docפיסיקה 2 ־ חשמל ומגנטיות אייל לוי
download 
Report Transcription
פיסיקה 2 ־ חשמל ומגנטיות אייל לוי
פיסיקה 2־ חשמל ומגנטיות
R
L
C
V
אייל לוי
סטודנטים יקרים
ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב,
במכללת אפקה ,ועוד.
שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים
בפני קורס חשוב זה.
הספר עוסק בפיסיקה 2־ חשמל ומגנטיות ,והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־
אוניברסיטאות או מכללות.
הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד ,בהתאם לתכניות הלימוד השונות .הנסיון
מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים
המופיעים בו.
לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.c o.il
הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה
מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון
ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה.
תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה!
אייל לוי
תוכן עניינים
1
חוק
1.1
1.2
1.3
קולומב והשדה החשמלי
מערכת מטענים נקודתיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תנועת חלקיק בשדה חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
התפלגויות מטענים רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
6
8
2
חוק גאוס
2.1שטף חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2חוק גאוס )האינטגרלי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3חוק גאוס )הדיפרנציאלי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
17
22
3
אנרגיה ופוטנציאל חשמליים
3.1אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
4
קיבול
4.1
4.2
4.3
4.4
.
.
.
.
35
35
41
44
46
חשמלי והתנגדות חשמלית
קיבול וחומרים דיאלקטרים
התנגדות . . . . . . . . .
מעגלי זרם ישר . . . . . .
מעגלי ) RCנגד וקבל( . . .
5
השדה המגנטי
5.1כח ומומנט כח בשדה מגנטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2חוק ביו־סבר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3חוק אמפר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
54
57
6
השראה אלקטרומגנטית
6.1חוק פאראדיי־לנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
פרק 1
חוק קולומב והשדה החשמלי
1.1מערכת מטענים נקודתיים
1.1.1
מטען q1 = 1 Cנמצא במנוחה על הקרקע.
באיזה גובה ניתן לשים מסה m = 1 tonבעלת מטען זהה q2 = 1 Cשתרחף באויר כנגד כח הכובד?
פתרון:
h = 958.3 m
1.1.2
ארבעה מטענים נקודתיים q1 , q2 , q3 , q4נמצאים במיקומים:
~r1 = (1, 1) m ; ~r2 = (−1, 1) m ; ~r3 = (−1, −1) m ; ~r4 = (1, −1) m
בהתאמה .המטענים q1 = q2 = −200 µCוהמטענים .q3 = q4 = 200 µCמטען נקודתי Q = 100 µCנמצא
בראשית הצירים.
y
q1
x
Q
q4
2
q2
q3
)א( מהו הכח שמרגיש המטען ?Q
)ב( מהו הכח שמרגיש המטען ?q3
פתרון:
)א( F~ = (0, 254.56) N
X
)ב( F~ = (−121.82, 58.18) N
X
1.1.3
ארבעה מטענים נקודתיים q1 = q2 = q3 = q4 = 300 nCנמצאים במיקומים:
~r1 = (1, 0, 0) m ; ~r2 = (0, 1, 0) m ; ~r3 = (0, −1, 0) m ; ~r4 = (−1, 0, 0) m
בהתאמה .מטען נקודתי Q = 500 nCנמצא על ציר zבמיקום ~ = (0, 0, 3) m
.R
z
Q
y
q4
q3
q2
q1
x
מה צריכה להיות מסתו של המטען Qכדי שהוא ירחף באוויר כנגד כח הכובד?
פתרון:
m = 52.27 kg
1.1.4
שני מטענים נקודתיים זהים Qמצאים במנוחה על ציר xבמרחק dזה מזה.
y
d
2
x
Q
)א( היכן על ציר yמתקבל הערך המקסימלי של השדה החשמלי?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
3
d
2
Q
)ב( הראו כי במרחק רב ) ,(y >> dהשדה מתנהג כמו שדה חשמלי של מטען נקודתי בעל גודל ) 2Qהמטען הכולל
של המערכת(!
פתרון:
d
)א( √ y = ±
2 2
1.1.5
נתונה מערכת של שני מטענים נקודתיים בעלי גודל qוסימן הפוך )דיפול( ,הנמצאים על ציר xבמיקומים:
d
d
~r1 = ( , 0) m ; ~r2 = (− , 0) m
2
2
y
x
d
2
q
d
2
−q
)א( מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר ,xכפונקציה של המרחק xמהראשית .יש לבטא בעזרת
!k, q, d, x
)ב( מהו השדה החשמלי במרחק רב מהדיפול )?(x >> d
פתרון:
"
#
d
d
x
−
x
+
2kqd
2
2
= )~ >> d
~
E(x
) E(x,ב( )· (1, 0, 0
0, 0) = kq
−
)א( ) · (1, 0, 0
x − d 3 x + d 3
x3
2
2
1.1.6
נתונה מערכת של ארבעה מטענים נקודתיים בעלי גודל qכל אחד ,הנמצאים בקודקודיו של ריבוע בעל צלע 2a
שמרכזו בראשית .לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך )קוואדרופול(:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
4
y
−q
x
q
2a
Q
q
−q
)א( מצאו את הכח שפועל על מטען נקודתי Qשמונח על ציר xכפונקציה של המרחק xמראשית הצירים! יש
לבטא באמצעות .k, Q, q, a, x
)ב( מהו הכח שיפעל על Qאילו הוא היה ממוקם במרחק רב מהראשית )?(x >> a
פתרון:
#
1
)א( )· (1, 0, 0
[(x + a)2 + a2 ]3/2
2kqQa2
= )F~ (x >> a
)ב( )· (1, 0, 0
x4
−
1
[(x − a)2 + a2 ]3/2
"
· F~ (x, 0, 0) = 2kqQa
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
5
1.2
תנועת חלקיק בשדה חשמלי
1.2.1
פרוטון )מטענו qp = 1.602 · 10−19 Cומסתו (mp = 1.67 · 10−27 kgמוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם
.d = 0.8 cmהלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם השדה החשמלי אחיד המכוון אנכית מטה וגודלו .E = 3 · 104 NC
הפרוטון מוכנס בצמוד ללוח העליון עם מהירות אופקית .v0 = 5 · 106 ms
~
E
d
)א( תוך כמה זמן יפגע הפרוטון בלוח התחתון?
)ב( מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון?
פתרון:
)א( ) t = 7.47 · 10−8 sב( x = 37.4 cm
1.2.2
נתונים שני לוחות אינסופיים .מזריקים גוף שמסתו M = 5 grומטענו Q = −10 µCאל בין הלוחות .מהו גודלו
וכיוונו של שדה חשמלי שיש ליצר בין הלוחות כדי שהמטען יתמיד במגמת תנועתו ,כלומר ימשיך לנוע בקו ישר,
אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה?
v0
g
M, Q
פתרון:
N
C
E = 4900במגמה אנכית מטה.
1.2.3
נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם d = 0.7 cmושאורך כל אחד מהם הוא .L = 10 cmהלוחות
טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו .E = 2500 NCאלקטרון )מטענו
qe = −1.602 · 10−19 Cומסתו (me = 9.11 · 10−31 kgמוזרק אל בין שני לוחות בצמוד לקצה השמאלי של הלוח
התחתון במהירות שגודלה .v0 = 1 · 107 ms
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
6
L
d
~
E
v0
θ
מהו תחום הזוויות θעבורו ניתן להזריק את האלקטרון ,כדי שהוא לא יפגע באף אחד מהלוחות?
פתרון:
◦14.36◦ > θ > 13.04
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
7
1.3
התפלגויות מטענים רציפות
1.3.1
נתונה קשת מעגלית בעלת רדיוס ,Rהנשענת על זווית θוטעונה בצפיפות מטען קווית ) ,λ(θ′כאשר θ′הזווית מציר
.xמרכזה של הקשת בנקודה .O
y
) λ(θ′
R
x
θ
O
)א( חשבו את המטען הכולל לאורך הקשת אם נתון כי צפיפות המטען
(1אחידהλ(θ′ ) = λ0 :
(2משתנהλ(θ′ ) = λ0 sin θ′ :
)ב( חשבו את השדה החשמלי שמפעילה הקשת בנקודה Oעבור שתי צפיפויות המטען שנתונות ב־)א(.
פתרון:
~ 0, 0) = (2 E(0,
)א( ) λ0 R(1 − cos θ) (2 q = λ0 Rθ (1ב( ~ 0, 0) = kλ0 (− sin θ, cos θ − 1, 0) N (1
E(0,
R
C
kλ0
sin2 θ θ sin 2θ
N
−
,− +
,0
R
2
2
4
C
1.3.2
נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה
C
m
.λ = 5 · 10−6
λ
)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב ,כלומר כפונקציה של המרחק האנכי מציר התילr ,
)רדיוס גלילי(!
)ב( מניחים מטען נקודתי Q = 10 µCבמרחק r = 10 cmמהתיל .מהו הכח החשמלי שמרגיש המטען?
פתרון:
9 · 104 N
)א(
r
C
= )) E(rב( F = 9 N
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
8
1.3.3
תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען קווית אחידה λמכופף באמצעו כך שהוא יוצר קשת שצורתה חצי מעגל שרדיוסו
.R
y
x
O
מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה ,Oמרכז הקשת המעגלית?
