Goniometrische Gleichungen

Grundlagen Algebra
EL / GS - 23.08.05 - e1_trigGl.mcd
Goniometrische Gleichungen
Definition:
Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen,
nennt man "goniometrische Gleichungen".
Lösungsweg:
Mit Hilfe der Formeln der Formelsammlung Seite 38 bis 39 lässt sich in vielen Fällen eine
zur gegebenen Gleichung äquivalente Gleichung finden, deren Lösungsmenge unmittelbar angegeben werden kann. Durch die Vielfalt bei goniometrischen Gleichungen können
nur für einfache ausgewählte Typen systematische Verfahren angegeben werden.
Es sind dies z.B.:
(1) Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion
(2) Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen desselben Arguments
(3) Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
1 / 11
Grundlagen Algebra
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichungstyp (1):
sin ( x) + sin ( 2 ⋅ x) = 0
Lösungsansatz:
Ersetzen des Terms mit doppeltem Arg. mit Hilfe des Additionstheorems:
Umformung von
sin ( 2 ⋅ x) entwickeln , x → 2 ⋅ sin ( x) ⋅ cos ( x) ⇒
Einsetzen:
sin ( x) + 2 ⋅ sin ( x) ⋅ cos ( x) = 0
Ausklammern:
sin ( x) ⋅ ( 1 + 2 ⋅ cos ( x) ) = 0
Lösungsmenge Fall 1:
sin ( x) = 0
ID = IR
sin ( x) = 0 auflösen , x → 0
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
xL11 := 0
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
xL12 := π
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL1 ( k) := xL11 + k ⋅ 2 ⋅ π
Lösungsmenge Fall 2:
xL13 := 2 ⋅ π
xL2 ( k) := xL12 + k ⋅ 2 ⋅ π
1 + 2 ⋅ cos ( x) = 0
1 + 2 ⋅ cos ( x) = 0 auflösen , x →
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
2
xL21 := ⋅ π
3
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
2
3
⋅π
xL22 := −xL21
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL3 ( k) := xL21 + k ⋅ 2 ⋅ π
xL4 ( k) := xL22 + k ⋅ 2 ⋅ π
Ausgabe der Lösungen:
xL1 ( k) =
xL2 ( k) =
xL3 ( k) =
xL4 ( k) =
-6.283
0
-3.142
3.142
-4.189
2.094
-8.378
-2.094
6.283
9.425
8.378
4.189
2 / 11
Grundlagen Algebra
Teilaufgabe b)
Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer
trigonometrischen Funktion:
f ( x) := sin ( x) + sin ( 2 ⋅ x)
2
1.6
1.2
y - Achse
0.8
0.4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.4
1
0.8
1.2
1.6
2
x - Achse
Graph von f(x)
Lösung: f(x) = 0
3 / 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grundlagen Algebra
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
3
2
Gleichungstyp (2):
cos ( x) − 2 ⋅ cos ( x) ⋅ sin ( x) = 0
Lösungsansatz:
Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras:
Ausklammern:
cos ( x) ⋅ cos ( x) − 2 ⋅ sin ( x)
Umformung von
sin ( x) + cos ( x) = 1
Einsetzen:
cos ( x) ⋅  cos ( x) − 2 ⋅ 1 − cos ( x)
Vereinfachen:
cos ( x) ⋅ 3 ⋅ cos ( x) − 2 = 0
Lösungsmenge Fall 1:
cos ( x) = 0
(
2
2
) =0
2
(
2
(
2
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
1
xL11 := ⋅ π
2
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
2
 = 0
)
cos ( x) = 0 auflösen , x →
1
2
⋅π
π
xL12 := −
2
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL1 ( k) := xL11 + k ⋅ 2 ⋅ π
Lösungsmenge Fall 2:
2
ID = IR
xL2 ( k) := xL12 + k ⋅ 2 ⋅ π
2
3 ⋅ cos ( x) − 2 = 0
1 



