Übungsblatt 4 – Musterlösung

Einführung in die Numerik
Sommersemester 2011
Übungsblatt 4 – Musterlösung
Lösung 1 (Householder-Reflexion)
√
Die erste Spalte von A ist a = (−2, 2 3)T mit kak = 4. Für α = −sgn (a1 )kak = 4
√
(1)
gilt v (1) = a√− αe1 = (−6, 2 3)T . Der Vektor v (1) wird zu v1 = 1 normiert und liefert
v (1) = (1, − 3/3)T . Man erhält
√ √ 2
2
1 −1
3/3
3
1
−
1 0
T
(1)
√
√
−
Q
= Id − T vv =
=
,
0 1
1/3
3 1
v v
4/3 − 3/3
2
und damit
1
R = Q A =
2
(1)
√ √ −1
3
3
−2
−1
+
3
4
2
√
√
√
.
=
0 6
3 1
2 3 3+ 3
Lösung 2 (Eindeutigkeit der QR-Zerlegung)
Aus Q1 R1 = Q2 R2 erhalten wir
R1 = QT1 Q2 R2 = SR2 ,
S := QT1 Q2 .
Die Orthogonalität von S folgt aus
S T S = (QT1 Q2 )T QT1 Q2 = QT2 Q1 QT1 Q2 = QT2 Q2 = Id,
da Q1 und Q2 orthogonale Matrizen sind. Da A regulär ist, sind auch R1 und R2 invertierbar, und ihre Inversen sind obere Dreiecksmatrizen. Damit sind sowohl S = R1 R2−1 als
auch S T = R2 R1−1 obere Dreiecksmatrizen, und S sowohl eine obere als auch eine untere
Dreiecksmatrix, d.h. eine Diagonalmatrix.
Lösung 3 (Reduzierte QR-Zerlegung)
a)
⊥
R̂
Q · R = Q̂ Q ·
0
Hierbeit ist Q ∈ Rm×m , R ∈ Rm×n , R̂ ∈ Rn×n , Q̂ ∈ Rm×n , Q⊥ ∈ Rm×(m−n) .
b) Bei den Matrizen Q̂, R̂ handelt es sich um die Teile, die im Zuge der QR-Zerlegung
berechnet werden, analog wie im Falle von quadratischen Matrizen. D.h. z.B. der
Householder Algorithmus besteht auch im Falle von m × n, m ≥ n Matrizen nur aus
der Berechnung von n Spaltenvektoren, also der Berechnung der Matrix Q̂.
1
c) Die restlichen m − n Spalten von Q, d.h. Q⊥ , werden in der Regel nicht berechnet.
Dies ist bei Aufwandsbetrachtungen zu beachten! Die Spalten von Q⊥ stellen eine
Basis des orthogonalen Komplements des Bildraums von A dar.
Lösung 4 (Givens-Rotationen)
a) Für s = sin θ und c = cos θ gelten nach den Vorlesungfolien die Relationen
xl
s= p 2
.
xk + x2l
√
√
Mit k = 1 und l = 2 erhalten wir daraus mit 12 + 12 = 2 und x1 = x2 = 1
!
!
√ √
√1
√1
√1
√1
1
2
2
3
2
2
2
2
√2 .
⇒ Q12 A =
=
Q12 =
1 4
− √12 √12
− √12 √12
2
0
c= p
b),c)
xk
,
x2k + x2l
QG ← Id
for k = 1 . . . m − 1 do
for i = m . . . k + 1 do
Bestimme Q(i−1,i) , so dass Q(i−1,i) A(k) (i,k) = 0
A(k) ← Q(i−1,i) A(k)
QG ← Q(i−1,i) QG
end for
end for
QG ← Q⊤
G
d)
Aufwand: Für eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten müssen O(m · n) GivensRotationen durchgeführt werden. Bei jeder Givens-Rotation werden durch die beiden
nichttrivialen Zeilen jeweils n Spalten von A geändert. Der Aufwand beträgt somit
O(m · n2 ). Es
sich nur die äußere Schleife zu for k=1,...,n. Es gilt Q ∈
ändert
e
R
e ∈ Rn×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix ist.
Rm×m , R =
∈ Rm×n , wobei R
0
√
−1 −3
RH = 2
0
1
−1
S = QTH · QG =
0
2
.
0
.
1