פיזיקה 2 – פיתרון חוברת תרגילים

Comments

Transcription

פיזיקה 2 – פיתרון חוברת תרגילים
‫פיסיקה ‪ 2‬ב' ‪ -‬פתרון שאלות מחוברת הקורס‬
‫פרק ‪2‬‬
‫שאלה ‪) :2.6‬לא ברשימה(‬
‫על מוט מבודד באורך ‪ L‬מפוזר מטען חשמלי ‪ -Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את צפיפות המטען האורכית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ a‬מקצה מוט כמופיע באיור‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי במרחקים גדולים‪ , a >> L ,‬תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי‪.‬‬
‫‪-Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית במוט‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪λ=−‬‬
‫ב‪ .‬נקבע ציר ‪ x‬אופקי שכיוונו שמאלה‪ ,‬וראשיתו בנקודה ‪ .P‬נחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים‬
‫)נקודתיים(‪ ,‬ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ‪:P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪dq = λ ⋅ dL = −‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪λ=−‬‬
‫‪r=x‬‬
‫ˆ‪rˆ = −i‬‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ ‪kQdx‬‬
‫= ˆ‪dF = 2 r‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Lx 2‬‬
‫נסכום על כל הכוחות )ע"י אינטגרל(‪:‬‬
‫‪L+a‬‬
‫=‬
‫‪dx kQ ˆ  1 ‬‬
‫=‬
‫‪⋅ i ⋅ − ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ xa‬‬
‫‪L+ a‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫ˆ ‪kQ‬‬
‫‪ kQ ˆ ‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫= ‪ − 2 ⋅ i dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ Lx‬‬
‫‪‬‬
‫‪L+a‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪F = ∫ dF‬‬
‫‪kQ ˆ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  kQ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ ) ‪kQ − a + (L + a‬‬
‫‪⋅ i ⋅ −‬‬
‫=‪+ ‬‬
‫= ˆ‪+  ⋅ i‬‬
‫⋅‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪−‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L  L+a a‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪a(L + a‬‬
‫‪ L + a a‬‬
‫‪kQ‬‬
‫=‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫=‬
‫ג‪ .‬עבור מרחקים גדולים מהמוט‪ ,‬כלומר‪ , a >> L ,‬מתקיים בקירוב‪:‬‬
‫‪L+a ≈a‬‬
‫כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא‪:‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪⋅ iˆ ≈ 2 ⋅ i‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫‪a‬‬
‫שאלה ‪:2.7‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪F‬‬
‫שאלה ‪) :2.12‬לא ברשימה(‬
‫מוט מבודד דק שאורכו ‪ L‬נושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה ‪ + λ‬ובחציו התחתון מטען בצפיפות‬
‫‪z‬‬
‫‪.− λ‬‬
‫א‪ .‬השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫השדה החשמלי בנקודה ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪.P‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪ .‬קח את הגבול בו ‪ y >> L‬ומצא את השתנות השדה החשמלי ‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫במרחקים גדולים‪ .‬איזה סוג של שדה הוא מזכיר ?‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר ‪ y‬מתבטלים‪ .‬כך שמשיקולי סימטריה ניתן‬
‫להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר ‪. z‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dz‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫=‪z‬‬
‫‪z=0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z=−‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט‪ ,‬ואת השדה החשמלי נקבל ע"י‬
‫אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים‪ .‬המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין‬
‫השדה הדיפרנציאלי לאנך‪ .‬המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות‬
‫הזוית‪:‬‬
‫‪ydθ‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫)‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫=‪⇒ r‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫= ‪tanθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪dq = λdz‬‬
‫ˆ‪rˆ = cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫= ‪⇒ dz‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ydθ‬‬
‫‪kλ dθ‬‬
‫= ˆ‪cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫ˆ‪cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫⋅‬
‫‪kλ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cosθ ‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫‪+ λ‬‬
‫‪-λ‬‬
:(‫נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר )לצורכי גבולות איטגרציה‬
y
cosθ 0 =
y2 +
L
sin θ 0 =
L2
4
2 y2 +
L2
4
:(‫נבצע את האינטגרל )שימו לב לגבולות‬
0
r θ 0 kλ dθ
k (- λ )dθ
E=∫
cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ + ∫
cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ =
y
y
−θ 0
0
(
)
[
]
(
)
[
]
θ0
0
kλ
kλ
sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ 0 −
sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ −θ 0 =
y
y
θ
kλ
(sinθ 0 − 0) ⋅ ˆj + (cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ 00 − kλ (0 + sinθ 0 ) ⋅ ˆj + (1 − cosθ 0 ) ⋅ kˆ
y
y
[
]
[
]
0
−θ 0
=

L2 
2



2kλ
y
−
y
+



4 
2kλ
2kλ
y

 ˆ

(cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ =
−
1
⋅
k
=
⋅ kˆ

2
y
y  2 L2
L
 y +

y y2 +


4
4


:‫ נבצע את הקירוב ונמצא את השדה‬.‫ג‬
y >> L ⇒
a2
y +a ≈ y+
y
2
2
2
⇒
L
L2
y +
≈ y+
4
4y
2
 
