Mécanique quantique - MP*1

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Mécanique quantique - MP*1
1
MP*1-2014/2015
Mécanique ondulatoire
1) Critère Quantique :
En calculant une grandeur caractéristique homogène à ℏ, décidez si le recours à la
physique quantique est nécessaire pour étudier les objets suivants ou si la théorie classique est
suffisante :
1) Une antenne radio : puissance 5 π‘˜π‘Š et fréquence d’émission dans le domaine des
ondes radio.
2) Un noyau atomique : énergie de liaison typique 8 𝑀𝑒𝑉, rayon π‘Ÿπ΄ 𝐴1/3 π‘Ÿ0 avec 𝐴 le
nombre de masse et π‘Ÿ0 = 1,2 π‘“π‘š = 1,2. 10βˆ’15 π‘š et masse d’un nucléon π‘š = 1,67 ·
10βˆ’27 π‘˜π‘”.
3) L’hélium superfluide: température de transition 𝑇 = 2,18𝐾, distance moyenne
entre atomes π‘Ž = 0,36 π‘›π‘š et masse π‘š = 6,7 · 10βˆ’27 π‘˜π‘”.
On donne π‘˜π΅ = 1,38 · 10βˆ’23 𝐽 · 𝐾 βˆ’1 , 1 𝑒𝑉 = 1,6 · 10βˆ’19 𝐽.
2) Etude d’une naine blanche :
Dans tout l’exercice, on raisonnera en ordre de grandeur.
Une naine blanche est constituée de protons fixes, de masse π‘š~10βˆ’27 π‘˜π‘” et
d’électrons de masse π‘šπ‘’ = 10βˆ’31 π‘˜π‘”. L’étoile, de masse 𝑀 et de rayon 𝑅 est soumise à son
énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸𝑝 , et son effondrement est empêché par l’énergie
cinétique des électrons.
1) Trouver à un facteur près la forme de l’énergie potentielle de l’étoile. On donne la
constante de gravitation 𝐺~10βˆ’10 𝑆𝐼.
2) Quel est le nombre 𝑁 >> 1 d’électrons dans l’étoile ?
3) Quel est le volume accessible en moyenne par un électron ? En déduire l’ordre de
grandeur de sa quantité de mouvement.
4) En déduire l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique des 𝑁 électrons de l’étoile.
5) Exprimer l’énergie totale de l’étoile en fonction de son rayon 𝑅. Trouver à
l’équilibre une relation entre la masse 𝑀 de l’étoile et son rayon.
6) Calculer le rayon 𝑅 d’une naine blanche de masse égale à celle du Soleil 𝑀 =
21
2.10 π‘˜π‘”. Commenter.
3) Oscillateur harmonique quantique :
On considère une particule quantique, de masse m, soumise à une énergie potentielle
1
de la forme 𝑉(π‘₯) = 2 π‘šπœ”2 π‘₯ 2 . Dans l’état stationnaire d’énergie πΈπ‘œ , la fonction d’onde est de
π‘₯2
𝑖𝐸 𝑑
la forme πœ“(π‘₯, 𝑑) = 𝐴𝑒π‘₯𝑝 (βˆ’ π‘Ž2 ) 𝑒π‘₯𝑝 (βˆ’ β„π‘œ ).
1) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps.
2) Déterminer la constante A.
3) Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de la particule.
Commenter son allure par rapport à un oscillateur harmonique en mécanique classique,
oscillant entre βˆ’π‘₯π‘š et +π‘₯π‘š Quelle est, sans calcul, la valeur de la position moyenne < π‘₯ > de
la particule quantique ?
4) Déterminer l’expression de πΈπ‘œ et de π‘Ž en fonction de ℏ, π‘š et de πœ”.
2
+∞
πœ‹
On donne βˆ«βˆ’βˆž exp(βˆ’π›Όπ‘’2 )𝑑𝑒 = βˆšπ›Ό
4) Fil quantique :
On étudie la conduction électronique dans un fil quantique : il s’agit d’un matériau
dans lequel les électrons peuvent se déplacer d’une extrémité à l’autre. Sa géométrie est celle
d’un parallélépipède, de section carré de côté π‘Ž et de longueur 𝑙 avec 𝑙 >> π‘Ž. Pour des
raisons géométriques, les électrons n’ont la possibilité que de se déplacer selon l’axe (𝑂π‘₯) du
fil. Les électrons à l’intérieur du fil sont traités comme des particules quantiques, de masse m,
libres de se déplacer dans la direction 𝑂π‘₯ du fil.
