תורת הקבוצות — תרגיל בית 10 פתרונות

‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪10‬‬
‫פתרונות‬
‫חיים שרגא רוזנר‬
‫כ"ח בסיון תשע"ד‬
‫תקציר‬
‫טופולוגיה קבוצתית של הישר הממשי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫טופולוגיה קבוצתית של הישר הממשי‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬קטע פתוח ב־‪ R‬הוא קבוצה }‪ ,(a, b) := {x ∈ R : a < x < b‬עבור ‪.a, b ∈ R‬‬
‫קבוצה פתוחה ב־‪ R‬היא איחוד של קבוצת קטעים פתוחים‪.‬‬
‫קבוצה סגורה ב־‪ R‬היא משלים של קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫נקודה מבודדת ‪ x‬בקבוצת ממשיים ‪ A‬היא איבר ‪ x ∈ A‬כך שקיימים ‪ a, b ∈ R‬כך‬
‫ש־}‪.A ∩ (a, b) = {x‬‬
‫נקודת הצטברות או נקודת גבול של קבוצת ממשיים ‪ A‬היא נקודה ‪ x ∈ R‬כך שקיימת‬
‫סדרה של איברים של }‪ A \ {x‬המתכנסת ל־‪.x‬‬
‫המושג סדרה מתכנסת מוגדר כמו בקורס חשבון אינפיניטסמלי‪ 1 .‬ניתן לראות שכל קטע‬
‫פתוח הוא מעוצמת הרצף‪ ,‬ולפיכך גם כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא מעוצמת הרצף‪.‬‬
‫תרגיל האם הקבוצה הריקה עומדת בהגדרה של קטע פתוח? של קבוצה פתוחה?‬
‫פתרון הקבוצה הריקה היא הקטע הפתוח )‪ .(1, 0‬לכן היא גם קבוצה פתוחה‪ .‬‬
‫תרגיל ‪ x‬היא נקודת גבול של ‪ x ⇐⇒ X‬אינה מבודדת ב־}‪.X ∪ {x‬‬
‫פתרון )=⇐(‪ .‬נניח כי ‪ x‬היא נקודת גבול של ‪ .X‬אזי קיימת סדרה }‪(xn ) ⊆ X \ {x‬‬
‫השואפת ל־‪ .x‬כדי להראות כי ‪ x‬איננה מבודדת ב־}‪ X ∪ {x‬עלינו להראות כי לכל‬
‫∈ ‪ x‬אז ברור שזה לא מתקיים‪.‬‬
‫‪ .(a, b) ∩ (X ∪ {x}) 6= {x} ,a, b ∈ R‬אם )‪/ (a, b‬‬
‫נניח )‪ .x ∈ (a, b‬נסמן }‪ .ε = min {x − a, b − x‬לפי הגדרת גבול של סדרה‪,‬‬
‫קיים ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪ N < n‬מתקיים ‪ .|xn − x| < ε‬בפרט עבור ‪n = N + 1‬‬
‫מתקיים ‪ ,|xN +1 − x| < ε‬ולכן )‪ .xN +1 ∈ (a, b‬מהגדרת הסדרה מתקיים גם‬
‫‪ 1‬למי שבמקרה שכח‪ ,‬ולא רוצה לחזור עכשיו לתחילת הסמסטר הראשון בתואר‪:‬‬
‫)‪∀ε ∈ R, ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n > N (|an − l| < ε‬‬
‫לחלופין‪ ,‬זו הזדמנות לראות מחדש את כל הסימנים האלה‪ ,‬ולהיווכח כי הם קוהרנטיים עם הגישה המוצגת בקורס‬
‫זה‪ .‬אנו תמיד שמחים לגלות שתורת הקבוצות מגדירה את המתמטיקה המוכרת לנו‪ ,‬ולא גורמת לנו להוכיח מחדש‬
‫את כל טענותינו בשלוש שנות תואר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫}‪ ,xN +1 ∈ X \ {x‬ולכן מצאנו נקודה נוספת בחיתוך המבוקש‪.‬‬
‫)⇒=(‪ .‬נניח כי ‪ x‬איננה מבודדת ב־}‪ ,X ∪ {x‬ונמצא סדרה }‪(xn ) ⊆ X \ {x‬‬
‫המתכנסת אליה‪ .‬מהנתון‪ ,‬לכל ‪ a < x < b‬מתקיים }‪.(a, b) ∩ (X ∪ {x}) 6= {x‬‬
‫אבל )‪ ,x ∈ (a, b‬ולכן יש שם עוד נקודה‪ .‬נבחר‪ ,‬לכל ‪ a < x < b‬נקודה כזו‪ ,‬ונסמן‬
‫את פונקציית הבחירה שלנו )‪ .g (a, b‬לכל ‪ ε > 0‬נסמן )‪.f (ε) = g (x − ε, x + ε‬‬
‫מתקיים‪ ,‬כמובן‪ .0 < |f (ε) − x| < ε ,‬נגדיר ברקורסיה את הסדרה ‪:xn‬‬
