Systeme mit verteilten Parametern IFAT–Vorlesung im SS 2014

Transcription

Systeme mit verteilten Parametern
IFAT–Vorlesung im SS 2014
Prof. Dr. Dietrich Flockerzi
Max-Planck-Institut
Sandtorstrasse 1
D-39106 Magdeburg
Tel.: 0391-6110-362
email: [email protected]
Version 05-pdess14/20.Mai 2014
Kaustiken
u2x + u2y = c2
mit u(x, y) = 0
für x2 + y 2 = 1
SVP–Handout (Sommer 2014)
1 Continuum Mechanics
1.1 Hilfsmittel aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Eulerian Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Energy Conservation and Heat Equation . . . . . . . . . .
1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Convection/Advection (cf. Charakteristikenmethode
1.4.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Transmission of Sound Waves . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Adiabatic Gas Equations . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Vibrating String or Membrane . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Electromagnetism (Maxwell’s Equations) . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
– App.B)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
4
6
6
6
7
7
7
8
8
2 Analysis-Grundlagen
11
2.1 Funktionenfolgen – Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Fourier–Analysis
19
3.1 Die schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Die
4.1
4.2
4.3
4.4
klassischen PDEs
Wellengleichung . . . . . . . . . . .
Potentialgleichung . . . . . . . . . .
Wärmeleitungsgleichung . . . . . .
Sturm–Liouville Randwertprobleme
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Integraltransformationen
5.1 Anwendungen der Fourier–Transformation
5.1.1 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 PDEs . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 ODEs und Regelungstechnik . . . .
5.1.4 Integralgleichungen . . . . . . . . .
5.1.5 Sampling Theorem . . . . . . . . .
5.2 Anwendungen der Laplace–Transformation
5.2.1 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 ODEs und Regelungstechnik . . . .
5.2.3 PDEs . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Integralgleichungen . . . . . . . . .
5.3 Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Appendix:
Eigenschaften der Laplace-Transformation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
29
30
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
35
37
39
39
40
40
41
42
44
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
SVP–HANDOUT (SOMMER 2014)
Literatur – Aufgaben
51
A Eigenwerte und Singulärwerte
A.1 Grundlagen – Exkurs in Lineare Algebra . . . . . . . .
A.2 Anwendungen der Singulärwertzerlegung (SVD) . . . .
A.3 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen . . . . . . . .
A.4.1 ODE–Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . .
A.4.2 Dirichletprobleme der Wärmeleitungsgleichung
A.4.3 Hyperbolic PDE Systems of First Order . . . .
53
53
56
60
61
61
61
64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B PDEs erster Ordnung: Charakteristikenmethode
67
C Weak Solutions and Shocks
71
C.1 Weak Solutions – Rankine-Hugoniot Conditions . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.2 Riemann-Problems for Quasilinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
D Sturm-Liouville Randwertprobleme
E Topics aus Linearer Algebra
E.1 Fredholm Alternative . . . . . . .
E.2 Schurform und Spektralzerlegung
E.3 Standard Matrix-Norms . . . . .
E.4 Weighted Scalar Products . . . .
.
.
.
.
77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Keine Angst vor der Kybernetik! Am Ende schaltet sie sich selber aus (S.J.Lec).
85
85
86
88
88
Handout zur SVP–Vorlesung 2014
Kapitel 1
Continuum Mechanics
1.1
Hilfsmittel aus der Analysis
Satz von Stokes/Green:
R
div(f )dx =
B
R
∂B
(1.1)
f • n dσ
für anständiges B m RN und RN –Funktion f ∈ C 1 (B) ∩ C(B) bei äusserer Normalen n
und Oberflächenelement dσ. Es ergibt sich für die partielle Integration
R
∂B
ρ (v • n) dσ =
R
B
div(ρv) dx =
R
B
∇ρ • v dx +
R
B
ρ (∇ • v) dx
für ρ : B → R, v : B → R3 , insbesondere für v = ∇w mit w : B → R:
R
ρ (∇w • n) dσ =
∂B
R
div(ρ∇w) dx =
B
R
∇ρ • ∇w dx +
B
R
B
ρ ∆w dx
Satz von Liouville:
Rt
Ẏ = A(t)Y, Y (0) = Y0 ⇒ det(Y (t)) = exp[ 0 tr(A(s))ds]det(Y0 ).
(1.2)
• Ein direkter Beweis via Determinanten: Mit W (t) = det(Y (t)) und Spalten Yj in Y hat
man
Ẇ = det(AY1 , Y2 , .., YN ) + · · · + det(Y1 , Y2 , .., AYN ) = tr(A)W
da det[(s − A)Y ] einerseits gleich det[s − A]det[Y ] = (sN − tr(A)sN −1 + · · · )det[Y ] und
andererseits gleich det[(s − A)Y1 , ..., (S − A)YN ] = sN det[Y ] − sN −1 (det(AY1 , Y2 , .., YN ) +
· · · + det(Y1 , Y2 , .., AYN )) + · · · ist.
Allgemeinere Form von Liouville’s Theorem (Volumen-Evolution):
Für die Lösung Φ(t, x) einer glatten Dgl. ξ˙ = v(t, ξ) mit Anfangswert ξ(0) = x gilt für die
1
2
KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS
Funktionaldeterminante δ(t) = det[Φx (t, x)] die Beziehung
δ̇ = div(v(t, Φ(t, x))) δ, δ(0) = 1,
Rt
i.e. δ(t) = exp[ 0 div(v(t, Φ(t, x)))dt]
(1.3)
bei Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in
d
d
d
d
v(t, Φ(t, x)) = vx (t, Φ(t, x))Φx , Φx (0, x) =
Φx =
Φt =
x=I
dt
dx
dx
dx
denn aus der Identität Φ(t + h, x) = Φ(t, x) + v(t, Φ(t, x))h + O(h2 ) folgen
δ(t + h) = δ(t) det[Φx (t, x)−1 ] det[I + vx (t, Φ(t, x))h + O(h2 )] det[Φx (t, x)]
und somit
δ(t + h) = δ(t) [1 + tr(vx (t, Φ(t, x))h + O(h2 )],
d
δ = tr(vx (t, Φ(t, x))) δ(t) = div(v(t, Φ(t, x))) δ(t),
dt
δ(0) = 1 .
Transport Theorem:
Für Bt = Φ(t, B0 ) = {x = Φ(t, ξ) : ξ ∈ B0 } (bei anständigem B0 ⊂ RN ) und skalar–
oder vektorwertiges glattes f gilt bei Anwendbarkeit der Substitutionsregel
R
R
(1.4)
f
(t,
x)dx
=
f (t, Φ(t, ξ))|detΦx (t, ξ)|dξ
B0
Bt
die Transportgleichung
R
d
dt
f (t, x)dx =
Bt
was sich im skalaren Fall als
R
d
dt
R
Bt
f (t, x)dx =
Bt
[ft + fx v + f div(v)](t, x)dx,
(1.5)
R
(1.6)
Bt
[ft + div(f v)](t, x)dx
schreiben lässt. Für f ≡ 1 hat man daher
Z
d
V ol(Bt ) =
div(v)dx
dt
Bt
mit Volumenerhaltung im Fall div(v) ≡ 0.
1.2
Eulerian Description
Literatur: [11], [12] Appendix B
A continuum may occupy a set Ω ⊂ R3 and be in motion with a flow Φ(t, x) generated
by a vector field v(t, x):
d
Φ(t, x)
dt
= v(t, Φ(t, x)), Φ(0, x) = x.
(1.7)
For a nice subset B0 of Ω we denote Φ(t, B0 ) by Bt and assume det(Φx (t, x)) to be positive.
With ρ = ρ(t, x) standing for the mass density the Euler postulates are
1.2. EULERIAN DESCRIPTION
3
(I) Conservation of mass:
d
dt
ρ(t, x)dx = 0.
(1.8)
ρvdx = F = total force,
(1.9)
[x × ρv]dx = T = total torque.
(1.10)
(II) Momentum Equations:
d
dt
d
dt
R
Bt
R
R
Bt
Bt
Writing F = Fext + Fint with external and internal forces
R
Fext =
ρF dx and Fint =
Bt
R
∂Bt
T n dσ
we introduce the external force density F and the stress tensor T ∈ R3×3 (which may
depend on ’everything’). By Green’s Theorem one has
F=
R
ρF dx +
Bt
R
Bt
div(T )dx,
where div(T ) stands for the column (div(Trow1), div(Trow2), div(Trow3 ))T . Writing T =
Text + Tint with external and internal contributions
Text =
R
Bt
[x × ρF ]dx and Tint =
and writing x × T n = Sn one arrives at
T =
with
R
Bt
div(S) = x × div(T ) + ∆
[x × ρF ]dx +
and
R
Bt
R
∂Bt
[x × T n] dσ
div(S)dx,
∆ = (T32 − T23 , T13 − T31 , T21 − T12 )T .
An application of the Transport Theorem in (I) and (II) leads to
ρt + ρx v + ρdiv(v) = 0,
(1.11)
ρ[vt + vx v] = ρF + div(T ),
(1.12)
x × (ρ[vt + vx v]) = x × (ρF + div(T )) + ∆,
(1.13)
wher (1.11) is already is used in the derivation of (1.12). Hence ∆ needs to vanish (ie. T
needs to be symmetric). In this case we are left with the four nonlinear partial differential
equations (1.11) (conservation of mass) and (1.12) (momentum equation) for the four
unknowns ρ and v ∈ R3 . One may also write
ρ̇ + ρdiv(v) = ρt + div(ρv) = 0,
ρv̇ = ρF + div(T ).
(1.14)
4
An assumption like ρv = −k∇ρ in div(ρv) leads to
ρt = k∆v + ∇k • ∇ρ ,
a diffusion equation by Fourier’s or Fick’s law!.
The standard form of the stress tensor is
T = [−p + λdiv(v)]I + µ[vx + vxT ]
(1.15)
with pressure p = p(t, x) and viscosity coefficient µ in front of the streching tensor field.
In case of fluids one has the cases:
• perfect (λ = 0, µ = 0),
• ideal (div(v) = 0, µ = 0),
• Navier-Stokes (div(v) = 0, µ 6= 0).
The formula for div(T ) with T from (1.15) is
div(T ) = −∇p + (λ + µ)∇(div(v)) + µ∆v.
(1.16)
It enters (1.12) and asks for one more equation (or assumption) for the pressure p.
1.3
Energy Conservation and Heat Equation
As above, suppose a continuum occupies Ω ⊂ R3 and moves via the flow Φ(t, x) generated
by a (convective) vector field v(t, x) with (1.7) – think of v ≡ 0 for solids. For subsets B0
of Ω we denote Φ(t, B0 ) by Bt . Further Legend:
• u temperature, e density of internal energy (later on e = cu),
• F density
for external forces, T symmetric, f source/sink density, J flux,
R
• E = Bt ρe dx internal energy,
R
• K = Bt ρ|v|2 /2 dx kinetic energy,
R
R
• W = Bt ρF • v dx + ∂Bt T n • v dσ work done (mechanical power),
R
R
• Q = Bt ρf dx − ∂Bt J • n dσ heat supply (nonmechanical power).
The second term in the heat supply is to be specified, eg. by Fourier’s law J = −κ∇u
(yielding the (diffusive) vector field for the exchange on the surface of Bt (flux!)) or by
the alike Fick’s law for diffusive mass transfer. The first law of thermodynamics asks for
d
[E
dt
+ K] = Q + W .
(1.17)
By the transport theorem, Green’s theorem and (1.11) and (1.12) we can derive the
infinitesimal versions in form of PDEs. We obtain
R
d
ρė dx.
E
=
dt
Bt
1.3. ENERGY CONSERVATION AND HEAT EQUATION
d
K
dt
=
R
Bt
W =
ρv T v̇ dx =
R
R
Bt
v T (ρF + div(T ))dx.
ρF • v dx +
Bt
Q=
R
Bt
ρf dx −
5
R
Bt
R
Bt
div(T v)dx.
div(J)dx.
With div(T v) − v T div(T ) = trace(T vx ) one arrives at the energy balance (law of energy
conservation)
ρė = ρf − div(J) + trace(T vx ).
(1.18)
ρ[et + ex v] = ρf + κ∆u + trace(T vx ),
(1.19)
With J = −κ∇u one has
which reduces in the special case v ≡ 0 to
ρet = ρf + κ∆u
In the special case
e = cu (constant c),
div(v) ≡ 0,
T = −pI
(1.20)
one arrives at a heat equation
u̇ = ut + ux v = 1c f +
κ
∆u
cρ
(1.21)
since trace(T vx ) = 0 (no matter what the pressure is). This is a PDE for the temperature
taking into account the convection by the flow Φ and sources/sinks.
Remark for v ≡ 0: With Fourier’s law
J = ρew = −κ∇u
(1.22)
for the diffusive vector field w (for the flow of Bt – the flow of ’heat’/ ρ, c constant) one
has
R
R
d
ρe dx = Bt [ρ(et + div(ew)]dx =
dt Bt
R
R
κ
[ρcut − div(κ∇u)]dx = Bt ρc[ut − cρ
∆u]dx .
Bt
κ
Thus, the heat equation ut = cρ
∆u describes the conservation of energy by asking for
R
d
ρe dx = 0 along the set Bt flowing according to Fourier’s law (1.22) (with vector
dt Bt
field w).
6
Summary:
We have obtained five balancing equations from the Eulerian postulates and the first law
of thermodynamics:
• Mass balance or continuity equation:
ρt + div(ρv) = 0.
(1.23)
• Momentum balance or Cauchy’s equation (in 3 dimensions):
ρ[vt + vx v] = ρF + div(T ).
(1.24)
In case of T = −pI one has div(T ) = −∇p.
• Energy balance:
ρ[et + ex v] = ρf − div(J) + trace(T vx ).
(1.25)
reducing for v ≡ 0 to ρet + div(J) = ρf .
These equations still have to be supplemented by the constitutive equations which describe
the behavior of the materials under investigation (material laws).
1.4
Applications
We specialize the above set of equation in various ways:
1.4.1
Convection/Advection (cf. Charakteristikenmethode –
App.B)
• Convection/Advection Problems (Transport Equation):
ct + dic(cv) = 0 from mass balance.
• Attraction/Repulsion/Migration Problems:
ct + div(κc∇Ψ) = 0 for a potential function Ψ (eg. electrostatic field charging
particles).
Der Theorie derartiger Gleichungen ist Appendix B gewidmet.
1.4.2
Diffusion
• Diffusion Problems:
Fick’s Law J = −D∇c in the energy balance leads to the diffusion equation
ct − div(D∇c) = 0. Cf. (1.22).
1.4. APPLICATIONS
7
• Chemotaxis in Microorganisms:
ut = −div(χu∇Ψ) + div(D∇u) with potential Ψ and diffusion coeffient D.
• Laplace/Potential Equation:
For the pressure u in a fluid with velocity field v in a porous medium one has Darcy’s
law v = −p0 ∇u. In the imcompressible case (div(v) = 0) one has potential
equation ∆u = 0. For the potential equation in problems of Ionic Mass Transport
see Prentice [13] pp152 (who ends up with div(κ(c)Ψ) = 0 which reduces to ∆Ψ = 0
for constant κ).
• Propagation Along Axons:
For the charge density q and the ’flux’ J of charged particles one has qt + div(J) =
f = source/sink density (eg. net ionic current I into the axon). With q = p2 v and
J = −p3 vx for the voltage v one has vt = κvvv + f .
1.4.3
Navier-Stokes Equations
From (1.14) and (1.16), the Navier Stokes equations are
div(v) = 0,
ρ[vt + vx v] + ∇p − µ∆v = ρF
(1.26)
with 4 equations and 4 unknowns (when the presuure is ’known’).
1.4.4
Transmission of Sound Waves
Suppose an ideal fluid (div(v) = 0, T = −pI) where one has the Euler–equations
ρv̇ = ρ[vt + vx v] = −∇p + ρF
(1.27)
from (1.14) and (1.16) (in addition to the mass balance equation in (1.14)). Under the
assumption that the terms vx v and ρt v can be neglected and under the (adiabatic) assumption of ρ = h(p) (let’s take ρ = a0 p) an application of div to the Euler equation
(ρv)t = −∇p + F and the mass balance equation yield
−∆p + div(F ) = [div(ρv)]t = [−ρt ]t = −a0 ptt
which is a wave equation for the pressure.
1.4.5
Adiabatic Gas Equations
A reformulation of the energy conservation can be given in terms of entropy conservation
d
S(t, x(t)) ≡ 0. Suppose one has
dt
p = f (S)ρ1+α
(α > 0).
This implies f˙ = f ′ (S)Ṡ = 0, ie. the entropy conservation takes the form
∂ p
∂ p
+
v=0
1+α
∂t ρ
∂x ρ1+α
in addition to the continuity equation (1.23) and the Euler equation (1.27).
8
1.4.6
Vibrating String or Membrane
The balancing of Newton forces and the sum of the vertical contribution of tension and
the vertical load, ie.
Z
Z
Z
p dx,
T0 ux n dσ +
ρutt dx =
B0
B0
∂B0
leads to the wave equation ρutt = T0 div(∇u) + p = T0 ∆u + p.
1.4.7
Electromagnetism (Maxwell’s Equations)
Let E be the electric, H be the magnetic field, let D and J stand for the electric flow
density and the current density resp.. Finally let I denote the magnetic induction. One
has Maxwell’s Equations, ie. the requirements
(a) rot(E) + It = 0 (F araday),
(b) rot(H) = J + Dt ,
(Ampere),
(c) div(D) = ρ (Gauss/Coulomb),
(1.28)
(d) div(I) = 0.
These can be transformed into a set of wave equations in the following way. Taking div
of the first two laws is leading to
(aa) [div(I)]t = 0,
(bb) div(J) + [div(D)]t = div(J) + ρt = 0.
(1.28)(d) is more restrictive than (1.28)(a) and (aa). We consider homogeneous media
with D = εE and I = µH (maybe with J = σE in addition) and thus with
(a) rot(E) + µHt = 0,
(b) rot(H) = J + εEt
(⇒ 0 = div(J + εEt ),
(c) div(εE) = ρ,
(1.29)
(d) div(H) = 0.
(i) In case ρ = 0 – with div(E) being 0 by (1.29)(c) – one obtains by
rot(rot(X)) = {∇(div(X)) − ∆X}
the relation
µ rot(Ht ) = −rot(rot(E)) = ∆E
and thus a wave equation for E:
µεEtt = µ[rot(H) − J]t = ∆E − µJt .
In an analogous way one receives a wave equation for H:
µεHtt = ∆H + rot(J).
(1.30)
1.4. APPLICATIONS
9
(ii) In the case where ρ is not identically 0:
From (1.29)(d) we can write H = rot(A) (with an integration ’constant’ ∇ψ (gauge
freedom)). Inserting into (1.29)(a): 0 = rot(E + µAt ). Therefore one has
E + µAt ≡ −∇B
with an integration ’constant’ φ. With (1.30) for A Ampere’s equation then becomes
{∇(div(A)) − ∆A} = J + εEt
or
L(A) := εµAtt − ∆A =
J − {∇(div(A)) + ε[∇B]t } = J − ∇D(A, B),
with D(A, B) := div(A) + εBt .
Equation (1.29)(c) implies
ε∆B = −ρ − εµ[div(A)]t .
Thus in case D(A, B) ≡ 0 we have [div(A)]t = −εBtt and
L(A) = J,
εL(B) = ρ.
(1.31)
So, given A and B with (1.31), we modify them in passing to α = A + ∇ψ and β = B − ψt
with a ψ such that D(α, β) = 0 by taking a solution ψ of the inhomogeneous scalar wave
equation
(1.32)
L(ψ) = D(A, B).
We then have L(α) = J and L(β) = ρ so that
H = rot(α) and E = −µαt − ∇β
(1.33)
satisfy Maxwell’s equation (1.29). So Maxwell’s equations are reduced to three wave equations in (1.31) and (1.32).
10
Kapitel 2
Analysis-Grundlagen
2.1
Funktionenfolgen – Funktionenreihen
Literatur: [1] pp.221–224, [4] pp.146–154
Definition 2.1
Auf einem Intervall I ⊂ R seien die Funktionen fn : I → R, n ∈ N, gegeben. Die
Funktionenfolge (fn ) heißt auf I
(a) punktweise konvergent, wenn in jedem Punkt x ∈ I der Grenzwert limn→∞ fn (x) =:
f (x) existiert,
(b) gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f : I → R, wenn limn→∞ ||fn −
f ||I = 0 gilt mit
||fn − f ||I := sup |fn (x) − f (x)|.
x∈I
Bemerkung 2.2
(a) fn (x) = xn auf [0, 1] konvergiert punktweise gegen die unstetige Grenzfunktion f
mit f (x) = 0 auf [0, 1) und f (1) = 1. Keine gleichmäßige Konvergenz auf [0, 1].
(b) fn (x) = xn auf [0, 1) konvergiert punktweise gegen f ≡ 0, aber nicht gleichmäßig.
