Aufgabenblatt 6 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
6. Übungsblatt
WS 2006/2007
A. Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen der Form
Ax = b, wobei A eine m×n-Matrix, x ein n-Tupel und b ein m-Tupel ist.
wahr
falsch
a. Notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Lösung ist,
dass m = n gilt.
b. Ist Rang (A) < Rang (A, b), dann hat das Gleichungssystem keine
Lösung.
c. Ein Gleichungssystem kann nur dann mehr als eine Lösung
besitzen, wenn m < n gilt.
d. Sind alle Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix linear
unabhängig, so existiert die Inverse dieser Matrix.
e. Ein linear unabhängiges Gleichungssystem besitzt stets eine
Lösung.
f. Ein Gleichungssystem der Form Ax = 0 mit m = n linear
unabhängigen Gleichungen besitzt die triviale Lösung x = 0 als
einzige Lösung.
g. Ein homogenes, linear abhängiges Gleichungssystem besitzt
neben der Triviallösung x = 0 genau eine weitere Lösung x ≠ 0.
h. Ist det A ≠ 0, so besitzt jedes Gleichungssystem Ax = b eine
Lösung.
i. Der Rang einer Matrix ist nie kleiner als m.
j. Die Spaltenvektoren einer regulären Matrix mit m = n bilden eine
Basis des Rn.
k. Vektoren sind nur dann linear abhängig, wenn sich jeder Vektor
als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.
l. Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix ist
stets gleich der Maximalzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen.
2.
Überprüfen Sie mittels der Determinantentheorie, für welche Werte von a die Zeilenvektoren
der Matrix
⎛ a − 1 1⎞
A = ⎜⎜ 0 2 a⎟⎟
⎝ a 7 a⎠
linear abhängig sind!
2
3.
Berechnen Sie den Wert der Determinanten
2 0 1
2 1 3
3 2 1
a. |A| = 0 5 1
b. |B| =
0 4 1
4 3 3
2 6 0
1
3
,
2
−3
indem Sie die Determinante zunächst in eine “Dreiecksdeterminante” umformen und dann
deren Wert berechnen.
Lösungshinweise: a. |A| = –32; b. |B| = –66.
4.
Gegeben sind die Determinanten
1 2 −1 3
4 7 − 4 4 , |B| =
|A| =
0 − 4 −1 0
1 1 0 −2
5
4
3
0
1
2
3
0
7
−9
8
0
6
9,
5
0
−2 8 5
|C| = 1 7 2 .
0 3 0
a. Berechnen Sie die Determinante |A|, indem Sie |A| zunächst in eine Dreiecksdeterminante
umformen und dann diese berechnen.
b. Berechnen Sie die Determinanten |B| und |C|. (Rechenweg beliebig!)
c. Benutzen Sie die in den Teilaufgaben a. und b. ermittelten Ergebnisse zur Beantwortung
der folgenden Fragen:
i. Was lässt sich über den Rang der Matrix B aussagen?
ii. Sind die Spaltenvektoren der Matrix C linear abhängig?
Lösungshinweise: a. |A| = 35;
b. |B| = 0, |C|= 27;
c. i. r(B) < 4,
ii. Die Spaltenvektoren der Matrix C sind linear unabhängig.
5.
Bestimmen Sie mittels der CRAMERschen Regel eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
3x1 − x 2 + 2 x 3 = 13
x 2 + 2 x 3 = 13
+ x3 = 7
x1
Lösungshinweise: (x1, x2, x3) = (2, 3, 5)
6.
Warum ist das folgende Gleichungssystem nicht nach der CRAMERschen Regel lösbar?
⎛ 1 0 − 2 0 ⎞ ⎛⎜ x1 ⎞⎟ ⎛ − 1⎞
⎜ 2 0 1 5⎟ x 2
⎜8⎟
⎜ 1 0 1 3⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ 5 ⎟
⎜ 0 3 0 0 ⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜ 6 ⎟
⎝
⎠ ⎝x4 ⎠ ⎝ ⎠
Besitzt dieses Gleichungssystem überhaupt eine Lösung?
7.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrizen
⎛ − 2 2 − 3⎞
⎛8 − 4⎞
D = ⎜⎜ 2 1 − 6⎟⎟
a.
A = ⎜⎜
b.
⎟⎟
⎝6 − 2⎠
⎝ −1 − 2 0 ⎠
a. λ1 = 4, a'1 = (1, 1)c1, λ2 = 2, a'2 = ( 23 , 1)c2, c1, c2 ∈ R;
b. λ1,2 = –3, d'1 = (–2, 1, 0)c1, d'2 = (3, 0, 1)c2, λ3 = 5, d'3 = (–1, –2, 1)c3, c1, c2, c3 ∈ R;
Lösungshinweise:
3
8.
Untersuchen Sie die folgenden quadratischen Formen auf Definitheit:
⎛x ⎞
a. ( x1 ,x 2 ) ⎛⎜ 2 1 ⎞⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ 1 3⎠ ⎝ x 2 ⎠
⎛x ⎞
b. ( x1 , x 2 ) ⎛⎜ 1 − 1⎞⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝−1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠
c.
x 2 + 6xy − 2 y 2
d.
− 2x 2 + 4 xy − y 2
e.
2 xz − y 2 + 4 yz − 8z 2 − 2x 2
f.
− 2x 2 − 3y 2 − 2z 2 + 2xy − 4xz + 2 yz
Lösungshinweise: a. positiv definit; b. positiv semidefinit;
e. negativ definit; f. negativ semidefinit.
9.
⎛ 3
a. Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = ⎜
⎝ 2
c. indefinit;
d. indefinit;
2⎞
⎟.