‫)‪= f (1‬‬
‫‬
‫‬
‫|‪|xn − x‬‬
‫‪= f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫ברור ש־}‪ ,(xn ) ⊆ X \ {x‬אנו רוצים להראות כי ‪ .xn −→ x‬ואכן‪ ,‬ניתן להראות‬
‫באינדוקציה כי ‪ ,0 < |xn − x| < 2−n‬ולפי כלל הסנדוויץ' הסדרה מתכנסת כנדרש‪.‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ X‬סגורה ⇒⇐ כל נקודות הגבול של ‪ X‬שייכות אליה‪.‬‬
‫פתרון )=⇐(‪ .‬נניח כי ‪ X‬סגורה‪ .‬לכן ‪ X c‬פתוחה‪ ,‬דהיינו קיימת קבוצת אינדקסים ‪I‬‬
‫וקיימות סדרות ‪ ai , bi‬כך ש־‬
‫[‬
‫= ‪Xc‬‬
‫) ‪(ai , bi‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫תהי ‪ x‬נקודת גבול של ‪ X‬ולה הסדרה המתכנסת }‪ ,(xn ) ⊆ X \ {x‬ונניח בשלילה‬
‫∈ ‪ .x‬אזי ‪ ,x ∈ X c‬דהיינו קיים ‪ i ∈ I‬כך ש־) ‪ 2 .x ∈ (ai , bi‬נקבע = ‪ε‬‬
‫כי ‪/ X‬‬
‫}‪ .min {x − ai , bi − x‬לפי בחירת ‪ x‬כנקודת גבול‪ ,‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪n > N‬‬
‫מתקיים ‪ .|xn − x| < ε‬אבל אז ‪ ,xn ∈ (x − ε, x + ε) ⊆ (ai , bi ) ⊆ X c‬דהיינו‬
‫∈ ‪ ,xn‬ובסתירה להגדרת ‪ .xn‬לכן ההנחה בשלילה איננה נכונה‪ ,‬ואם ‪x‬‬
‫מצאנו כי ‪/ X‬‬
‫נקודת גבול אז ‪ ,x ∈ X‬כנדרש‪.‬‬
‫)⇒=(‪ .‬נניח כי כל נקודות הגבול של ‪ X‬שייכות אליה‪ .‬תהי ‪ .x ∈ X c‬אזי לפי הנתון‪,‬‬
‫‪ x‬איננה נקודת גבול של ‪ ,X‬ולפי התרגיל הקודם היא נקודת הצטברות של }‪.X ∪ {x‬‬
‫לכן קיימים ‪ ax , bx‬כך ש־‬
‫}‪(X ∪ {x}) ∩ (ax , bx ) = {x‬‬
‫נבחר‪ ,‬לכל ‪ ,x‬קטע ) ‪ (ax , bx‬כזה‪ .‬בחרנו את ‪ x‬כך שיתקיים ∅ = }‪ ,X ∩ {x‬ולכן אם‬
‫נחתוך את המשוואה לעיל עם ‪ X‬נקבל‬
‫∅ = ) ‪X ∩ (ax , bx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ .(ax , bx ) ⊆ X c ,x ∈ XS‬לכן זה מתקיים גם לגבי האיחוד‪:‬‬
‫מצאנו אם כן כי לכל‬
‫‪c‬‬
‫של הכלה זו הוא קל‪ ,‬כי תמיד ) ‪,x ∈ (ax , bx‬‬
‫השני‬
‫הכיוון‬
‫‪.‬‬
‫‪x∈X c (ax , bx ) ⊆ X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫ולכן מצאנו שויון ‪ . x∈X c (ax , bx ) = X‬אם כן‪ X ,‬הוא איחוד של קטעים פתוחים‪,‬‬
‫ולכן קבוצה פתוחה‪ .‬המשלים שלו‪ X ,‬הוא קבוצה סגורה‪ .‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2‬קבוצה ‪ X ⊆ R‬היא פרפקטית אם היא לא ריקה‪ ,‬סגורה‪ ,‬וללא נקודות מבודדות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בפרט הקטע אינו ריק; ראו תרגיל על הקבוצה הריקה לעיל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בעזרת מושגים אלו אנו מגדירים את הנגזרת של קבוצה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3‬תהי ‪ X ⊆ R‬קבוצה‪ .‬הנגזרת של ‪ X‬היא קבוצת נקודות הגבול של ‪ .X‬סימון‪:‬‬
‫}‪X‬‬
‫‪is a limit point of‬‬
‫‪X 0 = {x ∈ R : x‬‬
‫שימו לב! אין הכרח שמתקיים ‪.X 0 ⊆ X‬‬
‫תרגיל תהי ‪ .X ⊆ R‬אזי ‪ X 0‬סגורה‪.‬‬
‫פתרון לפי תרגיל קודם‪ ,‬מספיק להראות שכל נקודות הגבול של ‪ X 0‬שייכות אליה‪ .‬נניח‬
