בחינה בקורס: מתמטיקה בדידה 1 - Or-Alfa

‫חלק א' – שאלות פתוחות‪:‬‬
‫(ניקוד‪ 27 :‬נקודות)‬
‫שאלה ‪( :1‬ניקוד‪ 2 16  32 :‬נקודות)‬
‫הוכיחו ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬המשפטים הבאים‪:‬‬
‫א‪  0,1 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ a, b ‬כלשהם‪.‬‬
‫ב‪ )1 .‬משפט (הבינום של ניוטון)‪ :‬יהיו‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪:  a  b      a k b nk     a nk bk‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ a, b,c ‬כלשהם‪.‬‬
‫‪ )2‬משפט (פיתוח מולטינומי)‪ :‬יהיו‬
‫‪n! i j k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. n  :  a  b  c   ‬‬
‫‪abc‬‬
‫!‪0i, j,k n i! j!k‬‬
‫‪i  j k  n‬‬
‫ג‪ .‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט כך ש‪0 :‬‬
‫‪, E  m‬‬
‫‪ . V  n ‬אם ‪, m  n 1‬‬
‫אז יש ב‪ G -‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪.‬‬
‫שאלה ‪( :2‬ניקוד‪) 4 10  40 :‬‬
‫ענו על ‪ 4‬מתוך ‪ 5‬הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי לכל מספר טבעי הצגה בינארית יחידה‪ ,‬כלומר –‬
‫הוכיחו כי לכל ‪ n ‬קיימת סדרה יחידה של מספרים שלמים אי‪-‬שליליים‪:‬‬
‫‪ , p1  p2  p3  ...  pk  0‬כך ש‪. n  2p1  2p2  2p3  ...  2pk :‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪( . a , b ~ c,   : a, b, c  , a  b‬יש להוכיח את תכונת‬
‫ההפיכות של כל אחת מהפונקציות בהן אתם עושים שימוש במהלך‬
‫ההוכחה‪).‬‬
‫ג‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לקבל את הסכום ‪ 18‬בסדרה של ‪ 4‬הטלות של‬
‫קוביית משחק ? נמקו‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהו מספר המחרוזות באורך ‪ ,n‬המורכבות מהתווים‪ ,o ,h ,w :‬אשר אין באף‬
‫אחת מהן שני תווי ‪ o‬רצופים ? נמקו‪( .‬הדרכה‪ :‬מצאו נוסחת נסיגה הפותרת‬
‫בעיה זו‪ ,‬נמקוה ופתרוה – הציגו נוסחא מפורשת עבורה‪).‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪ )1 .‬ברחוב מסוים יש ‪ 55‬בתים‪ .‬לכל בית מוקצה מספר בכתובת בין ‪1000‬‬
‫לבין ‪( 1099‬כולל)‪ .‬הוכיחו‪ ,‬תוך שימוש בעקרון שובך היונים‪ ,‬כי ישנם‬
‫לפחות שני בתים ברחוב שיש להם כתובות עם מספרים עוקבים‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ )2‬הוכיחו‪ ,‬משיקולים קומבינטוריים בלבד‪ ,‬כי‪.   k    n  2n 1 :‬‬
‫‪k 1   k  ‬‬
‫חלק ב' – שאלות סגורות‪:‬‬
‫(ניקוד‪ 7  4  28 :‬נקודות)‬
‫ענו על ‪ 7‬מתוך ‪ 9‬השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪ .3‬במלבן מעבירים ‪ n‬קוים‪ ,‬באופן שכל קו מחבר שתי צלעות שונות בו‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫כל קו (לבד מהראשון) חותך בדיוק קו אחד (מהקוים שכבר הועברו)‬
‫במלבן‪ .‬נסמן ב‪ f  n  -‬את מספר התחומים (המצולעים) הנוצרים ע"י ‪ n‬קוים‬
‫אלו‪ .‬נוסחת נסיגה ל‪ f  n  -‬היא‪_________________________________ :‬‬
‫____________________________________________________________‬
‫‪ .4‬נגדיר פונקציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , f :‬כך שלכל‬
‫(בסימול מתמטי‪: f  x   x   x :‬‬
‫‪ f  x  : x ‬הוא החלק השברי של ‪.x‬‬
‫‪ , x ‬למשל‪, f  2   0 , f  2.3  0.3 :‬‬
‫‪) f  2.3  0.7‬‬
‫חשבו‪:‬‬
‫א‪f  5.1,5.2   ____________________ .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫____________________ ‪f 1 0 ‬‬
‫____________________ ‪Im  f  ‬‬
‫‪ .5‬תהיינה‪ f : A  B , g : B  C :‬פונקציות‪ .‬ידוע כי ‪ f‬היא פונקציה על ‪ B‬וכי‬
‫‪ g f‬היא פונקצית שקילות‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬
‫(‪ f )2‬חח"ע‬
‫(‪ g )1‬חח"ע‬
‫(‪ )4‬כל התשובות הנ"ל נכונות‪.‬‬
‫(‪ f 1 g1 )3‬חח"ע‬
‫‪ .6‬תהי ‪ f : A  B‬פונקציה כלשהי‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬
‫(‪ )1‬אם ‪ A‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )2‬אם ‪ f‬חח"ע ו‪ B -‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )3‬אם ‪ f‬על ‪ B‬ו‪ B -‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )4‬אם ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬השלימו בכל סעיף מהבאים אחד (ורק אחד מהסימנים)‪.  ,  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ _____ 0,     0,   \ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0,    0,    ‬‬
‫ב‪ .‬עוצמת קבוצת כל היחסים (הבינאריים) מעל‬
‫_____‬
‫‪‬‬
‫‪P ‬‬
‫ג‪ .‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות האינסופיות שלא מופיע בהן‬
‫הרצף‪ _____ 51 :‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות הסופיות‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪_____ P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .8‬במישור ‪ n‬נקודות‪ m ,‬מהן על ישר אחד ואף ‪ 3‬מהשאר אינן על ישר‬
‫אחד‪ .‬מהו מספר המשולשים הנקבעים ע"י נקודות אלה ?‬
‫______________________________________________________‬
‫‪ .9‬מהו מספר הפתרונות השלמים של המשוואה‪:‬‬
‫‪ , x1  x 2  x3  x 4  x5  8‬המקיימים‪:‬‬
‫‪? 2  x1 , 7  x 2 ,  4  x3 , 0  x 4 ,  3  x5‬‬
‫_____________________________________________________‬
‫‪ .11‬מהו המספר המינימלי של צלעות בגרף פשוט וקשיר מסדר ‪ ,n‬אשר‬
‫קוטרו ‪_______________ ? 2‬‬
‫‪ .11‬מה מבין הבאים נכון בהכרח לגבי גרף מסדר ‪ 100‬שלכל קודקוד בו לפחות ‪50‬‬
‫שכנים ?‬
‫(‪ )1‬הגרף קשיר‪.‬‬
‫(‪ )2‬קיים בגרף מעגל (פשוט) באורך ‪.4‬‬
‫(‪ )3‬תשובות (‪ )1‬ו‪ )2( -‬נכונות‪.‬‬
‫(‪ )4‬אף תשובה מהנ"ל אינה נכונה‪.‬‬
‫‪3‬‬