blatt 5 - Die ganze Welt ist Mathematik

Hinweise: Der Doppelstrich // steht für eine Kommentarzeile. Tipp- und Rechtschreibfehler können trotz mehrfacher Kontrolle
nicht hundertprozentig vermieden werden. Die selbst erstellten Lösungsansätze orientieren sich an die Syntax sowie
Konventionsvorgaben der Vorlesung.
Zur Bearbeitung wurde u.a. folgende Literatur verwendet: - T. Bröcker „Analysis 1“ - Morgan „Real Analysis“ - H. Junek
„Analysis“ - Fritsche „Analysis 1“ - Modler/Kreh „Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1“ - Walter „Analysis 1“ Königsberger „Analysis 1“ - Forster „Analysis 1“ „Übungsbuch zur Analysis 1“ - Behrends „Analysis Band 1“ - Rolf Walter
„Einführung in die Analysis 1“ - Varga „Mathematische Logik für Anfänger: Aussagenlogik“ - G. Fanghänel, H. Vockenberg
„Arbeiten mit Mengen“ -M. Wohlgemuth „Mathematisch für Anfänger“ - Hairer, Wanner „Analysis in historischer
Entwicklung“ - Schäfer, Georgi, Trippler „Mathematik Vorkurs“ – H. Neunzert „Analysis 1“ …
Kontakt: www.mathematikwelt.npage.de
Abb. 1
Aufgabe 1: [Beschränktheit]
Behauptung: Eine Folge
ist genau dann beschränkt, wenn es zu beliebigem y
ein M
existiert mit
Nachdem ich am Samstag ungefähr 8 Stunden recherchiert und überlegt habe (16 Seiten
verschiedene Ansätze ausprobiert habe) kam ich auf die Idee, mit der allgemein gültigen Definition
aus fast jeder Literatur, wie u. a. von Otto Forster in Kapitel §4, zu arbeiten. Dort steht:
Definition: Die Folge
heißt genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Konstante
sodass
für alle n.
gibt,
Beweis: Mit einer allgemein gültigen Fallunterscheidung will ich nun die Behauptung beweisen.
Angenommen
ist beschränkt. Falls
immer positiv oder 0 ist, dann gibt es aufgrund der
Definition ein
mit
. Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten das y. Danach folgt
dann
, da
immer positiv. Da nur ein M existieren
braucht, definieren wir hier
. Hieraus folgt die Beschränktheit von .
Falls
nicht immer positiv oder 0 ist, dann gibt es aufgrund der Definition wieder ein
mit
. Nun addieren wir auf beiden Seiten das y. Danach folgt dann
, da
nicht immer positiv. Weil nur ein M existieren
braucht, definieren wir hier
. Hieraus folgt die Beschränktheit von . Damit ist die
Behauptung gezeigt. Hierfür wurde auch die Definition für den Beweis angewendet. q.e.d
1
Definition
[Beschränktheit]
heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S
Eine Folge
gibt mit
.
Eine Folge
heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s
gibt mit
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
.
Aufgabe 2: [Monotonie]
Definition
[Monotonie von Folgen]
Eine reelle Folge
heißt monoton wachsend, falls für alle n
heißt streng monoton wachsend, falls alle n
Eine reelle Folge
gilt, dass
gilt, dass
. Sie
.
heißt monoton fallend, falls für alle n
streng monoton fallend, falls alle n
gilt, dass
gilt, dass
. Sie heißt
.
Das lassen wir erstmal nicht so stehen, denn es gibt mehrere Möglichkeiten, Monotonie zu zeigen. Wir
beschränken uns auf den Fall, die wachsende Monotonie der Folge
zu zeigen. Analog folgt
die fallende Monotonie zu zeigen.
Monoton wachsend heißt, dass
gilt. Dies ist aber vollkommen äquivalent zu:
!"#
!
a)
&
$
, falls
%
// explizite Bildungsvorschrift
// nun sollen erst einmal die ersten Folgenglieder bestimmt werden
$ ( * + , - . / 0 $ $$ $( $* $+ $, $- $. $/ $0 ( ($ (( (* (+ (, (' ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1
( * + , - . / 0 $ $$ $( $* $+ $, $- $. $/ $0 ( ($ (( (* (+ (, (- (.
Die Folge
ist streng monoton wachsend, denn es gilt
2
.
Beweis:
2
(z.z.)