Jedoch liegt gleichmäßige Konvergenz auf jedem kompakten Teilintervall [0, q] mit
0 < q < 1 vor.
(c) fn (x) = n−1/2 sin nx konvergiert auf R gleichmäßig gegen f (x) ≡ 0, aber fn′ (x) =
n1/2 cos nx konvergiert (überhaupt) nicht: Differentiation und Limes sind nicht vertauschbar.
√
(d) fn (x) = n1 [ 1 + n2 x2 − 1] konvergiert (monoton) gegen die stetige Grenzfunktion
f (x) = |x|. fn′ (x) existiert und ist stetig für jedes n, aber die Grenzfunktion ist nicht
differenzierbar an x = 0.
(e) fn (x) = x/(1 + n2 x2 ) konvergiert auf ganz R gegen die Grenzfunktion f (x) ≡ 0 mit
f ′ (x) ≡ 0. Die Ableitungen fn′ (x) existieren überall, konvergieren aber gegen 1 an
x = 0 (und gegen 0 sonst).
11
12
KAPITEL 2. ANALYSIS-GRUNDLAGEN
(f) fn (x) = np x(1 − x2 )n (mit p = 1 oder 2) konvergiert punktweise auf [0, 1] gegen
f (x) ≡ 0. Integration und Limes sind aber nicht vertauschbar, denn es gilt (z.B. für
p = 1)
Z 1
1
1 n
→
für n → ∞.
fn (x)dx =
2 n+1
2
0
(g) Für fn (x) = x2 (1 + x2 )−n konvergiert sN =
gegen 0 an x = 0).
PN
fn für x 6= 0 gegen 1 + x2 (aber
0
Satz 2.3 (Stetigkeit)
Konvergiert die Folge der Funktionen fn : I → R gleichmäßig auf I und sind die fn stetig
an p ∈ I, so ist die Grenzfunktion f ebenfalls stetig an p.
Insbesondere gilt: Der gleichmäßige Limes f stetiger Funktionen fn auf I ist stetig. Für
jeden Häufungspunkt ξ von I gilt
lim lim fn (x) = lim lim fn (x).
x→ξ n→∞
n→∞ x→ξ
Satz 2.4 (Integration)
Konvergiert die Folge der stetigen Funktionen fn : I → R gleichmäßig auf dem kompakten
I = [a, b], so ist die Grenzfunktion f stetig (und somit integrierbar) und es gilt
lim
n→∞
Z
b
fn (t)dt =
a
Z
b
f (t)dt =
a
Z
a
b
( lim fn (t)) dt.
n→∞
Satz 2.5 (Differentiation)
Die Funktionen fn : I → R seien auf dem kompakten Intervall I = [a, b] differenzierbar. Konvergiert dann die Folge der Ableitungen (fn′ ) gleichmäßig auf I und konvergiert
die Folge der Funktionen (fn ) an mindestens einem Punkt x0 ∈ I, so konvergiert (fn )
gleichmäßig auf I gegen eine differenzierbare Funktion f : I → R und für jedes x ∈ I gilt
f ′ (x) = ( lim fn )′ (x) = lim fn′ (x).
n→∞
Eine Funktionenreihe
∞
X
k=1
fk (x)
n→∞
mit
fk : I → R
P
ist definitionsgemäß die Funktionen–Folge sn (x) = nk=1 fk (x) der Partialsummen. Man
verwendet das Symbol auch dann, wenn die Partialsummenfolge divergent ist. Die obigen
Konvergenz– und Vertauschungssätze gelten natürlich auch für Reihen. Überdies hat man
folgendes einfaches Vergleichskriterium:
Satz 2.6 (Majorantenkriterium)
Ist (fn ) eine Funktionenfolge
n (x)| ≤ cn für alle x ∈ I)
P auf I ⊂ R mit ||fn ||I ≤ cn (i.e. |fP
∞
c
,
so
ist
die
Funktionenreihe
und konvergiert die Reihe ∞
n=1 fn auf I gleichmäßig
n=1 n
konvergent.
2.1. FUNKTIONENFOLGEN – FUNKTIONENREIHEN
13
Satz 2.7 (Potenzreihen)
P
k
Die Potenzreihe f (x) = ∞
k=0 ak (x − p) besitze einen positiven Konvergenzradius R. Auf
jedem kompakten Teil K des Konvergenzintervalls J := (−R + p, p + R) konvergiert sie
dann gleichmäßig.
Das Beispiel der geometrischen Reihe zeigt, daß gleichmäßige Konvergenz nicht auf dem
ganzen Konvergenzintervall gegeben sein muß.
Beispiel 2.8 [Trigonometrische Reihen – [2] 292]
Die Reihe
∞
X
cos(nx)
fn (x), fn (x) :=
C(x) :=
n2
n=1
konvergiert gemäß 2.6 gleichmäßig und absolut. C(x) ist daher stetig und gleich
c(x) :=
(x − π)2 π 2
− , 0 ≤ x ≤ 2π,
4
12
wie sich zeigen wird. Auf R ist C(x) die gerade 2π–periodische Fortsetzung hiervon. Gliedweise Differentiation von −C(x) führt formal zu
SN (x) =
N
X
sin(nx)
n
n=1
mit SN (0) = 0.
Ist gliedweise Differentiation gestattet? Als Grenzfunktion wird sich die 2π–periodische
Sägezahnfunktion s : R → R mit
1
s(x) := (π − x), 0 < x < 2π,
2
1
mit s(0) := [s(0+) + s(0−)] = 0
2
ergeben. Beachte s(x) = −c′ (x) auf (0, 2π).
• Die Dirichlet-Kerne
DN (x) :=
N
X
n=−N
einx = 1 + 2cosx + · · · + 2cos(Nx) =
sin(N + 12 )x
sin x2
für alle x 6= 2mπ erfüllen DN (2mπ) = 2N + 1 (m ∈ Z) wegen der geometrischen
Summenformel. Für 0 < x < 2π dividiert man durch 2, integriert von π nach x und
erhält
Z x
sin(N + 12 )t
x−π
sinNx
x−π
dt
+ SN (x) =
+ sinx + · · · +
= RN (x) :=
2
2
N
2sin 2t
π
mit
|RN (x)| ≤
1+1
, 0 < x < 2π.
(2N + 1)sin x2
Punktweise an x ∈ (0, 2π) strebt RN (x) also gegen 0.
14
• Auf kompakten Teilintervallen [ρ, 2π − ρ] hat man wegen der |RN |–Abschätzung
gleichmäßige Konvergenz der Reihe gegen s(x).
• Man hat die Mittelwerteigenschaft für die Grenzfunktion S der SN :
1
S(x) = [s(x+) + s(x−)].
2
An den Unstetigkeiten verifiziert man dies direkt – sonst Satz 2.3.
• Man hat das Gibbs–Phänomen an Unstetigkeitsstellen: Für große N überschwingen die Partialsummen SN (x) den Sprung von s(x) um etwa 17.89 Prozent (beim
Periodenintervall [0, 2π]). Betrachte dazu RN (x) nahe x = 0 und die erste positive
Maximalstelle ξN := 2N2π+1 . Für N → ∞ geht ξN gegen 0. Es gilt
lim |SN (ξN ) − s(0)| = 1.1789... · |s(0+) − s(0)|.
N →∞
• c(x) ergibt sich mit gliedweiser Integration von S(x) = s(x). Die Konstante −π 2 /12
in c(x) ergibt sich aus gliedweiser Integration der C(x)–Reihe über [0, 2π], denn
deren Integral ist 0. Also muß dies auch für das Integral über c(x) richtig sein.
• Spezielle Reihenwerte: C(0) = π 2 /6, C(π) = π 2 /12.
2.2
Parameterabhängige Integrale
Literatur: [1] 430–435, [2] 347
Satz 2.9 (Eigentliche Integrale)
Ist die vom Parameter λ abhängige Funktion
f : D = [a, b] × [α, β] → R, (t, λ) 7→ f (t, λ)
stetig, so gelten:
Rb
(a) F (λ) := a f (t, λ)dt ist auf [α, β] stetig.
∂
(b) Existiert überdies die (partielle) Ableitung ∂λ
f (t, λ) auf D und ist sie dort stetig, so
ist F (λ) stetig differenzierbar mit
Z b
∂
∂
F (λ) =
f (t, λ)dt.
∂λ
a ∂λ
(c) Satz von Fubini:
Z
β
Z
b
Z bZ
β
f (t, λ)dtdλ =
f (t, λ)dλdt.
a
α
R∞
Uneigentliche Integrale – z.B. der Form – a f (t, λ)dt sind als Grenzwerte
Z bn
f (t, λ)dt (bn → ∞)
lim Fn (λ) mit Fn (λ) :=
α
n→∞
a
a
definiert. Bei gleichmäßiger Konvergenz gegen F (λ) kann man dann Differentiation und
Limes vertauschen. Eine hinreichende Bedingung bietet der folgende Satz.
2.2. PARAMETERABHÄNGIGE INTEGRALE
15
Satz 2.10 (Uneigentliche Integrale)
• Die vom Parameter λ abhängige Funktion
f : D = [a, b) × [α, β] → R, (t, λ) 7→ f (t, λ)
sei stetig und es existiere eine Funktion g : [a, b) → R mit den Eigenschaften
Z
|f (t, λ)| ≤ g(t) auf D,
b
g(t)dt < ∞ .
a
Dann gelten:
(a) Das uneigentliche Integral F (λ) :=
lim
λ→λ0
Z
b
Rb
a
f (t, λ)dt konvergiert und ist stetig:
Z
f (t, λ)dt =
a
Überdies liegt Vertauschbarkeit vor:
Z b Z β
Z
f (t, λ)dλ dt =
a
α
b
f (t, λ0 )dt.
a
β
α
Z
b
a
f (t, λ)dt dλ.
∂
f (t, λ) ebenfalls auf D stetig und exi(b) Ist überdies die (partielle) Ableitung ∂λ
stiert eine Funktion h : [a, b) → R mit den Eigenschaften
∂
| f (t, λ)| ≤ h(t) auf D,
∂λ
Z
a
b
h(t)dt < ∞,
so ist F (λ) stetig differenzierbar mit der Ableitung
∂
F (λ) =
∂λ
• Ist f : R2 → R stetig mit
Z Z
R
R
Z
b
a
∂
f (t, λ)dt.
∂λ
R
|f (x, y)|(dxdy) < ∞, so gilt
Z Z
f (x, y)dx dy =
f (x, y)dy dx .
R2
R
Beachte: Die gleichmäßige Konvergenz von
nicht aus.
R
R
R
f (x, y)dy für x ∈ R reicht i.a. hierfür
Bemerkung 2.11 [Kettenregel] Unter geeigneten Voraussetzungen gilt
∂
∂λ
Z
β(λ)
α(λ)
′
′
f (t, λ)dt = f (β(λ), λ)β (λ) − f (α(λ), λ)α (λ) +
Z
β(λ)
α(λ)
∂
f (t, λ)dt.
∂λ
16
Beispiel 2.12 [Anwendungen]
(a) Ableitung der Gamma–Funktion:
Z ∞
Z
x−1 −t
′
Γ(x) =
t e dt ⇒ Γ (x) =
0
∞
tx−1 e−t ln t dt.
0
(b) Laplace–Transformation (cf. [2] 71):
F (s) = L{f (t)} :=
Z
∞
e−st f (t)dt
0
falls das uneigentliche Integral existiert.
R∞
1
• Für f (t) = sint t ergibt sich F ′ (s) = − 0 e−st sin t dt = − 1+s
2 für s > 0
(vgl. Satz 2.10 mit s ≥ s0 > 0 ). Also folgt F (s) = c − arctan s mit c = π2
(F (∞) = 0). Insbesondere gilt F (0) = π2 .
• Für f (t) = eµt mit komplexem µ erhält man F (s) =
Exponentiell beschränkte Funktionen f mit
1
,
s−µ
falls Re(s − µ) > 0.
|f (t)| ≤ Mekt
haben L–Transformierte für s > k, deren Urbildfunktionen bis auf endlich viele
Punkte eindeutig bestimmt sind. Unter Umständen erhält man
L{f ′(t)} = sL{f (t)} − f (0+).
Ein Anfangswertproblem
ẋ + ax = f (t),
x(0) = x0 ,
mit konstanten Koeffizienten kann man L–transformieren zu
(sX − x0 ) + aX = F (s),
woraus sich
F (s) + x0
s+a
ergibt. Rücktransformation x(t) = L−1 {X(s)} liefert dann die Lösung (Funktionentheorie!). Man benutzt hierzu Tabellen.
X(s) =
(c) Fourier–Transformation (cf. [2] 350):
F (ω) = F {f (t)} :=
Z
∞
e−iωt f (t)dt ,
−∞
falls existent (f muß schnell fallen!). Die Rücktransformation ist dann
Z ∞
1
−1
eiωt F (ω)dω,
f (t) = F {F (ω)} :=
2π −∞
2.2. PARAMETERABHÄNGIGE INTEGRALE
17
falls existent. Man hat
F {f ′ (t)} = iωF (ω),
F ′ (ω) = F {−itf (t)}.
Die Differentialgleichung
ẋ + ax = f (t),
a > 0,
führt zu
1
F (ω) = H(ω) F (ω).
iω + a
Für h(t) = e−at für t ≥ 0 und 0 für t < 0 mit F {h} = H gilt dann
Z ∞
Z t
x(t) = (h ∗ f )(t) :=
h(t − τ )f (τ )dτ =
h(t − τ )f (τ )dτ,
X(ω) =
−∞
−∞
falls existent (z.B. für f (t) = e−|τ | und a > 1), was eine Lösung der Differentialgleichung sein sollte. Wodurch ist sie charakterisiert?
18
Kapitel 3
Fourier–Analysis
3.1
Die schwingende Saite
In diesem Abschnitt berechnen wir formal die Lösung u(x, t) der Wellengleichung (vgl. [2]
pp.387)
utt = c2 uxx
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x),
u(0, t) = 0, u(π, t) = 0,
0 ≤ x ≤ π,
t≥0
über [0, π] × [0, ∞) für g(x) ≡ 0 und allgemeines f (x). Der Separationsansatz u(x, t) =
X(x)T (t) führt (aus physikalischen und mathematischen Gründen) zu den Gleichungen
′′
X + λ2 X = 0,
T̈ + λc2 T = 0
mit den Nebenbedingungen
X(0) = X(π) = 0,
X(x)T (0) = f (x),
X(x)Ṫ (0) = 0.
Nichttrriviale Lösungen erhält man für λ = λn = n ∈ Z, nämlich
X(x) = Xn (x) = sin nx.
Die entsprechenden T –Lösungen sind dann
T (t) = Tn (t) = an cos cnt + bn sin cnt.
Die n–te Eigenschwingung
un (x, t) = Xn (x)Tn (t), n ∈ N, besitzt die Frequenz cn mit der
p
2
2
Amplitude an + bn . Durch Superposition
u(x, t) :=
∞
X
n=1
19
un (x, t)
20
KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS
der Eigenschwingungen verucht man nun die Anfangsbedingungen zu erfüllen:
P
u(x, 0) = ∞
n=1 an sin nx = f (x) ,
P∞
ut (x, 0) = n=1 bn cn sin nx = g(x) = 0 .
Die beiden Reihen bestehen aus ungeraden Gliedern. Daher denke man sich f ungerade
zu einem 2π–periodischen f˜ fortgesetzt. Man multipliziert die Gleichungen mit sin mx
und integriert über [−π, π] und erhält formal (vgl. Übung 8.4)
Z
2 π
an =
f (s)sin ns ds, bn = 0.
π 0
Die formale Lösung ist dann
R
Rπ
P
2 π
sin
nx
[
u(x, t) = ∞
f
(s)sin
ns
ds]
cos
cnt
=
G(x, t; s)f (s)ds ≡ Gf (x, t)
n=1
π 0
0
mit der Kernfunktion
G(x, t; s) =
∞
∞
1X
2X
sin nx cos cnt sin ns =
[sin (n(x − ct)) + sin (n(x + ct))] sin ns.
π n=1
π n=1
Für die in der Mitte angezupfte Saite mit
π
π
f (x) = βx für x ∈ [0, ], f (x) = β(π − x) für x ∈ [ , π]
2
2
ergeben sich die Amplituden aus den
nπ
4β
1
1
4β
sin
=
(1, 0, − , 0, , 0, ... ), bn = 0.
2
nπ
2
π
9
25
Der Ton ist rein, da die Obertöne schnell schwach werden. Der Ton ist weich, da die
geraden Oberschwingungen fehlen. Für die am Ende angezupfte Saite mit
an =
f (x) = αx auf [0, π),
f (π) = 0,
ergeben sich die Amplituden aus den
2α
1 1
cos nπ = 2α (1, − , , ... ),
n
2 3
Der Ton ist nicht rein und hart.
an = −
bn = 0.
Wann ist diese Vorgehen in Ordnung? Es stellen sich folgende Fragen:
• Wann und wo konvergiert die un –Reihe? Wo konvergiert sie gleichmäßig?
P
• Wann konvergiert die Reihe
an sin nx mit den angegebenen an wirklich gegen f ?
• Wann kann man Integration und Summation vertauschen?
• Wann kann man beim Verifizieren, daß u Lösung ist, Differentiation und Summation
vertauschen?
• Ist u die Lösung der Wellengleichung?
3.2. FOURIERREIHEN
3.2
21
Fourierreihen
Literatur: [2] pp.286-319
Eine Funktion f : R → R oder R → C heißt periodisch, wenn ein T > 0 exisiert mit
f (t + T ) = f (t) für alle t ∈ R. Das minimale T > 0 nennt man die Periode von f . f heißt
dann auch T –periodisch.
Auf [0, T ] definierte Funktionen f kann man auf verschiedene Weisen zu T – oder 2T –
periodischen Funktionen – wieder f genannt – fortsetzen, z.B.
(a) direkte T –periodische Fortsetzung,
(b) gerade 2T –periodische Fortsetzung,
(c) ungerade 2T –periodische Fortsetzung.
Notationen:
Wir gehen im folgenden stets von mindestens stückweise stetigen 2π–periodischen Funktionen f, g, ... von R nach R oder C (mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitsstellen)
aus, denn wir werden Integrationen durchführen. Wir setzen
Z 2π
p
1
< f, g >:=
f (t)g(t)dt, ||f ||2 := < f, f >.
2π 0
Wir definieren
Φk (t) := eikt ,
k ∈ Z,
und erhalten die Orthonormalitätsrelationen
Z 2π
1
eimt e−int dt = δmn .
< Φm , Φn >=
2π 0
Definition 3.1
Als trigonometrisches Polynom (der Periode 2π) bezeichnet man jede Funktion der Form
N
X
N
a0 X
f (t) =
ck Φk (t) =
+
[an cos nt + bn sin nt]
2
n=1
k=−N
mit komplexen Koeffizienten ck , an , bn . Ist |c−N | + |cN | =
6 0 bzw. |aN | + |bN | =
6 0, so nennt
man N den Grad von f . Trigonometrische Reihen schreibt man entsprechend (auch im
Falle der Divergenz).
Satz 3.2
Für ein trigonometrisches Polynom f vom Grad N gelten:
(a) a0 = 2c0 ,
an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ),
R 2π
1
f (t)e−ikt dt,
(b) ck =< f, Φk >= 2π
0
(c) f ≡ 0
⇔
ck = 0, (−N ≤ k ≤ N),
22
(d) f reellwertig
⇔
ck = c−k (0 ≤ k ≤ N),
(e) f hat höchstens 2N Nullstellen in [0, 2π).
Beispiel 3.3
P∞ int
konvergiert für kein einziges t (vgl. Bsp. 2.8).
(a)
−∞ e
(b) Aus der geometrischen Reihe erhält man für |r| < 1:
∞
X
n int
r e
n=0
∞
1 − r2
[1 − rcost] + i rsint X |n| int
,
r
e
=
.
=
2
1 − 2rcost + r 2
1
−
2rcost
+
r
n=−∞
Die Koeffizientenformeln in Satz 3.2 (b) gelten bei gleichmäßiger Konvergenz auch für
Reihen (cf. Satz 2.4):
Satz 3.4
P
Konvergiert eine trigonometrische Reihe
ck eikt gleichmäßig auf [0, 2π] gegen eine Funktion f (t), so ist f auf R stetig mit ck =< f, Φk > für k ∈ Z.
Definition 3.5 (Fourierreihen)
Für stückweise stetiges f : [0, 2π] → C definiert man die zugehörige Fourierreihe durch
Sf (t) =
∞
X
ck Φk (t) =
k=−∞
∞
X
ck eikt
k=−∞
mit den Fourierkoeffizienten
1
ck =< f, Φk >=
2π
Man hat also: Sf (t) =
P∞
1
−∞ 2π
R 2π
0
Z
2π
f (t)e−ikt dt.
0
f (τ )Φk (t − τ )dτ =
P∞
1
−∞ 2π
R 2π
0
f (t − τ )Φk (τ )dτ.
Sei SN die N–te Partialsumme von Sf . Dann gelten aufgrund der Orthonormalität
< SN , SN >=
N
X
k=−N
|ck |2 =< f, SN > .
Daraus folgt 0 ≤ ||f − SN ||22 =< f − SN , f − SN >= ||f ||22 −
Resultat liefert:
PN
k=−N
|ck |2 , was folgendes
Satz 3.6 (Besselungleichung)
P
2
2
Für jede stückweise stetige
f auf [0, 2π] gilt ∞
k=−∞ |ck | ≤ ||f ||2.
P∞ Funktion
2
und
lim|n|→∞ cn = 0.
Insbesondere gelten
k=−∞ |ck | < ∞
3.2. FOURIERREIHEN
23
Bemerkung 3.7 [Faltung]
Haben Sf und Sg die Fourierkoeffizienten ck bzw. dk , so hat die Faltung von f und g
Z 2π
1
(f ∗ g)(t) :=
f (s)g(t − s)ds
2π 0
P
die Fourierkoeffizienten ck dk . Es gilt also Sf ∗g = ∞
−∞ ck dk Φk (t). Dies beweist man durch
Vertauschung der auftretenden
Doppelintegrale. Die Dirichlet-Kerne DN (x) aus Bsp. 2.8
Rπ
1
D
(x)dx
= 1, erfüllen DN (0) = 2N + 1 und erlauben die Darhaben Mittelwert 2π
N
−π
stellung der N–ten Partialsumme der Fourierreihe Sf (x) als Faltung
Z π
1
Sf,N (x) =
f (x − t)DN (t)dt = (f ∗ DN )(x) .
2π −π
Die Dirichlet-Kerne DN (x) approximieren irgendwie den Dirac–Impuls.
Wir untersuchen im folgenden, wann die Fourierreihe Sf gegen f konvergiert.
Satz 3.8 (Vollständigkeit)
Hat eine stückweise stetige, 2π–periodische Funktion f : R → C die
1
Mittelwerteigenschaft: f (t) = [f (t−) + f (t+)], t ∈ R,
2
und gilt < f, Φk >= 0 für alle k ∈ Z, so ist f (t) ≡ 0. Insbesondere gelten:
(a) Haben zwei in [0, 2π] stückweise stetige Funktionen dieselben Fourier–Koeffizienten
und besitzen beide die Mittelwerteigenschaft, so sind sie identisch (Eindeutigkeit).
(b) Ist f stetig und 2π–periodisch und konvergiert die Fourierreihe Sf gleichmäßig auf
[0, 2π], so gilt f (t) = Sf (t) für alle t ∈ R.
(c) Für in [0, 2π] stückweise stetiges, 2π–periodisches f gilt die
Parsevalsche Gleichung:
∞
X
−∞
|ck |2 = ||f ||22.
(d) Konvergenz im quadratischen Mittel: Die Fourierreihe Sf einer auf [0, 2π] stückweise
stetigen Funktion f konvergiert stets auf [0, 2π] im quadratischen Mittel gegen f , d.h.
limN →∞ ||f − SN ||2 = 0.
Die Betrachtungen im Beispiel 2.8 übertragen sich auf beliebige periodische Funktionen,
falls die nicht zu wild sind.
Satz 3.9 (Darstellungssatz)
Ist f : R → C eine 2π–periodische, stückweise stetig differenzierbare Funktion, für welche
in den Ausnahmestellen alle möglichen einseitigen Grenzwerte von f und f ′ existieren,
so gilt für ihre Fourierreihe Sf :
24
(a) Ist f stetig auf einem [a, b], so konvergiert dort Sf gleichmäßig gegen f .
(b) Sf (t) = 21 [f (t+) + f (t−)] für alle t ∈ R.
(c) An jeder Sprungstelle tritt das Gibbs–Phänomen auf (vgl Bsp. 2.8).
Bemerkung: Schreibt man in den Unstetigkeitsstellen den Mittelwert vor, so gilt praktisch
immer f = Sf .
Satz 3.10 (Abschätzung der F–Koeffizienten)
Ist f 2π–periodisch und sind f, f ′ , ..., f (m) stetig mit stückweise stetig differenzierbarem
f (m+1) (z.B. f ∈ C m+2 ), so gilt für die Fourierkoeffizienten ck
