LECCIONES DE Â´ALGEBRA LINEAL Libro de trabajo para

Transcription

LECCIONES DE
´
ALGEBRA
LINEAL
Libro de trabajo para
estudiantes y gu´ıa did´
actica
del docente
Vivian Libeth Uzuriaga L´
opez
Alejandro Mart´ınez Acosta
´
GRUPO DE INVESTIGACION
EMEMATIC
I
z II
IV
n
Pl a
Pl a
z
ox
no
II
yz
I
la
y
no
xy
II
P
x
VI
VI
V
Universidad Tecnol´
ogica de Pereira
Facultad de Ciencias B´
asicas
Departamento de Matem´
aticas
´
LECCIONES DE ALGEBRA
LINEAL. Libro de trabajo para estudiantes y
gu´ıa didáctica del docente
c Vivian Libeth Uzuriaga López. Autor
Profesora titular
Universidad Tecnológica de Pereira
c Alejandro Mart´ınez Acosta. Autor
Profesor asociado
Universidad Tecnológica de Pereira
Grupo de investigación EMEMATIC1
Primera edición, Pereira - Risaralda. Agosto de 2010
ISBN 978-958-44-7196-3
Portada: Alejandro Mart´ınez Acosta
Dise˜
no y diagramación: los autores
Digitación y elaboración de dibujos: los autores
Impreso y hecho en Colombia
Impreso por Postergraph S.A.-Cra. 9 No. 7-03 Bodega 1 La Badea - Dosquebradas
Derechos reservados.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización escrita del titular
de los derechos.
1
“Estudios metodol´
ogicos para la ense˜
nanza de las matemáticas y el uso de las nuevas
tecnolog´ıas”.
Contenido
Presentaci´
on
v
1. Sistemas de ecuaciones lineales
1
1.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Lecciones de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1. Lección 1. La l´ınea recta . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2. Lección 2. Sistemas 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3. Lección 3. Sistemas m × n . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Lección 4. Matriz asociada. Métodos de solución . . . . 13
2. Vectores, rectas y planos
21
2.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Lecciones de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Lección 1. Vectores en el plano
. . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Lección 2. Operaciones con vectores en R2 . . . . . . . 32
2.2.3. Lección 3. Producto escalar en R2 . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4. Lección 4. Vectores en R3 y Rn . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5. Lección 5. Operaciones con vectores en R3 y Rn . . . . 41
2.2.6. Lección 6. Producto escalar en R3 y Rn . . . . . . . . . 44
i
Contenido
2.2.7. Lección 7. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . 46
2.2.8. Lección 8. Rectas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . 49
3. Matrices
53
3.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1. Lección 1. Definición, operaciones y propiedades . . . . 56
3.2.2. Lección 2. Producto y propiedades . . . . . . . . . . . 60
3.2.3. Lección 3. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . 61
4. Determinantes
65
4.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1. Lección 1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . 67
4.2.2. Lección 2. Propiedades (continuación). Relación determinante e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Espacios vectoriales reales
75
5.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1. Lección 1. Definición. Subespacios . . . . . . . . . . . . 78
5.2.2. Lección 2. Combinación lineal, independencia y
dependencia lineal, espacio generado . . . . . . . . . . 81
5.2.3. Lección
3.
Bases
y
dimensión.
Espacios
fundamentales de una matriz . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.4. Lección 4. Vector de coordenadas, cambio de base, bases ortonormales y proyecciones en Rn . . . . . . . . . 90
6. Transformaciones lineales
95
6.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
ii
Contenido
6.2.1. Lección 1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . 98
6.2.2. Lección 2. N´
ucleo e imagen. Representación
matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7. Valores y vectores propios
107
7.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.1. Lección 1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.2. Lección 2. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.3. Lección 3. Diagonalización ortogonal . . . . . . . . . . 113
7.2.4. Lección 4. Formas cuadráticas y secciones cónicas . . . 115
A. Ejemplos de ex´
amenes
121
A.1. Primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2. Segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.3. Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.4. Examen Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Referencias
128
iii
´
PRESENTACION
Este libro es resultado de experiencias de aula realizadas con estudiantes de
ingenier´ıa y tecnolog´ıa de la Universidad Tecnológica de Pereira durante 7
semestres académicos entre 2007 y 2010, en el desarrollo de los proyectos de
investigación: diagnóstico de algunas causas que obstaculizan el aprendizaje
del álgebra lineal y estudios metodológicos para contribuir a mejorar el
proceso de ense˜
nanza-aprendizaje del álgebra lineal, incorporando las nuevas tecnolog´ıas de la información y las comunicaciones, propuestos por el
grupo “Estudios Metodol´
ogicos para la Ense˜
nanza de la Matem´
atica y el uso de las Nuevas Tecnolog´ıas, EMEMATIC”.
La estructura del libro fue lo que llevó a su denominación “Lecciones de
´
algebra lineal. Libro de trabajo para estudiantes y gu´ıa did´
actica
del docente”, porque responde a las necesidades, inquietudes y requerimientos de cada uno. La manera como está presentado le ayuda al estudiante a
subsanar las falencias más frecuentes tales como la apat´ıa, la poca lectura,
falta de motivación y compromiso con su aprendizaje, que son algunas de las
causa que impiden aprender los conceptos básicos del álgebra lineal.
Para el docente, el texto se convierte en una gu´ıa de trabajo ya que la forma de organización y presentación del contenido le brindan la posibilidad
de crear ambientes que contribuyan o favorezcan el desarrollo integral de los
estudiantes, generando espacios en donde se fomenta el esp´ıritu cr´ıtico, autorreflexivo y se promueva el trabajo individual, colaborativo, cooperativo
v
Presentaci´
on
y en equipo; posibilitando al alumno salir de la pasividad que caracteriza a
un estudiante en una metodolog´ıa tradicional. Además, la estructuración del
libro por lecciones de clase permite el desarrollo de los temas de un primer
curso de álgebra lineal para estudiantes de ingenier´ıa y tecnolog´ıa en un semestre académico, lo cual lo convierte en otra fortaleza y lo diferencia de
otros similares.
La metodolog´ıa, que se concreta en la forma como está escrito y presentado
el libro, es uno de los aspectos que lo diferencia de otros textos y está
fundamentada teóricamente en el aprendizaje desarrollador. Las actividades
que se proponen promueven en el alumno el tránsito progresivo de la
dependencia a la independencia y autorregulación y lo llevan paulatinamente
a iniciarse en peque˜
nas investigaciones.
El contenido teórico del libro es el clásico para un primer curso de álgebra
lineal para estudiantes de ingenier´ıas y tecnolog´ıas, la diferencia radica en
la forma sistémica como se presentan, desarrollan y relacionan los temas,
los cuales se muestran de manera progresiva y entrelazada, permitiendo al
estudiante avanzar en el conocimiento e integrarlo para hacer de él un todo,
posibilitándole la solución exitosa de muchos problemas en el desarrollo de
su carrera y posteriormente en su actividad profesional.
Para la organización del contenido se tuvo en cuenta la célula generadora
a partir del concepto de combinación lineal, el cual se desarrolla desde el
segundo cap´ıtulo. Aunque el álgebra lineal se fundamenta esencialmente en
la teor´ıa de los espacios vectoriales, las transformaciones lineales y los valores
y vectores propios, el texto inicia con sistemas de ecuaciones lineales porque
permite al estudiante continuar el desarrollo de sus conocimientos a partir
de lo visto y aprendido en sus cursos previos, a la vez que posibilita ver su
utilidad, as´ı como establecer una continuidad con lo que estudió en sus a˜
nos
de colegio, logrando que los estudiantes vayan cambiando su actitud frente
a la matemática, llevándolo gradualmente a perderle el miedo y la fobia, en
particular al álgebra lineal.
El libro facilita al estudiante la apropiación de uno de los conceptos más absvi
Presentaci´
on
tractos del curso, espacios vectoriales, de manera natural y rigurosa. Se inicia
con espacios vectoriales conocidos y trabajados por ellos en otras asignaturas,
por ejemplo en f´ısica, cuando usan vectores. Posteriormente, se hace la teorización de estos objetos matemáticos como espacios vectoriales y finalmente
se desarrollan los temas transformaciones lineales y valores y vectores propios.
El libro está distribuido en siete cap´ıtulos y un apéndice. Cada cap´ıtulo
contiene talleres pre-clase y lecciones de clase. El contenido se desarrolla
completamente en un semestre académico de 16 semanas con una intensidad
de 4 horas semanales, lo cual es otra diferencia con textos similares.
Los talleres pre-clase aparecen al inicio de cada cap´ıtulo con el propósito
de que el alumno realice una lectura previa de los ejercicios propuestos, se
familiarice con ellos y esté atento al desarrollo de los conceptos del cap´ıtulo
a través de las lecciones de clase, para identificar la teor´ıa que le permitirá la
solución de estos.
Los talleres constan de 5 secciones:
• Ejercicios que requieren de conceptos desarrollados en las lecciones de
clase para su modelación.
• Solución, generalización, clasificación o particularización.
• Preguntas para decidir su valor de verdad, con las cuales se verifican
los conceptos vistos, se construyen ejemplos y contraejemplos, se
familiarizan con leyes, propiedades y regularidades del tema de cada
cap´ıtulo.
• Ejercicios de tipo algor´ıtmico
• Aplicaciones en la vida cotidiana o en el contexto matemático.
Las lecciones de clase, estructuradas para una sesión de dos horas cada una,
contienen definiciones, ejemplos, ejercicios, leyes y propiedades que permiten
el desarrollo de los temas de cada cap´ıtulo. Además, contienen espacios en
vii
Presentaci´
on
blanco cuyo propósito es que los estudiantes los completen en la medida
en que se desarrolla la lección; esto con el fin de motivar al alumno a leer,
escribir, construir sus propios ejemplos, contraejemplos, argumentar y debatir, lo que caracteriza que el texto es de trabajo y no de simple consulta.
La manera como se presentan las lecciones, permiten al estudiante avanzar a
su propio ritmo y desarrollarlas de acuerdo a sus conocimientos, habilidades
y competencias.
Los contenidos se distribuyen en cap´ıtulos como se describe a continuación:
El cap´ıtulo 1, sistemas de ecuaciones lineales, proporciona al alumno las
herramientas necesarias para el desarrollo de los cap´ıtulos posteriores.
En los cap´ıtulos 2 y 3, vectores, rectas, planos y matrices, se desarrolla la
estructura de espacio vectorial en conjuntos particulares tales como vectores
y matrices.
En el cap´ıtulo 4, determinantes, se da su definición y se ilustran con ejemplos sus propiedades las cuales serán usadas más adelante en valores y vectores propios.
El cap´ıtulo 5, espacios vectoriales, generaliza el concepto de espacio
vectorial, su estructura, propiedades, leyes y regularidades, el cual es uno
de los temas centrales del curso.
En los cap´ıtulos siguientes 6 y 7, transformaciones lineales y valores y
vectores propios, se estudian conceptos fundamentales para la formación
de los ingenieros y tecnólogos.
En el apéndice A se incluyen ejemplos de exámenes realizados en semestres
anteriores para cada una de las notas parciales y el examen final, los cuales permitirán a los estudiantes autoevaluarse y familiarizarse con el tipo de
preguntas que realizan.
Los autores.
viii
Cap´ıtulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales
En este cap´ıtulo se estudian los sistemas de ecuaciones lineales en
la modelación y solución de problemas y situaciones que surgen en ingenier´ıa,
tecnolog´ıa o la vida práctica.
1.1.
Taller pre-clase
A. Resuelva las siguientes situaciones
1. Encuentre dos n´
umeros cuya suma sea
2
3
y su diferencia sea 52 .
2. Una industria produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada
tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en
la planta B; cada tonelada del plástico especial necesita 2 horas en
la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A dispone de 8 horas
al d´ıa y la planta B 15, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico
pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda
su capacidad?
B. Teor´ıa
1. Escriba una definición de
• solución de ecuación lineal,
• solución de un sistema de ecuaciones lineales.
1
2
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Construya un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales que sea
consistente y otro que sea inconsistente.
3. Investigue sobre los métodos de Gauss–Jordan y eliminación gaussiana
• Defina cada uno de los métodos
• Establezca al menos dos diferencias
• Construya 2 ejemplos en los cuales use los métodos
• ¿Cuál de los métodos es más eficiente en la práctica? ¿Por qué?
4. Construya dos ejemplos de matrices que estén en forma escalonada y
escalonada reducida.
5. Escriba una definición de matrices equivalentes por renglones y dé un
ejemplo.
6. Describa un procedimiento para transformar una matriz en la forma
escalonada y escalonada reducida por renglones.
C. Responda verdadero (V) ´
o falso (F) a las afirmaciones
siguientes. Justifique cada una de sus respuestas
1.
Existen sistemas homogéneos inconsistentes
2.
Todo sistema cuadrado es consistente
3.
4.
5.
Todo sistema con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene
infinitas soluciones
El sistema



 x + 2y = 5



2x + y = 4
no tiene solución.
x+ y =1
Todo sistema con más ecuaciones que incógnitas siempre es
inconsistente
D. Poniendo en pr´
actica la teor´ıa
1. Encuentre un valor de r, si existe, de modo que la terna dada sea una
solución del sistema de ecuaciones lineales.
Alejandro Mart´ınez A.
Vivian Libeth Uzuriaga L.
3
Grupo de investigaci´
on EMEMATIC
2x + 3y − z = −1
x − y + 2z =
2
4x + y + 3z =
3
a) (r, 2, −1)
b) (2, r, −3)
c) (−1, 1, r)
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el
método de eliminación gaussiana:
a)
x + 2y + 3z = − 4
3x + 4y + 5z = − 8
−2x + 3y + 4z = −15
2x + 4y + 6z = −12
− 3y − z + w = −3
b) 2x − y − 2z + w = 9
x + y − 2z
=
6
c) 2x − 3y − 4z = 15
4x + y + 2z =
7
3. La matriz aumentada del sistema Ax = b, está dada por:


1 0 −2 | −1


1 |
2 
0 1
0 α α2 | 3α − 1
Determine los valores de α, si existen, para que el sistema dado tenga:
a) Solución u
ńica. Escriba la solución
b) Infinitas soluciones. Escriba el conjunto solución
c) Ninguna solución
d) Para α = 1, determine cuál de los vectores es solución del sistema


5
 
(i) x1 =  0 
2
E. Aplicaciones.


−2


(ii) x2 =  1 
1
1. Cuando se agrega un disco duro a una computadora personal, el
sistema nuevo cuesta $1.400.000. Se sabe que 13 del valor de la
computadora más 15 del valor del disco duro dan un total de $400000.
¿Cuál es el costo del disco duro? (Ejercicio 48, página 14 de [7]).
4
2. Determine la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje y en el
plano xy, que pasa por los puntos P (1, 0), Q(−1, 6) y R(2, 0).
(Ejercicio 14, página 52 de [7]).
3. [Empaquetamiento de libros]. César Andrés es un estudiante de
segundo semestre de ingenier´ıa de la Universidad Tecnológica de Pereira que se va a cambiar de casa. Al empacar sus libros, nota que si
coloca 11 libros en cada caja, dejará uno por fuera. Por otro lado, si
pone 12 libros en cada caja, entonces la u
´ltima contiene un solo libro.
¿Cuántos libros y cuántas cajas tiene César Andrés?
4. Dos personas A y B inician un negocio aportando capitales iguales.
Transcurridos tres meses, una tercera persona C ingresa al negocio y
aporta la misma cantidad que invirtieron A y B. Si al cabo de un a˜
no
las utilidades son de $1’980.000, ¿cuánto le corresponde a cada uno,
si las ganancias se reparten proporcionalmente?
Resuelva s´
olo uno de los siguientes problemas.
5. Un departamento de pesca y caza proporciona 3 tipos de comida a
un lago que alberga a 3 especies de peces. Cada pez de la especie
1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1
del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2
consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del
alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el
promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad
del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministra
al lago 15000 unidades del primer alimento, 10000 del segundo y 35000
del tercero. Suponga que todo el alimento se consume.
a) Construya un modelo matemático que represente la información
del problema.
b) ¿Podrán coexistir 4000 peces de la especie 3 en el lago?
c) ¿Pueden coexistir 6000 peces de la especie 3?
d) ¿Pueden coexistir 9000 peces de la especie 3?
e) ¿Qué población de las tres especies de peces puede coexistir?
5
on EMEMATIC
6. Encuentre las cantidades desconocidas en el circuito de la figura 1.1.
a
5Ω
2Ω
b
b
i1
d
b
i2
10A
i3
3A
+
−
c
+
−
10V
+
−
E2
b
g
h
E3
R
b
5A
e
f
Figura 1.1. Circuito
Indicaci´
on. V representa el voltaje, R es la resistencia e i es la corriente.
1.2.
Lecciones de clase
1.2.1.
Lecci´
on 1. La l´ınea recta
Se recordarán conceptos básicos de la l´ınea recta tales como: el cálculo y la
interpretación de la pendiente, diferentes representaciones de la ecuación de
la recta. As´ı, al finalizar la lección el alumno estará en condiciones de usar
la recta para modelar y resolver diferentes situaciones.
Coordenadas en el plano
y
y1
b
Py (0, y1 )
b
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
P (x1 , y1 )
Px (x1 , 0)
x1
x
ó
b
O
R2 =
Figura 1.2. Coordenadas en R2
(
x
y
!
: x, y ∈ R
)
6
La l´ınea recta
Para determinar la ecuación de la recta se debe conocer uno de los datos
contemplados a continuación:
1. Dos puntos diferentes. Sean P (x0 , y0 ) y Q(x1 , y1 ) dos puntos del plano.
y
b
b
O
P (x0 , y0 )
Q(x1 , y1 )
R(x, y)
x
b
Figura 1.3. Recta por dos puntos
Si x0 6= x1 , la ecuación de la recta que los contiene, en su forma punto–
pendiente es:
y − y0 = m(x − x0 )
ó
y − y1 = m(x − x1 ),
donde m =
y1 − y0
.
x1 − x0
Ejercicio 1. Verifique que la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P (x0 , y0 ) y Q(x0 , y1 ) con y0 6= y1 es x = x0 .
2. Un punto y la pendiente. Si la pendiente es m y el punto es P (x0 , y0 ),
la ecuación es: y − y0 = m(x − x0 ).
3. La pendiente y el intercepto con el eje y. Si la pendiente es m y el
intercepto con el eje y es el punto es P (0, k), la ecuación es: y = mx + k.
4. La derivada de una funci´
on y = f (x) en un punto dado. Si f ′ (x0 )
es la derivada de y = f (x) en el punto P (x0 , f (x0 )), la ecuación de la
recta tangente a la gráfica de y = f (x) en el punto P es:
y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )
7
on EMEMATIC
y
y
y = f (x)
b
P (0, k)
b
x
O
P (x0 , f (x0 ))
x
O
(a) Pendiente-intercepto
(b) Recta tangente
Figura 1.4. Pendiente-intercepto y recta tangente
En general, la ecuación de una recta se puede escribir en la forma
ax + by = c,
(1.1)
donde a, b, c ∈ R, a y b no son simultaneamente nulos.
Ejercicio 2. Considere la ecuación de la recta 3x − 2y = −4. Responda.
a) La recta tiene como pendiente
b) Los intersectos con los ejes coordenados son:
c) Su gráfica es:
y
.
y
5
4
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 1.5. Recta del ejercicio 2
8
d) Determine qué puntos satisfacen la ecuación de la recta:
i) (2, 5)
v) (0, 0)
ii) (1, −1)
iii) (−4, −4)
vi) (2a, 3a + 4), a ∈ R
iv) (3, 3)
• ¿Geométricamente que representan los puntos que satisfacen la ecuación?
• ¿Qué relación tienen los puntos que no satisfacen la ecuación de la recta
con la gráfica?
e) ¿Cuántos puntos satisfacen la ecuación de la recta? Caracter´ıcelos.
Ejercicio 3. En un juego de video se observa un aeroplano que vuela de
izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por y = 1 + x1 , x > 0, y
dispara proyectiles en dirección tangente a la trayectoria, a blancos que están
en el eje x en las posiciones ubicadas en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5. Determine si
los proyectiles darán en alg´
un blanco si el avión los dispara cuando está en
3 5
los puntos P (1, 2) y Q( 2 , 3 ). (Ejercicio 63, página 150 de [9]).
Sugerencia: Debe recordar la interpretación geométrica de la derivada.
Ejercicio 4. Halle la función lineal que pasa por los (1, −1) y (−4, 9).
Recuerde: Una función lineal es de la forma f (x) = a0 + a1 x.
1.2.2.
Lecci´
on 2. Sistemas 2 × 2
Con esta lección el alumno reconocerá sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas a partir de situaciones problemas. Además, será capaz de
resolverlos, identificando cuando es consistente o no y establecer condiciones
para ello.
Observe que al resolver el ejercio anterior se obtienen dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas a0 y a1 , que al analizarlos en conjunto, resulta un sistema
2 × 2 como se define a continuación.
9
on EMEMATIC
Definici´
on 1.1 (Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 inc´
ognitas).
Un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x y y, denominado
sistema 2 × 2, es de la forma
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2 ,
donde a11 , a12 , a21 , a22 ∈ R no simultáneamente nulos, son los coeficientes
del sistema y b1 , b2 ∈ R, los t´
erminos independientes.
Notaci´
on: En aij , i representa la i–ésima ecuación, mientras que j, indica
la j−ésima variable.
Cuando se tiene un sistema 2 × 2 y se grafican las rectas en un mismo plano,
siempre sucede uno y sólo uno de los casos siguientes:
y
y
y
a11 x + a12 y = b1
a11 x + a12 y = b1
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
x
a21 x + a22 y = b2
x
x
a21 x + a22 y = b2
(a) Solución u
ńica
(b) Infinitas soluciones
(c) Ninguna soluci´
on
Figura 1.6. Sistemas 2 × 2
a) Cuando las rectas se cortan en un solo punto, anal´ıticamente existe
un u
ńico punto que satisface las dos ecuaciones y se dice que el sistema
tiene soluci´
on
.
b) Cuando las rectas se cortan en infinitos puntos, anal´ıticamente existen
infinitos puntos que satisfacen las ecuaciones. En este caso, se dice que el
soluciones.
sistema tiene
c) Si las rectas no se cortan, anal´ıticamente el sistema
.
10
Definici´
on 1.2. Si un sistema tiene solución u
ńica o infinitas soluciones, se
.
dice que es consistente. En otro caso, se dice que es
Ejercicio 1. Resuelva los siguientes sistemas, grafique cada par de rectas en
un mismo plano e identifique el punto o los puntos de intersección, si existen.
a)
x − y = −1
3x − 2y = −4
b)
− x + 32 y = 34
3x − 2y = −4
c)
−3x + 2y = 5
3x − 2y = −4
Ejercicio 2. Una refiner´ıa produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada
de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en
la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre
requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si
la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2. ¿Cuántas
toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen
al máximo? (Ejercicio 21, página 10 de [5]).
Ejercicio 3. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas
de ecuaciones x − 2y = 4 y ax + 3y = c se corten en infinitos puntos.
1.2.3.
Lecci´
on 3. Sistemas m × n
Partiendo de una situación problema, se llega al planteamiento de sistemas
de m ecuaciones lineales con n incógnitas. A partir de la relación, paralelo o
analog´ıa que se hace con el método de eliminación aprendido por el estudiante
en su colegio, se deduce el método de eliminación. Además, se desarrollan los
conceptos de ecuación lineal en n variables, solución de ésta y los sistemas de
m ecuaciones lineales con n incógnitas, haciendo analag´ıas y relaciones con
los estudiados en las lecciones 1.2.1 y 1.2.2.
Definici´
on 1.3. Una ecuación lineal en las variables x1 , x2 , . . . , xn es una
expresión de la forma
a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b
(1.2)
donde a1 , a2 , . . . , an ∈ R, no son simultaneamente nulas son los coeficientes
y b ∈ R es el término independiente.
on EMEMATIC
11
Ejercicio 1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son lineales:
√
e) e2 x − 3xy + 8w = 40
a) 42 x + 7 y + z − 12 w = log 2
√
b) 42 x + 7y + z − 21 w = log 2
f) e2x − 3x − 3y + 8w = 40
π
c) sen 3 x + 3y = 8
d) sen( π3 x) + 3y = 8
g) −2x1 + 3x2 + 4x3 = −5
Definici´
on 1.4. Una solución de la ecuación (1.2) es una n−tupla ordenada
 
s1
.
 .  de n´
umeros reales (o complejos), que al ser sustitu´ıdos en la ecuación
.
sn
(1.2), se obtiene un enunciado verdadero.
Ejemplo 1.1. La ecuación −2x1 + 3x2 + 4x3 = −5 es una ecuación lineal en
las variables x1 , x2 , y x3 . Algunas soluciones de la ecuación son:
a) x1 = 2, x2 = 1, x3 = −1
c) x1 = 12 , x2 = 0, x3 = −1
b) x1 = 1, x2 = −1, x3 = 0
Ejercicio 2. Considere la ecuación del ejemplo 1.1
a) ¿Cómo comprobar que en efecto los valores de las variables dados en los
literales a), b) y c) son solución de dicha ecuación?
b) ¿Existen otras soluciones para tal ecuación?, ¿cuántas?
Sistema de m ecuaciones lineales con n inc´
ognitas
Ejercicio 3. Encuentre una función polinomial de grado 3 que pase por
los puntos P1 (1, −2), P2 (−1, 3), P3 (2, 2) y P4 (3, 4). Recuerde: Una función
polinómica de grado 3 es de la forma: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 .
Al analizar este problema, se llega a un sistema de 4 ecuaciones lineales con
4 variables, a0 , a1 , a2 y a3 . Para resolverlo, se introduce primero la definición
de m ecuaciones lineales con n incógnitas y las métodos para solucionarlos.
12
Definici´
on 1.5. Un sistema de m ecuaciones lineales en las n variables
x1 , x2 , . . . , xn es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..
..
..
...
.
.
.
.
(1.3)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,
donde aij ∈ R no son simultáneamente nulos son los coeficientes del sistema
y bi ∈ R son los términos independientes.
Definici´
on 1.6. Una solución del sistema (1.3) es una n−tupla ordenada
 
s1
.
 .  de n´
umeros reales (o complejos), que es solución de cada una de las
.
sn
ecuaciones que conforman el sistema.
Ejemplo 1.2. Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales
x − 2y + 3z = 11
a) 4x + y − z = 4
2x − y + 3z = 10
x + 2y − 3z + 2w = 3
b) −2x − 5y + 5z − w = −8
x
− 2z + 5w = 5
x+ y =7
c) 4x − y = 4
3x − 2y = 5
Ejercicio 4. Determine el n´
umero de ecuaciones y de incógnitas en cada uno
de los sistemas del ejemplo 1.2.
Ejercicio 5. Cuáles vectores son solución del sistema del ejemplo 1.2b).
 