// auf einen Hauptnenner bringen und vereinfachen.
3 2
34
2
2
// Klammern auflösen
4 342
2
2
//Zusammenfassen!
// dies gilt
, da 1 > 0.
Damit ist
streng monoton wachsend. Ebenfalls wäre
konvergieren.
b)
& $,
2
& $ und für
* mit
&
4
5
beschränkt und würde gegen 1
42
Mit der rekursiven Bildungsvorschrift wird die Fibonacci-Folge beschrieben. Sie ist sehr
berühmt.
Die Fibonacci-Zahlen gehören sogar zu den
berühmtesten und am meisten benutzten Zahlen in der Mathematik. Fibonacci oder Leonardo von
Pisa hat im Jahre 1202 das berühmte Buch "Liber abaci" geschrieben, welches auch das
"Kaninchen - Problem" behandelt. Wenn 2 Kaninchen jeden Monat ein neues Paar Kaninchen zur
Welt bringen, dieses neue Paar aber erst im Alter von 1 Monat selbst zeugungsfähig ist und die
Kaninchen niemals sterben, wie viele Kaninchenpaare sind dann jeden Monat am Leben? Die
Antwort sind die Fibonacci-Zahlen! Die Abbildung 1 verdeutlicht die Fibonacci-Zahlen.
Die Fibonacci-Folge ist streng monoton steigend, denn es gilt:
4
42
4
, weil
42
//Behauptung: Dies gilt bestimmt.
mit
// Die Zwischenbehauptung wird mit einer äquivalenten Aussage beweisen:
4
Diese Ungleichung ist sicher eine wahre Aussage, weil
4
*.
ist!
Ergänzungen:
Beschränktheit: Diese Folge ist nach unten beschränkt z.B. mit der unteren Schranke c = 0. Da die
Folge streng monoton steigend ist, ist a1 = 1 das kleinste Folgenglied. Konvergenz: Diese Folge ist
divergent sie ist streng monoton steigend (die Folge
steigt sogar sehr stark an!) und nicht nach oben beschränkt.
& $) $) () *) ,) /) $*) ($) *+) ,,) /0) $++) 6 Das sind
die ersten Glieder der Folge.
Würde man auch die ersten beiden Glieder von
$) $) () *) ,) /) $*) ($) *+) ,,) /0) $++) 6 für die
Monotonie berücksichtigen, dann wäre die Fibonacci Folge
„nur“ „normal“ monoton steigend, aber oben galt ja
*.
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/fibonacci.htm
3
Aufgabe 3: [Limes]
Es sei
eine konvergente Folge.
Behauptung: Es gilt für jedes feste 7
8 9:; <=
&
>
Beweis: Zuerst wenden wir dazu die Regel für das Rechnen mit Grenzwerten bei Subtraktion an.
Der Beweis hierfür erfolgt analog zu den Beweisen aus Aufgabe 5.
Es gilt also für jedes feste 7
8 9:; <=
& 9:; <=
9:; <=
>
>
// Es wurden aus dem Limes der Differenz
// Hinweis: Limites ist der Plural von Limes.
>
zwei einzelne Limites gemacht.
Bevor wir weitermachen, bilden wir bilden wir zuerst noch eine Teilfolge von
.
//Wozu das sinnvoll ist, wird man später noch sehen.
Es ist nun ? @ A B
& ? CB
eine Teilfolge von
, wobei D8 < eine streng
A
A
monoton wachsende (auch injektiv) Abbildung mit A & D E ist.
Man sieht nach diesem kleinen Exkurs sofort, dass
> für jedes feste natürliche k eine Teilfolge
der Folge
ist. Damit dies wirklich stimmt, werde ich gleich noch im Anhang einen
wichtigen Satz beweisen. (***)
Um uns das noch einmal beispielhaft klar zu machen, sage ich einfach mal, dass
als
konstante Folge definiert sei, also wie folgt:
&
. Bei der Teilfolge setzen wir nun das k
einfach mal auf 3, d.h. ? C B
& A F A , wobei A & E *, welches definitiv eine Teilfolge
A
ist. Nun schreiben wir noch einmal die Folgenglieder auf:
& $)()*)+),)-).) 6 ) sowie
&
+),)-)
6
.
