Messungen an einem Modell-Tornado und Vergleich der

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Projektpraktikum
Universität Göttingen & DLR_School_Lab
Messungen an einem Modell-Tornado und
Vergleich der Messtechniken
Praktikanten: Benjamin Dimond, Christoff Krüger,
Charlotta Lorenz, Wieland Lühder,
Nick Scholand
E-Mail:
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Betreuer:
Dr. Oliver Boguhn
Prof. Dr. Dr. Andreas Dillmann
E-Mail:
[email protected]
Durchgeführt: 01.04.2014 bis 16.07.2014
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Theorie
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Beschreibung und Entstehung bei einer Mesozyklone . . . . . . . .
2.2.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Entstehung und Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Beschreibung und Entstehung eines nicht-mesozyklonalen Tornados
2.4 Mathematische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Druckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
7
3 Aufbau und Durchführung
3.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Messmethoden . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Direkte Geschwindigkeitsmessung
3.3.2 PIV . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Der verwendete PIV-Aufbau . . . . . . .
3.5 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Geschwindigkeitsmessungen . . .
3.5.2 Druckmessungen . . . . . . . . .
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4 Auswertung
4.1 Horizontaler Geschwindigkeitsverlauf . . . . . .
4.1.1 Daten vom Geschwindigkeitsstab . . . .
4.1.2 Methodik der PIV-Auswertung . . . . .
4.1.3 Daten aus PIV . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 χ2red -Werte der Fits . . . . . . . . . . .
4.2 Vertikaler Geschwindigkeitsverlauf . . . . . . .
4.3 Skalierungsfaktor in Relation zur Fujita-Skala
4.4 Druckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19
5 Diskussion
5.1 Vergleich der Messmethoden . . . . . . .
5.2 Optimierung des Aufbaus . . . . . . . .
5.3 Vergleich der theoretischen Modelle . . .
5.4 Relation zum meteorologischen Tornado
5.4.1 Betrachtung der Reynolds-Zahlen
5.4.2 Dimensionsanalyse . . . . . . . .
5.5 Zusammenfassung und Ausblick . . . . .
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A Literaturverzeichnis
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B Mathematische Herleitung der Tornadomodelle
30
B.1 Rankine-Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B.2 Burgers-Rott-Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
C Tabellen
D Grafiken
D.1 Tornado-Entstehung . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.1 Geschwindigkeitsverläufe mit Messstab
D.2.2 Geschwindigkeitsverläufe nach PIV . .
D.2.3 Druckverlauf . . . . . . . . . . . . . .
Projektpraktikum – Tornados
33
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33
. 33
. 34
. 34
. 37
. 41
1
2 Theorie
1
Einleitung
Naturgewalten faszinieren die Menschheit in ihrer Unberechenbarkeit und Stärke seit jeher. So werden
katastrophale Stürme mit Hurrikanen assoziiert, obwohl auch kleinere Wirbelstürme wie Tornados
verheerende Schäden verursachen. Vor kurzem starben 21 Menschen bei Tornados in den USA; hier
sind vor allem Regionen im Bundesstaat Kansas von Tornados betroffen sind[20]. Viele solcher Unfälle
hätten vermieden werden können, wenn eine frühzeitigte Prognose stattgefunden hätte.
Das Verständnis dieses Wetterphänomens, insbesondere dessen Entstehung, ist notwendig, um eine
präzisiere Prognose solcher Stürme zu ermöglichen. Dazu wird ein Modell-Tornado am Göttinger
DLR_Schol_Lab mit zwei unterschiedlichen Verfahren – Geschwindigkeitsmessung via Particle Image
Velocimetry-Verfahren (PIV) und Hitz-Draht-Sonde – vermessen. Die gewonnen Daten werden mit
üblichen Tornado-Modellen und Messwerten eines realen Tornados verglichen, um eine Bewertung des
Aufbaus bezüglich dessen Modellqualität vorzunehmen.
2
Theorie
2.1
Definition
Laut [13] wird ein Tornado als „violently rotating column of air, in contact with the ground, either
pendant from a cumuliform cloud or underneath a cumuliform cloud, and often (but not always)
visible as a funnel cloud“ definiert. Ein Tornado ist also eine heftig rotierende Luftsäule, die von einer
kumulusförmigen Wolke herabhängt und den Boden berührt. In der Regel ist seine Form mit der eines
Schlauches zu vergleichen.
Eine Charakterisierungsmöglichkeit bietet die am häufigsten verwendete Fujita-Skala (vgl. Tabelle
14 im Anhang), welche sich hauptsächlich am Grad der Zerstörung orientiert. Ihre Einstufung der
Geschwindigkeit verläuft annähernd linear, weshalb auch hier auf sie zurückgegriffen wird.
2.2
2.2.1
Beschreibung und Entstehung bei einer Mesozyklone
Voraussetzungen
Nach [9, S. 368] sind folgende Faktoren für die Entstehung einer Mesozyklone, oder auch Superzelle
genannt, entscheidend:
Warme, feuchte Luft in tiefen Schichten, die ausreichend warme, statische Energie beinhaltet, strömt
unter kältere Luft, sodass ein insgesamt instabiler atmosphärischer Zustand entsteht. So schiebt sich
im sogenannten Tornado Alley der USA die kalte Luft der Rocky Mountains über die warme und
feuchte Luft des Golfs von Mexiko, vlg. Abbildung 22 im Anhang.
Weiterhin ist eine hohe „Convective Available Potential Energy“ (zur Konvektion verfügbare potentielle
Energie) notwendig; sie stellt ein Maß für das Risiko, dass ein Gewitter entsteht, dar. Da kalte Luft
aufgrund ihrer höheren Dichte zur Unterströmung der warmen Luft tendiert, ist das Potential einer
Umwälzung der Schichten hoch.
Damit ein vertikaler Tornadoschlauch entsteht, müssen seitliche Scherwinde in einem bestimmen
Winkel, d.h. mit einem bestimmten horizontalen und vertikalen Anteil, aufeinander treffen.
Diese Bedingungen führen zu einem sogenannten Superzellengewitter, dessen Charakteristikum nach
[9, S. 371] ein anhaltender rotierender Aufwind ist.
[17] zufolge, sind die genauen Auslöser eines Tornados heute immer noch nicht vollständig verstanden,
weshalb im Folgenden die am häufigsten vertretenen Theorien vorgestellt werden.
2.2.2
Entstehung und Ablauf
Die Entstehung eines superzelligen Tornados ist in Abbildungen 1 und 2 dargestellt. Insbesondere in
Abbildung 2 wird von einer sich drehenden, horizontalen Luftrolle ausgegangen [16]. Trifft diese auf
einen Sturm, wird sie in die Vertikale gedreht und in die Länge gezogen, weshalb die Rotationsgeschwindigkeit aufgrund der Drehimpulserhaltung zunimmt. Die dafür notwendigen Auf- und Abwinde
sind in Abbildung 1 dargestellt. Vor allem die Region zwischen Aufwind (Updraft UD) und dem
2
B. Dimond, C. Krüger, C. Lorenz, W. Lühder, N. Scholand
2.2 Beschreibung und Entstehung bei einer Mesozyklone
2 Theorie
seitlichen Abwind (Rear Flank Downdraft RFD) ist von Bedeutung, da sich in eben dieser Region der
Tornados entwickelt. Diese Windkonstellationen sind notwendig, damit aus der anfangs horizontalen
Rotationsbewegung in der Superzelle eine vertikale Bewegung wird. Ein starker, lokaler Seitenwind
kündigt einige Minuten vor Berührung des Bodens den Tornado an [9, S. 371]. Der Mechanismus der
Entstehung eines Tornados ist komplex, daher ist die Vorhersage, in welchen Fällen sich ein Tornado
entwickelt, noch sehr unpräzise.
Nach [9, S. 371f] wird die Entstehung und der Verlauf eines Tornados in vier Stadien unterteilt, die
allgemein verwendet werden [4, S. 57ff].
1. Die Aufwinde (UD) rotieren stark und niederschlagsbedingte Abkühlung erzeugt Abwinde.
2. Die abfallenden Seitenwinde (RFD) veranlassen einen ersten Wirbelschlauch, der sich zwischen
den Aufwinden und dem seitlich abfallenden Wind bildet. Das Hakenecho, welches für Tornados
unter Superzellen charakteristisch ist, formt sich in der Abzugsrichtung des Tornados, da die
Aufwinde die Wolken in ausreichende Höhe tragen.
3. Der Wirbelschlauch wird mit Berührung des Bodens zum Tornado, der von Auf- und Abwinden
eingeschlossen wird (Forward Flanking Downdraft RFD). Niederschlag verteilt sich über das
gesamte System, weshalb der Tornado nachlässt.
4. Die Aufwinde werden schwächer und die Abwinde verteilen sich, da auch der Niederschlag nicht
mehr konzentriert ist.
Abbildung 1: Entstehung eines mesozyklonalen Tornados mit äußeren Winden [9, S. 342].
3
2 Theorie
2.2 Beschreibung und Entstehung bei einer Mesozyklone
Abbildung 2: Schrittweise Entstehung eines Tornados. [12]
4
2.3 Beschreibung und Entstehung eines nicht-mesozyklonalen Tornados
2.3
2 Theorie
Beschreibung und Entstehung eines nicht-mesozyklonalen Tornados
Für die Entstehung eines Tornados ist nicht unbedingt eine Superzelle notwendig, vgl. Abbildung
3. Während Aufwinde durch Erwärmung des Bodens entstehen, kommt es an einer Konvergenzlinie
zu bodennahen Wirbeln, die bereits vertikal verlaufen können. Feuchtkonvektive Aufwinde führen
zur Bildung einer Gewitterwolke. Durch Niederschlag und Konvektion werden die rotierenden Winde
zuerst nach unten transportiert und dann gestreckt, weshalb die Rotationsgeschwindigkeit aufgrund
der Drehimpulserhaltung zunimmt. Wegen des sehr geringen Drucks im Schlauch, kondensiert das
Wasser, sodass der Tornado sichtbar wird.
Wenn sich die Temperaturverhältnisse durch den Niederschlag und kühlere Seitenwinde ausgleichen,
verschwindet der Tornado. Wind- und Wasserhosen folgen einem ähnlichen Entstehungszyklus [9, S.
373ff].
Tornados dieser Art erreichen auf der Fujita-Skala ungefähr die Stufe F3, Superzellentornados hingegen
reichen bis zur Stufe F5. Allgemein gilt: Je größer die Instabilität der atmosphärischen Bedingungen
ist, desto stärker ist der Tornado.
Abbildung 3: Entstehung eines nicht-mesozyklonaler Tornados[17].