−9
 6
 
a)  
 0
0


15/2
 1 


b) 

 5/2 
1/2


12
 −2 


c) 

 1
−1
 
0
0
 
d)  
0
0
Definici´
on 1.7. Si un sistema tiene solución u
ńica o infinitas soluciones, se
.
dice que es consistente. En otro caso, se dice que es
Ejercicio 6. Usando el método de eliminación estudiado en su bachillerato
resuelva el sistema del ejemplo 1.2a).
on EMEMATIC
1.2.4.
13
Lecci´
on 4. Matriz asociada. M´
etodos de soluci´
on
Con esta lección, el alumno desarrollará habilidades para proponer como
modelo matemático, los sistemas de ecuaciones lineales para solucionar situaciones problemas. Además, será capaz de usar los métodos de eliminación
gaussiana y de Gauss-Jordan para determinar la solución de un sistema de
ecuaciones lineales. También se representa un sistema en forma matricial.
Definici´
on 1.8 (Matriz asociada de

a11 a12 . . .

 a21 a22 . . .
 .
.. . .
 .
.
.
 .
am1 am2
un sistema). El arreglo

a1n | b1

a2n | b2 
..
.

. | .. 
. . . amn | bm
se llama matriz asociada o aumentada del sistema (1.3).


 
. . . a1n
b

. . . a2n 
 .1 

 
. . ..  es la matriz de coeficientes del sistema, b =  .. 
. . 
bm
. . . amn
 
x
 .1 
. 
el vector de términos independientes y x = 
 .  es el vector de variables.
xn
a11 a12

 a21 a22
A=
..
 ..
.
 .
am1 am2
La diagonal principal de A es (a11 , a22 , . . . , akk ), donde k = m´ın{m, n}.
Ejercicio 7. Escribir la matriz asociada para cada sistema del ejemplo 1.2.
Operaciones elementales de rengl´
on
1. cf i , c ∈ R, c 6= 0. Multiplicar una fila por una constante no nula
2. f j + cf i , c ∈ R, c 6= 0. Sumar a un renglón un m´
ultiplo de otro
3. f i ↔ f j o f ij . Intercambiar dos renglones
14
Definici´
on 1.9. La matriz A de m × n es equivalente por renglones con la
matriz B de m × n, si B se puede obtener de A aplicando una sucesión finita
de operaciones elementales por renglón.
Regresando al ejercicio 6 de la leccción anterior y usando la representación
matricial de un sistema m × n, se establece la siguiente analog´ıa.
Ejemplo 1.3. Usando el m´
etodo de eliminaci´
on, resolver el sistema dado
en el ejemplo 1.2a)
Soluci´
on. En la siguiente tabla se muestra la solución del sistema usando
eliminación, haciendo el paralelo ecuaciones-forma matricial.
Sistema de ecuaciones lineales
x − 2y + 3z= 11 Ec 1
4x + y − z = 4 Ec 2
2x − y + 3z= 10 Ec 3
Operación en las ecuaciones 2 y 3, tomando
como base la ecuaci´
on 1, para volver cero
el coeficiente de x en ambas ecuaciones
Ec 2 ← Ec 2 − 4Ec 1
−4x + 8y − 12z= −44
4x + y − z = 4
9y − 13z= −40 Ec 4
Ec 3 ←− Ec 3 − 2Ec 1
−2x + 4y − 6z= −22
2x − y + 3z= 10
3y − 3z= −12 Ec 5
El sistema resultante equivalente es
Matriz asociada al sistema

1 −2 3 | 11


4 1 −1 | 4 
2 −1 3 | 10

Operación en las filas o renglones 2 y 3, tomando como base el rengl´
on 1, para volver
cero las componentes a21 y a31
f 2 ← f 2 − 4f 1


1 −2
3 | 11


0 9 −13 | −40
2 −1
3 | 10
f 3 ←− f 3 − 2f 1


1 −2
3 | 11


0 9 −13 | −40
0 3 − 3 | −12
x − 2y + 3z= 11 Ec 1
9y − 13z= −40 Ec 4
3y − 3z= −12 Ec 5
on EMEMATIC
Operación en la ecuaci´
on 3, tomando como
base la ecuaci´
on 2, renombrada como Ec 4,
para volver cero el coeficiente de x en dicha
ecuaci´
on
Operación en la fila 3, tomando como base
el rengl´
on 2 de la nueva matriz, para volver
cero la posici´
on a32

1 −2
3 | 11


0 9 −13 | −40
0 9 − 9 | −36

Ec 5 ← 3Ec 5 9y − 9z = −36 Ec 6
f 5 ← 3f 5
Ec 5 ← Ec 5 − Ec 4
f5 ← f5 − f4


1 −2
3 | 11


0 9 −13 | −40
0 0
4|
4
9y − 13z= −40
9y − 9z= −36
4z = 4 Ec 7
Sistema equivalente
Sistema equivalente
x − 2y + 3z = 11
9y − 13z = −40
4z =
4
x − 2y + 3z = 11
9y − 13z = −40
4z =
4
Determinando la soluci´
on: despejando en
la u
´ltima ecuaci´
on la variable z y haciendo
sustituci´
on hacia atr´
as se obtiene:
4z = 4 ⇒ z = 1
Determinando la soluci´
on: de la u
´ltima fila
se escribe la ecuaci´
on, 4z = 4, se encuentra
el valor de z y se hace sustituci´
on hacia
atr´
as
4z = 4 ⇒ z = 1
9y − 13(1) = −40, ⇒ y = −3
9y − 13(1) = −40 ⇒ y = −3
x − 2(−3) + 3(1) = 11, ⇒ x = 2
x − 2(−3) + 3(1) = 11 ⇒ x = 2
Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1. También
puede escribirse as´ı:
  

2 


 
−3



1 
15
Es decir,
  

2 


 
−3



1 
Observe que la u
´ltima matriz tiene ceros debajo de la diagonal principal
y se dice que está en forma triangular superior. Este tipo de matrices son
una generalización de las matrices en forma escalonada que se definen a
continuación.
16
Definici´
on 1.10. Una matriz Am×n está en forma escalonada reducida
por renglones cuando satisface las siguientes propiedades. Ver [2].
1. Todos los renglones que constan sólo de ceros, si los hay, están en las
u
´ltimas filas de la matriz.
2. Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en
cada renglón (que no esté formado completamente de ceros) es 1, y se
le denomina pivote.
3. Si los renglones fi y fi+1 son dos renglones sucesivos que no constan
completamente de ceros, entonces la entrada principal (o pivote) del
renglón fi está a la derecha del pivote del renglón fi+1 .
4. Si una columna contiene un pivote de alg´
un renglón, entonces el resto
de las componentes de esa columna son iguales a cero.
Si sólo se cumplen 1, 2 y 3; se dice que A está en forma escalonada.
Ejercicio 8. Determine cuáles de las siguientes matrices están en forma
escalonada por renglones y cuáles en forma escalonada reducida.

1 5

A = 0 1
0 0



0 −3
1 7 0 0 6



0 3 , B = 0 0 0 1 8 ,
1 9
0 0 0 0 1

!
!
1 3
1 0 0
0 0 0

D=
, E=
, F = 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0




1 2 0 0 0
1 0 0




G = 0 0 1 1 0 , H = 0 1 0 .
0 0 0 1 5
0 0 1


1 0 0 2 1


C = 0 1 0 0 0 ,
0 1 1 0 0

0 0 0

0 1 0 ,
0 0 0
Ejercicio 9. Llevar las matrices del ejemplo 1.2 a una forma escalonada.
Teorema 1. Toda matriz de Am×n no nula es equivalente por renglones con
una u
ńica matriz E m×n en forma escalonada reducida por renglones.
17
on EMEMATIC
M´
etodos de soluci´
on
Eliminaci´
on
Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:
A|b
Paso 2. Aplicar operaciones de rengl´
on para
llevarla matriz A a una forma
triangular superior U : A | b → U | b′
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución. El sistema no tendrá solución
si U tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente término
independiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solución se
utiliza sustitución hacia atras para hallarla.
Eliminaci´
on gaussiana
A|b .
Paso 2. Aplicar operaciones de rengló
n hasta
A a su forma
llevar
la matriz
′
escalonada por renglones F : A | b → F | b .
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución. El sistema no tendrá solución
si la forma escalonada de A tiene al menos una fila de ceros y el
correspondiente término b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene
solución se utiliza sustitución hacia atras para hallarla.
Eliminaci´
on de Gauss–Jordan
A|b .
Paso 2. Aplicar operaciones de renglón hasta llevar
la matriz
A a su forma
escalonada reducida por renglones E: A | b → E | b′ .
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución. El sistema no tendrá solución si
la forma escalonada reducida de A tiene al menos una fila de ceros y
el correspondiente término b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene
solución, se determina directamente de la matriz aumentada.
18
Ejercicio 10. Retomando el ejercicio 3, encuentre una función polinomial
de grado 3 que pase por los puntos P1 (1, −2), P2 (−1, 3), P3 (2, 2), P4 (3, 4).
Ejercicio 11. Halle el valor (o valores) de λ para que el sistema
x − 2y = 1
−2x + λ2 y = λ
i) tenga solución u
ńica. Muestre la solución, ii) tenga infinitas soluciones.
Escriba la solución general, ii) sea inconsistente.
Ejercicio 12. Determine los valores de a y k para el cual el sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz sea consistente, halle el conjunto
solución en cada caso, y los valores de a y k para el cual sea inconsistente.


3 −2
0 | 1


5 | 1 
0 1
0 0 k−a | a+1
Teorema 2 (Teorema resumen). Sea A una matriz n × n. La siguientes
afirmaciones son equivalentes
1. El sistema Ax = b tiene solución u
´ nica para cada n-vector b
2. El sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución
y la solución es
3. La forma escalonada reducida de A es
4. A es equivalente por renglones a la matriz
5. La forma escalonada de A tiene
pivotes
Taller de repaso
Se proponen actividades de refuerzo que le permiten al estudiante autoevaluarse en el desarrollo de los propósitos del cap´ıtulo.
on EMEMATIC
19
Ejercicio 1.
a) Determine el valor (o valores) de k para el cual el sistema de ecuaciones
lineales representado por la matriz sea consistente, halle el conjunto solución en cada caso, y el valor (o valores) de k para el cual sea inconsistente.


1 0 −1 |
1


1 
0 1 1 |
0 k k 2 | 2k − 1
b) Para k = 1, determine si el vector dado es una solución del sistema

2
 
(i)  0 
1

2
 
(ii) −1
3


Ejercicio 2. Determine el valor (o valores) de a para el cual el sistema de
ecuaciones lineales
x + 2y + z = a2
x + y + 3z = a
3x + 4y + 7z = 8
a) sea consistente, halle el conjunto solución en cada caso.
b) sea inconsistente.
Ejercicio 3. Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas (I, II, y III)
en un tubo de ensayo, donde serán alimentadas con tres distintas fuentes
alimenticias (A, B, y C). Cada d´ıa 2300 unidades de A, 800 de B y 1500 de
C se colocan en el tubo de ensayo, y cada bacteria consume cierto n´
umero
de unidades de cada alimento por cada d´ıa, como muestra la tabla
Cepa
z
I
 

2
A

Alimento
B  1


1
C
}|
II
2
2
3
4
0
1
{
III



¿Cuántas bacterias de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y
consumir todo el alimento? (Ejemplo 2.27, página 101 de [8]).
20
Ejercicio 4. ABC Publicaciones edita tres calidades de libros: encuadernación r´
ustica, pasta dura y empastados en piel. Para los r´
usticos, la empresa
gasta en promedio $5 en papel, $2 en ilustraciones y $3 las pastas. Para los
de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en ilustraciones y $8 en pastas;
y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20 en ilustraciones
y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en papel, $158000 en
ilustraciones y $205000 en pastas:
a) Construya un modelo que represente la información del problema.
b) ¿Es posible que se puedan editar 2000 libros empastados en piel?
c) ¿Se podrán editar 4000 libros empastados en piel?
d) ¿Se podrán producir 6000 libros empastados en piel?
e) ¿Cuántos libros de cada categor´ıa pueden producirse?
Ejercicio 5. Determine la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales homogéneos
x + 2y − 2z = 0
a) 2x + 7y + 2z = 0
x − 2y − z = 0
x + 2y − 2z = 0
b) 2x + 7y + 2z = 0
x − y − 8z = 0
Ejercicio 6. Considere el sistema homogéneo
a1 x + b 1 y = 0
a2 x + b 2 y = 0
Sean x = x1 , y = y1 y x = x2 , y = y2 soluciones del sistema. Muestre que
a) x = x1 + x2 , y = y1 + y2 tambi´
en es solución del sistema.
b) x = 3x1 + 2x2 , y = 3y1 + 2y2 tambi´
c) x = λ1 x1 + λ2 x2 , y = λ1 y1 + λ2 y2 tambi´
Cap´ıtulo 2
Vectores, rectas y planos
En este cap´ıtulo se estudian los vectores desde el punto de vista geométrico,
para R2 y R3 , anal´ıticamente para Rn , n > 1. Se usa la teor´ıa de vectores
en la modelación de diferentes problemas que surgen en matemáticas, f´ısica,
ingenier´ıa y en el quehacer diario. También se hace el estudio de la l´ınea recta
y del plano en R3 .
Se concluye con un teorema, denominado teorema resumen, el cual recoge los
resultados básicos que surgen durante del desarrollo de las lecciones, que sirve
de retroalimentación y autorregulación del aprendizaje de los estudiantes, ya
que está propuesto con las hipótesis m´ınimas para que ellos deduzcan sus
conclusiones y completen los espacios que aparecen.
Este teorema aparecerá al finalizar cada uno de los cap´ıtulos con el propósito
de que el alumno lo complemente con las proposiciones que deduzca a partir
de la teor´ıa desarrollada en ellos, como se observa en el cap´ıtulo 1.
21
22
Cap´ıtulo 2. Vectores, rectas y planos
2.1.
Taller pre-clase
Vectores en R2
A. Resuelve la siguiente situaci´
on:
Un barco es empujado por un remolcador con una fuerza de 300 libras
a lo largo del eje y negativo, mientras que otro remolcador lo empuja a
lo largo del eje x negativo con una fuerza de 400 libras. Determine la
magnitud y dirección de la fuerza resultante. (Ejercicio 29, página 228
de [5]).
B. Teor´ıa.
1. Describa un procedimiento geométrico y algebraico para
a) Sumar y restar vectores en el plano. Ejemplifique
b) Multiplicar un vector por un escalar (real)
2. Defina los siguientes términos. Dé ejemplos y dibuje
a) Longitud o norma de un 2–vector
b) Vector unitario en R2 . Vector coordenado unitario.
c) Producto punto y ángulo entre dos vectores no nulos del plano
d) Vectores paralelos y perpendiculares
e) Combinación lineal, dependencia e independencia lineal, espacio
generado.
C. Responda verdadero ´
o falso. Justifique sus respuestas.
1.
2.
3.
4.
El producto punto de dos vectores no nulos de R2 nunca es cero
#»
Sean #»
x , #»
y , #»
z ∈ R2 . Si #»
x • #»
y = #»
x • #»
z y #»
x 6= 0 , entonces #»
y = #»
z.
#», #»
#» ∈ R2 no nulos tales que u
#» es paralelo a #»
Si u
v, w
v , entonces
#»
#»
#»
no existen escalares λ y µ, tales que w = λ u + µ v
#»
El vector 0 ∈ R2 siempre es posible escribirlo como combinación
lineal de cualquier conjunto de vectores #»
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk de R2 .
on EMEMATIC
23
D. Poniendo en pr´
actica lo aprendido
1. Sea #»
v = (−1, 2). Halle un vector unitario que tenga dirección opuesta
a la de #»
v.
√
2. Exprese los siguientes vectores (5, −7), (1/2, 4) y (π, − 3) como suma
de los vectores canónicos.
#»
#»
3. Sean A = (4, 6) y B = (−6, 4). Halle los vectores paralelos al vector
# »
AB y de longitud 6 unidades.
4. Sean A(−4, −3), B(1, 4) y C(λ, 2) tres puntos del plano. Determine el
valor o valores de λ de modo que el triángulo ABC sea
a) Isósceles
b) Rectángulo
#», donde u
#» = 2ˆ
5. Calcule proy v#» u
ı − 3ˆ
 y #»
v =ˆ
ı + ˆ.
E. Aplicaciones
1. Dos lanchas ayudan a que un barco salga de su embarcadero. Una de
las lanchas está jalando de él con una fuerza de 200 N, mientras que
la otra lo hace con una fuerza de 150 N. La primera lancha toma una
dirección que forma un ángulo de 25o . Qué dirección debe tomar la
otra lancha para que el barco salga paralelamente al espigón? , ver [4].
#»
2. Una fuerza F de magnitud de 10 N se aplica en la dirección del vector
#»
T = 4ˆ
ı − 3ˆ
. ¿Cuál es el trabajo al mover el objeto desde el punto
A(1, 1) hasta el punto B(5, 4)?, ver [3].
Vectores en R3 y en Rn
A. Resuelva la siguiente situaci´
on
Un fabricante produce cuatro art´ıculos. Su demanda está dada por el
vector d = (30,
por unidad que recibe está dado por
60, 40, 10) y el precio
el vector p = $20, $50, $100, $25 . ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
24
B. Teor´ıa.
1. Sean P y Q dos puntos de Rn . Defina la norma del n-vector P y la
distancia de P a Q. Ejemplifique y dibuje los vectores para n = 3.
2. Defina vector unitario en Rn . Ejemplifique la definición anterior para
n = 3. Dibuje los vectores.
3. Demuestre las propiedades que cumple el producto escalar de vectores
de Rn enunciadas en la lección 4 del cap´ıtulo 2.
#» #»
#» y #»
#» × #»
4. Sean a
b dos vectores de R3 . Demostrar: a
b = −b × a
.
o falso a las siguientes afirmaciones.
Justifique cada una de sus respuestas.
El producto escalar de dos n-vectores es otro n-vector
Sean #»
x , #»
y ∈ Rn . Si #»
x • #»
y = 0, entonces por lo menos uno de los
2.
vectores es el vector nulo.
#»
#», #»
#» × #»
3.
Sean u
v ∈ R3 . Si u
v = 0 , entonces al menos uno de los
vectores es el vector nulo.
#» = (x, y, z) ∈ R3 . Si ( u
#» × k)
ˆ • (1, 0, 3) = 2, entonces y = −2
Sea u
4.
#», #»
#» ∈ R3 , u
#» 6= #»
#» × #»
#» × w
#» entonces #»
#»
5.
Sean u
v, w
0 . Si u
v =u
v = w.
1.
D. Poniendo en pr´
actica lo aprendido.
1. Los puntos A(−a, −a, −a), B(a, a, −a), C(−a, −a, a) y D(a, a, a)
representan cuatro vértices de un cubo. Halle las coordenadas de los
demás vértices.
2. Determine los octantes en que pueden estar los puntos P (x, y, z) si:
a) x + y = 0
b) x − z = 0
c) y + z = 0
d ) xy < 0
e) 0 > yz
f) xyz > 0
#»
#» y b dos vectores de R3 que forman un ángulo ϕ = 2π/3. Si
3. Sean a
#»k = 3 y k #»
ka
b k = 4. Calcule:
#» • #»
a) a
b
#» + #»
b) k a
bk
#» − 2 #»
#» + 2 #»
c) (3 a
b ) • (a
b)
on EMEMATIC
25
4. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que los vectores
#» = (−2, 3, β) y #»
a
b = (λ, −6, 2) sean paralelos.
#» y #»
5. Los vectores a
b son perpendiculares y #»
c forma con ellos ángulos
#»
#»
#»
iguales a π/3. Si k a k = 3, k b k = 5 y k c k = 8. Calcule:
#»
#» − 2 #»
a) k3 a
b ) × ( b + 3 #»
c )k
#» + 2 #»
b) k a
b − 3 #»
c k2
E. Aplicaciones.
1. Una tienda maneja 100 art´ıculos diferentes. El inventario f´ısico al inicio
de semana se describe mediante el vector de inventario u ∈ R100 .
El n´
umero de art´ıculos vendidos al final de la semana se describen
mediante el vector v ∈ R100 .
a) Explique el significado de u − v.
b) Si la tienda recibe un nuevo embarque de art´ıculos representado
por el vector w, ¿cómo se escribe el nuevo inventario?
2. La fabrica de comestibles La Fresa cuenta con 2000 empleados, anota
los salarios de cada uno de sus empleados como una componente de
un vector u ∈ R2000 . Si se ha aprobado un incremento salarial general
del 8 %, determine una expresión que utilice a u y establezca todos
los nuevos salarios. (Basado en el ejercicio 33, página 156 de [5]).
3. Una aerol´ınea compra provisiones para tres de sus aviones. El costo
por viaje, en dólares, se expresa con la matriz.
Clase



