Le chapitre - Dellac

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Ch 6: Primitives et Intégrales
Objectif 1 : Primitives d'une fonction
Exercice 1 :
1 ) On considère les fonctions f et F définies sur Y par:
f (x) = 3x² + 2x − 1 et F (x) = x3 + x² − x
a ) Calcule F '(x) : ...................................................................................................................
b ) Que remarques-tu ? ...................................................................................................................
On dit que F est une primitive de f sur Y
2 ) On considère la fonctions G définie sur Y par G (x) = x3 + x² − x + 5
a ) Calcule G ' (x) : ...................................................................................................................
b ) Que peux-tu dire de G par rapport à f ? ...................................................................................................................
3)
a ) Propose une fonction H ( différente de F et de G ) qui soit aussi une primitive de f : H (x) = ......................................
b ) Comment pourrait-on écrire toutes les primitives de f ? ..................................................................................................
Définition et propriété 1 : Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle I.
* Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F ' = f
* Si F est une primitive de f, alors les autres primitives de f s'écrivent F (x) + k ( k étant une constante )
Exercice 2 :
Partie A : Le but de cette partie est de trouver une primitive de la fonction f définie sur Y par f (x) = 4x² + 5x − 7
Cette fonction est formée d'une somme et d'une différence de "fonctions élémentaires" ( 4x² , 5x et 7 )
F (x)
F ' (x) =
f (x)
x3
3 x²
× .....
.....
× .....
× .....
F ' (x) =
f (x)
x2
......
× .....
x²
.....
× .....
.....
F (x)
4 x²
× .....
× .....
F (x)
F ' (x) =
f (x)
x
......
....
7
× .....
x
× .....
× .....
.....
5x
La fonction F définie par F (x) = ............................................. est donc une primitive de f
Partie B : En utilisant la même méthode que dans la partie A, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
1 ) f1 définie par f1 (x) = 6x² − 8x + 5
1
2 ) f2 définie par f2 (x) = 4x3 − x² + x
3
3 ) f3 définie par f3 (x) = x6 − 4 x5 + 5x4
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur Y par f (x) = 3x² + 8 x
1 ) Détermine une fonction F1 qui soit une primitive de f.
2 ) Détermine l'ensemble des primitives de f :
F1 (x) = .......
F (x) = ........
3 ) On aimerait trouver la primitive F2 de f qui vérifie F2 (1) = 0 . Détermine la fonction F2 .
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Exercice 4 :
Partie A : Le but de cette partie est de trouver une primitive de la fonction f définie sur Y par f (x) = e 2x
Pour cela, on compléter le schéma suivant :
F (x)
F ' (x) = f (x)
e u(x)
......
Utilisons le résultat précédent avec u (x) = 2x
e 2x
.........
..........
e 2x
× .....
× .....
La fonction F définie par F (x) = ............................................. est donc une primitive de f
Partie B : En utilisant la même méthode que dans la partie A, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
1 ) f1 définie par f1 (x) = e
5x
2 ) f2 définie par f2 (x) = e
−x
3 ) f3 définie par f3 (x) = e
3x− 4
4 ) f4 définie par f4 (x) = x e
x²
Exercice 5 :
On considère la fonction f définie sur Y par f (x) = ( x − 1 ) e x²− 2x
Parmi les 3 fonctions suivantes, quelle est celle qui est une primitive de f ?
1
b ) F2 (x) = e x²− 2x
a ) F1 (x) = e x²− 2x
2
c ) F3 (x) = ( 2x − 2 ) e x²− 2x
Remarque importante : lorsqu'on demande de vérifier qu'une fonction F donnée est une primitive d'une fonction f,
il suffit de dériver F et de vérifier que F ' = f
Exercice 6 :
La courbe ci-contre représente une fonction f :
L'une des 4 courbes ci-dessous représente une primitive de f .
Indiquer laquelle en justifiant votre raisonnement.
Aide : faire un tableau de signes de f .....