 1 2 
 acos ⋅ 6  
3
 
2

3 ⋅ cos ( x) − 2 = 0 auflösen , x →

1 

 1 2 

 π − acos ⋅ 6  

3

Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
1

1 2
xL21 := acos  ⋅ 6 
3

1

 1 2
xL31 := π − acos  ⋅ 6 
3

4 / 11
xL22 := −xL21
xL32 := −xL21
Grundlagen Algebra
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
k := −1 , 0 .. 1
Allgemeine Lösung:
xL3 ( k) := xL21 + k ⋅ 2 ⋅ π
xL4 ( k) := xL22 + k ⋅ 2 ⋅ π
1

 1 2
xL41 := π − acos  ⋅ 6 
3

xL42 := −xL41
xL5 ( k) := xL41 + k ⋅ 2 ⋅ π
xL6 ( k) := xL42 + k ⋅ 2 ⋅ π
Ausgabe der Lösungen:
xL1 ( k) =
xL2 ( k) =
xL3 ( k) =
xL4 ( k) =
xL5 ( k) =
xL6 ( k) =
-4.712
1.571
-7.854
-1.571
-5.668
0.615
-6.899
-0.615
-3.757
2.526
-8.809
-2.526
7.854
4.712
6.899
5.668
8.809
3.757
Teilaufgabe b)
Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer
trigonometrischen Funktion:
3
f ( x) := cos ( x) − 2 ⋅ cos ( x) ⋅ sin ( x)
2
2
1.6
1.2
y - Achse
0.8
0.4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.4
1
0.8
1.2
1.6
2
x - Achse
Graph von f
Lösung f(x) = 0
5 / 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grundlagen Algebra
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichungstyp (3):
sin ( x) = cos ( 2 ⋅ x)
Lösungsansatz:
Ersetzen des Terms mit doppeltem Argum. mit Hilfe des Additionstheorems:
ID = IR
cos ( 2 ⋅ x) = 1 − 2 ⋅ sin ( x)
2
2
Umformen liefert:
sin ( x) = 1 − 2 ⋅ sin ( x)
quadratische Gleichung:
2 ⋅ sin ( x) + sin ( x) − 1 = 0
Substitution:
u = sin ( x)
Einsetzen:
 −1 
2 ⋅ u + u − 1 = 0 auflösen , u →  1 
 
2 
Lösungsmenge Fall 1:
sin ( x) = −1
2
2
sin ( x) = −1 auflösen , x →
−1
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ] xL11 :=
⋅π
2
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
−1
2
⋅π
xL12 := −xL11 + π
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL1 ( k) := xL11 + k ⋅ 2 ⋅ π
Lösungsmenge Fall 2:
sin ( x) =
sin ( x) =
1
2
1
2
auflösen , x →
1
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ] xL21 := ⋅ π
6
Allgemeine Lösung:
xL2 ( k) := xL12 + k ⋅ 2 ⋅ π
k := −1 , 0 .. 1
1
6
⋅π
xL22 := −xL21 + π
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL3 ( k) := xL21 + k ⋅ 2 ⋅ π
6 / 11
xL4 ( k) := xL22 + k ⋅ 2 ⋅ π
Grundlagen Algebra
Ausgabe der Lösungen:
Probe:
xL1 ( k) =
sin xL1 ( k) =
(
-7.854
-1.571
Lösung
Lösung
Lösung
4.712
)
-1
-1
-1
-1
-1
-1
(
xL2 ( k) =
(
)
(
sin xL2 ( k) =
-1.571
4.712
Lösung
Lösung
Lösung
10.996
-1
-1
-1
-1
)
(
sin xL3 ( k) =
-5.76
0.524
Lösung
Lösung
Lösung
6.807
0.5
0.5
0.5
0.5
)
(
sin xL4 ( k) =
-1.571
4.712
Lösung
Lösung
Lösung
10.996
Teilaufgabe b)
)
cos 2 ⋅ xL3 ( k) =
0.5
0.5
(
xL2 ( k) =
)
cos 2 ⋅ xL2 ( k) =
-1
-1
(
xL3 ( k) =
)
cos 2 ⋅ xL1 ( k) =
)
cos 2 ⋅ xL4 ( k) =
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer
trigonometrischen Funktion:
f ( x) := sin ( x) − cos ( 2 ⋅ x)
2.4
2
1.6
1.2
y - Achse
0.8
0.4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.4
1
0.8
1.2
1.6
x - Achse
Graph von f
Lösung f(x) = 0
7 / 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grundlagen Algebra
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
2
Gleichungstyp (1):
cos ( x) + 2 ⋅ cos ( x) − 1 = 0
Lösungsansatz:
Substitution und Lösen der quadratischen Gleichung.
Substitution:
u = cos ( x)
ID = IR
 −1 
2 ⋅ u + u − 1 = 0 auflösen , u →  1 
 