2.4
2.4.1
Mathematische Modelle
Geschwindigkeitsverteilung
Der Entstehungsmechanismus eines Tornados ist komplex und noch nicht vollständig verstanden, daher
ist auch noch kein mathematisches Modell gefunden, das einen Tornado optimal beschreibt. Jedoch
gibt es Modelle, die eine gute Approximation für das Geschwindigkeitsfeld eines Tornados liefern. Die
bekanntesten drei Modelle sollen im Folgenden vorgestellt und diskutiert werden:
Beim Rankine-Wirbel (zur mathematischen Herleitung vgl. Abschnitt B.1 des Anhangs) wird angenommen, dass die komplette Zirkulation des Tornados im Kern, d.h. bis zu einem Abstand R zum Auge,
verteilt ist. Somit folgt für die Tangentialgeschwindigkeit vφR ein lineares Anwachsen mit zunehmendem
Abstand r im Kern und im Fernfeld ein zum Radius inverser Abfall:
(
vφR (r)
= v0 ·
r
R
R
r
r≤R
.
R<r
Dieses Modell tendiert im Maximum v0 , d.h. r = R, zu einer Überschätzung des realen Tornados, die
durch Glättung zumindest teilweise behoben werden kann. Jedoch werden auch dann noch jegliche
Effekte der radialen und vertikalen Bewegung vernachlässigt.
Die Herleitung des Burgers-Rott-Modells (vgl. Abschnitt B.2 im Anhang) beginnt mit einem
solchen Ansatz. Insbesondere werden Reibungseffekte, die durch die effektive Viskosität ν hervorgerufen
werden, berücksichtigt, da die mathematische Beschreibung eine exakte Lösung der Navier-StokesGleichung darstellt. Mit der Zirkulation Γ im Unendlichen ergibt sich ein Geschwindigkeitsfeld ~v BR =
5
2.4 Mathematische Modelle
2 Theorie
(vrBR , vφBR , vzBR ) in Zylinderkoordinaten,
vrBR (r) = −ar
Γ
a 2
BR
1 − exp − r
vφ (r) =
2π r
2ν
BR
vz (z) = 2az
dessen Tangentialkomponente im Grenzfall für verschwindende Reibung ν oder große Sogstärken a in
das Fernfeld vom Rankine-Wirbel übergeht. Weiter fällt auf, dass die Vertikalgeschwindigkeit vzBR
linear in der Höhe wächst. Dies impliziert, dass der Saugpunkt im Unendlichen liegt und sich somit
eine realistische Anwendung nur in kleinen Höhen findet.
Genau wie das Burgers-Rott-Modell ist der Sullivan-Wirbel [7] eine weitere exakte Lösung der
Navier-Stokes-Gleichung für den viskosen Fall. Das Geschwindigkeitsfeld ~v S = (vrS , vφS , vzS ) wird
durch
vrS (r) = −ar +
vφS (r)
vzS (r, z)
6ν
r
1 − exp −
Γ
=
H
2πH(∞) r
= 2az
ar2
2ν
a 2
r
2ν
!
a
1 − 3 exp − r2
2ν
mit Sogparameter a beschrieben, wobei sich für
Zx
H(x) =
dt exp(f (t))
0
f (t) = −t + 3
Zt
dy
1 − exp(−y)
y
0
keine geschlossenen Ausdrücke finden lassen. Weiterhin divergiert f (t), die Lösung konvergiert jedoch
aufgrund des exponentiellen Abfalls. Physikalisch beruht diese Lösung auf einer zwei Zell-Struktur,
d.h. der Tornado setzt sich wie in Abb. 4 (a) dargestellt aus zwei Zellen zusammen. Wie in Abb. 4 (b)
dargestellt, stürzt das Fluid der inneren Zelle aufgrund eines intensiven Downdrafts nach außen und trifft
dort auf den nach innen gerichteten Strom der äußeren Zelle, sodass eine gemeiname Aufwärtsbewegung,
ein Updraft, entsteht.
Die Graphen der Tangentialgeschwindigkeiten aller drei Modelle sind in Abb. 5 dargestellt. Es ist
Abbildung 4: Zwei-Zell-Struktur des Sullivan-Wirbels (a) in x-y-Ebene und (b) in x-z-Ebene [3]
6
2.4 Mathematische Modelle
2 Theorie
Abbildung 5: Tangentialgeschwindigkeiten nach Rankine, Burgers-Rott, sowie Sullivan. [22]
ersichtlich, dass alle drei Modelle in großen Abständen vom Auge ineinander übergehen. Die hier
geplotteten Funktionen sind [22] entnommen.
Den Modellen von Burgers-Rott und Sullivan ist gemeinsam, dass ihre Radial- und Vertikalkomponenten von der Zirkulation unabhängig sind, und sie eine gute Approximation für insbesondere kleine,
sich verjüngende System bilden. Der Vorteil des Sullivan-Modells gegen über dem von Burgers-Rott
ist, dass es aufgrund der Zwei-Zell-Struktur einen ausgezeichneten Ort für die Lokalisierung des Sturms
gibt: die innere Zelle. Prinzipiell ist jedoch für beide Modelle anzumerken, dass sie für die Beschreibung
eines realen Tornados zu symmetrischen sind.
2.4.2
Druckverteilung
Der Tornado als mechanisches System befindet sich in einer stabilen Gleichgewichtslage, dem sogenannten zyklostrophischen Gleichgewicht, wenn sich die Zentripedalkraft bei Winkelgeschwindigkeit Ω
und der Gradient des Drucks p im Abstand r zum Auge genau ausgleichen, wenn also
−Ω2 r =
1 ∂p
ρ ∂r
(1)
bei Dichte ρ gilt [6, S. 58]. Unter Verwendung des idealen Gasgesetzes p = ρ Rs T [10, S. 103] bei
konstanter Temperatur T und Gaskonstante Rs findet sich mit p(0) =: p0
1
p(r)
−
Ω2 r2 = log
2Rs T
p0
.
Somit ergibt sich in Abhängigkeit vom Ort bzw. von der Tangentialgeschwindigkeit vφ = Ω r die
Gaußförmige Druckverteilung [6, S. 83]
!
Ω2 2
pr (r) = p0 exp −
r
2Rs T
1
2
pu (u) = p0 exp −
v
.
2Rs T φ
(2)
(3)
Dabei nähert sich für r → ∞ der Druck dem Umgebungsdruck, hier pr (∞) = 0, an.
7
3
3.1
Aufbau und Durchführung
Funktionsweise
Der zentrale Bestandteil des verwendeten Tornado-Aufbaus ist in Abbildung 6 dargestellt.
b)
Ventilator
c)
Auslässe
Ventilator
a)
Auslässe
d)
Abbildung 6: Oberes Bauteil aus erhöhter und niedriger Ansicht
Die im Zentrum liegende Luft wird durch einen regulierbaren Ventilator angesaugt und erhält damit eine
vertikale Geschwindigkeit. Anschließend wird sie in eine äußere, von der zentralen Luft abgeschirmte
Schicht gedrückt und durch die kreisförmig angeordneten Luftauslässen ins Zentrum zurück geleitet.
Weil die Auslässe geneigt sind, wird die Luft in Rotation versetzt.
Somit ergibt sich eine tornado-ähnliche Luftverwirbelung.
3.2
Aufbau
Der verwendete Aufbau ist in Abbildung 7 schematisch dargestellt.
Ventilator
Auslässe
Bereich der
Tornado-Entstehung
Windabschrimung
Tischplatte
Abbildung 7: Aufbau aus erhöhter Ansicht
Eine Luftabschirmung wird verwendet, um den Tornado-Kegel möglichst ortsfest zu halten. Dieser
Luftschutz ist, anders als in Abbildung 7 dargestellt, dicht mit der Abschirmung des Ventilators
verbunden.
Die Tischplatte im Bereich der Tornado-Entstehungszone ist durchsichtig. Abbildung 8 stellt den
Aufbau aus Sicht der Tischplatte dar.
8
3.3 Messmethoden
Tischplatte
Ventilator
Wind-Abschirmung
Abbildung 8: Aufbau mit Blick auf den Ventilator
3.3
3.3.1
Messmethoden
Direkte Geschwindigkeitsmessung
Die direkte Geschwindigkeitsmessung wurde mit dem Hot-Wire-Anemometer PCE-423 durchgeführt.
Dieses wurde, wie in Abbildung 9 dargestellt, auf einer beweglichen Stativschiene befestigt und in den
Tornado geführt. Der Hitzdraht-Sensor arbeitet in einem Messbereich von 0.1 bis 25.0 ms bei einer
Auflösung von 0.01 ms , wodurch präzise Messungen der Windgeschwindigkeiten möglich sind. Durch die
Stativschiene kann eine relative horizontale Verschiebung auf 1 mm genau bestimmt werden. Um die
vertikale Komponente variieren zu können, werden in die Plexiglasabschirmung 7 Löcher im Abstand
von 5 cm gebohrt. So kann mit bestimmter Genauigkeit die vertikale Abhängigkeit des Tornados
untersucht werden und die Verwirbelungen durch die Löcher auf einem akzeptablen Minimum gehalten
werden. Das Abdecken anderer Löcher während einer Messung in einem Loch beeinflusst die Messung
nicht, weshalb keines der Löcher verdeckt wird.
Abbildung 9: Versuchsaufbau der direkten Geschwindigkeitsmessung
Für diesen Teil des Versuchs wird ein Geschwindigkeitsmessgerät verwendet, welches dadurch funktioniert, dass ein stromdurchflossener Draht an der Spitze der Messstange in Abb. 9 von der Luft
umströmt und dadurch abgekühlt wird. Dies wird vom Messgerät automatisch in die Windgeschwindigkeit umgerechnet und ausgegeben. Eine Richtungsangabe, bzw. die Bestimmung des Vorzeichens der
Geschwindigkeit, ist mit dieser Methode nicht möglich und muss zum Beispiel durch Einführung von
Nebel direkt beobachtet werden.
9
3.3 Messmethoden
Ein großer Vorteil des Messinstrumentes ist eine seitliche Abschirmung auf zwei gegenüberliegenden
Seiten des Drahtes, sodass nur Luft aus einer bestimmten Richtung an den Draht gelangt und nicht aus
der Richtung senkrecht dazu. Dies wird verwendet, um nur die horizontale Geschwindigkeit zu vermessen
und nicht gleichzeitig die vertikale Komponente. Diese Reduktion auf eine Richtung funktioniert nicht
immer verlässlich und ein Teil der anderen Geschwindigkeitskomponente stört die eigentliche Messung.
Das beschriebene Geschwindigkeitsmessgerät (Abb. 9)wird an einem horizontal verschiebbaren Stativ
befestigt, sodass es durch eines der Löcher in den Tornadobereich geschoben werden kann.
3.3.2
PIV
PIV oder Particle Image Velocimetry ist eine optische Methode zur Bestimmung von Geschwindigkeitsfeldern [1]. Mit optischen Instrumenten wird ein Lichtstrahl zu einer möglichst dünnen, aber breiten
Strahl-Ebene fokussiert und so nur eine spezielle Schicht der Tracer-Partikel im Geschwindigkeitsfeld
angestrahlt (vgl. hierzu Abbildung 10).
Abbildung 10: Darstellung eines PIV-Aufbaus [2]
Die beleuchtete Tracer-Partikel-Schicht streut das Licht, welches von einer CCD- oder CMOS-Kamera
aufgefangen und in ein Bild umgewandelt wird.