|ck | ≤
M
|k|m+2
(k 6= 0)
mit einer Konstanten M – beachte < f ′ , Φk >= ik < f, Φk >.
Bemerkung 3.11 [Lokalisierungssatz]
Stetigkeit von f allein genügt nicht einmal für globale punktweise Konvergenz (du BoisReymond, 1873). Vgl. in diesem Zusammenhang Rudin ([3] p.184/5 oder Real and Complex Analysis, pp.106-108):
Man hat gemäss Bemerkung 3.7 und Bsp. 2.8
Rπ
f (x−t)−f (x)
sin((N + 12 )t)dt =
sin(t/2)
R π f (x−t)−f (x)
R π f (x−t)−f (x)
1
1
cos(t/2)sin(Nt)dt + 2π
sin(t/2)cos(Nt)dt.
2π −π
sin(t/2)
sin(t/2)
−π
Sf,N (x) − f (x) =
1
2π
−π
Ist nun f Lipschitz-stetig an x [i.e. existieren positive Konstanten δ und L mit |t| <
δ ⇒ |f (x + t) − f (x)| ≤ L|t| (beschränkter Differenzenquotient!)], so sind die Faktoren
von sin(Nt) bzw. cos(Nt) beschränkt. Folglich konvergieren die beiden Integrale gegen
0 für N → ∞ und man hat punktweise Konvergenz. Daraus ergibt sich der folgende
Lokalisierungssatz für Fourierreihen:
• Gilt f (ξ) = g(ξ) in einer geeigneten Umgebung von x, so gilt
Sf,N (x) − Sg,N (x) = Sf −g,N (x) → 0,
N → ∞.
Anders als bei Potenzreihen können sich zwei Fourierreihen in einem Intervall gleich
verhalten, in einem anderen Intervall jedoch kann ihr Verhalten völlig verschieden
sein.
3.3
Fouriertransformation
Literatur: [2] pp.337–351 und 393/4
3.3. FOURIERTRANSFORMATION
25
Definition 3.12
Eine Funktion f : R → C heißt Fourier–transformierbar, wenn
Z T
e−iωt f (t)dt
F (ω) := F {f (t)} := lim
T →∞
−T
R
für alle ω ∈ R existiert. Man schreibt auch kürzer: R e−iωt f (t)dt. Die inverse Fouriertransformation von F : R → C lautet dann
Z
1
−1
eiωt F (ω)dω.
F {F (ω)} :=
2π R
Beispiel 3.13
(a) Der Rechteckimpuls f (t) = a oder = 0 für |t| ≤ b bzw. |t| > b hat die F –
Transformation 2ab sinωb
.
ωb
(b) Der abfallende Impuls f (t) = e−at für t ≥ 0 und 0 sonst (mit a > 0) führt zu
1
, der beidseitig abfallende Impuls f (t) = e−a |t| zu F (ω) = a22a
. Man
F (ω) = a+iω
+ω 2
sieht: Ist f langsam fallend, so ist F schnell fallend (und umgekehrt).
2ε
Insbesondere liefert fε (t) := e−ε|t| die Funktion Fε (ω) := ε2 +ω
2 . Für ε → 0 streben
fε und Fε gegen 1 bzw. 0, aber das Integral von Fε über R hat Grenzwert 2π:
Z
x
Fε (ω)dω = 2arctan |+∞
= 2π .
ε −∞
R
Mit der ”Dirac–Delta–Funktion”δ(t), die man sich durch
1
für 0 < t < ε,
δε (t) =
ε
δε (t) = 0 sonst ,
Z
δε (t)dt = 1,
R
approximiert denken kann und die vorerst aber nur unter dem Integral im Sinne von
Z
Z
f (t)δ(t − t0 )dt := lim f (t)δε (t − t0 )dt
ε→0
R
R
benutzt werden sollte [ – für stetiges f erhält man den Funktionswert f (t0 ) – ], folgt
.
.
F {1} = 2πδ(ω), F {δ(t − a)} = e−iωa .
(c) Die Heavyside–Funktion H(t) = 1 für t > 0 und 0 sonst hat die F –Transformation
1
+ πδ(ω). Beachte δε (t) = 1ε [H(t) − H(t − ε)].
iω
Bemerkung 3.14 [Rechenregeln]
(a) Ist f stetig und stückweise stetig differenzierbar und ist f ′ F – transformierbar, so
gilt mit partieller Integration
F {f ′ (t)} = iωF (ω).
Analog gilt: iF ′ (ω) =
i ∂ e−iωt f (t)dt
R ∂ω
R
= F {tf (t)} – vgl. Satz 2.10.
26
(b) Für das Faltungsprodukt
(f ∗ g)(t) :=
Z
R
f (t − s)g(s)ds =
Z
R
f (s)g(t − s)ds
gilt die Produktregel
F {(f ∗ g)(t)} = F (ω) · G(ω),
falls die auftretenden Integrale Sinn machen – vgl. Satz 2.10.
Analog gilt: F {f (t) · g(t)} =
1
(F
2π
∗ G)(ω) – vgl. Satz 2.10.
Definition 3.15
Eine Funktion f : R → C heißt
R absolut integrierbar, wenn sie auf jedem endlichen Intervall stückweise stetig ist mit R |f (t)|dt < ∞.
Satz 3.16 (Konvergenzsatz)
Ist f absolut integrierbar, so existiert F (ω) = F {f (t)} für alle ω. F ist stetig und beschränkt auf R und es gilt die Plancherel–Gleichung
Z
Z
1
2
|F (ω)| dω =
|f (t)|2 dt.
2π R
R
Beachte: F ist nicht notwendig absolut integrierbar.
Satz 3.17 (Fourier–Integraltheorem)
Ist f absolut integrierbar und in jedem endlichen Intervall stückweise stetig differenzierbar,
so gilt auf R
Z
Z Ω
1
1
−iωt
iωx
[f (x+) + f (x−)] =
lim
e
f (t)dt dω.
e
2
2π Ω→∞ −Ω
R
Satz 3.18 (Umkehrsatz/Eindeutigkeitssatz)
Ist f absolut integrierbar, in jedem endlichen Intervall stückweise stetig differenzierbar
und besitzt f die Mittelwerteigenschaft, dann ist mit f (t) auch F (ω) F –transformierbar
und es gilt
1
F −1 {F (ω)} = F { F (−ω)} = f (t) für alle t ∈ R.
2π
Beispiel 3.19
(a) Der RC–Tiefpaßfilter ρẋ + x = u(t) mit ρ = RC > 0 führt bei existenten F –
Transformierten zu
1
X(ω) =
U(ω) =: H(ω)U(ω).
1 + iωρ
Die Übertragungsfunktion H(ω) ist die F –Transformierte des einseitig abfallenden
Impulses h(t) = ρ−1 e−t/ρ für t > 0 aus Bsp. 3.13 (b). Man erhält daher die für
t → −∞ beschränkte Lösung
Z t
x(t) = (h ∗ u)(t) =
ρ−1 e−(t−s)/ρ u(s)ds.
−∞
3.3. FOURIERTRANSFORMATION
27
(b) Die Wärmeleitungsgleichung auf dem ganzen x–Raum
ut = a2 uxx
mit u(x, 0) = f (x)
für x ∈ R, t > 0
liefert bei Separationsansatz – bei ’anständigem’ f –
Z
u(x, t) = [a(λ)cos(λx) + b(λ)sin(λx)] exp(−a2 λ2 t)dλ
R
mit den Koeffizienten
1
a(λ) =
2π
Z
f (s)cos(λs)ds,
R
Dies läßt sich mit der Kernfunktion
r
G(x, t, s) :=
1
b(λ) =
2π
Z
f (s)sin(λs)ds .
R
1
(s − x)2
exp(−
)
4a2 πt
4a2 t
R
auch in der Form u(x, t) = R G(x, t, s)f (s)ds schreiben. Dies sollte für auf dem
Abschluß stetige und im Inneren zweimal stetig differenzierbare Funktionen die eindeutige Lösung sein (mit limtց0 u(x, t) = f (x)).
Zur Herleitung mit der F –Transformation: Für die Fouriertransformierten gelten
Ut = −a2 ω 2 U,
U(ω, t) = F (ω) exp(−a2 ω 2t).
ω
Nun erfüllt g(ω) := F {exp(−βx2 )} mit β > 0 die Differentialgleichung g ′ + 2β
g=0
p
1
gilt:
mit g(0) = π/β. Mit a2 t = 4β
h(x) :=
r
1
x2
exp(−
)
4πa2 t
4a2 t
⇒
H(ω) := F {h(x)} = exp(−a2 ω 2 t).
Also gelten U(ω, t) = F (ω) · H(ω) = F {(f ∗ h)(t)} und u(x, t) = (f ∗ h)(t).
28
Kapitel 4
Die klassischen PDEs
4.1
Wellengleichung
Die Wellengleichung aus dem ersten Abschnitt hat die formale Lösung
uM (x, t) =
=
=
4β P∞
1
nπ
n=1 n2 sin 2 sin nx cos cnt
π
P∞ 1
1 4β
nπ
[
n=1 n2 sin 2 {sin n(x − ct)
2 π
1 ˜
[f (x − ct) + f˜(x + ct)]
2
+ sin n(x + ct)}]
für die in der Mitte bzw.
uE (x, t) = −2α
P∞
1
n=1 n cos nπ
sin nx cos cnt
für die am Ende angezupfte Saite (cf. d’Alembert–Ansatz). Die Konvergenz an t = 0
gegen die Anfangsfunktion ist gewährleistet. Die uM –Reihe konvergiert offensichtlich
gleichmäßig. Für die uE –Reihe könnte dies gemäß Bsp. 2.8 auch der Fall sein (???).
Integration und Summation sind dann vertauschbar, so daß die Darstellungen mit der
Kernfunktion zulässig sind. Die gliedweise Differentiation ist erscheint nicht gestattet.
Die beiden Anfangsfunktionen sind nicht glatt genug. Man sollte ein zweimal stetig differenzierbares f˜ mit stückweise stetig differenzierbarer dritter Ableitung haben (vgl. Satz
3.10). Oder man ersetzt gleich f˜ durch eine Partialsumme seiner Fourierreihe.
4.2
Potentialgleichung
Das Dirichlet–Problem für die Potentialgleichung im Kreis ist (vgl. [2] 391)
uxx + uyy = 0
für x2 + y 2 < 1 ,
u(x, y) = f (x, y)
für x2 + y 2 = 1
29
30
KAPITEL 4. DIE KLASSISCHEN PDES
mit einer stetig differenzierbaren reellen Randfunktion f . In Polarkoordinaten lautet dies
urr + 1r ur +
1
u
r 2 ϕϕ
= 0,
0 < r < 1,
u(0+, ϕ) beschränkt , u(1, ϕ) = g(ϕ) := f (cosϕ, sinϕ).
Man verifiziert, daß u = un (r, ϕ) = r n e±inϕ , n = 0, 1, ... , die Differentialgleichung löst.
Durch Superposition gelangt man zum Ansatz
u(r, ϕ) =
∞
X
|k| ikϕ
ck r e
mit u(1, ϕ) =
∞
X
!
ck eikϕ = g(ϕ).
k=−∞
k=−∞
Also sollten die ck die Fourierkoeffizienten von g sein. g sollte dabei in der Tat gleich
seiner Fourierreihe Sg sein. Mit Beispiel 3.3 und Bemerkung 3.7 ergibt sich formal
Z 2π
1
u(r, ϕ) =
G(r, ϕ; ψ)g(ψ)dψ = Gg(r, ϕ) , r < 1
2π 0
G(r, ϕ; ψ) :=
1 − r2
.
1 − 2rcos(ϕ − ψ) + r 2
Die Fourierkoeffizienten von u sind ck r |k| . Sie erzeugen für r < 1 Glattheit der Lösung, so
daß gliedweise Differentiation bzw. Differentiation unter dem Integral gestattet sind. Für
welche g gilt limrր1 u(r, ϕ) = g(ϕ)?
4.3
Wärmeleitungsgleichung
Die Wärmeleitungsgleichung (vgl. [2] pp.383–386)
ut = a2 uxx + F (x, t), a > 0,
u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ π,
u(0, t) = g(t), u(π, t) = h(t),
t≥0
über [0, π] × [0, ∞) behandelt man in drei Schritten.
• F ≡ 0, g ≡ 0, h ≡ 0:
Hier muß dann auch f (0) = 0 = f (π) gelten. Der Separationsansatz u(x, t) =
X(x)T (t) führt zu den Gleichungen
′′
X + λ2 X = 0 mit X(0) = X(π) = 0,
Ṫ + λ2 a2 T = 0,
Nichttrriviale Lösungen erhält man für λ = n ∈ Z: Xn (x) = sin nx. Die entsprechenden T –Lösungen sind dann Tn (t) = cn exp(−a2 n2 t). Nach Superposition
u(x, t) :=
∞
X
n=1
2 n2 t
cn e−a
sin nx
4.4. STURM–LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME
soll gelten:
u(x, 0) =
∞
X
31
cn sin nx = f (x) .
n=1
2
π
Rπ
Man errechnet cn =
f (s)sin ns ds . Die Lösung u(x, t) = Gf (x, t) ist dann
0
R
Rπ
P
2 π
−a2 n2 t
= 0 G(x, t; s)f (s)ds
u(x, t) = ∞
n=1 sin nx [ π 0 f (s)sin ns ds] e
G(x, t; s) =
∞
2X
2 2
sin nx sin ns e−a n t
π n=1
. Die Zeitfaktoren bewirken wieder eine Glättung der Lösung für t > 0, falls f
am Rand ebenfalls mitsamt seinen Ableitungen verschwindet. Für welche f gilt
limtց0 u(x, t) = f (x) ? Dies ist eine Frage der gleichmäßigen Konvergenz.
• g ≡ 0, h ≡ 0:
Man bestimmt die Fourier–Sinus–Reihe von F bezüglich x mit den Fourierkoeffizienten Fn (t), was mit dem Ansatz
u(x, t) :=
∞
X
un (t) sin nx
n=1
zu den Differentialgleichungen
u̇n = −(an)2 un + Fn (t) mit un (0) = cn ,
führt. Deren Lösung ist
−a2 n2 t
un (t) = e
cn +
Z
t
2 n2 (t−τ )
e−a
Fn (τ )dτ.
0
• Der allgemeine Fall wird über
x
[h(t) − g(t)],
π
auf den letzten Fall zurückgeführt. v(x, t) ist dann als Lösung einer Gleichung mit
homogenen Randbedingungen zu bestimmen:
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),
w(x, t) := g(t) +
vt = a2 vxx + F (x, t) − wt (x, t),
v(x, 0) = f (x) − w(x, 0),
v(0, t) = 0, v(π, t) = 0,
4.4
0 ≤ x ≤ π,
t ≥ 0.
Sturm–Liouville Randwertprobleme
Für eine heuristische Einfürung siehe Appendix A.4.2. Diesem Thema Sturm–Liouville ist
der Appendix D gewidmet. Beachte auch die entsprechenden Aufgaben.
32
KAPITEL 4. DIE KLASSISCHEN PDES
Kapitel 5
Integraltransformationen
Literatur: [8], [2], [10].
5.1
Anwendungen der Fourier–Transformation
Für die grundlegenden Definitionen
F (λ) =
R∞
f (ξ)e−iλξ dξ = F (f (·))(λ)
(5.1)
1
2π
R∞
F (λ)eiλx dλ = F −1 (F (·))(x)
(5.2)
und
f (x) =
−∞
−∞
Resultate siehe Abschnitt 3.3 und das Handout zur Vorlesung (Eigenschaften/Tabelle).
Aufgrund der Differentiationsformel
F (f ′ )(ω) = iωF (f )(ω)
(5.3)
und der Faltungsformel
(f ⋆ g)(t) ≡
R∞
−∞
f (t − s)g(s)ds ⇒ F (f ⋆ g) = F (f ) · F (g)
(5.4)
eignet sich die F –Transformation für ODEs, PDEs und Integralgleichungen.
5.1.1
Heuristik
(a) Beschränkte ODE–Lösung
Betrachte bei e–stabilem A und beschränktem f
u′ =
du
dx
= Au + f (x)
33
(5.5)
34
KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN
und suche/bestimme die auf ganz R beschränkten Lösungen. Multiplikation mit
e−Ax und Integration von 0 nach x liefert
e−Ax u(x) − u0 =
Bei beschränktem u(x) folgt für x → −∞:
Rx
0
e−Aξ f (ξ)dξ.
R −∞
e−Aξ f (ξ)dξ,
Rx
R∞
u(x) = −∞ eA(x−ξ) f (ξ)dξ = 0 eAs f (x − s)ds .
u0 =
0
(5.6)
(5.7)
Das ist in der Tat die einzige global beschränkte Lösung von (5.5).
(b) Beschränkte ODE–Lösung (Fourier)
Betrachte nun den skalaren Fall. Man kann auch (5.5) mit e−iλx multiplizieren und
– unter geeigneten Voraussetzungen – über ganz R integrieren. Bei der partiellen
Integration erzwinge man verschwindende Rand-Terme. Es folgen
iλ
R
R
u(x)e−iλx dx = A
oder in Kurzschreibweise
R
R
u(x)e−iλx dx +
R
R
f (x)e−iλx dx
iλû(λ) = Aû(λ) + fˆ(λ)
(5.8)
(5.9)
mit Lösung
û(λ) = ĥ(λ)fˆ(λ),
ĥ(λ) =
1
.
iλ−A
(5.10)
Die Rücktransformation û(λ) → u(x) ist i.a. problematisch, hier nicht. Mit der
Faltungsregel folgt (5.7). Die an f und u zu stellenden Forderungen sind dabei
ziemlich restriktiv.
(c) Beschränkte PDE–Lösung (Fourier)
Betrachte nun den skalaren PDE–Fall auf R × R+ :
ut = a2 uxx ,
u(x, 0) = f (x) auf R,
u global beschränkt.
(5.11)
Man multipliziert mit e−iλx und integriert über R und erhält – unter geeigneten
Voraussetzungen –
ût (λ, t) = (iλ)2 a2 û(λ, t),
û(λ, 0) = fˆ(λ).
(5.12)
fˆ(λ).
(5.13)
Die Lösung hiervon ist
2 λ2 t
û(λ, t) = e−a
Die Rücktransformation û(λ, t) → u(x, t) ist i.a. problematisch, hier nicht.
5.1. ANWENDUNGEN DER FOURIER–TRANSFORMATION
5.1.2
35
PDEs
Mit |f | ∈ L1 (R) und für (x, t) ∈ R × R+ betrachte man
ut = a2 uxx ,
|u(x, t)| < ∞,
(5.14)
u(x, 0) = f (x).
Der Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) liefert die ODEs
Ṫ + a2 λ2 T = 0,
X ′′ + λ2 X = 0
(5.15)
mit Lösungen
T (t; λ) = exp(−a2 λ2 t),
X(x; λ) =
1
S(λ)eiλx .
2π
Die formale Summation/Integration liefert den Ansatz
u(x, t) =
R∞
T (t; λ)X(x; λ)dλ
u(x, 0) =
R∞
X(x; λ)dλ = f (x).
mit der Anfangsbedingung
Lässt sich f (x) schreiben als
F (λ)eiλx dλ = F −1 (F (·))(x)
(5.16)
F (λ) =
R∞
f (ξ)e−iλξ dξ = F (f (·))(λ)
(5.17)
(vgl. Satz 2.9), so liefert
=
=
mit
!
R∞
mit F –Transformierter
=
−∞
1
2π
f (x) =
u(x, t) =
−∞
−∞
−∞
R∞
T (t; λ)[F (λ)eiλx ]dλ
−∞
R
2 2
∞ R∞
1
e−a λ t eiλx e−iλξ f (ξ)dλdξ
2π −∞ −∞
R∞
g(x − ξ, t)f (ξ)dξ
−∞
√
R
∞
−z 2
√1
e
f
(x
−
z
4a2 t)dz → f (x)
π −∞
(5.18)
für t → 0
2
].
g(x − ξ, t) = (4πa2 t)−1/2 exp[− (x−ξ)
4a2 t
(5.19)
Alternativ kann man die F –Transformation schon direkt auf die PDE (5.14) anwenden
und erhält die vom Parameter λ abhängige ODE
U̇(λ; t) = −a2 λ2 U(λ; t),
U(λ; 0) = F (λ)
36
mit der Lösung
2 λ2 t
U(λ; t) = e−a
F (λ) ≡ G(λ; t)F (λ).
Die Rücktransformation des Produkts der λ–Funktionen G und F liefert die Faltung von
g(·; t) und f (·), wie sie sich in (5.18) und (5.19) zeigt:
u(x, t) = F −1 U(·; t)(x) =
R∞
−∞
g(x − ξ, t)f (ξ)dξ .
Bemerkung 5.1 [F –Sinus/Cosinus–Transformationen] Schreibt man
fˆ(ω) =
R
f (t)[cosωt − i sinωt]dt = a(ω) − ib(ω),
R
a(ω) = R f (t)cos(ωt)dt, b(ω) = R f (t)sin(ωt)dt
R
R
mit geradem a und ungeradem b, so gilt
2π f (t) =
R
[a(ω) − ib(ω)] · [cosωt + i sin(ωt)]dω
R∞
= 2 0 [a(ω)cos(ω) + b(ω)sinωt)]dω.
In einem reellen Ansatz
R
f (t) =
R∞
0
[A(λ)cosλt + B(λ)sinλt]dλ
(5.20)
hat man also Koeffizientenformeln
A(λ) =
1
π
R
f (t)cos(λt)dt und B(λ) =
R
1
π
R
R
f (t)sin(λt)dt .
(5.21)
Beispiel 5.2 [Wärmeleitung auf [0, ∞)]
Betrachte auf R+ × R+
ut = uxx ,
u(0, t) = 0,
(5.22)
|u(x, t)| ≤ M,
u(x, 0) = f (x).
Mit f ∗ (x) als ungerader Fortsetzung von f betrachte das Ersatzproblem
ut = uxx ,
u(x, 0) = f ∗ (x),
|u| ≤ M,
(5.23)
2
wofür F –Transformation zu U(ω, t) = e−ω t F ∗ (ω) führt. Mit der Faltungseigenschaft und
der Aufspaltung des Integrals auf (−∞, 0) und (0, ∞) ergibt sich – aus Tabelle –
u(x, t) =
√1
4πt
R∞
0
2
2
] − exp[− (x+ξ)
]}f (ξ)dξ .
{exp[− (x−ξ)
4t
4t
(5.24)
37
Aufgabe (Wellengleichung für 0 < x < ∞):
Man betrachte für (x, t) ∈ R+ × R+
utt = c2 uxx ,
u(0, t) = 0,
u(x, 0) = f (x),
(5.25)
|u(x, t)| < ∞,
ut (x, 0) = g(x)
mit |f | ∈ L1 (R), |g| ∈ L1 (R). Bestimmen Sie eine formale Lösung u(x, t) mit Hilfe einer
F –Transformation nach Bemerkung (5.1).
Aufgabe (Potentialgleichung auf Halbraum):
Man betrachte für (x, y) ∈ R × R+
uxx + uyy = 0,
(5.26)
|u(x, y)| < ∞, u(x, 0) = f (x)
mit f ∈ C2 (R) und |f | ∈ L1 (R). Nutzen Sie die F –Transformation bzgl. der x–Variablen,
um die Lösung
u(x, y) =
y
π
R∞
f (ξ)
dξ
−∞ (x−ξ)2 +y 2
mit u(x, 0+) = f (x) herzuleiten.
=
1
π
R π/2
−π/2
f (x − y tanτ )dτ
für x ∈ R, y > 0
Aufgabe (Transmission Line):
Betrachten Sie
utt + αut + βu = γ 2 uxx ,
u(x, 0) = f (x),
x ∈ R, > 0,
ut (x, 0) = g(x)
(5.27)
mit positiven α, β, γ und |f | ∈ L1 , |g| ∈ L1 . Benutzen Sie die F –Transformation und
berechnen Sie die Lösung der transformierten Gleichungen.
5.1.3
ODEs und Regelungstechnik
Gegeben sei ein lineares zeit-invariantes System
ẋ = Ax + Bu,
(5.28)
y = Cx
mit n–dim. Zustand x, m–dim. Input u und q–dim. Output y. Die Eigenwerte von A
mögen alle negativen Realteil besitzen, so dass zu auf R beschränktem Input u(·) genau
ein auf ganz R beschränkter Zustand/Output
xp (t) =
Rt
eA(t−s) Bu(s)ds / yp (t) =
−∞
Rt
−∞
CeA(t−s) Bu(s)ds
38
gehört, wogegen ein jeder Zustand/Output von (5.28) strebt für t → ∞ strebt. Verifiziere!
Setzt man
K(t) = CeAt B für t ≥ 0, K(t) = 0 für t < 0,
so hat man die Schreibweise
yp (t) =
R
R
K(t − s)u(s)ds
in Form einer Faltung. Für u(t) gleich Dirac’s δ(t−t0 )u0 ergibt yp (t) = K(t−t0 )u0 . Daher
nennt man K die Impulsantwortmatrix. Die F –Transformierte von K(t), ie.
K̂(ω) =
R
R
K(t)e−iωt dt,
nennt man Frequenzgangmatrix, denn es gilt – bei Input u(t) = eiωt u0 –
yp (t) =
R
R
K(t − s)eiωs u0 ds = eiωt
R
R
K(τ )e−iωτ u0 dτ = K̂(ω)eiωt u0 .
Andererseits hat man aus einem Ansatz yp (t) = eiωt y0
yp (t) = C(iω − A)−1 Beiωt u0 = H(iω)u(t)
mit der Übertragungsmatrix
H(s) = C(s − A)−1 B
und der Frequenzgangmatrix H(iω) = K̂(ω).
Bemerkung 5.3 Mit der Plancherelformel (vgl. Satz 3.16) erhält man eine Abschätzung
der Energie–Verstärkung, denn es gilt
||y||L2 ≤ ||H||∞||u||L2 ,
||H||∞ := supω∈R |H(iω)|,
bei ŷ(ω) = H(iω)û(ω) wegen
(y, y)L2 =
≤
1
(ŷ, ŷ)L2
2π
1
|H(iω)|2|û(ω)|2dω
2π R
1
(û, û)L2 = supω∈R |H(iω)|2(u, u)L2
supω∈R |H(iω)|2 2π
R
=
Beispiel 5.4 Im Fall n = 4 mit




