Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
29.01.2010
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
Der Potenzbegriff
Definition: Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der
Exponent die Anzahl der Faktoren angibt.
an := a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = c
a Basis
n - mal
a ∈ \ , n ∈ `* , c ∈ \
n Exponent
c Potenzwert
Beispiele:
a) a3 = a ⋅ a ⋅ a
b) 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27
d) ( −3 ) = ( −3 ) ⋅ ( −3 ) = 9 e) ( −3 ) = ( −3 ) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −3 ) = −27
2
3
c) x 4 = x ⋅ x ⋅ x ⋅ x
f) −32 = −3 ⋅ 3 = −9
Rechenregeln für Potenzen (Potenzgesetze)
Addition und Subtraktion von Potenzen:
Regel:
Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert
oder subtrahiert werden.
Beispiele:
a) 3 x 4 − 5 x 2 + 6 x 4 + 3 x 2 = 9 x 4 − 2x 2
(
)
b) − x 2 − 2 x 4 + x 2 + 2 = −2x 4 − 3x 2 + 2
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
Regel:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre
Exponenten addiert und die Basis beibehält.
am ⋅ an = am +n
Beispiele:
a) 42 ⋅ 43 = 42 + 3 = 45
Merke: ( −a )
n
a∈\
m , n ∈ `*
b) e3 ⋅ e x = e3 + x = e x + 3
⎧ an falls n gerade
⎪
=⎨
n
⎪−
⎩ a falls n ungerade
c) −u2 ⋅ u3 = −u2 + 3 = −u5
( −2 )4 = 24 = 16
( −2 )3 = −23 = −8
Erstellt von R. Brinkmann p0_potenzen_wurzeln_01.doc 29.01.10 00:10
Seite: 1 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
29.01.2010
Division von Potenzen mit gleicher Basis
Satz:
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den
Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis
beibehält.
am
n
a
= am − n
a ∈ \ * m,n ∈ ` * ∧ m > n
Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n
Fall m = n :
am
n
a
=
am
m
a
= am − m = a0
⇒
a0 := 1
Bei der Division gleicher Potenzen ergibt sich im Ergebnis der Exponent 0.
Die Division gleicher Zahlen führt zum Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a0 = 1 zu definieren.
Fall m < n
am
n
a
= am − n
(m − n) ∈ ]*−
Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so ergibt sich bei der
Anwendung des Satzes über die Division von Potenzen eine negative Zahle als
Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit des Satzes zu erreichen, muss die Definition des
Potenzbegriffes erweitert und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll
interpretiert werden.
Satz:
Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so
ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
an =
1
a
a− n =
−n
1
an
Definition: 1. erweiterte Potenzdefinition:
an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
∧
a0 = 1 ∧
n - mal
a ∈ \*
n∈]
a− n =
1
n
a
∧
an =
1
a− n
an ∈ \
Mit Hilfe dieser Definition sind die Sätze über die Multiplikation und Division
uneingeschränkt gültig.
Erstellt von R. Brinkmann p0_potenzen_wurzeln_01.doc 29.01.10 00:10
Seite: 2 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
Beispiele:
a5
a) 3 = a5 − 3 = a2
a
e5
1
c) 7 = e5 − 7 = e− 2 = 2
e
e
29.01.2010
x7
b)
= x7 − 7 = x0 = 1
7
x
xn − 1
d)
x
n
= xn − 1− n = x − 1 =
1
x
Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten
Regel:
Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden
multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten
beibehält.
an ⋅ bn = ( ab )
n
a,b ∈ \
n ∈ `*
Beispiele:
3
3
1⎞
⎛ 1⎞
⎛
a) 12 ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ 12 ⋅ ⎟ = 33 = 27
4⎠
⎝4⎠
⎝
b) ( x + 1)
3
2
( x − 1)2 = ⎡⎣( x + 1)( x − 1)⎤⎦
2
(
)
= x2 − 1
2
Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten
Regel:
Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden
dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
n
an
⎛a⎞
=⎜ ⎟
n
b
⎝b⎠
b ∈ \*
n ∈ `*
Beispiele:
a)
25
3
53
3
⎛ 25 ⎞
=⎜
= 53 = 125
⎟
⎝ 5 ⎠
(u − 1)
b)
2
2
(u + 1)2
(
) ⎤⎥
⎡ u2 − 1
=⎢
⎢ u +1
⎣
2
⎡ ( u − 1)( u + 1) ⎤
2
=⎢
⎥ = ( u − 1)
⎥
⎣⎢ ( u + 1) ⎦⎥
⎦
2
Potenzieren von Potenzen
Regel:
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(a )
m
n
= am ⋅ n
Beispiele:
( )
a) 43
2
= 43 ⋅ 2 = 4 6
(
b) xn − 2
)
3
n− 2 ⋅ 3
= x( ) = x3n − 6
Erstellt von R. Brinkmann p0_potenzen_wurzeln_01.doc 29.01.10 00:10
Seite: 3 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
29.01.2010
Radizieren von Potenzen
Regel:
Potenzen werden radiziert, indem man den Potenzexponenten durch den
Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.
n
m
a
=
m
an
für a ∈ \ *+ und m ∈ ] ; n ∈ ` *
Damit lassen sich nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten
darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, da man sich auf die
bekannten Potenzgesetze stützen kann.
Beispiele
a)
3
3⋅ 9 =
3
1
3
3
1
3
⋅9
=
1
3
27
= 27 = 3
3
4
b)
x
6n + 2
⋅x
−n
=
6n + 2
x 4
⋅x
−n
=
n +1
x 2
= xn +1
Zusammenfassung der Potenzgesetze
Multiplikation und Division
bei gleichen Basen:
am ⋅ an = am + n
am
= am − n
n
a
bei gleichen Exponenten
an ⋅ bn = ( a ⋅ b )
n
m,n ∈ _
a ∈ \*
m,n ∈ _
a,b ∈ \
n∈_
⎛a⎞
=⎜ ⎟
n
b
⎝b⎠
a,b ∈ \ *
n∈_
(a )
a∈\
m,n ∈ _
a ∈ \ *+
m∈]
a ∈ \*
n∈_
n
an
Potenzieren von Potenzen
a∈\
n
m
Radizieren von Potenzen
n
Folgerungen aus den Potenzgesetzen:
a0 = 1
m
a
= an ⋅ m
=
m
an
1
an
Erstellt von R. Brinkmann p0_potenzen_wurzeln_01.doc 29.01.10 00:10
= a −n
n ∈ `*
Seite: 4 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
29.01.2010
Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln
Faktor aus der Wurzel ziehen
a)
27 = 9 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 3 3
b)
28
=
2
Den Nenner wurzelfrei machen
a)
1
3
=
1⋅ 3
3⋅ 3
=
3 1
=
3
3
3
b)
−2
2 −2
=
−2
(
(
2 −2
Erstellt von R. Brinkmann p0_potenzen_wurzeln_01.doc 29.01.10 00:10
4⋅7 2 7
=
= 7
2
2
2+2
)(
)
2+2
)
=
−2
(
2+2
2−4
)=
2+2
Seite: 5 von 5