Primera
Negocios



Económica
Avión 1 Avión 2 Avión 3


350 400 450


 500 600 700 
800 700 900
a) Si los tres aviones volaron el mismo d´ıa, ¿cuánto gastó la aerol´ınea
en provisiones?
b) Si sólo el avión 3 vuela 5 d´ıas a la semana ¿Cuánto invierte la
aerol´ınea en 3 semanas? (Ejercicio 55, página 78 de [7]).
26
#»
Momento de una fuerza. El momento m de una fuerza F respecto
#»
de un punto P es el producto m = kF kd, donde d es la distancia de P a
#»
la recta L definida por las dirección de F . Se define el vector momento
#»
# » = #»
# » es el momento m, y se
como sigue: m
r × F . La magnitud de m
#»
desplaza a lo largo del eje de rotación que genera F con respecto a P .
En la práctica, se le da un signo al momento. El signo de m es positivo
si la fuerza tiende a producir rotación en sentido antihorario respecto
al punto dado, y es negativo en caso contrario.
P
b
L
#»
r
#»
F
d
b
Q θ
Figura 2.1. Momento de una fuerza
#»
ˆ en #»
4. Calcule el momento m de F = −2ˆ
ı − 4ˆ
+k
r = (−2, 1, −3).
Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares.
Cuando las fuerzas coplanares act´
uan sobre un cuerpo r´ıgido, éste se
encontrará en equilibrio si se satisfacen las siguientes condiciones.
(i) La suma vectorial de las fuerzas es cero.
(ii) La suma algebraica de los momentos con signo de todas las fuerzas respecto de cualquier punto del plano es cero.
5. El extremo superior de una barra P Q uniforme, de 5 pies de longitud y
que pesa 50 lb, descansa recargada en un muro vertical liso, ver figura
izquierda. El extremo inferior descansa apoyado en un piso horizontal
liso, a 3 pies del muro. Una cuerda OR sujeta al sistema en equilibrio.
#»
Si la distancia RQ es 1 pie, ¿cuál es la tensión T de la cuerda?
(Ejemplo 78, página 139 de [7]).
27
on EMEMATIC
P
P
#»
R1
5/2
O
5
4
M
θ
3
R
1
R
#»
T
Q
O
M
#»
w
S
#»
R2
Q
5/2
d
3−d
Figura 2.2. Gr´
afica ejercicio E5
Rectas y planos
1. Halle el punto de intersección entre plano de ecuación π : 2x + 3y + z = 1
y la recta
y+1
z
L: x−1=
= .
−2
6
2. Determine la ecuación paramétrica de la recta L2 que pasa por el punto
M (3, −2, −4), es paralela al plano π : 3x − 2y − 3z = 7 y se corta con la
recta
x−2
y+4
z−1
L1 :
=
=
.
3
−2
2
3. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, −2, 1) y es
perpendicular a la recta que es la intersección de los dos planos
π1 : x − 2y + z − 3 = 0 y π2 : x + y − z + 2 = 0.
4. Halle la ecuación del plano π que pasa por el origen de coordenadas y es
perpendicular a los planos π1 : 2x − y + 3z − 1 = 0 y π2 : x + 2y + z = 0.
5. Describa un algoritmo, si existe, que permita dibujar un plano. Dibuje un
plano paralelo a los ejes coordenados y uno que no sea paralelo a los ejes.
6. Sean P un punto, L un recta y π un plano en R3 . Describa un procedimiento para calcular la distancia de P a L, de L a π y de P a π. Escriba
una definición para cada una de estas distancias.
28
2.2.
Lecciones de clase
2.2.1.
Lecci´
on 1. Vectores en el plano
Se comienza retomando los conceptos de distancia entre puntos, punto medio
y mediatriz. Al finalizar, el alumno los podrá usar para deducir una expresión
para el cálculo de la distancia de un punto a una recta. Se contin´
ua con las
definiciones básicas de vectores en R2 .
Coordenadas en el plano cartesiano.
y
y1
b
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
Py (0, y1 ) P (x1 , y1 )
b
b
O
También
Px (x1 , 0)
x1
x
Figura 2.3. Coordenadas cartesianas en
R2 =
R2
(
x
y
!
: x, y ∈ R
)
y
Teorema 3 (Distancia). Sean
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos del
plano. La distancia entre P1 y P2 es
d = d(P1 , P2 ) =
y2
P (x1 , y1 )
b
x1
y1
O
Q(x2 , y2 )
b
d
b
a
x2
x
Figura 2.4. Distancia en R2
Ejercicio 1. Halle los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y
Q disten 5 unidades: a) P (−5, 0), Q(λ, 4) b) P (3, −2), Q(λ, 1).
Punto medio. Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) puntos en R2 . Las coordenadas
x + x2
y + y2
del punto medio P (¯
x, y¯) son: x¯ = 1
, y¯ = 1
.
2
2
Mediatriz La mediatriz de un segmento de recta se define como la recta
perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
on EMEMATIC
29
Ejercicio 2. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento de recta
que une los puntos P (−3, 6) y Q(7, −4).
Distancia de un punto a una recta
y
d
p
P
L
Q
x
Figura 2.5. Distancia de L a P
La distancia d del punto P a la recta L
es
d = P Q,
donde Q es el punto de intersección de
la recta peerpendicular a L que pasa
por P .
Ejercicio 3. Halle la distancia entre la recta 3x − 4y = −10 y el punto P
que es la intersección de las rectas 2x − 3y = 3 y x − 2y = 1.
Vectores en el plano (R2 )
Definici´
on 2.1 (Vector). Geom´
etricamente, un vector es un segmento
de recta dirigido, anal´ıticamente es una pareja ordenada de n´
umeros reales.
Notaci´
on. Los vectores de R2 los denotaremos mediante letras con una flecha
#»
#», #»
encima, por ejemplo, a
b , #»
v , A. Un vector también se puede representar por
# »
un segmento rectil´ıneo dirigido en la forma P Q donde P es el origen, cola o
punto de aplicación y Q es el extremo o cabeza.
#»
Si la cola es el origen, se escribirá R en
# »
vez de OR. As´ı, es posible asociar a cada
y
Q(x2 , y2 )
punto R(a, b) del plano un u
ńico vector
#»
R = (a, b) cuya cola es el origen, que se
denomina vector localizado (anclado)
P (x1 , y1 )
R(a, b)
)
b
,
o vector de posici´
on del punto R, figura
#» = (a
R
2.6. As´ı, se puede hacer la identificación
b
b
b
b
O
x
Figura 2.6. Vector posición
#»
R(a, b) ←→ R = (a, b).
30
!
#»
#»
0
Vector nulo. El vector nulo es el vector 0 = (0, 0) ó 0 =
.
0
Definici´
on 2.2 (Igualdad de vectores).
1. Geom´
etricamente.
y
2
1
Dos vectores no nulos son iguales si
tienen la misma longitud y dirección.
#»
v
0
x
O
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 2.7. Vectores iguales en R2
Dibuje otros vectores que sean iguales
a #»
v.
2. Anal´ıticamente. Los vectores #»
v1 = (x1 , y1 ) y #»
v2 = (x2 , y2 ) son iguales si
y
.
Ejercicio 4. Determine los valores de los escalares λ y β, si existen, de modo
que los vectores #»
v1 = (2 − λ, −3) y #»
v2 = (−3 − 2β, −λ + β) sean iguales.
#» = (1, −3).
Ejercicio 5. Sea u
#» con cola en el punto P (−5, 4).
a) Dibuje un vector #»
v igual a u
#» igual a u
#» con cabeza en el punto Q(5, −1).
b) Dibuje un vector w
y
2
#» = (a, b)
Norma de un vector. Sea u
en R2 , la norma, longitud o magnitud de
#», denotada por k u
#»k, es
u
2
#» k
ku
√ a
=
+
b
#» = (a, b)
u
x
O
#»k =
ku
Figura 2.8. Norma
Ejercicio 6. Halle la norma de los siguientes vectores
a)
c)
#» = (−3, 4)
u
#»
v = (6, −8)
b)
d)
#»
v = (−6, 8)
#»
0 = (0, 0)
31
on EMEMATIC
#», #»
Teorema 4 (Propiedades de la norma). Sean u
v ∈ R2 y λ ∈ R.
No.
1.
2.
3.
propiedad
#»k ≥ 0
ku
nombre
No negatividad
#»k = 0 si y sólo si u
#» = #»
ku
0
#»
#»
kλ u k = |λ| k u k
Homogeneidad
#» = (a, b) ∈ R2 ,
Definici´
on 2.3 (Direcci´
on de un vector en R2 ). Sea u
#» 6= #»
#», denotada por θ = dir #»
u
0 . La dirección de u
v , es el ángulo θ con menor
valor absoluto que forma el vector con la parte positiva de las abscisas.
y
#»
v
2
#»
v
1
y
#»
v
2
θ2
θ2
θ1
x
#»
v
4
θ3
θ1
θ3
θ4
#»
v
3
#»
v
1
x
θ4
#»
v
3
(a) −π < θi ≤ π
#»
v
4
(b) 0 ≤ θi < 2π
Figura 2.9. Dirección de un vector en R2
En la figura 2.9(a) se muestra la dirección de varios vectores.
#» = (x , y ) de R2 se puede determinar mediante
La dirección θ de un vector u
1
1
tan θ =
si x1 6= 0
¿Qué sucede si x1 = 0?
Ejercicio 7. Halle la longitud y dirección de los siguientes vectores:
a) #»
v1 = (4, 4)
d) #»
v4 = (4, −4)
b) #»
v2 = (−4, 4)
e) #»
v = (0, b), b ∈ R
c) #»
v3 = (−4, −4)
f) ˆ
ı = (1, 0)
g) ˆ = (0, 1)
√
√
h) u
ˆ = (1/ 2, −1/ 2)
32
#» ∈ R2 , se dice que u
#» es unitario si y sólo si k u
#»k = 1.
Vector unitario. Sea u
#» es unitario, se denota por u
Si u
ˆ.
Los vectores ˆ
ı = (1, 0) y ˆ = (0, 1) se denominan vectores can´
onicos.
#» de R2 , también se puede definir
Nota. La dirección de un vector no nulo u
como el ángulo de menor giro positivo del vector con respecto al eje positivo
de las abscisas, como se ilustra en la figura 2.9(b).
2.2.2.
Lecci´
on 2. Operaciones con vectores en R2
Se estudian los conceptos geométricos y anal´ıticos de las operaciones suma
y multiplicación por un escalar de los vectores de R2 , al igual que sus
propiedades. Además, se contextualizan estos conceptos en una aplicación.
También se estudian los vectores desde la estructura de espacio vectorial
y se introduce el concepto de combinación lineal como célula generadora
para llegar a las definiciones de dependencia e independencia lineal, espacio
generado y conjunto generador.
Definici´
on 2.4 (suma).
1. Geom´
etricamente.
Desde este punto de vista, la suma de vectores en R2 se puede realizar
mediante dos procedimientos equivalentes: regla del triángulo y regla del
paralelogramo. Sean #»
v1 y #»
v2 dos vectores de R2 , complete la siguiente
figura.
#»
v
2
#»
v
2
#»
v
1
#»
v
1
(a) Regla del triángulo
(b) Regla del paralelogramo
Figura 2.10. Suma geométrica de vectores
33
on EMEMATIC
2. Anal´ıticamente.
La suma de los vectores #»
v1 = (x1 , y1 ) y #»
v2 = (x2 , y2 ) de R2 , denotada por
, se define como:
#»
v1 + #»
v2 =
Definici´
on 2.5 (Multiplicaci´
on por un escalar).
1. Geom´
etricamente.
b
#»
v
#»
v
#»
v
#»
λv
b
#»
λv
#»
v
#»
λv
#»
λv
(a) Dilatación: |λ| > 1
(b) Contracci´
on: 0 < |λ| < 1
Figura 2.11. Multiplicación por un escalar
2. Anal´ıticamente. La multiplicación del vector #»
v = (x, y) por el escalar
λ se denota por
y se define como
Ejercicio 1. Responda las siguientes preguntas
a) ¿Cómo es la dirección de λ #»
v comparada con la de #»
v?
#»
b) ¿A qué es igual kλ v k?
c) ¿Qué sucede con el vector #»
v si λ = 0?
Ejercicio 2. Considere los vectores #»
v1 = (2, 3) y #»
v2 = (−1, 4). Realice las
siguientes operaciones en forma anal´ıtica y geométrica.
a) #»
v1 + #»
v2
b) − #»
v2
c) #»
v1 − #»
v2
d) 2 #»
v1 + 3 #»
v2
Ejercicio 3. Una empresa de art´ıculos deportivos tiene dos fábricas y en cada
una se ensamblan bicicletas de monta˜
na fabricada en aluminio y titanio. La
primera planta produce 180 bicicletas de aluminio
y 18 de titanio
por d´
ıa.
La segunda 240 y 20, respectivamente. Si v1 = 180, 18 y v2 = 240, 20 .
a) Calcule e interprete el significado de las siguientes expresiones
34
i. v1 + v2
ii. v2 − v1
iii. 10v2
iv. 2v1 + 3v2
b) ¿Cuántos d´ıas deber´ıa trabajar cada fábrica para que la empresa entregue
4920 bicicletas de aluminio y 520 de titanio? (Ejemplo 10, pág. 73 de [7]).
Propiedades de la suma y la multiplicaci´
on por un escalar
#», #»
#» ∈ R2 ; λ, β ∈ R. Las siguientes propiedades se satisfacen:
Sean u
v, w
No.
Propiedad
#» + #»
u
v es un vector de R2
#» + #»
#»
u
v = #»
v+u
Nombre
Asociativa
1M .
#» + #»
#» = u
#» + ( #»
#» )
(u
v )+w
v +w
#»
#» + 0 = u
#»
u
#» + (− u
#») = #»
u
0
#» es un vector de R2
λu
2M .
#» + #»
#» + λ #»
λ( u
v) = λu
v
Distributiva de la multiplicaci´
on por un
escalar con respecto a la suma vectorial
3M .
4M .
#» = λ u
#» + β u
#»
(λ + β) u
#» = λ(β u
#») = β(λ u
#»)
(λβ) u
5M .
#» = u
#»
1u
1S .
2S .
3S .
4S .
5S .
Invertiva
Regularidad escalar
Modulativa de la multiplicaci´
on por un
escalar
Definici´
on 2.6 (Espacio vectorial). El conjunto R2 con las operaciones
suma y multiplicación por un escalar satisfaciendo las propiedades 1S–5S,
1M–5M, que denotaremos hR2 , +, .i, es un espacio vectorial.
Ejercicio 4. Halle el valor de las constantes, si existen, de modo que
a) #»
v = (5, −3) = λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1)
b) #»
v = (5, −3) = λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1) + λ3 (2, 3)
c) #»
v = (5, −3) = λ1 (1, −1) + λ2 (−2, 2)
√
d) #»
v = (−1/2, 7) = λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1)
35
on EMEMATIC
#», #»
Definici´
on 2.7 (Combinaci´
on lineal). Sean u
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk ∈ R2 . El
#» es combinaci´
vector u
on lineal de los vectores #»
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk , si existen
escalares λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
#» = λ #»
#»
#»
u
1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk =
k
X
λi #»
vi .
i=1
Ejercicio 5. Determine los vectores de R2 que sean combinación lineal de
a) #»
v1 = (1, 3), #»
v2 = (−1, −1) b) #»
v1 = (1, 3), #»
v2 = (−2, −6)
Definici´
on 2.8 (Dependencia e independencia lineal). Los vectores
#»
#»
v1 , v2 , . . . , #»
vk de R2 son linealmente independientes (LI) si el vector
nulo se puede escribir de manera u
´ nica como combinaci´
on lineal de los
vi , i = 1, 2, . . . , k. Es decir
k
#» X #»
0 =
λi vi
implica
i=1
0 = λ1 = λ2 = · · · = λk
En otro caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes (LD)
Ejercicio 6. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.
a)
c)
#»
v1 = (1, 3), #»
v2 = (−1, −1) b) #»
v1 = (1, 3), #»
v2 = (0, 0)
#»
#»
#»
#»
v1 = (1, 3), v2 = (−2, −6) d) v1 = (1, 3), v2 = (−1, −1), #»
v3 = (3, 5)
#» y #»
Definici´
on 2.9 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos u
v son
.
paralelos si existe un escalar (no nulo) λ tal que
Definici´
on 2.10 (Espacio generado). Sea S = { #»
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk } ⊂ R2 . El
espacio generado por S, denotado por gen S, está formado por todos los
#» que son combinación lineal de #»
vectores u
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk . Es decir,
(
)
k
X
#»
#»
#»
#»
#»
2 #»
gen S = u ∈ R | u = λ v + λ v + · · · + λ v =
λ v .
1
1
2
2
k
i
k
i
i=1
Ejercicio 7. Determine el espacio generado por el conjunto de vectores dados
36
a) { #»
v1 = (2, −1), #»
v2 = (−4, 2)}
b) { #»
v1 = (2, −1), #»
v2 = (1, 3)}
Definici´
on 2.11. Se dice que S = { #»
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk } ⊂ R2 es un conjunto
#» en H se puede escribir como
generador de H ⊆ R2 si todo vector u
combinación lineal de los elementos de S.
2.2.3.
Lecci´
on 3. Producto escalar en R2
Se introduce el producto escalar como otra operación que se realiza entre
vectores, se estudian sus propiedades y el uso de las mismas en la definición
de ángulo entre vectores y proyecciones.
#» = (x , x ) y #»
Definici´
on 2.12 (Producto escalar). Sean u
v = (y1 , y2 )
1
2
#» y #»
2
vectores de R . El producto escalar o producto punto entre u
v,
#»
#»
denotado por u • v , se define como
#» • #»
u
v =
.
#» = (2, 2), #»
#» = (3, −2). Halle u
#» • #»
Ejercicio 1. Sean u
v = (−1, 2) y w
v,
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
v • u , u • w, 2 u • v , u • ( u + w), u • u y v • w
#», #»
#» ∈ R2 y λ ∈ R
Teorema 5 (Propiedades). Sean u
v, w
No.
2.
propiedad
#» • #»
#»
u
v = #»
v•u
#» • ( #»
#» = u
#» • #»
#» • w
#»
u
v + w)
v+u
3.
#» • v
#») = (λ u)
#» • v
#» = u
#» • (λ v
#»)
λ( u
4.
#»k2 = u
#» • u
#»
ku
1.
nombre
Conmutativa
´
Angulo
entre vectores y proyecciones
#» y #»
´
Teorema 6 (Angulo
entre vectores). Sean u
v dos vectores no nulos
2
de R y θ el ´
angulo entre ellos. Entonces
37
on EMEMATIC
#»
v
#» • #»
u
v
cos θ = #» #» .
kuk kvk
θ
#»
u
O
´
Figura 2.12. Angulo
entre vectores
#» y #»
Ejercicio 2. Qué se puede decir de los vectores u
v si:
#» • #»
a) u
v =0
b) el ángulo entre ellos es θ = 0 ó π radianes
#» y #»
Definici´
on 2.13 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos u
v
.
son ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es
#»
#» #»
#»k = 3 y + b en cada caso:
Ejercicio 3. Si k a
b = 5. Calcule a
#» y #»
a) a
b son ortogonales
b) el ángulo entre ellos es π/3
#» y #»
Teorema 7 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Si u
v son vectores
#»
#»
#»
#»
2
de R , entonces | u • v | ≤ k u k k v k
#» #» #»
Definici´
on 2.14 (Proyecci´
on y componente). Sean 0 6= u
, v ∈ R2 .
#», denotada por proy #» #»
a dada por
1. La proyección de #»
v sobre u
u v , est´
proy #» #»
v =
u
#», denotada por comp #» #»
a dada por
2. La componente de #»
v sobre u
u v , est´
comp #» #»
v =
u
#»
v
#»
v
#»
w
θ
O
#»
v
#»
w
b
#»
u
(a) 0 < θ < π/2
θ
θ = 90◦
#»
u
O
(b) θ = π/2
O
#»
u
(c) π/2 < θ < π
Figura 2.13. Proyecciones en R2
38
#» = (4, 3) y #»
v
v , comp u#» #»
Ejercicio 4. Sean u
v = (−3, 2). Calcule proy u#» #»
#»
#»
proy v#» u y comp v#» u . Dibuje los vectores.
#» = #»
#».
Ejercicio 5. Probar que w
v − proy u#» #»
v es ortogonal a u
2.2.4.
Lecci´
on 4. Vectores en R3 y Rn
Se inicia el estudio de los vectores en R3 y Rn generalizando las definiciones,
operaciones y propiedades desarrolladas en las lecciones anteriores. Se espera
que sean los mismos alumnos los que escriban sus propias definiciones a partir
de los conceptos estudiados en vectores de R2 .
Vectores en R3 y en Rn
Los planos coordenados xy, xz y yz dividen al espacio en ocho regiones
llamadas octantes. Los primeros cuatro están situados encima del plano
xy y se enumeran de acuerdo al orden en que aparecen los cuadrantes en
dicho plano. Los restantes se encuentran ubicados debajo del plano xy y se
contin´
ua la numeración siguiendo el mismo orden.
Ejercicio 1. Determine el signo de cada una de las coordenadas
I
z II
IV
Pl a
no
Pl a
xz
no
II
Octante
x
y
z
I
+
+
+
II
yz
III
I
IV
la
y
no
xy
II
V
P
x
VI
VI
V
VI
VII
VIII
Ejercicio 2. Ubique en R3 cada uno de los siguientes puntos, indicando el
octante en que se encuentran.
39
on EMEMATIC
a) (1, 0, 0)
d) (1, 1, 1)
b) (0, 1, 0)
e) (2, −6, −4)
c) (0, 0, 1)
f) (−2, −1, 2)
g) (−3, 1, −1)
h) (−2, −3, −1)
Definici´
on 2.15 (Igualdad de vectores).
1. Los vectores #»
v1 = (x1 , y1 , z1 ) y #»
v2 = (x2 , y2 , z2 ) son iguales si
y
.
,
2. Los vectores #»
v1 = (x1 , x2 , . . . , xn ) y #»
v2 = (y1 , y2 , . . . , yn ) son iguales si
,
, ...y
.
Definici´
on 2.16 (Norma o longitud de un vector).
1. Sea #»
v = (x1 , x2 , x3 ) un vector de R3 . La norma de #»
v , denotada por k #»
v k,
se define como
k #»
vk =
.
2. Sea #»
v = (x1 , x2 , . . . , xn ) un vector de Rn . La norma de #»
v , denotada por
#»
k v k, se define como
k #»
vk =
.
Nota. La norma de los vectores en R3 y en Rn , satisface las mismas propiedades dadas en el Teorema 4, página 31 para vectores de R2 .
Definici´
on 2.17 (Vector unitario).
Definici´
on 2.18 (Vectores can´
onicos). Los vectores canónicos
1. en R2 son: ˆ
ı = (1, 0) y ˆ = (0, 1),
ˆ = (0, 0, 1),
2. en R3 son: ˆ
ı = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0) y k
ˆ 1 = (1, 0, . . . , 0), e
ˆ 2 = (0, 1, . . . , , 0), . . . , e
ˆ n = (0, 0, . . ., 1).
3. en Rn son: e
Definici´
on 2.19. La dirección de un vector #»
v no nulo de Rn , se define como
1 #»
el vector unitario u
ˆ = #» v .
kvk
40
´
Angulos
y cosenos directores
#»
En R2 . Sea 0 6= #»
v = (x1 , y1 ) ∈ R2 .
y
#» = (x , y )
v
1
1
cos α1 =
α2
cos α2 =
α1
x
cos2 α1 + cos2 α2 =
´
Figura 2.14. Angulos
directores en R2
#»
En R3 . Sea #»
v = (x1 , y1 , z1 ) ∈ R3 , #»
v =
6 0.
z
cos α1 =
α3
cos α2 =
#»
v = (x1 , y1 , z1 )
b
α2
O
y
α1
cos α3 =
x
cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 =
´
Figura 2.15. Angulos
directores en R3
#»
En Rn . Sea #»
v = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , #»
v =
6 0.
cos α1 =
, cos α2 =
, . . . , cos αn =
cos2 α1 + cos2 α2 + · · · + cos2 αn =
Ejercicio 3. Halle un vector #»
v ∈ R2 si se sabe que k #»
v k = 4 y el ángulo
3π
director α1 = 4 .
Ejercicio 4. Encuentre un vector en R3 de longitud 6, cuyas componentes
sean positivas y tenga ángulos directores iguales.
on EMEMATIC
41
Definici´
on 2.20 (Distancia).
1. Sean P (x1 , y1 , z1 ) y Q(x2 , y2 , z2 ) dos puntos de R3 . La distancia d entre P
, se define como
y Q, denotada por
d=
2. Sean P (x1 , x2 , . . . , xn ) y Q(y1 , y2 , . . . , yn ) puntos de Rn . La distancia d
entre P y Q, denotada por
, se define como
d=
Ejercicio 5. Determine el conjunto de puntos P (x, y, z) que están a R unidades de distancia del punto C(x0 , y0 , z0 ).
Definici´
on 2.21. El conjuto de puntos P (x, y, z) ∈ R3 que están situados a
una distancia r > 0, denominado radio, a un punto fijo C(x0 , y0 , z0 ), llamado
centro, recibe el nombre de superficie esf´
erica o simplemente esfera.
Ejercicio 6. Halle la ecuación de la esfera de centro C(5, 2, −2) y radio 4.
2.2.5.
Lecci´
on 5. Operaciones con vectores en R3 y Rn
Se estudian los vectores de Rn desde la estructura de espacio vectorial. El
estudiante generalizará las definiciones de combinación lineal, dependencia e
independencia lineal, espacio generado y conjunto generador dados en R2 .
Operaciones con vectores
Definici´
on 2.22 (Suma).
1. La suma de #»
v1 = (x1 , y1 , z1 ) y #»
v2 = (x2 , y2 , z2 ) se denota por
y se define como
2. La suma de #»
v1 = (x1 , x2 , . . . , xn ) y #»
v2 = (y1 , y2 , . . . , yn ) se denota por
y se define como
42
Definici´
on 2.23 (Multplicaci´
on por un escalar).
1. La multiplicación del vector #»
v = (x, y, z) por el escalar λ se denota por
y se define como
2. La multiplicación del vector #»
v = (x1 , x2 , . . . , xn ) por el escalar λ se denota
y se define como
por
Definici´
on 2.24. Rn , n ≥ 1 con las operaciones suma y multiplicación
por un escalar definadas anteriormente es un espacio vectorial. Se denota
hRn , +, ·i.
#», #»
Definici´
on 2.25 (Combinaci´
on lineal). Sean u
v 1 , #»
v 2 , . . . , #»
v k vectores
#»
#»
#»
#»
n
en R . El vector u es combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vk , si existen escalares
λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
#» = λ #»
#»
#»
u
1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk =
k
X
λi #»
vi
i=1
#» es combinación lineal de los vectores dados
Ejercicio 7. Determine si u
 