L2 

L2 
2kλ  y -  y + 

2kλ y - y − 
r
4y
4y  ˆ
2k λ L2 ˆ



 ⋅ kˆ =

E≈
⋅
k
=
⋅k
y2
4y 3
y y2
k λ L2
.‫ זהו שדה של דיפול חשמלי‬. E =
:‫השדה הוא‬
4y 3
:2.14 ‫שאלה‬
‫שאלה ‪:2.15‬‬
‫‪z‬‬
‫מדיסקה שרדיוסה ‪ 2 R‬הטעונה בצפיפות מטען שטחית‬
‫) ‪A(0,0,z‬‬
‫אחידה ‪ +σ‬הוצאה דיסקה שרדיוסה ‪ R‬כך שנוצרה‬
‫דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור(‪ .‬הדיסקה מונחת‬
‫במישור ‪ . x − y‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪. A‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪+ + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪++‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ + + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪kQz‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪+z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E Ring‬‬
‫ע"י ביטוי זה‪ ,‬נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי ‪ dr‬בעלת רדיוס ‪ r‬כלשהו‪ ,‬ואז נסכום‬
‫ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = σ ⋅ 2π rdr‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ σ ⋅ 2π rdr ⋅ z‬‬
‫‪k ⋅ dq ⋅ z‬‬
‫‪rdr‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫⋅ ‪⋅ k = 2π k σ z‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r + z2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2π k σ z ⋅ kˆ ⋅ −‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪r2 + z2 R‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪2R‬‬
‫‪32‬‬
‫‪rdr‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪R +z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(r‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‬
‫∫ ⋅ ‪E = ∫ d E = 2π k σ z ⋅ k‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2π k σ z ⋅  −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4R + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪) 2.17‬לא ברשימה(‬
‫חשבו את השדה החשמלי בגובה ‪ z‬מעל למרכזה של דסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה במטען ‪q‬‬
‫בצפיפות לא אחידה ‪ . σ (r ) = α ⋅ r 2‬הביעו את תשובתכם באמצעות ‪. q‬‬
‫יש צורך להשתמש באינטגרל הבא‪:‬‬
‫‪x 2 + 2a 2‬‬
‫=‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫‪= x2 + a2 +‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪x 3 dx‬‬
‫‪+ a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תחילה נחשב את המטען הכולל על הדסקה‪:‬‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr‬‬
‫‪πα ⋅ R 4‬‬
‫= ‪q = ∫ dq = 2πα ∫ r dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪πR4‬‬
‫=‪α‬‬
‫שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪kQz‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪+z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E Ring‬‬
‫ע"י ביטוי זה‪ ,‬נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי ‪ dr‬בעלת רדיוס ‪ r‬כלשהו‪ ,‬ואז נסכום‬
‫ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ dq ⋅ z ˆ k ⋅ 2πα ⋅ r 3 dr ⋅ z‬‬
‫‪r 3dr‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫⋅‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫‪π‬‬
‫⋅‬
‫‪kz‬‬
‫⋅‬
‫‪2‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪R‬‬
‫‪ r 2 + 2z 2 ‬‬
‫‪= 2πα ⋅ kz ⋅ kˆ ⋅ ‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ r + z 0‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪r 3dr‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(r‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫∫ ⋅ ˆ‪E = ∫ dE = 2πα ⋅ kz ⋅ k‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪ R2 + 2z 2 2z 2 ‬‬
‫‪= 2πα ⋅ kz ⋅ ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ ⋅k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z2 ‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫ניתן לפשט את הביטוי שקיבלנו באופן הבא‪:‬‬
‫)‬
‫ˆ ‪+ z2 + z2 ‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R 2 + 2z 2‬‬
‫‪ R 2 + 2z 2‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫ˆ ‪2z 2 ‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2πα ⋅ kz ⋅ ‬‬
‫‪−‬‬
‫⋅ ‪⋅ k = 2π‬‬
‫⋅‬
‫‪kz‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR4‬‬
‫‪z2 ‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( )( R‬‬
‫)‬
‫⋅ ‪+ z2 − 2 z2‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) ⋅ kˆ = 4kqz ⋅  (R‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫() (‬
‫‪4kqz  R 2 + 2 z 2 − 2 z 2 ⋅ R 2 + z 2‬‬
‫‪⋅‬‬
‫‪R 4 ‬‬
‫‪R2 + z2‬‬
‫ˆ‪)  ⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+ z2 − z2‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫=‬
‫‪4kqz ‬‬
‫⋅ ‪= 4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪) 2.18‬לא ברשימה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת‪:‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪kQx‬‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪+R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪E‬‬
‫נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי )מבט מהצד(‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x=0‬‬
‫המטען הדיפרנציאלי של טבעת‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2 π Rh‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qdx‬‬
‫= ‪⋅ 2 π Rdx‬‬
‫‪2 π Rh‬‬
‫‪h‬‬
‫=‪σ‬‬
‫= ‪dq = σ dS‬‬
‫עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי‪ ,‬השדה הדיפרנציאלי המתאים‪:‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ dq ⋅ x‬‬
‫‪kQxdx‬‬
‫‪dE = −‬‬
‫‪i=−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2 + R2‬‬
‫‪2 π Rh x 2 + R 2‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה‪ .‬כך שהמשתנה ‪ x‬הוא שלילי‪ .‬כדי "לתקן"‬
‫ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי‪.‬‬
‫נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪12 ‬‬
‫‪ d + h‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪ ⋅ ˆi‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪+R ‬‬
‫שאלה ‪2.32‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kQ ‬‬
‫‪h  x 2 + R 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(d + h )2‬‬
‫(‬
‫‪d‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪ˆi = − kQ‬‬
‫∫‬
‫‪h d +h x 2 + R 2‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kQ ‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h  d + R2‬‬
‫‪+ R 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫]‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫) ‪[(d + h‬‬
‫‪kQxdx‬‬
‫‪d‬‬
‫‪∫ h (x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h  d + R2‬‬
‫‪‬‬
‫]‬
‫‪12‬‬
‫‪d +h‬‬
‫[‬
‫שאלה ‪:2.33‬‬
‫קליפה כדורית עבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ a‬ו ‪ b‬נושאת מטען בצפיפות נפחית לא אחידה‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪ , ρ (r‬כאשר ‪ A‬הינו קבוע מספרי‪ .‬במרכזו של החלל הכדורי ) ‪ ( r = 0‬מצוי מטען נקודתי ‪. + q‬‬
‫מה צריך להיות הקבוע המספרי ‪ A‬על מנת שהשדה בתחום ‪ a‬יהיה קבוע‪ ,‬כלומר בלתי תלוי במרחק‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחשב את השדה החשמלי ברדיוס מסוים בתוך הכדור ונדרוש שיהיה קבוע‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫= ‪q in = q + ∫ ρ (r )dV = q + ∫ ⋅ 4π r 2 dr = q + 4πA ⋅ ∫ rdr = q + 4πA ⋅  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 2 a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r 2 a2 ‬‬
‫‪ = q + 2πAr 2 + 2πAa 2‬‬
‫‪= q + 4πA ⋅  −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪⇒ E ⋅ 4π r 2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2‬‬
‫= ‪∫ E ⋅ dS‬‬
‫‪ε0‬‬
‫כדי שנוכל לצמצם את ‪ r 2‬בשני הצדדים של מהשואה וכך השה לא יהיה תלוי ב ‪ , r‬צריך שהקבועים‬
‫בצד ימין של המשוואה יצטמצמו‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2π a 2‬‬
‫=‪A‬‬
‫⇒ ‪q + 2πAa 2 = 0‬‬
‫שאלה ‪:2.34‬‬
‫כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬נושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה‪. ρ ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫= ‪ , E‬כאשר ‪ r‬הוא הוקטור ממרכז‬
‫א‪ .‬הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי ‪r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור‪.‬‬
‫ב‪ .‬קודחים חלל כדורי שרדיוסו ‪ a‬בתוך הכדור‪ .‬הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫= ‪ , E‬כאשר ‪ a‬הוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז‬
‫הוא אחיד ונתון בביטוי ‪a‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫החלל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור )כך שרדיוסה ‪ r‬קטן מרדיוס‬
‫הכדור ‪ .( R‬ע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫‪q in ρV‬‬
‫‪ρ 4π r 3‬‬
‫=‬
‫⋅ =‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪ρ 4π r 3‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⇒‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫‪S‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪π‬‬
‫∫‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪⋅r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" )צפיפות שלילית(‪.‬‬
‫נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ‪ ( R‬בעל צפיפות מטען ‪, ρ‬‬
‫וכדור קטן )רדיוס ‪ ( b‬בעל צפיפות מטען ‪ . − ρ‬נחשב את השדה שגורם‬
‫כל אחד מהכדורים "הדמיוניים"‪ ,‬וסכום של שני השדות ייתן לנו את‬
‫השדה אותו אנו מחפשים‪ .‬באופן כללי‪ ,‬שדה חשמלי בתוך כדור מלא‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ‪ ρ‬ניתן ע"י‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r +a‬‬
‫‪r 4πkρ r‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫וכעת ניתן לחשב‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪Eb = −‬‬
‫= ‪r ⇒ ER + Eb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r r‬‬
‫= ‪ER‬‬
‫) ‪(a + r‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪) 2.42‬לא ברשימה(‬
‫מישור אינסופי טעון בצפיפות משטחית אחידה ‪ . σ‬שכבה מישורית אינסופית של מטען‬
‫בעל רוחב ‪ d 0‬וצפיפות אחידה‪ , ρ ,‬צמודה למישור‪ .‬כל המטענים קבועים למקומותיהם‪.‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב‪ .‬קחו את ראשית הצירים במרכז השכבה‬
‫המישורית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫נחשב לחוד את השדה החשמלי שיצור המישור ואת השדה החשמלי שיוצרת השכבה‪ .‬אחר כך נוכל לחבר‬
‫)סופרפוזיציה( את השדות בכל אחד מהאזורים‪.‬‬
‫שדה חשמלי שיוצר מישור אינסופי בעל צפיפות משטחית אחידה ‪) σ‬מתקבל ע"י חוק גאוס‪ ,‬בד"כ מתבצע‬
‫בהרצאה(‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫כיוון השדה‪ ,‬עבור צפיפות חיובית הוא בניצב למישור‪ ,‬כלפי חוץ‪.‬‬
