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NOS INTERESA SABER EL NÚMERO DE ÉXITOS
QUE SUCEDEN EN N INTENTOS
JUAN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Consiste en todos los valores de una variable aleatoria,
junto con sus probabilidades correspondientes
∑ P(x) = 1
para cada valor
0≤ P(x) ≤ 1
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DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
Variable discreta.- Es aquella que casi siempre asume
solamente un conjunto finito de valores y que también
toma por lo general sólo valores enteros no negativos.
 Tales valores difieren unos de otros en cantidades finitas no
infinitesimales.
 De manera general podemos decir que pueden asociarse al
proceso de conteo
 La distribución probabilística discreta más común es la
binomial
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ENSAYOS DE BERNOULLI
Este modelo probabilístico se basa en que solo cuenta
con dos eventos simples en el espacio muestral, por
ejemplo:
 -Respuestas a Preguntas cerradas en una encuesta como: si
o no
 -En los procesos de inspección que den como resultado solo
dos posibilidades: como defectuoso o no defectuoso ( rayado,
roto, etc.)
 -Aquellos experimentos que llegan sólo a uno de dos posibles
resultados se denominan ensayos de Bernoulli
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De manera general podemos denominar a uno de los dos posibles
resultados de un solo ensayo de Bernoulli como éxito y al otro
fracaso
 Para su calculo se requiere convertir estos eventos cualitativos a
valores numéricos
 El valor de 1 (p) se le asigna al evento éxito
 El valor de 0 ( q) se le asigna al evento fracaso
Si una variable P (w)
w
q (0) “ fracaso” 1- p = q
p ( 1) “ éxito”
p
TOTAL
1 = p +q
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos
 1.-Los ensayos deben de ser independientes
 2.-En cada intento o ensayo son posibles solo dos resultados.
Uno se llamará éxito (p) y otro se llamara fracaso (q)
 3.- Las probabilidades deben de mantenerse constantes para
cada ensayo, esto es, la probabilidad de éxito (p) no cambia de
un intento o ensayo a otro, así también la probabilidad de
fracaso no cambia

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos
 4.- El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos
idénticos (tiene un número fijo de ensayos ),
 La variable aleatoria es el resultado de conteos, esto es, se cuenta el
número de éxitos en el número total de pruebas
 Si está presente las condiciones 1-3 tenemos un ensayo de
Barnoulli
 Si además está presente la condición (4) tenemos un experimento
binomial
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EXPERIMENTO BINOMIAL
Lo que interesa es el número de éxitos que
ocurren en n ensayos
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Es un requisito que se considere un muestro con
reemplazo
 Sí se realiza un muestreo sin reemplazo de una población
pequeña no podemos emplear la distribución binomial,
porque los eventos no serían independientes

 Solo si el tamaño de la muestra no es mayor que 5% del
tamaño de la población se pueden considerar como
independiente
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 Reglas de la distribución binomial
Los valores de una distribución deben ser números del
intervalo 0 a 1
La suma de todos los valores de una distribución de la
probabilidad debe equivaler a 1
 Éxito y fracaso denotan las dos categorías posibles de
todos los resultados
 p es la notación para éxito en cualquier intento
 q es la notación para fracaso en cualquier intento
 n es el número fijo de ensayos
X es el número específico de éxitos en n ensayos
P(x) es la probabilidad de lograr x éxitos en los n
ensayos
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 Por ejemplo, en las respuestas de una encuesta o en la
determinación de defectuoso o no defectuoso en un
producto:
La respuesta Si es éxito entonces se denominará como p
La respuesta No se considera fracaso y se denominará como
q
La suma de p + q = 1
 por ejemplo si la probabilidad de encontrar un defecto
( p) es de 0.04, entonces la probabilidad de encontrar un
producto sin defectos es 0.96 ( 1- p)
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FUNCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
P(x) = Coeficiente(p éxito)
b( x,n,p) = Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
Donde
n
( p)x
Cxn es el número de resultados con exactamente x éxitos en
ensayos
es la probabilidad de x éxitos en n ensayos
(para la distribución binomial es en cualquier intento)
AN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA
( 1 –p) n-x es la probabilidadJ Ude
x fracaso
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P(X=x/n,p) = Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
Es la probabilidad de que ocurra x dado una cantidad determinada de n y sus
probabilidades asociadas
b(x,n,p)
= Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
x (k en algunos textos) es el número de éxitos
n numero de intentos realizados (“ total de muestra)
P probabilidad de éxito
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Se considera que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.03. Si
entran tres clientes, ¿ cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes
hagan una compra
1.- espacio muestral ….. Se calcula con una combinación
2.- son eventos independientes, ya que la decisión de compra es
independiente, por lo que se calcula la probabilidad asociada a cada uno de
ellos
p (p) (q)
pqp
q p p
3.- la formula es una secuencia matemática
Calculamos la probabilidad de un evento y después sumamos , como son
eventos independiente no hay intersección.
