunde liegende Prinzip ein anderes ist, in dem einen Fall der statische, im
andern der dynamische Auftrieb. Statt der Unterscheidung statisch - dynamisch kann
auch die Bezeichnung passiv - aktiv gewählt werden, denn Fliegen ist im Gegensatz zum
passiven Obenbleiben ein aktiver Vorgang. Auch flugtechnisch ergibt diese Einteilung
einen Sinn, da Luftschiffe und Ballone nicht fliegen, sondern statisch schweben. Nur
beim Luftschiff ist überhaupt ein gezielter Richtungsflug durch Propeller möglich.
Allerdings bringt diese Vorwärtsbewegung es nicht in einen Flugzustand; man spricht
daher von Fahren. Fliegen als aktiver Vorgang beinhaltet, dass sich das Flugobjekt in
ständiger Bewegung befinden muss, um nicht abzustürzen, das Flugzeug als Ganzes,
beim Hubschrauber zumindest die Rotoren.
Während in Kapitel 2 Grundlegendes aus der Strömungsmechanik ohne direkten Bezug
zum Flugzeug behandelt wurde, beschäftigt sich dieses Kapitel mit der Physik des Fliegens an sich. Die im Vorangegangen gewonnenen theoretischen Erkenntnisse werden
nun auf das Flugzeug übertragen. Nach einem Überblick über die wichtigsten Bauteile
des Flugzeuges und deren Funktion werden zunächst die am Tragflügel wirkenden
Kräfte eingeführt und in Bezug zueinander gesetzt. Anschließend wird auf die Aerodynamik des Tragflügels eingegangen und dabei unterschieden zwischen Tragflügeln
unendlicher und Tragflügeln endlicher Spannweite.
44
3.1. Bauteile des Flugzeuges und ihre Funktion
• Tragwerk
Die Gesamtheit der Auftrieb liefernden Bauteile eines Flugzeugs nennt man Tragwerk; ihr Hauptbestandteil sind die Tragfläche. Dabei kann es sich um eine oder
mehrere Tragflächen handeln, die übereinander oder hintereinander angeordnet
sein können. Sind Leitwerke oder Rumpf dafür konzipiert, zur Auftriebserzeugung
beizutragen, so rechnet man sie ebenfalls zum Tragwerk.
• Rumpf
Der Rumpf ist Träger aller anderen Bauteile des Flugzeuges und dient außerdem
der Unterbringung von Fracht und Passagieren. Seine wesentliche Aufgabe ist
somit die Aufnahme der Nutzlast des Flugzeuges. Um seiner Aufgabe gerecht zu
werden, minimalen Luftwiderstand bei vorgegebenem Volumen zu erzeugen, hat
er die Form eines langen spindelförmigen Körpers; das heißt, die Länge ist im
Vergleich zu Höhe und Breite groß, Höhe und Breite dagegen liegen in ähnlicher
Größenordnung.
• Leitwerk
Im Allgemeinen besitzt ein Flugzeug ein Leitwerkssystem, das sich aus Höhenleitwerk, Seitenleitwerk und zwei Querrudern zusammensetzt. Alle drei Leitwerke
haben in der Regel die Form eines Klappenflügels. Sie bestehen aus einem feststehenden Teil, bei Höhen- und Seitenleitwerk als Flosse bezeichnet, und einem
beweglichen Element, dem Ruder. Hauptsächlicher Zweck des Leitwerkes ist die
Steuerung des Flugzeuges. Dabei dient das Höhenleitwerk der Steuerung um
die Querachse, das Seitenleitwerk der Steuerung um die Hochachse und mit
den Querrudern kann die Bewegung um die Längsachse geführt werden. Ein
vergleichbar wichtiger Zweck der Leitwerke ist die Stabilisierung des Flugzeuges.
• Fahrwerk
Das Fahrwerk eines Luftfahrzeuges stellt die Gesamtheit aller beweglichen Teile
dar, die der Verbindung zur Fahrbahn dienen, also Räder, Stoßdämpfer und Bremsen. Seine Funktion ist es, die Fortbewegung des Flugzeugs am Boden und die
Vorgänge des Startens und Landens zu ermöglichen. Das Fahrwerk ist unabhängig
vom Triebwerk, die Fortbewegung also kann auch durch einen Abschleppvorgang
erfolgen. Man unterscheidet zwischen feststehenden, starren und einfahrbaren
Fahrwerken; letztere sind in der Praxis wesentlich häufiger anzutreffen, ihr Vorteil
45
liegt in der deutlichen Verringerung des aerodynamischen Widerstandes. Nach Anordnung, Einbauort und Bauart der Räder kann man die Fahrwerksarten einteilen
in Hauptfahrwerk (vor oder hinter dem Flugzeugschwerpunkt) und Stützfahrwerk
(Bug- oder Spornfahrwerk bzw. Stützfahrwerke an den Tragflächen).
• Triebwerk
Als Triebwerk bezeichnet man sämtliche Antriebselemente motorgetriebener
Flugzeuge, das heißt den Motor und weitere Bestandteile wie Getriebe und
Luftschraube. Für den kommerziellen Luftverkehr ist heute das Strahltriebwerk
von außerordentlicher Bedeutung. Dabei handelt es sich um Gasturbinen, die
nach dem Rückstoßprinzip funktionieren, indem sie Umgebungsluft ansaugen
und die Verbrennungsprodukte sowie Luft als Antriebsstrahl wieder ausstoßen.
Der dabei erzeugte Rückstoß bewirkt eine Schubkraft. Im Transportflugverkehr
sind sie dominierend, außerhalb der Luftfahrt finden sie wenig Verwendung.
3.2. Geometrie des Tragflügels
Charakteristisch für die Geometrie des Tragflügels ist, dass seine Dicke im Vergleich
zu den beiden anderen Dimensionen, nämlich der Spannweite und der Tiefe, sehr
klein ist. Generell ist ein Tragflügel von symmetrischem Aufbau; seine Symmetrieebene
fällt in der Regel mit der des Flugzeuges zusammen. Die wichtigsten Parameter bei
der Beschreibung der Geometrie des Flügels sind die sogenannte Zuspitzung, das
Flügelprofil sowie die Verwindung und V-Stellung. Abbildung 3.1 zeigt drei mögliche
Betrachtungsebenen, in a) den Grundriss, in b) den Querschnitt und schließlich in c)
das Flügelprofil.
Im Folgenden wird die x-y-Ebene, also der Grundriss, genauer erläutert. Abbildung 3.2
stellt dazu die wichtigsten Größen dar, Tabelle 3.1 zusätzliche Ergänzungen.
Charakteristisch für heutige Flugzeuge ist eine Trapezform des Flügels. In den meisten
Fällen nimmt die Flügeltiefe, am Rumpf mit ti bezeichnet, nach außen hin ab. Am
äußersten Punkt wird sie ta genannt. Das Verhältnis von ta zu ti heißt Zuspitzung λ.
Eine weitere Haupteigenschaft ist die sogenannte Pfeilung. Sie misst den Winkel, der
von der Flügelvorderkante bzw. der 25 %-Linie5 mit der Querachse eingeschlossen wird.
5
Die 25 %-Linie markiert die Verbindung von der Flügelwurzel, der Nahstelle zwischen Rumpf und
Tragflügel, und Flügelaußenspitze in 25 % der Profiltiefe. (vergleiche Abbildung 3.2)
46
Abbildung 3.1: Betrachtungsebenen des Tragflügels, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]
Ein Maß für die Schlankheit des Flügels in Spannweitenrichtung ist durch die Streckung
Λ nach Gleichung 3.1 gegeben.
b
b·b
b2
Λ= =
=
t
t·b
S
Abkürzung
S
b
φ
Λ
λ
ta
ti
γ
Dimension
m2
m
◦
m
m
-
(3.1)
Bezeichnung
Flügelfläche
Spannweite
Pfeilwinkel / Pfeilung
Streckung
Zuspitzung
Flügeltiefe am Flügelende
Flügeltiefe an der Flügelwurzel
Verwindung
Tabelle 3.1: Größen der Tragflächengeometrie, nach [Schneiderer, 2008]
In Abbildung 3.3 ist ein Flügelprofil mit den zugehörigen Begrifflichkeiten dargestellt.
Mit der Profilsehne ist eine gerade Linie gemeint, die von der Vorder- zur Hinterkante
47
Abbildung 3.2: Grundriss des Tragflügels, [Schneiderer, 2008]
Abbildung 3.3: Terminologie des Flügelprofils, [Schneiderer, 2008]
48
des Profils verläuft. Dagegen bezeichnet die Skelettlinie die mittige Linie zwischen
Profilober- und -unterseite. Sie beschreibt die Wölbung des Profils. Als Wölbungshöhe
wird die größte Abweichung zwischen Skelettlinie und Profilsehne bezeichnet. Mit
der Wölbungsrücklage ist der Abstand von der Profilnase zur Position der maximalen
Wölbungshöhe gemeint. Diese Kenngröße ist maßgeblich für die aerodynamischen
Eigenschaften eines Profils verantwortlich, sie beeinflusst Momentbeiwert und Druckpunktwanderung.
In der Aerodynamik unterscheidet man nach ihrer geometrischen Natur verschiedene
Arten von Flügelprofilen6 , von denen hier exemplarisch die wichtigsten skizziert werden
sollen.
• Symmetrische Profile, deren Skelettlinie gerade verläuft, sind entlang ihrer Längsachse spiegelsymmetrisch.
• Halbsymmetrische Profile verlaufen entlang ihrer Längsachse ähnlich, allerdings
weisen Unter- und Oberseite unterschiedliche Wölbungshöhen auf.
• Bei Profilen mit flacher Unterseite fällt diese mit der Profilsehne zusammen. Ihr
Vorzug liegt in der einfacheren Konstruierbarkeit.
• Normalprofile weisen an der Oberseite eine konvexe und an der Unterseite eine
s-förmige Wölbung auf.
3.3. Kräfte am Tragflügel
Anliegen des folgenden Abschnitts ist es zu beschreiben, welche Kräfte am Tragflügel
wirken. Weiterhin sollen für die Luftkräfte Auftrieb und Widerstand die dimensionslosen
Beiwerte eingeführt werden, die es erlauben, die Eigenschaften verschiedener Tragflügel
zu vergleichen. Schließlich wird noch auf die Kräfteverhältnisse in unterschiedlichen
Bewegungsphasen eingegangen.
Physikalisch kann man ein Flugzeug wie einen beliebigen starren Körper ansehen. Die
Lage seines Massenmittelpunkts, also des Schwerpunktes, ist für die Bewegung des
Flugobjekts und die angreifenden Kräfte von elementarer Bedeutung. Es handelt sich
6
Im Verlauf des Projektes wurden Hypothesen aufgestellt, inwiefern die Art des Flügelprofils Auftrieb
und Widerstand beeinflusst.(vgl. Abschnitt 6.5)
49
Abbildung 3.4: Kräfte am Flugzeug, [http://de.wikipedia.org/wiki/Flugzeug]
Abbildung 3.5: Luftkräfte am Tragflügel, [Böswirth, 2010]
um den Punkt, bei dem das Flugzeug sich im Gleichgewicht befindet, wenn es an ihm
frei aufgehängt wird.
In der Praxis hängt die Lage des Schwerpunktes natürlich von der Beladung ab. Aufgrund der Schwierigkeit, ein Flugobjekt genau so zu beladen, dass es sich im perfekten
Gleichgewicht befindet, wird ein sogenannter zulässiger Schwerpunktsbereich festgelegt, der sich in der Regel im vorderen Drittel der Flügelwurzel befindet.
Bei der Analyse der Bewegungsvorgänge des Flugzeugs gilt es, vier Kräfte zu betrachten,
nämlich die beiden Luftkräfte Auftrieb und Widerstand, die Gewichtskraft sowie die
Schubkraft, das heißt den Antrieb. Im Folgenden soll nun auf die beiden Luftkräfte
näher eingegangen werden.
50
Bei einer Relativbewegung von Tragflächen und Luftmassen, wenn also die Tragfläche
durch ruhende Luft bewegt bzw. von Luft umströmt wird, dann wirken Kräfte auf sie,
wie Abbildung 3.5 zeigt. Dabei heißt die Kraftkomponente senkrecht zur Anströmrichtung Auftriebs-, die parallel dazu Widerstandskraft.
Unter aerodynamischem Widerstand versteht man eine Kraft, zusammengesetzt aus
dem Reibungswiderstand der Luft an den einzelnen Komponenten des Flugzeugs, dem
Druckwiderstand sowie dem induzierten Widerstand.
Zur Einführung der dimensionslosen Beiwerte cA und cW von Auftrieb und Widerstand
wird die jeweilige Luftkraft ins Verhältnis gesetzt zu dem Produkt aus Flügelgrundrissfläche A und Staudruck der ungestörten Strömung:
1 2
FA = cA A ρv∞
2
(3.2)
1 2
FW = cW A ρv∞
,
2
(3.3)
wobei v∞ die Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung in großer Entfernung des Tragflügels angibt.
Der Widerstandsbeiwert, der experimentell ermittelt wird, gibt also an, wie aerodynamisch ein Körper geformt ist: Je kleiner der Beiwert, desto geringer der aerodynamische
Widerstand.
Die physikalische Begründung für die Auftriebsentstehung und -berechnung folgt
an anderer Stelle. Für dieses Kapitel ist lediglich von Bedeutung, dass Auftrieb und
Widerstand abhängen von Strömungsgeschwindigkeit, Luftdichte, Größe der Tragfläche
und Oberflächenbeschaffenheit. Zusätzlich besteht eine Abhängigkeit vom Flügelprofil.
In der Praxis besonders wichtig ist der Anstellwinkel, definiert als der Winkel zwischen
der Anströmungsrichtung der Luft und der Profilsehne des Tragflügels.
Will man verschiedene Profile miteinander vergleichen bezüglich ihrer aerodynamischen Eigenschaften, so muss man stets Auftrieb und Widerstand parallel analysieren.
Deshalb bevorzugt man eine Darstellungsart, aus der man sowohl Auftrieb als auch
Widerstand in Abhängigkeit des Anstellwinkels herauslesen kann. Sie geht zurück auf
Otto Lilienthal und wird Polardiagramm genannt. Wie in Abbildung 3.6 wird dabei der
51
Abbildung 3.6: Polardiagramm nach Lilienthal, [Heepmann, 2006]
Auftriebsbeiwert für verschiedene Anstellwinkel über dem Widerstandsbeiwert aufgetragen. Es werden also nicht die absoluten Werte für Auftriebs- und Widerstandskraft,
sondern die dimensionslosen Beiwerte verwendet, die allerdings zueinander im gleichen Verhältnis stehen. Die dabei entstehende Kurve bezeichnet man als Profilpolare.
Häufig wird für die beiden Achsen eine unterschiedliche Skalierung gewählt, da der
Widerstandbeiwert im Allgemeinen innerhalb eines sehr viel kleineren Intervalls liegt
als der Auftriebsbeiwert.
Sowohl Modellbauern als auch Flugzeugkonstrukteuren dient das Polardiagramm als
Grundlage für die Wahl der Profilform. Ihm können die wesentlichen Charakteristika
des Profils entnommen werden, so der Anstellwinkel, bei dem z.B. minimaler Auftrieb,
Nullauftrieb, Maximalauftrieb, minimaler Widerstand oder geringste Gesamtluftkraft
vorliegt.
Weiterhin lässt sich aufgrund des Verlaufes der Polaren eine Aussage über den günstigen
Bereich für den Anstellwinkel eines Flugzeuges machen, in dem noch nicht die Gefahr
des Strömungsabrisses droht. Als solchen bezeichnet man in der Aerodynamik die
Ablösung der Luftströmung von der Oberfläche eines angeströmten Gegenstandes, hier
insbesondere der Tragfläche. Dafür kann neben einer Erhöhung der Anströmungsgeschwindigkeit an einem Unterschallprofil in den schallnahen Bereich auch ein Anstellwinkel verantwortlich sein, der über einem für das jeweilige Profil charakteristischen
Wert liegt. Für den zweiten Fall können die Informationen der Profilpolaren entnommen
52
werden.
Aerodynamisch besonders interessant sind zwei Flugzustände, nämlich der Start bzw.
die Landung sowie der Reiseflug. Beim Starten muss, obwohl die Rollgeschwindigkeit
deutlich geringer ist als gewöhnliche Fluggeschwindigkeiten, eine zum Abheben ausreichend große Auftriebskraft erzeugt werden. Mit Hilfe von Klappen wird bei Starts
die Flügelfläche eines Flugzeugs so verändert, dass sowohl der Beiwert verbessert wird
als auch die Flügelfläche zunimmt. Zusätzlich kann der kritische Anstellwinkel und
damit der maximale Auftriebsbeiwert durch ausfahrbare kleine Vorflügel an der Nasenoberseite erhöht werden. Diese Maßnahmen gehen allerdings einher mit einer großen
Widerstandserhöhung; daher ist fürs Abheben ein deutlich höherer Schub notwendig
als im Horizontalflug. Ähnliche Schritte werden beim Landevorgang unterstützend
eingeleitet.
Der Reiseflug ist neben den Start- und Landephasen vor allem bei Langstreckenflügen
eine äußerst wichtige Komponente, die es unter wirtschaftlichen Gesichtspunkten
zu optimieren gilt. Es handelt sich um einen unbeschleunigten Horizontalflug, bei
dem alle am Tragflügel wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sind. Das bedeutet, der
Vortrieb entspricht genau der Widerstandskraft. Wäre er größer, so würde das Flugzeug
beschleunigt. Ist der aerodynamische Widerstand eines Flugobjektes bekannt, kennt
man also auch seinen Schubbedarf, der als Schwebeschub bezeichnet wird. Der Auftrieb
ist gerade so groß, dass er das Gewicht des Flugzeuges kompensiert; wenn er größer
wäre, käme es zu einem Steigflug, wäre er kleiner, zu einem Sinkflug.
An dieser Stelle seien noch zwei weitere Begriffe eingeführt, die eng verbunden sind
mit den Bewegungsvorgängen des Flugzeugs. Da ist zum einen die Gleitzahl, die die
aerodynamische Güte eines Tragflügels beschreibt. Sie ist definiert als das Verhältnis
von aufgegebener Höhe zur zurückgelegten Strecke. Folglich bedeutet eine Gleitzahl
von 1:100, dass ein Flugzeug pro Meter Höhenverlust 100 Meter an horizontaler Strecke
zurücklegt. Bei dem unbeschleunigten Sinkflug, auch Gleitflug genannt, ist weiterhin
der Sinkwinkel eine bedeutsame Kenngröße. Er entspricht dem besten Verhältnis aus
Widerstand zu Auftrieb.
53
Abbildung 3.7: Gleitzahl und Sinkwinkel, [Schneiderer, 2008]
3.4. Aerodynamik des Tragflügels unendlicher Spannweite
Inhalt des nun folgenden Kapitels ist die Theorie des Auftriebes am Tragflügel, genauer
am Tragflügel unendlicher Spannweite bei inkompressibler Strömung. Betrachtet man
diese als ebenes Problem, so setzt man den auftriebserzeugenden Körper als einen
unendlich langen, quer zur Anströmungsrichtung verlaufenden Zylinder voraus, so
dass in jedem senkrechten Schnitt die Strömungsvorgänge gleich sind. Es handelt sich
also um ein zweidimensionales Problem. Die Behandlung des Tragflügels endlicher
Spannweite findet sich in Kapitel 3.5; sie ist aufgrund der an den Enden des Tragflügels
auftretenden besonderen Strömungsvorgänge komplexer.
3.4.1. Die Theorie des Auftriebes
Nach allen theoretischen Vorüberlegungen aus Kapitel 2 nähern wir uns in diesem
Abschnitt der entscheidenden Frage nach der Auftriebserzeugung am Tragflügel. Diese
ist eng verbunden mit der Zirkulation in der direkten Umgebung der Tragfläche. Der
Zusammenhang von Auftrieb und Zirkulation soll zunächst qualitativ erläutert werden;
im Anschluss daran wird eine erste theoretische Herleitung vorgenommen.
Der Auftrieb lässt sich verstehen als die Vektorsumme der auf Ober- und Unterseite
wirkenden Kräfte. Auf der Oberseite herrscht im Vergleich zu dem Druck in weiter
Entfernung des Profils ein Unterdruck, auf der Unterseite hingegen ein Überdruck. Nach
dem Bernoullischen Gesetz ist daher die Strömungsgeschwindigkeit auf der Oberseite
54
Abbildung 3.8: Strömung um Flügelprofil mit Auftrieb, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]]
Abbildung 3.9: Zusammensetzung der Strömung um ein Tragflügelprofil, [Oertel,
2008]
größer und auf der Unterseite kleiner als die Anströmungsgeschwindigkeit. Betrachtet
man wie in Abbildung 3.8 eine das Flügelprofil vollständig umschließende Kurve K,
zerlegbar in Teilstücke längs der Stromlinien und orthogonal dazu, so gilt folglich,
dass die Zirkulation Γ längs dieser Kurve von Null verschieden sein muss. Demzufolge
kann man sich das Strömungsfeld des auftriebserzeugenden Tragflügels denken als
zusammengesetzt aus dem der Translationsströmung und dem eines Wirbels, wie Abbildung 3.9 illustriert. Das Geschwindigkeitsfeld erklärt sich dann dadurch, dass bei der
translatorischen Strömung die Geschwindigkeit ober- und unterhalb des Tragflügels im
Mittel gleich sind, bei der Zirkulation dagegen oberhalb eine Strömungsgeschwindigkeit
in Richtung der Anströmung, unterhalb entgegen dieser vorliegt.
Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Auftriebskraft A und dem Zirkulationsintegral auf eine erste, besonders anschauliche Art und Weise hergeleitet werden,
wobei auf die vektorielle Darstellung an dieser Stelle vezichtet wird.
55
Abbildung 3.10: Herleitung der Kutta-Joukowski-Formel
[Schlichting und Truckenbrodt, 2001a]]
für
den
Auftrieb,
Ausgehend von einem Tragflügelstück der Breite b, das aus einem unendlich langen
Flügel herausgeschnitten worden ist, betrachtet man einen Streifen der Tiefe dx parallel zur Vorderkante des Flügels (Vgl. hierzu Abbildung 3.10). Dieser Streifen mit
der Grundfläche dA = bdx erfährt aufgrund des Druckunterschiedes von Ober- und
Unterseite eine Auftriebskraft. Diese ist
dFA = (punten − poben ) dA ,
(3.4)
wobei FA als senkrecht zur Anströmungsrichtung angesehen werden kann. Für den
Gesamtauftrieb des betrachteten Tragflächenstücks der Breite b ergibt sich demnach
durch Integration
FA =
Z
(punten − poben ) dA = b
(F )
Z
C
(punten − poben ) dx .
(3.5)
B
Dabei wird über die gesamte Flügeltiefe l, also von der Vorderkante B des Flügels
bis zu dessen Hinterkante C integriert. Nun kann der Druckunterschied punten − poben
durch die Strömungsgeschwindigkeiten oberhalb und unterhalb des Flügels ausgedrückt
werden. Diese sind v∞ + ∆voben und v∞ − ∆vunten . An dieser Stelle wird vereinfachend
56
vorausgesetzt, dass ∆v (x) = const. gilt. Aufgrund der Bernoullischen Gleichung gilt
somit:
ρ
ρ 2
ρ
p∞ + v∞
= punten + (v∞ − ∆vunten )2 = poben + (v∞ + ∆voben )2 .
2
2
2
(3.6)
Für die Druckdifferenz kann Gleichung 3.7 geschrieben werden, sofern man davon
ausgeht, dass die Beträge der Strömungsgeschwindigkeit auf Ober- und Unterseite in
der Zirkualtionsströmung gleich sind, wenn man also annimt dass |∆v|unten = |∆v|oben .
Hier wird also eine weitere vereinfachende Annahme getroffen.
punten − poben =
ρ
ρ
(v∞ + ∆v)2 − (v∞ − ∆v)2 = 2ρv∞ ∆v ,
2
2
(3.7)
wobei |∆v| << |v∞ | vorausgesetzt wurde.
Einsetzen der Druckdifferenz in Gleichung 3.5 liefert
FA = 2ρbv∞
Z
C
∆vdx .
(3.8)
B
Für die Zirkulation Γ längs der Oberfläche des Tragflügels ergibt sich
Γ=
Z
C
∆vdx −
Boben
Z
B
∆vdx = 2
Cunten
Z
C
∆vdx ⇔
B
Z
C
∆vdx =
B
Γ
.
2
(3.9)
Das erste Integral in Gleichung 3.9 ist dabei entlang der Ober-, das zweite längs der
Unterseite zu erstrecken. Gleichung 3.9 und 3.8 zusammengenommen, liefern die
Formel von Kutta-Joukowski für den Auftrieb eines Tragflügelprofils
FA = ρbv∞ Γ .