La fonction d’onde qui représente un état stationnaire d’un électron, d’énergie E, dans
le fil s’écrit sous la forme : πœ‘(π‘₯) = 𝐴𝑒π‘₯𝑝(π‘–π‘˜π‘₯) où A est une constante réelle de
normalisation.
1) Commenter la forme choisie pour πœ‘(π‘₯). Que représente k ? Normaliser la fonction
d’onde.
2) Exprimer l’énergie 𝐸 de l’électron ainsi que sa vitesse 𝑣π‘₯ de déplacement suivant
l’axe 𝑂π‘₯.
3) Quelle est l’expression de la densité de probabilité de présence de l’électron le long
du fil ?
4) On admet que la probabilité de présence entre π‘₯ et π‘₯ + 𝑑π‘₯ d’un électron, dont le
𝑑𝑃(π‘₯) 𝑙
vecteur d’onde π‘˜ est compris entre π‘˜ et π‘˜ + π‘‘π‘˜ est : π‘‘π‘ƒπ‘˜ (π‘₯) = 𝑑π‘₯ πœ‹ 𝑑π‘₯π‘‘π‘˜. Exprimer la
contribution au courant électrique 𝑑𝐼 qui traverse le fil, dans le sens des π‘₯ croissant, d’un
électron dont le vecteur d’onde est compris entre π‘˜ et π‘˜ + π‘‘π‘˜ en fonction de 𝑒, 𝑣π‘₯ et π‘˜.
5) Le fil quantique est disposé entre deux métaux, soumis à une différence de potentiel
de π‘ˆ. Dans le métal 1, du côté π‘₯ < 0, les électrons de conduction ont une énergie 𝐸1 et dans le
métal 2 , du côté π‘₯ > 𝑙, les électrons de conduction ont une énergie 𝐸2 = 𝐸1 βˆ’ π‘’π‘ˆ. Montrer
que l’intensité du courant peut se mettre sous la forme 𝐼 = βˆ’πΊπ‘ˆ. Donner l’expression et la
valeur numérique de 𝐺 ainsi que celle de 𝑅 = 1/𝐺.
5) Paquet d’onde Gaussien :
On considère une particule libre non relativiste se déplaçant selon l’axe 𝑂π‘₯ à la vitesse
+∞
1
𝑣0 = 𝑝0 /π‘š. Sa fonction d’onde normalisée s’écrit : πœ“(π‘₯, 𝑑) =
βˆ«βˆ’βˆž 𝑔(π‘˜) exp(𝑖(π‘˜π‘₯ βˆ’
√2πœ‹
2𝜎2 1
πœ”(π‘˜)𝑑)) π‘‘π‘˜ π‘œù 𝑔(π‘˜) = (
πœ‹
2
2
)4 exp(βˆ’πœŽ (π‘˜ βˆ’ π‘˜0 ) ) a la forme d’une gaussienne centrée sur
1
π‘˜ = π‘˜0 dont la mi-largeur à hauteur sur βˆšπ‘’ est prise égale à βˆ†π‘˜ = 𝜎√2, de sorte que lorsque
π‘˜ varie de π‘˜0 à ο‚± βˆ†π‘˜ , sa valeur maximale 𝑔(π‘˜0 ) est réduit d’un facteur βˆšπ‘’.
On donne les intégrales suivantes :
+∞
βˆ«βˆ’βˆž exp(βˆ’πœŽ 2 (𝑒 + 𝑣))2 𝑑𝑒 =
βˆšπœ‹
𝜎
et
+∞
1
πœ‹
βˆ«βˆ’βˆž 𝑒2 exp(βˆ’π‘π‘’2 )𝑑𝑒 = 2𝑏 βˆšπ‘
1) Donner l’expression de la densité linéique de probabilité 𝜌(π‘₯, 𝑑 = 0) à l’instant
initial. Tracer son allure et discuter physiquement ce résultat. Donner en particulier la position
du centre du paquet d’ondes ainsi que sa largeur βˆ†π‘₯π‘œ . A quoi correspond physiquement cette
largeur ? Comment évolue la localisation de la particule avec βˆ†π‘₯π‘œ ?
2) Exprimer |𝑔(π‘˜)|2 et discuter le sens physique de cette grandeur. En procédant
comme en (1), donner l’expression de sa largeur βˆ†π‘˜ et discuter physiquement ce résultat.