‫שדה חשמלי שיוצרת השכבה העבה בעלת צפיפות אחידה ‪ , ρ‬מחושב בנספח המצורף בהמשך ע"י חוק‬
‫גאוס‪ .‬החישוב הוא עבור ציר ‪ z‬מאונך לשכבה כך שראשיתו במרכז השכבה‪.‬‬
‫השדה מבחוץ‪:‬‬
‫ˆ ‪d 0  ρd 0‬‬
‫‪k‬‬
‫=‪‬‬
‫‪2  2ε 0‬‬
‫‪d0 ‬‬
‫‪ρd‬‬
‫ˆ‪ = − 0 k‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫> ‪E  z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫< ‪E z‬‬
‫‪ ‬‬
‫השדה מבפנים‪:‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪>z>− 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ˆ ‪ρz‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ε0‬‬
‫=‪E‬‬
‫לאחר סופרפוזיציה‪ ,‬מקבלים את השדה במרחב שיוצרים המישור והשכבה ביחד )זו התשובה לשאלה(‪:‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪z < − 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ρd ‬‬
‫‪E =  −‬‬
‫ˆ‪− 0  ⋅ k‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪‬‬
‫‪< z < 0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫ˆ ‪ρz ‬‬
‫‪ ⋅ k ,‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ 2ε 0 ε 0 ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 > z > 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫ˆ ‪ρz ‬‬
‫‪ ⋅ k ,‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪‬‬
‫‪< z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ρd ‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+ 0  ⋅ kˆ ,‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 ‬‬
‫נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד‪:‬‬
‫נבחר את הראשית במרכז השכבה‪ .‬מבט מהצד‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫מישור ‪xy‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב‬
‫ללוח בכיוון החוצה מהלוח‪ .‬ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה‬
‫התחתונה הוא ‪ . A‬מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור ‪ XY‬שווה‪ .‬נכתוב את חוק‬
‫גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה‪:‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪∫ E ⋅ dS‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA‬‬
‫‪q in ρV ρd 0 A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫שימו לב שבחישוב האינטגרל‪ ,‬רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה‪E ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫מקביל ל ‪ S‬ואילו בשאר הפאות ‪ E‬ניצב ל ‪ . S‬נשווה בין הצדדים‪:‬‬
‫ˆ ‪d 0  ρd 0‬‬
‫‪k‬‬
‫=‪‬‬
‫‪2  2ε 0‬‬
‫‪d0 ‬‬
‫‪ρd‬‬
‫ˆ‪ = − 0 k‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫> ‪E  z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪⇒ ‬‬
‫< ‪E z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ρd 0 A‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח‪ ,‬ושוב מרחק הפאות העליונה‬
‫‪z‬‬
‫והתחתונה ממישור יהיה שווה ל ‪: z‬‬
‫מישור ‪xy‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫‪r r q‬‬
‫נחשב את השדה מתוך חוק גאוס ) ‪:( ∫ E ⋅ dS = in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ρV ρ 2zA‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪>z>− 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ˆ ‪ρz‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ε0‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA ,‬‬
‫⇒‬
‫‪ρ 2zA‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫שאלה ‪ :3.8‬חסר שרטוט בשאלה!!!‬
‫מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים‪ :‬קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס ‪ , R‬קליפה עבה‬
‫בעלת רדיוס פנימי ‪ 2 R‬וחיצוני ‪ 3R‬וקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס ‪ . 4 R‬הקליפה הדקה החיצונית‬
‫הטעונה במטען ‪ , Q0‬ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען ‪. − Q0‬‬
‫א‪ .‬מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית ?‬
‫ב‪ .‬מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז המערכת בכל המרחב ?‬
‫כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת ?‬
‫ד‪ .‬מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז המערכת בכל המרחב ?‬
‫ה‪ .‬כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס‪ ,‬כלומר‪ ,‬הרדיוס הפנימי‪,‬‬
‫‪ , 2 R‬לא יהיה מטען‪ ,‬וברדיוס החיצוני ‪ 3R‬יהיה ‪ . − Q0‬לפיכך המטענים הם‪, q 2 = 0 , q1 = 0 :‬‬
‫‪. q 4 = Q 0 , q 3 = −Q 0‬‬
‫ב‪ .‬קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס‪ ,‬ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי‪.‬‬
‫בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים‪ .‬נחבר‪ ,‬לכל אזור בנפרד‪ ,‬את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות‪:‬‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫) ‪(R < r < 2 R‬‬
‫) ‪(2 R < r < 3R‬‬
‫) ‪(3R < r < 4 R‬‬
‫) ‪(r > 4 R‬‬
‫‪E1 = 0‬‬
‫‪E2 = 0‬‬
‫‪E3 = 0‬‬
‫‪kQ0‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E4 = −‬‬
‫‪E5 = 0‬‬
‫ג‪ .‬כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית‪ ,‬מטען יכול לעבור בין הקליפות‪ .‬המטען יעבור כך‬
‫שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה‪ .‬ניתן לרשון שתי משוואות‪ ,‬אחת לשימור מטען ואחת לשוויון‬
‫הפוטנציאלים‪:‬‬
‫‪q1 + q 4 = Q0‬‬
‫‪V1 = V4‬‬
‫נמצא את השדה במרחב )לאחר שהמטענים עברו( וממנו נוכל למצוא את הפוטנציאל על כל אחת‬
‫מהקליפות‪:‬‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫‪E1 = 0‬‬
‫‪kq1‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E3 = 0‬‬
‫) ‪(R < r < 2 R‬‬
‫= ‪E2‬‬
‫) ‪(2 R < r < 3R‬‬
‫) ‪k (q1 − Q0‬‬
‫) ‪(3R < r < 4 R‬‬
‫‪r2‬‬
‫) ‪(r > 4 R‬‬
‫‪E5 = 0‬‬
‫= ‪E4‬‬
‫⇓‬
‫‪r‬‬
‫‪V4 = − ∫ E 5 dr = 0‬‬
‫∞‬
‫‪R‬‬
‫) ‪k (q1 − Q0‬‬
‫‪kq‬‬
‫∫ ‪V1 = − ∫ E5 dr − ∫ E 4 dr − ∫ E 3 dr − ∫ E 2 dr = −‬‬
‫= ‪dr − ∫ 21 dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫∞‬
‫‪4R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪4R‬‬
‫‪2R r‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪4R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k (q − Q0 ) ‬‬
‫‪ kq ‬‬
‫= ‪+ 1‬‬
‫] ‪[7q1 − Q0‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 R  r  2 R 12 R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫⇓‬
‫‪k‬‬
‫‪[7q1 − Q0 ] = 0 ⇒ 7q1 − Q0 = 0‬‬
‫‪12 R‬‬
‫‪V1 = V4‬‬
‫⇒‬
‫‪Q0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6Q0‬‬
‫‪7‬‬
‫= ‪q1‬‬
‫= ‪q 4 = Q0 − q1‬‬
‫וניתן לחשב את המטענים בקליפה העבה )מסתדרים כך שהשדה הוא אפס במוליך(‪:‬‬
‫‪Q0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6Q‬‬
‫‪q4 = − 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪q3 = −‬‬
‫ד‪ .‬השדה החשמלי‪:‬‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫) ‪(R < r < 2 R‬‬
‫) ‪(2 R < r < 3R‬‬
‫) ‪(3R < r < 4 R‬‬
‫) ‪(r > 4 R‬‬
‫‪Q0‬‬
‫ה‪ .‬כמות המטען שעברה מקליפה החיצונית לפנימית היא‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪E1 = 0‬‬
‫‪kQ0‬‬
‫‪7r 2‬‬
‫‪E3 = 0‬‬
‫= ‪E2‬‬
‫‪6kQ0‬‬
‫‪7r 2‬‬
‫‪E4 = −‬‬
‫‪E5 = 0‬‬
‫שאלה ‪) 3.9‬לא ברשימה(‬
‫‪r‬‬
‫כדור שרדיוסו ‪ R‬טעון בצפיפות מטען לא אחידה ‪ , ρ (r ) = ρ 0  ‬כאשר ‪ ρ 0‬קבוע‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫א‪ .‬הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות‪. ρ 0 , R :‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫ד‪ .‬כדור קטן שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ − q‬משוחרר ממנוחה במרחק ‪ 4 R‬ממרכז הכדור‪ .‬מה תהיה‬
‫מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של ‪ 2 R‬ממרכז הכדור ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב המטען הכולל על הכדור‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4π ρ 0 R 3‬‬
‫‪4π ρ 0  r 4 ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪Q = ∫ ρ ⋅ dV = ∫ ρ 0   ⋅ 4π r dr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dr‬‬
‫=‬
‫‪  = π ρ0 R‬‬
‫∫‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית‪ .‬עבור סימטריה כדורית מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫עבור האזור החיצוני‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r2‬‬
‫=‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 r‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‬
‫⇒‬
‫‪q in‬‬
‫‪(r > R ) :‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪E ⋅ 4π r 2‬‬
‫עבור האזור הפנימי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4π ρ 0 r 3‬‬
‫‪4π ρ 0  r 4 ‬‬
‫‪π ρ0r 4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫= ‪r dr‬‬
‫=‬
‫= ‪ρ 0   ⋅ 4π r dr‬‬
‫‪ε 0 R ∫0‬‬
‫‪ε 0 R  4  0‬‬
‫‪ε0R‬‬
‫‪ε 0 ∫0  R ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ0r 2 π ρ0 R3r 2‬‬
‫‪Qr 2‬‬
‫‪kQr 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0R‬‬
‫‪4π ε 0 R 4‬‬
‫‪4π ε 0 R 4‬‬
‫‪R4‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪(0 < r < R ) :‬‬
‫‪π ρ0r 4‬‬
‫‪ε0R‬‬
‫⇒‬
‫= ‪E ⋅ 4π r 2‬‬
‫ג‪ .‬את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫= ‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫∫‪V = −‬‬
‫‪r‬‬
‫‪(r > R ) :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫= ‪(0 < r < R ) : V = − ∫ kQ2 dr − ∫ kQr4 dr = kQ − kQ4  r ‬‬
‫‪R R  3 R‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪∞ R‬‬
‫‪R‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪kQ kQ 3‬‬
‫‪kQ kQr 3 kQ 4kQ kQr 3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫= ‪r −R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪R 3R 4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪3R 4‬‬
‫‪3R 4‬‬
‫ד‪ .‬נקרא לנקודת השחרור ‪ A‬ולנקודה הסופית נקרא ‪ .B‬מתקיים שימור אנרגיה‪:‬‬
‫‪UB = UA‬‬
‫‪mv B2‬‬
‫‪− qV B = − qV A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv B2‬‬
‫) ‪= q (VB − V A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kQ kQ kQ‬‬
‫= ‪VB − V A‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2R 4R 4R‬‬
‫‪mv B2 kQq‬‬
‫‪kQq‬‬
‫=‬
‫= ‪⇒ vB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4R‬‬
‫‪2mR‬‬
‫שאלה ‪) 3.12‬לא ברשימה(‬
‫תיל שאורכו ‪ 2l + π R‬העשוי חומר מבודד‪ ,‬כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם ‪ , l‬כל‬
‫אחד‪ ,‬המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה ‪ R‬ומרכזה בנקודה ‪ . O‬התיל נושא מטען‬
‫חשמלי כללי ‪ + Q‬המפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים‪ .‬המקטע הישר השמאלי נושא‬
‫מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות ‪ + λ‬ואליו הקטע הישר הימני נושא מטען‬
‫חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה ‪ . − λ‬הקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה ‪. + λ‬‬
‫א‪ .‬הביעו את ‪ λ‬באמצעות ‪) Q , l , R‬לא בהכרח כולם(‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה ‪) O‬גודל וכיוון(‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪. O‬‬
‫‪+λ‬‬
‫‪−λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+λ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל ‪ . Q‬נוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את ‪: λ‬‬
‫‪Q = q1 + q 2 + q 3 = λ ⋅ l + λ ⋅ π R − λ ⋅ l = λ ⋅ π R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪πR‬‬
‫=‪λ‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית‪ .‬נגדיר ציר ‪x‬‬
‫חיובי ימינה וציר ‪ y‬חיובי כלפי מעלה‪ .‬ראשית הצירים בנקודה ‪. O‬‬
‫נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי )צפיפות חיובית(‪:‬‬
‫‪−R‬‬
‫‪−R‬‬
‫ˆ ‪k λ dx‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪⋅ i = k λ − ‬‬
‫‪⋅ iˆ = k λ ⋅  −‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  −l − R‬‬
‫‪ −R −l−R‬‬
‫‪−l− R x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E1 = ∫ dE1‬‬
‫ˆ ‪l + R − R ‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= k λ⋅  −‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪ ⋅ i = k λ⋅ ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R l+ R‬‬
‫‪ R(l + R ) ‬‬
‫המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון‪:‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E3‬‬
‫נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל‪ .‬משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל‬
‫חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי‪ ,‬כלומר בציר ‪: y‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k λ Rd θ‬‬
‫= ‪ˆ − sinθ ⋅ ˆj = − k λ sinθ dθ ⋅ ˆj‬‬
‫∫ = ‪E 2 = ∫ dE 2‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪cos‬‬
‫⋅‬
‫‪i‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪R ∫0‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪kλ‬‬
‫‪kλ‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪⋅ [− cosθ ]0 ⋅ ˆj‬‬
‫‪[cos(π ) − cos(0)] ⋅ ˆj = k λ [− 1 − 1] ⋅ ˆj = − 2k λ ⋅ ˆj‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪=−‬‬
‫נסכום את כל השדות‪:‬‬
‫ˆ ‪k λ ⋅ l ˆ 2k λ‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫‪⋅i −‬‬
‫‪⋅ j+‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E O = E1 + E 2 + E 3‬‬
‫‪2 k λ ⋅ l ˆ 2 k λ ˆ 2k λ  l‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅i −‬‬
‫=‪⋅j‬‬
‫‪⋅ iˆ − ⋅ ˆj ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R l+ R‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫ג‪ .‬הפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי יהיה חיובי )צפיפות חיובית( הפוטנציאל שיוצר המוט הימני יהיה‬
‫שווה לפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי‪ ,‬אך הפוך בסימן )צפיפות שלילית(‪ ,‬כך כשנחבר הם יאפסו אחד‬
‫את השני‪ ,‬כלומר‪ ,‬אין צורך לחשב אותם‪ .‬נשאר לחשב את הפוטנציאל שיוצר החלק הקשתי של התיל‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪k λ Rdθ‬‬
‫‪= −k λ ∫ dθ = −π k λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫∫ = ‪V = ∫ dV2‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪) 3.13‬לא ברשימה(‬
‫יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה ‪. σ‬‬
‫א‪ .‬חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי ‪ q 0‬נע מפני‬
‫היריעה עד למרחק ‪ z‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה‬
‫‪σz‬‬
‫ל‪:‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ . V =V 0−‬כאשר ‪ V 0‬הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב )בחרתי ציר ‪ z‬ניצב למישור היריעה(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r qσ‬‬
‫= ‪F = qE‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫נחשב את עבודת השדה‪:‬‬
‫‪r r z qσ‬‬
‫‪qσ z‬‬
‫∫ = ‪W = ∫ F ⋅ dr‬‬
‫= ‪dz‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את הפוטנציאל במרחק ‪ z‬מהיריעה‪:‬‬
‫) ‪W = − q∆V = −q (V − V0‬‬
‫‪qσ z‬‬
‫) ‪= −q (V − V0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪σz‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪V = V0 −‬‬
‫שאלה ‪) 3.14‬לא ברשימה(‬
‫מטען ‪ Q‬מפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ . b‬צפיפות המטען נתונה ע"י‬
‫‪ , σ = k r 3‬כאשר ‪ r‬הוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה‪ .‬הראו כי הפוטנציאל במרכז‬
‫‪Q a+b‬‬
‫‪‬‬
‫הטבעת שווה ל‪ :‬‬
‫‪8π ε 0  ab ‬‬
‫= ‪V‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי ‪ . dr‬שטח כל טבעת דקה‪:‬‬
‫‪dS = 2π rdr‬‬
‫המטען של כל טבעת דקה‪:‬‬
‫‪k0‬‬
‫‪2π k 0 dr‬‬
‫= ‪⋅ 2π rdr‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫= ‪dq = σ ⋅ dS‬‬
‫נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל‪ , Q -‬כך נוכל להביע את הקבוע ‪ k 0‬ע"י הפרמטרים של‬
‫השאלה‪:‬‬
‫‪2π k 0 dr‬‬
‫‪ 1‬‬
‫) ‪ 1 1  2π k 0 (b − a‬‬
‫∫ = ‪Q = ∫ dq‬‬
‫= ‪= 2π k 0 ⋅ −  = 2π k 0 ⋅  − + ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ b a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪abQ‬‬
‫= ‪k0‬‬
‫) ‪2π (b − a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא‪:‬‬
‫‪kdq k 2π k 0 dr 2π kk 0 dr‬‬
‫⋅ =‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r3‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות‪:‬‬
‫‪2π kk 0 dr‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫∫ = ‪V = ∫ dV‬‬
‫= ‪= 2π kk 0 ⋅ − 2  = π kk 0 ⋅  − 2 + 2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ 2r  a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪π kk 0 (b − a )(b + a‬‬
‫‪a 2b 2‬‬
‫=‬
‫) ‪π kk 0 (b 2 − a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫=‬
‫נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע ‪: k 0‬‬
‫‪abQ‬‬
‫) ‪kQ(b + a ) Q(b + a‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪2π (b − a‬‬
‫‪2ab‬‬
‫‪8π ε 0 ab‬‬
‫שאלה ‪:3.16‬‬
‫⋅‬
‫) ‪π k (b − a )(b + a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪V‬‬
‫שאלה מאד דומה לשאלה ‪3.17‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות המטען על המקל‪ ,‬כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי‬
‫סה"כ האורך‪. λ = − q L :‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה‪ .‬נחלק את המקל‬
‫לאלמנטים דיפרנציאליים‪ ,‬נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ‪ ,P‬ונסכום ע"י אינטגרל‬
‫כדי לקבל את השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪kλ dx‬‬
‫‪(L + a − x )2‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dq = λdx ⇒ dE‬‬
‫‪L‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kλ ‬‬
‫= ‪ (L + a − x )  i = kλ  a − L + a  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r = L+a−x‬‬
‫‪kλ dx‬‬
‫‪(L + a − x )2‬‬
‫‪rˆ = ˆi‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r L‬‬
‫∫ = ‪E = ∫ dE‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪kq  L + a − a ‬‬
‫ˆ ‪kq‬‬
‫‪i=−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L  a (L + a ) ‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫‪−‬‬
‫ג‪ .‬נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני‪ ,‬לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש‪ ,‬בקצה‬
‫הימני של המוט‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq  1‬‬
‫ˆ‪1 ‬‬
‫‪E (x ) = −  −‬‬
‫‪i‬‬
‫‪L x L+x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪kq  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪V = −∫ E ⋅ dr = −∫ −‬‬
‫= ∞‪[ln(x ) − ln(L + x )]a‬‬
‫‪ −‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪L x L+x‬‬
‫‪L‬‬
‫∞‬
‫‪kq‬‬
‫‪[ln(a ) − ln(L + a ) − ln(∞ ) + ln(L + ∞ )] = kq ln a ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L L+a‬‬
‫הערה‪ :‬כאשר מציבים את גבולות אינסוף‪ ,‬מקבלים ) ∞(‪ ln‬ו ) ∞ ‪ , ln(L +‬בביטוי השני ניתן להזניח את‬
‫‪ , L‬ואז שני הביטויים מצטמצמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור ‪: a >> L‬‬
‫‪kq  L  kq‬‬
‫=‪ ‬‬
‫‪L a a‬‬
‫שאלה ‪:3.20‬‬
‫‪kq  L ‬‬
‫⇒ ‪ln + 1‬‬
‫‪L a‬‬
‫‪‬‬
‫‪V=−‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪⇒ E≈ 2‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪E‬‬
‫שאלה ‪) 3.23‬לא ברשימה(‬
‫התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬הנושא מטען כללי ‪ + Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה‪ ,‬במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי על ציר הסימטריה במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס ‪ , R‬וגובה ‪ , h‬הנושא נטען כללי ‪ + Q‬בצפיפות אחידה‪ .‬השתמשו בביטוי‬
‫לפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה )שכבר חושב בעבר(‪ ,‬וחשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את הפוטנציאל החשמלי במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫⋅ ‪)dz = z‬‬
‫‪z 2 + R 2 R 2 ⋅ ln z + z 2 + R 2‬‬
‫‪+‬‬
‫לשימושכם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(∫‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪ :‬צריך שרטוט גם לפתרון!!!!‬
‫א‪ .‬נשתמש בפוטנציאל חשמלי של דסקה‪ .‬נבצע אינטגרל על דסקות כדי לחשב את הפוטנציאל‬
‫החשמלי שיוצר הגליל‪ .‬הגדרתי את הראשית בנקודה בה אנו מחשבים את הפוטנציאל‪:‬‬
‫)‬
‫‪+ z2 − z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪kdQ‬‬
‫‪R2‬‬
‫= ‪⇒ dϕ‬‬
‫)‬
‫‪+ z2 − z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qdz‬‬
‫= ‪⋅ π R 2 dz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πR h‬‬
‫= ‪, dV = π R 2 dz ⇒ dq = ρ dV‬‬
‫)‬
‫‪Qdz‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪(R‬‬
‫⋅) ‪+ z − z‬‬
‫=‬
‫‪h‬‬
‫∫ ‪R h‬‬
‫‪R ⋅ ln (z + z + R ) z ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫= ‪+ z 2 − z dz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪k‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫∫‬
‫‪x‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‪ϕ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π R2h‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫= ‪ϕ = ∫ dϕ‬‬
‫‪kQ  z ⋅ z 2 + R 2‬‬
‫‪= 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R h ‬‬
‫‪−‬‬
‫=‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪kQ (h + x ) (h + x ) + R + R ln h + x + (h + x ) + R  − (h + x‬‬
‫=‬
‫‪2R 2 h ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x x + R − R ln x + x + R + x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − h 2 + 2hx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h + x + (h + x )2 + R 2‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(h + x ) (h + x ) + R − x x + R + R ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R h ‬‬
‫‪x + x2 + R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫(‬
:(‫ חישוב השדה מתוך הפוטנציאל )גזירה מייגעת‬.‫ב‬
E=
dϕ
=
dx
(h + x ) (h + x )2 + R 2 − x x 2 + R 2 +


