PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO ONDULATORIO

PROBLEMAS RESUELTOS: MAS Y ONDAS
Un oscilador está formado por una masa de 2,4 kg colgada de un resorte de masa despreciable y de
k = 200 N/m. Las condiciones iniciales son y0 = 0,15 m y v0 = 0,45 m/s. Calcula la posición del bloque
para t = 3 s.
Solución
La masa oscila en el eje OY y suponemos que el centro de oscilación es el origen de coordenadas O.
La figura muestra la posición (y0) y la velocidad (v0) cuando comenzamos a contar el tiempo.
Para hallar la posición de la masa en un instante dado tenemos que obtener primero la ecuación
particular de su MAS. La ecuación general de un MAS que oscila en el eje OY en torno al origen de
coordenadas es,
y  Asin( t  )
y la ecuación particular del movimiento se obtiene dando los valores de la amplitud (A), la frecuencia
angular () y la fase inicial ().
Sabemos por teoría que la frecuencia angular ( ) es,
k
200

 9,13 rad s
m
2, 4
Por otro lado el problema nos dice que en el instante inicial ( t  t0  0 ) la elongación inicial es
y0  0,15 m; por lo tanto, al aplicar la ecuación del MAS, se obtiene que,

y0  Asin(  0  )  y0  Asin (1)
Como ves necesitamos otra ecuación para hallar A y . Puesto que el problema nos da el valor de la
velocidad inicial (v0), utilizaremos la ecuación de la velocidad del movimiento, que se obtiene derivando la ecuación de la posición,
dy
v   A cos( t   )
dt
Ahora, al aplicar la ecuación de la velocidad en el instante inicial, tenemos que,
v0   Acos(  0  )  v0   Acos (2)
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener ,
y0  A sin

1, 25 rad
y0 tan
 y0 9,13  0,15

 tan 

 3, 04    

v0   A cos 
v0

v0
0, 45
4, 39 rad
Fíjate que tenemos dos ángulos cuya tangente es 3,04 y que solo uno de ellos es válido. Para ver cuál
es el correcto observa que el seno de 1,25 rad es positivo, mientras que el de 4,39 rad es negativo.
Entonces utilizando la ecuación (1) tenemos,
y0  A sin1, 25  0 

y0  A sin 4, 39  0
Como y0  0,15, que es mayor que cero, el ángulo correcto es   1, 25 rad. Para hallar la amplitud
podemos usar la ecuación (1) o la (2),
y
0,15
y0  A sin  A  0 
 0,158 m
sin sin1, 25
Así la ecuación particular de nuestro movimiento es,
y  0,158sin(9,13t 1, 25)
Por lo que la posición en el instante t  3 s es,
y(t  3)  0,158sin(9,131, 25)  -0,0564 m
-1-
Una partícula de 0,2 kg describe un MAS a lo largo del eje OX de frecuencia 20 Hz. En el instante
inicial la partícula pasa por el origen de coordenadas, moviéndose hacia la derecha, y su velocidad
es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es de 0,2 J y la potencial de 0,6 J.
Halla: (S09)
a) El valor de la energía mecánica del oscilador en el origen.
b) Escribe la ecuación del movimiento de la partícula y calcula su aceleración.
Solución
Apartado a)
Puesto que la fuerza elástica, que es la que causa el MAS, es conservativa, la energía mecánica ha de
permanecer constante durante el movimiento. Las energías cinética (Ec) y potencial (Ep) cambian de
un punto a otro, pero su suma (que es la energía mecánica, Em) ha de permanecer constante; por lo
tanto,
Em  Ec  Ep  0, 2  0, 6  0,8 J
es la energía mecánica en todos los puntos del recorrido, incluido el origen.
Apartado b)
A
La ecuación general del MAS de una partícula que oscila en el eje OX y su
centro de oscilación es el origen de coordenadas (ver figura) es,
x  A sin( t  )
O
P
La ecuación particular de nuestro movimiento se obtiene hallando los valores de la amplitud (A), la frecuencia angular ( ) y la fase inicial ().
La frecuencia angular se obtiene directamente mediante la ecuación que la relaciona con la frecuencia (f),
  2 f  2  20  40 rad s
Para hallar la amplitud recuerda que,
Em  ½kA2 
2Em 1 2Em
1
2  0, 8

 Em  ½m 2 A2  A 


 0, 0225 m

2
 m 40
0, 2
m
k  m 2 

Para determinar la fase inicial observa que el enunciado dice que la partícula pasa por el origen (punto x = 0) en el instante t = t0 = 0; por lo tanto, aplicando la ecuación del movimiento en este instante,
  0
x(t  0)  A sin(  0   )  A sin  0  sin  0  
  
vmax
Observa que el problema no está resuelto porque tenemos dos ángulos cuyo seno es cero, y solo uno
de ellos es el correcto. Para determinar el ángulo bueno usamos la ecuación de la velocidad, que se
obtiene derivando la ecuación del movimiento respecto al tiempo; así pues,
dx
v    A cos( t   )
dt
Como la velocidad es de magnitud máxima y positiva (se mueve en el sentido del eje OX) en el instante t = t0 = 0, tenemos que,
v(t  0)   Acos(  0  )  vmax   Acos
De la ecuación se deduce que para que la velocidad sea de magnitud máxima y positiva, ha de cumplirse que,
cos  1    0
Por lo tanto, la ecuación del movimiento es,
y = 0,0225sin40πt
-2-
Una partícula describe un movimiento armónico simple iniciando el movimiento en el extremo de
la trayectoria. Sabemos que de un extremo a otro hay 20 cm y que tarda 0,2 s en llegar al centro.
Calcula:
a) La amplitud, la frecuencia y la fase inicial.
b) La ecuación del movimiento de la partícula. Dibuja la elongación frente al tiempo en el primer
periodo del movimiento.
c) La posición de la partícula a los 0,3 s de iniciado el movimiento.
Solución
Suponemos que el movimiento tiene lugar a lo largo del eje OX, que la posición de equilibrio de la
partícula está en el origen de coordenadas y que la posición de la partícula cuando se inicia el movimiento es x = A.
Apartado a)
A
x  A
x
De la figura se deduce que si la distancia entre las posiciones
extremas de la trayectoria es de 20 cm, se tiene que,
O
xA X
2A  20  A  10 cm donde A es la amplitud
Puesto que le lleva 0,2 s moverse desde la posición inicial (x = A) hasta el centro (posición de equilibrio, x = 0) y eso representa una cuarta parte de una oscilación completa, el periodo (T, tiempo que
le cuesta completar un ciclo completo) es cuatro veces mayor,
T  4  0,2  0,8 s
La frecuencia del movimiento (f) es la inversa del periodo; esto es,
f  1 T  1 0,8  1,25 Hz (s1 )
La ecuación general del MAS cuando la posición de equilibrio está en el origen es,
x  A sin(t  )
donde x es la elongagación,  es la frecuencia angular y  la fase inicial. Cuando se inicia el movimiento t = 0 y x = A, por lo que al sustituir los valores en la ecuación,
A  A sin  sin  1     2 rad
A
Apartado b)
Para obtener la ecuación particular del movimiento solo hay que hallar ,

 5
  2 f  2  1,25  5 2 rad  x  10sin  t  
2
 2
T t Dibujar la elongación frente al tiempo es representarla gráficamente. Para ello damos
valores a t empezando por t = 0 y terminando con t = T, como se ve en la figura.
Apartado c:
Solo hay que hacer t = 0,3s en la ecuación del movimiento,


5
 5
 5
 3  
x(t  0,3)  10sin  t    10sin 
 0,3    10sin 
   10sin
 -7,07 cm
2
2
2
2
4
2
4






-3-
El movimiento de una cuerda tensa, de longitud L = 1 m, con sus extremos fijos, corresponde a la
onda estacionaria dada por:
y(x ,t)  0,1sen(3 L)x cos t
en la que las cantidades vienen en el S.I. Se pide
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la misma?
b) ¿Cuál es el número de nodos?
c) Si la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda es de 0,1 m/s, ¿cuál es la frecuencia
angular  de la onda estacionaria?
Solución
La ecuación general de una onda estacionaria es,
2 t

T
donde A es la amplitud de las ondas que dan lugar a la estacionaria,  la longitud de onda y T el periodo.
y(x ,t )  2A sen
2 x
Ar  2 A sen
cos
2x

es la amplitud de la vibración de un punto x de la cuerda, que depende de la posición.
Comparando las ecuaciones se deduce que,
2 3
2
2
2