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Exercice 7 :
1 ) On donne la fonction f définie sur Y par
f (x) = ( 2 x − 3 ) e
Vérifier que la fonction F définie par F (x) = ( 2 x − 5 ) e
2 ) On donne la fonction g définie sur Y par
x
g (x) = ( 3 x + 5 ) e
G est la fonction définie sur Y par G (x) = ( a x + b ) e
a ) Calculer G ' (x) en fonction de a et b
b ) Déterminer a et b pour que G soit une primitive de g
3 ) On donne la fonction h définie sur Y par
x
x
est une primitive de f sur Y
x
( a et b étant des réels )
h (x) = ( 4 x − 3 ) e − x
H est la fonction définie sur Y par H (x) = ( m x + p ) e − x ( m et p étant des réels )
En procédant comme à la question 2, déterminer m et p pour que H soit une primitive de h
Exercice 8 : cet exercice est un QCM mais les réponses devront être justifiées. Il peut y avoir plusieurs réponses
correctes.
1. La fonction f est définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels Y par f (x) = e− 2x +1
On note f ' sa fonction dérivée.
a. Pour tout x de Y, f ' (x) = e− 2x
b. Pour tout x de Y, f ' (x) = e− 2x +1
c. Pour tout x de Y, f ' (x) = − 2 e− 2x +1
2. On donne le tableau de variation d’une fonction g définie et continue sur l’intervalle [− 5 ; 12].
x
2
8
12
−5
3
1
Variations de g
−8
0,5
a. L’équation g (x) = 0 admet exactement trois solutions sur l’intervalle [ − 5 ; 12 ]
b. Si G désigne une primitive de g, alors G est croissante sur [ 8 ; 12 ]
c. Si g ' désigne la dérivée de g, g ' (x) < 0 sur l'intervalle [ 8 ; 12 ]
3. La courbe C donnée ci-contre est la représentation graphique d’une fonction h
définie et dérivable sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [. La droite (AB), tracée sur le
graphique, est tangente à la courbe C au point B d’abscisse 1.
On note h ' la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [.
2
a. h ' (1) = 0
b. h ' (1) = 1,5
c. h ' (1) = −
3
4. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d’une primitive
de la fonction h (introduite à la question 3.) sur l’intervalle ] 0 ; +∝ [.
Préciser laquelle.
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Exercice 9 :
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 5] par f (x) = − x² + x + 4 + ln x
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal, donnée en annexe page 5.
On note f ' la fonction dérivée de f sur l’intervalle [1 ; 5].
− 2x² + x + 1
1. Calculer f ' (x) et montrer que f ' (x) =
x
2. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 5].
3. Montrer que sur l’intervalle [1 ; 5], l’équation f (x) = 0 possède une unique solution 
Donner un encadrement de  d’amplitude 0,01.
En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle [1 ; 5].
1
1
4. On définit la fonction F dérivable sur l’intervalle [1 ; 5] par : F (x) = − x3 + x² + 3x + x ln x .
3
2
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 5].
5. Soit A l’aire, en unités d’aire, du domaine D délimité par la courbe C , l’axe des abscisses, et les droites d’équation
x = 1 et x = 2.
a. Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe.
b. Par lecture graphique, donner un encadrement de A par deux entiers consécutifs.
Exercice 10
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé en vendant x centaines d’objets fabriqués, est
1 + ln x
modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l’intervalle [0,3 ; 10] par : B (x) = 10 ×
.
x
Si B (x) est positif, il s’agit d’un bénéfice ; si B (x) est négatif, il s’agit d’une perte.
1. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une
réponse. Elle obtient les résultats suivants :
(Commande) B(x) := 10* ( ( 1+ln(x))/x)
(Réponse 1)
x → 10 (
(Commande) Dériver (B(x),x)
(Réponse 2 )
(Commande) Résoudre (B(x) = 0,x)
(Réponse 3 )
(Commande) Résoudre (B(x) > 0,x)
(Réponse 4 )
(Commande) Maximum (B(x), [0.3;10])
(Réponse 5 )
x→
1 + ln x
)
x
− 10 ln x
x²
[ exp (− 1) ]
[ x > exp (− 1) ]
10
a. Traduire sur le graphique donné en annexe page 5, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses
3 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.
b. Justifier la réponse 2 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Etudier les variations de B.
c. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel
pour l’entreprise.
