MOVIMIENTO RECTILINIO (Luis E. Cuarán C.) “Y

MOVIMIENTO RECTILINIO
(Luis E. Cuarán C.)
“Y puesto que él poseía una gran inclinación a la raciocinación, quiso adivinar, de qué
modo se mueve un átomo tan pequeño y si posee este algunas ideas, voluntad y libertad”
Voltaire, “Micromegas”
Introducción
Todo lo que existe natural o social se encuentra en movimiento, en cambio, en
transformación; es decir que el movimiento es un estado natural de todo lo que existe. Para
percatarse de ese movimiento es necesario establecer un sistema de referencia, puntos o
estados de comparación, que sirven para observar los cambios producidos por el
movimiento. El movimiento, comprendido en esta generalidad puede corresponder con los
vocablos 'cambio' y 'devenir'. En principio, el movimiento tiene diferentes formas de
ocurrencia o lo que es lo mismo, hay diferentes especies de movimientos. Así, el problema
del movimiento es uno de los problemas fundamentales de la filosofía, de las ciencias
naturales como también lo es de las ciencias sociales.
El movimiento no es mas que un atributo de la materia, abarca todas y cada una
las transformaciones, cambios o procesos que se ocurren en la naturaleza, desde el
simple desplazamiento de una partícula de un lugar a otro hasta el pensamiento mismo.
Para las ciencias naturales es de importancia el estudio del “movimiento mecánico”
de los objetos. Todos los cuerpos que nos rodean están en movimiento indistintamente
que sean grandes como las estrellas o pequeños como los átomos. El movimiento
mecánico en su forma mas elemental consiste en el cambio de posición que sufre un
objeto respecto de otro que se usa como referente. En el desarrollo histórico de las
ciencias naturales, se avanzó en la explicación inicial del simple desplazamiento de un
objeto cuando cambia de lugar y de los cambios de posición de los cuerpos celestes; un
esfuerzo mayor se hizo para comprender y formular la teoría del movimiento molecular y
atómico; luego se pudo explicar muchas de las formas del movimiento se dan en los
procesos biológicos; otro paso gigantesco se dio al formular la teoría sobre el
movimiento de partículas a velocidades comparables con la velocidad de la luz y el
comportamiento de las micro partículas. Así, vemos que la mecánica se halla, desde
hace mucho tiempo, fuertemente estructurada, ha encontrado un buen número de las
leyes que rigen la naturaleza en cuanto al movimiento mecánico; no es así, o al menos
no de la manera tan estructurada el estudio del desarrollo del pensamiento y por ende el
del movimiento de las sociedades. La teoría científica de los movimientos sociales y del
pensamiento, se esconde, se oscurece, se distorsiona mediante de aparatos ideológicos
que actúan a favor de quienes se han apropiado de manera privada de los medios de
producción.
Todo movimiento va unido, de un modo o de otro, a cierto desplazamiento, ya sea
de los cuerpos celestes, las masas terrestres, las moléculas, los átomos, las formas de
pensar o la organización de la sociedad para producir; también, el movimiento, implica
el tiempo como un resultado material del suceder de los eventos que le ocurren a los
objetos.
El movimiento mecánico, que está ligado al desplazamiento de los cuerpos,
involucra el cambio de posición de dichos objetos que se mueven; es la base del
funcionamiento de las máquinas y aparatos tecnológicos.
Uno de los tipos de
movimientos que le ocurren a los cuerpos es el movimiento de translación, en el que
todos los puntos del cuerpo se desplazan de forma absolutamente igual; otro es el
movimiento de rotación en el cual los puntos del cuerpo en rotación describen
circunferencias.