10
3.4 Der verwendete PIV-Aufbau
3.4
Der verwendete PIV-Aufbau
Abbildung 11: PIV-Aufbau
Der verwendete PIV-Aufbau ist in Abbildung 11 dargestellt. Als Tracer-Partikel werden mit Helium
gefüllte Seifenblasen verwendet. Deren Gewicht kann durch den Helium-Anteil des füllenden Gases
variiert werden: Je höher der Helium-Anteil ist, desto leichter ist die Seifenblase. Eine Beleuchtung
findet aus zwei senkrecht zueinander aufgestellten Lichtquellen statt. Hierbei handelt es sich um eine
Halogen- und eine LED-Lampe.
Zusätzlich zu den in Abbildung 11 gezeigten Aufbauten wird ein zylinderförmiger, durchsichtiger
Windschutz verwendet. Dieser sorgt für einen möglichst ortsfesten Tornado.
Die Kamera befindet sich unterhalb der durchsichtigen, eingelassenen Platte im Tisch. Eine beispielhafte
Aufnahme ist in Abbildung 12 dargestellt.
Abbildung 12: PIV-Aufnahme
Abbildung 13: Cross-correlation
Methode
Zur Veranschaulichung der von PIVview verwendeten Crosscorrelation Methode wird ein einfaches 3 × 3 Pixelfeld mit drei
Teilchen (vgl. Abbildung 13) betrachtet. Das Feld oben links
entspricht dem Zeitpunkt t = 0 und oben rechts dem Zeitpunkt
t = t1 . Das Programm kann nicht erkennen um welche Teilchen
es sich handelt, sondern registriert nur ob ein Teilchen in einem
Pixel ist oder nicht. Demnach könnte sich das Teilchen 3 entweder
nach oben, nach rechts oder nach oben-rechts bewegt haben. Für
jedes dieser Möglichkeiten wird nun in einem Korrelationsfeld
(unten links in Abbildung 13 zu sehen) ein Punkt eingetragen.
Dieser Vorgang wird für alle drei Teilchen wiederholt, woraus sich
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Länge und Richtung
des resultierenden Geschwindigkeitsvektors ergibt. In diesem einfachen Fall wird das mittig-rechte Feld als einziges von allen drei
Teilchen „getroffen“, erhält dadurch die größten „Punkt“ und
11
3.5 Durchführung
wird als Bestimmungsfeld für den Geschwindigkeitsvektor verwendet, der demnach nach rechts zeigt.
Nun kann das ganze Bild nach diesem Verfahren abgerastert werden, um für jedes n × n Pixelfeld
einen resultierenden Vektorpfeil zu erstellen.
3.5
3.5.1
Durchführung
Geschwindigkeitsmessungen
Die horizontale Geschwindigkeit kann in verschiedenen Höhen und bei verschiedenen Tornadostärken gemessen werden. Die Stärken von 0 bis 10 sind
nur Referenzpunkte für weitere Messungen und stehen in keinem einfachen
mathematischen Zusammenhang zur Windgeschwindigkeit. Bestimmt werden sie durch das Kontrollrad des Tornados in Abb. 14 durch die großen,
markierten Unterteilungen.
Bei einer festen Tornadostärke wird das verschiebbare Windmessgerät am
Stativ bei einer gewählten Höhe in den Tornado eingeführt und auf das
Zentrum ausgerichtet, welches vorher mit Nebel sichtbar gemacht wird. Danach kann das Messgerät radial zum nahzu ortsfesten Tornadoschlauch in
Schritten von 1 cm verschoben werden. Nun wird bei jeder Position die
Geschwindigkeit über einen Zeitraum von 5 bis 20 Sekunden, je nach Messreihe, gemittelt und diese Geschwindigkeit gegen die absolute angezeigte
Abbildung 14:
Position auf der Stativschiene aufgetragen. Die Bestimmung der genauen
Stufenloses
Stärkenrad
Position des Tornadoauges erfolgt erst später anhand der gemessenen Daten.
In den Bereich des Tornados werden vor der Messung zusätzliche Gegenstände wie eine Halbkugel oder
ein 10 cm großes Styroporhaus gestellt, um die Veränderung des Geschwindigkeitsprofiles zu vermessen.
Die Messungen werden mit der Geschwindigkeitssonde sowie mit dem PIV-Verfahren durchgeführt.
Beim PIV-Verfahren werden die Geschwindigkeiten wie in Tabelle 3 vermessen.
3.5.2
Druckmessungen
Auch der Luftdruck des Tornados wird vermessen, wobei diese Messung nur direkt am Boden zu
realisieren ist, da das Messgerät den Tornado sonst zu stark beeinflusst. Für diese Messung wird
das in Abb. 15 dargestellte Modul, welches aus 18 Drucksensoren besteht, verwendet. Die einzelnen
Sensoren des Moduls sind jeweils im Abstand von 1 cm angeordnet. Dieses Messmodul wird so in den
Plexiglasboden eingebaut, dass die Oberkante mit der bisherigen Grundfläche abgeschlossen wird und
alle zusätzlichen Kanten und Erhebungen durch das Messgerät kleiner als 1 mm sind.
Abbildung 15: Verwendeted Druckmessmodul
12
4 Auswertung
Für die Messung wird der gesamte zentrale Bestandteil des Tornados, also Ventilator mit Gebläse,
aber auch die Luftabschirmung über den Tisch bewegt, sodass sich die Position des Tornados relativ
zum ortsfesten Drucksensor verändert. Durch diese Bewegung kann eine große Fläche von 31 × 35 cm2
abgerastert werden.
Diese Bestimmung erfolgt über eine Software des DLR_School_Lab, mit der auf jedem Sensor für 10
Sekunden mit einer Frequenz von 10 Hz der Druck gemessen und diese 100 Werte gemittelt werden.
Dies ergibt den Druck-Messwert an der genauen Position des Sensors. Eine Rekalibrierung der Sensoren
ist nach fast jeder Messung notwendig, da einige einzelnen Sensoren schon nach kurzer Messzeit einen
Offset von bis zu 20 Pa haben.
4
Auswertung
4.1
4.1.1
Horizontaler Geschwindigkeitsverlauf
Daten vom Geschwindigkeitsstab
Die Verläufe, die mit dem Geschwindigkeitsstab gemessen werden, befinden sich im Anhang D.2.1.
In Abbildung 16 wird ein Verlauf exemplarisch vorgestellt. Nach den Angaben des Herstellers [14]
Abbildung 16: Exemplarischer Geschwindigkeitsverlauf bei Messung mit dem Geschwindigkeitsstab.
bestimmt sich der Fehler σv der Geschwindigkeit v auf 5% des Messwerts.
σv = 0.05 v + 0.01 .
Sowohl das Rankine- als auch das Burgers-Rott-Modell werden mit gnuplots χ2 -Methode auf
die Messwerte angewandt. Hierbei reagiert letzteres Modell sehr empfindlich auf Veränderung der
Startparameter, weshalb die Daten in Blöcke unterteilt und diese extra gefittet werden. Die Funktionen
sind wie in Tabelle 1 aufgeführt. Die resultierenden Parameter sind in Tabelle 2 aufgeführt, wobei
Modell
Funktion
Rankine
Burgers-Rott

 b · (x + a) + d |x + a| ≤ R
R  b·R + d
|x + a| > R
x+a
m x+k · (1 − exp (−n(x + k)2 ) ) + o
Parameter
R, a, b, d
m, k, n, o
Tabelle 1: Fitmodelle und Parameterwahl
die Fehlerangaben für die Parameter aus dem Burgers-Rott-Fit fehlen, da teils manuelle Werte
13
4.1 Horizontaler Geschwindigkeitsverlauf
4 Auswertung
verwendet werden. Für Messreihen 1 bis 7 wurde Stärke 2 auf der Geschwindigkeitsskala eingestellt;
Messreihe 8 wurde an einem anderen Tag aufgenommen. Anhand der Fitergebnisse berechnen sich die
Messreihe
1
2
3
4
5
6
7
8
R [cm]
a [cm]
b
8.6 ± 0.4
8.1 ± 0.3
8.4 ± 0.2
10.0 ± 0.3
10.7 ± 0.4
10.2 ± 0.4
8.6 ± 0.2
8.1 ± 0.1
−19.0 ± 0.2
−58.4 ± 0.1
−56.2 ± 0.1
−51.7 ± 0.1
−52.4 ± 0.2
−52.4 ± 0.1
−50.0 ± 0.1
−50.1 ± 0.1
m
d
s
7.9 ± 0.4
8.3 ± 0.2
8.8 ± 0.2
7.6 ± 0.2
7.2 ± 0.3
7.4 ± 0.4
7.7 ± 0.2
6.6 ± 0.2
m
m
s
0.4 ± 0.2
0.1 ± 0.1
0.1 ± 0.1
0.4 ± 0.1
0.3 ± 0.1
0.1 ± 0.1
1.3 ± 0.1
1.8 ± 0.1
h
m2
s
i
k [m]
−0.20
−0.58
−0.56
−0.52
−0.52
−0.52
−0.50
−0.51
0.74
0.70
0.66
0.78
0.62
0.62
0.10
0.74
n
h
1
cm
0.02
0.03
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
i
o
m
s
1.0
−0.5
0.6
0.0
0.6
0.6
0.1
0.1
Tabelle 2: Fitergebnisse der Messreihen 1 bis 8
Winkelgeschwindigkeit ω und Zirkulation Γ0 durch
b
ω=
R
s
⇒
σω = ω ·
σb
b
2
s
Γ0 = 2πR b
⇒
σΓ0 = Γ0 ·
+
σb
b
σR
R
2
2
(4)
+
σR
R
2
,
(5)
gewichtete Mittelung der Werte gleicher Geschwindigkeit aus Tabelle 2 ergibt die folgenden Resultate:
ω = (91 ± 2)
1
s
Γ0 = (44 ± 1) · 103
m2
.
s
Durch Positionierung eines Hauses im Tornadoschlauchs variiert die Geschwindigkeit, dies ist in Abb.
27 dargestellt. Die Verringerung des Maximums ist im deutlich erkennbar, der Verlauf bleibt jedoch
erhalten. Ist der Schutzring entfernt oder der Ventilator angehoben ist keine Geschwindigkeitsänderung
erkennbar.
4.1.2
Methodik der PIV-Auswertung
Für die Auswertung der PIV-Bilder (siehe Beispielabbildung 12) wird die vom DLR Göttingen mitentwickelte Software PIVview der Firma PIVTEC genutzt. Die
verwendete Kamera nimmt dabei stets Doppelbilder
im Abstand von 1.5 ms bzw. 3.0 ms für hohe bzw. gering bis mittlere Geschwindigkeiten auf. Mit der CrossCorrelation-Methode wird für jede Geschwindigkeit ein
2D-Geschwindigkeitsprofil (vgl. Abbildung 17) erstellt und
dann über die 300 Doppelbilder umfassende Messreihe gemittelt. Die Ergebnisse sind für die vier Geschwindigkeitsstufen in Abbildung 29 dargestellt. Die Umrechnung der
PIV-Geschwindigkeitsangaben in die definierte Geschwindigkeitsskala ist dabei Tabelle 3 zu entnehmen.
