MATH´EMATIQUES - PCSI

Samedi 18 Avril 2015
Dur´
ee : 4 heures
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MATHEMATIQUES
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DEVOIR SURVEILLE
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´
esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´
edaction, la clart´
e et la pr´
ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´
eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.
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DEVOIR SURVEILLE
EXERCICE 1 - QUESTIONS DE COURS
Les questions de cet exercice sont toutes ind´ependantes.
1. D´efinition du rang d’une application lin´eaire f .
2. Soit f un endomorphisme d’un K-e.v. E de dimension finie, donner 5 conditions ´equivalentes `
a:
« f est bijective ».
3. D´efinir la sym´etrie s par rapport `
a F parall`element `a G, d´efinir alors F et G sous forme d’un noyau.
4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un application s soit une sym´etrie de E.
5. Soit p un projecteur de E, donner deux s.e.v. de E qui sont alors en somme directe.
`
´
´
´
PROBLEME
1 - RESOLUTION
D’EQUATION
DIFFERENTIELLE
`
´
AVEC DE L’ALGEBRE
LINEAIRE
L’objet de ce probl`eme est l’´etude de l’´equation diff´erentielle :
(Ep )
(1 − x2 )y 0 + xy = P (x)
(o`
u P d´esigne une application polynˆ
omiale `
a coefficient r´eels)
.
f
.
´
Etant
donn´e un intervalle I de R, on appelle « solution de (EP ) sur l’intervalle I » toute fonction
: I → R d´erivable et telle que, pour tout x ∈ I, (1 − x2 )f 0 (x) + xf (x) = P (x).
« R´
esoudre (EP ) sur l’intervalle I », c’est trouver toutes les solutions de (EP ) sur I.
´
`
´
Partie A - EQUATION
HOMOGENE
ET ETUDE
D’UN CAS
PARTICULIER
On consid`ere, dans cette partie l’´equation (E0 ) homog`ene associ´ee `a toute ´equation (EP ).
1. R´esoudre l’´equation (E0 ) sur l’intervalle ] − 1, 1[.
2. Dans cette question on consid`ere la fonction polynˆomiale P1 d´efinie par P1 (x) = 1 − x2 .
(a) D´eterminer l’ensemble des solutions de (EP1 ) sur ] − 1, 1[.
On exprimera ces solutions `
a l’aide de fonctions usuelles.
(b) Montrer que (EP1 ) admet une unique solution f1 sur ] − 1, 1[ telle que f1 (0) = 0.
.
.
.
Dans la suite du probl`eme :
R[X] d´esigne le R-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels.
´
Etant
donn´e un entier naturel n, l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n est not´e Rn [X].
On consid`ere l’application ϕ de R[X] vers R[X] d´efinie pour tout A ∈ R[X] par :
ϕ(A) = (1 − X 2 )A0 + XA
Les parties B,C et D de ce probl`
eme sont ind´
ependantes de la partie A.
Partie B - UN PREMIER APERCU
¸ DE L’APPLICATION ϕ
3. D´eterminer, pour tout n ∈ N\{0, 1} le degr´e et le coefficient dominant de ϕ(X n ).
4. Montrer que ϕ est une application lin´eaire.
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5. On veut montrer ici que ϕ est une application injective.
Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe un polynˆome A non nul appartenant
au noyau de ϕ.
(a) Montrer que 1 est racine de A.
On note k l’ordre de multiplicit´e de 1 en tant que racine de A, et on ´ecrit A = (X − 1)k B, o`
u
B ∈ R[X].
(b) 1 est-il racine de B ? On justifiera rigoureusement la r´eponse.
(c) Exprimer A0 en fonction de B et B 0 , puis montrer que (1 − X 2 )B 0 − (k + (k − 1)X)B = 0.
(d) Montrer que 1 est racine de B.
(e) Conclure.
6. Soit n ∈ N\{0, 1}.
On note ϕn la restriction de ϕ `
a Rn [X].
(a) Justifier que ϕn est `
a valeurs de Rn+1 [X].
(b) Calculer le rang de ϕn .
(c) ϕn : Rn [X] → Rn+1 [X] est-elle surjective ?
ˆ
´ AU PLUS 1
Partie C - AVEC DES POLYNOMES
DE DEGRE
On note ϕ1 la restriction de l’application ϕ `a l’espace vectoriel R1 [X].
7. Montrer que ϕ1 peut-ˆetre vu comme un endomorphisme de R1 [X].
8. Montrer que ϕ1 est un automorphisme de R1 [X].
´
9. (a) Etant
donn´e un polynˆ
ome Q = aX + b ∈ R1 [X] (o`
u (a, b) ∈ R2 ), calculer ϕ21 (Q).
(b) Expliciter l’application r´eciproque de ϕ1 .
(c) Soit (a, b) ∈ R2 . On note g la fonction d´efinie par g(x) = ax + b.
D´eduire de ce qui pr´ec`ede une solution particuli`ere sur R de l’´equation diff´erentielle :
(Eg )
(1 − x2 )y 0 + xy = g(x)
´
10. (a) Etant
donn´e un polynˆ
ome Q = aX + b ∈ R1 [X] (o`
u (a, b) ∈ R2 ), donner une condition n´ecessaire
et suffisante sur a et b pour que ϕ1 (Q) = Q.
(b) D´eterminer une base et la dimension des espaces E1 = Ker(ϕ1 −IdR1 [X] ) et E2 = Ker(ϕ1 +IdR1 [X] ).
(c) Justifier que E1 et E2 sont suppl´ementaires dans R1 [X].