‫בשלילה כי היא איננה סגורה‪ ,‬דהיינו יש נקודת גבול ‪ x‬של ‪ X 0‬שאיננה שייכת אליה‪.‬‬
‫∈ ‪ .x‬נסמן‪ ,‬לכל ‪ n‬טבעי‪.εn = 2−n ,‬‬
‫אם כן‪ ,‬יש סדרה ‪ (xn ) ⊆ X 0‬המתכנסת ל־ ‪/ X 0‬‬
‫מהגדרת הקבוצה הנגזרת )הגדרה ‪ ,(1.3‬לכל ‪ n‬טבעי‪ xn ,‬היא נקודת גבול של ‪,X‬‬
‫דהיינו קיימת סדרה } ‪ (yn,k : k ∈ ω) ⊆ X \ {xn‬המתכנסת אליה‪limk→∞ yn,k = :‬‬
‫‪ .xn‬אם כן‪ ,‬לכל ‪ ,ε > 0‬קיים ‪ K‬כך שלכל ‪ .|yn,k − xn | < ε ,k > K‬נחפש‪ ,‬לכל ‪,n‬‬
‫חסם ‪ K‬כזה עבור ‪ εn‬שסימנו לעיל‪ .‬נסמן ‪ .zn = yn,K+1‬כך‪ ,‬יתקיים לכל ‪ n‬טבעי‬
‫‪3‬‬
‫‪ .|zn − xn | < εn‬הסדרה ) ‪ (zn‬היא כבר סדרה של איברי ‪ ,X‬אשר מתכנסת ל־‪,x‬‬
‫ולכן ‪ .x ∈ X 0‬סתירה‪ .‬‬
‫מסקנה ‪ X 1.4‬סגורה‪ ,‬א‪.‬ם‪.‬ם‪.X 0 ⊆ X .‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי התרגיל הקודם‪ ,‬אם ‪ X‬סגורה אז היא מכילה את כל נקודות הגבול שלה‪.‬‬
‫תרגיל נניח כי ‪ X‬סגורה‪ .‬אזי קיימת ‪ X ⊆ Y ⊆ R‬כך ש־‪.Y 0 = X‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,X1 = x + m‬וניקח‬
‫פתרון לפי המסקנה‪ .X 0 ⊆ X ,‬נסמן ‪: x ∈ X \ X 0 , n ∈ ω‬‬
‫‪ .Y = X ∪ X1‬ברור שמתקיים ‪ .Y 0 ⊇ X 0 ∪ (X \ X 0 ) = X‬נראה הכלה לכיוון‬
‫השני‪ .‬יהי אפוא ‪ .y ∈ Y 0‬אזי קיימת סדרה ‪ (yn ) ⊆ Y‬המתכנסת אליו‪ .‬לפנינו שתי‬
‫אפשרויות‪:‬‬
‫• בסדרה ) ‪ (yn‬יש אינסוף איברים מ־‪ .X‬אז נביט בתת־סדרה ) ‪ (ynk‬של איברי‬
‫‪ .X‬זו סדרה המתכנסת ל־‪ y‬של איברי ‪ ,X‬ולכן ‪.y ∈ X 0 ⊆ X‬‬
‫• בסדרה ) ‪ (yn‬יש מספר סופי של איברים מ־‪ .X‬אזי החל מ־ ‪ N‬מסוים‪ ,‬כל איברי‬
‫הסדרה הם מ־ ‪ ,X1‬דהיינו מהצורה ‪ ,yn = xn + m1n‬כאשר ‪xn ∈ X \ X 0‬‬
‫ו־‪ .mn ∈ ω‬נניח בשלילה כי הסדרה ) ‪ (mn‬חסומה‪ .‬אזי קיבלנו כי איברי‬
‫הסדרה ) ‪ (yn‬הם כולם נקודות מבודדות‪ ,‬ובסתירה לכך שיש להם גבול ‪) y‬ראו‬
‫הגדרה ‪ 1.6‬להלן(‪ .‬לכן הסדרה ) ‪ (mn‬איננה חסומה‪ ,‬ויש לה תת־סדרה עולה‬
‫ממש ) ‪ .(mnk‬נתאים לה את הסדרה ) ‪ (ynk‬המקיימת ‪.ynk = xnk + m1n‬‬
‫‪k‬‬
‫מתקיים אם כן‬
‫‪1‬‬
‫‪=y−0=y‬‬
‫‪m nk‬‬
‫‪lim xnk = lim ynk − lim‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫הסדרה ) ‪ (xnk‬היא סדרה של איברי ‪ X‬המתכנסת ל־‪ ,y‬ולכן ‪.y ∈ X 0 ⊆ X‬‬
‫‪ 3‬נסחו באופן מפורש את הוכחת ההתכנסות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בסך הכל הראנו את ההכלה בכיוון השני‪ .‬‬
‫תרגיל ‪ X ⇐⇒ ∅ 6= X = X 0‬פרפקטית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .(⇐=) :‬לפי המסקנה‪ X ,‬סגורה‪ .‬נותר לבדוק אם יש לה נקודות מבודדות‪ .‬אם יש‬
‫לה נקודות מבודדות‪ ,‬אז הן אינן נקודות גבול‪ ,‬ולכן אינן שייכות ל־ ‪ .X = X 0‬סתירה‪.‬‬
‫)⇒=(‪ .‬ברור‪.‬‬
‫תרגיל עבור כל אחת מהקבוצות הבאות‪ ,‬חשבו את כל הנגזרות שלהן הראשונה‪ ,‬השנייה‪,‬‬
‫השלישית והרביעית שלהן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫∗‬
‫)ז( ‪. n + m : n, m ∈ N‬‬