Abbildung 17: Auswertung eines
Doppelbildes
14
4.1 Horizontaler Geschwindigkeitsverlauf
Geschwindigkeitsangabe
Gering
Mittel
Hoch
Höchste
4 Auswertung
Korrespondierende Geschwindigkeitsstärke
5
6
6.5
10
Tabelle 3: Umrechnung der PIV Geschwindigkeitsangaben
4.1.3
Daten aus PIV
Die bisherigen Daten stammen alle aus der Geschwindigkeitsstabsmessung. Werden die Aufnahmen
mit PIV gemacht, ergibt sich ein Profil wie in Abbildung 30 für eine geringe Auflösung. Das gesamte
Geschwindigkeitsfeld ist in Abbildung 32 bei mittlerer Auflösung dargestellt. Bei geringer Auflösung ist
kaum ein lokales Geschwindigkeitsminimum in der Mitte des Tornadoschlauchs zu erkennen, weshalb
die Anwendung des Burgers-Rott- oder Rankine-Modells nicht sinnvoll erscheint. Bei mittlerer
Auflösung lässt sich wieder das Auge des Tornados erkennen (vgl. Abbildung 32). Wird die Auflösung
dagegen zu hoch gewählt, verläuft die Geschwindigkeit nicht mehr nach den erwarteten Funktionen
(vgl. Abbildung 31). Auch die Vektorgrafik des Geschwindigkeitsfeldes wie in Abbildung 28(b) ist
unregelmäßig und zeigt nicht das übliche Bild. Daher wird wie oben erwähnt als Kompromiss zwischen
zu hoher, zu genauer Auflösung und zu geringer, ungenauer Auflösung die mittlere Auflösung gewählt,
auch wenn diese weniger Daten enthält als die höchste Auflösungsstufe. Wie in Abbildung 32 zu erkennen
(a) Zweidimensionales Geschwindigkeitsbild durch PIV
(b) Querschnitt der Geschwindigkeit durch das Auge des
Tornados
Abbildung 18: Beispiel der PIV-Daten, welche für die Auswertung verwendet wurde.
ist, werden die Fits über das Rankine- und das Burgers-Rott-Modell ermöglicht, ohne dass die
Daten aufgeteilt werden, wie es bei den Daten aus der Geschwindigkeitsstabsmessung nötig ist. Ein Fit
über die Daten bei mittlerer Geschwindigkeitsstufe (vgl. Tabelle 3) ergibt keine sinnvollen Ergebnisse.
Alle anderen Daten können erfolgreich gefittet werden (vgl. Tabelle 4 und Tabelle 5). Es werden die
gleichen Funktionen und Parameter verwendet, wie für die Daten, die mit dem Geschwindigkeitsstab
verwendet werden. Analog zu der Auswertung der Messung mit dem Geschwindigkeitsstab werden
15
4.2 Vertikaler Geschwindigkeitsverlauf
4 Auswertung
Geschwindigkeit
gering
mittel
hoch
sehr hoch
R [mm]
51 ± 2
71 ± 2
66 ± 4
55 ± 2
a [mm]
−266 ± 1
−264 ± 2
−267 ± 3
−241 ± 2
b ms
1.8 ± 0.1
−2.2 ± 0.1
−5.9 ± 0.6
−3.1 ± 0.2
d ms
0.7 ± 0.1
0.7 ± 0.1
0.3 ± 0.4
1.1 ± 0.1
Tabelle 4: Ergebnisse des Rankine-Fits nach Messung der Geschwindigkeit mittels PIV.
Geschwindigkeit
gering
mittel
hoch
sehr hoch
m
m·mm k [mm]
s
124 ± 6
−
540 ± 60
230 ± 12
−265 ± 1
−
−267 ± 3
−242 ± 1
n
h i
1
m
0.50 ± 0.02
−
0.30 ± 0.03
0.40 ± 0.03
o
m
s
0.47 ± 0.04
−
−0.60 ± 0.40
0.68 ± 0.08
Tabelle 5: Ergebnisse des Burgers-Rott-Fits nach Messung der Geschwindigkeit mittels PIV.
hier die Winkelgeschwindigkeit und die Zirkulation mittels
Γ∞ = 2π m
σm σΓ∞ = Γ0 m
berechnet. Es folgt:
ω = (36 ± 2)
1
s
m2
s
2
m
= (93 ± 4) · 104
.
s
Γ0 = (75 ± 3) · 104
Γ∞
4.1.4
χ2red -Werte der Fits
Um die Güte der Fits einstufen zu können, wird der χ2red -Wert der jeweiligen Fits vom Programm
gnuplot [21] berechnet. Ein χ2red -Wert von 1 liegt vor, wenn die Daten exakt zu der vorgesehen
Kurve passen. Je geringer die Abweichungen, desto treffender beschreibt das Modell die Daten. Die
χ2 -Funktion ist durch
χ2 :=
n
X
(f (ti ) − yi )2
i
σf2(ti ) + σy2i
definiert, wobei f (t) die zu nähernde Funktion ist und yi die gesammelten Datenpunkte darstellen.
Anhand
χ2red :=
minimales χ2
Anzahl der Freiheitsgrade
berechnet sich das reduzierte χ2 . Somit ergeben sich die χ2red -Werte wie in Tabelle 6.
4.2
Vertikaler Geschwindigkeitsverlauf
Die Ergebnisse der vertikalen Geschwindigkeit w befinden sich in graphischer Form in 25 im Anhang.
Wie in dem Graphen zu erkennen ist, lässt sich kein eindeutiger Trend feststellen, weshalb es sinnvoll
16
Messstab
Messreihe
1
2
3
4
5
6
7
8
Rankine
χ2red
13.6
9.5
13.1
12.6
11.2
11.8
7.1
2.8
PIV
Geschw.
gering
mittel
hoch
sehr hoch
4 Auswertung
Rankine
χ2red
0.02
0.03
0.91
0.09
Burgers-Rott
χ2red
0.009
0.706
0.041
Tabelle 6: χ2red -Werte der Fits für das Burgers-Rott-Modell und das Rankine-Modell
erscheint, zwar den Mittelwert der vertikalen Geschwindigkeit zu bestimmen, aber keine anzupassende
Funktion über die Daten zu legen.
Die mittlere, vertikale Geschwindigkeit w ergibt sich mit einem Fehler σw (vgl. Gleichung 4) bei jedem
Messwert zu
σ
σw = √
n
w = (0.515 ± 0.003)
m
.
s
Da mit dem Messgerät nicht aufgezeichnet werden kann, in welche Richtung sich die Luft bewegt,
bezieht sich die gemittelte Geschwindigkeit auf die Magnitude, nicht auf die Richtung der Bewegung.
Bei einem Tornado in Kansas wurde eine vertikale Geschwindigkeit von vg = 30 ms gemessen [18]. Für
den Fehler dieses Wertes wird σvg = 5 ms angenommen, um die Größe des Tornados nicht zu genau
festzulegen. Der Skalierungsfaktor errechnet sich somit aus
λw =
vg
w v
u
u σw 2
σλω = λw · t
+
w
σvg
vg
!2
und ergibt sich zu
λw = 58 ± 9 .
4.3
Skalierungsfaktor in Relation zur Fujita-Skala
Die Geschwindigkeitsmessungen vg bei verschiedenen Stärken (vgl. Kapitel 3.5.1) werden mit den
Geschwindigkeiten der Fujita-Skala verglichen, so dass einer Stufe der Fujita-Skala eine Tornado-Stufe
mit korrespondierender Geschwindigkeit zugeordnet wird. Aus dem Verhältnis der Geschwindigkeiten
wird der Skalierungsfaktor λ berechnet.
Die maximalen Geschwindigkeiten der Stufen 1 bis 10 sind in Abbildung 26 des Anhangs verzeichnet.
Es ist ein annähernd linearer Verlauf zwischen den Stärken 2 bis 8 zu erkennen, der an die sechs Stufen
der Fujita-Skala angepasst wird. Es ergeben sich die Skalierungsfaktoren in Tabelle 7.
Für den Fehler der Geschwindigkeitsmessung wird σv = 0.02 ms angenommen, so dass sich der Fehler des
Skalierungsfaktors σλ wie folgt berechnet, wenn angenommen wird, dass die Werte der Fujita-Skala
17
4 Auswertung
vF fehlerfrei sind:
λ=
vF
vg
σ vg σλ = .
vg Die Faktoren liegen ungefähr in der gleichen Größenordnung, es scheint jedoch einen „Bruch“ von F2
Stärke
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Geschwindigkeit vg [m/s]
0.56
0.77
1.30
1.83
3.80
5.00
5.80
6.20
6.30
6.35
Fujita-Skala
F0
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F5
F5
F5
Geschwindigkeit vF [m/s]
25.0
25.0
41.4
60.4
81.1
104.2
129.4
129.4
129.4
129.4
Skalierungsfaktor
32.5 ± 0.9
31.8 ± 0.5
33.0 ± 0.4
21.4 ± 0.1
20.8 ± 0.1
22.3 ± 0.1
-
Tabelle 7: Vergleich zur Fujita-Skala und Skalierungsfaktors
zu F3 zu geben. Deshalb werden die Skalierungsfaktoren nur über den jeweiligen Bereich (F0 bis F2
und F3 bis F5) gemittelt. Die gewichteten Mittelwerte ergeben sich zu
λm1 = 32.6 ± 0.3
λm2 = 21.6 ± 0.1 .
18
4.4 Druckverteilung
4.4
4 Auswertung
Druckverteilung
Die Druckverteilungen werden geplottet (vgl. Abbildung 19 und Abschnitt D.2.3) und mit dem gleichen
Anpassungsverfahren ausgewertet. Dabei wird jeweils das Profil einer bestimmten Sensornummer
verwendet, die ungefähr in der Mitte des Tornados liegt. Der Fehler der Druckmessung beträgt
σp = 1 Pa. Die Messwerte werden an den Verlauf angepasst, dabei wird dem Programm die Funktion
in Gleichung 6 übergeben.
ω2
f (x) = p0 · exp −
2RT
x
−a
100
2 !
Die Temperatur wird hierfür als konstant T = 293 K angenommen; die spezifische Gaskonstante[11] ist
durch R = 287.058 kgJK bestimmt. Der Fitergebnisse der Winkelgeschwindigkeit ω, Verschiebung a und
Minimaldruck p0 sind in Tabelle 8 aufgeführt. Aufgrund der unrealistischen Winkelgeschwindigkeit
x-Position [cm]
p0 [Pa]
15
16
17
18
−71 ± 3
−72 ± 3
−70 ± 3
−66 ± 3
ω
h i
1
s
a [m]
3500 ± 190
3500 ± 190
3500 ± 200
3400 ± 200
0.136 ± 0.004
0.137 ± 0.005
0.136 ± 0.005
0.136 ± 0.005
Tabelle 8: Ergebnisse des Fits der ersten Druckmessung.
