Tragkonstruktionen BI - II geneigter und geknickter Träger

Transcription

Tragkonstruktionen BI - II geneigter und geknickter Träger
Geneigte und geknickte Träger
Vorlesung und Übungen
2. Semester BA Architektur
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Tragkonstruktionen BI - II
Inhalt
Sparrendach
Treppen und Treppenwangen
2
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Wiederholung
Dachsparren im Pfettendach
Sparrenabstand a
s
g
Winddruck wD
Cli
AH
AV
3
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
Dachsparren
Zugband
4
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
4 Unbekannte:
AV, AH, BV, BH
3 Gleichgewichtsbedingungen
H  0
V  0
M  0
Eine Unbekannte zu viel ?
AH
AV
5
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
BH
BV
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Statisches System
Gegeben:
R
q
Konstante Gleichlast q
Länge L, Höhe h
[kN/m]
[m]
B
h
Gesucht:
Auflagerkräfte in A und B
[kN]
AH
Berechnung:
Resultierende Last R = q ∙ L
 H  0  AH  B  0
AV
V  0
L
MB  0  A V  L  R  2  AH  h  0
L
 AV  q  L  0
AV  q  L
L
q  L2
q  L  L  q  L   AH  h  0  AH 
B
2
2h
6
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
Gleichgewicht am Auflager A
MA = 0
Zerlegung einer Kraft in 2 Komponenten
VA  A V  cos   AH  sin 
NA  A V  sin   AH  cos 
VA
NA
AV

AH
VA
AV
dx ~ 0
AH
Gleichgewicht am Auflager B
Zerlegung einer Kraft in 2 Komponenten
VB  B  sin 
NB  B  cos 
7
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
MB = 0
NB

B
NA
B
VB
NB
VB
dx ~ 0
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
VB  B  sin 
NB  B  cos 
L
NA  A V  sin   AH  cos 
N-Verlauf [kN]
8
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
L
VA  A V  cos   AH  sin 
V-Verlauf [kN]
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
Momentenverlauf M [kNm]
ML/2 = q∙L2/8
ML/2 = q∙L2/8
L/2
9
21.04.2015
L/2
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
L/2
L/2
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
B
H
B
AH
AH
AV
10
21.04.2015
L1
L2
L1
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Lk
AV
L
Lk
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
R = q ∙ (L + 2·LK)
geneigter und geknickter Träger
Gegeben:
q
 System mit Abmessungen
 Äußere Last q
B
H
 Steigung
tan  = H/L

sin  = H/(L² + H²)
AH
cos  = L/(L² + H²)
Lk
Gesucht:
 Auflagerreaktionen
 Schnittgrößenverläufe
 Bemessung
11
21.04.2015
AV
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
L
Lk
L
=0
2
q  (L  2  Lk )
AV =
2
q  (L  2  Lk )
 AV
 V  0  B  R  AV 
2
M
B
 0  A V  L-R 
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
Schnitt 1 – 1 links
q
2
V1,li
N1,li
M1,li
H
q
B
Lk
1
H  0  N
1,li
V  0  V
1,li
0
Lk
L
Lk
AV
+ q  L k  V1,li  q  L k
2
2
M

0

M

q

L
/2
=
0

M


q

L

1,li
k
1,li
k /2
12
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
AV,re
q
Schnitt 1 – 1 rechts
Lk
 V  0  A V,re + q  L k - A V = 0
A V,re = A V - q  Lk
AV
M1,re
V1,re
q
 N1,re = -A V,re  sin 
 V1,re = A V,re  cos 
M
A
 0  M1,re  q  L2k /2 = 0
M1,re = -q  L /2 = M1,li
N1,re
Lk
AV,re
AV
V1,re

2
k
N1,re
13
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
Schnitt 2 – 2 links
V  0  B + q  L
li
k
q
V2,li
-B=0
M2,li
Bli = B - q  Lk
 N2,li = Bli  sin 
Lk
N2,li
B
 V2,li = -B li  cos 
M
B
 0  M2,li  q  L2k /2 = 0
M2,li = -q  L2k /2 = M2,li
14
21.04.2015
Dipl.-Ing. Mhael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
V2,li
Bli