A F
Da
aufgrund unsrer Annahme eine konvergente Folge ist, legen wir nun 9:; <=
&
fest. Wir haben also lediglich den Grenzwert der Folge
als a festgelegt. Damit jetzt aber
auch 9:; <=
9
:
;
&
gilt,
muss
der
Grenzwert
von
>
<=
> ebenfalls a sein. Dies
werden wir nun zeigen.
Zwischenbehauptung: Ist
konvergent, so auch jede Teilfolge mit demselben Grenzwert.
Beweisidee: Ist
eine Folge, und > > eine Folge natürlicher Zahlen, sodass
2
& # ) H ) I ) 6 eine Teilfolge von
so heißt die Folge ? G B
. Es soll nun folgendes
>
6,
gezeigt werden, falls 9:;
& und J K
< injektiv, dann ist 9:; ? L M
& . Den
Fall der Teilfolge erhält man, wenn man J 7 & > setzt. Hier wird auch ausgesagt, dass man
Folgenglieder auch beliebig umordnen darf, ohne dass sich ihr Grenzverhalten ändert.
Beweis:
< heißt: Für jedes
ist
NO
für fast alle n, also für alle bis auf etwa
P$) () 6 ) Q. Weil R injektiv ist, gibt es höchstens K Zahlen n, sodass R
P$) 6 ) Q, also
für fast alle n gilt: R
S P$) 6 ) Q . Also für fast alle n ist L
NO , und das heißt ? L B < .
Das Grenzverhalten von folgen ist im gewissen Maße mit der Anordnung der reellen Zahlen
verträglich.
5 Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen.
Mit der Zwischenbehauptung folgt schließlich 9:; <=
> & , da der Grenzwert der Teilfolge
gleich dem Limes der konvergenten „Ausgangs“-Folge ist.
Ferner gilt: 9:; <=
9:; <=
&
&
>
//weil aufgrund der Körperaxiome – a das „Negative“ zu a.
Hiermit ist alles gezeigt, d.h. die Kernbehauptung bewiesen.
4
q.e.d.
Anhang:
Sätze:
i.
Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. die Menge P
beschränkt.
ii.
Q der Folgenglieder ist
[Satz von Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente
Teilfolge, das heißt mindestens einen Häufungspunkt.
Beweis_(i): siehe „Analysis 1“ von Theodor Bröcker
Beweis_(ii): Für dieses Übungsblatt trivial, denn (ii) wurde mit dem Intervallschachtelungsprinzip in der
Vorlesung bewiesen.
Definition
[Teilfolge]
Seien
eine beliebige Folge und T K
< eine streng monoton wachsende Abbildung, das heißt,
es gelte T U
T
für alle m, n
mit m > n, dann nennen wir die Folge V > >W eine
Teilfolge von
V >
>W
. In den meisten Fällen setzen wir
.
Aufgabe 4: [Endlich viele Abänderungen]
>
T 7 und schreiben
G
>W statt
Behauptung: Eine Folge
sei Konvergent zum Grenzwert g und X sei eine Folge mit
% X für
höchstens endlich viele n
, dann konvergiert auch die Folge X gegen g.
Vorüberlegung: In jeder Umgebung von a liegen fast alle Glieder
; das sind aber auch fast alle Glieder
X . Dieser Satz ist unmittelbar klar, da eine Folge genau dann konvergent ist, wenn fast alle Glieder in
einer beliebigen Umgebung um den Grenzwert liegen. Die endlich vielen Ausnahmen, also die
Abänderungen, spielen in Folge dessen keine Rolle.
Wir haben erneut den Begriff Teilfolge benutzt ohne auf ihn erneut eingegangen zu sein.
Beweis-Exposition: Da
gegen g konvergiert, gibt es zu jedem Y
ein Z mit
[
Y für
Z . Wir brauchen aber X
[
Y. Ab welchem Index kann man in der Differenz X
[ statt X
genauso gut
schreiben. Das heißt, wie groß muss n hierfür mindestens sein? Dazu wählen wir nach
langer Überlegung^^ einfach
; \]PZ ) Z2 Q, d.h. mit
; \]PZ ) Z2 Q ist das n größer als Z und Z2 .
Beweis: Weil
gegen g konvergiert, gibt es zu jedem Y
ein Z
mit
[
Y für
Z.
Weil die Folgenglieder fast überall gleich sind, gibt es ein Z2
derart, dass es für
Z2 immer
X & . Damit folgt, dass X
[ &
[
Y
; \]PZ ) Z2 Q.
q.e.d.