‫)ה( ‪.Q‬‬
‫)א( ∅‪) .‬ג( ]‪.[a, b‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫)ב( ‪) .R‬ד( )‪) .(a, b‬ו( ∗‪) . n1 : n ∈ N‬ח( ∗‪+ k1 : n, m, k ∈ N‬‬
‫‪. n1 + m‬‬
‫הדרכה כאשר מגיעים לקבוצה המקיימת ‪ X 0 = X‬אין צורך להמשיך ולחשב‪.‬‬
‫פתרון נפתור רק את סעיפים )ה(‪) ,‬ו(‪ ,‬ו־)ח(‪.‬‬
‫)ה( נביט ב־‪ x ∈ R‬נתון‪ .‬ננסה למצוא עבורו סדרה מתכנסת ב־}‪ .Q \ {x‬נחלק‬
‫למקרים‪:‬‬
‫• ‪ .x ∈ Q‬נביט בסדרה ‪ .an = x − n1‬סדרה זו היא סדרה ב־}‪ Q \ {x‬והיא‬
‫מתכנסת ל־‪ .x‬לכן ‪.x ∈ Q0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪ ,an = b10‬הסדרה המקרבת את ‪ x‬על‬
‫• ‪ .x ∈ R \ Q‬נביט בסדרה‬
‫‪10n‬‬
‫ידי פיתוח עשרוני‪ .‬סדרה זו היא סדרת רציונליים המתכנסת ל־‪ ,x‬ולכן‬
‫‪.x ∈ Q0‬‬
‫בסך הכל מצאנו כי ‪ .Q0 = R‬מכיוון ש־‪ ,Q ⊆ R‬מתקיים גם ‪,R = Q0 ⊆ R0 = Q00‬‬
‫ולכן ב־‪ R‬הנגזרת מתייצבת‪ ,‬דהיינו זו קבוצה פרפקטית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫הסדרה ‪.an = n‬‬
‫‪ ,0‬על ידי‬
‫‬
‫)ו( נסמן את הקבוצה הנתונה ‪ .X‬קל לראות כי ‪i ∈ X‬‬
‫כעת נניח )‪ .x ∈ (0, 1‬אזי קיים ‪ n‬מסוים עבורו‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n+1 , 2n−1‬‬
‫∈ ‪ .x‬אבל‬
‫בקטע זה רק ‪ , n1 ∈ X‬ולכן ‪ x‬אינו נקודת הצטברות‪ .‬לכל ‪ x‬ממשי אחר אין‬
‫נקודת הצטברות בבירור‪ .‬לכן מצאנו }‪ .X 0 = {0‬הנגזרות הבאות ריקות כולן‪.‬‬
‫)ח( נסמן את הקבוצה הנתונה ‪ .X‬תהי ‪ .x ∈ X 0‬אזי יש סדרה של איברי ‪(xn ) ,X‬‬
‫המתכנסת אליה‪ ,‬דהיינו יש שלוש סדרות של טבעיים ‪ in , jn , kn‬שתקיימנה‬
‫‪ .xn = i1n + j1n + k1n‬מכיוון שהסדרה ‪ xn‬מתכנסת ל־‪ x‬אך שונה ממנו‪ ,‬יש‬
‫לה אינסוף איברים שונים‪ ,‬ומשכך לפחות לאחת מהסדרות ‪ in , jn , kn‬יש אינסוף‬
‫איברים שונים‪ .‬נניח בה"כ של־ ‪ kn‬יש אינסוף איברים‪ .‬אזי ‪ kn‬איננה חסומה‪.‬‬
‫נבדוק כעת האם הסדרות הטבעיות האחרות חסומות אם לאו‪ .‬יש לנו כאן‬
‫שלושה מקרים‪:‬‬
‫• שתי הסדרות ‪ in , jn‬חסומות‪ .‬נסמן } ‪,j = lim sup {jn } ,i = lim sup {in‬‬
‫המספרים הגבוהים ביותר שמופיעים בסדרות אלו מספר אינסופי של‬
‫פעמים‪ .‬נביט בתת־סדרה של ‪ xn‬שעבורה ‪ kn‬תהיה סדרה עולה‪ in ,‬ו־ ‪jn‬‬
‫תהיינה קבועות‪ ,‬עם ערכים ‪ i‬ו־‪ j‬בהתאמה‪ .‬אם כן‪ ,‬מצאנו כאן תת־סדרה‬
‫שתקיים‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 m→∞ 1 1‬‬
‫‪+ +‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪knm‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪knm‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j nm‬‬
‫‪+‬‬
‫ולכן במקרה זה‪ x ,‬הוא איבר של הקבוצה מסעיף )ז(‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪inm‬‬
‫= ‪x nm‬‬
‫• אחת מהסדרות חסומה‪ ,‬והאחרת איננה חסומה‪ .‬נניח בה"כ ‪ in‬חסומה ו־ ‪jn‬‬
‫לא חסומה‪ .‬נסמן } ‪ .i = lim sup {in‬נביט בתת־סדרה של ‪ xn‬שעבורה‬
