קובץ שאלות המרתון

‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫אוניברסיטת תל אביב‬
‫הפקולטה להנדסה‬
‫ע"ש איבי ואלדר פליישמן‬
‫מספר סידורי‪:‬‬
‫מספר סטודנט‪:‬‬
‫בחינה בקורס‪ :‬פיזיקה ‪2‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪1‬‬
‫יש לענות על כל השאלות‪1‬‬
‫לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי‪ ,‬ולכל סעיף אותו משקל בשאלה‪1‬‬
‫יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא‬
‫תבדקנה‪1‬‬
‫ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות (‪ ,)A2‬כתובים משני הצדדים‪ 1‬בנוסף‪ ,‬נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים‬
‫בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה‪1‬‬
‫ניתן (אך אין צורך) להיעזר במחשבון‪ 1‬אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון‪1‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫שאלה‬
‫ציון‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫ציון כולל ‪:‬‬
‫כל הזכויות שמורות ©‬
‫מבלי לפגוע באמור לעיל‪ ,‬אין להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪ ,‬לאחסן מאגר‬
‫מידע‪ ,‬בכל דרך שהיא‪ ,‬בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק‬
‫שהוא מטופס הבחינה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ ,‬המתוארת בקואורדינטות כדוריות‪ :‬בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי ‪ 1q‬בתחום הרדיאלי‬
‫) ישנה קליפה‬
‫(כאשר‬
‫ישנה קליפה כדורית עבה‪ ,‬מוליכה ובלתי טעונה‪ 1‬ברדיוס‬
‫כדורית דקה‪ ,‬מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪1‬‬
‫א‪1‬‬
‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫ב‪1‬‬
‫מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? (קחו את הפוטנציאל להיות ‪ .‬ב‪-‬‬
‫ג‪1‬‬
‫רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת‪ ,‬פרט לזו שב‪-‬‬
‫ד‪1‬‬
‫מזיזים את המטען הנקודתי למיקום )‬
‫‪)1‬‬
‫(‪ 1‬בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה )‪. .‬‬
‫‪1‬‬
‫(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪1‬‬
‫מקום‪:‬‬
‫מאחר שלמערכת סימטריה כדורית‪ ,‬כוון השדה החשמלי הוא ̂ בכל מקום‪ 1‬כעת נראה מה גודל השדה בכל‬
‫נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית‪ ,‬השדה ברדיוס‬
‫או שווה ל‪1 -‬‬
‫לכן‪ ,‬בתחום‬
‫תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן‬
‫השדה הוא השדה של המטען הנקודתי‪:‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫בתחום‬
‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן השדה בתחום זה הוא ‪:.‬‬
‫⃗‬
‫עבור‬
‫‪ ,‬השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי ‪:‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫עבור‬
‫‪ ,‬השדה הוא של מטען נקודתי‬
‫‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית‪ ,‬כך שהפוטנציאל הוא ‪ .‬באינסוף‪,‬‬
‫ב‪1‬‬
‫ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל‪:‬‬
‫בתחום‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫עבור‬
‫)‬
‫(‬
‫(כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב‪-‬‬
‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן הפוטנציאל הוא זה של‬
‫בתחום‬
‫)‬
‫עבור‬
‫)‪1‬‬
‫‪:‬‬
‫(‬
‫‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל ‪ ,.‬אז על השפה הפנימית של‬
‫ג‪1‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען משטחית אחידה (בשל הסימטריה‬
‫הקליפה המוליכה (ברדיוס ) יהיה מטען כולל‬
‫הכדורית) בגודל‬
‫מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית‪ ,‬על שפתה החיצונית (ברדיוס‬
‫משטחית אחידה בגודל‬
‫ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה‪1‬‬
‫) יהיה מטען כולל‬
‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫ד‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא‪ 1‬מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם‪:‬‬
‫מוליכה‪ ,‬דהיינו שווה‪-‬פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ‬
‫מאחר שהקליפה בתחום‬
‫לקליפה מקיימים סימטריה כדורית ‪,‬משטחים שווה‪-‬פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום‬
‫ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית‪1‬‬
‫‪ .‬לכן קווי השדה מחוצה לה‪ ,‬ב‪-‬‬
‫נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים‪ 1‬לכן השדה‬
‫אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום‬
‫אינו משתנה ‪,‬כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה‪.‬‬
‫בתחום‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נמצא משטח אינסופי דק‪ ,‬הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪ 1‬המשטח נע במהירות ̂‬
‫במישור‬
‫כאשר קבוע‪1‬‬
‫בגובה ‪ h‬מעל המשטח‪ ,‬במישור‬
‫כפונקציה של הזמן‪:‬‬
‫‪ ,‬נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע‬
‫(ראו איור)‪ 1‬ענו על כל הסעיפים‬
‫א‪1‬‬
‫מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח?‬
‫ב‪1‬‬
‫מהו השדה המגנטי בכל המרחב?‬
‫ג‪1‬‬
‫מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה?‬
‫ד‪1‬‬
‫נתון שלמסגרת התנגדות ‪ 1‬מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו (ציירו את הכוון לפי האיור)?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א) נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב (בכוון ) ואורך‬
‫גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע‪:‬‬
‫ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים‪ ,‬כלומר‬
‫‪ .‬בקטע זה ישנו מטען‬
‫‪ .‬צפיפות הזרם הקווית היא הזרם‬
‫‪.‬‬
‫(ב) מכלל היד הימנית של חוק ביו‪-‬סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון ‪ -y‬בצד העליון של הלוח‬
‫ובכיוון ‪ y‬בצד התחתון של הלוח‪ ,‬ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות‬
‫‪.x,y‬‬
‫‪5‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫לכן‪ ,‬נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים ‪ z‬ו ‪ y‬והממוקמת באופן סימטרי סביב‬
‫הלוח‪ ,‬גובהה ‪ 2z‬ואורכה ‪ L‬כבאיור למטה‪.‬‬
‫‪ B  dl  2LB‬‬
‫ממשפט אמפר נקבל (לתקן פקטור ‪:)2‬‬
‫‪ 0 I in  0 L  0 vL‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪ v‬‬
‫ולכן‬
‫‪ B  0‬נוסיף את הכיוונים ונקבל‪B  0 ( yˆ )  sign( z ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫()‪ sign(z‬היא פונקציה ששווה ל ‪ +1‬אם ‪ z‬חיובי ו ‪ -1‬אם ‪ z‬שלילי(‪.‬‬
‫‪0 va 2‬‬
‫‪  B   B  dS  BS  Ba 2 ‬כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני‬
‫(ג)‬
‫‪2‬‬
‫הלולאה הריבועית (לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!) ואחיד‪.‬‬
‫(ד) נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי‪:‬‬
‫‪d  B d  0v ta 2  0v a 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 v  a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫ולפי חוק אוהם הזרם יהיה‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪ .‬לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי‬
‫את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ‪ :‬השטף גדל והשדה בכיוון‬
‫בכיוון ‪ .+y‬לפי כלל היד הימנית‪ ,‬זרם כזה הוא עם כיוון השעון (כבאיור)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫קבל שקיבולו‬
‫מחובר לשני מוטות חצי‪-‬אינסופיים וחסרי התנגדות‪ 1‬מוט שלישי‪ ,‬בעל אורך‬
‫נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה‬
‫שדה מגנטי קבוע‬
‫וחסר התנגדות‪,‬‬
‫(ראו איור א')‪ 1‬באזור המוט הנע פועל‬
‫הניצב למישור המעגל (השדה נכנס לדף)‪ 1‬שדה זה אינו קיים באזור הקבל‪ 1‬הזניחו את‬
‫התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה‪1‬‬
‫א‪ 1‬מהו הכא"מ המושרה במעגל?‬
‫ב‪ 1‬מהו המטען על הקבל?‬
‫מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו‬
‫(ראו איור ב')‪1‬‬
‫ג‪ 1‬מהו הזרם במעגל? (גודל וכיוון – ציינו את הכיוון באופן ברור)‬
‫מחזירים את הקבל למעגל‪ ,‬כך שהוא מחובר בטור עם הנגד (ראו איור ג')‪1‬‬
‫ד‪ 1‬כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫של הזמן‪ ,‬כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן‬
‫××××××××‬
‫𝑣 ××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור א'‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור ב'‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור ג'‬
‫‪7‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ 1‬נגדיר תחילה מערכת צירים‪ :‬ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר יוצא מכיוון הדף (ציר‬
‫בהתאם)‪ 1‬כדי למצוא את הכא"מ המושרה‪ ,‬נשתמש בחוק פרדיי‪:‬‬
‫|‬
‫|‬
‫הוא כלפי מעלה‪,‬‬
‫‪ε‬‬
‫השדה המגנטי אחיד‪ 1‬לכן‪ ,‬בכל זמן נתון ‪ ,‬השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל‬
‫כאשר‬
‫הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן ‪ 1‬נקבל‬
‫|‬
‫‪ ,‬כאשר‬
‫ב‪1‬‬
‫ההגדרה של קיבול היא‬
‫ג‪1‬‬
‫את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם‬
‫|‬
‫‪ε‬‬
‫הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל‪ 1‬בשאלה שלנו‬
‫את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ‪ :‬השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון‬
‫שהשטח של המעגל גדל עם הזמן‪ 1‬הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי‬
‫מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה‪ 1‬מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון‬
‫השעון‪( .‬ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע‪)1‬‬
‫יש בפנינו מעגל ‪ RC‬שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א'‪ 1‬נכתוב את הפרש המתחים‬
‫ד‪1‬‬
‫לאורך המעגל ונשווה לאפס‪1‬‬
‫‪ε‬‬
‫(הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען‬
‫נרצה לכתוב משוואה לזרם‪ ,‬נשתמש בכך ש‬
‫להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית‪ ,‬ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי)‪1‬‬
‫ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה‪1‬‬
‫דרך אחת‪ :‬המשוואה הופכת להיות‬
‫את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים‪ 1‬נכתוב את המשוואה בצורה‬
‫כלומר‬
‫הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע‪:‬‬
‫כאשר ‪ A‬קבוע אינטגרציה‪ 1‬כלומר‪:‬‬
‫או‪:‬‬
‫תנאי ההתחלה‬
‫מתקבלים מהבחירה‬
‫)‬
‫‪ ,‬כך שמתקבל הפתרון‬
‫(‬
‫‪8‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם‪:‬‬
‫דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו‪:‬‬
‫⇒‬
‫הפתרון של המשוואה הזו הוא‬
‫כאשר את הקבוע ‪ ,‬שהוא הזרם בזמן‬
‫נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל‬
‫‪ ,‬נמצא מתנאי ההתחלה‪ 1‬נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון‪ ,‬אז‬
‫⇒‬
‫‪ε‬‬
‫⇒‬