3) Vérifier la relation d’incertitude d’Heisenberg.
5) Donner l’expression de πœ“(π‘₯, 𝑑) On ne cherchera pas à calculer l’intégrale.
3
β„π‘˜ 2
4) En tenant compte de la relation de dispersion πœ”(π‘˜) = 2π‘š le calcul complet (non
demandé ici) conduit à une densité de probabilité donnée par :
β„π‘˜ 𝑑
(π‘₯ βˆ’ π‘š0 )2
2
1
𝜌(π‘₯, 𝑑) = √ 𝜎
𝑒π‘₯𝑝 [βˆ’
]
ℏ2 𝑑 2
ℏ2 𝑑 2
πœ‹
2
[1 +
]
2𝜎 (1 +
)
4π‘š2 𝜎 4
4π‘š2 𝜎 4
Quelle est la position π‘₯𝑐 du centre de cette gaussienne ? Ce résultat était-il prévisible ?
5) Exprimer la largeur βˆ†π‘₯(𝑑) de 𝜌(π‘₯, 𝑑) à l’instant 𝑑 en fonction de βˆ†π‘₯0 Conclure sur
l’évolution du paquet d’onde entre 0 et 𝑑.
6) Falaise de potentiel :
Une particule de masse π‘š et énergie 𝐸 approche une falaise de potentiel définie par :
pour π‘₯ < 0, 𝑉(π‘₯) = 0 et pour π‘₯ > 0, 𝑉(π‘₯) = βˆ’π‘‰π‘œ .
1) Quel est le mouvement classique ?
2) Résoudre l’équation de Schrödinger dans les deux domaines.
3) Quelle est la probabilité pour qu’une particule d’énergie 𝐸 = π‘‰π‘œ /2 fasse demi-tour ?
Commenter.
7) Particule quantique dans un puits fini :
Une particule de masse m est placée dans un puits de potentiel modélisé par : 𝑉(π‘₯) =
0 pour βˆ’π‘Ž < π‘₯ < +π‘Ž et 𝑉(π‘₯) = π‘‰π‘œ pour |π‘₯| > π‘Ž.
1) On s’intéresse aux états liés. Quelles sont les valeurs limites possibles de l’énergie ?
2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les différentes zones.
√2π‘šπΈ
√2π‘š(𝑉 βˆ’πΈ)
π‘œ
On pose π‘˜ = ℏ et 𝐾 =
et donner les expressions des fonctions d’onde dans les
ℏ
trois zones de l’espace.
3) Vu la forme du potentiel, on admet que les fonctions d’onde des états stationnaires
sont soit paires, soit impaires. En déduire les relations : π‘˜π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) = πΎπ‘Ž ou π‘˜π‘Žπ‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) =
βˆ’πΎπ‘Ž.
2π‘šπ‘Ž2 π‘‰π‘œ
ℏ2
4) Etablir la relation (π‘˜π‘Ž)2 + (πΎπ‘Ž)2 =
5) Interpréter graphiquement les solutions
dans le plan de coordonnées (π‘˜π‘Ž, πΎπ‘Ž) à l’aide de la
figure.
6) Existe-t-il toujours des états liés ? A
quelle condition existe-t-il un seul état lié ?
7) Que deviennent les solutions dans le cas
où le puits devient très profond ?
πΎπ‘Ž
π‘˜π‘Ž
0
πœ‹
2
πœ‹
Indications
1) Critère Quantique :
Pour chaque question, il faut trouver une grandeur 𝑆 homogène à énergie*temps ; 2) Trouver
la vitesse des particules à partir de l’énergie et utiliser 𝑆 = π‘₯. π‘šπ‘£ ; 3) trouver la vitesse des
particules à la température 𝑇 et utiliser 𝑆 = π‘₯. π‘šπ‘£.
2) Etude d’une naine blanche :
4
1) Il faut faire une étude dimensionnelle et ne pas oublier que cette énergie est négative ; 2)
Dans l’étoile le nombre de protons est égal au nombre d’électrons et la masse de l’étoile
provient essentiellement des protons ; 3) Utiliser la relation d’Heisenberg pour lier la variable
d’espace à la quantité de mouvement ; 4) L’énergie totale est une fonction de R et l’équilibre
𝑑𝐸(𝑅)
correspond à un minimum de l’énergie totale donc à 𝑑𝑅 = 0 ;5) Comparer la masse
volumique de l’étoile à des masses volumiques de corps denses.
