Quantum Information and Relativity Theory

Quantum Information and Relativity Theory∗
Michael Krainer und Günther P. Waxenegger
25. Jänner 2005
1
Drei zusammenhängende Theorien
Auf den ersten Blick erscheinen die drei Theorien: Quantenmechanik, Relativitätstheorie und Informationstheorie unabhängig voneinander. Bei genauerer Betrachtung aber zeigt sich, dass diese untrennbar miteinander verbunden sind.
1.1
Relativitätstheorie und Informationstheorie
Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Theorien besteht für die Autoren in der Tatsache, dass Information an Materie gebunden ist und damit
den Gesetzen der Physik unterliegt—daher natürlich auch der speziellen Relativitätstheorie.
1.2
Quantenmechanik und Informationstheorie
Hier besteht die Verbindung der beiden Konzepte im wesentlichen darin, dass wenn man die Quantenmechanik mithilfe von Dichtematrizen beschreibt, diese Information über die möglichen Ergebnisse eines Experiments
beinhalten. Hierbei soll noch erwähnt sein, dass die Autoren großen Wert
auf die Unterscheidung zwischen physikalischen Zuständen und den sie beschreibenden Wellenfunktionen legen, wobei letztere nur reine mathematische Hilfsmittel darstellen, welche leicht zu Fehlinterpretationen führen
können. (siehe nächsten Absatz) Die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion
repräsentiert somit nicht die Entwicklung des physikalischen Systems, sondern nur jene der Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Messergebnisse.
∗
Der folgende Text stellt eine Zusammenfassung des gleichnamigen Artikels von Asher
Peres und Daniel R. Terno dar.
1
1.3
Relativitätstheorie und Quantenmechanik
Die Relativitätstheorie beschreibt die geometrische Struktur der vierdimensionalen Raumzeit. Die Quantenmechanik hingegen beschreibt Eigenschaften von Materie. Die Vereinigung beider ist nur dann problematisch, wenn
die Wellenfunktionen fehlinterpretiert werden. Die klassische Beschreibung
verlangt, dass sich Felder, Bewegungsgleichungen, etc. kovariant transformieren. Betrachtet man nun die Wellenfunktionen als physikalische Objekte
in der vierdimensionalen Raumzeit, ist es nicht möglich der Wellenfunktion in ihrer Gesamtheit eine einzige Eigenzeit zuzuordnen. Diese scheinbare
Unvereinbarkeit ist aber nicht vorhanden, da die Wellenfunktion als Objekt
im multidimensionalen Hilbertraum betrachtet werden muss, deren einzige
Bedeutung darin besteht, ein Werkzeug für das Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten objektiver, makroskopischer Ereignisse zu sein.
2
Der quantenmechanische Messprozess
Bevor wir näher auf die mathematische Beschreibung des quantenmechanischen Messprozesses eingehen, sei erwähnt, dass eine Messung grundsätzlich
zwei Konsequenzen hat: Informationsgewinn und Einfluss auf die zeitliche Entwicklung des Systems. An dieser Stelle wiederholen wir kurz die
Grundlagen des Messprozesses in der Quantenmechanik, formuliert mithilfe
von Dichteoperatoren, um anschließend auf die Frage einzugehen, ob der
üblicherweise quasi-instantane Vorgang des quantenmechanischen Messprozesses, konsistent mit der Relativitätstheorie ist.
