Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen

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31.12.2011
Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die
Koordinaten von drei Punkten nötig um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu
bestimmen.
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
f ( x ) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0
Für die 4 Variablen a3 , a2 , a1 , a0 benötigt man 4 Bedingungen und damit
4 Bestimmungsgleichungen.
Allgemein lässt sich feststellen, das man für eine Ganzrationale Funktion n – ten
Grades n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen benötigt.
Training GRF_07:
Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte
Finden Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen.
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem
Horner-Schema
1.)
P1 (1| 4 ) ; P2 ( 2 | 2 ) ; P3 ( 4 | 4 ) ; P4 ( 5 | 20 )
2.)
3.)
11 ⎞
9⎞
5⎞
⎛
⎛
⎛
P1 ⎜ 1| − ⎟ ; P2 ⎜ −1| ⎟ ; P3 ( −2 | 8 ) ; P4 ⎜ −3 | ⎟
2⎠
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
P1 ( −1| −16 ) ; P2 ( 2 | 11) ; P3 ( 4 | −11) ; P4 ( 6 | −9 )
4.)
P1 ( −1| 7 ) ; P2 ( −2 | 6 ) ; P3 ( 3 | 1) ; P4 ( −3 | −2 )
5.)
P1 ( 2 | 22 ) ; P2 ( 4 | 44 ) ; P3 ( −4 | 4 ) ; P4 ( 8 | 40 )
6.)
P1 (1| 0 ) ; P2 ( −1| −2 ) ; P3 ( 2 | 16 ) ; P4 ( −3 | −4 )
7.)
P1 (1| 1) ; P2 ( 2 | 0 ) ; P3 ( −2 | 4 ) ; P4 ( 3 | 9 )
8.)
77 ⎞
⎛ 1 45 ⎞
⎛ 3
P1 (1| 6 ) ; P2 ( 3 | −4 ) ; P3 ⎜ − |
; P4 ⎜ − | −
⎟
8 ⎟⎠
⎝ 2 8 ⎠
⎝ 2
9⎞
11 ⎞
5⎞
⎛
⎛
⎛
⎛ 5
⎞
P1 ⎜ 1| − ⎟ ; P2 ⎜ −1| ⎟ ; P3 ⎜ 3 | − ⎟ ; P4 ⎜ − | −8 ⎟
2⎠
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
⎝ 2
⎠
P1 (1| 25 ) ; P2 ( −1| −49 ) ; P3 ( 3 | 27 ) ; P4 ( 5 | 5 )
9.)
10.)
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Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.
Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind
wie folgt vorgegeben:
P1 ( −1| 2 ) ; P2 ( 2 | −1) ; P3 ( −3 | 44 ) ; P4 (1| 0 )
Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.
+1a2 −1a1 +1a0 = 2
P1 ( −1| 2 ) :
f ( −1) = −1a3
= 8a3
+4a2 +2a1 +1a0 = −1
P2 ( 2 | −1) :
f ( 2)
P3 ( −3 | 44 ) : f ( −3 ) = −27a3 +9a2 −3a1 +1a0 = 44
= 1a3
+1a2 +1a1 +1a0 = 0
P4 (1| 0 ) :
f (1)
Lösung des Gleichungssystems mit
dem Gauß – Algorithmus.
a0 a1 a2 a3
1 −1 1 −1 2
1 2
4 8
−1 II − I
1 −3 9 −27 44 III − I
1 1 1 1
0 IV − I
1 −1 1 −1 2
0 3 3 9
−3 | : 3
0 −2 8 −26 42 | : 2
0 2 0 2
−2 | : 2
1 −1 1 −1 2
0 1 1 3
−1
0 −1 4 −13 21 III + II
−1 IV + III
0 1
0 1
1 −1 1 −1 2
−1
0 1 1 3
0 0 5 −10 20 | : 5
0 0
4 −12 20 | : 4
1 −1 1 −1 2
−1
0 1 1 3
0 0 1 −2
4
0 0 1 −3 5 IV − III
1 −1 1 −1 2
0 1 1 3
−1
0 0 1 −2
4
0 0 0 −1 1
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Bestimmen der Koeffizienten durch
Rückwärtseinsetzen:
−a 3 = 1 ⇒ a 3 = − 1
a2 − 2a3 = 4
⇔ a2 − 2 ( −1) = a2 + 2 = 4 ⇒ a2 = 2
a1 + a2 + 3a3 = −1
⇔ a1 + 2 + 3 ⋅ ( −1) = a1 + 2 − 3
= a1 − 1 = −1 ⇒ a1 = 0
a0 − a1 + a2 − a3 = 2
⇔ a0 − 0 + 2 − ( −1) = a0 + 2 + 1
= a 0 + 3 = 2 ⇒ a 0 = −1
Funktionsgleichung:
f ( x ) = − x 3 + 2x 2 − 1
Probe:
P1 ( −1| 2 ) : f ( −1) = − ( −1) + 2 ⋅ ( −1) − 1 = 2
3
2
P2 ( 2 | −1) : f ( 2 ) = −23 + 2 ⋅ 22 − 1 = −1
P3 ( −3 | 44 ) : f ( −3 ) = − ( −3 ) + 2 ⋅ ( −3 ) − 1 = 44
3
2
P2 (1| 0 ) : f (1) = −13 + 2 ⋅ 12 − 1 = 0
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Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 4. Grades.
Die Koordinaten von 5 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind
wie folgt vorgegeben:
P1 ( −2 | 2 ) ; P2 ( −1| 0 ) ; P3 (1| 0 ) ; P4 ( 2 | 2 ) und P5 ( 3 | 3 )
Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.
+4a2 −2a1 +1a0 = 2
P1 ( −2 | 2 ) : f ( −2 ) = 16a 4 −8a3
−1a3
+1a2 −1a1 +1a0 = 0
P2 ( −1| 0 ) : f ( −1) = 1a4
= 1a4
+1a3
+1a2 +1a1 +1a0 = 0
P3 (1| 0 ) :
f (1)
+4a2 +2a1 +1a0 = 2
P4 ( 2 | 2 ) : f ( 2 ) = 16a4 +8a3
P5 ( 3 | 3 ) : f ( 3 ) = 81a4 +27a3 +9a2 +3a1 +1a0 = 3
a0
a1 a2
1 −2 4
1 −1 1
a3
−8
−1
16
1
2
0
1
8
1
16
0
2
1 3 9
1 −2 4
0
1 −3
0 3 −3
27
81
−8
16
7 −15
9 −15
3
2
−2
−2
0
16
1
1
1
2
4
1
4
0
a4
0
0
0 5
1 −2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
a3 = 0
II − I
III − I
IV − I
V −I
7
120
60a2 + 300a 4 = 40
⎛ 7 ⎞
⇔ 60a2 + 300 ⋅ ⎜ −
⎟ = 40
⎝ 120 ⎠
III − 3 ⋅ II
IV − 4 ⋅ II
V − 5 ⋅ II
5
35
65
1
−8
4
16
2
1 −3
7 −15 −2
−12 30
⋅10
0 6
4
−12 60
0 12
8 IV − 2 ⋅ III
⋅3
0 20
0 140 11
−2 4
−8
16
2
1 −3
7 −15 −2
0 60 −120 300 40
0 0
12
0
0
: 12
0 60
0 420 33
V − III
−2 4
−8
16
2
1 −3
7 −15 −2
0 60 −120 300 40
0 0
1
0
0
0 0 120 120 −7
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120a 4 = −7 ⇒ a 4 = −
⇒ a2 =
23
24
a1 − 3a2 − 15a4 = −2
⇔ a1 − 3 ⋅
23
⎛ 7 ⎞
− 15 ⋅ ⎜ −
⎟ = −2
24
⎝ 120 ⎠
⇒ a1 = 0
a0 + 4a2 + 16a4 = 2
⇔ a0 + 4 ⋅
23
⎛ 7 ⎞
+ 16 ⋅ ⎜ −
⎟=2
24
⎝ 120 ⎠
⇒ a0 = −
9
10
Funktionsgleichung:
7 4 23 2 9
f (x) = −
x +
x −
120
24
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Der Funktionsgraph kann über eine Wertetabelle ermittelt werden und hat folgenden
Verlauf:
f ( x) :=
−7 4 23 2 9
⋅x +
⋅x −
120
24
10
4
3
2
f ( x)
1
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
x
Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, so kann die Anzahl
der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.
Beispiel eines punktsymmetrischen Graphen:
Der Graph einer ganzrationalen Fuktion 3. Grades ist punktsymmetrisch
P1 (1| 2 ) und P2
und durchläuft folgende Punkte:
(
2| 2
)
Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit
ungeraden Exponenten.
Ansatz: f ( x ) = a3 x 3 + a1x
P1 (1| 2 ) :
P2
a3
1
(
)
2| 2 :
a1
1
2
f (1)
f
= 1a3 + 1a1 = 2
( 2) = 2
2a3 + 2a1 = 2
a1 = 3
2 2
2
2 | : 2 a3 + a1 = 2
⇔ a 3 + 3 = 2 ⇒ a 3 = −1
1
1
2
2
1
1II − 2 ⋅ I Funktionsgleichung:
1
1
2
f ( x ) = − x3 + 3x
0
−1 −3
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Beispiel einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch den Ursprung.
Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung.
Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.
Punktvorgabe: P1 ( −1| 2 ) ; P2 (1| −2 ) ; P3 ( 2 | −4 ) ; P4 ( 3 | 18 )
Allgemeine Funktionsgleichung: f(x) = a 4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0
P ( 0 | 0 ) : f ( 0 ) = a0 = 0 ⇒ a0 = 0 ⇒ Ansatz: f(x) = a 4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1x
P1 ( −1| 2 ) :
P2 (1| −2 ) :
P3 ( 2 | −4 ) :
P3 ( 3 | 18 ) :
a4
a3
−1
f ( −1) = 1a4 − 1a3 + 1a2 − 1a1 = 2
f (1) = 1a4 + 1a3 + 1a2 + 1a1 = −2
f ( 2 ) = 16a4 + 8a3 + 4a2 + 2a1 = −4
f ( 3 ) = 81a4 + 27a3 + 9a2 + 3a1 = 18
a2
a1
−1 2
1
1
−2 II − I
1 1
1
1
a1 = 0
−4 III − 16 ⋅ I
16 8
4
2
81 27 9
3 18 IV − 81⋅ I
2a3 = −4 ⇒ a3 = −2
−1 1
−1 2
1
−4
0 2
0
2
−12a2 = 12 ⇒ a2 = −1
0 24 −12 18 −36 III − 12 ⋅ II
0 108 −72 84 −144 IV − 4,5 ⋅ III
a 4 − a3 + a 2 = 2
−1 1
−1 2
1
−4
0 2
0
2
⇔ a4 + 2 − 1 = 2 ⇒ a4 = 1
−12 −6 12
0 0
−18 3 18 IV − 1,5 ⋅ III
0 0
Funktionsgleichung:
−1 1
−1 2
1
f ( x ) = x 4 − 2x3 − x
−4
0 2
0
2
−12 −6 12
0 0
0 0
0
12 0
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Beispiel: Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch
Der Graph einer ganzrationalen Fuktion 4. Grades ist achsensymmetrisch
⎛ 25 ⎞
und durchläuft folgende Punkte: P1 ( 0|4 ) P2 ⎜ 1| ⎟ und P3 ( 2 | 2 )
⎝ 8 ⎠
4
2
Ansatz: f(x) = a4 x + a2 x + a0 wegen Achsensymmetrie nur gerade Exponenten
P1 ( 0|4 ) : f ( 0 ) = a0 = 4 ⇒ a0 = 4
25
7
⎛ 25 ⎞
P2 ⎜ 1| ⎟ : f (1) = 1a4 + 1a2 + 4 =
⇔ 1a4 + 1a2 = −
8
8
⎝ 8 ⎠
P3 ( 2|2 ) : f ( 2 ) = 16a4 + 4a2 + 4 = 2 ⇔ 16a4 + 4a2 = −2
a4
a2
7
− | ⋅8
8
16 4 −2 | : 2
8 8
−7
8 2
−1II − I
1 1
−7
0 −6 6
1
1
−6a2 = 6 ⇒ a2 = −1
8a4 + 8a2 = −7
⇔ 8a4 − 8 = −7 ⇒ a4 =
f (x) =
1
8
1 4
x − x2 + 4
8
Vorgabe aller Nullstellen und eines Punktes.
Ganzrationale Funktion 3. Grades
Px1 ( −3 | 0 ) ; Px2 ( −1| 0 ) ; Px3 (1| 0 ) ; P ( 0 | −2 )
Ansatz über Linearfaktoren:
f ( x ) = a ( x + 3 )( x + 1)( x − 1)
2
3
2
2
2
f ( x ) = ( x + 3 )( x + 1)( x − 1) = x 3 + 2x 2 − x − 2
3
3
3
P ( 0 | −2 ) :
f ( 0 ) = a ⋅ 3 ⋅ 1⋅ ( −1) = −2 ⇒ a =
Ganzrationale Funktion 4. Grades
Px1 ( −2 | 0 ) ; Px2 ( −2 | 0 ) ; Px3 ( −2 | 0 ) ; P4 ( 3 | 0 ) ; P ( 0 | 1,5 )
Ansatz über Linearfaktoren:
f ( x ) = a ( x + 2)
3
( x − 3)
3
1
=−
48
16
1
1
3
3
7
3
3
f ( x ) = − ( x + 2) ( x − 3 ) = −
x4 −
x3 + x2 + x +
16
16
16
8
4
2
P ( 0 | 1,5 ) :
f ( 0 ) = a ⋅ 8 ⋅ ( −3 ) = 1,5 ⇔ −24a = 1,5 ⇒ a = −
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Training GRF_08:
Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
1.)
grad 3, punktsymmetrisch P1 ( 2 | 3 ) P2 ( −3 | −2 )
2.)
grad 3, Nullstellen x1 = −3 ; x 2 = −1; x 3 = 2 ; P ( −2 | 2 )
3.)
grad 3, Nullstellen x1/ 2 = 0 ; x3 = 2 ; P (1| 5 )
4.)
grad 3, Nullstellen x1/ 2 = −2 ; x 3 = 1; P ( 2 | 4 )
5.)
grad 3, Nullstellen x1/ 2 / 3 = 3 ; P ( −1| 8 )
6.)
grad 4, achsensymmetrisch P1 (1| 2 ) ; P2 ( 2 | −1) ; P3 ( −3 | −2 )
7.)
grad 4, Nullstellen x1/ 2 / 3 = −2 ; x 4 = 2 ; P (1| 3 )
8.)
grad 4, durch den Ursprung P1 (1| 1) ; P2 ( −1| −3 ) ; P3 ( 3 | −1) ; P4 ( −3 | −1)
9.)
grad 4, Nullstellen x1 = −3 ; x 2 = −1; x 3 = 2 ; x 4 = 5 ; P (1| 2 )
10.)
grad 4, Nullstellen x1/ 2 = −3 ; x 3 / 4 = 2 ; P (1| 4 )
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