פתרון:
~ 0, 0) = 0
E(0,
1.3.4
מוט דק בעל אורך Lשוכב לאורך ציר xכשמרכזו בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל .Q
y
)(0, y, 0
x
הראו כי השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה ) (0, y, 0הוא:
L
~ y, 0) = p 2kQ
E(0,
)(0, 1, 0
y L2 + 4y 2
1.3.5
חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי q = 1 µCשמיקומו ראשית הצירים ,ובין מוט דק שאורכו
,L = 0.2 cmהטעון בצפיפות מטען קווית λ(x) = 100x2 mCכאשר נתון כי המוט שוכב לאורך ציר xכך שקצהו
השמאלי נמצא במרחק x = Lמהראשית.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
9
y
q
)λ(x
x
L
2L
פתרון:
F = 1800 N
1.3.6
חשבו את הכח ההדדי שפועל בין שני מוטות דקים שאורכו של כל אחד מהם הוא .Lכל מוט טעון בצפיפות מטען
אחידה .λמוט אחד שוכב לאורך ציר xכך שקצהו השמאלי בראשית ,והמוט השני שוכב לאורך ציר xכך שקצהו
השמאלי במרחק 2Lמהראשית.
y
λ
x
3L
λ
2L
0
L
פתרון:
4
kλ2
F = ln
3
1.3.7
נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען קווית ) λ(θכאשר θהזווית שנמדדת על מישור xyמציר
ה־ .x
z
y
R
)λ(θ
θ
x
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
10
)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר (zעבור:
λ(θ) = λ0 (1
λ(θ) = λ0 sin θ (2
)ב( במקרה של צפיפות מטען אחידה ,הראו כי במרחק רב ) (z >> Rמתקבל שדה של מטען נקודתי!
פתרון:
)א( zˆ (1
2πkλ0 Rz
(R2 + z 2 )3/2
= )~ 0, z
yˆ (2 E(0,
πkλ0 R2
z 2 )3/2
(R2 +
~ 0, z) = −
E(0,
1.3.8
נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ
z
y
R
x
)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר !(z
)ב( הראו כי במרחק רב ) (z >> Rמתקבל שדה של מטען נקודתי!
)ג( בעזרת הפתרון לסעיף )א( ,חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי )הטעון בצפיפות משטחית אחידה(
בכל מקום במרחב.
פתרון:
)א( ˆz
1
1
√−
||z
R2 + z 2
חיובי מתאר דחייה(.
σ
~ 0, z) = 2πkσz
) E(0,ג(
2ε0
= E = 2πkσבכיוון מאונך למישור בכל נקודה )סימן
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
11
1.3.9
נתון גליל מלא שרדיוסו Rוגובהו Hהטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה .ρ
z
R
H
ρ
y
x
חשבו את השדה החשמלי שיוצר הגליל לאורך הציר האנכי מרכזי שלו )ציר !(z
פתרון:
p
√
ˆR2 + (z − H)2 − R2 + z 2 z
~ 0, z) = 2πkρ 2z − H +
E(0,
1.3.10
חשבו את השדה החשמלי במרכזה של קליפה חצי כדורית הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ
σ
פתרון:
σ
4ε0
= E = πkσ
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
12
פרק 2
חוק גאוס
2.1שטף חשמלי
2.1.1
חשבו ישירות מההגדרה את השטף החשמלי של שדה חשמלי אחיד ~ Eדרך מנסרה משולשת )חתך שהוא משולש
שווה שוקיים בעל אורך שוק aואורך בסיס .bעומקה של המנסרה .(cהשדה מאונך לבסיס.
a
~
E
b
c
פתרון:
φE = 0
13
a
2.1.2
נתון קוואדרופול חשמלי )מערך של שני דיפולים חשמליים( כמשורטט:
q
−q
−q
q
חשבו בעזרת חוק גאוס מהו השטף החשמלי דרך כל אחד מהמשטחים הצבעוניים.
פתרון:
2q
q
2q
= )אפורה( ; φE
) = −ירוקה( ) = 0 ; φEאדומה( ; φE
ε0
ε0
ε0
= )כחולה( φE
2.1.3
נתון מלבן שנמצא על מישור x − yבעל צלעות ) a = 1 mלאורך ציר (xו־) b = 2 mלאורך ציר .(yהמלבן נמצא
ברביע הראשון כך שקצה אחד שלו בראשית .כמו כן נתון כי בכל המרחב קיים שדה חשמלי:
~ = (3x2 y, 3xy 2, x2 y + y 2z + z 2 x) N
E
C
z
b
y
a
x
)א( מהו השטף של השדה החשמלי דרך המלבן?
)ב( מהו השטף דרך המלבן אם נתון כי מרימים את המלבן 2מטרים כך שהוא נמצא על המישור ?z = 2 m
פתרון:
a3 b2 2 3
N · m2
a3 b2
2 N · m2
+ ab + 2a2 b = 10
= ) φEב(
=
)א(
6
3
C
6
3
C
= φE
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
14
2.1.4
מטען נקודתי qנמצא בגובה hמעל מרכזה של דיסקה שרדיוסה .R
q
h
R
)א( מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?
)ב( השתמשו בפתרון ל־)א( כדי לחשב את השטף החשמלי דרך מישור אינסופי.
פתרון:
q
h
= φE = 2πkq
) φE = 2πkq 1 − √ 2ב(
)א(
2ε0
R + h2
2.1.5
חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים:
q
q
a
a
a
a
a
q
a
q
a
a
a
2a
2a
פתרון:
q
q
= ; φEמשמאל
שורה ראשונה :מימין
8ε0
2ε0
q
q
= ; φEמשמאל
שורה שניה :מימין
= φE
4ε0
6ε0
= φE
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
15
a
2.1.6
מוט דק שאורכו hטעון בצפיפות מטען קווית אחידה .λהמוט שוכב לאורך הציר האנכי־מרכזי של דיסקה שרדיוסה
Rכך שקצהו התחתון נמצא בגובה hמעל מרכזה של הדיסקה.
h
λ
h
R
מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?
פתרון:
√
√
φE = 2πkλ h − R2 + 4h2 + R2 + h2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
16
2.2חוק גאוס )האינטגרלי(
2.2.1
חשבו את השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי Qבעזרת חוק גאוס.
פתרון:
kQ
r2
=E
2.2.2
נתון כדור מלא בעל רדיוס .Rחשבו את השדה החשמלי שיוצר הכדור בכל מקום במרחב ,בעזרת חוק גאוס ,אם
נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא:
)א( קבועה ρ(r) = ρ0
r2
)ב( תלויה במרחק מהמרכז :r
R2
ρ(r) = ρ0
פתרון:
)א(
r≤R
r≥R
2.2.3
ρr
r≤R
0
) E(r) = 3εב(
ρR3
r≥R
3ε0 r 2
ρ0 3
r
5ε0 R2
= )E(r
ρ R3 1
0
·
5ε0 r 2
נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ
)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הקליפה בכל מקום במרחב ,בעזרת חוק גאוס.
)ב( הראו כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר דרך צפיפות מטען משטחית σשווה ל־
σ
ε0
= ∆E
פתרון:
0
r<R
)א(
=E
σR2
r
>
R
ε0 r 2
2.2.4
קליפה כדורית עבה ,בעלת רדיוסים פנימי aוחיצוני bטעונה בצפיפות מטען נפחית
נמצא מטען נקודתי .Q
)א( מה צריך להיות הקבוע Aכדי שהשדה החשמלי בכל מקום בתחום a ≤ r ≤ bיהיה קבוע?
)ב( עבור הקבוע שמצאתם ב־)א( ,מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב.
A
r
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
17
= ) .ρ(rבמרכז המערכת
פתרון:
r≤a
)א( ) A = Qב( a ≤ r ≤ b
πa2
r≥a
2.2.5
Q
4πε0r 2
Q
= )E(r
4πε0a2
2
b
Q 2 a2 − 1
4πε0 r 2
נתונה קליפה כדורית בעלת עובי ,שרדיוסה הפנימי Rוהחיצוני .2Rהקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית
.ρ(r) = ρ0 Rrבמרחק 3Rממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו 2Rהטעון צפיפות מטען
.λ(r) = λ0 r
)ρ(r
)λ(r
ˆr
2R
)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום לאורך הציר הרדיאלי ˆ rבתחום ?0 < r < 3R
R
R
R
)ב( מהו הכח שמפעיל הכדור על המוט?
פתרון:
r − 5R
2Rr
−kλ0 · ln
+
ˆr
r≤R
r − 3R
)(r − 5R)(r − 3R
2Rr
r − 5R
) ρ0 R(r 2 − R2
+
ˆr
R ≤ r ≤ 2R
− kλ0 · ln
2ε0 r 2
r − 3R
)(r − 5R)(r − 3R
~
= )E(r
)א(
2Rr
r − 5R
3ρ0 R3
+
ˆr
2R ≤ r < 3R
− kλ0 · ln
2ε0 r 2
r − 3R
)(r − 5R)(r − 3R
3
3ρ
2Rr
r
−
5R
0R
+
ˆr
r > 5R
+ kλ0 · ln
2ε0 r 2
r − 3R
)(r − 5R)(r − 3R
ρ0 λ0 R3
5
3
~
·
)ב( ˆr
F = ln
2
3
ε0
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
18
2.2.6
נתון כדור מלא בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה .ρיוצרים בכדור חלל כדורי בעל בעל רדיוס r
כך שמרכזו נמצא בוקטור מיקום ~aביחס למרכז הכדור .נתון .R > r + a
R
a
r
מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי?
פתרון:
~ = ρ~a
E
3ε0
2.2.7
נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה .λ
λ
חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב ,בעזרת חוק גאוס.
פתרון:
2kλ
λ
=
2πε0 r
r
= )E(r
2.2.8
נתון גליל אינסופי בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען נפחית
2πr
R
ρ0 R
= )ρ(r
sin
r
לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה .σ
מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ,כתלות במרחק האנכי מציר הגליל ) ,rהרדיוס הגלילי(.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
19
R
σ
)ρ(r
פתרון:
r<R
r>R
2.2.9
2πr
R
ρ0 R2 · 1 − cos
2πε0 r
= )E(r
σR
ε0 r
שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען +σו־ .−σהמרחק בין הלוחות הוא .d
)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב?
)ב( ממלאים את המרחב שבין הלוחות בחומר בעל צפיפות מטען נפחית אחידה .ρמהו השדה החשמלי בכל נקודה
במרחב במצב החדש?
פתרון:
)א(
d
2
< ||z
d
2
> ||z
σ
E(z) = ε0כאשר zהמרחק האנכי מהמרכז) .ב(
0
z < − d2
d
2
<
d
2
− d2 z
>z
zהמרחק האנכי מהמרכז.
ρd
−
2ε
ρz 0 σ
E(z) = ε − εכאשר
0
0
ρd
2ε0
2.2.10
לוח אינסופי בעל עובי d = 8 cmטעון בצפיפות מטען נפחית
הלוח )כלומר ,ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח(.
C
m3
,ρ(z) = 5 · 10−5 z 2כאשר zהמרחק האנכי ממרכז
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
20
z
y
x
)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה המרחב?
)ב( מוט דק בעל אורך L = dמונח לאורך ציר zכשקצהו התחתון בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל
.Qמהו הכח שמרגיש המוט?
פתרון:
N
)א(
C
d
2
d
2
≤ ||z
≥ ||z
1884955.6 · z 3
120.6
(
= )) E(zב( F = Q · 75.4 Nבכיוון דחייה מהלוח.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
21
2.3חוק גאוס )הדיפרנציאלי(
2.3.1
נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית:
α
~
)E(r
ˆ= r
r
מצאו את התפלגות המטען ) ρ(rשיוצרת את השדה.
פתרון:
ε0 α
r2
= )ρ(r
2.3.2
שדה אלקטרוסטטי ~ Eמקיים:
r<R
ˆE0 r
r>R
0
(
= ~
E
כאשר rהוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ E0ו־ Rקבועים חיוביים.
)א( האם יש מטענים נקודתיים במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן־ מהו גודלם והיכן הם נמצאים?
)ב( האם יש צפיפות מטען משטחית σבמרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?
)ג( האם יש צפיפות מטען נפחית ρבמרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?
פתרון:
1
)א( לא! נוכחות מטען נקודתי יוצרת שדה חשמלי שתלוי במרחב באופן
r2
2ε0E0
r<R
= )ρ(r
)ב( ) σ = −ε0 E0ג(
r
0
r>R
∝ .E
2.3.3
נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית:
r<R
R < r ≤ 2R
r ≥ 2R
Q
ˆr
2
4πε
r
0
Q r 4
~
ˆ− 1 r
= )E(r
4ε0 r 2
R
ˆ 15Q r
4ε0 r 2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
22
כאשר Qקבוע בעל יחידות של מטען ,ו־ Rקבוע בעל יחידות של מרחק.
איזה מערך מטענים יוצר שדה זה?
פתרון:
Qr
Q
σ = −ברדיוס Rוצפיפות מטען נפחית
מטען נקודתי Qבמרכז ) ,(r = 0צפיפות מטען משטחית
4
R
4πR2
בתחום .R < r ≤ 2R
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
23
= )ρ(r
פרק 3
אנרגיה ופוטנציאל חשמליים
3.1אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי
3.1.1
חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של מערך של זוג מטענים q1ו־ q2שנמצאים במרחק rזה מזה.
פתרון:
kq1 q2
r
=U
3.1.2
ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו ,aכמשורטט .המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים
לנוע.
−q
2q
v
a
q
−q
a
)א( חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך )כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו(.
)ב( המטען 2qמשוחרר ויכול לנוע במרחב .ברגע מסוים הוא מגיע למרכז הריבוע .מהי מהירותו שם ,v ,אם נתון
כי מסתו היא ?m
24
פתרון:
kq 2
)א(
a
r
kq 2
) U = −3.88ב(
ma
r
v = 0.7
3.1.3
זוג מטענים זהים qהמרוחקים זה מזה מרחק dנמצא על ציר ה־ xכמשורטט:
y
x
)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב ,ביחס לאינסוף.
)ב( הראו כי במרחק רב מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!
d
2
d
2
q
q
פתרון:
)א(
1
d2
4
+ xd +
r2
+q
1
d2
4
− xd +
r2
ϕ(~r) = kq q
3.1.4
דיפול חשמלי נמצא על ציר ה־ xכמשורטט:
y
x
)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב ,ביחס לאינסוף.
)ב( מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול?
d
2
q
d
2
−q
פתרון:
)א(
1
d2
4
+ xd +
r2
−q
d2
4
1
kqxd
) ϕ(~r) = kq qב(
3
r
r 2 − xd +
= )ϕ(r ≫ d
3.1.5
בשמונת קודקודי קוביה שצלעה aנמצאים שמונה מטענים זהים בגודלם ,qאך סימנם של כל זוג שכנים קרובים הוא
הפוך.
)א( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
25
)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה ,ביחס לאינסוף?
)ג( מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי Qמאינסוף למרכז הקוביה?
פתרון:
kq 2
)א(
a
) U = −5.82ב( ) = 0מרכז() ϕג( W = 0
3.1.6
נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה .λ
z
y
λ
R
x
)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ,(zביחס לאינסוף.
)ב( הראו כי במרחק רב ) (z ≫ Rמתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!
פתרון:
2πkλR
√ = )ϕ(0, 0, z
)א(
R2 + z 2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
26
3.1.7
נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ
z
y
R
x
)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ,(zביחס לאינסוף.
)ב( הראו כי במרחק רב ) (z ≫ Rמתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!
)ג( נתון R = 20 cm :ו־ .σ = 3 · 10−8 mC2מטען נקודתי q = −10 µCשמסתו m = 2 grנעזב ממנוחה בגובה
z = 30 cmמעל מרכז הדיסקה .באיזו מהירות הוא יפגע בדיסקה? )הזניחו גרביטציה(.
פתרון:
)א( |− |z
z2
+
R2
√
m
· ) ϕ(0, 0, z) = 2πkσג(
v = 1.54
s
3.1.8
מוט דק בעל אורך Lשוכב לאורך ציר xכשמרכזו בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל .Q
y
)(0, y, 0
x
חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה ) ,(0, y, 0ביחס לאינסוף.
√
dx
ניתן להשתמש באינטגרל= ln x + x2 + a2 :
x2 + a2
√
Z
פתרון:
+ y2
y2
+
L 2
2
L 2
2
q
q
+
+
L
2
− L2
kQ
· ln
L
= )ϕ(0, y, 0
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
27
L
3.1.9
חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו Rהטעון בצפיפות מטען נפחית:
)א( אחידה ,ρבשני מקרים:
(1ביחס לאינסוף )כלומר .(ϕ(∞) = 0
)כלומר .(ϕ(R) = 0
(2ביחס לשפת
הכדור
r
)ב( תלויה ברדיוס
,ρ(r) = ρ0 · 1 +בשני המקרים הנתונים ב־)א(.
R
פתרון:
r≤R
)א( (1
r≥R
)ב( (1
r≤R
r≥R
3.1.10
ρR2 ρr 2
−
2ε0
6ε0
= )(2 ϕ(r
3
ρR
3ε0 r
2
5ρ0 R2
ρ
r3
r
−
·
+
6ε0
ε0
6
12R
3
7ρ0 R
12ε0 r
ρR2 ρr 2
−
r≤R
6ε0
6ε0
= )ϕ(r
ρR2
ρR3
r≥R
−
3ε0 r
3ε0
2
ρ0 R2
ρ
r3
r
r≤R
−
·
+
4ε0
ε0
6
12R
(2
)ϕ(r
=
7ρ0 R2
R
·
−1
r≥R
12ε0
r
= )ϕ(r
כדור מוליך בעל רדיוס Rטעון באופן אחיד במטען כולל .Q
)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב.
)ב( יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי )שמרכזו במרכז הכדור( בעל רדיוס .0.3Rחשבו מחדש את הפוטנציאל
החשמלי בכל המרחב.
)ג( במצב של )ב( ,חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב אם נתון כי במרכז נמצא מטען נקודתי .−Q
פתרון:
)א(
r≤R
r≤R
לאינסוף!
kQ
r ≤ 0.3R
R
= ) ϕ(rביחס לאינסוף! )ב( זהה ל־)א() .ג(
kQ
r ≤ 0.3R
r
kQ − kQ
r
ϕ(r) = 0.3Rביחס
0
3.1.11
שתי קליפות מוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה .לקליפה הפנימית רדיוס פנימי R1
וחיצוני .R2לקליפה החיצונית רדיוס פנימי R3ורדיוס חיצוני .R4נתון כי הקליפה הפנימית נייטרלית ,והחיצונית
טעונה במטען כולל .Qכמו כן ,במרכז המערכת נמצא מטען נקודתי .Q
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
28
Q
Q
R4
R3
R1
R2
)א( מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים.
)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?
)ג( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום ,ביחס לאינסוף?
פתרון:
r < R1
R1 < r < R2
Q
Q
Q
Q
= ; σ2
; σ3 = −
= ; σ4
)א(
2
2
2
4πR1
4πR2
4πR3
2πR42
) σ1 = −ב( R3 < r < R2
R3 < r < R4
r > R4
r ≤ R1
R1 ≤ r ≤ R2
)ג( R2 ≤ r ≤ R3
R3 ≤ r ≤ R4
r ≥ R4
3.1.12
1
1
1
1
2
kQ
−
+
−
+
r R1 R2 R3 R4
1
1
2
kQ
−
+
R2 R3 R4
2
1
1
= )ϕ(r
+
−
kQ
r R3 R4
2kQ
R4
2kQ
r
Q
4πε0 r 2
0
Q
= )E(r
4πε0 r 2
0
Q
2πε0 r 2
שני כדורים מוליכים ,האחד בעל רדיוס R1 = Rוהשני בעל רדיוס R2 = 2Rנמצאים במרחק רב זה מזה )כך שאינם
משפיעים זה על זה( .כל אחד מהכדורים טעון במטען .qמחברים את הכדורים בעזרת חוט מוליך דק.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
29
R2
R1
מהו המטען על כל אחד מהכדורים לאחר זמן רב?
פתרון:
2
4
q1 = q ; q2 = q
3
3
3.1.13
כדור מוליך בעל רדיוס R1 = 0.1 mטעון במטען כולל .Q = 100 nCמסביב לכדור ישנה קליפה כדורית מוליכה
קונצנטרית בעלת רדיוס .R2 = 0.15 mנתון כי הקליפה מוארקת.
R1
R2
)א( מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב.
)ב( מצאו את השדה החשמלי בכל נקודה במרחב.
)ג( מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב.
)ד( משחררים ממנוחה מטען נקודתי q = −1 nCשמסתו kg
באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך?
m = 3.2 · 10−6בצמוד לחלק הפנימי של הקליפה.
פתרון:
.−Q = −100
)א( על שפת הכדור המוליך מטען
Q = 100 nC ועל הקליפה המוליכה מטען nC
r < R1
N
)ב(
C
R1 < r < R2
r > R2
3.1.14
0
900
= )) E(rג( V
r2
0
r < R1
R1 < r < R2
r > R2
3000
900
= )) ϕ(rד(
− 6000
r
0
m
s
v = 1.37
במערכת כדורית קונצנטרית ,מטען נקודתי Qנמצא במרכז .מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת
רדיוסים פנימי aוחיצוני .bהקליפה העבה מוארקת .מסביב לקליפה העבה ישנה קליפה דקה בעלת רדיוס cהטעונה
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
30
באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית .σ
σ
Q
c
a
b
)א( מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה?
)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?
פתרון:
r6a
Q
) σa = − 4πaב( V
)א( 2 ; σb = −σc
a6r6b
b6r6c
r>c
3.1.15
1 1
−
kQ
r
a
0
= )ϕ(r
b
4πkσc 1 −
r
) 4πkσc (c − b
r
חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען אחידה .ρ
פתרון:
4πρ2 R5
15ε0
=U
3.1.16
גליל אינסופי מבודד שרדיוסו R1 = Rטעון בצפיפות מטען נפחית ρ(r) = Arכאשר rהמרחק האנכי מציר הגליל.
הגליל מוקף בקליפה גלילית מוליכה קואקסיאלית )בעלות ציר משותף( שרדיוסה .R2 = 1.5Rנתון כי הקליפה
נייטרלית .נתון כי הפוטנציאל החשמלי במרחק r = 2Rשווה לאפס )זהו ה־ .(r ef
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
31
R1
R2
)א( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום במרחב )ביחס ל־ ?(r ef
)ב( מאריקים את הקליפה המוליכה .מהי צפיפות המטען עליה לאחר זמן רב?
)ג( מהי האנרגיה החשמלית של המערכת ליחידת אורך במצב של סעיף )ב(?
פתרון:
r6R
)א(
r>R
3.1.17
Ar 3
AR3
− 0.11
0.12
2
2 6
AR
πA R
U
ε0
ε0
) σ = −ג(
· = 0.572
= )) ϕ(rב(
3
L
9ε0
3
AR
r
−
ln
3ε0
2R
שדה אלקטרוסטטי ~ Eמקיים:
r<R
r>R
ˆ E0 r
~
=E
r
0
כאשר rהוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ E0ו־ Rקבועים חיוביים.
)א( מהו מערך המטענים שנמצא במרחב?
)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?
)ג( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת?
פתרון:
ε0 E0
ε E
)א( צפיפות מטען נפחית ρ(r) = 0 2 0בתחום r < Rוכן צפיפות מטען משטחית
r
r
0
r<R
r
)ב(
= )) ϕ(rג( U = 2πε0E0 R
−E0 ln
r>R
R
3.1.18
נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות:
A cos θ
r2
= )ϕ(r, θ
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
32
σ = −ברדיוס .r = R
כאשר Aקבוע כלשהו θ ,הזווית ביחס לציר zו־ rהמרחק מהראשית.
)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום במרחב?
)ב( מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב?
פתרון:
A sin θ
2A cos θ
· ˆ~ θ, φ) = r
) E(r,ב( דיפול חשמלי שנמצא על ציר .zאת הפוטנציאל הנתון יוצר דיפול
· ˆ+ θ
)א(
r3
r3
חשמלי כאשר המרחק בין המטענים הוא קטן מאד יחסית ל־ .r
3.1.19
נתון גליל מלא אינסופי בעל רדיוס Rשצפיפות המטען עליו ) ρ(rלא ידועה ,כאשר rהוא המרחק מציר הגליל.
נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא:
r≤R
r≥R
כאשר ϕ0הוא פוטנציאל כלשהו.
)א( מהו הקבוע ?C
)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?
)ג( מהי צפיפות המטען ,ρ(r) ,בכל מקום במרחב?
2
− ϕ0 r + C
R2
= )ϕ(r
ϕ0 ln r
R
פתרון:
)א( ) C = ϕ0ב(
r<R
r>R
3.1.20
2ϕ r
− 0
r<R
R2
~
)) E(rג(
· ˆ= r
ϕ
0
r>R
r
− 4ε0 ϕ0
R2
= )ρ(r
0
בקואורדינטות כדוריות נתון כי הפוטנציאל בתחום r < Rהוא
2
R
ϕ(r < R) = A r −
2
וכן שהשדה החשמלי בתחום r > Rהוא
ˆ~ > R) = B r
E(r
r2
כאשר Aו־ Bקבועים חיוביים.
)א( מהו הפוטנציאל בכל מקום?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
33
)ב( מהו השדה בכל מקום?
)ג( מצאו את היחס . BA
)ד( מצאו את התפלגות המטענים במרחב.
פתרון:
2
R
r<R
A r−
r<R
2
)א(
= )) ϕ(rב(
B
r>R
r>R
r
5ε AR
)ד( צפיפות מטען משטחית
σ = 0במיקום r = Rוכן צפיפות מטען נפחית
4
r>R
R
ˆr
−2A r −
B
R3
2
~
=
)) E(rג(
=
A
4
ˆ B r
r2
2ε0 (R − 3r) r < R
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
34
0
= )ρ(r
פרק 4
קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית
4.1
קיבול וחומרים דיאלקטרים
4.1.1
חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות .הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים ,ששטחם Aוהמרחק
ביניהם .dיש להניח כי ,A ≫ d2כלומר ניתן להתייחס ללוחות כאל אינסופיים .מעבירים מטען Qמהלוח התחתון
לעליון ,כך שהלוח העליון טעון במטען Qוהתחתון במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי
עם מקדם .εr
d
A
A
פתרון:
ε0 εr A
d
=C
4.1.2
חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי .הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות
בעלות רדיוסים R1ו־ ,R2ומעבירים מטען Qמהקליפה החיצונית לפנימית ,כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען Q
והחיצונית במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם .εr
R1
R2
35
פתרון:
4πε0 εr R1 R2
) (R2 − R1
=C
4.1.3
חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל גלילי )ליחידת אורך( .הניחו כי ישנן שתי קליפות גליליות בעלות
רדיוסים R1ו־ .R2יש להניח כי אורך הקליפות Lהרבה יותר גדול מהרדיוסים שלהן ,כך שניתן להתייחס אליהן
כאל אינסופיות .מעבירים מטען Qמהקליפה החיצונית לפנימית ,כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען Qוהחיצונית
במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם .εr
R1
R2
L
פתרון:
2πε0εr
C
=
L
) ln (R2 /R1
4.1.4
מהו הקיבול השקול של:
)א( שני קבלים המחוברים במקביל?