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FUNCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
b(x,n,p)
= Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
Ejemplo : Si un experimento implica cinco ensayos ( n= 5) y si se
considera que la probabilidad de éxito es de 0.3 y la de fracaso es
de 0.7. ? Cuál es la probabilidad de tener tres éxitos
X= 3 n = 5 p = 0.3
P(x=3)
5C3 (.3) (.3)(.3) (.7)
P (x=3) = C35 ( 0.3)3 ( 0.7)2 = 0.1323
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El cinco por ciento de los engranajes de tornillos producidos
por una fresadora se encuentran defectuosos. ¿ Cuál es la
probabilidad de que en un muestra de 6 engranajes se
encuentren defectuoso?
1.- En exactamente uno
2.- En exactamente tres
Se cumplen las condiciones de la distribución binomial
- hay dos posibles resultados;
-existe una cantidad fija de pruebas (6)
-hay una probabilidad constante de éxito ( 0.05)
-las pruebas son independientes
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Si se sabe que el 30% de las lámparas
incandescentes fabricadas por una compañía
LIGHT AB se funde en el primer mes de uso si
éstas se dejan encendidas todo el tiempo.
Si se instala en cada uno de los 10 salones una
lámpara, ¿ cuál es la probabilidad de que
 1.-Se funda 10 lámparas
 2.-No se funda ninguna lámpara
 3 Se fundan 3 lámparas o menos
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Se ha observado que el 30% de la mujeres compran
un producto cuando este se encuentra en
promoción. Si hoy inicia la barata mensual de la
tienda departamental y entran 3 mujeres , ¿cuál
es la probabilidad d
 Ninguna mujer compre
 una compre
 dos compren
 tres compren
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MEDIA Y VARIANZA
media
µ= np
Varianza
σ2 = npq
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Una escuela afirma que el procedimiento para
promocionar la inscripción de alumnos es exitosos el
80% de la veces. Si el procedimiento se lleva a cabo 5
veces a la semana, ¿ cuál es la probabilidad de que
 1.-Las cinco veces que se lleve el experimento sea exitoso
 2.-A lo más dos veces sea exitoso ( a lo más significa que
puede ser 0, 1 o 2)
 3.- Calcule la media
 4.- Calcule la varianza
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Un profesor de Estadística quiere aplicar un examen que
consta de 5 preguntas de opción múltiple, cada una
con cinco respuestas posibles, pero solo una de ellas
es correcta. Supongamos que un estudiante quiere
adivinar las respuestas y que queremos calcular la
probabilidad de que tenga exactamente tres
respuestas correctas en las cinco preguntas ?
2.- Calcule la media
3.- Calcule la varianza
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EJERCICIO A
 Se tienen 5 estudiantes de Psicología, si la
probabilidad ( en términos de historial) de que
aprueben un examen de confusión múltiple de
Estadística, es de 0.5 . Cuál es la probabilidad de que a)
3 de 5 pasen; b) 4 de cinco o c) cinco de cinco
aprueben el curso d) calcule la media y la varianza
 P ( x = 3) = C53 ( 0.5) 3 (0.5)2 =10/32 = 0.3125
 P ( x= 4) = C 54 (0.5)4 (0.5)1 = 5/32 = 0.15625
 P ( x= 5) = C55 (0.5) 5 (0.5) 0 = 1/32 = 0.0312
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DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
∑ Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
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DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
 Función probabilística acumulada
En muchos casos nos interesa conocer la probabilidad de
que la variable X sea igual o menor que cierto valor.