 
 
2
1
1
#» = 1 ; v
#» = 2 , v
#» = 0
a) u
 
  2  
1
5
1
2
 
 
 
 
2
1
1
4
 
  #»
  #»
  #»
#»
b) u = 2 ; v1 = −2 , v2 = 3 , v3 = 1
1
5
−4
2
 
 
 
 
−1
1
1
0
 4
0
1
1
 #»
  #»
  #»
 
#» = 
c) u
ag. 289 de [5].
 ; v
1 =   , v2 =   , v3 =  . Ejer. 25, p´
 2
0
0
2
2
1
0
1
 
 
 
 
−1
1
1
2
  #»
  #»
  #»
 
#»
d) u =  1 ; v1 = 3 , v2 = 1 , v3 = −2
−4
5
3
8
43
on EMEMATIC
 
 
 
 
0
0
1
x
  ˆ  
 
 
#»
ı = 0 , ˆ = 1 , k = 0
e) v = y  ; ˆ
1
0
0
z
Definici´
on 2.26 (Dependencia e independencia lineal). Los vectores
#»
#»
v1 , v2 , . . . , #»
vk de Rn son linealmente independientes (LI) si el vector nulo
se puede escribir de manera u
´ nica como combinaci´
on lineal de ellos. Es
decir
k
#» X #»
0 =
λ v
implica 0 = λ = λ = · · · = λ
i
i
1
2
k
i=1
En otro caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes (LD)
Ejercicio 8. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.
#»
a) v
1
#»
b) v
1
 
 
 
 
 
0
−1
1
−1
1
 
  #»
  #»




= 2 , v2 = −1 , v3 = 0
2 #»
−1
#» = 
,
v
=
c) v




1
3 2 −3
1
−3
3
 
 
 
4
2
1
−1
0
  #»
  #»
 
= 2 , v
2 = −1 , v3 = 1
3
−3
0
#» y #»
Definici´
on 2.27 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos u
v son
.
paralelos si existe un escalar (no nulo) λ tal que
Definici´
on 2.28 (Espacio generado). Sea S = { #»
v , #»
v , . . . , #»
v } ⊂ Rn . El
1
2
k
espacio generado por S, denotado por gen S, está formado por los vectores
#» que son combinación lineal de los vectores #»
u
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk . Es decir,
gen S =
(
#» ∈ Rn | u
#» = λ v
#»
#»
#»
u
1 1 + λ2 v2 + · · · + λk vk =
k
X
i=1
#» ; λ ∈ R
λi v
i
i
)
.
Definici´
on 2.29. Se dice que S = { #»
v1 , #»
v2 , . . . , #»
vk } ⊂ Rn es un conjunto
#» perteneciente a H se puede escribir
generador de H ⊆ Rn si todo vector u
como combinación lineal de los elementos de S.
     

1
1 
 1

     
Ejemplo 2.1. S = 1 , 0 , 1 es un conjunto generador de R3 .


 1
1
0 
44
2.2.6.
Lecci´
on 6. Producto escalar en R3 y Rn
Los alumnos generalizarán la definición de producto escalar para los vectores
de R3 y Rn a partir de lo estudiado en R2 .
Definici´
on 2.30 (Producto escalar). Considere los dos vectores
#»
u = (x1 , x2 , . . . , xn ) y #»
v = (y1 , y2 , . . . , yn ) de Rn . El producto escalar
#» y #»
#» • #»
o producto punto entre u
v , denotado por u
v , se define como
#» • #»
u
v =
.
#» = (2, 1, 5), #»
#» = (7, 8, 6). Realice las
Ejercicio 1. Sean u
v = (−1, 3, 4) y w
operaciones que se indican
a)
f)
#» • u
#»
u
#»k2
b) k u
#» • v
#» + u
#» • w
#»
u
c)
g)
#» • #»
#»
u
v
d) #»
v•u
#» • ( #»
#»
u
v + w)
#» • w
#»
e) u
#» v
#», w
#» ∈ Rn y λ ∈ R.
Teorema 8 (Propiedades). Sean u,
No.
1.
2.
3.
4.
propiedad
#» • v
#» = v
#» • u
#»
u
#» • ( v
#» + w)
#» = u
#» • v
#» +
u
#» • v
#») = (λ u)
#» • v
#» =
λ( u
nombre
Conmutativa
#» • w
#»
u
#» • (λ v
#»)
u
#» 2 = u
#» • u
#»
k uk
#», #»
Ejercicio 2. Sean u
v ∈ Rn ; n > 1, λ ∈ R. Responda falso o verdadero.
Justifique claramente su respuesta.
a)
#»
#»
#» =
#» • #»
Si u
6 0 y #»
v =
6 0 , entonces u
v 6= 0.
b)
#» • u
#» > 0.
u
c)
#»
#» • #»
#» • w
#» y u
#» =
#»
Si u
v =u
6 0 , entonces #»
v = w.
on EMEMATIC
45
´
Angulo
entre vectores y proyecciones
#» v
#» ∈ Rn ,
Teorema 9 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Para u,
#» • #»
#»k k #»
|u
v| ≤ ku
vk
#» y #»
´
Definici´
on 2.31 (Angulo
entre vectores). Sean u
v vectores no nulos
n
de R . El ángulo θ entre ellos se define como el ángulo que satisface
#» • v
#»
u
cos θ = #» #» .
k uk k v k
#» y #»
Ejercicio 1. Qué se puede decir de los vectores u
v si:
#» • #»
a) u
v =0
b) el ángulo entre ellos es θ = 0 ó π radianes
#» y #»
Definici´
on 2.32 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos u
v
.
son ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es
#», #»
#»k = 3 y k #»
#» − 2 #»
Ejercicio 2. Sean a
b ∈ Rn . Si k a
b k = 5, calcule k a
b k si
#» y #»
a) a
b son ortogonales
b) el ángulo entre ellos es 2π/3
#» = (1, 0, 0, 1) y #»
Ejercicio 3. Halle el ángulo entre u
v = (0, 1, 0, 1), (ejemplo
No. 11, página 237 de [5].)
#» = (a, 2, 1, a) y
Ejercicio 4. Determine los valores de a de modo que u
#»
v = (a, −1, −2, −3) sean ortogonales.
#», #»
Ejercicio 5. Sean u
v ∈ Rn . Demostrar las siguientes propiedades
#» + #»
#»k + k u
#»k. (Desigualdad triangular)
1. k u
vk ≤ ku
#» + #»
#»k2 + k #»
#» y #»
2. k u
v k2 = k u
v k2 , si u
v son ortogonales. (Teorema de
Pitágoras)
#»
#» y #»
Definici´
on 2.33 (Proyecci´
on y componente). Sean 0 6= u
v dos
n
vectores de R .
46
#», denotada por proy #» #»
a dada por
1. La proyección de #»
v sobre u
u v , est´
proy u#» #»
v =
#», denotada por comp #» #»
a dada por
2. La componente de #»
v sobre u
u v , est´
v =
comp u#» #»
#» dado que u
#» = (2, 1, 0, −1) y
#» y comp #» u
Ejercicio 6. Determine proy v#» u
v
#»
v = (0, 0, 1, 4).
2.2.7.
Lecci´
on 7. Producto vectorial en R3
Se introduce el producto vectorial como otra operación entre vectores de R3
y sus propiedades, se finaliza con el cálculo de áreas y vol´
umenes como una
aplicación de algunas de éstas.


2 −1 2


Ejercicio 1. Calcule det A si A =  3 0 4.
−1 1 5
#» = (u , u , u ) y #»
Definici´
on 2.34 (Producto cruz). Sean u
v = (v1 , v2 , v3 )
1
2
3
#» y #»
3
vectores de R . El producto cruz o producto vectorial entre u
v,
#»
#»
denotado por u × v , está dado por
ˆ
ˆ
ı

ˆ
k
u u u u u u #» × #»
ˆ = u u u u
v = 2 3 ˆ
ı − 1 3 ˆ + 1 2 k
v2 v3 v1 v3 v1 v2 1 2 3
v1 v2 v3 #» = (1, −1, 3), #»
#» = (1, 2, −5) ∈ R3 y
Ejercicio 2. Sean u
v = (2, 1, −2), w
λ ∈ R. Realice las operaciones que se indican
#» × v
#»
a) u
#» × u
#»
d) u
#» • ( u
#» × v
#»)
g) v
#» × u
#»
b) v
#» × u
#»
e) λ u
#» × w
#»
h) u
#» × #»
c) u
0
#» • ( u
#» × v
#»)
f) u
#» × w
#»
i) v
#» × ( v
#» + w)
#»
j) u
#» + v
#») × w
#»
k) ( u
47
on EMEMATIC
Indique qué relación existe en las siguientes expresiones
#» × #»
i. u
v
#»
#»
v×u
#» × ( #»
#»
ii. u
v + w)
#» × #»
#» × w
#»
u
v+u
Las siguientes propiedades generalizan las ilustradas en el ejemplo anterior.
#», #»
#» vectores de R3 ; λ, β ∈ R.
Teorema 10 (Propiedades). Sean u
v, w
No.
1.
propiedad
nombre
#» × v
#» = − v
#» × u
#»
u
Anticonmutativa
2.
#» × ( v
#» + w)
#» = u
#» × v
#» + u
#» × w
#»
u
3.
4.
5.
6.
7.
8.
#» + v
#») × w
#» = u
#» × w
#» + v
#» × w
#»
(u
#» × v
#») = (λ u)×
#» v
#» = u
#» ×(λ v
#»)
λ( u
#»
#»
#»
#» × 0 = 0 = 0 × u
#»
u
#» × u
#» = #»
u
0
#» × u
#» = #»
λu
0
Distributiva por la izquierda del
producto vectorial sobre la suma
#» • ( u
#» × v
#») = 0 = v
#» • ( u
#» × v
#»)
u
#» = 2ˆ
#» = 4ˆ
ˆ
Ejercicio 3. Halle un vector unitario ortogonal a u
ı −3ˆ
ya v
 +3k.
#» y #»
Teorema 11 (Identidad de Lagrange). Si u
v son vectores de R3 ,
entonces
#» × #»
#»k2 k #»
#» • #»
ku
v k2 = k u
v k2 − ( u
v )2
#» × #»
#»k k #»
Ejercicio 4. Demostrar: k u
vk = ku
v k sen θ, donde θ es el ángulo
#»
#»
entre u y v .
#»k = 4, k #»
#», #»
Ejercicio 5. Sean a
b y #»
c vectores de R3 tales que k a
b k = 6 y el
#»
#»
#»
#»
#»
#»
ángulo entre a y b es θ = 2π/3. Si c = 3 a − ( a × 2 b ), calcule
#»
i) b • #»
c.
ii) k #»
c k.
#»
iii) El ángulo entre b y #»
c.
#», #»
#» vectores de R3 . El
Definici´
on 2.35 (Producto mixto). Sean u
v y w
#» • ( #»
#»
producto mixto o triple producto escalar de ellos es u
v × w).
48
#», #»
#» vectores
Definici´
on 2.36 (Triple producto vectorial). Sean u
v yw
#» × ( #»
#»
de R3 . El triple producto vectorial de ellos es u
v × w).
#», #»
#» vectores de R3 . Entonces
Teorema 12. Sean u
v yw
1.
2.
#» • ( #»
#» = #»
#» × u
#») = w
#» • ( u
#» × #»
u
v × w)
v • (w
v)
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
u × ( v × w) = ( u • w) v − ( u • v )w
#» = (u , u , u ), #»
Teorema 13. Sean u
v =
1
2
3
Entonces
u
1
#»
#»
#»
•
u ( v × w) = v1
w 1
#» = (w , w , w ).
(v1 , v2 , v3 ) y w
1
2
3
u2 u3 v2 v3 w2 w3 #»
#» × #»
#» × #»
Interpretaci´
on Geom´
etrica de k u
v k y |( u
v ) • w|
#» × v
#»
u
#» × v
#»
u
#»
w
ϕ
#»
v
h
#»
v
h
θ
#»
u
#»
u
1. El área S del paralelogramo determinado cuyos lados adyacentes son los
#» y #»
vectores u
v está dado por
S=
#», #»
#» es
2. El volumen VP AR del paralelep´ıpedo determinado por u
v yw
#» × #»
#» |
VP AR = |( u
v) • w
3. El volumen VT ET del tetraedro de vértices P, Q, R y S es
# » # » # »
VT ET = 61 (P Q × P R) • P S = 16 VP AR
on EMEMATIC
49
Ejercicio 6. Calcule
a) el área del paralelogramo y del triángulo cuyos vértices consecutivos son
los puntos P (1, −2, 3), Q(2, 1, 0) y R(0, 4, 0).
b) el volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados adyacentes son los vectores
#» = (1, 2, 2), #»
#» = (−3, 3, 1). Ejercicio 25 Pág. 271 de [2].
u
v = (−2, 1, 3) y w
2.2.8.
Lecci´
on 8. Rectas y planos en R3
Se inicia con el estudio de la recta en R3 , haciendo una analog´ıa con la
caracterización de la recta en R2 estudiada en el primer cap´ıtulo. Se finaliza
con el estudio de los planos y la deducción de su ecuación cartesiana.
Rectas en R3
z
#»
v
R (x
, y, z)
L
b
P (x0 , y0 , z0 )
#»
v : Vector director de L
Ecuación vectorial
b
#» = (a, b, c)
v
O
x
y
# »
El vector P R es paralelo
#»
al vector v
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones simétricas
Figura 2.16. Recta en R3
Ejercicio 1. Sean P (2, 3, −1) y Q(−1, 2, 4) dos puntos de R3 .
a) Halle ecuaciones paramétricas para la recta L que pasa por P y Q
b) Cuáles de los siguientes puntos están en L:
T (8, 5, 9).
R(−4, 1, 9), S(5, 4, −6),
c) Determine los puntos donde la recta corta a los planos coordenados
50
Ejercicio 2. Determine ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el
ˆ
punto P (3, 4, 5) y es paralela al vector #»
v = −5ˆ
ı + 3k
a) Encuentre un punto en la recta y uno que no esté en la recta.
b) ¿Las ecuaciones simétricas de la recta son u
ńicas?
Definici´
on 2.37 (Rectas paralelas y perpendiculares). Sean L1 y L2
dos rectas en R3 con vectores directores #»
v1 y #»
v2 , respectivamente. Entonces
L1 y L2 son
1. paralelas (ó coincidentes) si
2. perpendiculares si
Ejercicio 3. Determine qué pares de rectas son paralelas, coincidentes,
perpendiculares



x = −5 − 2t
L1 : y = 2 + t ,


z = 6 − 6t



x = − 3r
L2 : y = 12 − r ,


z = 7 + 4r



x = 8 + s
L3 : y = 7 − 21 s ,


z = −1 + 3s

7


x = 5 − u
L4 : y = −8 − 9u


z = 9 − 3u
4
Ejercicio 4. Sean L1 y L2 dos rectas en el espacio. ¿Si L1 y L2 no son
paralelas, entonces L1 y L2 siempre se cortan?
Planos en R3
#» = (a, b, c) z
n
#» : Vector normal del plano π
n
Q(x, y, z
P :
b
π
b
P (x0 , y0 , z0 )
O
x
Figura 2.17. Plano en R3
y
Punto fijo del plano
# »
#» • P
Q ∈ π si y solo si n
Q=0
Ecuación cartesiana
π ={
}
51
on EMEMATIC
Ejercicio 5. Halle la ecuación del plano que contiene el punto P (2, 3, −1) y
es perpendicular a la recta L : x = 1 − 2t, y = −2 + t, z = 3 − t; t ∈ R
Ejercicio 6. Encuentre la ecuación del plano que contiene los puntos
P (2, 3, −1), Q(3, 2, 1) y R(1, 0, 0).
Ejercicio 7. Determine la ecuación del plano que contiene los puntos
z−1
x−3
=y+1=
.
P (1, −1, 2), Q(3, 5, 7) y es paralelo a la recta L :
−1
2
Ejercicio 8. Muestre que las rectas



x = 1 + 3t
L1 : y = −2 + 4t ;



z = 4 − 2t
t∈R
y

3


x = 1 − 2 r
L2 : y = 1 − 2r ;



z = −1 + r
r∈R
son paralelas y halle la ecuación del plano que las contiene.
#»
#»
Definici´
on 2.38. Sean π1 y π2 dos planos con vectores normales N1 y N2
respectivamente. Los planos π1 y π2
#» #»
1. Son paralelos si N1 y N2 lo son y además, los planos no tienen puntos
en com´
un.
#» #»
2. Son coincidentes si N1 y N2 son paralelos y además, los planos se tocan
en todos sus puntos.
#»
#»
#» #»
3. Son perpendiculares si N1 y N2 lo son, es decir, si N1 • N2 = 0
#» #»
4. Son obl´ıcuos si el ángulo θ entre N1 y N2 satisface 0 < θ < π y θ 6= π2 .
Teorema 14 (Teorema resumen). Sea A una matriz de tama˜
no n × n.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
2. El sistema Ax = b tiene solución
.
solución es
y la solución es
para cada n-vector b y la
52
pivotes
6. Las filas de A son
7. El espacio generado por las filas de A es
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
8. Todo vector u ∈ Rn se puede escribir como
de las filas de A.
9. Las columnas de A son
10. El espacio generado por las columnas de A es
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
. Es decir,
de las columnas de A.
Cap´ıtulo 3
Matrices
A partir de algunas situaciones problemas el estudiante usará el concepto
de matriz y sus propiedades para su modelación y solución. Desarrollará
habilidades que le permitirán aplicar las propiedades de las operaciones
definidas sobre matrices para hacer demostraciones y simplificación de
expresiones que las contienen. Además reconocerá al conjunto de matrices
con las operaciones usuales de suma y multiplicación por un escalar como
otro ejemplo de espacio vectorial.
3.1.
Taller pre-clase
A. Resuelve la siguiente situaci´
on
Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y ni˜
nos de
ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz
Adultos
A=
"
40
70
Ni˜
nos
50
80
#
Hombres
Mujeres
El n´
umero de gramos diarios de prote´ınas, grasa y carbohidratos que
consume cada ni˜
no y adulto está dado por la matriz
53
54
Cap´ıtulo 3. Matrices
" Proteinas
20
B=
10
Grasas
20
20
Carbohidratos
20
30
#
Hombres
Mujeres
a) ¿Cuántos gramos de carbohidratos ingieren diariamente todos los
hombres y mujeres del proyecto?
b) ¿cuántos gramos de grasa consumen a diario todos las hombres? (Basado en el ejercicio 29, página 32 de [2]).
B. Teor´ıa.
1. Defina y construya ejemplos para cada una de las siguientes matrices:
a) Matriz nula
e) Antisimétrica
b) Matriz identidad
f) Triangular inferior
c) Transpuesta
g) Triangular superior
d) Simétrica
h) Diagonal
2. Encuentre una matriz B =
a
c
b
d
!
tal que
i) Ortogonal
j) Idempotente
k) Nilpotente
!
!
2 3
1 0
B=
.
1 2
0 1
3. Describa un procedimiento para calcular la inversa de una matriz A.
C. Responda falso ´
o verdadero, justificando sus respuestas
Sean A, B y C matrices de tama˜
nos tales que las operaciones indicadas
se pueden realizar.
1.
El producto de matrices es conmutativo
2.
Si AC = BC y C 6= 0, entonces A = B.
3.
Si AB = 0, entonces A = 0 o B = 0. Nota: 0 es la matriz nula.
4.
Si A y B matrices cuadradas entonces (AB)k = Ak B k , k = 2, 3, . . .
5.
Si A y B conmutan entonces (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
6.
7.
Si A y B son matrices invertibles, entonces A − B es invertible.
Si A es una matriz 2 × 2 no nula que satisface la ecuación
(2A − I)(A − I) = I , entonces A es invertible.
55
on EMEMATIC
D. Poniendo en pr´
1. Sean A =
1
3
2
−1
x
2
!
 
y
 
y B = x. Si AB =
2
!
6
, encuentre x y y.
8
(Ejercicio 4, página 31 de [2]).

