Taller No.1_AN_2015_01

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Taller No.1_AN_2015_01
UNIVERSIDAD PO PULAR DEL CESAR
DEPA RTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y DE SISTEMA
ANÁLISIS NUMÉRICO
TALLER I
1. Bus qu e en t ext os, r evistas cient íf icas o en otr os medios, p lant ea mi ent o de pr ob lema s cu yos
modelos mat emáticos no a dmita n la aplicación de mét odos ana líticos , par a las solu ciones .
Dis crimi ne los parámet ros y variables invo lucrados co n la pertinent e interpret ació n.
2. Escr iba y exp liqu e el mod elo mat emát ico qu e r epr es enta la apr ox imación de u n nú mer o X a u n
nú mer o x ( exact o): (2.1) a d cifr as decima les . (2.2) a k cifr as signif icativas. [ Ver t ext o de Mar on y
Lóp ez].
3. Redondear a 4d (d: cifr as decima les ) y a 3s (s: cifr as signif icat ivas ): a) 101010/170 b) 2 1.75
c) tan (3.1) d)
3
9.2
e)  2 f) 2/e.
4. Encu entr e el int er valo más gr a nde en el cual deb e qu edar X par a apr oximar a: a) 0.5 
b)
2.5
c) 3 d) –2.3 e. 4.1 A 5 cifr as decima les. 4.2. Con u n er r or r elat ivo a lo su mo de 10 - 3 . 4.3. A
4cifr as signif icat ivas.
5. Cuantas cifr as s ignif icat ivas y p or qu é, hay en : a) 110.1650 m b ) 0.00008015 0 K g c) 70280cm,
d) 0.2305672 *10 3 m/s e) -0.003456000 *1 0 - 5 volt ios.
6. Dada la ecuación X 2 -100000000000 000000 00000000X - 1 =0.
6.1 Encu entr e la s olución “ cuas i exacta” ut iliza ndo la instr ucción roots del Mat lab. Ut ilice f or mat o
lo ng e.
6.2 Resu elva utilizando la f ór mu la cuadr ática clásica en el MAT L AB . Calcu le er r or r elativo par a
cada r aíz encontr ada. ¿Ambas son conf iables ?
6.3 Utilice u na f ór mu la cuadr ática alt er nativa equ ivalent e a la clás ica par a calcu lar la raíz qu e n o
ha ya r esu ltado conf iable, en M AT LAB, y det er min e el er r or r elativo. ¿Es ahor a conf iable el
r esu ltado?
6.4 Si en 6.2 algu na r aíz s e obtu vo con u n er r or r elativo s ignif icat iva ment e a lt o , exp liqu e la causa
del pr ob lema.
7. PASO1: E va lú e direct a ment e a la fu nción f( x) = 2 *
1  cos (x)
en M AT LAB par a valor es mu y
x2
cer ca nos a x = 0; (t ome en Matlab x=[ -10^ (-10) :10^ (-11 ):10^(-10 )] ). PASO2: Gr af iqu e la fu nción
a través del Matlab en [-1 0:0.1 :10 ]. PASO3 Ana liza los r es ulta dos obt enidos p or cálculo dir ect o y
los obt enidos p or la gr afica. ¿Exist e alguna discr epa ncia? (cons ider e
Lim f ( x )
).
PASO 4
x0
D et er mine u na expr es ión equ iva lent e a la da da qu e no gener e er r or para los cálcu los dir ect os
cons ider ados. Pr es ent e las exp licaciones p er tinent es, gr afiqu e en Matlab las dos fu nciones en el
int er valo [ -0.5 :0.001:0.5 ] y obs er ve la equ ivalencia.
8. Sea f(x) =
x cos( x)  sen( x)
.
sen( x)  x

