טורים של מספרים חיוביים - 1 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

Transcription

טורים של מספרים חיוביים - 1 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
‫פרק ‪ - 1‬טורים של מספרים חיוביים‬
‫𝑛𝑎‬
‫בהינתן סדרת מספרים ממשיים‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה‪ ,‬אותה נסמן‬
‫𝑛𝑆‬
‫והיא מוגדרת‬
‫‪= 𝑎1‬‬
‫‪= 𝑎1 + 𝑎2‬‬
‫‪= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3‬‬
‫⋮‬
‫𝑛𝑎 ‪= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ +‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל איבר 𝑖𝑆 בסדרה 𝑛𝑆 הוא סכום 𝑖 איברים ראשונים של הסדרה‬
‫הסדרה 𝑛𝑆 נקראית סדרת הסכומים החלקיים של איברי הסדרה 𝑛𝑎 ‪.‬‬
‫‪𝑆1‬‬
‫‪𝑆2‬‬
‫‪𝑆3‬‬
‫⋮‬
‫𝑛𝑆‬
‫𝑛𝑎 ‪.‬‬
‫נסמן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪ lim‬ונגדיר טור של מספרים כסכום אינסופי של איברי הסדרה‬
‫הבא‪:‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫באופן‬
‫∞‬
‫)∗(‬
‫𝑆 = ⋯ ‪𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫נפריד‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫למספר מקרים‪:‬‬
‫אם 𝑆 מספר סופי‪ ,‬אז נגיד כי הטור )∗( מתכנס‪.‬‬
‫אם 𝑆 הוא אינסופי (חיובי או שלילי)‪ ,‬אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר‪.‬‬
‫אם 𝑆 לא קיים אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬כדי לבדוק האם טור מתכנס או מתבדר‪ ,‬יש לחשב את האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת‬
‫הסכומים החלקיים שלו 𝑛𝑆 ‪ ,‬כלומר את 𝑛𝑆‪ .‬לאחר מכן לחשב את גבול האיבר ה‪-𝑛-‬י כאשר‬
‫∞ → 𝑛‪ .‬לפי תוצאת הגבול נדע האם הטור מתכנס או מתבדר‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫𝑛‬
‫‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 𝑛+1‬‬
‫(מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫𝑛‬
‫‪= −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛 𝑛+1‬‬
‫)‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתבדר‬
‫‪ .2‬מתכנס‪1 ,‬‬
‫‪ .3‬מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫טורי מספרים בהם ניתן להגיע לנוסחת האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים שלו‬
‫𝑛𝑆 ‪:‬‬
‫‪ .1‬טור הנדסי (גיאומטרי)‬
‫טור הנדסי (גיאומטרי) הוא טור מהצורה‬
‫∞‬
‫𝑛‬
‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬
‫כאשר 𝑞 מספר ממשי קבוע‪.‬‬
‫האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים של טור הנדסי הוא‪:‬‬
‫𝑞‪𝑞 𝑛 +1 −‬‬
‫‪𝑞−1‬‬
‫= 𝑛𝑆‪.‬‬
‫תנאי להתכנסות טור הנדסי‪:‬‬
‫א‪ .‬כאשר ‪ −1 < 𝑞 < 1‬הטור מתכנס‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑞‬
‫𝑞‪1−‬‬
‫=‬
‫∞‬
‫𝑛‬
‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬
‫ב‪ .‬כאשר ‪ 𝑞 ≤ 1‬הטור מתבדר‬
‫‪ .2‬טור טלסקופי‬
‫טור טלסקופי הוא טור מהצורה ‪− 𝑏𝑛+1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים של טור טלסקופי הוא‪𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 :‬‬
‫תנאי להתכנסות טור הנדסי‪:‬‬
‫הטור ‪− 𝑏𝑛+1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס כאשר הגבול ‪ lim𝑛→∞ 𝑏𝑛+1‬סופי‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪ .‬במידה והטור מתכנס חשב את סכום הטור‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫∞‬
‫𝑛‬
‫‪𝑛=1 1‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝑛‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪−2‬‬
‫𝑛 ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫𝑛‬
‫𝑒 ‪𝑛=1‬‬
‫‪− 3𝑛 . 5‬‬
‫‪.6‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫‪𝑛=1 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛+1 2‬‬
‫‪1−‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 ln‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתבדר‬
‫‪ .2‬מתבדר‬
‫‪ .3‬מתכנס‪,‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .4‬מתבדר‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬מתבדר‬
‫‪ .6‬מתכנס‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫משפט ‪ -‬תנאי הכרחי להתכנסות של טור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫אם הטור‬
‫מתכנס‪ ,‬אזי ‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0‬‬
‫הוכחה‬
‫נתבונן באיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫הטור‬
‫𝑛𝑆 ‪.𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 :‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪( lim‬וגם 𝑆 = ‪ )lim𝑛→∞ 𝑆𝑛+1‬כאשר 𝑆 סופי‪.‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 +1‬‬
‫‪lim 𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = lim 𝑎𝑛+1‬‬
‫∞→𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫ולכן ‪ lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 = 0‬ומכאן ‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק האם בהכרח הטורים הבאים מתכנסים או מתבדרים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫‪+‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 1‬‬
‫‪∞ 1‬‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛‪1+‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 ln‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬כן ‪ -‬מתבדר‬
‫‪∞ 1‬‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫הטור‬
‫‪ .2‬לא‬
‫‪ .3‬כן ‪ -‬מתבדר‬
‫נקרא טור הרמוני‪ .‬בתרגיל ‪ 2‬ראינו כי לא ניתן לקבוע ע"פ התנאי ההכרחי‬
‫להתכנסות אם הטור מתכנס או מתבדר‪ .‬נוכיח כי טור זה מתבדר‪:‬‬
‫נניח בשלילה כי הטור מתכנס‪ ,‬כלומר האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים מקיים‬
‫𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪( lim‬וגם 𝑆 = 𝑛‪ )lim𝑛→∞ 𝑆2‬כאשר 𝑆 סופי‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = 1 + + ⋯ + +‬‬
‫‪+⋯+‬‬
‫‪− 1+ +⋯+‬‬
‫=‬
‫‪+⋯+‬‬
‫∙𝑛>‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑛 𝑛+1‬‬
‫𝑛‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑛‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫𝑛‪2‬‬
‫‪2𝑛 2‬‬
‫ולכן בהכרח ‪ .lim𝑛→∞ 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≠ 0‬כלומר סתירה לכך שהטור מתכנס )∗(‪ ,‬ולכן הטור‬
‫‪∞ 1‬‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬

Similar documents