2. Démontrer que la fonction F définie sur [0,3 ; 10] par F (x) = 5 ln x ( ln x + 2 ) est une primitive de la fonction B sur
cet intervalle.
3. Soit A l’aire, en unités d’aire, du domaine D délimité par la courbe de la fonction B, l’axe des abscisses, et les droites
d’équation x = 3 et x = 4.
a. Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe.
b. Par lecture graphique, donner un encadrement de A par deux entiers consécutifs.
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C
Annexe pour l'exercice 9
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Annexe pour l'exercice 10
C
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Objectif 2 : Aire au-dessous d'une courbe - Intégrale d'une fonction.
Exercice 11 :
La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie par f (x) = x².
Hachure l'aire A du domaine compris entre la courbe C , l'axe des abscisses
et les droites d'équation x = 1 et x = 3
Cette aire se note A =
∫
3
1
f ( x ) dx soit encore A =
3
∫1 x ² dx
on lit "intégrale de 1 à 3 de f "
Cf
Ch
Cg
Hachure :
∫
4
−2
f ( x ) dx
Hachure :
5
∫− 4 g ( x ) dx
Hachure :
3
∫− 3 h( x ) dx
Exercice 12 :
f est la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f (x) = x². On va essayer de trouver une valeur
approchée de A =
1
∫0 x ² dx
ère
1 Partie : avec 4 intervalles:
1 ) Détermine les ordonnées des points A, B, C et D
2 ) Calcule la somme des aires des rectangles grisés :
A1 =
3 ) Calcule la somme des aires des rectangles grisés :
A2 =
On en déduit ................ < A < ...................
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2ème Partie : on augmente le nombre d'intervalles ( utilisation de GeoGebra )
On va augmenter le nombre de rectangles :
* pour n = 10, on trouve
A1 ≈ ...........
et A2 ≈ ............
donc A ≈
* pour n = 30, on trouve
A1 ≈ ...........
et A2 ≈ ............
donc A ≈
* pour n = 100, on trouve
A1 ≈ ...........
et A2 ≈ ............
donc A ≈
Propriété 2 ( admise ) :
Soit f une fonction continue et positive sur un
intervalle [ a ; b ]
Soit F une primitive de f sur cet intervalle.
Alors
b
∫a
f ( x ) dx = F (b) − F(a)
Grâce à la propriété 2, on peut trouver la valeur exacte de l'aire précédente :
Déterminer une primitive F de la fonction f définie par f (x) = x² : F (x) =
Déterminer alors la valeur exacte de A =
1
∫0 x ² dx
A=
La méthode décrite ci-dessus devra être utilisée dans les exercices pour calculer une aire.
Exercice 13 :
La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie par f (x) = x² + 1.
1 ) Ecris sous forme d'intégrale l'aire A hachurée : A =
C
2 ) Détermine une primitive F de f
3 ) Calcule A =
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Exercice 14
La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie par
f (x) = − 3 x² + 12x − 5.
1 ) Hachure l'aire A du domaine limité par la courbe C, l'axe des abscisses et
les droites d'équation x = 1 et x = 3
2 ) Ecris cette aire A sous la forme d'une intégrale.
3 ) Trouve une primitive F de f
4 ) Calcule A
C
Remarque : on peut vérifier une valeur approchée du résultat à l'aide la
calculatrice; pour cela, on tape :
Math 9
f (x)
variable ( toujours x )
a
b
Exercice 15
C
La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie par
f (x) = e 0,5 x
1 ) Hachure l'aire A du domaine limité par la courbe C, l'axe des abscisses et
les droites d'équation x = 1 et x = 3
2 ) Ecris cette aire A sous la forme d'une intégrale.