)ב( שני קבלים המחוברים בטור?
)ג( שלושה קבלים ,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?
)ד( שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט?
C1
C2
C2
C1
C1
C3
C2
C2
)א(
C1
C3
)ב(
)ג(
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
36
)ד(
פתרון:
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
CC
)א( ) Ctot = C1 + C2ב( ) Ctot = 1 2ג(
C1 + C2
C1 + C2
= ) Ctotד( Ctot = C1 + C2 + C3
4.1.5
קיבולו של קבל לוחות בריק הינו .C0ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ,εrבשני אופנים שונים,
כמשורטט .מהו הקיבול החדש בכל מקרה?
εr
εr
)ב(
)א(
פתרון:
2εr
1 + εr
= ) Ctotב( C0
)א( C0
1 + εr
2
= Ctot
4.1.6
קבל כדורי מורכב מרדיוס פנימי aורדיוס חיצוני .3aאל תוך הקבל מכניסים חומר דיאלקטרי בעל מקדם εrכך
שהוא ממלא רק את חלק מנפחו ,בשני אופנים שונים ,כמשורטט .מהו הקיבול החדש בכל מקרה?
εr
a
a
a
)א(
פתרון:
24πε0εr a
)א(
3 + εr
= ) Ctotב( Ctot = 3πε0 (1 + εr )a
4.1.7
קבל לוחות עשוי מלוח ריבועי ששטחו ,A = L × Lומרחק בין הלוחות .d
מטים את אחד הלוחות בזווית קטנה .θ ≃ sin θ ≃ tan θ
מהו קיבול הקבל?
x2
ניתן להשתמש בקירוב
2
ln (1 + x) ≃ x −
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
37
a
2a
)ב(
εr
θ
d
L
פתרון:
L
ε0 L2
1− θ
=C
d
2d
4.1.8
במעגל המופיע בשרטוט מחוברים שני קבלים C1ו־ C2ומקור מתח .V
)א( כאשר המפסק Sנמצא במצב השמאלי ,הקבל C1נטען .לאחר גמר הטעינה ,מה יהיה המתח עליו? המטען
עליו? והאנרגיה האגורה בו?
)ב( כאשר מעבירים את המפסק למצב הימני )לאחר ש־ C1נטען( חלק מהמטען יעבור לקבל .C2לאחר גמר המעבר,
מה יהיה המתח על כל אחד מהקבלים? המטען על כל אחד מהקבלים? והאנרגיה האגורה בכל אחד מהקבלים?
S
C2
C1
V
פתרון:
1
)א( V1 = V ; Q1 = C1 V ; U1 = C1 V 2
2
2
C1
C1
C1 C2
′
′
′
′
= V1 = V2
= V ; Q1
= V ; Q2
)ב( V
C1 + C2
C1 + C2
C1 + C2
1
1 C12 C2
C13
′
′
2
= U1
V
;
U
V2
=
2
2 (C1 + C2 )2
2 (C1 + C2 )2
4.1.9
שלוש קליפות כדוריות )דקות( מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים:
R1 = R ; R2 = 3R ; R3 = 5R
מחוברות לסוללה בת מתח ,Vבאופן הבא:
הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה ,והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי.
כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
38
V
)א( מהם המטענים על כל אחת מהקליפות?
)ב( מהו קיבול המערכת?
פתרון:
3V R
9V R
15V R
; q2 = −
= ; q3
)א(
2k
k
2k
= ) q1ב( C = 36πε0 R
4.1.10
שני קבלי לוחות זהים ,בעלי שטח Aומרחק בין לוחות dמחוברים כמתואר בשרטוט .כל אחד מהקבלים טעון
במטען זהה ) Qכלומר שלוח אחד של כל קבל טעון במטען חיובי והשני במטען שלילי( .מכניסים חומר עם מקדם
דיאלקטרי εrלתוך הקבל הימני ,כך שהוא ממלא את כל נפח הקבל.
εr
Q
Q
−Q
−Q
)א( מהו המטען על כל אחד מהקבלים זמן רב לאחר הכנסת הלוח?
)ב( מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי?
פתרון:
2εr
2
= Q ; q2
)א( Q
1 + εr
1 + εr
= ) q1ב(
1 − εr
1 + εr
Q2 d
ε0 A
= W
4.1.11
קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו A = 0.25 m2ומרחק בין לוחות d = 5 mmמחובר לסוללה בת מתח
.V = 250 Vמכניסים לתוך הקבל לוח עשוי סיליקון ) (εr = 12ששטחו Aועוביו .p = 2 mmבכמה משתנים
הקיבול ,המטען ,והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח ,ביחס למצב המקורי?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
39
פתרון:
∆C = 256.3 pF ; ∆Q = 65 nC ; ∆U = 8 µJ
4.1.12
נתון המעגל הבא ,ובו קבלים בעלי קיבול Cוקבלים בעלי קיבול כפול .2Cמקור המתח הוא בעל כא״מ .ε
C
2C
B
2C
C
ε
A
)א( מהם המטען והמתח על כל קבל?
)ב( מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות Aו־ ?B
פתרון:
1
)ב( VAB = − ε
6
4.1.13
קבל שלוחותיו עגולים בעלי רדיוס Rומרוחקים זה מזה מרחק dממולא בחומר דיאלקטרי התלוי במרחק rממרכז
3
המערכת εr = αr + 1 ,כאשר
.α = 2Rהקבל מחובר למקור מתח .V
R
d
מהי האנרגיה האגורה בקבל?
פתרון:
πε0 R2 V 2
d
=U
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
40
4.2התנגדות
4.2.1
מהו ההתנגדות השקולה של:
)א( שני נגדים המחוברים במקביל?
)ב( שני נגדים המחוברים בטור?
)ג( שלושה נגדים ,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?
)ד( שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט?
R1
R2
R2
R1
R1
R1
R3
R2
R2
R3
)ב(
)א(
)ג(
)ד(
פתרון:
R1 R2 R3
(R + R2 )R3
RR
) Rtot = 1ד(
)א( ) Rtot = 1 2ב( ) Rtot = R1 + R2ג(
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
R1 + R2 + R3
R1 + R2
= Rtot
4.2.2
נתון גליל בעל שטח חתך ,Aאורך Lומוליכות ,σ(x) = σ0 Lxכאשר xהמרחק מקצה הגליל.
)א( מהי התנגדות הגליל?
)ב( מה תהיה צפיפות הזרם בגליל אם נחבר את קצותיו להפרש פוטנציאלים ?V
)ג( מה יהיה השדה החשמלי במוליך כאשר יזרום בו זרם?
פתרון:
2σ0 V
L
2V
= ) jג( x
= ) Rב(
)א(
L
L
2σ0 A
= )E(x
4.2.3
קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי aוהחיצוני bעשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה .ρ0הדופן הפנימית של
הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל .V
)א( מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית?
)ב( מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה?
)ג( מצאו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק rממרכז הקליפה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
41
)ד( מהו השדה החשמלי השורר בקליפה?
)ה( מהו הספק החום הנוצר בקליפה?
פתרון:
ρ0 b − a
= ) Rב(
)א(
4π
ab
ab
4πV 2
)ה(
= P
ρ0
b−a
ab
b−a
4πV
= ) Iג(
ρ0
ab
b−a
V
) j(r) = 2ד(
ρ0 r
ab
b−a
V
E(r) = 2
r
4.2.4
נתון נגד בעל גיאומטריה קונית ,בעל רדיוס קטן ,aרדיוס גדול ,bוגובה .hבהנחה כי ההתנגדות הסגולית של
החומר היא ,ρמצאו את התנגדותו של הנגד.
כמו כן ,בדקו כי התוצאה מתארת נכון את המצב .a = b
b
h
a
פתרון:
h
πab
R=ρ
4.2.5
בין שני לוחות בעלי שטח חתך ריבועי a × aושהמרחק ביניהם ,dמצוי חומר דיאלקטרי בעל מוליכות שאינה קבועה
.σ
d
a
x
חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
42
y
0
)א( .σ = σ0 + βy
)ב( .σ = σ0 + βx
פתרון:
)א(
βa
)
2
1
d
βa
R = 2 ln 1 +
) R = 2ב(
aβ
σ0
a (σ0 +
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
43
4.3
מעגלי זרם ישר
4.3.1
נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד ,כמשורטט.
R
ε
)א( היכן יש לחבר מד מתח למעגל כדי למדוד את המתח החשמלי על הנגד? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד
המתח?
)ב( היכן יש לחבר מד זרם למעגל כדי למדוד את הזרם הזורם בו? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד הזרם?
פתרון:
)א( יש לחבר מד מתח במקביל לנגד .על התנגדות מד המתח להיות הרבה יותר גדולה מהתנגדותו של הנגד הנמדד.
)ב( יש לחבר מד זרם בטור למעגל .על התנגדות מד הזרם להיות הרבה יותר קטנה מהתנגדות הנגד.
4.3.2
נתון המעגל הבא:
R1
ε2
R1
R2
ε1
R1
ε2
נתונים.R1 = 1.7 Ω ; R2 = 3.5 Ω ; ε1 = 2.1 V ; ε2 = 6.3 V :
)א( מצאו את הזרם והמתח על כל נגד.
)ב( חשבו את הספק המעגל.
פתרון:
)ב( Ptot = 3.44 W
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
44
R1
4.3.3
נתון המעגל החשמלי הבא ,ובו נתונים הכא״מים ε1ו־ ε2וההתנגדויות R0ו־.R
ε1
ε2
R
R0
R0
מצאו עבור איזו התנגדות Rהספק החום המתבזבז על נגד זה הוא המקסימלי ,ואת ערכו של הספק זה .את הפתרונות
יש לספק בעזרת הנתונים ε2 ,ε1ו־ .R0
פתרון:
(ε1 + ε2 )2
R0
= ; Pmax
2
8R0
=R
4.3.4
נתון המעגל החשמלי הבא:
ε1 = 2 V ; ε2 = 3 V ; ε3 = 6 V
R1 = 20 Ω ; R2 = 7 Ω ; R3 = 12 Ω
ε3
R3
ε2
R2
R1
ε1
)א( חשבו את הזרם בכל ענף.
)ב( מהו ההספק על הנגד ?R1
פתרון:
)א( ) 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 Aב( PR1 = 0.095 W
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
45
4.4
מעגלי ) RCנגד וקבל(
4.4.1
נתון מעגל ) RCפריקה( .ברגע t = 0הקבל טעון במטען Q0ואז סוגרים את המפסק .S
S
C
R
)א( רשמו את משוואת המעגל.
)ב( מצאו את ) ,Q(tהמטען על הקבל כפונקציה של הזמן.
)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) ,
פתרון:
t
dQ Q
Q0 − t
) −Rב( ) Q(t) = Q0 e− RCג( e RC
)א( − = 0
RC
dt
C
= )I(t
4.4.2
קבל C1טעון במטען .Q0כאשר סוגרים את המפסק מתחבר קבל זה בטור לקבל C2ונגד .R
S
C2
C1
R
)א( רשמו את משוואת המעגל.
)ב( מצאו את ) ,Q1 (tהמטען על הקבל C1כפונקציה של הזמן.
)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) ,
)ד( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק ,וזמן רב לאחר סגירתו.
)ה( הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה.
פתרון:
1
1
C1
dQ1
C2
1
Q0
1
+ C1 t
−R
C1
2
= )Q1 (t
) −Rב(
Q0 +
Q0 e
+
Q1 +
)א( = 0
−
C1 + C2
C1 + C2
dt
C1 C2
C2
1
1
1
Q20
Q
Q2
)ג( ) I(t) = 0 e− R C1 + C2 tד(
= )∞ → U0 = 0 ; U(t
2C1
) 2(C1 + C2
RC1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
46
4.4.3
נתון מעגל ) RCטעינה( .ברגע t = 0הקבל אינו טעון ואז סוגרים את המפסק .S
S
C
R
V
)א( רשמו את משוואת המעגל.
)ב( מצאו את ) ,Q(tהמטען על הקבל כפונקציה של הזמן.
)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) ,
פתרון:
t
V − t
dQ Q
) Rב( ) Q(t) = CV 1 − e− RCג( e RC
)א( + − V = 0
R
dt
C
= )I(t
4.4.4
נתון המעגל הבא .ברגע t = 0המתח על הקבל הוא .V0מצאו את המתח על הקבל כפונקציה של הזמן!
R1
ε
R2
C
פתרון:
t
1
+ R1
R1
2
1
−C
+ V0 e
t
1
+ R1
R1
2
R2
−1
VC (t) = ε
1−e C
R1 + R2
4.4.5
סיליקון הוא בעל מקדם דיאלקטרי εr = 12והתנגדות סגולית ,ρ = 2.5 · 103 Ω · mבטמפרטורת החדר .ממלאים
בסיליקון קבל לוחות בעל מימדים ששטח לוחותיו A = 0.25 m2ומרחק בין לוחות .d = 0.2 mm
)א( מצאו את הקיבול ,ההתנגדות ,וזמן הפריקה האופייני של הקבל.
)ב( הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
47
פתרון:
)א( C = 132.81 nF ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 ns
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
48
פרק 5
השדה המגנטי
5.1
כח ומומנט כח בשדה מגנטי
5.1.1
פרוטון ) (mp = 1.67 · 10−27 kg ; qp = |e| = 1.6 · 10−19 cבעל אנרגיה קינטית Ek = 5.3 MeVנע בזווית ◦30
ביחס לציר .xבאיזור שורר שדה מגנטי אחיד שגודלו B = 1.2 Tוכיוונו ציר .y
מהו הכח שפועל על הפרוטון?
פתרון:
F = 5.3 · 10−12 Nבכיוון ציר .z
5.1.2
חלקיקים זהים בעלי מטען q > 0ומסה mנכנסים במהירות v0בדיוק במרכז בין שני לוחות קבל שהמרחק ביניהם
.d
v0
d
L
)א( מהו שדה חשמלי אחיד ~) Eללא שדה מגנטי ~ (Bשיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח העליון במרחק
אופקי ?L
)ב( מהו שדה מגנטי אחיד ~) Bללא שדה חשמלי ~ (Eשיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח התחתון במרחק
אופקי ?L
)ג( מפעילים יחדיו את שני השדות שמצאתם בסעיפים הקודמים .האם החלקיקים יתחילו לסטות לכיוון מסוים? אם
כן ,באיזה לוח הם יפגעו במידה והלוחות ארוכים מספיק?
49
פתרון:
mdv02
4mdv0
)ב(
מעלה.
בכיוון
E
=
)א(
) q(4L2 + d2
qL2
= Bבכיוון החוצה מהדף) .ג( כן ,הם יסטו כלפי מעלה ויפגעו
בלוח העליון.
5.1.3
חלקיק בעל מטען q = 1.6 · 10−19 cמואץ בהפרש פוטנציאלים .V = 800 Vבתום שלב ההאצה הוא נכנס
לתוך ספקטרוגרף מסות ,בו שורר שדה מגנטי אחיד ומאונך )פנימה לדף( ,B = 0.2 Tונתון כי הוא פוגע בשפת
הספקטרוגרף במרחק .D = 2.76 m
D
V
מהי מסתו של החלקיק?
פתרון:
m = 7.62 · 10−24 kg
5.1.4
אלקטרון ) (me = 9.11 · 10−31 kg ; qe = e = −1.6 · 10−19 cנע בהשפעת שדה מגנטי B~ = 0.5ˆi Tושדה חשמלי
.E~ = −3 · 104ˆi mVברגע t = 0לאלקטרון יש מהירות .~v0 = (1.5 · 105 , 0, 2 · 105 ) m/s
)א( תארו את מסלולו של האלקטרון ומצאו את T־ זמן מחזור התנועה המעגלית.
T
)ב( מצאו את המרחק שעובר האלקטרון לאורך ציר xמרגע ההתחלה ועד לרגע .t = 2
פתרון:
)א( ) T = 71.5 psב( ∆x = 8.73 µm
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
50
5.1.5
קשת מעגלית הנשענת על זווית θנושאת זרם Iעם כיוון השעון .רדיוסה של הקשת הוא .Rבאיזור שורר שדה
מגנטי אחיד הניצב למישור הדף ) B~ = (0, 0, B0כאשר B0קבוע חיובי כלשהו.
y
I
x
θ
מהו הכח הפועל על הקשת?
פתרון:
F~ = IB0 R(− sin θ, cos θ − 1, 0) N
5.1.6
בקשת מעגלית שרדיוסה Rהוחלף חלק הנשען על זווית αבמיתר .הקשת נושאת זרם Iנגד כיוון השעון .באיזור
~
) B(rכאשר B0קבוע כלשהו ו־ rהמרחק ממרכז הקשת ϕˆ .הוא הכיוון המשיקי.
שורר שדה מגנטי ˆ= B0 Rr ϕ
y
x
α
מהו הכח הפועל על הקשת?
I
פתרון:
F =0
5.1.7
מסדרת זרם מלבנית בעלת גיאומטריה a = 0.3 m ; b = 0.4 mנושאת זרם I = 3 Aעם כיוון השעון .המסגרת
נמצאת באיזור ובו שדה מגנטי לא אחיד .B~ = (0, 0, −2xy 2) T
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
51
y
I
a
x
b
מצאו את הכח על המסגרת!
פתרון:
F~ = (0.0216, 0.0432, 0) N
5.1.8
נתון תיל המורכב מחצי קשת מעגלית בעלת רדיוס Rוחלק ישר )לאורך הקוטר( .התיל מונח כך שחלקו הישר על
ציר ה־ xומרכז הקשת המעגלית בראשית .בתיל זורם זרם Iעם כיוון השעון .באיזור שורר שדה מגנטי שאינו אחיד
B~ = (0, 0, 6r2) Tבמערכת הצירים הנתונה ,כאשר rהמרחק מהראשית.
y
x
I
מהו הכח על התיל?