5
Aufgabe 5: [Grenzwerte - Rechenregeln]
und X
X
Seien
die Folgen
konvergente Folgen mit 9:;
,
^X
konvergent.
&
<=
und 9:;
X
konvergiert zum Grenzwert a + b.
a) Behauptung: Es gilt
Beweis: Zu gegebenem Y
wählen wir die Zahlen D_ und D__ so, dass
D_ bzw. X
X
für alle
2
Ungleichungen und für diese n folgt
O
D__. Für die Indizes
X
X
D )D
`
b) Behauptung: Es gilt
^X
konvergiert zum Grenzwert a ^ b.
Beweis: Wir verwenden die Identität X
X&
X
X
X
Zu Y
wählen wir nun N so, dass für alle
Z zugleich gilt:
O
O
; :ab
) $d
X
X
.
2c
2
2
Aus der ersten Ungleichung folgt zunächst
(**) schließlich
X
X
$
2
O
2
2
X
O
2c
``
<=
X
& X. Es sind dann
O
2
für alle
bestehen die beiden
X
X
Y. 5
(**)
$ und aus beiden mittels
Y für n > N. 5
2
g hh X % i
zum Grenzwert .
c
g hh X &
Beweis: Zu j
X
wählen wir zunächst ein Z_ so, dass X
X
j ist für
Z_. Für
2
diese n gilt dann X
X
j
), X
. Zu gegebenem Y
wählen wir ferner ein Z Z_
derart, dass außerdem für alle n die Ungleichung X X
Y X 2 gilt. Für
Z folgt damit
c) Behauptung: Gilt zudem X % , so konvergiert e
k
c!
c
k&
c! 4c
c! c
Y. Dies beweist zunächst
c!
6
!
mit e & fc!
2
< . Zusammen mit b. folgt c. allgemein.
c
5
Aufgabe 6: [Grenzwerte bestimmen]
&
a)
H4
3
&
3 2
4 3
&
&
2
l2
#
m
!
& l(
m
// Es wurde die Definition der Folgenglieder vereinfacht, indem zuerst die binomische Formel im
Zähler angewendet wurde, danach wurde der Zähler zusammengefasst. Anschließend wurde n
ausgeklammert und gekürzt. Nun wollen wir den Grenzwert der Folge bestimmen:
$
9:;
& 9:; '(
1&(
//Dies gilt, weil 9:;
&
b)
34
F n 2
2
<= (
o
<=
& ( und aus der Vorlesung als Nullfolge bekannt ist.
#
#
H
m
!n
p
m
!n
nl! 4 !3
&
<=
H
!3
I lF
&
#
#
l! 4 !3
lF
H
!3
H
m
!n
p
m
!n
// Es wurde auch hier wieder der Bruch vereinfacht, damit der Grenzwert bestimmt werden kann.
9:;
& 9:; q
<=
<=
l
$
$
3
(
3
l*
(
m
n r&
+
m
n
*
&
*
&
// Es wurden hierfür die in Aufgabe 5. bewiesenen Regeln erneut angewendet. Wenn man eine
Null im Zähler eines Bruchs hat, dann resultiert für den Wert des Bruchs eine Null.
c)
9:;
&
<=
!
& ^ ^ ^ ^6 ^
^ & t>u2
$ ( * +
$
^ 1&
& 9:; ' ^ ^ ^ ^ 6 ^
2
<=
F
o
4
(
9:; ' 1 ^ 9:; ' 1 ^ 6 ^ 9:; '
<=
$
s
<=
<=
>
$
1 ^ 9:; $ &
<=
//Achtung, das ist ungenau, weil obige Aussage falsch ist, also nicht so rechnen! Es gibt keinen
Grenzwert von einem unendlichen Produkt. Nun das ganze noch einmal richtig:
Um zu zeigen, dass die Folge gegen null konvergiert, reicht es wenn ich zeigen kann das ich einen
Faktor beliebig klein bekomme, bzw. ich kann die ganze Folge durch den ersten Faktor abschätzen.
s
!
v 9:;
<=
&
ist aber konvergent gegen null, nach dem Majorantenkriterium muss damit auch der andere
Bruch konvergent sein und desen Grenzwert muss 0 sein. Da der Bruch immer positiv ist, ist der
Grenzwert = 0. Damit ist nun alles gezeigt.