ωw ∼ 3500 1s , wird ein neuer Skalierungsfaktor eingeführt. Dennoch gelten die Gleichungen 1 und 3. Aus
Winkelgeschwindigkeit ωg , Geschwindigkeit vg und typischem Tornadoradius rg nach der Fujita-Skala
wird der Skalierungsfaktor λω berechnet. Dabei wird das Maximum der Fujita-Skala verwendet, da
zum Zeitpunkt der Messung der Tornado auf die höchste Stufe gestellt ist. Für den rg wird ein Radius
von rg = (300 ± 100) m geschätzt (z. B. vgl. [23][24]).
ωg =
vg
rg
v
!
u
u σv 2
g
σω = ωg · t
+
vg
σrg
rg
!2
ωg
λω =
,
ωw
v
!
u
u σω 2 σω 2
g
r
t
σλω = λω ·
+
ωg
ωr
Das gewichtete Mittel des Skalierungsfaktors ergibt sich zu
λ1,ω = (1.25 ± 0.01) · 10−4 .
Nach dem gleichen Verfahren werden auch die Daten der zweiten Druckmessung genähert, sodass sich
die Parameter in Tabelle 9 ergeben. Analog folgt
λ2,ω = (9.15 ± 0.01) · 10−5 .
19
4.4 Druckverteilung
4 Auswertung
Position [cm]
p0 [Pa]
ω
17
18
19
−70 ± 2
−73 ± 3
−72 ± 3
h i
1
s
a [m]
4800 ± 200
4700 ± 200
4900 ± 200
0.189 ± 0.002
0.195 ± 0.002
0.195 ± 0.002
Tabelle 9: Ergebnisse des Fits der zweiten Druckmessung.
Aus den Daten von einigen Tornados in den USA lässt sich auch der dort vermessene Druck mit
dem Druck bzw. dem Druckunterschied vergleichen. Einer der stärksten Druckunterschiede beträgt
pg = (19400 ± 100) Pa. Der maximale Druckunterschied beläuft sich auf ungefähr pw = (58 ± 1) Pa [5,
S. 2]. Daraus lässt sich eine Skalierungskonstante λp für den Druck mit
λp =
pg
pw
(6)
v
!
u
u σp 2 σp 2
g
w
t
σλp = λp ·
+
pg
(7)
pw
berechnen. Somit ergeben sich
λ1,p = 334 ± 6
(8)
λ2,p = 288 ± 5
(9)
für die beiden Druckmessungen.
Druck relativ zum Umgebungsdruck [Pa]
2D-Druckprofil bei Tornadostärke 7
0 Pa
-10 Pa
-20 Pa
-30 Pa
-40 Pa
-50 Pa
-60 Pa
-70 Pa
-80 Pa
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0
5
10
15
20
y-Position [cm] 25 30
5 0
15 10
20
x-Position [cm]
30 25
-5
Abbildung 19: Druckverlauf: Eindimensional bei x = 18 cm und zweidimensionaler Druckverlauf bei
Tornadostärke 7
20
5 Diskussion
5
5.1
Diskussion
Vergleich der Messmethoden
Messungen ohne Windschutzring
Zur Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes in Randregionen wurden einige wenige Messungen ohne
Abschirmung durchgeführt. Einige sind in Abbildung 27 dargestellt. Die Messwerte wurden durch die
große räumliche Bewegungsfreiheit des Tornados beeinflusst, da die Verhinderung von Randeffekten
nur begrenzt funktionierte. Auch die Tornadostärke und damit die maximale Windgeschwindigkeit
änderten sich fortwährend an jeder Position des Anemometers.
Aus diesem Grund sind die entstandenen Messreihen nicht aussagekräftig.
Verwendung zeitlicher Mittelwerte
Da der Tornado nicht ortsfest ist, werden zeitliche Mittelwerte verwendet. Für das Anemometer
liegen diese bei 10 s bis 20 s. Die PIV-Auswertung hingegen verwendet den Mittelwert von 100 bis
300 Doppelbildern zu je 1.5 ms bis 3.0 ms, also einem größerem Zeitraum. Diese großen Zeitspannen
erlauben präzise Aussagen über die durchschnittliche Position des Tornados.
Ein Vergleich der gemessenen Maximalgeschwindigkeiten beider Verfahren zeigt, dass die PIV-Werte
um einiges geringer sind als die der Hitz-Draht-Sonde. Eine mögliche Ursache wird in der größeren
Mittlung und der relativen Bewegung des Tornadozentrums beim PIV-Verfahren gesehen, da sowohl
Betrag als auch Richtung der Geschwindigkeit gemittelt werden. Dadurch wird der Wert von 10 ms hier
nicht erreicht. Eine mögliche Verbesserung der Auswertungsprogrammes wäre, jedes einzelne Bild so zu
verschieben, dass der Tornado genau zentral ist. Dies würde deutlich bessere Werte liefern, ist aber
schwer realisierbar.
Weitere Fehlerquellen der Messungen
Die Auflösung beim PIV-Verfahren spielt eine entscheidende Rolle. Wird ein zu kleines Pixelfeld gewählt,
ist es möglich, dass Teilchen im gegeben Zeitintervall dieses Feld verlassen bzw. neue Teilchen eintreten
oder nicht genug Teilchen im Pixelfeld vorhanden sind, um eine sinnvolle Analyse durchzuführen. Diese
Probleme werden in Abbildung 28(b) ersichtlich. Eine grobe Struktur ist zwar zu erkennen, dennoch
spiegelt dieses Ergebnis nicht das tatsächliche Geschwindigkeitsprofil wider. PIV hat dadurch eine
technisch bedingte Auflösungsobergrenze.
Wird eine viel gröbere Auflösung gewählt, wie in Abbildung 28(a) dargestellt, ergibt sich zwar eine
genauere Geschwindigkeitsverteilung aber nur mit sehr geringer Auflösung, wodurch die Ergebnisse zur
weiteren Analyse ungeeignet sind.
Die Vektorfeldgröße 32 × 32 erscheint am sinnvollsten, da sie sowohl eine genügend hohe Auflösung
bietet, als auch groß genug ist, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Diese Größe wurde auch für alle
weiteren Auswertungsschritte verwendet.
Mit dieser Vektorfeldgröße wird auch das Problem der aus dem Feld herausfliegenden und dazukommenden Teilchen gelöst. Ein viel größerer Überlapp hätte zur Folge, dass ein viel größerer Bereich
ausgewertet wird und es insbesondere bei hohen Geschwindigkeitsgradienten zu einer ungewollten
Vereinheitlichung kommt.
Entscheidend ist auch die relative Teilchengröße, da nur die Helligkeit registriert wird und nicht etwa
die Teilchenanzahl in einem Pixel. Die optimale Teilchengröße lässt sich nicht bestimmen, da die
Paramter durch Auflösung und Entfernung der Kamera aufbaubedingt fest vorgegeben war. Da die
registrierten Lichtpunkte lediglich Reflexionen an bestimmten Stellen der Seifenblasen und nicht die
Seifenblasen selber sind, kann die Lichtpunktgröße auch nicht variiert werden.
Eine weitere Fehlerquelle sind die Fremdteilchen, da auch kleinere Partikel (bspw. Staub) und Streuungen
durch Fremdlicht registriert werden. Das Verhältnis Fremdteilchen zu Seifenblasen ist insbesondere
im Außenteil sehr groß. Daher wird nur der sich innerhalb der Plexiglasscheibe befindliche Teil des
Luftstroms ausgewertet.
21
5.2 Optimierung des Aufbaus
5 Diskussion
Befinden sich die Teilchen nicht im hydrostatisches Gleichgewicht mit der umgebenden Luft, so entsteht
ein Teilchendichtegradient, da ein Gleichgewicht zwischen Druckgradient und Zentrifugalkraft wie bei
der umgebenden Luft nicht mehr gegeben ist. Bei zu schweren Teilchen überwiegt die Zentrifugalkraft,
sie fliegen nach außen und im Zentrum sind zu wenige für eine sinnvolle Messung. Ein präzise Einstellung
des verwendeten Gasgemisches und der Seifenblasengröße ist daher notwenig. Soll ein spezieller Teil des
Tornados jedoch näher betrachtet werden, können diese Parameter variiert werden, um die Teilchendichte
in diesem Bereich zu erhöhen.
Ein Messfehler des Geschwindigkeitsstabes kommt durch die Richtungsselektion zustande. Von zwei
Seiten ist der Messdraht durch dünnen Plastikwände abgeschirmt, wodurch nur die Luftströmung
aus einer Richtung an den Hitz-Draht gelangen kann. Dies hat jedoch zur Folge, dass Turbulenzen
an den Abschirmwänden entstehen und die Messung beeinflussen. Ein Indiz hierfür ist, dass bei
Anströmung der Messsonde von Seiten der Abschirmung eine Geschwindigkeit messbar ist. Demnach
enthält jede mit dieser Methode aufgenommene Messung auch einen nicht gewollten Anteil der
Windgeschwindigkeit. Diese Effekte machen eine Messung der Updrafts unmöglich, da die Einflüsse der
horizontalen Kreisströmung viel größer als die der vertikalen Bewegung sind.
Vergleich der beiden gemessenen Geschwindigkeitsprofile
Das Geschwindigkeitsprofil der direkten Anemometer-Messung hat eine deutlich höhere räumliche
Auflösung als das der PIV-Messungen. Dies erleichtert Regressionen und macht die Verläufe der
Graphen besser sichtbar. Die große Mittlung sorgt in den PIV-Ergebnissen für einen schmaleren
Geschwindigkeitsabfall in der Tornadomitte. Es gibt bei PIV einen sehr kleinen Bereich, in dem sich alle
Einzelmessungen der Geschwindigkeiten annullieren. Diesen Bereich gibt es, da die Windgeschwindigkeit
bei einem horizontalen Schnitt durch das Bild ihr Vorzeichen ändert.
Dagegen erreicht die direkte Messung des Geschwindigkeitsbetrages nur minimale Werte von knapp
unter 1 ms . Die Windstille im Auge des Tornados lässt sich folglich im Experiment nicht realisieren
und messen, sie ergibt sich nur als zeitliches Mittel der Geschwindigkeiten im Kern.
Weiterhin unterscheidet sich auch der äußere Abfall der Geschwindigkeiten, welcher bei der direkten
Messung eher zum Burgers-Rott-Modell passt, während der Abfall auf dem PIV-Diagramm jedoch
eher linear erscheint.
Druckmessung
Die Druckmessmethode liefert prinzipiell zuverlässige Ergebnisse. Insbesondere ist der geringe Fehler
von 1 Pa ein Vorteil, der eine verlässliche Messung ermöglicht. Während der Messung müssen die
Drucksensoren regelmäßig rekalibriert werden, da anderenfalls einige Sensoren unverhältnismäßig große
Werte anzeigen.
Die Druckmessung erfolgte auf der Tischplatte, sodass der Druck von Störfaktoren am Boden abhängig
war. Da diese bei dem Modell-Tornado ohne weitere Konstruktionen (z. B. Modell-Häuser, Landschaften),
minimal sind, wird davon ausgegangen, dass die Messung genau war, aber in dieser Hinsicht nicht den
realen, gestörten Tornado widerspiegelt.