8
9
8

8.1 Evalú e f para valor es mu y cer canos a x = 0 (tome x   2 *10 : 10 : 2 *10 )
8.2 Gr afiqu e la fu nción a tr avés de Mat lab en [-10 : 0.1: 10].
8.3 ¿L os r esu ltados obt enidos en 8.1 coinciden con los obt enidos en 8.2? ¿Cuáles s on los cor r ect os ?
T ome como r ef er encia Lim f ( x ) ¿Por qu é ocur r e discr epancia entr e los r esu lta do?
x0
8.4 Escr iba una ex pr es ión equ ivalent e a f para puntos “ mu y cer ca nos” a x = 0. ( x  108 ).
8.5 Gr afiqu e f y la expr esión obt enida , en [ -1 :0.1 :1]. Obs er ve la equ iva lencia.
9. Sea f(x) =
ex  e x
.
x
9.1 Evalú e f(x ) par a valor es “ mu y cer canos ” a x = 0 (tome x  [10 18 : 10 19 : 10 18 ] )
9.2 Gr afiqu e a f en Matlab par a [-4:0.01 :4]
9.3 Compar e r esu lta dos ( 9.1 vs 9.2). ¿Por qu é ocur r en dis cr epancia s. ¿Cuáles s on los cor r ect os 9.1
ó 9.2? T ome como r ef er encia lim f ( x) .
x 0
9.4 Escr iba una ex pr es ión equ ivalent e a f(x) pa r a puntos “ mu y cer ca nos” a x = 0 .
9.5 Gr afiqu e f(x ) y la expr esión equ ivalent e en [ -2 :0.1 :2] obs er ve la equ ivalencia.
10. Cons ider e u na computador a qu e tr abaja con dob le pr ecis ión (M ARC - 64). D e acu er do a l estándar
754-1985 de la IE EE, s e t iene qu e par a alma cenar los nú mer os nor ma liza dos cor r ecta ment e s e
r es er va: u n (1) b it par a el s igno, 11b its pa r a el exp onent e con exces o E +E o y 52 bit s par a la
fr acción b inar ia f de la ma nt isa . T eniendo en cu enta qu e el menor ex p onent e s es ga do esta dado p or
00000000001 y el ma yor p or 111111111 10, i). D et er mine el nú mer o p os it ivo alma cenab le más
p equ eño X m y el nú mer o más gr ande X M . ii). Cuant os nú mer os nor malizados dif er ent es s e pu eden
almacenar cor r ecta ment e en esa computa dor a ? iii) Pr es ent e u n b os qu ejo gr afico donde s e ilustr e el
flu jo cor r ient e y los desb or da mient os asociados. iv ) Consu lt e s obr e épsilon de la má qu ina e indiqu e
cuál es par a la máqu ina del ejer cicio.
11. En la ma qu ina hip ot ét ica MARC-64 s e alma cena n los sigu ient es nú mer os :
a) b: 0 00000001001 1001001100000000 00 000000111000000000 0000000000000 000
b) b: 1 00000001001 100100110000000011 100000000000000000 0000000000000 001
11.1 Cual es el nú mer o equ ivalent e en nu mer ación decima l (a c/u).
11.2 Escr iba los nú mer os b inar ios ( de má qu ina) más pr óx imos : el ma yor b M y el menor b m .
Expr és elos en el sist ema de nu mer ación decima l d m  b m y d M  b M .
11.3 T odos los nú mer os qu e s e encu entr an en [ d m , d M ] s e a lma cena n cor r ecta ment e en la máqu ina ?
Si no es así ¿Cómo lo pr ocesa la MARC -6 4?
12.1 Sea x= 1.0005 *10 - 3 2 4 . Pr ueb e s i es o no un nú mer o de má qu ina , par a la MARC -64. Si no lo es
como qu e nú mer o lo alma cena la má qu ina?
12.2 sea y=1 *10 3 2 5 . Pr ueb e s i y es u n nú mer o de má qu ina en la M ARC -64. Si no lo es como qu é
nú mer o lo almacena la má qu ina?
13. Suponga mos qu e x es u n va lor qu e s e des ea pr ocesar en u na computa dor a y el er r or inher ent e es
no nu lo es decir x  fl ( x)  X det er mine:
13.1 El er r or abs oluto x  X máx imo cua ndo s e emplea tr unca mient o y cua ndo s e emp lea r edondeo
a k cifr as decima les.
13.2 El er r or r elativo
x X
máx imo, cua ndo s e emplea tr unca mient o y cuando s e emp lea r edondeo
x
a k cifr as decimales.
xk
. Emp lee el p olinomio de T aylor de