Al enfrentarse a la tarea de proponer soluciones a problemas de movimiento
mecánico se puede abstraer la forma y dimensiones del objeto bajo la idea de “punto
material”. Debe entenderse como punto material a la abstracción de un cuerpo en donde
1
no interesa la forma ni las dimensiones del mismo en tanto que ellas no sean
determinantes en la solución del problema de movimiento mecánico planteado. Si a un
pasajero le interesa saber el tiempo que demora en ir de Popayán a Cali en avión, no es
necesario precisar el movimiento particular de las partes aisladas de la aeromáquina,
aquí se puede equiparar el avión con un punto material; análogamente se puede la tierra
o los astros celestes del sistema solar en su movimiento de traslación. Claro, si se
indaga sobre las causas del cambio de día a noche y viceversa, no se puede considerar
a la tierra como un punto material, sino que se debe tener en cuenta su forma, sus
dimensiones, su rotación entorno de su eje, su inclinación respecto de un plano orbital,
su balanceo, etc. Es decir, que se debe ser cuidadoso de considerar un cuerpo como
punto material, un cuerpo puede considerarse un punto material en algunas situaciones
mientras que en otras es imposible hacerlo.
Que el movimiento mecánico corresponda a la variación mutua de la disposición de
los cuerpos implica que no se puede hablar de movimiento si se piensa en un objeto
completamente solitario, sin la compañía de al menos otro cuerpo. No se podría referir a
la posición de dicho objeto solitario porque no existiría un referente respecto del cual
hacer la localización de ese objeto. El referente escogido es el centro del sistema de
referencia a seguir en el estudio del movimiento, si se tiene diferentes sistemas de
referencia el movimiento del objeto puede tener diferentes descripciones. Ejemplo, una
persona que esta sentada dentro de un tren en movimiento puede afirmarse que está en
reposo con respecto del asiento pero que está en movimiento respecto de un árbol al
lado de la vía férrea.
El movimiento ocurre en el espacio-tiempo, por lo
tanto para describir el movimiento de un objeto hay que
determinar para cada momento la posición en el espacio y
la variación de dicha posición mientras cambia el tiempo.
Sistema de referencia.
A un cuerpo de referencia que se le enlazan los
famosos ejes coordenados y los respectivos cronómetros
sincronizados, se denomina “sistema de referencia”. En
principio todo cuerpo puede tomarse como referencia pero
puede resultar no muy cómodo, es por esto que la selección del sistema de referencia
debe realizarse con previo análisis de la realidad objetiva. Lo tradicional es que el
famoso sistema coordenado sea el compuesto por tres rectas perpendiculares entre si,
que concurren a un centro en el que se encuentra el objeto de referencia y donde la
posición de un punto está caracterizada por las coordenadas (x,y,z). Este modo de
sistema coordenado no es el único, hay sistema de coordenadas cilíndricas, esféricas o
generalizadas por ejemplo.
Posición.
La posición de un objeto puede comprenderse como la ubicación del mismo respecto
de otro cuerpo que se ha tomado como referencia. En el caso del un movimiento rectilíneo
las diferentes posiciones que toma un cuerpo pueden ubicarse sobre una línea recta y por lo
tanto en este movimiento sólo es necesario un eje coordenado.
Cuando
la
trayectoria
que
X
describe el objeto en movimiento es una
a
b
línea recta se habla de movimiento
0
rectilíneo.
En la gráfica adjunta el
x-x0
xo
vector desplazamiento está definido por
x
el vector dirigido de a a b cuya
magnitud es x-xo.
2
El movimiento Rectilíneo y la ley de movimiento.
Se puede afirmar que un objeto está en movimiento rectilíneo cuando la trayectoria
que describe, en el sistema de referencia, es una recta. En este caso es muy cómodo
escoger un eje coordenado y hacerlo coincidir con la trayectoria del móvil. Entonces, en
cada momento de tiempo, el punto material en movimiento tendrá un punto de ese eje
asociado a su nueva posición, es decir que una coordenada definida que permitirá
localizarlo en cada instante. Encontrar la fórmula que liga a dicha coordenada del móvil con
el tiempo es lo mismo que encontrar la ley del movimiento de dicho cuerpo. Para el caso de
un movimiento rectilíneo que ocurre sobre el eje X, la ley del movimiento sera una función
del tiempo que en general tiene la forma: x=f (t)
Velocidad.
Se puede entender como velocidad al cambio de la posición de un objeto en el
transcurrir del tiempo. Es decir la razón del vector desplazamiento entre el intervalo de
tiempo durante el cual se produce el desplazamiento. Esto se puede escribir:
, o lo que es lo mismo
v¯ =
¯v =
x−x o
t−t o
Δx
, donde la letra griega Δ se puede leer como “variación
Δt
de... ” o “cambio de...”. Esta razón, para un intervalo de tiempo suficientemente grande, solo
puede entenderse como una velocidad promedio o velocidad media. Si se quiere hablar de
una velocidad instantánea se debe tomar intervalos de tiempo tan pequeños como se
quiera, intervalos de tiempo tan pequeños que se acerquen al valor de cero.
En el sistema internacional la velocidad se mide en metros sobre segundos (m/s), en
el sistema cegesimal se mide en centímetros sobre segundo (cm/s), en el sistema inglés se
mide en pies sobre segundo (ft/s); pero, también se usan otras unidades tales como
kilómetros por hora (Km/h).
Si manipulamos la ecuación
v=
¯
x−x o
t−t o
se obtiene que
x−x o=¯v (t−t 0)
o lo
que es lo mismo x=x o + ¯
v ( t−t 0 ) .
Si convenientemente se hace coincidir la posición inicial (x o) con el cero del eje
coordenado y si el tiempo se mide desde cuando el cuerpo se encuentra en la posición
inicial se tiene que t0=0, de esta manera la ecuación se simplifica todavía más quedando
x=v¯ t .
Las anteriores ecuaciones son válidas para el cálculo de la velocidad media o
promedio pero ¿cómo entender matemáticamente la velocidad instantánea?
Hemos dicho que la velocidad instantánea se puede encontrar asumiendo que se
puede trabajar sobre intervalos de tiempo tan pequeños como se quiera, esto es que (t-t 0) se
acerque a cero. La situación aquí descrita se puede expresar matemáticamente como:
x−x 0
(t −t 0)→ 0 t−t 0
v = límite
o
v = lim
∆t →0
∆ x dx
=
∆t dt
Aceleración.
Es frecuente que la velocidad de un cuerpo en movimiento esté cambiando
continuamente, cuando esto ocurre se dice que el movimiento de dicho cuerpo es acelerado
o que tiene aceleración. Entonces, al cambio de velocidad en el transcurrir del tiempo se
conoce como aceleración. Cuando el tiempo considerado, para los cálculos, no es
infinitamente pequeño la aceleración se denomina media o promedio y la fórmula
matemática es
¯a =
v−v 0 Δ v
. En el sistema internacional de unidades la aceleración
=
t−t 0 Δ t
se mide en m/s2 y en el sistema c.g.s se mide en cm/s2, etc.
La aceleración media es una buena aproximación a lo que realmente está ocurriendo
con el móvil en un punto determinado; sin embargo, es de nuestro interés saber el valor
3
instantáneo de la aceleración en dicho punto. Para ello, tomamos un intervalo de tiempo en
rededor de dicho punto que sea tan pequeño, de tal manera que se acerque a cero, que nos
permita hacer el cálculo de lo que deseamos: la aceleración instantánea. Para ello
procedemos de forma análoga a como lo hicimos con la velocidad, de esta manera tenemos
que
v −v 0
(t −t )→ 0 t−t 0
a= límite
0
o
a= lim
∆t→ 0
∆ v dv
=
∆ t dt
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Este movimiento tiene como característica que la velocidad del móvil cambia de una
manera uniforme solamente en cuanto a la cantidad o lo que es lo mismo que la aceleración
es constante y no altera la dirección del movimiento. Esto garantiza que el movimiento sea
rectilíneo y con cambio de velocidad progresivamente uniforme.
Como la aceleración no varía (es constante), la aceleración media corresponde a la
aceleración instantánea en cualquier punto del movimiento. Por lo tanto podemos escribir
v−v 0 Δv
=
,
si despejamos
la velocidad en esta ecuación tenemos
t−t 0 Δ t
v =v 0 +a (t−t 0) , si el tiempo se empieza a contar desde que la velocidad es la velocidad
inicial v 0 entonces t0 es igual a cero. De tal manera que la ecuación queda:
v =v 0 +at
a=
Esta ecuación permite calcular la velocidad instantánea del móvil en cualquier
momento t.
Encontremos ahora una expresión que nos permita encontrar la posición del móvil en
función del tiempo.
A sabiendas que la aceleración es constante podemos decir que
partiendo de la expresión x−x o=¯v (t−t 0)
expresión equivalente, tenemos:
x−x o=
¯v =
v 0 +v
2
,
y remplazando la velocidad promedio por su
v0 + v
( t−t 0 ) ; pero la velocidad es
2
v =v 0 +at , que al reemplazarla en la
ecuación de la posición que estamos construyendo tenemos
v 0 +(v 0 + at)
(t −t 0 )
2
2 v +at
x−x o= 0
(t−t 0 )
2
at
x−x o=v 0 ( t −t 0 ) + (t−t 0 )
2
x−x o=
Pero hemos considerado que el origen de tiempos coincide con la velocidad inicial, es
decir que t0=0, entonces
x−x o=v 0 (t ) +
at
(t ) , lo que es lo mismo
2
x−x o=v 0 t +
a t2
2
Finalmente si la posición inicial se encuentra el origen x0=0, y
x=v 0 t+
at
2
2
Como también es conveniente disponer de una ecuación que nos de la velocidad en
relación con la posición x, procedamos a encontrarla.
Despejando el tiempo en
valor en
at 2
x=v 0 t+
2
v =v 0 +at , tenemos
obtenemos
x =v 0
t=
v−v 0
, y sustituyendo este
a
( v −v
)+
a
0
[a (
v −v 0 2
) ]
a
2
4
(v−v 0)
v−v 0
a
x=v 0
+
a
2
(
)
2
; x=
v v 0−v 20 v 2−2 v v 0 +v 20
;
+
a
2a
−v 20 v 2
x=
+
2a 2a
, ordenando queda
2 v v 0−2 v 20 v 2−2 v v 0 + v 20
x=
+
2a
2a
2 ax=v 2 −v 20
Un cuadro consolidado de las ecuaciones para el movimiento uniformemente
acelerado sería:
Referencia
Ecuación
2
Posición respecto del tiempo
at
x=v 0 t+
Velocidad respecto del tiempo
Velocidad respecto de la posición
2
v =v 0 +at
v 2−v 20=2 ax
Considérennos en seguida unos ejemplos de movimiento uniformemente acelerado
Ejemplo 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme
Es un caso especial y muy interesante que se produce cuando la aceleración es nula o
vale cero, esto arroja que la velocidad permanezca constante, es decir que v=v o. Así las
ecuaciones se reducen a: x=vt
Ejemplo 2. Caída libre de los cuerpos
Cuando un cuerpo cae gracias a la atracción gravitatoria que ejerce la tierra lo hace
con una aceleración más o menos constante. Prescindiendo de la resistencia que hace el
aire se encuentra que los cuerpos, independiente de su tamaño o masa, caen con la misma
aceleración siempre que la caída se realice en el mismo sitio de la superficie terrestre y si la
distancia recorrida no es demasiado grande. Este tipo de movimiento se designa como
“caída libre”.
La aceleración de un cuerpo que cae libremente se denomina aceleración debida a la
gravedad y se representa por la letra g. En la superficie terrestre y sobre el ecuador la
aceleración de la gravedad es aproximadamente 9.8 m/s2 o 980 cm/s2.
Las ecuaciones que explican el movimiento de caída libre son las mismas del
movimiento uniformemente acelerado con los ajustes respectivos del caso, tales como: en
lugar de utilizar la letra x para describir la posición del móvil se lo hace con la letra y, en
cuanto que el movimiento se hace sobre el eje vertical del sistema coordenado que es
comúnmente reconocido por dicha letra; si es en realidad una caída se presupone obvio
que la velocidad inicial v0 es nula y la aceleración ahora será de forma específica la
aceleración de la gravedad g. Con estos ajustes las ecuaciones quedan:
Referencia
Posición respecto del tiempo
Velocidad respecto del tiempo
Velocidad respecto de la posición
Ecuaciones
m.u.a
at 2
x=v 0 t+
2
v =v 0 +at
v 2−v 20=2 ax
Ecuaciones
caída libre
g t2
y=
2
v =g t
v 2=2 gx
5
Si un cuerpo se lanza de forma vertical hacia abajo y despreciando el rozamiento con
el aire en las ecuaciones de caída libre aparece la velocidad inicial con la que fue lanzado y
las ecuaciones toman la forma:
mua
caída libre
2
Lanzamiento vertical hacia
abajo
2
g t2
2
v =g t
v 2=2 gx
at
2
v =v 0 +at
v 2−v 20=2 ax
gt
2
v =v 0 + g t
v 2−v 20=2 gy
y=
x=v 0 t+
y=v 0 t +
Si el lanzamiento vertical se realiza hacia arriba es importante reflexionar sobre el
sentido de los diferentes vectores que a su vez determinan el signo positivo o negativo: la
posición y la aceleración de la gravedad cuantificándose hacia abajo mientras que la
velocidad y la velocidad inicial hacia arriba. Después de un ordenamiento apropiado las
ecuaciones quedan:
mua
at 2
2
v =v 0 +at
2
2
v −v 0=2 ax
x=v 0 t+
caída
libre
g t2
2
v =g t
2
v =2 gx
y=
hacia abajo
g t2
2
v =v 0 + g t
2
2
v −v 0=2 gy
y=v 0 t +
Lanzamiento vertical
hacia arriba
g t2
2
v =v 0−g t
2
2
v −v 0=2 gy
y=v 0 t−
Anótese que en forma intencional se ha colocado en las tablas de ecuaciones la
totalidad de las estudiadas, esto para que quede en evidencia que todas las ecuaciones
corresponden a movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Ejercicios propuestos
1. Haga un listado de 20 conceptos extraídos del presente documento y con cada uno
de ellos componga 2 oraciones verdaderas, a la luz de la física.
2. Con 15 de los conceptos del listado anterior, haga un mapa conceptual.
3. Realice 2 experimentos sobre movimiento rectilíneo.
4. Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una aceleración constante de de 30
Km/h2. Calcular a) la velocidad instantánea al cabo de 5 s, b) la velocidad media o
promedio durante los 5 primeros segundos del movimiento, c) la distancia recorrida
desde el inicio del movimiento hasta los 5 primeros segundos.
5. La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente desde 15 Km/h hasta 50 Km/h
en 15 s. Calcular a) la velocidad media en Km/h y en m/s, b) la aceleración en Km/s,
c) la distancia en metros y en kilómetros recorrida durante los 15 s.
6. Un automóvil que marcha a una velocidad de 60 Km/h, aplica los frenos y al cabo de
5 s la velocidad a disminuido a 10 Km/h. Calcular a) aceleración, b) distancia
recorrida en estos 5 s.
7. Al dejar caer una bola de acero desde lo alto de un edificio se mide un tiempo de
caída de 4 s. Calcule la velocidad final y la altura del edificio.
8. Desde un puente se lanza, verticalmente hacia abajo, una piedra con una velocidad
de salida de 5 m/s. Si la piedra se demora 3 s en cayendo calcular la velocidad de la
piedra en el momento de incidir en el agua y la altura del puente.
9. Desde que altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una
turbina con una velocidad de 50 m/s.
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10. Una ametralladora antiaérea dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 500 m/s. Calcular: a) La máxima altura que alcanza el proyectil, b) El
tiempo durante el cual el proyectil asciende, c) la velocidad instantánea a los 40 s y
60 s d) en que instante el proyectil pasa por un punto a 2 Km de altura.
11. Se lanza verticalmente una pelota de forma que al cabo de 3 s regresa de nuevo al
punto de partida. Calcular la velocidad inicial con la que se lanzó.
12. Un cuerpo cae por un plano inclinado que forma un ángulo de 30 grados con la
horizontal. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la velocidad del cuerpo al
cabo de 7 s de iniciar el movimiento que partió del reposo y el tiempo que tardara en
recorrer 15 m.
13. Dos autos se mueven en línea recta en direcciones opuestas y acercandoce
con velocidades constantes v1= 20 m/s y v2 = 30 m/s respectivamente. Si en
cierto momento los autos se encontraban separados una distancia L = 50 m,
determinar después de cuánto tiempo (en segundos) se encuentran los autos.
14. Una persona gasta un minuto en descender por una escalera eléctrica que a
su vez está descendiendo. Si la persona duplica su rapidez gasta 45
segundos. ¿Cuánto tiempo en segundos gastará en descender una persona
que simplemente esta parada en la escalera?
15. Enumere los párrafos que tiene el presente documento y por cada uno de
ellos extraiga la idea principal.
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