(3.10)
Dieser Herleitung, die sich als besonders eingängig erweist, ist nicht vollständig korrekt.
An einigen Stellen wurden, wie oben erwähnt, vereinfachende Voraussetzungen zugrunde gelegt, so dass sie kleine fachliche Unzulänglichkeiten beinhaltet. Zu einem späteren
Zeitpunkt dieser Arbeit, nämlich in Abschnitt 3.4.2, wird eine exakte Herleitung des
Zusammenhangs aus Gleichung 3.10 nachgeliefert.
57
Abbildung 3.11: Anfahrvorgang des Tragflügels, [Spurk und Aksel, 2007]
Abbildung 3.12: Zirkulation und Anfahrwirbel, [Spurk und Aksel, 2007]
Zwar liefert Gleichung 3.10 einen Zusammenhang zwischen Auftriebskraft und der
aerodynamisch wichtigen Größe der Zirkulation, aber zum Verständnis der Entstehung
des Auftriebs muss weiterhin geklärt werden, wie die entscheidende Zirkulationsströmung zustande kommt. Zudem kann die Formel »für die Berechnung des Auftriebes
erst dann nutzbringend verwendet werden, wenn die Größe der Zirkulation in einem
gegebenen Fall bekannt ist.« [Schlichting und Truckenbrodt, 2001a] Das heißt, will
man darüber hinaus noch quantitative Aussagen über die Stärke der Auftriebskraft
machen, so muss auch die Zirkulation quantitativ fassbar sein.
Die Entstehung der Zirkulation soll nun erklärt werden über die Entstehung des Anfahrwirbels. Dazu betrachtet man die Beschleunigung eines Tragflügels aus der Ruhe heraus.
Eine Kurve, die den Tragflügel im Ruhezustand einschließt, hat die Zirkulation Null. Im
ersten Moment des Anfahrvorgangs wird die Hinterkante des Profils reibungslos ohne
58
Zirkulation umströmt, es bildet sich ein Staupunkt an der Oberseite aus. Infolge der
Reibung zischen der umströmenden Luft und dem Tragflügel entsteht ein Wirbel, der
sogenannte Anfahrwirbel oder auch freie Wirbel, mit einer bestimmten Zirkulation. Für
jede geschlossene Kurve, die sowohl Flügel als auch Wirbel umfasst, muss aufgrund
der Konstanz der Zirkulation nach dem Thomson’schen Wirbelsatz die Zirkulation auch
weiterhin verschwinden. Eine geschlossene Linie, die nur den Anfahrwirbel, nicht aber
die Tragfläche einschließt, hat eine bestimmte Zirkulation, die Kurve, die nur den Tragflügel umfasst folglich dieselbe, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Anfahrwirbel
bleibt am Ausgangsort des Flügels zurück, er hat folglich nach einer gewissen Zeit
keinen bedeutsamen Einfluss mehr auf den Verlauf der Umströmung des Flügels. Die
sich um den Flügel ausbildende Zirkulation denkt man sich entsprechend ihrer Wirkung
als einen oder mehrere im Flügel liegende Wirbel; sie wird daher gebundener Wirbel
genannt. Letztlich ist also die Reibung des strömenden Mediums ursächlich beteiligt
an der Ausbildung der Zirkulation und damit an der Entstehung des Auftriebs. Man
benötigt sie nur kurzzeitig zur Erklärung der Entstehung des Anfahrwirbels. Ansonsten
kann der Auftrieb nach den Gesetzen des reibungslosen Fluids berechnet werden.
Wird ein Flugzeug aus der gleichförmigen Bewegung heraus beschleunigt, so bildet
sich analog zur Entstehung des Anfahrwirbels ein Wirbel, der jedoch nicht mehr als
Anfahrwirbel bezeichnet wird.
Bezüglich der Größe der Zirkulation lässt sich festhalten, dass sie abhängig ist von
der Geometrie des Tragflügelprofils, von der Anströmungsgeschwindigkeit und vom
Anstellwinkel. Es ist jedoch nicht möglich, diesen Zusammenhang theoretisch eindeutig anzugeben, sondern es müssen Erfahrungswerte einfließen. [Schlichting und
Truckenbrodt, 2001a]
Für Körper mit scharfer Hinterkante ist durch die Bedingung des glatten Abströmens
an dieser die Größe der Zirkulation durch Körperform und Lage relativ zur Anströmungsrichtung eindeutig festgelegt. Diese Bedingung wird Kuttasche Abflussbedingung
genannt; sie bedeutet, dass weder an Unter- noch an Oberseite ein Staupunkt vorliegt,
dass im Gegenteil dieser mit der Hinterkante zusammenfällt.
3.4.2. Profiltheorie
Anliegen des nun folgenden Kapitels ist es, den Auftrieb für ein beliebiges Tragflügelprofil zu berechnen, dafür die Kutta-Joukowski-Formel noch einmal in physikalisch exakter
59
Abbildung 3.13: Zur Herleitung der ersten Blasiusschen Formel, [Schlichting und
Weise herzuleiten sowie mittels der Methode der konformen Abbildungen Profile mit
Dicke und Wölbung zu beschreiben und deren Strömungsverhalten zu beleuchten.
Blasiussche Formel
Dazu wird zunächst die erste Blasiussche Formel hergeleitet. Sie ist eine Integralgleichung für einen zylindrischen Körper von beliebiger Kontur für die resultierende
Kraft in inkompressibler, reibungsloser Strömung.
Der in Abbildung 3.13 dargestellte Körper werde mit der Geschwindigkeit v∞ angeströmt. Fx und Fy bezeichnen die Komponenten der zu bestimmenden Kraft pro
Breiteneinheit. Aus der Druckverteilung auf der Körperkontur p(s) ergibt sich für das
Oberflächenelement ds wegen dx = −ds sin(φ) und dy = −ds cos(φ)
dFx = −p cos(φ)ds = −pdy
sowie
60
dFy = −p sin(φ)ds = pdx .
(3.11)
Die Gesamtkraft, in Komponenten zerlegt, ergibt sich aus Gleichung 3.11 durch Integration zu
Fx = −
I
sowie
pdy
Fy =
(C)
I
(3.12)
pdx .
(C)
Sollen nun die Druckintegrale durch Geschwindigkeitsintegrale auf der Körperkontur
ersetzt werden, so muss beachtet werden, dass, wie in Kapitel 2.2.1 begründet, d~s || ~v
ist und somit dx : dy = vx : vy . Umformung ergibt
vx dy − vy dx = 0 .
(3.13)
Für die Komponenten der Kraft folgt damit
Fx = −
I
pdy−ρ
(C)
I
vx2 dy
− vx vy dx
sowie
Fy = −
(C)
I
pdx+ρ
(C)
I
vy2 dx − vx vy dy .
(C)
(3.14)
Der Druck auf der Körperkontur kann mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet
werden zu
ρ 2
ρ 2
−
p = p ∞ + v∞
vx + vy2 .
2
2
(3.15)
Einsetzen von Gleichung 3.15 in die beiden Integrale aus Gleichung 3.14 ergibt unter
Beachtung der Tatsache, dass die über die ganze Kurve zu erstreckenden Integrale
H
H
ρ 2
2
p
dx
und
−
v
(p∞ − ρ2 v∞
)dy verschwinden
∞
2 ∞
(C)
(C)
ρ
Fx = −
2
I
(C)
vx2
−
vy2
dy − 2vx vy dx
sowie
ρ
Fy = −
2
I
(C)
vx2 − vy2 dx + 2vx vy dy .
(3.16)
Führt man die komplexe Kraft
F = Fx − i · Fy
61
(3.17)
ein, so lassen sich mithilfe der komplexen Geschwdingkeit v(z) = vx − i · vy sowie der
Beziehung dz = dx + i · dy die beiden reellen Kraftkomponenten zusammenfassen zu
ρ
F =i
2
I
v 2 dz .
(3.18)
(C)
Dieser Zusammenhang wird als erste Blasiusche Formel bezeichnet. Die zweite Blasiussche Formel soll hier nicht thematisiert werden, da sie für die weiteren Betrachtungen
ohne Auswirkung bleibt.
Beweis der Kutta-Joukowski-Formel
Im Folgenden soll der exakte Beweis der Kutta-Joukowski-Formel erfolgen und zwar als
Anwendung der soeben bewiesenen ersten Blasiusschen Formel.
Nimmt man an, dass die Geschwindigkeit außerhalb der Kontur an jeder Stelle endlich
ist, so lässt sie sich entwickeln in einer komplexen Laurent-Reihe der Form
v (z) = A0 +
A1 A 2
+ 2 + ... .
z
z
(3.19)
Die Koeffizienten A0 und A1 können physikalisch wie folgt gedeutet werden:
• A0 ist die Anströmgeschwindigkeit, da für z → ∞
v = v∞ = A0 gilt.
• A1 ist ein Maß für die Zirkulation längs der Körperkontur, da
Γ=−
I
vdz = −
(C)
I
(vx dx + vy dy) − i ·
(C)
I
(vx dy − vy dx) .
(3.20)
(C)
Das zweite Integral in Gleichung 3.20 verschwindet, da die Kontur Stromlinie ist.
Einsetzen der Laurentreihen-Entwicklung liefert dann
Γ=
I
(C)
A1 A2
A0 +
+ 2 + ... dz = −2πiA1 .
z
z
62
(3.21)
Nun soll die resultierende Kraft nach der Blasiusschen Formel aus Gleichung 3.18
H
berechnet werden. Dazu betrachte man zunächst nur das Integral (C) v 2 dz. Für dieses
gilt:
I
2
v dz =
(C)
I
(C)
A1 A 2
A0 +
+ 2 + ...
z
z
2
dz = 2
I
(C)
A0 A1
dz = 2A0 A1 2πi .
z
(3.22)
Verwendet man nun Gleichung 3.21 so ergibt sich
I
v 2 dz = −2A0 Γ .
(3.23)
(C)
Einsetzen in die Blasiussche Formel liefert
F = Fx − i · Fy = −iρA0 Γ = −iρ (vx∞ − ivy∞ ) Γ .
(3.24)
Für die einzelnen reellen Kraftkomponenten pro Breiteneinheit erhält man hier also
Fx = −ρvy Γ
sowie
Fy = ρvx Γ .
(3.25)
Das Ergebnis dieser Herleitung stimmt also überein mit dem schon vorher begründeten
Zusammenhang, wobei hier zusätzlich gezeigt wurde, dass die aus der Zirkulation
resultierende Kraft senkrecht zur Anströmungsrichtung wirkt.
Joukowski-Profile
Mit der in Abschnitt 2.3.2.6 vorgestellten Methode der konformen Abbildung werden praktisch brauchbare Flügelprofile beschrieben, nämlich solche mit Wölbung und
Dicke. Dazu wird eine spezielle Abbildung 3.26 , die sogenannte Joukowski-Abbildung,
als konforme Abbildung verwendet:
ξ = f (z) = z +
a2
z
63
a∈R .
(3.26)
Diese Funktion kann einen in der x-y-Ebene gelegenen Kreis in eine tragflügelförmige
Körperkontur überführen. Die Lage des Mittelpunktes und der Radius a des Kreises
beeinflussen das entstehende Profil.
Abbildung 3.14 zeigt für drei verschiedene Ausgangssituationen die entstehende Körperform.
Einige Fälle sollen hier kurz erläutert werden.
• Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung der z-Ebene, so wird
dieser auf eine Ellipse in der ξ-Ebene abgebildet.
• Liegt dagegen der Kreismittelpunkt auf dem negativen Halbstrahl der x-Achse,
dann entsteht eine eiförmige Kontur, die mit kleiner werdendem Radius immer
mehr zu einer Tropfenform tendiert (Vgl. Abbildung 3.14 a).
• Falls der Mittelpunkt des Kreises auf dem positiven Teil der Ordinate gelegen ist,
so ist das Bild der konformen Abbildung ein bohnenförmiges, wobei die Dicke
des Profils vom Radius des Kreises abhängt. Dieses artet unter gewissen Voraussetzungen zu einem Kreisbogenprofil aus, wie es Abbildung 3.14 b demonstriert.
• Eine tragflügelähnliche Form ergibt sich, falls der Mittelpunkt im zweiten Quadranten des Koordinatensystems liegt.
Somit kann man zu praxisrelevanten Profilformen mithilfe der Methode der konformen
Abbildung Aussagen über das Φ-Ψ-Netz und damit das Strömungsfeld treffen.
3.5. Aerodynamik des Tragflügels endlicher Spannweite
Die bisherige Beschränkung auf die zweidimensionale Betrachtungsweise bei der Behandlung der Umströmung des Tragflügels entspricht der Vereinfachung, dass Druckverteilung, Stromlinienbilder und damit Auftrieb und Widerstand in jedem Flügelquerschnitt gleich sind.
Dabei kann man sich vorstellen, an den Enden des betrachteten Flügelausschnitts seien,
wie in Abbildung 3.15 dargestellt, sogenannte Endscheiben, die einen Druckausgleich
zwischen Unter- und Oberseite unmöglich machen. Bei dieser Betrachtungsweise behandelt man die Tragfläche so, als sei seine Profiltiefe an jedem Ort gleich. Da die
Zirkulation abhängig ist von Anströmgeschwindigkeit, Profiltiefe und Anstellwinkel,
64
Abbildung 3.14: Joukowski-Profile durch konforme Abbildung, [Schlichting und
bedeutet dies, dass sie über die gesamte Flügelspannweite konstant ist, veranschaulicht
in Abbildung 3.15 durch die Pfeile oberhalb des Tragflügels.
Beim Tragflügel endlicher Spannweite dagegen ist die Strömung dreidimensional
zu betrachten. Ausgehend von der Vorstellung, die Endscheiben würden wegfallen,
gelangt man zu der Erkenntnis, dass eine Umströmung der Flügelenden auftreten
muss, hervorgerufen durch die sich ausgleichenden Druckunterschiede zwischen Unterund Oberseite. Diese Strömung ist tatsächlich empirisch nachweisbar. Abbildung 3.16
stellt den Vorgang der Entstehung der Wirbel dar; der Druckausgleich bewirkt eine
unterschiedliche Ablenkung der Stromfäden ober- und unterhalb des Flügels. Der
so entstandene Richtungsunterschied der Stromfäden beim Zusammentreffen hinter
dem Tragflügel hat die Bildung zweier Wirbel mit entgegengesetztem Drehsinn zur
Folge. Diese beiden sogenannten freien Wirbel bleiben hinter dem Tragflügel zurück.
Anschaulich gedacht sind die Randwirbel also eine Fortführung der Zirkulation um
den Flügel. Diese Betrachtungsweise führt, wie von Prandtl vorgeschlagen, zu einem
vereinfachten Wirbelsystem, bei dem man analog zum zweidimensionalen Fall von einer
über die Flügelspannweite konstanten Zirkulation ausgeht. In diesem vereinfachten
sogenannten Hufeisenwirbelsystem entstehen, wie in Abbildung 3.17 dargestellt, die
65
Abbildung 3.15: Zirkulation und Auftrieb beim Tragflügel unendlicher Spannweite, [Marchaj, 1982]
66
Abbildung 3.16: Entstehung der freien Wirbel durch Druckausgleich an den Flügelenden, [Schlichting und Truckenbrodt, 2001b]]
freien Wirbel lediglich an den Flügelenden.
Zusätzlich tritt ein weiterer Effekt auf, der den der Randwirbelentstehung an den Enden
des Flügels überlagert. Er basiert auf der Tatsache, dass in den meisten Fällen die
Zirkulation um einen Tragflügel über die Spannweite nicht konstant ist, sondern im
Gegenteil eine veränderliche Zirkulationsverteilung vorliegt. Abbildung 3.18 illustriert
diesen Sachverhalt.
FA = −ρv∞
Z
b
2
Γ(x)dx
(3.27)
− 2b
Der Gesamtauftrieb lässt sich folglich gemäß Gleichung 3.27 bestimmen durch Integration der Zirkulation längs des betrachteten Flügels. In der Konsequenz der sich
67
Abbildung 3.17: Vereinfachtes Wirbelsystem des Tragflügels endlicher Spannweite, [Marchaj, 1982]
ändernden Zirkulation bilden sich nicht nur an den Enden des Tragflügels Wirbel aus,
sondern die freien Wirbel gehen anfangs über die gesamte Flügelspannweite als flächenhaftes Band ab. Man spricht daher von einer Wirbelfläche. Deren spiralförmiges
Aufrollen führt dazu, dass in einem gewissen Abstand von der Tragfläche schließlich nur
noch zwei Einzelwirbel übrig bleiben. Abbildung 3.19 veranschaulicht diesen Vorgang
mittels einer Analogie aus der Mechanik.7
Betrachtet man abschließend die beiden Abbildungen 3.17 und 3.18 noch einmal
im Vergleich, so muss man feststellen, dass, obwohl das wirkliche Wirbelsystem wesentlich komplizierter ist, das Hufeisenwirbelsystems als Ersatzvorstellung in seiner
physikalischen Auswirkung der Realität doch sehr nahe kommt.
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass Tragflügel, die in der Realität eine endliche
Spannweite haben, als dreidimensionales Problem zu behandeln sind (Vgl. Abbildung
3.20). Die Umströmung der Flügelenden von dem Überdruckgebiet auf der Unterseite
über die Flügelspitze in das Unterdruckgebiet auf der Oberseite hat drei Auswirkungen
[Marchaj, 1982], die hier lediglich noch einmal angegeben, nicht hergeleitet werden:
• Die Auftriebskraft pro Längeneinheit nimmt in Richtung der Flügelspitzen ab.
7
Für den Physiker ist die Analogie aus Abbildung 3.19 vermutlich weder notwendig noch besonders
hilfreich, für den Verstehensprozess der Schüler hat sich, wie die Projekttage zeigten, ihr Einsatz
allerdings bewährt.
68
Abbildung 3.18: Wirbelsystem des Tragflügels endlicher Spannweite, [Marchaj,
1982]
Abbildung 3.19: Entstehung der Randwirbel am Tragflügel endlicher Spannweite,
[Marchaj, 1982]
69
Abbildung 3.20: Zwei- und dreidimensionale Betrachtung des Auftriebsbeiwertes,
[Marchaj, 1982]
• Mit der Auftriebsabnahme geht eine Zunahme des Widerstands einher.
• Durch die sich ausbildende Zusatzströmung an den Flügelenden kommt es zu einer
Änderung des effektiven Anstellwinkels und damit von Auftrieb und Widerstand
längs der Spannweite.
Abbildung 3.21 zeigt eine reale Aufnahme der Randwirbel, auch Wirbelschleppen
genannt, aus denen sich eine bedeutsame Konsequenz für die Flugpraxis ergibt: nachfolgende Flugzeuge müssen zeitlich bzw. räumlich einen gewissen Mindestabstand
einhalten, um nicht um nicht in die zopfartigen, gegenläufig drehenden Luftverwirbelungen hinter fliegenden Flugzeugen hinein zu geraten.
Für diese Mindestabstände gibt es gesetzliche Vorgaben, die sich vor allem nach dem
Gewicht der beiden Flugzeuge richten, weil dieses die größte Auswirkung auf die Stärke
der Wirbelschleppen hat. Die moderne Flugzeugtechnik versucht, auch wegen der mit
den Wirbelschleppen verbundenen Energieverluste, diesen Effekt zu verringern, u.a.
durch bautechnische Veränderung der Tragflügel. Darauf soll an dieser Stelle jedoch
nicht weiter eingegangen werden.
70
Abbildung 3.21: Wirbelschleppe in Fotographie, [Wodzinski, 1999]
71
4. Versuche
Im Rahmen dieser Wissenschaftlichen Prüfungsarbeit wurden zur Vermittlung flugphysikalischer Inhalte in der Schule zahlreiche Versuche konzipiert, von denen im
vorliegenden Abschnitt jedoch nur vier ausführlich präsentiert werden. Es handelt sich
um diejenigen, die von der Verfasserin als besonders bedeutend eingestuft werden.
Sie unterscheiden sich von den restlichen, im Anhang A zu findenden vor allem dadurch, dass jene ohne größeren Aufwand mit normalem Versuchsgerät unkompliziert
nachzustellen sind, wohingegen den hier beschriebenen eine lange Konzeptions- und
Bauphase vorausgeht. Darüberhinaus sind sie auch deutlich kostenaufwändiger.
4.1. Strömungskanal nach Ludwig Prandtl
Die Sichtbarmachung von Strömungsvorgängen ist eine der zentralen Aufgaben der
experimentellen Aerodynamik. Doch wie lassen sich Vorgänge visualisieren, die eine direkte Beobachtung nicht zulassen? Dies geschieht durch Zugabe von Wollfäden,
Rauch, Farbe oder Teilchen. Wissenschaftler experimentieren schon seit Beginn des 20.
Jahrhunderts zu dieser Thematik. Während man heute Strömungen mithilfe modernster
Technik und Rechenverfahren vorhersagen und simulieren bzw. in Windkanälen vermessen kann, waren die Hilfsmittel anfangs sehr viel einfacher, aber dennoch effizient.
Ein Beispiel hierfür ist der in Abbildung 4.1 in einer historischen Aufnahme dargestellte
Wasserkanal von Ludwig Prandtl, einem deutschen Physiker, der als Begründer der
modernen Strömungslehre gilt.
Er lieferte bedeutende Beiträge zum grundlegenden Verständnis der Strömungsmechanik, entwickelte die Grenzschicht- und Tragflügeltheorie und konstruierte als Leiter der
Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen den ersten deutschen Windkanal in der sogenannten Göttinger Bauart. Seine Experimente und Erkenntnisse belegten bereits um
72
4. Versuche
Abbildung 4.1: Ludwig Prandtl 1904 mit seinem Wasserkanal
1900, dass Strömungsphänomene in Luft und in Wasser gleichen Gesetzen gehorchen.
Seine Herangehensweise war folglich, Phänomene in Wasser zu beobachten und die
Resultate dann auf Luft zu übertragen. So erhält man eine unmittelbare Anschauung
von Strömungsverhältnissen, die beim Experimentieren mit Luft schwerer zu gewinnen
wäre. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit soll dieser Weg nachempfunden werden mithilfe eines eigens angefertigten Nachbaus des historischen Prandtlschen Wasserkanals,
inspiriert durch einen Aufbau im DLR-Schoollab Göttingen8 .
Der nachgebaute Prandtl-Kanal besteht, wie in Abbildung 4.2 dokumentiert, aus einer
kastenförmigen Metallwanne von 1, 45 m Länge, 0, 25 m Breite und 0, 205 cm Höhe. Er
wurde aus 1,5 mm dickem Stahlblech gefertigt, das Metall ist zur Vermeidung von
Korrosion pulverbeschichtet. Die Nahtstellen sind elektrogeschweißt. Die Wanne besitzt
einen herausnehmbaren Zwischenboden und verfügt an einer Seite über ein handbetriebenes Schaufelrad mit 12 Schaufelblättern. Wenn das Wasserrad in Bewegung
gesetzt wird, fließt das Wasser in einem geschlossenen Kreislauf durch die Wanne auf
das Schaufelrad zu, durch den Unterboden zurück und tritt dann durch ein Umlenkund Siebsystem am anderen Ende an der Oberfläche wieder aus. Das Sieb erfüllt die
Funktion eines Gleichrichters und ist wie die Leitbleche herausnehmbar. Dadurch ist
nicht nur eine einfachere Reinigung möglich, sondern vor allem kann deren Funktion
8
Das DLR Schoollab ist ein Schülerlabor des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt mit dem
Ziel, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe I und II einen Einblick in moderne Forschung
und Technik zu vermitteln und Interesse daran zu wecken.
73
4. Versuche
Abbildung 4.2: Skizze des Prandtlschen Wasserkanals
Abbildung 4.3: Nachbau des Prandtlschen Wasserkanals
74
4. Versuche
Abbildung 4.4: Detailansicht aus Abbildung 4.3
demonstriert werden durch Vergleich der Versuchsergebnisse bei Durchführung mit
bzw. ohne Bauteil.
Zum Zubehör zählt weiterhin eine Halterung für die Profilkörper (Vgl. Abbildung 4.5),
ebenfalls aus 1, 5 mm dickem, pulverbeschichtetem Stahlblech gefertigt und mit einer
M12-Gewindestange versehen. Die Profile, die mittels einer Flügelmutter befestigt
werden können. sind aus Holz gebaut und zum Schutz vor Durchfeuchtung lackiert.
Um die Strömung sichtbar zu machen, wird auf die Wasseroberfläche Maisgrieß aufgebracht. Die Wege der Wasserteilchen lassen sich dann aus den Bahnen der mitbewegten
Maisflocken erschließen.