A=


0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−a0 −a1 −a2 −a3




,


und


u


∼
′ 
Bu = e4 (b0 , b1 , 1) 
 u ,
u′′
39
C = eT
1 = (1, 0, 0, 0)
entspricht (5.28) der ODE
x(4) + a3 x(3) + a2 x′′ + a1 x′ + a0 x = u′′ + b1 u′ + b0 u mit y = x.
Mit den Polynomen
χA (s) = s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 ,
χB (s) = s2 + b1 s + b0
ergibt sich so
yp (t) = C(iω − A)−1 Beiωt u0 =
χB (iω) iωt
u0
χA (iω) e
mit dem Frequenzgang
H(iω) =
5.1.4
χB (iω)
χA (iω)
= |H(iω)|eiφ
Integralgleichungen
Gewisse Integralgleichungen (Faltungen) lassen sich leicht mit F –Transformationen lösen,
zB.
R
k(t − s)x(s)ds − λx(t) = f (t)
R
führt bei existenten F –Transformationen zu
(k̂(ω) − λ)x̂(ω) = fˆ(ω)
und somit zu
x(t) =
5.1.5
1
2π
fˆ(ω)
eiωt dω
R k̂(ω)−λ
R
.
Sampling Theorem
Gilt für
fˆ(ω) =
die Bedingung
R
R
f (t)e−iωt dt,
f (t) =
1
2π
R
R
fˆ(ω)eiωt dω
fˆ(ω) = 0 für |ω| > Ω,
so lässt sich formal fˆ in eine Fourierreihe entwickeln für −Ω ≤ ω ≤ Ω:
P
fˆ(ω) = Z fˆn einωπ/Ω ,
RΩ
1
2π
fˆn = 2Ω
f (− nπ
).
fˆ(ω)e−inωπ/Ω = 2Ω
Ω
−Ω
(5.29)
40
Es gilt dann
f (t) =
=
=
=
RΩ
1
fˆ(ω)eiωt dω
2π −Ω
R P
nπ inωπ/Ω iωt
1 2π Ω
e dω
Z f (− Ω )e
2π 2Ω −Ω
P
1
nπ
1
Z f (− Ω ) i(t+nπ/Ω) exp(iω(t + nπ/Ω))
2Ω
P
nπ sin(Ωt+nπ)
Z f (− Ω ) Ωt+nπ .
Satz 5.5 (Sampling Theorem)
Erfüllt eine stückweise stetige Spektralfunktion fˆ(ω) die Bedingung (5.29) und und ist die
grösser gleich 2Ω, so gilt für die zugehörige Zeitfunktion f(t)
sogenannte Abtastfrequenz 2π
δ
obige Darstellung
P
sin( πδ (t−nδ))
(5.30)
f (t) = n∈Z f (nδ) π (t−nδ)
.
δ
Es lässt sich also f (t) aus den diskreten Funktionswerten f (nδ) rekonstruieren für δ ≤ Ωπ .
5.2
Anwendungen der Laplace–Transformation
Wir greifen die Laplace–Transformation
F (s) = L{f (t)} :=
R∞
0
e−st f (t)dt
(5.31)
aus Beispiel 2.12 wieder auf und verweisen auf das Handout zur Vorlesung (Eigenschaften/Tabelle). Aufgrund der Differentiationsformel
L(f ′ )(s) = sL(f )(s) − f (0+)
(5.32)
und der Faltungsformel
(f ⋆ g)(t) ≡
Rt
0
f (t − s)g(s)ds ⇒ L(f ⋆ g) = L(f ) · L(g)
(5.33)
eignet sich die L–Transformation für ODEs, PDEs und Integralgleichungen.
5.2.1
Heuristik
Anfangswertprobleme (Laplace)
Betrachte bei A < 0 das Anfangswertproblem
u′ =
du
dx
= Au + f (x),
u(0) = u0 .
(5.34)
Man multipliziert mit e−sx , s > 0, und integriert über [0, ∞) und erhält – unter geeigneten
Voraussetzungen – mit partieller Integration
R∞
R∞
R∞
u(x)e−sx |∞ −u(0+) + s · 0 u(x)e−sx dx = A 0 u(x)e−sx dx + 0 f (x)e−sx dx (5.35)
5.2. ANWENDUNGEN DER LAPLACE–TRANSFORMATION
41
oder in Kurzschreibweise bei beschränktem u
û(s) =
u(0+)
s−A
+
fˆ(s)
.
s−A
(5.36)
Die Rücktransformation û(s) → u(x) ist i.a. problematisch, hier nicht. ODEs höherer
Ordnung lassen sich leicht Laplace–transformieren und so in algebraische Gleichungen
umwandeln. In Analogie auch für PDEs nützlich.
5.2.2
ODEs und Regelungstechnik
In der Regelungstechnik spielt die L–Transformation eine zentrale Rolle. ODE–Systeme
der Form
(5.37)
ẋ = Ax + Bu, y = Cx,
mit exponentiell stabilem A gehen bei L–Transformation über in
sX − x(0+) = AX + BU,
X(s) = (s − A)−1 [BU(s) + x(0+)],
Y = CX,
Y (s) = C(s − A)−1 [BU(s) + x(0+)]
Von nun an sei der Anfangswert x(0) = x(0+) = 0 gewählt – bei beschränkten Inputs
streben die Systemantworten asymptotisch gegen die global beschränkte Lösung, so dass
der Anfangswert keine bedeutende Rolle bzgl. der asymptotischen Systemantwort hat.
Man hat dann
Y (s) = G(s)U(s) mit der Übertragungsmatrix G(s) = C(s − A)−1 B.
Einer Reihenschaltung von Systemen S1 und S2 vom Typ (5.37) enstpricht das Produkt G2 G1 der Übergangsmatrizen, einer Parallelschaltung die Summe G1 + G2 und einer
Rückführungsschaltung – ausführlich geschrieben als
ẋ1 = A1 x1 + B1 v,
y1 = C1 x1 ,
ẋ2 = A2 x2 + B2 y1 , y2 = C2 x2 ,
v = u − y2
entspricht Y1 = (I + G1 G2 )−1 G1 U und Y2 = (I + G2 G1 )−1 G2 G1 U mit der loop gain matrix
L ≡ G1 G2 .
42
Aufgabe (Elektronenbewegung):
Berechnen Sie mit Hilfe von L–Transformierten die Lösung von
ẍ − ẏ = 0,
x(0) = ẋ(0) = 0,
ÿ + ẋ = u,
y(0) = ẏ(0) = 0
(5.38)
bei konstantem u. In der (x, y)–Ebene ergibt sich als Lösungskurve eine Zykloide.
5.2.3
PDEs
Im Rahmen der PDEs mit konstanten Koeffizienten eignet sich die L–Transformation für
homogene und inhomogene lineare Gleichungen (auch bei inhomogenen Randbedingungen). Das trifft auf endliche und unendliche Randwertaufgaben zu. Vergleiche Abschnitt
4.3.
Beispiel 5.6 [Aufspaltung bei Inhomogenitäten]
Man betrachte auf R+ × R+
ut = uxx ,
u(0, t) = a(t),
|u(x, t)| ≤ M,
(5.39)
u(x, 0) = f (x)
und spalte in die Teilprobleme
vt = vxx ,
v(0, t) = a(t),
|v(x, t)| ≤ M1 ,
(5.40)
v(x, 0) = 0
und
wt = wxx ,
w(0, t) = 0,
x ∈ R+ , t > 0
|w(x, t)| ≤ M2 ,
(5.41)
w(x, 0) = f (x)
oder
wt = wxx ,
x ∈ R, t > 0,
|w(x, t)| ≤ M3 ,
w(x, 0) = f ∗ (x)
(5.42)
5.2. ANWENDUNGEN DER LAPLACE–TRANSFORMATION
43
mit der ungeraden Fortsetzung f ∗ von f .
Mit der L–Transformatiom kann man das Problem (5.40), mit der F –Transformation die
Probleme (5.41) bzw. (5.42) angehen. Es ergibt sich für V (x, s) = L(v(x, t)) in (5.40)
sV = Vxx ,
mit Lösung V (x, s) = e−
√
sx
V (0, s) = A(s),
|V (x, s)| ≤
M1
s
(5.43)
A(s) und – aus (geeigneter) Tabelle –
x
v(x, t) = L (V (x, s)) = √
4π
−1
Z
t
0
(t − τ )−3/2 exp[−
x2
] a(τ ) dτ .
4(t − τ )
Die w–Lösung von (5.42) steht als (5.24) in Beispiel 5.2. Die Lösung von (5.39) ist dann
u = v + w.
Aufgabe (Inhomogene Randbedingungen):
Betrachten Sie die Wellengleichung
utt = c2 uxx ,
x > 0, t > 0,
u(0, t) = f (t), |u| < ∞,
(5.44)
u(x, 0) = ut (x, 0) = 0,
Wenden Sie die L–Transformation (bei ’anständigem’ f ) an und berechnen Sie die entsprechende Lösung für die transformierten Gleichungen. Anschliessend bestimme man auch
die zugehörige Lösung u(x, t) = heav(t − xc )f (t − xc ).
Aufgabe (Inhomogenitäten):
Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung
ut = uxx + q(x, t),
0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 0, u(1, t) + γux (1, t) = f (t),
(5.45)
u(x, 0) = g(x)
mit Quellterm q. Wenden Sie die L–Transformation (bei ’anständigen’ f , g und q) an und
berechnen Sie die entsprechende Lösung für die transformierten Gleichungen. Vergleiche
Abschnitt 4.3 zwecks einer eventuellen Aufspaltung in Teilprobleme.
Bemerkung 5.7 [Duhamel’s Principle]
Wie man Quellterme bei homogenen Anfangsbedigungen mit Hilfe des Duhamelschen
Prinzips behandeln kann, zeigen wir exemplarisch an der Wärmeleitung
ut = uxx + q(x, t),
x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 0.
(5.46)
44
Assoziiert man das parameterabhängige Problem
vt = vxx ,
x ∈ R, t > τ,
(5.47)
v(x, τ ; τ ) = q(x, τ )
Rt
mit der Lösung v(x, t; τ ), so löst u(x, t) := 0 v(x, t; τ )dτ (5.46). Verifiziere!
In Analogie assoziiert man zur Wellengleichung
utt = uxx + q(x, t),
x ∈ R, t > 0,
(5.48)
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0
das Problem
vtt = vxx ,
x ∈ R, t > τ,
(5.49)
v(x, 0) = 0, vt (x, τ ; τ ) = q(x, τ ),
wofür wieder obiger Lösungszusammenhang gilt. Verifiziere!
5.2.4
Integralgleichungen
Gleichungen mit Faltungsintegralen wie
x(t) +
Rt
0
lassen sich L–transformieren. Die Rücktransformation von X(s) =
errechnet sich eine Lösung x(t) von
ẋ(t) +
Rt
0
(5.50)
k(t − s)x(s)ds = f (t), t > 0,
x(s)cosh(t − s)ds = 0,
F (s)
1+K(s)
x(0) = 1
mittels der L–Transformation aus
sX(s) − 1 + X(s)
als x(t) = 1 − t2 /2.
5.3
Tafeln
s2
s
= 0,
−1
X(s) =
1
1
− 3
s s
löst (5.50). Z.B.
(5.51)
5.3. TAFELN
Fourier–Transformation
45
46
Laplace–Transformation
5.4. APPENDIX:
5.4
EIGENSCHAFTEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION
47
Appendix:
Eigenschaften der Laplace-Transformation
(I) Eine Funktion f : [0, ∞) → C heisst Laplace-transformierbar (L-transformierbar),
wenn das uneigentliche Integral
F (z) ≡ L[f (·)](z) :=
R∞
0
e−zt f (t)dt,
z = s + iω,
(5.52)
für ein z ∈ C konvergiert. In diesem Fall heisst F (s) die L-Transformierte von f . Wir
betrachten (vorerst) nur (in endlichen Intervallen) stückweise stetige f von höchstens
exponentiellem Wachstum, d.h. es existieren positive Konstanten M und σ mit |f (t)| ≤
Meσt für alle t ≥ 0. Meist betrachten wir die reelle Form und schreiben s an Stelle von z:
F (s) ≡ L[f (·)](s) (mit s > σ).
M
für s > σ, woraus lims→∞ F (s) = 0 folgt. Elementare Integratios−σ
nen liefern z.B. für a ∈ C
Man hat |F (s)| ≤
f (t) = tn 7→ F (s) =
n!
s
, s > 0;
n+1
insbesondere also cos(ωt) 7→
Man kann (leicht) beweisen:
s
s2 +ω 2
f (t) = eat 7→ F (s) =
und sin(ωt) 7→
ω
s2 +ω 2
1
, s > Re(a),
s−a
(5.53)
für s > 0.
• Das uneigentliche Integral in (5.52) ist für s > σ gleichmässig konvergent und f
ist – bis auf die Funktionswerte an den Unstetigkeitsstellen – durch F eindeutig
bestimmt (vgl. nachstehendes (5.63)).
Die Rückrechnung von F nach f gelingt nur in Ausnahmefällen auf elementare Weise,
z.B. mit Partialbruchzerlegung in
F (s) =
s+1
−1/2 −1/6
2/3
=
+
+
,
s(s + 2)(s − 1)
s
s+2 s−1
was zu f (t) = − 21 − 61 e−2t + 23 et führt.
(II) Die Integraldefinition und die erwähnte Gleichmässigkeit der Konvergenz ziehen
natürlich einige Rechenregeln nach sich, insbesondere die Differentiationsregel (R3) und
die Faltungsregel (R6):
(R1) Linearität: L[af (t) + bg(t)](s) = aF (s) + bG(s).
(R2) Ähnlichkeit: L[f (ct)](s) =
1
c
F ( sc ), c > 0.
(R3) Ableitung von f : L[f (n (t)](s) = sn F (s) − sn−1 f (0+) − · · · − f (n−1) (0+),
Rf
Integral von f : L[ 0 (τ )dτ ](s) = 1s F (s).
48
(R4) Ableitung von F :
Integral von F :
dn
F (s) = (−1)n L[tn f (t)](s),
dsn
R∞
](s).
F (ξ)dξ = L[ f (t)
t
s
(R5) Translationen: L[e−at f (t)](s) = F (s + a) und e−as F (s) =
R∞
a
e−sτ f (τ − a)dτ .
Mit der Heaviside-Funktion heav(t) mit Wert 0 für t < 0 und Wert 1 für t ≥ 0
ergeben sich
L[f (t − a)heav(t − a)](s) = e−as F (s) insbes. L[heav(t − a)](s) = e−as
1
.
s
(R6) Faltung(sprodukt)/Konvolution: Für das Faltungsprodukt
(f ⋆ g)(t) :=
der Funktionen f (t) und g(t) gilt
Rt
0
(f (t − τ )g(τ )dτ
(5.54)
(5.55)
L[(f ⋆ g)(t)](s) = F (s) G(s) .
Hierbei ist das ∗-Produkt wirklich ein Produkt im üblichen
R t Sinne – aber die
Funktion e(t) ≡ 1 ist nicht das neutrale Element ((e ⋆ f )(t) = 0 f (τ )dτ . Die Formel
(5.55) beruht auf einer Änderung der Integrationsreihenfolge im Doppelintegral
über den Kegel {(u, t) : 0 ≤ u ≤ t}:
F (s)G(s) =
=
=
R∞ hR∞
0
0
e
i
g(τ )dτ f (u)du =
i
−st
e
g(t
−
u)dt
f (u)du =
u
hR
i
∞
−st
e
g(t − u)f (u)du dt = L[(f ⋆ g)(t)](s)
u
0
0
R∞ hR∞
R∞
−s(u+τ )
(R7) Grenzwertsatz für f mit existentem Grenzwert limt→0+ f (t) = f (0+) und Ableitung
f ′ von höchstens exponentiellem Wachstum:
(5.56)
f (0+) = lims→∞ sF (s) .
Grenzwertsatz
R ∞ ′ für f mit existentem Grenzwert limt→∞ f (t) = f∞ und beschränktem
Integral 0 |f (t)|dt:
(5.57)
f∞ = lims→0+ sF (s) .
Beide Grenzwertbeziehungen ergeben sich aus partieller Integration von sF (s). Sie
sind in vielen Anwendungen sehr gewinnbringend einzusetzen: Was diese Grenzwerte
angeht, kann man sich Rücktransformationen ersparen.
(R8) Am Rande: Ist f T -periodisch, so gilt F (s) =
1
1−e−sT
RT
0
e−st f (t)dt.
5.4. APPENDIX:
EIGENSCHAFTEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION
49
(III) Erweiterung mit Dirac-scher ‘Deltafunktion’:
Wir erweitern den Raum der L-transformierbaren Funktionen und betrachten hierzu die
Funktion
heav(t) − heav(t − ε)
(5.58)
δε (t) −
, ε > 0,
ε
mit der Eigenschaft, dass δ(t − t0 ) identisch 0 ist mit Ausnahme des Intervalls [t0 , t0 + ε],
auf welchem der Wert 1ε angenommen wird. Man hat
R∞
−∞
δε (t)dt = 1
(5.59)
∀ ε > 0.
Die Diracsche ‘Deltafunktion’ ist formal definiert durch
(5.60)
δ(t) := limε→0 δε (t)
. Sie ist charakterisiert durch die Integralbeziehung
R∞
f (t0 ) = −∞ f (t)δ(t − t0 )dt für stetige f .
(5.61)
Wir setzen daher
(R9) L[δ(t)](s) = 1 & L[δ(t − t0 )](s) = e−t0 s (t0 > 0) .
Im Sinne der L-Transformation wird die ‘Deltafunktion’ formal als Ableitung der
Heaviside Funktion aufgefasst:
L[heav ′ (t − t0 )](s) = s L(heav(t − t0 )](s) − heav(0+ − t0 ) =
= se−st0
1
s
− 0 = L[δ(t − t0 )](s) .
(5.62)
(IV) Schliesslich noch zur inversen Laplace-Transformation:
Konvergiert die L-Transformation einer (in endlichen Intervallen) stückweise stetigen
Funktion f : [0, ∞) → C von höchstens exponentiellem Wachstum (|f (t)| ≤ Meσt )
und setzt man diese durch f (t) ≡ 0 für negative t-Werte fort, so betrachte man die
F -Transformation von g(t) = e−st f (t):
ĝ(ω) = F [g(t)](ω) =
R∞
−inf ty
e−iωt g(t)dt =
Mit der inversen F -Transformation hat man
e−st
f (t+) + f (t−)
=
2
1
2π
R∞
−∞
R∞
−inf ty
e−(s+iω)t f (t)dt = L[f (t)](s + iω) .
eiωt ĝ(ω)dω =
1
2π
Zusammengefasst hat man also mit z = s + iω:
f (t+) + f (t−)
=
2
1
2π
R∞
−inf ty
est eiωt F (s + iω)dω =
R∞
−∞
1
2π
eiωt F (s + iω)dω .
R∞
−∞
ezt F (z)dω ,
(5.63)
was eine Integration auf der vertikalen Geraden durch s + i0 im Konvergenzbereich der
L-Transformation in C (s = Re(z) > σ) entspricht. Derartige Integrale berechnet man –
wenn überhaupt möglich – mit dem Residuensatz der Funktionentheorie.
50
Literaturverzeichnis
[1] Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik 1, 2. Auflage, Springer 1997.
[2] Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik 2, 2. Auflage, Springer 1997.
[3] Rudin: Analysis, Physik Verlag 1980.
[4] Schmieder: Analysis, Oldenburg 1994
[5] Young N.: An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press 1988.
[6] Renardy&Rodgers: An Introduction to Partial Differential Equations, Springer 1992.
[7] Schecter M.: Principals of Functional Analysis, Academic Press 1971.
[8] Powers, D.L.: Boundary Value Problems, Academic Press 1972 (5th edition, 2006).
[9] DuChateaux & Zachmann: PDEs, Schaum’s Outline, 1986.
[10] Farlow: PDEs for Scientists and Engineers, Dover 1993.
[11] Bähr H.D. & Stephan K.: Heat and Mass Transfer, Springer, 2nd ed., 2006
[12] Betounes, David: PDEs for Computational Science, Springer Telos 1998.
[13] Prentice G.: Electrochemical Engineering Principles, Prentice Hall 1991.
[14] Bressan A.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws: The One-Dimensional Cauchy
Problem, Oxford Univ. Press 2000.
Aufgaben
Die Übungsblätter werden im Verlauf der Vorlesung erstellt und ins Netz gestellt.
51
52
Literatur
Anhang A
Eigenwerte und Singulärwerte
A.1
Grundlagen – Exkurs in Lineare Algebra
Gegeben sei f : Cn → Cn via x 7→ Ax. Betrachte Eigenwert λ mit Rechtseigenvektor
r 6= 0 (Spalte)und Eigenwert µ mit Linkseigenvektor ℓ∗ 6= 0 (Zeile):
Ar = λr,
ℓ∗ A = µℓ∗ .
(A.1)
Bei gegebenem Skalarprodukt (x, y) = y ∗ x definiert man die adjungierte Abblidung (Matrix) via
(A.2)
∀x, y (f (x), y) = (x, f ∗ (y)) [or (Ax, y) = (x, A∗ y)].
f bzw. A heisst normal im Fall A∗ A = AA∗ , A heisst selbstadjungiert im Fall A = A∗ .
• Fakt 1
λℓ∗ r = ℓ∗ Ar = µℓ∗ r
(A.3)
impliziert: λ 6= µ ⇒ ℓ∗ r = 0.
• Fakt 2
A∗ A = AA∗
⇒
|Ax − λx|2 = |A∗ x − λ̄x|2 .
(A.4)
Daraus folgt: Ar = λr ⇔ r ∗ A = λr ∗ (Rechtseigenvektor ist automatisch Linkseigenvektor).
• Fakt 3
A = A∗
⇒
r ∗ λr = r ∗ Ar = r ∗ A∗ r = λ̄r ∗ r
(A.5)
was zeigt, dass selbstadjungierte Matrizen nur reelle Eigenwerte haben.
• Fakt 4
A∗ A = AA∗ , Ar = λr, Aw = µw
⇒
λ(r, w) = (Ar, w) = (r, A∗ w) = (r, µ̄w) = µ(r, w).
(A.6)
Das impliziert: Rechtseigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
zueinander.
53
54
ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE
• Fakt 5
– Erinnere Orthogonalisierungsverfahren von E.Schmidt/ QRFaktorisierung:
Es sei X ein Vektorraum mit (· , · ), und es sei A = (a1 , .., am ) eine linear
unabhängige Menge von Vektoren aus X. Dann existiert eine reguläre obere
Dreiecksmatrix ∆ ∈ Km,m , so daß
Q = (q1 , .., qm ) = (a1 , .., am )∆ = A∆
folgende Eigenschaften für j, k = 1, .., m besitzt:
Q∗ Q = I,
Lin(q1 , .., qj ) = Lin(a1 , .., aj ).
Mit der regulären oberen Dreiecksmatrix R := ∆−1 gilt dann A = QR.
Zum Beweis setze q1 = a1 /|a1 | und nehme an, daß q1 , .., qj−1 mit den
gewünschten Eigenschaften schon gefunden sind. Setze dann
pj := aj −
j−1
X
k=1
(aj , qk )qk , qj := pj /|pj |.
– Schurform und Spektralzerlegung:
Es sei A = (ajk ) ∈ Cn,n eine Matrix mit den Eigenwerten λ1 , .., λn . Dann gelten:
(a) Es existiert eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n (mit U ∗ U = I), so daß U −1 AU =
U ∗ AU eine obere Dreiecksmatrix ist.
Überdies: Ist A reell und sind alle Eigenwerte reell, so ist U reell wählbar.
(b) A ist normal [i.e. A∗ A = AA∗ ] ⇔
es existiert ein unitäres U ∈ Cn,n mit U −1 AU = U ∗ AU = diag(λ1 , ..., λn ),
also
A = λ1 u1 u∗1 + ... + λn un u∗n ,
Ax = λ1 u1 (x, u1 ) + ... + λn un (x, un ).
Dies nennt man die Spektralzerlegung der Matrix A.
Algorithmischer Beweis der Schur–Form :
Es sei u1 Eigenvektor von A1 = A der Länge 1 zum Eigenwert λ1 . Ergänze mit
‘Schmidt’ zu einer O–Basis U1 = (u1 , V1 ). U1 ist dann unitär, und es gilt
λ1 a∗2
λ1 u∗1 AV1
∗
.
=
U1 AU1 =
0 A2
0 V1∗ AV1
Wiederhole diesen Schritt nun für A2 bezüglich des Eigenwerts λ2 mit normiertem
Eigenvektor v2 ∈ Cn−1 und unitärem (v2 , V2 ) und nehme die (unitäre) (n, n)–Matrix
1
0
.
U2 =
0 (v2 , V2 )
A.1. GRUNDLAGEN – EXKURS IN LINEARE ALGEBRA
55
Man hat dann folgendes Zwischenergebnis:

U2∗ U1∗ AU1 U2

λ1 ⋆ ⋆
=  0 λ2 ⋆  .
0 0 A2
Und so weiter. Sind für reelles A alle Eigenwerte reell, so kann U reell gewählt
werden.
Ist A normal, so ist a2 = 0 [wegen |Ax − λx|2 = |A∗ x − λx|2 ] und A2 ist wieder
normal. Daraus ergibt sich die eine Richtung in Aussage (b).
Bemerkung:
Über R hat man für nichtreelle Eigenwerte (2, 2)-Blöcke auf der Diagonalen der
Blockdreiecksmatrix U ∗ AU.
• Fakt 6
Hat man für allgemeinnes A ∈ Cn×n eine Rechtseigenvektor-Basis R = (r1 , ..., rn )
(|rk | = 1 o.B.d.A.) zu den Eigenwerten λk mit (dualer) Linkseigenvektor-Basis L∗ ,
welche L∗ R = I erfüllt (⇒ L∗ = R−1 ), so gilt mit Λ = diag(λk ):
x = Rξ [⇔ ξ = L∗ x]
⇒ y = Ax = ARξ = RΛξ =
mit der Koordinatenabblildung
P
λk (x, ℓk )rk =
P
ηk rk
(A.7)
(A.8)
ξ 7→ η = Λξ .
Insbesondere hat man die Ähnlichkeitsbeziehung
R−1 AR = L∗ Ar = L∗ RΛ = Λ .
(A.9)
Im Spezialfall einer Rechtseigenvektor-Orthonormalbasis (z.B. bei normalem A) ergibt sich R∗ AR = Λ oder auch in Form der Spektralzerlegung
A = RΛR∗ =
P
λk Pk ,
Pk = rk rk∗ ,
(A.10)
wobei die dyadischen Produkte selbstadjungierte Rang-1 Projektionen sind mit
P k rk = 1 · rk ,
Pk [rk ]⊥ = 0 .
(A.11)
Bei selbstadjungiertem A kann man R (zusammen mit den reellen Eigenwerten)
reell nehmen (Hauptachsentransformation).
• Fakt 7
– Singulärwertzerlegung (SVD):
Für A ∈ Km,n bezeichne man mit σj2 (j = 1, .., r) mit σ1 ≥ ...σr > 0 die
positiven Eigenwerte von A∗ A, die restlichen n − r Eigenwerte σj2 sind 0. Die
56
σj > 0 (j = 1, .., r) heißen ‘Singulärwerte von A’.
Es existieren dann unitäre Matrizen U ∈ Kn,n und V ∈ Km,m und eine Matrix
Σ ∈ Rm,n mit Σjj = σj für j = 1, .., r und Σjk = 0 sonst, so daß A = V ΣU ∗
gilt.
Beweis der SVD und Bemerkungen:
Für A∗ Au = λu gilt 0 ≤ u∗ A∗ Au = λ|u|2. Daraus folgt, daß die Eigenwerte von
A∗ A nichtnegativ sind. Bezüglich einer geeigneten unitären Eigenvektor–Basis
U = (Ur , Ũ ) = (u1 , .., ur |.., un )
aus Eigenvektoren uj von A∗ A gilt
A∗ AU = Udiag(D 2 , 0),
D = diag(σ1 , ..σr ).
Wählt man dann eine unitäre Matrix
V = (Vr , Ṽ ) = (v1 , .., vr |.., vm ) ∈ Km,m , Vr = (v1 , .., vr ) = AUr D −1
aus Eigenvektoren von AA∗ , so folgen V ∗ AU = Σ und somit
A = V ΣU ∗ = Vr [D(Ur )∗ ] ≡ F G∗ .
(A.12)
Man spricht bei (A.12) von der Singulärwert–Zerlegung V ΣU ∗ und der
full–rank–factorization F G∗ von A. Im Fall m ≥ n kann man dies mit
Vn := (v1 , .., vn ) auf die Polar–Zerlegung wie folgt umschreiben:
A = Vn Σn U ∗ = [Vn U ∗ ] [UΣn U ∗ ] ≡ W S
mit orthonormalem W [W ∗ W = I] und positiv–semidefinitem S ≡
Fall m ≤ n analog: A = S̃ W̃ .
A.2 Anwendungen
(SVD)
der
√
A∗ A. Im
Singulärwertzerlegung
(a) Die Moore-Penrose-Inverse von A = V ΣU ∗ ist A+ = UΣ+ V ∗ mit
Σ+ ∈ Rn,m ,
−1
Σ+
für j = 1, .., r,
jj = σj
Σ+
jk = 0 sonst.
Das Minimierungsproblem der Ausgleichsrechnung für Ax = b (cf. Section
A.4) lässt sich mit SVD elegant lösen: xopt = A+ b.
(b) det(A) = Πσj .
(c) Spektralmatrixnorm ||A|| ≡ max{|Ax|2 : |x|2 = 1} = σ1 .
P
P 2
2
∗
(d) Für Frobeniusnorm: :||A||2F ≡
=
i,j |aij |
j σj = spur(A A) =
∗
spur(AA ).
A.2. ANWENDUNGEN DER SINGULÄRWERTZERLEGUNG (SVD)
57
(e) Kondition regulärer Matrizen: κ(A) = ||A|| ||A−1|| = σmax /σmin .
(f) Das Bild der Einheitskugel B = {x : |x|2 = 1} unter A ist ein Ellipsoid um 0
mit den Hauptachsen σj vj (Hauptachsentransformation).
(g) Robustheit: Für reguläres A = V ΣU ∗ und ||B|| < σn ist A + B regulär, für
B = −σn vn u∗n mit ||B|| = σn ist A + B singulär.
Zum Beweis der ersten Aussage beachte man
F := −V ∗ BU Σ−1 → ||F || ≤ ||B|| · ||Σ−1 || = ||B|| · σn−1 < 1 .
Aus A + B = V (I − F )ΣU ∗ und der Invertierbarkeit aller vier Faktoren folgt die Regularität
von A + B. Die Eigenwerte von F haben Betrag < 1, die Inverse von I − F ist durch die
P∞
Neumann–Reihe k=0 F k gegeben.
(h) Low–Rank–Approximations:
Für A ∈ Km,n seien σ1 ≥ ...σr > 0 die positiven Singulärwerte von A mit
∗
A = V ΣU =
r
X
σj vj u∗j .
j=1
Dann ist für k < r die Matrix
Ak =
k
X
j=0
σj vj u∗j ≡ Vk Σk Uk∗
(A.13)
die beste Approximation vom Rang k im Sinne
||A − Ak ||2 = min{||A − B|| : rang(B) = k}.
Weiter gilt natürlich ||A − Ak ||2 = σk+1 .
Beweis (Low–Rank–Approximations):P
r
Man schreibe A = Ak + R mit R = j=k+1 σj vj u∗j und ||R||2 = σk+1 . Eine jede Matrix B
vom Rang k ist der Nullraum n − k-dimensional. Der von u1 , ..., uk+1 aufgespannte Raum
W ist (k + 1)-dimensional. Daher gibt es einen Einheitsvektor w ∈ W ∩ N (B) und es gilt
2
2
|U ∗ w|22 = σk+1
||A − B||22 ≥ |(A − B)w|22 = |Aw|22 = |ΣU ∗ w|22 ≥ σk+1
.
(i) Principal Component Analysis:
Gegeben sei eine Daten–Matrix X ∈ Rm,n vom Rang r mit Spaltensummen
e∗j X = 0, wobei o.B.d.A. m ≥ n sei. Die Kovarianzmatrix ist dann
cov(X) =
1
X ∗ X = A∗ A,
m−1
Mit der SVD von A = V ΣU ∗ gilt dann
X=
√
m − 1 V ΣU ∗ =
r
X
√
j=0
A= √
1
X .
m−1
m − 1 σj vj u∗j .
Die Low–Rank–Approximations Ak von A aus (A.13) liefern dann k–
dimensionale Approximationen der Datenmatrix X, der Fehler2 in 2–Norm
2
ist (m − 1)σk+1
. Man kann den Fehler2 natürlich auch mit Frobenius messen,
2
wo er gleich (m − 1)(σk+1
+ ... + σr2 ) ist.
58
– Gegeben sei eine Spalte b = Aes von A. Mit Ausgleichsrechnung kann man den Projektionspunkt
πb = Ak es ∈ R(Ak )
im Ak –Ellipsoid und den Abstand
|b − πb|2 = |Res |
von b zum PC–Modell R(Ak ) ermitteln. Das ist klar wegen Aes = Ak es ⊕ Res . Ein
grobes Mass liefert die Frobeniusnorm von Ak bzw. R.
– Gegeben sei ein b ∈ Rm mit Spaltensumme 0 (sinnvollerweise?). Mit Ausgleichsrechnung
kann man den Projektionspunkt
πb = Ak (Ak )+ b = Vk Vk∗ b ∈ R(Ak )
und den Abstand
|b − πb|2 = |(I − Vk Vk∗ )b|2
von b zum PC–Modell R(Ak ) ermitteln. Wo liegt πb in Bezug auf das Ak –Ellipsoid, auf
dessen Rand die projizierten Spalten von A liegen?
– Setze J1∗ = (Ik , 0k×(m−k) ) und J2∗ = (Ik , 0k×(n−k) ) und setze Pj = Jj Jj∗ . Mit Vk =
V J1 ∈ Rn,k , Σk = J1∗ ΣJ2 ∈ Rk,k und Uk∗ = J2∗ U ∗ ∈ Rk,n hat man dann
A = Ak + R = Vk Σk Uk∗ + R,
R = A − Ak = V (Σ − P1 ΣP2 )U ∗ .
(A.14)
Daraus folgt
RR∗ = V Σ(I − Uk Uk∗ )Σ∗ V ∗ = AU (I − Uk Uk∗ )(AU )∗ = A(I − Uk Uk∗ )A∗
(A.15)
2
mit Frobeniusnorm ||R||2F = spur(RR∗ ) = σk+1
+ ... + σr2 . Analog ergeben sich
Ak A∗k = Vk Σ2k Vk∗ , A∗k Ak = Uk Σ2k Uk∗
mit Spur gleich σ12 + ... + σk2 .
Vegleiche auch Hotelling T 2 –Statistik.
(A.16)
A.2. ANWENDUNGEN DER SINGULÄRWERTZERLEGUNG (SVD)
Originalabbildung −− 341 Moden
rekonstruierte Abbildung −− 170 Moden
100
100
150
150
Pixel
50
Pixel
50
200
200
250
250
300
300
100
200
300
Pixel
400
500
100
Originalabbildung −− 410 Moden
200
300
Pixel
400
500
rekonstruierte Abbildung −− 111 Moden
50
50
100
100
150
150
Pixel
Pixel
59
200
200
250
250
300
300
350
350
400
400
100
200
300
Pixel
400
500
100
200
300
Pixel
400
500
60
A.3
Ausgleichsrechnung
Gegeben sei ein System Φ linear unabhängiger Vektoren (Φk )K
k=1 in einem Skalarproduktraum V . Sei A = (Φ1 , ..., ΦN ) ein endliches Teilsystem. Ziel ist es, ein gegebenes f ∈ V
möglichst gut mit einem Element Ac zu approximieren im Sinne eines minimalen Fehlerquadrats |||f − Ac||2 . Wie ist ein Minimizer c∗ mit
|||f − Ac∗ ||2 ≤ |||f − Ac||2 ∀c
(A.17)
zu bestimmen? Einen Kandidaten erhält man aus der Lotbedingung ’Fehler ⊥ Bild(A)’,
also aus
!
(A.18)
(f − Ac, Φj ) = 0 ∀j = 1, ..., N.
Dies lässt sich schreiben als
(f, Φj ) = (Ac, Φj ) =
P
(A.19)
(Φk , Φj )ck oder F = Mc
mit Matrix M = Mj,k ≡ ((Φk , Φj )) und Spaltenvektor F (Komponenten Fj = (f, Φj )).
M ist invertierbar (verifiziere!). Daher ist die Lösung von (A.19) gegeben durch c = c∗ =
M −1 F . Im Fall eines Orthonormalsystems A ist M die Einheitsmatrix (⇒ c∗ = F ).
Betrachte nun c’s der Form c = c∗ + δ und
||f − Ac||2 = ||(f − Ac∗ ) − Aδ||2 =
||(f − Ac∗ )||2 − (f − Ac∗ , Aδ) − (Aδ, f − Ac∗ ) + ||Aδ||2 =
(A.20)
||(f − Ac∗ )||2 + ||Aδ||2 ≥ ||(f − Ac∗ )||2
wegen (A.19) mit Gleichheit genau für δ = 0. Das besagt:
• c∗ ist in der Tat der Minimizer des Fehlerquadrats.
• ||(f − Ac∗ )||2 = ||f ||2 − (f, Ac∗ ) − (Ac∗ , f ) + ||Ac∗ ||2 = ||f ||2 − ||Ac∗ ||2 wegen (A.19)
(ie. (f − Ac∗ , Ac∗ ) + (Ac∗ , f − Ac∗ ) = 0). Dies ist die Aussage des Pythagoras
(Bessel/Parseval)
||f ||2 = ||Ac∗ ||2 + ||(f − Ac∗ )||2
mit dem Lotfußpunkt Ac∗ und dem ’Fehler’ (f − Ac∗ ).
Der Sonderfall einer Orthonormalbasis Φ liefert die schönen Formeln f =
und
(c∗ )j = (f, Φj ),
P
Ac∗ = N
j=1 (f, Φj )Φj ,
PK
f − Ac∗ = j=N +1 (f, Φj )Φj ,
P
2
||f − Ac∗ ||2 = K
j=N +1 |(f, Φj )| .
PK
k=1 (f, Φk )Φk
(A.21)
Hierbei ist es gleichgültig, ob man RK , CK oder den L2 der Fouriertheorie betrachtet.
A.4. ANWENDUNGEN AUF DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
A.4
A.4.1
61
Anwendungen auf Differentialgleichungen
ODE–Anfangswertprobleme
Wir betrachren ODE–Anfangswertprobleme der Form
u̇ = Au,
(A.22)
u(0) = c
im Rn mit Skalarprodukt (x, y) = y ∗ x, Rechtseigenvektor-Basis R = (r1 , ..., rn ),
Linkseigenvektor-Basis L∗ = (ℓ1 , ..., ℓn )∗ (mit L∗ R = I) zu reellen Eigenwerten λ1 , ..., λn
gilt mit Λ = diag(λk ):
Schreibt man
u = u(t) = Rα(t) =
n
X
αj (t)rj ,
c = Rγ [γ = L∗ c, γk = (c, ℓk )],
j=1
und multipliziert man mit L∗ von links (i.e. bildet man komponentenweise in (A.22) das
Skalarprodukt mit ℓk ), so ergibt sich
α̇ = L∗ Rα̇ = L∗ u̇ = L∗ ARα = Λα [α̇k = λk αk ] ,
mit Lösung
α = eΛt L∗ c [αk (t) = eλk t (c, ℓk )] .
Insgesamt erhält man so die Lösung
u(t) = ReΛt L∗ c =
Pn
(c, ℓk ).
Pn
(c, rk ).
λk t
rk
k=1 e
(A.23)
Im Fall einer reellen symmetrischen Matrix ist R als Orthonormalmatrix wählbar mit
L∗ = R∗ und (A.23) wird zu
u(t) = ReΛt R∗ c =
λk t
rk
k=1 e
(A.24)
Bemerkung: Da es sich hier immer nur um endliche Summen handelt, treten keine Konvergenzfragen auf und Vertauschungsprozesse von Summation und Differentiation sind
gestattet.
A.4.2
Dirichletprobleme der Wärmeleitungsgleichung
Für Dirichletprobleme der Wärmeleitung–PDE
u̇ − Lu = 0,
u(0, x) = c(x) über [0, π],
(A.25)
mit
Lu(t, x) = uxx (t, x)
(A.26)
für C 2 –Funktionen u und homogenen Randbedingungen
u(t, 0) = 0 = u(t, π) :
(A.27)
62
(a) Wir bestimmen erst t–unabhängige Funktionen v = v(x) mit
(A.28)
Lv := −vxx = λv, v(0) = 0 = v(π),
sozusagen Eigenwerte λ und Eigenvektoren v = Φ(x) der linearen Abbildung L.
Bekanntlich folgt
λ = λn = n2 ,
v = Φn (x) =
q
2
sin(nx)
π
,
wobei der Vorfaktor der Normierung dienen wird. Man versucht, diese Eigenfunktionen die Rolle der Orthonormalbasis übernehmen zu lassen und zwar bzgl. des
Skalarprodukts
Rπ
(A.29)
(f, g) = 0 ḡ(x)f (x)dx
für Funktionen f, g, für die das Integral existiert. Es gilt nun (in der Tat) (Φj , Φk ) =
δjk , was die Orthonormalität der Eigenvektoren Φk bzgl. des Skalarprodukts (A.29)
belegt.
Allgemeiner und ohne explizite Berechnung der Eigenwerte/Eigenvektoren:
• Man hat
u Lv − v Lu = −[(uv ′ − vu′ )]′
und somit ’Selbstadjungiertheit’:
R
(u, Lv) − (Lu, v) = [Lv̄ u − v̄ Lu]dx =
R
[−(uv̄ ′ − v̄u′ )]′ dx = −(uv̄ ′ − v̄u′ ) |π0 = 0.
• Weiterhin gilt für φ = u = v mit (A.28):
0 = (Lφ, φ) − (φ, Lφ) = −[(λφ, φ) − (φ, λφ)] = −(λ − λ̄) (φ, φ).
Mit (φ, φ) > 0 folgt dass λ reell sein muss.
• Aus Lφ = λφ und Lψ = µψ folgt 0 = (Lφ, ψ) − (φ, Lψ) = (λ − µ) (φ, ψ).
Aus λ − µ 6= 0 folgt daher Orthogonalität [(φ, ψ) = 0].
• Eine Abschätzung der (reellen) Eigenwerte bei reellen Eigenfunktionen Φ ergibt
sich mit partieller Integration aus
R
R
R
λ|Φ|2 dx = λ(Φ, Φ) = (LΦ, Φ) = − Φ′′ Φdx = −[0 − Φ′ Φ′ dx] > 0 .
Die Eigenwerte sind also positiv.
• Frage: Bilden die Φk auch in einem geeigneten Sinne eine Basis von ???, ja
wovon?
63
(b) Formal geht’s weiter wie oben im ODE–Fall: Man schreibt
u = u(t, ·) =
P∞
j=1
αj (t)Φj (·) (Konvergenz (???))
und bildet in (A.25) das Skalarprodukt mit Φk , so ergibt sich (bei gliedweiser Differentiation (???)) wieder α̇k = λk αk mit Lösung αk (t) = eλk t βk .
(c) Damit die Anfangsbedingung erfüllt ist, muss
∞
X
αk (0)Φk (·) =
∞
X
βk Φk (·) = c(·)
k=1
k=1
gelten. Schreibt man c = c(x) bzgl. der Eigenvektorbasis als
c(x) =
P∞
k=1 Φk (x)γk
(A.30)
(hinreichend ’viele’ Φk (???)), so folgt durch eine Skalarproduktbildung mit Φj aufgrund der Orthonormalität βj = γj = (c, Φj ). Insgesamt erhält man genau so wie in
(A.23) die Lösung
P
λn t
(A.31)
u(t, ·) = ∞
Φn (·) (c, Φn ) ,
n=1 e
welche aber bisher nur eine formale Lösung ist.
(d) Bemerkungen:
Da es sich hier immer nur um unendliche Summen handelt, treten Konvergenzfragen
auf und Vertauschungsprozesse von Summation und Differentiation sind problematisch.
Der zugrundegelegte Funktionenraum der C 2 –Funktionen mit homogenen Randwerten bzgl. der vom Skalarprodukt (A.29) induzierten Norm
||f ||2 = {
Rπ
0
|f (x)|2 ds}1/2
(A.32)
ist nicht vollständig. Was bedeutet das bei Konvergenzfragen?
Wann hat man auch im PDE–Fall die Existenz einer ’Orthonormalbasis’ aus Eigenvektoren eines Differentialoperators wie das obige L mit (A.26), (A.27)? Wann
lassen sich die Anfangsprofile c(x) wie in (A.30) darstelllen?
64
A.4.3
Hyperbolic PDE Systems of First Order
We consider first the Cauchy problem
ut + Aux = 0,
u(0, x) = f (x),
(A.33)
for x ∈ Rn and t ≥ 0 with a smooth initial profile f (x) and a constant A ∈ Rn×n having
n distinct real eigenvalues λ1 < · · · < λn with normalized right and left eigenvectors rj
∗
and ℓT
j satisfying ℓj rk = δjk . Let Λ = diag(λj ), R = (r1 , ..., rn ) and L = (ℓ1 , ..., ℓn ) be the
corresponding matrices satisfying
L∗ A = ΛL∗ ,
AR = RΛ,
L∗ R = I .
(A.34)
u = Rv
(A.35)
The change of variables
v = L∗ u with inverse
leads to n decoupled initial value problems in
vt + Λvx = 0,
v(0, x) = g(x) := L∗ f (x) .
(A.36)
Its solution components are
vj (t, x) = gj (x − λj t) = ℓ∗j f (x − λj t)
(A.37)
so that the u solution is

written out as

ℓ∗1 f (x − λ1 t)


..
,
u(t, x) = Rv(t, x) = R 
.


ℓ∗n f (x − λn t)
u(t, x) =
Pn
j=1
ℓ∗j f (x − λj t) rj
(A.38)
(A.39)
showing a decomposition of the initial profile into a sum of n waves (each one with a
characteristic speed λj in the space [rj ]).
In the case of a piecewise constant initial profile
f (x) = u− for x < 0,
f (x) = u+ for x > 0
(A.40)
one speaks of Riemann problem. Let’s write u± = Rv ± , let’s write the jump [u+ − u− ]
with respect to the rj as
[u+ − u− ] = Rc [i.e. L∗ [u+ − u− ] = c]
(A.41)
and define the intermediates
ωk = u − +
Pk
j=1 cj rj ,
ω0 = u − , ωn = u + .
(A.42)
65
For x < λ1 t one has f (x − λj t) = u− for j ≥ 1. Hence (A.38)&(A.39) imply
u(t, x) = ℓ∗1 u− r1 + · · · + ℓ∗n u− rn = u− = ω0
(A.43)
For λ1 t < x < λ2 t one has f (x − λ1 t) = u+ and f (x − λj t) = u− for j ≥ 2. Hence
(A.38)&(A.39) imply
u(t, x) = ℓ∗1 u+ r1 + ℓ∗2 u− r2 + · · · + ℓ∗n u− rn
= ℓ∗1 [u+ − u− ] r1 + ℓ∗1 u− r1 + ℓ∗2 u− r2 + · · · + ℓ∗n u− rn
(A.44)
= c1 r1 + u − = ω 1 .
And so on up to
u(t, x) = u+
for x > λn t .
(A.45)
One thus has a piecewise constant solution with jumps ωi − ωi−1 = ci ri in ’eigenvector
direction’ (u-space!) at the discontinuity lines x = λi t in ’eigenvalue direction’ ((t, x)plane!).
This topic will be continued in Appendix C.
66
Anhang B
PDEs erster Ordnung:
Charakteristikenmethode
Set Up:
Gegeben sei im n–dimensionalen x–Raum eine skalare quasilineare PDE der Form
ux (x)f1 (x, u(x)) = f2 (x, u(x))
(B.1)
x = x0 (ξ), u = u0 (ξ), ξ ∈ Q = [0, 1]n−1 ,
(B.2)
mit der Nebenbedingung
wobei hier und im folgenden alles so anständig/glatt wie nötig ist.
Die u–Werte sind also durch (B.2) auf einer Hyperfläche H der Dimension (n − 1) im Rn
vorgegeben. Sei Ĥ die über ξ parametrisierte, durch (B.2) gegebene (n − 1)–dimensionale
Fläche im Rn+1 . Gleichung (B.1) lässt sich mit
v(z) = u(x) − y,
z = (x, y)T , f = (f1 , f2 )T
(B.3)
schreiben als
(ux (x), −1)f (x, u(x)) = 0
(B.4)
vz (z)f (z) |v=0 = 0.
(B.5)
oder auch als
(B.4) oder (B.5) sind aber genau die Beziehungen, die
M = {z : v(z) = 0} = {(x, y) : y = u(x)}
(B.6)
als Integralmannigfaltigkeit für das Vektorfeld f definieren.
⋆ Exkurs:
Ist der Anfangswert z0 aus M (mit v(z0 ) = 0) und gilt längs der Lösung des AWPs
ż =
dz
dt
= f (z),
67
z(0) = z0
(B.7)
68
ANHANG B. PDES ERSTER ORDNUNG: CHARAKTERISTIKENMETHODE
die Beziehung
vz (z(t))f (z(t)) = (ux (x(t)), −1)f (x(t), y(t)) = 0,
(B.8)
so gilt für w(t) := v(z(t)) die Beziehung
w(0) = 0 & ẇ = vz (z(t))ż(t) = vz (z(t))f (z(t)) ≡ 0.
(B.9)
Dh.: Die Lösung verbleibt in M = {v(z) = 0} auf ihrem Existenzintervall.
Umgekehrt gilt: Ist eine Lösung z(t) aus M über ihrem maximalen Existenzintervall
Imax (mit y(t) = u(x(t))), so folgen y(0) = u(x(0)) (dh. z(0) ∈ M) und ẏ(t) =
ux (x(t))ẋ(t), ie. f2 (x(t), y(t)) = ux (x(t))f1 (x(t), y(t)) (vgl. (B.8) und (B.4) bzw.
(B.5)).
Zusammenfassend:
Gegeben seien eine glatte Fläche der Form y = u(x) und die (B.7)–Lösungen z(t)
mit Komponenten x(t) und y(t) mit y(0) = u(x(0)). Dann gilt auf Imax :
y(t) = u(x(t))
⇔
(B.8).
(B.10)
Das heisst: Die Fläche y = u(x) ist genau dann invariant bzgl. (B.7), wenn das
Vektorfeld f längs der (B.7)–Lösung z(t) senkrecht zur Flächennormalen über x(t)
ist wie durch (B.8) gefordert (bzw. im Tangentialraum der Fläche über x(t) liegt).
Charakteristikenmethode:
Gemäß (B.4) oder (B.5) sucht man eine invariante Fläche der Form y = u(x) bzgl. des
Vektorfelds f bei Berücksichtigung der Nebenbedingung (B.2). Daher assoziiert man zu
(B.1) und (B.2) die ODE–Anfangswertprobleme


x (ξ)
 0

=
f
(z),
z
|
=
z
(ξ)
=
(B.11)
ż = dz
t=0
0
dt
u0 (ξ)
für ξ ∈ Q und notiert die Lösung als
  

x
φ1 (t, ξ)
 = φ(t, ξ) mit φ(0, ξ) = z0 (ξ).
z= =
y
φ2 (t, ξ)
(B.12)
Diese Lösungen von (B.11) generieren eine invariante Fläche,welche die Anfangsbedingung
erfüllt, aber über Variable t, ξ (an Stelle der gewünschten Variablen x) parametrisiert ist.
Ist nun die Abbildung φ1 nahe 0 × Q glatt invertierbar – was der Fall ist unter (B.14) – ,
so betrachte dort die Funktionen
u(x) := φ2 (φ−1
1 (x)) und v(z) = u(x) − y .
Für sie gelten die PDE (B.1) und die Nebenbedingung (B.2) bzw. (B.5) wegen
ux (x)f1 (x, u(x)) = (Dt φ2 , Dξ φ2 ) |φ−1
(Dt φ1 , Dξ φ1 )−1 |φ−1
f1 (x, u(x)) =
1 (x)
1 (x)
(f2 (φ(t, ξ)), (Dξ φ2 ) |φ−1
) (f1 (φ(t, ξ)), (Dξ φ2 ) |φ−1
)−1 f1 (φ(t, ξ)) =
1 (x)
1 (x)
f2 (φ(t, ξ)) = f2 (x, u(x)).
(B.13)
69
• Beim Aufsuchen invarianter Kurven y = u(x) bzgl. (B.7) bei skalaren x und y entspricht
dies dem Übergang zu
∂y
f2 (x, y)
=
,
∂x
f1 (x, y)
!
wenn man die Lösung dieser Gleichung mit y = u(x) bezeichnet (f1 6= 0).
Die angestrebte Invertierbarkeit ist nahe der Nebenbedingung (B.2) sicher gegeben, falls
das Vektorfeld f1 auf (B.2) transversal zu dem (n − 1)–dimensionalen Tangentialraum an
H aus (B.2) ist, also falls
0
(ξ) ) 6= 0
f1 (z0 (ξ)) ∈
/ T H |x0 (ξ) dh. det( f1 (z0 (ξ)), ∂x
∂ξ
(B.14)
gilt. Am Rande: Es folgt dann automatisch, dass f am Punkt z0 (ξ) nicht im dortigen
0
Tangentialraum von Ĥ – aufgespannt von den Spalten von ∂z
(ξ) – liegt.
∂ξ
Der Begriff Charakteristik wird in der Literatur nicht einheitlich benutzt. Oft werden die
(B.7)–Lösungen z = φ(t, ξ) als Charakteristiken und die x = φ1 (t, ξ) als deren Projektionen bezeichnet. Die z–Kurven können sich nicht schneiden (bei glatten Ausgangsdaten),
die Projektionen schon. Liest man also von sich schneidenden Charakteristiken, so sind
wohl die x–Kurven als Charakteristiken definiert worden.
Spezialfall:
(B.15)
uθ + b(θ, s, u)us = c(θ, s, u) mit θ = 0, s = ξ, u = u0 (ξ)
für (θ, s, u) ∈ R × Rn−1 × R und ξ ∈ [0, 1]n−1 . Setze x = (θ, s), f = (1, b, c), so dass sich
als assoziierte ODE
θt = 1,
θ |t=0 = 0,
st = b(θ, s, y),
yt = c(θ, s, y),
(B.16)
s |t=0 = ξ,
y |t=0 = u0(ξ)
ergibt mit θ ≡ t und dem nichtautonomen System st = b(t, s, y), yt = c(t, s, y).
Zusatz:
Die Integralmannigfaltigkeit M kann auch implizit durch eine Beziehung V (x, y) = 0
gegeben sein, wenn diese Gleichung nur eindeutig und glatt in der Form y = u(x) auflösbar
ist. Gelten z.B.
(B.17)
Vz f (z) |V =0 = 0, Vy |V =0 6= 0 und V (x, y) = 0 ⇔ y = u(x),
so folgen

(Vx , Vy ) 
I
ux


 = Vx + Vy ux ≡ 0 auf V = 0, f (z) |V =0 ∈ Bild 
I
ux

.
Letzteres ist nun äquivalent zu (B.1), ie. (ux (x), −1)f (x, u(x)) = 0 (Fredholm!).
(B.18)
70
ANHANG B. PDES ERSTER ORDNUNG: CHARAKTERISTIKENMETHODE
Verallgemeinerung:
All dies lässt sich verallgemeinern auf skalare partielle Differentialgleichungen der Form
F (x, u, ux) = 0 bzw.
(B.19)
F (x, u, q) = 0 & q = ux
mit der Nebenbedingung (B.2), dh. bei ′ =
∂
∂ξ
mit
F (x0 (ξ), u0(ξ), q0 (ξ)) = 0 & u′0 (ξ) = q0 (ξ)x′0 (ξ).
(B.20)
Hat man ein Vektorfeld (A, B, C)T , so dass F = 0 eine Integralmannigfaltigkeit für

xt


A


 