2

2. Sean A = 1
5
−3
2
−1


4
1


3 y B = 3
−2
2

−1

2. Exprese AB como una
4
combinación lineal de las columnas de A. (Ejer. 14, pág. 31 de [2]).
3. Determine
un valor de ry un valor de s de modo que AB T = 0, donde
A = 1 r 1 y B = −2 2 s . (Ejercicio 14, p´
agina 31 de [2]).
4. Simplifique las siguiente expresión
X = 31 B C T AB −T + 2C T B −T
T
5. Simplifique y encuentre la matriz X tal que
−1
1 T
.
6A C
XC −1 = 2(CB −1 A + CA) CB −1 A
−1
.
6. Sea A = QDQT , donde D es una matriz diagonal n × n. Demuestre
que A es simétrica.
7. Sea A una matriz n × n. Probar: Si A 6= 0, A2 6= 0, . . . , Ak−1 6= 0 y
Ak = 0, entonces I − A es invertible. ¿Cuál es su inversa?
E. Aplicaciones.
1. Un fabricante elabora productos P y Q en dos plantas X y Y . Durante
la fabricación se producen los contaminantes bióxido de azufre, oxido
n´ıtrico y part´ıculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante
están dadas en kilogramos por la matriz.
Bi´
oxido de azufre
A=
"
300
200
´
Acido
n´ıtrico
100
250
Part´ıculas
150
400
#
Producto P
Producto Q
56
Los reglamentos estatales exigen la eliminación de estos contaminantes. El costo diario por deshacerse de cada kg. de contaminante
está dado en dólares por la matriz
Planta X


B=
8
7
15
Planta Y
12
9
10

Bi´
oxido de azufre
´
 Acido n´ıtrico
Part´ıculas
a) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto P
en la planta X.
b) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto Q
en la planta Y.
2. Investigue en su Facultad o programa una aplicación que requiera de
la teor´ıa de matrices para su modelado o solución.
3.2.
Lecciones de clase
3.2.1.
Lecci´
on 1. Definici´
on, operaciones y propiedades
Se inicia retomando el concepto de matriz introducido en el cap´ıtulo 1 y el
estudiante complementará los espacios con sus caracter´ısticas básicas tales
como notación, tama˜
no y sus componentes. Además, construirá definiciones
y ejemplos de algunos tipos de matrices. Se contin´
ua con las definiciones y
propiedades de las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un
escalar, para llegar a la estructura de espacio vectorial.
Definici´
on 3.1 (Matriz m × n). Una matriz de tama˜
no m × n es un arreglo
rectangular de mn n´
umeros (reales o complejos) escritos en forma de m
57
on EMEMATIC
renglones o filas y n columnas

 a11

 a21

 ..
 .

 ai1

 .
 ..

am1
a12
a22
..
.
...
...
...
a1j
a2j
..
.
...
...
...
a1n
a2n
..
.
ai2
..
.
am2
...
...
aij
..
.
amj
...
...
ain
..
.
amn
...
...













Notaci´
on y observaciones
1. Las matrices se denotan con
escribe
y para abreviar se
2. En el tama˜
no de la matriz A, m
y n
3. Si m = n se dice que A es una matriz
de orden
4. Las componentes de la diagonal principal de A son
5. Las componentes de la fila i de A son
de tama˜
no
man un vector
y for. Es decir,
reni A = Ai =
6. Las componentes de la columna j de A son
y forman un vector
de tama˜
no
. Es decir,
colj A = A(j) =
Definici´
on 3.2 (Igualdad). Dos matrices A = (aij )m×n y B = (bij )p×q son
iguales si
,
y
.
58
Ejercicio 1. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que
a) A = B b) C = A c) B = C.
A=
4
−5
!
−2
,
7
B=
3λ − 2
−5
7−λ−β
2β − 7
!
,
C=
3
−5
!
5
7
Ejercicio 2. Defina las siguientes matrices y dé por lo menos dos ejempos
de cada una
a) Matriz nula:
Ejemplos:
.
b) Matriz triangular superior:
Ejemplos:
.
c) Matriz triangular inferior:
Ejemplos:
.
d) Matriz
diagonal:
Ejemplos:
.
e) Matriz identidad:
Ejemplos:
.
59
on EMEMATIC
Operaciones y propiedades
Definici´
on 3.3 (Transposici´
on). Sea A = (aij ) un matriz m × n. La
tal que
transpuesta de A es la matriz B = (bij ) de tama˜
no
Definici´
on 3.4 (Suma). Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de tama˜
no
m × n. La suma de A y B, es la matriz C = A + B, tal que cij =
Definici´
on 3.5 (Multiplicaci´
on por un escalar). Sean A = (aij ) una
matriz de tama˜
no m × n y λ un escalar. La multplicación de λ con A, es la
matriz B = λA tal que bij =
.
Ejercicio 3. Considere las matrices
A=
1
5
2
6
3
7
!
4
, B=
8
−3
0
5
2
6
11
 
!
1
−1
 
, C = 2 y D = 1
9
5
2
5
De ser posible, realice las siguientes operaciones:
a) A + B
b) C + D
c) −1A
d) AT + B T
f) Halle la matriz E tal que 3A − 2B + E = 0
e) C T + D
Teorema 15 (Propiedades de la suma y la multiplicaci´
on por un
escalar). Sean A, B, C matrices; λ, β ∈ R.
No.
Suma
No.
Multiplicación por un escalar
1.
A + B es una matriz
1.
λA es una matriz
2.
A+B =B+A
2.
0A = 0
3.
(A + B) + C = A + (B + C)
3.
λ(A + B) = λA + λB
4.
A+0=A
4.
(λ + β)A = λA + βA
5.
A + (−A) = 0
5.
1A=A
Definici´
on 3.6. El conjunto de matrices m × n con la suma y la multiplicación es un espacio vectorial. Se denota por hMm×n , +, ·i
60
3.2.2.
Lecci´
on 2. Producto y propiedades
Se define el producto y la transpuesta de matrices como otras operaciones,
asimismo se estudian sus propiedades. El estudiante usará dichas propiedades
en la simplificación de expresiones que las contienen.
Definici´
on 3.1 (Multplicaci´
on de matrices). Sean A = (aij ) y B = (bij )
dos matrices de tama˜
nos m × p y p × n, respectivamente. La multiplicación
, es la matriz C = (cij ) de
o producto de A con B, que se denota por
tal que cij =
tama˜
no

1

Ejercicio 1. Halle AB y BA si A = 0
4

−1

2 y B =
−3
2
4
−3
7
!
−4
6
a) ¿El producto de matrices es conmutativo?
b) Dadas dos matrices, ¿siempre es posible realizar el producto entre ellas?
c) Sean A y B matrices tales que AB existe. ¿AB es un matriz cuadrada?
Ejercicio 2. Sean A =
2
1
y, si existen, tales que AB =
3
1
x
−2
!
7
.
5
!


x
 
y B =  y . Halle los valores de x y
−1
Teorema 16 (Propiedades). Sean A B, y C matrices de modo que las
operaciones que se indican, se pueden realizar y λ ∈ R.
No.
producto
No.
1.
(AB)C = A(BC)
1.
2.
A(B + C) = AB + AC
2.
(AB)T = B T AT
3.
(A + B)C = AC + BC
3.
(A + B)T = AT + B T
4.
AI = IA = A
4.
(λA)T = λAT
transpuesta
AT
T
=A
on EMEMATIC
61
Ejercicio 3. Sean A, B,C y D matrices de tama˜
no 4 × 4. Si BD = I y
T
T
CC = I, simplificar la expresión: X = B(DA C + DC)(AT C)T .
Definici´
on 3.2 (Matriz sim´
etrica). Sea A una matriz cuadrada de orden
n. Se dice que A es simétrica si
Definici´
on 3.3 (Matriz antisim´
etrica). Sea A una matriz cuadrada de
orden n. Se dice que A es antisimétrica si
Ejercicio 4.
1. Complete las componentes que hacen falta para que la matriz sea
simétrica ó antisimétrica, seg´
un sea el caso:




3
1
0 −2 3




A=2
5 , B = 

8
−4
2. Construya ejemplos de matrices simétricas y antisimétricas.
Ejercicio 5. Sean A y B matrices simétricas de orden n. Demostrar: AB
es simétrica si y sólo si A y B conmutan.
!
!
1 5
1 −2
Ejercicio 6. Sean A =
yB =
. Halle, si existe, una
1 2
−2
4
matriz X tal que XA = B + X T .
3.2.3.
Lecci´
on 3. Inversa de una matriz cuadrada
Se introduce la inversa de una matriz cuadrada a partir del producto y la
igualdad de matrices. Se contin´
ua con el estudio de sus propiedades y se
finaliza con el uso de dichas propiedades en la demostración de teoremas y
simplificación de expresiones que contienen matrices.
62
Ejercicio 1. Encuentre una matriz B tal que AB = I 2 , si A =
1
2
!
1
.
3
Definici´
on 3.4 (Inversa). Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es invertible o no singular si
tal
. En este caso, se dice que
es la inversa de A. En caso
que
contrario, se dice que A es no invertible o singular.
Ejercicio 2. Sean A y B matrices cuadradas. Demostrar: Si A es una
matriz invertible, entonces su inversa es u
ńica.
Notaci´
on. Si A es invertible, su inversa se denota por A−1 .
Ejercicio 3. Probar: Si A satisface la ecuación (A − 2I)(A + I) = 0,
entonces A es invertible. ¿A qué es igual A−1 ?
Ejercicio 4. Describa un procedimiento para hallar la inversa de una matriz.
Ejercicio 5. Halle, si existe, la inversa de las siguientes matrices
a) A =
1
−2
!
3
−7
b) B =
1
−2
!
−6
12

1

c) C = −2
1
Ejercicio 6. Sea A una matriz de orden n invertible.
−3
4
−4

1

4
3
a) ¿Cuántos pivotes tiene A?
b) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema Ax = b?
y
Definici´
on 3.5 (Potencias de matrices). Sea A una matriz cuadrada de
orden n. Las potencias de A se definen de la siguiente manera
1. A0 = I si A 6= 0.
2. Ak = Ak−1 A; k = 2, 3, . . .
Ejercicio 7. Calcule A2 en cada caso y BB T
63
on EMEMATIC
a) A =
1
1
!
0
0
b) A =
0
1
!
1
0
c) A =
0
0
d) B =
√2
5
√1
5
!
1
0
− √15
√2
5
!
Ejercicio 8. Defina las siguientes matrices
a) Matriz idempotente:
b) Matriz nilpotente:
c) Matriz ortogonal:
Teorema 17 (Propiedades). Sean A y B dos matrices invertibles de orden
n, 0 6= λ ∈ R y k un entero positivo.
1.
2.
A−1
−1
=
AB es invertible y (AB)−1 =
3.
(λA)−1 =
4.
(A−1 )T =
y A−k =
Ejercicio 9. Considere las matrices:

0
2

A=
1
0
−1
1
−1
1
1
0
3
1


4
0


2
−1
 yB=
−1
0
0
1
−1
4
0
−1
−1
0
4
−1

0
−1


−1
4
a) Simplifique y encuentre la matriz X, si
XA−1 = 4A−1 (AB −1 C + AC)(2AB −1 C)−1 .
b) Calcular las componentes x32 y x22 de la matriz X.
Ejercicio 10. Sean A y B matrices invertibles ¿(A + B)−1 = A−1 + B −1 ?
Justifique
64
no n × n.
1. A es invertible.
y la solución es
.
solución es
pivotes
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
de las filas de A.
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
las columnas de A.
. Es decir,
de
Cap´ıtulo 4
Determinantes
Se introduce la definición de determinante y a partir de ejercicios de tipo
algor´ıtmico los estudiantes ilustrarán sus propiedades. Además, se calcularán
determinantes de matrices cuadradas usando propiedades para comparar las
ventajas sobre el uso de la definición.
4.1.
Taller pre-clase
A. Teor´ıa.
1. Describa un método para calcular el determinante de una matriz A.
2. ¿A qué es igual el determinante de una matriz triangular?
3. ¿Cómo es det A comparado con det(AT )?
4. Si A es una matriz que tiene una fila (o columna) de ceros, ¿Qué se
puede concluir del valor de su determinante?
5. ¿Qué valores puede tomar el determinante de A, si A es una matriz:
a) antisimétrica
b) ortogonal
c) idempotente.
B. Responda verdadero ´
o falso, justificando sus respuestas
1.
Si A y B matrices de orden n, entonces det(AB) = det(BA).
65
66
Cap´ıtulo 4. Determinantes
2.
Si A y B son matrices de tama˜
no n × n, entonces
det (A − B) = det A − det B.
3.
Si A y B son matrices equivalentes por renglones, det A = det B.
4.
El sistema homogéneo Ax = 0 tiene infinitas soluciones si |A| 6= 0.
5.
A y su adjunta conmutan.
6. Si A es una matriz singular, entonces det A 6= 0
1
7. Si A es no singular, A−1 =
adj A
det A
C. Poniendo en pr´
1. Use propiedades del determinante para calcular det A en cada caso

3
1 −2
−2

a) A = −3
5
4
2
5
7
a
a b c d
g 2. Si d e f = 20, calcule 5b
5e
5h .
c + a f + d i + g g h i 2x
x y z 2y
2z 3. Si 3 0 2 = 2, halle 3x + 3
3y
3z + 2.
x+2 y+2 z+2
1 1 1


3

−8
2
1
−1

b) A = 
 1
2
4
−3
−1
3

5
−4


2
7
D. Aplicaciones.
Use determinantes para encontrar
#» = (2, 3) y #»
a) El área del rectángulo con lados adyacentes u
v = (6, −4).
b) El volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados están determinados por los
#» = (2, 2, 0), #»
#» = (2, −2, −16). (Ejercicio
vectores u
v = (4, −4, 1) y w
11, página 162 de [1]).
67
on EMEMATIC
Ejercicios adicionales
1. Si k ∈ R y A es una matriz n × n, entonces det(kA) =
.
2. Sea A una matriz no singular de n × n. Calcule det(adj A).
3. Determine
los valores de
 λ, si existen, para los cuales la matriz

−λ

A= 1
2−λ
λ−1
2
λ+3
λ+1

3  no tiene inversa.
λ+7
4. Sea A una matriz 4 × 4 tal que 2A−1 = 2. Calcule −AT .
5. Sean A y B matrices de simétricas de 4 × 4. Si 2B −1 = 2, encuentre el
−1 T
valor de λ de modo que AB(adj B − B −1 ) + A
A = λI.

−1

6. Sean y A =  0
0
0
1
0


0
0


0 y B =  3
2
1
matriz X tal que X = A + B −1 A
0
0
2

2

1. Simplifique y encuentre la
3
3B −1 A
−1
|AB|. Halle x31 y x32 .
7. Sean A, B y C matrices 3 × 3 tales que |A| = 4, |B| = −2 y |C| = 3,
−1
calcule (adj A)(A−1 BC T ) + (AB T C −1 )−1 4.2.
Lecciones de clase
4.2.1.
Lecci´
on 1. Definiciones y propiedades
Se define el determinante de una matriz cuadrada y se deducen algunas de
sus propiedades a partir de ejemplos y se concluye con la formalización de
las mismas. Al finalizar la lección, el alumno podrá calcular determinantes
de una matriz usando tanto la definición como las propiedades.
Definici´
on 4.1 (Determinante 2 × 2). Sea A =
nante de A, se denota por det A ó
a11
a21
!
a12
. El determia22
y se define como
det A =
68
Definici´
on 4.2 (Menor ij de A). Sea A = (aij ) un matriz de tama˜
no
n × n. El menor ij de A, se denota por M ij y se define como la matriz que
se obtiene de A al suprimirle la fila i−ésima y la columna j−ésima.
Ejercicio 1. Calcule M11 , M12 y M13

2

de la matriz A = −2
3
−2
3
−3

3

−7.
8
Definici´
on 4.3 (Cofactor1 ij de A). Sea A = (aij ) un matriz cuadrada
de orden n. El cofactor ij de A, se denota por Aij y se define como
Aij = (−1)i+j |Mij |.
Observe que (−1)i+j =
(
1
−1
si i + j es par
si i + j es impar
Ejercicio 2. Calcule A11 , A12 y A13 de la matriz A del ejercicio anterior
Nota. La matriz formada por las cofactores de A, se denomina matriz de
cofactores y se denota por cof A. Es decir, cof A = Aij .
Definici´
on 4.4 (Determinante n × n). El

a11 a12 . . .

 a21 a22 . . .
A=
..
...
 ..
.
 .
an1 an2 . . .
y se define como
se denota por
determinante de la matriz

a1n

a2n 
.. 
,
. 
ann
= a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n =
n
X
a1j A1j
j=1
Ejercicio 3. Calcule el determinante y la matriz de cofactores de la matriz
A del ejercicio 1.
1
Algunos autores usan la notación cij para denotar los cofactores.
69
on EMEMATIC
Ejemplificando (NO DEMOSTRANDO) propiedades del determinante

3

1. El determinante de A = 0
0
5
7
0
es A?
2. El determinante de B =
8
0

3

7 es:
−6
¿Qué clase de matriz
!
0
es:
4
¿Qué clase de matriz es
B?
¿Cómo es el valor del determinante de las matrices A
y B comparado con el producto de sus componentes de la diagonal
principal?
Teorema 1. Si A es una matriz triangular, entonces det A =
!
!
2 1
−2
3
3. Considere las matrices A =
yB=
.
3 4
4 −6
a) det A =
¿A es invertible?
b) det B =
¿B es invertible?
¿Qué relación hay entre el determinante de una matriz con el hecho
que la matriz tenga inversa?
Teorema 2. A = (aij ) es una matriz invertible si y s´
olo si det A
2
3
!
1
y B =
4
AB, A−1 , B −1 , |A|, |B|, |AB|, A−1 y B −1 .
1
−2
.
!
3
. Calcule:
−9
a) ¿Cómo es |AB| comparado con |A||B|?
b) ¿Cómo es |A| comparado con A−1 ?
c) ¿Cómo es |B|−1 comparado con |B|?
Teorema 3. Sean A y B dos matrices de tama˜
no n × n. Entonces
det(AB) =
.
70
Teorema 4. Si A es invertible, entonces det(A−1 ) =
5. Responda verdadero ó falso a cada una de las siguientes afirmaciones,
Justifique su respuesta
a)
det(AB) = det(BA)
b)
det(A + B) = det A + det B
c)
det(A + A−1 ) = 1
d)
det(AA−1 ) = 1
Ejercicio 4. !
Encuentre los valores de k para los cuales la matriz
A=
k
4
−3
1−k
es singular.
!
1 2
6. Sea A =
. Calcule el determinante de la matriz B en cada
3 4
caso.Compárelo con |A| e identifique la operación que se realizó a la
matriz A para obtener la matriz B.
a) B =
3
1
!
4
, |B| =
2
=
|A|. Operaci´
on:
Teorema 5. Si B es una matriz que se obtiene de A al intercambiar
dos filas (columnas), entonces |B| = |A|.
!
5 10
= |A|. Operación:
b) B =
, |B| =
3 4
Teorema 6. Si B es una matriz que se obtiene de A al multiplicar
una fila (columna) por una constante λ 6= 0, entonces |B| = |A|.
!
3 6
c) B =
, |B| =
=
|A|. Operación:
6 8
!
5 10
d) B =
, |B| =
= |A|. Operación:
15 20
on EMEMATIC
71
Teorema 7. Sea 0 6= λ ∈ R y B una matriz de n × n tal que B = λA,
entonces |B| = |A|.
!
1
2
= |A|. Operación:
e) B =
, |B| =
0 −2
Teorema 8. Si B es una matriz que se obtiene de A al sumarle a un
rengl´
on (columna) un m´
ultiplo escalar de otro, entonces |B|
|A|.
Ejercicio 5. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular det A
en cada caso.

1

a) A = −2
3
4.2.2.

0
1

b) A = 
1
1

3

−7
8
−2
3
−3
1
0
1
1
1
1
0
1

1
1


1
0
Lecci´
on 2. Propiedades (continuaci´
on). Relaci´
on
determinante e inversa
Se contin´
ua con la ejemplificación y deducción de propiedades del determinante y se establece la relación de éste con la inversa de una matriz.