Ein Quantensystem bestehe aus i-Zuständen |Ψi i, mit dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten pi . Die Menge {pi , |Ψi i} nennen wir ein Ensemble aus Reinzuständen. Der Dichteoperator eines solchen Systems ist dann definiert als:
ρ≡
X
pi |Ψi i hΨi |
(1)
i
Beschreiben wir die Entwicklung eines geschlossenen Systems im Anfangszustand |Ψi i mit dem unitären Operator U , lässt sich diese Entwicklung
schreiben als: |Ψi i −→ U |Ψi i und damit wird die Entwicklung des Dichteoperators:
ρ =
X
i
pi |Ψi i hΨi | −→
X
pi U |Ψi i hΨi | U † = U ρU †
(2)
i
Beschreiben wir einen Messprozess mithilfe des Operators Mm , dann ist die
Wahrscheinlichkeit das Ergebnis m zu erhalten
†
†
p(m | i) = hΨi | Mm
Mm |Ψi i = tr(Mm
Mm |Ψi i hΨi |)
2
(3)
wobei |Ψi i wiederum den Anfangszustand des Systems darstellt. Die Gesamtwahrscheinlichkeit das Resultat m zu erhalten ist somit:
p(m) =
X
p(m | i)pi =
X
i
†
†
pi tr(Mm
Mm |Ψi i hΨi |) = tr(Mm
Mm ρ)
(4)
i
p
Die normierten Zustände sind nach der Messung |Ψm
i i ≡
Mm |Ψi i
†
Mm |Ψi i
hΨi |Mm
und damit der Dichteoperator nach Messung des Ergebnisses m:
ρm =
X
m
p(i | m) |Ψm
i i hΨi |
(5)
i
was sich nach Einsetzen der Zustände und der Identität
p(i | m) =
als
ρm =
X
pi
p(m | i)pi
p(m)
†
Mm |Ψi i hΨi | Mm
i
†
tr(Mm
Mm ρ)
=
(6)
†
Mm ρMm
(7)
†
tr(Mm
Mm ρ)
schreiben lässt.
Nun stellen wir uns vor, wir hätten aus welchen Günden auch immer, das
Ergebnis m verloren. Wir hätten also ein Quantensystem im Zustand ρm mit
Wahrscheinlichkeit p(m), wüssten also den Wert von m nicht. Ein solches
System müsste dann wie folgt beschrieben werden:
ρ=
X
m
p(m)ρm =
X
†
tr(Mm
Mm ρ)
m
†
Mm ρMm
†
tr(Mm
Mm ρ)
=
X
†
Mm ρMm
(8)
m
Diese Gleichung ist allgemeingültig, auch wenn man sich die Messung durch
die Wechselwirkung mit der Umwelt realisiert denkt (dann sind die Messoperatoren die sogenannten Krausoperatoren).
3
Der relativistische Messprozess
Quantenmechanische Messungen werden gewöhnlich als quasi-instantane Prozesse betrachtet. Diese Messungen beeinflussen die Wellenfunktion instantan
im ganzen Konfigurationsraum. Ist diese Änderung, die durch einen lokalisierten Messapparat verursacht wird, verträglich mit der Relativitätstheorie?
Die Antwort auf diese Frage ist keineswegs offentsichtlich. Da die Wellenfunktion kein materielles Objekt ist, ist auch die Geschwindigkeit ihrer
Änderung nicht durch die Lichtgeschwindigkeit begrenzt. Trotzdem stellt
sich die Frage wie die zeitliche Entwicklung eines ausgedehnten quantenmechanischen Systems, an dem mehrere Messungen gemacht werden, in underschiedlichen Bezugssystemen aussieht. Lorentz-Invarianz bedeutet, dass sich
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die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten nicht ändert,
wenn man die klassischen Raumzeitkoordinaten in einer speziellen Weise
transformiert. Diese Invarianz ist auf keinen Fall trivial, da die zeitliche
Abfolge von Messungen von dem jeweiligen Inertialsystem abhängen kann.
Trotzdem müssen alle beobachtbaren Ergebnisse die gleichen sein.
Betrachten wir die zeitliche Entwicklung eines Systems vom Anfangszustand
ρ0 zum Endzustand ρf .
X
ρf =
An ρ0 A†n
(9)
n
Die Lorentztransformation der Krausmatrizen kann man wie folgt erhalten:
Seien
ρ00 = U ρ0 U †
ρ0f = V ρf V †
(10)
wobei U und V unitäre Darstellungen der Lorentztransformationen sind.
