Contrôle - Cours et Exercices

2.1
DST probas
Mai 2015
Exercice 1
Mon épouse et moi même élevons 8 enfants dont nous sommes le père ou la
mère. Je suis le père de 6 d'entre eux et 5 d'entre eux ont mon épouse pour
mère. Combien d'enfants sont issus de notre couple ? (parmi les 8)
Exercice 2
Ce soir, je joue 10 parties à un jeu où la probabilité de gagner est de 0.1 pour
chaque partie. J'ai déjà perdu 7 parties. Quelle est la probabilité que je gagne
au moins une partie sur les 10 ce soir ?
Exercice 3
J'ai retrouvé mon vieux Meccano. Je construis une grue. Il me faut maintenant
une vis et un écrou. Voici justement une petite boîte qui contient 3 vis et 4
écrous. J'y prends 2 pièces au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir ainsi satisfaction ? On donnera la réponse sous forme d'une fraction irréductible.
Exercice 4
L'échographie prévoit le sexe des enfants avec 1 erreur sur 20 si c'est un garçon
et 1 erreur sur 10 si c'est une lle. L'échographie annonce une lle. Quelle est la
probabilité pour que l'enfant soit un garçon ? On donnera la réponse sous forme
d'une fraction irréductible. On pourra raisonner à partir de 200 enfants sans
chercher à établir un arbre de probabilité
Exercice 5
Dans un groupe de 50 personnes, 18 ont les yeux bleus et 23 sont des femmes. 6
femmes ont les yeux bleus. On choisit une personne au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants : (on justiera soit à l'aide d'un diagramme,
soit à l'aide de formules de cours)
1. Être une femme ou avoir les yeux bleus
2. Être un homme aux yeux bleus.
3. Être un homme ou avoir les yeux bleus.
4. Être un homme ou ne pas avoir les yeux bleus.
Exercice 6
Une urne est composée de 2 boules rouges, 2 boule noires et une boule verte.
On tire deux boules au hasard dans l'urne.
Les gains sont les suivants ; pour la boule verte on gagne 20e, pour 1 boule
rouge et une boule noire on gagne 5e.
1. Établir l'arbre des probabilités.
N. Berthet
LLG 2014/2015
2.1
DST probas
Mai 2015
2. Calculer la probabilité de
(a) Gagner 20e.
(b) Gagner 5e.
(c) Ne rien gagner.
3. Quelle doit être la mise initiale pour que les jeu soit équitable ?
Exercice 7
On frappe à la porte de Mr Smith qui a deux enfants. .
1. Un des deux enfants nous ouvre. C'est un garçon. Quelle est la probabilité
que le deuxième enfant soit un garçon ?
2. Mr Smith arrive alors. Je vous présente mon aîné ! dit-il. Quelle est la
probabilité que le deuxième enfant soit un garçon ?
Exercice 8
Mr Smith nous trouvant fort sympathique nous propose un jeu. Il y a une carte
gagnante parmi trois. Il nous faut trouver laquelle. Pour cela, il nous propose de
retirer une carte perdante parmi deux cartes de notre choix puis de nous laisser
choisir entre les deux carte restantes (dont une est gagnante, l'autre perdante).
1. Mr Smith se dit que nous avons une chance sur deux de gagner. Arriverez
vous à le convaincre de son erreur ?
2. Mr Smith nous propose de jouer jusqu'à ce que nous gagnions. Quelle est
la probabilité que le jeu dure 3 parties ? au moins 3 parties ?
N. Berthet
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2.1
DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
Corrigé
Exercice 1
Soit A l'ensemble des enfants nés du père et B l'ensemble des enfants nés de la
mère.
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
D'où Card(A ∩ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∪ B) = 6 + 5 − 8 = 3
Il y a 3 enfants issus du couple
Exercice 2
Il reste 3 parties à jouer. Les 7 précédentes sont perdantes. Gagner au moins
une partie est le contraire de perdre les 3 parties restantes.
0, 1
0, 1
G
0, 9
P
0, 1
G
0, 9
P
0, 1
G
0, 9
P
0, 1
G
0, 9
P
G
G
0, 9
0, 1
0,9
0, 1
P
G
P
0, 9
P
La probabilité de perdre les 3 parties restantes est l'événement (P, P, P ) de probabilité 0, 93 .
L'événement contraire a une probabilité de 1 − 0, 93 = 0, 271.
La probabilité de gagner au moins une partie est de 0,271
N. Berthet
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2.1
DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
Exercice 3
On modélise le tirage par un arbre.
3
7
4
7
2
6
V
4
6
E
3
6
V
3
6
E
V
E
L'événement qui donne satisfaction est S = {(V, E), (E, V )}.
P (S) = P ({(V, E)}) + P ({(E, V )}) =
3 4 4 3
24
4
× + × =
=
7 6 7 6
42
7
4
7
La probabilité d'avoir satisfaction est de .