!
7 9
3
7 2


y A = 0 10
8. Calcule
3 10
5 0 −6
T
|A|, A para cada matriz A. ¿Cómo es |A| comparado con AT ?
T
A Teorema 9. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces |A|
Consecuencia: El determinante de una matriz se puede calcular por cualquier fila o columna. Esto es:

a A + a A + · · · + a A ; para i = 1, 2, . . . , n
i1
i1
i2
i2
in
in
|A| =
a A + a A + · · · + a A ; para j = 1, 2, . . . , n
1j
1j
2j
2j
nj
nj
72
a b
Ejercicio 1. Si d e
g h
a
c d
f = −15, encuentre 4b
4e
i
c−a f −d
8. Calcule det A en cada caso.
!
3 −6
a) A =
. ¿Cómo son las filas de A?
−12 24
!
2 5
b) A =
. ¿Cómo son las filas de A?
2 5
g 4h .
i − g
Teorema 10. Si A es una matriz que tiene por lo menos una fila (columna)
.
m´
ultiplo escalar de otra, entonces |A| =
!
!
!
11 5
−2 3
9 8
9. Sean A =
,B =
yC =
. Halle
4 8
4 8
4 8
|A|, |B| y |C|. Compárelos ¿Qué relación puede establecer?
Observe: A, B y C se diferencian u
ńicamente en la primera fila. Además, la
primera fila de C es la suma de la primera fila de A con la primera fila de B .
Teorema 11. Sean A, B y C matrices de tama˜
no n × n que difieren s´
olo
en la fila i. Si la fila i de C es la suma de la fila i de la matriz A con la fila
i de la matriz B. Entonces |C|
|A| + |B|.
Determinante e inversa
Definici´
on 4.5 (Matriz adjunta). Sea A = (aij ) de tama˜
no n × n. La
adjunta de A, denotada por adj A, se define como la transpuesta de la matriz
de cofactores de A.
Ejercicio 2. Encuentre la adjunta de la matriz A del ejercicio 1 de la lección
4.2.1, calcule A adj A y (adj A)A.
Teorema 12. A adj A = |A| I
73
on EMEMATIC
Ejercicio 3. Si A es singular, A adj A = 0. Justifique.
Ejercicio 4. Sean A y B matrices n×n. Muestre que adj(AB) = adj B adj A.
Justifique.
Ejercicio 5. Demuestre. Si A es no singular, entonces A−1 =
1
adj A.
|A|
Demostraci´
on
Ejercicio 6. Sea An×n una matriz invertible. Pruebe que |adj A| = |A|n−1 .
Ejercicio 7. Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Si −B −1 = 12 y
|A| = 3, calcule el determinante de la matriz C = A B adj B − B −1 + A
−1 |A|2 |C|2
T
. Halle su
Ejercicio 8. Muestre que [adj(AC)] AB C =
|B| valor si A, B y C son matrices 4×4 tales que |A| = 3, |B| = −8 y 2C T = −32.
Regla de Cramer
Sea A una matriz n×n invertible. Entonces el sistema Ax = b tiene solución
u
ńica dada por
|Aj |
xj =
, j = 1, 2, . . . , n,
|A|
donde Aj es la matriz que se obtiene de A reemplazando la j−ésima columna
de A por el vector columna b.
Ejercicio 9. Resuelva los siguientes sistemas mediante la regla de Cramer
a)
2x + 3y = 3
3x + 2y = 2
x− y+ z =2
b) 2x + y + z = 2
3x + 2y − 2z = 3
74
no n × n.
1. A es invertible.
y la solución es
.
solución es
pivotes
7. det A
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
de las filas de A.
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
las columnas de A.
. Es decir,
de
Cap´ıtulo 5
Espacios vectoriales reales
Se generalizan algunos conceptos estudiados en los cap´ıtulos 2 y 3, vectores
en R3 y matrices m × n, y se introduce el concepto de espacio vectorial como
una estructura algebraica sobre un conjunto no vac´ıo en el cual se definen
dos operaciones, una interna llamada suma, ⊕, y una externa al conjunto
denominada multiplicación por un escalar, ⊙. Asimismo, se generaliza el
concepto de combinación lineal como célula generadora para la definición de
dependencia e independencia lineal, espacio generado y conjunto generador
de un espacio vectorial.
Se estudian caracterizaciones para determinar si un subconjunto no vac´ıo de
un espacio vectorial es un subespacio. Se finaliza con el cambio de base y el
proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
5.1.
Taller pre-clase
A. Teor´ıa Realice un estudio comparativo entre la definición de espacio
vectorial general y la definición de espacio vectorial en R2 , Rn y Mm×n .
Establezca similitudes y diferencias.
B. Poniendo en pr´
actica la aprendido
1. V = (R2 , ⊕, ⊙) es un espacio vectorial, donde ⊕ y ⊙ se definen de la
75
76
Cap´ıtulo 5. Espacios vectoriales reales
siguiente manera:
(x, y) ⊕ (z, w) = (x + z − 1, y + w − 1)
λ ⊙ (x, y) = (λx − λ + 1, λy − λ + 1)
a) Halle el elemento neutro para la suma as´ı definida
b) Encuentre el opuesto para cada vector v de R2
c) Verifique que λ ⊙ [(x, y) ⊕ (z, w)] = λ ⊙ (x, y) ⊕ λ ⊙ (z, w)
2. V = (R+ , ⊕, ⊙) es un espacio vectorial, donde ⊕ y ⊙ se definen de la
siguiente manera:
x ⊕ z = xz
λ ⊙ x = xλ
a) Determine el elemento neutro para la suma as´ı definida
b) Encuentre el opuesto para cada vector v de R+
c) Compruebe que (λ + µ) ⊙ x = λ ⊙ x ⊕ µ ⊙ x
3. Sean W = gen {(1, 1, 1), (1, 0, 2)} y H = (x, y, z) ∈ R3 : 3x − 2y + z = 0
subespacios de R3 .
a) Determine W ∩ H
a) Halle una base para W ∩ H y dim (W ∩ H)
4. Determine el valor (o valores) de λ de modo que el vector #»
v = (1, 3, λ)
#»
#»
no esté en el espacio generado por v1 = (1, 0, −2) y v2 = (2, −1, 5).
5. Sean #»
x1 , #»
x2 , . . . , #»
xk ∈ Rn , 2 ≤ k ≤ n, tales que #»
x i • #»
xj =

0,
1,
si i 6= j
si i = j
.
Muestre que #»
x1 , #»
x2 , . . . #»
xk son linealmente independientes.
 
 
1
1
 
 
#»
#»
3
6. Construya una base de R que contenga a v1 = 0 y a v2 = −1.
1
1
Explique claramente su respuesta.
77
on EMEMATIC
 
 
1
1
0
−1


#» = 
#» = 
7. Construya una base para R4 que contenga a v
 ya v
 .
1
2
2
−2
0
1
Explique claramente su respuesta.
#» = (1, 2), v
#» = (1, 0)} y B = {w
#» , w
#» } bases de R2 . Si la
8. Sean B1 = { v
2
1
2
1
2 !
matriz de transición de B1 en B2 es PB1 B2 =
2
1
1
, halle la base B2 .
1
9. Encuentre una base para el n´
ucleo y la imagen de cada una de las
siguientes matrices. Además, determine su nulidad y su rango.

1

a) A = −3
5

−1
4
−6
−1
1
−1
1
1
 0

a) B = 
 2
−1

2

−5
12
10. Construya una base ortonormal para
H = (x, y, z) ∈ R3 : 3x − 2y − z = 0 .

0
1


−1
2
o falso a las siguientes afirmaciones.
Justifique cada una de sus respuestas
1.
2.
3.
4.
5.
Los vectores 1, x, x2 , 2 − x + x2 generan a P2 .
Los vectores 1, x, x2 , 2 − x + x2 forman una base para P2 .
Todo conjunto generador de un espacio vectorial es una base.
Toda base de un espacio vectorial es un conjunto generador.
(
El conjunto S = A1 =
H=
6.
(
2
6
a
3a
!
2
, A2 =
0
a−b
b
!
1
3
!)
−1
es una base para
2
: a, b ∈ R
)
.
Sea A una matriz 4×5. Si el rango de A es 4, entonces ker A = {0}
D. Aplicaciones. Consulte en su Facultad sobre aplicaciones de espacios
vectoriales. Además, consulte cómo se aplican los conceptos de espacio
vectorial en comunicaciones.
78
5.2.
Lecciones de clase
5.2.1.
Lecci´
on 1. Definici´
on. Subespacios
Con esta la lección el alumno podrá determinar si un conjunto dado con las
operaciones definidas en él, es un espacio vectorial o no. Asimismo, será capaz
de verificar cuando un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.
Definici´
on 5.1 (Espacio Vectorial). Sea V un conjunto no vac´ıo, en el
cual se definen dos operaciones ⊕ y ⊙, llamadas suma y multiplicaci´
on
por un escalar (n´
umero real), respectivamente. Se dice que V con las dos
operaciones es un espacio vectorial, si satisface los siguientes axiomas:
Para la suma
1S. Si u, v ∈ V , entonces u ⊕ v ∈ V
2S. Si u, v ∈ V, entonces u ⊕ v = v ⊕ u
3S. Para cada u, v, w ∈ V , se tiene
(u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w)
4S. Existe e ∈ V tal que para cada u ∈ V ;
u⊕e=u
5S. Para cada u ∈ V , existe w ∈ V tal
que u ⊕ w = e
Para la multiplicación por un escalar
1M. Si u ∈ V y λ ∈ R, entones λ ⊙ u ∈ V
2M. Si u, v ∈ V y λ ∈ R, entonces
λ ⊙ (u ⊕ v) = λ ⊙ u ⊕ λ ⊙ v
3M. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces
(λ + β) ⊙ u = λ ⊙ u ⊕ β ⊙ u
4M. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces
(λβ) ⊙ u = λ ⊙ (β ⊙ u)
5M. Para cada u ∈ V, 1 ⊙ u = u
Notaci´
on y observaciones.
1. Un espacio vectorial se denota de cualquiera de las siguientes formas:
(V, ⊕, ⊙), (V, ⊕), V.
2. Cada uno de los elementos de un espacio vectorial se llama vector.
3. El vector e se llama el elemento identidad o el m´
odulo para ⊕.
4. El vector w ∈ V de la propiedad 5S se llama el inverso de u, y se
denota por ⊖u; de modo que u ⊖ u = u ⊕ (⊖u) = e.
79
on EMEMATIC
5. Cuando no se indican las operaciones, se asume que son las usuales.
Cuando se especifican las usuales, estas no se encierran en un c´ırculo.
En este caso, e = 0 y ⊖u = −u.
Ejercicio 1. Determine cuáles de los conjuntos con las operaciones indicadas
son espacios vectoriales. Si no lo es, diga qué propiedades no satisface.
a) V = (N, +)
g) V = (Rn , +)
b) V = (Z, +)
h) V = (M2×2 , +)
c) V = (Q, +)
i) V = (M2×2 , ·)
d) V = (I, +)
−1
j) V = (Mn×n
, +)
e) V = (R, +)
k) V = (Mm×n , +)
f) V = (R2 , +)
−1
l) V = (Mn×n
, ·)
m) V =
(
n) V =
(
!
)
x
: y = 2x + 1
y
x
y
!
: y = 2x
)
n
˜) V = (P2 , +)
Notaciones.
• Mm×n representa las matrices de tama˜
no n × n.
−1
• Mn×n
representa las matrices invertibles de tama˜
no n × n.
• P2 representa los polinomios de grado ≤ 2 junto con el polinomio 0.
• Pn representa los polinomios de grado ≤ n junto con el polinomio 0.
Definici´
on 5.2 (Subespacio).
Teorema 1 (Caracterizaci´
on de subespacio). Sea V un espacio vectorial
y H un subconjunto no vac´ıo de V . H es un subespacio de V si y s´
olo
λh1 + βh2 ∈ H para todo h1 , h2 ∈ H y λ, β ∈ R.
Ejercicio 2. Pruebe las siguientes afirmaciones
80
a) Si 0 ∈
/ H, entonces H no es subespacio de V .
b) H no es subespacio de V , si en H no se cumple la cerradura para la suma.
c) H no es subespacio de V , si en H no se cumple la cerradura para la
multiplicación por un escalar.
Ejercicio 3. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios
del espacio vectorial dado
a) H =
(
x
y
!
b) H =
(
x
y
!
∈
R2
:x≥0 y y≥0
∈ R2 : y = 2x
(
)
e) H = A ∈ M2×2 : A =
)
a
b
(
c) H =
x
y
!
∈
R2
)
: y = 2x + 3
d) H = {D ∈ Mn×n : D es diagonal}
!
)
5a
; a, b ∈ R
0
f) H = p(x) = c + bx + ax2 ∈ P2 : a − 2b + c = 0
g) H = (x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0; a, b, c ∈ R
h) H = {A ∈ Mn×n : |A| 6= 0}
j) H = {0}
i) H = {p(x) ∈ P4 : gr(p(x)) = 4}
k) H = V
y
l) El conjunto dado por la gráfica
y = x2
x
Ejercicio 4. Sean H1 y H2 subespacios de V .
a) Demostrar que H = H1 ∩ H2 es un subespacio de V .
b) ¿H = H1 ∪ H2 es un subespacio de V ?
on EMEMATIC
5.2.2.
81
Lecci´
on 2. Combinaci´
on lineal, independencia y
dependencia lineal, espacio generado
En esta lección se generalizan los conceptos de combinación, independencia
y dependencia lineal, as´ı como espacio generado y conjunto generador los
cuales fueron estudiados para vectores en Rn , n > 1 y para matrices m × n,
a cualquier conjunto que sea espacio vectorial. Con estas generalizaciones, el
estudiante podrá avanzar hacia la abstracción y entender los conceptos de
manera natural y coherente con el contenido desarrollado.
Definici´
on 5.3 (Combinaci´
on lineal). Sean u, v1 , v2 , . . . , vk elementos de
un espacio vectorial V . Se dice que u es combinaci´
on lineal de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk , si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
u = λ1 v 1 + λ2 v 2 + · · · + λk v k =
k
X
λi v i
i=1
Observaciones.
1. La multiplicación del escalar λi con el vector vi depende de la forma
como se haya definido en el espacio vectorial.
2. La igualdad (=) es la definida en cada espacio.
3. Después de establecer la igualdad se obtiene un sistema de ecuaciones
lineales en λ1 , λ2 , . . . , λk , el cual puede ser consistente en cuyo caso, u
es combinación lineal de los vectores vi o ser inconsistente, de donde
se concluye que u no es combinación lineal de los vi .
Ejercicio 1. Determine si u es combinación lineal de los vectores dados.
a) u =
!
1
;
5
b) u =
!
−1
;
2
v1 =
v1 =
!
1
, v2 =
3
!
2
7
!
1
, v2 =
−2
!
−2
4
82
c) u = 5 + x2 ;
v1 = 1 + x, v2 = x2
d) u = 2 + 2x − x2 ;
e) u =
4
−9
f) u =
2
1
v1 = 1 + x, v2 = x2
!
14
;
2
−7
10
!
3
, v1 =
1
1
1
v1 =
1
0
!
1
, v2 =
0
−1
4
1
0
!
2
, v2 =
5
!
1
, v3 =
1
0
3
1
1
1
2
!
−2
6
!
0
1
Definici´
on 5.4 (Independencia y dependencia lineal). Sea V un
espacio vectorial y S = {v1 , v2 , . . . , vk } ⊆ V . Se dice que S es un conjunto
de vectores linealmente independiente (LI) si el vector nulo se puede
escribir de manera u
´ nica como combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vk . Es decir,
0=
X
implica 0 = λ1 = λ2 = · · · = λk
De otro modo, se dice que S es un conjunto linealmente dependientes
(LD).
Ejercicio 2. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores
es linealmente independiente o dependiente.
(
a) S = v1 =
!
1
, v2 =
3
!)
2
7
b) S = v1 = 1 + x, v2 = 1 + x2 , v3 = 1 + x + x2
c) S = v1 = 1 + x, v2 = 1 − 2x + 3x2 , v3 = 1 + x2



 
 


1
6
−5 

 
 


d) S = v1 = 2 , v2 = 11 , v3 =  −9 




3
17
−14
(
e) S = A1 =
1
0
!
0
, A2 =
0
2
0
!
−1
, A3 =
0
−1
0
!)
1
0
83
on EMEMATIC
Definici´
on 5.5 (Espacio generado). Sea S = {v1 , v2 , . . . , vk } ⊂ V . El
espacio generado por S es el conjunto de las combinaciones lineales de
v1 , v2 , . . . , vk . Es decir:
gen {v1 , v2 , . . . , vk } = {u ∈ V : u = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk }
Ejercicio 3. Determine el espacio generado por los vectores
a)
c)
e)
f)
!
!
!
!
1
2
1
−2
v1 =
, v2 =
b) v1 =
, v2 =
3
7
−2
4
 
 
1
6
 
 
v1 = 2 , v2 = 11
d) v1 = 1 + x, v2 = 2 + x2
3
17
v1 = 1 + x, v!2 = 1 − 2x + 3x2 ,!v3 = 1 + x2
1 0
2 −1
A1 =
, A2 =
0 0
0
0
Definici´
on 5.6. Se dice que S = {v1 , v2 , . . . , vk } ⊂ V es un conjunto
generador del espacio vectorial V si todo vector u ∈ V se puede escribir
como combinación lineal de los elementos de S.
Ejercicio 4. Pruebe que S =
(
v1 =
!
1
, v2 =
3
!
2
, v3 =
7
conjunto generador de R2 .
!)
4
es un
−2
Ejercicio 5. Pruebe que S1 y S2 son conjuntos generadores de R3
      

1
1 
 −1

     
S1 =  1 , 0 , 0 ,




0
1
0
      

0
0 
 1

     
S2 = 0 , 1 , 0




0
0
1
Ejercicio 6. Pruebe que S1 y S2 son conjuntos generadores de P2
S1 = v1 = 1, v2 = x, v3 = x2
S2 = w1 = 1 + x + x2 , w2 = 1 − x, w3 = 1 + x2
Ejercicio 7. Pruebe que S1 es un conjunto generador de M2×2
S1 =
(
A1 =
1
0
!
0
, A2 =
0
0
0
!
1
, A3 =
0
0
1
!
0
, A4 =
0
0
0
!)
0
1
84
Observe que la diferencia de estas definiciones con las dadas para vectores en
Rn , n > 1 y para matrices m × n es que aqu´ı se hace para cualquier conjunto
V que es espacio vectorial.
Ejercicio 8. Encuentre conjuntos generadores de las espacios vectoriales
dados que sean linealmente independientes.
a) Rn ; S1 =
S2 =
b) P3 ; S1 =
S2 =
c) Pn ; S1 =
S2 =
d) M2×2 ; S1 =
S2 =
5.2.3.
Lecci´
on 3. Bases y dimensi´
on.
fundamentales de una matriz
Espacios
Se describen los conceptos fundamentales de base y dimensión de un espacio
finito dimensional. Además, se caracterizan los espacios fundamentales de
una matriz, haciendo énfasis en el espacio nulo. El estudiante finalizará la
lección caracterizando las bases para un espacio vectorial dado, su dimensión
y el uso del teorema de la dimensión.
Definici´
on 5.7 (base). Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto no vac´ıo
de un espacio vectorial V . Se dice que S es una base para V si
1. S genera a V .
2. S es un conjunto LI
Ejercicio 1. Determine si el conjunto dado es o no una base para V .
on EMEMATIC
(
a) S = v1 =
b) S
c) S
d) S
e) S
!
1
, v2 =
1
85
!)
−1
; V = R2
3
 
 
 
−1 
−1
1

 
 
 
= v1 = 1 , v2 =  3 , v3 =  1 ; V = R3




0
2
2

 
 
 

−1 
−1
1


 
 
 
= v1 = 1 , v2 =  1 , v3 =  3 ; V = R3




4
2
0
= f 1 = 1 + x, f 2 = 1 − 2x + 3x2 , f 3 = 1 + x2 ; V = P2
(
!
!
!
!)
1 1
1 1
1 1
1 0
=
,
,
,
; V = M2×2
1 1
1 0
0 0
0 0



Teorema 2. Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos,
entonces cualquier otra base de V también tiene n elementos.
El teorema anterior justifica la siguiente definición.
Definici´
on 5.8 (Dimensi´
on). Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, se dice que V es finito–dimensional y n es la dimensión de V .
Se denota por dim V = n. Si V = {0} , dim V = 0. En otro caso, se dice que
V es de dimensión infinita.
En la página siguiente se muestra una tabla con los espacios vectoriales más
usados con la base canónica y su dimensión.
86
Bases can´
onicas
Espacio
Base canónica
Dimensión
V =R
{1}
( !
!)
1
0
,
0
1
1
V = R2
      
0
0 

 1

     
0 , 1 , 0 . También {e1 , e2 , e3 }




0
0
1
V = R3
V = Rn
V = P1
3
 
0
 
0
 
 .. 
.
 

{e1 , e2 , . . . , en }, donde ei = 
1 ←− Posición i
 .. 
.
 
 
0
0
n
{1, x, x2 }
3
{1, x}
V = P2
{1, x, x2 , . . . , xn }
V = Pn
V =P
(
V = M2×2
(
V = M2×3
V = Mm×n
2


1





 0

.
 ..






 0
0
1
0
0
0
0
0
0
···
0
..
.
···
..
.
0
...
n+1
{1, x, x2 , . . . , xn , . . .}
!
!
!
0
0 1
0 0
0
,
,
,
0
0 0
1 0
0
1
!
,
 
0
1
0
0
0
0
0
1
 

0
 0
, .
.. 
.
.
 .
0
..
.
0
0
0
0
···
···
..
.
...
!
,...,

0
1
0
0
0
0
1

0


0
0


, . . . , .
.. 
 ..

.

0
..
.
0
0
0
∞
!)
0
0
0
2
4
!)
···
···
..
.
...
6

0 





0


.. 
. 



1 
mn
87
on EMEMATIC
Ejemplo 5.1. Determine una base para el subespacio vectorial de R2
x H=
3x + y = 0 .
y
0
Soluci´
on. Como 3 · 0 + 0 = 0, entonces
∈ H. Luego, H 6= ∅.
0
x
Sea
∈ H. Entonces 3x + y = 0. Es decir, y = −3x, x ∈ R. Luego,
y
x
y
De ah´ı, H = gen
y su dimensión es 1.
!
1
−3
=
!
x
−3x
!
!
1
=x
, x ∈ R.
−3
. Por lo tanto, una base para H es S =
1
−3
!
Ejercicio 2. Halle una base para cada uno de los siguientes subespacios
vectoriales y determine su dimensión.
 



x


 
3
a) H = y  ∈ R : x + y − 2z = 0




z
b) H = {p(x) = d + cx + bx2 + ax3 ∈ P3 : a = b, c = d + 2b}
c) H = {A ∈ M2×2 : A es simétrica}
Espacios fundamentales de una matriz
Sea A una matriz de tama˜
no m × n.
Definici´
on 5.9 (Espacio nulo, n´
ucleo o kernel). El espacio nulo,
n´
ucleo o kernel de A, denotado por NA o ker A y se define como
NA = ker A = {x ∈ Rn : Ax = 0} .
88
Teorema 3. ker A es un subespacio de Rn .
Demostraci´
on. Es claro que ker A 6= ∅ pues 0 ∈ ker A. Ahora demostraremos
la cerradura de la suma y de la multiplicación por un escalar
1. Sean x1 , x2 ∈ ker A. Entonces Ax1 = 0 y Ax2 = 0. (Hipótesis). Ahora,
A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0. Esto implica que x1 , x2 ∈ ker A.
2. Ahora consideremos, x1 ∈ ker A y λ ∈ R. Entonces Ax1 = 0. Ahora
A(λx1 = λAx1 = λ0 = 0, de donde λx1 ∈ ker A.
Por lo tanto, ker A es un subespacio de Rn .
Definici´
on 5.10 (Nulidad). La nulidad de A que se denota por ν(A) se
define como ν(A) = dim(ker A).
Ejercicio 3. Encuentre el n´
ucleo, una base para el n´
ucleo y la nulidad de
las siguientes matrices

1

a) A = 0
1
4
1
5
5
−2
3

−7

3
−4

1

b) B = 8
9
Complete el enunciado del siguiente teorema.
0
5
7

0

0
2
Teorema 4. An×n es invertible si y s´
olo si ν(A) =
Definici´
on 5.11 (Imagen). La imagen de A es
im A = {y ∈ Rm : Ax = y, para alg´
u n x ∈ Rn } .
Teorema 5. im A es un subespacio de Rm .
Demostraci´
on. Ejercicio
Definici´
on 5.12 (Rango). El rango de A es ρ(A) = dim(im A).
Ejercicio 4. Encuentre la imagen, una base para la imagen y el rango de
cada una de las matrices del ejercicio 3, pagina 88.
on EMEMATIC
89
¿A qué es igual la nulidad más el rango de cada una de las matrices anteriores?
Teorema 6. An×n es invertible si y s´
olo si ρ(A) =
Teorema 7 (Teorema de la dimensi´
on). Sea A una matriz de tama˜
no
m × n, entonces
ν(A) + ρ(A) = n.
Definici´
on 5.13 (Espacio rengl´
on). El espacio rengl´
on o espacio fila
de Am×n denotado por FA o RA , se define como
FA = RA = gen {f1 , f2 , . . . , f } .
Definici´
on 5.14 (Espacio columna). El espacio columna de Am×n que
se denota por CA es
CA = gen {c1 , c2 , . . . , c } .
Teorema 8. Si A una matriz de m × n, entonces
1. im A = CA
2. dim RA = dim CA = ρ(A)
Ejemplo 5.2. En la matriz A del ejercicio 3, pagina 88 se tiene

     


0 

 1
 
 x
   
 
3
im A = CA = gen 0 , 1 = y  ∈ R x + y − z = 0


 