N2,li
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen
BI - II
Q = 6 kN
1,li
geneigter und geknickter Träger
N2,li
Normalkraft – N [kN]
L/2
N1,re
V2,re
V2,li
L/2
Querkraft – V [kN]
V1,re
V1,li
15
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
M2 = -q  L2k /2
 ML/2  0
 Mmax  q 
(L  2  Lk ) (L  2  Lk )
L

- AV  = 0
2
4
2
q  (L  2  Lk ) L q  (L  2  Lk )2
Mmax =
 2
2
8
Mmax = q 
2
2
k
L
L
 q
8
2
L2k
L2
Mmax = q   q 
8
2
M1 = -q  L2k /2
Biegemoment – M [kNm]
Bemessung
Bemessungswert der Biegefestigkeit fR,d
Nachweis der Tragfähigkeit E,d  fR,d
16
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
E,d =
Mmax,d
Wy
 fR,d  Wy 
Mmax,d
fR,d
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
Pfettendach
VB  B  cos 
VA  A V  cos 
Cli
NB  B  sin 
AH
AV
NA  A V  sin 
17
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
VB  B  sin 
Sparrendach
Cli
VA  A V  cos   AH  sin 
NB  B  cos 
AH
AV
NA  A V  sin   AH  cos 
18
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung geknickter Träger

Vre
Nre
Vli
Mli
Mre
Nli
H  0
 -Nli  cos   Vli  sin   Nre  0
V  0
 -Nli  sin   Vli  cos   Vre  0
M
1
19
 0  Mli  Mre  0
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
Sparrendach
20
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Pfettendach
Kehlbalkendach
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
Anwendungsbereich
 Dachneigung > 40°
 Hausbreite:
bis L< 10 m → Vollholz Mögl.
bei L> 10 m → Sonderkonstruktion
Hinweise
H
H
 Decke muss Zugbandfunktion übernehmen
 Keine großen Öffnungen in Dach oder Decke
L
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe h ~ s/24 + 2cm
 Sparrenbreite b ~ e/10 ≥ 8cm (e = Sparrenabstand)
 Horizontalschub H = (q*L²)/(8*f)
q = Gesamtlast aus Eigenlast, Schnee und Wind
21
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
L
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Pfettendach
Anwendungsbereich
 geringe Dachneigung
 Große Öffnungen in Dach oder Decke
smax
 Große Dachüberstände
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe h = smax/24
 Sparrenbreite b ~ e/10 ≥ 8 cm (e = Sparrenabstand)
Bemessung Pfetten (Lasten nur aus Dach)
22
 Pfettenhöhe
Dachneigung
h = L/24 + e/(30 bis 50)
α ~ 45° → 30
α ~ 15° → 50
 Pfettenbreite
b ~ 0,5*h bis 0,7*h
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Kehlbalkendach
Anwendungsbereich
 Dachneigung > 40°
bis L< 14 m → Vollholz mögl.
bei L> 14 m → Sonderkonstruktion
 Hausbreite:
Hinweise
 Decke muss Zugbandfunktion übernehmen
 Keine großen Öffnungen in Dach oder Decke
smax
 Hu:H ~ 0,6 bis 0,8
Lk
Hu
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe
d ~ smax/24 + 4 cm
 Sparrenbreite
b ~ e/8 ≥ 8cm (e = Sparrenabstand)
L
 Kehlbalkenhöhe hk= lk/20
 Kehlbalkenbreite
23
21.04.2015
bk= e/8 (einteilig)
bk= 2·e/8 (zweiteilig)
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
H
Tragkonstruktionen BI - II
Beispiel Sparrendach
24
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Beispiele geneigter und geknickter Träger
25
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
26
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
27
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
28
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
29
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
30
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Literatur
Gottfried Leicher
Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen
3. Auflage Werner Verlag, 2010, S. 394
Hanfried Heller
Padia 1 Tragwerkslehre
Ernst und Sohn, 1998, S. 132, 133,147
Hans H. Hugi
Einführung in die Statik der Tragkonstruktionen
Vorlesungstexte an der ETH Zürich
Verlag der Fachvereine Zürich, 1992, S. 81, 85
31
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen