λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

‫הרצאה ‪12‬‬
‫פונקציות רבות משתנים‬
‫קיצון באילוץ‪ .‬שיטת כופלי לגרנז'‪.‬‬
‫‪ .1‬לעתים קרובות יש בעיות מעשיות למציאת מינימום ומקסימום של פונקציה רבות משתנים‬
‫שיש אילוצים נוספים‪ .‬‬
‫‪ .2‬דוגמה‪ .‬מדף קרטון בעל שטח ‪ 2a‬מייצרים תיבה סגורה מצא את המידות ‪ x, y , z‬כך שנפח‬
‫התיבה יהיה מקסימאלי‪ .‬כאן בנוסף לפונקציה ‪ V  x, y, z   xyz‬קיבלנו עוד קשר נוסף‬
‫‪ . 2 xy  2 xz  2 yz  2a‬כדי לפתור את הבעיה נשתמש בשיטת כופלי לגרנז'‪ .‬‬
‫‪ .3‬נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ z  f  x, y ‬והאילוץ ‪ . g  x, y   0‬נניח‬
‫ש‪ f , g -‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות בעיגול מסוים של נקודה ‪ x 0 , y 0 ‬ו‪g  x, y   0 -‬‬
‫מקיימת את המשפט של פונקציה סתומה ) ‪ . y   ( x‬‬
‫‪ .4‬אם מהמשוואה ‪ g  x, y   0‬ניתן לחלץ אחד מהמשתנים אז ההצבה בפונקציה‬
‫‪ z  f  x, y ‬מייצרת בעיית קיצון מקומי עבור פונקציה של משתנה אחד‪ .‬נדון כעת על‬
‫שיטה אחרת הנקראת שיטת כופלי לגרנז' )‪ .(Lagrange‬‬
‫‪ .5‬תנאי שפונקציה ‪ z  f  x, y ‬מקבלת קיצון בנקודה ‪ x 0 , y 0 ‬אשר מקיימת את האילוץ‬
‫‪ g  x, y   0‬גורר את קיים של המשוואות הבאות‪ :‬‬
‫‪ dz f f dy‬‬
‫‪ dx  x  y dx  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ g  g dy  0‬‬
‫‪ x y dx‬‬
‫נכפיל את המשוואה השנייה ב‪)  -‬כלשהו( ונחבר אז נקבל את המשוואה‬
‫‪ g g dy ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g  f‬‬
‫‪g  dy‬‬
‫‪f f dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫או ‪  0‬‬
‫‪x y dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪y  dx‬‬
‫‪ x y dx ‬‬
‫‪.‬‬
‫נבחר את ‪ ‬כך שהביטוי בתוך הסוגריים יתאפס אז נקבל את המערכת‪:‬‬
‫‪g‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪ x   x  0,‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪g‬‬
‫‪.  ‬‬
‫‪ 0,‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g  x, y   0.‬‬
‫‪‬‬
‫וניתן לפרש אותה באופן הבא‪ :‬נתונה פונקציה של שלושה משתנים‬
‫‪ L  x, y,    f  x, y    g  x, y ‬אשר נקראת פונקציית לגרנז'‪ .‬תנאי הכרחי לקיים‬
‫הקיצון הוא המערכת האחרונה‪.‬‬
‫‪L L L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אמנם תנאי הכרחי היא ‪ 0‬‬
‫‪x y ‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .6‬דוגמה ‪ .1‬מצא את המינימום ואת המקסימום של הפונקציה ‪ f  x, y   xy‬תחת האילוץ‬
‫‪ . x2  y2  1‬‬
‫ניתן לפרש את המקסימים בצורה הבאה‪ .‬נתונים המלבנים עם שלושת קודקודיו בראשית‬
‫הצירים ועל הצירים ‪ x‬ו‪ . y -‬מצא את הקודקוד הרביעי הנמצא על המעגל כך ששטח המלבן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫יהיה מקסימאלי‪ .‬נבנה את פונקציית לגרז' ‪ L  x, y,    xy   x  y  1‬והמערכת‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪ x  y  2 x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪ x  2 y  0‬‬
‫‪   ‬לכן נקודות‬
‫‪   ‬ו‪-‬‬
‫‪ . ‬מהמשוואות אחד ושתיים‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x  y2 1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   1‬‬
‫‪1   1 1   1 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .  ‬הנקודות‬
‫‪ ,‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪ ,‬‬
‫קריטיות הן‪ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 2  2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   1 1 ‬‬
‫‪ 1 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪  ‬מספקות מקסימום והנקודות ‪‬‬
‫‪ ‬ו‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,f‬‬
‫‪  f ‬‬
‫‪ ‬מינימום של הבעיה באילוץ‪ .‬ו‪  2 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1 1 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪  f ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬דוגמה ‪ .2‬מצא קיצון של פונקציה ‪ f  x, y   x  8 y‬באילוץ ‪ x  y  25‬שתי דרכים‪ .‬‬
‫‪ .8‬הסבר גיאומטרי היחס בין ‪ f‬ו‪ . g -‬‬
‫‪ .f‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .9‬ניסוח כללי‪ .‬נתונה פונקציה ‪ y  f  x  : R  R‬והאילוצים‪:‬‬
‫‪ .( k  m ) g1  x , y   0,, g k  x , y   0‬מצא את הקיצון של ‪ f‬באילוצים ‪ . g1 ,  , g k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .10‬נגדיר את פונקציית לגרנז' ‪  g  x , y ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L x ,   f  x  ‬ונמצא את קיצון המקומי‬
‫‪i 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫במרחב ‪ , R m  k‬כאן ‪    1 , , k   R‬ו‪ . x   x1 ,, xm   R -‬‬
‫‪ .11‬דוגמה ‪ .3‬מציאת נפח אופטימאלי של התיבה )שאלה מהשיעור הקודם(‪ .‬‬
‫‪ .12‬דוגמה ‪ .4‬להוכיח את האי שוויון בין הממוצע החשבוני לבין הממוצע ההנדסי‪:‬‬
‫‪x1  x2    xn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . xi  0 , n x1 x2    xn ‬‬
‫‪1‬‬
‫נגדיר את הפונקציה ‪ f  x1 , , xn    x1   xn  n‬עבור ‪ xi  0‬ונמצא את המקסימום‬
‫שלה תחת האילוץ ‪ . x1    xn  a‬נשתמש בשיטת לגרנז'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . L  x1 , , xn    x1   xn  n    x1    xn  a ‬לפי התנאי ההכרחי נקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ L 1‬‬
‫‪n  x x   x     0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ x n  1 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  L 1‬או‬
‫‪1‬‬
‫‪n  x x   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1     0‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ x1  x2    xn  a  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
 L f  x1 , x2 , , xn 

  0


x
nx
1
1



f  x1 , x2 , , xn 

‫ ומכאן נובע שכל‬ L
i  1, , n , xi 
f  x1 , x2 , , xn 
n

  0

nxn
 xn
 L
 x1  x2    xn  a  0

 
1
a
f  x1 , , xn    x1   xn  n ‫ נקודה זאת הוא נקודת המקסימום לפונקציה‬. xi  ‫ואז‬
n
a
a a
 , , ,  ‫ מצד אחר בנקודה‬. xk  0 ‫כי המינימום הוא אם אחד מהשיעורים‬
n
n n
1
a a
a n a
x  x2    xn a
a
‫ לכן‬f  , ,        -‫ והערך זה שווה ל‬1

n n
n
n
n
n
n
1
x  x2    xn
. 1
-‫ תמיד קטנה או שווה ל‬f  x1 , , xn    x1   xn  n ‫הפונקציה‬
n