Der Prandtl-Kanal eignet sich also zur qualitativen Beobachtung von Strömungen;
er ist nicht dazu konstruiert, detaillierte Messungen vorzunehmen. Vielmehr vermag
er Antworten zu geben auf Fragen wie: Wie verhält sich die Strömung? Wo ist sie
gleichgerichtet, wo gleichförmig? Liegen großräumige Strukturen vor? Wo entstehen
Wirbel? Wo liegt die Strömung an, wo reißt sie ab? Diese einfache qualitative Methode
hat den Vorzug, das Experiment nicht zu verfälschen. Um quantitative Messungen
durchzuführen, müssten nämlich Sonden in die Strömung eingebracht werden, die
den Versuchsaufbau verkomplizieren und vor allem selbst die Strömungsverhältnisse
beeinflussen würden.
Im Experiment werden verschiedene Modelle auf der Halterung im Kanal angebracht,
die sich ergebende Umströmung wird beobachtet und mithilfe einer Digitalkamera
festgehalten. Die Beobachtungen und die aufgezeichneten Strömungsbilder werden
75
4. Versuche
Abbildung 4.5: Halterung und Profilkörper
anschließend analysiert, besonders im Hinblick auf die Frage, welche Bedeutung Strömungsvorgänge für technische Konstruktionen haben.
Der Einsatz der Modelle dokumentiert, dass jeder Körper, sofern er nicht mit der
Strömung fortgeführt wird, dieser einen Widerstand entgegensetzt. Wie groß der Strömungswiderstand ist, lässt sich durch die unterschiedlichen Wirbelausbildungen hinter
den Körperformen abschätzen. Man kann im Strömungskanal austesten, welche Verwirbelungen bei unterschiedlichen Körperformen entstehen. Beispielhaft sollen im
Folgenden einige beim Experimentieren entstandene, eigene Aufnahmen von Umströmungen gezeigt werden.
Abbildung 4.6 zeigt die Umströmung eines Halbzylinders; die Anströmungsrichtung
verläuft von links nach rechts. Deutlich erkennbar ist die Ausbildung zweier Wirbel.
Bild 4.7 illustriert, wie eine scharfe Kante seitlich angeströmt wird. In der flugtechnischen Anwendung spielt die scharfe Kante eine entscheidende Rolle, näher erläutert im
Abschnitt über die Entstehung der Zirkulation.
Im Prandtlschen Strömungskanal kann weiterhin die Ausbildung des Anfahrwirbels am
Tragflügelprofil (Vgl. Abschnitt 3.4.1.) beobachtet werden. Dafür wird die Umströmung
des Tragflügels aus der Ruhe heraus beobachtet. Abbildung 4.8 ist kurz vor der Ablösung
des Wirbels aufgenommen.
76
4. Versuche
Abbildung 4.6: Umströmung eines Halbzylinders
Abbildung 4.7: Seitliche Umströmung einer scharfen Kante
77
4. Versuche
Abbildung 4.8: Der Anfahrwirbel beim Tragflügelprofil
Abbildung 4.9: Umströmung des Tragflügels bei unterschiedlichem Anstellwinkel
Anstelle des Maisgrießes können zur Strömungsvisualisierung auch Aluminiumflocken
verwandt werden. Da das Experiment aber als Schülerversuch konzipiert ist, wurde in
der vorliegenden Arbeit aus Sicherheitsgründen darauf verzichtet, weil Aluminiumflocken in Verbindung mit Wasser explosiv wirken können. Die beiden Abbildungen 4.9,
aufgenommen in einem bauähnlichen Kanal aus dem DLR- Schoollab Göttingen unter
Einsatz von Aluminiumflocken, zeigen ein Tragflügelmodell bei geringem bzw. starkem
Anstellwinkel. Einmal liegt die Strömung glatt an, im zweiten Fall entstehen Wirbel an
der Oberseite der Tragfläche, ein Beleg für den Strömungsabriss.
4.2. Seifenfilmkanal
Seit Ende der 1980iger Jahre beschäftigen sich Wissenschaftler mit der Idee, Strömungen durch Seifenfilme sichtbar zu machen. Der erste Schritt dahin war die Entwicklung
einer Methode, mittels derer man große Seifenfilme über einen langen Zeitraum stabil halten konnte, um sie für die Umströmung von Flügelprofilen und verschiedener
78
4. Versuche
Abbildung 4.10: Seifenfilmkanal mit Beleuchtungseinheit
anderer Körper zu nutzen. Für die vorliegende Arbeit wurde in Anlehnung an ein
im DLR-Schoollab Göttingen präsentiertes Experiment ein eigener Seifenfilmkanal
gebaut und getestet. Bei Versuchen mit dem Seifenfilmkanal macht man sich die zentrale Eigenschaft von Licht zunutze, dass nämlich weißes Licht eine Überlagerung von
Spektralfarben ist, die durch Brechung wieder getrennt werden können.
4.2.1. Versuchsanordnung
Der Seifenfilmkanal (Vgl. Abbildung 4.10) besteht aus einem Aluminiumrahmen von
0, 72 m Breite, 1, 97 m Höhe. Aus einem Behälter, der sowohl als Auffanggefäß für die
Seifenlauge als auch als Seifenlaugenspeicher dient, wird über eine Aquariumspumpe
mittels Schlauch permanent Lauge nach oben gepumpt. Mithilfe einer Schlauchklemme
kann die Durchflussmenge variiert werden. Das Seifenwasser läuft dann zwischen zwei
dünnen Nylonfäden kontinuierlich herunter und in den Behälter zurück. Die Lauge
wird angesetzt aus 10 l Wasser, 125 ml Spülmittel und 2-3 Esslöffel Glycerin. Das Glyce-
79
4. Versuche
rin soll die schnelle Verdunstung der Wassermoleküle an der Oberfläche verhindern
und so für längere Haltbarkeit sorgen. Im Versuch setzt die verwendete Seifenlauge
die Oberflächenspannung des Wassers so weit herab, dass sich zwischen den beiden
Fäden ein für Experimente nutzbarer Seifenfilm aufspannen lässt. Der herabfließende
Seifenfilm, in seiner Breite variierbar, kann verschiedene Körperformen umströmen.
Beleuchtet man diese Versuchsanordnung von vorne, so lässt sich ein faszinierendes
Farbenspiel beobachten, aus dem man das Strömungsverhalten ablesen kann. Eine
schwarze Rückenplatte aus Hartschaum, mit dem Aluminiumgestell verankert, dient
dazu, dass die Farben intensiver wahrgenommen werden können. Zusätzlich können
an ihr mittels einer Gewindestange und einer Flügelmutter die zu untersuchenden
Modellkörper angebracht werden. Diese sind analog zu den Profilen im Prandtlschen
Strömungskanal aus Holz gefertigt und lackiert. Alternativ zu oben dargestelltem
Aufbau kann der Seifenfilm auch von Hand mithilfe eines Trichters erzeugt werden.
Abbildung 4.11: Seifenfilm mit Farbspiel
80
4. Versuche
4.2.2. Physikalischer Hintergrund
Was ist ein Seifenfilm? Eine Seifenblase ist eine sehr dünne Schicht Wasser zwischen
zwei Schichten von Seifenmolekülen. Diese spezielle Anordnung ergibt sich, weil
ein Teil des Seifenmoleküls, der hydrophile, Wasser mag und ein anderer Teil, der
hydrophobe, Wasser meidet. Der Kopf eines solchen Moleküls mag Wasser, das Endstück
nicht. Ohne diese Moleküle würde die Luftblase spontan in kleine Wassertröpfchen
auseinanderbrechen. Ein Seifenfilm ist nichts anderes als ein Ausschnitt aus einer
Seifenblase, meistens durch Drähte oder Fäden begrenzt und von einer Stärke, die
zwischen 0, 02 mm und 5 nm schwanken kann. Die größten Stärkeschwankungen treten
unmittelbar nach dem Aufspannen des Filmes auf, denn sobald er gebildet ist, beginnt
er, sich zu verdünnen. Das überschüssige Wasser läuft weg vom Film, so dass sich die
Stärke des Films verringert, bis eine abschließende Gleichgewichtsstärke erreicht ist. In
diesem Zustand des Gleichgewichts ist die Oberflächenspannung in allen Punkten die
gleiche.
Wie entsteht das Farbspiel? Bevor diese Frage beantwortet wird, sei kurz das elektromagnetische Spektrum erläutert. Das sichtbare Spektrum des Lichts erstreckt sich
über den Wellenlängenbereich zwischen 380 nm und 760 nm. Es erscheint uns in seiner
Gesamtheit als weißes Licht. Lässt man weißes Licht auf ein Prisma fallen, so wird
als Folge der unterschiedlich starken Brechung von Licht unterschiedlicher Wellenlänge das Spektrum sichtbar. Ähnlich wie bei dem den Schülern und Schülerinnen
vertrauten Phänomen der Lichtbrechung an einem Ölfleck werden auch beim Seifenfilm
bei Phasengleichheit einzelne Farben des weißen Lichts ausgelöscht, so dass man die
Komplementärfarben erkennt. Die Interferenzfähigkeit des Lichtes ist also ursächlich
verantwortlicht für das Farbspiel. Es überlagern sich die an der Ober- und Unterseite
des Seifenfilms reflektierten Strahlen, die einen unterschiedlich langen Weg zurück
gelegt haben und folglich einen Gangunterschied aufweisen. Auf eine ausführlichere
Darstellung des Vorgangs der Interferenz an dünnen Schichten soll an dieser Stelle verzichtet werden, da für die Schülerinnen und Schüler die Ergebnisse des Experimentes
im Vordergrund stehen sollen, also das Strömungsverhalten, nicht aber die Physik der
Farbentstehung in diesem Versuch.
Die zu beobachtenden Farben entstehen durch die sich verändernde Dicke des Seifenfilms und durch den 180◦ -Phasensprung bei Reflexion an der Filmoberfläche. Der
Phasensprung tritt nur beim Übergang des Lichtes vom optisch dünneren zum optisch
81
4. Versuche
Abbildung 4.12: Zwölfteiliger Farbkreis, nach [http://de.wikipedia.org/wiki/Farbkreis]
dichteren Medium auf, also nicht bei Reflexion an der Innenfläche. Für das Farbspiel
am Seifenfilm bedeutet das, dass an einer dicker werdenden Schicht wegen der kurzen
Wellenlänge von blauem Licht zuerst auch die Farbe Blau ausgelöscht wird und sich als
resultierende Farbe Gelb ergibt. Als nächstes wird Grün durch Überlagerung herausgefiltert, übrig bleibt jetzt Magenta. Schließlich wird als letzte Farbe das langwellige
Gelb herausgefiltert, so dass aus der additiven Überlagerung der restlichen Farben Cyan
entsteht. Hat man also die Farbfolge Gelb- Rot-Blau, so wird der Film dicker. Selbstverständlich gibt es noch viele Schattierungen der hier aufgezählten reinen Farben.
Welche Farbe gesehen wird, hängt immer auch vom Winkel des Betrachters ab. Bei
den Aufnahmen ist der Einfallswinkel allerdings konstant und dieser Aspekt damit zu
vernachlässigen.
Inwiefern lässt sich der Seifenfilm zur Untersuchung von Strömungen nutzen? Wird
ein Körper in den Seifenfilm eingebracht, so verändert sich die Strömung; es kommt
zu Geschwindigkeitsänderungen im Seifenstrom, wie sie auch ein Flügel in der Luft
verursacht. Fließgeschwindigkeit und Filmdicke hängen unmittelbar miteinander zusammen. Denn da in dem durch die Pumpe geförderten, konstanten Massestrom, nach
dem Bernoullischen Gesetz die Summe aus statischem und dynamischem Druck an
jeder Stelle gleich sein muss, ist mit einer Zunahme der Geschwindigkeit eine Abnahme
des statischen Drucks verbunden. Folglich presst in diesem Fall der vorherrschende
Luftdruck den Seifenfilm zusammen. Diese Änderung der Filmdicke äußert sich in einer
Farbänderung. Die Interferenzstreifen können daher als Höhenlinien der Dicke der
Filmschicht angesehen werden. Die sichtbar gemachten Schwankungen der Filmdicke
können als Druck- bzw. Geschwindigkeitsänderungen der Luft beim Flügelmodell interpretiert werden. Wie bei den Höhenlinien auf einer Landkarte gilt folglich: Liegen
82
4. Versuche
die Interferenzstreifen dicht beieinander, so entspricht dies einer schnellen Höhenbzw. Druckänderung. Auseinandergezogene Linien signalisieren dagegen ein flaches
Abfallen des Geländes und hier eine langsame Änderung des Druckes.
4.2.3. Exemplarische Ergebnisse
Im Versuch war die Farbgebung zwar gut zu erkennen, die Aufnahme mit Digitalkamera
erwies sich jedoch als extrem schwierig. Um an dieser Stelle dennoch die Ergebnisse
anschaulich diskutieren zu können, wird auf Bildmaterial der DLR-Schoollabs Göttingen
und Hamburg zurück gegriffen.
Abbildung 4.13: Bernoulli-Körper im Seifenfilmkanal, [DLR]
Der Bernoulli-Körper aus Abbildung 4.13 verdeutlicht den Massendurchsatz und die daraus resultierende Verdünnung des Seifenfilms in der Mitte zwischen den beiden Körpern.
An der zügigen Änderung der Farben erkennt man, dass eine schnelle Dickenänderung
des Films vorliegt.
Der Flügel in Abbildung 4.14 ist leicht gegen die Strömung angestellt. Zu beobachten
ist eine glatte Umströmung des Flügels mit heftigen Farbwechseln an der Vorderkante
des Flügels sowie an Ober- und Unterseite. Interpretieren kann man die Bilder am
günstigsten, wenn man sich von außen dem Flügel nähert. Hier nur exemplarisch für
die Oberseite des Flügels: Im vorderen Bereich liegt ein Übergang von violett nach gelb
vor, also eine Auslöschung von Grün nach Blau; das heißt der Film wird dünner, die
83
4. Versuche
Abbildung 4.14: Flügelprofil im Seifenfilmkanal, [DLR]
Strömungsgeschwindigkeit nimmt also zu. Genau in der Mitte der Flügeloberseite sieht
man die umgekehrte Farbfolge, diesmal allerdings mit großen Abständen.
4.3. Messung von Auftrieb und Widerstand am Tragflächenprofil
Im folgenden Abschnitt soll ein Experiment zur Messung von Auftrieb und Widerstand
am Tragflügel vorgestellt werden. Darin werden Auftriebs- und Widerstandskraft in
Abhängigkeit vom Anstellwinkel bestimmt, so dass anschließend mithilfe von Lilienthalschen Polardiagrammen Aussagen über den idealen Anstellwinkel sowie den kritischen
Anstellwinkel des Strömungsabrisses getroffen werden können. Das verwendete Tragflügelmodell wurde aus Holz selbst gefertigt und zwischen zwei Plexiglasscheiben
fixiert. Der Anstellwinkel kann variiert und mithilfe einer Winkelskala auf der vorderen
Plexiglasscheibe abgelesen werden. Der für beide Versuchsteile verwendete Luftstromerzeuger stammt aus dem Sortiment der Cornelsen Experimenta GmbH. Für das Tragflügelmodell wurde beim Bau die Breite so gewählt, dass der Luftstrom lediglich das
Profil, nicht aber die Plexiglaskonstruktion trifft, vor allem um die Widerstandsmessung
nicht zu verfälschen.
84
4. Versuche
4.3.1. Messung der Auftriebskraft
Das Experiment ist so konzipiert, dass die Auftriebskraft nicht direkt gemessen wird,
sondern über die Massenzu- bzw. -abnahme des Tragflächenmodells errechnet werden
kann.
Das Tragflächenmodell wird auf einer Digitalwaage mit einer Messgenauigkeit von 0, 1 g
platziert und zwar in unmittelbarer Nähe des Luftstromerzeugers, wie in Abbildung 4.15
dargestellt. Zunächst wird das Gewicht des Tragflügelmodells bei ausgeschaltetem Luftstrom ermittelt. Der Aufbau muss bezüglich seiner horizontale Lage so justiert werden,
dass die Vorderkante des Profils mit der Mitte des Luftstromerzeugers übereinstimmt.
Es wird nun eine Messreihe bei maximaler Strömungsgeschwindigkeit durchgeführt.
Gemessen wird jeweils für Anstellwinkel im Bereich von –30◦ bis +30◦ in 5◦ -Schritten
das Gewicht des Tragflächenmodells. Für die Messungenauigkeit werden die maximalen
Schwankungen der Anzeige der Waage ermittelt.
Abbildung 4.15: Versuchsanordnung zur Auftriebsmessung
85
4. Versuche
4.3.2. Messung der Widerstandskraft
Für diesen Versuchsteil wird das Tragflächenmodell auf einen Gleiter montiert, der sich
auf einer Luftkissenfahrbahn möglichst reibungsarm bewegt. Mithilfe eines Federkraftmessers wird parallel zur Luftkissenbahn die Widerstandskraft des Tragflächenmodells
für verschiedene Anstellwinkel direkt gemessen. Analog zum ersten Versuchsteil werden
auch hier Messwerte für die Anstellwinkel zwischen –30◦ und +30◦ in 5◦ -Schritten bei
maximaler Strömungsgeschwindigkeit aufgenommen. Die Messungenauigkeit wird wie
im vorherigen Versuch über die maximale Schwankung bestimmt.
Abbildung 4.16: Versuchsanordnung zur Widerstandsmessung I
Abbildung 4.17: Versuchsanordnung zur Widerstandsmessung II
86
4. Versuche
4.3.3. Ergebnisse der beiden Experimente
In einem ersten Schritt der Auswertung werden für die Messreihe der Auftriebskraft
die Differenzen zwischen dem Gewicht des Tragflächenmodells bei ausgeschaltetem
Luftstrom von m0 = 734, 7 g und denen in angeströmtem Zustand berechnet. Die
ermittelten Differenzwerte werden in Newton umgerechnet. (Vergleiche Tabelle 4.1)
Die Messungenauigkeiten sind ebenfalls in Tabelle 4.1 angegen, die Fehler wurden
mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnet.
α [◦ ]
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
∆α [◦ ]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m [g]
782
779,9
773,8
762,9
753,2
742,6
733,1
726,4
716,0
708,3
711,0
719,3
728,0
∆m [g]
0,3
0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
0,5
0,3
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
mAuf trieb [g]
-47,3
-45,2
-39,1
-28,2
-18,5
-7,9
1,6
8,3
18,7
26,4
23,7
15,4
6,7
∆mAuf trieb [g]
0,3
0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
0,5
0,3
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
FA [N]
-0,464
-0,443
-0,384
-0,277
-0,181
-0,077
0,016
0,081
0,183
0,259
0,233
0,151
0,066
∆FA [N]
0,003
0,002
0,002
0,003
0,001
0,002
0,005
0,003
0,002
0,002
0,003
0,002
0,001
Tabelle 4.1: Umrechnung der Messwerte in die Auftriebskraft
Tabelle 4.2 fasst die Resultate beider Versuchsteile für die Strömungsgeschwindigkeit
von (13, 8 ± 0, 3) ms zusammen. Diese wurde mit einem Anemometer bestimmt. Der
Fehler ergibt sich aus der schwankenden Anzeige des Messgerätes.
Als Grundlage für die Interpretation werden die Ergebnisse graphisch dargestellt. Dafür
werden zunächst die Widerstands- und die Auftriebskraft einzeln in Abhängigkeit des
Anstellwinkels aufgetragen. Anschließend wird die Auftriebskraft über der Widerstandskraft für die verschiedenen Anstellwinkel geplottet; es ergeben sich das Lilienthalsche
Polardiagramm für das verwendete Tragflügelprofil.
In Abbildung 4.18 erkennt man, dass die Widerstandskraft erwartungsgemäß für
betragsmäßig kleine Anstellwinkel aufgrund der Stromlinienförmigkeit des Profils sehr
gering ist, für betragsmäßig große Anstellwinkel dagegen stark ansteigt.
87
4. Versuche
Abbildung 4.18: Widerstandskraft in Abhängigkeit des Anstellwinkels
Abbildung 4.19: Auftriebskraft in Abhängigkeit des Anstellwinkels
88
4. Versuche
α [◦ ]
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
∆α [◦ ]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
FW [N]
0,15
0,12
0,09
0,09
0,04
0,03
0,04
0,04
0,05
0,07
0,13
0,17
0,28
∆FW [N]
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
FA [N]
-0,464
-0,443
-0,384
-0,277
-0,181
-0,077
0,016
0,081
0,183
0,259
0,233
0,151
0,066
∆FA [N]
0,003
0,002
0,002
0,003
0,001
0,002
0,005
0,003
0,002
0,002
0,003
0,002
0,001
Tabelle 4.2: Auftrieb und Widerstand in Abhängigkeit des Anstellwinkels
In Diagramm 4.19 wird deutlich, dass die Auftriebskraft bei einem Anstellwinkel größer
als 15◦ deutlich zurückgeht. Dadurch wird die Theorie des Strömungsabrisses entlang
der Tragfläche ab einem kritischen Wert für den Anstellwinkel bestätigt. Auf diesen und
die damit verbundene Wirbelbildung hinter der Tragfläche deutet auch der in Abbildung
4.18 erkennbare überproportionale Anstieg des Widerstandes ab einem Anstellwinkel
von 15◦ hin.
Abbildung 4.20 zeigt die aufgenommene Profilpolare des Tragflügelmodells. Sie zeigt
den typischen Verlauf, so wie er im Theorieteil in 3.3. diskutiert wurde. Der Anstellwinkel minimalen Widerstandes liegt bei −5◦ , der maximalen Auftriebes bei +15◦ .
89
4. Versuche
Abbildung 4.20: Lilienthalsches Polardiagramm für das Tragflügelmodell
90
4. Versuche
Abbildung 4.21: Gesamtansicht des Windkanals
4.4. Windkanal
In diesem Abschnitt soll das Modell eines einfach Windkanals vorgestellt werden, so
wie es von der Autorin angefertigt und mit den Schülerinnen und Schülern ausprobiert
wurde. Das Grundgerüst besteht aus einem Holzkasten mit einem quadratischen Querschnitt der Seitenlänge 20 cm. Die vordere Wand ist aus Plexiglas, das als Sichtfenster
dient. Der Innenraum des Windkanals ist schwarz lackiert, damit der Rauch zur Visualisierung der Strömung sich vom Hintergrund deutlicher abhebt. Abbildung 4.21 zeigt
die Versuchsanordnung, die im Folgenden von links nach rechts der Strömungsrichtung
folgend beschrieben wird. Auf die Halterung für den Raucherzeuger, hier eine Nebelmaschine (im Bild nicht sichtbar), folgt der Luftstromgleichrichter, dessen Funktion in
der laminaren Gestaltung des Luftstromes liegt. Hierzu werden, wie in Abbildung 4.22
zu sehen, Trinkhalme miteinander verklebt. Es schließt sich dann die Messstrecke mit
der Halterung für die zu untersuchenden Körper an. Am rechten Ende des Windkanals
ist der den Luftstrom erzeugende Ventilator angebracht.
Abbildung 4.23 und 4.24 zeigen die Umströmung eines Tragflächenprofils bei unter-
91
4. Versuche
Abbildung 4.22: Der Gleichrichter aus Strohhalmen
schiedlichen Anstellwinkeln. Während in der ersten Abbildung die Strömung glatt
am Profil anliegt, sind in der zweiten oberhalb des Profils deutlich Verwirbelungen
sichtbar.
Abbildung 4.23: Umströmung im Windkanal bei kleinem Anstellwinkel
92
4. Versuche
Abbildung 4.24: Umströmung im Windkanal bei großem Anstellwinkel
93
5.1. Verortung in Lehrplan und Fachzusammenhänge
In den meisten bundesdeutschen Lehrplänen gehört die Strömungsphysik nicht zu den
verbindlichen Lerninhalten, auch nicht die physikalischen Grundlagen des Fliegens.
Allerdings finden sich in nahezu allen Jahrgangsstufen Anknüpfungspunkte zu Problemen der Luftfahrt. Bei der Einordnung in die Lehrplanvorgaben beschränkt sich die
vorliegende Arbeit wegen des Universitäts- und des Schulstandortes auf die Betrachtung
der rheinland-pfälzischen und hessischen gymnasialen Rahmenpläne.
Für sie gilt ebenfalls das oben Gesagte: nur im Lehrplan Physik von Rheinland-Pfalz
wird die Strömungslehre explizit erwähnt als ein wählbares Additum für den Leistungskurs der Qualifikationsphase, in dem neben elf verpflichtenden Modulen weitere
zwölf Wahlpflichtbausteine zu unterrichten sind. Als Inhalte dieses Bausteins sind
Strömungsphänomene, Kontinuitätsgleichung und Strömungsgesetze vorgesehen. Der
dynamische Auftrieb wird hier sogar ausdrücklich als Lernstoff genannt. Für die Behandlung des Themas wird projektartiges Arbeiten vorgeschlagen.
