3.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der

3.3. Tilgungsrechnung
Grundbegriffe
Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger
(z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S;
Bezeichnung:
S . . . Schuld, Darlehen, Kredit
Es geht um die Rückzahlung von S einschließlich aller anfallenden
Zinsen.
Rückzahlungsmöglichkeiten:
1. am Ende der Kreditlaufzeit in voller Höhe + Zinsen
(gesamtfällige Schuld =⇒ Zinsrechnung)
2. in unregelmäßigen Beträgen (Formel (*), später)
3. in regelmäßigen Beträgen (Bezeichnung: Annuitäten Ak )
Betrachtung des Falls von Rückzahlungen in regelmäßigen
Zeitabständen (Tilgungsperioden)
Für jede Tilgungsperiode ist ein Zinssatz ik festgelegt, so dass sich
die k-te Annuität wie folgt zusammensetzt:
Ak
Zk
Tk
= Zk + Tk
. . . Zinsanteil
. . . Tilgungsanteil
Zinsanteil: Zinsen für die Restschuld Sk−1 zu Beginn der
k-ten Tilgungsperiode:
Zk = Sk−1 · ik
Damit ergibt sich
Sk = Sk−1 − Tk
1
Bezeichnungen:
n . . . Laufzeit des Kredits in Tilgungsperioden
ik . . . Zinssatz pro Tilgungsperiode
Zk . . . Zinsen für die k-te Tilgungsperiode, k ∈ {1, 2, . . . , n}
Tk . . . Tilgungsbetrag für die k-te Tilgungsperiode,
k ∈ {1, 2, . . . , n}
=
ˆ Betrag, um den sich die Schuld durch die Rückzahlung
verringert
Ak . . . Annuität für die k-te Tilgungsperiode, Ak = Tk + Zk ,
k ∈ {1, 2, . . . , n}
Sk . . . Restschuld/Schuldenstand am Ende der k-ten Tilgungsperiode, k ∈ {1, 2, . . . , n}
Wir unterscheiden:
Annuitätentilgung
Ratentilgung
Ak = konst. = A
k = 1, 2, . . . , n
Tk = konst. = T
k = 1, 2, . . . , n
⇓
⇓
Zk &
(da die Restschuld kleiner wird)
Zk &
(da die Restschuld kleiner wird)
⇓
⇓
Tk %
(konstante Belastung)
Ak &
(stärkste Belastung am Anfang)
2
Bezeichnung:
Tilgungsplan: = Tabelle, die für jede Tilgungsperiode der Laufzeit
des Kredits in übersichtlicher Form die Restschuld, die Annuität und
die Zinsen darstellt.
Beispiel:
Tilgungsperiode
k
1
2
3
4
5
Beispiel:
S = 500.000, n = 5, i = 6%
Ratentilgung: Rate Tk = T = 100.000
Restschuld
Zinsen
Annuität
Restschuld
am Anfang der
am Ende der
Tilgungsperiode
Tilgungsperiode
Sk−1
Zk = Sk−1 i Ak = T + Zk
Sk
500.000
400.000
300.000
200.000
100.000
30.000
24.000
18.000
12.000
6.000
130.000
124.000
118.000
112.000
106.000
400.000
300.000
200.000
100.000
0
S = 500.000, n = 5, i = 6%
Annuitätentilgung: Annuität Ak = A = 118.698, 20
( berechnet über nachschüssigen Rentenbetrag einer 5-jährigen
Rente für den Barwert R0 = 500.000:
q n(q − 1)
1, 065 · 0, 06
R = R0 n
= 500.000
= 118.698, 20 )
q −1
1, 065 − 1
Tilgungsperiode
k
1
2
3
4
5
Restschuld
Zinsen
am Anfang der
Tilgungsperiode
Sk−1
Zk = Sk−1 i
500.000,00
411.301,80
317.281,71
217.620,41
111.979,43
30.000,00
24.678,11
19.036,90
13.057,22
6.718,77
3
Annuität
A
Restschuld
am Ende der
Tilgungsperiode
Sk
118.698,20
118.698,20
118.698,20
118.698,20
118.698,20
411.301,80
317.281,71
217.620,41
111.979,43
0
Annuitätentilgung mit festem Zinssatz
Annuität = Zinsen + Tilgung = konstant,
d.h. A = Zk + Tk = konstant
Aus den Formeln der Rentenrechnung folgt:
Sk =
Sq
qk − 1
− A
q−1
k
Schuld ohne Tilgung
Falls
Rk
A > Si = Z1
=⇒
Sk & =⇒
Tk %
mit
Tk = Sk−1 − Sk .
Differenz Tk − Tk−1 ist Zinsersparnis, die durch die Tilgung Tk−1
verursacht wird:
Tk − Tk−1 = Tk−1i ,
Tk = Tk−1 + Tk−1i = Tk−1q ,
Tk = T1q k−1 , k = 1, 2, 3, . . .
Aus A = Z1 + T1 = Si + T1
und schließlich
folgt
T1 = A − Si ,
Tk = (A − Si)q k−1 = (A − S(q − 1))q k−1 .
Satz:
Im Falle der Annuitätentilgung einer Schuld S durch die Annuität A
(Voraussetzung A > Si) gelten allgemein folgende Gleichungen für
k = 1, 2, 3, . . .
qk − 1
k
Sk = Sq − A
(3.1)
q−1
¡
¢
Tk = A − S(q − 1) q k−1 = T1q k−1
(3.2)
¡
¢
Zk = A − A − S(q − 1) q k−1
(3.3)
4
Vorgabe der Laufzeit n
• gegeben n: Sn = 0
Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt:
qn − 1
0 = Sn = Sq − A
,
q−1
n
woraus folgt:
q n(q − 1)
A=S n
q −1
(3.4)
(Welche Rate muss man bezahlen, um ... ?)