5.2
Optimierung des Aufbaus
Die mögliche Optimierung des Ausbaus ist ein Kompromiss zwischen Ortsfestigkeit des Tornados und
den dadurch entstehenden Fehlern. Je mehr Einschränkung die Luftbewegung erfährt, desto weniger
spiegelt der Modell-Tornado die Realität wider und desto mehr besitzt er nur noch die Eigenschaften
einer stationär rotierenden Luftsäule. Das zyklostrophische Gleichgewicht wäre weniger entscheidend,
die Geschwindigkeitsverteilung richtete sich nach den äußeren Einflüssen und entstünde nicht mehr
nur durch den zentralen Wirbel. Für eine Prognose über die Auswirkungen und für eine Angabe
der so entstandenen Fehler hätte ein ungestörter Tornado vermessen werden müssen, was jedoch an
der mangelnden Ortsfestigkeit scheiterte. Gäbe es diese Daten, so könnten andere Alternativen zur
Stabilisierung getestet werden.
Die Tornadoerzeugung kann optimiert werden, indem die kreisförmig angeordneten Luftauslässe, welche
22
5.3 Vergleich der theoretischen Modelle
5 Diskussion
die Luft in Rotation versetzen, regelmäßiger angeordnet werden und die Luft gleichmäßig aus allen
Auslässen herausströmt. Dies würde den Tornado symmetrischer und stabiler halten.
5.3
Vergleich der theoretischen Modelle
Um die Modelle zu vergleichen, wird in Kapitel 4.1.4 der χ2red -Wert der Fits berechnet. Obwohl das
Rankine-Modell wegen des „Knicks“ am Tornadoschlauch weniger realistisch erscheint, ergeben seine
Näherung an die Messwerte ein besseres χ2red -Ergebnis als die des Burgers-Rott-Modells. Diese
Aussage wird noch einmal dadurch bekräftigt, dass es bei den Daten vom Geschwindigkeitsstab nicht
gelang, das Burgers-Rott-Modell für einen Datensatz anzuwenden. Erst durch Unterteilung der
Daten in Datenblöcke gelingt der Fit.
Bei den PIV-Daten wird das Burgers-Rott-Modell vollständig auf einen Datensatz angewendet.
Auch hier passt der Rankine-Wirbel besser zu den Messwerten. Auffällig ist, dass die PIV-Daten der
höheren Geschwindigkeit eine höher Qualität des Fits als der Fit der Stabmessung aufweisen. Wird die
Geschwindigkeit zu niedrig, ist die Fitqualität geringer als bei den Daten vom Geschwindigkeitsstab.
Die Qualität scheint also von der Geschwindigkeit abzuhängen.
Beim graphischen Vergleich der genäherten Verläufe, fällt die starke Abweichung des RankineWirbels am Tornadoschlauch zu den gemessenen Daten auf. Da sich dort nur wenige Datenpunkte
befinden und die meisten anderen Werte sehr nah an der Kurve liegen, wird die Qualität des Fits wenig
beeinflusst. Die Burgers-Rott-Näherung vermeidet den Bruch am Tornadoschlauch, so dass die Daten
insgesamt näher an der Kurve zu liegen scheinen. Bei den Anemometerdaten liegen antisymmetrische
Verläufe (vgl. Figur 32(b)) vor, weshalb sich weder das Rankine- noch das Burgers-Rott-Modell
problemlos anwenden lassen. Besonders beim Burgers-Rott-Modell kommt es zu Schwierigkeiten, da
die exponentielle Näherung sehr empfindlich auf die Anfangsparameter reagiert. Deshalb gelang der
Fit über das Burgers-Rott-Modell insgesamt weniger erfolgreich. Der Verlauf wird graphisch, vor
allem am Tornadoschlauch, besser beschrieben.
5.4
Relation zum meteorologischen Tornado
Der Modell-Tornado eignet sich für qualitative Beobachtungen sehr gut und verläuft annähernd nach
den Modellen, die auch bei Systemen auf einer größeren Skala angewendet werden. Der Geschwindigkeitsabfall weist einen zu realen Systemen ähnlichen Verlauf auf; der Druckverlauf wird treffend mit
dem zyklostrophischen Gleichgewicht genähert.
Allerdings ist der Entstehungszyklus in der Realität anders, da bspw. jegliche Auswirkungen von
thermodynamischen Prozessen und Niederschlägen nicht von Modelltornado berücksichtigt werden.
Durch Konvektion entstehen die Strömungen eines Tornados, folglich dsa Modell nicht als Analogon für
die Evolution eines solchen Phänomens zu verstehen. Das Auflösen des Tornados ist ebenfalls schwierig
zu klassifizieren. Hier lässt sich keine Aussage gewinnen. Die Situation während des Sturms lässt sich
modellieren, wobei sich der Tornado im Vergleich zum realen Sturm nicht als ganzer bewegt. Tritt ein
instabiles Gleichgewicht ein, kann es zu einer Teilung des realen Tornados kommen; dieses und weitere
Phänomene können am Modell nicht simuliert und untersucht werden.
Für den quantitativen Vergleich wird ein Skalierungsfaktor λ
λ=
dg
dw
aus den von uns gemessenen Daten dw und den Daten eines meteorologischen Tornados dg berechnet.
Damit ergeben sich für verschiedene Größen des Systems die Skalierungskonstanten aus Tabelle 10.
Die Konstanten befinden sich alle ungefähr in der gleichen Größenordnung, wenn von der ermittelten Skalierungskonstante abgesehen wird, die sich durch den Fit der Druckverläufe ergibt. Da die
Konstante für die direkte Umrechnung zum Druck nicht gleich klein ist, scheint ein Fehler bei der
Übertragung der Formel des Druckverlaufs 3 auf unsere Daten vorzuliegen. Übertragungs-, Einheitenund Vorzeichenfehler wurden ausgeschlossen. Wird das Vorzeichen in der Gleichung 3 umgekehrt, ergibt
sich eine Winkelgeschwindigkeit von ω ≈ 60 1s , also genau dem erwarteten Wert. Der dann divergente
Verlauf ist jedoch in keiner Weise sinnvoll. Warum die Winkelgeschwindigkeit einen derartig hohen,
23
5 Diskussion
Parameter
Horizontale Geschwindigkeit
Vertikale Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
Druck
Skalierungskonstante
32.6 ± 0.3
21.5 ± 0.1
58 ± 9
(1.25 ± 0.01) · 10−4
(9.15 ± 0.01) · 10−5
334 ± 6
228 ± 5
Tabelle 10: Übersicht der in Abschnitt 4 ermittelten Skalierungskonstanten.
unrealistischen Wert annimmt, kann nur mit der nicht sinnvollen Transferierbarkeit der Gleichung 3
erklärt werden. Da der Verlauf selbst widergegeben wird und nur die Konstanten nicht passen, liegt der
Unterschied vermutlich in den Konstanten des Nenners (R und T ), die nicht auf den Modell-Tornado
zu übertragen sind. Eine weitere Diskussion der sehr kleinen Skalierungskonstante erfolgt im folgenden
Abschnitt 5.4.1.
Die übrigen Skalierungsfaktoren liegen in der gleichen Größenordnung. Wird die horizontale Geschwindigkeit als Maßstab verwendet, müsste die vertikale Geschwindigkeit ungefähr verdoppelt werden, um
einen Tornado in der Natur maßstabsgetreu widerzugeben. Die Druckunterschiede sind nicht gleich
skaliert, wobei sich die Skalierungskonstanten um einen Faktor von ca. 10 unterscheiden.
5.4.1
Betrachtung der Reynolds-Zahlen
Wie in vorherigen Abschnitt 5.4 angedeutet, fällt für die Skalierungskonstante der Winkelgeschwindigkeit
auf, dass sie um einen Faktor von ca. 105 kleiner ist.
Es wird vermutet, dass die Größenordnung so stark variiert, weil eine makroskopische Formel mit
Konstanten für ein korrespondierendes System auf ein Modell übertragen wird (vgl. Gleichung 3). R
und T ohne weitere Änderung oder Reskalierung zu verwenden kann eine mögliche Ursache für den sehr
kleinen Wert des Skalierungsfaktors sein. In der Tat ist dann fraglich, warum alle anderen Konstanten
in der erwarteten und ungefähr gleichen Größenordnung liegen. Eine mögliche Erklärung dafür ist, dass
in den Formeln für die Geschwindigkeit keine weiteren makroskopischen Größen verwendet werden
(vgl. Gleichung 22 und 41).
Eine Möglichkeit, die Gleichung 3 einem kleineren System anzupassen oder die Größen R und T mit
dem kleineren System zu vergleichen, stellt die Reynoldszahl Re dar. Die Reynoldszahl gibt Auskunft
über das Verhältnis von Trägheits- und Zähigkeitskräften. Sie ist durch
Re =
vd
ν
(10)
mit der charakteristische Geschwindigkeit v und der charakteristischen Länge d des Systems, sowie
der charakteristisch dynamischen Viskosität ν des Fluids definiert. Üblicherweise wird diese Zahl auch
verwendet, um größere Systeme auf Modellgröße zu skalieren. Daher stammt die Überlegung, auf die
Reynoldszahl zurückzugreifen.
Für den Vergleich der Reynoldszahlen werden Werte, wie in Tabelle 11, gewählt. Für die Geschwindigkeit
v wird die maximale Geschwindigkeit des Modell-Tornados verwendet. Als charakteristische Länge
wird der Radius des Wirbelschlauches herangezogen. Die dynamische Viskosität für Luft beträgt
ν = 18.2 · 10−6 Pa s [15, S. 7]. Der Vergleich der Reynoldszahlen ergibt, dass eine Größenordnung von ca.
105 zwischen den Systemen liegt. Die berechnete Skalierungskonstante für die Winkelgeschwindigkeit
liegt um den gleichen Faktor neben den anderen Konstanten.
Wird der Faktor 105 direkt in die Gleichung 3, wie in Gleichung 11, eingesetzt, ergibt sich nach
Näherung der Daten mit gnuplot eine Winkelgeschwindigkeit von ω = 20 1s . Dieses Ergebnis liegt im
vorstellbaren Bereich und spiegelt die Messwerte wider.
105 r2 2
p1 (r, T ) = p0 exp −
ω
2Rs T
24
!
(11)
5 Diskussion
Größe
maximale Geschwindigkeit [m/s]
Radius [m]
Reynoldszahl
Modell-Tornado
6
0.1
3.3 · 104
realer Tornado
100
300
1.5 · 109
Tabelle 11: Charakteristische Größen eines großen Tornados und eine Modell-Tornados zur Berechnung
der Reynoldszahl.
Wird der Faktor jedoch als direkte Skalierung der Länge betrachtet,
2
105 r
p1 (r, T ) = p0 exp −
ω2
2Rs T
!
(12)
kann ein Fit der Daten nicht mehr ausgeführt werden.
Schlussendlich stellt die Reskalierung mittels Reynoldszahl eine interessante Möglichkeit dar, um die
unterschiedlichen Größenordnungen in Tabelle 10 zu erklären, jedoch ist das nur eine Vermutung. Die
exakte Anwendung in den Modellen muss also näher untersucht werden.
