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INSTITUCIÓN EDUCATIVA
DEPARTAMENTAL MONSEÑOR AGUSTÍN
GUTIÉRREZ
DOCENTE: Leidy Niyiret León Torres
PLAN DE MEJORAMIENTO
MATEMÁTICAS DECIMO
II PERIODO ACADÉMICO
FUNCIÓN CRECIENTE, DECRECIENTE Y
CONSTANTE
Una función es creciente en un intervalo [a,b] si
al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y
x2, con la condición x1< x2, se verifica que f( x1 )
< f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1
< x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si
para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que
cumplan x1 > x2, entonces f(x1 ) >f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la
función se dice estrictamente decreciente.
La función constante es aquella en la que para
cualquier valor de la variable independiente ( x ),
la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es
decir, permanece constante.
Sea f ( x)  c . El dominio de esta función es el
conjunto de todos los reales, y el contradominio es
únicamente el real c.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos
describe la relación existente entre Lado Opuesto
sobre la Hipotenusa. Su simbología es la
siguiente:
EJERCICIO:
1) Construir tres gráficos en los cuales se
combinen tres intervalos crecientes, dos intervalos
decrecientes y dos intervalos constantes.
2) Analizar el siguiente gráfico y sus intervalos:
2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno
describe la relación entre Lado Adyacente sobre
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la
relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos
representa la relación entre Lado adyacente sobre
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
EJEMPLOS:
1) Encontrar los valores de
y
También tenemos las Funciones que son inversas
a las anteriores:
4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la
relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
Para encontrar el valor de la secante, necesitarás la
longitud de la hipotenusa. Usa el Teorema de
Pitágoras para encontrar la longitud de la
hipotenusa.
5. Función Secante ( Sec): Relación entre
Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
Puedes inmediatamente calcular la tangente a
partir de su definición y de la información en el
diagrama.
Ahora calcula sec X usando la definición de
secante.
2)
Para
el
ángulo
Encontrar los valores de
agudo A,
y
.
.
Recuerda que los ángulos agudos en un triángulo
rectángulo son complementarios, lo que significa
que suman 90°. Como
que
Primero necesitas dibujar un triángulo rectángulo
donde .La tangente es la razón del lado opuesto y
del lado adyacente. Se muestra el triángulo más
simple que puedes usar que tenga esa razón.Tiene
una longitud del lado opuesto de 2 y una longitud
del lado adyacente de 5. Pudiste haber usado un
triángulo cuyo lado opuesto mida 4 y lado
adyacente mida 10. (Sólo necesitas la razón para
reducir a
, quiere decir
.
Puedes usar la definición de la cosecante para
encontrar C. Sustituye la medida del ángulo en el
lado izquierdo de la ecuación y usa el triángulo
para obtener la razón en la derecha. Al resolver la
ecuación y redondear a la decena más cercana
).
obtienes
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para
encontrar la hipotenusa.
De manera similar, puedes usar la definición de la
tangente y la medida del ángulo para encontrar b.
Resolviendo la ecuación y redondeando a la
Luego:
decena más cercana obtienes
Respuesta:
.
3) Necesitas construir una rampa con las
siguientes dimensiones. Resuelve el triángulo
rectángulo mostrado a continuación. Usa las
aproximaciones
y
, y proporciona las longitudes
a la decena más cercana.
La rampa necesita medir 11.7 pies de largo.
EJERCICIOS:
Resolver:
1)
5) Una rampa para sillas de ruedas se coloca sobre
unas escaleras de manera que un extremo queda a
2 pies sobre el suelo. El otro extremo está en
cierto punto y la distancia horizontal es de 28 pies,
como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el
ángulo de elevación redondeado a la decena de
grado más cercana?
2)
6) Se usa una cerca para formar un corral
triangular con el lado más largo de 30 pies, como
se muestra abajo. ¿Cuál es la medida exacta del
lado opuesto al ángulo de 60°?
3)
4) Ben y Emma salieron a volar una cometa.
Emma puede ver que la cuerda de su cometa
forma un ángulo de 70° con respecto a la tierra. La
cometa está directamente sobre Ben, que está
parado a 50 pies de distancia. ¿Cuántos pies de
cuerda ha soltado Emma? Redondear al pie más
cercano.
ÁNGULOS
Un ángulo es la región del plano comprendida
entre dos semirrectas con origen común. A las
semirrectas se las llama lados y al origen común
vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido
contrario al movimiento de las agujas del reloj y
negativo en caso contrario
Para medir ángulos se utilizan las siguientes
unidades:
Grado sexagesimal (°):Si se divide la
circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo
central correspondiente a cada una de sus partes es
un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60
segundos ('').
Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco
mide una longitud igual a la del radio.
2
rad = 360°
rad = 180°
30º
rad
4. Cual de los siguientes angulos es coterminal a
𝝅
∝=
𝟔
/3 rad
5. El angulo 120º en radianes es
6. El valor en grado que corresponde a 25º 12`38``
es:
7.
realiza la operación indicada: 𝟎, 𝟕𝟓° +
𝟐, 𝟓𝟖° + 𝟑° 𝟐𝟓` 𝟑𝟎``
º
𝟑
8. − 𝝅 en grados es
𝟒
Aplicaciones de la medida en radianes
De la definición de la medida en radianes se
deduce que la longitud de un arco circular de radio
r y ángulo igual a
S=r· 

radianes es:
,
Con S: arco circunferencia, r: radio y  : ángulo
en rad
Ya que conocemos el perímetro de una
circunferencia de radio unitario ( 2r  2 ),
entonces el ángulo de una circunferencia
completa, medido en radianes es 2 .
Los ángulos se pueden medir en grados
sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián
es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.
180º  rad

x
º
y  ejemplo:
EJEMPLO:
180º  rad

40º
y  y =
40º a rad
40º  rad 4 rad 2 rad


180º
18
9
Ejercicios:
1. Transformar el ángulo de grados a rad:
1) 15º 2) 35º
3) 80º 4) 150º
5)
6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º
2. Transformar el ángulo de rad a grados:

1) 5
rad

2) 10
rad
3)
200º
3 rad
17
rad
4) 4
3. Al expresar 56,74º en grados minutos y
segundos se obtiene :
A. 74º 56` 0``
B. 56º 40` 24``
C. 56º 14` 25``
D. 56º 4` 24``