Wenngleich die Strömungslehre nur einmal explizit erwähnt wird, so finden sich direkte
und indirekte Anknüpfungspunkte bereits im Lehrplan der Sekundarstufe I, genauer in
der 8. und 9. Klasse unter den Themenbereichen Mechanik I und II.
So lassen sich in Klasse 8 unter dem Rahmenthema Kraft am Beispiel des Fliegens die
Aspekte Kräfte und ihre Wirkungen, Kräftegleichgewicht sowie Kraft und Gegenkraft
behandeln. Neben den Kräften, die auf ein Fahrzeug in Bewegung wirken, kann man
auch diejenigen demonstrieren, die auf einen Flugkörper wirken. Die Sachverhalte
Kräftegleichgewicht und -ungleichgewicht etwa mit der jeweiligen Auswirkung auf die
Bewegung können am Beispiel des Flugzeugs mit den wirkenden Kräften Auftrieb und
Gewicht, Widerstand und Vortrieb besonders anschaulich vermittelt werden. Aufbauend
94
auf dem Verständnis des Prinzips von Kraft und Gegenkraft ergibt sich eine erste Erklärung für das Fliegen, indem der Auftrieb an Tragflächen als Anwendung betrachtet wird.
In Klassenstufe 9 sind laut rheinland-pfälzischem Lehrplan dann Druck und Auftrieb in
Flüssigkeiten und Gasen selbst Thema. Die vorgegebenen Inhalte Sinken, Schweben und
Schwimmen können statt am Schiff auch an Objekten der Luftfahrt thematisiert werden;
hier würde sich das Luftschiff besonders gut eignen. Der Bau eines Heißluftballons oder
eines cartesianischen Tauchers wird als Projektidee vorgeschlagen.
Prinzipiell könnte in Rheinland-Pfalz Flugphysik auch Thema des NAWI-Unterrichtes in
der Orientierungsstufe sein, wo sich vor allem das Themenfeld 3 Bewegung zu Lande,
zu Wasser und in der Luft anbietet.
Im hessischen Lehrplan Physik für den gymnasialer Bildungsgang stellt sich die Situation
ähnlich dar: Die Physik des Fliegens wird nur an einer Stelle explizit genannt, allerdings
nicht wie in Rheinland-Pfalz im Stoffplan der Sekundarstufe II, sondern innerhalb der
fakultativen Einheit Von Druck und Auftrieb in Klasse 8. Dabei sollen hydrostatischer
Auftrieb und dynamischer Auftrieb am Tragflügel sowie die Rolle des Luftwiderstandes berücksichtigt und wenn möglich in Kooperation mit Biologie fachübergreifend
unterrichtet werden.
Im hessischen Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe wird Strömungsphysik in keinem
Zusammenhang als Unterrichtsinhalt benannt. Dennoch bietet sich die Möglichkeit
zur Behandlung der physikalischen Aspekte des Fliegens besonders im Kontext der
Newtonschen Axiome in der Einführungsphase, ansiedelbar unter den vorgeschlagenen
Leitthemen Technik und Mechanik bzw. Verkehr.
5.2. Flugphysik - ein Beitrag zur Attraktivitätssteigerung des
Physikunterrichts
Um die Sinnhaftigkeit des Themas Flugphysik im Unterricht zu belegen, muss gefragt
werden, wie es überhaupt gelingt, Lernende für physikalische Inhalte zu interessieren.
Der Physikprofessor und Leiter des Studienseminars Koblenz Josef Leisen betont in
diesem Kontext, dass Motivation nicht machbar sei, dass aber jeder Schüler Motive
habe, an die es heran zu kommen gelte. Er sieht die Aufgabe des Lehrers daher nicht
im Motivieren, sondern im Motive suchen. »Der Motivationsmacher weiß vermeintlich,
was den Lerner im Physikunterricht zu interessieren hat. Der Motivsucher akzeptiert,
95
dass die Motive eine Angelegenheit des autonomen Organismus des Lerners sind.«
[Leisen, 2003b] Aus der Vielzahl von Vorschlägen, die er macht, um an Schülermotive
heran zu kommen, seien hier einige beispielhaft skizziert, die für die Behandlung von
flugmechanischen Inhalten im Physikunterricht sprechen. So kann man sich nach Leisen
den Motiven der Lernenden nähern über Inhalte und Themen, über Interessen und
Fragen, über Aktuelles und Historisches, über Sinnstiftung und Verstehen und über
anspruchsvolle Aufgaben und Anforderungen.
Denn obwohl der Traum vom Fliegen heutzutage eine Realität ist, die meisten Menschen
das Flugzeug im Beruf oder im Urlaub quasi alltäglich als Verkehrsmittel nutzen, hat
das Fliegen nichts von seiner Faszination verloren, vor allem, weil es im scheinbaren
Widerspruch steht zu der menschlichen Grunderfahrung, dass schwere Gegenstände
im Normalfall auf dem Boden stehen. Dass und warum Flugzeuge fliegen, ist eine
Frage, die immer noch staunen und nachdenken lässt. Bedauerlicherweise wurde das
Thema in den letzten Jahren im Physikunterricht an den Rand gedrängt (vgl. Abschnitt
5.1), so dass in der Regel die meisten Gymnasiasten die Schule verlassen, ohne die
Frage »Warum fliegt ein Flugzeug?« beantworten zu können. Dabei ist es wie kaum
ein anderes geeignet, Schülerinnen und Schüler zu interessieren und an die Physik
heran zu führen. Sein Reiz für Lehrende und Lernende liegt vor allem in den Fächer
übergreifenden interdisziplinären Aspekten, die Physik schlägt hier quasi eine Brücke
zu Naturwissenschaft und Technik. Damit entspricht es auch in besonderem Maße dem
übergeordneten Ziel der gymnasialen Oberstufe, Vorgänge in der Natur zu begreifen und
sich in Lebensbereichen, in denen physikalisch-naturwissenschaftliches oder technisches
Verständnis erforderlich ist, sachkompetent und verantwortungsbewusst entscheiden
und handeln zu können. [Lehrplan Hessen]
Der Physiker Wolfgang Send, Wissenschaftler beim Deutschen Luft- und Raumfahrtzentrum in Göttingen, hält die Flugphysik für ein reizvolles Thema, jungen Leuten
die Gesetze der Mechanik lebendig zu vermitteln und so einen respektablen Beitrag
zur Attraktivität des Physikunterrichts zu leisten. »Die Sprache der Physik, wie sie
die Mechanik mit ihren Gesetzen und Begriffen prägnant pflegt, wird von Schülern
wenig, von Schülerinnen noch weniger, um ihrer selbst willen geliebt. Verbindet man
die spröde Mechanik aber mit einem Thema wie dem der Physik des Fliegens, das der
Vermittlung komplexer Sachverhalte dient, dann nimmt der Wille zur Aneignung des
Handwerkzeugs, der Sprache wie der Fähigkeit zum Experiment, erstaunlich zu.«[Send,
2001] Physik sei dann »Mittel zum Zweck, sich verständlich zu machen und komplexe
96
Sachverhalte angemessen diskutieren zu können in einer durch Technik und Physik
geprägten Lebenswelt.« [Send, 2001]
Abschließend lässt sich festhalten, dass die Inhalte der Strömungsphysik am Beispiel
des Fliegens den zentralen Forderungen des Lehrplans Physik voll und ganz gerecht
werden, indem sie »die Erarbeitung physikalischer Erkenntnisse, die Reflexion der Wege
und Methoden, die Einblicke in die Wissenschaft der Physik und die Durchdringung der
Verflechtungen zwischen physikalischer Forschung, technischer Anwendung und Gestaltung alltäglicher Lebensbedingungen der Menschen« [Lehrplan Hessen]in besonderem
Maße ermöglichen.
5.3. Die Erklärung des Fliegens in der Schule
Bei der Beschäftigung mit der Frage, warum ein Flugzeug fliegt, stößt man auf die unterschiedlichsten Erklärungen, von denen jede für sich genommen einleuchtet, wenngleich
sie an Grenzen stößt. Sie finden sich nicht nur in Fachbüchern über Strömungsmechanik, sondern auch in physikalischen Schulbüchern, sogar in populärwissenschaftlicher
Literatur und Kinderbüchern. Der aufmerksame Leser vermisst jedoch die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Theorien, Bezüge werden in der Regel nicht hergestellt,
Verbindungen nicht thematisiert. Daraus resultiert ein Gefühl des wissenschaftlichen
Unbefriedigtseins, denn die zuvor logisch nachvollziehbare Erklärung erscheint nun
durch eine zweite unverbundene wieder fragwürdig.
Die vorherrschende Erklärung des dynamischen Auftriebs ist seit etwa 1920 diejenige, die sich des Bernoullischen Gesetzes bedient. In den 1980er und 1990er Jahren
entbrannte eine didaktische Diskussion, die zu einem Wandel der Darstellung der
Flugphysik führte, so dass vermehrt auch andere Erklärungsansätze veröffentlicht
und propagiert wurden. Für den Fachmann aus der Luftfahrt ist mit der klassischen
Aerodynamik das Geheimnis des Fliegens schon entzaubert, denn auf wissenschaftlichem Niveau ist die Erklärung längst gefunden, das Fliegen prinzipiell verstanden. Das
heißt, in der Diskussion der jüngeren Vergangenheit steht nicht die Auftriebstheorie
der Strömungsmechaniker an sich in Frage, vielmehr geht es um »Probleme bei der
Umsetzung der Auftriebstheorie der klassischen Aerodynamik in Unterrichtsinhalte«
[Rübenbeck, 2008], folglich um die didaktische Reduktion des Stoffes, seine Aufbereitung für die Schule, also die Erklärung des Fliegens im Unterricht. Dabei handelt es sich
laut Herrmann, Mitbegründer des Karlsruher Physikkurses, bei den Erklärungen »nicht
97
um verschiedene Mechanismen, sondern um unterschiedliche Betrachtungsweisen ein
und desselben Vorgangs.« [Hermann und Job, 2002] Und die seiner Meinung nach
zentrale Frage lautet: »Wenn ein Schüler fragt, warum ein Flugzeug fliegt, - mit was für
einer Antwort wird er wohl zufrieden sein?« [Hermann und Job, 2002].
Dieser Aushandlungsprozess im Streit der Didaktik der Physik ist noch nicht abgeschlossen, der Königsweg noch nicht gefunden.
Im vorliegenden Kapitel sollen nun die drei gängigsten Erklärungsmuster mit ihren
Vorzügen und Schwachstellen präsentiert und durch Darlegung ihrer Verbindungen
untereinander in einen größeren Rahmen eingebettet werden. Dabei wird der Stoff, der
auf wissenschaftlich-theoretischem Niveau bereits oben erörtert wurde, hier in einer
reduzierten Form dargelegt, wie sie für die Behandlung im Unterricht angemessen
scheint. In 5.3.5 folgt eine abschließende Bewertung.
5.3.1. Die Druckerklärung
5.3.1.1. Das zugrundeliegende Konzept
Bevorzugtes Erklärungsmuster für das Fliegen in populärwissenschaftlichen Büchern
und Zeitschriften sowie in Kinderbüchern ist eine Erklärung, nach der die besondere
Form des Tragflügels ursächlich verantwortlich ist für die Veränderung der Strömung.
Denn sie hat zur Folge, dass an der Oberseite ein Unterdruck und an der Unterseite
ein Überdruck entsteht. Deren Differenz liefert die Auftriebskraft, die wiederum die
Gewichtskraft des Flugobjekts kompensiert.
Im Folgenden sollen die Kernpunkte dieser klassischen Theorie mithilfe der BernoulliGleichung für den Unterricht dargelegt werden. Bei der Betrachtung wird sich auf einen
zweidimensionalen Querschnitt durch den Tragflügel in Richtung der Fugzeuglängsachse beschränkt, also auf das sogenannte Flügelprofil. Dessen Umströmung wird beschrieben, allerdings unter der Annahme des Vorliegens eines reibungsfreien Fluids. Folglich
wird von jeder Art der Reibung, die Wirbelbildungen zur Folge hat, abgesehen.
Abbildung 5.1 zeigt das Stromlinienbild eines Flügelprofils, das nun als Grundlage der
Erklärung dienen soll. Oberhalb des Flügels liegen die Stromlinien dichter beieinander,
unterhalb weiter auseinander als im Bereich vor dem Flügel. Daraus lässt sich nun
folgern, dass die Strömungsgeschwindigkeit oberhalb des Flügels höher und unterhalb
98
Abbildung 5.1: Stromlinienbild des Tragflügelprofils, [Wodzinski, 1999]
niedriger ist als vor dem Flügel. Es ergibt sich also eine unsymmetrische Geschwindigkeitsverteilung mit voben > vunten . Mithilfe der Bernoulli-Gleichung lässt sich diese in
eine unsymmetrische Druckverteilung übersetzen. Der Druck an der Oberseite ergibt
sich nämlich nach Gleichung 5.1 zu
1 2
,
poben = const. − ρvoben
2
(5.1)
der Druck an der Unterseite zu
1 2
.
punten = const. − ρvunten
2
(5.2)
Das heißt, durch die Flügelform wird die Strömung derart verändert, dass sich oberhalb
ein Unterdruckgebiet und unterhalb ein Überdruckgebiet einstellt. Abbildung 5.2 zeigt
die Druckverteilung mithilfe von U-Rohr-Manometern am Beispiel eines Profiles mit
flacher Unterseite. Diese unsymmetrische Druckverteilung hat eine resultierende Kraft
zur Folge, die Auftriebskraft, die den Körper beschleunigt. Sie ergibt sich aus der
Druckdifferenz
1 2
1 2
− ρvunten
∆p = punten − poben = ρvoben
2
2
über den bekannten Zusammenhang von Kraft und Druck.
99
(5.3)
Abbildung 5.2: Bernoulli-Gleichung
am
Tragflügelprofil,
[http://pluslucis.univie.ac.at/FBA/FBA01/preiss/kap3Dateien/image029.gif]
nach
5.3.1.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Druckerklärung
Mit diesem Ansatz ist eine erste Erklärung des dynamischen Auftriebes über die Druckunterschiede gefunden: er geht von einem vorhandenen Stromlinienbild aus, das aber
als gegeben angenommen und nicht hinterfragt wird. Die Schlussfolgerung nach Bernoulli von hoher Strömungsgeschwindigkeit auf niedrigen Druck und umgekehrt ist
völlig korrekt, die sich ergebende Druckdifferenz liefert zutreffend die Auftriebskraft.
Um dem Geheimnis jedoch vollkommen auf den Grund zu kommen, müsste man weiter
fragen, wieso eigentlich das Strömungsbild so aussieht, wie es aussieht, warum also
die Luft an der Oberseite schneller strömt als an der Unterseite. »Wenn Geschwindigkeitsdifferenzen als Ursache für Druckdifferenzen genannt werden, muss noch ein
physikalischer Grund für die Entstehung eben dieser Geschwindigkeitsdifferenzen
angegeben werden.« [Weltner, 2002] In dieser Erklärungslücke liegt die zentrale Unzulänglichkeit des konventionellen Ansatzes über die Druckunterschiede, der folglich den
wissenschaftlich-technisch Interessierten nicht zufrieden stellen kann.
Fragt man nach dem Zustandekommen der Geschwindigkeitsunterschiede, so findet
man verschiedene Herangehensweisen, die aber allesamt wenig sachgerecht sind und
nicht überzeugen.
100
Abbildung 5.3: Widerlegung des Weglängen-Argumentes durch Simulation, [Wodzinski, 1999]
Nach dem Weglängen-Argument zum Beispiel wird die Luft durch den Tragflügel in
zwei Hälften unterteilt, wobei die oberen Luftmassen aufgrund der Wölbung des Flügels
einen deutlich längeren Weg zurück legen müssen. Ihre Strömungsgeschwindigkeit
müsste entsprechend zunehmen. Dieser Argumentation liegt die stillschweigende Hypothese zugrunde, dass Luftteilchen, die vor der Tragfläche benachbart waren, auch
dahinter wieder zusammentreffen müssten. Dies ist jedoch nicht richtig. In Wirklichkeit
treffen sie nicht mehr zusammen, was experimentelle Untersuchungen und Simulationen belegen (Vgl. Abbildung 5.3). Damit ist der Weglängen-Betrachtung der Boden
entzogen, sie muss als irreführend und falsch bezeichnet werden, auch wenn sie in
einigen Schulbüchern noch vorkommt.
Eine schlüssige Erklärung für die Geschwindigkeitsdifferenz im Zusammenhang mit der
konventionellen Druckerklärung des dynamischen Auftriebs an keiner Stelle.
5.3.2. Die Rückstoßerklärung
Die Rückstoßerklärung ist ein zweites Erklärungsmuster, das, anknüpfend an dritte Newtonsche Axiom, die Tatsache in den Mittelpunkt rückt, dass die Tragfläche
Luftmassen nach unten umlenkt. Nach dem Prinzip von actio gleich reactio wirkt
folglich eine nach oben gerichtete Kraft auf die Tragfläche. Dieser Ansatz wird unter
anderem von Weltner und Hermann propagiert und findet sich mittlerweile auch in
einigen Schulbüchern wieder. Abbildung 5.4 zeigt beispielhaft einen Ausschnitt aus
101
Abbildung 5.4: Ausschnitt aus einem Mittelstufenschulbuch, [Dorn und Bader,
1985]
einem Mittelstufenschulbuch, in dem der dynamische Auftrieb an Tragflügeln über das
Rückstoßprinzip erklärt wird.
Für die Behandlung der Thematik in einem Kurs der Oberstufe bietet sich eine Herangehensweise an, wie sie sich in Literatur der universitären Einführungskurse findet,
z.B. in [Dorfmüller, et al. 1998]. Dieses einfache Modell, in dem die beiden Luftkräfte
dynamischer Auftrieb F und Widerstand FW als vertikale und horizontale Komponente
der Gesamtkraft FK auf eine schräg angestellte, mit der Geschwindigkeit v bewegte
Platte hergeleitet werden, wird im Folgenden erläutert.
Der Winkel α zwischen der Horizontalen und der Platte wird als Anstellwinkel bezeichnet. Die Gesamtkraft FK ist nach dem zweiten und dem dritten Newtonschen Axiom
entgegengesetzt gleich der Summe der Impulsänderung der einzelnen Luftmoleküle.
Für die Berechnung wird die Platte als ruhend angenommen, die Lufteilchen haben vor
dem Stoß folglich die Geschwindigkeit vvor = −v. Betrachtet man nun zunächst ein
102
Abbildung 5.5: Skizze zur Rückstoßerklärung, [Dorfmüller et al. 1998]
Luftmolekül der Masse m, so wird dieses an der Platte elastisch reflektiert und erfährt
dabei eine Impulsänderung ∆p. Diese ist
∆p = m · ∆v = m · 2vvor sin(α) .
(5.4)
Die Platte erhält dabei den Impulsübertrag ∆pP latte = −∆p. Die Gesamtkraft, die von
allen im Zeitintervall dt auf die Platte treffenden Luftmolekülen auf diese ausgeübt
wird, ergibt sich demnach zu
FK =
d X
d X
d
∆pLuf t = −
m∆v = −∆v M ,
dt
dt
dt
(5.5)
wenn M die Gesamtmasse der Luft bezeichnet und die Geschwindigkeitsänderung ∆v
für alle Luftmoleküle als konstant angesehen wird.
d
Zur Bestimmung von dt
M , also der pro Zeitintervall reflektierten Luftmasse, wird der
rechte Teil der Abbildung 5.5 betrachtet.
d
∆M
ρ∆V
M≈
=
dt
∆t
∆t
(5.6)
∆V lässt sich als das Volumen eines schrägen Prismas über Grundfläche·Höhe bestimmen.
Es ergibt sich ∆V = A · v∆t sin(α) und folglich
d
∆M
M≈
= ρAv sin(α) .
dt
∆t
103
(5.7)
Die Gesamtkraft berechnet sich demnach zu
FK = −∆v
d
′
M = −2vvor
sin(α) · ρAv sin(α) = 2ρv 2 a sin2 (α) .
dt
(5.8)
Die Zerlegung der Gesamtkraft in ihre vertikale und horizontale Komponente liefert die
gesuchten Luftkräfte
FA = 2ρv 2 A sin2 (α) cos(α)
(5.9)
FW = 2ρv 2 A sin3 (α) .
(5.10)
und
Die gefundenen Abhängigkeiten der Luftkräfte von Dichte, Geschwindigkeit und Fläche
lassen sich für geringe bis mittlere Geschwindigkeiten empirisch beobachten. Liegen die
Bewegungen jedoch im Überschallgeschwindigkeitsbereich, so kann die Strömung nicht
mehr als inkompressibel angesehen werden; obige Herleitung wäre in dieser Form nicht
durchführbar und die Abhängigkeit des Geschwindigkeitsquadrates nicht korrekt.
5.3.2.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Rückstoßerklärung
Bei der Rückstoßerklärung wird die Tatsache, dass die Luftmassen nach unten umgelenkt werden, als selbstverständlich angenommen, sie müssten ja dem Profil ausweichen.
Die Frage nach dem physikalischen Grund der Umlenkung wird nicht gestellt.
In der Tat wird Luft in dem Maße nach unten beschleunigt, dass der Auftrieb als
Reaktionskraft interpretiert werden kann. Allerdings beschränkt sich die Umlenkung
räumlich nicht auf die nähere Umgebung der Tragfläche, vielmehr trägt die gesamte
Wirbelschleppe dazu bei. Zudem sind die Prozesse, die die Umlenkung bedingen, nicht
so trivial wie in der Rückstoßerklärung vorausgesetzt. Außerdem kann das Ausmaß der
Umlenkung nicht an der Tragfläche abgelesen werden. [Wodzinski und Ziegler, 2000]
Der oben skizzierte Ansatz über das Rückstoßprinizp kann ferner bei Beibehaltung
der trivialen Betrachtunsgweise der Umlenkung nicht erklären, wie der Auftrieb ei-
104
ner gewölbten Tragfläche bei einem Anstellwinkel von 0◦ entsteht, ein erheblicher
Schwachpunkt in der Argumentation.
5.3.3. Die Zirkulationserklärung
Der dritte hier präsentierte Erklärungsansatz ist der, der dem der Strömungsmechanik
nachempfunden ist. Dabei ist das erste wichtige Anliegen im Unterricht das Aufbrechen
der Selbstverständlichkeit des Strömungsbildes einer Tragfläche. Es muss bewusst gemacht werden, dass es keineswegs selbstredend ist, dass Luft an der Hinterkante des
Tragflügels glatt abströmt.
Bei geringer Strömungsgeschwindigkeit wird die Tragfläche so umströmt, wie es Abbildung 5.6 zeigt; dabei wird allerdings kein Auftrieb erzeugt. Mit andern Worten:
schließt sich die Strömung hinter dem Tragflügel wieder, als wenn nichts geschehen
wäre, so bleibt die Wechselwirkung zwischen Profil und Luft bzgl. des Auftriebes folgenlos. Hingegen zeigt Abbildung 5.8 eine schnelle Umströmung, als deren Konsequenz
sich eine Auftriebskraft ausbildet. Zusätzlich zur Geschwindigkeit hängt das Entstehen
von Auftrieb noch von einer weiteren Eigenschaft des Fluids ab, nämlich von dessen
Zähigkeit.
Vergleicht man nun die beiden Strömungsbilder miteinander, so werden die Unterschiede anschaulich. Während in Abbildung 5.8 die Strömung glatt abfließt, wird bei der
Darstellung der langsamen Umströmung deutlich, dass die Hinterkante von unten nach
oben umströmt wird. In dem Unterschied der Umströmung mit und ohne Auftrieb ist
demnach die gesamte Auftriebsinformation enthalten. Er liefert einen Hinweis auf das
Hinzukommen einer weiteren Strömung zum Strömungsbild, »die die Strömung an der
Hinterkante nach unten lenkt, an der Oberseite die Strömung beschleunigt und an der
Unterseite verzögert« [Wodzinski, 1999]. Diese Strömung wird Zirkulation genannt.
Mathematisch erhält man das Strömungsbild der Zirkulation als Differenz der beiden
gezeigten Strömungsbilder (Vgl. Abbildung 5.7).
Als Antwort auf die zentrale Frage »Wie kommt es zur Zirkulationsströmung?« finden
sich in Schulbüchern zwei verschiedene Herangehensweisen, eine Argumentation
über den Anfahrwirbel und eine weitere Erklärung mittels eines Vergleichs mit dem
rotierenden Zylinder.