kQ d 
2
=
2 

=
⋅
2 R 2h dx + R 2 ln h + x + (h + x ) + R  − h 2 + 2hx 




x + x2 + R2





(h + x )2 − x 2 + R 2 − x 2 + 2h + R 2 ⋅  x + x 2 + R 2
 (h + x )2 + R 2 +
 h + x + (h + x )2 + R 2

x2 + R2
(h + x )2 + R 2


kQ
=
⋅ 
(h + x )  ⋅ x + x 2 + R 2 − 1 + x  ⋅  h + x + (h + x )2 + R 2 
2 R 2 h  1 +



2
2
2  
2 

 
+
x
R
+
+
(
h
x
)
R



⋅ 
2

x + x2 + R 2
)
(
)
(

 ⋅


=




 (h + x )2 + R 2 + (h + x )2   x 2 + R 2 + x 2 



1
−
⋅


 + 2h + R 2 ⋅ 
 h + x + (h + x )2 + R 2 


(h + x )2 + R 2   x 2 + R 2 




kQ 
=
⋅   (h + x )2 + R 2 + (h + x ) 
2
2
=


2
2R h  
 ⋅ x + x 2 + R 2 −  x + R + x  ⋅  h + x + (h + x )2 + R 2  



 
x 2 + R 2  
(h + x )2 + R 2


⋅ 



x + x2 + R2
)
(
(
=
2
kQ  2(h + x ) + R 2
⋅
2
2 R h  (h + x )2 + R 2

=
2

kQ  2(h + x ) + 2 R 2   2 x 2 + 2 R 2 

=


⋅
−
+
2
h
2 R 2h  (h + x )2 + R 2   x 2 + R 2 





=
2
kQ  (h + x ) + R 2
⋅
2
R h  (h + x )2 + R 2

=
kQ 
2
⋅ (h + x ) + R 2 − x 2 + R 2 + h

R 2h 
  2 x2 + R 2
−
  x 2 + R 2

  x2 + R2
−
  x 2 + R 2



 + 2h + R 2 ⋅ 




)
1
(h + x )2 + R 2
−

 =
x 2 + R 2 
1
 
 + h =
 
 
!!!‫ לא צריך לחפש טעויות‬,‫ יצא נכון במכה ראשונה‬,‫יופי לי‬
‫פרק ‪4‬‬
‫שאלה ‪) 4.3‬לא ברשימה(‬
‫שתי טבלות מקבילות מוליכות וניטרליות שהמרווח ביניהן הוא ‪3d‬‬
‫‪d‬‬
‫ושטחן ‪ A‬מחוברות ביניהן ע"י תיל מוליך‪ .‬טבלת מתכת שלישית‬
‫ששטחה ‪ A‬גם כן‪ ,‬הטעונה במטען ‪ + Q‬מוכנסת אל בין שתי הטבלות‬
‫‪2d‬‬
‫הראשונות‪ ,‬מקבילה לשתיהן‪ ,‬ונמצאת במרחק ‪ d‬מהטבלה העליונה‪.‬‬
‫א‪ .‬כיצד מתחלק המטען בין המשטחים העליון והתחתון של הטבלה האמצעית ?‬
‫ב‪ .‬מהו הפרש הפוטנציאלים בין כל זוג לוחות ?‬
‫ג‪ .‬מהו השדה החשמלי בין זוג הטבלות העליון וזוג הטבלות התחתון ?‬
‫ד‪ .‬מהי האנרגיה של המערכת ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נקבע כיול‪ ,‬כלומר נקבע היכן הפוטנציאל שווה לאפס‪ .‬בחרתי שהפוטנציאל שווה לאפס על הלוח‬
‫התחתון‪ .‬הנעלמים הם המטענים על הלוח העליון והלוח התחתון‪ ,‬ידועים שני דברים‪ ,‬המובלים אותנו‬
‫לשתי משוואות‪:‬‬
‫סכום המטענים של הלוח התחתון ) ‪ ( q1‬והלוח העליון ) ‪ ( q3‬שווה לאפס )נתון שהם ניטרליים לפני הכנסת‬
‫הלוח האמצעי(‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪q1 + q3 = 0‬‬
‫הפוטנציאלים על שני הלוחות שווים זה לזה )הם מחוברים במוליך(‪ .‬נחשב את השדה החשמלי בכל אזור‬
‫וע"י אינטגרל על השדה נחשב את הפוטנציאל על הלוח העליון )להזכירכם‪:( q 2 = +Q :‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪ q‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E1 (0 < z < 2d ) =  1 − 2 − 3  ⋅ kˆ =  1 −‬‬
‫= ˆ‪− 3  ⋅ k‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 2ε 0 ‬‬
‫‪ 2ε 0 A 2ε 0 A 2ε 0 A ‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‪(q1 − Q − q3 ) ⋅ k‬‬
‫=‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪ ˆ  q1‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ ⋅ k = ‬‬
‫‪+‬‬
‫= ˆ‪− 3  ⋅ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε 0 A 2ε 0 A 2ε 0 A ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪E 2 (2d < z < 3d ) =  1 + 2 − 3‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 2ε 0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫ˆ‪(q1 + Q − q3 ) ⋅ k‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫חישוב הפוטנציאל על הלוח העליון‪:‬‬
‫‪3d‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪(q1 − Q − q3 ) dz − ∫  1 (q1 + Q − q3 ) dz‬‬
‫‪ϕ 3 = − ∫ E1dz − ∫ E 2 dz = − ∫ ‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2d ‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(q1 − Q − q3 ) ⋅ 2d − 1 (q1 + Q − q3 ) ⋅ d = d (− 3q1 + Q + 3q3‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪3d‬‬
‫‪2d‬‬
‫נשווה את הפוטנציאל של הלוח עליון לפוטנציאל של הלוח התחתון )להזכירכם‪:( ϕ1 = 0 :‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪⇒ − 3q1 + Q + 3q3 = 0‬‬
‫‪(− 3q1 + Q + 3q3 ) = 0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫ויש לנו שתי משוואות )‪ (1‬ו )‪ (2‬עם שני משתנים ‪ q1‬ו ‪ . q3‬נפתור‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪6‬‬
‫‪, q3 = −‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪⇒ q1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪q1 + q3 = 0 (1‬‬
‫‪‬‬
‫‪− 3q1 + Q + 3q3 = 0‬‬
‫ג‪ .‬ניתן לרשום את השדות בשני האזורים המרכזיים‪:‬‬
‫‪1 Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫ˆ ‪Q‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪ − Q +  ⋅ kˆ = −‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪2ε 0 A  6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3ε 0 A‬‬
‫‪1 Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫ˆ ‪2Q‬‬
‫= ) ‪E 2 (2d < z < 3d‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫= ˆ‪ + Q +  ⋅ k‬‬
‫‪2ε 0 A  6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3ε 0 A‬‬
‫= ˆ‪(q1 − Q − q3 ) ⋅ k‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪E1 (0 < z < 2d‬‬
‫ב‪ .‬הפרש הפוטנציאלים בין הלוח האמצעי לתחתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2Qd‬‬
‫= ‪⋅ 2d‬‬
‫= ‪ dz‬‬
‫‪3ε 0 A ‬‬
‫‪3ε 0 A‬‬
‫‪3ε 0 A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪ϕ 2 = − ∫ E1dz = − ∫ −‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים בין הלוח העליון ללוח האמצעי‪:‬‬
‫‪3d‬‬
‫‪3d‬‬
‫‪ 2Q ‬‬
‫‪2Qd‬‬
‫‪∆ϕ 23 = − ∫ E 2 dz = − ∫ ‬‬
‫‪ dz = −‬‬
‫‪3ε 0 A ‬‬
‫‪3ε 0 A‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪2d ‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪) 4.5‬לא ברשימה(‬
‫שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪ b -‬טעונים במטענים שווים ומנוגדים ‪ , ± q‬בהתאמה‪ .‬מרכזי‬
‫הכדורים מונחים על ציר ה‪ x -‬כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא ‪ , d‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתונים ‪ . k , q , a , b‬הניחו כי המרחק בין הכדורים גדול כך שכדור אחד לא משפיע על משנהו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי בנקודה )‪ p( x,0‬הנמצאת על קו המחבר בין מרכזי הכדורים ?‬
‫ב‪ .‬מהו הפרש הפוטנציאלים בין משטחי הכדורים ?‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫הראו כי הקיבול של המערכת נתון בביטוי‬
‫‪1 1 2‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪a b d‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪p( x,0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫≈ ‪ , C‬ובתנאי ש ‪. d >> a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי של כדור מוליך טעון מחוץ לכדור הוא כמו של מטען נקודתי‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬
‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪ 2+‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E2 = −‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 x‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E p = E1 + E 2 = ‬‬
‫‪+‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪4π ε 0 (d − x ) ‬‬
‫‪ 4π ε 0 x‬‬
‫ב‪ .‬את הפרש הפוטנציאלים נמצא ע"י אינטגרל על השדה‪:‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ 2+‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4π ε 0  x‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪(d − x ) ‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪r r‬‬
‫∫ ‪∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ x − (d − x ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ d − b + (d − a ) − b − a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− +‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  d − b (d − d + b ) a (d − a )  4π ε 0‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫ג‪ .‬את הקיבול נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪−‬‬
‫) ‪b a (d − b ) (d − a‬‬
‫=‬
‫‪−q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− − ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  (d − b ) (d − a ) b a ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫=‬
‫‪∆ϕ‬‬
‫=‪C‬‬
‫עבור המקרה בו מתקיים ‪: d >> a, b‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫=‬
‫‪1 1 1 1 1 1 2‬‬
‫‪+ − −‬‬
‫‪− −‬‬
‫‪b a d d b a d‬‬
‫שאלה ‪:4.14‬‬
‫≈‪C‬‬
‫שאלה ‪:4.15‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪⋅y‬‬
‫‪d‬‬
‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬
‫‪ε (y ) = ε 1 +‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y=d‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪L‬‬
‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬
‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬
‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ y ⋅ ε0A‬‬
‫‪ ε1 + 2‬‬
‫‪ε 0 εA ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫=‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ε − ε 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪1  d‬‬
‫‪‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫‪⋅ ln ε 1 + 2‬‬
‫= ‪⋅ y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε 2 − ε1 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪dC 0 ‬‬
‫‪ε 0 A  ε 2 − ε1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪⋅ y ⋅ ε0A‬‬
‫‪ ε1 +‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫= ‪⋅ d  − ln (ε 1 )‬‬
‫‪ln ε 1 + 2‬‬
‫= ]) ‪[ln(ε 2 ) − ln(ε 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε 0 A(ε 2 − ε 1 )  ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ε 0 A(ε 2 − ε 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ε 0 A(ε 2 − ε 1 )  ε 1‬‬
‫=‬
‫התשובה הסופית‪:‬‬
‫) ‪ε 0 A(ε 2 − ε 1‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪d ⋅ ln 2 ‬‬
‫‪ ε1 ‬‬
‫=‪C‬‬
‫ב‪ .‬מטען על לוחות הקבל‪:‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫) ‪ε 0 A(ε 2 − ε 1‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪d ⋅ ln 2 ‬‬
‫‪ ε1 ‬‬
‫= ‪q = C⋅V‬‬
‫ג‪ .‬חישוב השדה החשמלי ע"י חוק גאוס‪ :‬יוצרים מעטפת גאוס קובייתית שפאה אחת נמצאת בתוך הקבל‬
‫ופאה שנייה נמצאת מחוץ לקבל )להזכירכם‪ ,‬השדה מחוץ לקבל שווה לאפס(‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪q‬‬
‫‪ε 0ε‬‬
‫= ‪E⋅A‬‬
‫‪(ε 2 − ε 1 )V0‬‬
‫) ‪ε A(ε 2 − ε 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0‬‬
‫⋅ ‪⋅ V0‬‬
‫=‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪ε 0εA‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪ε 0 A ⋅ ε 1 + 2‬‬
‫‪⋅ y  d ⋅ ln 2  ⋅ ε 1 + 2‬‬
‫‪d ⋅ ln 2 ‬‬
‫‪⋅ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε1 ‬‬
‫‪ ε1  ‬‬
‫=‪E‬‬
‫ד‪ .‬אותו תרגיל עם חומר דיאלקטרי אחר‪:‬‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪⋅x‬‬
‫‪L‬‬
‫מחלקים לאלמנטים מאונכים‪ ,‬כך שהם מחוברים במקביל‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫נניח ששטח הלוחות‪A = b ⋅ L :‬‬
‫‪x=L‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪ε (x ) = ε 1 +‬‬
:‫השטח הוא שהופך להיות דיפרנציאלי עבור כל אלמנט‬
ε − ε1 

⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx
 ε1 + 2
ε 0 ε ⋅ dA 
L

dC =
=
d
d
:‫ נמצא את השקול ע"י סכימה רגילה של האלמנטים‬,‫ומכיוון שכל האלמנטים מחוברים במקביל‬
ε − ε1 

⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx
 ε1 + 2
ε ⋅b L
ε − ε1 
L


= 0 ∫  ε1 + 2
⋅ x  ⋅ dx =
C = ∫ dC = ∫
d
d
L


0
0
L
L
ε ⋅b 
ε ⋅b 
ε − ε1 2 
ε − ε1 2  ε 0 ⋅ b 
ε − ε1 
= 0 ε 1 x + 2
⋅ x  = 0 ε 1 L + 2
⋅L  =
ε1L + 2
⋅ L =