2⎠
Schließen Sie aus den Eigenwerten auf die Definitheit von A. Bestimmen Sie für den
betragsmäßig größten Eigenwert den zugehörigen Eigenvektor.
b. Überprüfen Sie die quadratische Form
Q ( x, y, z) = 2 xz − y 2 − 4 yz − 3z 2
auf Definitheit.
c. Überprüfen Sie die quadratische Form Q(x) = x′Ax mit
⎛ x1 ⎞
⎛− 2 5 1 ⎞
⎜ ⎟
x = ⎜ x 2 ⎟ und A = ⎜⎜ 1 − 3 − 4⎟⎟ auf Definitheit.
⎜x ⎟
⎝ 1 2 − 1⎠
⎝ 3⎠
Schreiben Sie Q(x) auch in skalarer Schreibweise.
10.
Überprüfen Sie, ob die Funktion
f ( x, y, z) = 2 x 2 − xz 2 + y 3 − 12 y + 4z 2 − 17
an den Stellen
b. P2 = (0, 2, 4)
c. P3 = (4, 2, 4)
a. P1 = (0, 2, 0)
ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum besitzt.
Lösungshinweis: f hat in P1 ein relatives Minimum.
11.
Der Student P. Lanlos muss eine Mathe II-Klausur bestehen. Ein Freund erzählt ihm, dass es
seit neuestem Pillen geben würde, welche die mathematischen Fähigkeiten eines Menschen
exorbitant vergrößern würden. P. Lanlos findet in der Apotheke 3 Mittel: Rommilin®, OhsoPax® und Gauß-o-forte®. Der Apotheker verrät ihm, dass die in einer Klausur erreichbaren
Punkte von der Einnahme dieser 3 Mittel abhängen und zwar gelte der folgende funktionale
Zusammenhang:
,
P(x, y, z) = − 13 x 3 + 4xy + 17x − 52 y 2 + 3yz − 25y − ( z − 2 )3 + 21z − 262
3
wobei x die Anzahl der Rommilin-Pillen, y die Anzahl der Ohso-Pax-Pillen und z die Zahl
der Gauß-o-forte-Pillen angibt, die er einnehmen würde.
Nachdem er 2 Ohso-Pax-Pillen geschluckt hat, fraß sein Hund Plexsim die Schachtel, so dass
er nur noch Rommilin und Gauß-o-forte zur zusätzlichen mathematischen
Leistungssteigerung verwenden kann. Was ist die maximale Anzahl von Punkten, die P.
Lanlos in der Klausur erreichen kann, und wie viele Pillen muss er dafür schlucken?
Lösungshinweis: Durch Einnahme von (x, y, z) = (5, 2, 5) erreicht Lanlos 44 Punkte.
4
B. Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten Bearbeitung
12.
Bestimmen Sie den Wert der Determinanten
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 2 −1
a. |A| =
b. |B| =
1 0 1 3 1 0
−1 1 2 1 −1 −1
0 0 −1 0 −1 1
5
2
0
−3
0
8
−4
8
4
0
0 −1 0
1 0 4
0 3 2
4 1 −2
3 −2 4
c.
1
2
0
2
Lösungshinweise: a. |A| = 1; b. |B| = 4184.
13.
Bestimmen Sie die Hauptminoren der Determinanten
0 −1 2 1
2 4 3
1 2 −1 0
0 1 1
a.
b.
0 1 2 −5
− 3 −1 2
−3 1 0 1
0
1
0
0
1
−1
3
1
1
−2
−2
3
Lösungshinweise: a. 2, 2, 3; b. 0, 1, 4, 76; c. 1, 1, 3, 1.
14.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrizen
⎛ 1 2 − 1⎞
a. B = ⎛⎜ 4 − 2 ⎞⎟
b. C = ⎛⎜ − 3 1 8 ⎞⎟
c. F = ⎜ − 2 3 1 ⎟
⎜−3 8 1 ⎟
⎝ 4 7 − 1⎠
⎝− 2 7 ⎠
⎝
⎠
Lösungshinweise: a. λ1 = 8, b'1 = ( − 12 , 1)c1, λ2 = 3, b'2 = (2, 1)c2, c1, c2 ∈ R;
c. λ1,2 = 0, f ′1 = (5, 1, 7)c1, λ3 = 5, f ′ 3 = (0, 1, 2)c3, c1, c3 ∈ R.
15.
a. Schreiben Sie in skalarer Schreibweise die quadratische Form Q(x) = x′Ax mit
⎛ 3 −2 4 ⎞
x′ = (x1, x2, x3) und A = ⎜ − 2 2 − 3⎟ .
⎜ 4 − 3 11 ⎟
⎝
⎠
Was kann man über die Definitheit von Q(x) sagen?
b. Schreiben Sie die folgende quadratische Form in Matrizenschreibweise (mit einer
symmetrischen Matrix).
Q ( x1 , x 2 , x 3 ) = −5x12 + 4x1x 2 − x 22 + 2x1x 3 − 2x 2 x 3 − 3x 32
Lösungshinweise: a. positiv definit; b. negativ definit.
16.
Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
f ( x , y, z) = 1 (z − 2) 4 + 2 y 2 + 6 xy + 9 x 2 − 2 y − 4z + 1
8
Lösungshinweis: f hat in ( − 13 , 1, 4) ein relatives Minimum.
17.
Überprüfen Sie, ob die Funktion
f ( w , y, z) = w 2 x + wx 2 + 1 x 3 − 4 x − 1 y 2 + y − z 2 + 2z
3
2
in den Punkten P1 = (–2, 0, 1, 2) bzw. P2 = (2, –4, 1, 1) relative Extrema besitzt. Wenn ja,
liegt ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum vor?
Lösungshinweis: f hat in P2 ein relatives Maximum.