3) Oscillateur harmonique quantique :
2) La probabilité doit être une grandeur normée ; 3) Réfléchir aux maxima et aux minima de
probabilité dans le mouvement classique ; 4) remplacer πœ‘(π‘₯) dans l’équation de Schrödinger
mais πΈπ‘œ ne doit pas dépendre de π‘₯.
4) Fil quantique :
1) La probabilité d’avoir l’électron entre π‘₯ = 0 et π‘₯ = 𝑙 est de 1 ; 2) Utiliser l’équation de
Schrödinger indépendante du temps pour trouver l’énergie de l’électron ; sa vitesse le long de
l’axe 𝑂π‘₯ est égale à la vitesse de groupe ; 4) Supposer que la probabilité qu’un électron
traverse la surface 𝑆 pendant le temps 𝑑𝑑 est égale à la probabilité d’avoir un électron à une
distance 𝑣π‘₯ 𝑑𝑑 de la surface ; 5) Il faut intégrer dans le sens des π‘˜ croissants, c’est-à-dire de π‘˜2
à π‘˜1 .
5)Paquet d’onde Gaussien :
1) Transformer (π‘˜ βˆ’ π‘˜π‘œ )2 + π‘–π‘˜π‘₯ en une somme de deux expressions, du type : βˆ’π›Ό 2 (π‘˜, π‘₯) +
𝛽(π‘₯) et utiliser les intégrales données dans l’énoncé ; 2) |𝑔(π‘˜)|2 étant encore une gaussienne
on peut utiliser les indications de l’énoncé pour trouver sa largeur ; 3) Exprimer l’impulsion
𝑝 en fonction de π‘˜ et en déduire βˆ†π‘ en fonction de βˆ†π‘˜ ; 4) Retrouver l’expression de la vitesse
de groupe pour une onde de de Broglie vecteur d’onde π‘˜π‘œ ; 5) Il suffit de remplacer 𝜎 2 par
ℏ2 𝑑 2
𝜎 2 (1 + 4π‘š2 𝜎4 ) dans l’expression de Ξ”π‘₯π‘œ
6) Falaise de potentiel :
2) Aucune particule ne vient de π‘₯ = +∞ ; on a continuité de πœ‘(π‘₯) et de πœ‘β€²(π‘₯) en π‘₯ = 0 ; 3) Il
faut calculer la probabilité de réflexion 𝑅 =
β€–π‘—βƒ—π‘Ÿ β€–
‖𝑗⃗𝑖 β€–
et calculer sa valeur pour 𝐸 = π‘‰π‘œ /2.
7) Particule quantique dans un puits fini :
1) 𝐸 doit être inférieure à π‘‰π‘œ ; 2) La fonction d’onde doit rester finie pour π‘₯ = ±βˆž; 3) La
fonction d’onde et sa dérivée doivent être continues en π‘₯ = ±π‘Ž; étudier les conséquences
pour une fonction d’onde paire puis pour une fonction d’onde impaire ; 4) Exploiter les
définitions de π‘˜ et de 𝐾 de l’énoncé ; 5) Les courbes bleues représentent π‘˜π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) et la
courbe rouge – πΎπ‘Žπ‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) ; la courbe noire représente (π‘˜π‘Ž)2 + (πΎπ‘Ž)2 =
avoir un seul état il faut n’avoir qu’une seule intersection.
2π‘šπ‘Ž2 π‘‰π‘œ
ℏ2
; 6) Pour
Solutions
1) Critère Quantique :
1) 𝑆 = π‘ƒπœˆ 2 ~1014 𝐽. 𝑠 ≫ ℏ , c’est classique ; 2) 𝑆 = π‘Ÿβˆšπ‘š2𝐸~10βˆ’34 𝐽. 𝑠, c’est quantique ; 3)
𝑆 = π‘Žπ‘šβˆšπ‘˜π΅ 𝑇~2. 10βˆ’34 𝐽. 𝑠, c’est quantique.