d 
2L
d 
2L
d 
2
0


ε ⋅A
(ε 2 + ε 1 )
= 0
2d
‫שאלה ‪4.16‬‬
‫קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס ‪ a‬הנתון בתוך חללו‬
‫‪b‬‬
‫של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ‪) b‬ראו שרטוט(‪ .‬התווך בין הגלילים הינו‬
‫‪a‬‬
‫ריק‪ .‬אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא ‪ V‬ופוטנציאל המוליך‬
‫‪L‬‬
‫הפנימי הוא אפס‪ ,‬חשבו את‪:‬‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל אחד‬
‫ממוליכי הקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחק ‪ r‬מציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬את קיבול הקבל ליחידת אורך‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול‪ .‬את השדה‬
‫החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ג‪ .‬נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי‪ ,‬השדה בתווך שבין הגלילים הוא )חוק גאוס(‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫'‪σ ⋅ 2 π aL' qL‬‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε 0L‬‬
‫= '‪⇒ E ⋅ 2 π rL‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2 π aL‬‬
‫=‪σ‬‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r r‬‬
‫∫ ‪∆V = − ∫ E ⋅ d r = −‬‬
‫‪qdr‬‬
‫‪-q‬‬
‫‪[ln(r )]ab = q ⋅ ln b ‬‬
‫=‬
‫‪ε L ⋅ 2 π r ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b 0‬‬
‫הקיבול ליחידת אורך‪:‬‬
‫‪C 2 πε 0‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫⇒‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪⋅ ln ‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪q‬‬
‫= = ‪⋅V ⇒ λ‬‬
‫‪⋅V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪q = C ⋅ ∆V‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי )נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה(‪:‬‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪=−‬‬
‫⋅‪⋅V‬‬
‫=‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪ln  ⋅ r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪E‬‬
‫שאלה ‪) 4.17‬לא ברשימה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל )ללא חומר דאלקטרי(‪:‬‬
‫השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי‪ , + Q ,‬על אחת הקליפות‪ ,‬ומטען שלילי‪ , − Q ,‬על הקליפה‬
‫‪Q‬‬
‫השנייה‪ .‬לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה‪:‬‬
‫‪∆V‬‬
‫= ‪ , C‬כדי לקבל את‬
‫הקיבול‪ .‬שימו לב‪ ,‬שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען‪.‬‬
‫נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ - kQ ‬‬
‫‪ kQ ‬‬
‫‪ kQ kQ  kQ kQ‬‬
‫‪b−a ‬‬
‫‪∆V = -∫  2 dr = −   = − ‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪= kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪a  a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫והקיבול הוא‪:‬‬
‫‪4 π ε 0 ab‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ab‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪ b − a  k (b - a ) (b - a‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫נתון מקדם דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪ε(r ) = B ⋅ r‬‬
‫נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים )העובי דיפרנציאלי(‪ .‬הקיבול של אלמנט‪:‬‬
‫‪b - a = dr‬‬
‫‪ab = r 2‬‬
‫‪4 πε 0 ε (r )r 2 4 π ε 0 Br 3‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫=‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫האלמנטים מחוברים בטור‪ ,‬ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1  1 ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 2 − b2‬‬
‫∫ = ‪= ∫ dC‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4 π ε 0 B  2r 2  a‬‬
‫‪8 πε 0 B  b 2 a 2 ‬‬
‫‪8π ε 0 B a 2 b 2‬‬
‫‪a 4 π ε 0 Br‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫‪8π ε 0 Ba 2 b 2‬‬
‫=‬
‫‪8πε 0 Ba 2 b 2‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫ב‪ .‬כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות‪ ,‬נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק‬
‫בשטח‪:‬‬
‫‪8π ε 0 Ba 2 b 2‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫‪2ε 0 Ba 2‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪σb‬‬
‫=‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪4πb 2 b 2 − a 2‬‬
‫= ‪Q = C ⋅ ∆V‬‬
‫‪2ε 0 Bb 2‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪4πa 2‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני‪ ,‬והמטען השלילי על הלוח הפנימי‪.‬‬
‫‪σa = −‬‬
‫שאלה ‪:4.18‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי‪:‬‬
‫‪C 2πε 0‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי‪ ,‬והשני בלי חומר דיאלקטרי‪.‬‬
‫האלמנטים מחוברים בטור‪:‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫=‬
‫) ‪ 10R  ln (2‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5R ‬‬
‫‪2 πε 0 ε r‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪C2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪ 5R ‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R ‬‬
‫)‪ε ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪ln (2‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪= r‬‬
‫‪C C1 C 2 2 π ε 0 2 π ε 0 ε r‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪C1‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪ln (2 ) +‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪L ε r ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬
‫שאלה ‪) 4.19‬לא ברשימה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪z+d‬‬
‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z=d‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪z=0‬‬
‫= ) ‪ε (z‬‬
‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬
‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬
‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪ε 0 εA ε 0 A 2d‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪dz‬‬
‫‪dz z + d‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z + d )dz‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3d‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫= ‪⋅  + d ⋅ z‬‬
‫= ‪⋅  + d2 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪dC 0 2ε 0 Ad‬‬
‫‪2ε 0 Ad  2‬‬
‫‪ 0 2ε 0 Ad  2‬‬
‫‪ 4ε 0 A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2ε 0 A‬‬
‫‪3d‬‬
‫=‪C‬‬
‫ב‪ .‬צפיפות מטען‪:‬‬
‫‪4ε 0 A‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪3d‬‬
‫= ‪q = C ⋅ V0‬‬
‫‪q 4ε 0‬‬
‫=‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪A 3d‬‬
‫=‪σ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪ .‬האנרגיה האגורה בקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 4ε A‬‬
‫‪q ⋅ V0 = ⋅ 0 ⋅ V02‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3d‬‬
‫= ‪UC‬‬
‫שאלה ‪:4.20‬‬
‫בקבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא ‪ a‬ורדיוסו החיצוני הוא ‪ , b‬כמתואר באיור‪,‬נפח הקבל ממולא‬
‫בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי משתנה עם המרחק ממרכז המערכת לפי הקשר‬
‫‪ε2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪, ε r (r ) = ε 1 +‬‬
‫כאשר ‪ ε 1‬ו ‪ ε 2‬הם קבועים חיובים‪ .‬ידוע כי לקליפה הפנימית נטען מטען ‪ Q‬ואילו לקלפיה החיצונית‬
‫נטען מטען ‪ . − Q‬נתונים‪. k , Q , ε 1 , ε 2 :‬‬
‫א‪ .‬חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק ‪ r‬ממרכז המערכת ‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין מוליכי הקבל‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את קיבול הקבל הכדורי‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪dx‬‬
‫‪arctan α ⋅ x‬‬
‫=‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪∫αx‬‬
‫‪εr‬‬
‫פתרון‪ :‬אפשר לפתור את הסעיפים לפי הסדר‪ ,‬אני מעדיף לחשב קיבול לפני הפרש מתחים‪.‬‬
‫א‪ .‬השדה החשמלי‪:‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  ε 1 + 22 ‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫= ˆ‪r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪4π ε 0 ε r‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪E‬‬
‫ג‪ .‬חשוב הקיבול יתבצע ע"י פירוק לקליפות כדוריות בעלות עובי דיפרנציאלי‪ ,‬האלמנטים מחוברים‬
‫בטור‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  1 r 2 + 1‬‬
‫‪ ε 1 + 22 ε 0 4π r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 ε 1 r + ε 2‬‬
‫‪ε ε A‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dC = r 0 = ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫∫⋅‬
‫=‬
‫‪C‬‬
‫‪dC a‬‬
‫‪ ε1 2‬‬
‫‪ 4π ε 0 ε 2 a  ε 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r + 1‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  r + 1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬
‫=‬
‫= ‪⋅  2 ⋅ arctan 1 ⋅ r ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  ε 1‬‬
‫‪ 2  a 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4π ε 0 ε 1ε 2‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫ב‪ .‬את הפרש המתחים נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan 1 ⋅ a ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪C 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫שאלה ‪:5.6‬‬
‫שאלה ‪) 5.7‬לא ברשימה(‬
‫ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית‪ , ρ ,‬של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים‪ .‬מוט העשוי חומר‬
‫חצי מוליך מונח לאורך ציר ה‪ x -‬בין ‪ x = 0‬ל‪ . x = L -‬כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט‬
‫לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר ‪ . ρ ( x ) = ρ 0 e − x L‬קצה המוט הנמצא בנקודה ‪x = 0‬‬
‫נמצא בפוטנציאל הגבוה ב ‪ V0‬מהקצה הנמצא ב ‪ . x = L‬נתון כי שטח החתך של המוט הוא ‪. A‬‬
‫א‪ .‬חשבו את התנגדותו של המוט‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק ‪ x‬הנמדד מקצהו השמאלי של המוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הפוטנציאל במוט ) ‪ V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של ) ‪ ρ ( x ) , E ( x ) , V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך ‪ A‬ואורך דיפרנציאלי ‪ . dx‬התנגדות התיל‪:‬‬
‫‪ρ = ρ0 e − x L‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪ρ0 L‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫‪A‬‬
‫]‬
‫‪L‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪ρdL ρ0 e − x L dx‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪−x L‬‬
‫‪ρ e dx ρ0 L x L‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪R = ∫ dR = ∫ 0‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪− Le − x L‬‬
‫∫‬
‫‪A‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪ .‬נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של ‪ x‬יחסית לנקודה בה נכנס הזרם‪.‬‬
‫את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של ‪ x‬נמצא ע"י חוק אוהם‪:‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪V0 A‬‬
‫‪V‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪R ρ0 L‬‬
‫‪ρ0 L 1 − e −1‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ρ x‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪R( x ) = 0 ∫ e − x L dx = 0 − L ⋅ e − x L‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪A‬‬
‫]‬
‫)‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ρ0 L‬‬
‫‪1 − e −x L‬‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫]‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫(‬
‫[‬
‫[‬
‫‪V0 A‬‬
‫‪ρ L‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪⋅ 0 1 − e − x L = V0 −‬‬
‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ρ0 L 1 − e‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫]‬
‫]‬
‫=‪I‬‬
‫[‬
‫‪V ( x ) = V0 − I ⋅ R( x ) = V0 −‬‬
‫ב‪ .‬שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל‪:‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫= ‪ ⋅ i‬‬
‫‪−x L‬‬
‫‪) ⋅ iˆ = (1 −Ve )  L1 ⋅ e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪∂ ‬‬
‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬
‫‪E = −∇ ⋅ V = − V0 −‬‬
‫‪∂x ‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫ˆ ‪V ⋅ e−x L‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪L 1 − e −1‬‬
‫()‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫שאלה ‪:5.8‬‬
‫מוליך שהתנגדותו הסגולית ‪ ρ‬עוצב לצורה של חרוט קטום שהמרחק בין בסיסיו‬
‫‪b‬‬
‫‪ , L‬כמתואר באיור שמשמאל‪ .‬רדיוס בסיסי החרוט הם ‪ a‬ו‪ . b -‬תוכלו להניח כי‬
‫‪a‬‬
‫הזרם דרך כל שטח חתך מעגלי של החוט הקטום הוא זהה‪ .‬חשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את התנגדות הנגד בין בסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי כפונקציה של המרחק מהבסיס הגדול של החרוט‪ ,‬כאשר‬
‫הפרש הפוטנציאלים בין בסיסי החרוט הוא ‪. ∆V‬‬
‫‪l‬‬
‫ג‪ .‬הראו כי עבור ‪ a = b‬תצטמצם תשובתכם לנוסחה‬
‫‪S‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.R = ρ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי ‪: dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b−a‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫=‪, r‬‬
‫‪x + a ⇒ S = π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dL = dx , S = π ⋅ r‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪dL‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪ρ  L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪‬‬
‫∫ = ‪R = ∫ dR‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρ L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  ρ  L   1 1  ρ  L  b − a  ρL‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪− = ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −‬‬
‫‪‬‬
‫=‪‬‬
‫‪π  b-a    (b − a )L‬‬
‫‪ a  π  b-a   a b  π  b-a  ab  πab‬‬
‫‪+ a‬‬
‫‪  L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬נמצא הזרם דרך הנגד )ע"י חוק אוהם(‪:‬‬
‫‪∆V πab ⋅ ∆V‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪ρL‬‬
‫=‪I‬‬
‫נחשב את ההתנגדות עד לנקודה מסוימת בנגד בתלות ב‪) x -‬זו ההתנגדות יחסית לנקודה בה נכנס הזרם(‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪ρ  L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ρL‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∫ = ) ‪R(x‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬
‫‪π (b − a )  a (b − a )x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+ a ‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
:‫וע"י חוק אוהם נוכל לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו‬


1

πab ⋅ ∆V
ρL
1
=
V ( x ) = ∆V − I ⋅ R( x ) = ∆V −
⋅
⋅ −
ρL
π (b − a )  a (b − a )x
+ a 


L




ab ⋅ ∆V  1
1

= ∆V −
⋅ −
(b − a )  a (b − a )x + a 
L


:‫את השדה החשמלי נמצא ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל‬

r
r
∂ 
ab ⋅ ∆V
E = −∇ ⋅ V = − ∆V −
∂x 
(b − a )




1
1
 ⋅ iˆ =
⋅ −
 a (b − a )x + a 


L


ab ⋅ ∆V
1
1
(b − a ) ⋅ iˆ = ab ⋅ ∆V ⋅
=
⋅
⋅
⋅ iˆ
2
2
(b − a )  (b − a )x 
L
L
 (b − a )x