 =  B  (x, u, q) ≡ f (z),
zt ≡ 
u
t

 

C
qt
ut = ux ẋ = q T xt
(B.21)
(B = q T A)
unter Berücksichtigung der Nebenbedingung liefert, so gelten
F (z(t, ξ)) = F (x(t, ξ), u(t, ξ), q(t, ξ)) ≡ 0,
ut (t, ξ) ≡ q T (t, ξ)xt (t, ξ).
(B.22)
Eine Differentiation bzgl. t liefert

A



T

0 = Fx xt + Fu ut + Fq qt = (Fx , Fu , Fq ) 
 B  & ut = q xt
C
(B.23)
[Fx + Fu q T ]A + Fq C = 0.
(B.24)
und mit B = q T A
Mit der Wahl A = FqT gelangt man zu C T = −[Fx + Fu q T ] als Lösung (modulo KernFq ).
Betrachte daher als als assoziiertes ODE–Anfangswertproblem
xt = FqT ,
ut = Fq q,
x |t=0 = x0 (ξ),
u |t=0 = u0 (ξ),
(B.25)
qt = −FxT − Fu q, q |t=0 = q0 (ξ).
Beachte, dass Dx F (x, u, ux) ≡ 0 zu Fx + Fu ux + Fq uxx = Fx + Fu q + qt ≡ 0 führt. Aus der
Invertierung der Komponente x = φ1 (t, ξ) der Lösung φ(t, ξ) = (φ1 , φ2 , φ3 )T (t, ξ) erhält
man wie oben eine Funktion u = φ2 (φ−1
1 (x)), welche – in der Tat und automatisch – die
−1
Gleichung ux (x) = φ3 (φ1 (x)) erfüllt.
Anhang C
Weak Solutions and Shocks
This appendix applies – of course – also to one-dimensional equations for scalar-valued
function u : [0, T ] × R → R1 where it simplifies a lot.
C.1
Weak Solutions – Rankine-Hugoniot Conditions
(I) A measurable function u is a distributional solution of
ut + (f (u))x = 0
with C 1 -function f if for every C 1 φ with compact support one has
RR
[uφt + f (u)φx]dxdt = 0 .
Ω⊂R2
(C.1)
(C.2)
Given an initial ū(x) in L1loc the function u : [0, T ] × R → Rn is a distributional solution
of the Cauchy-problem if
RT R
R
(C.3)
[uφt + f (u)φx ]dxdt + R ū(x)φ(0, x)dx = 0
0
R
for every C 1 φ with compact support in (−∞, T ] × R. Such a function is a weak solution
if it is continuous in t from [0, T ] to L1loc with u(0, x) = ū(x) and if its restriction to
(0, T ] × R is a distributional solution of the Cauchy-problem.
Consider a piecewise Lipschitz-function u with a finite number of jump or shock curves
in the (t, x)-plane. Let’s start with
U(t, x) = u+ , x > λt,
U(t, x) = u− , x < λt .
(C.4)
It is a distributional solution of (C.1) iff the Rankine-Hugoniot condition cf.(II) –
λ [u+ − u− ] = f (u+ ) − f (u− ) = A(u+ , u− ) [u+ − u− ]
71
(C.5)
72
ANHANG C. WEAK SOLUTIONS AND SHOCKS
holds with
A(u, v) =
R1
0
A(su + (1 − s)v)ds .
(C.6)
This follows from the divergence theorem on {x < λt} and {x > λt} with normal vector
ν T = (λ, −1) to the separating straight line. We rewrite (C.5) as


+
−
u
−
u
 .
ν T [F (u+ ) − F (u− )] = 0 = (λ, −1) 
(C.7)
f (u+ ) − f (u− )
The Rankine-Hugoniot conditions are satisfied more generally at every (τ, ξ) where a
solution has an approximate jump discontinuiy.
• Note from (C.5) that in the scalar case the mean value theorem implies
λ=
f (u+ )−f (u− )
u+ −u−
= f ′ (u∗ )
(C.8)
with an intermediate u∗ out of the interval bounden by u± . In case f ′ is monotone
λ can be related to f ′ (u± ). [When f ′′ > 0 one necessarily has u− > u+ and hence
f ′ (u− ) > λ > f ′ (u+ ).]
A necessary and sufficient condition for a piecewise Lipschitz-function to be a distributional solution of (C.1) can be stated for PL-systems (piecewise Lipschitz-regularity with
finitely many exceptional Lipschitz-curves γj (t) ).
• Bressan’s Theorem 4.2 in [14]
For a PL-system u is a distributional solution if and only if the quasilinear eqaution
ut + A(u)ux = 0 holds almost everywhere and, moreover for each j, one has almost
everywhere in (aj , bj )
−
+
−
γ̇j (t)[u+
j (t) − uj (t)] = f (uj (t)) − f (uj (t)).
• The notion of weak solution is not invariant under coordinate transformations of
the dependent u-variable. The notion of weak solution is not stringent enough to
single out unique solutions.
(II) Derivation of the Rankine-Hugoniot-Condition for weak solutions:
We write ut + (F (u)
R ξ = 0 as div(A(x, u)) = 0 with scalar u and (t, ξ) = x ∈ Q = {t ≥
0, x ∈ R}, consider Q div(A(x, u))φ(x)dx = 0 and integrate by parts
R
Q
gradφ(x)A(x, u)dx = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q).
(C.9)
Classical solutions are weak solutions, weak solutions with A(x, u) ∈ C 1 are classical
solutions. Let now Q be divided by the straight line Γ = {ξ = σt} with unit normal
√
ν = (−σ, 1)/ 1 + σ 2
(C.10)
C.1. WEAK SOLUTIONS – RANKINE-HUGONIOT CONDITIONS
73
pointing into Ω+ where Ω± = {±ξ > σt}. Let u ∈ C 1 (Ω± ) be a weak solutions with
A(x, u) ∈ C 1 (Ω± ). Rewriting (C.9) we have
R
Ω−
div(A(x, u))φ(x)dx +
R
Ω+
div(A(x, u))φ(x)dx = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q).
(C.11)
Via integration by parts we obtain with the jump
(C.12)
[[A(x, u)]] := limΩ− ∋x→Γ A(x, u(x)) − limΩ+ ∋x→Γ A(x, u(x))
the relation
R
Γ
φ(x)ν[[A(x, u)]]do = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q)
(C.13)
and thus ν[[A(x, u)]] = 0, i.e. the
!
Rankine-Hugoniot Jump Condition σ (ω+ − ω− ) = F (ω+ ) − F (ω− )
(C.14)
for ω± denoting the respective u-limits as Ω± ∋ x → Γ.
(III) Exercise:
Consider first the n-dimensional Cauchy problem


−1 3/2
 , u(0, x) = f (x),
ut + Aux = 0, A = 
3/2 3
(C.15)
for x ∈ R and t ≥ 0 with a piecewise constant initial profile


 
−1
2
 for x < 0, f (x) = u+   for x > 0 .
f (x) = u− = 
1
3
(C.16)
One has
AR = RΛ
With

with Λ = 
−3/2
0

0
 , R = (r1 , r2 ) =
7/2


ω1 = ω0 + r1 r1∗ 
3
ω0 = u − = 


−1
−1

1
√1
10


3 1
−1 3
2

1
+
.
(C.17)

,
7
10

3


1.1

=

−1
0.3

   


11
1
3
2
1 
 + 9   =   = u+
ω2 = ω1 + r2 r2∗   = 10
10
3
3
2
3
=


(C.18)
74
we arrive at

−

 ω0 = u
u(t, x) = ω1


ω2 = u +
for (S1) :
for (S2) :
for (S3) :
x < − 23 t,
− 32 t < x < 72 t,
x > 72 .
(C.19)
What’s the special property of (C.19)? The Rankine-Hugoniot-Condition for weak solutions:
Look at
(C.20)
σ [ωj+1 − ωj ] = A[ωj+1 − ωj ]
along a jump line x = σt. It enforces
σ = λ1 ,
ω 1 = ω 0 + µ 1 r1 ,
σ = λ2 ,
ω 2 = ω 1 + µ 2 r2
(C.21)
for suitable µj with ω0 + µ1 r1 = ω2 − µ2 r2 , i.e.
u+ − u− = ω2 − ω0 = Rµ,
µ = R∗ [u+ − u− ] =
√1
10


3 −1
1
3


3
2

=
√

10 
0.7


0.9
(C.22)
leading to (C.18).
C.2
Riemann-Problems for Quasilinear Systems
Taken from [14]: Given
ut + (a(u))x = ut + A(u)ux = 0
(C.23)
with initial profile u(0, x) = f (x). In the case of a piecewise constant initial profile
f (x) = u− for x < 0,
f (x) = u+ for x > 0
(C.24)
one speaks of the Riemann problem. Let A(u) ∈ Rn×n have n distinct real eigenvalues
λ1 (u) < · · · < λn (u) – strictly hyperbolic case – with normalized right and left
T
eigenvectors rj (u) and ℓT
j (u) satisfying ℓj (u) rk (u) = δjk . (i)
Consider the i-th characteristic (vector) field ri (u) together with the autonomous IVP
dU
dσ
= ri (U),
U(0) = u−
(C.25)
σ + ≥ 0,
(C.26)
and denote its solution by U(σ). Let’s assume
u+ = U(σ + ),
and
d
λ (U(σ))
dσ i
= gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) > 0
(C.27)
C.2. RIEMANN-PROBLEMS FOR QUASILINEAR SYSTEMS
75
on [0, σ + ] – genuine nonlinearity. Then the map
σ : [0, σ + ] ∋ σ 7→ Λi (σ) := λi (U(σ)) ∈ [Λi (0), Λi (σ + )]
is a strictly increasing bijection.