105
Abbildung 5.6: Umströmung des Tragflügels ohne Auftrieb, [Oertel, 2008]
Abbildung 5.7: Zirkulationsströmung, [Oertel, 2008]
Zu Beginn der Bewegung des Tragflügels wird dessen Hinterkante wie bei Zirkulationsfreiheit umströmt, so dass keine Auftriebskraft zustande kommt. Mit steigender
Geschwindigkeit ergibt sich jedoch ein anderes Bild: Die dem Tragflügel benachbarten
Luftmassen werden durch Reibung an der Oberfläche derart verzögert, dass sie der
beschriebenen Bewegung um die Hinterkante nicht mehr folgen können. Die körperfernere Luft folgt noch dem alten Strömungsbild, also der Bewegung um die Kante
herum, da sie schwächeren Reibungseinflüssen unterliegt. Es setzt ein Aufrollvorgang
ein, der Anfahrwirbel entsteht. Gleichzeitig kommt es zur Ausbildung einer Strömung
um das Tragflügelprofil, weil gemäß der Gesetzmäßigkeit über die Drehimpulserhaltung
kein Wirbel ohne Gegenwirbel entsteht. Dieser zweite Wirbel entspricht der auftriebserzeugenden Zirkulationsströmung. Grundvoraussetzung für das Fliegen ist also die
scharfe Profilhinterkante und die Eigenschaft der Luft, kein ideales Fluid und somit
reibungsbehaftet zu sein. Nach der Argumentation mit dem Anfahrwirbel entsteht also
Auftrieb deshalb, weil sich an der scharfen Profilhinterkante ein Wirbel und in der Folge
um die Tragfläche herum ein Gegenwirbel ausbildet.
Die Erklärung mittels Vergleich mit dem rotierenden Zylinder basiert auf dem Magnuseffekt, auf den an dieser Stelle nicht im Detail eingegangen werden soll. Er beschreibt die
Querkraftwirkung, die ein rotierender runder Körper in einer Strömung erfährt. Auch
hier steckt die Auftriebsinformation im Wesentlichen in der Zirkulationsströmung.
106
Abbildung 5.8: Umströmung des Tragflügels mit Auftrieb, [Oertel, 2008]
Ergänzend sei die Anmerkung erlaubt, dass es genaugenommen in diesem Zusammenhang keinen Sinn ergibt, von reibungsfreier Umströmung zu sprechen. Zwar kann
man das Stromlinienbild gut annähern, indem man die Strömung als eine reibungsfreie betrachtet, die sich zusammensetzt aus einer zirkulationsfreien Umströmung und
der Zirkulation selbst. Aber unter der Voraussetzung von Reibungsfreiheit kann die
Entstehung der Zirkulation nicht erklärt werden.
5.3.3.2. Kritische Auseinandersetzung mit der Zirkulationserklärung
Weltner hält den Zirkulationsansatz für problematisch, weil die Entstehung der Zirkulation schwer verständlich zu machen sei. [Weltner, 2002] Er kritisiert die Begründung
der Zirkulationsentstehung über den Anfahrwirbel, denn der sei wegen der Helmholtzschen Erhaltungssätze der Gegenwirbel zu der sich aufbauenden Zirkulation, also »die
Folge der Zirkulation aber nicht deren Ursache«. [Weltner, 2002] Geht man im Rahmen
der Zirkulationserklärung den Weg über den Vergleich mit dem Magnus-Effekt am
rotierenden Zylinder, so ist anzumerken, dass dieser für den Anfänger wenig Überzeugungskraft hat. »Besonders schwer zu verstehen ist, warum der Tragflügel mit einem
rotierender Zylinder vergleichbar sein soll. Weder rotiert ein Tragflügel noch fliegt ein
Zylinder. Ein Einstieg in die Physik des Fliegens ist auf diesem Wege deshalb für die
Schule nicht geeignet.« [Wodzinski und Ziegler, 2000]
5.3.4. Zusammenhang der drei Erklärungsmuster
Bei der Beantwortung der Frage nach dem Zusammenhang der drei Erklärungsmuster
sind zwei Aspekte zu berücksichtigen: Das verbindende Element auf der Ebene der
107
Abbildung 5.9: Skizze zum Impulssatz, [Wodzinski und Ziegler, 2000]
Theorie ist der so genannte Impulssatz. Er besagt, dass für eine stationäre Strömung
die Kraft auf einen in ihr befindlichen Körper bestimmt werden kann, »indem man ein
beliebiges Kontrollvolumen um den Körper legt und ein- und ausströmenden Impuls
und den Druck an den Grenzflächen des Kontrollvolumens auswertet« [Wodzinski und
Ziegler, 2000]. Demnach berechnet sich die Kraft als der eintretende Impulsstrom
abzüglich des austretenden Impulsstromes zuzüglich der Summe aller Druckkräfte an
den Grenzflächen. Diese Bilanz liefert unabhängig von dem gewählten Kontrollvolumen
die Auftriebskraft. Folglich muss zu deren Bestimmung sowohl das Druck- als auch das
Geschwindigkeitsfeld analysiert werden .
Abbildung 5.9 zeigt drei Fälle für die Wahl des Kontrollvolumens. Im allgemeinen Fall,
nämlich einem beliebigen quaderförmigen Kontrollvolumen, tragen Druck- und Impulsanteil zu gleichen Teilen zum Auftrieb bei. Wählt man als Kontrollvolumen genau die
Umrandung der Tragfläche, so ist der Impulsanteil Null, der Auftrieb also nur bestimmt
durch den Druckanteil. Bei Wahl eines symmetrischen, um die Tragfläche herum
liegenden und ober- wie unterhalb ins Unendliche reichenden Kontrollvolumens wird
der Druckanteil so gering, dass er vernachlässigt werden kann. Einzig der Impulsanteil,
also die Luftumlenkung, ist verantwortlich für den Auftrieb. Das heißt, im Prinzip
können Druck- und Rückstoßerklärungen als zwei einfache Spezialfälle des Impulssatzes
aufgefasst werden. Wendet man den Impulssatz auf eine zweidimensionale Tragfläche
108
an, so liefert er die der Zirkulationserklärung zugrunde liegende Kutta- JoukowskiFormel. Eben genau darin liegt auf theoretischer Ebene der Zusammenhang zwischen
den drei Erklärungsmustern.
Der zweite zu betrachtende Aspekt ist die Ebene der Phänomene. Mit der Erklärung
der Umströmung durch eine Zirkulationsströmung geht zwangsläufig einher, dass die
Strömungsgeschwindigkeit oberhalb der Tragfläche höher und unterhalb niedriger
ist als bei Strömung ohne Zirkulation. Ein Vergleich von Stromlinienbildern mit und
ohne Zirkulation ergibt auch, dass bei der auftriebserzeugenden, also der Strömung mit
Zirkulation, Luftmassen nach unten beschleunigt werden. Auf der Ebene der Phänomene
können also die Erklärungsmuster anschaulich in Bezug gesetzt werden über die
Zirkulation.
5.3.5. Didaktische Bewertung der drei Erklärungsansätze
Wenn man im Detail verstehen will, warum ein Flugzeug fliegt, muss man analysieren,
warum sich das Stromlinienbild so ergibt, wie es sich ergibt. Denn in dem Stromlinienbild selbst ist eigentlich bereits alle Auftriebsinformation enthalten, die Frage nach
dem Warum stellt sich dann nicht. Einzig die Zirkulationserklärung thematisiert diesen
Aspekt, warum die Umströmung sich so einstellt wie experimentell nachweisbar. Eine
plausible Begründung, warum sich an der Tragflächenoberseite ein Unterdruck und
an der Unterseite ein Überdruck einstellt, gibt es außer über die Zirkulation nicht. Es
zeichnet die Zirkulationserklärung aus, dass sie von allen drei Ansätzen derjenige ist,
der dem der Strömungsmechanik am nächsten kommt, das heißt sie ist die wissenschaftlichste. Wenngleich sie sich aus den oben dargelegten Gründen als Einstieg in die
Physik des Fliegens weniger gut eignet, so ist doch in jedem Fall ihre Behandlung für
ein umfassendes Verständnis der Thematik unverzichtbar.
Dennoch haben auch die andern beiden Erklärungsmuster ihre Berechtigung im schulischen Kontext, wenn man sich ihrer Grenzen und Unzulänglichkeiten bewusst ist
und diese auch im Unterricht zum Thema macht. So ist die konventionelle Erklärung
mithilfe der bernoullischen Gleichung zwar fachlich korrekt, aber keine eigenständige Erklärung, da das Geschwindigkeitsfeld als gegeben angenommen wird und nicht
schlüssig begründet werden kann.
Die Rückstoßerklärung hat zwar den Vorteil, dass sie vieles anschaulich erklärt, ist aber
fachlich problematisch, da sie, wenn auch nicht immer expressis verbis, voraussetzt,
109
dass die Luftumlenkung auf triviale Weise in unmittelbarer Nähe des Tragflügels erfolgt.
Ihre Vorzüge liegen eben vor allem darin, dass viele verschiedene Phänomene der
Fortbewegung sich aus dem gleichen Ansatz heraus verstehen lassen, so zum Beispiel
Schiff, Rakete, Hubschrauber und Flugzeug. Außerdem stehen im Zentrum dieses Ansatzes zentrale Begriffe der Mechanik wie Massenträgheit von Luft oder Zusammenhang
von Kraft und Beschleunigung. Das heißt, die Physik des Fliegens wird als direkte
Anwendung der Newtonschen Gesetze behandelt und ist damit kein Randphänomen,
sondern zentraler Inhalt des Mechanikunterrichts in der Schule.
Zu einer umfassenden Behandlung des Themas im Unterricht gehört in den Augen
der Autorin der vorliegenden Arbeit folglich neben der Zirkulationserklärung auch die
Betrachtung der der andern beiden Theorien, nicht zuletzt deshalb, weil sie diejenigen
sind, denen der Schüler außerhalb der Schule am ehesten begegnet und die er einzuschätzen wissen muss. In jedem Fall muss das Weglängenargument explizit widerlegt
werden. Dies ist unerlässlich im Sinne einer Erziehung zum kritischen Konsumenten
von wissenschaftlichen Publikationen.
110
6. Flugphysik als experimenteller, projektorientierter
Unterricht
In dem vorliegenden Kapitel wird nun ein konkreter Vorschlag gemacht, wie Flugphysik
unterrichtlich umgesetzt werden kann. Es handelt sich dabei um eine Projektarbeit,
die von der Autorin dieser Arbeit entwickelt und an einem Oberstufengymnasium
durchgeführt wurde. Aus den didaktischen Vorüberlegungen zur Rolle des Experimentes
im Physikunterricht und zur Bedeutung von Projekten ergibt sich als Fazit die konkrete
Projektidee, die nun ebenso wie die Durchführung differenziert dargelegt und reflektiert
wird.
6.1. Das Experiment im Physikunterricht
Das Wort Experiment ist abgeleitet vom dem lateinischen Verb experiri, was in der
Übersetzung versuchen, prüfen, erproben bedeutet. Es empfiehlt sich, begrifflich und
inhaltlich zu unterscheiden zwischen dem wissenschaftlichen Forschungsexperiment
und dem Experiment in der schulischen Praxis, die im Folgenden nebeneinander gestellt
und erläutert werden.
»Was ist ein Experiment? [...] Bei einem Experiment werden von einem Experimentator
in einem realen System bewusst gesetzte und ausgewählte natürliche Bedingungen
verändert, kontrolliert und wiederholt beobachtet.« [Kircher et al., 2009] Das heißt, im
klassischen wissenschaftlichen Sinne handelt es sich um ein reproduzierbares und vom
Experimentierenden unabhängiges Verfahren zur Erkenntnisgewinnung. Dabei werden
zur Verifizierung von theoretischen Hypothesen Beobachtungen und Messungen in
einem vorher definierten und kontrollierbaren Rahmen durchgeführt. Unverzichtbar
für ein wissenschaftliches Experiment sind demnach umfassende Planung, Kontrolle
111
Abbildung 6.1: Bedeutungsaspekte des Experimentes für den Physikunterricht,
nach [Wilke, 1993]
bedeutsamer Variablen, exakte Datenaufnahme sowie Analyse und Interpretation der
Messwerte.
Dieser klassischen Funktion des Forschungsexperiments kann das im Unterricht durchgeführte nur bedingt gerecht werden. Im schulischen Kontext ist seine Bedeutung nicht
auf die erkenntnistheoretische Funktion beschränkt. Seine Vorzüge liegen eher im
didaktisch-methodischen sowie im pädagogisch-psychologischen Bereich (Vgl. Abbildung 6.1).
Die Rolle, die das Experiment im Prozess der Erkenntnisvermittlung spielt, hängt vom
Vorwissen der Schülerinnen und Schüler ab. So wird es bei nur geringen Vorkenntnissen
der Präsentation des Phänomens und der Gewinnung erster Aussagen dienen, es ist
dann also unmittelbare Quelle der Erkenntnis. Wenn hingegen Schülerinnen und Schüler bereits über ausreichend Sachkenntnis verfügen, um Hypothesen oder Prognosen
zu formulieren, so kann das Experiment zu deren Überprüfung eingesetzt werden,
also zur Sicherung der Erkenntnis. Schließlich liegt eine dritte erkenntnistheoretische
Bedeutung in seiner Verbindung zur Praxis. Es zeigt dann auf, wie das theoretische
Wissen praktisch genutzt werden kann, sei es in technischen Anwendungen oder der all-
112
gemeinen Lebenswelt. Das physikalische Experiment, in allen Phasen des Unterrichtes
einsetzbar, erfüllt wichtige didaktische Funktionen. Als Einstiegs- oder Einführungsexperiment weckt es die Neugier und Freude der Schülerinnen und Schüler und ihre
Fragehaltung. Als Kontroll- oder Bestätigungsexperiment dient es der Überprüfung von
Hypothesen über physikalische Gesetzmäßigkeiten praktischer Anwendung. Schülerinnen und Schüler können in Experimenten durch selbstständige Entdeckungstätigkeit
neue Phänomene erforschen und Strukturen erkennen. Je nach Anlass und Gegenstand
eignen sich Experimente also zu Motivierung, zu Vereinfachung, Systematisierung und
Veranschaulichung, zu Kontrolle oder Einübung oder zu Schaffung von Lebensbezug.
In jedem Falle sind sie also ein unverzichtbarer Bestandteil der physikalischen Methodologie und gestalten den Physikunterricht erlebnisreicher und zufriedenstellender.
Neben dem erkenntnistheoretischen und dem methodisch-didaktischem, liegt der dritte
wichtige Bedeutungsaspekt des Experimentes in seinem Beitrag zur Persönlichkeitsentwicklung der Schülerinnen und Schüler (Vgl. Abbildung 6.1). Neben den kognitiven und
manuellen Fertigkeiten wie messen, beobachten, Prognosen und Schlussfolgerungen
formulieren, experimentelle Daten interpretieren etc. erwerben sie noch weitere, die im
affektiv-emotionalen Bereich anzusiedeln sind, so etwa konzentriert an einer Sache zu
arbeiten, ihre Neugier zu befriedigen oder behutsam mit Materialien, Versuchspersonen
beziehungsweise mit der Natur umzugehen. Einen ausführlichen Überblick über die
verschiedenen physikdidaktischen Zielsetzungen, erläutert an konkreten Beispielen,
findet sich in [Kircher et al., 2009]. Abbildung 6.2 fasst die wichtigsten Aspekte als
Schaubild zusammen.
Parallel zu der hier vorgenommenen Unterscheidung der Experimente nach ihrer
Funktion und Bedeutung können sie auch enstprechend der agierenden Person klassifiziert werden. Demnach sind Lehrer-, sogenannte Demonstrationsexperimente, und
Schülerexperimente zu betrachten. Bei letzterem verlagern sich die Anforderungen
an den Lernenden vom Beobachten und Registrieren zur aktiven Durchführung. Das
Lehrerexperiment eignet sich besonders dann, wenn der Aufbau sehr kompliziert ist,
empfindliche Geräte beinhaltet oder gefährlich ist. Schülerversuche hingegen kommen dem natürlichen Drang nach Eigentätigkeit entgegegen und entsprechen dem
Prinzip der Aktivierung, indem sie die Möglichkeit zu physikalischem Arbeiten und
eigenen Erfahrungen bieten. Da die experimentellen Fertigkeiten häufig noch nicht sehr
ausgebildet sind, tragen Schülerversuche wie keine andere Methode des Unterrichtes
zum Erwerb einer experimentellen Handlungskompetenz bei. Obwohl in einer solchen
Phase des Unterrichts der Erkenntnisprozess weniger strukturiert ablaufen kann als
113
Abbildung 6.2: Funktionelle Aspekte des Experiments, [Kircher et al., 2009]
bei lehrergelenktem Unterricht, überwiegen vielfach die positiven Aspekte. Dabei sind
insbesondere der Erwerb fachspezifischer Arbeitsweisen, die Verbindung von Theorie
und Praxis, die Entwicklung sozialen Verhaltens in Partner- und Gruppenarbeit und
Wertehaltungen wie zum Beispiel Freunde an der Physik zu nennen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Experiment unter den im Physikunterricht
eingesetzten Medien eine Sonderstellung einnimmt: Es ist wichtigstes Medium und
gleichzeitig Unterrichtsgegenstand. Auch die Lehrpläne für den gymnasialen Bildungsgang sehen das Experiment im Mittelpunkt des Unterrichts und betonen, dass vor allem
durch Schülerexperimente der Wissensdurst der Schüler gefördert und Anregungen zu
forschendem Lernen gegeben werden sollen. [Lehrplan Hessen]
6.2. Das Projekt als Unterrichtsmethode
Was den Ursprung des Begriffs und der Praxis des Projektunterrichtes angeht, so ist
der amerikanische Philosoph und Sozialpädagoge John Dewey eine Schlüsselfigur hierfür. Er entwickelte am Anfang des 20. Jahrhundert in den USA den amerikanischen
Pragmatismus, dessen philosphischer Grundgedanke der Vorrang der Praxis gegenüber
der Theorie ist. Praxis ist also die Voraussetzung jeder theoretischen Erkenntnis. Für
114
Erziehung und Bildung ergibt sich daraus die Forderung, die Lernprozesse an praktischen Aufgaben und selbst zu machenden Praxiserfahrungen auszurichten. William
Heard Kilpatrick, ein Schüler Deweys, verwendete 1918 erstmals den Begriff Projekt in
Bezug auf schulisches Lernen und umschrieb die Grundzüge des Projektunterrichtes:
»Projektunterricht ist ein planvolles Handeln von ganzem Herzen, das in einer sozialen
Umgebung stattfindet.« [Bastian, 1993] Das von Dewey und Kilpatrick zugrunde gelegte
Lernkonzept entspricht kurz und prägnant dem Motto learning by doing, demzufolge
der Lehrer bei Projekten in den Hintergrund tritt und vor allem organisierend und
beratend wirkt.
Ähnliche pädagogische Ideen wurden im Zuge der Reformpädagogik der 1920 er-Jahre
auch in Deutschland durch Georg Kerchensteiner und andere realisiert. Als in den
Reformdiskussionen der 1960 er und 1970 er-Jahre traditionelle Unterrichtsmethoden
erneut in die Kritik gerieten wegen der zu geringen Schülerorientiertheit, schien die
wiederentdeckte Projektmethode eine Lösung. Die Lehrpläne verschiedenster Schularten belegen, dass heutzutage Projekte in allen Schulstufen vorgesehen sind und sich
die Projektidee im deutschen Bildungssystem fest etabliert hat.
Was Projektunterricht ist und wie er ausgestaltet werden kann, entzieht sich einer
einfachen und eindeutigen Definition. Herbert Gudjons nähert sich dem Begriff mithilfe
eines Merkmalskataloges aus den folgenden Punkten [Gudjons, 1986]:
• Situationsbezug und Lebensweltorientierung
Die gewählte Thematik soll eine Brücke schlagen zwischen Schule und Alltagswelt
und dazubeitragen, Lebenssituationen außerhalb der Schule zu bewältigen.
• Orientierung an den Interessen der Beteiligten
Das Thema soll auf die Bedürfnisse der Lernenden zugeschnitten, diese folglich
intrinsisch motiviert sein. Die Lösung der Projektaufgabe muss ihnen wichtig sein.
• Selbstorganisation und Selbstverantwortung
Es handelt sich hierbei um ein wichtiges Merkmal des Projektunterrichtes, weil
es mit der in der traditionellen Schulpädagogik üblichen Geringschätzung der
Schülerkompetenz in puncto Projektplanung bricht. Zielsetzung, Planung und
Durchführung des Projektes werden von den Lernenden mitbestimmt bzw. selbst
übernommen und so Organisationsfähigkeit und Verantwortungsbewusstsein
gestärkt.
115
• Gesellschaftliche Praxisrelevanz
Die Thematik sollte eine gewisse gesellschaftliche Relevanz aufweisen, um den
Bezug zwischen Schule und gesellschaftlicher Realität herzustellen.
• Zielgerichtete Projektplanung
Auch bei Projektunterricht handelt es sich um zielgerichtetes Tun, allerdings nicht
der üblichen Weise durch Festlegung von Lernzielen durch die Lehrkraft. Vielmehr
soll die Projektgruppe selbst Entscheidungen über Ziele und dazu zu erwerbende
Qualifikationen treffen.
• Produktorientierung
Projektarbeit als handlungsorientierte Unterrichtsform mit einem mehr oder weniger greifbaren Ergebnis stellt für die Schülerinnen und Schüler eine zusätzliche
Motivation dar, weil sie auf ein konkretes, vorzeigbares Ziel hinarbeiten.
• Einbeziehung vieler Sinne
Im Projektunterricht versuchen Schülerinnen und Schüler und Lehrkraft gemeinsam etwas zu tun, am besten unter Einbeziehung möglichst vieler Sinne. Vor allem
die künstliche Trennung von geistiger und körperlicher Arbeit soll aufgehoben
werden. Lernen und Arbeiten, Denken und Handeln, Schule und Leben rücken
zusammen und werden im Idealfall ganzheitlich.
• Soziales Lernen
Beim Projektunterricht wird von- und miteinander gelernt. Man ist auf gegenseitige Rücksichtnahme und Kommunikation angewiesen.
• Interdisziplinarität
Charakteristisch für projektorientierten Unterricht ist die Sach- statt der Fachgebundenheit. Schülerinnen und Schüler erkennen so die Notwendigkeit zur
fachübergreifenden Zusammenarbeit und erhalten Einblicke in interdisziplinäre
Arbeitsweisen als Voraussetzung zum Lösen von komplexen Problemsituationen.
• Grenzen
Selbstverständlich muss Projektarbeit durch Inhalte des Fachunterrichtes ergänzt
und in diesen integriert werden.
In Abschnitt 6.3 wird anhand dieses Merkmalskataloges begründet werden, inwiefern es
es sich bei der konzipierten Unterrichtseinheit um projektorientiertes Lernen handelt.
116
In der Diskussion um Projektarbeit ergibt sich die Schwierigkeit, dass eine klare Trennung der Begrifflichkeiten nicht möglich ist. Wolfgang Klafki unterscheidet vier grundlegende Unterrichtsformen, nämlich Projektunterricht, Lehrgänge, Unterricht in Gestalt
relativ eigenständiger, fachlicher oder fachübergreifender Themen sowie Trainingsunterricht. Demnach ist Projektunterricht eine Grundform von Unterricht, die sich
von den andern drei genannten Unterrichtsformen prinzipiell abhebt. Ein Versuch
der Klärung muss aber noch die Unterscheidung zwischen Projekt, Projektunterricht
und projektorientiertem Unterricht beinhalten. Projekt im engeren Sinn meint Selbstbestimmung bezüglich Themenwahl, Art und Weise der Behandlung und Ergebnis.
Dies ist unter den Bedingungen des normalen Schulalltags nur schwer durchzuführen
und beschränkt sich vor allem auf Projektwochen oder Projekttage. Projektunterricht
versteht sich als eine »Unterrichtsform, in der Schüler und Lehrer gemeinsam ihre
Aufgaben auswählen, planen und ausführen« [Mie, 1994]. Unterricht bedeutet planmäßig initiierte und gelenkte Lernprozesse, hat also nichts Zufälliges. Wenn Projekt
dagegen die Selbstbestimmung der Lernenden in den Vordergrund stellt, dann kann
Projektunterricht als Kompromiss, als Ergebnis eines Aushandlungsprozesses zwischen
Lehrenden und Lernenden im schulischen Rahmen, verstanden werden. Treffen nur
einige der genannten Merkmale zu, so spricht man von projektorientiertem Unterricht.