3 ) Vérifie que la fonction F définie par F (x) = 2 e 0,5 x est une primitive de f
4 ) Calcule A
Exercice 16 : QCM avec réponses à justifier.
1. La courbe Cg tracée ci-contre est la représentation
graphique d’une fonction g définie et dérivable sur
l’intervalle [−8 ; 5]. La droite (AB) tracée sur le
graphique est la tangente à la courbe Cg au point A
d’abscisse −2.
On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g sur
l’intervalle [−8 ; 5].
a. g ′ (−2) = − 1,5
2
b. g ′ (−2) = 0
c. g ′ (−2) = −
3
2. On note G une primitive sur l’intervalle [−8 ; 5] de la fonction g introduite à la question 1 ;
a. la fonction G admet un minimum en −2
b. la fonction G est décroissante sur l’intervalle [−4 ; 1]
c. la fonction G est croissante sur l’intervalle [−8 ; −2].
7
1
2
1 1
3. Soit I = ( 2 x + 1 − ) dx
a. I = 50 + ln ( )
b. I = 48,7
c. I = 10 − +
2
7
7 2
x
∫
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Exercice 17 :
La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des
nombres réels. Elle passe par les points A ( 1 ; 4 e 0,5 ) ; B ( 0 ; 5 ) et C ( 5 ; 0 ).
Le point D ( − 3 ; 0) appartient à la tangente à
Cf au point A.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur Y.
Partie A - Par lecture graphique
1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier.
2. Que semble représenter le point A
pour la courbe Cf ?
3. a. Hachurer le domaine du plan dont
l’aire est égale à
I=
∫
3
0
f ( x ) dx unités d’aires.
b. Recopier sur votre copie le seul
encadrement qui convient parmi :
0I9
10  I  12
20  I  24
Partie B - Par le calcul
On admet que pour tout réel x, f (x) = (− x + 5 ) e 0,5x et f ′ (x) = (1,5 − 0,5 x) e 0,5x
On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur Y.
1. a. Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = ( − 0,25x + 0,25 ) e 0,5x
b. Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe Cf .
c. Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.
2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F (x) = ( − 2x + 14 ) e 0,5x .
On admet que F est une primitive de f sur Y.
Calculer I =
∫
3
1
f ( x ) dx . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
Exercice 18 :
On admet le théorème suivant :
Propriété 3 : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [ a ; b ].
Si pour tout x de [ a ; b ], f (x)  g (x) alors l'aire A du domaine compris
entre les courbes de f et de g et les droites d'équations x = a et x = b vaut
A=
b
∫a ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
Cg
Cf
Cg
Application :
On a tracé sur le même graphique les
courbes représentatives des fonctions
f et g définies par f (x) = − x² + 2x + 6
et g (x) = x² − 2 x
Cf
Ecris l'aire grisée sous forme d'une
intégrale, puis calcule-la.
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Objectif 3 : Propriétés des intégrales - Valeur moyenne d'une fonction
Exercice 19 :
Pour chacune des questions suivantes, il peut y avoir une ou plusieurs réponses correctes :
1)
3
∫3
f ( x ) dx
a ) n'existe pas
b ) est égal à 0
c ) sa valeur dépend de la fonction f
2 ) L'aire grisée ci-dessous peut s'écrire :
1
a)
∫− 2 f ( x ) dx
b)
∫− 2 f ( x ) dx
c)
∫− 2 f ( x ) dx + ∫1
d)
∫1
3
3
1
3
f ( x ) dx
f ( x ) dx
Cf
L'exercice 19 met en évidence les résultats suivants :
* Si f est une fonction continue, alors
a
∫a
f ( x ) dx = 0
* Soient a, b et c 3 réels tels que a  b  c et soit f une fonction continue
sur [ a ; c] ; alors
c
∫a
f ( x ) dx =
b
∫a
f ( x ) dx +
c
∫b
f ( x ) dx
Exercice 20 : Valeur moyenne d'une fonction
Définition 4 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ].
On appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre m =
1
b−a
b
∫a
f ( x ) dx
Par exemple : Déterminer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = x² sur l'intervalle [ 1 ; 4 ]
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Interprétation graphique ( dans le cas d'une fonction positive )
b
∫a
f ( x ) dx représente l'aire grisée ci-contre
m × ( b − a ) représente l'aire
du rectangle ABCD ci-contre.
La valeur moyenne m de la fonction est donc
telle que l'aire du domaine sous la courbe et
l'aire du rectangle sont identiques.
Exercice 21 : Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle [ a ; b ] dans chacun des cas suivants :
1 ) f (x) = x² + 2x
2 ) g (x) = x +
a = 0 et b = 2
1
x
a = 1 et b = e
Exercice 22 : On considère la fonction f définie par f (x) = x e x
1. Soit F la fonction définie par F (x) = ( a x + b ) e x
Déterminer a et b pour que F soit une primitive de f
2. Calculer la valeur moyenne de f sur [ 0 ; 2 ]
Exercice 23 :
1ère partie : Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par f (x) = x e x − e x − 8.
1. Montrer que f ' (x) = x e x où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur [0 ; 5]
2. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 5]
3. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur [0 ; 5] une unique solution 
b. Montrer que 2,040 <  < 2,041.
c. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f (x) en fonction des valeurs de x sur [0 ; 5].
4. a. Montrer que la fonction g définie sur [0 ; 5] par g (x) = x e x − 2 e x − 8x est une primitive de f sur [0 ; 5].
b. Calculer la valeur exacte de
∫
5
3
f ( x ) dx
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2ème partie : Application à une situation économique
Une entreprise fabrique x milliers d’objets avec x appartenant à [0;5].
La fonction f de la 1ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l’entreprise en centaines d’euros.
Pour une quantité x donnée, si f (x) est positif, l’entreprise réalise un bénéfice, et si f (x) est négatif, l’entreprise subit une
perte.
En utilisant les résultats de la 1ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :
5. À partir de combien d’objets produits, l’entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
6. L’entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5milliers d’objets. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur
[ 3 , 5 ] (On donnera le résultat arrondi à l’euro près).
Exercice 24 :
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité.
Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par f (x) = 18 ln x − x2 + 16x −15.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f (x) représente le
bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f ′ sa fonction dérivée.
PARTIE A
1. Calculer f ′ (x) et vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], on a f ′ (x) =
− 2x2 +16 x +18
x
2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
3. a. Calculer f (1).
b. Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f (x) = 0 admet une solution unique . Déterminer une valeur
approchée par défaut de  à 10−2 près.
c. En déduire le signe de f (x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].
4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être
bénéficiaire ?
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 ? ( Justifier la réponse. )
PARTIE B
6. On admet que la fonction G définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par G (x) = x ln x − x est une primitive de la fonction
logarithme népérien sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
7. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la centaine d’euros, lorsque celle-ci
produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires.
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Exercice 25
La fonction f est la fonction définie sur Y par f (x) = x e 2x.
1. Déterminer a et b pour que la fonction F définie sur Y par F (x) = ( a x + b ) e 2x soit une primitive de f .
2. Calculer
1
∫
f (t )dt
0
3. Pourquoi l’intégrale calculée est-elle un calcul d’aire ?
Exercice 26
Une fonction f est représentée ci-dessous.
On considère les 5 intégrales ci-dessous.
I1 =
∫
3
−1
I2 =
∫
−2
−3
I3 =
∫
f (t )dt
f (t ) dt
−4
− 4,5
I4 =
I5 =
∫
f (t )dt
−1
f (t )dt
3
0
∫
−3
f (t )dt
1. Indiquer celle(s) qui correspond(ent) à un
calcul d’aire.
2. Donner si possible le signe de chacune
d’entre elles.