Lorentz-Invarianz bedeutet, dass in einem anderen Bezugssystem die Krausmatrizen A0n die folgende Gleichung erüllen:
ρ0f =
X
†
A0n ρ00 A0 n
(11)
n
Eine einfache Lösung dieser Gleichung ist: A0n = V An U †
Diese ist aber nicht die allgemeinste, welche durch die Form A0n =
gegeben ist. Dabei ist Wnm eine beliebige unitäre Matrix.
m
m Wn V
P
Am U †
Diese Willkür kann nur durch eine genaue Analyse der Messung beseitigt
werden. Das ist jedoch eine schwierige Aufgabe, da die Beschreibung relativistischer Wechselwirkungen notwendigerweise zu Feldtheorien führt.
Quantenmechanische Messungen erlauben keine Übermittlung von Information mit einer höheren Geschwindigkeit als der charakteristischen Geschwindigkeit in den Propagatoren der beteiligten Teilchen. Das bedeutet, dass die
relativistische Kausalität nie durch quantenmechanische Messungen verletzt
werden kann.
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Quantenentropie und spezielle Relativitätstheorie
Die Entropie eines quantenmechanischen Systems wird folgendermaßen definiert
S ≡ −tr(ρ log ρ)
(12)
Diese Entropie hat jedoch unter Lorentztransformationen keine invariante
Bedeutung. Um dies zu verstehen betrachtet man zum Beispiel ein Teilchen
mit Spin 21 . Bei einem Boost erfährt der Spin nun eine Wigner-Rotation,
dessen Richtung und Betrag vom Impuls des Teilchens abhängt. Wenn auch
der Anfangszustand ein direktes Produkt aus einer Funktion vom Impuls
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und einer Funktion vom Spin ist, der transformierte Zustand wird es nicht
mehr sein. Auch die Verschränkung von Teilcheneigenschaften hängt vom
jeweiligen Bezugssystem ab.
5
Quantenfeldtheorie
Klassische Messungen von Quantensystemen sind lokalisierte Ereignisse. Wenn
man jedoch die Prinzipen der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie vereinigt, zeigt sich, dass Lokalisierung bestenfalls eine Idealisierung ist. Wie kann man sich sicher sein, dass sich zwei Messungen nicht
gegenseitig beeinflussen? Es scheint einen grundlegenden Kompromiss zwischen der Vertrauenswürdigkeit der Messung und der Lokalisierung zu geben. Die Teichenzahl stellt gewöhnlich auch keine Erhaltungsgröße mehr
dar.
6
Beschleunigte Beobachter und allgemeine Relativitätstheorie
Wenn ein beschleunigter Beobacher das Minkowski-Vakuum beobachtet,
kommt es zum sogenannten Unruh-Effekt. Er nimmt das Minkowski-Vakuum
als thermisches Teilchen-Bad wahr. Nun sollte aufgrund des Äquivalenzprinzips
ein ähnlicher Effekt auf gekrümmten Raumzeiten existieren. Historisch gesehen wurde dieser Effekt von Hawking vor dem Unruh-Effekt entdeckt. Er
untersuchte dabei den Kollaps eines sphärisch-symmetrischen Sterns hin zu
einem Schwarzen Loch. Der Außenraum solch eines Schwarzen Lochs wird
durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben.
2M
2M
ds = 1 −
dt2 − 1 −
r
r
2
−1
dr2 − r2 dΩ2
(13)
Berücksichtigt man Quanteneffekte, so stellt sich heraus, dass am Ereignishorizont Teilchen entstehen, die den Einflussbereich des Loches verlassen können. Diese Teilchem subsumiert man unter dem Begriff HawkingStrahlung. Bereits Anfang der 70er Jahre entdeckten Bardeen, Carter und
Hawking thermodynamische Analoga bei den Schwarzen Löchern, die es ihnen ermöglichten, einen Temperaturbegriff und einen Entropiebegriff zu definieren. Eine Identifikation dieser analogen Größen ermöglicht es, Pendants
zu den Hauptsätzen der Thermodynamik zu formulieren.
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