Es handelt sich also um eine Unterrichtsform, die den normalen Fachunterricht nicht
transzendiert und als weitergefasster Begriff die Spezialform des Projektunterrichtes
mit einschließt. [Hänsel, 1988]
Für die Praxis kritisiert Dagmar Hänsel das Vorherrschen von Merkmalkatalogen zur
Bestimmung von Projektunterricht als unzureichend; sie erlaubten zwar eine erste
Orientierung, erwiesen sich aber für die Beantwortung der Frage, ob ein Unterricht
als Projektunterricht gelten kann bzw. wie ein solcher Unterricht aussehen muss, als
wenig hilfreich. Aus der Auseinandersetzung mit Dewey ergibt sich für Hänsel eine
doppelte Begriffsbestimmung von Projektunterricht, einerseits inhaltlich, andererseits
methodisch, jeweils im Hinblick auf Gegenstand, Ziel und Methode des Unterrichts.
Sie resümiert nach sehr differenzierten Ausführungen hierzu: »Zusammenfassend
lässt sich Projektunterricht damit inhaltlich bestimmen als Unterricht, in dem Lehrer
und Schüler ein echtes Problem in gemeinsamer Anstrengung und in handelnder
Auseinandersetzung mit der Wirklichkeit zu lösen suchen, und zwar besser, als dies
in Schule und Gesellschaft üblicherweise geschieht.« [Hänsel, 1988] Das heißt, ein
echtes Problem wird in handelnder Auseinandersetzung mit der Wirklichkeit von
Schülern und Lehrern zu lösen versucht. Für die methodische Seite kommt sie zu dem
117
Schluss: »Zusammenfassend lässt sich Projektunterricht damit methodisch bestimmen
als geplanter Versuch, als pädagogisches Experiment, das von Lehrern und Schülern in
Form von Unterricht unternommen wird und das zugleich die Grenzen von Unterricht
überschreitet, indem es Schule und Gesellschaft durch praktisches Handeln erziehlich zu
gestalten sucht.« [Hänsel, 1988] Danach ist Projektunterricht also eine Unterrichtsform,
die als überfachliches, praktisches, pädagogisches, handlungsorientiertes Experiment
die Form des normalen Schulunterrichts transzendiert.
6.3. Die Projektidee - ein Fazit
Das Experiment als dominierende Methode zur Behandlung der Flugphysik zu wählen,
stand von Beginn der inhaltlichen Konzeption an außer Frage. Von den oben bereits
dargelegten zahlreichen Vorteilen des Experimentierens im Unterricht waren hier vor
allem ausschlaggebend Neugier und Fragehaltung zu wecken, Einblicke in physikalische
Forschungmethoden zu geben und den komplexen Sachverhalt anschaulich begreifbar
zu machen. Der experimentelle Charakter macht das Angebot für die Schülerinnen
und Schüler deutlich attraktiver, keine unwichtige Voraussetzung für ein Projekt auf
freiwilliger Basis. Sie haben mehr Spaß beim experimentellen Arbeiten, und ihre
natürliche Experimentierlust kann zum Lernen ausgenutzt werden.
Projektorientierter Unterricht- warum? In einem Vortrag zum Thema Interesse und Motivation im Physikunterricht begründet Leisen (2003) die Bedeutung von Methodik und
Unterrichtsformen für erfolgreiches Unterrichten: »Schüleraktive Unterrichtsformen
drängen verstärkt in den Physikunterricht und wirken sich positiv auf Interesse und
Motivation aus.« [Leisen, 2003b] Das hohe Maß an Schüleraktivität sei der Motivator
schlechthin und treffe genau die Schülermotive »selbst etwas tun wollen«, »sich erproben und bewähren«, »sich einbringen und ausklinken«.[Leisen, 2003b] Vor diesem
Hintergrund lag die Entscheidung für Projektarbeit nahe: sie bietet für Schülerinnen
und Schüler ein hohes Maß an Handlungsorientierung und Eigenständigkeit beim
Experimentieren, der Lehrer tritt in den Hintergrund, die Begeisterung für Thema und
Arbeit ist eine gemeinsame. Ein weiteres Argument ist auch die Tatsache, dass die
Alltagswelt der Lernenden immer stärker dominiert wird von Aktivitäten, die wenig
Raum lassen für eigene Erfahrungen.
Ein Projekt im engeren Sinne war durch die Themenvorgabe aufgrund der Rahmenbedingungen nicht möglich, das heißt die Eigeninitiative der Schülerinnen und Schüler
118
in diesem Punkt beschränkt. Auch andere der skizzierten Merkmale konnten nicht
berücksichtigt werden. Insofern handelt es sich bei dem vorliegenden Konzept um
projektorientierten Unterricht im oben definierten Sinne.
Die Projektorientiertheit wird nach dem in 6.2. vorgestellten Merkmalskatalog von
Gudjons durch folgende Aspekte belegt:
• Das Thema ist, wie oben dargelegt, an der Lebenswelt und dem Alltag der Schülerinnen und Schüler ausgerichtet.
• Ihre Interessen sind, obwohl sie das Thema Flugphysik nicht selbst ausgesucht
haben, berücksichtigt: zum einen haben sie sich freiwillig angemeldet, bringen
also eine eigene Motivation für das Thema mit, zum andern konnten sie bei
der Ausgestaltung der inhaltlichen Teilbereiche ihre Fragen und Neigungen mit
einbringen und so die Gewichtung im Projekt beeinflussen.
• Die Schülerinnen und Schüler werden zu Selbstorganisation und Selbstverantwortung angeregt durch eigenständige Durchführung und Auswertung der Versuche
an den Projekttagen, für die der Lehrer nur das Grobkonzept festgelegt und das
Experimentiermaterial bereitstellt.
• Von Produktorientierung kann man insofern sprechen, als es sich im Gudjonsschen
Sinne um persönlich tiefgreifende Erfahrungen und Veränderungen von Haltungen, hier z. B die Freude an der Physik, handelt sowie um vertiefte intellektuelle
Einsichten in naturwissenschaftliche Zusammenhänge.
• Auch soziales Lernen findet statt, weil die anfallenden Aufgaben wie die Durchführung von Experimenten, die Bewertung von Messungen etc. nur in Partner- bzw.
Gruppenarbeit gelöst werden können; die Lernprozesse müssen so phasenweise
eigenständig organisiert und Absprachen getroffen werden. Die Kommunikationsstruktur im Projekt ist nicht hierarchisch, sondern demokratisch: sie ist nicht
lehrerorientiert, es gibt keine Meldungen, Gespräche finden zwischen Schülern
wie auch zwischen Schülern und Lehrer auf Augenhöhe statt.
• Es wird im Projekt an verschiedenen Stellen interdisziplinär gearbeitet. So kommen beim Vergleich Hubschrauber und Drehflüglersamen oder Flugzeug und
Vogelflug Aspekte aus der Biologie zum Einsatz. Die Mathematik spielt im Hintergrund durchgehend eine Rolle, wird aber in einzelnen Phasen explizit, zum
Beispiel wenn Fehlerrechnungen thematisiert werden. Die Gruppe hat so die
119
Gelegenheit, einen Problemzusammenhang aus der Perspektive verschiedener
Fächer zu beleuchten und zu erkennen, dass die zentrale Frage »Wie fliegt ein
Flugzeug?« nur im Zusammenspiel verschiedener wissenschaftlichen Disziplinen
lösbar ist.
Nicht zuletzt hat zu der Entscheidung für projektorientierten Unterricht beigetragen,
dass diese Unterrichtsform einen notenfreien Raum ermöglicht, der die Schülerinnen und Schüler vom Leistungsdruck entlastet und so unbeschwertes Ausprobieren
und Agieren zulässt. Es widerspräche der Projektidee auch grundlegend, Einzel- oder
Gruppenleistungen zu benoten.
6.4. Äußere Rahmenbedingungen
Nach der ausführlichen Reflexion der Entstehung der Projektidee, geht es nun um
deren konkrete Umsetzung im schulischen Kontext. Vor der Darstellung des Ablaufs
der Projekttage, sollen in einem ersten Schritt der ausgewählte Lernort sowie die
Projektgruppe beschrieben werden.
6.4.1. Die Martin-Niemöller-Schule Wiesbaden als Lernort
Die Martin-Niemöller-Schule Wiesbaden ist eines der größten Oberstufengymnasien
Hessens. Hier besuchen derzeit circa 650 Schülerinnen und Schüler die Jahrgangsstufen
11, 12 und 13. Die Schule nimmt Absolventen von mehr als 30 Zubringerschulen aus
Wiesbaden und dem Umland auf, die Schülerschaft ist entsprechend heterogen.
Gegenwärtig ist die Martin-Niemöller-Schule in einem Provisorium untergebracht, einem leer stehenden Firmengebäude in der Homburger Straße, da das ursprüngliche
Schulgebäude durch einen Brand im Jahr 2007 teilweise zerstört wurde und nicht mehr
nutzbar ist. Für die derzeitige Unterrichtspraxis bedeutet dies eine starke Beeinträchtigung, vor allem wegen der Enge und des Fehlens von Fachräumen. Der bisherige
Standort an der Bierstädter Straße wird allerdings gerade saniert bzw. neu aufgebaut.
Zu Beginn des Schuljahres 2011/2012 soll der Schulbetrieb dort wieder aufgenommen
werden.
Schülerinnen und Schüler, Lehrerinnen und Lehrer und Gäste erfahren die MartinNiemöller-Schule als eine offene, lebendige, tolerante Schulgemeinschaft mit einem
120
ausgesprochen attraktiven Angebot an schulischen und außerunterrichtlichen Aktivitäten wie z.B. Theater- AG, Dritte Welt-AG, Chemie-AG, Reflexionstage, Kulturnacht
etc., in denen die Jugendlichen entsprechend ihrer persönlichen Interessen und Neigungen gefördert werden. Es existieren auch zwei Schulpartnerschaften, und zwar seit
über 20 Jahren mit dem Lycée René Cassin in Montfort/Bretagne sowie seit einiger
Zeit auch mit einem Gymnasium in Tschechien, die in jährlichem Austausch gepflegt
werden. Hauptmotiv für die Entscheidung vieler Schülerinnen und Schüler für die
Martin-Niemöller-Schule ist das überaus breite Spektrum an Grund- und Leistungskursen, das ihnen hier, ermöglicht durch die große Jahrgangsbreite, geboten wird: So
stehen neben Leistungsfächern in Sprachen, sämtlichen Fächern des mathematischnaturwissenschaftlichen Aufgabenfeldes, Deutsch, Kunst und Musik auch Erdkunde und
Informatik zur Wahl. Sport ist als 5. Prüfungsfach wählbar. Auch in der Jahrgangsstufe
11 gibt es ein erweitertes Wahlpflichtangebot, das neben der dritten Fremdsprache
auch eins der Fächer Erdkunde, Philosophie und Informatik sein kann, seit neuestem
auch das MINT-Fach, in dem trimesterweise Fragestellungen aus den Fächern Chemie,
Physik und Biologie nachgegangen wird.
Einen besonderen Schwerpunkt hat die Martin-Niemöller-Schule im mathematischnaturwissenschaftlichen-informationstechnischen Bereich. So wurde sie wegen des
außergewöhnlichen Angebots in diesem Zweig aufgrund des hohen Engagements vieler
Lehrkräfte und der Begeisterung der Schüler für naturwissenschaftliche Inhalte über
den Fachunterricht hinaus bereits in den Jahren 2003-2006 schon MINT-Schule in
Anwartschaft und konnte 2006 als MINT-Schule zertifiziert werden. Sie gehört damit
dem MINT-Exellence Center an, zu dem nur rund 100 Gymnasien in Deutschland
zählen.
Im Kursangebot stehen neben Leistungskursen in allen Fächern des naturwissenschaftlichmathematischen Unterrichts auch besondere Grundkurse zur Wahl. So kann z.B. in
Biologie ein Biotechnologie-Kurs gewählt werden. In Physik wird ein Grundkurs mit
dem Schwerpunkt Astronomie angeboten. In den Grundkursen Mathematik kann im
Kurshalbjahr 13/2 das Thema Komplexe Zahlen behandelt werden.
Außerhalb vom Unterricht haben die Lernenden z.B. im Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Club (MNC) die Möglichkeit, sich über naturwissenschaftliche Themen aller Art
auszutauschen, die sie selbst wählen, vorbereiten und der Schulgemeinde regelmäßig präsentieren. Dabei entwickeln sie ein hohes Maß an Eigenständigkeit, werden
aber auf Wunsch bei der Vorbereitung auch von Fachlehrerinnen und Fachlehrern
121
unterstützt. Im MNC werden u.a. Themen wie Urknall, Klonen, Entstehung von Sternen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Halbleiter oder Erdbeben diskutiert. Das Angebot
an Arbeitsgemeinschaften im Bereich der MINT-Fächer ist groß und erlaubt, Fragestellungen nachzugehen, die deutlich über den schulischen Horizont hinaus gehen.
Derzeit umfasst es die Mathematik-Spitzenförderung, die Biologieolympiade-AG, die
Chemie-Experimental-AG, die Informatik-AG und die Robotik-AG.
Außerdem gefördert wird die Teilnahme von Schülergruppen an bundesweiten Wettbewerben wie Olympiaden in den naturwissenschaftlichen Fächern und Mathematik,
am Bundeswettbewerb Informatik und an Jugend Forscht. 2008 fand das erste Wiesbadener MINT-Camp statt, organisiert von der Martin-Niemöller-Schule in Kooperation
mit der Gutenbergschule Wiesbaden mit mehrtägigen Veranstaltungen und Kursen, die
von Praxisbezug der MINT-Fächer Biologie, Chemie, Physik und Mathematik bestimmt
waren. Ein weiteres ist für 2011 in Planung.
Auch außerhalb der Schule bietet die Martin-Niemöller-Schule interessierten Lernenden
MINT-Aktivitäten an, bei denen sie Einblick nehmen in aktuelle Forschungsgebiete
von Universitäten oder neue Experimentier- und Analysetechniken praktisch erfahren.
Beispielhaft seien hier das X-Lab in Göttingen, das NAT-Lab an der Johannes-GutenbergUniversität, die Veranstaltung »Saturday- Morning- Physics« an der TU Dramstadt
bzw. »Physik am Samstag Morgen« der Mainzer Universität genannt. Es finden auch
regelmäßig Exkursionen und Betriebserkundigungen statt.
Diese Offenheit für naturwissenschaftliche Fragestellungen waren für die Autorin dieser
Arbeit der Grund, die Martin-Niemöller-Schule als Lernort für die Durchführung ihres
Projektes auszuwählen, das im Rahmen der außerunterrichtlichen MINT-Aktivitäten
anzusiedeln ist.
6.4.2. Die Projektgruppe
Der projektorientierte Unterricht mit Experimenten zur Flugphysik ist konzipiert für
Schülerinnen und Schüler der Oberstufe, und zwar nach Abschluss der Jahrgangsstufe
11, da auf die Grundlagen der Mechanik aus dem Physikunterricht von Klasse 11
aufgebaut wird.
Die Lerngruppe setzt sich daher zusammen aus zwölf Schülerinnen und Schülern der
Jahrgangsstufe 12, zehn Jungen und zwei Mädchen, die das Projekt freiwillig angewählt
122
Abbildung 6.3: Teilnehmende des Projektes
und allesamt noch Physik als Unterrichtsfach haben, die Hälfte als Leistungsfach, die
andere Hälfte als Grundkurs. Ein Großteil hat zudem das Leistungsfach Mathematik
belegt.
Befragt nach ihren Motiven für die Teilnahme am Projekt, äußerten sich die Schülerinnen und Schüler unterschiedlich: bei dreien war der Berufswunsch Pilot der
ausschlaggebende Faktor, einer ist in seiner Freizeit Segelflieger, weitere fanden einfach
die Möglichkeit zum Experimentieren gut. Allen gemeinsam war eine große Neugier
und Begeisterung für das Thema anzuspüren.
123
6.5. Ablauf der Projekttage
6.5.1. Erster Projekttag
Einstiegsphase
Nach einer Begrüßung und Vorstellungsrunde wurden in einem ersten Gespräch Vorerfahrungen erfragt und Schülermotive und -interessen sowie Erwartungshaltungen
geklärt. Es zeigte sich, wie oben dargelegt, dass persönliche Neigungen der Schülerinnen und Schüler sowie die Freude am Experimentieren Hauptgründe waren, das
Projekt anzuwählen.
Zum Einstieg ins Thema und zur Motivierung wurden anschließend mittels einer
Powerpoint-Präsentation Bildimpulse gegeben, aus denen sich ein Schülergespräch
entwickelte zu den Aspekten Fliegen als Menschheitstraum, historische Entwicklung
und Einteilung von Flugobjekten. Dieses mündete in die zentrale Frage: Warum fliegen
Heißluftballone und Flugzeuge?
Projekteinheit 1: Heißluftballone und Zeppeline – Der statische Auftrieb
Aus der Betrachtung von drei Versuchsaufbauten, einem Miniaturheißluftballon, einem
cartesianischen Taucher und einem Eisbrocken im Wasserbad wurde nach dem alle drei
Versuche verbindenden Element gesucht und das Prinzip des Auftriebs als grundlegende
Erklärung erkannt.
Zur Klärung der sich anschließenden Frage »Was ist Auftrieb?« wurde zunächst ein Versuch gemacht, um zu demonstrieren, dass durch die Auftriebskraft in einer Flüssigkeit
das Gewicht eines Körpers scheinbar geringer wird. Versuchsaufbau und -erklärung
finden sich im Anhang A.1..
Mittels einer Overhead-Folie stellte, nachdem klar war, dass keine Mittelstufenkenntnisse hierüber vorlagen, die Projektleiterin das Archimedische Prinzip in den Raum, das
dann durch einen quantitativen Versuch verifiziert wurde. Im Anschluss wurde dann
das Archimedische Prinzip für den Spezialfall eines quaderförmigen Körpers theoretisch
hergeleitet, und zwar eigenständig in der Gesamtgruppe, nachdem der Begriff des
Schweredrucks eingeführt war.
124
Abbildung 6.4: Entzünden des Brennstoffes, Teil 1
Danach wurden in zwei Gruppen die beiden Anfangsexperimente mit Eisblock bzw. cartesianischem Taucher diskutiert und die Erklärung schriftlich festgehalten. Gemeinsam
wurde dann die Theorie des Heißluftballons erarbeitet, in Gruppen mehrere Modelle
gebaut und im Freien steigen gelassen. Die Bauanleitung findet sich im Anhang B.3..
Eine gute Alternative bei Zeitmangel stellen chinesische Himmelslaternen dar, weil
die Bauphase entfällt und der Schwerpunkt dennoch auf dem Ausprobieren liegen kann.
Überleitungsphase zwischen Projekteinheit 1 und 2
Die logisch sich anschließende Frage »Wie funktioniert aber das Ganze am Flugzeug?«
wurde eingeleitet mit einer Zeichnung von einem Flugzeug auf Overhead-Folie. In einer
gemeinsamen Diskussion wurden die Kräfte, die an einem Flugzeug wirken, erörtert.
Dabei zeichneten die Schüler Auftriebs-, Gewichts-, Schub- und Widerstandskraft auf
der Folie ein. Im Raum stand nun die zentrale Frage, wie sich das Auftreten einer
Auftriebskraft bei einem Flugzeug erklären lässt bzw. allgemein bei Flugobjekten, die
schwerer als Luft sind. An dieser Stelle ging es nicht um die Beantwortung der Frage,
sondern um die Erkenntnis, dass es sich hier um eine andere Form des Auftriebs handeln
muss, nämlich den dynamischen Auftrieb.
125
Abbildung 6.5: Aufheizen des Ballons
Abbildung 6.6: Entzünden des Brennstoffes, Teil 2
126
Abbildung 6.7: Der erste Flug
Projekteinheit 2: Die Druckerklärung
Zunächst wurde die Theorie der Bernoullischen Gleichung hergeleitet und am Versuch
verdeutlicht. Dabei wurde der Druck mithilfe von U-Rohr-Manometern an verschiedenen aussagekräftigen Stellen des Venturi-Rohrs gemessen und dabei noch einmal
die Kontinuitätsgleichung thematisiert, um Aussagen über die Strömungsgeschwindigkeiten zu erhalten. Dieser Themenblock wurde der eigentlichen Behandlung der
Druckerklärung des Fliegens voran gestellt, weil unklar war, ob und inwieweit die
Bernoullische Gleichung auf Schülerseite präsent und verstanden ist.
Die Projektleiterin gab dann den Hinweis, dass das Geheimnis des Auftriebes in der
Flügelform liegt, der Flügel also das für den Auftrieb wichtigste Bauteil ist. Sie zeigte
verschiedene Flügelformen, anhand derer Hypothesen aufgestellt wurden, wie sich bei
diesen Auftrieb und Widerstand verhalten (Vgl. Abschnitt 3.2).
Der Arbeitsanweisung folgend, ein Stromlinienbild für die Umströmung einer Tragfläche
zu zeichnen, zeichneten die Schülerinnen und Schüler intuitiv das Wichtigste richtig,
nämlich die Verengung der Stromlinien an der Oberseite bzw. deren Erweiterung an
127
der Unterseite und auch das glatte Abströmen an der Hinterkante. Das betrachtete
Stromlinienbild wird mithilfe der zuvor qualitativ diskutierten Bernoulli-Gleichung
interpretiert und ihm so die Information entnommen, dass an der Unterseite der Tragfläche Überdruck, an der Oberseite Unterdruck herrscht. Daraus lässt sich schlussfolgern,
dass sich aus der Druckdifferenz der Auftrieb ergibt.
Mit einem Schrägrohrmanometer wurde im Anschluss die Druckverteilung am Flügelprofil gemessen. Steht dieses spezielle Versuchsinstrument nicht zur Verfügung, kann
man mit einfachen Experimentiermaterialien ein Schrägrohrmanometer nachbauen.
Beide Varianten sind im Anhang A.4. erläutert.
Es folgte nun eine Experimentierphase zu den zwei Themen Stromlinienerzeugung und
Bernoullisches Gesetz, in der die Schülerinnen und Schüler einzeln oder in kleinen
Gruppen frei an Experimenten arbeiten konnten. Es waren sowohl Freihandversuche als
auch komplexere Aufbauten darunter, die entsprechenden Anleitungen lagen aus. An
dieser Stelle wurde auch der in Kapitel 4.1 beschriebene Prandtlsche Strömungskanal
erstmalig eingesetzt. Versuchsbeschreibungen und -erklärungen finden sich im Anhang
A. Die Experimentierphase verfolgte also zwei Anliegen: zum einen Stromlinienbilder,
die vorher als selbstverständlich vorausgesetzt wurden, eigenhändig zu erzeugen, zum
anderen die Kenntnisse des Bernoullischen Gesetzes zu festigen, insbesondere in der
Anwendung beim Fliegen.
Von diesem ersten Projekttag, der nach der Experimentierphase abgeschlossen war,
nahmen die Schülerinnen und Schüler die Druckerklärung als eine erste Erklärung für
das Fliegen mit.
6.5.2. Zweiter Projekttag
Der Einstieg in den zweiten Projekttag erfolgte über gemeinsames Experimentieren
am Seifenfilmkanal (Vgl. Kapitel 4.2). Die zum Verständnis der entstehenden Bilder
nötige Theorie wurde gemeinsam erarbeitet. Anhand der Stromlinienbilder wurde die
Druckerklärung des Vortages noch mal wiederholt. Im Gespräch wurde deutlich, dass
es für die Frage, warum die Luft an der Oberseite schneller strömt als an der Unterseite, noch keine Erklärung gab. Die Schülerinnen und Schüler formulierten nun Ideen
und überprüften diese kritisch. Das Weglängen-Argument wurde explizit thematisiert,
erläutert und seine Gültigkeit widerlegt.
128
Abbildung 6.8: Start des Luftballonrennwagens
Projekteinheit 3: Die Rückstoßerklärung
Eingestiegen wurde über eine Experimentierphase zum Prinzip von actio gleich reactio
bzw. zum Rückstoßprinzip. Auch in dieser Phase experimentierten die Schülerinnen
und Schüler frei mit verschiedenen Versuchen, darunter Raketenmodelle, Luftballonrennwagen und –hubschrauben. Anschließend besprachen sie die Versuche noch
einmal in der Gesamtgruppe und erarbeiteten dabei die zugehörige Theorie. Es folgte
die Übertragung des Rückstoßprinzips auf das Flugzeug, indem durch einen Versuch
mit Flügelprofil und Schiene die Rückstoßerklärung beschreibend erörtert wurde.
Schließlich wurde die Rückstoßerklärung noch, wie in Abschnitt 5.3.2.1 dargestellt,
mathematisch-physikalisch begründet.