2) Etude d’une naine blanche :
1) 𝐸𝑝 = βˆ’
ℏ2
π‘šπ‘’ 𝑅
𝐺𝑀2
𝑀 5/3
2( )
π‘š
𝑅
βˆ’
𝑀
; 2) 𝑁 = π‘š ; 3) 𝑉 =
𝐺𝑀2
𝑅
𝑅3
𝑁
ℏ 𝑀 1/3
; 𝑝 = 𝑅 (π‘š)
; l’équilibre de l’étoile correspond à 𝑅 =
𝑀 5/3
ℏ2
; 4) 𝐸𝑐 = π‘š
𝑒
𝑅2
ℏ2
π‘šπ‘’ πΊπ‘š5/3 𝑀1/3
(π‘š )
; 5) 𝐸 =
;6) 𝑅 = 8000 π‘˜π‘š ;
on trouve donc une étoile de la masse du Soleil mais avec le volume de la Terre ce qui
5
correspond à une masse volumique πœ‡ = 109 π‘˜π‘”. π‘šβˆ’3. Si on calcule la masse volumique d’un
métal très dense comme le plomb πœ‡(𝑃𝑏) = 2. 104 π‘˜π‘”. π‘šβˆ’3.
3) Oscillateur harmonique quantique :
ℏ2 𝑑2 πœ‘(π‘₯)
1
2
1/4
1) βˆ’ 2π‘š 𝑑π‘₯ 2 + 2 π‘šπœ”2 π‘₯ 2 πœ‘(π‘₯) = πΈπ‘œ πœ‘(π‘₯) ; 2) 𝐴 = (πœ‹π‘Ž2 ) 3) en mécanique classique π‘₯ = 0
est un minimum de probabilité et π‘₯ = ±π‘₯π‘š sont des maxima de probabilité ; de plus pour
|π‘₯| > π‘₯π‘š , la probabilité est nulle ; en mécanique quantique pour le niveau d’énergie πΈπ‘œ ,
π‘₯ = 0 est un maximum de probabilité et pour |π‘₯| > π‘₯π‘š , la probabilité est faible mais non
β„πœ”
2ℏ
nulle ; < π‘₯ >= 0 ; 4) πΈπ‘œ = 2 et π‘Ž2 = π‘šπœ”
4) Fil quantique :
1
1) Forme d’OPPH, πœ“(π‘₯, 𝑑) = 𝐴𝑒π‘₯𝑝(𝑖(π‘˜π‘₯ βˆ’ πœ”π‘‘)) ; π‘˜ est le vecteur d’onde ; 𝐴 = ; 2)
𝐸=
π‘˜ 2 ℏ2
2π‘š
; 𝑣π‘₯ =
β„π‘˜
π‘š
; 3)
𝑑𝑃(π‘₯)
𝑑π‘₯
12,9 π‘˜Ξ© .
5)Paquet d’onde Gaussien :
1) 𝜌(π‘₯, 𝑑 = 0) =
𝜎
√2πœ‹
=
1
𝑙
𝑒
; 4) 𝑑𝐼 = βˆ’ πœ‹ 𝑣π‘₯ π‘‘π‘˜ ; 5) 𝐺 =
2𝑒 2
β„Ž
βˆšπ‘™
= 7,73. 10
βˆ’5
𝑆; 𝑅 =
π‘₯2
𝑒π‘₯𝑝 (βˆ’ 2𝜎2 ) ; la courbe obtenue est une gaussienne centrée sur O ;
βˆ†π‘₯ = 𝜎 ; on a plus de probabilité de trouver la particule au voisinage de O à ±βˆ†π‘₯ près ; 2)
1
|𝑔(π‘˜)|2 représente la norme au carré de la transformée de Fourier de πœ“(π‘₯, 0) βˆ†π‘˜ = ;
𝜎2
ℏ
3) βˆ†π‘₯βˆ†π‘ = 2 > ℏ ; 4) π‘₯𝑐 = 𝑑.
β„π‘˜π‘œ
π‘š
ℏ2 𝑑 2
= 𝑣𝑔 (π‘˜π‘œ )𝑑 ; Ξ”π‘₯(𝑑) = Ξ”π‘₯π‘œ √1 + 4π‘š2 𝜎4 ; le paquet d’onde
s’élargit avec le temps.
6) Falaise de potentiel :
1) En mécanique classique la particule franchit la falaise avec une vitesse plus grande pour
π‘₯ > 0 ; 2) On pose π‘˜ =
π‘˜βˆ’πΎ
√2πΈπ‘š
ℏ
et 𝐾 =
√2(π‘‰π‘œ +𝐸)π‘š
ℏ
2π‘˜
; pour π‘₯ > 0, πœ‘(π‘₯) = 𝐴 exp(π‘–π‘˜π‘₯) +
1βˆ’βˆš3
2
𝐴𝑒π‘₯𝑝(βˆ’π‘–π‘˜π‘₯) et pour π‘₯ < 0, πœ‘(π‘₯) = π‘˜+𝐾 𝐴𝑒π‘₯𝑝(𝑖𝐾π‘₯) ; 3) 𝑅 = (1+√3) = 0,01. Ce résultat
est purement quantique.