 1
1   z
Teorema 9. Sea B una matriz equivalente por renglones con la matriz A.
Entonces
1. FA = FB
2. ν(A) = ν(B)
3. ρ(A) = ρ(B)
Ejercicio 5. Halle una base para el espacio fila y una base para el espacio
columna de las matrices del ejercicio 3, página 88.
Teorema 10. dim(FA ) = dim(CA ) = ρ(A)
90
5.2.4.
Lecci´
on 4. Vector de coordenadas, cambio de base, bases ortonormales y proyecciones en Rn
Al finalizar la lección el alumno podrá determinar las coordenadas de un
vector con respecto a una base fija. Además, realizará cambios de coordenadas
de una base a otra, usará el proceso de Gram-Schmidt para ortonormalizar
una base, es decir para encontrar otra que tenga vectores ortogonales y Se
generaliza el concepto de proyección estudiado en la lección 3 sección 2.2.3
del cap´ıtulo 2 de la pagina 36.
Ejercicio 1. Sean
B1 =
(
#» =
u
1
!
1
#» =
,u
2
0
!)
(
0
#» =
y B2 = v
1
1
!
1
#» =
,v
2
1
!)
1
2
bases de R2 . Compruebe que los escalares que permite escribir los vectores
de la base B1 como combinación lineal de los elementos de la base B2 son 2
#» , y −1 y 1 para u
#» . Se puede denotar
y −1 para u
1
2
#» ] =
[u
1 B1
2
−1
!
#» ] =
y [u
2 B1
!
−1
.
1
Ejercicio 2. Considere B1 = {1, x, x2 } la base canónica de P2 y
B2 = {2 + 3x + x2 , 1 − 2x + x2 , −1 + 6x2 } otra base.
a) Encuentre los escalares que permiten escribir cada vector de B1 como
combinación lineal de los vectores de la base B2 .
b) Encuentre los escalares que permiten escribir cada vector de B2 como
combinación lineal de los vectores de la base B1 .
Nota. Los escalares que se encuentran en los dos ejercicios anteriores y que
permiten escribir un vector como combinación lineal de los vectores de una
base forman un vector columna denominado vector de coordenadas, tal
como se define a continuación.
91
on EMEMATIC
Definici´
on 5.15 (Vector de coordenadas). Sea V un espacio vectorial,
B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V y u ∈ V . El vector de coordenadas de
u en la base B se define como el vector columna formado por los escalares
c1 , c2 , . . . , cn que permiten escribir a u como combinación lineal de los vectores
de la base B y se denota por [u]B . Es decir,
 
c1
 
 c2 

olo si
[u]B = 
 ..  si y s´
.
cn
Definici´
on 5.16 (Matriz de transici´
on). Sea V un espacio vectorial de
dimensión n, B1 = {v1 , v2 , . . . , vn } y B2 bases de V . La matriz A tal que
A [u]B1 = [u]B2 ,
(5.1)
se denomina la matriz de transición de B1 a B2 y se denota por A = P B1 B2 .
Nota. La matriz de transición de B1 a B2 está dada por
A = [v1 ]B2 [v2 ]B2 . . . [vn ]B2
Ejercicio 3. Escriba la matriz de transición de B1 a B2 del ejercicio 1.
Ejercicio 4. Escriba la matriz de transición de B2 a B1 del ejercicio 2.
Bases ortonormales
Ejercicio 5. Sea B = {e1 , e2 , . . . , en } la base canónica de Rn . Entonces
1. ei • ej =
2. kei k =
para cada par de vectores distintos de B.
para cada vector de B.
Una base B que satisface las dos condiciones anteriores se denomina base
ortonornmal de Rn . Ahora generalizamos este concepto.
Definici´
on 5.17. Sea S = {u1 , u2 , . . . , uk } un subconjunto de Rn . Se dice
que S es un conjunto ortonormal si satisface las siguientes condiciones:
1.
2.
Si S satisface sólo
, se dice que S es ortogonal.
92
Ejercicio 6. Encuentre un conjunto de R3 que sea ortogonal y que no sea
ortonormal. ¿Cuántos elementos puede tener a lo sumo este conjunto?
Teorema 11. Si S = {u1 , u2 , . . . , uk } ⊆ Rn es ortogonal, entonces S es un
conjunto linealmente independiente.
Demostraci´
on. Ejercicio
Definici´
on 5.18 (Base ortonormal). Una base de Rn que es un conjunto
ortonormal se denomina base ortonromal de Rn .
Proyecciones en Rn y proceso de Gram–Schmidt
Sea H un subespacio de Rn y S = {v1 , v2 , . . . , vm } una base de H. Para
construir una base B = {u1 , u2 , . . . , um } ortonormal para H a partir de S,
se procede de la siguiente manera:
w1
,
kw1 k
w2
,
u2 =
kw2 k
u1 =
donde w1 = v1 . Observe que ku1 k =
donde w2 = v2 − (v2 • u1 )u1
En general
uk+1
wk+1
=
w ,
k+1
donde wk+1 = vk+1 −
k
X
(vk+1 • ui )ui
i=1
#»
v
3
#»
w
3
#»
w
2
u
ˆ3
u
ˆ2
O u
ˆ1
#» = v
#»
w
1
1
O u
ˆ1
#»
w
2
#»
v
2
#» = v
#»
w
1
1
#»
v
2
u
ˆ2
O u
ˆ1
#» = v
#»
w
1
1
Figura 5.1. Proceso de Gram–Schmidt en R3
93
on EMEMATIC
Ejercicio 7. Construya una base ortonormal para R3 a partir de la base
     

1
1 
 1

     
S = 0 , 1 , 1




1
0
1

 



 x
 
Ejercicio 8. Sea H = y  : x − y + z = 0 un subespacio de R3 . Deter



z
mine una base B para H y construya una base ortonormal a partir de B.
Ejercicio 9. Construya una base ortonormal para el n´
ucleo de la matrices
dadas en el ejercicio 3 de la página 88.
Ejercicio 10. Determine una base ortonormal para

 
 
 
 
1
2
1
1 




−1

 3
−2
 1 

 
 
 
 
H = gen v1 =   , v2 =   , v3 =   , v4 =   .

 0
 1
 1
 1 






1
0
−1
−1
no n × n.
1. A es invertible.
solución es
.
y la solución es
pivotes
7. det A
94
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
de las filas de A.
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
las columnas de A.
. Es decir,
de
14. ν(A) =
15. ρ(A) =
Cap´ıtulo 6
Transformaciones lineales
Se estudia el concepto de transformación lineal y se analiza la geometr´ıa de
algunas transformaciones lineales en R2 .
El estudiante reconocerá las funciones que son transformaciones lineales,
será capaz de representarlas matricialmente y de relacionar el espacio nulo e
imagen de la transformación con la de la matriz que la representa, as´ı como
usar adecuadamente el teorema de la dimensión.
6.1.
Taller pre-clase
A. Teor´ıa
Realice un estudio comparativo entre las operaciones y algunas funciones
estudiadas en los cursos de matemáticas y determine cuáles satisfacen
las proiedades de linealidad. Es decir, las dos propiedades que cumple y
definen una transformación lineal
B. Aplicando la teor´ıa
1. Halle una transformación lineal T : R2 7→ R3 si
T
 
!
2
1
 
= −1
3
1
95
y
T
 
!
−4
−1
 
=  2
4
−2
96
Cap´ıtulo 6. Transformaciones lineales
2. Dada la transformación lineal T : R4 7→ R3 definida por
 


x
x
−
2y
+
2z
+
3w
y 

  
T =
y + 4z + w 
z 
x
+ 6z + 6w
w
a) Halle ker T , una base para ker T y la nulidad de T .
b) Encuentre im T , una base im T y el rango de T .


2
 
c) ¿El vector −4 ∈ im T ? Explique su respuesta.
6
3. Sea T : P2 7→ P2 una transformación lineal que satisface
T (1 + x) = 2 + 3x + x2 ,
T (1) = 1 + x,
T (1 − x + x2 ) = 3 + 4x + x2
a) Halle la transformación lineal T .
b) Halle la matriz de la transformación
c) Encuentre el n´
ucleo y la nulidad de T .
d) Determine una base para la imagen y el rango de T .
4. Encuentre una transformación lineal T : R3 7→ R2 tal que
   
( !
)

1 

 1
a
   
2
e im T =
∈ R : 2a − b = 0
ker T = gen 1 , 0


b


1
1
5. Halle una transformación lineal T : R2 7−→ R2 de manera que la región
y
5
4
3
3
2
2
se transforme en
1
0
v
1
.
0
u
-1
x
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
6. Sea T : R2 7→ R2 una transformación definida por
T
x
y
!
=
cos θ
sen θ
− sen θ
cos θ
!
!
x
, 0 ≤ θ < 2π (ó − π < θ ≤ π).
y
97
on EMEMATIC
a) Demuestre que T es una transformación lineal
!
!
!
1
0
3
b) Halle la imagen de los vectores
,
y
0
1
2
ii. Si θ = −π/3
i. Si θ = π/4
c) Muestre que kT (v)k = kvk, donde v =
7. Sea A =
1
−1
2
0
!
!
x
.
y
la matriz de la transformación T : R2 7−→ R2 ,
referida a las bases B1 =
(
!
1
,
2
!)
( !
3
1
y B2 =
,
4
3
!)
2
, halle la
7
transformación.
8. Sea T : P2 7→ P1 una transformación lineal definida por T (p) = p′ , en
d
[p(x)].
donde p′ (x) =
dx
a) Determine el n´
ucleo de la transformación y la nulidad.
b) Determine la imagen de la transformación y el rango.
c) Halle la matriz de la transformación con respecto a las bases: B1
la base usual de P2 y B2 = {1, 1 + x} base de P1 .
9. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal definida por
Si AT =



2
1
1
1
 
x
 
T y  =
z
−1
−3
!
x+y−z
2x + 3y − 4z
!
.
es la matriz de T relativa a las bases
 
 
 
1
3
−1 

  #»
  #»
 
#»
#» , w
#» }
B1 =
v1 = 2 , v2 = 2 v3 =  1 de R3 y B2 = {w
1
2




1
3
4
de R2 , halle la base B2 .
o falso. Justifique claramente su respuesta
1.
Si T : V 7→ W una transformación lineal uno a uno (o inyectiva),
entonces ker T = {0}, (0 es el vector nulo de V ).
98
2.
Si T : V →
7 W una transformaci´
on lineal, entonces el n´
ucleo y
la imagen de T siempre son diferentes de vac´ıo, es decir, ker T 6= ∅ e
im T 6= ∅.
3.
Si T : V 7→ W es una transformación lineal sobreyectiva, im T = W .
D. Aplicaciones
Identifique los conceptos que permiten solucionar la siguiente situación.
Un caricaturista moderno emplea computadora y álgebra lineal para
transformar las imágenes
y
3
2
T
2
b
1
v
3
b
b
1
b
b
b
b
b
0
b
b
b
b
x
b
-1
0
b
b
u
b
-1
-2
-1
0
1
2
(a)
-2
-1
0
1
2
(b)
Figura 6.1. Deslizamiento en transformaciones de imágenes
Suponga que trata de dar la sensación de movimiento a la imagen de la
figura 6.1(a), inclinándola y estirándola (horizontalmente) en forma gradual para llegar a la figura 6.1(b). Si el estiramiento gradual necesario,
por ejemplo, a lo largo del eje x es 50 %, ¿cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen inclinada?
(ver [7], página 306).
6.2.
Lecciones de clase
6.2.1.
Lecci´
on 1. Definici´
on y propiedades
Se estudia el concepto de transformación lineal y las propiedades que la
caracterizan.
99
on EMEMATIC
Al finalizar la lección, dada una función, el estudiante podrá determinar si es
o no una transformación lineal a partir de la definición o de las propiedades
que la caracterizan. Asimismo, conociendo las imágenes de los vectores de
una base del espacio de partida donde está definida la transformación lineal,
podrá determinar la regla que la define.
Definici´
on 6.1 (Transformaci´
on lineal). Sean V y W espacios vectoriales.
Una Transformación Lineal T de V en W (T : V 7→ W ) es una función que
satisface las siguientes condiciones:
1. T (u + v) = T (u) + T (v), para cada u, v ∈ V .
2. T (λu) = λT (u), para cada u ∈ V y para cada escalar (real) λ.
Ejercicio 1. Demuestre que la función T dada es una transformación lineal.
a) T :
R2
7→
R2 ;
x
y
T
!
!
x
.
−y
=
b) T : R+ 7→ R, T (x) = ln x. Ver ejercicio B2 del taller pre-clase cap´ıtulo 5.
Ejercicio 2. Sea T :
R2
7→
x
y
R2 ; T
!
=
x + βy
y
!
una transformación lineal.
Bosqueje la región obtenida al aplicar la transformación al rectángulo dado,
cuando β = 2 y cuando β = −3.
y
3
y′
3
2
2
2
1
1
1
0
0
x
-1
x′
-1
-1
0
1
2
3
4
y′
3
0
x′
-1
-1
0
1
2
3
4
(b) β = 2
5
6
7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
(c) β = −3
Observaci´
on. Una transformación lineal T : V 7→ W también recibe el
nombre de operador lineal.
Ejemplo 6.1. D : C 1 [R] 7→ C 0 [R] dada por D[f (x)] = f ′ (x) es un operador
lineal, llamado operador derivada.
100
Teorema 1. Si T : V 7→ W es una transformaci´
on lineal, entonces
1. T (0V ) = 0W!.
2. T (u − v) = T (u) − T (v); u, v ∈ V .
k
k
X
X
λi T (vi ); λi ∈ R, vi ∈ V .
3. T
λi v i =
i=1
i=1
Ejercicio 3. Determine cuál o cuáles de las siguientes funciones dadas son
transformaciones lineales:
a)
b)
c)
d)
e)
T
T
T
T
T
: R 7→ R; T (x) = −3x
: R 7→ R; T (x) = −3x + 2
: C 1 [0, 1] 7→ C[0, 1]; T (f (x)) = f ′ (x)
: Mm×n 7→ Mn×n ; T (A) = AT
: R2 7→ P2 ; T (a, b) = a + b + (a + b)x + (2a − b)x2
Teorema 2. Si V es un espacio vectorial de dimensi´
on n con base
S = {v1 , v2 , . . . , vn } y T : V 7→ W es una transformaci´
on lineal,
entonces para cada u ∈ V , T (u) queda completamente determinado por
{T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )}
Ejercicio 4. Sea T : P1 7→ P2 la transformación lineal definida por:
T (x + 1) = x2 − 1 y T (x − 1) = x2 + x.
a) Halle la imagen del vector 5x − 1. Es decir, T (5x − 1) =
b) Determine la transformación. Es decir, T (ax + b) =
6.2.2.
.
Lecci´
on 2. N´
ucleo e imagen. Representaci´
on
matricial
Al culminar la lección el estudiante podrá representar matricialmente una
transformación lineal que esté definida en tre espacios de dimensión finita.
También determinará el n´
ucleo y la imagen de una transformación lineal y
los relacionará con los de la matriz que la representa, por u
´ltimofinalmente
entenderá y usará adecuadamente el teorema de la dimensión.
on EMEMATIC
101
Definici´
on 6.2 (N´
ucleo o Kernel). Sea T : V 7→ W una transformación
lineal. El n´
ucleo (o Kernel) de T , es el conjunto de todos los vectores
u ∈ V tales que T (u) = 0. Se denota por ker T o nu T . Es decir.
ker T = nu T = {u ∈ V : T (u) = 0} .
Ejemplo
6.1. Si T : R4 7→ R2 esuna transformación lineal dada
por
 

 
x
x


!



 
y 
y
x
+
y
 
4


T =
, entonces ker T =   ∈ R x = −y, z = w .
z 


z
z−w




w
w
Definici´
on 6.3 (Nulidad). Si ker T es de dimensión finita, ésta se denomina
nulidad de T y se denota por ν(T ). Es decir, ν(T ) = dim(ker T ).
Ejemplo 6.2. En la transformación lineal del ejemplo anterior se tiene
ν(T ) = 2.
Definici´
on 6.4 (Imagen). Sea T : V 7→ W una Transformación Lineal. La
imagen de T , es el conjunto de todos los vectores w de W que son imágenes,
bajo T , de vectores de V . Esto es, W está en la imagen de T si existe un
u ∈ V tal que T (u) = w. La imagen de T se denota por im T . Es decir,
im T = {w ∈ W : T (u) = w, para alg´
un u ∈ V } .
Definici´
on 6.5 (Rango). Si im T es de dimensión finita, ésta se denomina
el rango de T y se denota por ρ(T ). Es decir, ρ(T ) = dim(im T ).
Ejemplo 6.3. En la transformación del ejemplo 6.1 se tiene que im T = R2 ,
luego, ρ(T ) = 2
Teorema 3. ker T es subespacio de V e im T es un subespacio de W .
Demostraci´
on. Se probará que ker T es un subespacio de V . Es claro que
ker A 6= ∅ pues 0 ∈ ker A. Ahora demostraremos la cerradura de la suma y
de la multiplicación por un escalar
102
1. Sean v1 , v2 ∈ ker T . Entonces T (v1 ) = 0 y T (v2 ) = 0. (Hipótesis).
Ahora, T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0 + 0 = 0. Esto implica que
v1 , v2 ∈ ker T.
2. Ahora consideremos, v ∈ ker T y λ ∈ R. Entonces T (v) = 0. Ahora
T (λv) = λT (v) = λ0 = 0 Luego λv ∈ ker T .
Por lo tanto, ker T es un subespacio de V .
Ejercicio 1. Halle ker T, ν(T, im T y ρ(T ) de cada una de las siguientes
transformaciones lineales. Encuentre una base para ker T y para im T .
!
x
=
y
!
x
+
y
a) T : R2 7→ R2 , T
x−y
!
!
a b
a+b
0
b) T : M2×2 7→ M2×2 ; T
=
c d
c
c+d
2
3
c) T : P2 7→ P2 ; T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a1 x + a2 x2
d) T : P2 7→ P3 , T (c + bx + ax2 ) = b − bx + cx3
Ejercicio 2. Demostrar: T : V 7→ W es una transformación lineal uno a uno
si y sólo si ker T = {0}.
Ejercicio 3. Determine cuál o cuáles de las siguientes transformaciones
lineales, T : V 7→ W , son uno a uno. Halle la transformación inversa
T −1 : im T 7→ V cuando sea 1 − 1.
!
!
x
y
−
x
a) T : R2 7→ R2 ; T
=
y
y+x


!
x − 2y
x


b) T : R2 7→ R3 ; T
= 2x − 3y 
y
4x − 7y
 
!
x
x
−
2y
+
2z


c) T : R3 7→ R2 ; T y  =
2x − 3y + 3z
z
on EMEMATIC
103
Definici´
on 6.6. Una transformación lineal T : V 7→ W es sobreyectiva si
im T = W .
Teorema 4 (Teorema de la dimensi´
on). Si V es un espacio vectorial de
dimensi´
on n y T : V 7→ W es una transformaci´
on lineal, entonces
ν(T ) + ρ(T ) = n.
Teorema 5. Sean V, W espacios vectoriales tales que dim V = n y
dim W = m, B1 = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V y B2 = {w1 , w2 , . . . , wm }
una base de W . Si T : V 7→ W es una transformaci´
on lineal, entonces existe
una matriz AT de tama˜
no m × n tal que
AT [v]B1 = [T (v)]B2 para cada v ∈ V.
Definici´
on 6.7. La matriz AT del teorema 5 recibe el nombre de matriz
de T con respecto a las bases B1 y B2 , y está dada por
donde [T (vj )]B2
AT = [T (v1 )]B2 [T (v2 )]B2 . . . [T (vn )]B2 ,


a1j


 a2j 

olo si
= . 
 si y s´
 .. 
amj
Recuerde: [T (vj )]B2 es el vector de coordenadas de T (vj ) en la base B2 .
Teorema 6. Si AT es la matriz de la transformaci´
on con respecto a las bases
B1 y B2 , entonces
1. ν(T ) = ν(AT )
2. ρ(T ) = ρ(AT )
Observe. Si V = Rn y W = Rm y T : V 7→ W es una transformación
lineal, entonces AT , la matriz de la transformación con respecto a las bases
canónicas de Rn y Rm , respectivamente, satisface:
1. AT = [T (e1 ) T (e2 ) . . . T (en )]
2. ker T = ker AT ,
ν(T ) = ν(AT )
104
3. im T = im AT ,
ρ(T ) = ρ(AT )
Ejercicio 4. Halle la matriz de la transformación con respecto a las bases
B1 y B2 . Determine: n´
ucleo, nulidad, imagen y rango de cada transformación
lineal.
a) T : P2 7→ P3 , T (c + bx + ax2 ) = b − bx + cx3
(i) B1 y B2 son las bases canónicas.
(ii) B1 = {1 + x, 1 − x, 1 + x + x2 }
B2 = {2 + 3x + x2 , 1 − 2x + x2 , −1 + 6x2 }
b) T : R4 7→ R3 ,
 


x
x − y + 2z + 3w
y 
  

T =
y + 4z + 3w 
z 
x
+ 6z + 6w
w
i. B1 y B2 son las bases canónicas.
       
     
0 
0
1
1




       
1
1 

 1


     
1 0 0 1
ii. B1 =   ,   ,   ,   , B2 = 0 , 1 , 1



0 1 1 0






0
0
1


1
1
1
0
no n × n. Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A es invertible.
.
solución es
y la solución es
105
on EMEMATIC
pivotes
7. det A
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
de las filas de A.
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
. Es decir,
las columnas de A.
de
14. ν(A) =
15. ρ(A) =
16. Si A es la matriz de una transformaci´
on lineal T : V 7→ V entonces
16.1 ker T =
16.2 T es una función
16.3 im T =
Cap´ıtulo 7
Valores y vectores propios
Se estudiarán los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A de
tama˜
no n × n. Se retoma el concepto de n´
ucleo de una matriz, base y su
dimensión con los que se introducen las definiciones de espacio caracter´ıstico,
vector propio y multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio λ.
Se continuará con la diagonalización de matrices cuadradas y luego con la
diagonalización ortogonal de matrices simétricas para lo cual usa el proceso
de Gram-Schmidt. Por comodidad, se consideran matrices 2×2 y 3×3 que son
más sencillas de manipular. Finalmente se estudian las formas cuadráticas y
las secciones cónicas, como una aplicación de los conceptos del cap´ıtulo y de
los anteriores.
7.1.
Taller pre-clase
A. Teor´ıa
Identifique los conceptos de cap´ıtulos anteriores que se usan para el desarrollo
de la teor´ıa de valores y vectores propios.
B. Poniendo en pr´
actica lo aprendido
1. Determine si A =
4
0
!
3
yB=
4
6
0
claramente su respuesta.
107
!
1
son diagonalizables. Justifique
−5
108
Cap´ıtulo 7. Valores y vectores propios

2
1

2. Sea A = 
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1

1
1


1
2
a) Verifique si λ = 1 y λ = 2 son valores de propios de A.
 