‫‪ jn‬ו־ ‪ kn‬תהיינה סדרות עולות‪ ,‬ו־ ‪ in‬תהיה הסדרה הקבועה ‪ .in = i‬אם‬
‫כן‪ ,‬מצאנו כאן תת־סדרה שתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 m→∞ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪+‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪inm‬‬
‫‪jnm‬‬
‫‪k nm‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j nm‬‬
‫‪knm‬‬
‫‪i‬‬
‫= ‪x nm‬‬
‫ולכן במקרה זה‪ x ,‬הוא איבר של הקבוצה מסעיף )ו(‪.‬‬
‫• שתי הסדרות אינן חסומות‪ .‬נביט בתת־סדרה של ‪ xn‬שעבורה כל הסדרות‬
‫∞→‪m‬‬
‫הטבעיות עולות‪ ,‬ונקבל ‪.xnm −→ 0‬‬
‫בסך הכל קיבלנו ש־ ‪ X 0‬היא איחוד של הקבוצות מסעיפים )ו־ז( עם הנקודון‬
‫}‪ .{0‬בנימוקים דומים ניתן לחשב גם את הנגזרות הבאות‪ .‬‬
‫תרגיל הוכיחו‪/‬הפריכו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ .X1 , . . . , Xk ⊆ R‬הוכיחו כי‬
‫) ‪(Xi0‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫‪!0‬‬
‫=‬
‫‪Xi‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ .X1 , · · · ⊆ R‬הפריכו‪ ,‬על ידי דוגמא נגדית את הטענה‬
‫‪!0‬‬
‫[‬
‫[‬
‫= ‪Xi‬‬
‫) ‪(Xi0‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫פתרון‬
‫דו־כיוונית‪.‬‬
‫‪ .1‬נראה הכלה‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪0‬‬
‫)⊆(‪ .‬יהי ) ‪ .x ∈ ( i=1 Xi‬אזי יש סדרה של נקודות ב־ ‪ i=1 Xi‬המתכנסת ל־‬
‫‪ ,x‬נסמנה ‪ .(xj )j∈N‬לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬קיים ‪ 1 ≤ i ≤ n‬כך ש־ ‪(xj ) ∩ Xi‬‬
‫אזי תת־הסדרה המתאימה מתכנסת גם היא ל־‪ ,x‬והיא כולה מתוך ‪ ,Xi‬ולכן‬
‫אינסופי‪Sn.‬‬
‫‪.x S‬‬
‫) ‪∈ Xi0 ⊆ i=1 (Xi0‬‬
‫‪n‬‬
‫)⊇(‪ .‬יהי ) ‪ x ∈ i=1 (Xi0‬נתון‪ .‬אזי‪S‬קיים ‪ i‬כך ש־ ‪ .x ∈ Xi0‬הסדרה ב־ ‪ Xi‬המתכנסת‬
‫‪n‬‬
‫ל־‪ x‬היא סדרה גם באיחוד ‪ , i=1 Xi‬ולכן ‪ x‬נקודת גבול גם של האיחוד‪.‬‬
‫ ‬
‫נגדיר לכל ‪ i ∈N‬את הקבוצה ‪ .Xi = 1i‬זהו נקודון‪ ,‬ולכן ∅ = ‪ .Xi0‬מנגד‪ ,‬האיחוד‬
‫‪ .2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ , i∈N Xi = n1 : n ∈ N‬ולפי פתרון התרגיל הקודם‪ ,‬הנגזרת של קבוצה זו היא‬
‫}‪ .{0‬בסה"כ קיבלנו‬
‫ ‪!0‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫‪1‬‬
‫= ‪Xi‬‬
‫= }‪: n ∈ N = {0‬‬
‫=∅ ‪6‬‬
‫=∅‬
‫) ‪(Xi0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫משפט ‪ 1.5‬אם ‪ X‬פרפקטית‪ ,‬אז עוצמת ‪ X‬היא ‪.2ℵ0‬‬
‫הוכחה‪ :‬בונים בתוך ‪ X‬קבוצה איזומורפית לקבוצת קנטור‪ .‬נבחר שתי נקודות ‪,x0 , x1 ∈ X‬‬
‫ונכסה אותן על ידי שני קטעים זרים ‪ .I0 , I1‬מכיוון שהנקודות הן נקודות גבול‪ ,‬אז החיתוך‬
‫‪ Ii ∩ X‬אינסופי‪ .‬נגדיר ברקורסיה‪ ,‬לכל ‪ {ki : i < n} ∈ 2<ω‬קטעים ונקודות כדלהלן‪:‬‬
‫לכל ‪ ,n‬נניח כי כבר הוגדרו קטעים זרים ‪ Ik0 k1 ...kn−1‬לכל ‪ ki‬מאורך ‪ ,n − 1‬כך שלכל‬
‫קטע כזה‪ ,‬חיתוכו עם ‪ X‬אינסופי‪ .‬אז נבחר בכל חיתוך כזה שתי נקודות ‪xk0 k1 ...kn−1 0‬‬