5.4.2
Dimensionsanalyse
Der Skalierungsfaktor, wie er in Abschnitt 5.4 berechnet wird, dient einer schnellen Umrechnung vom
Modell-System zum tatsächlichen Sturm. Um die Daten physikalisch genauer zu untersuchen, wird
eine Dimensionsanalyse durchgeführt und die Gleichungen dimensionslos geschrieben.
Die dafür verwendeten charakteristischen Größen des Systems sind in Tabelle 12 aufgelistet. Der
gemessene Radius r bzw. die gemessene Geschwindigkeit v werden mithilfe des Tornadoradius R aus
Tabelle 2 bzw. der gemessenen Maximalgeschwindigkeit vmax = 7 ms auf eine dimensionslose Größe r0
bzw. v 0 skaliert. Die Fehler der Werte des realen Tornados werden auf σv = 2 ms und σr = 5 m geschätzt.
Größe
R [m]
vmax [m/s]
Entdimensionalisierung
r0 = Rr
v
0
v = vmax
Modell-Tornado
0.086 ± 0.001
7.00 ± 0.36
großer Tornado
100 ± 5
70 ± 2
Tabelle 12: Entdimensionalisierung der Modell- und großer Tornado[24, s. 2160]
Somit ergeben sich die für die fehlerbehafteten Größen
v0 =
v
vmax
r
r0 =
R
⇒ σv 0 = v 0 ·
0
⇒ σr 0 = r ·
s
s
σr
r
σv
v
2
+
2
+
σR
R
σvmax
vmax
2
(13)
2
.
(14)
Der dimensionslose Geschwindigkeitsverlauf der Tornados ist Abbildung 20 zu entnehmen. Insgesamt ist
deutlich zu erkennen, dass die Verläufe beider Tornados sehr ähnlich sind. Die Vermessung des ModellTornados erfolgte auf einem kleineren Gebiet als die des großen Tornados, weshalb die Datenpunkte
am Zentrum dichter liegen. Somit ist ein genauer Vergleich nahe dem Mittelpunkt des Sturmes nicht
möglich. Auch kommt der Modell-Tornado im Auge nicht vollständig zum Stillstand. Daher ergibt
sich eine etwas geringere Steigung bis zum Geschwindigkeitsmaximum. Weiterhin ist eine Messung der
Geschwindigkeit in einem großen Tornado kompliziert. [24] nutzt das Doppler-Verfahren für die Messung
der Geschwindigkeit, aber auch dabei kommt es zu Ungenauigkeiten, die mit Fehlerschätzungen wie
oben unterschätzt werden. Daher verläuft die abklingende Kurve der Daten vom großen Tornado nicht
entlang des erwarteten Verlaufs. Diese Abweichungen reichen jedoch nicht aus, um ein physikalisch
sehr ähnliches, wenn auch ungleiches Verhalten zu widerlegen. Für die Druckdaten wird das gleiche
Verfahren der Entdimensionalisierung angewendet. Um Daten für den großen Tornado zu erhalten,
wird auf [23, S. 534] zurückgegriffen.
25
5.5 Zusammenfassung und Ausblick
5 Diskussion
Abbildung 20: Dimensionsloser Geschwindigkeitsverlauf
Es werden die folgenden Gleichungen und Parameter (vgl. Tabelle 13) zur Entdimensionalisierung
verwendet. Die Messwerte r bzw. p werden durch den Tornadoradius R bzw. die maximale relative
Druckdifferenz p1 auf die dimensionslosen Größen r0 und p0 skaliert. Abbildung 21 zeigt den entdimenGröße
R [m]
p1 [Pa]
Entdimensionalisierung
r0 = Rr
p0 = pp1
Modell-Tornado
0.086 ± 0.001
70 ± 1
großer Tornado
450 ± 10
6000 ± 10
Tabelle 13: Entdimensionalisierung der Modell- und großer Tornado[23, S. 534].
sionalisierten Druckverlauf. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Druck bei einem großen Tornado weit
schneller steigt und sich nicht mit dem Verlauf des Modell-Tornados deckt. Die Analyse der Anstiege
unterstreicht den unrealistischen Wert der Skalierungskonstanten in Tabelle 10. Da der Druck viel
langsamer als bei einem großen Tornado ansteigt, kann hier keine quantitative Übertragung stattfinden.
5.5
Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass vor allem der Geschwindigkeitsverlauf eines Tornados mit
dem Modell am DLR_School_Lab gut wiedergegeben wird. Der Druckverlauf ähnelt in groben Zügen
allein durch den Anstieg dem Druck in einem großen Tornado. Im Gegensatz zu den Geschwindigkeitsprofilen ist eine quantitative Übertragung jedoch nicht sinnvoll.
Die Übertragung in die Realität erfolgt mithilfe der Modelle, wie sie in Abschnitt 5.3 ausführlicher
verglichen werden. Beide Modelle eignen sich zur Beschreibung des Modells, sind aber durch ihre
jeweiligen Stärken und Schwächen eingeschränkt. Der Rankine-Wirbel weist eine einfache Funktion
auf, aber ein zu starkes Geschwindigkeitsmaximum. Der Burgers-Rott-Verlauf ist dagegen aufgrund
der Exponentialfunktion schwer zu nähern, verfügt aber insgesamt über ein glatteres Profil.
Neben den Geschwindigkeits- und Druckverläufen werden auch die Messmethoden begutachtet. Insgesamt wäre eine symmetrischere Platzierung der Austrittsdüsen des Ventilators am besten. Hier und an
der örtlichen Instabilität des Tornados liegen die Hauptfehlerquelle des Aufbaus. Weitere Fehler sind
die Beeinflussung des Tornados durch die Messung, da jedes Messgerät Turbulenzen erzeugt.
Basierend auf diesen Überlegungen ergeben sich viele interessante, weiter zu untersuchende Aspekte. Von
besonderem Interesse ist die vollständige Vermessung des Tornados mithilfe von PIV, sodass ein ganzes
Geschwindigkeitsfeld in einer Höhe über den gesamten Querschnitt gemessen wird. Erfolgten diese
26
5.5 Zusammenfassung und Ausblick
5 Diskussion
Abbildung 21: Dimensionsloser Verlauf der Druckdifferenz eines großen Tornados und des ModellTornados im Vergleich.
Messungen über die gesamte Höhe des Tornados, könnte der dreidimensionale Geschwindigkeitsverlauf
mit dem eines großen Tornados verglichen werden.
Darüberhinaus wurden die Messmöglichkeiten von PIV noch nicht ausgeschöpft. Es können auch
vertikale Geschwindigkeitskompenten, die Rotation und weitere Parameter mit PIV bestimmt werden,
die hier nicht weiter in die Auswertung eingebunden werden. Auch über die optimale Auflösung der
Aufnahmen und weitere Parameter der graphischen Auswertung könnte nachgedacht werden (vgl.
Abschnitt 4.1.3). Interessant wäre auch, eine eventuelle Bewegung des Zentrums des Tornados mit
PIV genauer zu beobachten und daraus eine Periodendauer der hin- und herschwankenden Position zu
berechnen, oder eine automatische Verschiebung des Auges zu implementieren.
Was die weitere Auswertung betrifft, sind zusätzliche Modelle, wie das Sullivan-Modell, das im
theoretischen Teil beschrieben aber nicht angewendet wird, interessant. Außerdem ist wie in [24] eine
Näherung der Geschwindigkeitsdaten mit Verläufen der Form rα für α ∈ [0.5, 0.9] zu analysieren und
diskutieren.
Bisher wurde die Rauigkeit der untersten Strömungsschicht nicht variiert, was bspw. durch eine
Modell-Landschaft geschehen könnte. Deren Beschaffenheit beeinflusst maßgeblich die Druck- und
Geschwindigkeitsverteilung am Boden. Bei dem verwendeten Aufbau ist der Boden vollständig glatt
und die Grenzschicht in Relation zum meteorologischen Tornado fast nicht vorhanden. In dieser
Grenzschicht nahe des Bodens befinden sich Widerstände, wie Häuser und Bäume, die vollständig
vernachlässigt wurden. Dieser Unterschied könnte einen Teil der ungleichen Druckverläufe, wie sie
auch die Dimensionsanalyse der Druckverteilungen ergibt, erklären. Hierfür sollten weitere Daten eines
realen Tornados zu Rate gezogen und mit den hier gemessenen Verläufen verglichen werden.
Gleichzeitig ist eine komplette Druckvermessung des Tornados aufschlussreich. Dafür würde ein anderes
Druckmessgerät benötigt werden, welches den Luftdruck in der freien Strömung messen kann. Die hier
verwendeten Gerät würden einerseits die Strömung zu stark beeinflussen und andererseits nur den
aerodynamischem Druck der Körperoberfläche und nicht den tatsächlichen Luftdruck messen.
Um grundsätzlich die Dynamik eines Tornados zu verstehen, sind Temperaturmessungen an einem realen
Tornado hilfreich. Bei einem Modell-Tornado ist diese nicht zielführend, da die Wirbelströmung lediglich
durch mechanische, nicht thermodynamische Effekte entsteht. Wären die Temperaturverteilungen
allerdings bekannt, könnten Konvektionsströmungen durch mechanische Vorrichtungen an dem Modell
nachgebaut werden. Auch könnte Temperatur des gesamten Tornados gezielt geändert werden, da diese
zusammen mit der Viskosität und der Dichte der Luft die Dynamik beeinflusst.
27
INTERNETQUELLEN
A
Literaturverzeichnis
Literatur
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28
INTERNETQUELLEN
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29
B
B.1
Mathematische Herleitung der Tornadomodelle
Rankine-Wirbel
Nach Definition berechnet sich die Wirbelstärke
ω
~ = rot ~v
(15)
anhand der Rotation des durch einen Wirbel induzierten Geschwindigkeitsfeldes. Sind mehrere Elementarwirbel über eine Fläche A verteilt, so wird die Gesamtheit der Elementarwirbel im Folgenden als
Wirbel bezeichnet. Insbesondere wird die durch den Wirbel erzeugte Zirkulation Γ durch
Z
Γ :=
~·ω
dA
~
(16)
defininert. Eine Verkettung von Wirbeln wird als Wirbelfaden bezeichnet, wobei die Kettung parallel
zur Rotationsrichtigung sein soll. Der betrachtete Wirbelfaden sei geradlinig und habe den Radius R.
Dann ist hierfür ω
~ parallel zum Faden und somit parallel zum Flächenvektor. Also ist
Γ = ω πR2 .
(17)
Um das durch den Wirbelfaden induzierte Geschwindigkeitsfeld zu bestimmen, wird ein Zylinder Z mit
Radius r um den Wirbelfaden betrachtet. Ein fester Ort auf der Zylindermantelfläche liegt im Schnitt
von Z und einer Ebene E, die senkrecht zum Wirbel liegt. Dieser Schnitt ist eine Kreisscheibe und
werde mit K := Z ∩ E bezeichnet. Mit Anwendung des Satzes von Stokes ergibt sich für die in K
hier wirkende Zirkulation
Z
~·ω
dA
~ =
ΓK =
K
I
d~l · ~v .