   L  1  m

L
3
3
3
Teniendo en cuenta el valor de , se deduce que en la cuerda entran 1,5 longitudes de onda, por lo
que se tienen cuatro nodos, como se ve en el dibujo.
También puedes hallar el número de nodos (N) así: para una cuerda con los dos extremos fijos se
tiene que,
2L
2L 2  1

 n 
 3 (es el tercer armónico)
n
 23
N  n 1  31  4
Comparando de nuevo la ecuación general de la onda estacionaria con la particular de nuestro problema, se ve que
  2 T
para obtener la frecuencia angular ( ) hemos de obtener primero el periodo (T)
En toda onda se cumple que,
 2/3
  vT  T  
 , 67 s
v 0,1
2

 0,942 rad s
por lo tanto
6, 67
-4-
En una cuerda se engendra una onda sinusoidal mediante un oscilador armónico que actúa en el
punto x = 0 con una frecuencia de 10 Hz y una amplitud de 3 cm. Determinar la ecuación de la onda, sabiendo que en el instante t = 0 el oscilador se encuentra en la posición de amplitud máxima y
que la velocidad de la onda es de 12 m/s.
Solución
La ecuación general del movimiento ondulatorio es,
t x


y  A sen  2 (  )   
 T 

donde  es la denominada constante de fase inicial, y su valor depende de la elongación del punto en
el que se genera la onda (x = 0) en el instante t = 0. El problema indica que la elongación de este punto en t = 0 es la máxima, esto es, es igual a la amplitud cuyo valor es de 3 cm. En consecuencia,
 0 0 
y(x  0, t  0)  3  3sen 2        3sen
 T   
sen  1     2 rad
por lo tanto,
Por otro lado, la frecuencia es de 10 Hz, entonces
1 1
T    0,1 s
f 10
Finalmente, como la velocidad de la onda es de 12 m/s y   vT queda
  12 1 / 10  1, 2 m
Así que la ecuación buscada es,
  t
x  
y  3 102 sen  2 

 
  0,1 1, 2  2 
pero de acuerdo con la relación sen(   2)  cos también se puede escribir la ecuación anterior
de la forma siguiente
x 
 t
y  3 102 cos 2 


 0,1 1, 2 
-5-
Un punto está sometido a un movimiento de ecuación:
y  5sin2 (2t  0,001x)
donde el tiempo viene en s y x e y en cm. Hállese el tiempo mínimo que tiene que transcurrir para
que un punto situado a 5 cm del foco tenga velocidad máxima.
Solución
Es más fácil para ti que expresemos la ecuación de la onda en la forma en la que la hemos trabajado
más habitualmente; es decir,
y  A sin(t  kx)
Para expresarla de esta forma sólo tenemos que meter el término 2 de la ecuación original dentro
del paréntesis,
y  5sin(4 t  0,002 x)
de donde, al comparar con la ecuación general, deducimos inmediatamente que,
  4 rad s y k  0,002 rad cm (pues x viene en cm)
Ahora tenemos que calcular la expresión de la velocidad derivando la ecuación respecto a t,
dy
v   4  5cos(4 t  0,002 x)  20 cos(4 t  0,002 x) (1)
dt
Puesto que estamos suponiendo que la onda se propaga en el eje OX y que el foco está en el origen,
el punto que nos piden es x = 5 cm.
Los instantes en los que la velocidad es máxima positiva o negativa, de acuerdo con la ecuación (1),
tienen que cumplir que,
cos(4 t  0,002 x)  1 donde x  5 cm
pero cos  1    0,  , 2 , 3 , ; es decir,   n donde n  0, 1, 2, 3, Por lo tanto,
4 t  0,002  5  4 t  0,01  n
Despejando el tiempo (t) de la ecuación anterior,
n  0,01
4  t  n   0,01   t 
4
El primer instante en el que la velocidad es máxima (tiempo mínimo, que es lo que piden) se obtiene
cuando n = 0; entonces,
0,01
t min 
 2,50×10-3 s
4
Observa que el problema se ha resuelto de la forma más general. Como solo nos piden el primer
instante, la solución válida es la primera; es decir, con hacer,
4 t  0,01  0
hubiese sido suficiente. Sin embargo, la forma general nos permite hallar los demás instantes en los
que la velocidad también es máxima (positiva o negativa). Así por ejemplo, los dos instantes siguientes en los que se cumple lo mismo son,
1  0,01
2  0,01
t2 
 0,252 s y t3 
 0,502 s
4
4
-6-