+ a
+ a


 L

 L

: a = b ‫ נבדוק את הגבול המתבקש‬.‫ג‬
R=
ρL
ρL ρL
= 2 =
πab πa
S
‫שאלה ‪ :5.9‬חסר שרטוט!!!‬
‫מדיסקה חלולה שעובייה ‪ w‬ורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ a‬ו‪ , b -‬מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה‬
‫החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה )ראו איור משמאל(‪ .‬מוליכותה הסגולית של‬
‫הדיסקה ‪ . σ‬מחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים ‪. V0‬‬
‫תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים‪ .‬חשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את התנגדות הנגד‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬את וקטור צפיפות הזרם ‪. j‬‬
‫ג‪ .‬את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית ‪ φ‬בהנחה כי הפוטנציאל החשמלי‬
‫בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס‪ .‬קחו את ‪ φ‬להיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים )רדיוס ‪ , r‬עובי ‪ ( dr‬בעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי‬
‫מעגל‪ .‬האלמנטים מחוברים במקביל‪:‬‬
‫‪L =π r , dS = w ⋅ dr‬‬
‫‪L‬‬
‫‪πr‬‬
‫=‬
‫‪σ dS σ w ⋅ dr‬‬
‫⋅‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫‪σ w ⋅ dr σ w  b ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫⇒ ‪⋅ ln ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dR a π r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫ב‪ .‬מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם‪ .‬את הזרם‬
‫על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪dI ˆ V0σ‬‬
‫= ) ‪j (r‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫‪⋅φ‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪dS‬‬
‫ˆ ‪V0 ˆ V0σ w ⋅ dr‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫⇒ ‪⋅φ‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪dR‬‬
‫= ‪⇒ dI‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪σ w ⋅ dr‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪I= 0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪π‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת‪:‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫‪V0 ⋅ φ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= V0 −‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪π‬‬
‫= ) ‪R(φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬
‫⋅‪a‬‬
‫‪V (φ ) = V0 − I ⋅ R(φ ) = V0 −‬‬
‫‪π‬‬
‫שאלה ‪:5.11‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫שאלה ‪:6.21‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫שאלה ‪:7.12‬‬
‫שאלה ‪:7.16‬‬
‫שאלה ‪) 7.17‬לא ברשימה(‬
‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ x‬לתוך הדף! נניח שבמוליך הפנימי הזרם פנימה ובחיצוני החוצה‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫בסימטריה המתקיימת במוליך גלילי אינסופי‪ ,‬ניתן להשתמש בחוק אמפר‪ . ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in :‬לסימטריה‬
‫כזאת יוצרים לולאת אמפר מעגלית ברדיוס ‪ , r‬שמרכזה נמצא על ציר הסימטריה המרכזי‪ .‬הצד הימני של‬
‫חוק אמפר מתאים לכל רדיוס שנבחר )אינו תלוי באזורים השונים של השדה המגנטי אלא רק בסימטריה(‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬
‫כדי למצוא את השדה באזורים השונים נשנה את רדיוס הלולאה כך שבכל פעם הא תהיה באזור אחר‪,‬‬
‫ונחשב בכל אזור את כמות הזרם העוברת דרך הלולאה‪:‬‬
‫) ‪(r > R3‬‬
‫‪⇒ µ 0 I in = I − I = 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫⇒ ‪∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ B ⋅ 2π r = 0‬‬
‫‪B (r > R3 ) = 0‬‬
‫‪ R32 − r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ R3 − R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ I  R −r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪B (R2 < r < R3 ) = 0 ⋅  23‬‬
‫‪2π r  R3 − R22 ‬‬
‫‪µ 0 I in = µ 0 I − µ 0 j 2π (r 2 − R22 ) = µ 0 I ‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪2π r‬‬
‫‪‬‬
‫⇒ ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R12‬‬
‫‪µ0 I r‬‬
‫‪2π R12‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ R2 − r 2‬‬
‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 I  23‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ R3 − R 2‬‬
‫‪µ 0 I in = µ 0 I‬‬
‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬
‫‪µ0 I r 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π R3 − R22‬‬
‫⇒‬
‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 I‬‬
‫= ‪µ 0 I in = µ 0 j1 ⋅ π r 2‬‬
‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬
‫= ‪j2‬‬
‫⇒‬
‫‪µ0 I r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪π R12‬‬
‫= ‪B ⋅ 2π r‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫= ‪j2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪( R 2 < r < R3‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∫ B ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫) ‪(R1 < r < R2‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r < R1‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫שאלה ‪) 7.18‬לא ברשימה(‬
‫צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו ‪ R‬נושא זרם ‪ i0‬המפולג בצורה אחידה‪ .‬כיוון הזרם‬
‫בצינור הוא אל תוך הדף‪ .‬במרחק ‪ 3 R‬ממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי ‪ i‬במקביל לציר‬
‫הצינור ובאותו כיוון )ראה איור(‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ 2 R‬ממרכז הצינור‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות היחס בין הזרמים ‪ i‬ו‪ i0 -‬על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה‬
‫‪ P‬תהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה?‬
‫‪i‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ z‬מעלה‪.‬‬
‫א‪ .‬השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו‪ ,‬ניתן להסביר זאת ע"י‬
‫חוק אמפר‪:‬‬
‫‪B1 (r < R ) = 0‬‬
‫⇒ ‪B1 ⋅ 2π r = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0 in‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = µ‬‬
‫⇒ ‪µ 0 I in = 0‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק ‪ 3R‬מהתיל‪:‬‬
‫‪µ 0i‬‬
‫‪µi‬‬
‫ˆ‪⋅ kˆ = − 0 ⋅ k‬‬
‫) ‪2π (3 R‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪BA = −‬‬
‫ב‪ .‬כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי‪ ,‬נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪µ 0 i0 ˆ µ 0 i0‬‬
‫‪µi‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪,‬‬
‫ˆ‪B2 (r = R ) = − 0 ⋅ k‬‬
‫) ‪2π (2 R‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫ˆ ) ‪µ (i − 2i‬‬
‫‪B P = B1 + B2 = 0 0 ⋅ kˆ − 0 ⋅ kˆ = 0 0‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪B1 (r = 2 R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µi‬‬
‫ג‪ .‬נדרוש‪ , B P = − B A = 0 ⋅ kˆ :‬נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם‪: i ,‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪3i0 = 8i‬‬
‫⇒‬
‫‪⇒ 3i0 − 6i = 2i‬‬
‫‪i0 − 2i i‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ˆ ‪µ 0 (i0 − 2i ) ˆ µ 0 i‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫⇒ ‪⋅k‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪i 3‬‬
‫=‬
‫‪i0 8‬‬
‫שאלה ‪:7.19‬‬
‫שאלה ‪:7.20‬‬
‫שאלה ‪:7.23‬‬
‫‪y‬‬
‫במוליך גלילי ארוך שרדיוסו ‪ a‬נקדחו שני חללים לאורך ציר‬
‫‪Q‬‬
‫הסימטריה כולו‪ ,‬שקוטרם ‪ , a‬כמתואר באיור משמאל‪.‬‬
‫המוליך נושא זרם ‪ I‬בניצב למישור האיור ובמגמה החוצה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ x -‬במרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬
‫‪a 2‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ Q‬הנמצאת על ציר‬
‫ה‪ y -‬ובמרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫הדרכה‪ :‬התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים‬
‫זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬ציר ‪ z‬לתוך הדף!‬
‫נמספר את ה"גופים"‪:‬‬
‫‪ .1‬גליל מלא רדיוס ‪ a‬שהזרם בו החוצה מהדף‪.‬‬
‫‪ .2‬הגליל החלול העליון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬
‫‪ .3‬הגליל החלול התחתון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬
‫כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית‪.‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות הזרם במוליך‪ ,‬ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים"‪:‬‬
‫ˆ ‪2I‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪π a2‬‬
‫) ‪(in‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π  a 2 −‬‬
‫‪(out ) ,‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π  a 2 − 2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪⋅π  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πa‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫= ‪I2 = I3 = − j ⋅ S2‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪I‬‬
‫‪r‬‬
‫‪j =−‬‬
‫‪2I‬‬
‫‪⋅ π a 2 = 2I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πa‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪I 1 = j ⋅ S1‬‬
‫נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" )כמו תילים אינסופיים( בנקודה ‪ P‬ונחבר וקטורית‬
‫)הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים‪ ,‬של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים(‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
r
µ I
µ I
B1 = 0 1 ⋅ ˆj = 0 ⋅ ˆj
πr
2π r




r
µ0 I 2
µ
I
a
r


0
B2 =
⋅ − cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj =
⋅−
⋅ iˆ −
⋅ ˆj  =
2
2
2
2
a
a 
a
a
2

2π r 2 +
4π r 2 +
r2 +
 2 r +

4
4 
4
4

µ0 I
µ0 I
 a

 a

=
⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 
2
2
2

a   2
 π 4r + a  2

4π  r 2 + 
4 

(
)
(
)




r
µ0 I 3
µ
I
a
r


0
B3 =
⋅ cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj =
⋅
⋅ iˆ −
⋅ ˆj  =
2
2
2
2
a
a 
a
a
2

2π r 2 +
4π r 2 +
r2 +
2 r +

4
4 
4
4

µ0 I
µ0 I
a

a

⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 
=
2
2
2

a  2
 π 4r + a  2

4π  r 2 + 
4 

r
r r
r
µ I
µ0 I
µ0 I
 a

a

⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  +
⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
BP = B1 + B2 + B3 = 0 ⋅ ˆj +
2
2
2
2
πr
π 4r + a  2
 π 4r + a  2

(
)
(
(
)
)
(
)
=
µ0 I 
2r 2  ˆ µ 0 I 
2 r 2  ˆ µ 0 I  4r 2 + a 2 − 2r 2  ˆ
1 − 2


⋅ j =

⋅ j =
⋅
j
=
1
−
π r  4r + a 2 
π r  4r 2 + a 2 
π r  4r 2 + a 2 
=
µ 0 I  2r 2 + a 2  ˆ

⋅ j
π r  4r 2 + a 2 
:(‫ מכיוון שאין זוויות‬,‫ )היא יותר פשוטה‬Q ‫ באותו אופן לנקודה‬.‫ב‬
r
µ I
µ I
B1 = − 0 1 ⋅ iˆ = − 0 ⋅ iˆ
2π r
πr
r
B3 =
µ0 I 3
a