 Considerando el ejercicio A, donde n= 5 y p = 0.5
Si P ( x= 0) = 0.03125
 P ( x= 1) = 0.15625
P ( x= 2)
= 0.3125
 Si quiero saber cual es la probabilidad de que 2 o menos
aprueben , debo considerar que si aprueban 2 es válido,
pero si aprueba uno es también valido y si no aprueba
ninguno es también válido , ya que me interesa saber : 2 o
menos
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Y si nos apoyamos en la regla de la adición de la
probabilidad. Cuál sería la probabilidad de dos o menos
aprueben el curso
Recuerde que teníamos 5 estudiantes ( n)
P ( x≤ 2) = P( X=0) + P (X =1) + P (X= 2)

= 0.03125 + 0.1562 + 0.3125

= 0.50
Y SI MEJOR USAMOS una TABLA
Función probabilística acumulada
Y sí quiero saber si tres o menos aprueban?...0.81
Y sí quiero saber si 4 o menos aprueban?.......0.96
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Si es un número específico, usamos tabla no
acumulada
Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
Si es más o menos usamos tabla de
probabilidades acumuladas
∑ Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x
También consideremos la regla de la adición en
probabilidad
1=p + q
p = 1- q
q = 1- p
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Una empresa farmacéutica informa que 30% de sus
cuentas por cobrar a otras empresas está
vencido. Si un contador toma una muestra
aleatoria de 10 de esas cuentas para saber qué
cantidad es la que está vencida, determina la
probabilidad de que :
 Ninguna cuenta esté vencida
 dos de las cuentas esté vencida
 cuando menos 3 cuentas estén vencidas
 a los mas dos cuentas estén vencidas
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Una encuesta realizada por TDAmerican encontró que uno de
cada cuatro inversionistas dispone de fondos cotizados en
bolsa en sus portafolios. Considere una muestra de 20
inversionistas
a) Calcule la probabilidad de que exactamente cuatro
inversionistas disponen de los fondos
b) calcule la probabilidad de que por lo menos dos fondos
tienen fondos cotizados en la bolsa
c) Si usted encuentra que exactamente 12 inversionistas
disponen de fondos cotizados en bolsa¿ dudaría de la
exactitud de los resultados de la encuesta?
d) calcule el número esperado de inversionistas que tienen
fondos cotizados en bolsa
e) 0.1897; 0.9757; 0.0008 si; 5
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En 2001 la mitad de los estadounidenses consideraba que el país atravesaba
por una recesión . Si tiene una muestra de 20 estadounidenses
a) Estime la probabilidad de que exactamente 12 personas creían que el país
pasaba por una recesión
b) calcule la probabilidad de que no mas de cinco personas creían que el
país pasaba por una recesión
c) ¿ cuántas personas esperaría que dijeran que el país pasaba por una
recesión?
d) calcule la varianza y la desviación estándar del número de personas que
creía que le país pasaba por una recesión
e) calcule la posibilidad de que 5 personas exactamente no creía que le país
pasaba por una recesión económica
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Un jefe de área de producción sabe que el 5% de las
piezas producidas en ciertos proceso de
fabricación tiene algún defecto. SI Se examinan 6
de estas piezas, ¿Cuál es la probabilidad de que
 Ninguna de las piezas esté defectuosa
 Dos de las piezas estén defectuosas
 tres o mas de las piezas estén defectuosas
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EJERCICIO
 Supóngase que el 70% de todos los pacientes que han tomado
terapia con alumnas de psicología han mostrado resultados
satisfactorios . ? Cuál es la probabilidad de que en una muestra de
25 pacientes que han tomado terapia con alumnas de psicología
en este año
 a.-20 muestren resultados satisfactorios?
 b.-.-15 muestren resultados satisfactorios
 c.- 25 muestren resultados satisfactorios
 P = 0.7 de éxito y n = 25
 a.- X= 20 = p(x)= 0.10302
 b.-.-X= 15 , p(x)= 0.0916
 C.- X= 25 ,
= 0.00013
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De los empleados de una empresa, el 40% está a
favor de la representación sindical y resto en
contra. Si se toma una muestra aleatoria de 10
empleados, ¿cuál es la probabilidad de que:
 Cinco de los empleados estén a favor de la
representación sindical
 Los diez empleados estén a favor de la representación
sindical
 Cuando menos OCHO estén a favor de la
representación sindical
 Dos o menos estén en contra de la representación
sindical.