7) Particule quantique dans un puits fini :
π‘˜+𝐾
ℏ2 𝑑2 πœ‘(π‘₯)
1) 0 < 𝐸 < π‘‰π‘œ ; 2) Pour |π‘₯| > π‘Ž on a βˆ’ 2π‘š
ℏ2
βˆ’ 2π‘š
𝑑2 πœ‘(π‘₯)
𝑑π‘₯ 2
𝑑π‘₯ 2
+ π‘‰π‘œ πœ‘(π‘₯) = πΈπœ‘(π‘₯) ; pour |π‘₯| < π‘Ž on a
= πΈπœ‘(π‘₯) ; ce qui donne pour π‘₯ > π‘Ž: πœ‘(π‘₯) = 𝐴 exp(βˆ’πΎπ‘₯) ; pour βˆ’π‘Ž < π‘₯ < π‘Ž:
πœ‘(π‘₯) = 𝐡 exp(π‘–π‘˜π‘₯) + 𝐢𝑒π‘₯𝑝(βˆ’π‘–π‘˜π‘₯) ; pour π‘₯ < βˆ’π‘Ž: πœ‘(π‘₯) = 𝐴 exp(+𝐾π‘₯) ; 3) Si la fonction
d’onde est paire on a π‘˜π‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) = 𝐾 et si la fonction d’onde est impaire on a π‘˜π‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘›(π‘˜π‘Ž) =
2π‘šπΈπ‘Ž2
2π‘šπ‘Ž2 (𝑉 βˆ’πΈ)
2π‘šπ‘Ž2 𝑉
π‘œ
βˆ’πΎπ‘Ž ; 4) π‘˜ 2 π‘Ž2 = ℏ2 et πΎπ‘Ž2 =
d’où la relation : (π‘˜π‘Ž)2 + (πΎπ‘Ž)2 = ℏ2 π‘œ ;5)
ℏ2
Les solutions possibles sont les intersections du cercle avec les courbes bleues ou rouges ; 6)
Il y a toujours une solution ; pour avoir une seule solution il faut
1
πœ‹π‘›β„ 2
augmente, 𝐸𝑛 = 2π‘š ( 2π‘Ž ) (solutions du puits infini).
π‘Žβˆš2π‘šπ‘‰π‘œ
ℏ
<
πœ‹
2
; 7) plus π‘‰π‘œ
6
4) Puits rectangulaire infini tridimensionnel
On considère une particule de masse m dans le puits de potentiel rectangulaire infini
tridimensionnel : 𝑉(π‘₯, 𝑦, 𝑧) = 0 pour 0 ≀ π‘₯ ≀ π‘Ž; 0 ≀ 𝑦 ≀ 𝑏; 0 ≀ 𝑧 ≀ 𝑑 avec π‘Ž > 𝑏 > 𝑑 et
𝑉(π‘₯, 𝑦, 𝑧) = ∞ sinon.
On donne l’équation de Schrödinger en régime stationnaire à trois dimensions :
βˆ’
ℏ2
2π‘š
𝑑2 πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)
(
𝑑π‘₯ 2
+
𝑑2 πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)
𝑑𝑦 2
+
𝑑2 πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)
𝑑𝑧 2
) + 𝑉(π‘₯, 𝑦, 𝑧)πœ‘(π‘₯, 𝑦, 𝑧) = πΈπ‘œ πœ‘(π‘₯, 𝑦, 𝑧) .
𝑛 πœ‹π‘₯
𝑛 πœ‹π‘¦
𝑛 πœ‹π‘§
1) Montrer que πœ‘(π‘₯, 𝑦, 𝑧) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 ( 1π‘Ž ) 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝑏 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 3𝑑 ) où A est une constante
et 𝑛𝑖 ∈ β„• est bien une fonction d’onde stationnaire. Quelle est l’énergie 𝐸𝑛1 𝑛2 𝑛3 de cet état ?
2) Donner l’énergie 𝐸1 du niveau fondamental ainsi que 𝐸2 du premier niveau excité.