1
1

#» = 
b) Halle el valor propio de A asociado al vector propio v
 
1
1
1
c) Halle el espacio propio correspondiente al valor propio λ = 1.
d) Determine la multiplicidad geométrica de λ = 1
e) Determine si A es diagonalizable. En caso afirmativo, halle una matriz
invertible P tal que P −1 AP = D, donde D es una matriz diagonal.
Recuerde: multiplicidad geométrica de λ ≤ multiplicidad algebraica
de λ.
3. Calcule A10

3

si A = 2
4
2
0
2

4

2. Use el hecho que A es diagonalizable.
3
o falso. Justifique sus respuestas
1.
Si λ = 0 es un valor propio de A, entonces la matriz es singular.
2.
An×n es diagonalizable si tiene n valores propios.
3.
Si An×n tiene n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable.
4.
Si cada uno de los valores propios de A tiene multiplicidad algebraica
1, entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes.
5.
Si An×n es una matriz con componentes reales, entonces sus valores
propios son reales.
6.
Sea A una matriz de tama˜
no 3 × 3. Si p(λ) = (λ − 4)2 (λ + 3) es el
polinomio caracter´ıstico de A, entonces A es diagonalizable.
109
on EMEMATIC
D. Aplicaciones
Dadas la ecuaciones cuadráticas
1. −2x2 + 10xy − 2y 2 = 21.
√
√
2. x2 + 4xy + 4y 2 + 4 5 x − 2 5 y = 20
a). Halle la matriz simétrica A que representa la forma cuadrática
b). Encuentre los espacios propios de la matriz A.
c). Diagonalice ortogonalmente la matriz A.
d). Elimine el término cruzado e identifique la cónica dada por la ecuación
e). Realice el gráfico de la cónica donde muestre los ejes principales y el
ángulo de rotación
7.2.
Lecciones de clase
7.2.1.
Lecci´
on 1. Definiciones
Se recordará el cálculo de determinantes, as´ı como los conceptos de espacio
nulo o n´
ucleo de una matriz A. Además se hallará una base y su nulidad
los cuales se relacionarán con las definiciones de valores y vectores propios,
espacio caracter´ıstico, multiplicidad algebraica y geométrica.
Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes matrices
1.
4.
A=

−1

A= 3
1
1
4
2
3
0
0
0
!

1

−3
−1
2.
5.
A=
2
5

2

A = 1
1
−1
−2
1
2
1
!

1

1
2
3.
6.

0

A = 0
2
A=
1
0
−5
5
−2

0

1
4
−2
8
!
110
determine el o los valores de λ que hagan que el determinante de la matriz
A − λI sea igual a cero, es decir, |A − λI| = 0. (λ es un n´
umero real o
complejo). Recuerde: I es la matriz identidad.
Ejercicio 2. Para cada una de las matrices anteriores, encuentre el n´
ucleo
de la matriz A − λI. Considere para cada matriz A el valor o los valores de
λ encontrados en el numeral anterior. Además, encuentre una base para el
n´
ucleo y determine la nulidad.
Recuerde: encontrar el n´
ucleo de A−λI es equivalente a resolver el sistema
homogéneo con matriz de coeficientes A − λI.
Complete las siguientes definiciones:
Definici´
on 7.1 (Valor propio).
Definici´
on 7.2 (Vector propio).
Definici´
on 7.3 (Polinomio caracter´ıstico).
Definici´
on 7.4 (Espacio caracter´ıstico).
Definici´
on 7.5 (Multiplicidad algebraica).
Definici´
on 7.6 (Multiplicidad geom´
etrica).
111
on EMEMATIC
Teorema 8. Sea An×n .
1. Vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son
2. A tiene n vectores propios LI si y s´
olo si Ma (λ)
valor propio λ.
Mg (λ) para cada
3. A es invertible si y s´
olo si λ = 0
4. Si A es una matriz triangular, los valores propios de A son
7.2.2.
Lecci´
on 2. Diagonalizaci´
on
Se estudian las matrices semejantes y la diagonalización de matrices cuadradas, con el propósito de usarlos más adelante en algunas aplicaciones.
En esta lección los alumnos deberán recordar claramente los conceptos que
se estudiaron en la lección anterior los cuales sintetizan los aspectos básicos
desarrollados durante el semestre.
Definici´
on 7.7 (Matrices semejantes). Sean A y B matrices cuadradas
de orden n. A y B son semejantes o similares , si existe una matriz invertible
C tal que
B = C −1 AC
Ejemplo 7.1. A =
2
1
!
3
yB=
4
5
0
!
2
son matrices semejantes.
1
Ejercicio 1. Considere las matrices A y B del ejemplo 7.1.
a) Compruebe que A y B son semejantes donde C =
1
1
!
−1
permite
1
establecer la relaci´
on.
b) Calcule det A y det B
c) Halle los polinomios caracter´ısticos de las matrices A y B
112
Teorema 9. Si A y B matrices semejantes, entonces sus polinomios caracter´ısticos son iguales.
Demostraci´
on. Se debe probar que |A − λI| = |B − λI|. Justifique los pasos
de la demostración
B = C −1 AC
Definición de semejanza
B − λI = C −1 AC − λI
|B − λI| = C −1 AC − λI = C −1 AC − λC −1 C = C −1 (A − λI)C = |C −1 ||A − λI||C|
= |A − λI|
Definici´
on 7.8 (Matrices diagonalizables). Sean A una matriz cuadrada
de orden n. A es diagonalizable, si A es semejante con una matriz diagonal.
Es decir, existe una matriz invertible P tal que
D = P −1 AP ,
donde D es una matriz diagonal.

−1

Ejemplo 7.2. A =  3
1
0
0
0


1
0


−3 es diagonalizable, D = 0
−1
0
0
0
0
la matriz diagonal. ¿Cuáles son los vectores propios de A?

0

0 es
−2
Preguntas.
1. Dada una matriz A, ¿cómo determinar si es diagonalizable?
2. Si A es diagonalizable, ¿cómo hallar D y P ?
3. ¿D y P son u
ńicas?
Ejercicio 2. ¿Cuáles de las matrices de la lección 1 son diagonalizables?
113
on EMEMATIC
El siguiente teorema contribuye a dar respuesta a algunos de los interrogantes.
Teorema 10. An×n es diagonalizable si y s´
olo si A tiene n vectores propios
linealmente independientes.
Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los n valores propios de A y v1 v2 . . . vn los n vectores
propios linealmente independientes
Como A es diagonalizable, P −1 AP = D, donde D = diag {λ1 , λ2 , . . . , λn }
matriz diagonal y P = (v1 v2 . . . vn ) .
Observe que que las columnas de P son los vectores propios de A.
Ejemplo 7.3. Para la matriz A del

1

P = 0
1
ejemplo 7.2 se tiene

0 −1

1
3 .
0
1
Ejercicio 3. Determine cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables

1

a) A = 4
1
1
0
−1

−2

4
3

4

b) A =  2
−1
2
1
−2

3

2
0

−1

c) A =  2
2
2
−1
2

2

2
−1
¿Cómo son los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes
de una matriz simétrica?
7.2.3.
Lecci´
on 3. Diagonalizaci´
on ortogonal
Se generaliza la diagonalización estudiada en la lección anterior a matrices
simétricas y se incorpora la diagonalización ortogonal, para lo cual el alumno
debe manejar y recordar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Teorema 11. Si A es una matriz simétrica, λ1 y λ2 son valores propios de
A distintos, con vectores propios v1 , v2 respectivamente, entonces v1 y v2 son
ortogonales.
114
Teorema 12. Toda matriz matriz simétrica es diagonalizable, además sus
valores propios son reales.
Teorema 13. Si A es simétrica, entonces A tiene n vectores propios ortonormales.
Definici´
on 7.9 (diagonalizaci´
on ortogonal). Se dice que una matriz
An×n es diagonalizable ortogonalmente, si existe una matriz ortogonal Q
tal que
D = QT AQ,
donde
D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ); λ1 , λ2 , . . . , λn son los n valores propios de A.
Q = (u1 u2 . . . un ) ; u1 , u2 , . . . , un son vectores propios ortonormales de A.

2

Ejemplo 7.4. La matriz A = 1
1
zable ortogonalmente. Se tiene

√
√
1/ 2
1/ 2
√

Q = −1/ 2
0
√
0
−1/ 2
1
2
1

1

etrica, luego es diagonali1 es sim´
2

√ 
1
1/ 2
√ 

1/ 2 , D = 0
√
1/ 2
0
Describa un procedimiento para construir a Q.
0
1
0

0

0
4
Teorema 14. A es diagonalizable ortogonalmente si y s´
olo si es simétrica.
Ejercicio 4. Diagonalice ortogonalmente las matrices simétricas

2

1. A = 1
1
1
2
1

1

1
2

−1

2. A =  2
2
2
−1
2

2

2
−1
115
on EMEMATIC
7.2.4.
Lecci´
on 4. Formas cuadr´
aticas y secciones c´
onicas
En esta lección se hace una aplicación de los conceptos desarrollados en las
lecciones anteriores a conceptos que se estudian en otros cursos de matemáticas y que ahora se desarrollan desde los conceptos del álgebra lineal.
Definici´
on 7.10 (Forma y ecuaci´
on cuadr´
atica en dos variables).
Una forma cuadr´
atica en las variables x y y es una expresión de la forma
F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 ,
(7.1)
donde | a| + | b| + | c| 6= 0.
La expresión !
(7.1) se puede abreviar como F (X) = XT AX, donde
!
A=
a
b/2
b/2
c
es la matriz asociada a la forma cuadrática y X =
x
.
y
Puesto que A es simétrica, es diagonalizable ortogonalmente. Es decir, existe
una matriz ortogonal Q, |Q| = 1 y D = diag (λ1 , λ2 ), tal que
A = QDQT
x
Para eliminar el término mixto xy, sea X1 = Q X = 1 , que corresponde
y1
T
a los nuevos ejes coordenados. As´ı, la expresión (7.1) queda
G(X1 ) = G(x1 , y1 ) = XT1 DX1 = λ1 x21 + λ2 y12 .
(7.2)
Ejemplo 7.5. Elimine el término cruzado en la forma cuadrática
F (x, y) = 5x2 − 4xy + 8y 2 .
Soluci´
on. La matriz simétrica asociada a F es A =
5
−2
!
−2
, cuyos valores
8
propios son 9 y 4. Una matriz ortogonal que diagonaliza a A es
Q=
√
1/ 5
√
−2/ 5
√ !
2/ 5
√ , con | Q| = 1, D =
1/ 5
9
0
!
0
.
4
116
As´ı, F (x, y) se transforma en G(x1 , y1 ) = 9x21 + 4y12 .
Una ecuaci´
on cuadr´
atica en las variables x y y es una expresión de la
forma
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f,
(7.3)
donde | a| + | b| + | c| 6= 0.
La ecuación (7.3) se puede escribir abreviadamente como
XT AX + BX = f,
la cual se transforma en
XT1 DX1 + B 1 X1 = λ1 x21 + λ2 y12 + d1 x1 + e1 y1 = f,
donde B = (d e) y B 1 = (d1 e1 ) = BQ.
Teorema 15. Suponga que la ecuaci´
on (7.3) representa una cónica. Sean
λ1 y λ2 los valores propios de la matriz simétrica asociada A de la forma
cuadrática (7.1). Entonces
i. Si λ1 λ2 > 0, entonces (7.3) es una
ii. Si λ1 λ2 < 0, entonces (7.3) es una
iii. Si λ1 λ2 = 0, entonces (7.3) es una
Ejemplo 7.6. Identifique y trace la gráfica de la cónica 5x2 − 4xy + 8y 2 = 36
Soluci´
on. Seg´
un el ejemplo 7.5, la ecuación transformada es 9x21 + 4y12 = 36.
Como el producto de los valores propios de la matriz simétrica asociada es
positivo, la gráfica es una elipse con centro en (0, 0) y semiejes mayor y menor
de 2 y 3 unidades respectivamente en los nuevos ejes rotados. Los nuevos ejes
!
#» =
rotados están dados en las direcciones de los vectores ortogonales v
1
1
−2
117
on EMEMATIC
#» =
y v
2
!
2
. El ángulo de rotación se calcula mediante la fórmula
1
tan θ =
q21
v
= 21 = −2,
q11
v11
θ = tan−1 (−2) ≈ −63,4o .
La gráfica es
y
5
4
y1
3
2
#»
v
2
1
0
x
θ
-1
#»
v
1
-2
-3
-4
x1
-5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 7.1. Gr´
afica ejemplo 7.6
Ejemplo 7.7. Identifique y trace
√
√
5x2 − 4xy + 8y 2 + 10 5 x − 4 5 y = 11
Soluci´
on. Se tiene que A =
5
−2
(A)
!
√
√
−2
, B = (10 5 − 4 5). De este modo,
8
la ecuación (A) se transforma en
9x21 + 4y12 + 18x1 + 16y1 = 11
(y + 2)2
(x1 + 1)2
+ 1
= 1. Una elipse con centro en
4
9
(−1, −2) y semiejes mayor y menor de 2 y 3 unidades respectivamente en los
nuevos ejes rotados y trasladados.
y ésta a su vez en
Los nuevos ejes rotados
están !
dados en las direcciones de los vectores orto!
#» =
gonales v
1
1
−2
#» =
y v
2
2
. El ángulo de rotación se calcula mediante
1
118
la fórmula
tan θ =
v
q21
= 21 = −2,
q11
v11
θ ≈ −63,4o .
La gráfica es
y
6
5
4
y1
3
2
#»
v
2
1
0
b
x
θ
-1
#»
v
1
-2
-3
-4
x1
-5
-6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 7.2. Gr´
afica ejemplo 7.7
Ejercicio 5. Identifique y trace la gráfica de la ecuación dada.
√
c) x2 + 2 3 xy − y 2 + 6x = 0
√
√
d) 3y 2 + 4xy + 2 5x + 4 5y = 1
a) x2 + xy + y 2 = 6
b) 9x2 + 6xy + y 2 = 9
√
√
e) 9x2 + 6xy + y 2 − 10 10 x + 10 10 y = −90
f) x2 + 2xy + y 2 +
√
2 x−
√
2 y=0
no n × n.
1. A es invertible.
y la solución es
119
on EMEMATIC
.
solución es
pivotes
7. det A
. Es decir, gen{f1 , . . . , fn }=
de las filas de A.
gen{c1 , c2 , . . . , cn } =
. Es decir,
las columnas de A.
de
14. ν(A) =
15. ρ(A) =
16. Si A es la matriz de una transformaci´
on lineal T : V 7→ V entonces
16.1 ker T =
16.2 T es una función
16.3 im T =
17. Todos los valores propios de A son
Ap´
endice A
Ejemplos de ex´
amenes
A.1.
Primer parcial
´
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
DE PEREIRA
´
FACULTAD DE CIENCIADS BASICAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
Primer Parcial de Algebra
Lineal
I. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x
2x
2x
+
+
+
y
ay
2y
+
+
+
z
2z
2
(a − 2)z
=
=
=
2
6
a+6
Determine el valor o valores de a de modo que el sistema
a) tenga solución u
ńica. Dé la solución
b) tenga infinitas soluciones. Escriba la solución general
c) no tenga solución.
II. ABC Publicaciones edita tres tipos de libros: encuadernación r´
ustica,
pasta dura y empastados en piel. Para los r´
usticos, la empresa gasta
en promedio $5 en papel, $2 en ilustraciones y $3 las pastas. Para los
de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en ilustraciones y $8
en pastas; y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20
121
122
Cap´ıtulo A. Ejemplos de ex´
amenes
en ilustraciones y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en
papel, $158000 en ilustraciones y $205000 en pastas, ¿cuántos libros de
cada cada categor´ıa pueden producirse?
#» = −2 ˆ
ˆ y #»
ˆ Encuentre en cada caso
III. Sean u
ı + 3 ˆ+ 2 k
v = 3ˆ
ı + β ˆ− 3k.
el valor (o valores) de β, si existen, de modo que
#» y
a) u
#» y
b) u
#»
v sean ortogonales.
#»
v sean paralelos.
#» y #»
c) u
v formen un ángulo de π/3.
IV. Formule dos preguntas cortas (distintas) sobre los temas que se incluyen
en este examen y respóndalas claramente.
A.2.
Segundo parcial
´
DE PEREIRA
´
´
´
Segundo Parcial de Algebra
Lineal
1. RECTAS Y PLANOS Considere el plano
π1 : 2x − y + 3z = 6
a) Determine qué puntos pertenecen al plano π1 :
P (1, −1, 1), Q(−2, 3, 4), R(2, 4, 2), S(1, 1, −3)
b) Halle ecuaciones paramétricas para la recta L1 que interceca al plano
π1 en uno de los puntos determinados en la parte a) y pasa por uno de
los puntos dados que no esté en el plano π1 .
c) Encuentre la ecuación cartesiana del plano π2 que contiene a la recta
L1 y otro punto del plano π1
123
on EMEMATIC
2. MATRICES Y DETERMINANTES.

2/3

Considere las matrices A = 2/3
1/3


−2 4
5


yC= 7 6
8 .
1 2 −3
−2/3
1/3
2/3


1/3
1


−2/3 , B = −2
2/3
3
−2
3
−6

3

−5 
15
a) Compruebe que A es ortogonal.
b) Simplifique y encuentre la matriz X, si se sabe que
T
1
X = B CA−T B −T − 2CB −T (B adj B).
3
Use propiedades del determinante cuando sea necesario calcularlo.
c) Determine las componentes x13 y x32 de la matriz X.
3. FALSO Y VERDADERO. Responda verdadero ´
o falso a cada
una de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas.
a)
b)
No existen valores de a y b de modo que u = (−3, a, −4, a) y
v = (2, 6, b, b) sean paralelos.
#» y #»
#» • #»
Si u
v son vectores no nulos de R2 , entonces u
v 6= 0.
Si A y B son matrices no nulas entonces AB 6= 0.
a b c 5b
5e
5h
d)
Si d e f = 20 entonces a − 3b d − 3e g − 3h = −100.
g h i 2b + c 2e + f 2h + i  
1
 
#»
El vector u =  3 es combinación lineal de los vectores
e)
−2
 
 
1
2
  #»
 
#»
v1 = 2 y v2 = 3.
3
7
c)
124
amenes
A.3.
Tercer parcial
´
DE PEREIRA
´
´
´
Tercer Parcial de Algebra
Lineal
I. ESPACIOS VECTORIALES
1. Determine el valor o valores de α, si existe(n), de modo que el vector
#» = (1, 1, −4) se encuentre en el espacio generado por el conjunto
u
S = { #»
v1 = (2, −1, α), #»
v2 = (α, −1, 2)}.

1

2. Considere la matriz A = −1
2
−2
2
−4
1
1
0
4
2
2

5

3
2
(a) Encuentre el n´
ucleo y la imagen de A. Halle una base para ker A
y para im A
(b) Determine la nulidad y el rango de A.
II. TRANSFORMACIONES LINEALES. VALORES Y VECTORES
PROPIOS
1. Encuentre
la transformaci´
on lineal T : P1 7→ R3 de manera que


2

A= 1
−2
−1

on con respecto a las
2 es la matriz de la transformaci´
3
      
1 
1
 1
bases B1 = {−1 + x, 1 − 2x} y B2 = 0 , −1 , 1 .


1
√
0
1
2. Considere la ecuación cuadrática x2 + 2 3 xy − y 2 + 6x = 0.
a. Elimine el término cruzado e identifique la cónica.
b. Realice un gráfico de la cónica donde muestre los ejes principales
y el ángulo de rotación.
125
on EMEMATIC
III. FALSO Y VERDADERO. Responda verdadero o falso cada
una de las siguientes afirmaciones. Justifique claramente sus
respuestas.
(
!
!)
1 1
1 −1
1. S = A1 =
, A2 =
genera al subespacio
3 0
3
2
H=
(
a a−b
3a
b
!
: a, b ∈ R
)
.
2. Sea A una matriz 4 × 5. Si el rango de A es 4, entonces ker A = {0} .
 
!
2
1
 
2
3
= −1
3. Si T : R 7→ R es una transformación lineal tal que T
3
1
 
 
!
!
−4
8
−1
1
 
 
yT
=  2 , entonces T
= −4 .
4
−6
−2
8
4. Si λ es un valor propio de una matriz no singular A, entonces
un valor propio de A−1 .
1
λ
es
126
amenes
A.4.
Examen Final
´
DE PEREIRA
´
´
FACULTAD DE CIENCIADS BASICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
Examen final de Algebra
Lineal
I. ESPACIOS VECTORIALES
Halle el valor o valores de α, si existe(n), de modo que el vector
#» = (1, 1, −4) se encuentre en el espacio generado por el conjunto
u
S = { #»
v1 = (α, −1, 1), #»
v2 = (1, −1, α)}.
II. TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Sea T : R3 → R4 una transformación lineal tal que

 
a







 b 
 
im T =   : 2a − b − c + d = 0, a − 2b − 2c + 2d = 0


c






d
(i) Halle una base para R4 que contenga una base de im T .
(ii) Determine el rango y la nulidad de T .
(iii) Encuentre una base ortonormal para im T
2. Sea T : R2 7→ R3 es una transformación lineal tal que T
yT
 
!
−1
−1
 
=  2 . Calcule T
4
−2
!
5
−6
 
!
2
1
 
= −1
3
1
III. VALORES Y VECTORES PROPIOS. Considere la ecuación
√
√
cuadrática x2 − 6xy + y 2 + 4 2x − 4 2y = −8.
1. Elimine el término cruzado e identifique la cónica.
127
on EMEMATIC
2. Realice un gráfico de la cónica donde muestre los ejes principales y
el ángulo de rotación.
IV. VERDADERO O FALSO. Responda verdadero o falso. Justifique
claramente su respuesta.
1.
2.
El punto Q(2, 2, −3) no pertenece a la recta L que contiene el
punto P (1, 2, 3) y es paralela al vector #»
v = (1, −1, 1)
Si A y B son matrices 4 × 4 tales que |A| = 4, |B| = 3, la com
ponente b34 = −1 y X = |AB| B −1 A + A (2B −1 A)−1 , entonces
la componente x34 = −6
y
3.
es un subespacio de R2 .
El subconjunto
x
H=
4.
(
x
y
!
∈
R2
:y≥
x2
)
El vector p(x) = x2 + 2x − 2 ∈ ker T , donde T : P2 7→ P1 es una
transformación lineal definida por T (ax2 +bx+c) = (2a+c)x+(b+c).
y
v
3
3
5.
La región
se transforma en
1
1
3
1
x
u
−3
mediante la transformación lineal T : R2 → R2 , T
6.
 

−2
1
−2
 2


#» = 
v
  es un vector propio de A = 
−2
−2
−2
2
1
−1
x
y
!
2
1
2
−2
=
−2
2
1
2
3
!
x−y
.
x+y

2
−2

.
2
1
Referencias
´
[1] Florey Francis. Fundamentos de Algebra
Lineal y aplicaciones. Prentice Hall.
1980.
´
[2] Grossman Stanley. Algebra
Lineal con aplicaciones. Quinta edición. McGraw
Hill.
[3] http://huitoto.udea.edu.co/ vectorial/uni3/seccion35/ejemplos35.html.
[4] http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/Bach CNST 1/Vectores en el plano/ Probl Vect.htm.
´
[5] Kolman Bernard. Algebra
lineal con aplicaciones y MatLab. Sexta edición.
Prentice Hill
´
[6] Mart´ınez Alejandro, Mesa Fernando y Correa V. Germán. Algebra
lineal con
aplicaciones. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira 2006.
´
[7] Nakos Joyner David. Algebra
lineal con aplicaciones. International Thomsom
Editores
´
[8] Poole David. Algebra
lineal con aplicaciones. Segunda edición. Editorial
Thomsom.
´
[9] Swokowski Earl W. y Cole Jeffrey A. Algebra
y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa
Anal´ıtica. Tercera edición. Grupo Editorial Iberoamericano. 1992.
´
[10] Uzuriaga Vivian, Mart´ınez Alejandro. Algebra
lineal con problemas de modelado. En prensa.
128

LECCIONES DE Â´ALGEBRA LINEAL Libro de trabajo para

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