‫ו־ ‪ ,xk0 k1 ...kn−1 1‬וניקח סביבן קטעים זרים ‪ Ik0 k1 ...kn−1 0‬ו־ ‪ ,Ik0 k1 ...kn−1 1‬הכל בתוך הקטע‬
‫‪ .Ik0 k1 ...kn−1‬נבחר את הקטעים האלו להיות מאורך קטן מ־‪ .1/n‬חיתוכם של קטעים אלו‬
‫עם ‪ X‬הוא אינסופי‪ .‬אם כן‪ ,‬ניתן להמשיך את הרקורסיה‪.‬‬
‫תהי סדרה מאורך ‪ .{ki : i ∈ ω} ∈ 2ω ,ω‬נביט בחיתוך‬
‫\‬
‫‪Ik0 k1 ...kn‬‬
‫‪n∈ω‬‬
‫חיתוך זה הוא חיתוך של שרשרת קטעים שקוטרם שואף לאפס‪ ,‬ולכן קוטרו שווה אפס )הלמה‬
‫של קנטור(‪ ,‬דהיינו בחיתוך זה יש נקודה אחת ויחידה‪ .‬נקודה זו שייכת ל־‪ ,X‬כי היא נקודת‬
‫גבול של הסדרה ‪ .xk0 k1 ...kn‬בגלל שכל הקטעים זרים בזוגות‪ ,‬ברור שהתאמה זו היא חח"ע‪.‬‬
‫אם כן‬
‫‪F : 2ω‬‬
‫‪→ X‬‬
‫\‬
‫= )} ‪F ({ki‬‬
‫‪Ik0 k1 ...kn‬‬
‫‪n∈ω‬‬
‫היא התאמה חח"ע‪ ,‬ומצאנו כי ‪ ,|X| = 2ℵ0‬כמבוקש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.6‬קבוצה היא דיסקרטית אם כל נקודותיה מבודדות‪ .‬לשון אחר‪.X ∩ X 0 = ∅ :‬‬
‫קל לראות כי לכל ‪ X \ X 0 ,X ⊆ R‬היא דיסקרטית‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.7‬כל קבוצת ממשיים דיסקרטית היא בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה דיסקרטית‪ .‬נראה התאמה בין ‪ X‬לבין תת־קבוצה של הרציונליים‪.‬‬
‫יהי ‪ x ∈ X‬נתון‪ .‬לכן ‪ x‬מבודדת בקבוצה ‪ .X ∪ {x} = X‬אם כן‪ ,‬קיימים ‪ax , bx ∈ R‬‬
‫כך שמתקיים }‪.(ax , bx ) ∩ X = {x‬‬
‫תרגיל הראו כי קיימים ) ‪ (ax , bx‬כך שהקטעים האלו יהיו זרים בזוגות‪.‬‬
‫פתרון נניח כי קיימים ) ‪ (ax , bx‬כאלה‪ .‬ונניח שהם אינם זרים‪ ,‬זאת אומרת שקיימים ∈ ‪x, y‬‬
‫‪ X‬כך ש־∅ =‪ .(ax , bx ) ∩ (ay , by ) 6‬נניח בה"כ ‪ .x < y‬אזי ‪ y‬הוא העוקב המיידי של‬
‫‪ .(a‬מתקיים‬
‫‪ x‬ב־‪ ,X‬כי אחרת היתה עוד נקודה מ־‪ X‬באחד הקטעים ) ‪(ay ,by‬‬
‫‪ x , bx ) ,x+y‬‬
‫‪x+y‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫ו־‬
‫‪a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .ax < x < x+y‬וניתן להיעזר בקטעים‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אפוא ‪2 < y < by‬‬
‫כדי לכסות את ‪ x‬ואת ‪ ,y‬בהתאמה‪ ,‬ואלו קטעים זרים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נגדיר סדרות ‪ b0x ,a0x‬כדלהלן‪ ,‬שיתנו לנו חיתוכים זרים‪:‬‬
‫‪x has no direct predecessor in X.‬‬
‫‪y is the direct predecessor of x.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪x+y‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪a0x‬‬
‫‪x has no direct successor in X.‬‬
‫‪y is the direct successor of x.‬‬
‫‪bx‬‬
‫(‬
‫‪x+y‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪b0x‬‬
‫אם כן‪ ,‬הכיסוי ) ‪ (a0x , b0x‬הוא כיסוי על ידי קטעים זרים‪ :‬אם ל־‪ x‬אין עוקב מיידי‪,‬‬
‫אז לכל ‪ y > x‬יש ‪ x < z < y‬ביניהם‪ ,‬ולכן ‪ ,b0x ≤ z ≤ a0y‬והקטעים זרים‪ .‬אם‬
‫‪ y‬הוא העוקב המיידי של ‪ x‬אז ‪ ,b0x = a0y‬והקטעים זרים‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬מתקיים‬
‫}‪ .(a0x , b0x ) ∩ X = {x‬‬
‫מצאנו אם כן כי ניתן לכסות את ‪ X‬על ידי אוסף קטעים פתוחים זרים‪ .‬בכל קטע שכזה‬
‫יש איבר רציונלי )כי הרציונליים צפופים בממשיים(‪ .‬נבחר אחד כזה‪ ,‬ונסמנו ) ‪.qx ∈ (ax , bx‬‬
‫גם התאמה זו היא חח"ע‪ ,‬כי הקטעים זרים‪.‬‬
‫בסך הכל מצאנו שניתן להתאים באופן חח"ע לכל ‪ x ∈ X‬איבר רציונלי ‪ ,qx ∈ Q‬ולכן‬
‫יש לנו שיכון ‪ ,X ,→ Q‬ולפיכך ‪.|X| ≤ |Q| = ℵ0‬‬
‫דרך אחרת‪ :‬במקום להסתבך עם זרות בזוגות‪ ,‬נבחר לכל ‪ x‬את הקטע ) ‪ (ax , bx‬שיקיים‬
‫את הגדרת נקודה מבודדת‪ .‬לכל קטע כזה‪ ,‬נבחר רציונלי ‪ .qx ∈ (x, bx ) ∩ Q‬קבוצה זו איננה‬
‫ריקה‪ ,‬כי הרציונליים צפופים בממשיים‪ ,‬והקטעים האלו זרים בזוגות‪ .‬לכן גם ‪ qx‬שונים זה‬
‫מזה‪.‬‬
‫כעת נביא שני תרגילים‪.‬‬
‫תרגיל יהי ‪ β‬סודר‪ ,‬ותהי }‪ {rα ∈ R : α < β‬סדרה עולה של מספרים ממשיים‪ .‬הוכיחו כי‬
‫סדרה זו היא בת־מניה‪.‬‬
‫פתרון נתאים לסדרה זו סדרת קטעים }‪ .{sα = (rα , rα+1 ) : α < β‬בשל צפיפות הרציונליים‬
‫בממשיים‪ ,‬קיים בכל קטע כזה מספר רציונלי ‪ .qα ∈ sα‬מצאנו אם כן התאמה חח"ע‬
‫מהסדרה הנתונה ‪ rα‬לסדרת רציונליים ‪ ,qα‬ומתקיים לפיכך‬
‫‪β = |{rα }| = |{qα }| ≤ |Q| = ℵ0‬‬
‫‬
‫הערה ‪ 1.8‬שימו לב לכך שהוכחה זו יפה גם עבור סדרה יורדת‪.‬‬
‫תרגיל אנו מגדירים צביעה בשני צבעים של קבוצה ‪ X‬כפונקציה }‪ ,f : X → {0, 1‬על בסיס‬
‫הזיהוי של שני המספרים עם שני הצבעים‪ .‬לצורך העניין‪ ,‬נשווה בין ‪ 0‬לבין אדום ובין‬
‫‪ 1‬לבין כחול‪ 4 .‬תת־קבוצה ‪ M ⊆ X‬היא מונוכרומטית אם הצבע של כל איבריה הוא‬
‫אותו הצבע‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן‪ ,‬עבור ‪ .[X] = {{x, y} : x, y ∈ X, x 6= y} ,X ⊆ R‬הוכיחו כי קיימת צביעה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫של ]‪ [R‬בשני צבעים‪ ,‬כך שלכל ‪ X ⊆ R‬שאינה בת מניה‪ [X] ,‬אינה מונוכרומטית‪.‬‬
‫הדרכה )‪ (Sierpi«ski‬נסדר את ‪ R‬על ידי }‪ .R = {rα : α < c‬לכל שני סודרים‬
‫‪ α < β‬אנו נצבע את האיבר } ‪ {rα , rβ‬בצבע ‪ 0‬אם ‪ ,rα < rβ‬ובצבע ‪ 1‬אם‬
‫‪ . rα > rβ‬כעת‪ ,‬היעזרו בתרגיל הקודם‪.‬‬
‫‪ 4‬ניתן כמובן גם להכליל את המושג צביעה ב־‪ n‬צבעים‪ ,‬ואף ליותר צבעים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫פתרון נשתמש בהדרכה‪ .‬נסדר את ‪ R‬כאמור‪ ,‬ונגדיר את הצביעה לפי ההדרכה‪ .‬כעת‪ ,‬תהי‬
‫‪ X‬שאיננה בת־מניה‪ .‬נביט בקבוצה }‪ .D = {α < c : rα ∈ X‬קבוצה זו היא קבוצה‬
‫לא בת־מניה של סודרים‪ .‬נסמן את טיפוס הסדר שלה ‪ ,γ‬ואת איזומורפיזם הסדר‬
‫המתאים ‪ .g : γ → D‬על ידי ‪ D‬ניתן להציג‪ ,‬לפיכך‪ ,‬את ‪ X‬בתור ‪γ‬־סדרה כדלהלן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪X = rg(α) : α < γ‬‬
‫לפי התרגיל הקודם‪ ,‬סדרת ממשיים שאיננה בת־מניה איננה סדרה עולה‪ ,‬ולכן קיים‬
‫זוג ‪ α1 < β1 ∈ D‬המקיימים ‪ .rα1 > rβ1‬הערנו לאחר התרגיל הקודם כי ההוכחה‬