פתרון:
F~ = 8IR3ˆj
5.1.9
שדה מגנטי שגודלו B = 0.05 Tשורר במרחב בכיוון החיובי של ציר ה־ .xזרם של 50 Aזורם בתיל בעל צורה
מלבנית שקודקודיו בנקודות ) .A = (1, 1, 1) ; B = (1, 1, −1) ; C = (−1, −1, 1) ; D = (−1, −1, −1כיוון
הזרם הוא מ־ Aל־ .B
)א( חשבו את המומנט המגנטי של התיל המלבני.
)ב( חשבו את הכח ואת מומנט הכח שפועלים על התיל המלבני.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
52
פתרון:
) µב( ~τ = (0, 0, −10) N · m
)א( ~ = (−200, 200, 0) A · m2
F~ = 0
;
5.1.10
נתונה טבעת נושאת זרם Iשרדיוסה .Rהטבעת שוכבת על מישור .xyמכופפים את הטבעת לאורך הקוטר ששוכב
על ציר ה־ xכך שנוצרת בין שני חצאיה זווית .αנתון שדה מגנטי אחיד שגודלו Bוכיוונו ציר .z
מבט מהצד
מבט בזווית
z
z
y
y
I
α
I
x
)א( מהו הכח ומהו מומנט הכח הפועלים על הטבעת?
)ב( כיצד יש לכוון את הטבעת כדי שתימצא בשווי משקל?
פתרון:
πR2
)א( sin α ˆi N · m
~τ = −IB
2
;
F~ = 0
5.1.11
טבעת עגולה בעלת שטח A = 4.45 cm2נושאת זרם .I = 5 Aהטבעת חופשיה להסתובב סביב קוטרה .ברגע t = 0
המומנט המגנטי של הטבעת נתון בביטוי ) ~µ = µ0 (−0.8ˆi + 0.6ˆjכאשר µ0הוא גודלו של המומנט המגנטי .ברגע
זה מפעילים שדה מגנטי ˆ T
) .B~ = 1.4 · 10−3 (ˆi + 2ˆj − 3kכתוצאה מכך הטבעת מסתובבת ,כך שלאחר שהסתובבה
ב־ ◦ 90המומנט המגנטי שלה הוא ˆ.~µ = −µ0 k
חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית.
פתרון:
∆U = −8.1 · 10−6 J
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
53
5.2חוק ביו־סבר
5.2.1
קשת מעגלית הנשענת על זווית θנושאת זרם Iנגד כיוון השעון .רדיוס הקשת הוא .R
y
I
θ
x
מהו השדה המגנטי במרכז הקשת?
פתרון:
µ0 I
θ
4πR
=B
5.2.2
בקשת מעגלית שרדיוסה Rהוחלף חלק הנשען על זווית αבמיתר .הקשת נושאת זרם Iנגד כיוון השעון.
y
x
α
מהו השדה המגנטי בראשית )מרכז הקשת המעגלית(?
פתרון:
µ0 I
)(2π − α + 2 tan α
4πR
=B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
54
I
5.2.3
ארבעה תיילים אינסופיים נושאים זרם Iומקופלים בצורות הבאות:
R
a
•
P
I
I
R
•
P
)א(
מהו השדה המגנטי בנקודה Pבכל אחד מהמקרים?
I
)ב(
R
◦P • 45
•
P
I
)ד(
)ג(
פתרון:
√
µ0 I
µI
µ0 I
µ0 I
= ) Bד( )(2 + 5π/4 − 2
= ) Bג( )(2 + π
)א( ) B = 0ב(
4πR
4πR
8R
4πR
=B
5.2.4
טבעת בעלת רדיוס Rטעונה במטען Qהמפולג לאורכה באופן אחיד .הטבעת מסתובבת סביב מרכזה בתדירות .f
)א( מצאו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה.
)ב( בדקו כי השדה שמצאתם מקיים את חוק אמפר.
פתרון:
ˆ µ0 Qf R2
)א( k
2(R2 + z 2 )3/2
= ~
B
5.2.5
תיל אינסופי שוכב על ציר ה־ xונושא זרם .I1 = 1.3 Aתיל נוסף ,שאורכו סופי ,נושא זרם I2 = 0.6 Aכמשורטט.
y
0.4 m
0.4 m
◦45
x
0.3m
I1
מהו הכח שפועל על התיל נושא זרם ?I2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
55
I2
פתרון:
F~ = (−1.32 · 10−7 , −3.4 · 10−7 ) N
5.2.6
נתונה דיסקה בעלת רדיוס Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית לא אחידה ,σ(r) = σ0 Rrכאשר rהמרחק ממרכזה.
מסובבים את הדיסקה במהירות זוויתית קבועה ωסביב הציר האנכי־מרכזי שלה )ציר .(z
z
ω
R
)א( חשבו את השדה המגנטי במרכז הדיסקה.
)ב( חשבו את המומנט המגנטי של הדיסקה.
)ג( נתון כי במרחב פועל שדה מגנטי חיצוני ) .B~ = B0 (ˆi − ˆjמהו מומנט הכח הפועל על הדיסקה?
פתרון:
ˆ πσ0 ωR4 B0
ˆ πσ0 ωR4
)א( ˆ~ = µ0 σ0 ωR k
= ) ~µג( k
) Bב( k
5
5
4
= ~τ
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
56
5.3חוק אמפר
5.3.1
בגליל אינסופי שרדיוסו Rזורם זרם Iלאורכו .התפלגות הזרם אינה אחידה כך שצפיפות הזרם תלויה במרחק r
מציר הגליל באופן הבא.j(r) = j0 Rr :
מצאו את השדה המגנטי בכל נקודה במרחב.
פתרון:
µ j r2
0 0
r≤R
3R
= )B(r
µ j R2
0 0
r≥R
3r
5.3.2
בגליל חלול וארוך מאד בעל רדיוס פנימי aוחיצוני bזורם זרם בצורה היקפית ,עם כיוון השעון .צפיפות הזרם
אינה אחידה ותלויה במרחק rמציר הגליל באופן הבא ˆ ,~j(r) = αr2 ϕכאשר αקבוע כלשהו.
a
b
)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הקבוע ?α
)ב( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?
פתרון:
b3 − a3
µ
α
r≤a
0
3
A
b3 − r 3
= )B(r
)ב(
][α
=
)א(
4
a≤r≤b
µ0 α
m
3
0
b≤r
5.3.3
נתון סליל ארוך מאד ,בעל רדיוס .Rצפיפות הליפופים של הסליל היא 5000ליפופים למטר .חשבו את השדה
המגנטי בכל נקודה בסליל ,אם נתון כי זורם בו זרם .I = 30 mA
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
57
R
פתרון:
B = 1.885 · 10−4 T
5.3.4
טורוס הוא טבעת עבה עם חתך מעגלי )צורה של בייגלה( .על טורוס בעל רדיוס פנימי aורדיוס חיצוני bמלפפים
חוט מוליך Nפעמים כך שצפיפות הליפופים קבועה.
a
b
מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב ,אם נתון כי מזרימים זרם Iבחוט המוליך?
פתרון:
r≤a
a≤r≤b
b≤r
5.3.5
0
µ0 NI
= )B(r
2πr
0
נתון גליל אינסופי בעל רדיוס aובתוכו קדח גלילי אינסופי בעל רדיוס .bמרכז הקדח נמצא במרחק dממרכז הגליל.
נתון כי לאורך הגליל זורם זרם Iבצפיפות אחידה .השרטוט מתאר מבט מלמעלה על המערכת.
d
b
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
58
a
מהו השדה המגנטי בכל נקודה בקדח הגלילי?
פתרון:
µ0 Id
ˆ(−
)ˆr × z
} 2π(a2 − b2 ) | {z
= ~
B
ϕ
ˆ
5.3.6
פס מבודד דק ,שאורכו Lגדול מאד ורוחבו ,aטעון בצפיפות מטען אחידה .σהפס נמצא על מישור z = 0כך
שאחת מצלעותיו מתלכדת עם ציר .yהפס נע במהירות קבועה vבכיוון ˆ) yאורכו כה גדול כך שניתן להתייחס אליו
כאל אינסופי(.
z
y
σ
a
L
x
)א( חשבו את וקטור השדה החשמלי לאורך ציר .z
)ב( מהו הזרם ?I
לאורך ציר .z
)ג( חשבו את וקטור השדה המגנטי
∞ Z
)ד( חשבו את האינטגרל ~ · d~ℓ
לאורך ציר .zהסבירו את התוצאה שהתקבלה!
B
∞−
ניתן להשתמש בפתרון האינטגרלים הבאים:
a2
ln 1 + 2 dx = 2πa
x
∞−
∞
Z
1
xdx
=
; ) ln (1 + x2
1 + x2
2
Z
dx
; )= tan−1 (x
1 + x2
פתרון:
σ
1
a2
−1 a
~
= ) Eב( I = σva
− ln 1 + 2 , 0, tan
)א(
2πε0
2
z
z
∞ Z
a 1
2
µ
σv
a
µ
σva
0
0
−1
= ~ · d~ℓ
tan
, 0, ln 1 + 2
= ~) Bד(
)ג(
B
2
2π
z
2
z
∞−
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
59
Z
5.3.7
שני לוחות קבל עגולים בעלי רדיוס Rנמצאים במרחק dזה מזה )הניחו .(d ≪ Rהקבל נטען בקצב אחיד כך
שהמטען עליו תלוי בזמן באופן ) Q(t) = αtהלוח העליון בעל המטען החיובי(.