2 
2
cos ( x) = −1
Lösungsmenge Fall 1:
cos ( x) = −1 auflösen , x → π
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
xL11 := π
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1 k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL12 := −xL11
xL1 ( k) := π + k ⋅ 2 ⋅ π
Lösungsmenge Fall 2:
cos ( x) =
cos ( x) =
xL2 ( k) := −π + k ⋅ 2 ⋅ π
1
2
1
2
auflösen , x →
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
π
xL21 :=
3
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
1
3
⋅π
xL22 := −xL21
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL3 ( k) := xL21 + k ⋅ 2 ⋅ π
xL4 ( k) := xL22 + k ⋅ 2 ⋅ π
Ausgabe der Lösungen:
xL1 ( k) =
xL2 ( k) =
xL3 ( k) =
xL4 ( k) =
-3.142
3.142
-9.425
-3.142
-5.236
1.047
-7.33
-1.047
9.425
3.142
7.33
5.236
8 / 11
Grundlagen Algebra
Teilaufgabe b)
Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer
trigonometrischen Funktion:
2
f ( x) := cos ( x) + 2 ⋅ cos ( x) − 1
2.4
2
1.6
1.2
y - Achse
0.8
0.4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.4
1
0.8
1.2
1.6
x - Achse
Graph von f
Lösung f(x) = 0
9 / 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grundlagen Algebra
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichungstyp (2):
1 − sin ( x) = cos ( x)
Lösungsansatz:
Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras.
Substitution:
cos ( x) =
Einsetzen:
1 − sin ( x) =
Quadrieren:
1 − 2 ⋅ sin ( x) + sin ( x) = 1 − sin ( x)
Umformen liefert:
2 ⋅ sin ( x) − 2 ⋅ sin ( x) = 0
Ausklammern:
2 ⋅ sin ( x) ⋅ ( sin ( x) − 1) = 0
Lösungsmenge Fall 1:
sin ( x) = 0
ID = IR
1 − sin ( x)
2
1 − sin ( x)
2
2
2
2
sin ( x) = 0 auflösen , x → 0
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
xL11 := 0
Allgemeine Lösung:
k := −1 , 0 .. 1
xL12 := π
xL13 := 2π
π
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL1 ( k) := xL11 + k ⋅ 2 ⋅ π
Lösungsmenge Fall 2:
sin ( x) − 1 = 0
sin ( x) − 1 = 0 auflösen , x →
Standardwerte in [ 0 ; 2 π ]
xL2 ( k) := xL12 + k ⋅ 2 ⋅ π
1
2
⋅π
1
xL21 := ⋅ π
2
k := −1 , 0 .. 2
k ∈ Z (k kann beliebig gewählt werden)
xL3 ( k) := xL21 + k ⋅ 2 ⋅ π
10 / 11
Grundlagen Algebra
Ausgabe der Lösungen:
Probe:
xL1 ( k) =
1 − sin xL1 ( k) =
(
-6.283
0
6.283
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
12.566
)
1
1
1
1
1
1
1
1
(
xL2 ( k) =
)
1 − sin xL2 ( k) =
-3.142
3.142
9.425
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
15.708
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
14.137
Teilaufgabe b)
(
)
cos xL2 ( k) =
-1
-1
-1
1
-1
)
(
1 − sin xL3 ( k) =
-4.712
1.571
7.854
)
1
1
1
(
xL3 ( k) =
(
cos xL1 ( k) =
)
cos xL3 ( k) =
0
0
0
0
0
0
0
0
Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer
trigonometrischen Funktion:
f ( x) := 1 − sin ( x) − cos ( x)
2.5
2
1.5
y - Achse
1
0.5
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
0.5
1
1.5
x - Achse
Graph von f
Lösung: f(x) = 0
11 / 11
5
6
7
8
9
10
11
12
13