Fourieranalyse

Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Informationstechnik
Fachgebiet Grundlagen der Elektrotechnik
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik
1. Versuchsbezeichnung
GET 10: Fourieranalyse
2. Standort
In unseren Laboren im Helmholtzbau H2546, H2547, H2548 und H2549.
3. Ziel und Inhalt
Verifizierung der Ergebnisse der klassischen Fourierreihenentwicklung periodischer Funktionen durch Vergleich mit den Spektren der FFT-Funktion eines Digitalspeicheroszilloskops.
Berechnung und Messung der Kenngrößen Mittelwert, Effektivwert und Klirrfaktor verschiedener Kurvenformen. Kennenlernen von linearen und nichtlinearen Verzerrungen. Nicht Gegenstand der Untersuchung sind die Unterschiede zwischen klassischer Fourieranalyse und
FFT.
4. Vorausgesetztes Wissen
- Prinzipieller Aufbau und Bedienung eines Oszilloskops,
d.h. Durchführung des Versuches GET2 „Digitalspeicheroszilloskop“.
- Kennwerte periodischer Wechselgrößen, insbesondere Mittelwert,
Effektivwert und Klirrfaktor.
- Rechnung mit relativen und absoluten Spannungspegeln in Dezibel.
- Berechnung der Koeffizienten der Fourierreihe und daraus die Koeffizienten
und Phasenwinkel der reellen Fourierreihe.
- Lineare und nichtlineare Verzerrungen.
5. Literatur und Material zur Vorbereitung
- Vorlesungs- und Übungsunterlagen der Elektrotechnik 2.
- Lehrbuch Seidel/Wagner: Allgemeine Elektrotechnik Band 2,
Unicopy Campus Edition, Ilmenau 2011.
- Lernprogramm “Fourier-Reihen” im “LearnWeb” von “GETsoft”.
Versuch GET 10 Fourieranalyse (11.05.2015)
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6. Vorbereitung
Zum Zeichnen der Kurven bei der Versuchsdurchführung drucken Sie sich das Blatt
„Oszibildschirm“ aus den „Vorlagen“ im „LabWeb“ von GETsoft aus.
6.1. Fourierreihe und reelle Fourierreihe
Geben Sie die allgemeine Darstellung der Fourierreihe sowie die Formeln zur Berechnung der
Koeffizienten a0, an und bn an.
Geben Sie die allgemeine Darstellung der reellen Fourierreihe sowie die Formeln zur Berechnung der Koeffizienten A0, An und φn aus den a0, an und bn an.
6.2. Effektivwerte im Zeitbereich
Berechnen Sie für die Rechteck-, Sinus- und Dreiecksfunktion nach Bild 1 den Effektivwert
im Zeitbereich entsprechend der Definitionsgleichung
T
UEF
1
= √ ∫ 𝑢2 (𝑡) dt
T
0
Hinweis: Auf Grund der Symmetrie reicht es, die Dreiecksfunktion im Bereich von 0 bis T/4
zu integrieren und das Integral mit 4 zu multiplizieren, was den Aufwand erheblich reduziert.
Bild 1: Schwingungsformen
6.3. Effektivwerte aus dem Spektrum
Leiten Sie die Formel für die Berechnung des Effektivwertes aus dem Betragsspektrum ab,
indem Sie die allgemeine Fourierreihe
∞
𝑢(𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔1 𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔1 𝑡))
𝑛=1
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in die Definitionsgleichung für den Effektivwert
T
UEF
1
= √ ∫ 𝑢2 (𝑡) dt
T
0
einsetzen, entsprechend den Orthogonalitätsregeln vereinfachen und dann die a0, an und bn
zu den Koeffizienten der reellen Fourierreihe A0 und An zusammenfassen.