−

U(0) = u ,
u(t, x) = U(σ) ,


U(σ + ) = u+ ,
(C.28)
We define the i–th (centered) rarefaction wave
x ≤ Λi (0)t
x = Λi (σ)t = λi (U(σ)) ∈ [Λi (0)t, Λi (σ + )t]
x ≥ Λi (σ + )t
(C.29)
This u is clearly a solution for x < Λi (0)t and for x > Λi (σ + )t. For the region
Λi (0)t < x = Λi (σ)t < Λi (σ + )t
in between one has
u(t, Λi (σ)t) ≡ U(σ)
(C.30)
and hence for the derivatives wrt t and σ:
ut (t, Λi (σ)t) + ux (t, Λi (σ)t) Λi (σ) = ut + ux xt = 0,
ux (t, Λi (σ)t) grad(λi (U(σ))) Uσ (σ) t = Uσ (σ) = ri (U(σ)).
(C.31)
This shows – by (C.27) – that ux (t, Λi (σ)t) is a nontrivial element of the eigenspace
[ri (U(σ))] so that one has
Λi (σ)ux (t, Λi (σ)t) = A(U(σ))ux (t, Λi (σ)t) = A(u(t, x))ux (t, Λi (σ)t) .
(C.32)
From (C.30) and (C.32) we thus obtain the solution property of (C.29):
0 = ut (t, Λi (σ)t) + ux (t, Λi (σ)t) Λi (σ) = ut (t, x) + A(u(t, x))ux (t, x) .
(C.33)
(ii)
Let’s look for shock waves of the form
(
u−
u(t, x) =
u+
for x < λt
for x > λt
(C.34)
for some λ satisfying the Rankine-Hugoniot condition
a(u+ ) − a(u− ) = λ[u+ − u− ]
(C.35)
which can be written by the mean-value theorem as
a(u) − a(u− ) = Ã(u, u− )[u − u− ] = λ[u − u− ]
R1
with Ã(u, u− ) = 0 A(θu + (1 − θ)u− )dθ
(C.36)
offering λ as eigenvalue with eigenvector u − u− . For fixed u− one has n equations for the
+
(n + 1) unknowns λ and u+
1 , ..., un .
76
• Theorem ([14] 5.1, p.93)
For u+ close to u− there exist locally n smooth curves u+ = Si (σ) together with
scalar functions λi = λi (σ) with
a(Si (σ)) − a(u− ) = λi (σ)[Si (σ) − u− ],
−σ0 ≤ σ ≤ σ0 .
(C.37)
The parametrization can be chosen such that one has |dSi /dσ| = 1 and
Si (0) = u− , λi (0) = λi (u− ),
dSi
(0)
dσ
= ri (u− ),
dλi
(0)
dσ
= 12 [grad(λi )ri ] |u− ,
d2 Si
(0)
dσ2
= [Dri ri ] |u− .
(C.38)
• In the case of genuine nonlinearity
d
λ (U(σ))
dσ i
= gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) > 0
(C.39)
the orientation of the eigenvector ri and the parametrization of Si are uniquely
determined. In case of linear degenaracy
d
λ (U(σ))
dσ i
= gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) ≡ 0
(C.40)
the i-th shock curve Si (σ) coincides with the ith rarefaction curve Ui (σ) of (C.25).
The function
(
u−
for x < λi (σ)t
u(t, x) =
Si (σ) for x > λi (σ)t
(C.41)
is a weak solution of (C.23). In case of genuine nonlinearity it is called a compressive
shock for σ < 0 and a rarefaction shock for σ > 0. In case of linear degenaracy it is called
a contact discontinuity.
Anhang D
Sturm-Liouville Randwertprobleme
Das Randwertproblem
L(Φ)(x) ≡ (c(x)Φ′ (x))′ + q(x)Φ(x) = λp(x)Φ(x),
α1 Φ(a) + α2 Φ′ (a) = 0,
(D.1)
β1 Φ(b) + β2 Φ′ (b) = 0
heisst reguläres Sturm–Liouville Problem, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) c, c′ , q und p sind stetig auf [a, b], c und p sind positiv auf [a, b],
(b) α12 + α22 > 0, β12 + β22 > 0.
Der Sturm-Liouville Operator L(Φ) sei definiert auf D(L) bestehend aus komplexwertigen
L2 –Funktionen f : [a, b] → C, die den Randbedingungen in (D.1) genügen und deren
zweite Ableitungen existieren in L2 .
Rb
(⋆) f ist so eine L2 –Funktion, wenn (f, f ) = a |f (x)|2 dx endlich ist, also wenn f in
diesem Sinne quadrat–integrierbar ist.
Für u, v ∈ D(L) gelten:
(a) uL(v) − vL(u) = [c(uv ′ − vu′ )]′ .
(b) (L(u), v) = (u, L(v)) mit dem Skalarprodukt (u, v) :=
Rb
a
v ′ udx.
(c) Jeder Wert λ (Eigenwert), welcher eine nichttriviale Lösung Φ (Eigenfunktion) von
(D.1) zulässt, ist reell.
√
(d) Zwei mit p gewichtete (reelle) Eigenfunktionen Φ1 und Φ2 zu verschiedenen Eigenwerten λ1 bzw. λ2 sind orthogonal in L2 (a, b), dh.
p
Rb p
√
√
( pΦ1 , pΦ2 ) = a [ p(x)Φ1 (x)][ p(x)Φ2 (x)]dx = 0.
Verifizieren Sie (formal) die Eigenschaften (a) bis (d). Vergleiche Appendix A.4.2!
77
78
ANHANG D. STURM-LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME
Sturm–Liouville Theorem
Das reguläre Sturm–Liouville Problem (D.1) hat unendlich viele, reelle einfache
Eigenwerte λn mit eindimensionalen ’Eigenräumen’. Es gilt λn → −∞ für n → ∞:
λ1 > λ2 > λ3 > · · · → −∞ .
Die Folge
√
( p Φn )∞
n=1
√
der mit p gewichteten Eigenfunktionen Φn zu λn bildet ein vollständiges OrthoRb
gonalsystem in L2 (a, b), denn für σ(φ, ψ) := a p(x)φ(x)ψ(x)dx und n 6= m gilt:
p
Rb p
√
√
σ(Φn , Φm ) = a [ p(x)Φn (x)][ p(x)Φm (x)]dx = ( pΦn , pΦm )L2 = 0.
Somit lassen sich in formalen Reihenentwicklungen bezüglich der Eigenfunktionen
die Koeffizienten folgendermassen errechnen:
P
(D.2)
f (x) = ∞
j=1 fj Φj (x) ⇒ fn = σ(f, Φn )/σ(Φn , Φn ) .
Überdies haben die Eigenfunktionen Φn genau n − 1 Nullstellen in (a, b).
Aufgabe SLP-1 (Transformationen auf Sturm-Liouville Form)
′′
′
Die spezielle Form (cΦ′ )′ in (D.1) ist nicht
R x so speziell. Sie lässt sich aus Φ + β(x)Φ +
α(x)Φ = 0 durch Multiplikation mit exp( β(s)ds) erzeugen. Allgemeiner lässt sich eine
PDE
ut = c(x)uxx + b(x)ux + a(x)u + p(x, t)
auf die Form
wt = (c(x)wx )x + q(x)w + p̃(x, t)
durch eine Transformation u(x, t) = ψ(x)w(x, t) bringen. Verifizieren Sie:
Die Differentialgleichung
(Lu)(x) = −a(x)u′′ (x) − b(x)u′ (x) + c(x)u(x) = λu(x),
0 ≤ x ≤ 1,
(D.3)
ist äquivalent zu einem verallgemeinerten Sturm–Liouville Eigenwertproblem
(Lu)(x) = −(p(x)u′ )′ + q(x)u(x) = λw(x)u(x),
0≤x≤1
(D.4)
für glatte Funktionen a, b, c mit a(x) 6= 0 auf [0, 1]. Bestimmen Sie p, q und w.
Aufgabe SLP-2 (Allgemeine konvektive Randbedingungen für Lu = uxx )
Gegeben sei a Gegeben sei das Randwertproblem
Φ′′ + λΦ = 0,
α1 Φ(0) + α2 Φ′ (0) = 0,
β1 Φ(1) + β2 Φ′ (1) = 0
über dem Intervall [0, 1], wobei nicht beide Produkte α1 β1 und α2 β2 gleich 0 sind.
(D.5)
79
• Unter welchen Bedingungen existiert eine nichttriviale Lösung für λ = 0?
• Für λ = ±µ2 6= 0 hat man die Lösungen
(D.6)
Φ(x) = As(µx) + Bc(µx)
der Differentialgleichung, wobei s(µx), c(µx) gleich sin(µx) bzw. cos(µx) für λ =
+µ2 und gleich sinh(µx) bzw. cosh(µx) für λ = −µ2 gesetzt sind. Setze entsprechend t(µx) = tan(µx) bzw. tanh(µx). Um eine nichttriviale Lösung Φ(x)
der Differentialgleichung inklusive Randbedingungen zu erhalten, muss – bei nichtverschwindendem Nenner –
α1 β2 −α2 β1
α1 β1 ∓α2 β2 µ2
(D.7)
· µ = −t(µ)
gelten. Warum?
Skizzieren Sie die drei Fälle α1 β1 = 0 und α2 β2 = 0 und α1 β1 6= 0, α2 β2 6= 0 für
(D.7). Nur im Fall λ = +µ2 > 0 (mit t(µ) = tan(µ) ) erhält man somit eine Folge
von Eigenwerten −µ2n (welche gegen −∞ streben).
Exkurs/Aufgabe SLP-3 (Laplace-Operator in neuen Koordinaten)
(a) Betrachte den Laplace-Operator ∆u = uxx + uyy im R2 und die Koordinatentransformatiom Φ : R+ × [0, 2π) → R2 gegeben durch
(D.8)
(x, y) = Φ(r, θ) = (r cosθ , r sinθ).
Setze v(r, θ) = u(Φ(r, θ)) = u(r cosθ r sinθ) und berechne die partiellen Ableitungen
vr , vθ , vrr und vθθ , um auf die Formel
∆v =
1 ∂
[r ∂v ]
r ∂r ∂r
+
1 ∂2v
r 2 ∂θ 2
(D.9)
für den Laplace-Operator in Polarkoordinaten zu kommen.
(b) Führen Sie die Schritte in Abschnitt 4.2 des Skripts (Potentialgleichung im Kreis)
explizit aus.
(c) In entsprechenden Zylinder-Koordinaten (r, θ, z) lautet der Laplace-Operator
∆v =
1 ∂
[r ∂v ]
r ∂r ∂r
+
1 ∂2v
r 2 ∂θ 2
+
∂2v
.
∂z 2
(D.10)
(d) In Kugel-Koordinaten
(x, y, z) = (r cosθ sinφ , r sinθ sinφ , r cosφ)
mit r > 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ < π lautet der Laplace-Operator
h
i
1 ∂
∂v
1 ∂2v
∂
1
2 ∂v
∆v = r2 ∂r [r ∂r ] + sinφ ∂φ [sinφ ∂φ ] + sin2 φ ∂θ2 .
(D.11)
(D.12)
80
Exkurs SLP-4: Singuläre Sturm-Liouville Probleme/Besselfunktionen
(a) Man betrachte das Wärmeleitungsproblem k1 ut = uxx + uyy auf einem Kreis
{(x, y) = Φ(r, θ) = (r cosθ , r sinθ) : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ < 2π}
mit Radius a. Für v(r, θ) = u(Φ(r, θ)) = u(r cosθ, r sinθ) gilt dann:
1
v
k t
= ∆v ≡
1 ∂
[r ∂v ]
r ∂r ∂r
v(a, θ, t) = f (θ),
+
1 ∂2v
,
r 2 ∂θ 2
v(r, θ, 0) = g(r, θ)
(D.13)
mit
v beschränkt für r → 0+,
v(r, θ, t) = v(r, θ + 2π, t).
(D.14)
Sei f (θ) ≡ 0 (homogene Randbedingung!). Benutzen Sie den Ansatz der Trennung
der Veränderlichen
v(r, θ, t) = Φ(r, θ)T (t) = R(r)Θ(θ)T (t)
(D.15)
und leiten Sie die Gleichungen für R, Θ und T her. Das resultierende Eigenwertproblem für Θ ist ein ’einfaches’, dasjenige für R lässt sich wie folgt schreiben:
(rR′ )′ −
n2
R
r
+ λ2 rR = 0,
R(a) = 0,
0 < r < a (n ∈ N0 ) ,
R beschränkt für r → 0 + .
(D.16)
Gleichung (D.16) heisst bessel-gleichung. Erinnnere das Sturm-Liouville Theorem, was Orthogonalität von Eigenfunktionen angeht, und vergleiche Teil (c) dieser
Aufgabe. Eine Reihendarstellung für die Lösung erhält man aus dem Ansatz
R(r) = r α
P∞
j=0 cj r
j
(D.17)
bei geeignetem α. Bestimmen Sie α und die cj , j ≥ 1, in Abhängigkeit von c0 . Wählt
man speziell
c0 = λn /(2n n!) ,
so ergibt sich die in der Literatur mit Jn (λr) bezeichnete Besselfunktion erster Art
(Gattung) der Ordnung n.
(b) Betrachtet man die Wellengleichung auf einem solchen Kreis mit Radius a
1
v
c2 tt
v(a, θ, t) = f (θ),
= ∆v,
v(r, θ, 0) = g(r, θ),
vt (r, θ, 0) = h(r, θ)
(D.18)
mit
v beschränkt für r → 0+,
v(r, θ, t) = v(r, θ + 2π, t).
(D.19)
und f (θ) ≡ 0 (homogene Randbedingung!), so stösst man auf die ’gleichen’ Eigenwertprobleme für Θ und R.
81
(c) Bessel–Gleichungen/Besselfunktionen: Die Differentialgleichung
(xy ′ )′ −
µ2
y
x
+ λ2 xy = 0
(D.20)
für die zu bestimmende skalare Funktion y = y(x) heisst Besselsche Differentialgleichung. Eine Lösung Jµ (λx) – Besselfunktion erster Art – erhält man aus dem
Reihenansatz
P
j
(D.21)
y(x) = xµ ∞
j=0 cj x
mit µ ≥ 0 und Koeffizientenvergleich. Linear unabhängig davon ist die Besselfunktion Yµ (λx) zweiter Art, welche man über Variation der Konstanten erhalten kann
(Y = Jc mit zubestimmender Funktion c = c(x) – oder auch J−µ (λx) für µ ∈
/ Z).
Die Besselfunktionen erster Art erscheinen als gedämpfte Oszillationen.
Aufgabe SLP-5: Oszillationen einer Kette
Das folgende System
utt = (xux )x ,
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0 für 0 ≤ x ≤ 1,
sup|u(x, t)| < ∞ für 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0,
(D.22)
u(1, t) = 0 für t ≥ 0
beschreibt kleine Oszillationen einer hängenden Kette. Separation u(x, t) = X(x)T (t)
führt zum singulären Sturm–Liouville Problem
(xX ′ )′ + λX = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
X(1) = 0, X beschränkt.
(D.23)
Die auftretende Differentialgleichung ist eine aus der klassischen Physik. Die Substitution
√
y2
(D.24)
)
y = 2 λx , Y (y) = X(x) = X( 4λ
führt zu einer Bessel-Differentialgleichung
Y ′′ + y1 Y ′ + Y = 0,
(D.25)
deren beschränkte Lösungen von der Form γJ0 (y) sind, wobei γ eine beliebige Konstante
ist und J0 für die Besselfunktion nullter Ordnung steht. Die Nullstellen zj von J0 sind
einfach, liegen in R+ und erfüllen
0 < z1 < z2 < · · · → ∞ .
√
Insgesamt ergeben sich die Eigenfunktionen J0 (zj x) von (D.23) zu den Eigenwerten
λj = zj2 /4 und somit die formale Reihenlösung
u(x, t)) =
zj t
j=1 [aj cos( 2 )
P∞
+ bj sin(
√
zj t
)]
J
(z
x)
0
j
2
(D.26)
82
mit den Anfangsbedingungen
!
f (x) = u(x, 0) =
!
0 = ut (x, 0) =
√
P∞
j=1 aj J0 (zj x),
P∞ bj zj
√
j=1 2 J0 (zj x).
(D.27)
Wähle bj = 0 und bestimme die aj über Projektionen (Orthogonalitätsrelationen in Exkurs 1.1 (1.Übungsblatt)), um zu einer formalen Lösung von (D.22) zu gelangen.
• Aufgabe: Verifizieren Sie die Schritte in diesem Beispiel.
Exkurs SLP-6: Singuläres Sturm–Liouville Problem ohne Eigenwert.
Das Beispiel
L(X)(x) := (x2 X ′ )′ + λX = 0,
X(1) = 0, X, X ′ , ... beschränkt auf (0, 1),
(D.28)
zeigt, dass ein singuläres Sturm–Liouville Problem überhaupt keinen Eigenwert zu haben
braucht: Gilt L(X) + λX = 0 für ein λ, so ist X identisch 0.
Lösungsskizze:
• Betrachte das Eigenwertproblem Lu = −(x2 u′ )′ = λu für auf (0, 1] beschränkte
u mit u(1) = 0. Man hat die ’Symmetrie’ (’Selbstadjungiertheit’) bzgl. des L2 –
Skalarprodukts: (Lu, v) = (u, Lv):
−(Lu, v) = ((x2 u′ )′ , v) = (x2 u′ v)(1) − (x2 u′ v)(0) − (x2 u′ , v ′ ) = −(x2 u′ , v ′ ) = −
−(u, Lv) = (u, (x2 v ′ )′ ) = (ux2 v ′ )(1) − (ux2 v ′ )(0) − (u′ , x2 v ′ ) = −(u′ , x2 v ′ ) = −
R1
0
R1
0
x2 u′ (x)v ′ (x)dx,
u′ (x)x2 v ′ (x)dx.
(D.29)
• Ein etwaiger Eigenwert λ mit Eigenfunktion q ist nichtnegativ (λ = µ2 ≥ 0) wegen
λ(q, q) = (Lq, q) = (x2 q ′ , q ′) =
R1
0
x2 q ′ (x)q ′ (x) dx ≥ 0.
(D.30)
• Für die ODE (x2 u′ )′ + µ2 u = 0 hat man nichttriviale Lösungen der Form u(x) = xα
mit
p
(D.31)
[α(α + 1) + µ2 ] xα = 0, α = α± = (−1 ± 1 − 4µ2 )/2.
• Für
1
4
6= µ2 > 0 hat man die allgemeine Lösung
u(x) = Axα+ + Bxα− ,
!
(D.32)
was mit u(1) = A + B = 0 zu u(x) = A[xα+ − xα− ] führt. Wegen Re(α± ) < 0 ist u
unbeschränkt für x → 0+ oder trivial.
83
• Im Fall 14 = µ2 mit α+ = α− = − 21 ist jede an x = 1 verschwindende Lösung von
der Form
(D.33)
u(x) = x−1/2 [A + B ln(x)] = Bx−1/2 ln(x)
mit Unbeschränktheit für x → 0+.
Erinnere: An mehrfachen Nullstellen α liefern die Ableitungen von xα nach α weitere Lösungen.
• Insgesamt liefert die Annahme eines ’Eigenwerts’ λ, dass sie zugehörige ’Eigenfunktion’ trivial oder unbeschränkt ist. Und somit keine wirkliche Eigenfunktion.
Aufgabe SLP-7 (Balkengleichung)
Betrachten Sie die Balkengleichung
utt + c2 uxxxx = 0, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0,
(2.5.1)
mit positivem Parameter c bei den (für Antennen typischen) Randbedingungen
u(0, t) = 0, ux (0, t) = 0, uxx (π, t) = 0, uxxx(π, t) = 0 für t ≥ 0
(2.5.2)
und den kompatiblen glatten Anfangsbedingungen
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ π.
(2.5.3)
P
Berechnen Sie erst eine formale Reihenlösung
αn Φn (x) des räumlichen (d.h. t–
unabhängigen) Problems (2.5.1) & (2.5.2). Welche
P Beziehungen müssen dann die Koeffizienten ξn (t) eines Lösungsansatzes u(x, t) = n Φn (x)ξn (t) für (2.5.1) & (2.5.2) &
(2.5.3) genügen.
84
Anhang E
Topics aus Linearer Algebra
E.1
Fredholm Alternative
Es seien X = Kn , Y = Km mit K = C oder R mit den kanonischen Basen ausgestattet.
(a) Für Spaltenvektoren x, y und Matrizen A ∈ Km,n schreiben wir für das komplexkonjugierte Transponierte x∗ , y ∗ bzw. A∗ ∈ Kn,m . Im Reellen nutzen wir auch die
Schreibweisen x∗ = xT und A∗ = AT .
(b) Für Unterräume U, V schreiben wir U ⊥ V , falls u∗ v = 0 = v ∗ u für alle u ∈ U,
v ∈ V gilt.
L
(c) Für die direkte Summe U ⊕ V von Unterräumen schreiben U V (orthogonale
direkte Summe), falls zusätzlich U ⊥ V gilt.
Wir erinneren an die Dimensionsformel für lineare Abbildungen
ℓ : X → Y, x → ℓ(x) = Ax
und an ‘Zeilenrang = Spaltenrang’:
dimR(A) + dimN(A) = dimX = n ,
dimR(A) = rg(A) = rg(A∗ ) = dimR(A∗ ) ,
(E.1)
woraus
dimR(A∗ ) + dimN(A) = n, dimR(A) + dimN(A∗ ) = m
folgen. Die bekannte Fredholm-Alternative in der Linearen Algebra notieren wir in der
Form
L
L
(E.2)
Kn = R(A∗ ) N(A) , Km = R(A) N(A∗ ) .
Weiterhin sei an
Kern(A) = Kern(A∗ A) ,
Bild(A) = Bild(A∗ A)
(E.3)
erinnert. Schliesslich nennen wir eine Matrix A ∈ Rn×n positiv semi-definitıpositiv semidefinite Matrix, falls A gleich AT ist und xT Ax ≥ 0 für alle x gilt. Ist hier xT Ax > 0 für
alle x 6= 0, so nennen wir A positiv definitıpositiv definite Matrix.
85
86
E.2
ANHANG E. TOPICS AUS LINEARER ALGEBRA
Schurform und Spektralzerlegung
Mit dem Orthonormalisierungsverfahren von E.Schmidt, der QR-Faktorisierung, erhält
man für eine komplexe Matrix A = (ajk ) ∈ Cn,n folgenden Resultat.
Satz (Schurform und Spektralzerlegung)
Für eine Matrix A = (ajk ) ∈ Cn,n mit den Eigenwerten λ1 , .., λn gelten:
(a) Es existiert eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n (mit U ∗ U = I), so dass U −1 AU = U ∗ AU
eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist A reell und sind alle Eigenwerte reell, so ist U reell
wählbar.
(b) Es existiert ein unitäres U ∈ Cn,n mit
U −1 AU = U ∗ AU = diag(λ1 , ..., λn )
genau dann, wenn A ist normalınormale Marix (d.h. A∗ A = AA∗ ). Bezüglich der
Spalten uj von U = (u1 , ..., un ) hat man dann die Spektralzerlegung von A gegeben
durch
A = λ1 u1u∗1 + ... + λn un u∗n ,
Ax = λ1 u1 (x, u1 ) + ... + λn un (x, un ) .
Die Dreicksmatrix U ∗ AU wird Schur-Form oder Schur-Normalform von A genannt. Also
sind genau die normalen Matrizen A unitär diagonalisierbar. Reelle symmetrische Matrizen sind spezielle normale Matrizen.
⊡
Die reelle Schur-Form führt zu einer Block-Dreiecksmatrix (vgl. Aufgabe oder Appendix).
Es sei A = (ajk ) ∈ Rn,n eine Matrix mit den m reellen Eigenwerten λ1 , .., λm und den 2k
nicht-reellen Eigenwerte λ±
j = αj ± iβj . Dann existiert eine reelle orthonormale Matrix U,
so dass die Blocksdreiecksmatrix U ∗ AU von folgender Form ist:


λ1 ∗
∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗


..


.
∗
∗∗
∗∗
∗∗






λ
∗∗
∗∗
∗∗
m


∗
U AU = 
(E.4)



Λ
⋆
⋆
1




..


.
⋆


Λk
ist, wobei die reellen (2 × 2)-Blöcke Λj genau die nicht-reellen Eigenwerte = αj ± iβj von
A als Eigenwerte besitzen.
Erinnere das Orthogonalisierungsverfahren von E.Schmidt/ QR-Faktorisierung:
Es sei X ein Vektorraum mit (· , · ), und es sei A = (a1 , .., am ) eine linear unabhängige
Menge von Vektoren aus X. Dann existiert eine reguläre obere Dreiecksmatrix ∆ ∈ Km,m ,
so dass
Q = (q1 , .., qm ) = (a1 , .., am )∆ = A∆
E.2. SCHURFORM UND SPEKTRALZERLEGUNG
87
folgende Eigenschaften für j, k = 1, .., m besitzt:
Q∗ Q = I,
Lin(q1 , .., qj ) = Lin(a1 , .., aj ).
Mit der regulären oberen Dreiecksmatrix R := ∆−1 gilt dann A = QR.
Zum Beweis setze q1 = a1 /|a1 | und nehme an, dass q1 , .., qj−1 mit den gewünschten Eigenschaften schon gefunden sind. Setze dann
pj := aj −
j−1
X
k=1
(aj , qk )qk , qj := pj /|pj |.
Algorithmischer Beweis der Schur–Form:
Es sei u1 Eigenvektor von A1 = A der Länge 1 zum Eigenwert λ1 . Ergänze mit ‘Schmidt’
zu einer O–Basis U1 = (u1, V1 ). U1 ist dann unitär, und es gilt
λ1 u∗1 AV1
λ1 a∗2
∗
.
U1 AU1 =
=
0 A2
0 V1 ∗ AV1
Wiederhole diesen Schritt nun für A2 bezüglich des Eigenwerts λ2 mit normiertem Eigenvektor v2 ∈ Cn−1 und unitärem (v2 , V2 ) und nehme die (unitäre) (n, n)–Matrix
1
0
.
U2 =
0 (v2 , V2 )
Man hat dann folgendes Zwischenergebnis:
U2∗ U1∗ AU1 U2


λ1 ⋆ ⋆
=  0 λ2 ⋆  .
0 0 A2
Und so weiter. Sind für reelles A alle Eigenwerte reell, so kann U reell gewählt werden.
Ist A normal, so ist a2 = 0 [wegen |Ax − λx|2 = |A∗ x − λx|2 ] und A2 ist wieder normal.
Daraus ergibt sich die eine Richtung in Aussage (b).
• Aufgabe/Am Rande: Legt man z.B. bei einer Transformation T = (u, −v) mit
α −β
AT = T
= T Γ [⇐ A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv)]
β
α
Wert auf eine orthonormale Transformation (cf. Schur-Normalform im n-dim. Fall),
so ergibt sich mit der QR-Zerlegung von T (T = QR mit orthonormalem Q und
oberer Dreiecksmatrix R) und mit der Transformation
x ∈ R2 7→ y := Q∗ x ∈ R2
(E.5)
das AWP
ẏ = Q∗ AQ y = RΓR−1 y =: Λ y ,
y(0) = η := Q∗ ξ .
(E.6)
Hierbei ist Λ = RΓR−1 eine reelle (2 × 2)-Matrix mit den Eigenwerten α ± iβ.
88
E.3
Standard Matrix-Norms
For real or complex m × n–matrices A denote by σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr the nonvanishing
singular values, i.e. the square roots of the positive eigenvalues of A∗ A.
(a) One has the column-sum or row-sum matrix-norm
kAk1
:= sup{|Ax|1 :
n
|x|1 = 1} = max k=1
m
kAk∞ := sup{|Ax|∞ : |x|∞ = 1} = max i=1
(b) The spectral norm of A is given by
Pm
i=1
Pn
k=1
|aik |,
|aik |.
||A||2 := max{|Ax|2 : |x|2 = 1} = σ1 }.
(c) The Frobenius norm is given by
P
P
||A||2F := i,j |aij |2 = rj=1 σj2 = trace(A∗ A) = trace(AA∗ ).
One has the following estimates:
√
||A||2 ≤ ||A||F ≤ n||A||2 ,
√
√1 kAk∞ ≤ ||A||2 ≤
mkAk∞ ,
n
||A||22 ≤ kAk1 kAk∞ ,
√
√1 kAk1 ≤ ||A||2 ≤
nkAk1 .
m
Note that the condition number of a regular matrix A is defined by
||A||2 ||A−1 ||2 = σ1 /σr .
E.4
(E.7)
(E.8)
(E.9)
(E.10)
κ(A) =
Weighted Scalar Products
Consider the vector space Rn with the scalar product (x, y)G = y T Gx for a positiv definite
matrix G ∈ Rn×n :
• G = GT with positive
eigenvalues γk P
and corresponding orthonormal eigenvectors
P
√
T
1/2
rk so that G = γk rk rk and G =
γk rk rkT hold (cf. Appendix A.1 or E.2).
Take a linear mapping x 7→ Ax for a A ∈ Rn×n and compute its adjoint A∗ with respect
to the given scalar product. One has to have
(Ax, y)G = (x, A∗ y) ∀ x, y ∈ Cn
(E.11)
implying
!
!
y T GAx = (A∗ y) T Gx ∀ x, y ∈ Rn
and hence GA = (A∗ ) T G. So it’s easy to see that the adjoint is given by
A∗ = (GAG−1 )T = G−1 AT G .
Thus one has a self-adjoint mapping iff A = A∗ = G−1 AT G and hence iff
GA = AT G = (GA)T .
(E.12)
E.4. WEIGHTED SCALAR PRODUCTS
89
• Example: Given e.g.

G=
1 0
0 4


 and A = 
−1 2
1
2
1

,
(E.13)
is A self-adjoint with respect to the scalar product (·, ·)G ? Does one have A = A∗ ?
• Application: This approach can be reversed in the following sense: The matrix A
in (E.13) is obviously not self-adjoint with respect to the standard Euclidean scalar
product. One might ask whether there exists a positive definite matrix G and an
associated weighted scalar product (·, ·)G so that A becomes self-adjoint with respect
to the new scalar product (·, ·)G . If so, then the spectral decomposition theorem (cf.
Appendix A.1 or E.2) can be applied!
Given the ODE ẋ = Ax with A from (E.13). We choose the G from (E.13) and
change coordinates via y = G1/2 x to arrive at ẏ = By with B = G1/2 AG−1/2 . This
B is now self-adjoint with respect to the Euclidean scalar product (·, ·)2 since (E.12)
implies B = B T . For such symmetric B one has a (real) orthonormal basis [r1 , r2 ]
such that the change of coordinates z = RT y = R−1 y with R = (r1 , r2 ) leads to
ż = Cz with a diagonal C = R−1 BR = diag(γ1 , γ2) having the (necessarily real)
eigenvalues as diagonal entries. Initial values x0 are transformed accordingly:
y0 = G1/2 x0 , z0 = R−1 y0 = R−1 G1/2 x0 .
The x(t)-solutions are thus given by
x(t) = G−1/2 R diag(eγ1 t , eγ2 t ) R−1 G1/2 x0
= G−1/2 R eCt R−1 G1/2 x0 = eG
−1/2 RCR−1 G1/2
x0 = eAt x0 .
For the scalar products one then has (x, x̃)G = (y, ỹ)2 = (z, z̃)2 so that the norms
of the solutions satisfy
||x(t)||2G = ||y(t)||22 = ||z(t)||22 .
Aside:
The defining formula (E.11) says that the kernel ker(A) is G-orthogonal to the image
im(A∗ ) and that the kernel ker(A∗ ) is G-orthogonal to the image im(A). Because of the
associated dimensions (i.e. ranks of A and A∗ ) these spaces are G-orthogonal complements:
Rn = ker(A) + im(A∗ ) ,
Rn = ker(A∗ ) + im(A) ,
ker(A) ⊥G im(A∗ ) ,
ker(A∗ ) ⊥G im(A) .
Cf. Fredholm-Alternative! For an example we take




1 0 0
−1 2 2







G=
 0 4 0  , A =  4 1 1  ≡ (A1 , A2 , A3 ) .
0 0 1
1 4 4
(E.14)
(E.15)
90
0 Then the columns A1 and A2 form a basis for im(A) and −11 is a basis for ker(A).
Exercise: Compute the adjoint A∗ with respect to the scalar product (·, ·)G . Is it given by


A∗ = 

−1 16 1
1
2
2


1 1 
?
4 4
Compute im(A∗ ) and ker(A∗ ) and check the properties listed in (E.14)!
(E.16)

Systeme mit verteilten Parametern IFAT–Vorlesung im SS 2014

Transcription

Similar documents

Eigenwertaufgaben - Institut für Mathematik

Skript - Lehrstuhl für Angewandte Mathematik

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Technische Universit¨at Graz - Institut für Numerische Mathematik

¨Ubungsblatt 3

Hyperkomplexe Algebren und ihre Anwendung in der

musicmatch skin free

B(n,x)

Inhaltsverzeichnis