MafI 1 Repetitorium Übungen

MafI 1 Repetitorium Übungen
M. Sc. Dawid Kopetzki
KW 21 (20.05.2015)
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
1/8
Intro
Themenübersicht
Themen der heutigen Übung (Algebra):
Halbgruppen, Monoide
Gruppen
Symmetrische Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
2/8
Mengen mit einer Verknüpfung
Monoid
hG , ⊕i über die (Träger)Menge G und der zweistelligen
G × G → G heiÿt Monoid genau dann, wenn gilt:
⊕ ist assoziativ (hG , ⊕i ist Halbgruppe)
hG , ⊕i besitzt ein neutrales Element (hG , ⊕i ist Monoid)
⊕ ist kommutativ (hG , ⊕i ist kommutativer Monoid)
Eine algebraische Struktur
Verknüpfung
1
2
3
⊕:
(Kommutativer) Monoid?
hZ, +i
Halbgruppe?
X
Monoid?
X
Kommutativ?
X
+
hA , ·i
Halbgruppe?
X
Monoid?
×
Kommutativ?
×
hZ, −i
Halbgruppe?
×
Monoid?
×
Kommutativ?
×
Neutrale Elemente
Seien
e, e0 ∈ G
neutrale Elemente. Zeigen Sie:
e = e0
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
3/8
Mengen mit einer Verknüpfung
Gruppe
Ein (kommutativer) Monoid hG , ⊕i in dem zu jedem Element a ∈ G ein
inverses Element a− 1 ∈ G existiert heiÿt (kommutative) Gruppe.
Gruppen
Die folgende Verknüpfungstafel einer Gruppe mit den sechs Elementen
{a, b, c , x , y , z } lässt sich auf genau eine Weise vervollständigen. Ergänzen
Sie die fehlenden Einträge und begründen Sie, dass diese in eindeutiger
Weise festliegen.
◦
a
b
c
x
y
z
M. Sc. Dawid Kopetzki
a b c x y z
c b
x z
c
y
x
a
x
MafI 1 Repetitorium Übungen
4/8
Mengen mit einer Verknüpfung
Gruppeneigenschaften
Sei hG , ·i eine Gruppe. Zu festem x ∈ G sei auf G eine weitere
Verknüpfung ⊕ : G × G → G durch
a ⊕ b =df a · x · b
deniert.
1 Zeigen Sie, dass hG , ⊕i eine Gruppe ist
2 Erstellen Sie die Verknüpfungstabelle for ⊕ für hG , ·i = hZ3 , +3 i und
x =2
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
5/8
Mengen mit einer Verknüpfung
Symmetrische Gruppe
Für n ≥ 2 bildet Sn =df {f | f : {1 · · · n} → {1 · · · n}, f bijektiv} mit der
Komposition ◦ als Operation eine Gruppe. Elemente von Sn werden
Permutationen genannt.
Zyklenschreibweise S3
Die Menge aller Permutationen f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} ist
S3 = {id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
Komposition von Permutationen
Komposition von zwei Permutationen:
(1 4 2) ◦ (2 3) = (2 3 1 4)
(1 2 3 4) ◦ (1 3 4) = (1 4 2 3)
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
6/8
Mengen mit einer Verknüpfung
(Gruppen-)Homomorphismus
Seien hG1 , ⊕1 i und hG2 , ⊕2 i Gruppen und f : G1 → G2 eine Abbildung,
dann heiÿt f (Gruppen-)Homomorphismus genau dann, wenn gilt
∀a, b ∈ G .f (a ⊕1 b) = f (a) ⊕2 f (b)
Gruppenhomomorphismus
Sei hG , ⊕i eine Gruppe. Für ein beliebiges a ∈ G ist λa : G → G deniert
durch
Oensichtlich ist
T
λa (x ) =df
a⊕x
=df {λa |
a ∈ G}
mit der Funktionskomposition eine Gruppe. Zeigen Sie, dass
h : hG , ⊕i → hT , ◦i, mit h(a) =df λa ein injektiver
Gruppenhomomorphismus ist.
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
7/8
Mengen mit einer Verknüpfung
Untergruppe
Ist hG , ⊕i eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass hH , ⊕i
auch eine Gruppe ist, so nennen wir hH , ⊕i Untergruppe von hG , ⊕i
(H ≤ G )
Untergruppe
Sei n ≥ 2 und Sn die symmetrische Gruppe. Zeigen Sie, dass
Un =df
{π ∈ Sn | π(1) = 1}
Untergruppe von Sn ist.
M. Sc. Dawid Kopetzki
MafI 1 Repetitorium Übungen
8/8