Projekteinheit 4: Die Zirkulationserklärung
Nach einem Theorieblock, innerhalb dessen mit der gesamten Lerngruppe der Auftrieb
erklärt wurde mithilfe der Zirkulation, wie in Kapitel 5.3.3.1 dargelegt, wurde die
Entstehung des Anfahrwirbels im Prandtlschen Strömungskanal beobachtet und unter-
129
Abbildung 6.9: Luftballonrennwagen in Fahrt
Abbildung 6.10: Start der Luftballon-Hubschraube
130
Abbildung 6.11: Flug der Luftballonhubschraube
Abbildung 6.12: Raketenstart
131
sucht und mit einem weiteren Experiment die Zirkulationsströmung um ein Flügelprofil
demonstriert.
6.5.3. Dritter Projekttag
Projekteinheit 5: Quantitative Messungen zu Auftrieb und Widerstand
Nachdem an den ersten beiden Projekttagen die physikalische Begründung der Kräfte
im Mittelpunkt stand, ging es nun um die Quantifizierung der Kräfte. Der Einstieg
dazu erfolgte über die Frage, welches die optimalen Eigenschaften eines Profils für
den Flugzeugbau seien. Dazu wurden verschiedene Flügelprofile und Segelflugmodelle
analysiert und Hypothesen formuliert über das Verhältnis von Auftrieb und Widerstand, bis sich schließlich das Ideal »Maximaler Auftrieb bei minimalem Widerstand«
herauskristallisierte. Im Rahmen dieser Diskussion wurden auch noch die Geometrie
des Tragflügels und insbesondere die Unterscheidung von Einstell- und Anstellwinkel
thematisiert.
Für die folgende Phase wurde die Gruppe in zwei Kleingruppen aufgeteilt. Die erste hatte den Auftrag, ein Messverfahren für die Messung von Auftrieb und Widerstand eines
Flügelprofils in Abhängigkeit des Anstellwinkels zu überlegen, dieses durchzuführen,
zu protokollieren und auszuwerten. Die Auswertung war geplant mithilfe eines excelArbeitsblattes, in dem die Messwerte mit Fehler einzutragen waren und aus denen sich
ein Lilienthalsches Polardiagramm ergeben sollte. Die zweite Gruppe sollte zunächst
Hypothesen formulieren, welche der vorliegenden Profilkörper hohen bzw. geringen
Luftwiderstand hätten, anschließend Überlegungen zu möglichen Messmethoden anstellen und diese durchführen. Nach Beendigung des Experimentierens erhielten die
beiden Kleingruppen den jeweils anderen Arbeitsauftrag. In diesem Zusammenhang
wurde im Gespräch mit der Projektleiterin, die für Rückfragen zur Verfügung stand,
immer wieder auf Messfehler und Fehlerfortpflanzung eingegangen.
Projekteinheit 6: Flugmodellbau
In dieser Phase stand das Sammeln von praktischen Erfahrungen im Vordergrund. Es
lagen verschiedene Bauanleitungen für das Falten von Papierfliegern vor, es konnte aber
132
Abbildung 6.13: Zu Beginn der Bauphase
auch nach eigenen Vorstellungen gebaut und ausgetestet werden. Die Funktion der unterschiedlichen Bauteile eines Flugzeugs wurde überprüft, indem Papierflieger mit und
ohne Leitwerk verglichen wurden. In Abwandlung des eigentlich für Balsalholzflieger
konzipierten Bauplans »5 aus einem Brett« wurde aus Gründen der einfacheren Handhabung mit Styroporfliegern experimentiert. Das verwendete Material Depron in den
Dicken 3 mm und 6 mm lässt sich nämlich mit einer Niedertemperatur-Heißklebepistole
unkompliziert verarbeiten. Anschließend wurden verschiedene mitgebrachte Segelflugmodelle draußen getestet, wobei die Frage der Steuerung von Modellfliegern bzw.
Flugzeugen im Mittelpunkt stand.
Projekteinheit 7: Hubschrauberphysik
Nachdem die Bewegung verschiedener Drehflüglersamen im Versuch getestet wurde,
bauten die Schülerinnen und Schüler ein Samenmodell aus Papier nach. Daraus entwickelte sich eine Diskussion über den Zusammenhang zwischen den in der Natur
vorkommenden Drehflüglersamen und dem Prinzip des Hubschraubers. Schließlich
wurde ein Versuch durchgeführt, der die Funktionsweise der Tragschraube erklärte.
133
Abbildung 6.14: Papierflieger falten
Abbildung 6.15: Der Start eines Balsal-Gleitmodells
134
Projektabschluss
In einem abschließenden Gespräch im Plenum wurden noch offen gebliebene Fragen
gesammelt und soweit wie möglich geklärt. Die Projektgruppe wurde gebeten, einen
Evaluationsbogen auszufüllen, um ein Feedback zu geben über erworbene Kenntnisse
und Fertigkeiten, Angemessenheit der Experimente und Vorgehensweise, erfüllte und
nicht erfüllte Erwartungen (Vgl. Anhang E.). Der Tag wurde beschlossen in zwangloser
Runde mit einem Kuchen in Flugzeugform, den die Projektleiterin für die Gruppe
gebacken hatte.
6.6. Reflexion der Projekttage
Schon während der Durchführung der Projekttage zeigte sich, dass die Entscheidung für
projektorientiertes, experimentelles Arbeiten an Inhalten der Flugphysik konzeptionell
richtig war. Die Physik des Fliegens konnte dadurch aus Lehrersicht anschaulich und
umfassend vermittelt werden; es war ein Vergnügen, die Lerngruppe beim Experimentieren zu beobachten, ihre Motiviertheit am Thema und ihre Experimentierfreude zu
erleben. In der abschließenden Evaluation in Form eines anonymen Feedbackbogens
bewerteten die Schülerinnen und Schüler das Projekt alle äußerst positiv. Bereits im
Laufe des ersten Tages hatten sie begeistert vom Projekt entschieden, das Ganze filmisch
zu dokumentieren. Zu den Tops in der Schülerbeurteilung gehörten die Experimente,
vor allem diejenigen, die draußen, außerhalb des Schulgebäudes durchgeführt wurden.
Erfreulicherweise schätzten die Schülerinnen und Schüler aber auch das Verhältnis von
Theorie zu Experimenten als angemessen ein und sahen es als großen Vorteil an, dass
auf die theoretische Erarbeitung von Lerninhalten immer eine Phase der praktischen
Anwendung folgte. Dadurch sei es nie langweilig geworden und man habe sich immer
gut konzentrieren können. Quantitative Messungen waren eher unbeliebt, wurden aber,
wo notwendig, dennoch durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler waren dann auch
motiviert, diese eigenständig mit dem Laptop auszuwerten, so dass das vorbereitete
excelsheet erst gar nicht mehr benötigt wurde, da sie schon dabei waren, es selbst zu
erstellen.
Nach der Erfahrung der Projektleiterin waren die eingesetzten Experimente insgesamt
beeindruckend, hilfreich und zur Vermittlung des Lernstoffs sehr gut geeignet. Bezüglich des Prandtlschen Strömungskanals ist hervorzuheben, dass er vielseitig einsetzbar
135
Abbildung 6.16: Schülerantworten auf die Frage nach dem Verhältnis von Theorie
und Praxis
ist und auch tatsächlich an den Projekttagen in unterschiedlichen Phasen zum Einsatz
kam. Die Ergebnisse, das heißt die entstehenden Strömungsbilder, ließen sich allerdings
noch - wie ursprünglich auch geplant - verbessern durch die Verwendung von Aluminiumflocken statt Maismehl; aus Sicherheitsgründen wurde jedoch darauf verzichtet,
da Aluminium in Verbindung mit Wasser explosiv wirken kann. Eine Bereicherung des
Projektes könnten Experimente in einem Windkanal sein; sie wurden an dieser Stelle
nicht gemacht, weil derzeit an der Johannes-Gutenberg-Universität in Mainz parallel
zur vorliegenden Arbeit eine Staatsexamensarbeit zu Versuchen an einem Windkanal
entwickelt wird, dieser aber zum Zeitpunkt des Projektes noch nicht einsetzbar war.
Insofern konnte die Umströmung von Körpern nur in Flüssigkeiten, nicht aber in Luft
sichtbar gemacht werden. Allerdings wurde im Verlauf des Projektes mit der Lerngruppe
ein Modell eines Windkanals gebaut, der für qualitative Betrachtungen ausreichte (Vgl.
Abschnitt 4.4 und Anhang B.2.).
Ebenfalls ausbaufähig ist die experimentelle Gestaltung der Einheit zur Zirkulationserklärung. Die Beobachtung des Anfahrwirbels am Flugzeugprofil und die Demonstration
der Zirkulationsströmung sind zwar sinnvoll, aber nicht ganz ausreichend, gerade weil
136
Abbildung 6.17: Schülerantworten auf die Frage nach Tops ud Flops
137
Abbildung 6.18: Schülerantworten auf die Frage nach Erstaunlichem und
Faszinierendem
letztere nicht immer überzeugend funktioniert. An dieser Stelle das Konzept weiter
zu entwickeln, ist eine lohnenswerte Aufgabe in Richtung Aufwertung der Projekteinheit, zumal sich in der didaktischen Literatur hierzu nichts findet. Dies war jedoch im
Rahmen der vorliegenden Staatsexamenarbeit nicht zu leisten.
Der Versuch mit dem Seifenfilmkanal war sehr eindrucksvoll. Um die entstehenden
Bilder zu interpretieren, musste man in einem theoretischen Exkurs über die Aerodynamik hinausgehen, ein bereichernder Lernzuwachs, der allerdings auch mehr Zeit
verlangte.
Das Arbeitsverhalten in den Experimentierphasen dokumentierte weniger Selbstständigkeit als erwartet: so wurde in den Phasen des freien Experimentierens deutlich weniger
effizient gearbeitet; es bedurfte längerer Anlaufphasen, sich selbst zu organisieren, vermutlich zurückzuführen auf fehlende Übung in handlungsorientiertem Arbeiten. Hier
zeigte sich auch ein geschlechtspezifischer Unterschied: wenn es klare Arbeitsaufträge
gab, übernahmen meist die Mädchen das Kommando, in freien Projektphasen eher die
Jungen. Insgesamt arbeitete die Projektgruppe eher beschreibend-phänomenologisch,
138
die Reflexion und Interpretation des Beobachteten kam oft zu kurz. Aufgefangen wurde
dies durch gezielte Impulse zur nochmaligen Erörterung des Themas in der Gesamtgruppe.
Bewährt hat sich aus Lehrersicht das Konzept, in Experimentierphasen Versuche auswählen zu lassen anstelle die Projektteilnehmer zur vollständigen Durchführung aller zu
verpflichten. Es wären derer zu viele gewesen, ihre Durchführung wäre zu zeitintensiv
und die Verpflichtung hätte vor allem der Projektidee widersprochen. So konnte jeder
Einzelne genau an den Experimenten arbeiten, die ihn interessierten, daran weiter überlegen und entwickeln, was tatsächlich auch geschah zum Beispiel durch Heranziehung
von Zusatzmaterialien aus der Physiksammlung.
Was das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler betrifft, so wurde ein Missverhältnis
deutlich zwischen zu erwartenden Vorkenntnissen und tatsächlichem Wissen, das heißt,
in den Theoriephasen konnte nur wenig vorausgesetzt werden. Überhaupt mussten im
Verlauf des Projektes immer wieder grundlegende Begriffe geklärt werden, so z.B. der
Unterschied zwischen Druck und Kraft.
Die Gruppengröße von zwölf hat sich als sehr angenehm und konstruktiv erwiesen.
Sie erlaubte das Einbringen einer Vielfalt von Ideen und eine lebendige Interaktion
unter den Schülerinnen und Schülern und war gleichzeitig klein genug, um in der
Gesamtgruppe ohne große Moderation und Lenkung von Seiten des Lehrers produktiv
zu diskutieren und zu arbeiten, eine wichtige Facette des Projektcharakters. Insgesamt
war die Arbeitsatmosphäre freundlich und sehr angenehm, auch in Phasen hoher Konzentration. Die Schülerinnen und Schüler waren integrativ, keiner wurde ausgegrenzt,
es gab ein hohes Maß an Kooperation. Gegenüber der Projektleiterin verhielten sie sich
unkompliziert und respektvoll, halfen nach Ablauf der Projekttage beim Abbau der Experimente und drückten ihren Dank ihr gegenüber aus, u.a. in einem Blumenstrauß. In
der abschließenden Feedbackrunde bewerteten sie die Projekttage als äußerst lehrreich,
unterhaltsam und gelungen.
Der beste Beweis dafür, dass die Inhalte der Flugphysik bei den Schülerinnen und Schülern angekommen sind, sind ihre Überlegungen, daraus ein Jugend Forscht- Projekt zum
Thema Hubschrauberphysik entstehen zu lassen. Die große Motivation für das Thema
kommt auch in der allgemeinen Bitte zum Ausdruck, die Powerpoint-Präsentation zum
Projekt zugeschickt zu bekommen.
139
Abbildung 6.19: Anmerkungen der Schülerinnen und Schüler zum Gesamtprojekt
140
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145
8. Eidesstattliche Erklärung
Hiermit versichere ich, Lena Michaela Altherr, dass ich die wissenschaftliche Prüfungsarbeit für die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien selbstständig ohne
fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet
habe. Diese Erklärung schließt auch die im Internet zugänglichen Daten ein. Die Stellen der Arbeit, die dem Wortlaut oder dem Sinn nach anderen Werken entnommen
wurden, sind unter Angabe der Quellen der Entlehnung kenntlich gemacht. Die Arbeit
ist noch nicht veröffentlicht oder in gleicher oder anderer Form an irgendeiner Stelle
als Prüfungsleistung vorgelegt worden.
Mainz, Juli 2010
Lena Michaela Altherr
146
Anhang
147
Abbildung A.1: Auftrieb in Flüssigkeiten - Versuch 1
A.1. Auftrieb in Flüssigkeiten
Ein beliebiger Körper wird, wie in Abbildung A.1 dargestellt, an einen Federkraftmesser
gehängt, und es wird seine Gewichtskraft gemessen. Danach wird der Körper, an
dem Federkraftmesser hängend, in Wasser getaucht und dann erneut die Anzeige der
Federwaage abgelesen. Man beobachtet, dass das Messinstrument einen geringeren
Wert anzeigt. Es scheint also so, als würde auf den untergetauchten Körper eine kleinere
Gewichtskraft wirken. In Wirklichkeit ist aber die Gewichtskraft auf einen Körper in
Wasser und in Luft gleich groß. Denn unter Wasser wird ein Körper genauso von der
Erde angezogen wie in der Luft. Grund für die niedrigere Kraftanzeige ist vielmehr, dass
das Wasser eine nach oben gerichtete Kraft auf den Körper ausübt, die Auftriebskraft.
Es wird nicht mehr die Gewichtskraft des Körpers angezeigt, sondern die Resultierende
aus der Gewichtskraft und der nach oben wirkenden Auftriebskraft.
Da dieser Versuch im Rahmen der Projekttage ein Einführungsexperiment darstellt,
148
wird die Frage nach der Erklärung für die Auftriebskraft an dieser Stelle noch nicht
thematisiert. Für den Leser dieser Arbeit: Infolge des Schweredrucks wirken auf einen
eingetauchten Körper Kräfte senkrecht zu seinen Begrenzungsflächen. Weil der Schweredruck mit steigender Tiefe zunimmt, wirkt auf die Unterseite des Körpers eine etwas
größere Kraft als auf seine Oberseite. Als Resultierende der Kräfte auf Ober- und
Unterseite ergibt sich dann die Auftriebskraft.
A.2. Verifizierung des Archimedischen Prinzips
Mit dem folgenden Experiment soll das Archimedische Prinzip quantitativ bestätigt
werden. Es handelt sich um einen ähnlichen Aufbau wie in A.1. des Anhangs; allerdings ist der Behälter, in den der Körper eingetaucht wird, diesmal ein Überlaufgefäß.
Ein zusätzliches Gefäß dient dem Auffangen der Flüssigkeit. Zunächst wird die Gewichtskraft eines Körpers über eine Federkraftwaage gemessen sowie die Leermasse
des Auffangbehälters bestimmt. Der Körper wird anschließend soweit gesenkt, bis er
vollständig im Wasser hängt. Dabei läuft das überschüssige Wasser in das Auffanggefäß.
Am Kraftmesser kann nun aus der Differenz zwischen den Kräften vor und nach dem
Eintauchen die Auftriebskraft ermittelt werden. Bestimmt man nun mithilfe des Kraftmessers die Gewichtskraft des verdrängten Wassers, so bestätigt sich das Archimedische
Prinzip, nach dem die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit betragsmäßig gleich
der Auftriebskraft auf den Körper ist.
Abbildung A.2 veranschaulicht das Experiment und gibt auch quantitativ den Sachverhalt des Archimedischen Prinzips wieder.
Alternativ kann zur experimentellen Bestätigung des Archimedischen Prinzips auch
eine Balkenwaage verwendet werden. An die eine Waagschale hängt man den zu
untersuchenden Gegenstand und stellt oben ein leeres Behältnis darauf. Anschließend
wird die Balkenwaage durch Auflegen von Gewichten in die andere Waagschale ins
Gleichgewicht gebracht. Nun senkt man den schweren Gegenstand in ein mit Wasser
gefülltes Überlaufgefäß und fängt das von ihm verdrängte Wasser auf. Die Balkenwaage
ist nun nicht mehr in Balance: Die Seite, auf der die Gewichte liegen, ist nun schwerer
als die andere, da auf den Gegenstand, der sich im Wasser befindet, eine Auftriebskraft
wirkt. Füllt man nun das verdrängte Wasser in das Behältnis auf der Waagschale, so ist
die Waage wieder ausgeglichen.
149
Abbildung A.2: Auftrieb in Flüssigkeiten - Versuch 2, nach [Leisen, 2003a]
A.3. Venturi-Rohr
Der folgende Versuch dient der Illustration des Bernoullischen Gesetzes. Mithilfe von
Stativmaterial wird ein Venturi-Rohr so ausgerichtet, dass seine Öffnung auf die Mitte
des Laminatorgitters des Lüfters zeigt. Sie sollte sich in einem Abstand von etwa 20 cm
von dem Luftstromerzeuger befinden. Drei U-Rohr-Manometer werden an die Kupplungen des Venturi-Rohres angebracht und mithilfe eines kleines Zylinder vorsichtig mit
einer farbigen Flüssigkeit, beispielsweise Traubensaft, gefüllt, bis diese in allen Schenkeln gleich hoch steht. Anschließend wird der Lufstromerzeuger eingeschaltet und so
reguliert, dass die Strömungsgeschwindigkeit maximal ist. Der Flüssigkeitsstand in den
Manometern wird beobachtet. Abbildung A.3 zeigt schematisch den Versuchsaufbau
mit den zu beobachtenden Resultaten.
Die anströmende Luft bewirkt im Innenraum des Venturi-Rohres einen Gesamtdruck,
der aus dem Druck in Strömungsrichtung, dem Bewegungsdruck, und dem Druck in
Seitenrichtung, dem statischen Druck, besteht. Der Seitendruck bewirkt am Manometer
A eine Druckerhöhung. Im verengten Teil des Venturi-Rohres nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu und der Seitendruck ab bei gleich bleibendem Gesamtdruck. Die
jeweiligen Druckzustände an den Punkten B und C werden durch die Manometer
angezeigt.
150
Abbildung A.3: Schematische Zeichnung des Venturi-Rohres
A.4. Druckverteilung am Flügelprofil
Im folgenden soll eine Möglichkeit aufgezeigt werden, die Druckverhältnisse an einer
Tragfläche zu untersuchen. Der Aufbau ist in den Abbildungen A.4 und A.5 dargestellt.
Die Tragfläche wird so justiert, dass ihre Stirnfläche exakt die Mitte der Öffnung des
Luftstromerzeugers trifft. Der Abstand der Tragfläche vom Luftstromerzeuger soll in
etwa 15 cm betragen. Der Luftstromerzeuger wird auf volle Strömungsgeschwindigkeit
eingestellt. Die Ausgangslage der Flüssigkeitssäule wird notiert. Die Messsonde wird
nacheinander bei den Anstellwinkeln −15◦ , 0◦ und +15◦ in die Bohrungen der Tragfläche gesteckt und die jeweiligen Abweichungen der Flüssigkeitssäule erfasst. Dabei muss
für die Messung an der Tragflächenoberseite die Sonde an der Unterseite eingesteckt
werden und umgekehrt.
Abbildung A.6 zeigt die Ergebnisse in graphischer Darstellung, nämlich ein Unterdruckgebiet an der Oberseite und ein Überdruckgebiet an der Unterseite des Tragflügels.
Der aerodynamische Gesamtauftrieb der Tragfläche setzt sich zusammen aus den Sogkräften an der Oberseite und den Druckkräften an der Unterseite. Die Ausprägung der
Druckgebiete ist sehr stark vom Anstellwinkel der Tragfläche abhängig: Bei steigendem positivem Anstellwinkel nimmt der Sog auf der Oberseite zu und tritt vor allem
im vorderen Bereich der Tragfläche auf. Bei negativem Anstellwinkel ändern sich die
Druckverhältnisse an der Unterseite ebenfalls zu einer Sogwirkung.
Wie bereits bei der Beschreibung der Projektidee erwähnt, kann ein Schrägrohrmanometer auch aus einfachem Versuchsmaterial zusammengestellt werden. Dabei wird
151
Abbildung A.4: Versuchsanordnung zur Messung der Druckverhältnisse an der
Tragflächenunterseite, [CorEx FlugFliegen]
Abbildung A.5: Versuchsanordnung zur Messung der Druckverhältnisse an der
Tragflächenoberseite, [CorEx FlugFliegen]
152
Abbildung A.6: Druckverhältnisse bei Anstellwinkeln von −15◦ , 0◦ und +15◦ , [CorEx FlugFliegen]
wie in Abbildung A.7 ein Glasrohr in Schräglage durch Stativmaterial gehalten. Am
unteren Ende ist es mittels eines Schlauches mit einem Flüssigkeitsreservoir verbunden,
in der Abbildung A.7 realisert durch einen weiten Trichter. Es muss darauf geachtet
werden, dass sich keinerlei Luftblasen in dem Zuleitungsschlauch befinden. Der Meniskus ist in Normalstellung auf der Höhe des Wasserspiegels im Flüssigkeitsspeicher.
Das obere Ende des Glasrohres ist durch einen Schlauch mit der Messstelle, einer
Scheibensonde, verbunden. Diese besteht aus einem Röhrchen, auf dessen Mündung
eine mittig durchbohrte, dünne, kreisrunde Scheibe geklebt ist, die bei der Messung
parallel zur Strömungsrichtung positioniert werden muss. Während des Versuches zeigt
der Meniskus die Druckdifferenz gegenüber dem Umgebungsdruck an. Durch Variation
der Schräglage kann die Empfindlichkeit des Manometers beeinflusst werden. Das
Manometer kann wie folgt kalibriert werden: 1 cm Höhendifferenz entspricht einem
Druck von 100 Pa. Es ist sinnvoll, hinter dem Glasrohr auf einem Pappstreifen eine Skala
anzubringen.
A.5. Klebeluft
Mit dem folgenden Versuch kann demonstriert werden, dass die Druckabnahme in
einem mit hoher Geschwindigkeit bewegten Luftstrom ein Stück Pappe schweben lassen
kann.
Aus einem Stück Pappe werden zunächst zwei Quadrate von etwa 10 cm Seitenlänge
ausgeschnitten. Beim ersten wird durch den Mittelpunkt ein Reißbrettstift gedrückt,
153
Abbildung A.7: Schrängrohrmanometer aus einfachem Versuchsgerät, [Weltner,
2001]
Abbildung A.8: Schematische Zeichnung zur schwebenden Pappe, [Berthold et al.,
2006]
154
in das zweite im Mittelpunkt ein Loch geschnitten, das der Größe der Öffnung einer
Garnrolle entspricht. Dieses wird dann so auf die Garnrolle geklebt, dass die beiden
Öffnungen übereinander liegen. Das erste Quadrat wird nun so unter die Garnrolle
gehalten, dass die Spitze des Reißnagels in die Öffnung der Garnrolle hineinragt, wie
in Abbildung A.8 zu erkennen. Pustet man nun kräftig von der anderen Seite her in die
Garnrolle und lässt das untere Papierquadrat los, so fällt dieses nicht herunter, sondern
schwebt in der Luft. Es fällt erst ab, wenn man aufhört zu blasen. Anstelle zu pusten
kann auch ein Fön als Lufstromerzeuger verwendet werden; dann ist es sogar möglich,
anstelle der Pappe ein dünnes Stück Holz zum Schweben zu bringen. Allerdings sollten
in diesem Fall die Abmessungen ein wenig größer gewählt werden. Der Reißbrettstift
dient lediglich dazu, ein seitliches Abtriften der unteren Platte zu verhindern.