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EJERCICIO
 Supóngase que el 20 % de todos los pacientes que han tomado
terapia con alumnas de psicología han mostrado resultados
satisfactorios . ? Cuál es la probabilidad de que en una
muestra de 25 pacientes que han tomado terapia con alumnas
de psicología en este año
 a.-7 muestren resultados satisfactorios?
 b.-.-10 muestren resultados satisfactorios
 c.- 15 muestren resultados satisfactorios
 P = 0.2 de éxito y n = 25
 a.- X= 7 = p(x)= 0.11084
 b.-.-X= 10 , p(x)= 0.01178
 C.- X= 15 ,
= 0.00001
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 Un estudiante presenta un examen de verdadero o
falso con 15 preguntas. Si trata de adivinar todas las
preguntas , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga
 13 respuestas correctas ?
 p(x) =0.0032
8 respuestas correctas
P(x)= 0.196
15 respuestas correctas
P(x) = 0.00003
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EJERCICIO
 En un distrito electoral , el 20% de los votantes está
con contra de la ley de permitir la eutanasia y el resto
está a favor. Si usted realiza una encuesta y elige al
azar cinco votantes de ese distrito. ¿ Cuál es la
probabilidad de que:
Ninguno de ellos esté a favor de la ley
Todos estén a favor de la ley… ninguno está en contra.
 Uno esté en contra de la ley
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Se ha determinado que un suero tienen una efectividad
del 50% para curar ciertas enfermedades. Cuál es la
probabilidad de que en un muestra aleatoria de 15
pacientes que tienen la enfermedad, se curen:
a) 4
b) 5
c) 6
d) de 4 a 6 pacientes
 P ( x= 4) = 0.04166
 P( x= 5) = 0.09164
 P (x = 6) = 0.15274
 P( 4≤X≤6) = 0.041+ 0.09+ 0.15= 0.28604
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EJERCICIO D1
 Una prueba contiene 15 preguntas falso o verdadero.
Si un estudiante contesta adivinando, entonces cual
sería la probabilidad de:
 Que conteste correctamente 13
 5 o menos
A.- sin n = 15
B.- P (X ≤5)
x= 13 p= 0.5 ver tabla B = 0.0032
y n = 15 p= 0.5 Tabla C= 0.15088
 y si quiero saber si son 13 o más ( cuando menos 13)
No tengo tabla pero puedo calcularla mediante sus datos
individuales
p = 0.00370
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 Cierta medicina tiene una efectividad del 50%. Sea x el número
de pacientes curados en una muestra de 20 pacientes
 Cuál es la probabilidad de que 15 se curen
 Cuál es la probabilidad de que 15 o menos se curen
 15 o más pacientes se curen
A.-p (x =15)
se busca en tabla B y el resultado es 0.01479
B.- P( X≤15) X= 15 P= 0.5 N= 20
Se busca en tabla C = 0.9940
 C.- P ( X≥ 15) Se busca en tabla C , pero como x≤ 14 y se resta a 1
1- 0.97930 = 0.0207
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Una empresa farmacéutica informa que 30% de sus
cuentas por cobrar a otras empresas está
vencido. Si un contador toma una muestra
aleatoria de 5 de esas cuentas para saber qué
cantidad es la que está vencida, determina la
probabilidad de que :
 Ninguna cuenta esté vencida
 dos de las cuentas esté vencida
 cuando menos 3 cuentas estén vencidas
 a lo mas dos cuentas estén vencidas
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La probabilidad de que un paciente se recupere de
una enfermedad cardiaca es del 0.4. S i se sabe
que 15 empleados tienen problemas cardíacos,
¿cuál es la probabilidad de que
1.- sobrevivan al menos 10?
2.- sobreviva de 3 a 8
3.- sobrevivan exactamente 5
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De acuerdo con reportes del sistema de agua del estado, se
sabe que hay impurezas en un 30% de los pozos de agua
potable. Se toma una muestra aleatoria de 10 pozos para
verificar dicha aseveración , ¿cuál es la probabilidad de que
1.- tres pozos tengan impurezas
2.- más de tres pozos tengan impurezas
3.- cuál es el promedio de pozos con impurezas?
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Para potencia recíproca
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