6.4. Klirrfaktor aus dem Betragsspektrum am Beispiel der Dreiecksfunktion
Geben Sie die Formel für die Berechnung des Klirrfaktors aus dem Betragsspektrum an. Berechnen Sie den Klirrfaktor der Dreiecksschwingung aus dem Betragsspektrum der reellen
Fourierreihe unter Zuhilfenahme des Grenzwertes
∑
𝑛
1
𝜋4
=
𝑛4
96
𝑓ü𝑟 𝑛 = 1, 3, 5, 7, 9, … ∞
6.5. Rechteck und Halbwellensinus
Geben Sie die Formeln für die Fourierkoeffizienten der rellen Fourierreihe für die Rechteckfunktion und den Halbwellensinus der Einweggleichrichtung, wie sie in Vorlesung und
Übung berechnet wurden, an.
6.6. Dreieckfunktion
Berechnen Sie die Fourierreihe und daraus die reelle Fourierreihe für die Dreiecksfunktion.
Benutzen Sie die Symmetriebeziehungen zur Vereinfachung der Rechnung.
6.7. Übertragungsfunktion
Berechnen Sie den Betrag der Übertragungsfunktion H des RC-Tiefpasses nach Bild 3.
7. Geräte und Baugruppen am Versuchsplatz
- 1 Digitalspeicheroszilloskop TDS2002B
- 1 Funktionsgenerator HM8030-6
- 1 LCR-Messgerät HM8018
- 1 Netztransformator S30A/G 220V/6V
- 1 Experimentiereinheit für Steckelemente
- 1 Steckelementen Widerstand 1kΩ
- 1 Steckelement Kondensator 0.47µF
- 1 Steckelement Diode
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8. Aufgabenstellung und Versuchsauswertung
Um genaue Werte zu erhalten achten Sie darauf, dass im Zeitbereich eine ganze Anzahl von
Schwingungen auf dem Bildschirm sichtbar sind. Die Maximalwerte der Spannungen sollen
den Bildschirm wenn möglich ausfüllen und nicht übersteuern. Für eine korrekte Transformation des Gleichanteils des Signals müssen sich die Zeitachsen der beiden Kanäle exakt auf der
Nulllinie befinden. Die FFT-Funktion des Oszillografen berechnet nur das Betragsspektrum
der reellen Fourierreihe, das Phasenspektrum wird nicht ausgegeben.
Der Praktikumsassistent weist Sie in die Bedienung der FFT-Funktion des Oszilloskops ein.
Die angegebenen Werte auf den der Bauelementen sind Nennwerte mit zum Teil erheblichen
Abweichungen und müssen deshalb mit dem LCR-Messgerät bestimmt werden.
8.1. Kenngrößen und Spektrum einer harmonischen Schwingung
Oszillografieren Sie eine sinusförmige Generatorspannung von 1000Hz im Kanal 1.
Stellen Sie über die automatische Messfunktion die Effektivwerte UEF von 4, 2, und 1V ein
und notieren Sie die dazu angezeigte Spitze-Spitze Spannung USS. Messen Sie im Spektrum
die Spannung der Grundwelle A1. Berechnen Sie sowohl aus USS als auch aus A1 die Effektivwerte und vergleichen diese mit den eingestellten Werten UEF.
8.2. Kenngrößen und Spektrum einer Gleichspannung
An den Eingang der Spitzenwertgleichrichtung nach Bild 2 legen Sie eine sinusförmige Generatorspannung Ue von 1000Hz und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang des
Vierpols oszillografieren Sie die Gleichspannung Ua im Kanal 2.
Stellen Sie am Ausgang des Vierpols über die automatische Messfunktion die Effektivwerte
UEF von 4, 2, und 1V ein und notieren Sie die dazu angezeigten Mittelwerte der Spannung
UMW. Messen Sie im Spektrum die Spannung des Gleichanteils A0. Vergleichen Sie die Effektivwerte und die Mittelwerte. Vergleichen Sie die A0 mit den eingestellten Werten UEF.
Bild 2: Spitzenwertgleichrichtung
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8.3. Kenngrößen der Netzspannung
Oszillografieren Sie die Spannung am Ausgang des Netztransformators S30A/G 220V/6V im
Kanal 1. Bestimmen Sie die Spannung von Spitze zu Spitze USS , den Effektivwert UEF und
die Netzfrequenz fN über die automatische Messfunktion des Oszillografen.
Beurteilen Sie die Kurvenform der Netzspannung.
Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien An bei n = 1, 3, 5 und 7 aus. Berechnen Sie daraus näherungsweise den Klirrfaktor der Netzspannung. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert UEF mit dem aus der Spitze-Spitze Spannung USS errechneten.
8.4. Dreieckschwingung
Oszillografieren Sie eine dreieckförmige Generatorspannung von 1000Hz im Kanal 1.
Stellen Sie über die automatische Messfunktion eine Spitze-Spitze Spannung USS = 10V ein
und notieren Sie den dazu angezeigte Effektivwert UEF. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert UEF mit dem aus Spitze-Spitze Spannung USS errechneten.
Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien An bei n = 1, 3, 5, 7 und 9 aus und vergleichen
diese mit den theoretischen Werten der reellen Fourierreihe. Berechnen Sie aus den gemessenen An näherungsweise den Klirrfaktor der Dreieckschwingung und vergleichen ihn mit dem
in der Vorbereitung errechneten Wert.
8.5. Rechteckschwingung
Oszillografieren Sie eine rechteckförmige symmetrische Generatorspannung von 1000Hz im
Kanal 1. Stellen Sie über die automatische Messfunktion eine Spitze-Spitze Spannung USS =
10V ein und notieren Sie den dazu angezeigte Effektivwert UEF. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert UEF mit dem aus der Spitze-Spitze Spannung USS errechneten.
Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien An bei n = 1, 3, 5, 7 und 9 aus und vergleichen
diese mit den errechneten Werten der reellen Fourierreihe. Berechnen Sie aus den gemessenen
An näherungsweise den Effektivwert der Rechteckschwingung und vergleichen ihn mit dem in
der Vorbereitung errechneten Wert.
8.6. Übertragungsfunktion Tiefpass
Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente R und C mit der Meßbrücke. Bauen Sie einen RCTiefpass nach Bild 3 auf. Legen Sie an den Eingang des Vierpols eine sinusförmige Generatorspannung Ue mit USS = 10V und f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1.
Oszillografieren Sie am Ausgang des Vierpols die Spannung Ua im Kanal 2. Ermitteln Sie
den Betrag der Übertragungsfunktion Hn bei n*f1 mit n = 1, 3, 5, 7 und 9, indem Sie bei den
jeweiligen Frequenzen den Quotienten Ua / Ue bilden und daraus auch Hn in dB berechnen.
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Ermitteln Sie Hn bei den o.g. Frequenzen aus der Formel von Punkt 6.7. der Vorbereitung
und vergleichen Sie diese mit den gemessenen Werten.
Bild 3: RC-Tiefpass
8.7. Lineare Verzerrungen: Rechteck auf Tiefpass
An den Eingang des RC-Tiefpass nach Bild 3 legen Sie eine symmetrische rechteckförmige
Generatorspannung Ue von USS = 10V und f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang des Vierpols oszillografieren Sie die Spannung Ua im Kanal 2. Skizzieren
Sie das Oszillogramm. Beurteilen Sie die Kurvenform der Eingangsspannung.
Messen Sie das Spektrum der Eingangsspannung Ane und der Ausgangsspannung Ana bei n =
1, 3, 5, 7 und 9. Berechnen Sie daraus die Beträg der Übertragungsfunktion. Vergleichen Sie
diese Werte mit den in 8.6. aus den Bauelementen berechneten.
8.8. Nichtlineare Verzerrungen: Einweggleichrichtung eines Sinus
An den Eingang der Einweggleichrichtung nach Bild 4 legen Sie Sie eine sinusförmige Generatorspannung Ue mit f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang
des Vierpols oszillografieren Sie die Spannung Ua im Kanal 2.
Stellen Sie am Ausgang in Kanal 2 über die automatische Messfunktion eine Maximalspannung UMAX = 8V ein, notieren den Effektivwert UEF und den Mittelwert UMW der Halbwellenspannung und vergleichen diese mit den theoretischen Werten der reellen Fourierreihe.
Messen Sie im Ausgangsspektrum die Spektrallinien An mit n = 0, 1, 2, 4 und 6 aus und vergleichen diese mit den theoretischen Werten der reellen Fourierreihe.
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Bild 4: Einweggleichrichtung
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