Ergänzung: Für "sehr große" n gilt die Stirling-Näherung: n! ist ungefähr
^ y 4 . In obigen Term eingesetzt ergibt sich dann: 9:; <= ?w( ^ x ^
w( ^ x ^ ^
7
^ y4 B &
d)
&
2
F
&
6
#
3l!3
H
!3
6
#
m
!
&l
2
6
F
m
3
3
3
3
3
//nach dieser mathematischen Zusammenfassung kann erneut der Grenzwert gebildet werden:
Achtung: folgende Aussage ist falsch, denn man kann nicht einfach den Limes einer unendlichen
Summe (Nenner) bilden. Deshalb haben wir die nach Gauß benannte Summenformel angewandt.
9:;
& 9:; z'
<=
<=
// Dies ist also falsch!
$
3
(
3
$
$
6
1{ &
*
&
*
&
$
$
3 l$
m l$
m
3
&
&
&
(
( 3
3 (
So, nun machen wir das ganze noch einmal richtig:
|>u 7
&
&
3
9:;
<=
(
3
& 9:; q
<=
l$
(
&
$
m
( 3
r&
$
$
& ),
(
Der korrekte Grenzwert der Folge beträgt also 0,5.
Exkurs -Historisches:
Nach Eulers Tod im Jahr 1783 folgte eine Periode des Stillstands in der
Mathematik. Er hatte virtuell jedes Problem gelöst: zwei übertroffene
Abhandlungen über die Analysis des Unendlichen und der Differentiale
(Euler 1748, 1755), lösbare Integrale gelöst, lösbare
Differentialgleichungen gelöst (Euler 1768, 1755), die Geheimnisse der
Flüssigkeiten (Euler 1755b), der Mechanik (Euler 1736b, Lagrange1788),
des Variationskalküls (Euler 1744), der Algebra (Euler 1770) alle
offenbart. Es schien, als bliebe keine Aufgabe mehr übrig, die Euler nicht
schon in 30.000Seiten seines Lebenswerkes abgearbeitet hätte. Die
„Théorie des fonctions analytiques“ von Lagrange (1797), „befreit von
allen Überlegungen zu unendlich kleinen Werten, verschwindenden
Zahlen, Grenzwerten und Fluxionen“, die Doktorarbeit von Gauß (1799)
über den „Fundamentalsatz der Algebra“ und die Studien zur Konvergenz
der hypergeo-metrischen Reihe (Gauß 1812) markierten den Beginn einer
neuen Epoche.
Source: www.york.ac.uk
8
Bolzano bemerkte, dass es Gauß’ erstem Beweis an Strenge gemangelt hatte; er gab sodann 1817 einen
„rein analytischen Beweis des Satzes, dass zwischen zwei Werten, die Verschiedene Vorzeichen
hervorbringen, mindestens eine Wurzel der Gleichung existieren muss“. 1821 etablierte Cauchy neue
Maßstäbe an die Strenge in seinem berühmten „Cours d’Analyse“. Die Fragen lauten wie folgt:
Was ist eine Ableitung in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.
Was ist ein Integral in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.
6 in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert.
Was ist eine unendliche Reihe
2
F
Dies führt zu:
Was ist ein Grenzwert? Antwort: Eine Zahl.
Und schließlich die letzte Frage:
Was ist eine Zahl?
Weierstraß und seine Mitstreiter (Heine, Cantor), sowie Méray, beantworteten diese Fragen um 1870 –
1872. Sie füllten auch viele Lücken in Cauchys Beweisen, indem sie die Begriffe der gleichmäßigen
Konvergenz, der gleichmäßigen Stetigkeit, der termweisen Integration einer Reihe und der termweisen
Ableitung einer unendlichen Reihe klärten.
„Man sagt, eine Größe ist der Grenzwert einer anderen Größe, wenn die zweite sich der ersten bis auf jede
beliebig kleine Größe nähert …“ (D’Alembert 1765, Encyclopédie, tome neuvieme, à Neufchastel.)
„Wenn eine variable Größe gegen einen festen Grenzwert konvergiert, ist es oftmals nützlich, diesen
Grenzwert durch eine besondere Notation zu bezeichnen, was wir durch das Setzten der Abkürzung lim
vor die betroffene Variable erzielen wollen …“ (Cauchy 1821, Cours d‘ Analyse)
Letztes Update: Freitag am 20. 05. 2011 um 16: 16
(2438 Wörter)
.
9