2π  r + 
2

⋅ iˆ =
r
B2 =
,
µ0 I
a

4π  r + 
2

µ0 I 2
a

2π  r − 
2

⋅ iˆ =
µ0 I
a

4π  r − 
2

⋅ iˆ
⋅ iˆ




r
r
r
r
I
I
µ0 I ˆ
µ0 I
µ
µ
r
r

 ⋅ iˆ =
0
0
B P = B1 + B2 + B3 = −
⋅i +
⋅ iˆ +
⋅ iˆ =
−1 +
+

a
a
r
πr
π




a
a
4 r −  4 r +  

4π r −
4π r +
2
2
2
2




µ I
= 0 
πr 


ar
ar 
+ r2 − 
2
2
2
2  ⋅ iˆ = µ 0 I  − 2r − a
π r  4r 2 − a 2
4r 2 − a 2



− 4r 2 − a 2 + r 2 +
 ˆ
 ⋅ i

:7.24 ‫שאלה‬
‫שאלה ‪:7.25‬‬
‫תיל ישר באורך ‪ l‬הנושא זרם ‪ I‬במגמה המתוארת באיור‪ ,‬מונח לאורך ציר ה‪ . y -‬עובי התיל זניח‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר ה‪ z -‬ובגובה ‪ z‬מעליו‪ .‬מרחקי האנך מן‬
‫הנקודה ‪ P‬לתיל‪ ,‬אל קצות התיל הם ‪. l 2 , l 1‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אמצע החוט‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אחד מקצות המוט‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ד‪ .‬למה תצטמצם תוצאתכם לסעיף ב' עבור ‪? l >> z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪l1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה‬
‫‪z‬‬
‫‪:P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪z‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y +z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⋅ ˆj +‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪, r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y +z‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ˆ ‬‬
‫⋅‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y + z 2 ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪− l1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y + z2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⋅ dy ⋅ ˆj × ‬‬
‫‪⋅ ˆj +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y +z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪r µ 0 I ⋅ d l × r‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π r‬‬
‫‪4π y + z 2‬‬
‫(‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ 0 I ⋅ z ⋅ dy‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪4π y + z‬‬
‫=‬
‫כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל‪:‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −l1‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כיוון ציר ‪ x‬הוא כלפי חוץ‪.‬‬
‫‪µ 0 I ⋅ z ‬‬
‫‪y‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪4π  z 2 y 2 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪ ⋅ iˆ = µ 0 I  l 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬
‫‪l 12 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r µ0 I ⋅ z l2‬‬
‫‪dy‬‬
‫= ‪B = ∫ dB‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪4π −l1 y + z 2‬‬
‫(‬
‫‪µ 0 I  l 2‬‬
‫‪− l1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬
‫‪l 12 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪l‬‬
‫ב‪ .‬ניקח את קצות המוט להיות במרחק שווה מראשית הצירים‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ . l 1 = l 2‬נציב בביטוי‬
‫שקיבלנו בסעיף א'‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r µ0 I ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪ 2 l + z2 2 l + z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נזיז את ראשית הצירים לקצה השמאלי של המוט‪ ,‬כלומר‪ . l 2 = l , l 1 = 0 :‬נציב בביטוי שקיבלנו‬
‫בסעיף א'‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪z‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪r µ I‬‬
‫‪l‬‬
‫‪B = 0 ‬‬
‫‪4π z  l 2 + z 2‬‬
‫ד‪ .‬עבור ‪: l >> z‬‬
‫ˆ ‪µ0 I ⋅ l ˆ µ0 I‬‬
‫=‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2π z‬‬
‫⋅ ‪4π z‬‬
‫‪2‬‬
‫שדה מגנטי של תיל אינסופי!‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π z‬‬
‫≈ ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪B‬‬
‫שאלה ‪) 7.26‬לא ברשימה(‬
‫‪I‬‬
‫הראו כי גודל השדה המגנטי במרכזה של לולאה מלבנית )נק' ‪ ( P‬שאורכה ‪l‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ l 2 + w 2‬‬
‫ורוחבה ‪ w‬הנושאת זרם ‪ I‬שווה ל‪:‬‬
‫‪π lw‬‬
‫‪w‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ . B‬למה תצטמצם‬
‫תוצאתכם בגבול ‪? l >> w‬‬
‫‪l‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תחילה יש למצוא את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי בנקודה הנמצאת בניצב למרכזו )באותו אופן כמו‬
‫בתרגיל ‪ 7.25‬סעיף ב'(‪ .‬נציב בביטוי של השדה המגנטי את הנתונים המתאימים לשאלה זו‪ .‬הצלע‬
‫העליונה ותחתונה יצורות את אותו שדה מגנטי והצלע הימנית והשמאלית יוצרות את אותו שדה מגנטי‪ .‬כל‬
‫ארבעת השדות באותו כיוון )כלפי חוץ(‪ .‬שדה מגנטי של צלע תחתונה )ששווה לזה של העליונה(‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪w l‬‬
‫‪w‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 4 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪w‬‬
‫=‪⇒ B‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪z‬‬
‫שדה מגנטי של צלע ימנית )ששווה לזה של השמאלית(‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l w‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪⇒ B‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪z‬‬
‫‪l=w ,‬‬
‫השדה המגנטי הכולל במרכז המלבן‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪B = BUp + BDown + BRight + BLeft‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫=‬
‫‪2µ 0 I‬‬
‫=‬
‫‪π w l 2 + w2‬‬
‫‪π w l 2 + w2‬‬
‫‪π l w2 + l 2‬‬
‫‪π l w2 + l 2‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ l‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ w‬‬
‫‪2µ 0 I‬‬
‫ˆ ‪ l w‬‬
‫=‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫= ‪ + ⋅i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪π w +l w l ‬‬
‫ˆ ‪ l 2 + w 2  ˆ 2µ 0 I w 2 + l 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ ⋅ i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪π w 2 + l 2  wl ‬‬
‫בגבול ‪: l >> w‬‬
‫‪r 2µ I w 2 + l 2‬‬
‫ˆ ‪2µ I l 2 ˆ 2µ 0 I‬‬
‫‪B= 0‬‬
‫‪⋅ iˆ ≈ 0‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪πw‬‬
‫‪w‬‬
‫זהו שדה מגנטי בנקודה הנמצאת בדיוק במרכז בין שני תילים אינסופיים )כאשר המרחק מכל תיל‬
‫‪2‬‬
‫(‪.‬‬
‫שאלה ‪) 7.28‬לא ברשימה(‬
‫תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו ‪ . R‬ידוע כי התיל נושא‬
‫זרם ‪. I‬‬
‫‪µ 0 In‬‬
‫א‪ .‬הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ) ‪tan (π n‬‬
‫‪2π R‬‬
‫= ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי בגבול ∞ → ‪ n‬גודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי‬
‫במרכזה של לולאה מעגלית‪.‬‬
‫פתרון‪) :‬כללי‪ ,‬לאו דווקא למשושה(‬
‫א‪ .‬נוסחה לחישוב הזווית‪ , θ ,‬שהגדרתי בשרטוט המצולע‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪⇒ θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪θ R‬‬
‫‪2θ n = 2π‬‬
‫כאשר‪ ,‬במקרה של המצולע‪:‬‬
‫‪z = R ⋅ cosθ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪l = 2 R ⋅ sinθ‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך ‪ l‬בנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל‪ ,‬במרחק ‪ z‬ממרכז התיל‪:‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4π z‬‬
‫נציב בביטוי של השדה המגנטי‪ ,‬ונכפול ב‪ n -‬צלעות‪ ,‬כדי לקבל את השדה במרכז המצולע )שימו‪0‬לב‬
‫שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון‪ ,‬לתוך הדף‪ ,‬ולכן נתין לחבר באופן פשוט(‪:‬‬
‫=‬
‫‪µ 0 In ⋅ tanθ‬‬
‫‪4π ⋅ R ⋅ sin 2 θ + R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪n ⋅ µ 0 I ⋅ R ⋅ sinθ‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4 R ⋅ sin θ‬‬
‫⋅ ‪4π R ⋅ cosθ‬‬
‫‪+ R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪µ In ⋅ tanθ µ 0 In‬‬
‫‪= 0‬‬
‫=‬
‫) ‪tan (π n‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בזהות‪θ << 1 ⇒ tanθ ≈ θ :‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π  π‬‬
‫≈ ‪→ 0 ⇒ tan  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪µ In π µ In‬‬
‫‪µ In‬‬
‫‪B = 0 tan (π n ) ≈ 0 ⋅ = 0‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪2π R n‬‬
‫‪2R‬‬
‫הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית‪.‬‬
‫שאלה ‪ , :7.30‬שאלה ‪:7.35‬‬
‫⇒ ∞→‪n‬‬
‫שאלה ‪) :7.41‬לא ברשימה(‬
‫טבעת שרדיוסה ‪ R‬העשויה מחומר מבודד טעונה במטען כללי ‪ Q‬המפולג לאורכה בצורה אחידה‪.‬‬
‫הטבעת סובבת במהירות זוויתית קבועה ‪ ω‬מסביב לציר הניצב למישורה ועובר במרכזה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת הסובבת בנקודה ‪ P‬הנמצאת על הציר בגובה ‪ z‬מעל‬
‫מישורה‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ב‪ .‬מה יקרה אם הטבעת תסתובב בכיוון הפוך?‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הזרם שיוצרת המטען בטבעת שנמצא בתנועה הוא )נסתכל על מחזור שלם של סיבוב(‪:‬‬
‫‪∆Q Q Qω‬‬
‫= =‬
‫‪∆t T‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪⇒ I‬‬
‫כעת נתייחס למצב שטבעת מעגלית שזורם בה הזרם שחישבנו‪ .‬מבט צד של המערכת‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dB‬‬
‫‪dL = R ⋅ d ϕ , r = z 2 + R 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪sinθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ I ⋅ dL‬‬
‫‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dB z = 0 2 ⋅ cosθ ⋅ kˆ = 0 2‬‬
‫⋅‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π r‬‬
‫‪4π z + R‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ ‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪32‬‬
‫‪4π z 2 + R 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫)‬
‫= ‪, cosθ‬‬
‫)‬
‫‪ω‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪2π‬‬
‫=‪T‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫•‬
‫ישנן שתי זוויות‪ , θ :‬שהיא זווית קבועה‪ .‬ו‪ ϕ -‬שהיא זווית שמשתנה לפי מיקום האלמנט‬
‫בטבעת‪.‬‬
‫•‬
‫לא רשמתנו את הרכיבים האופקיים של השדה המגנטי מכיוון שלאחר האינטגרל הם יתאפסו‬
‫)משיקולי סימטריה(‪.‬‬
‫נבצע את האינטגרל לפי הזווית על כל הטבעת‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2π‬‬
‫(‬
‫‪2 z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪⋅ kˆ ⋅ ∫ d ϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫(‬
‫‪4π z + R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪B = ∫ dB z‬‬
‫נציב את הביטוי לזרם שקיבלנו בהתחלה ונקבל את התשובה הסופית‪:‬‬
‫‪µ 0 R 2 Qω‬‬
‫ˆ ‪Qω‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪4π z 2 + R 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫⋅‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪µ0 R 2‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + R2‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + R2‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪B‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫שאלה ‪:8.14‬‬
‫שאלה ‪:8.16‬‬
‫שאלה ‪:8.21‬‬
‫שאלה ‪:8.25‬‬
‫שאלה ‪:8.29‬‬
‫שאלה ‪:8.31‬‬
‫שאלה ‪:8.39‬‬
‫שאלה ‪:8.42‬‬
‫שאלה ‪) 8.43‬לא ברשימה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השטף המגנטי‪:‬‬
‫‪r r d‬‬
‫‪αt 2 d 2‬‬
‫= ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS = ∫ αt 2 d ⋅ ydy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬הכא"מ המושרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = αd 2 t‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂Φ B‬‬
‫‪∂  αt 2 d 2‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t  2‬‬
‫=‪ε‬‬
‫ג‪ .‬הספק החום‪:‬‬
‫‪ε 2 α 2d 4 t 2‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪P‬‬
‫ד‪ .‬כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪α 2d 4 t 2‬‬
‫‪α 2d 4T 3‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪0‬‬
‫∫ = ‪U = ∫ Pdt‬‬

Similar documents