מועד א

‫מדינת ישראל‬
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫נספח‪:‬‬
‫משרד החינו ך‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫קיץ תש"ע‪2010 ,‬‬
‫‪035804‬‬
‫דפי נוסחאות ל־‪ 4‬ול־‪ 5‬יחידות לימוד‬
‫ מתמטיקה‬
‫‪ 4‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬
‫תכנית ניסוי‬
‫(שאלון ראשון לנבחנים בתכנית ניסוי‪ 4 ,‬יחידות לימוד)‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪,‬‬
‫‬
‫פרק שני‬
‫הסתברות‬
‫—‬
‫‬
‫פרק שלישי‬
‫—‬
‫גאומטריה וטריגונומטריה‬
‫במישור‬
‫—‬
‫—‬
‫—‬
‫‪2‬‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫—‬
‫‪2‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — ‪— 16 3 #2‬‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3‬‬
‫נקודות‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3‬‬
‫נקודות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫סה"כ — ‪ 100‬נקודות‬
‫‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪ )1‬מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪ )1‬אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪ )2‬התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )3‬לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫‪--‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬
‫השאלות‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות ‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( .3-1‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בחנות יש שני סוגי בדים‪ :‬בד מסוג א' ובד מסוג ב'‪.‬‬
‫המחיר של ‪ 4‬מטרים בד מסוג א' גדול ב– ‪ 135‬שקלים מהמחיר של ‪ 3‬מטרים בד‬
‫‬
‫מסוג ב'‪.‬‬
‫‬
‫לקוח קנה ‪ 3‬מטרים בד מסוג א' ו– ‪ 4‬מטרים בד מסוג ב'‪,‬‬
‫‬
‫ושילם בסך הכול ‪ 382.5‬שקלים‪.‬‬
‫‬
‫לפני הקנייה מספר המטרים של הבד מסוג א' שיש בחנות שווה למספר המטרים של הבד‬
‫‬
‫מסוג ב'‪.‬‬
‫המחיר של כל הבד מסוג א' שיש בחנות‪ ,‬גדול ב– ‪ 396‬שקלים מהמחיר של כל הבד‬
‫‬
‫מסוג ב'‪.‬‬
‫‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר של מטר אחד של בד מסוג א'‪ ,‬ואת המחיר של מטר אחד של בד‬
‫‬
‫מסוג ב'‪.‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬מצא את מספר המטרים של הבד מכל סוג שיש בחנות (לפני הקנייה)‪.‬‬
‫‬
‫‪.2‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫‬
‫‪ MA‬מקביל לציר ה– ‪ y‬ו– ‪ MB‬מקביל לציר ה– ‪. x‬‬
‫‬
‫דרך ‪ M‬העבירו שני ישרים‪ :‬ישר אחד‬
‫‬
‫מאונך ל– ‪ AB‬וישר אחד מקביל ל– ‪. AB‬‬
‫‬
‫דרך ‪ B‬העבירו משיק למעגל‪.‬‬
‫‬
‫האנך חותך את המשיק בנקודה ‪, C‬‬
‫‬
‫והמקביל חותך את המשיק בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‬
‫נתון‪. A(5 , 7) , B(3 , 5) :‬‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את משוואת האנך ‪. CM‬‬
‫‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )2‬הוכח באמצעות חישוב כי המעגל אינו חותך את ציר ה– ‪.x‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. CMD‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫‪-‬‬‫‪.3‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬
‫במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן‬
‫‬
‫‬
‫בהסתברות וסטטיסטיקה‪.‬‬
‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה‪.‬‬
‫‬
‫נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‪.‬‬
‫‬
‫כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין‬
‫‬
‫השלושה‪.‬‬
‫הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא ‪, 60%‬‬
‫‬
‫והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא ‪. 80%‬‬
‫‬
‫ההסתברויות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן?‬
‫(‪ )2‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בתרגיל אחד?‬
‫(‪ )3‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו?‬
‫ב‪.‬‬
‫‬
‫נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות?‬
‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫אלכסוני המרובע ‪ ABCD‬נחתכים (בפנים המרובע)‬