R
d
מצאו את השדות החשמלי והמגנטי בין לוחות הקבל!
פתרון:
µ0 α
r
2πR2
= )B(r
αt
;
πR2 ε0
=E
5.3.8
שני מישורים אינסופיים מקבילים למישור .xzהמישורים הם y = aו־ .y = −aבמישור הראשון יש צפיפות זרם
ליחידת אורך ˆ ~k = k0 zובמישור השני יש צפיפות זרם ליחידת אורך ˆ.~k = −k0 z
z
~k
y
~k
x
)א( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?
)ב( מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל מקום במרחב?
פתרון:
ˆ B~ = µ0 k0 xבין המישורים .מחוץ למישורים השדה הוא אפס.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
60
פרק 6
השראה אלקטרומגנטית
6.1חוק פאראדיי־לנץ
6.1.1
מוט מוליך באורך L = 0.2 mמונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״ ,כמשורטט .למסילה מחובר נגד בעל התנגדות
.R = 10 Ωבאיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו .B = 10 mTמושכים את המוט ימינה כך שהוא
נע במהירות קבועה .v = 2 m/s
L
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
v
·
·
·
·
·
·
·
·
R
·
·
·
·
·
·
·
·
)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל ברגע ?t = 4 s
)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?
)ג( ברגע מסוים מפסיקים להפעיל את הכח המניע .מהו הזרם המושרה במעגל מרגע זה ואילך?
פתרון:
BLv − B2 L2 t
)א( Iind = 4 · 10−4 Aעם כיוון השעון) .ב( ) Find = 8 · 10−7 Nג( e mR
R
= Iindכאשר mמסת המוט.
6.1.2
טבעת מוליכה בעלת רדיוס b = 50 cmנושאת זרם חילופין ) I(t) = 100 sin (2t)Aכאשר הכיוון עם השעון נחשב
לחיובי( .במרכז הטבעת נמצא סליל שטוח בעל 20ליפופים שהתנגדותו הכללית היא .R = 10−3 Ωרדיוס הסליל
.a = 0.1 cm
61
⋆ ניתן להתייחס למקרה a ≪ bכך שהשדה המגנטי בכל נקודה בסליל שווה בקירוב טוב לשדה במרכזו.
)I(t
מהו הזרם המושרה )גודל וכיוון( בסליל ברגע ?t = 1 s
פתרון:
Iind = 6.66 · 10−7 Aעם כיוון השעון.
6.1.3
לכריכה מעגלית בעלת Nליפופים ושהתנגדותה Rיש שטח חתך .Sהכריכה נמצאת בשדה מגנטי .Bהמאונך
למישור בו היא נמצאת .מסובבים את הכריכה בזווית θסביב קוטרה.
כמה מטען זרם בכריכה במהלך התהליך?
פתרון:
NBS
)(1 − cos θ
R
=q
6.1.4
חוט מוליך מגולגל על טורוס בעל חתך מלבני כך שמספר הכריכות הוא .Nרדיוסו הפנימי של הטורוס הוא ,aרדיוסו
החיצוני ,bוגובהו .hמזרימים זרם ) I(t) = I0 sin (ωtבחוט המוליך .כמו כן נתון כי טבעת מוליכה שהתנגדותה R
עוטפת את הטורוס.
h
a
)א( מהו השדה המגנטי בטורוס?
)ב( מהו גודלו של הזרם המושרה בטבעת?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
62
b
פתרון:
µ0 NI0
µ0 NI0 hω
= )) B(a ≤ r ≤ bב( )cos (ωt
)א( )sin (ωt
2πR
2πr
= Iind
6.1.5
בתיל אינסופי זורם זרם משתנה .I(t) = 10t Aבמרחק a = 0.2 mנמצאת כריכה מרובעת בעלת
50ליפופים שהתנגדותה הכוללת .R = 10 Ωצלע הכריכה היא .b = 0.15 mמניעים את הכריכה ימינה במהירות
קבועה .v = 0.3 m/s
a
v
I
b
)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה בכריכה ברגע ?t = 1 s
)ב( מהו הכח שיש להשקיע בכדי להניע את הכריכה במהירות הנתונה?
פתרון:
)א( Iind = 1.86 · 10−7 Aנגד כיוון השעון) .ב( למשל ברגע t = 1 sהכח שיש להשקיע הוא F = 2.57 · 10−14 N
במגמה שמאלה.
6.1.6
טבעת מוליכה בעלת רדיוס aנמצאת על מישור x − yונושאת זרם משתנה I(t) = αt2כמשורטט .בגובה dמעליה
נמצא מרכזה של טבעת נוספת ,בעלת רדיוס ,bאשר הציר האנכי־מרכזי שלה מוטה בזווית θביחס לציר .zטבעת
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
63
זו עשויה חומר בעל התנגדות ליחידת אורך .rנתון כי a ≫ bוכן .d ≫ a, b
z
θ
b
d
a
)I(t
)א( מהו הזרם המושרה בטבעת בעלת רדיוס ?b
)ב( מהו מומנט הכח הפועל על הטבעת בעלת הרדיוס ?b
פתרון:
µ0 αa2 b2 cos θ
πµ20 α2 a4 b3 sin 2θ
t
)ב(
I
=
)א( t
ind
8d6 r
2bd3 r
= τבכיוון פנימה.
6.1.7
מוט מוליך באורך Lמונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״ ,כמשורטט .למסילה מחובר נגד בעל התנגדות Rוקבל
בעל קיבול .Cבאיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו .Bמושכים את המוט ימינה כך שהוא נע
במהירות קבועה .v
L
)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל בכל רגע?
)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?
פתרון:
B 2 L2 v −t/RC
BLv −t/RC
e
עם כיוון השעון) .ב(
e
)א(
R
R
במגמה ימינה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
64
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· · R
·
·
·
·
·
·
v
·
·
C
·
·
6.1.8
מוט מוליך בעל אורך Lוהתנגדות Rנע על מסילה אנכית מוליכה שהתנגדותה זניחה )יש גרביטציה( .באיזור שורר
שדה מגנטי אחיד שכיוונו מאונך למסילה )פנימה לדף( .ברגע t = 0משחררים את המוט ממנוחה.
L
g
~
B
)א( מצאו את המהירות של המוט בכל רגע? לאיזו מהירות יגיע הגוף לאחר זמן ארוך מאד?
)ב( בנקודה כלשהי במסילה מחברים מקור מתח ,והמוט מתחיל לנוע כלפי מעלה כך שלאחר זמן ארוך מספיק
מהירותו מתייצבת על ערך קבוע .uשרטטו את אופן החיבור של מקור המתח ומצאו את גודלו.
)ג( הראו כי מתקיים בבעיה חוק שימור האנרגיה ,ע״י השוואת ההספקים המכני והחשמלי.
פתרון:
B 2 L2
mgR
mgR
mgR
)א( v(t) = 2 2 1 − e− mR tומכאן שמהירותו הסופית ) v(t → ∞) = 2 2ב( + BLu
BL
B L
B L
= V
6.1.9
תיל מוליך )בעל התנגדות זניחה( שצורתו פרבולה ) (y = Cx2מונח על שולחן אופקי חסר חיכוך .באיזור שורר
שדה מגנטי אחיד שגודלו Bוכיוונו אנכית מעלה )בציור החוצה מהדף( .מוט מוליך דק וארוך מאד ,בעל התנגדות
ליחידת אורך ,λנמצא במנוחה לאורך ציר .xברגע t = 0מתחיל לפעול על המוט כח ) F (tשכיוונו ˆ yכך שהוא
נמשך במהירות קבועה .v
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
65
y
)F (t
x
)א( מצאו את השטף המגנטי דרך שטח המעגל המורכב מחלק המוט )בין שתי נקודות המגע שלו עם הפרבולה( וחלק
הפרבולה )בין שתי נקודות המגע שלה עם המוט( כפונקציה של הזמן!
)ב( מהו הכא״מ המושרה במעגל?
)ג( מהו הזרם המושרה במעגל )גודל וכיוון(?
)ד( מהו הכח ) F (tהדרוש כדי להניע את המוט במהירות קבועה?
פתרון:
√ 2Bv 3/2
Bv
4Bv 3/2
√ 2B 2 v 3/2
√
= ) Iindד( t
)א( ) φB = √ t3/2ב( t
√ = ) εג(
λ
λ C
C
3 C
= )F (t
6.1.10
גליל אינסופי שרדיוסו Rטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה .ρמסובבים את הגליל במהירות זוויתית קבועה ω
סביב צירו.
ω
R
V
)א( חשבו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק מציר הגליל.J(r) ,
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
66
N
)ב( חשבו את השדה המגנטי בכל מקום במרחב כפונקציה של המרחק ממציר הגליל.B(r) ,
)ג( מלפפים סביב הגליל סליל בעל Nליפופים ,ומחברים את קצותיו למד מתח .מה תהיה קריאת מד המתח אם
מרגע מסוים ) (t = 0פועלת תאוטה זוויתית קבועה )תאוצה זוויתית שלילית( שגודלה ?α
פתרון:
)א( ) J(r) = ρωrב(
r≤R
r≥R
( µ0 ρω
R2 − r 2
2
0
πNµ0 ραR4
=ε
= )) B(rג(
4
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il
כתב ופתר ־ אייל לוי
67