k  0 k!
n
14. El p olinomio de T aylor de gr ado n par a f(x)= e x es
gr ado nu eve y ar it mét ica con tr u nca mient o a tr es dígit os par a encontr ar una apr oximación a e - 5 p or :
a) e - 5 
9
(5) k
(1) k 5k



k!
k!
k 0
k 0
9
1
b) e - 5  e 5 
1
5k

k  0 k!
9
Un va lor apr oxima do de e - 5 cor r ect o es 6.7 4 x 10 - 3 . ¿Cuál de las f ór mu las
ma yor pr ecis ión y por qu é?
a ó b pr op or ciona la
15. Obtenga el qu int o polinomio de T aylor P 5 (x; 1) par a la función f(x) = L n(x ), alr ededor de x 0 =1.
a) Gr afiqu e en u n mis mo p lano usa ndo Matlab a f(x) y a P 5 (x; 1 ). Qu é tan bu ena s er ía el r emp laz o
de f por P alr ededor de x 0 = 1?
b) Ut ilice P 5 (0.5;1) par a apr oximar f (0.5). D et er mine u na cota sup er ior del er r or a tr avés d e
R 5 (0.5;0).
1.5
c) Apr ox ime

0.5
f ( x)dx utiliza ndo P 5 (x; 1).
1.5
d) A tr avés del Matlab (apliqu e mat emát ica simb ólica) eva lu é

0.5
f ( x)dx
16. Considere la serie de Maclaurin para la función f (x) = cos (x).
16.1 Determine mediante proceso detallado, el menor número de términos que deben tomarse en dicha serie para obtener
una aproximación, con un error menor que 10-8, de: a. cos (1) b. cos (0.5) c. cos(0.1).
16.2 Construya un guión en matlab para aproximar cos(y) con y=1,0.5,0.1 a través del polinomio de Taylor
correspondiente, según lo obtenido en a, b y c. Obtenga los resultados exactos directamente del Matlab y determine los
errores absolutos para cada caso. Analice si se cumplen el máximo error establecido.
17) Considere la ecuación en diferencias xn  2( xn1  xn2 ) , n = 2, 3, 4,… con x0 = 1 y x1 = 1- 3 .
a) Utilice aritmética finita (Redondeo a 5 cifras decimales) y calcule xn, para n = 0,1,...,20
b) La fórmula xn  (1  3 ) n
es la solución correcta de la ecuación dada. Use esta y calcule xn, para n = 0,1,...,20.
Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de la fórmula xn  2( xn1  xn2 )
18. Considere la ecuación en diferencias:
a) Utilice aritmética finita (Redondeo a 5 cifras decimales) y calcule Pn para n= 0,1, 2, 3,…, 30.
b) La fórmula
, para toda n es la solución correcta de la ecuación dada. Use esta y calcule
, para n =
0,1,...,30. Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de la ecuación en diferencia dada.
19) Considere la ecuación en diferencias
a) Utilice aritmética finita (Redondeo a 5 cifras decimales). Calcular Pn para n= 0,1,2, 3, …, 30.
b) La fórmula
, para toda n es la solución correcta de la ecuación dada. Use esta y calcule
, para n
= 0,1,...,30. Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de la ecuación en diferencia dada.
20. La suces ión de Fib onacci (F o=1, F 1 = 1, F n + 2 = F n +F n + 1 , si n>0 ) satisface la ecuación.
n
n
1  5  
1  1  5 






F n  Fn 


5  2 
 2  

I mp lement e u n gu ión en Matlab par a el cálcu lo de cualqu ier t ér mino de la suces ión , s egú n la
suces ión y s egú n la f ór mu la. Además compar e r esu ltados a tr avés del er r or absoluto. Muestre
resultados para F100.