(18)
∂K
ein Wegintegral über den ∂K mit dem gerichteten Wegelement d~l. Nach Wahl von E ist ω parallel zu
~ also ist mit ω := |~
dA,
ω|
Z
ΓK =
(
(
r≤R
r2
Γ
= 2·
R
r>R
R2
ω πr2
ω πR2
~·ω
dA
~ =
K
r≤R
,
r>R
(19)
da der Wirbelfaden durch R beschränkt ist. Weiterhin sind auch die induzierte Geschwindigkeit v
und das gerichtete Wegelement d~l parallel. Aus der Rotationssymmetrie folgt ebenfalls, dass die
Geschwindigkeit entlang ∂K konstant ist, da r ≡ const, also gilt für v := |~v |, dass
ΓK = v 2πr .
(20)
Damit folgt schlussendlich die Geschwindigkeitsverteilung nach Rankine [7]
(
v=
Γ
2π R2
Γ
2πr
r
r≤R
;
r>R
(21)
(
r
R
R
r
r≤R
r>R
(22)
oder umformuliert
v = v0 ·
für Maximalgeschwindigkeit v0 = v(R) =
Γ
2π R .
30
B.2 Burgers-Rott-Wirbel
B.2
Burgers-Rott-Wirbel
Bewegt sich ein Fluid mit Geschwindigkeit v, so gibt das Newtonsche Kraftgesetz unter Beachtung
der durch Viskosität ν induzierten Reibungskräfte beim Druck p die Navier-Stokes-Gleichung [8, S.
26],
∂~v
1
+ (~v · ∇) ~v = − ∇p + ν (∇ · ∇) ~v ;
∂t
ρ
(23)
wobei die Dichte des Fluids durch ρ beschrieben wird.
Aufgrund der idealerweise vorhandenen Zylindersymmetrie eines Tornados ist es sinnvoll die Navierstokesgleichung 23 unter der Transformation Φ [19]




x
r cos(φ)




y
=
Φ(r,
φ,
z)
=


 r sin(φ) 
z
z
(24)
in Zylinderkoorindaten für Abstand r, Azimutalwinkel φ und Höhe z zu betrachten. In der lokalen
orthonormal Basis (~er , ~eφ , ~ez ) mit






cos(φ)
− sin(φ)
0






~er =  sin(φ)  ~eφ =  cos(φ)  ~ez =  0 
0
0
1
(25)
stellt sich die Geschwindigkeit ~v dann durch
~v = vr ~er + vφ ~eφ + vz ~ez
(26)
dar. Mit den Differenzialoperatoren
dv
∂v dr ∂v dφ ∂v
dz ∂v
=
+
+
+
dt
∂t
dt ∂r
dt ∂φ
dt ∂z
vφ ∂
∂
∂
∂
Dv
=
+ vr
+
+ vz
v =:
∂t
∂r
r ∂φ
∂z
Dt
2
2
1 ∂
∂
1 ∂
∂
∆=
r
+ 2
+ 2
2
r ∂r
∂r
r ∂φ
∂z
(27)
(28)
(29)
ergibt sich für 23 in ~er -Richtung
vφ2
1 ∂p
2 ∂vφ
Dvr
vr
−
=−
+ ν ∆vr − 2 − 2
,
Dt
r
ρ ∂r
r
r ∂φ
(30)
in ~eφ -Richtung
Dvφ vφ vr
vφ
1 ∂p
2 ∂vr
−
=−
+ ν ∆vφ − 2 + 2
Dt
r
ρ ∂φ
r
r ∂φ
(31)
und in ~ez -Richtung
Dvz
1 ∂p
=−
+ ν ∆vz .
Dt
ρ ∂z
(32)
Mit dem zeitunabhängigen Ansatz für den hier betrachteten statischen Fall
~v = −ar ~er + vφ (r) ~eφ + 2az ~ez
(33)
für a ≡ const reduzieren sich 30, 31 und 32 zu
vφ2
1 ∂p
=−
r
ρ ∂r
vφ ∂vφ
∂vφ
vφ
1 ∂
~eφ : − ar
+
=ν
r
− 2
r
∂r
r ∂r
∂r
r
1 ∂p
~ez : 4a2 z = −
.
ρ ∂z
~er :
a2 r −
(34)
(35)
(36)
31
B.2 Burgers-Rott-Wirbel
In Anlehung zur Geschwindigkeitsverteilung nach Rankine aus Kapitel B.1 wird
vφ =
Γ
⇔ 2πr vφ = Γ
2π r
(37)
mit Zirkulation Γ = Γ(r), damit vφ (0) nicht singulär ist, gesetzt. Damit reduziert sich 35 auf
∂ 2 Γ 1 ∂Γ
−
∂r2
r ∂r
∂Γ
−ar
=ν
∂r
!
.
(38)
Mit Γ(0) = 0 ergibt zweimalige Integration
Γ(r) = Γ(∞) 1 − exp −
a 2
r
2ν
(39)
(40)
Schlussendlich ist mit const ≡ Γ(∞) =: Γ∞ das Burgers-Rott-Modell [RO1] gefunden.
vφ (r) =
32
Γ∞
2π r
1 − exp −
a 2
r
2ν
(41)
D Grafiken
C
Tabellen
Stufe
F0
F1
F2
F3
F4
F5
Untere Grenze [m/s]
18
33
51
71
92
117
Obere Grenze [m/s]
32
50
70
92
116
142
Mittel [m/s]
25
41
60
81
104
129
Tabelle 14: Die Fujita-Skala mit ihren Stufen und jeweiligen Geschwindigkeiten.
D
D.1
Grafiken
Tornado-Entstehung
Abbildung 22: Meteorologische, geografische Bedingungen über dem Tornado-Alley [12].
33
D.2 Messwerte
D Grafiken
D.2
D.2.1
Messwerte
Geschwindigkeitsverläufe mit Messstab
(a) Höhe 25 cm, Messung 1
(b) Höhe 25 cm, Messung 2
(c) Höhe 25 cm, Messung 3
(d) Höhe 25 cm, Messung 4
(e) Höhe 50 cm, Messung 1
(f) Höhe 50 cm, Messung 2
Abbildung 23: Geschwindigkeitsmessreihen mit dem Messstab bei Tornadostärke 10.
34
D.2 Messwerte
D Grafiken
(a) Höhe 25 cm
(b) Höhe 20 cm
Abbildung 24: Weitere Geschwindigkeitsmessreihen mit dem Messstab bei anderen Tornadostärken
Vertikale Geschwindigkeit
1.1
erste Messung
zweite Messung
Geschwindigkeit [m/s]
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
Höhe [cm]
Abbildung 25: Vertikaler Geschwindigkeitsverlauf, Höhe 35 cm, Tornadostärke 6
35
D.2 Messwerte
D Grafiken
maximale Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Tornadostärke
Maximale Geschwindigkeit [m/s]
7
Höhe 0.2
Höhe 0.25
Höhe 0.3
Höhe 0.35
6
m
m
m
m
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Stärke des Tornados
Abbildung 26: Geschwindigkeit nach Stärke des Tornados bei verschiedenen Messhöhen.
Geschwindigkeit [m/s]
Verlauf der Geschwindigkeit
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Relative Position [cm]
Normalbedingungen
Haus bei 75 cm
Haus bei 63 cm
ohne Schutzring
ohne Schutzring, Wolke oben
Abbildung 27: Geschwindigkeit des Tornados unter den Bedingungen: Mit Haus an den Positionen 63
cm und 75 cm, ohne Schutzring (mit und ohne Wolke) und unter Normalbedingungen.
36
D.2 Messwerte
D.2.2
D Grafiken
Geschwindigkeitsverläufe nach PIV
(a) Maximale Geschwindigkeit, minimale Auflösung
(b) Mittlere Geschwindigkeit, maximale Auflösung
Abbildung 28: Vektorgrafiken zu PIV bei geringster und bei höchster Auflösung als Beispiel für
PIV-Aufnahmen. Da die mittlere Auflösung für die Fits verwendet wird und die deutlichsten
Geschwindigkeitsfelder ergibt, werden die geringste und höchste Auflösung nur exemplarisch
aufgeführt.
37
D.2 Messwerte
D Grafiken
(a) Geringe Geschwindigkeit
(b) Mittlere Geschwindigkeit, 2. Messung
(c) Hohe Geschwindigkeit
(d) Höchste Geschwindigkeit
Abbildung 29: Geschwindigkeitsprofile bei hoher Auflösung der PIV-Daten an den Stellen x = 240 mm,
x = 320 mm bzw. 360 mm. Die Profile werden jeweils Stellen entnommen, die in der Mitte des
Tornados liegen und die einen unerwarteten Verlauf aufweisen.
38
D.2 Messwerte
D Grafiken
(a) Position 256cm
(b) Position 240cm
Abbildung 30: Geschwindigkeitsprofile bei geringer Auflösung der PIV-Daten an den Stellen x = 256
mm und x = 240 mm. Das „Auge“ des Tornados wird von den hier gewählten Profilen gekreuzt und ist
in den Profilen kaum erkennbar.
(b) Mittlere Geschwindigkeit, 2. Messung
(c) Hohe Geschwindigkeit
Abbildung 31: Geschwindigkeitsprofile bei hoher Auflösung der PIV-Daten an den Stellen x = 240 cm,
x = 320 cm bzw. 360 cm. Die Profile werden jeweils Stellen entnommen, die in der Mitte des Tornados
liegen und die einen unerwarteten Verlauf aufweisen.
39
D Grafiken
D.2 Messwerte
(b) Mittlere Geschwindigkeit
(c) Höhere Geschwindigkeit
Abbildung 32: Geschwindigkeitsprofile bei mittel-hoher Auflösung der PIV-Daten an der Stelle x = 240
cm. Das Geschwindigkeitsminimum ist deutlich zu erkennen. Bei der mittleren Geschwindigkeit lieferte
der Fit über das Burgers-Rott-Modell keine sinnvollen Ergebnisse. Die
Geschwindigkeitsunterschiede sind am Einstellrad des Tornados gekennzeichnet und liegen auf unserer
Skala bei einem Schritt von ca. 6 zu 7.
40
D.2 Messwerte
D.2.3
D Grafiken
Druckverlauf
Abbildung 33: Profil des Drucks an der Position x = 18 cm bei Tornadostärke 10. Weitere Profile
werden für die Bestimmung der gemittelten Fitparameter verwendet, sollen hier aber nicht aufgeführt
werden, um Redundanz zu vermeiden.
Druck relativ zum Umgebungsdruck [Pa]
2D-Druckprofil bei Tornadostärke 10
20 Pa
0 Pa
-20 Pa
-40 Pa
-60 Pa
-80 Pa
20
0
-20
-40
-60
-80
0
5
10
15
20
y-Position [cm] 25 30
5 0
10
20 15
25
x-Position [cm]
30
-5
Abbildung 34: Zweidimensionaler Druckverlauf bei Tornadostärke 10
41
D Grafiken
D.2 Messwerte
Abbildung 35: Entdimensionalisierter Druckverlauf, wenn absolute Druckwerte verwendet werden.
42

Messungen an einem Modell-Tornado und Vergleich der

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