Exercice 4
On raisonne sur 200 enfants. Il y a 100 lles et 100 garçons.
L'échographie annonce une lle ; cela réduit l'univers des possibles. L'univers
des possibles est celui constitué des enfants annoncés comme lle. Calculons son
cardinal.
Parmi les 100 garçons 5 lles seront annoncées alors que ce sont des garçons.
Parmi les 100 lles, 90 lles seront annoncées et ce sont bien des lles.
Donc 95 enfants sont annoncés comme des lles, parmi lesquels 5 sont des garçons.
La probabilité d'avoir un garçon parmi les enfants annoncés comme lle est de
N. Berthet
LLG 2014/2015
5
1
=
.
95
19
2.1
DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
Exercice 5
Diagramme de Venn
F
B
17
6
12
15
23
18
6
35
1. P (F ∪ B) = P (F ) + P (B) − P (F ∩ B) =
+
−
=
= 0, 7
50 50 50
50
Où avec un diagramme
F
B
17
P (F ∪ B) =
6
12
15
17 + 6 + 12
35
=
= 0, 7
50
50
2. Parmi les 18 personnes aux yeux bleus, il y a 6 femmes donc 12 hommes.
On peut traduire ainsi :
P (B) = P (B ∩ F ) + P (B ∩ F ) (partitionnement de B par F et F )
Donc P (B ∩ F ) = P (B) − P (B ∩ F ) =
18
6
12
−
=
= 0, 24
50 50
50
Où avec un diagramme
F
B
17
P (B ∩ F ) =
N. Berthet
6
12
15
12
= 0, 24
50
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2.1
DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
3. P (H ∪ B) = P (F ∪ B) = P (F ) + P (B) − P (F ∩ B) = 1 −
33
= 0, 66
50
23 18 12
+ −
=
50 50 50
Où avec un diagramme
F
B
17
P (H ∪ B) =
6
12
15
6 + 12 + 15
33
=
= 0, 66
50
50
4. O nconsidère l'événement contraire d'être un homme ou ne pas avoir les
yeux bleus qui est d'être une femme aux yeux bleus.
6
P (H ∪ B) = 1 − P (H ∪ B) = 1 − P (H ∩ B) = 1 − P (F ∩ B) = 1 −
=
50
44
= 0, 88
50
Où avec un diagramme
F
B
17
P (H ∪ B) =
N. Berthet
6
12
15
17 + 12 + 15
44
=
= 0, 88
50
50
LLG 2014/2015
2.1
DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
Exercice 6
1. .
0, 25
0, 5
R
0, 25
0, 4
0, 5
0,4
0, 25
N
0, 25
0,2
R
N
5
V
20
R
5
N
V
20
0, 5
R
20
0, 5
N
20
V
2. (a) La probabilité de gagner 20e est la probabilité de l'événement avoir
la boule verte donc la somme des probabilités de toutes les issues
ayant la boule verte. P = 0, 4 × 0, 25 + 0, 4 × 0, 25 + 0, 2 × 0, 5 × 2 = 0, 4
La probabilité de gagner 20e est égale à 0,4.
(b) De même la probabilité de gagner 5e est égale à 0, 4 × 0, 5 + 0, 4 × 0, 5 = 0, 4
La probabilité de gagner 5e est égale à 0,4.
(c) C'est le contraire de gagner 5 ou 20e donc la probabilité est égale à
1-(0,4+0,4)=0,2.
La probabilité de ne rien gagner est égale à 0,2.
3. Calculons le gain moyen par partie ; on fait une moyenne des gains, pondérés par leur probabilité.
0, 4 × 20 + 0, 4 × 5 + 0, 2 × 0 = 10
Pour que le jeu soit équitable, la mise soit être de 10e.
N. Berthet
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DST Probablités - Corrigé
Mai 2015
Exercice 7
1. L'univers des possibles est celui des familles ayant au moins un garçon.
Il y a 3 issues équiprobables dont 1 favorables .
La probabilité que le deuxième enfant soit un garçon est égale à
1
3
2. L'univers des possibles est celui des familles ayant un aîné comme garçon.
Il y a 2 issues équiprobables dont 1 favorable.
La probabilité que le deuxième enfant soit un garçon est égale à
1
2
Exercice 8
1. Dans les deux cartes choisies initialement, il y a la gagnante deux fois
sur trois . Il nous sut alors de conserver la carte que Mr Smith n' a pas
retirée pour obtenir la carte gagnante deux fois sur trois.
2. .
2
3
1
3
G1
2
3
G2
P1
1
3
2
3
G3
1
3
P3
P2
La probabilité
pour que le jeu dure 3 parties est la probabilité de G3
donc
1
3
2
×
2
3
La probabilité pour que le jeu dure 3 parties est égale à
2
27
La probabilité
pour que le jeu dure au moins 3 parties est la probabilité
de P2 donc
1
3
2
La probabilité pour que le jeu dure 3 parties est égale à
N. Berthet
1
9
LLG 2014/2015