•
qn − 1
S=A n
q (q − 1)
(Welche Schuld kann ich auf mich nehmen, wenn ... ?)
5
(3.5)
Berechnung der Tilgungsdauer aus einer
vorgegebenen Annuität
Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt:
qn − 1
n
0 = Sn = Sq − A
,
q−1
woraus – wie für die entsprechende Formel der Rentenrechnung –
folgt:
¢
¡
Si
− ln 1 − A
(3.6)
n=
ln q
Beispiel:
S = 50.000,
i = 6% Jahreszinssatz,
A = 4.500 am Jahresende
µ
¶
50.000 · 0, 06
− ln 1 −
4.500
=⇒ n =
= 18, 85
ln 1, 06
Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld
q 18 − 1
18
S18 = Sq − A
q−1
1, 0618 − 1
18
= 50.000 · 1, 06 − 4.500
= 3.641, 52
0, 06
Am Ende des 19. Jahres muss dieser Betrag einschließlich der anfallenden Zinsen gezahlt werden, also
S19 = 3.641, 52 · 1, 06 = 3.860, 01 = A19
In einem solchen Fall spricht man von
Annuitätentilgung mit verminderter Abschlussannuität
(entsprechend:
Annuitätentilgung mit erhöhter Abschlussannuität ).
A18 = A + S18 = 8.141, 52
6
Effektivzinsberechnung
Basis: Preisangabenverordnung (PAngV) vom 10.8.2000 (im Netz)
Grundlagen:
– durchgehend zinseszinsliche Rechnung
– Berechnung von Zeitdifferenzen in Jahren mit
365 Tagen oder
12 gleichlangen Monaten ( à 30, 416 Tage) oder
52 Wochen
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
m
X
k=1
Ak
(1 + i)tk
0
m
X
=
k 0 =1
A0k0
t0 0
(1 + i) k
Abgezinste Leistungen
Abgezinste Leistungen
des Gläubigers
=
des Schuldners
(Kreditauszahlungen)
(Tilgungszahlungen und Kosten)
7
(∗)
Beispielrechnungen aus der PAngV
Beispiel:
Die Darlehenssumme S beträgt 1000 e .
Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen:
Nach 3 Monaten
(0,25 Jahre/ 13 Wochen/ 91,25 Tage)
272 e
Nach 6 Monaten
(0,5 Jahre/ 26 Wochen/ 182,5 Tage)
272 e
Nach 12 Monaten
(1 Jahr/ 52 Wochen/ 365 Tage)
544 e
Insgesamt
1088 e
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
1000 =
272
91,25
(1 + i) 365
+
272
182,5
(1 + i) 365
Das Ergebnis lautet i = 0, 13185 . . . ;
dieses Ergebnis wird auf 13,19% gerundet.
8
+
544
365
(1 + i) 365
Beispiel:
Die Darlehenssumme S beträgt 4000 e , jedoch behält der Darlehensgeber 80 e für Kreditwürdigkeitsprüfungs- und Bearbeitungskosten
ein, so dass sich der Auszahlungsbetrag des Darlehens auf 3920 e
beläuft. Die Darlehensauszahlung erfolgt am 28. Februar 2000.
Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen:
Am 30. März 2000
30,00 e
Am 30. März 2001
1360,00 e
Am 30. März 2002
1270,00 e
Am 30. März 2003
1180,00 e
Am 28. Februar 2004 1082,50 e
Insgesamt
4922,50 e
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
3920, 00 =
+
30
1
+
37
+
(1 + i) 12
1180
(1 + i) 12
1360
13
(1 + i) 12
1082, 50
Das Ergebnis lautet i = 0, 09958 . . . ;
dieses Ergebnis wird auf 9,96% gerundet.
9
48
(1 + i) 12
+
1270
25
(1 + i) 12
Beispiel:
Die Darlehenssumme S beträgt 10.000 e und die Darlehensauszahlung erfolgt am 15. Oktober 1999.
Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen:
• Jeweils am 15. eines Monats (d.h. periodisch)
1.000,00 e
erstmals am 15. November 1999
und letztmals am 15. März 2000
• Zusätzliche Zahlungen jeweils am Ende eines
bestimmten Monats in folgender Höhe:
Oktober 1999
25,00 e
November 1999
47,50 e
Dezember 1999
42,50 e
Januar 2000
37,50 e
Februar 2000
32,50 e
• Am 5. April 2000
5031,67 e
Insgesamt
10.216,67 e
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
10.000, 00 =
+
+
1.000
1
+
5
+
(1 + i) 12
1.000
(1 + i) 12
37, 50
3
15
(1 + i) 12 + 365
1.000
2
(1 + i) 12
25
15
(1 + i) 365
+
+
1.000
3
(1 + i) 12
+
1.000
1
15
(1 + i) 12 + 365
15
(1 + i) 12 + 365
+
4
(1 + i) 12
47, 50
32, 50
4
+
+
42, 50
2
5.031, 67
5
20
(1 + i) 12 + 365
Das Ergebnis lautet i = 0, 06174 . . . und wird auf 6,17% gerundet.
10
15
(1 + i) 12 + 365