‫יפה גם עבור סדרה יורדת‪ ,‬ולכן קיים זוג ‪ α2 < β2 ∈ D‬המקיימים ‪ .rα2 < rβ2‬ובכן‪,‬‬
‫עבור ערכים אלו יתקיים‬
‫‪1‬‬
‫= )} ‪f ({rα1 , rβ1‬‬
‫‪0‬‬
‫= )} ‪f ({rα2 , rβ2‬‬
‫‪2‬‬
‫ולפיכך ]‪ [X‬איננה מונוכרומטית‪ .‬‬
‫הגדרה ‪ 1.9‬הנגזרת ה־‪ (α ≥ 1) α‬של קבוצת ממשיים ‪ X‬מוגדרת ברוקורסיה‪:‬‬
‫• ‪.X (1) = X 0‬‬
‫‪0‬‬
‫• )‪ X (β+1) = X (β‬לכל ‪.β ≥ 1‬‬
‫‪T‬‬
‫• )‪ X (α) = β<α X (β‬עבור ‪ α‬גבולי‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 1.10‬לכל ‪ X (α) ,α ≥ 1‬סגורה‪ .‬לכל ‪ 1 ≤ α ≤ β‬מתקיים )‪.X (α) ⊇ X (β‬‬
‫למה ‪ 1.11‬תהי ‪ X ⊆ R‬קבוצה סגורה‪ .‬אזי קיים סודר ‪ ρ < ℵ1‬כך ש־ )‪X (ρ) = X (ρ+1‬‬
‫)ולכן הנגזרת מתייצבת שם(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪ ,‬לצרכינו הפנימיים‪ 5 .X (0) = X ,‬נניח בשלילה כי אין ‪ ρ‬כזה‪ .‬אזי לכל‬
‫‪ α < ℵ1‬מתקיים )‪ .X (α) 6= X (α+1‬יחד עם המסקנה הקודמת‪ ,‬מתקבל )‪.X (α) ⊃ X (α+1‬‬
‫אם כן‪ ,‬הקבוצה )‪ X (α) \ X (α+1‬איננה ריקה‪ .‬נבחר שרירותית‪ ,‬לכל ‪ ,α < ℵ1‬איבר ‪xα‬‬
‫מקבוצה זו‪ .‬כעת‪ ,R \ X (α+1) 3 xα ,‬שזו קבוצה פתוחה‪ ,‬ולכן קיימים ‪ aα , bα‬כך ש־‬
‫)‪ .xα ∈ (aα , bα ) ⊆ R \ X (α+1‬נבחר את ‪ aα , bα‬האלו להיות רציונליים‪ ,‬ונסמן את הקטע‬
‫) ‪ .Iα = (aα , bα‬מתקיים אפוא ‪ .xα ∈ X (α) ∩ Iα‬מנגד‪ .Iα ∩ x(α+1) = ∅ ,‬יהי ‪ β‬סודר‬
‫‪ ,α < β < ℵ1‬אזי לפי המסקנה )‪ ,X (α+1) ⊇ X (β‬ולכן לכל ‪ β‬כזה מתקיים‬
‫)‪Iα ∩ X (β) ⊆ Iα ∩ X (α+1) = ∅ 6= Iα ∩ X (α‬‬
‫המסקנה היא שלכל ‪ ,Iα 6= Iβ ,α < β < ℵ1‬ולכן ההתאמה ‪ α 7→ Iα‬היא חח"ע מ־ ‪.α < ℵ1‬‬
‫אבל התמונה היא איזומורפית ל־‪ ,Q × Q‬ומתקבל |‪ .|ℵ1 | ≤ |Q × Q‬סתירה‪.‬‬
‫משפט ‪) 1.12‬קנטור־בנדיקסון(‪ .‬לכל קבוצה ‪ X‬סגורה שאיננה בת־מניה יש פירוק לאיחוד‬
‫הזר ‪ P ∪ D‬עבור ‪ P‬פרפקטית ו־‪ D‬בת־מניה‪.‬‬
‫‪ 5‬ודאו כי מסקנה‬
‫‪1.10‬‬
‫נכונה גם עבור ‪ ,α = 0‬כאשר ‪ X‬סגורה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫סודר ‪ ρ < ℵ1‬כך ש־ )‪.X (ρ) = X (ρ+1‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הלמה‪ ,‬קיים ‬
‫‬
‫)‪ .min α < ℵ1 : X (α) = X (α+1‬נביט כעת בקבוצה‬
‫)‪X (α) \ X (α+1‬‬
‫[‬
‫נסמן אפוא = ‪ρ‬‬
‫= ‪D:‬‬
‫‪α<ρ‬‬
‫כל איבר באיחוד זה הוא דיסקרטי‪ ,‬ולכן בן־מניה‪ .‬האיחוד רץ על סודר בן־מניה‪ ,‬ולכן ‪D‬‬
‫בת־מניה‪.‬‬
‫נביט כעת בקבוצה )‪ .P = X (ρ‬מתקיים ‪ ,P = X \ D‬ומכיוון ש־|‪|D| = ℵ0 < |X‬‬
‫מתקיים‬
‫‪|P | = |X \ D| = |X| > 0‬‬
‫אם כן‪ P ,‬לא ריקה‪ .‬בבירור‪ P = P 0 ,‬מצאנו אם כן כי ‪ P‬פרפקטית‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 1.13‬כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא מעוצמת הרצף )כי היא מכילה קטע פתוח(‪ .‬כל‬
‫קבוצה סגורה היא בת־מניה או מעוצמת הרצף )כי היא מכילה קבוצה פרפקטית(‪ .‬לסיכום‪,‬‬
‫קבוצות פתוחות או סגורות אינן יכולות להפריך את השערת הרצף‪.‬‬
‫‪9‬‬