Bläst man in die Öffnung der Garnrolle, so wird der Luftstrom beim Austreten aus
der Garnrolle um 90◦ umgelenkt und weitet sich in alle Richtungen auf. Am Rand der
Scheiben ist die Luftgeschwindigkeit wesentlich kleiner als im drekten Zwischenraum
der beiden. Nach dem Bernoullischen Gesetzt entspricht dieser größeren Strömungsgeschwindigkeit ein geringerer statischer Druck als der Umgebungsdruck am Rand der
Scheiben und unterhalb der unteren Pappe. Infolge dieses Druckunterschiedes ergibt
sich eine Kraft auf die untere Pappe, die deren Gewichtskraft kompensiert.
A.6. Schwebender Ball
Das nächste Experiment demonstriert die Wirkung des dynamischen Auftriebes mithilfe
eines in der Luft schwebenden Balles.
Dazu wird der Luftstromerzeuger senkrecht aufgestellt. Die Styroporkugel wird bei
ausgeschaltetem Gerät in die Mitte des Laminatorgittes gelegt und der Luftstrom
langsam erhöht, bis die Kugel etwa 30 cm über der Öffnung des Gerätes schwebt
und eine annähernd stabile Lage einnimmt (Vgl. Abbildung A.9). Während man den
Luftstromerzeuger langsam seitlich neigt, wird das Verhalten der Kugel beobachtet.
Spätestens ab einem Neigungswinkel von etwa 30◦ zur senkrechten Stellung bietet es
sich an, den Luftstromerzeuger durch Unterstellen eines Gegenstandes zu stabilisieren.
Im letzten Schritt wird der schwebenden Kugel von oben her die nach außen gewölbte
Seite einer Tragfläche genähert und die Auswirkung beobachtet.
155
Abbildung A.9: Versuchsanordnung, [CorEx FlugFliegen]
Abbildung A.10: Der schwebende Ball im Einsatz
156
Abbildung A.11: Stromlinienbild zur Erklärung des Versuches mit dem schwebenden Ball, [CorEx FlugFliegen]
Auch im schräg gerichteten Luftstrom schwebt die Kugel, da die über die nach innen gerichtete Kugeloberfläche strömende Luft eine Auftriebskraft erzeugt, die Gewichtskraft
und Luftwiderstand kompensiert. Durch das Annähern der Tragfläche an den Ball wird
an dieser Stelle die Strömungsgeschwindigkeit erhöht, folglich der Auftrieb verstärkt. In
der Konsequenz steigt die Kugel in den Luftstrom hinein, bis sie die Fläche berührt. Der
Luftstrom bricht ab, so dass die Kugel wieder in ihre Ausgangsstellung zurückfällt. Nun
wiederholt sich der Vorgang: die Kugel pendelt zwischen ihrer Ursprungsposition und
der Tragflächenaußenseite hin und her. Abbbildung A.11 zeigt das diesem Phänomen
zugrunde liegende Stromlinienbild.
A.7. Bernoullische Bälle
Das nun folgende Experiment stellt eine weitere Illustration des Bernoullischen Gesetzes
dar. Zwei Bälle hängen nebeneinander an Bindfäden. Der Raum dazwischen beträgt
ungefähr 2 cm. Mit einem Luftstromerzeuger wird versucht, in den Zwischenraum
zu pusten und so die Bälle auseinander zu treiben. Dies gelingt jedoch nicht, im
Gegenteil je kräftiger der Luftstrom ist, umso stärker treibt es die Bälle zusammen. Sie
bewegen sich solange aufeinander zu, bis sie sich berühren und der Lufstrom abreißt.
In diesem Moment fallen sie in ihre Ausgangslage zurück und der Vorgang beginnt
von vorne. Erklären lässt sich dieses Phänomen mithilfe des Bernoullischen Gesetzes.
Durch die Verengung des Raumes, der für die Lufströmung zur Verfügung steht, wird
die Strömungsgeschwindigkeit zwischen den beiden Bällen erhöht, was die Ausbildung
157
Abbildung A.12: Schüler beim Experimentieren mit den Bernoullischen Bällen
eines Unterdruckgebietes zur Folge hat. Die sich ergebende Sogwirkung ist ursächlich
verantwortlich dafür, dass sich die Kugeln aufeinander zu bewegen.
A.8. Bernoullisches Gesetz beim Spülen
Auch mit folgendem Freihandversuch lässt sich das Bernoullische Gesetz veranschaulichen. Hält man nämlich zwei Esslöffel am Griffende so, dass die einander zugekehrten
Wölbungen in einem Abstand von etwa 5 mm hängen und lässt zwischen den Wölbungen Wasser hindurchfließen, so kann auch hier der in A.7. beschriebene Effekt
beobachtet werden: die Löffel bewegen sich aufeinander zu, bis es zur Berührung
kommt, und sobald sich zwischen ihnen ein Zwischenraum erneut gebildet hat, beginnt
die Bewegung von vorne.
A.9. Stromlinienerzeugung mit Taschentüchern
Im vorliegenden Abschnitt soll eine Möglichkeit aufgezeigt werden, wie mit alltäglichen
Dingen Stromlinienbilder unkompliziert erzeugt werden können. Dazu schneidet man
von einem Papiertaschentuch einen etwa 8 cm breiten Streifen ab und aus dessen
Mitte eine gewölbte oder ebene, angestellte Tragfläche als Loch heraus. Weil das
158
Abbildung A.13: Versuchanordnung zur Erzeugung von Stromlinienbilder, [Heepmann, 2006]
Papier so weich ist, erweist sich dies als der schwierigste Teil. Anschließend stellt
man einen leeren Quarkbecher erhöht auf und befüllt ihn randvoll mit Wasser. An der
Schmalseite des Papiertaschentuchs werden nun 2 cm umgeknickt, die anschließend
über den Becherrand in das Wasser hineingehängt werden. Das Papier saugt jetzt das
Wasser aus dem Becher an, woraufhin dieses in dem frei hängenden Papierstreifen
herab sickert und schließlich unten heraus tropft. Mit einem Tintenfüller werden nun
Punkte in Abständen von einem Zentimeter auf das nasse Papier über dem Becherrand
getupft. Deren Farbe wird von der Wasserströmung mitgenommen und erzeugt sichtbare
Stromlinien um das Profilloch herum. Hierzu müssen die Tintenpunkte etwa alles zehn
Sekunden erneuert werden.
A.10. Velourspapierströmungen
Was in A.9. mit einfachen Mitteln realisiert wurde, soll hier mithilfe einer Versuchsanordnung aus dem Sortiment von Leybold Didactic wiederholt werden mit verbesserten
Ergebnissen. Abbildung A.14 zeigt das verwendete Wasserstromliniengerät, das laminare Strömungen um verschieden geformte Körper zu demonstrieren vermag. Dazu wird
ein vertikal ausgerichteter Bogen Velourspapier am oberen Ende in Wasser getaucht. Es
fließt im Velourspapier nach unten und bildet eine annähernd laminare Strömung aus,
die mit Farbstoffpartikeln sichtbar gemacht wird.
159
Abbildung A.14: Wasserstromliniengerät, [LD36207]
Hintergrund dieses Wiederholungsexperimentes war das Anliegen, der Schülergruppe
neben den inhaltlichen Aspekten auch Kompetenzen im Umgang mit Fertigversuchsaufbauten und Gerätekarten zu vermitteln.
A.11. Luftballon-Fön-Versuch
Ein aufgeblasener Luftballon wird an einem Faden auf einem Tisch befestigt. Er soll
nun von der Tischplatte hochgeblasen werden. Bild A.15 zeigt zwei mögliche Stellungen des Luftsromerzeugers. Bei welcher gelingt der Versuch? Beschreibe deine
Beobachtungen.
Abbildung A.15: Mögliche Stellungen des Winderzeugers
160
A.12. »actio=reactio« auf dem Skateboard
Zwei Skateboards werden in etwa 10 m Entfernung voneinandern aufgestellt und
die Mitte zwischen ihnen markiert. Zwei Versuchspersonen mit annähernd gleicher
Masse stellen sich auf je ein Skateboard und nehmen je ein Ende eines Seiles in die
Hand. Sollten die Versuchspersonen unterschiedlich schwer sein, so kann mithilfe von
Gewichten ein Massenausgleich vorgenommen werden. Eine Person hält das Seil nur
fest, während die andere Person am Seil zieht. Beide Bretter setzen sich in Bewegung
und treffen sich an der zuvor markierten Stelle. Ziehen beide Versuchspersonen am Seil,
ergibt sich das gleiche Resultat. Stellen sich dagegen verschieden schwere Personen auf
die Bretter, so legt die leichtere Person eine längere Stecke zurück, unabhängig davon,
ob nur eine oder beide Personen am Seil ziehen. Es ist immer darauf zu achten, dass
am Seil gleichmäßig und mit mäßigem Kraftaufwand gezogen wird, nicht zuletzt um
der Verletzungsgefahr vorzubeugen.
Zieht eine Person an dem Seil, so erfährt die Person auf dem anderen Brett eine
Beschleunigung. Nach dem 3. Newtonschen Axiom wirkt auf die ziehende Person eine
gleich große Gegenkraft. Da die beiden Skateboards mit den daraufstehenden Personen
dieselbe Masse besitzen, erfahren sie jeweils eine gleich große Beschleunigung und
dieselbe Reibung mit der Unterlage. Sie legen in derselben Zeit gleich lange Strecken
zurück und treffen sich somit in der Mitte. Ziehen beide Personen am Seil, so wirkt auf
jede Person eine Kraft durch das eigene Ziehen und eine Kraft durch das Ziehen der
anderen Person. Die daraus resultierende Kraft ist wiederum für beide Personen gleich
groß, wenn beide in etwa gleich stark ziehen.
Die Versuchpersonen auf den Skatesboards erfahren jeweils eine Beschleunigung, die
direkt proportional zu ihrer Masse ist. Bei unterschiedlichem Körpergewicht der beiden
Personen legt daher die schwere Person eine kürzere Strecke zurück als die leichtere, so
dass sich die beiden Bretter in diesem Fall nicht an der markierten Mittelstelle treffen.
A.13. Sengersches Wasserrad
In den unteren Teil einer Plastikflasche werden mithilfe eines Nagels oder einer Schere
drei Löcher gestochen, gerade so groß, dass die Strohhalme, ohne eingedrückt zu
werden, hineinpassen. Die Strohhalme werden ein wenig gekürzt und dann mithilfe
der Knete in den Löchern fixiert; die Trinkhalme sollten sich dabei alle in einer Ebene
161
Abbildung A.16: Versuchsanordnung zum Sengerschen Wasserrad
befinden und alle in die gleiche Richtung abgeknickt sein, so dass der Querschnitt
aus Abbildung A.16 entsteht. Die derart präparierte Flasche wird mit einem dünnen
Faden an einem Stativ so befestigt, dass sie in etwa in der Mitte über einem Wasserauffangbecken hängt. Nun wird von oben Wasser in die Flasche gefüllt. Die Wanne
unter der Flasche sollte das aus der Flasche auslaufende Wasser während der Befüllung
und während des Experimentes aufsammeln. Die Flasche wird in Ruhe gebracht und
losgelassen. Wasser fließt durch die Trinkhalme aus der Flasche, und diese beginnt sich
zu drehen.
Tritt das Wasser von der Flasche in einen Trinkhalm ein, besitzt es eine gewisse Geschwindigkeit und damit einen Impuls p~1W asser (siehe Abbildung A.17). Am Ende des
Trinkhalmes hat das Wasser den Impuls p~2W asser . Da das Wasser in dem Trinkhalm nicht
mehr beschleunigt wird, ist der Betrag der Geschwindigkeit des Wassers am Anfang
und am Ende des Trinkhalmes konstant. Deshalb sind die Beträge der Impulse p1W asser
p
und p2W asser gleich. Aus der Impulsänderung ∆~
folgt, dass der Trinkhalm eine Kraft F~p
∆t
p
mit ∆~
= F~p auf das Wasser ausgeübt hat. Nach dem Newtonschen Prinzip actio gleich
∆t
˜
reactio existiert eine Kraft F~p , die das Wasser auf die Flasche bzw. den Trinkhalm ausübt.
~˜ parallel und einen Anteil FT~˜ang senkrecht
Diese Kraft kann man in einen Anteil FRad
zum Anfangsimpuls p~1W asser aufteilen. Aufgrund der Anordnung der drei Trinkhalme
~˜ , die jeweils senkrecht zur Flächenwand zeigen, auf. Da
heben sich die drei Kräfte FRad
˜
jede der drei Kräfte FT~ang nicht im Mittelpunkt der rotationsfähigen Fläche, sondern an
den Trinkhalmen angreift, entsteht ein Drehmoment, welches die Fläche in Rotation
versetzt.
162
Abbildung A.17: Kräftebetrachtung zum Sengerschen Wasserrad, [Berthold et al.,
2006]
163
Abbildung A.18: Nachweis der Zirkulation, [Wodzinski, 1999]
A.14. Zirkulationsströmung am Flügelprofil
Hier soll ein Experiment vorgestellt werden, mit dem die Zirkulationsströmung um
ein Flügelprofil demonstriert werden soll. Es soll darüber hinaus einen Eindruck vom
Drehsinn der Zirkulation vermitteln. Der experimentelle Aufbau ist in Abbildung A.18
dargestellt. Zwei dünne Pappstreifen sind mit Stecknadeln und Korken so gelagert, dass
sie horizontal frei beweglich sind. Zieht man eine Tragfläche mit genügend großem Anlauf zwischen den Streifen hindurch, wird der obere Streifen nach hinten und der untere
nach vorn bewegt. Dies illustriert, dass die Luft an der Oberseite in Strömungsrichtung
beschleunigt und an der Unterseite verzögert wird. Zieht man hingegen beispielsweise
einen Zylinder zwischen den Streifen hindurch, bewegen sich beide Zeiger gleichzeitig
nach vorn, wie man es aufgrund der Reibung erwarten würde.
A.15. Tragschraube
Mithife von Stativmaterial wird eine Luftschraube so angebracht, dass sie einen Anstellwinkel von etwa 30◦ aufweist und mittels eines Reiters über die gesamte Länge
einer Schiene frei beweglich gleiten kann. Abbildung A.19 zeigt den Aufbau. Die Strömungsgeschwindigkeit des Lüfters wird langsam erhöht und dabei die Luftschraube
beobachtet.
164
Abbildung A.19: Versuchsaufbau
FlugFliegen]
zum
Prinzip
der
Tragschraube,
[CorEx
Man erkennt, dass die Luftschraube zu rotieren beginnt und im Luftstrom nach oben
steigt. Eine in anströmender Luft rotierende Luftschraube bewirkt eine Auftriebskraft;
dieses Prinzip wird als Tragschraube bezeichnet. Bei einem Tragschrauber, das heißt
einem Flugobjekt, das diesem Prinzip unterliegt, übernimmt eine große Luftschraube,
deren Achse gegen die Flugrichtung geneigt ist, die Aufgabe der Tragflügel. Bei der
Vorwärtsbewequng des Flugzeuges wird die Tragschraube angetrieben und erzeugt so
den aerodynamischen Auftrieb.
165
B.1. Cartesianischer Taucher
12345627658497ABC2D45382783EF5DB29EF5DB
Das benötigst du:
-
stabile Plastikflasche
Backaromafläschchen
Und so geht’s!
1. Fülle die Plastikflasche randvoll mit Wasser.
2. Fülle das Backaromafläschchen etwa zu ein Fünftel mit Wasser auf.
3. Gebe das Backölfläschchen mit der Öffnung voran in die Flasche. Es muss
gerade an der Oberfläche schwimmen.
4. Verschraube jetzt die Fasche.
Nun kannst du seitlich auf die Flasche drücke und beobachten, wie dein Taucher bei
Druck hinabsteigt.
166
B.2. Windkanal
12345627658497ABC87DE2726BFB
Das benötigst du:
-
Strohhalm
Draht
1,5l PET-Flasche
Tonpapier
Fön als Luftstromerzeuger
Und so geht’s!
1. Schneide den Boden der Flasche sowie ihren Hals ab, so dass ein Rohr entsteht.
2. Für die Befestigung des zu untersuchenden Flügelprofils benötigst du obenund unten
ein kleines Loch in dem PET-Rohr.
3. Forme aus dem Karton einen Flügel und durchsteche ihn in der Mitte einmal von
oben nach unten.
4. Nun benötigst du den Strohhalm. Er dient später dazu, dass sich der Flügel gut den
Draht entlang bewegen kann und muss daher in das Loch im Flügel eingepasst
werden.
5. Hetzt steckst du den Draht durch den Strohalm und befestigst ihn an den zwei
Bohrungen in deinem Mini-Windkanal-Rohr.
6. Positioniere den Fön vor deinem Windkanal.
7. Mithilfe eines Räucherstäbchens kannst du nun die Strömung um dein Profil sichtbar
machen.
167
B.3. Heißluftballon aus Seidenpapier
123245678349AB67C53D8E255F4A
Das benötigst du:
-
buntes Seidenpapier (Blumenseide)
dünner, nicht brennbarer Faden
Flüssigklebstoff
Draht
Brennstoff (z.B. in Benzin getränkter Wattebausch)
Abb.1
Und so geht’s!
1. Klebe zunächst je zwei Bögen Seidenpapier zusammen.
2. Fertige dir zunächst aus festem Karton eine Schablone nach Abbildung 2 an.
3. Schneide aus den zusammengeklebten Bögen mithilfe der Schablone 8
Streifen.
4. Klebe nun nacheinander die Bögen an ihrer langen Seite zusammen; auf die
Spitze oben wird zusätzlich ein runder Deckel aus Seidenpapier geklebt.
Achte darauf, dass die Klebenaht überall fest ist. Wenn du alle Bögen
zusammengeklebt hast, drehe den Ballon um und klebe die äußeren beiden
zusammen.
5. Halbiere nun ein Seidenpapierbogen der Länge nach und falte die eine Hälfte
noch einmal über die gesamte Länge zusammen.
6. Lege in das Papier einen Draht, forme einen Ring und klebe diesen an den
unteren Rand des Ballons wie in der Zeichnung oben.
7. Befestige nun drei dünne Schnurstücke und knote sie in der Mitte zusammen.
8. An den mittleren Knoten kannst du nun den Brennstoff befestigen.
Jetzt ist dein Ballon startklar. Für die ersten Flugversuche kannst du eine Schnur
am Ballon befestigen. Zum Vorheizen des Ballons eignet sich eine Kochplatte oder
ein Föhn besonders gut.
Abb.2
168
B.4. »5 aus einem Brett«
1234526789A6B823C8DE6DF81D8
169
Abbildung C.1: Skizze zur Herleitung des Archimedischen Prinzips in der Schule,
[Kuhn, 2008]
C.1. Herleitung des Archimedischen Prinzips
Das Archimdische Prinzip kann im Rahmen des schulischen Unterrichtes leicht hergeleitet werden für den Spezialfall eines Quaders oder auch eines Zylinders. Abbildung C.1
diene dabei als Grundlage.
Zur Berechnung der Auftriebskraft müssen die auf die Begrenzungsflächen des Körpers
infolge des Schweredrucks wirkenden Kräfte betrachet werden. Die seitlichen Kräfte
sind entgegengesetzt gleich und heben sich daher in ihrer Wirkung auf, anders aber die
auf Ober- und Unterseite des Körpers wirkenden. Der Schweredruck auf die Oberseite
des Körpers ist gegeben durch
p1 = ρF lssigkeit · g · h1 .
Folglich ist die Kraft
F1 = ρF lssigkeit · g · h1 · A .
170
Analog kann der Druck auf die Unterseite angegeben werden durch
p2 = ρF lssigkeit · g · h2 .
Die Kraft auf die Unterseite ist demnach
F2 = ρF lssigkeit · g · h2 · A .
Die Auftriebskraft ergibt sich dann aus der Differenz der beiden Kräfte F1 und F2 :
FA = F2 − F1 = ρF lssigkeit · g · A · (h2 − h1 ) .
Der Term h2 −h1 stellt nichts anderes dar als die Höhe h des eingetauchten Körpers, A·h
wiederum nicht anderes als das Volumen V des Körpers. Damit folgt das Archimdische
Prinzip:
FA = ρF lssigkeit · gV .
Diese Gleichung bedeutet in Worten ausgedrückt: die Auftriebskraft, die ein in eine
Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt, ist genauso groß wie die Gewichtskraft des
von ihm verdrängten Wassers.
C.2. Herleitung der Bernoulli-Gleichung
In diesem Abschnitt soll die Bernoulli-Gleichung noch einmal hergeleitet werden und
zwar auf eine Art und Weise, die im schulischen Kontext der Oberstufenphysik einsetzbar ist.
Man betrachtet zu diesem Zweck eine stationäre Flüssigkeitsströmung. Während eines
kleinen Zeitintervalls bewegt sich ein herausgegriffenes Flüssigkeitsvoulmen unter dem
Einfluss der Druckkräfte. Die Arbeit
W = F1 ∆s1 − F2 ∆s2 = p1 A1 ∆s1 − p2 A2 ∆s2
171
Abbildung C.2: Skizze zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung in der Schule, [Sexl
et al., 1980]
gibt die Energieänderung an, die das betrachtete Flüssigkeitsvolumen während der
Bewegung erfährt. Diese muss gleich der Summe der Änderungen der kinetischen und
potentiellen Energie sein, da in einer reibungslosen inkompressiblen Strömung nur
diese veränderlich sind. Aus Abbildung C.2 ergibt sich für diese Änderung:
∆E = Energie im Endzustand − Energie im Anfangszustand ,
also
∆E =
1
m2 v22 + m2 gh2
2
−
1
m1 v12 + m1 gh1
2
.
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Energieänderung gleich der Arbeit der
angreifenden Kräfte sein. Daher gilt:
1
m2 v22 + m2 gh2
2
−
1
m1 v12 + m1 gh1
2
= p1 A1 ∆s1 − p2 A2 ∆s2 .
Im nächsten Schritt bietet es sich an, die Massen m1 und m2 durch die konstante Dichte
ρ und die entsprechenden Volumina zu ersetzen:
172
m1 = ρA1 ∆s1
und
m2 = ρA2 ∆s2 .
Beachtet man zusätzlich, dass bei inkompressibler Strömung A1 ∆s1 = A2 ∆s2 gilt, so
liefert das Einsetzen der Ausdrücke für die Massen:
1 2
ρv + ρgh2
2 2
−
1 2
ρv + ρgh1
2 1
= p1 − p2 .
Diese Gleichung, die sogenannte Bernoulli-Gleichung, lässt sich in der Form eines
Erhaltungssatzes angeben und lautet dann:
1
1 2
ρv1 + ρgh1 + p1 = ρv22 + ρgh2 + p2 = const. .
2
2
173
D. Arbeitsblätter
D. Arbeitsblätter
D.1. Arbeitsblatt zum Archimedischen Prinzip
12345678593479AB25CD5E
Die Auftriebskraft eines Körpers in einer Flüssigkeit oder einem
Gas ist genauso groß wie die Gewichtskraft des von ihm
verdrängten Volumens.
in Formeln: FA = g ⋅ m = g ⋅ ρ ⋅ V
Wie müssen sich Gewichtskraft des Körpers und Auftriebskraft
zueinander verhalten, falls…
… der Körper steigt:
___________________
… der Körper sinkt:
___________________
… der Körper schwebt:
___________________
Zur Herleitung des archimedischen Prinzips für einen Quader:
174
D. Arbeitsblätter
D.2. Arbeitsblatt zum Heißluftballon
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Zum Verständnis der Funktionsweise des Heißluftballons sind zwei
Kräfte zu betrachten:
1.) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2.) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Der Heißluftballon steigt, falls _ _ _ _ < _ _ _ _ gilt.
Für die Auftriebskraft gilt
. Die Gewichtskraft des
Ballons ist FG , Ballon . Zusätzlich muss die Gewichtskraft des im Ballon
enthaltenen Gas betrachtet werden. Diese ist
.
Für die resultierende Gesamtkraft gilt damit:
Mithilfe der Gasgesetze kann man diese Formel umformen zu
Wie kann also beim Bau des Ballons vorgegangen werden, um eine
möglichst große resultierende Gesamtkraft zu erhalten?
1.)
_________________________________
2.)
_________________________________
3.)
_________________________________
175
E. Evaluationsbogen
E. Evaluationsbogen
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E. Evaluationsbogen
Für die tatkräftige Unterstützung und viele handwerkliche Tipps bei der Fertigung der
Experimente.
177

Die physikalischen Grundlagen der Luftfahrt

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