Exercice 27
On sait que
∫
5
−2
f (t )dt = 2 et
∫
5
g (t )dt = − 3
−2
En déduire :
1. La valeur moyenne de f sur [– 2 ; 5].
2. La valeur de l’intégrale K =
∫
5
−2
( 2 f (t ) − 5 g (t )) dt
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Exercice 28 :
Partie A :
On a représenté ci-contre, dans le plan muni
d'un repère orthonormal, la courbe
représentative C d'une fonction f définie et
dérivable sur l'intervalle [ 0 ; 20 ]. On a tracé
les tangentes à la courbe C aux points A, D
et E d'abscisses respectives 0; 6 et 11.
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Par lecture graphique ( aucune justification
n'est demandée )
1. Donner les valeurs exactes de f (0), f (1) ,
f ' (0) et f ' (6)
2. Indiquer si la courbe C admet un point
d'inflexion. Si oui, préciser ce point.
3. Déterminer un encadrement, d'amplitude 4,
par deux nombres entiers de I =
∫
8
4
f ( x ) dx
4. Indiquer le nombre de solutions de l'équation f (x) = 4. Préciser un encadrement de la ( ou des ) solution(s) à l'unité.
Partie B
La fonction f est définie sur l'intervalle [ 0 ; 20 ] par f (x) = ( 5x − 5 ) e − 0,2 x
5. Montrer que f ' (x) = ( − x + 6 ) e − 0,2 x ( f ' désigne la dérivée de f sur l'intervalle [ 0 ; 20 ] )
6. a. Etudier le signe de f ' (x) sur [ 0 ; 20 ]
b. Dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; 20 ] . On fera apparaître les valeurs exactes de f (0) et de f (6)
7. Justifier que l'équation f (x) = 4 admet une unique solution  sur [ 0 ; 6 ]. Donner la valeur arrondie au millième de .
8. a. Montrer que la fonction F définie sur [ 0 ; 20 ] par F (x) = ( − 25x − 100 ) e − 0,2 x est une primitive de f sur [ 0 ; 20 ]
b. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [ 4 ; 8 ]. Donner sa valeur exacte.
Partie C
Une entreprise fabrique x centaines d'objets où x appartient à [0;20].
La fonction f des parties A et B modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros, en supposant que toute la
production est vendue.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation f (x) = 4 admet une
autre solution β sur [ 6 ; 20 ] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
9. Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000 € ? (Arrondir à l'unité).
10. L'entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets. Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice.
(On donnera le résultat arrondi à l'euro près).
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Exercice 29
Partie A : Etude préliminaire
On considère la fonction g définie sur l'intervalle [1 ; 5 ] par
g (x) = 1 − 2 ln x.
On donne sa courbe représentative ci-contre.
1. Résoudre l'équation g (x) = 0 et placer cette solution sur le
graphique.
2. Lire graphiquement le signe de g (x) sur l'intervalle [ 1 ; 5 ]
Partie B : Etude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ 1 ; 5 ] par
2 ln x + 1
f (x) =
x
g (x)
3. a. Calculer f ' (x) et montrer que f ' ( x) =
x²
b. A l’aide de la partie A, question 2, donner le signe de f ' (x). En déduire le tableau de variations de la fonction f sur
l'intervalle [ 1 ; 5 ].
4. Démontrer que l'équation f (x) = 0,9 possède une seule solution  dans l'intervalle [ e 0,5 ; 5 ] .
Déterminer un encadrement de  d’amplitude 10-3.
5. a. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle [ 1 ; 5 ] par F (x) = ( ln x )² + ln x est une primitive de f.
b. Soit I =
∫
5
1
f ( x ) dx . Déterminer la valeur exacte de I.
Partie C : Application économique
Dans cette partie, on utilisera certains résultats de la partie B, en indiquant quelle question a été utilisée.
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces
varie entre 1 000 et 5 000 pièces par semaine selon la demande.
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction f définie
dans la partie B, avec x exprimée en milliers de pièces et f (x) exprimé en euros.
6. Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre
1 000 et 5 000 pièces.
7. Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire supérieur ou égal à 0,9 € ?
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