ˆ
´ AU PLUS 2
Partie D - AVEC DES POLYNOMES
DE DEGRE
On note ϕ2 la restriction de ϕ `
a R2 [X], et `a valeurs dans R3 [X].
11. Montrer que (ϕ2 (1), ϕ2 (X), ϕ(X 2 )) est une base de Im(ϕ2 ).
12. Justifier que Im(ϕ2 ) = Vect(1, X, X 3 ).
13. Soit P = a0 + a1 X + a3 X 3 ∈ R3 [X].
D´eterminer l’unique ant´ec´edent de P par ϕ2 .
` L’EQUATION
´
Partie E - RETOUR A
(Ep )
14. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 .
D´eterminer une solution particuli`ere d´efinie sur ] − 1, 1[ de l’´equation diff´erentielle :
(1 − x2 )y 0 + xy = ax3 + bx2 + cx + d.
On pourra utiliser les r´esultats des parties A et D.
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`
´
PROBLEME
2 - ETUDE
D’ENDOMORPHISMES SOLUTIONS
´
D’UNE EQUATION
Soit E un R-espace vectoriel, l’objet de ce probl`eme est l’´etude des endomorphismes f de E v´erifiant :
f 2 = f + 2IdE
(∗)
o`
u IdE d´esigne la fonction identit´e de E et f 2 d´esigne bien entendu la compos´ee f ◦ f .
Pr´
eliminaires
1. Existe-t-il des projecteurs p ou des sym´etries s solutions de (∗) ?
2. D´eterminer les homoth´eties h de E solutions de (∗).
´
Partie A - ETUDE
D’UN CAS PARTICULIER
Dans cette partie uniquement on se place dans E = R4 . Soit ϕ l’application d´efinie sur R4 par :
R4 → R4
ϕ:
(x, y, z, t) 7→ (2x − z + t, −2x + z − t, −y + t, −2x − y + z)
3.
4.
5.
6.
Montrer que ϕ est un endomorphisme de R4 .
D´eterminer Ker(ϕ), ainsi qu’une base de Im(ϕ).
Exprimer ϕ2 de fonction de ϕ. Que peut-on en d´eduire pour ϕ ?
On pose F = 3ϕ − IdE . Montrer que F v´erifie (∗).
´
´ ERAL
´
Partie B - ETUDE
DU CAS GEN
E est `a nouveau un R-espace vectoriel quelconque.
Soit f ∈ L(E) v´erifiant f 2 = f + 2IdE . On d´efinit alors les applications g = f − 2IdE et h = f + IdE .
7.
8.
9.
10.
11.
Justifier que g et h sont des endomorphismes de E.
Soient u et v deux endomorphismes de E tels que u ◦ v = 0, montrer que Im(v) ⊂ Ker(u).
Calculer g ◦ h et h ◦ g : que peut-on en d´eduire ?
Montrer que Ker(g) et Ker(h) sont en somme directe.
Dans cette question seulement on suppose de plus que E est de dimension finie n.
(a) A l’aide du 9. Prouver que dim(Ker g) + dim(Ker h) > n.
(b) En d´eduire que E = Ker(g) ⊕ Ker(h).
12. A partir de maintenant et jusqu’`
a la fin de l’exercice, E n’est plus n´ecessairement de dimension finie.
(a) Montrer que IdE ∈ Vect(g, h). (i.e. que IdE est une combinaison lin´eaire de g et h)
(b) En d´eduire que E = Ker(g) ⊕ Ker(h).
13. Soit p la projection sur Ker(g) parall`element `a Ker(h).
Soit q la projection sur Ker(h) parall`element `a Ker(g).
(a) Montrer que p + q = IdE , en d´eduire p ◦ q et q ◦ p.
(b) Montrer que h = 3p et g = −3q.
(c) En d´eduire l’expression de f en tant que combinaison lin´eaire de p et q.
14. Montrer que pour tout entier n ∈ N on a :
f n = 2n p + (−1)n q
(R).
15. A l’aide de la relation (∗), prouver que f est un automorphisme de E et pr´eciser f −1 .
16. La relation (R) est-elle encore valable pour n = −1 ?
17. Application :
∀n ∈ N∗ , d´eterminer F n o`
u F est la fonction d´efinie `a la partie A en fonction de n, de ϕ et de IdR4 .
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EXERCICE 2
N’abordez cet exercice que si toutes les autres questions ont ´
et´
e trait´
ees.
Soit un entier naturel n ∈ N fix´e, et E = C ∞ (R, R), l’espace vectoriel des fonctions num´eriques d´efinies
et infiniment d´erivables sur R.
A toute fonction f ∈ E, on associ´e la fonction R(f ) d´efinie par :
∀x ∈ R, T (f )(x) =
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk
1. (a) Montrer que T est un endomorphisme de E.
(b) Prouver correctement l’´egalit´e Im(T ) = Rn [X].
(c) Montrer que T est un projecteur de E
(d) Donner une description du noyau de T .
2. A toute fonction f ∈ E, on associ´e la fonction R(f ) d´efinie par :
Z x
(x − t)n (n+1)
∀x ∈ R, R(f )(x) =
f
(t) dt
n!
0
(a) Montrer que l’application R : f 7→ R(f ) est un projecteur de E.
(b) Pr´eciser son noyau et son image.
3. Une application :
D´eterminer les fonctions f de classe C ∞ sur R et solutions du probl`eme :
Z x
(x − t)n (n+1)
∀x ∈ R,
f
(t) dt = 2f (x)
n!
0
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