‫בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ABM‬הוא ‪ 5‬סמ"ר‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫שטח המשולש ‪ ADM‬הוא ‪ 10‬סמ"ר‪,‬‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫‬
‫שטח המשולש ‪ DCM‬הוא ‪ 20‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את היחס‪:‬‬
‫‬
‫(‪)1‬‬
‫‬
‫(‪)2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪BM‬‬
‫‪. MD‬‬
‫‪. AM‬‬
‫‪MC‬‬
‫‬
‫(‪ )1‬הוכח כי ‪. TAMB +TCMD‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. AB z DC‬‬
‫נתון גם כי המרובע ‪ ABCD‬הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫הוכח כי ‪. TADC ,TBCD‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪-‬‬‫‪.5‬‬
‫שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ M‬ו– ‪. N‬‬
‫‬
‫ישר חותך את שני המעגלים‬
‫‬
‫בנקודות ‪ , D , C , B , A‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫‬
‫נתון‪BBNC = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬ו– ‪( β‬במידת הצורך) ‪:‬‬
‫‬
‫(‪ )1‬את ‪ . BMDB‬נמק ‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬את ‪ . BMAC‬נמק ‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )3‬את ‪. BAMD‬‬
‫‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‬
‫זווית הבסיס היא ‪, 72o‬‬
‫‬
‫ואורך הבסיס ‪ AC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫‬
‫‪ AD‬חוצה–זווית ‪ , BAC‬ו– ‪ AT‬תיכון לשוק ‪BC‬‬
‫‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪T‬‬
‫‪D‬‬
‫(‪ )1‬חשב את האורך של השוק במשולש ‪. ABC‬‬
‫(‪ )2‬חשב את אורך התיכון ‪. AT‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫האם המרובע ‪ AMDN‬הוא בר חסימה במעגל? נמק ‪.‬‬
‫במשולש שווה–שוקיים ‪) BA = BC ( ABC‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪BBNM = β‬‬
‫‬
‫‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬
‫חשב את גודל הזווית ‪. TAD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫‪--‬‬
‫‬
‫‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬
‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬של פולינומים‪,‬‬
‫ של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( .9-7‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x) = 2 cos x‬בתחום ‪. - r2 # x # r2‬‬
‫‪.7‬‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הסבר מדוע בתחום ‪ r2 1 x # r‬הפונקציה אינה מוגדרת‪.‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪f (x) = 3x2 - 4x + c :‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪y‬‬
‫‪, g (x) = - x2 + bx‬‬
‫‬
‫‪ b‬ו– ‪ c‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה‬
‫המשותפת לשניהם שבה ‪( x = 1‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את הערך של ‪. b‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬מצא את הערך של ‪. c‬‬
‫‪x‬‬
‫הצב את הערך של ‪ b‬ואת הערך של ‪ c‬שמצאת בסעיף א‪ ,‬וענה על הסעיפים ב ו– ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק המשותף‬
‫‬
‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬
‫‬
‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , g(x‬על ידי המשיק המשותף‬
‫‬
‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬
‫‬
‫מצא את היחס ‪. S1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫‪-‬‬‫נתונה הפונקציה ‪2 - x2‬‬
‫‪.9‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬
‫‪ a , f (x) = ax -‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הישר ‪ y = - x - 2‬משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫‬
‫עם ציר ה– ‪ . y‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת‪ ,‬וענה על הסעיפים ב‪-‬ד‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬פתור את המשוואה ‪ , f ' (x) = 0‬ובדוק אם הפתרונות מקיימים את המשוואה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫דרך נקודת המינימום המוחלט ודרך נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה‬
‫העבירו מקבילים לציר ה– ‪ . y‬מצא את המרחק בין שני המקבילים‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