Ejercitación

Preparaci´
on Certamen 2
MAT-021
Forma 2
Tiempo: 100 minutos
1. Sean f, g, h y k cuatro funciones reales derivables sobre todo R, siendo h y f estr´ıctamente positivas
en todo R, y sea F : R → R la funci´on definida por
2
2
, ∀x ∈ R
F (x) = (f (x)) (g ◦ k)(x) +
h(x)
a) Aplicando reglas de derivaci´on, calcule F 0 (x). No es necesario que desarrolle los productos
obtenidos.
b) Asuma que g(0) = (f · g)0 (0) = 0 y pruebe que f (0) · g 0 (0) = 0.
c) Asuma las hip´
otesis en b), y adicionalmente asuma que F 0 (0) = 0, k(0) = 0 y que h0 (0) 6= 0.
¿Qu´e relaci´
on se debe verificar entre h(0) y f (0) para que h0 (0) = 2f 0 (0)?. Justifique su
respuesta.
d) Asuma que
l´ım k(x) = l´ım h(x) = +∞,
x→+∞
x→+∞
l´ım f (x) = sin α,
x→+∞
con 0 < α <
π
,
2
l´ım F (x) = α2 .
x→+∞
y que
∃ l´ım g(x).
x→+∞
Para que l´ımx→+∞ g(x) posea un valor muy cercano a 1, ¿A qu´e valor debe estar muy cercano
α?. Justifique su respuesta.
2. Calcule el valor de:
√
√
2x − 3 − 5 2x − 3
a) l´ım
x→2
x−2
√
√
x x−m m
√
b) l´ım √
, con m ∈ R fijo y positivo.
x→m
x− m
c) a que permite verificar la igualdad
l´ım
x→a x2
x2 − 4
= 4.
− 3x + 2
3. Considere la funci´
on

 x2 sen 1 si x 6= 0.
x
f (x) =

0
si x = 0,
a) ¿Es f continua en x = 0? Si no lo es ¿es reparable?
b) Determine f 0 donde sea posible.
c) ¿Es f 0 continua en x = 0?
4. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes
funciones:
x2 − 1
(2k − 1)π
a) f (x) =
+ tan(|x + 2|) ; x ∈ D = z ∈ R : z 6= 1 : z + 2 6=
;k ∈ Z .
x+1
2
3
1 x cos(x )
e
b) f (x) = 2
; x > 0.
ln x1
5. Considere la funci´
on f definida por:
x2 − 2x + 2
x ∈ R \ {1}.
x−1
a) Encuentre todas las as´ıntotas de la funci´on.
b) Encuentre el(los) puntos de la gr´afica de la curva y = f (x) que tienen recta tangente paralela
a la recta y = 1
f (x) =
1